資源簡介

第 04 講 解三角形
目錄
01 模擬基礎練 ......................................................................................................................................2
題型一：正弦定理的應用....................................................................................................................2
題型二：余弦定理的應用....................................................................................................................2
題型三：判斷三角形的形狀................................................................................................................2
題型四：正、余弦定理的綜合運用....................................................................................................3
題型五：正、余弦定理與三角函數性質的結合應用........................................................................3
題型六：解三角形的實際應用............................................................................................................4
題型七：倍角關系................................................................................................................................5
題型八：三角形解的個數....................................................................................................................6
題型九：三角形中的面積與周長問題................................................................................................7
02 重難創新練 ......................................................................................................................................8
03 真題實戰練 ....................................................................................................................................11
題型一：正弦定理的應用
1．在VABC 中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，且b = 2,a = 2, B = 30°，則C = .
4
2．在VABC 5中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c， cos A = ， cos B = ， a = 2，則 c = .
5 13
sinC b
3．已知VABC 的內角A ， B ，C的對邊分別為 a，b ， c，若 + =1，則角 A = .
sinA + sinB a + c
題型二：余弦定理的應用
4．在銳角三角形 ABC 中，角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，若VABC 的面積為
3 bcsinB + c2sinC - acsinA
，則角A = .
4sinC
VABC sin C sin A - sin B5．在 中， = ，則角A = .
sin A + sin B sin B + sin C
6．在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，若 a : b : c = 5 : 7 :8，則VABC 中角 B 的大小是（ ）
A．135o B．120o C．90o D．60o
題型三：判斷三角形的形狀
VABC cos2 B a + c7．（2024·高三·廣東廣州·開學考試）在 中， = ，則VABC 的形狀為 三角形．
2 2c
8．在VABC 1- cos 2C中，有 2sin(A + B) -1 = ，試判斷VABC 的形狀 （從“直角三角形”，“銳角三角
2
形”，“鈍角三角形”中選一個填入橫線中）.
9．在VABC 中，角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，且 a - b = c × (cos B - cos A)，則VABC 的形狀為 .
10．對于VABC ，有如下四個命題:
①若 sin 2A = sin 2B ，則VABC 為等腰三角形，
②若 sin B = cos A，則VABC 是直角三角形
③若 sin2 A + sin2 B < sin2 C ，則VABC 是鈍角三角形
a b c
A = B =④若 cos cos cos C ，則VABC 是等邊三角形.
2 2 2
其中正確的命題序號是
11．已知DABC 的三個內角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，滿足 cos2 A - cos2 B + cos2 C =1+ sin Asin C ，且
sin A + sin C =1，則DABC 的形狀為
A．等邊三角形 B．等腰直角三角形
C．頂角為150o的等腰三角形 D．頂角為120o的等腰三角形
題型四：正、余弦定理的綜合運用
π
12．（2024·北京西城·三模）在VABC 中，若 c = 2， a = 3， A = ，則 sin C = ，b = .6
13．（2024·貴州六盤水·三模）在VABC 中， AB = 2， AC = 3， A
π
= ，則VABC 外接圓的半徑為（　　）
3
A 7 B 21． ． C 2 7 2 21． D．
3 3 3 3
14 2 2．設△ABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，若 sin A = sin B ，且 c = 2a 1+ sin C ，則C =
（ ）
p π π 3p
A． B． C． D．
6 4 3 4
題型五：正、余弦定理與三角函數性質的結合應用
15．（2024·湖南·模擬預測）已知函數 f (x) = 2 3 sin x cos x - 2cos2 x .
(1)求函數 y = log2 f (x) 的定義域和值域；
A b + c(2)已知銳角VABC 的三個內角分別為 A，B，C，若 f 2 ÷
= 0，求 的最大值.
è a
x x x
16．（2024·湖南長沙·一模）已知函數 f x = 3 sin cos + cos2 .
4 4 4
2p
（1）若 f x =1，求 cos - x ÷的值.
è 3
（2）在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別是 a,b,c，且滿足 a cosC
1
+ c = b ，求 f B 的取值范圍.
2
A, B,C a,b,c ar p
r
17．在DABC 中，角 的對邊分別為 .已知向量 = sin A + ÷ , -1÷，向量b = 1,cos A ，且
è è 6
r
ar 1×b = .
2
（1）求角A 的大小；
（2）若b = 4 ， c = 5，求 sin 2B 的值.
題型六：解三角形的實際應用
18．（2024·山東臨沂·一模）在同一平面上有相距 14 公里的 A, B兩座炮臺，A 在 B 的正東方.某次演習時，A
向西偏北q 方向發射炮彈， B 則向東偏北q 方向發射炮彈，其中q 為銳角，觀測回報兩炮彈皆命中 18 公里
q
外的同一目標，接著A 改向向西偏北 方向發射炮彈，彈著點為 18 公里外的點M ，則 B 炮臺與彈著點M
2
的距離為（ ）
A．7 公里 B．8 公里 C．9 公里 D．10 公里
19．（2024·江蘇揚州·模擬預測）《海島算經》是魏晉時期數學家劉徽所著的測量學著作，書中有一道測量
山上松樹高度的題目，受此題啟發，小李同學打算用學到的解三角形知識測量某建筑物上面一座信號塔的
高度．把塔底與塔頂分別看作點 C，D，CD 與地面垂直，小李先在地面上選取點 A，B，測得 AB = 20 3m，
在點 A 處測得點 C，D 的仰角分別為30°， 60°，在點 B 處測得點 D 的仰角為30°，則塔高 CD 為 m．
20．（2024·湖南岳陽·二模）岳陽樓地處岳陽古城西門城墻之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳陽
樓記》著稱于世，自古有“洞庭天下水，岳陽天下樓”之美譽．小明為了測量岳陽樓的高度 AB ，他首先在C
處，測得樓頂A 的仰角為60°，然后沿BC方向行走 22.5 米至D處，又測得樓頂A 的仰角為30°，則樓高 AB
為 米．
21．中華人民共和國國歌有 84 個字，37 小節，奏唱需要 46 秒，某校周一舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡
度15o的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60o 和30o，第一
排和最后一排的距離為10 2 米（如圖所示），旗桿底部與第一排在同一個水平面上.要使國歌結束時國旗剛
好升到旗桿頂部，升旗手升旗的速度應為 （米/秒）
22．（2024·上海金山·二模）某臨海地區為保障游客安全修建了海上救生棧道，如圖，線段BC、CD 是救
生棧道的一部分，其中BC = 300m，CD = 800m， B 在A 的北偏東30°方向，C在A 的正北方向，D在A 的
北偏西80°方向，且 B = 90°．若救生艇在A 處載上遇險游客需要盡快抵達救生棧道B - C - D ，則最短距離
為 m．(結果精確到 1 m)
題型七：倍角關系
23．（多選題）（2024·河北·三模）已知VABC 內角 A、B、C 的對邊分別是 a、b、c， A = 2B，則（ ）
A a2 = c b + c B b a
2
． ． + 2 的最小值為 3c b
C．若VABC
c
為銳角三角形，則 1,2 D．若 a = 2 6 ，b = 3，則 c = 5b
24．在銳角VABC 中，內角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，若 a2
c 2
= b2 + bc ，則 + 的最小值為 .
b cos2B
25．設VABC 的內角 A, B,C 所對邊的長分別是 a,b,c，且 A = 2B,b c, D 為BC邊上的中點，且 AD = 2c ，
則 cosA = ．
26．在銳角VABC 中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，滿足 a2 - b2 = bc ．
(1)求證： A = 2B；
(2)若b =1，求 a 邊的范圍；
1 1
(3)求 - + 2sin Atan B tan A 的取值范圍．
題型八：三角形解的個數
27．（2024·北京朝陽·一模）在VABC 中，a = 4 2，b = m， sin A - cos A = 0．
（1）若m = 8，則 c = ；
（2）當m = （寫出一個可能的值）時，滿足條件的VABC 有兩個．
28．（2024·上海閔行·模擬預測）已知VABC 中， A， B， C 的對邊分別為 a，b ， c，若b = 4 ，
c = 6，給出下列條件中：① A = 30°，② B = 30°，③ SVABC = 6，能使VABC 有兩解的為 .（請寫
出所有正確答案的序號）
29．已知 a,b,c分別是VABC 內角 A, B,C
π
所對的邊，若b = 2 ， A = ，且VABC 有唯一解，則 a的取值范圍
6
為 .
30．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）沈陽二中北校區坐落于風景優美的輝山景區，景區內的一泓碧水蜿蜒形成
了一個“秀”字，故稱“秀湖”．湖畔有秀湖閣 A 和臨秀亭 B 兩個標志性景點，如圖．若為測量隔湖相望的
A 、 B 兩地之間的距離，某同學任意選定了與A 、 B 不共線的C處，構成VABC ，以下是測量數據的不同方
案：
①測量 A、 AC 、BC；
②測量 A、 B、BC；
③測量 C 、 AC 、BC；
④測量 A、 C 、 B．
其中一定能唯一確定A 、 B 兩地之間的距離的所有方案的序號是 ．
題型九：三角形中的面積與周長問題
31．（2024·山東·模擬預測）VABC 內角A ， B ，C的對邊分別為 a，b ， c，若b = 2a sin B，bc = 4，則
VABC 的面積為 .
32．（2024·安徽滁州·模擬預測）已知VABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c, a
r
= a,c - b ，
r r
b =（sinC + sinB,sinA + sinB r）且a P b ．
(1)求角C；
(2) V 3 3若 c = 3 2, ABC 的面積為 ，求VABC 的周長．
2
33．（2024·北京西城·二模）已知函數 f (x) = 3 sin x
x
+ 2cos2 ．在VABC 中， f (A) = f (B) ，且 a b ．
2
(1)求 C 的大小；
(2)若 c = 5，且VABC 的面積為 2 3 ，求VABC 的周長．
1．（2024·河南信陽·模擬預測）設VABC 的內角A ， B ，C的對邊分別為 a，b ， c，已知 a = 9,b = 8,c = 5，
則VABC 的外接圓的面積為（ ）
225 π 125 π 123A． B． C． π
113
D． π
11 11 6 6
2
2．（2024·重慶·模擬預測）記VABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，若B = π,b = 6, a2 + c2 = 3ac ，則VABC
3
的面積為（ ）
9
A 9 3． B C 9 3 D
9
． ． ．
4 4 2 2
3．（2024·新疆喀什·三模）在VABC 中， AB = 2，BC = 7 ， BAC =120° ，D是BC邊一點， AD是 BAC
的角平分線，則 AD =（ ）
A 2． 3 B．1 C．2 D． 3
4．（2024·陜西·模擬預測）在VABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，
c sin A - sin C = a - b sin A + sin B ，若VABC 3的面積為 ，周長為3b，則 AC 邊上的高為（ ）
4
A 3 B 3． ． C． 3 D． 2 3
3 2
5．（2024·湖南衡陽·三模）在VABC 中，內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，若b = c，D為 AC 的中點，
bsin A = 2sin ABD ，則BD = （ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
6．（2024·北京·三模）在四棱錐 P- ABCD中，底面 ABCD為正方形， AB = 4， PC = PD = 3， PCA = 45°，
則VPBC的周長為（ ）
A．10 B．11 C．7 + 17 D．12
7．（2024·陜西安康·模擬預測）在VABC 中，三個內角A ， B ，C所對的邊分別為 a，b ， c，且
acos π B + ÷ = bsinA，若 a = 3， c = 2，則b =（ ）
è 6
A．1 B．2 C． 2 3 D．4
8．（2024·浙江紹興·三模）在VABC 中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c．若
2bcos(B + C) - a cosC = c cos A，則 A 等于（ ）
p p p 2p
A． B． C． D．
6 4 3 3
9．（多選題）（2024·安徽安慶·模擬預測）在VABC 3中，面積 S = a2 + c2 - b2 ，則下列說法正確的是4
（ ）
A．B = 60o
c
B．若VABC 是銳角三角形，則 < a < 2c
2
C．若b = 2 ，則 S 3
D．若角 B 的平分線長為 3，則 a + 4c 10
10．（多選題）（2024·廣東佛山·一模）在VABC 中， A, B,C 所對的邊為 a,b,c，設BC邊上的中點為M ，
VABC 的面積為S，其中 a = 2 3 ，b2 + c2 = 24，下列選項正確的是（ ）
A π．若 A = 3 ，則 S = 3 3 B．S的最大值為3 3
C． AM
π
= 3 D．角A 的最小值為
3
11．（多選題）在VABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，下列命題正確的是（ ）
A．若 A = 30°，b = 4 ， a = 3，則VABC 有兩解
B．若 A = 60°， a = 2，則VABC 的面積最大值為 2 3
C．若 a = 4，b = 5， c = 6，則VABC 8 7外接圓半徑為
7
D．若a cos A = bcos B ，則VABC 一定是等腰三角形
12．（2024·陜西銅川·模擬預測）在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別是 a,b,c，已知b = c = 5，三角形面積為
12，則a = ．
1
13．（2024·新疆·三模）在VABC 中，3sin A = 2sin C ， cos B = .則 sin A = .
3
1
14．（2024·四川成都·模擬預測）在VABC 中，已知 BC =1， AC = 2， cosC = ，則 sin 2 A = ．
4
15．（2024·湖南長沙·三模）記VABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，已知 a = 2,b = 4 .
(1)若 cosB + 2cosA = ccosC ，求C的值；
(2)若D是邊 AB 上的一點，且CD 平分 ACB, cos ACB
1
= - ，求CD 的長.
9
16．（2024·江西新余·二模）在VABC 中，內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，且VABC 的面積
S 1= a2 + c2 - b2 sin B .2
(1)求角 B；
(2)若 ABC 的平分線交 AC 于點 D， a = 3， c = 4，求BD的長.
17．（2024·天津南開·二模）在VABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c.已知
c2 = a2 + b2 - 4bc cosC ， sin A = cosC .
(1)求證： a = 2c ；
(2)求 cosC 的值；

(3)求 cos B
π
+ ÷的值.
è 3
18．（2024·天津河北·二模）在VABC 中，角A ， B ，C的對邊分別為 a，b ， c，已知 c = 4,b = 3 .
cosC 1(1)若 = - ，求 a的值和VABC 的面積；
4
π
(2)在（1）的條件下，求 cos 2C + ÷的值；
è 3
(3)若 A = 2B，求 a的值.
19．（2024·內蒙古呼和浩特·二模）在VABC 中，記角A 、 B 、C的對邊分別為 a、b 、 c，已知
3a = 3ccosB + csinB ．
(1)求角C；
(2)已知點D在 AC 邊上，且 AD = 2DC ，BC = 6，BD = 2 7 ，求VABC 的面積．
1．（2024 年上海高考數學真題）已知點 B 在點 C 正北方向，點 D 在點 C 的正東方向，BC = CD ,存在點 A
滿足 BAC =16.5°, DAC = 37°，則 BCA = (精確到 0.1 度)
2．（2022 年高考全國甲卷數學（理）真題）已知VABC 中，點 D 在邊 BC 上，
ADB =120°, AD = 2,CD = 2BD AC．當 取得最小值時，BD = ．
AB
3．（2024 年新課標全國Ⅰ卷數學真題）記VABC 的內角 A、B、C 的對邊分別為 a，b，c，已知
sinC = 2 cos B， a2 + b2 - c2 = 2ab
(1)求 B；
(2)若VABC 的面積為3+ 3 ，求 c．
4．（2024 年北京高考數學真題）在VABC 中，內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c， A為鈍角， a = 7，
sin 2B 3= b cos B．
7
(1)求 A；
(2)從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得VABC 存在，求VABC 的面積．
b 7 cos B 13 c sin A 5條件①： = ；條件②： = ；條件③： = 3 ．
14 2
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得 0 分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解
答計分．
5．（2024 年新課標全國Ⅱ卷數學真題）記VABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，已知
sin A + 3 cos A = 2 ．
(1)求 A．
(2)若 a = 2， 2bsinC = csin 2B，求VABC 的周長．
6．（2024 年天津高考數學真題）在VABC 中，角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，已知
cosB 9 a 2= ，b = 5， = ．
16 c 3
(1)求 a；
(2)求sinA；
(3)求 cos B - 2A 的值．
7．（2023 年高考全國甲卷數學（文）真題）記VABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，已知
b2 + c2 - a2
= 2．
cosA
(1)求bc ；
acosB - bcosA b
(2)若 - = 1，求VABC 面積．
acosB + bcosA c
8．（2023 年高考全國乙卷數學（理）真題）在VABC 中，已知 BAC =120° ， AB = 2， AC =1 .
(1)求 sin ABC ；
(2)若 D 為 BC 上一點，且 BAD = 90°，求△ADC的面積.
9．（2023 年新課標全國Ⅰ卷數學真題）已知在VABC 中， A + B = 3C,2sin A - C = sin B ．
(1)求sinA；
(2)設 AB = 5，求 AB 邊上的高．
10．（2023 年新課標全國Ⅱ卷數學真題）記VABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，已知VABC 的面積為
3，D為BC中點，且 AD =1．
π
(1)若 ADC = ，求 tan B ；
3
(2)若b2 + c2 = 8，求b,c．
11．（2022年新高考浙江數學高考真題）在VABC 中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知
4a = 5c,cosC 3= ．
5
(1)求 sin A 的值；
(2)若b =11，求VABC 的面積．
12．（2022 年新高考全國 II 卷數學真題）記 VABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，分別以 a，b，
c 3 1為邊長的三個正三角形的面積依次為 S1, S2 , S3 ，已知 S1 - S2 + S3 = ,sin B = ．2 3
(1)求VABC 的面積；
(2)若 sin AsinC 2= ，求 b．
3
13．（2022 年高考全國乙卷數學（文）真題）記VABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c﹐已知
sin C sin A - B = sin B sin C - A ．
(1)若 A = 2B，求 C；
(2)證明： 2a2 = b2 + c2
14．（2022 年高考全國乙卷數學（理）真題）記VABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，已知
sinC sin(A - B) = sin B sin(C - A)．
(1)證明： 2a2 = b2 + c2；
(2)若a = 5,cos A
25
= ，求VABC 的周長．
31
15．（2022 年新高考北京數學高考真題）在VABC 中， sin 2C = 3 sin C ．
(1)求 C ；
(2)若b = 6，且VABC 的面積為6 3 ，求VABC 的周長．
16．（2022年新高考全國 I卷數學真題）記VABC 的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知
cos A sin 2B
= ．
1+ sin A 1+ cos2B
2p
(1)若C = ，求 B；
3
2 2
(2) a + b求 2 的最小值．c第 04 講 解三角形
目錄
01 模擬基礎練 ......................................................................................................................................2
題型一：正弦定理的應用....................................................................................................................2
題型二：余弦定理的應用....................................................................................................................3
題型三：判斷三角形的形狀................................................................................................................4
題型四：正、余弦定理的綜合運用....................................................................................................5
題型五：正、余弦定理與三角函數性質的結合應用........................................................................6
題型六：解三角形的實際應用............................................................................................................8
題型七：倍角關系..............................................................................................................................12
題型八：三角形解的個數..................................................................................................................16
題型九：三角形中的面積與周長問題..............................................................................................18
02 重難創新練 ....................................................................................................................................20
03 真題實戰練 ....................................................................................................................................31
題型一：正弦定理的應用
1．在VABC 中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，且b = 2,a = 2, B = 30°，則C = .
【答案】15°或105°
【解析】在VABC 中，b = 2,a = 2, B = 30°，
a b
則由正弦定理得 = 2 2= 2， ，得 sin A = ，sin A sin B sin A sin 30° 2
因為0° < A<150°，所以 A = 45° 或 A = 135° ，
當 A = 45° 時，C =180° - 45° - 30° =105°，
當 A = 135° 時，C =180° -135° - 30° =15°
故答案為：15°或105°
4
2．在VABC 5中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c， cos A = ， cos B = ， a = 2，則 c = .
5 13
42 3
【答案】 /3
13 13
4 5 2 3 2 12
【解析】在VABC 中，由 cos A = ， cos B = ，得 sin A = 1- cos A = ,sin B = 1- cos B = ，
5 13 5 13
則 sin C = sin(A + B) = sin Acos B + cos Asin B
3 5 4 12 63
= + = ，
5 13 5 13 65
c a 2 10
= = = 10 63 42
由正弦定理理 sin C sin A 3 3 ，所以 c = = .
5 3 65 13
42
故答案為：
13
3．已知VABC sinC b的內角A ， B ，C的對邊分別為 a，b ， c，若 + =1，則角 A = .
sinA + sinB a + c
π
【答案】
3
sin C b c b
【解析】由正弦定理角化邊可知， + = + =1，
sin A + sin B a + c a + b a + c
2
2 b + c
2 - a2 bc 1
整理為 b + c2 = a2 + bc ，即 cos A = = = ，
2bc 2bc 2
由于 A 0, π π，所以 A = 3 .
π
故答案為：
3
題型二：余弦定理的應用
4．在銳角三角形 ABC 中，角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，若VABC 的面積為
3 bcsinB + c2sinC - acsinA
，則角A = .
4sinC
π
【答案】
3
1 3 bc sin B + c2 sin C - ac sin A 【解析】由題， SVABC = bc sin A = ，2 4sin C
3 b2 + c2 - a2 3 b2 + c2 - a2
故bsin A = ，\sin A = ．\sin A = 3 cos A，
2c 2bc
Q0 < A π π< ，\ tanA = 3 ，\ A = ．
2 3
π
故答案為：
3
VABC sin C sin A - sin B5．在 中， = ，則角A = .
sin A + sin B sin B + sin C
2π
【答案】
3
sin C sin A - sin B c a - b
【解析】因為 = ，由正弦定理可得 = ，
sin A + sin B sin B + sin C a + b b + c
即bc + c2 = a2 - b2 ，
cos A b
2 + c2 - a2 -bc 1
由余弦定理 = = = - ，
2bc 2bc 2
Q A 0,π 2π，\ A = .
3
2π
故答案為：
3
6．在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，若 a : b : c = 5 : 7 :8，則VABC 中角 B 的大小是（ ）
A．135o B．120o C．90o D．60o
【答案】D
【解析】設 a : b : c = 5 : 7 :8 = k ，則 a = 5k,b = 7k,c = 8k ，
a2 + c2 - b2 5k 2 + 8k 2 - 7k 2 1
由余弦定理得 cos B = = = ，
2ac 2 5k ×8k 2
又B 0, π ，所以 B = 60° .
故選：D.
題型三：判斷三角形的形狀
B a + c
7．（2024· · · VABC cos2高三 廣東廣州 開學考試）在 中， = ，則VABC 的形狀為 三角形．
2 2c
【答案】直角
2 B a + c
【解析】在VABC 中，由 cos = ，得1+ cos B =1
a
+ ，即 a = c cos B ，
2 2c c
a2 + c2a c - b
2
由余弦定理得 = × ，整理得 a2 + b2 = c2 ，
2ac
所以VABC 是直角三角形.
故答案為：直角
8．在VABC 中，有 2sin(A B) 1 1- cos 2C+ - = ，試判斷VABC 的形狀 （從“直角三角形”，“銳角三角
2
形”，“鈍角三角形”中選一個填入橫線中）.
【答案】直角三角形
2 1- cos 2C 1- 1- 2sin2 C 【解析】由二倍角公式 cos 2C =1- 2sin C 可知， = = sin2 C = sin C = sin C ，
2 2
且注意到在VABC 中，有 sin(A + B) = sin(π - C) = sin C ，
2sin(A B) 1 1- cos 2C因此可將已知 + - = 轉換為 2sin C -1 = sin C ，解得sinC =1，
2
C VABC C π因為 是 的一個內角，所以 = ，即VABC 是直角三角形.
2
故答案為：直角三角形.
9．在VABC 中，角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，且 a - b = c × (cos B - cos A)，則VABC 的形狀為 .
【答案】直角三角形或等腰三角形
【解析】用正弦定理對條件進行邊角轉化，結合誘導公式，兩角和的正弦公式化簡后進行求解.
10．對于VABC ，有如下四個命題:
①若 sin 2A = sin 2B ，則VABC 為等腰三角形，
②若 sin B = cos A，則VABC 是直角三角形
③若 sin2 A + sin2 B < sin2 C ，則VABC 是鈍角三角形
a b c
A = =④若 cos cos B cos C ，則VABC 是等邊三角形.
2 2 2
其中正確的命題序號是
【答案】③④
【解析】對于① sin 2A
p
= sin 2B 可推出 A = B 或 A + B = ，故不正確；
2
②若B =100°, A =10°，顯然滿足條件，但不是直角三角形；
③由正弦定理得 a2 + b2 - c2 < 0 ，所以 cosC < 0，是鈍角三角形；
A B C A B C
④由正弦定理知 sin = sin = sin ，由于半角都是銳角，所以 = = ，三角形是等邊三角形.
2 2 2 2 2 2
故答案為：③④
11．已知DABC 的三個內角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，滿足 cos2 A - cos2 B + cos2 C =1+ sin Asin C ，且
sin A + sin C =1，則DABC 的形狀為
A．等邊三角形 B．等腰直角三角形
C．頂角為150o的等腰三角形 D．頂角為120o的等腰三角形
【答案】D
2
【解析】由題1- sin A - 1- sin2 B +1- sin2 C =1+ sin Asin C
a2 + c2 - b2 1
即 sin2 A + sin2 C - sin2 B = -sin Asin C ，由正弦定理及余弦定理得 = -
2ac 2
即 cos B
1
= - ,QB 0,p B 2 \ = p
2 3
sin A sin p A 1 sin A p故 + - =

÷ 整理得 + ÷ =1 ，故 A
p p
= ,\B =
è 3 è 3 6 6
故DABC 為頂角為120o的等腰三角形
故選 D
題型四：正、余弦定理的綜合運用
π
12．（2024·北京西城·三模）在VABC 中，若 c = 2， a = 3， A = ，則 sin C = ，b = .6
1
【答案】 3 / 3
3 3 ± 23
a c 3 2=
【解析】由正弦定理 = ，有 ，所以
sin A sin C sin π sin C sin C
3
= ，
6 3
2 π
由余弦定理 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A 3 = b2 + 22，有 - 2 2bcos ，6
解得b = 3 ± 2 .
3
故答案為： ， 3 ± 2 .
3
π
13．（2024·貴州六盤水·三模）在VABC 中， AB = 2， AC = 3， A = ，則VABC 外接圓的半徑為（　　）
3
A 7 B 21 C 2 7 D 2 21． ． ． ．
3 3 3 3
【答案】B
【解析】因為 AB = 2， AC 3 A
π
= ， = ，由余弦定理可得：
3
BC = AB2 + AC 2 - 4AB × AC cos A = 4 + 9 2 2 3- 3 = 7 ，
2
2R BC 7= = 21
設VABC 外接圓的半徑為 R ，由正弦定理可得： sin A 3 ，則R = ．
3
7
故選：B．
14 2 2．設△ABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，若 sin A = sin B ，且 c = 2a 1+ sin C ，則C =
（ ）
p π π 3p
A． B． C． D．
6 4 3 4
【答案】D
【解析】因為 sinA = sinB ，由正弦定理有 a = b，
根據余弦定理有 c2 = a2 + b2 - 2abcosC = 2a2 - 2a2cosC ，
且 c2 = 2a2 1+ sinC ，故有 sinC = -cosC ，即 tanC = -1，
又C 0, π 3π，所以C = .
4
故選：D .
題型五：正、余弦定理與三角函數性質的結合應用
15．（2024·湖南·模擬預測）已知函數 f (x) = 2 3 sin x cos x - 2cos2 x .
(1)求函數 y = log2 f (x) 的定義域和值域；
A b + c
(2)已知銳角VABC 的三個內角分別為 A，B，C，若 f ÷ = 02 ，求 的最大值.è a
π
【解析】（1） f (x) = 2 3 sin x cos x - 2cos2 x = 3 sin 2x - cos 2x -1 = 2sin 2x -

6 ÷
-1，
è
所以要使 y = log2 f (x) = log
é
2 ê2sin
2x π- ù ÷ -1ú 有意義，
è 6
只需 2sin
π π 1
2x - ÷ -1 > 0，即 sin 2x - ÷ > ，
è 6 è 6 2
π 2kπ 2x π 5π 2kπ,k π π所以 + < - < + Z，解得 + kπ < x < + kπ,k Z
6 6 6 6 2
π π
所以函數 y = log2 f (x) 的定義域為 + kπ, + kπ ÷ ,k Z，
è 6 2
由于0 < 2sin
2x π+ ÷ -1 1，所以 log2 f (x) log2 1 = 0，
è 6
所以函數 y = log2 f (x) 的值域為 - ,0 ；
A π π2
1
（ ）由于 f = 2sin2 ÷
A - ÷ -1 = 0，所以 sin A - ÷ = ，
è è 6 è 6 2
π π π π π π
因為 0 < A < ，所以- < A - < A - = A
π
2 ，所以 即
=
3 ，6 6 3 6 6
ì π

0 < B <
2 π π
由銳角VABC 可得 í ，所以 < B < ，
0 C 2π< = - B π< 6 2
3 2
b + c sin B + sin C 2 é π ù
由正弦定理可得 = = êsin B + sin + Ba sin A 3 ÷ è 3 ú
2 3
= sin B
3
+ cos B ÷÷ = 3 sin B + cos B = 2sin

B
π
+
3 2 2 ÷
，
è è 6
π
因為 < B
π π B π 2π< ，所以 < + < ,所以 3
b + c
< 2，
6 2 3 6 3 a
b + c
所以 的最大值為 2.
a
16．（2024·湖南長沙·一模）已知函數 f x = 3 sin x cos x + cos2 x .
4 4 4
2p
（1）若 f x =1，求 cos - x3 ÷的值.è
1
（2）在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別是 a,b,c，且滿足 a cosC + c = b ，求 f B 的取值范圍.
2
x p 1
【解析】（1） f x = 3 sin x cos x cos2 x 3 x 1 x 1+ = sin + cos + = sin + ÷ +
4 4 4 2 2 2 2 2 è 2 6 2
由 f x =1可得： sin x p+ 1 2 6 ÷ = .è 2
cos 2p x cos é p ù p- = p - + x = -cos + x 2 x p ÷ ê ÷ú ÷ = 2sin +

÷ -1
1 1
= -1 = - .
è 3 è 3 è 3 è 2 6 2 2
a2 + b2 - c2 1
（2）由余弦定理得： a × + c = b，整理可得： 2 2 2 2 ，
2ab 2 a + b - c + bc = 2b
2 2 2
\b2
b + c - a 1
+ c2 - a2 = bc，\cos A = = ，
2bc 2
又 A 0,p A p 2p，\ = ，\ B + C = ，
3 3
0 B 2p p B p p sin B p 1\ < < ，則 < + < ，\ +
3 6 2 6 2 2 6 ÷
,1÷
è è 2
\ f B = sin B p 1 3 3 + ÷ + 1, ÷，即 f B 的取值范圍為2 6 2 2
1,
2 ÷ .è è è
r p r
17．在DABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c .已知向量 a = sin A + 6 ÷
, -1 ，向量b = 1,cos A ，且
è è
÷

r
ar 1×b = .
2
（1）求角A 的大小；
（2）若b = 4 ， c = 5，求 sin 2B 的值.
r r p p p 3 1 p 1
【解析】（1） a ×b = sin A + ÷ - cos A = sin Acos + cos Asin - cos A = sin A - cos A = sin A - =
è 6 6 6 2 2
6 ֏ 2
Q A 0,p A π π , 5π \ - 6 - 6 6 ÷ \ A
p p
- = p，解得： A =
è 6 6 3
2 2 2
（2）由余弦定理得： a = b + c - 2bc cos A =16
p
+ 25 - 40cos = 21
3
\a = 21
a b 4 3
由正弦定理 = 得： bsin A 2 7
sin A sin B sin B = = 2 =a 21 7
Q b < c \B < C \B為銳角 \cos B = 1- sin2 B 21=
7
sin 2B 2sin B cos B 2 2 7 21 4 3\ = = =
7 7 7
題型六：解三角形的實際應用
18．（2024·山東臨沂·一模）在同一平面上有相距 14 公里的 A, B兩座炮臺，A 在 B 的正東方.某次演習時，A
向西偏北q 方向發射炮彈， B 則向東偏北q 方向發射炮彈，其中q 為銳角，觀測回報兩炮彈皆命中 18 公里
q
外的同一目標，接著A 改向向西偏北 方向發射炮彈，彈著點為 18 公里外的點M ，則 B 炮臺與彈著點M
2
的距離為（ ）
A．7 公里 B．8 公里 C．9 公里 D．10 公里
【答案】D
【解析】依題意設炮彈第一次命中點為C，則 AB = 14 ， AC = BC = AM =18，
CBA CAB q= = q ， MAB = ，
2
在VABC 中BC 2 = AC 2 + AB2 - 2AC × AB cosq ，
7
即182 =142 +182 - 2 14 18cosq ，解得 cosq = ，
18
所以 cosq 2cos2
q 1 7 q 5= - = ，又q 為銳角，解得 cos = （負值舍去），
2 18 2 6
在VABM 中BM 2 = AM 2 + AB2 - 2AM × AB cos
q
2
=182 +142 - 2 18 14 5 =100，
6
所以BM = 10，即 B 炮臺與彈著點M 的距離為10公里.
故選：D
19．（2024·江蘇揚州·模擬預測）《海島算經》是魏晉時期數學家劉徽所著的測量學著作，書中有一道測量
山上松樹高度的題目，受此題啟發，小李同學打算用學到的解三角形知識測量某建筑物上面一座信號塔的
高度．把塔底與塔頂分別看作點 C，D，CD 與地面垂直，小李先在地面上選取點 A，B，測得 AB = 20 3m，
在點 A 處測得點 C，D 的仰角分別為30°， 60°，在點 B 處測得點 D 的仰角為30°，則塔高 CD 為 m．
【答案】20
【解析】在VACD中，延長DC 與BA的延長線交于點 E，如圖所示.
由題意可知， CAE = 30° , DAE = 60° , DBA = 30°，
因為小李同學根據課本書中有一道測量山上松樹高度的題目受此題啟發，
所以 A, B, E 三點在同一條直線上.
所以 DAC = 30° , DCA =120° , ADC = 30° , BDA = 30° ，
所以VACD,VBAD 為等腰三角形，
即 | CD |=| CA |,| AD |=| AB | .
設 | CD |= x，即 | CA |= x， DCA = 120°，
在VACD中，由余弦定理得
| AD |2 =| CD |2 + | CA |2 -2 | CD || CA | cos DCA ,
2 2 1
即 | AD | = x + x2 - 2x × x × (- )， | AD |= 3x，
2
所以 | AB |= 3x ，
又因為 | AB |= 20 3 ，
所以 x = 20 .
故答案為：20 .
20．（2024·湖南岳陽·二模）岳陽樓地處岳陽古城西門城墻之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳陽
樓記》著稱于世，自古有“洞庭天下水，岳陽天下樓”之美譽．小明為了測量岳陽樓的高度 AB ，他首先在C
處，測得樓頂A 的仰角為60°，然后沿BC方向行走 22.5 米至D處，又測得樓頂A 的仰角為30°，則樓高 AB
為 米．
45 3
【答案】
4
【解析】Rt△ABC o
AB
= tan 60o = 3 BC 3AB中， ACB = 60 ， ，BC =
，
3
Rt△ABD ADB AB中， = 30o ， = tan 30o 3= ，BD = 3AB ，
BD 3
3AB 2 3
因為CD = 22.5米，所以BD - BC = 3AB - = AB = 22.5，
3 3
AB 45 3解得： =
4
45 3
故答案為：
4
21．中華人民共和國國歌有 84 個字，37 小節，奏唱需要 46 秒，某校周一舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡
度15o的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60o 和30o，第一
排和最后一排的距離為10 2 米（如圖所示），旗桿底部與第一排在同一個水平面上.要使國歌結束時國旗剛
好升到旗桿頂部，升旗手升旗的速度應為 （米/秒）
5 3 5
【答案】 / 3
23 23
【解析】
如圖所示，依題意知 AEC = 45o , ACE =180o - 60o -15o =105o ，
\ EAC =180o - 45o -105o = 30o ，
CE AC , AC 10 2由正弦定理知 = \ = sin 45o = 20（米），
sin EAC sin AEC sin 30o
∴在Rt△ABC 中， AB = AC ×sin ACB = 20 3 =10 3（米），
2
∵國歌長度約為 46 秒，
∴ 10 3 5 3升旗手升旗的速度應為 ＝ （米/秒）．
46 23
5 3
故答案為： ．
23
22．（2024·上海金山·二模）某臨海地區為保障游客安全修建了海上救生棧道，如圖，線段BC、CD 是救
生棧道的一部分，其中BC = 300m，CD = 800m， B 在A 的北偏東30°方向，C在A 的正北方向，D在A 的
北偏西80°方向，且 B = 90°．若救生艇在A 處載上遇險游客需要盡快抵達救生棧道B - C - D ，則最短距離
為 m．(結果精確到 1 m)
【答案】 475
【解析】作 AE ^ CD 交于 E，由題意可得如圖：
B = 90o , CAB = 30o , BC = 300m，
AB BC 300= o = = 300 3m所以 tan 30 3 ，
3
AC BC= = 600m，
sin CAB
在△ADC中，由正弦定理可得：
CD AC sin D 3sin80
o
= = ，
sin ACD sin D 4
o
所以 cos EAD 3sin80= 0.735，
4
所以 sin EAD 0.68，
cos CAE = cos(80o - EAD) 0.17 0.735 + 0.98 0.68 = 0.79135，
在直角△ACE中， AE = AC ×cos CAE AE = 600 0.79135 475，
故答案為：475.
題型七：倍角關系
23．（多選題）（2024·河北·三模）已知VABC 內角 A、B、C 的對邊分別是 a、b、c， A = 2B，則（ ）
2
A 2． a = c b + c B b a． + 的最小值為 3
c b2
C．若VABC
c
為銳角三角形，則 1,2 D．若 a = 2 6 ，b = 3，則 c = 5b
【答案】BCD
【解析】由 A = 2B，得 sin A = sin 2B = 2sin B cos B，
2 2 2
由正弦定理得 a = 2bcos B，由余弦定理得 a = 2b a + c - b× ，
2ac
則 c - b a2 - b2 - bc = 0，當b c時， a2 - b2 - bc 2= 0 ，即 a = b b + c ，
當b = c時， B = C ，又 A = 2B，所以 A = 90°, B = C = 45° ，
2
所以 a = 2b，所以 a2 - b2 - bc = 2b - b2 - b ×b = 0，
2
所以 a = b b + c ，故選項 A 錯誤；
2 2
a2 = b b + c b a b b + bc b c由 ，則 + 2 = + 2 = + +1 3，當且僅當b = c時，故選項 B 正確；c b c b c b
V sinABC sin B 0 c sin C 2B + B sin 2B cos B + cos 2B sin B在 中， ，由正弦定理， = = =
b sin B sin B sin B
2sin B cos2 B + 2cos2 B -1 sin B
= = 4cos2 B -1，
sin B
π π π
若VABC 為銳角三角形，又 A = 2B，則B 0, ÷ ,C = π - 3B < ，故B >4 2 ，è 6
π π B , cos B 2 3

所以 ÷ ，所以 , ÷÷ ，則 cos
2 B 1 , 3 ，
è 6 4 è 2 2

è 2 4
÷

2
所以 4cos B -1 1,2 ，故選項 C 正確；
在VABC a b c中，由正弦定理 = =sin A sin B sin C ，又 A = 2B， a = 2 6 ，b = 3，
3 2 6 2 6 6
得 = = ，則 cos B =
sin B sin 2B 2sin B cos B 3
由余弦定理，b2 = a2 + c2 - 2ac cos B ， 得9 = 24 + c2 6- 2 2 6 c ，
3
整理得 c2 -8c +15 = 0 ，解得 c = 5，或 c = 3，
當 c = 3時，有C = B，又 A = 2B，所以B = C = 45° , A = 90°，
因為b2 + c2 a2，則 c = 3不成立，故選項 D 正確.
故選：BCD.
c 2
24．在銳角VABC 中，內角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，若 a2 = b2 + bc ，則 + 2 的最小值為 .b cos B
【答案】 4 2 -1/ -1+ 4 2
【解析】由余弦定理得 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A，
又 a2 = b2 + bc ，
所以b2 + bc = b2 + c2 - 2bc cos A，
即bc = c2 - 2bc cos A，所以b = c - 2bcos A，
由正弦定理得 sin B = sinC - 2sin B cos A，
即 sin B = sin A + B - 2sin B cos A = sin Acos B - cos Asin B = sin A - B ，
因為 A, B 0, π ，所以 A - B -π, π ，
所以B = A - B或B + A - B = π （舍去），
所以 A = 2B，
c 2 sin C 2 sin A + B 2
+ 2 = + 2 = +b cos B sin B cos B sin B cos2B
sin 3B 2 sin B cos 2B + cos B sin 2B 2
= +
sin B cos2
= +
B sin B cos2B
2
cos2 B sin2 B 2cos B sin B 2= - + +
sin B cos2B
4cos2 B 2= + 2 -1 2 4cos
2 B 2× 2 -1 = 4 2 -1，cos B cos B
2 2 2
當且僅當 4cos B = 2 ，即 cos2 B = 時取等號，cos B 2
c 2
所以 + 的最小值為
b cos2B 4 2 -1
.
故答案為： 4 2 -1.
25．設VABC 的內角 A, B,C 所對邊的長分別是 a,b,c，且 A = 2B,b c, D 為BC邊上的中點，且 AD = 2c ，
則 cosA = ．
1
【答案】-
3
【解析】VABC 中，由 A = 2B，可得 sinA = sin2B = 2sinBcosB，
2 2 2
則 a = 2bcosB ，則 a 2b a + c - b= × ，整理得 a2c + b3 - a2b - bc2 = 0，
2ac
即 b - c a2 - b2 - bc = 0，又b c，則 a2 = b2 + bc ．
VABC 中，D是BC邊上的中點，且 AD = 2c ，則
a 2 2 + ( 2c)2 - c2 a + ( 2c)2 - b2 1 ÷ 2 2 2
0 = cos ADB + cos ADC = è 2 + è 2
÷ a + 3c - b
= 2 ，
2 × a × 2c 2 × a × 2c 2ac
2 2
ì1
a2 + 3c2 - b2 = 0 ì b = 3c
則有 í2 ，解之得 í
a2 = b2 + bc a = 2 3c
cosA b
2 + c2 - a2 9c2 + c2 -12c2 1
則 = = 2 = - ．2bc 6c 3
1
故答案為：-
3
26．在銳角VABC 中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，滿足 a2 - b2 = bc ．
(1)求證： A = 2B；
(2)若b =1，求 a 邊的范圍；
1 1
(3)求 - + 2sin Atan B tan A 的取值范圍．
【解析】（1）因為 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A = b2 + bc，
所以 c - b = 2bcos A，
由正弦定理可得 sinC - sin B = 2sin B cos A，
又因為 sin C = sin A + B = sin Acos B + cos Asin B ，
代入可得 sin Acos B - Cos Asin B = sin B，
即 sin A - B = sin B，
因為0 < A，B < π，則 sin B > 0，故0 < A - B < π，
所以 A - B = B或 A - B + B = π ，即 A = 2B或 A = π（舍去），
所以 A = 2B．
法二：由正弦定理可得： sin2 A - sin2 B = sin B sin C ，
則 sin A + sin B sin A - sin B = sin B sin C ，
則 2sin
A + B cos A - B A - B 2sin cos A + B = sin(A + B) sin(A - B) = sin B sin C ，
2 2 2 2
又 sin A + B = sin C 0，故 sin A - B = sin B，
因為0 < A，B < π，則 sin B > 0，故0 < A - B < π，
所以 A - B = B或 A - B + B = π ，即 A = 2B或 A = π（舍去），
（2）因為VABC 為銳角三角形， A = 2B，
所以C = π - 3B ，
ì π
0 < B <
2
π π π
由 í0 < 2B <

，解得B ,2 6 4 ÷
，
è
π
0 < π - 3B < 2
bsin A
又b =1故 a = = 2cos B 2, 3 ．
sin B
π π3 （ ）由（2）知 A = 2B ,3 2 ÷ ．è
1 1
由 - + 2sin A
cos B cos A
= - + 2sin A，
tan B tan A sin B sin A
sin(A - B)
= + 2sinA 1= + 2sinA，
sinAsinB sinA
3 5 3
令 sin A t
1
= ，則 y = + 2t 在 t ,1÷÷ 上單調遞增，所以 y 2 ,3÷÷ ，t è è 3
1 1 5 3
所以 - + 2sinA的取值范圍為
tanB tanA
,33 ÷÷
．
è
題型八：三角形解的個數
27．（2024·北京朝陽·一模）在VABC 中，a = 4 2，b = m， sin A - cos A = 0．
（1）若m = 8，則 c = ；
（2）當m = （寫出一個可能的值）時，滿足條件的VABC 有兩個．
【答案】 4 2 6（答案不唯一）
【解析】（1）Qsin A - cos A = 0，\ tan A =1，
Q0 < A < π ， A π= 4 ，
由余弦定理， a2 = b2 + c2 - 2bc cos A，即32 = 64 + c2 -16 2 c ，
2
解得c = 4 2 .
π
（2）因為 A = ,4 a = 4 2 ,
所以當bsin
p
< a < b時，方程有兩解，
4
即 4 2 < m < 8，
取m = 6即可滿足條件（答案不唯一）
故答案為： 4 2 ；6.
28．（2024·上海閔行·模擬預測）已知VABC 中， A， B， C 的對邊分別為 a，b ， c，若b = 4 ，
c = 6，給出下列條件中：① A = 30°，② B = 30°，③ SVABC = 6，能使VABC 有兩解的為 .（請寫
出所有正確答案的序號）
【答案】②③
【解析】選擇①，由余弦定理，得 a2 = 42 + 62 - 2 4 6cos30° = 52 - 24 3 ，解得 a = 52 - 24 3 ，所以VABC
只有一解.故①錯誤；
4 6
選擇②，因為b < c ，所以B < C ,由正弦定理，得 = ，解得 sin C
3
= ，
sin 30° sin C 4
3
所以 sin C = > sin B
1
= ,所以VABC 有兩解，故②正確；
4 2
1 1
選擇③，由 SVABC = 6，得 bc sin A = 6 ,解得 sin A = ，因為0 < A < π ，2 2
π 5π
所以 A = 或 A = ，所以VABC 有兩解，故③正確；
6 6
故答案為：②③.
π
29．已知 a,b,c分別是VABC 內角 A, B,C 所對的邊，若b = 2 ， A = ，且VABC 有唯一解，則 a的取值范圍
6
為 .
【答案】 1 U 2,+
a b bsin A 1
【解析】由正弦定理 = ，可得 a = = ，
sin A sin B sin B sin B
B π當 = 時， a =1，此時VABC 唯一；
2
當 sin B
1
,1

÷時， B 有兩個值，VABC2 不唯一；è
當 sin B
1
0, ù ú時， a 2，即 a b ， A B ，VABC2 唯一，è
綜上可得，實數 a 的取值范圍是 1 U 2,+ .
故答案為： 1 U 2,+
30．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）沈陽二中北校區坐落于風景優美的輝山景區，景區內的一泓碧水蜿蜒形成
了一個“秀”字，故稱“秀湖”．湖畔有秀湖閣 A 和臨秀亭 B 兩個標志性景點，如圖．若為測量隔湖相望的
A 、 B 兩地之間的距離，某同學任意選定了與A 、 B 不共線的C處，構成VABC ，以下是測量數據的不同方
案：
①測量 A、 AC 、BC；
②測量 A、 B、BC；
③測量 C 、 AC 、BC；
④測量 A、 C 、 B．
其中一定能唯一確定A 、 B 兩地之間的距離的所有方案的序號是 ．
【答案】②③
AC BC
【解析】對于①，由正弦定理可得 = ，則 sin B
AC sin A
= ，
sin B sin A BC
AC sin A
若 AC > BC 且 A為銳角，則 sin B = > sin A，此時 B有兩解，
AB
則 C 也有兩解，此時 AB 也有兩解；
BC AB
對于②，若已知 A、 B，則 C 確定，由正弦定理 = 可知 AB 唯一確定；
sin A sin C
對于③，若已知 C 、 AC 、BC，由余弦定理可得 AB = AC 2 + BC 2 - 2AC × BC cosC ，
則 AB 唯一確定；
對于④，若已知 A、 C 、 B，則 AB 不確定.
故答案為：②③.
題型九：三角形中的面積與周長問題
31．（2024·山東·模擬預測）VABC 內角A ， B ，C的對邊分別為 a，b ， c，若b = 2a sin B，bc = 4，則
VABC 的面積為 .
【答案】1
【解析】因為b = 2a sin B，由正弦定理可得 sin B = 2sin Asin B，且sin B 0 ,
1 1
所以 sin A = ，則 SVABC = bc sin A
1 1
= 4 =1 .
2 2 2 2
故答案為：1
r
32．（2024·安徽滁州·模擬預測）已知VABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c, a = a,c - b ，
r r
b r=（sinC + sinB,sinA + sinB）且a P b ．
(1)求角C；
(2) 3 3若 c = 3 2,VABC 的面積為 ，求VABC 的周長．
2
r r
【解析】（1）由a P b 可知 a sinA + sinB = c - b sinC + sinB ，
由正弦定理，得 a a + b = c - b c + b ，
即 a2 + b2 - c2 = -ab．
a2 + b2 - c2 1
所以 cosC = = - ，
2ab 2
又C 0, π ，
C 2所以 = π .3
（2）由（1）知 a2 + b2 - c2 = -ab．
所以 a + b 2 - ab = c2 =18，
又 S 1= absinC 3= ab 3 3= ，
2 4 2
所以 ab = 6，
所以 a + b 2 =18 + ab = 24，即 a + b = 2 6 ．
所以VABC 的周長為 a + b + c = 3 2 + 2 6 ．
33．（2024·北京西城·二模）已知函數 f (x) = 3 sin x + 2cos2
x
．在VABC 中， f (A) = f (B) ，且 a b ．
2
(1)求 C 的大小；
(2)若 c = 5，且VABC 的面積為 2 3 ，求VABC 的周長．
【解析】（1）由函數 f (x) = 3 sin x + 2cos2
x
= 3 sin x + cos x +1 = 2sin(x π+ ) +1，
2 6
因為 f (A) = f (B) ，可得 sin(A
π
+ ) = sin(B π+ )
6 6 ，
VABC A, B (0, π) A π (π , 7π在 中，因為 ，所以 + ), B
π (π , 7π+ )，
6 6 6 6 6 6
π π 2π
又因為 a b ，所以 A B ，所以 (A + ) + (B + ) = π，解得 A + B =6 6 ，3
π
因為 A + B + C = π，所以C = .
3
π 1
（2）由（1）知C = ，因為VABC 的面積為 SVABC = absin C = 2 3，所以ab = 8，3 2
在VABC
π
中，由余弦定理得 c2 = a2 + b2 - 2abcosC ，即 25 = a2 + b2 - 2abcos ，
3
整理得 a2 + b2 - ab = 25，所以 (a + b)2 - 3ab = 25，
即 (a + b)2 = 25 + 3ab = 49 ，所以 a + b = 7 ，
所以VABC 的周長為 a + b + c =12 .
1．（2024·河南信陽·模擬預測）設VABC 的內角A ， B ，C的對邊分別為 a，b ， c，已知 a = 9,b = 8,c = 5，
則VABC 的外接圓的面積為（ ）
225 π 125A． B． π
123
C． π
113
D． π
11 11 6 6
【答案】A
【解析】因為 a = 9，b = 8， c = 5，
2 2 2
cosC a + b - c 81+ 64 - 25 5所以 = = = ，
2ab 2 9 8 6
所以 sin C = 1 11- cos2 C = ，
6
設VABC 的外接圓半徑為 R ，
R c 5 15 11= = = 225
則 2sin C 11 11 ，則VABC 的外接圓的面積 S = πR2 = π ．11
3
故選：A．
2
2．（2024·重慶·模擬預測）記VABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，若B = π,b = 6, a2 + c2 = 3ac ，則VABC
3
的面積為（ ）
A 9 3
9 9 3 9
． B． C． D．
4 4 2 2
【答案】A
【解析】由余弦定理得b2 = a2 + c2 - 2ac cos B ，即36 = a2 + c2 + ac = 3ac + ac = 4ac ，解得ac = 9，
所以三角形 ABC 1 1 3 9 3的面積為 ac sin B = 9 = .
2 2 2 4
故選：A
3．（2024·新疆喀什·三模）在VABC 中， AB = 2，BC = 7 ， BAC =120° ，D是BC邊一點， AD是 BAC
的角平分線，則 AD =（ ）
A 2． 3 B．1 C．2 D． 3
【答案】A
2 2 2
【解析】在VABC 中，由余弦定理得 cos BAC AB + AC - BC= ，
2AB × AC
4 + AC 2 - 7 1
即 = - ，解得 AC =1或-3（舍去），
4AC 2
在△ABD
AB BD
中，由正弦定理得 = ，
sin ADB sin BAD
AC CD
在VACD中，由正弦定理得 = ，
sin ADC sin CAD
其中 ADB + ADC =180°， BAD = CAD = 60°，
所以 sin ADB = sin ADC ， sin BAD = sin CAD，
AB BD 2
故 = = ，
AC CD 1
2 7
又BC = 7 ，所以BD = ，
3
2 2 2
在VABC AB + BC - AC 4 + 7 -1 5 7中，由余弦定理得 cos ABC = = = ，
2AB × BC 2 2 7 14
2

故 sin 5 7 21 ABC = 1- ÷÷ = ，
è 14 14
在△ABD AD BD中，由正弦定理得 =sin ABC sin BAD ，
2 7
AD 2
即 = 3 ，解得 AD = .
21 3 3
14 2
故選：A
4．（2024·陜西·模擬預測）在VABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，
c sin A - sin C = a - b sin A + sin B 3，若VABC 的面積為 ，周長為3b，則 AC 邊上的高為（ ）
4
A 3． B 3． C． 3 D． 2 3
3 2
【答案】B
【解析】在VABC 中，由正弦定理及 c sin A - sin C = a - b sin A + sin B ，
2 2 2
得 c(a - c) = (a - b)(a + b)，即 a2 + c2 - b2 = ac，由余弦定理得 cos B
a + c - b 1
= = ，
2ac 2
則 sin B 3 3 1 3 3= ，由VABC 的面積為 ，得 acsin B = ac = ，解得 ac =1，
2 4 2 4 4
由 a2 + c2 - b2 = ac，得 (a + c)2 - b2 = 3ac，又 a + c = 2b，因此b =1，
令 AC 邊上的高為 h 1，則 bh 3 h 3= ，所以 = .
2 4 2
故選：B
5．（2024·湖南衡陽·三模）在VABC 中，內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，若b = c，D為 AC 的中點，
bsin A = 2sin ABD ，則BD = （ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【答案】A
1 1 b
【解析】由已知 AD = CD = AC = b △ABD BD AD2 2 ，在 中，由正弦定理得 = = 2 ，sin A sin ABD sin ABD
BD bsin A= bsin A所以 ，又bsin A = 2sin ABD ，故 BD = = 1 .
2sin ABD 2sin ABD
故選：A.
6．（2024·北京·三模）在四棱錐 P- ABCD中，底面 ABCD為正方形， AB = 4， PC = PD = 3， PCA = 45°，
則VPBC的周長為（ ）
A．10 B．11 C．7 + 17 D．12
【答案】C
【解析】在四棱錐P- ABCD中，連接 AC, BD 交于O，連PO，則O為 AC, BD 的中點，如圖，
正方形 ABCD中， AB = 4， AC = BD = 4 2 ，
在△POC 與VPOD中，OC = OD,OP = OP, PC = PD ，則△POC ≌VPOD，
于是 PDB = PCA = 45° ，
由余弦定理得PB = BD2 + PD2 - 2BD × PD cos 2 PDB = 32 + 9 - 2 4 2 3 = 17 ，
2
所以VPBC的周長為7 + 17 .
故選：C
7．（2024·陜西安康·模擬預測）在VABC 中，三個內角A ， B ，C所對的邊分別為 a，b ， c，且
acos B π+ ÷ = bsinA，若 a = 3， c = 2，則b =（6 ）è
A．1 B．2 C． 2 3 D．4
【答案】A
π
【解析】 a cos(B + ) = bsin A6 ，
π
由正弦定理得 sin Acos(B + ) = sin B sin A6 ，
又 A 0, π ,sin A > 0，所以 cos(B π+ ) = sin B6 ，
3
即 cos B 1- sin B = sin B ，
2 2
得 cos B 3 sin B tan B 3= ，即 = ，
3
π
又0 < B < π ，所以 B = 6 ，而 a = 3,c = 2，
由余弦定理得 b = a2 + c2 - 2ac cos B = 3 + 4 4 3 3- = 1 .
2
故選：A
8．（2024·浙江紹興·三模）在VABC 中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c．若
2bcos(B + C) - a cosC = c cos A，則 A 等于（ ）
p p p 2p
A． B． C． D．
6 4 3 3
【答案】D
【解析】因為 2bcos B + C - a cosC = c cos A，所以 2bcos π - A = a cosC + c cos A，
即-2bcos A = a cosC + c cos A，
如圖，過 B 點作BD ^ AC 于 D，可知a cosC + c cos A = b ，
，
所以-2bcos A = b，
cos A 1所以 = - ，又 A 0, π 2π，所以 A = 3 .2
故選：D.
9．（多選題）（2024· 3安徽安慶·模擬預測）在VABC 中，面積 S = a2 + c2 - b2 ，則下列說法正確的是4
（ ）
A．B = 60o
c
B．若VABC 是銳角三角形，則 < a < 2c
2
C．若b = 2 ，則 S 3
D．若角 B 的平分線長為 3，則 a + 4c 10
【答案】ABC
3
【解析】對于 A，由 S = (a2 + c2 - b2 ) 1，得 ac sin B 3= ×2ac cos B ，則 tanB = 3 ，
4 2 4
而0o < B <180o ，解得B = 60o ，A 正確；
對于 B，銳角VABC 中， A =120o - C ，30o < C < 90o , tan C 3> ，
3
a sin(120o - C) 3 cosC 1 3 1 c
= = + = + (1 , 2) ，則 < a < 2c，B 正確；
c sinC 2 sinC 2 2tanC 2 2 2
對于 C，當b = 2 時，則 4 = a 2 + c 2 - ac ac ，當且僅當 a = c 時取等號，
S 1則 = acsin B 3= ac 3 ，C 正確；
2 4
1 o 1 o 1 o
對于 D，由三角形面積公式得 a × 3 sin 30 + c × 3 sin 30 = ac sin 60 ，則 a + c = ac ，
2 2 2
1 1
即 + =1 1 1 4c a 4c a，因此 a + 4c = (a + 4c)( + ) = 5 + + 5 + 2 × = 9 ，
a c a c a c a c
4c a
當且僅當 = ，即 a = 2c = 3時取等號，D 錯誤.
a c
故選：ABC
10．（多選題）（2024·廣東佛山·一模）在VABC 中， A, B,C 所對的邊為 a,b,c，設BC邊上的中點為M ，
VABC 的面積為S，其中 a = 2 3 ，b2 + c2 = 24，下列選項正確的是（ ）
A A π．若 = 3 ，則 S = 3 3 B．S的最大值為3 3
AM πC． = 3 D．角A 的最小值為
3
【答案】ABC
A A π【解析】選項 ，若 = ，由余弦定理 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A，得12 = 24 - bc，所以bc =123 ，
1
則三角形面積 S = bc sin A 1 3= 12 = 3 3 ，A 正確；
2 2 2
選項 B，由基本不等式可得 24 = b2 + c2 2bc，即bc 12，
當且僅當b = c = 2 3 時，等號成立，
b2 + c2 - a2 24 -12 6
由余弦定理可得 cos A = = = ，
2bc 2bc bc
S 1= bc sin A 1= bc 1- cos2則 A
1
= bc 2 36 1- 122 - 36 = 3 3 ，B 正確；
2 2 2 2
uuur uuur uuur
選項 C，因為BC
1
邊上的中點為M ，所以 AM =
2 AB + AC ，
而 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A，即12 = 24 - 2bc cos A，則bc cos A = 6，
uuuur 1 uuur 2 uuur 2 uuur uuur
所以 AM = AB 1+ AC + 2 AB AC cos A = b2 + c2 + 2bc cos A
2 2
1
= 24 + 2 6 = 3，故 C 正確；
2
選項 D，因為 24 = b2 + c2 2bc，即bc 12，
2 2 2
所以由余弦定理得 cos A b + c - a 12 6 1= = = ，
2bc 2bc bc 2
又0 < A < π ，且函數 y = cos x在 0, π π上單調遞減，所以0 < A ，D 錯誤.
3
故選：ABC.
11．（多選題）在VABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，下列命題正確的是（ ）
A．若 A = 30°，b = 4 ， a = 3，則VABC 有兩解
B．若 A = 60°， a = 2，則VABC 的面積最大值為 2 3
C．若 a = 4 b = 5 c = 6 VABC 8 7， ， ，則 外接圓半徑為
7
D．若a cos A = bcos B ，則VABC 一定是等腰三角形
【答案】AC
【解析】對于 A，因為bsin A = 4sin 30° = 2 ，所以bsin A < a < b ，
所以如圖VABC 有兩解，所以 A 正確，
對于 B，因為 A = 60°， a = 2，所以由余弦定理得 a2 = 4 = b2 + c2 - 2bc cos 60° = b2 + c2 - bc bc ，
當且僅當b = c = 2時取等號，所以bc 4，
S 1所以 △ABC = bc sin A
1
4 3 = 3 ，當且僅當b = c = 2時取等號，
2 2 2
所以當VABC 的面積最大值為 3，所以 B 錯誤，
2 2
C a = 4 b = 5 c 6 cos A b + c - a
2 25 + 36 -16 3
對于 ，因為 ， ， = ，所以由余弦定理得 = = = ，
2bc 2 5 6 4
因為 A (0, π)，所以 sin A = 1- cos2 A = 1 9 7- = ，
16 4
2R a 4 16 7= = = 8 7
所以由正弦定理得 sin A 7 7 ，得R = ，所以 C 正確，7
4
b2 + c2 - a2 2 2D a + c - b
2
對于 ，因為a cos A = bcos B ，所以由余弦定理得 a × = b × ，
2bc 2ac
所以 a2 × (b2 + c2 - a2 ) = b2 × (a2 + c2 - b2 ) ，
所以 a2b2 + a2c2 - a4 = a2b2 + b2c2 - b4 ，
所以 c2 (a2 - b2 ) - (a2 + b2 )(a2 - b2 ) = 0，
所以 (a2 - b2 )[c2 - (a2 + b2 )] = 0 ，
所以 a2 = b2 ，或 c2 = a2 + b2 ，
所以VABC 為等腰三角形或直角三角形，所以 D 錯誤，
故選：AC
12．（2024·陜西銅川·模擬預測）在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別是 a,b,c，已知b = c = 5，三角形面積為
12，則a = ．
【答案】6 或 8
【解析】在VABC
1
中，因為三角形面積為 12，所以 SVABC = b ×c ×sinA
1
= 5 5 sinA =12 ，
2 2
sinA 24
2
解得 = ，所以
25 cosA = ± 1-
24 7
= ± ．
è 25 ÷ 25
7 b2 + c2cosA = - a
2 52 + 52 - a2 7
當 時，由余弦定理得 cos A = = = ，解得 a = 6；
25 2bc 2 5 5 25
2 2 2 2 2 2
當 cosA
7
= - 時，由余弦定理得 cos A b + c - a 5 + 5 - a 7= = = - ，解得a = 8，綜上， a = 6或
25 2bc 2 5 5 25
a = 8．
故答案為：6 或 8.
1
13．（2024·新疆·三模）在VABC 中，3sin A = 2sin C ， cos B = .則 sin A = .
3
4 2
【答案】
9
【解析】由正弦定理，3sin A = 2sin C 3a = 2c，
2 2 2
所以由 cos B
a + c - b 1
= = 可得3a = 2b ，
2ac 3
所以b = c，所以 B = C ，
sin A 1 1 4 2所以 = sin π - 2B = sin 2B = 2sin B cos B = 2 1- = .
9 3 9
4 2
故答案為：
9
1
14．（2024·四川成都·模擬預測）在VABC 中，已知 BC =1， AC = 2， cosC = ，則 sin 2 A = ．
4
7 15 7
【答案】 / 15 .
32 32
【解析】由余弦定理得 AB2 = 22 12 2 2 1
1
+ - = 4，所以 AB = 2，
4
AB2 + AC 2 - BC 2cos A 4 + 4 -1 7所以 = = = ，
2AB × AC 2 2 2 8
A 0, π sin A 1 cos2 A 1 49 15因為 ，所以 = - = - = ，
64 8
sin 2A 2sin Acos A 15 7 7 15所以 = = 2 = .
8 8 32
7 15
故答案為： .
32
15．（2024·湖南長沙·三模）記VABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，已知 a = 2,b = 4 .
(1)若 cosB + 2cosA = ccosC ，求C的值；
(2)若D是邊 AB 上的一點，且CD 平分 ACB, cos ACB
1
= - ，求CD 的長.
9
【解析】（1）由題意得 2cosB + 4cosA = 2ccosC ，所以 acosB + bcosA = 2ccosC .
由正弦定理，得 sinAcosB + sinBcosA = 2sinCcosC ，即 sin A + B = 2sinCcosC .
又 sin A + B = sinC ，所以 sinC = 2sinCcosC ，又 sinC 0，所以 cosC 1= .
2
π
因為C 0, π ，所以C = .
3
（2）由 cos ACB
1 2cos2 ACB 1 1 ACB 2= - ，得 - = - ，解得 cos = .
9 2 9 2 3
由 SVABC = SVADC + SVBDC ，
1
得 absin ACB
1
= b ×CDsin ACB 1+ a ×CD ×sin ACB ，
2 2 2 2 2
2abcos ACB即 = a + b CD ，
2
2abcos ACB 2 2 4 2
所以CD = 2 = 3 16= .
a + b 2 + 4 9
16．（2024·江西新余·二模）在VABC 中，內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，且VABC 的面積
S 1= a2 + c2 - b2 sin B .2
(1)求角 B；
(2)若 ABC 的平分線交 AC 于點 D， a = 3， c = 4，求BD的長.
1 1 2 2 2
【解析】（1）在VABC 中， S = ac sin B = a + c - b sin B ，而0 < B < π ，
2 2
即 sin B > 0， a2 + c2 - b2 = ac，
a2 + c2 - b2 1 π
由余弦定理得 cos B = = ，所以 B = .
2ac 2 3
（2）在VABC 中，由等面積法得 SVABC = SVBAD + SVBCD，
1
即 BC × BA
1 B 1 B
×sin B = BA × BD ×sin + BC × BD ×sin ，
2 2 2 2 2
1 3 1 1 1 1
即 3 4 = 4 BD + 3 BD
2 2 2 2 2 2
所以BD 12 3= .
7
17．（2024·天津南開·二模）在VABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c.已知
c2 = a2 + b2 - 4bc cosC ， sin A = cosC .
(1)求證： a = 2c ；
(2)求 cosC 的值；
cos (3)求 B
π
+
3 ÷
的值.
è
【解析】（1）因為 c2 = a2 + b2 - 4bc cosC ，
又由余弦定理 c2 = a2 + b2 - 2abcosC ，
可得 2c cosC = a cosC ，
由 sin A = cosC 知cosC 0，
所以 a = 2c ，
（2）由（1）及正弦定理得 sin A = 2sin C ，
又因為 sin A = cosC ，
所以 2sin C = cosC ，
又因為 sin2 C + cos2 C =1，
cosC 2 5解得 = ．
5
（3）由（2）知 sin C 5= ，
5
sin 2C = 2sin C cosC 4= cos 2C = 2cos2所以 ， C
3
-1 = ，
5 5
π
sin A cosC cos - A 因為 = ，即 ÷ = cosC ，
è 2
則 A - C
π π
= ，或 A + C = ，
2 2
π cos B π cos 5πA - C = 當 時，
2
+
3 ÷
= - 2C ÷
è è 6
cos 5π= cos 2C + sin 5π sin 2C
6 6
3 3 1 4 4 - 3 3
= - × + × = ．
2 5 2 5 10
當 A
π π
+ C = cos B πB + 3， 為 ，此時
2 2 3 ÷
= - ．
è 2
18．（2024·天津河北·二模）在VABC 中，角A ， B ，C的對邊分別為 a，b ， c，已知 c = 4,b = 3 .
(1)若 cosC
1
= - ，求 a的值和VABC 的面積；
4

(2)在（1）的條件下，求 cos 2C
π
+
3 ÷
的值；
è
(3)若 A = 2B，求 a的值.
a2 + b2 - c2 a2 + 9 -16 1
【解析】（1）在VABC 中，由余弦定理得 cosC = ，即 = - ，
2ab 2 3 a 4
7
化簡得 2a2 + 3a -14 = 0，解得 a = 2或 a = - (舍)，\a = 2，
2
QC 1 15 0, π , cosC = - ,\sinC = 1- cos2C = ，
4 4
\VABC S 1 absinC 1 2 3 15 3 15的面積 = = = .
2 2 4 4
（2） sin2C = 2sinCcosC 2 15= 1 15 - ÷ = - ，4 è 4 8
2
cos2C = 2cos2C -1 = 2 1 - ÷ -1
7
= - ，
è 4 8
π π π 7 1 15 cos 2C 3 3 5 - 7\ + ÷ = cos2Ccos - sin2Csin = - - - ÷÷ = .è 3 3 3 8 2 è 8 2 16
a b
（3）在VABC 中，由正弦定理得 = ，
sinA sinB
Q A = 2B, a 3 a a\ = = ，化簡得 cosB = ，
sin2B sinB 2sinBcosB 6
a2 + c2 - b2 a2 +16 - 9
由余弦定理得 cosB = = ，
2ac 2 4 a
a2 +16 - 9 a
\ = ，解得 a = 21（負值舍去），
2 4 a 6
所以 a = 21 .
19．（2024·內蒙古呼和浩特·二模）在VABC 中，記角A 、 B 、C的對邊分別為 a、b 、 c，已知
3a = 3ccosB + csinB ．
(1)求角C；
(2)已知點D在 AC 邊上，且 AD = 2DC ，BC = 6，BD = 2 7 ，求VABC 的面積．
【解析】（1）Q 3a = 3ccosB + csinB ，由正弦定理可得 3 sin(B + C) = 3 sin C cos B + sin C sin B ，
\ 3 sin B cosC + 3 cos Bsin C = 3 sin C cos B + sin C sin B ，
Qsin B 0，
\ tan C = 3，C 0, π ，
\ π C = ；
3
2 DC = x cos π 1 x
2 + 36 - 28
（ ）設 ， = = ，\6x = x2 + 8，\ x = 2或 4，
3 2 12x
π
當 x = 2時， AC = 6 ，C = 1 3，此時三角形為正三角形，
3 S = 6 6 = 9 32 2
當 x = 4時， AC =12， AB2 = BC 2 + AC 2 - 2AC × BC cosC = 108，
1
滿足 AB2 + BC 2 = AC 2 ，此時三角形為直角三角形， S = 6 3 6 = 18 32 ．
1．（2024 年上海高考數學真題）已知點 B 在點 C 正北方向，點 D 在點 C 的正東方向，BC = CD ,存在點 A
滿足 BAC =16.5°, DAC = 37°，則 BCA = (精確到 0.1 度)
【答案】7.8°
【解析】設 BCA = q , ACD = 90o -q ，
CA CD
在△DCA中，由正弦定理得 = ，
sin D sin CAD
CA CD
即 =sin é 180
o - 90o -q + 37.0o ù sin 37.0o ’
CA CD
即 =sin 90o -q + 37.0o sin 37.0o ①
CA CB
在VBCA中，由正弦定理得 = ，
sin B sin CAB
CA CB
= CA CB即 =sin é o 180 - q +16.5o ù sin16.5
o ，即
sin q +16.5o sin16.5
o ，②
sin 90o -q + 37.0o sin 37.0o②
因為CD = CB ， 得 = ，
① sin q +16.5o sin16.5o
利用計算器即可得q 7.8o，
故答案為：7.8o .
2．（2022 年高考全國甲卷數學（理）真題）已知VABC 中，點 D 在邊 BC 上，
ADB =120°, AD = 2,CD = 2BD AC．當 取得最小值時，BD = ．
AB
【答案】 3 -1/ -1+ 3
【解析】[方法一]：余弦定理
設CD = 2BD = 2m > 0，
則在△ABD 中， AB2 = BD2 + AD2 - 2BD × AD cos ADB = m2 + 4 + 2m，
在VACD中， AC 2 = CD2 + AD2 - 2CD × AD cos ADC = 4m2 + 4 - 4m，
AC 2 4m2 + 4 - 4m 4 m2 + 4 + 2m -12 1+ m 12
所以 2 = 2 = = 4 -AB m + 4 + 2m m2 + 4 + 2m m 3+1 +
m +1
4 12 - = 4 - 2 3
2 m +1 3 ，×
m +1
3
當且僅當m +1 = 即m = 3 -1時，等號成立，
m +1
AC
所以當 取最小值時，m = 3 -1.
AB
故答案為： 3 -1.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以 D 為原點，OC 為 x 軸，建立平面直角坐標系.
則 C（2t,0），A（1， 3），B（-t,0）
2 2t -1 2AC + 3 4t 2 - 4t + 4
\ 2 = 2 = 2 = 4
12
- 3 4 - 2 3AB t +1 + 3 t + 2t + 4 t +1 +
t +1
當且僅當t +1 = 3,即BD = 3 -1時等號成立。
[方法三]：余弦定理
設 BD=x,CD=2x.由余弦定理得
ì c2 = x2 + 4 + 2x
í 2 2 ，\2c
2 + b2 =12 + 6x2，
b = 4 + 4x - 4x
ì c2 = x2 + 4 + 2x
í 2 2 ，\2c
2 + b2 =12 + 6x2，
b = 4 + 4x - 4x
AC
令 = t ，則 2c2 + t 2c2 =12 + 6x2，
AB

2 2
\t 2
÷
+ 2 12 + 6x 12 + 6x 2= = = 6 1- 6 - 2 3 ，
c2 x2 + 2x + 4 ÷ x +1 3+ ÷
è x +1
\t 2 4 - 2 3 ，
3
當且僅當 x +1 = ，即 x = 3 +1時等號成立.
x +1
[方法四]：判別式法
設 BD = x ，則CD = 2x
在△ABD 中， AB2 = BD2 + AD2 - 2BD × AD cos ADB = x2 + 4 + 2x ，
在VACD中， AC 2 = CD2 + AD2 - 2CD × AD cos ADC = 4x2 + 4 - 4x ，
AC 2 4x2 + 4 - 4x 4x2 + 4 - 4x
所以 2 = 2 ，記 t = ，AB x + 4 + 2x x2 + 4 + 2x
則 4 - t x2 - 4 + 2t x + 4 - 4t = 0
D = 4 + 2t 2由方程有解得： - 4 4 - t 4 - 4t 0
即 t 2 -8t + 4 0 ，解得： 4 - 2 3 t 4 + 2 3
x 2 + t所以 tmin = 4 - 2 3，此時 = = 3 -14 - t
AC
所以當 取最小值時， x = 3 -1，即BD = 3 -1 .
AB
3．（2024 年新課標全國Ⅰ卷數學真題）記VABC 的內角 A、B、C 的對邊分別為 a，b，c，已知
sinC = 2 cos B， a2 + b2 - c2 = 2ab
(1)求 B；
(2)若VABC 的面積為3+ 3 ，求 c．
【解析】（1）由余弦定理有 a2 + b2 - c2 = 2ab cosC ，對比已知 a2 + b2 - c2 = 2ab，
2 2 2
可得 cosC a + b - c 2ab 2= = = ，
2ab 2ab 2
因為C 0, π ，所以 sin C > 0，
2
2 2 從而 sin C 2= 1- cos C = 1- ÷÷ = ，
è 2 2
1
又因為 sin C = 2 cos B ，即 cos B = ，2
注意到B 0, π ，
π
所以 B = .3
B π
π π π 5π
（2）由（1）可得 = ， cosC 2= ，C 0, π ，從而C = ， A = π - - =3 ，2 4 3 4 12
sin A sin 5π sin π π= = + 2 3 2 1 6 + 2而 12 ÷
= + = ，
è è 4 6 ÷ 2 2 2 2 4
a b c
=
由正弦定理有 sin 5π sin π
=
sin π ，
12 3 4
a 6 + 2 2c 3 +1c,b 3 6從而 = × = = × 2c = c，
4 2 2 2
由三角形面積公式可知，VABC 的面積可表示為
S 1 1 3 +1 6 2 3+ 3 2VABC = absin C = × c × c × = c ，2 2 2 2 2 8
由已知VABC 3+ 3的面積為3+ 3 ，可得 c2 = 3 + 3 ，
8
所以 c = 2 2 .
4．（2024 年北京高考數學真題）在VABC 中，內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c， A為鈍角， a = 7，
sin 2B 3= b cos B．
7
(1)求 A；
(2)從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得VABC 存在，求VABC 的面積．
13
條件①：b = 7 ；條件②： cos B = ；條件③： c sin A
5
= 3 ．
14 2
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得 0 分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解
答計分．
3
【解析】（1）由題意得 2sin B cos B = b cos B ，因為A 為鈍角，
7
b 2 a 7
= = =
則 cos B 0，則 2sin B 3= b ，則 sin B 3 sin A sin A ，解得 sin A 3= ，
7 7 2
2π
因為A 為鈍角，則 A = 3 .
2 ①b = 7 sin B 3 b 3 2π
p
（ ）選擇 ，則 = = 7 3= ，因為 A = 3 ，則 B 為銳角，則B = ，14 14 2 3
此時 A + B = π ，不合題意，舍棄；
2
② cos B
13
= B sin B 1 13 3 3選擇 ，因為 為三角形內角，則14 = - 14 ÷
= ，
è 14
則代入 2sin B 3= b 3 3 3得 2 = b ，解得b = 3，
7 14 7
sin C = sin A + B = sin 2π + B

÷ = sin
2π cos B + cos 2π sin B
è 3 3 3
3 13 1 3 3 5 3
= + -
2 14 ÷
= ,
è 2 14 14
S 1 absin C 1 7 3 5 3 15 3則 VABC = = = .2 2 14 4
選擇③ c sin A
5
= 3 ，則有
2 c
3 5
= 3，解得 c = 5，
2 2
a c 7 5= 5 3
則由正弦定理得 = ，即 3 sin C ，解得 sin C = ，sin A sin C 2 14
2
因為C 5 3 11為三角形內角，則 cosC = 1- ÷÷ = ，
è 14 14
則 sin B = sin A C 2π 2π 2π+ = sin + C

÷ = sin cosC + cos sin C
è 3 3 3
3 11 1 5 3 3 3= +
2 14
- ÷ = ，
è 2 14 14
1 1 3 3 15 3
則 S△ABC = ac sin B = 7 5 =2 2 14 4
5．（2024 年新課標全國Ⅱ卷數學真題）記VABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，已知
sin A + 3 cos A = 2 ．
(1)求 A．
(2)若 a = 2， 2bsinC = csin 2B，求VABC 的周長．
【解析】（1）方法一：常規方法（輔助角公式）
π
由 sin A + 3 cos A = 2 1可得 sin A 3+ cos A =1，即 sin(A + ) =1，
2 2 3
由于 A (0, π) A
π (π 4π π π π + , )，故 A + = ，解得 A =
3 3 3 3 2 6
方法二：常規方法（同角三角函數的基本關系）
由 sin A + 3 cos A = 2 ，又 sin2 A + cos2 A =1，消去 sin A 得到：
4cos2 A - 4 3 cos A + 3 = 0 (2cos A - 3)2 = 0 cos A 3，解得 = ，
2
又 A (0, π) A
π
，故 =
6
方法三：利用極值點求解
設 f (x) = sin x + 3 cos x(0 < x < π)，則 f (x) = 2sin
π
x + ÷ (0 < x < π)，
è 3
π
顯然 x = 時， f (x)max = 2 ，注意到 f (A) = sin A + 3 cos A
π
= 2 = 2sin(A + )，
6 3
f (x)max = f (A)，在開區間 (0, π) 上取到最大值，于是 x = A必定是極值點，
即 f (A) = 0 = cos A - 3 sin A 3，即 tan A = ，
3
又 A (0, π)，故 A
π
=
6
方法四：利用向量數量積公式（柯西不等式）
r r r r
設 a = (1, 3),b = (sin A, cos A) ，由題意， a ×b = sin A + 3 cos A = 2 ，
r r r r r r r r
根據向量的數量積公式， a ×b = a b cos a,b = 2cos a,b ，
r r r r r r
則 2cos a,b = 2 cos ar,b r=1，此時 a,b = 0，即 a,b同向共線，
根據向量共線條件，1×cos A = 3 ×sin A tan A 3= ，
3
π
又 A (0, π)，故 A =
6
方法五：利用萬能公式求解
2
設 t = tan
A
，根據萬能公式， sin A 3 cos A 2 2t 3(1- t )+ = = + ，
2 1+ t 2 1+ t 2
整理可得， t 2 - 2(2 - 3)t + (2 - 3)2 = 0 = (t - (2 - 3))2，
A
解得 tan = t = 2 - 3 tan A 2t 3，根據二倍角公式， = = ，2 1- t 2 3
又 A (0, π)，故 A
π
=
6
（2）由題設條件和正弦定理
2bsin C = c sin 2B 2 sin B sin C = 2sin C sin B cos B ，
又B,C (0, π)
π
，則 sin B sin C 0 2，進而 cos B = ，得到B = ，
2 4
C 7π于是 = π - A - B = ，
12
sin C = sin(π - A - B) = sin(A + B) = sin Acos B + sin B cos A 2 + 6= ，
4
2 b c
a b c = =
由正弦定理可得， = = ，即 sin π sin π sin 7πsin A sin B sin C ，
6 4 12
解得b = 2 2,c = 6 + 2 ，
故VABC 的周長為 2 + 6 + 3 2
6．（2024 年天津高考數學真題）在VABC 中，角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，已知
cosB 9 a 2= ，b = 5， = ．
16 c 3
(1)求 a；
(2)求sinA；
(3)求 cos B - 2A 的值．
【解析】（1）設 a = 2t,c = 3t ， t > 0，則根據余弦定理得b2 = a2 + c2 - 2ac cos B ，
25 = 4t 2即 + 9t 2 - 2 2t 3t
9
，解得 t = 2（負舍）；
16
則 a = 4,c = 6 .
2
（2）法一：因為 B 為三角形內角，所以 sin B = 1- cos2 B = 1- 9 5 7 ÷ = ，
è16 16
4 5
a b =
再根據正弦定理得 = ，即 sin A 5 7 7，解得 ，
sin A sin B sin A =
16 4
b2 + c2 - a2 52 + 62cos A - 4
2 3
法二：由余弦定理得 = = = ，
2bc 2 5 6 4
2
A 0, π sin A 1 3= - 7因為 ，則 ÷ =
è 4 4
（3）法一：因為 cosB
9
= > 0 ，且B 0, π ，所以B 0,
π
，
16 ֏ 2
由（2 5 7）法一知 sin B = ，
16
2

因為 a < b ，則 A < B 7 3，所以 cos A = 1- 4 ÷÷
= ，
è 4
3 2 1
則 sin 2A = 2sin Acos A 7 3 3 7= 2 = ， cos 2A = 2cos2 A -1 = 2 -1 =
4 4 8 4 ֏ 8
cos B - 2A = cos B cos 2A + sin B sin 2A 9 1 5 7 3 7 57= + = .
16 8 16 8 64
sin 2A 2sin Acos A 2 7 3 3 7法二： = = = ，
4 4 8
2
則 cos 2A = 2cos2 A -1 = 2 3 1 ÷ -1 = ，
è 4 8
2
因為 B 為三角形內角，所以 sin B = 1- cos2 B 1 9 5 7= - ÷ = ，
è16 16
cos B 2A cos B cos 2A sin B sin 2A 9 1 5 7 3 7 57所以 - = + = + =
16 8 16 8 64
7．（2023 年高考全國甲卷數學（文）真題）記VABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，已知
b2 + c2 - a2
= 2．
cosA
(1)求bc ；
acosB - bcosA b
(2)若 - = 1，求VABC 面積．
acosB + bcosA c
b2 + c2 - a2 2bc cos A
【解析】（1）因為 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A，所以 = = 2bc = 2，解得：bc =1．
cos A cos A
a cos B - bcos A b sin Acos B - sin B cos A sin B
（2）由正弦定理可得 - = -
a cos B + bcos A c sin Acos B + sin B cos A sin C
sin A - B sin B sin A - B - sin B
= - = =1
sin A + B sin A ，+ B sin A + B
變形可得： sin A - B - sin A + B = sin B，即-2cos Asin B = sin B，
1 3
而0 < sin B≤1，所以 cos A = - ，又0 < A < π ，所以 sin A = ，2 2
故VABC 1 1 3 3的面積為 S△ABC = bcsin A = 1 = ．2 2 2 4
8．（2023 年高考全國乙卷數學（理）真題）在VABC 中，已知 BAC =120° ， AB = 2， AC =1 .
(1)求 sin ABC ；
(2)若 D 為 BC 上一點，且 BAD = 90°，求△ADC的面積.
【解析】（1）由余弦定理可得：
BC 2 = a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
= 4 +1- 2 2 1 cos120o = 7，
a2 + c2 2
則BC = 7 ， cos B
- b 7 + 4 -1 5 7
= = = ，
2ac 2 2 7 14
sin ABC = 1- cos2 B 1 25 21= - = .
28 14
1
S AB AD sin 90
o
（2）由三角形面積公式可得 △ABD = 2
S 1
= 4 ，
△ACD AC AD sin 30o
2
1 1 1
則 S△ACD = S△ABC = 2 1 sin120
o 3= .
5 5 è 2 ÷ 10
9．（2023 年新課標全國Ⅰ卷數學真題）已知在VABC 中， A + B = 3C,2sin A - C = sin B ．
(1)求sinA；
(2)設 AB = 5，求 AB 邊上的高．
【解析】（1）Q A + B = 3C ，
π
\π - C = 3C ，即C = ，
4
又 2sin(A - C) = sin B = sin(A + C)，
\2sin AcosC - 2cos Asin C = sin AcosC + cos Asin C ，
\sin AcosC = 3cos Asin C ，
\sin A = 3cos A，
即 tan A = 3，所以 0 < A π< 2 ，
sin A 3 3 10\ = = .
10 10
（2）由（1）知， cos A 1 10= = ，
10 10
sin B = sin(A + C) sin AcosC cos Asin C 2 (3 10 10 ) 2 5由 = + = + = ，
2 10 10 5
2 5
c b 5
由正弦定理， = ，可得b = 5 = 2 10 ，
sin C sin B 2
2
1 AB h 1\ × = AB × AC ×sin A，
2 2
\h = b ×sin A = 2 10 3 10 = 6 .
10
10．（2023 年新課標全國Ⅱ卷數學真題）記VABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，已知VABC 的面積為
3，D為BC中點，且 AD =1．
π
(1)若 ADC = ，求 tan B ；
3
(2)若b2 + c2 = 8，求b,c．
V ADC π【解析】（1）方法 1：在 ABC 中，因為D為BC中點， = ， AD =1，
3
S 1則 VADC = AD × DC sin ADC
1 1 1 a 3 3 1 3 = = a = S = ，解得 a = 4，
2 2 2 2 8 2 VABC 2
2π
在△ABD 中， ADB = ，由余弦定理得 c2 = BD2 + AD2 - 2BD × AD cos ADB，
3
c2即 = 4 +1- 2 2 1 (
1
- ) = 7，解得 c = 7 ，則 cos B
7 + 4 -1 5 7
= = ，
2 2 7 2 14
sin B = 1- cos2 B 1 (5 7 )2 21= - = ，
14 14
tan B sin B 3所以 = = .
cos B 5
π
方法 2：在VABC 中，因為D為BC中點， ADC = ， AD =1，
3
S 1則 VADC = AD × DC sin ADC
1 1 1 a 3 3 a 1 S 3= = = VABC = ，解得 a = 4，2 2 2 2 8 2 2
在VACD中，由余弦定理得b2 = CD2 + AD2 - 2CD × AD cos ADC ，
即b2
1
= 4 +1- 2 2 1 = 3，解得b = 3 ，有 AC 2 + AD2 = 4 = CD2 ，則 CAD = π ，2 2
C π 5= ，過A 作 AE ^ BC 于E ，于是CE = AC cosC 3= , AE 3= AC sin C = ，BE = ，
6 2 2 2
所以 tan B AE 3= = .
BE 5
ì
c
2 1= a2 +1- 2 1 a 1 cos(π - ADC)
ABD （2）方法 1：在△ 與VACD 4 2中，由余弦定理得 í ，
b2 1= a2 +1- 2 1 a 1 cos ADC
4 2
1
整理得 a2 + 2 = b2 + c2，而b2 + c2 = 8，則
2 a = 2 3
，
S 1
π
又 VADC = 3 1 sin ADC
3
= ，解得 sin ADC =1，而0 < ADC < π，于是 ADC = ，
2 2 2
所以b = c = AD2 + CD2 = 2 .
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
方法 2：在VABC 中，因為D為BC中點，則 2AD = AB + AC ，又CB = AB - AC ，
uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur
于是 4AD + CB = (AB + AC)2 + (AB - AC)2 = 2(b2 + c2 ) =16，即 4 + a2 =16 ，解得 a = 2 3 ，
S 1 3
π
又 VADC = 3 1 sin ADC = ，解得 sin ADC =1，而0 < ADC < π，于是 ADC = ，2 2 2
所以b = c = AD2 + CD2 = 2 .
11．（2022年新高考浙江數學高考真題）在VABC 中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知
4a = 5c,cosC 3= ．
5
(1)求 sin A 的值；
(2)若b =11，求VABC 的面積．
3
【解析】（1）由于 cosC = ， 0 < C < π，則 sin C
4
= ．因為
5 5 4a = 5c
，
由正弦定理知 4sin A = 5 sin C ，則 sin A 5 sin C 5= = ．
4 5
2
2 4a a
2 +121 16- a2 11 a-
（ ）因為 = 5c 2 2 2，由余弦定理，得 cosC a + b - c 5 5 3= = = = ，
2ab 22a 2a 5
即 a2
4
+ 6a - 55 = 0，解得 a = 5，而 sin C = ，b =11，5
所以VABC 的面積 S
1
= absin C 1 4= 5 11 = 22．
2 2 5
12．（2022 年新高考全國 II 卷數學真題）記 VABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，分別以 a，b，
c 3 1為邊長的三個正三角形的面積依次為 S1, S2 , S3 ，已知 S1 - S2 + S3 = ,sin B = ．2 3
(1)求VABC 的面積；
(2)若 sin AsinC 2= ，求 b．
3
1 3 3 3 3
【解析】（1）由題意得 S1 = × a
2 × = a2 , S = b2 , S 2
2 2 4 2 4 3
= c ，則
4
S 3 3- S + S = a2 - b2 31 2 3 + c
2 3= ，
4 4 4 2
a2 + c2 - b2
即 a2 + c2
1
- b2 = 2，由余弦定理得 cos B = ，整理得 ac cos B =1，則 cos B > 0，又 sin B = ，
2ac 3
2
則 cos B = 1- 1 2 2 1 3 2 1 2 ÷ = ， ac = = ，則 S3 3 cos B 4 VABC
= ac sin B = ；
è 2 8
3 2
b a c b2 a c ac 4 9 b 3
（2）由正弦定理得： = = ，則 = × = = = =
sin B sin A sin C sin2 B sin A sin C sin Asin C 4
，則 ，
2 sin B 2
3
b 3 sin B 1= = .
2 2
13．（2022 年高考全國乙卷數學（文）真題）記VABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c﹐已知
sin C sin A - B = sin B sin C - A ．
(1)若 A = 2B，求 C；
(2)證明： 2a2 = b2 + c2
【解析】（1）由 A = 2B， sin C sin A - B = sin B sin C - A 可得， sin C sin B = sin B sin C - A ，而
0 π< B < ，所以 sin B 0,1 ，即有 sin C = sin C - A > 0 ，而0 < C < π,0 < C - A < π，顯然C C - A，所以，
2
5π
C + C - A = π，而 A = 2B， A + B + C = π，所以C = ．
8
（2）由 sin C sin A - B = sin B sin C - A 可得，
sin C sin Acos B - cos Asin B = sin B sin C cos A - cosC sin A ，再由正弦定理可得，
ac cos B - bc cos A = bc cos A - ab cosC ，然后根據余弦定理可知，
1 a2 c2 b2 1 b2 c2 a2 1 1+ - - + - = b2 + c2 - a2 - a2 + b2 - c2 ，化簡得：
2 2 2 2
2a2 = b2 + c2，故原等式成立．
14．（2022 年高考全國乙卷數學（理）真題）記VABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，已知
sinC sin(A - B) = sin B sin(C - A)．
(1)證明： 2a2 = b2 + c2；
(2)若a = 5,cos A
25
= ，求VABC 的周長．
31
【解析】（1）證明：因為 sin C sin A - B = sin B sin C - A ，
所以 sin C sin Acos B - sin C sin B cos A = sin B sin C cos A - sin B sin AcosC ，
ac a
2 + c2 - b2 2bc b
2 + c2 - a2 a2 + b2 - c2
所以 × - × = -ab × ，
2ac 2bc 2ab
a2 + c2 - b2 2 2 b2 c2 a2 a + b - c
2
即 - + - = - ，
2 2
所以 2a2 = b2 + c2；
25
（2）因為a = 5,cos A = ，
31
由（1）得b2 + c2 = 50，
由余弦定理可得 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A，
則50
50
- bc = 25，
31
所以bc
31
= ，
2
故 b + c 2 = b2 + c2 + 2bc = 50 + 31 = 81，
所以b + c = 9，
所以VABC 的周長為 a + b + c =14 .
15．（2022 年新高考北京數學高考真題）在VABC 中， sin 2C = 3 sin C ．
(1)求 C ；
(2)若b = 6，且VABC 的面積為6 3 ，求VABC 的周長．
【解析】（1）因為C 0,p ，則 sin C > 0，由已知可得 3 sin C = 2sin C cosC ，
3
可得 cosC = ，因此，C
p
= .
2 6
1
（2）由三角形的面積公式可得 SVABC = absin C
3
= a = 6 3 ，解得
2 2 a =4 3 .
由余弦定理可得 c2 = a2 + b2 - 2ab cosC = 48 + 36 3- 2 4 3 6 =12 ，\c=2 3，
2
所以，VABC 的周長為 a + b + c = 6 3 + 6 .
16．（2022年新高考全國 I卷數學真題）記VABC 的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知
cos A sin 2B
= ．
1+ sin A 1+ cos2B
2p
(1)若C = ，求 B；
3
a2 + b2(2)求 的最小值．
c2
cos A sin 2B 2sin B cos B sin B
【解析】（1）因為 = = 2 = ，即1+ sin A 1+ cos 2B 2cos B cos B
sin B = cos Acos B - sin Asin B = cos A + B = -cosC 1= ，
2
π π
而0 < B < ，所以 B = 6 ；2
π π
（2）由（1）知， sin B = -cosC > 0，所以 < C < π,0 < B < ，
2 2
sin B π而 = -cosC = sin

C -

÷ ，
è 2
π π p p 3p
所以C = + B ，即有 A = - 2B ，所以B 0, ,C ,
2 2 4 ÷ ÷è è 2 4
a2 + b2 sin2 A + sin2 B cos2 2B +1- cos2 B
所以
c2
= =
sin2 C cos2 B
22cos2 B -1 +1- cos2 B 2
= 2 = 4cos
2 B + ．
cos B cos2
- 5 2 8 - 5 = 4 2 - 5
B
2 a2 + b2
當且僅當 cos2 B = 時取等號，所以 2 的最小值為 4 2 - 5．2 c

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