資源簡介

第 04 講 基本不等式及其應用
目錄
01 考情透視·目標導航 .........................................................................................................................2
02 知識導圖·思維引航 .........................................................................................................................3
03 考點突破·題型探究 .........................................................................................................................4
知識點 1：基本不等式 ................................................................................................................................................4
解題方法總結(jié) ...............................................................................................................................................................4
題型一：基本不等式及其應用 ...................................................................................................................................5
題型二：直接法求最值 ...............................................................................................................................................8
題型三：常規(guī)湊配法求最值 .......................................................................................................................................9
題型四：化為單變量法 .............................................................................................................................................11
題型五：雙換元求最值 .............................................................................................................................................12
題型六：“1”的代換求最值 .......................................................................................................................................15
題型七：齊次化求最值 .............................................................................................................................................17
題型八：利用基本不等式證明不等式 .....................................................................................................................19
題型九：利用基本不等式解決實際問題 .................................................................................................................22
題型十：與 a+b、平方和、 ab 有關(guān)問題的最值 ....................................................................................................25
題型十一：三角換元法 .............................................................................................................................................28
題型十二：多次運用基本不等式 .............................................................................................................................32
題型十三：待定系數(shù)法 .............................................................................................................................................34
題型十四：多元均值不等式 .....................................................................................................................................36
題型十五：萬能 K 法 ................................................................................................................................................37
題型十六：與基本不等式有關(guān)的恒(能)成立問題 ..................................................................................................41
題型十七：基本不等式與其他知識交匯的最值問題 .............................................................................................42
題型十八：整體配湊法 .............................................................................................................................................44
04 真題練習·命題洞見 .......................................................................................................................47
05 課本典例·高考素材 .......................................................................................................................49
06 易錯分析·答題模板 .......................................................................................................................51
易錯點：忽視基本不等式應用條件 .........................................................................................................................51
答題模板：利用基本不等式求最值（和定或積定） .............................................................................................51
考點要求 考題統(tǒng)計 考情分析
（1）了解基本不等式的
推導過程． 高考對基本不等式的考查比較穩(wěn)定，考查內(nèi)
2022年 II卷第 12題，5分
（2）會用基本不等式解 容、頻率、題型難度均變化不大，應適當關(guān)注利
2021年乙卷第 8題，5分
決簡單的最值問題． 用基本不等式大小判斷、求最值和求取值范圍的
2020年天津卷第 14題，5分
（3）理解基本不等式在 問題．
實際問題中的應用．
復習目標：
1、掌握基本不等式的內(nèi)容．
2、會用基本不等式解決常考的最大值或最小值問題．
3、會用基本不等式解決實際問題．
知識點 1：基本不等式
ab a + b如果 a > 0，b > 0，那么 ，當且僅當a a + b=b時，等號成立．其中， 叫作 a ，b 的算術(shù)平均
2 2
數(shù)， ab 叫作 a ，b 的幾何平均數(shù)．即正數(shù) a ，b 的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．
基本不等式 1：若 a，b R ，則 a2 + b2 2ab，當且僅當a=b時取等號；
a + b
基本不等式 2：若 a，b R+ ，則 ab （或 a + b 2 ab ），當且僅當a=b時取等號．
2
注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值時和或積
為定值，“三相等”指滿足等號成立的條件．（2）連續(xù)使用不等式要注意取得一致．
解題方法總結(jié)
1、幾個重要的不等式
（1） a2 0 a R , a 0 a 0 , a 0 a R .
2 a,b R+ a + b（ ）基本不等式：如果 ，則 ab （當且僅當“ a = b ”時取“ ”）．
2
1 a b
特例： a > 0, a + 2; + 2 （ a,b 同號）．
a b a
（3）其他變形：
a + b 2
① a 2 + b2 （溝通兩和 a + b 與兩平方和 a2 + b2的不等關(guān)系式）
2
a2 + b2
② ab （溝通兩積 ab 與兩平方和 a2 + b2的不等關(guān)系式）
2
ab a + b
2
③ ÷ （溝通兩積 ab 與兩和 a + b 的不等關(guān)系式）
è 2
2 a + b a2 + b2
④重要不等式： 1 1 ab 2 2 a,b R
+
+
a b
即調(diào)和平均值 幾何平均值 算數(shù)平均值 平方平均值（注意等號成立的條件）．
2、均值定理
已知 x , y R + ．
x + y 2 S 2
（1）如果 x + y = S xy （定值），則 ÷ = （當且僅當“ x = y ”時取“=”）．即“和為定值，積有
è 2 4
最大值”．
（2）如果 xy = P （定值），則 x + y 2 xy = 2 P （當且僅當“ x = y ”時取“=”）．即積為定值，和有最
小值”．
3、常見求最值模型
b b
模型一： ax + 2 ab (a > 0,b > 0)，當且僅當 x = 時等號成立.
x a
2
模型二： x(n - mx)
mx(n - mx) 1 mx + n - mx
= （× )2 n= (m > 0,n > 0,0 n< x < ) n，當且僅當 x = 時
m m 2 4m m 2m
等號成立．
x 1 1
模型三： = (a > 0 , c > 0) ，當且僅當 x c= 時等號成立.
ax2 + bx + c ax b c+ + 2 ac + b a
x
n n
模型四：mx + = m(x n- b) + + mb 2 mn + mb(m > 0, n > 0) ，當且僅當 x - b = 時等號成
x - b x - b m
立.
題型一：基本不等式及其應用
【典例 1-1】下列不等式證明過程正確的是（ ）
A b a b a．若 a,b R ，則 + 2 × = 2
a b a b
B．若 x＞0，y＞0，則 lg x + lg y 2 lg x × lg y
C 4 4．若 x＜0，則 x + x -2 x × = -4x
D．若 x＜0，則 2x + 2- x > 2 2x × 2- x = 2
【答案】D
b
【解析】∵ ,
a b a b a
可能為負數(shù)，如 = = -1時， + = -2，∴A 錯誤；
a b a b a b
∵ lg x, lg y 可能為負數(shù)，如 lg x = lg y = -1時， lg x + lg y = -2,2 lg x × lg y = 2，∴B 錯誤；
∵ x
4
< 0, < 0 ，如 x = -1,
4 4
= -4時， x + = -5 < -4，∴C 錯誤；
x x x
∵ x < 0 ， 2x (0,1) ， 2-x >1，∴ 2x + 2- x > 2 2x × 2- x = 2，當且僅當 2x = 2- x，即 x = 0等號成立，∴D 正確．
故選：D．
【典例 1-2】（2024·遼寧·二模）數(shù)學命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖
所示圖形，在等腰直角三角形 VABC 中，點 O 為斜邊 AB 的中點，點 D 為斜邊 AB 上異于頂點的一個動點，
設 AD = a，BD = b，用該圖形能證明的不等式為（ ）．
a + b
A． ab a > 0,b 2ab> 0 B． ab a > 0,b > 0
2 a + b
C a + b a
2 + b2
． a > 0,b > 0 D 2 2． a + b 2 ab a > 0,b > 0
2 2
【答案】C
1 a + b
【解析】由圖知：OC = AB = ,OD = OB - BD
a + b
= - b a - b= ，
2 2 2 2
2 2
在Rt△OCD中，CD = OC 2 a + b+ OD2 = ，
2
a + b a2 2
所以OC OD + b，即 a > 0,b > 0 ，
2 2
故選：C
【方法技巧】
熟記基本不等式成立的條件，合理選擇基本不等式的形式解題，要注意對不等式等號是否成立進行驗
證．
【變式 1-1】下列結(jié)論正確的是（ ）
x 1 4 2A．當 x < 2時， + B．當 x 2時， x + 的最小值是
x - 2 x 2 2
4 1
C．當 x > 0時， x + 4 D．當 x > 0時， x + 的最小值為 1
x x +1
【答案】C
1 1
【解析】對于 A，當 x = 0時， x + = - ，故 A 錯誤，
x - 2 2
2
對于 B，當 x > 0時， x + 2 2 ，當且僅當 x = 2 時等號成立，故 B 錯誤，
x
4 4
對于 C，當 x > 0時， x + 4，當且僅當 x = 即 x = 4時等號成立，故 C 正確，
x x
1
對于 D，當 x > -1時， x +1+ -1 2 -1 =1
1
，當且僅當 x +1 = 即 x = 0時等號成立，故 D 錯誤，
x +1 x +1
故選：C
【變式 1-2】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知 x，y 都是正數(shù)，且 x y ，則下列選項不恒成立的是（ ）
x + y x y
A． > xy B． + > 22 y x
2xy
C < xy D xy + 1． ． xy > 2x + y
【答案】D
【解析】x，y 都是正數(shù)，
x + y y x 2xy 2xy
由基本不等式， xy ， + 2， ≤ = xy x = y
2 x y x + y 2 xy
，這三個不等式都是當且僅當 時等號
成立，而題中 x y ，因此等號都取不到，所以 ABC 三個不等式恒成立；
xy 1+ 2中當且僅當 xy = 1
1
時取等號，如 x = , y = 2xy 即可取等號，D 中不等式不恒成立．2
故選：D．
【變式 1-3】給出下面四個推導過程：
①∵a，b b a b a為正實數(shù)，∴ + 2 × = 2；
a b a b
②∵x，y 為正實數(shù)，∴1gx +1gy 2 lg x × lg y ；
③∵ a R a 0 ∴ 4， ， + a 2 4 ×a = 4 ；
a a
é ù
④∵ x, y R xy < 0

∴ x y x y x+ = - - + - -2 - y ， ，
y x ê y ÷ x ÷ú
-
y ÷ x ÷
= -2．
è è è è
其中正確的推導為（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】D
b a b a b a
【解析】根據(jù)基本不等式的條件判斷，① a > 0,b > 0，∴ > 0, > 0，因此 + 2 × = 2正確；
a b a b a b
② x > 0, y > 0時，若0 < x <1.0 < y <1，則 lg x < 0, lg y < 0，不等式1gx +1gy 2 lg x × lg y 錯誤；
③ a<0 4 4時，不等式 + a 2 ×a = 4 錯誤；
a a
y xxy < 0 - > 0 - > 0 ④ x- + y- 2
x y
，則 ， ，因此不等式 - - 正確，從而不等式
x y y ÷ x ÷ ÷ ÷è è è y è x
x y é x y
+ = - - + -
ù
2 x - - y- = -2正確．
y x ê è y
÷
è x
÷ú ÷
è y è x
÷

故選：D．
題型二：直接法求最值
【典例 2-1】若實數(shù) x、y滿足 x + 2y =1，則 2x + 4y 的最小值為 ．
【答案】2 2
【解析】 2x + 4y 2 2x 4y = 2 2x 22 y = 2 2x+2 y = 2 2 ,當且僅當 x = 2y ，
x 1 , y 1即 = = 時取到等號.
2 4
故答案：2 2 .
1 1
【典例 2-2】（2024·湖北孝感·模擬預測） + ÷÷ ( x + 4 y )的最小值為 .
è x y
【答案】9
1 1 x 4 y
【解析】 + ÷÷ ( x + 4 y ) = 5 + + 5 + 2 4 = 9 ，
è x y y x
x 4 y
當且僅當 = ，即 x = 4y > 0時，等號成立，
y x
1 1
所以 + ÷÷ ( x + 4 y )的最小值為 9.
è x y
故答案為：9
【方法技巧】
直接利用基本不等式求解，注意取等條件．
【變式 2-1】（2024·上海崇明·二模）已知正實數(shù) a、b 滿足 ab =1，則a + 4b的最小值等于 ．
【答案】4
1
【解析】 a + 4b 2 4ab = 2 4 = 4 ，當 a = 4b，即 a = 2，b = 時等號成立，
2
則a + 4b的最小值為 4．
故答案為：4．
【變式 2-2】（2024·天津南開·一模）已知實數(shù) a > 0,b > 0, a + b =1，則 2a + 2b 的最小值為 .
【答案】2 2
【解析】∵ a > 0，b > 0， a + b =1，
1
∴ 2a + 2b 2 2a 2b = 2 2a+b = 2 2 ，當且僅當 2a = 2b 即 a = b = 時取等號.2
故答案為：2 2 .
題型三：常規(guī)湊配法求最值
3-1 x
2 +1 16x2 +1【典例 】函數(shù) f x = 的最大值是（ ）
4x2 +1
7 5 3
A．2 B． C． D．
4 4 4
【答案】C
x2 +1 16x2 +1 x2 +1 16x2 +1 16x4 +17x2 +1
【解析】由題意，函數(shù) f x = = =
4x2 +1 24x2 +1 16x4 + 8x2 +1
1 9x
2 9
= + 4 2 = 1+16x + 8x +1 16x2 1+ 8 +
x2
又由16x2
1 1 1
+ 8 22 ，當且僅當16x = 2 ，即 x = ± 時等號成立，x x 2
1 9 25+ 1 9 5+
所以 16x2 + 8 1+ 16 ，所以 16x2 1x2 + 8 +
4
x2
即函數(shù) f x 5的最大值是 .
4
故選：C.
2 4 18
【典例 3-2】（2024·廣東·模擬預測）已知 a > 0,b > 0，且 ab =1，則 + + 的最小值為 ，此
a b 2a + b
時a = ．
【答案】 12 12 或 1
ab 1 2ab 4ab【解析】因為 = ，所以 + = 4a + 2b = 2 2a + b ，
a b
2 4 18
所以 + + = 2 2a + b 18+ 2 36 =12，當且僅當 2a + b = 3時取到等號，
a b 2a + b 2a + b
2 4 18
故 + + 的最小值為 12，
a b 2a + b
ì2a + b = 3
1
ìa =1 ì a = 1
此時滿足 íab 1 ，解方程得 í 或 í
2
b 1 ，故
a = 或 1.
= = b = 2
2
1
故答案為：12； 2 或 1
【方法技巧】
1、通過添項、拆項、變系數(shù)等方法湊成和為定值或積為定值的形式．
2、注意驗證取得條件．
1
【變式 3-1】若 x > -2 ，則 f x = x + 的最小值為 .
x + 2
【答案】0
x 2 0 1【解析】由 x > -2 ，得 + > ， > 0，
x + 2
1 1 1
所以 f (x) = x + = x + 2 + - 2 2 (x + 2) - 2 = 0 ，
x + 2 x + 2 x +1
當且僅當 x + 2
1
= 即 x=- 1時等號成立.
x + 2
故答案為：0
【變式 3-2】函數(shù) f x = 3x 2 4+ + （ x > 0）的最小值為 ．
x +1
【答案】 4 3 -1 / -1+ 4 3
【解析】因為 x > 0，所以 x +1 >1，
所以 f x = 3x + 2 4+ = 3x 4 4+ 3+ -1 2 3 x +1 -1 = 4 3 -1，
x +1 x +1 x +1
4 2 2
當且僅當3 x +1 = 時，即 x = -1時，等號成立，x +1 3
故 f x 的最小值為 4 3 -1.
故答案為： 4 3 -1
【變式 3-3】（2024·高三·天津河北·期末）已知 t > 0
3t + 3
，則 + t 的最小值為 .
2t +1
【答案】 3 +1 /1+ 3
【解析】因為 t > 0，
3
3t + 3 2t
3
+1 +
所以 + t = 2 2 3 2t +1+ t 1 = + +
2t +1 2t +1 2 2t +1 2
2t +1
1+ 2 3 × =1+ 3
，2 2t +1 2
3 2t +1
= 3 -1當且僅當 2 2t +1 2 ，即 t = 時，等號成立.2
3t + 3
所以 + t 的最小值為
2t 1 3 +1
.
+
故答案為： 3 +1.
題型四：化為單變量法
【典例 4-1】（2024·高三·上海·競賽）若正實數(shù) a,b滿足 ab = 2a + b，則a + 2b的最小值是 .
【答案】9
2a
【解析】解析一: ab - b = a -1 b = 2a b = a >1 ，
a -1
a 2b a 4a a 4 4 4則 + = + = + + = a -1+ + 5 4 + 5 = 9，等號成立時 a = 3,b = 3 .
a -1 a -1 a -1
所以a + 2b的最小值是 9.
解析二: ab - 2a - b = 0 a -1 b - 2 = 2 ，
則 a + 2b = a -1+ 2b - 4 + 5 2 2 a -1 b - 2 + 5 = 9，
ìa -1 = 2b - 4 ìa = 3
等號成立時 í a 2b 9 íb 3 所以
a + 2b的最小值是 9.
+ = =
故答案為：9.
3
【典例 4-2 2024 a > 0,b > 0, ab = 2 a + 4b + 2b】（ ·天津河東·一模）若 ，則 2 的最小值為 ．b +1
【答案】4
【解析】由 a > 0,b > 0, ab
2
= 2 a = ，
b
2 3 2 2
故 a + 4b + 2b
3 + 4b + 2b
b 2 + 4b
2 + 2b4 b +1 2
2 = 2 = = 2 = 2
b +1
b +1 b +1 b b2 +1 b b2 +1 b
2 b 1= +

÷ 2 2 b
1
= 4，當且僅當b =1時等號成立，
è b b
故最小值為 4，
故答案為：4
【方法技巧】
化為單變量法就是對應不等式中的兩元問題，用一個參數(shù)表示另一個參數(shù)，再利用基本不等式進行求
解．解題過程中要注意“一正，二定，三相等”這三個條件缺一不可！
【變式 4-1】（2024·陜西西安·三模）已知 x > 0, y > 0， xy + 2x - y =10 ，則 x + y 的最小值為 ．
【答案】 4 2 -1/ -1+ 4 2
【解析】因為 x > 0， y > 0且 xy + 2x - y =10 ，
x y +10所以 = y ，+ 2
x y y +10 y 8 8所以 + = + = + y + 2 -1 2 × (y + 2) -1 = 4 2 -1，
y + 2 y + 2 y + 2
8
當且僅當 = y + 2y 2 ，即 y = 2 2 - 2， x =1+ 2 2 時，等號成立，+
故 x + y 的最小值為 4 2 -1．
故答案為： 4 2 -1．
【變式 4-2】已知實數(shù) x, y滿足3xy + y2 =1, y > 0，則 2x + y 的最小值是 ．
2 2 2
【答案】 / 2
3 3
2 2
【解析】由3xy y2 1 x
1- y 2 - 2y 2 1
+ = 可得： = ，將其代入 2x + y ，則有： 2x + y = + y = + y ，
3y 3y 3y 3
y > 0 2 1 y 2 2 1 y 2 2因 ，故有： + × = ，
3y 3 3y 3 3
2 1 2 2 2
當且僅當 = y3y 3 時等號成立，即 y = 2, x = - 時，
2x + y 取得最小值 .
6 3
2 2
故答案為： .
3
題型五：雙換元求最值
2 2
【典例 5-1】設 a,b a b為正實數(shù)，且 a + b = 3，則 + 的最小值為 .
a + 2 b +1
3
【答案】
2
【解析】∵ a + b = 3 ,令 a + 2 = m，b +1 = n，
∴ m + n = a + b + 3 = 6，
∴ a = m - 2，b = n -1，
2 2 2 2
∴ a b m - 2 n -1 + = + = m 4 1+ + n + - 6
a + 2 b +1 m n m n
又∵ m + n = a + b + 3 = 6
a2 b2 4 1 1 m n 4 1 1 4n m 5 1 3∴ + = + = + + = + + 4 + 5 = ；
a + 2 b +1 m n 6 ÷è m n 6 è m n ÷ 6 2
4n m a2 b2
當且僅當 = 時，即m = 2n時 + 取得最小值，
m n a + 2 b +1
a2 b2 3∴ + 的最小值為 .
a + 2 b +1 2
3
故答案為：
2
x - 2y
【典例 5-2】（2024·江蘇南京·三模）若實數(shù) x, y滿足 2x2 + xy - y2 =1，則 5x2 - 2xy 的最大值+ 2y2
為 .
2
【答案】
4
【解析】已知條件可化為 (2x - y)(x + y) =1，故可設 2x - y
1 1
= t, x + y = ,u = t - ，從而目標代數(shù)式可化為
t t
u
，利用基本不等式可求其最大值.由 2x2 + xy - y2 =1，得 (2x - y)(x + y) =1
u2
，
+ 2
設 2x y t, x y
1
- = + = ，其中 t 0 .
t
x 1則 = t
1
+ , y 2 1= - t ，從而 x - 2y
1 1
= t - , 5x2 - 2xy + 2y2 = t 2 + ，
3 3t 3t 3 t t 2
1 x - 2y u
記u = t - ，則 =
t 5x2
，
- 2xy + 2y2 u2 + 2
1 1 2
=
不妨設u > 0，則 u 2+ 2 u 2
4 ,
u u
2
當且僅當u = ，即
u u
2
= 2 時取等號，即最大值為 .
4
2
故答案為： .
4
【方法技巧】
若題目中含是求兩個分式的最值問題，對于這類問題最常用的方法就是雙換元，分布運用兩個分式的
分母為兩個參數(shù)，轉(zhuǎn)化為這兩個參數(shù)的不等關(guān)系．
1、代換變量，統(tǒng)一變量再處理．
2、注意驗證取得條件．
12ab
【變式 5-1】若非零實數(shù) a，b 滿足9a2 + 4b2 =16，則 的最大值為 .
3a + 2b - 4
【答案】 4 2 + 4
【解析】令 x = 3a ， y = 2b ，則 x2 + y2 =16，
12ab (x + y)2 - x2 - y2 (x + y)2 -16
所以 = = = x + y + 4 ，
3a + 2b - 4 x + y - 4 x + y - 4
因為 x2 + y2 2xy 2 2，所以 2 x + y x2 + y2 + 2xy = x + y 2 ,
x + y
2
x2 + y2
所以 ÷ = 8，所以 x + y 4 2 ，
è 2 2
從而 x + y + 4 4 2 + 4，當且僅當 x = y = 2 2 時，等號成立，
12ab
故 取得最大值 .
3a + 2b - 4 4 2 + 4
故答案為： 4 2 + 4 .
2y 4y
【變式 5-2】（2024·全國·模擬預測）已知 x + y =1(x > y > 0)，則 -x y x 3y 的取值范圍是 - + ．
é
【答案】 ê 2
3
- ,+
2 ÷
【解析】設m = x - y ， n = x + 3y，得到 x
3m + n n - m
= ， y = ，
4 4
2y 4y n - m n - m n m 3
于是 - = - = + - 2
3
-
x - y x + 3y 2m n 2m n ÷ ，è 2 2
n m
當且僅當 = ，即 2m = n時，等號成立，即 2x - 2y = x + 3y ，
2m n
x + y = 1 x 3 + 2 y 2 -1又因為 ，解得 = ， = ，滿足 x > y > 0 ．
2 + 2 2 2 + 2 2
Q x + y =1(x > y > 0) ，
1 x 1\ > > > y > 0，
2
2y 4y 1 2y 2 4y 3 x + y 2x + 2y 3 1 2 1 2\ - = + + - - = + - = + - 3 = + - 3
x - y x + 3y è x - y
÷ ÷
è x + 3y x - y x + 3y x - y x + 3y 2x -1 3 - 2x
令 f (x)
1 2 1= + < x <1
2x -1 3 - 2x 2 ÷，è
2
則 f (x)
4 2 8x + 8x -14
= - = ，
(3 - 2x)2 (2x -1)2 (3 - 2x)2 (2x -1)2
f (x) > 0 2 2 -1令 ，得 < x <1，此時函數(shù) f (x) 單調(diào)遞增；
2
令 f (x) < 0 1 2 2 -1，得 < x < ，此時函數(shù) f (x) 單調(diào)遞減，
2 2

f (x) f 2 2 -1
3+ 2 2
\ min = ÷÷ = ，
è 2 2
又當 x 1時， f (x) 3，當 x
1
時， f (x) + ，
2
3 + 2 2 2y 4y 3 + 2 2 3 2 2 - 3\ f (x) ，\ - - = ．
2 x - y x + 3y 2 2
é 2 3- ,+ 故答案為： ê ÷ . 2
題型六：“1”的代換求最值
1 2 1
【典例 6-1】已知 x > 0， y > 0，且 x + 2y = ，則 +x y 的最小值為 ．2
【答案】16
2 1 2 2 1 8y 2x 8y 2x【解析】 + =
x y
+ ÷ x + 2y = 8 + + 8 + 2 × =16,
è x y x y x y
8y 2x 1 2 1
當且僅當 = 時等號成立.即當 x = , y
1
=
x y 時，
+ 取得最小值為 16.
4 8 x y
故答案為：16.
1 2 1
【典例 6-2】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知實數(shù) a > 0,b > 2，且 + = ，則 2a +b的最小
a +1 b - 2 3
值是 ．
【答案】24
【解析】因為 a > 0,b > 2
1 2 1
，且 + = ，
a +1 b - 2 3
3 6
所以 + =1，
a +1 b - 2
é 3 6 ù 3 b - 2 12 a +1所以 2a + b = é2 a +1 + b - 2 ù ê + ú = 6 + 6

+ +
a +1 b - 2 a +1 b - 2
3 b - 2 12 a +1
12 2 + × = 24，
a +1 b - 2
3 b - 2 12 a +1
當且僅當 = ，即b - 2 = 2(a +1)， a = 5,b =14時等號成立，
a +1 b - 2
故答案為： 24
【方法技巧】
1 的代換就是指湊出 1，使不等式通過變形出來后達到運用基本不等式的條件，即積為定值，湊的過
程中要特別注意等價變形．
1、根據(jù)條件，湊出“1”，利用乘“1”法．
2、注意驗證取得條件．
2 1
【變式 6-1】（2024·全國·模擬預測）已知 x >1， y > 0，且 x + = 2y ，則 + y 的最小值是 ．x -1
【答案】3+ 2 2 / 2 2 + 3．
2
【解析】由 x + = 2
2
y ，得
x -1+ =1
y ，
因為 x >1， y > 0，
所以 x -1 > 0, y > 0，
1 y x 1 2 1 2所以 + = - + ÷ + y ÷ = 3 + (x -1)y + 3+ 2 (x -1)y
2
× = 3+ 2 2 ，
x -1 è y è x -1 (x -1)y (x -1)y
當且僅當 (x -1)y
2
=
(x 1)y ，即 x = 2 ， y = 2 + 2 時，等號成立，-
1
所以 + y 的最小值是3+ 2 2 ．x -1
故答案為：3+ 2 2 ．
【變式 6-2】（2024·河南·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，若 a + b + c = 2，則
4 1
+ 的最小值為 ．
a + b c
9
【答案】
2
【解析】因為 a + b + c = 2，
4 1 1 4 1
所以 + = × +

÷ é a + b + cùa + b c 2 è a + b c
1 4c a + b 1 4c a + b 9
= × 5 + +
× 5 + 2 × = ，
2 è a + b c ÷

2 è a + b c
÷÷
2
4c a + b 4 1
當且僅當 = ，即 a + b = 2c 9時等號成立，故 + 的最小值為 ．
a + b c a + b c 2
9
故答案為： .
2
1 2
【變式 6-3】（2024·陜西咸陽·一模）已知 a > 0,b > 0，且 + =1，則 a + b 的最小值為 ．
a +1 b +1
【答案】 2 2 +1/1+ 2 2
1 2
【解析】由 a > 0,b > 0， + =1，
a +1 b +1
得 a + b = (a +1) + (b +1) 2 (
1 2
- = + )[(a +1) + (b +1)]- 2
a +1 b +1
b +1 2(a +1) 1 b +1 2(a +1)= + + 2 × +1 = 2 2 +1，
a +1 b +1 a +1 b +1
b +1 2(a +1)
當且僅當 = ，即b +1 = 2(a +1) = 2( 2 +1)時取等號，
a +1 b +1
所以當 a = 2,b = 2 +1時， a + b 取得最小值 2 2 +1.
故答案為： 2 2 +1
題型七：齊次化求最值
2xy xy
【典例 7-1】已知 x > 0， y > 0， S = 4x2 2
+ ，則（
+ y x2 + y2 ）
9
A．S 2 2的最大值是 B．S 的最大值是
10 3
3
C S D S 9 2． 的最大值是 ． 的最大值是
2 4
【答案】B
【解析】∵
2x y
2xy x2 + y2 + xy 4x2 + y2 3 3 3 + ÷ 3
2x y
+
S 2xy xy 6x y + 3xy è
y x è y x
÷
= 2 2 + = = = =

4x + y x2 + y2 4x2 + y2 x2 + y2 4x4 + 5x2 y2 + y4 2 2 2 ， 2x y 5 2x y y ÷ + x ÷ + +è y x ÷ +1è è
令 t
2x y
= +
y x ，
2x y 2x y 2x y
∵ x > 0， y > 0，則 t = + 2 = 2 2 ，當且僅當 =
y x y x y x
，即 y = 2x 時等號成立，
3 2x y +y x ÷ 3t 3
故 t é 2 2, + è ，可得 S = 2 = t 2 = 2x y +1 1 ，
+ +1 t + y x ֏ t
又∵ f t = t 1+ 在 é 2 2, + 上單調(diào)遞增，則 f t f 2 2 2 2 1 9 2= + = ，t 2 2 4
S 3 3 2 2∴ = = 2 2t 1+ 9 2 3 ，即 S 的最大值是 .
t 34
故選：B.
2
【典例 7-2】已知正實數(shù) a,b,c滿足b + c =1 8ab + a 18，則 + 的最小值為 .
bc a +1
【答案】16
【解析】任意的正實數(shù) a，b ， c，滿足b + c =1，
8ab2 + a 18 8b2 +1 18 8b2 + (b + c)2 18
所以 + = a × + = a × +
bc a +1 bc a +1 bc a +1
9b2 + 2bc + c2a 18 a (9b c 2) 18= × + = × + + + ，
bc a +1 c b a +1
由于b ， c為正實數(shù)，
9b c 9b c
故由基本不等式得 + 2 × = 6，
c b c b
9b c 1
當且僅當 = ，即b = c 3， = 4 時，等號成立，c b 4
a (9b c 2) 18所以 × + + + c b a +1
8a 18 8(a 1) 18 + = + + -8
a +1 a +1
2 8(a +1) 18× -8 =16，
a +1
1
當且僅當8(a
18
+1) =
a 1 ，即
a = 時，等號成立，
+ 2
8ab2 + a 18
綜上， + 的最小值為 16．
bc a +1
故答案為：16．
【方法技巧】
齊次化就是含有多元的問題，通過分子、分母同時除以得到一個整體，然后轉(zhuǎn)化為運用基本不等式進
行求解．
【變式 7-1】（四川省成都市第七中學 2024 屆高三三診模擬考試文科數(shù)學試卷）設a > b > 0，若
3
a2 a + b
3
+ lb2 ，則實數(shù)l 的最大值為（ ）
a - b
A． 2 + 2 2 B．4 C． 2 + 2 D．2 2
【答案】A
a3 + b3 a2 1 (a- + )23
a b 0 a2 lb2 a + b
3 b2 + a2
【解析】因為 > > ，若 + ，可得l a - b = = b ，
a - b b2 ab - b2 a -1
b
t a設 = >1，只需要l 小于等于右邊的最小值即可，
b
1+ (a )2
b 1+ t
2
則 a = ，
-1 t -1
b
令 s = t -1 > 0，可得 t = s +1，
1+ s +1 2 s 2 2所以 = + + 2 2 s 2× + 2 = 2 2 + 2 ，當且僅當 s = ，即s s = 2 時取等號，s s s
所以l 2 + 2 2 ，
即l 的最大值為 2 + 2 2 ．
故選：A．
2
【變式 7-2】已知 x > 0， y > 0
1- x
， x3 + y3 = x - y，則
y2
的最小值是（ ）
A．2 B． 2 + 3 C． 5 + 2 D． 2 2 + 2
【答案】D
x3 + y3
【解析】Q x > 0， y > 0，\ x3 + y3 = x - y > 0，即有 =1且 x > y ，
x - y
2
x3 + y3 2 x
x3 + y3 1- x2 2 - x 2 2 ÷ +1y
將 =1代入 得1- x x - y x + y
x - y y2 2 = 2 = =
è ，
y y xy - y2 x -1
y
t x
2
令 = > 1y ， f t
t +1
= ， t >1 ，
t -1
2 2
\ f t t +1 (t -1) + 2 2 2= = = t +1+ = (t -1) + + 2，
t -1 t -1 t -1 t -1
2
Q t >1，\(t -1) + + 2 2 2 + 2
t -1
當且僅當 t 1
2
- = ，即 t = 2 +1時等號成立，t -1
2
t +1 t >1 1- x
2
所以 f t = 的最小值 2 2 + 2 ，即 的最小值是y2 2 2 + 2
.
t -1
故選：D.
題型八：利用基本不等式證明不等式
【典例 8-1】（2024 a b·全國·模擬預測）已知正實數(shù) a,b滿足 + = 2．求證：
b a
(1) a3 + b3 a + b ；
1 1
2

(2) 2a + 2b a 4 + b4 ÷ ．
è
a b 1
【解析】（1）由 a > 0,b > 0 a b，且 + = 2可得 2 = + 2 ，
b a b a ab
故 ab 1，當且僅當 a = b =1時等號成立．
\a3 + b3 - a + b = a + b a2 - ab + b2 -1 a + b × ab -1 0 ，
\a3 + b3 a + b，當且僅當 a = b =1時等號成立．

2a 2b a b a b

（2） + = + + ÷÷ = a + b
a a b b
+ +
è b a b a
2
a b 2 a a b b
1 1 1 1 1
+ + × = a 2 + b2 + 2 ab 4 =
b a
a 4 + b4 ÷ ，
è
1 1
2

當且僅當 a = b =1時等號成立．故 2a + 2b a 4 + b4 ÷ ．
è
【典例 8-2】（2024·陜西西安·二模）已知函數(shù) f (x) =| 2x - 2 | + | x +1|的最小值是m .
(1)求m 的值；
(2)若 a > 0，b > 0，且 a + b = m，證明： a +1 + b +1 2 2 .
【解析】（1）當 x -1時， f x = - 2x - 2 - x +1 = -3x +1，
此時 f x = f -1 = 4min ；
當-1 < x <1時， f x = - 2x - 2 + x +1 = -x + 3，
此時 f x > f 1 = 2；
當 x 1時， f x = 2x - 2 + x +1 = 3x -1，
此時 f x = f 1min = 2 ；
綜上所述，函數(shù) f (x) =| 2x - 2 | + | x +1|的最小值是 2，即m = 2 .
（2）要證 a +1 + b +1 2 2 ，
即證 2 2a +1 + b +1 2 2 ，
即證 a + b + 2 + 2 a +1 × b +1 8，
因為 a > 0，b > 0，且 a + b = m = 2，
故只需證 a +1 × b +1 = a +1 × b +1 2，
由基本不等式可知， a +1 × b +1 a +1 + b +1 = 2，
2
當且僅當 a = b =1時，等號成立，
故命題得證.
【方法技巧】
類似于基本不等式的結(jié)構(gòu)的不等式的證明可以利用基本不等式去組合、分解、運算獲得證明．
【變式 8-1】（2024·高三·陜西西安·期中）已知 a > 0,b > 0，且 a3 + b3 =16 .
(1)求 ab - 2 ab 的最大值與最小值；
1 4
(2)證明： 2 + 2 >1 .a b
【解析】（1）因 a > 0,b > 0，由均值不等式，
3
a3 + b3 =16 2 a3b3 = 2 ab 0 < ab 2 .
2 2則 ab - 2 ab = ab - 2 ab = ab -1 -1，
注意到函數(shù) f x = x2 - 2x = x -1 2 -1在 0,1 上單調(diào)遞減，在 1,2 上單調(diào)遞增.
得 f x = f 1 = -1, f x = f 2 = 0min max .
即 ab =1 ab =1時， ab - 2 ab 有最小值 -1；
ab = 2 a = b = 2時， ab - 2 ab 有最大值 0 ；
2 1 4 1 4 4
1 4
（ ）由均值不等式， + 2 × = ，當且僅當
a2 b2 a2 b2 ab a2
= 2 2a = b時取等號.b
又由（1），0 < ab 2 0
4
< ab 4 1，當且僅當 a = b時取等號.
ab
1 4
注意到前后取等條件不一致，則 + >1 .
a2 b2
【變式 8-2】（2024·河南·模擬預測）已 a,b,c均為正數(shù)，且 a + b + c = 4，證明：
b2 2(1) a2 c 8+ + ；
4 9 7
1 1 1 9
(2) + + ．
a + c a + b b + c 8
22 b c2
【解析】（1）證明：由柯西不等式可得 a + + ÷ 12 + 22 + 32 (a + b + c)2 =16 ，
è 4 9
a b c 2當且僅當 = = = 時取等號．
4 9 7
b2a2 c
2 16 8
即 + + = ，則原式成立；
4 9 14 7
1 1 1 1
（2）證明： + + = (a + c + a + b b c)
1 1 1+ + + +

a + c a + b b + c 8 è a + c a + b b + c ÷
3 1 b + c a + b b + c c + a a + b a + c= + + + + + +
8 8 è a + b b + c c + a b + c c + a a + b ÷
3 1 2 b + c a + b 2 b + c c + a 2 a + b c + a
9
+
8 8
× + × + × = ．
è a + b b + c c a b
÷
+ + c c + a a + b ÷ 8
4
當且僅當 a = b = c = 時取等號.
3
【變式 8-3】（1）設 a,b,c R,且 a + b + c = 0, abc =1．證明： ab + bc + ca < 0；
1 1 1
（2 2 2）已知 a,b,c為正數(shù)，且滿足 abc =1．證明： + + a + b + c2
a b c
1 a + b + c 2【解析】（ ）因為 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = 0，
1
所以 ab + bc + ac = -
2 a
2 + b2 + c2 ，
因為 abc =1，所以 a，b ， c都不為 0 ，則 a2 + b2 + c2 > 0，
所以 ab + bc + ac
1
= - a2 + b2 + c2 < 0 .2
（2）因為 a，b，c 為正數(shù)， a2 + b2 2ab.a2 + c2 2ac,b2 + c2 2bc，
所以 a2 + b2 + a2 + c2 + b2 + c2 2ab + 2ac + 2bc ，
所以 a2 + b2 + c2 ab + ac + bc，
因為 abc 1 2 2 2
ab + ac + bc 1 1 1
= ，所以 a + b + c = + + ，當且僅當a = b = c時取等號，
abc a b c
1 1 1
即 + + a2 + b2 + c2
a b c
題型九：利用基本不等式解決實際問題
x + y
【典例 9-1】（2024·廣東湛江·二模）當 x > 0， y > 0時， xy .這個基本不等式可以推廣為當 x，
2
y > 0時，lx + m y xl ym ，其中l(wèi) + m =1且l > 0，m > 0 .考慮取等號的條件，進而可得當 x y 時，
1 1
lx + m y xl ym
19
.用這個式子估計 10 可以這樣操作：102 92
1 1 19
10 + 9 = ，則 10 3.167 .用這
2 2 2 6
樣的方法，可得 3 28 的近似值為（ ）
A．3.033 B．3.035 C．3.037 D．3.039
【答案】C
1 2
283 273 1 2
82
【解析】依題意， 28 + 27 82= ，則 3 28 3.037 .
3 3 3 27
故選：C
【典例 9-2】（2024·云南楚雄·模擬預測）足球是一項深受人們喜愛的體育運動.如圖，現(xiàn)有一個 11 人制
的標準足球場，其底線寬 AB = 68m，球門寬 EF = 7.32m，且球門位于底線 AB 的中間，在某次比賽過程中，
攻方球員帶球在邊界線 AC 上的M 點處起腳射門，當 EMF 最大時，點M 離底線 AB 的距離約為（ ）
A． 26.32m B． 28.15m C．33.80m D．37.66m
【答案】C
【解析】設 AMF = b , AME = a ， AM = x > 0，所以 EMF = b -a ；
記 AB = a = 68m, EF = b = 7.32m可得 tan b
a + b , tana a - b= = ；
2x 2x
a + b a - b b
tan b a tan b - tana
- 4b
- = = 2x 2x x
1+ tan b tana a + b a b
=
- a2 - b2
= 2 2 ，
1+ ×
2x 2x 1+ 4x
a - b
+
4x2 x
tan b -a 4b=
當 EMF 取最大時， 2 24x a - b 取最大即可，+
x
2 2 2 2 b
易知 4x a - b 2 4x a - b+ × = 4 a2 - b2 ，此時 tan b -a = 2 2 取到最大值，x x a - b
a2 2 2 2
當且僅當 4x - b= a - b時，即 x = 時，等號成立，
x 2
2
a = 68m,b = 7.32m x a - b
2
將 代入可得 = 33.80m .
2
故選：C
【方法技巧】
1、理解題意，設出變量，建立函數(shù)模型，把實際問題抽象為函數(shù)的最值問題．
2、注意定義域，驗證取得條件．
3、注意實際問題隱藏的條件，比如整數(shù)，單位換算等．
【變式 9-1】（2024·湖南·一模）某農(nóng)機合作社于今年初用 98 萬元購進一臺大型聯(lián)合收割機，并立即投
入生產(chǎn).預計該機第一年（今年）的維修保養(yǎng)費是 12 萬元，從第二年起，該機每年的維修保養(yǎng)費均比上一
年增加 4 萬元.若當該機的年平均耗費最小時將這臺收割機報廢，則這臺收割機的使用年限是（ ）
A．6 年 B．7 年 C．8 年 D．9 年
【答案】B
【解析】設第 n年的維修保養(yǎng)費為 an 萬元，數(shù)列 an 的前 n項和為 Sn ，該機的年平均耗費為 p ，
據(jù)題意，數(shù)列 an 是首項為 12，公差為 4 的等差數(shù)列.
p Sn + 98 1
é n n -1 ù
則 = = ê12n
98
+ 4 + 98ú = 2n + +10 2 2n
98
× +10 = 38 .
n n 2 n n
當且僅當 2n
98
= ，即 n = 7時， p 取最小值 38.
n
所以這臺冰激凌機的使用年限是 7 年.
故選: B .
【變式 9-2】（2024·黑龍江哈爾濱·一模）已知某商品近期價格起伏較大，假設第一周和第二周的該商品
的單價分別為 m 元和 n 元 (m n)，甲、乙兩人購買該商品的方式不同，甲每周購買 100 元的該商品，乙每
周購買 20 件該商品，若甲、乙兩次購買平均單價分別為 a1,a2，則（ ）
A． a1 = a2 B． a1 < a2 C． a1 > a2 D． a1,a2的大小無法確定
【答案】B
a 200 2mn
【解析】由題意得 1
= 100 100 = m + n ， a
20(m + n) m + n
2 = =+ ，
m n 40 2
2mn 2mn
因為m > 0, n > 0, m n
m + n
，故 > mn ， < = mnm n ，2 + 2 mn
即 a1 < a2 ，
故選：B
【變式 9-3】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）小明在春節(jié)期間，預約了正月初五上午去美術(shù)館欣賞油畫，
其中有一幅畫吸引了眾多游客駐足觀賞，為保證觀賞時可以有最大視角，警衛(wèi)處的同志需要將警戒線控制
在距墻多遠處最合適呢？（單位：米，精確到小數(shù)點后兩位）已知該畫掛在墻上，其上沿在觀賞者眼睛平
視的上方 3 米處，其下沿在觀賞者眼睛平視的上方 1 米處.（ ）
A．1.73 B．1.41 C．2.24 D．2.45
【答案】A
【解析】
如圖，設觀賞者的眼睛在點 D處，油畫的上沿在點A 處，下沿在點 B 處，
點C在線段 AB 延長線上，且保持與點 D在同一水平線上，
則 ADB = q 即觀賞時的視角.
依題意 AB = 2, BC = 1, AC ^ DC ，
不妨設DC = x ，則BD = x2 +1, AD = x2 + 9 ，
cosq 2x
2 + 6 4 2
在△ABD x + 6x + 9中，由余弦定理， = =
2 x2 +1 × x2 + 9 x4 +10x2 + 9
2 4
= 1 4x = 1-- 9 ，
x4 +10x2 + 9 x2 + x2
+10
9
因 x > 0 x2，則 + 2 2 9 = 6，當且僅當 x4 = 9時，即 x = 3 時等號成立，x
2 9 9
由 x + 6 x22 可得 + 2 +10 16，x x
0 4 1< 9 cosq
4 3
= 1-
則 x2 + +10 4 ，則 2 9 2 ，
x2 x + 2 +10x
因函數(shù) y = cos x (0,
π) π在 上單調(diào)遞減，故得0 q ，
2 6
π
即最大視角為 ，此時觀賞者距離油畫的直線距離為 3 1.73 .6
故選：A.
題型十：與 a+b、平方和、 ab 有關(guān)問題的最值
【典例 10-1】（多選題）（2024·湖南·模擬預測）已知 a > 0,b > 0,a + b = ab，則（ ）
A． a + b 4 B． ab 4
1 2 2
C． a + 4b 9 D． +
a2 b2 3
【答案】BD
2
【解析】解析：對于 A 和 B a b a + b，因為 + = ab ÷ ，所以 a + b 4，當且僅當a = b = 2時，等號成立，
è 2
a + b = ab 2 ab ，則 ab 4，當且僅當a = b = 2時，等號成立，故 A 錯誤，B 正確；
1 1
對于 C，若 a + b = ab ，則 + =1，
a b
所以 a + 4b = a 4b 1 1 5 a 4b a 4b+ + ÷ = + + 5 + 2 × = 9，
è a b b a b a
a 4b 3
當且僅當 = ，即b = , a = 3b a 時，等號成立，故 C 錯誤；2
1 1
對于 D，若 a + b = ab ，則 + =1，
a b
1 2 2 1 1 2 3 2 1 1
2
2
所以 + = - + =
a2 b2 è b ÷ b2 b2
- +1 = 3
b
-
b 3 ÷
+ ，
è 3
a > 0,b > 0 1 1 1 0 1 1 1由 及 + = ，可知 < <1，則當 = ，
a b b b 3
3
即 a = ,b 3
1 2
= + 2時， 2 2 取得最小值 3 ，故 D 正確．2 a b
故選：BD．
3
【典例 10-2】（多選題）（2024·高三·海南·期末）已知 a > 0,b > 0，且a + b - ab = ，則（ ）4
A． a + b 3 B．0 < ab
1
或 ab
9

4 4
1 1 1 4 1 1
C． (a -1)2 + (b -1)2 D．1 < + 或 + 4
2 a b 3 a b
【答案】BD
2
【解析】對于 A，Qa > 0,b > 0,\ab a + b ÷ ，
è 2
a + b - ab 3= 3 a b ab a b a + b
2
因為 ，\ = + - + -
4 4 ÷
，
è 2
令 t = a + b，得 t 2 - 4t + 3 0 ，解得 t 1或 t 3，即0 < a + b 1或 a + b 3，
1 3
當且僅當 a = b = 或 a = b = 時，等號成立，故 A 錯誤；
2 2
對于 B，Qa + b 2 ab ,
3 2 ab 1 9\ - ab，解得0 < ab 或 ab ，
4 4 4
1
當且僅當 a = b = 或 a
3
= b = 時，等號成立，故 B 正確；
2 2
3 1
對于 C，Qa + b - ab = ,\(b -1)(a -1) = ，
4 4
所以 (a -1)2 + (b -1)2 2(b -1)(a
1 1
-1) = 2 = ，
4 2
1 3
當且僅當 a = b = 或 a = b = 時，等號成立，故 C 錯誤；
2 2
1 1 1 a + b - ab 3對于 D， + - = = ，
a b ab 4ab
1 9 3 3 1
由選項 B 知，0 < ab 或 ab ，所以 3或0 < ，
4 4 4ab 4ab 3
1 1 4 1 1 1 4則 + 或 < + ，故 D 正確.
a b a b 3
故選：BD.
【方法技巧】
利用基本不等式變形求解
【變式 10-1】（多選題）若 a > 0，b > 0， a + b = 8，則下列不等式恒成立的是（ ）
A． ab 4 B． a + b 4
2 2 1 4 9C． a + b 32 D． +
a b 8
【答案】ACD
a + b
【解析】對于 A， a > 0，b > 0， a + b = 8，則 ab = 4，
2
ìa = b
當且僅當 í ，即 a = b = 4a b 8 時取等號，A 正確； + =
對于 B， a > 0，b > 0， 2a + b = a + b + 2 ab = 8 + 2 ab 8 + 2 4 =16，
又 a + b > 0，則 a + b 4，當且僅當 a = b = 4時取等號，B 錯誤；
2
對于 C 2， a > 0，b > 0，則 a2 + b2 = a + b - 2ab = 64 2ab 64 2 a + b- - = 32 ，
è 2 ÷
當且僅當 a = b = 4時取等號，C 正確；
1 4 1 (1 4)(a b) 1 (5 b 4a對于 D， a > 0，b > 0， a + b = 8，則 + = + + = + + )
a b 8 a b 8 a b
ìb 4a
1 b 4a 9 = a 8 16 (5 + 2 × ) = ，當且僅當 ía b ，即 = ,b = 時取等號，D 正確，
8 a b 8
a + b = 8
3 3
故選：ACD
【變式 10-2】（多選題）已知正數(shù) x, y滿足 x2 + xy + y2 = 9，則（ ）
A． xy 2 B． x2 + y2 6
C． x + y 2 3 D． x + y 6
【答案】BC
【解析】對于 A：因為9 - xy = x2 + y2 2xy，所以 xy 3，當且僅當 x = y = 3 時取等號，所以 xy 2不恒
成立，故錯誤；
對于 B：因為 xy = 9 - x2 + y2 且 x2 + y2 2xy，所以9 - x2 + y2 1 x2 + y22 ，
所以 x2 + y2 6，當且僅當 x = y = 3 時取等號，故正確；
2
對于 C：因為 x2 + 2xy + y2 = 9 + xy，所以 x + y 2 - 9 = xy x + y ，
è 2 ÷
3 x + y 2所以 9 ，所以 x + y 2 3 ，當且僅當 x = y = 3 時取等號，故正確；
4
對于 D：由 C 可知錯誤；
故選：BC.
題型十一：三角換元法
【典例 11-1】（多選題）若 x，y 滿足 x2 + y2 + xy =1，則（ ）.
A x y 2 3． + B． x + y -1
3
3 2
C 2 2 2 2． x + y D． x + y
2 3
【答案】AD
2 2
ab a + b a + b
2
【解析】因為 2 2 ÷ （ a,b R），由 x + y + xy =1可變形為，
è 2 2
x y 2 1 xy x + y
2
+ - = 2 3 2 3 3 2 3 ÷ ，解得- x + y ，當且僅當 x = y = - 時， x + y = - ，
è 2 3 3 3 3
當且僅當 x y 3 x y 2 3= = 時， + = ，故 A 正確，B 錯誤；
3 3
2 2
由 x2 + y2 + xy =1可變形為 x2 + y2 1 x + y 2- = -xy - 2 2，解得 x + y ，2 3
當且僅當 x = y 3= ± 時取等號，故 D 正確；
3
y 2
因為 x2 + y2 + xy =1 3變形可得 x +
2
2 ÷
+ y =1，
è 4
x y設 + = cosq , 3 y = sinq ，所以 x = cosq
1
- sinq , y 2= sinq ，
2 2 3 3
x2 y2 cos2 q 5因此 + = + sin2 q
2
- sinq cosq =1 1- sin 2q 1- cos 2q 1+
3 3 3 3 3
4 2 sin 2q π 2= - +
é ù
÷ ê , 2ú，所以當 2q
π π q = π+ = - -
3 3 6 時，即 時，è 3 6 2 3
此時 x = 1, y = -1 2 2， x +y 取到最大值 2，故 C 錯誤.
故選：AD.
【典例 11-2】已知非負實數(shù) x ， y 滿足 2x2 + 4xy + 2y2 + x2 y2 = 9，則 2 2(x + y) + xy 的最大值為 .
【答案】 4 2 +1
3
【解析】由 2x2 + 4xy + 2y2 + x2 y2 = 9，得 2(x + y)2 + (xy)2 = 9，用換元法，令 x + y = sinq ， xy = 3cosq ，
2
3
將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值，即可求得答案.由題意得： 2(x + y)2 + (xy)2 = 9，令 x + y = sinq ，
2
xy = 3cosq ，
又 x ， y 為非負實數(shù)，\sinq 0, cosq 0
Q (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy 4xy ，
3
2
sin2 q 8\ sinq ÷ 12cosq ，\ cosq ，即1- cos
2 q 8 cosq ，
è 2 3 3
解得0 cosq
1
2 2，
3 \ sinq 1
.
3
故 2 2(x + y) + xy = 2 2m + n = 6sinq + 3cosq = 3 5 sin(q +j)（其中 sinj 5= ），
5
Q cosq 1= p 1 5，即 sin( -q ) = > ，
3 2 3 5
p
\ -q p> j ，即q +j <
2 2
又 y = sin x 在 (0,
p ) 1上單調(diào)遞增，∴當 cosq = 時，q +j 取得最大值，
2 3
2 2
故當 sinq = ， cosq
1
= 時， 2 2(x + y) + xy 取得最大值，最大值為
3 4 2 +1
.
3
故答案為： 4 2 +1
【變式 11-1】已知實數(shù) x, y滿足 x2 - 2xy + 2y2 =1，則 x2 - 2y 的最大值為 .
3 3
【答案】1+
2
【解析】由條件知 x - y 2 + y2 =1令 x - y = cosa , y = sina ，
則 x2 - 2y = (sina + cosa )2 - 2sina =1+ sin 2a - 2sina ，
令 f (x) =1+ sin 2x - 2sin x，
則 f (x) = 2cos 2x - 2cos x = 4cos2 x - 2cos x - 2 = 2(2cos x +1)(cos x -1) ，
當 cos x
1 f (x) 0 cos x 1 - 時， ，當 - 時， f (x) 0時， f (x) 0，
2 2
2π 2π
故當- + 2kπ x + 2kπ時， f (x) 單調(diào)遞減，
3 3
2π 2kπ x 4π當 + + 2kπ時， f (x) 單調(diào)遞增，
3 3
4π
當 x = 時， f (x) 3 3取得最大值
3 1+
，
2
3 3
故答案為：1+
2
【方法技巧】
出現(xiàn)平方和結(jié)構(gòu)（ma2 + nb2 ）形式，引入三角函數(shù)表示a和 b .
【變式 11-2】已知 x, y R+ ，滿足 2x + y =1，則 x + x2 + y2 的最小值為（ ）
4 2
A B C 1 D 1+ 2． ． ． ．
5 5 3
【答案】A
【解析】采用三角代換的方式化簡原式，然后利用換元法以及二次函數(shù)的值域求解最值，注意等號成立的
條件.令 x = r cosq ， y = r sinq ， r > 0，q 0,
p ù
è 2 ú
，
因為 2x + y =1，所以 2r cosq + r sinq =1，可得 r
1
= ，
2cosq + sinq
2 2
所以 x + x + y = r cosq r
cosq 1 1+ cosq
+ = + =
2cosq + sinq 2cosq + sinq 2cosq + sinq
1 q- tan2
2 +1
1 q+ tan2
2 1 1 tan q= = = 0,1 q 2 ÷1- tan2 2 tan q - tan2 q tan q+ +1 è 2
2 2 2 2 - tan
q 1 5- ÷ +2 q + è
2 2 4
1+ tan2 1+ tan2 q
2 2
x + x2 + y2 1 4= =所以 min 5-02 + 5 ，
4
2 q q
tan q 1
1- tan 2 tan
當且僅當 = ， cosq 2
3
= q = ， sinq =
2 4= ，
2 2 1+ tan2 5 1+ tan2 q 5
2 2
r 1 1= = 時取等號，
2cosq + sinq 2
ìx 3 = 10 2 2 4即當且僅當 í 2 時， x + x + y 的最小值為 ， y = 5
5
故選：A
【變式 11-3】（2024 屆廣東省惠州市大亞灣區(qū)普通高中畢業(yè)年級聯(lián)合模擬考試（一）數(shù)學試卷）已知
P 3x + yx, y 為函數(shù) y = x2 3+ 圖象上一動點，則
4 x2 + y2
的最大值為 ．
【答案】 3
uuur uuur【解析】設Q 3,1 ，原點O，則OQ = 3,1 ，OP = x, y ；
uuur uuur
cos POQ uOuuPr ×OuuQur 3x + y = = 3x + y所以 OP OQ 2 2 ，即
= 2cos POQ
× 2 x + y x2
，
+ y2
3x + y
如圖所示，所以當直線 y = kx 與函數(shù) y = x2
3
+ 在 y 軸右側(cè)相切時， cos POQ取到最大值，即 取
4 x2 + y2
得最大值；
聯(lián)立直線 y = kx 2
3 2 3
與函數(shù) y = x + 可得 x - kx + = 0，
4 4
2 3
所以V= k - 4 = 0 ，解得
4 k = 3
（ k = - 3舍去）；
3 3 33x + y +
此時 x 3= , y 3= 2 2，所以 = = 32 2 ，2 2 x + y 3 9+
4 4
3x + y
即 的最大值為 3 .
x2 + y2
故答案為： 3
【變式 11-4】（2024·高三·重慶·開學考試）已知實數(shù) a,b滿足 a2 - ab + b2 =1，則ab的最大值為 ；
1 1
2 + 的取值范圍為 ．a(chǎn) +1 b2 +1
é 4 2 + 5ù
【答案】 1 ê1, ú
7
【解析】由題意 a2 - ab + b2 =1 2ab - ab = ab，等號成立當且僅當 a = b = ±1，即ab的最大值為 1；
1 1 a2 +1+ b2 +1 ab + 3 ab + 3
由題意 + = = =a2 +1 b2 +1 a2 +1 b2 +1 ab 2 ，+ a2 + b2 +1 ab 2 + ab + 2
2
a2 ab b2 b 3因為 - + = a - + b2 ÷ =1
1
，所以設 a - b = cosq , 3 b = sinq ，
è 2 4 2 2
a cosq 3 2 3所以 = + sinq ,b = sinq ，
3 3
ab 2 3所以 = sinq cosq 2+ sin2 q 3 1 1 2 π 1 1= sin 2q - cos 2q + = sin 2q - ÷ +
é- ,1ù ，
3 3 3 3 3 3 è 6 3 ê 3 ú
2 2 ab + ab + 2 é ab + 3 - 3ù + é ab + 3 - 3ù + 2所以 = = ab 8+ 3 + - 5，
ab + 3 ab + 3 ab + 3
u = ab 8+ 3 é , 4ù令 ê ú ， f u
8
= u + - 5，所以 f u = f 2 2 = 4 2 - 5
3 u min
，
f 8 2又 ÷ = < f 4 =1，
è 3 3
ab 2 + ab + 2
所以 = ab + 3 8 8+ - 5 = f u = u + - 5 é 4 2 - 5,1ù ，ab + 3 ab + 3 u
1 1 ab + 3 é ù
所以 2 + 2 = 2 ê1,
4 2 + 5
a +1 b 1 .+ ab ú+ ab + 2 7
é
1, 4 2 + 5
ù
故答案為：1； ê 7 ú
.

題型十二：多次運用基本不等式
【典例 12-1】（2024·全國·模擬預測）已知 a > 0，b > 0，且 ab = 32 ，則 4a2 + b + 2a ×b的最小值為 ．
【答案】64
【解析】法一：因為 a > 0，b > 0，所以 4a2 + b 2 4a2b = 4a b ，
當且僅當 2a = b ，即 a = 2，b =16時，等號成立，
3 3 3 1 3
所以 4a b + 2a ×b 2 4 2a 2 ×b2 = 2 4 2 322 = 2 322 322 = 2 322 = 64，
當且僅當 4a b = 2a ×b ，即 a = 2，b =16時，等號成立．
所以 4a2 + b + 2a ×b的最小值為 64．
法二：因為 a > 0，b > 0， ab = 32 ，
所以 4a2 + b + 2a ×b 2 4a2b + 2ab2
= 4 ab ×a + 2ab ×b = 4 32a + 64b =16 2 × a + 8 b
= 8 2 2 × a + b 8 2 2 2 × ab =16 2 2 32 = 64 ，
ì4a2 = b
ì a = 2
當且僅當 í2 2 × a = b ，即 í 時，等號成立．
b =16
ab = 32


所以 4a2 + b + 2a ×b的最小值為 64．
故答案為：64.
【典例 12-2】已知正實數(shù) x 、 y 、 z 滿足 x2 + y2 2
5 - 8xy
+ z =1，則 的最小值是（
z ）
A．6 B．5 C． 4 D．3
【答案】C
【解析】由 x2 + y2 + z2
5 - 8xy
=1可得出1- z2 = x2 + y2 2xy ，利用不等式的性質(zhì)結(jié)合基本不等式可求得 的
z
最小值.Q x2 + y2 + z2 = 1，\1- z2 = x2 + y2 2xy ，\5 -8xy = 5 - 4 2xy 5 - 4 1- z2 = 4z2 +1，
x y z 5 -8xy 4z
2 +1 1 1
由于 、 、 均為正數(shù)，則 = 4z + 2 4z × = 4，
z z z z
ì
ìx = y > 0 6
x = y =
當且僅當 í 1 4時，即當 時，等號成立，
4z = > 0
í
1
z z = 2
5 - 8xy
因此， 的最小值是 4 .
z
故選：C.
【方法技巧】
多次運用不等式求最值，取到最值時要注意的是每次取等的條件是否一致.
2 2 3 3
【變式 12-1】（2024·天津·一模）已知 a > 0, b > 0 a + 4b + a b，則 2 2 的最小值為 .a b
【答案】4
1 4 a2 + 4b2+ + ab . + a
3b3 1 4
【解析】化簡原式為 2 2 ，兩次運用基本不等式可得結(jié)果 2 2 = 2 + 2 + abb a a b b a
1 4
2 2 + abb a2
4
= + ab 2 4 ab = 4，
ab ab
ì 1 4
= b2 a2 ìa = 2
當且僅當 í ，即 í 等號成立，
4 = ab b =1
ab
a2 + 4b2 + a3b3
所以， 2 2 的最小值為 4，a b
故答案為：4.
2
12-2 8ab + a 16【變式 】對任意的正實數(shù) a,b,c，滿足b + c =1，則 + 的最小值為 .
bc a +1
【答案】16 2 -8
【解析】任意的正實數(shù) a,b,c，滿足b + c =1，
8ab2 + a 16 8b2 +1 16 8b2 + b + c
2
+ = a a 16× + = × +
bc a +1 bc a +1 bc a +1
a 9b
2 + 2bc + c2 16 a 9b c 16= × + = × + + 2 +
bc a +1 c b ֏ a +1
b,c 9b c 2 9b c由于 為正實數(shù)，故由基本不等式得 + × = 6，
c b c b
9b c 1 3
當且僅當 = ，即b = ,c = 時，等號成立，
c b 4 4
a 9b c 2 16所以 × + + ÷ + 8a
16 8 a 1 16+ = + + -8
è c b a +1 a +1 a +1
2 8 a +1 16× -8 =16 2 -8，
a +1
16
當且僅當8 a +1 = ，即
a +1 a = 2 -1
時，等號成立，
8ab2 + a 16
綜上， + 的最小值為16 2 -8 .
bc a +1
故答案為：16 2 -8
題型十三：待定系數(shù)法
【典例 13-1】（2024·高三·河北邢臺·期末）設 a,b R ，若 4a2 + b2 + 2ab = 6，則3a2 + 2b2的最小值為
（ ）
A．6 B．3 3 C．2 6 D．4
【答案】D
2
t > 0 4a2 + b2 + 2ab = 4a2 a+ b2 + 2 × × tb 4a2 + b2 a 2【解析】設 ， + 2 + t b
2 = 4 1+ 2 ÷ a
2 + (1+ t 2 )b2 ，
t t è t
4 1+
t 2 3
9 2 2
令 = ，解得 t = 2 ，所以 a + 3b 6，
1+ t 2 2 2
3a2
8
+ 2b2 4 a2 = b2
2
即 ，當且僅當 ， = 時，等號成立．
7 7
故選：D.
【典例 13-2】已知實數(shù) a，b ， c滿足 a2 + b2 + c2 =1，則ab + bc + 2ca的最大值為
3 +1
【答案】
2
【解析】設0 < m <1，因為 a2 + b2 + c2 =1，
1 = a2 + b2 + c2 ma2 1= + b2 + 1 b2 + mc2 + 1- m a2 2所以 2 ÷ 2 ÷ + c è è
2 mab m + 2 bc + 2 1- m ac，
2 2
m
令 2 =1- m，解得m = 2 - 3或m = 2 + 3 （舍去），
2
因此 3 -1 ab + bc + 2ca 1，即 ab + bc + 2ca 3 +1 ，當b = 3 -1 a且 c = a 時取等號，
2
3 +1
故ab + bc + 2ca的最大值為 .
2
3 +1
故答案為：
2
【方法技巧】
2
ax + by
2 + cz2
出現(xiàn) 結(jié)構(gòu)形式，通常用待定系數(shù)法.
mxz + nxy + tyz
xy + yz
【變式 13-1】已知 x，y，z 為正實數(shù)，則 x2 的最大值為+ y2 + z2
A．1 B 2．2 C． D． 2
2
【答案】C
xy + yz xy + yz xy + yz 1 2
= = =
【解析】因為 x2 + y2 + z2 x2 1+ y2 1+ y2 + z2 2 x2 1× y2 1+ 2 y2 2
2 ，
2 2 × z
2
2 2
xy + yz 2
所以 x2 y2 z2 的最大值為 ，選 C.+ + 2
2
x, y, z 10x +10y
2 + z2
【變式 13-2】 為正整數(shù)，求 的最小值為 .
xy + yz + xz
【答案】4
【解析】由題意知，引入?yún)?shù) k 0 < k <10 ，使之滿足
10x2 +10y2 + z2
2 2
= kx2 + ky2 + (10 - k)x2 z+ + (10 z- k)y2 +
2 2
2kxy + 2(10 - k)(xz + yz) ,
ìkx2 = ky2
2
(10 - k)x2 z=
當且僅當 í 2 ，且 2k = 2(10 - k) ，即 k = 2時，等號成立，
2
(10 - k)y2 z=
2
10x2 +10y2 + z2
所以 2k = 4 ，
xy + yz + xz
10x2 +10y2 + z2
故 的最小值為 4.
xy + yz + xz
故答案為：4.
題型十四：多元均值不等式
【典例 14-1】已知 xy = 1(x > 0)，則16x + y2 的最小值為 .
【答案】12
1
【解析】依題意， xy = 1(x > 0)，則 y > 0，且 y = x ，
16x + y2 8x 1 1= + 8x + 2 33 8x ×8x × 2 =12，x x
當且僅當8x
1
= 2 , x
1
= , y = 2時等號成立.
x 2
故答案為：12
x
14-2 f x 81 + 4 ×9
- x + 4 ×3x +1
【典例 】函數(shù) = x - x 的最小值是（ ）9 + 2 ×3
8 10
A．2 2 B．3 C． D．3 3
【答案】D
2
4 4 2 t + 2 + 4t +1 t
2
+ +1
【解析】設 t = 3x ，則 t > 0， f t = t = è t
÷
t 2 2 12 = + +
，
t 2 + t 2 2 2+ t t 2 +
t t t
u t 2 2 t 2 1 1因為 = + = + + 3 × 3 t 2 1 1× × = 3，
t t t t t
1
由對勾函數(shù)性質(zhì)可知 y = + u 在 3, + 上單調(diào)遞增，
u
所以 f t 3 1 10+ = .
3 3
故選：D.
【方法技巧】
a1 + a2 + a3 + ......+ a
n
n n a1a2a3......an ，a1,a2,a3,......,an 為正數(shù).
【變式 14-1】已知 xyz+y+z=12，則 log4 x + log2 y + log2 z 的最大值為 .
【答案】3
【解析】由已知條件有12 = xyz + y + z…3 3 xy 2 z 2 ， xy2z2 64，
log x + log y + log z = log xy2則 4 2 2 4 z2 log4 64 = 3，
1
當且僅當 x = ，y=z=4 時取得最大值 3.
4
故答案為：3．
2 2 1 1 27 15 3
【變式 14-2】設正實數(shù) x、y滿足 x + y + + =x y 4 ，則
P = -
x 4y 的最小值為 .
【答案】6
【解析】由三元均值不等式，可得
x2 1+ = x2 8 8 15 + + ÷ -x è x x x
3 x2 8 8 15 15 3 × × - =12 - , ①
x x x x
y2 1 + = y2 1 1 3 + +y 8y 8y ÷
+
è 4y
3 y2 1 1 3 3 3 × × = + .
8y 8y 4 4y ②
1
當且僅當 x = 2時，①中等號成立；當且僅當 y = 時，②中等號成立.
2
x2 y2 1 1 51 3 15 ①+②，得 + + + + - .x y 4 è 4y x
÷

x2又已知 + y2
1 1 27
+ + = 51 3 15 27 15 3，故 + - ÷
1
x y 4 ，整理得
- 6
x 4y .當且僅當
x = 2, y = 時等號成立.
4 è 4y x 4 2
P 15 3所以， = -x 4y 的最小值為 6.
題型十五：萬能 K 法
【典例 15-1】（2024·安徽·模擬預測）已知正實數(shù)m, n滿足 2m3 + 2n3 + 6mn = 27 ，則m + n的取值范圍
為 .
33 4 ù
【答案】 ,3
è 2
ú

【解析】根據(jù)題意可得： 2m3 + 2n3 + 6mn = 27 ，即 2 m + n m2 + n2 - mn + 6mn = 27 ，
設m + n = t ，
則： 2t t 2 - 3mn + 6mn = 27 ， 2t3 - 6tmn + 6mn = 27，
2t3 - 27
\ = mn，
6t - 6
3
Qm, n > 0, 2t - 27\ > 0 3，\ 2t - 27 6t - 6 > 0，
6t - 6
3
解得0 < t <1 t 3 4或 > ，
2
2t3Q - 27 m + n
2
= mn t
2
又
6t - 6 2 ÷
= ，
è 4
2t3 - 27 t 2
\ - 0 ，化簡得 t -1 t3 + 3t 2 - 54 0 ，
6t - 6 4
①當0 < t <1時，不等式不成立；
33② 4當 t > 時， t3 + 3t 2 - 54 0，即 t3 - 27 + 3 t 2 - 9 0，
2
3
t - 3 t 2 + 6t +18 0 3 4，又 t 2 + 6t +18 > 0恒成立，可得 < t 3，
2
3 ù
\m + n 3 4的取值范圍為 ,32 ú
.
è
33 4 ù
故答案為： ,32 ú
.
è
【典例 15-2】（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知實數(shù) x, y，滿足 x2 + xy + 3y2 = 3，則 x + y 的最大值為
（ ）
A 3 11 B 6 11． ． C 3 +1 3 + 3． D．
11 11 3 3
【答案】B
【解析】令 t = x + y，則 x = t - y ，
方程 x2 + xy + 3y2 = 3可化為 (t - y)2 + t - y y + 3y2 - 3 = 0，
3y2 - ty + t 2 - 3 = 0 Δ = (-t)2整理得 ，則滿足 -12 t 2 - 3 0，
解得 t 2
36
6 11 t 6 11 6 11，所以- ，即 x + y ，
11 11 11 11
所以 x + y 6 11的最大值為 .
11
故選：B.
【方法技巧】
利用一元二次方程有實數(shù)根時 Δ 0 .
【變式 15-1】若正數(shù) a，b ， c滿足a2 + b2 + c2 - ab - bc = 1，則 c的最大值是 .
6
【答案】
2
【解析】把式子a2 + b2 + c2 - ab - bc = 1看作是關(guān)于 a的方程，則問題等價于關(guān)于 a的方程
a2 + b2 + c2 - ab - bc 2-1 = 0有解，則D = (-b) - 4 b2 + c2 - bc -1 …0，即-3b2 - 4c2 + 4bc + 4…0 ，則問題轉(zhuǎn)
3
化為關(guān)于b 的不等式-3b2 - 4c2 + 4bc + 4…0 2有解，則 (4c) - 4 (-3) -4c2 + 4 …0 2，化簡得 c ，所以
2
c 6 a 6 6max = ，此時 = ，b = ，符合條件.2 6 3
6
故答案為：
2
【變式 15-2】已知實數(shù) x，y，z 滿足 x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx =1，則下列說法錯誤的是（ ）
A xyz 6． 的最大值是 B． x + y + z 6的最大值是
6 2
C． x 6的最大值是 D． x + y 的最大值是 2
2
【答案】A
【解析】對于 C，由 x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx =1，
2 2 2
整理得， y + x + z y + x + z + zx -1 = 0，可以看作關(guān)于 y 的一元二次方程，
所以D1 = x + z
2 - 4 x2 + z2 + zx -1 0 ，
即3z2 + 2xz + 3x2 - 4 0 ，可以看作關(guān)于 z 的一元二次不等式，
所以D 22 = 4x -12 3x2 - 4 0 6 6，解得- x ，
2 2
6 6 6
當 x = 時， z = - ， y = - ，
2 6 6
所以 x 6的最大值是 ，故 C 正確；
2
對于 B，由 x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx =1，
2 x2即 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx = 2，
即 x + y 2 + x + z 2 + y + z 2 = 2，
令 a = x + y ，b = x + z ， c = y + z ，則 a2 + b2 + c2 = 2，
2
a + b + c 2即 - 2 ab + ac + bc = 2 a + b + c - 2，即 ab + ac + bc = ，
2
由 a2 + b2 2ab，當且僅當 a = b時等號成立，
a2 + c2 2ac，當且僅當 a = c 時等號成立，
b2 + c2 2bc ，當且僅當b = c時等號成立，
所以 2 a2 + b2 + c2 2ab + 2ac + 2bc，當且僅當a = b = c時等號成立，
-2 a2 + b2 + c2即 - 2ab + 2ac + 2bc ，
所以 a + b + c 2 - 2 a2 + b2 + c2 a + b + c 2 - 2ab + 2ac + 2bc
即 a + b + c 2 - 2 2 2，即 a + b + c 2 6 ，
所以a + b + c 6 ，
即 x + y + x + z + y + z 6 ，
即 x + y + z 6 6 ，當且僅當 x + y = x + z = y + z ，即 x = y = z = 時等號成立，
2 6
對于 D，所以 x + y + z 6的最大值是 ，故 B 正確；
2
2 2 2
由 a2 + b2 + c2 = 2，即 x + y + x + z + y + z = 2，
2
所以 x + y 2，即 x + y 2 ，
2 2
當且僅當 x = y = ， z = - 時等號成立，
2 2
所以 x + y 的最大值是 2 ，故 D 正確；
4
對于 A，取 x =1 y = - z 1+ 17， ， = - ，
5 10
x2 y2 z2 xy yz zx 16 18 + 2 17 4 4 + 4 17 1+ 17則 + + + + + =1+ + - + - =1，
25 100 5 50 10
4 1+ 17 2 1+ 17
而 xyz =1 - ÷ - ÷÷ = ，è 5 è 10 25
2 1+ 17
又 6 12 +12 17 - 25 6- = ，
25 6 150
2
而 12 +12 17 - 225 6 =144 + 288 17 +144 17 - 625 6 = 288 17 -1158 = 1410048 - 1340964 > 0 ，
2 1+ 17
所以 xyz 6= > ，故 A 錯誤.
25 6
故選：A.
題型十六：與基本不等式有關(guān)的恒(能)成立問題
【典例 16-1】已知 x > 0, y 0
1 1 2
> ，且 + = ，若 x + 2 + y > m2x 2 y 7 + 5m恒成立，則實數(shù)
m 的取值范圍是
+
（ ）
A． -4,7 B． -2,7 C． -4,2 D． -7,2
【答案】D
1 1 2
【解析】因為 x > 0, y > 0，且 + =x + 2 y 7 ，
所以 x 2 y
7 x 1 1 7 y x + 2 + + = + 2 + y + ÷ = 1+1+ +2 è x + 2 y ÷ 2 è x + 2 y
7 y x + 2
2 + 2 × ÷÷ =14，當且僅當 y = x + 2 = 7 時取等號，2 è x + 2 y
又因為 x + 2 + y > m2 + 5m恒成立，
所以14 > m2 + 5m，解得-7 < m < 2 .
所以實數(shù)m 的取值范圍是 -7,2 .
故選：D
【典例 16-2】已知 x > 0， y > 0，且 x + 9y = xy ，若不等式 a x + y 恒成立，則 a 的取值范圍是（ ）
A． - ,6 B． - ,16
C． - ,8 D． - ,9
【答案】B

x 9y xy 9 1 1 x y x y 9 1 x 9y【解析】 + = ，故 + = ， + = + + =10 + +x y ÷ ，è x y y x
x > 0， y > 0
x 9y x 9y
，故 + 2 × = 6，
y x y x
x 9y
當且僅當 = ，即 x =12, y = 4時取等號，故 x + y 10 + 6 =16y x ，
x + y 最小值是 16，由不等式 a x + y 恒成立可得 a 16 .
a 的取值范圍是 - ,16 ，
故選：B.
【方法技巧】
$x M ，使得 f (x)…a ，等價于 f (x)max…a ， $x M ，使得 f (x) a ，等價于 f (x)min a
4x 1
【變式 16-1】（2024·遼寧·模擬預測）若關(guān)于 x 的不等式 + 4對任意 x > 2恒成立，則正實數(shù) a
a x - 2
的取值集合為 ．
【答案】 a | 0 < a 4
4x 1 4 4 x - 2【解析】∵ + 1，則 + 4 8- ，
a x - 2 a x - 2 a
4 x - 2 1 8
原題意等價于 + 4 - 對任意 x > 2恒成立，
a x - 2 a
由 a > 0， x
4
> 2 x - 2 ，則 > 0, 1 > 0，
a x - 2
4 x - 2 1 4 x - 2 1 4
可得 + 2 × = ，
a x - 2 a x - 2 a
4 x - 2 1 a
當且僅當 = ，即 x = 2 + 時取得等號，
a x - 2 2
ì4 8 4 -
∴ í a a ，解得0 < a 4 ．
a > 0
故正實數(shù) a的取值集合為 a | 0 < a 4 .
故答案為： a | 0 < a 4 ．
【變式 16-2】（2024·山西晉中·二模）若對任意 x > 0， x3 + 5x2 + 4x ax2 恒成立，則實數(shù) a的取值范圍
是 .
【答案】 - ,9
2
x > 0 x3 5x2 4x ax2 x + 5x + 4
x2 + 5x + 4
【解析】因為對任意 ， + + a 恒成立，只需滿足 a ÷ ，
x è x min
x2 + 5x + 4 4 4 4
因為 x > 0，所以 = x + + 5 2 x × + 5 = 9，當且僅當 x = ，即 x = 2時取等號.
x x x x
故實數(shù) a的取值范圍是 - ,9 .
故答案為： - ,9
題型十七：基本不等式與其他知識交匯的最值問題
【典例 17-1 2024 m n 2 m+n】（ ·上海楊浦·一模）已知 (1+ x) + (1+ x) = a0 + a1x + a2x +L+ am+n x （m 、 n為正整
數(shù)）對任意實數(shù) x 都成立，若 a1 = 12，則 a2 的最小值為 .
【答案】30
【解析】 a = C11 m + C
1
n = m + n = 12 ,
a C2 C2 m(m -1) n(n -1) m
2 + n2 - (m + n) m2 + n2 -12 m2 + n2
2 = m + n = + = = = - 62 2 2 2 2
= m + n
2 - 2mn 122 - 2mn
- 6 = - 6 = 66 - mn ,
2 2
因為m + n = 12 2 mn ，所以mn 36，當且僅當m = n = 6 時等號成立，
所以 a2 = 66 - mn 30， a2 的最小值為30，
故答案為：30 .
【典例 17-2】（2024·四川南充·二模）在VABC 中，a，b，c 分別為內(nèi)角 A，B，C 的對邊．已知
a = 2,2sin B + 2sin C = 3sin A．則 sin A 的最大值為
4 5 4
【答案】 / 5
9 9
【解析】因為 a = 2,2sin B + 2sin C = 3sin A，所以由正弦定理可得b + c = 3 .
由余弦定理 a2
2
= b2 + c2 - 2bc cos A，得 22 = b + c - 2bc - 2bc cos A，
整理得 cos A
5
= -1 .
2bc
b + c 2bc 9因為 ÷ = ，當且僅當b = c
3
= 時，等號成立，
è 2 4 2
cos A 1 2 2 sin2 A 80所以 4 5，又 sin A =1- cos A，所以 ，即 sin A .
9 81 9
4 5
故答案為： .
9
【方法技巧】
基本不等式經(jīng)常與解三角形、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等知識匯合求最值.
2 2
【變式 17-1】（2024·寧夏銀川·二模）已知 A(3,0), B(-3,0) P x y， 是橢圓 + =1上的任意一點，則
25 16
| PA | × | PB |的最大值為 .
【答案】25
2 2
【解析】由已知可得 A(3,0), B(-3,0) x y為橢圓 + =1的焦點，
25 16
根據(jù)橢圓定義知 | PA | + | PB |=10，
2
PA + PB
所以 PA × PB ÷ = 25，
è 2
當且僅當 | PA |=| PB |= 5時等號成立，
故 | PA | × | PB |的最大值為25 .
故答案為：25 .
uuur uuur uuur
【變式 17-2】（2024·全國·模擬預測）已知正三棱錐P - ABC 滿足 3AP + AB + AC = 3，則該三棱錐側(cè)面
積的最大值為 ．
3 5
【答案】
10
【解析】如圖所示，設O為VABC 的外心，Q為BC的中點，連接PO, AQ, PQ ，設 AO = x, AP = y ，
PAQ = a ．
uuur uuur
因幾何體P - ABC 為正三棱錐，則PO ^平面 ABC ，O 為VABC 重心，則 AQ 3= AO ．
2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
注意到， AB + AC = 2AQ ，則 3AP + AB + AC = 3AP + 2AQ = 3AP + 3AO = 3，所以 AP + AO =1，
所以 y2 + x2 + 2xycosa = 1．又Rt△PAO 中，有 ycosa = x，所以 y2 + 3x2 = 1．
記三棱錐P - ABC 3的側(cè)面積為S，在Rt△PBQ 中，PQ = PB2 - BQ2 = y2 - x2 ，
4
3 AQ π
又 AQ = AO
3 x 1 = tan = 3= ， BC 3 ，則 BC = 3x .2 2 2
故 S = 3 1× BC × PQ = 3 1 3x y2 3- x2 3= 3x 1 3 - 3x2 - x2 = 3 3 x 4 -15x2 ，
2 2 4 2 4 4
2 2
3 3 3 3 1 3 15x + 4 -15x2而 x 4 -15x2 3 5= × 15x2
4 4 4 -15x
2 × = ，
15 4 5 4 10
15x2 4 15x2 x 30當且僅當 = - ，即 = 時取等號，所以該三棱錐P - ABC 3 5側(cè)面積的最大值為 ．
15 10
3 5
故答案為： .
10
題型十八：整體配湊法
【典例 18-1】（2024·遼寧葫蘆島·二模）若 a > 0, b > 0， 2ab + a + 2b = 3，則a + 2b的最小值是 （ ）
A 2． B．1
2
C．2 D 3 2．
2
【答案】C
【解析】 a > 0, b > 0, 3 = 2ab
a + 2b
+ a + 2b ( )2 + (a + 2b)
2 ，當且僅當
a = 2b時取等號，
因此 (a + 2b)2 + 4(a + 2b) -12 0，即 (a + 2b + 6)(a + 2b - 2) 0，解得 a + 2b 2 ，
所以當 a = 2b =1時，a + 2b取得最小值 2.
故選：C
【典例 18-2】（2024·山東濰坊·二模）已知正實數(shù) a，b 滿足 a2 + 2ab + 4b2 = 6，則a + 2b的最大值為（ ）
A． 2 5 B．2 2 C． 5 D．2
【答案】B
a + 2b
2 2
a - 2b
【解析】因為 ÷ - 2ab = ÷ 0 ，
è 2 è 2
2
所以 2ab a + 2b 2 2 ÷ ，當且僅當 a = 2b時等號成立，因為 a + 2ab + 4b = 6，
è 2
2
所以 a + 2b 2 - 2ab = 6，即 a + 2b 2 - 6 = 2ab 2 a + 2b ，所以 a + 2b - 6 ÷ ，
è 2
即 a + 2b 2 8，因為 a,b為正實數(shù)，所以 a + 2b > 0 ，因此0 < a + 2b 2 2 ，故a + 2b的最大值為2 2 ，此
ìa = 2

時 í
b 2
，
=
2
故選：B.
【方法技巧】
整體配湊法原理是把目標當作一個整體，然后利用基本不等式求最值.
3 4
【變式 18-1】（2024·高三·湖北·開學考試）已知正數(shù) a,b滿足 a + 3b + + =18，則 a + 3b的最大值
a b
是 .
【答案】9 + 3 6
3 4
【解析】設 t = a + 3b ，則 + =18 - t ，
a b
t 18 t a 3b 3 4 15 9b 4a 9b 4a所以 - = + + ÷ = + + 15 + 2 × = 27，當且僅當 2a = 3b 時取等號.
è a b a b a b
所以 t 2 -18t + 27 0 ，解得9 - 3 6 t 9 + 3 6 ，即 a + 3b的最大值9 + 3 6 ，當且僅當 2a = 3b ，即 a = 3+ 6 ，
b 2 2 6= + 時取等號.
3
故答案為：9 + 3 6
x, y x 2 4【變式 18-2】（2024·全國·模擬預測）在解決問題“已知正實數(shù) 滿足 + + 3y + = 10x y ，求
xy的取值范
圍”時，可通過重新組合，利用基本不等式構(gòu)造關(guān)于 xy的不等式，通過解不等式求范圍．具體解答如下：
10 x 4 2 4 2由 = + ÷ + + 3y

÷ 2 x + ÷ + 3y

÷ = 2 3xy
8
+ +14 ，得3 xy 2 -11xy + 8 0，即
è y è x è y è x xy
xy -1 3xy -8 0，解得 xy é1, 8ù的取值范圍是 ê ． 3ú
請參考上述方法，求解以下問題：
2 x
已知正實數(shù) x, y滿足 x + + 3y
4
+ = 10
x y ，則 y 的取值范圍是 ．
é3
【答案】 ê , 2
ù
4 ú
【解析】因為 x > 0, y > 0，所以
10 x 3y 2 4 = + + + ÷ 2 x + 3y
2 4 6y 4x
+ ÷ = 2 + +14 ，
è x y è x y x y
2
x x x 4x
得 4 ÷ -11 + 6 0，即 - 2÷ - 3 0，
è y y è y è y
÷

x é3 ù
解得 y 的取值范圍是 ê
, 2 ．
4 ú
é3 ù
故答案為： ê , 2 ． 4 ú
【變式 18-3】已知 a,b為正實數(shù)且 a + b 2 2+ + = 6a b ，則 a + b 的取值范圍為 .
【答案】[2，4]
a,b 2 ab a b ab (a + b)
2
【解析】因 為正實數(shù)，則有 + ，當且僅當 a = b時取“=”，而 ab > 0，于是得
4
a + b 4
，
ab a + b
6 2(a + b) 8從而得 = a + b + a + b + ，整理得 (a + b)2 - 6(a + b) + 8 0，解得 2 a + b 4，
ab a + b
顯然當且僅當 a = b =1時， a + b 取最小值 2，當且僅當a = b = 2時， a + b 取最大值 4，
所以 a + b 的取值范圍為[2，4].
故答案為：[2，4]
1．（2022 年高考全國甲卷數(shù)學（文）真題）已知9m =10,a =10m -11,b = 8m - 9，則（ ）
A．a(chǎn) > 0 > b B．a(chǎn) > b > 0 C．b > a > 0 D．b > 0 > a
【答案】A
【解析】［方法一］：（指對數(shù)函數(shù)性質(zhì)）
m m log 10 lg10= = >1 lg9lg11 lg9 + lg11
2 lg99 2 lg10 lg11
由9 =10 < = 可得 9 lg9 ，而 ÷ ÷ <1 = lg10
2
，所以 >
è 2 è 2 lg9 lg10
，
即m > lg11，所以 a =10m -11 >10lg11 -11 = 0 .
lg8 + lg10 2 lg80 2 lg9 lg10
又 lg8lg10 < = < lg9 2 ，所以 > log 9 > m
è 2 ÷ ÷ è 2 lg8 lg9
，即 8 ，
所以b = 8m - 9 < 8log8 9 - 9 = 0 .綜上，a > 0 > b .
［方法二］：【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）
由9m =10，可得m = log9 10 (1,1.5)．
根據(jù) a,b的形式構(gòu)造函數(shù) f (x) = xm - x -1(x >1) ，則 f (x) = mxm-1 -1，
1令 f (x) = 0，解得 x = m1-m ，由m = log9 10 (1,1.5) 知 x0 (0,1) .0
f (x) 在 (1, + ) 上單調(diào)遞增，所以 f (10) > f (8) ，即 a > b ，
又因為 f (9) = 9log9 10 -10 = 0 ，所以a > 0 > b .
故選：A.
【點評】法一：通過基本不等式和換底公式以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；
法二：利用 a,b的形式構(gòu)造函數(shù) f (x) = xm - x -1(x >1)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡單明了，是該
題的最優(yōu)解．
2．（2021 年浙江省高考數(shù)學試題）已知a , b ,g 是互不相同的銳角，則在 sina cos b ,sin b cosg ,sing cosa 三
1
個值中，大于 2 的個數(shù)的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
2 2
1 sina cos b sin a + cos b【解析】法 ：由基本不等式有 ，
2
2 2 2 2
同理 sin b cosg sin b + cos g sin g cosa sin g + cos a ， ，
2 2
故 sina cos b + sin b cosg + sin g cosa
3
，
2
故 sina cos b ,sin b cosg ,sing cosa 1不可能均大于 2 .
a p b p p取 = ， = ，g = ，
6 3 4
1 1
則 sina cos b = < ,sin b cosg 6 1= > ,sin g cosa 6 1= > ，
4 2 4 2 4 2
1
故三式中大于 2 的個數(shù)的最大值為 2，
故選：C.
法 2：不妨設a < b < g ，則 cosa > cos b > cosg ,sina < sin b < sin g ，
由排列不等式可得：
sina cos b + sin b cosg + sin g cosa sina cosg + sin b cos b + sin g cosa ，
而 sina cosg + sin b cos b + sin g cosa = sin g +a 1+ sin 2b 3 ，
2 2
故 sina cos b ,sin b cosg ,sing cosa 1不可能均大于 2 .
a p p p取 = ， b = ，g = ，
6 3 4
sina cos b 1 1 ,sin b cosg 6 1 6 1則 = < = > ,sin g cosa = > ，
4 2 4 2 4 2
1
故三式中大于 2 的個數(shù)的最大值為 2，
故選：C.
3．（2021 年全國高考乙卷數(shù)學（文）試題）下列函數(shù)中最小值為 4 的是（ ）
4
A． y = x2 + 2x + 4 B． y = sin x + sin x
4
C． y = 2x + 22-x D． y = ln x +
ln x
【答案】C
【解析】對于 A， y = x2 + 2x + 4 = x +1 2 + 3 3，當且僅當 x=- 1時取等號，所以其最小值為3，A 不符合
題意；
對于 B，因為0 < sin x 1， y = sin x
4
+ 2 4 = 4，當且僅當 sin x = 2sin x 時取等號，等號取不到，所以
其最小值不為 4，B 不符合題意；
x 2-x x 4
對于 C，因為函數(shù)定義域為 R ，而 2x > 0， y = 2 + 2 = 2 + x2x
2 4 = 4 ，當且僅當 2 = 2，即 x =1時取
等號，所以其最小值為 4，C 符合題意；
對于 D， y
4
= ln x + ，函數(shù)定義域為 0,1 U 1, + ，而 ln x R且 ln x 0，如當 ln x = -1， y = -5，D 不
ln x
符合題意．
故選：C．
1
1．（1）已知 x >1，求 x + 的最小值；
x -1
（2）求 x(10 - x) 的最大值.
1
【解析】（1）Q x >1，\ x -1 > 0 ，\ x + = (x 1) 1 1 2 (x 1) 1- + + - × +1 = 3，
x -1 x -1 x -1
x 1 1 x 1當且僅當 - = 時，即當 x = 2時等號成立，\ + 的最小值為3；
x -1 x -1
（2）由 x(10 - x) 0知0 x 10 .
當 x = 0或10時， x(10 - x) = 0 ；
0 x 10 10 x 0 x(10 x) x +10 - x當 < < 時， - > ，由基本不等式可得 - = 5 .
2
當且僅當 x =10- x，即當 x = 5時等號成立.
綜上， x(10 - x) 的最大值為5 .
2．某公司建造一間背面靠墻的房屋，地面面積為 48m2 ，房屋正面每平方米的造價為1200元，房屋側(cè)面每
平方米的造價為800元，屋頂?shù)脑靸r為5800元，如果墻高為3m，且不計房屋背面和地面的費用，那么怎
樣設計房屋能使總造價最低？最低總造價是多少？
【解析】設房屋的正面邊長為 xm，側(cè)面邊長為 y m，總造價為 z 元，則 xy = 48
48
，即 y = ，
x
z = 3x ×1200 + 6y ×800 + 5800 = 3600x 57600 4+ + 5800 2 3600x 57600 4× + 5800 = 63400 .
x x
當3600x
57600 4
= 時，即當 x = 8時， z 有最小值，最低總造價為63400 元.
x
答：當房屋的正面邊長為8m，側(cè)面邊長為6m 時，房屋總造價最低，為63400 元.
3．已知 x 、 y 、 z 都是正數(shù)，求證： x + y y + z z + x 8xyz .
【解析】Q x > 0， y > 0，z > 0，由基本不等式可得 x + y 2 xy ， y + z 2 yz ， z + x 2 zx ，
由不等式的性質(zhì)可得 x + y y + z z + x 2 xy × 2 yz × 2 zx = 8xyz，
當且僅當 x = y = z 時等號成立.
4．設矩形 ABCD（AB>AD）的周長為 24，把△ABC 沿 AC 向△ADC 折疊，AB 折過去后交 DC 于點 P，設
AB=x，求△ADP 的最大面積及相應 x 的值.
【解析】由題意可知，矩形 ABCD(AB > CD)的周長為 24，
AB = x ，即 AD =12 - x，
設PC = a ，則DP = x - a, AP = a ，而△ ADP 為直角三角形，
∴ (12 - x)2 + (x - a)2 = a2 ，
∴ a = x
72
+ -12，
x
∴DP =12
72
- ，
x
1 1 72
∴ SVADP = AD DP = (12 - x) 12 -2 2 x ÷è
= 108 432 432- - 6x 108 - 2 ×6x = 108 - 72 2 .
x x
432
當且僅當 = 6x ，即
x x = 6 2
時，此時 AD =12 - 6 2 ，滿足 AB > AD ，
即 x = 6 2 時，△ ADP 取最大面積為108-72 2 .
5．一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金，一位顧客到店里購買10g 黃金，售貨員先將5g 的砝碼放
在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將5g 的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃
金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.你認為顧客購得的黃金是小于10g ，等于
10g ，還是大于10g ？為什么？
【解析】由于天平兩臂不等長，可設天平左臂長為 a，右臂長為b ，則 a b ，
5a 5b
再設先稱得黃金為 xg ，后稱得黃金為 yg ，則bx = 5a ， ay = 5b，\ x = ， y = ，
b a
x y 5a 5b 5 a b a b\ + = + = +

÷ 5 2 × =10，b a è b a b a
a b
當且僅當 = ，即 a = b時等號成立，但 a b ，等號不成立，即 x + y >10 .
b a
因此，顧客購得的黃金大于10g .
易錯點：忽視基本不等式應用條件
易錯分析： 基本不等式 a + b…2 ab(a > 0,b > 0) 取等號的條件是“一正，二定，三相等”．在解題
過程中，一定要先檢查取等的三個條件是否成立．常見的技巧是①如果積或和不是定值，則構(gòu)造“定值”；
②若是 a > 0,b > 0不能保證，可構(gòu)造“正數(shù)”；③若等號不能成立，可根據(jù)“對勾函數(shù)”圖象，利用函
數(shù)的單調(diào)性求解．
答題模板：利用基本不等式求最值（和定或積定）
1、模板解決思路
在求代數(shù)式的最值，特別是求代數(shù)式的和或積的最值時，通常根據(jù)已知條件和所求問題湊配出和或積
為定值的兩個形式，然后利用基本不等式求解．利用基本不等式求最值需注意“一正、二定、三相等”．
2、模板解決步驟
第一步：將所求代數(shù)式湊配出兩個代數(shù)式的和（或積）形式，且兩個代數(shù)式的積（或和）為定值．
第二步：驗證兩個代數(shù)式均為正數(shù)．
第三步：應用基本不等式將變形后的代數(shù)式進行放縮．
第四步：驗證取等的條件．
【易錯題 1】已知實數(shù) x, y滿足 x + 2y = 2，則3x + 9y （ ）
A．有最大值2 2 B．有最小值2 2
C．有最小值 6 D．有最大值 6
【答案】C
x y 1
【解析】3x + 9y = 3x + 32 y 2 3x 32 y = 2 3x+2 y = 6， 3 + 9 = 6min (當且僅當3x = 9 y ，即 x =1, y = 時，2
取等號）
故選:C.
【易錯題 2】下列命題中錯誤的是（ ）
A．當 x > 0時， x
1
+ 2 1B．當 x > 2時， x + 的最小值為 2
x x
3 4
C．當 0 < x < 4時， x(4 - x) 2 D．當 x < 時， 2x -1+ -2
2 2x - 3
【答案】B
【解析】利用基本不等式可判斷選項 A；利用對勾函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項 B；利用基本不等式可判斷選項
1 1
C；利用基本不等式可判斷選項 D．對于 A，當 x > 0時， x + 2 x × = 2 ，當且僅當 x =1時取等
x x
號，正確；
1 1 5
對于 B，當 x > 2時， x + > 2 + = ，錯誤；
x 2 2
x + 4 - x 2
對于 C，當 0 < x < 4 時， x(4 - x) ÷ = 2，當且僅當 x = 4 - x ，即 x = 2時取等號，正確；
è 2
3 4 4 1
對于 D，當 x < 時， 2x - 3 < 0， 2x -1+ = 2x - 3 + + 2 -4 + 2 = -2，當且僅當 x = 時取等號，
2 2x - 3 2x - 3 2
正確；
故選：B
f (x) x2 1【易錯題 3】函數(shù) = + 2 + 2x
2
+ , x < 0的最小值為（ ）
x x
A．-3 B．-2 C．1 D．6
【答案】B
1 2 1 2 1
【解析】 f (x) = x2 +
x2
+ 2x + = x + ÷ + 2 x +x ÷
- 2, x < 0 ，
è x è x
1
令 t = x + ，由 x < 0 ，
x

則 t = - -x
1
+ ÷ -2，當且僅當 x=- 1x 時取等號，è -
所以 f t = t 2 + 2t - 2 t -2 ，
二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸 t = -1，
所以函數(shù) f t 在 - , -2 上單調(diào)遞減，
所以 f t = fmin -2 = -2
2 - 2 2 - 2 = -2 .
故選：B.第 04 講 基本不等式及其應用
目錄
01 考情透視·目標導航 .........................................................................................................................2
02 知識導圖·思維引航 .........................................................................................................................3
03 考點突破·題型探究 .........................................................................................................................4
知識點 1：基本不等式 ................................................................................................................................................4
解題方法總結(jié) ...............................................................................................................................................................4
題型一：基本不等式及其應用 ...................................................................................................................................5
題型二：直接法求最值 ...............................................................................................................................................7
題型三：常規(guī)湊配法求最值 .......................................................................................................................................7
題型四：化為單變量法 ...............................................................................................................................................8
題型五：雙換元求最值 ...............................................................................................................................................8
題型六：“1”的代換求最值 .........................................................................................................................................9
題型七：齊次化求最值 ...............................................................................................................................................9
題型八：利用基本不等式證明不等式 .....................................................................................................................10
題型九：利用基本不等式解決實際問題 .................................................................................................................11
題型十：與 a+b、平方和、 ab 有關(guān)問題的最值 ....................................................................................................13
題型十一：三角換元法 .............................................................................................................................................13
題型十二：多次運用基本不等式 .............................................................................................................................14
題型十三：待定系數(shù)法 .............................................................................................................................................15
題型十四：多元均值不等式 .....................................................................................................................................15
題型十五：萬能 K 法 ................................................................................................................................................16
題型十六：與基本不等式有關(guān)的恒(能)成立問題 ..................................................................................................16
題型十七：基本不等式與其他知識交匯的最值問題 .............................................................................................17
題型十八：整體配湊法 .............................................................................................................................................17
04 真題練習·命題洞見 .......................................................................................................................18
05 課本典例·高考素材 .......................................................................................................................19
06 易錯分析·答題模板 .......................................................................................................................20
易錯點：忽視基本不等式應用條件 .........................................................................................................................20
答題模板：利用基本不等式求最值（和定或積定） .............................................................................................20
考點要求 考題統(tǒng)計 考情分析
（1）了解基本不等式的
推導過程． 高考對基本不等式的考查比較穩(wěn)定，考查內(nèi)
2022年 II卷第 12題，5分
（2）會用基本不等式解 容、頻率、題型難度均變化不大，應適當關(guān)注利
2021年乙卷第 8題，5分
決簡單的最值問題． 用基本不等式大小判斷、求最值和求取值范圍的
2020年天津卷第 14題，5分
（3）理解基本不等式在 問題．
實際問題中的應用．
復習目標：
1、掌握基本不等式的內(nèi)容.
2、會用基本不等式解決常考的最大值或最小值問題．
3、會用基本不等式解決實際問題.
知識點 1：基本不等式
ab a + b如果 a > 0，b > 0，那么 ，當且僅當a a + b=b時，等號成立．其中， 叫作 a ，b 的算術(shù)平均
2 2
數(shù)， ab 叫作 a ，b 的幾何平均數(shù)．即正數(shù) a ，b 的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．
基本不等式 1：若 a，b R ，則 a2 + b2 2ab，當且僅當a=b時取等號；
a + b
基本不等式 2：若 a，b R+ ，則 ab （或 a + b 2 ab ），當且僅當a=b時取等號．
2
注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值時和或積
為定值，“三相等”指滿足等號成立的條件．（2）連續(xù)使用不等式要注意取得一致．
解題方法總結(jié)
1、幾個重要的不等式
（1） a2 0 a R , a 0 a 0 , a 0 a R .
2 a,b R+ a + b（ ）基本不等式：如果 ，則 ab （當且僅當“ a = b ”時取“ ”）．
2
1 a b
特例： a > 0, a + 2; + 2 （ a,b 同號）．
a b a
（3）其他變形：
a + b 2
① a 2 + b2 （溝通兩和 a + b 與兩平方和 a2 + b2的不等關(guān)系式）
2
a2 + b2
② ab （溝通兩積 ab 與兩平方和 a2 + b2的不等關(guān)系式）
2
ab a + b
2
③ ÷ （溝通兩積 ab 與兩和 a + b 的不等關(guān)系式）
è 2
2 a + b a2 + b2
④重要不等式： 1 1 ab 2 2 a,b R
+
+
a b
即調(diào)和平均值 幾何平均值 算數(shù)平均值 平方平均值（注意等號成立的條件）．
2、均值定理
已知 x , y R + ．
x + y 2 S 2
（1）如果 x + y = S xy （定值），則 ÷ = （當且僅當“ x = y ”時取“=”）．即“和為定值，積有
è 2 4
最大值”．
（2）如果 xy = P （定值），則 x + y 2 xy = 2 P （當且僅當“ x = y ”時取“=”）．即積為定值，和有最
小值”．
3、常見求最值模型
b b
模型一： ax + 2 ab (a > 0,b > 0)，當且僅當 x = 時等號成立.
x a
2
模型二： x(n - mx)
mx(n - mx) 1 mx + n - mx
= （× )2 n= (m > 0,n > 0,0 n< x < ) n，當且僅當 x = 時
m m 2 4m m 2m
等號成立．
x 1 1
模型三： = (a > 0 , c > 0) ，當且僅當 x c= 時等號成立.
ax2 + bx + c ax b c+ + 2 ac + b a
x
n n
模型四：mx + = m(x n- b) + + mb 2 mn + mb(m > 0, n > 0) ，當且僅當 x - b = 時等號成
x - b x - b m
立.
題型一：基本不等式及其應用
【典例 1-1】下列不等式證明過程正確的是（ ）
A b a b a．若 a,b R ，則 + 2 × = 2
a b a b
B．若 x＞0，y＞0，則 lg x + lg y 2 lg x × lg y
C 4 4．若 x＜0，則 x + x -2 x × = -4x
D．若 x＜0，則 2x + 2- x > 2 2x × 2- x = 2
【典例 1-2】（2024·遼寧·二模）數(shù)學命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖
所示圖形，在等腰直角三角形 VABC 中，點 O 為斜邊 AB 的中點，點 D 為斜邊 AB 上異于頂點的一個動點，
設 AD = a，BD = b，用該圖形能證明的不等式為（ ）．
a + b ab a 2abA． > 0,b > 0 B． ab a > 0,b > 0
2 a + b
C a + b a
2 + b2
a > 0,b > 0 D a2 2． ． + b 2 ab a > 0,b > 0
2 2
【方法技巧】
熟記基本不等式成立的條件，合理選擇基本不等式的形式解題，要注意對不等式等號是否成立進行驗
證．
【變式 1-1】下列結(jié)論正確的是（ ）
x 1 4 x 2 x 2A．當 x < 2時， + B．當 時， + 的最小值是
x - 2 x 2 2
4
C．當 x > 0時， x + 4
1
D．當 x > 0時， x + 的最小值為 1
x x +1
【變式 1-2】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知 x，y 都是正數(shù)，且 x y ，則下列選項不恒成立的是（ ）
x + y x y
A． > xy B2 ．
+ > 2
y x
2xy
C． < xy D． xy + 1 > 2x + y xy
【變式 1-3】給出下面四個推導過程：
①∵a b b a b a， 為正實數(shù)，∴ + 2 × = 2；
a b a b
②∵x，y 為正實數(shù)，∴1gx +1gy 2 lg x × lg y ；
③∵ a R ， a 0，∴ 4 + a 2 4 ×a = 4 ；
a a
é
④∵ x, y R xy < 0 ∴ x y
x
+ = - - +
y ù- -2 x - y， ， ê ÷ ÷ú ÷ -
= -2．
y x ÷ è y è x è y è x
其中正確的推導為（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
題型二：直接法求最值
【典例 2-1】若實數(shù) x、y滿足 x + 2y =1，則 2x + 4y 的最小值為 ．
1 1
【典例 2-2】（2024·湖北孝感·模擬預測） + ÷÷ ( x + 4 y )的最小值為 .
è x y
【方法技巧】
直接利用基本不等式求解，注意取等條件．
【變式 2-1】（2024·上海崇明·二模）已知正實數(shù) a、b 滿足 ab =1，則a + 4b的最小值等于 ．
【變式 2-2】（2024·天津南開·一模）已知實數(shù) a > 0,b > 0, a + b =1，則 2a + 2b 的最小值為 .
題型三：常規(guī)湊配法求最值
3-1 x
2 +1 16x2 +1【典例 】函數(shù) f x = 的最大值是（ ）
4x2 +1
7 5 3
A．2 B． C． D．
4 4 4
2 4 18
【典例 3-2】（2024·廣東·模擬預測）已知 a > 0,b > 0，且 ab =1，則 + + 的最小值為 ，此
a b 2a + b
時a = ．
【方法技巧】
1、通過添項、拆項、變系數(shù)等方法湊成和為定值或積為定值的形式．
2、注意驗證取得條件．
1
【變式 3-1】若 x > -2 ，則 f x = x + 的最小值為 .
x + 2
f x 3x 2 4【變式 3-2】函數(shù) = + + （ x > 0）的最小值為 ．
x +1
3t + 3
【變式 3-3】（2024·高三·天津河北·期末）已知 t > 0，則 + t 的最小值為 .
2t +1
題型四：化為單變量法
【典例 4-1】（2024·高三·上海·競賽）若正實數(shù) a,b滿足 ab = 2a + b，則a + 2b的最小值是 .
3
【典例 4-2】（2024·天津河東·一模）若 a > 0,b > 0, ab = 2 a + 4b + 2b，則 2 的最小值為 ．b +1
【方法技巧】
化為單變量法就是對應不等式中的兩元問題，用一個參數(shù)表示另一個參數(shù)，再利用基本不等式進行求
解．解題過程中要注意“一正，二定，三相等”這三個條件缺一不可！
【變式 4-1】（2024·陜西西安·三模）已知 x > 0, y > 0， xy + 2x - y =10 ，則 x + y 的最小值為 ．
【變式 4-2】已知實數(shù) x, y滿足3xy + y2 =1, y > 0，則 2x + y 的最小值是 ．
題型五：雙換元求最值
2 2
【典例 5-1】設 a,b為正實數(shù)，且 a + b = 3 a b，則 + 的最小值為 .
a + 2 b +1
x - 2y
【典例 5-2】（2024·江蘇南京·三模）若實數(shù) x, y滿足 2x2 + xy - y2 =1，則 5x2 - 2xy 的最大值+ 2y2
為 .
【方法技巧】
若題目中含是求兩個分式的最值問題，對于這類問題最常用的方法就是雙換元，分布運用兩個分式的
分母為兩個參數(shù)，轉(zhuǎn)化為這兩個參數(shù)的不等關(guān)系．
1、代換變量，統(tǒng)一變量再處理．
2、注意驗證取得條件．
【變式 5-1】若非零實數(shù) a，b 2 2
12ab
滿足9a + 4b =16，則 的最大值為 .
3a + 2b - 4
2y 4y
【變式 5-2】（2024·全國·模擬預測）已知 x + y =1(x > y > 0)，則 -x y x 3y 的取值范圍是 - + ．
題型六：“1”的代換求最值
1 2 1
【典例 6-1】已知 x > 0， y > 0，且 x + 2y = ，則 +x y 的最小值為 ．2
1 2 1
【典例 6-2】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知實數(shù) a > 0,b > 2，且 + = ，則 2a +b的最小
a +1 b - 2 3
值是 ．
【方法技巧】
1 的代換就是指湊出 1，使不等式通過變形出來后達到運用基本不等式的條件，即積為定值，湊的過
程中要特別注意等價變形．
1、根據(jù)條件，湊出“1”，利用乘“1”法．
2、注意驗證取得條件．
2
【變式 6-1】（2024·全國·模擬預測）已知 x >1， y > 0，且 x + = 2
1
y ，則
+ y 的最小值是 ．
x -1
【變式 6-2】（2024·河南·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，若 a + b + c = 2，則
4 1
+ 的最小值為 ．
a + b c
1 2
【變式 6-3】（2024·陜西咸陽·一模）已知 a > 0,b > 0，且 + =1，則 a + b 的最小值為 ．
a +1 b +1
題型七：齊次化求最值
2xy xy
【典例 7-1】已知 x > 0， y > 0， S = 2 2 +4x y x2 ，則（ ）+ + y2
9
A S B S 2 2． 的最大值是 ． 的最大值是
10 3
3
C．S D 9 2的最大值是 ．S 的最大值是
2 4
2
【典例 7-2】已知正實數(shù) a,b,c滿足b + c =1 8ab + a 18，則 + 的最小值為 .
bc a +1
【方法技巧】
齊次化就是含有多元的問題，通過分子、分母同時除以得到一個整體，然后轉(zhuǎn)化為運用基本不等式進
行求解．
【變式 7-1】（四川省成都市第七中學 2024 屆高三三診模擬考試文科數(shù)學試卷）設a > b > 0，若
a2 lb2 a
3 + b3
+ ，則實數(shù)l 的最大值為（ ）
a - b
A． 2 + 2 2 B．4 C． 2 + 2 D．2 2
1- x2
【變式 7-2】已知 x > 0， y > 0， x3 + y3 = x - y，則 2 的最小值是（ ）y
A．2 B． 2 + 3 C． 5 + 2 D． 2 2 + 2
題型八：利用基本不等式證明不等式
【典例 8-1】（2024 a b·全國·模擬預測）已知正實數(shù) a,b滿足 + = 2．求證：
b a
(1) a3 + b3 a + b ；
1 1 2
(2) 2a + 2b a 4 + b4 ÷ ．
è
【典例 8-2】（2024·陜西西安·二模）已知函數(shù) f (x) =| 2x - 2 | + | x +1|的最小值是m .
(1)求m 的值；
(2)若 a > 0，b > 0，且 a + b = m，證明： a +1 + b +1 2 2 .
【方法技巧】
類似于基本不等式的結(jié)構(gòu)的不等式的證明可以利用基本不等式去組合、分解、運算獲得證明．
【變式 8-1】（2024·高三·陜西西安·期中）已知 a > 0,b > 0，且 a3 + b3 =16 .
(1)求 ab - 2 ab 的最大值與最小值；
1 4
(2)證明： + >1 .
a2 b2
【變式 8-2】（2024·河南·模擬預測）已 a,b,c均為正數(shù)，且 a + b + c = 4，證明：
b2 c2(1) a2 8+ + ；
4 9 7
1 1 1 9
(2) + + ．
a + c a + b b + c 8
【變式 8-3】（1）設 a,b,c R,且 a + b + c = 0, abc =1．證明： ab + bc + ca < 0；
（2）已知 a,b,c
1 1 1
為正數(shù)，且滿足 abc =1．證明： + + a2 + b2 + c2
a b c
題型九：利用基本不等式解決實際問題
x + y
【典例 9-1】（2024·廣東湛江·二模）當 x > 0， y > 0時， xy .這個基本不等式可以推廣為當 x，
2
y > 0時，lx + m y xl ym ，其中l(wèi) + m =1且l > 0，m > 0 .考慮取等號的條件，進而可得當 x y 時，
1 1
lx + m y xl
19
ym .用這個式子估計 10 可以這樣操作：102 92
1 1 19
10 + 9 = ，則 10 3.167 .用這
2 2 2 6
樣的方法，可得 3 28 的近似值為（ ）
A．3.033 B．3.035 C．3.037 D．3.039
【典例 9-2】（2024·云南楚雄·模擬預測）足球是一項深受人們喜愛的體育運動.如圖，現(xiàn)有一個 11 人制
的標準足球場，其底線寬 AB = 68m，球門寬 EF = 7.32m，且球門位于底線 AB 的中間，在某次比賽過程中，
攻方球員帶球在邊界線 AC 上的M 點處起腳射門，當 EMF 最大時，點M 離底線 AB 的距離約為（ ）
A． 26.32m B． 28.15m C．33.80m D．37.66m
【方法技巧】
1、理解題意，設出變量，建立函數(shù)模型，把實際問題抽象為函數(shù)的最值問題．
2、注意定義域，驗證取得條件．
3、注意實際問題隱藏的條件，比如整數(shù)，單位換算等．
【變式 9-1】（2024·湖南·一模）某農(nóng)機合作社于今年初用 98 萬元購進一臺大型聯(lián)合收割機，并立即投
入生產(chǎn).預計該機第一年（今年）的維修保養(yǎng)費是 12 萬元，從第二年起，該機每年的維修保養(yǎng)費均比上一
年增加 4 萬元.若當該機的年平均耗費最小時將這臺收割機報廢，則這臺收割機的使用年限是（ ）
A．6 年 B．7 年 C．8 年 D．9 年
【變式 9-2】（2024·黑龍江哈爾濱·一模）已知某商品近期價格起伏較大，假設第一周和第二周的該商品
的單價分別為 m 元和 n 元 (m n)，甲、乙兩人購買該商品的方式不同，甲每周購買 100 元的該商品，乙每
周購買 20 件該商品，若甲、乙兩次購買平均單價分別為 a1,a2，則（ ）
A． a1 = a2 B． a1 < a2 C． a1 > a2 D． a1,a2的大小無法確定
【變式 9-3】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）小明在春節(jié)期間，預約了正月初五上午去美術(shù)館欣賞油畫，
其中有一幅畫吸引了眾多游客駐足觀賞，為保證觀賞時可以有最大視角，警衛(wèi)處的同志需要將警戒線控制
在距墻多遠處最合適呢？（單位：米，精確到小數(shù)點后兩位）已知該畫掛在墻上，其上沿在觀賞者眼睛平
視的上方 3 米處，其下沿在觀賞者眼睛平視的上方 1 米處.（ ）
A．1.73 B．1.41 C．2.24 D．2.45
題型十：與 a+b、平方和、 ab 有關(guān)問題的最值
【典例 10-1】（多選題）（2024·湖南·模擬預測）已知 a > 0,b > 0,a + b = ab，則（ ）
A． a + b 4 B． ab 4
1 2 2
C． a + 4b 9 D． 2 + a b2 3
3
【典例 10-2】（多選題）（2024·高三·海南·期末）已知 a > 0,b > 0，且a + b - ab = ，則（
4 ）
1 9
A． a + b 3 B．0 < ab 或 ab
4 4
C． (a 1)2 (b 1)2
1 1 1 1 4 1 1- + - D． < + 或 + 4
2 a b 3 a b
【方法技巧】
利用基本不等式變形求解
【變式 10-1】（多選題）若 a > 0，b > 0， a + b = 8，則下列不等式恒成立的是（ ）
A． ab 4 B． a + b 4
C． a2
1 4 9
+ b2 32 D． +
a b 8
【變式 10-2】（多選題）已知正數(shù) x, y滿足 x2 + xy + y2 = 9，則（ ）
A． xy 2 B． x2 + y2 6
C． x + y 2 3 D． x + y 6
題型十一：三角換元法
【典例 11-1】（多選題）若 x，y 滿足 x2 + y2 + xy =1，則（ ）.
A． x + y 2 3 B． x + y -1
3
x2 y2 3C + D x2 y2
2
． ． +
2 3
【典例 11-2】已知非負實數(shù) x ， y 滿足 2x2 + 4xy + 2y2 + x2 y2 = 9，則 2 2(x + y) + xy 的最大值為 .
【變式 11-1】已知實數(shù) x, y滿足 x2 - 2xy + 2y2 =1，則 x2 - 2y 的最大值為 .
【方法技巧】
出現(xiàn)平方和結(jié)構(gòu)（ma2 + nb2 ）形式，引入三角函數(shù)表示a和 b .
【變式 11-2】已知 x, y R+ ，滿足 2x + y =1，則 x + x2 + y2 的最小值為（ ）
4 2
A 1+ 2． B． C．1 D．
5 5 3
【變式 11-3】（2024 屆廣東省惠州市大亞灣區(qū)普通高中畢業(yè)年級聯(lián)合模擬考試（一）數(shù)學試卷）已知
P 3x + yx, y 為函數(shù) y x2 3= + 圖象上一動點，則 2 2 的最大值為 ．4 x + y
【變式 11-4】（2024·高三·重慶·開學考試）已知實數(shù) a,b滿足 a2 - ab + b2 =1，則ab的最大值為 ；
1 1
2 + 2 的取值范圍為 ．a(chǎn) +1 b +1
題型十二：多次運用基本不等式
【典例 12-1】（2024·全國·模擬預測）已知 a > 0，b > 0，且 ab = 32 ，則 4a2 + b + 2a ×b的最小值為 ．
5 - 8xy
【典例 12-2】已知正實數(shù) x 、 y 、 z 滿足 x2 + y2 + z2 =1，則 的最小值是（ ）
z
A．6 B．5 C． 4 D．3
【方法技巧】
多次運用不等式求最值，取到最值時要注意的是每次取等的條件是否一致.
2 2
12-1 2024 a > 0, b > 0 a + 4b + a
3b3
【變式 】（ ·天津·一模）已知 ，則 2 2 的最小值為 .a b
8ab2 + a 16
【變式 12-2】對任意的正實數(shù) a,b,c，滿足b + c =1，則 + 的最小值為 .
bc a +1
題型十三：待定系數(shù)法
【典例 13-1】（2024·高三·河北邢臺·期末）設 a,b R ，若 4a2 + b2 + 2ab = 6，則3a2 + 2b2的最小值為
（ ）
A．6 B．3 3 C．2 6 D．4
【典例 13-2】已知實數(shù) a，b ， c滿足 a2 + b2 + c2 =1，則ab + bc + 2ca的最大值為
【方法技巧】
ax2 + by2 + cz
2
出現(xiàn) 結(jié)構(gòu)形式，通常用待定系數(shù)法.
mxz + nxy + tyz
xy + yz
【變式 13-1】已知 x，y，z 為正實數(shù)，則 x2 的最大值為+ y2 + z2
A．1 B．2 C 2． D． 2
2
10x2 +10y2 + z2
【變式 13-2】 x, y, z為正整數(shù)，求 的最小值為 .
xy + yz + xz
題型十四：多元均值不等式
【典例 14-1】已知 xy = 1(x > 0)，則16x + y2 的最小值為 .
x
14-2 f x 81 + 4 ×9
- x + 4 ×3x +1
【典例 】函數(shù) = 的最小值是（ ）
9x + 2 ×3- x
8 10
A．2 2 B．3 C． D．3 3
【方法技巧】
a1 + a2 + a3 + ......+ a
n
n n a1a2a3......an ，a1,a2,a3,......,an 為正數(shù).
【變式 14-1】已知 xyz+y+z=12，則 log4 x + log2 y + log2 z 的最大值為 .
14-2 x、y x2 + y2
1 1 27 15 3
【變式 】設正實數(shù) 滿足 + + =x y 4 ，則
P = -
x 4y 的最小值為 .
題型十五：萬能 K 法
【典例 15-1】（2024·安徽·模擬預測）已知正實數(shù)m, n滿足 2m3 + 2n3 + 6mn = 27 ，則m + n的取值范圍
為 .
【典例 15-2】（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知實數(shù) x, y，滿足 x2 + xy + 3y2 = 3，則 x + y 的最大值為
（ ）
A 3 11 B 6 11 C 3 +1 3 + 3． ． ． D．
11 11 3 3
【方法技巧】
利用一元二次方程有實數(shù)根時 Δ 0 .
【變式 15-1】若正數(shù) a，b ， c滿足a2 + b2 + c2 - ab - bc = 1，則 c的最大值是 .
【變式 15-2】已知實數(shù) x，y，z 滿足 x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx =1，則下列說法錯誤的是（ ）
A． xyz 6的最大值是 B． x + y + z 6的最大值是
6 2
C x 6． 的最大值是 D． x + y 的最大值是 2
2
題型十六：與基本不等式有關(guān)的恒(能)成立問題
【典例 16-1】已知 x > 0, y 0
1 1 2
> ，且 + =x 2 y 7 ，若 x + 2 + y > m
2 + 5m恒成立，則實數(shù)m 的取值范圍是
+
（ ）
A． -4,7 B． -2,7 C． -4,2 D． -7,2
【典例 16-2】已知 x > 0， y > 0，且 x + 9y = xy ，若不等式 a x + y 恒成立，則 a 的取值范圍是（ ）
A． - ,6 B． - ,16
C． - ,8 D． - ,9
【方法技巧】
$x M ，使得 f (x)…a ，等價于 f (x)max…a ， $x M ，使得 f (x) a ，等價于 f (x)min a
x 4x 1【變式 16-1】（2024·遼寧·模擬預測）若關(guān)于 的不等式 + 4對任意 x > 2恒成立，則正實數(shù) a
a x - 2
的取值集合為 ．
【變式 16-2】（2024·山西晉中·二模）若對任意 x > 0， x3 + 5x2 + 4x ax2 恒成立，則實數(shù) a的取值范圍
是 .
題型十七：基本不等式與其他知識交匯的最值問題
【典例 17-1】（2024 m n·上海楊浦·一模）已知 (1+ x) + (1+ x) = a0 + a1x + a2x
2 +L+ a m+nm+n x （m 、 n為正整
數(shù)）對任意實數(shù) x 都成立，若 a1 = 12，則 a2 的最小值為 .
【典例 17-2】（2024·四川南充·二模）在VABC 中，a，b，c 分別為內(nèi)角 A，B，C 的對邊．已知
a = 2,2sin B + 2sin C = 3sin A．則 sin A 的最大值為
【方法技巧】
基本不等式經(jīng)常與解三角形、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等知識匯合求最值.
2 2
【變式 17-1】（2024·寧夏銀川·二模）已知 A(3,0), B(-3,0) ，P x y是橢圓 + =1上的任意一點，則
25 16
| PA | × | PB |的最大值為 .
uuur uuur uuur
【變式 17-2】（2024·全國·模擬預測）已知正三棱錐P - ABC 滿足 3AP + AB + AC = 3，則該三棱錐側(cè)面
積的最大值為 ．
題型十八：整體配湊法
【典例 18-1】（2024·遼寧葫蘆島·二模）若 a > 0, b > 0， 2ab + a + 2b = 3，則a + 2b的最小值是 （ ）
A 2． B．1
2
C．2 D 3 2．
2
【典例 18-2】（2024·山東濰坊·二模）已知正實數(shù) a，b 滿足 a2 + 2ab + 4b2 = 6，則a + 2b的最大值為（ ）
A． 2 5 B．2 2 C． 5 D．2
【方法技巧】
整體配湊法原理是把目標當作一個整體，然后利用基本不等式求最值.
3 4
【變式 18-1】（2024·高三·湖北·開學考試）已知正數(shù) a,b滿足 a + 3b + + =18，則 a + 3b的最大值
a b
是 .
2 4
【變式 18-2】（2024·全國·模擬預測）在解決問題“已知正實數(shù) x, y滿足 x + + 3y + = 10 ，求 xyx y 的取值范
圍”時，可通過重新組合，利用基本不等式構(gòu)造關(guān)于 xy的不等式，通過解不等式求范圍．具體解答如下：
由10

= x 4 + + 2 ÷ + 3y
4 2
÷ 2

x + ÷ + 3y

÷ = 2 3xy
8
+ +14 ，得3 xy 2 -11xy + 8 0，即
è y è x è y è x xy
xy -1 3xy -8 0 xy é1, 8ù，解得 的取值范圍是 ê 3ú．
請參考上述方法，求解以下問題：
已知正實數(shù) x, y
2 4 x
滿足 x + + 3y + = 10x y ，則 y 的取值范圍是 ．
【變式 18-3】已知 a,b a b 2 2為正實數(shù)且 + + + = 6a b ，則 a + b 的取值范圍為 .
1．（2022 年高考全國甲卷數(shù)學（文）真題）已知9m =10,a =10m -11,b = 8m - 9，則（ ）
A．a(chǎn) > 0 > b B．a(chǎn) > b > 0 C．b > a > 0 D．b > 0 > a
2．（2021 年浙江省高考數(shù)學試題）已知a , b ,g 是互不相同的銳角，則在 sina cos b ,sin b cosg ,sing cosa 三
1
個值中，大于 2 的個數(shù)的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2021 年全國高考乙卷數(shù)學（文）試題）下列函數(shù)中最小值為 4 的是（ ）
A． y = x2 + 2x + 4 B． y
4
= sin x +
sin x
C． y = 2x + 22-x D． y = ln x
4
+
ln x
1
1．（1）已知 x >1，求 x + 的最小值；
x -1
（2）求 x(10 - x) 的最大值.
2．某公司建造一間背面靠墻的房屋，地面面積為 48m2 ，房屋正面每平方米的造價為1200元，房屋側(cè)面每
平方米的造價為800元，屋頂?shù)脑靸r為5800元，如果墻高為3m，且不計房屋背面和地面的費用，那么怎
樣設計房屋能使總造價最低？最低總造價是多少？
3．已知 x 、 y 、 z 都是正數(shù)，求證： x + y y + z z + x 8xyz .
4．設矩形 ABCD（AB>AD）的周長為 24，把△ABC 沿 AC 向△ADC 折疊，AB 折過去后交 DC 于點 P，設
AB=x，求△ADP 的最大面積及相應 x 的值.
5．一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金，一位顧客到店里購買10g 黃金，售貨員先將5g 的砝碼放
在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將5g 的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃
金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.你認為顧客購得的黃金是小于10g ，等于
10g ，還是大于10g ？為什么？
易錯點：忽視基本不等式應用條件
易錯分析： 基本不等式 a + b…2 ab(a > 0,b > 0) 取等號的條件是“一正，二定，三相等”．在解題
過程中，一定要先檢查取等的三個條件是否成立．常見的技巧是①如果積或和不是定值，則構(gòu)造“定值”；
②若是 a > 0,b > 0不能保證，可構(gòu)造“正數(shù)”；③若等號不能成立，可根據(jù)“對勾函數(shù)”圖象，利用函
數(shù)的單調(diào)性求解．
答題模板：利用基本不等式求最值（和定或積定）
1、模板解決思路
在求代數(shù)式的最值，特別是求代數(shù)式的和或積的最值時，通常根據(jù)已知條件和所求問題湊配出和或積
為定值的兩個形式，然后利用基本不等式求解．利用基本不等式求最值需注意“一正、二定、三相等”．
2、模板解決步驟
第一步：將所求代數(shù)式湊配出兩個代數(shù)式的和（或積）形式，且兩個代數(shù)式的積（或和）為定值．
第二步：驗證兩個代數(shù)式均為正數(shù)．
第三步：應用基本不等式將變形后的代數(shù)式進行放縮．
第四步：驗證取等的條件．
【易錯題 1】已知實數(shù) x, y滿足 x + 2y = 2，則3x + 9y （ ）
A．有最大值2 2 B．有最小值2 2
C．有最小值 6 D．有最大值 6
【易錯題 2】下列命題中錯誤的是（ ）
1 1
A．當 x > 0時， x + 2 B．當 x > 2時， x + 的最小值為 2
x x
3 4
C．當 0 < x < 4時， x(4 - x) 2 D．當 x < 時， 2x -1+ -2
2 2x - 3
2 1 2
【易錯題 3】函數(shù) f (x) = x + 2 + 2x + , x < 0的最小值為（ ）x x
A．-3 B．-2 C．1 D．6

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