資源簡介

第 04 講 解三角形
目錄
01 考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 .........................................................................................................................2
02 知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航 .........................................................................................................................3
03 考點(diǎn)突破·題型探究 .........................................................................................................................4
知識(shí)點(diǎn) 1：基本定理公式 .....................................................................................................................4
知識(shí)點(diǎn) 2：相關(guān)應(yīng)用 .............................................................................................................................4
知識(shí)點(diǎn) 3：實(shí)際應(yīng)用 .............................................................................................................................5
解題方法總結(jié) ........................................................................................................................................6
題型一：正弦定理的應(yīng)用 ....................................................................................................................7
題型二：余弦定理的應(yīng)用 ....................................................................................................................8
題型三：判斷三角形的形狀 ................................................................................................................9
題型四：正、余弦定理的綜合運(yùn)用 ..................................................................................................10
題型五：正、余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用 ......................................................................11
題型六：解三角形的實(shí)際應(yīng)用 ..........................................................................................................13
題型七：倍角關(guān)系 ..............................................................................................................................16
題型八：三角形解的個(gè)數(shù) ..................................................................................................................17
題型九：三角形中的面積與周長問題 ..............................................................................................18
04 真題練習(xí)·命題洞見 .......................................................................................................................19
05 課本典例·高考素材 .......................................................................................................................20
06 易錯(cuò)分析·答題模板 .......................................................................................................................22
易錯(cuò)點(diǎn)：忽視三角形三角間的聯(lián)系與范圍限制 ..............................................................................22
答題模板：利用邊角關(guān)系解三角形 ..................................................................................................22
考點(diǎn)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
2024年 I卷第 15題，13分
（1）正弦定理、余 2024年 II卷第 15題，13分 高考對(duì)本節(jié)的考查不會(huì)有大的變化，仍
弦定理及其變形 2024年甲卷第 11題，5分 將以考查正余弦定理的基本使用、面積公式
（2）三角形的面積 2023年 I卷 II卷第 17題，10分 的應(yīng)用為主．從近五年的全國卷的考查情況
公式并能應(yīng)用 2023年甲卷第 16題，5分 來看，本節(jié)是高考的熱點(diǎn)，主要以考查正余
（3）實(shí)際應(yīng)用 2023年乙卷第 18題，12分 弦定理的應(yīng)用和面積公式為主．
2022年 I卷 II卷第 18題，12分
復(fù)習(xí)目標(biāo)：
（1）掌握正弦定理、余弦定理及其變形．
（2）能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題．
（3）能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題．
知識(shí)點(diǎn) 1：基本定理公式
（1）正余弦定理：在△ABC 中，角 A，B，C 所對(duì)的邊分別是 a，b，c，R 為△ABC 外接圓半徑，則
定理 正弦定理 余弦定理
a2 = b2 + c2 - 2bccos A；
a b c 2 2 2
公式 = = = 2R b = c + a - 2accosB ；
sin A sin B sinC
c2 = a2 + b2 - 2abcosC．
b2 + c2 - a2cosA = ；
（1） a = 2Rsin A，b = 2RsinB， c = 2RsinC ； 2bc
a b c c2 + a2 2
常見變形 （2） sin A = ， sinB = ， sinC = ； cosB
- b
= ；
2R 2R 2R 2ac
a2 + b2 - c2cosC = ．
2ab
（2）面積公式：
SD ABC
1
= absin C 1= bcsin A 1= acsin B
2 2 2
SD ABC
abc 1
= = (a + b + c) × r （r 是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計(jì)算 R，r．）
4R 2
p
【診斷自測(cè)】在△ABC 中，若BC = 2，AC = 5，B = ，則 sin A =（
6 ）
A 10 B 10． ． C 5． D 5．
10 5 10 5
知識(shí)點(diǎn) 2：相關(guān)應(yīng)用
（1）正弦定理的應(yīng)用
①邊化角，角化邊 a : b : c = sin A : sin B : sin C
②大邊對(duì)大角 大角對(duì)大邊
a > b A > B sin A > sin B cos A < cos B
③ a + b + c a + b b + c a + c a b c合分比： = = = = = = = 2R
sin A + sin B + sin C sin A + sin B sin B + sin C sin A + sin C sin A sin B sin C
（2）△ABC 內(nèi)角和定理： A + B + C = p
① sin C = sin(A + B) = sin Acos B + cos Asin B c = a cos B + bcos A
同理有： a = bcosC + ccos B ，b = ccos A + a cosC ．
② -cosC = cos(A + B) = cos Acos B - sinAsinB ；
③斜三角形中， - tan C = tan(A B) tan A + tan B+ = tan A + tan B + tanC = tan A × tan B × tanC
1- tan A × tan B
④ sin( A + B ) = cos C ； cos( A + B ) sin C=
2 2 2 2
⑤ p 2p在DABC 中，內(nèi)角 A，B，C 成等差數(shù)列 B = , A + C = ．
3 3
2 2
2024· · VABC a,b,c A, B,C S c - a - b
2
【診斷自測(cè)】（ 四川眉山 三模）在 中， 分別是角 所對(duì)的邊，若 △ABC = ，4
則C =（ ）
π 2π 3π 5π
A． B． C． D．
3 3 4 6
知識(shí)點(diǎn) 3：實(shí)際應(yīng)用
1、仰角和俯角
在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖①）．
2、方位角
從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如 B 點(diǎn)的方位角為 α（如圖②）．
3、方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角．
（1）北偏東 α，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn) α 到達(dá)目標(biāo)方向（如圖③）．
（2）北偏西 α，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) α 到達(dá)目標(biāo)方向．
（3）南偏西等其他方向角類似．
4、坡角與坡度
（1）坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角 θ 為坡角）．
（2）坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖④，i 為坡度）．坡度又稱為坡比．
【診斷自測(cè)】（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某城市有一條公路從正西方向 AO通過路口O后轉(zhuǎn)向西北
方向OB ，圍繞道路OA,OB打造了一個(gè)半徑為 2km的扇形景區(qū)，現(xiàn)要修一條與扇形景區(qū)相切的觀光道MN ，
則MN 的最小值為 km．
解題方法總結(jié)
1、方法技巧：解三角形多解情況
在△ABC 中，已知 a，b 和 A 時(shí)，解的情況如下：
A 為銳角 A 為鈍角或直角
圖形
a = bsin A bsin A < a < b關(guān)系式 a b a > b a b
解的個(gè)
一解 兩解 一解 一解 無解
數(shù)
2、在解三角形題目中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，
要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：
（1）若式子含有 sin x 的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；
（2）若式子含有 a,b,c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；
（3）若式子含有 cos x的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；
（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；
（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；
（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到 A + B + C = p ．
3、三角形中的射影定理
在VABC 中， a = bcosC + c cos B；b = a cosC + c cos A； c = bcos A + a cos B ．
題型一：正弦定理的應(yīng)用
π
【典例 1-1】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在 VABC 中， a,b,c分別為角 A, B,C 的對(duì)邊，若 tanA = 3， B = ，
4
bc = 2 10 ，則a = （ ）
A．2 B．3 C．2 2 D．3 2
【典例 1-2】（2024·江西九江·三模）在VABC 中，角 A, B,C 所對(duì)的邊分別為 a,b,c，已知
2c - a = 2bcosA，則B =（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
【方法技巧】
（1）已知兩角及一邊求解三角形；
（2）已知兩邊一對(duì)角；
ì大角求小角一解（銳）

ì兩解－sin A <（1 一銳角、一鈍角）
í
小角求大角－í一解－sin A = 1（直角）

無解－sin A >1
（3）兩邊一對(duì)角，求第三邊．
π
【變式 1-1】（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）在VABC 中，A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c，若 B = 3 ，
c = 2， SVABC = 3
b + c
，則 的值為 ．
sin B + sin C
【變式 1-2】（2024·河南信陽·模擬預(yù)測(cè)）已知VABC 中， A, B,C 對(duì)應(yīng)邊分別是 a,b,c，若 a2 - b2 = bc ，
A
則 = .
B
【變式 1-3】（2024·湖北黃石·三模）若VABC 的三個(gè)內(nèi)角A ， B ，C 所對(duì)的邊分別為 a，b ， c，
sin A + sin B - sin C
B + C = 60°， a = 3，則 =（
a b c ）+ -
1
A． 2 3 B 3． C． D．6
6 6
【變式 1-4】（2024·高三·江西贛州·期中）在VABC 中，角 A, B,C 所對(duì)的邊分別為 a,b,c，若
a = 4, A π 5π= ,C = ，則b = （
4 12 ）
A． 2 3 B． 2 5 C．2 6 D．6
【變式 1-5】在VABC 中,內(nèi)角 A, B,C 所對(duì)的邊分別為 a,b,c B π= b2
9
，若 ， = ac ，則 sinA + sinC =3 4
（ ）
A 2 39 B 39． ． C 7 3 13． D．
13 13 2 13
題型二：余弦定理的應(yīng)用
【典例 2-1】在VABC 中，a，b，c 分別為內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊，且 a cos B -1 - b cos A -1 = 0．若
a = 4 ，則b = （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2 2 2
【典例 2-2】在△ABC b + c - a中，角 A，B，C 所對(duì)的邊分別為 a，b，c，已知b - = 2acosBcosC ，
2b
π
其中，C ，角 B= .
2
【方法技巧】
（1）已知兩邊一夾角或兩邊及一對(duì)角，求第三邊．
（2）已知三邊求角或已知三邊判斷三角形的形狀，先求最大角的余弦值，
ì> 0,則D ABC為銳角三角形

若余弦值 í= 0,則D ABC為直角三角形.

< 0,則D ABC為鈍角三角形
【變式 2-1】已知 a,b,c分別為VABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對(duì)邊，且 c a cos B - bsin A = a2 - b2 .角
A = .
【變式 2-2】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）在VABC 中，角 A，B，C 的對(duì)邊分別是 a，b，c，若
2 tan A tan B
a2 + b2 = 2024c2，則 =tan C(tan A + tan B) .
【變式 2-3】（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）在VABC 中，角A ， B ，C 所對(duì)的邊分別為 a，b ， c，若
(a2 + c2 - b2 ) tan B = 3ac，則 cos5B =（ ）
A 1 3 3
1
． 2 B．± C． D．±2 2 2
【變式 2-4】在銳角三角形 ABC 中，角 A, B,C 所對(duì)的邊分別為 a,b,c，若
cos2B + cos2C + 2sinBsinC =1+ cos2A，則角A = .
題型三：判斷三角形的形狀
【典例 3-1】（2024·河北秦皇島·三模）在VABC 中，內(nèi)角A ， B ，C 的對(duì)邊分別為 a，b ， c，且
B = 2C ，b = 2a，則（ ）
A．VABC 為直角三角形 B．VABC 為銳角三角形
C．VABC 為鈍角三角形 D．VABC 的形狀無法確定
【典例 3-2】在VABC 中，內(nèi)角 A, B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c,若滿足 2a cos B = c ，則該三角形為（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．不能確定
【方法技巧】
（1）求最大角的余弦，判斷DABC 是銳角、直角還是鈍角三角形．
（2）用正弦定理或余弦定理把條件的邊和角都統(tǒng)一成邊或角，判斷是等腰、等邊還是直角三角形．
【變式 3-1】在VABC 中，若 a - a cos B sin B = b - c cosC sin A，則這個(gè)三角形是 ．
【變式 3-2】（2024·陜西渭南·三模）已知VABC 中，角 A，B，C 所對(duì)的邊分別是 a，b，c，若
b cosC + c cos B = b ，且 a = c cos B ，則VABC 是（ ）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
a2 + b2 sin(A + B)
【變式 3-3】在△ABC 中，
a2 - b2
= ，則△ABC 的形狀是（
sin(A B) ）-
A．等腰三角形但一定不是直角三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形但一定不是等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
2
【變式 3-4】在VABC 中，角 A、B、C 所對(duì)的邊為 a、b c b tan B、 若 = ，則VABC 的形狀是（ ）
c2 tan C
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【變式 3-5】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）已知VABC 的三個(gè)內(nèi)角 A，B，C 所對(duì)的邊分別為 a，b，c，滿
足 2a + b = 2c cos B ，且 sin A + sin B =1，則VABC 的形狀為（ ）
A．等邊三角形 B．頂角為120°的等腰三角形
C．頂角為150°的等腰三角形 D．等腰直角三角形
題型四：正、余弦定理的綜合運(yùn)用
VABC A, B,C a,b,c B π b2 9【典例 4-1】在 中內(nèi)角 所對(duì)邊分別為 ，若 = ， = ac ，則 sinA + sinC =3 （ ）4
3
A 7 3． B． 2 C． D．2 2 2
【典例 4-2】（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）記VABC 的內(nèi)角A ， B ，C 的對(duì)邊分別為 a，b ， c，已知
2 2 2 tan Aa = 3b + c ，則 = ．
tan C
【方法技巧】
先利用平面向量的有關(guān)知識(shí)如向量數(shù)量積將向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)形式，再利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)化求解．
【變式 4-1】（2024·四川綿陽·一模）VABC 中，角A 、 B 、C 的對(duì)邊分別為 a、b、c，若
sinC sin A - B = sin B sin C A ,a 25- = 5,cos A = ，則VABC 的周長為 ．
31
1
【變式 4-2】（2024·新疆·一模）在VABC 中，角 A, B,C 的對(duì)應(yīng)邊是a,b,c,cosC = - ，且
4
2sinA + sinB 15= ，則 sinB = （ ）
2
7
A 3 5 B 15． ． C 15． D．
16 8 4 8
【變式 4-3】 VABC 中，角 A、B、C 所對(duì)的邊分別為a、b、c，若 a2 - b2 = bc ，且 sin A = 3 sin B，則
角 A =
【變式 4-4】（2024·四川攀枝花·二模）VABC 的內(nèi)角 A、B、C 的對(duì)邊分別為 a、b、c，且
a2 + b2 - c2
- 3c sin B = a ，則B = ．
2a
題型五：正、余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用
ur x r x x
【典例 5-1 2】已知向量m = 3sin ,1÷ , n = cos ,cos4 4 4 ÷
.
è è
ur r
(1) m 2 2求 + n 的取值范圍；
ur r
(2)記 f x = m × n，在VABC 中，角 A, B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c且滿足 2a - c cosB = bcosC ，求函數(shù) f A
的值域.
【典例 5-2】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f (x) = sin 2x - 2 3sin2 x + 2 3 ．
p p
（1）當(dāng) x é ùê- , ú時(shí)，求 f (x)3 6 的取值范圍；
3
（2）已知銳角三角形 ABC 的內(nèi)角 A, B,C 所對(duì)的邊分別為 a,b,c，且滿足 f (A) = 3,sin B = ,b = 2，求
5
VABC 的面積．
【方法技巧】
正、余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用，主要體現(xiàn)在解三角形問題中。通過利用正弦定理和余弦定
理，可以方便地求解三角形的邊長和角度。同時(shí)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，如和差化積、積化和差等，可以
進(jìn)一步簡化計(jì)算過程，提高解題效率。
f x = sin 【變式 5-1】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) x
p
- ÷ + m，將 y = f x 的圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵?br/>è 6
1 p
來的 ，縱坐標(biāo)不變，再向左平移 個(gè)單位后得到 g x 的圖象，且 y = g x ép在區(qū)間 , p ù內(nèi)的最大值為
2 6 ê 4 3 ú
3 .
2
（1）求m的值；
（2）在銳角VABC 中，若 g C 3 ÷ = ，求 tan A + tan B的取值范圍.
è 2 2
2 x x
【變式 5-2】已知函數(shù) f x = sin - 3 sin cos x +1 .
2 2 2
(1)求函數(shù) y = f x 的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)在VABC 2 2中，內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c，且滿足 a - b = ac cos B
1
- bc，求 f B 的取值范
2
圍.
f (x) 3 cos 2x 2sin 3p 【變式 5-3】（2024·高三·北京昌平·期末）已知 = + + x ÷sin(p - x)， x R ，
è 2
（1）求 f (x) 的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）已知銳角 VABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c，且 f (A) = - 3 ， a = 4 ，求 BC 邊上的高的最大值．
【變式 5-4】（2024·北京·三模）已知函數(shù) f (x) = 2 3 sinwx coswx + 2cos2 wx, (w > 0) 的最小正周期為 π .
(1)求w的值；
π
(2) é ù在銳角VABC 中，角 A，B，C 所對(duì)的邊分別為 a，b，c.c 為 f (x) 在 ê0, 2 ú 上的最大值，再從條件①、條
件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求 a - b的取值范圍.條件①： a cos B + b cos A = 2c cos C ；
3 a2 + b2 - c2
條件②： 2a sin Acos B + bsin 2A = 3a ；條件③：VABC 的面積為 S，且 S = .注：如果選
4
擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)條件計(jì)分.
題型六：解三角形的實(shí)際應(yīng)用
【典例 6-1】中國古代四大名樓鸛雀樓，位于山西省運(yùn)城市永濟(jì)市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩人王之渙的詩作
《登鸛雀樓》而流芳后世．如圖，某同學(xué)為測(cè)量鸛雀樓的高度MN ，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物
AB ，高約為37m，在地面上點(diǎn)C 處（ B ，C ， N 三點(diǎn)共線）測(cè)得建筑物頂部A ，鸛雀樓頂部M 的仰角分
別為30°和 45°，在A 處測(cè)得樓頂部M 的仰角為15°，則鸛雀樓的高度約為 m．
【典例 6-2】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N ，選擇 A 和另一座山的山頂 C 為測(cè)量觀測(cè)
點(diǎn)，從點(diǎn) A 測(cè)得點(diǎn) M 的仰角 MAN = 45°，點(diǎn) C 的仰角 CAB = 60°，以及 MAC = 75° .從點(diǎn) C 測(cè)得
MCA = 45° ,已知山高 BC = 300m ，則山高M(jìn)N = m.
【方法技巧】
根據(jù)題意畫出圖形，將題設(shè)已知、未知顯示在圖形中，建立已知、未知關(guān)系，利用三角知識(shí)求解．
【變式 6-1】（2024·寧夏銀川·三模）某同學(xué)為測(cè)量塔的高度 AB ，選取了與塔底 B 在同一水平面內(nèi)的
兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C 與D，現(xiàn)測(cè)得 BCD =15°, BDC =135°,CD = 20m,在點(diǎn)C 測(cè)得塔頂 A 的仰角為60°，則塔
高 AB = m.
【變式 6-2】（2024·寧夏銀川·二模）如圖，在山腳A 測(cè)得山頂 P 的仰角為a ，沿傾斜角為b 的斜坡向
上走 a米到 B ，在 B 出測(cè)得山頂 P 得仰角為g ，
(1)若 b = 15° ，求坡面的坡比．（坡比是坡面的垂直高度與水平寬度的比值）
a sina sin(g - b )
(2)求證;山高h(yuǎn) = sin(g -a )
【變式 6-3】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）在100m高的樓頂A 處，測(cè)得正西方向地面上B、C兩點(diǎn)
B、C 與樓底在同一水平面上）的俯角分別是75o和15o，則B、C兩點(diǎn)之間的距離為（ ）．
A．200 2 B． 240 2 C．180 3 D． 200 3
【變式 6-4】如圖所示， A, B, P,Q在同一個(gè)鉛垂面，在山腳A 測(cè)得山頂 P 的仰角 QAP 為
60o , QAB = 30o，斜坡 AB 長為m，在 B 處測(cè)得山頂 P 的仰角 CBP 為a ，則山的高度 PQ為（ ）
3msin a + 30o 3msin a - 30o
A．
2sin B．a(chǎn) + 60o 2sin a + 60o
3msin a + 30o 3msin a - 30o
C． D．
2sin a - 60o 2sin a - 60o
【變式 6-5】如圖，某人在垂直于水平地面 ABC 的墻面前的點(diǎn) A 處進(jìn)行射擊訓(xùn)練．已知點(diǎn) A 到墻面的
距離為 AB ，某目標(biāo)點(diǎn) P 沿墻面的射擊線CM 移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn) P ，需計(jì)算由點(diǎn) A 觀察點(diǎn) P
的仰角q 的大小(仰角q 為直線 AP 與平面 ABC 所成角)．若 AB =15m， AC = 25m， BCM = 30°，則 tanq
的最大值（ ）
A 30． B 30． C 4 3 D 5 3． ．
5 10 9 9
【變式 6-6】（2024·廣東·二模）在一堂數(shù)學(xué)實(shí)踐探究課中，同學(xué)們用鏡而反射法測(cè)量學(xué)校鐘樓的高度.
如圖所示，將小鏡子放在操場(chǎng)的水平地面上，人退后至從鏡中能看到鐘樓頂部的位置，此時(shí)測(cè)量人和小鏡
子的距離為a1 = 1.00m，之后將小鏡子前移a = 6.00m，重復(fù)之前的操作，再次測(cè)量人與小鏡子的距離為
a2 = 0.60m，已知人的眼睛距離地面的高度為 h = 1.75m ，則鐘樓的高度大約是（ ）
A． 27.75m B． 27.25m C． 26.75m D． 26.25m
題型七：倍角關(guān)系
【典例 7-1】記VABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c，已知 acosB = b 1+ cosA .
(1)證明： A = 2B；
(2)若 c = 2b, a = 3 ，求VABC 的面積.
【典例 7-2】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）在VABC 中，角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c（a，b，c 互不相
等），且滿足bcosC = 2b - c cos B .
（1）求證： A = 2B；
（2）若 c = 2a ，求 cos B .
【方法技巧】
解三角形中的倍角關(guān)系，主要涉及到正弦、余弦等三角函數(shù)的倍角公式。這些公式允許我們通過已知
的一個(gè)角的大小，來求解其兩倍角的大小所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值，從而在解三角形問題時(shí)提供更多的信息和
靈活性。
【變式 7-1】（2024·吉林長春·模擬預(yù)測(cè)）VABC 的內(nèi)角 A B C 所對(duì)的邊分別為
a b c,a = 3,b =1, A = 2B，則c =（ ）
A．2 B． 3 C． 2 D．1
【變式 7-2】在VABC 中，角A 、 B 、C 的對(duì)邊分別為 a、b、c，若 A = 2B．
(1)求證： a2 - b2 = bc ；
(2)若 cosB
2 AD 3= ，點(diǎn)D為邊 AB 上一點(diǎn)， = DB，CD = 2 6 ，求邊長b．
3 4
【變式 7-3】（2024·福建三明·高三統(tǒng)考期末）非等腰VABC 的內(nèi)角A 、 B 、C 的對(duì)應(yīng)邊分別為 a、b、
c a - cos B sin B，且 = .
a - cosC sin C
(1)證明： a2 = b + c；
2
(2)若B = 2C ，證明：b > .
3
題型八：三角形解的個(gè)數(shù)
p
【典例 8-1】設(shè)在VABC 中，角 A、B、C 所對(duì)的邊分別為 a，b，c，若滿足a = 3,b = m, B = 的
6
VABC 不唯一，則 m 的取值范圍為（ ）
3
A． , 32 ÷÷
B． (0, 3)
è
1
C． ,
3 1
÷÷ D

．
2 2
,1÷
è è 2
p
【典例 8-2】在△ABC 中，a，b，c 分別為角 A，B，C 的對(duì)邊，若b =10，A = ，且VABC 有唯一解，
6
則 a的取值范圍是 .
【方法技巧】
三角形解的個(gè)數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)
角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷．
π
【變式 8-1】在VABC 中，已知 A = ， a = 2，若VABC 有兩解，則邊b 的取值范圍為 .
6
【變式 8-2】在VABC 中， a = x,b = 3, B = 30°，若該三角形有兩解，則 x 的取值范圍是 ．
【變式 8-3】在VABC
π
中，已知 AB = x ，BC = 2 2 ，C = ，若存在兩個(gè)這樣的三角形 ABC ，則 x 的4
取值范圍是 ．
π
【變式 8-4】若滿足 ABC = ， AC = 6 ，BC = k 的VABC 恰有一個(gè)，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 ．
4
題型九：三角形中的面積與周長問題
【典例 9-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知VABC 的內(nèi)角 A, B,C 所對(duì)的邊分別為 a,b,c，滿足
sin B -sinC 2b - a
= ，sin Asin B 2= ，且 S△ABC =1，則邊c = ．
sin A b + c 5
【典例 9-2】記VABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c，且 a cosC + 3a sin C - b - c = 0 .
(1)求A ；
(2)若 a = 2 2 ，VABC 的面積為 2 3 ，求VABC 的周長
【方法技巧】
解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦
或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．
【變式 9-1】（2024·山東青島·三模）設(shè)三角形 ABC 的內(nèi)角A 、 B 、C 的對(duì)邊分別為 a、b 、 c且
sin B + C = 2 3 sin2 A ．
2
(1)求角A 的大小；
(2)若b = 3 ，BC 3 21邊上的高為 ，求三角形 ABC 的周長．
7
【變式 9-2】（2024·重慶·三模）已知函數(shù) f x = 3sin π 2wx +

÷ (w > 0) 的最小正周期為 π
è 3
(1)求函數(shù) f x 的單調(diào)遞增區(qū)間；
3 uuur uuur
(2)已知VABC 的三邊長分別為 a，b，c，其所對(duì)應(yīng)的角為 A，B，C，且 f A = ，
2 AB × AC = 2 3
，
a = 5 ，求該三角形的周長.
【變式 9-3】（2024·西藏·模擬預(yù)測(cè)）已知VABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c，且
2bsin A
π
+ ÷ - 2a = c．
è 6
(1)求 B；
(2)若 ABC的平分線交 AC 于點(diǎn)D，且 BD = 2， a = 3，求VABC 的面積．
【變式 9-4】（2024·安徽滁州·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c, 2b cosC - c = 2a．
(1)求 B 的大小；
(2)若 a = 3，且 AC 19邊上的中線長為 ，求VABC 的面積．
2
【變式 9-5】（2024·安徽蕪湖·三模）已知 a,b,c分別為VABC 三個(gè)內(nèi)角 A, B,C 的對(duì)邊，且
bcosA + 3bsinA = a + c
(1)求 B ；
(2)若b = 2,△ABC 的面積為 3，D為 AC 邊上一點(diǎn)，滿足CD = 2AD ，求BD的長．
π
1．（2024 年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在VABC 中,內(nèi)角 A, B,C 所對(duì)的邊分別為 a,b,c，若 B = 3 ，
b2 9= ac ，則 sinA + sinC =（
4 ）
A 2 39． B 39 C 7 3 13． ． D．
13 13 2 13
2．（2023 年北京高考數(shù)學(xué)真題）在VABC 中， (a + c)(sin A - sin C) = b(sin A - sin B) ，則 C =（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
3．（2023 年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）在VABC 中，內(nèi)角 A, B,C 的對(duì)邊分別是 a,b,c，若
p
acosB - bcosA = c，且C = ，則 B = （
5 ）
p p 3p 2p
A． B． C． D．
10 5 10 5
4．（2023 年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在VABC 中， BAC = 60°, AB = 2, BC = 6 ， BAC 的角平分
線交 BC 于 D，則 AD = ．
5．（2022 年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，
他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白．如果把這個(gè)方法寫成公式，就是
é 2 2 2 21 2 2 c + a - b ùS = êc a - ÷ ú ，其中 a，b，c 是三角形的三邊，S 是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊4 ê è 2 ú
a = 2,b = 3,c = 2，則該三角形的面積 S = ．
1．在VABC 中，角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c，若 a cosC + 3a sin C - b - c = 0 .
(1)求 A；
(2)若 a=2，VABC 的面積為 3，求 b，c 的值.
2．為了測(cè)量兩山頂 M，N 間的距離，飛機(jī)沿水平方向在 A，B 兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A，B，M，N 在同一個(gè)鉛垂
平面內(nèi)（如示意圖），飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和 A，B 間的距離，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：①指出需要
測(cè)量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；②用文字和公式寫出計(jì)算 M，N 間的距離的步驟.
3．已知VABC
1
的三個(gè)角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c，設(shè) p = (a + b + c)，求證：
2
（1）三角形的面積 S = p( p - a)( p - b)( p - c) ；
( p - a)( p - b)( p - c)
（2）若 r 為三角形的內(nèi)切圈半徑，則 r = ；
p
2
（3）把邊 BC，AC，AB 上的高分別記為 ha ,hb , hc ,則 ha = p( p - a)( p - b)( p - c) ，a
h 2b = p( p - a)( p
2
- b)( p - c) ， hc = p( p - a)( p - b)( p - c) .b c
4． VABC 的三邊分別為 a，b，c，邊 BC，CA，AB 上的中線分別記為ma ,mb ,mc ，利用余弦定理證明
m 1= 2 b2 + c2 - a2 m 1= 2 a2 + c2 - b2 1a ， b ，mc = 2 a2 + b2 - c22 2 2
5．一條東西方向的河流兩岸平行，河寬 250m ，河水的速度為向東 2 3km / h .一艘小貨船準(zhǔn)備從河的這一
邊的碼頭 A 處出發(fā)，航行到位于河對(duì)岸 B（AB 與河的方向垂直）的正西方向并且與 B 相距 250 3m的碼頭
C 處卸貨.若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為6km / h，則當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，求合速
度的方向，并求此時(shí)小貨船航行速度的大小.
易錯(cuò)點(diǎn)：忽視三角形三角間的聯(lián)系與范圍限制
易錯(cuò)分析： 在解答過程中易忽視三角形中三內(nèi)角的聯(lián)系及三角形各內(nèi)角大小范圍的限制，易使思路受
阻或解答出現(xiàn)增解現(xiàn)象.
【易錯(cuò)題 1】在VABC 中， B = 30° ，b = 2 ， c = 2 2 ，則角 A 的大小為（ ）
A． 45° B．135° 或 45° C．15° D．105° 或15°
p
【易錯(cuò)題 2】在VABC 中，已知 a = 6 ，b = 3， B = ，則角C = __________．3
答題模板：利用邊角關(guān)系解三角形
1、模板解決思路
如果遇到的式子含角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子含角的正弦或邊的一
次式，則考慮用正弦定理．
2、模板解決步驟
第一步：結(jié)合正弦定理、余弦定理將關(guān)系式中的角化邊或者邊化角．
第二步：化簡上一步所得的式子，結(jié)合已知條件和余弦定理與正弦定理來進(jìn)一步求解．
【經(jīng)典例題 1】VABC 中，角A ， B ，C 的對(duì)邊分別為 a，b ， c，若b cosC + 3bsin C - a - c = 0．
(1)求 B ；
(2)若C
π
= 且VABC 的面積為
4 3+ 3
，求邊長 c．
【經(jīng)典例題 2】VABC 中， 角 A， B， C 所對(duì)應(yīng)的邊分別是 a， b， c，且 acosC + 3asinC = b + c.
(1)求 A；
(2)若 a = 2， 求 BC 邊上高的最大值.第 04 講 解三角形
目錄
01 考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 .........................................................................................................................2
02 知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航 .........................................................................................................................3
03 考點(diǎn)突破·題型探究 .........................................................................................................................4
知識(shí)點(diǎn) 1：基本定理公式 .....................................................................................................................4
知識(shí)點(diǎn) 2：相關(guān)應(yīng)用 .............................................................................................................................5
知識(shí)點(diǎn) 3：實(shí)際應(yīng)用 .............................................................................................................................5
解題方法總結(jié) ........................................................................................................................................7
題型一：正弦定理的應(yīng)用 ....................................................................................................................8
題型二：余弦定理的應(yīng)用 ..................................................................................................................11
題型三：判斷三角形的形狀 ..............................................................................................................13
題型四：正、余弦定理的綜合運(yùn)用 ..................................................................................................17
題型五：正、余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用 ......................................................................20
題型六：解三角形的實(shí)際應(yīng)用 ..........................................................................................................26
題型七：倍角關(guān)系 ..............................................................................................................................32
題型八：三角形解的個(gè)數(shù) ..................................................................................................................35
題型九：三角形中的面積與周長問題 ..............................................................................................38
04 真題練習(xí)·命題洞見 .......................................................................................................................43
05 課本典例·高考素材 .......................................................................................................................45
06 易錯(cuò)分析·答題模板 .......................................................................................................................48
易錯(cuò)點(diǎn)：忽視三角形三角間的聯(lián)系與范圍限制 ..............................................................................48
答題模板：利用邊角關(guān)系解三角形 ..................................................................................................49
考點(diǎn)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
2024年 I卷第 15題，13分
（1）正弦定理、余 2024年 II卷第 15題，13分 高考對(duì)本節(jié)的考查不會(huì)有大的變化，仍
弦定理及其變形 2024年甲卷第 11題，5分 將以考查正余弦定理的基本使用、面積公式
（2）三角形的面積 2023年 I卷 II卷第 17題，10分 的應(yīng)用為主．從近五年的全國卷的考查情況
公式并能應(yīng)用 2023年甲卷第 16題，5分 來看，本節(jié)是高考的熱點(diǎn)，主要以考查正余
（3）實(shí)際應(yīng)用 2023年乙卷第 18題，12分 弦定理的應(yīng)用和面積公式為主．
2022年 I卷 II卷第 18題，12分
復(fù)習(xí)目標(biāo)：
（1）掌握正弦定理、余弦定理及其變形．
（2）能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題．
（3）能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題．
知識(shí)點(diǎn) 1：基本定理公式
（1）正余弦定理：在△ABC 中，角 A，B，C 所對(duì)的邊分別是 a，b，c，R 為△ABC 外接圓半徑，則
定理 正弦定理 余弦定理
a2 = b2 + c2 - 2bccos A；
a
公式 =
b = c = 2R b2 = c2 + a2 - 2accosB ；
sin A sin B sinC
c2 = a2 + b2 - 2abcosC．
2 2
cosA b + c - a
2
= ；
（1） a = 2Rsin A，b = 2RsinB， c = 2RsinC； 2bc
a b c c2 + a2 - b2
常見變形 （2） sin A = ， sinB = ， sinC = ； cosB = ；
2R 2R 2R 2ac
cosC a
2 + b2 - c2
= ．
2ab
（2）面積公式：
SD ABC
1
= absin C 1 1= bcsin A = acsin B
2 2 2
S ABC abc 1D = = (a + b + c) × r （r 是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計(jì)算 R，r．）4R 2
p
【診斷自測(cè)】在△ABC 中，若BC = 2，AC = 5，B = ，則 sin A =（
6 ）
A 10． B 10 C 5 D 5． ． ．
10 5 10 5
【答案】A
BC AC 2 5= 10
【解析】由正弦定理得 = ，即
sin A sin B sin A sin π
，解得 sin A = .故選：A.
6 10
知識(shí)點(diǎn) 2：相關(guān)應(yīng)用
（1）正弦定理的應(yīng)用
①邊化角，角化邊 a : b : c = sin A : sin B : sin C
②大邊對(duì)大角 大角對(duì)大邊
a > b A > B sin A > sin B cos A < cos B
③ a + b + c a + b b + c a + c a b c合分比： = = = = = = = 2R
sin A + sin B + sin C sin A + sin B sin B + sin C sin A + sin C sin A sin B sin C
（2）△ABC 內(nèi)角和定理： A + B + C = p
① sin C = sin(A + B) = sin Acos B + cos Asin B c = a cos B + bcos A
同理有： a = bcosC + ccos B ，b = ccos A + a cosC ．
② -cosC = cos(A + B) = cos Acos B - sinAsinB ；
③ tan A + tan B斜三角形中， - tan C = tan(A + B) = tan A + tan B + tanC = tan A × tan B × tanC
1- tan A × tan B
④ sin( A + B ) cos C A + B C= ； cos( ) = sin
2 2 2 2
⑤在DABC p 2p中，內(nèi)角 A，B，C 成等差數(shù)列 B = , A + C = ．
3 3
2 2 2
【診斷自測(cè)】（2024·四川眉山·三模）在VABC中， a,b,c分別是角 A, B,C c - a - b所對(duì)的邊，若 S△ABC = ，4
則C =（ ）
π 2π 3π 5π
A． B． C． D．
3 3 4 6
【答案】C
S 1= absin C S c
2 - a2 - b2
【解析】因?yàn)?VABC ，又由題知 △ABC = ，2 4
c2 - a2 - b2 1
所以 = absin C ，整理得到， c2 = a2 + b2 + 2absin C ，
4 2
又由余弦定理 c2 = a2 + b2 - 2abcosC ，所以 sin C = -cosC ，所以 tan C = -1，
又C 0, π C 3p，所以 = .
4
故選：C.
知識(shí)點(diǎn) 3：實(shí)際應(yīng)用
1、仰角和俯角
在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖①）．
2、方位角
從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如 B 點(diǎn)的方位角為 α（如圖②）．
3、方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角．
（1）北偏東 α，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn) α 到達(dá)目標(biāo)方向（如圖③）．
（2）北偏西 α，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) α 到達(dá)目標(biāo)方向．
（3）南偏西等其他方向角類似．
4、坡角與坡度
（1）坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角 θ 為坡角）．
（2）坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖④，i 為坡度）．坡度又稱為坡比．
【診斷自測(cè)】（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某城市有一條公路從正西方向 AO通過路口O后轉(zhuǎn)向西北
方向OB，圍繞道路OA,OB打造了一個(gè)半徑為 2km的扇形景區(qū)，現(xiàn)要修一條與扇形景區(qū)相切的觀光道MN ，
則MN 的最小值為 km．
【答案】 4 2 + 4
【解析】如圖，設(shè)切點(diǎn)為 P ，連接OP．由題意得 MON =135°，
設(shè)OM = akm,ON = bkm ，
在VOMN 中，
MN 2 = a2 + b2 - 2ab cos135°
= a2 + b2 + 2ab 2 + 2 ab ,
當(dāng)且僅當(dāng) a = b 時(shí)取等號(hào)．
設(shè) OMN = a ，則 ONM = 45° -a ，
2 2
所以 a = ,b =sina sin 45° -a ，
4
故 ab = sinasin 45° -a
16 16
=
2sin 2a + 45° - 2 2 - 2
（當(dāng)且僅當(dāng)a = 22.5°時(shí)取等號(hào)），
16 2 + 22 所以MN =16( 2 +1)2 ，
2 - 2
解得MN 4 2 +1 ，所以MN 的最小值為 4 2 + 4 km．
故答案為： 4 2 + 4 .
解題方法總結(jié)
1、方法技巧：解三角形多解情況
在△ABC 中，已知 a，b 和 A 時(shí)，解的情況如下：
A 為銳角 A 為鈍角或直角
圖形
關(guān)系式 a = bsin A bsin A < a < b a b a > b a b
解的個(gè)
一解 兩解 一解 一解 無解
數(shù)
2、在解三角形題目中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，
要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：
（1）若式子含有 sin x 的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；
（2）若式子含有 a,b,c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；
（3）若式子含有 cos x的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；
（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；
（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；
（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到 A+ B +C =p ．
3、三角形中的射影定理
在VABC 中， a = bcosC + c cos B；b = a cosC + c cos A； c = bcos A + a cos B ．
題型一：正弦定理的應(yīng)用
【典例 1-1】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在 VABC中， a,b,c π分別為角 A, B,C 的對(duì)邊，若 tanA = 3， B = ，
4
bc = 2 10 ，則a = （ ）
A．2 B．3 C．2 2 D．3 2
【答案】B
ìsin2 A + cos2π A =1
【解析】由 tanA = 3，可得 A 0,
3 10 10
÷ ，根據(jù)2 í sinA
進(jìn)而求出 sinA = ， cosA = ，
è = 3 10 10 cosA
B π由 = 可得
4 sinB
2
= ， cosB 2= ，
2 2
3 10 2 10 2 2 5
則 sinC = sin A + B = sinAcosB + sinBcosA = + = ，
10 2 10 2 5
b sinB 10
由正弦定理可知 = = ，
c sinC 4
又因?yàn)閎c = 2 10 ，解得b = 5 ， c = 2 2 ，
5 3 10
a bsinA

由正弦定理可得 = = 10 = 3．
sinB 2
2
故選：B．
【典例 1-2】（2024·江西九江·三模）在VABC中，角 A, B,C 所對(duì)的邊分別為 a,b,c，已知
2c - a = 2bcosA，則B =（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
【答案】B
【解析】因?yàn)?2c - a = 2bcosA，
由正弦定理， 2sinC - sinA = 2sinBcosA,
因?yàn)?A + B + C = π，\2sin A + B - 2sinBcosA = sinA，
1
展開化簡 2sinAcosB = sinA.QsinA > 0,\cosB = ，
2
又B 0, π ,\B π= .
3
故選:B.
【方法技巧】
（1）已知兩角及一邊求解三角形；
（2）已知兩邊一對(duì)角；
ì大角求小角一解（銳）

ì兩解－sin A <（1 一銳角、一鈍角）
í
小角求大角－í一解－sin A = 1（直角）

無解－sin A >1
（3）兩邊一對(duì)角，求第三邊．
π
【變式 1-1】（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）在VABC中，A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c，若 B = 3 ，
c = 2 b + c， SVABC = 3 ，則 的值為 ．sin B + sin C
4 3 4
【答案】 / 3
3 3
S = 3 1 3【解析】由 VABC ，可得 ac sin B = a = 3 ，2 2
解得a = 2，所以VABC為等邊三角形，
VABC 2R b 4 3故 外接圓直徑為 = =
sin B 3
b + c 2RsinA + 2RsinB
所以 = = 2R 4 3= ．
sinB + sinC sinA + sinB 3
4 3
故答案為： .
3
【變式 1-2】（2024·河南信陽·模擬預(yù)測(cè)）已知VABC中， A, B,C 對(duì)應(yīng)邊分別是 a,b,c，若 a2 - b2 = bc ，
A
則 = .
B
【答案】2
【解析】因?yàn)?a2 - b2 = bc ， a2 + c2 - b2 = 2ac cos B ，
所以 c2 + bc = 2ac cos B ，即 c + b = 2a cos B ，
所以，由正弦定理得 sinC + sin B = 2sin Acos B ，
因?yàn)?sin C = sin A + B = sin Acos B + cos Asin B ，
所以 sin C + sin B = 2sin Acos B = sin Acos B + cos Asin B + sin B ，
所以 sin Acos B - cos Asin B = sin B ，即 sin A - B = sin B，
因?yàn)?A, B 0,π , A - B -π,π ,sin B > 0，
所以 A - B 0,π ，
所以 A - B = B或 A - B + B = π ，即 A = 2B 或 A = π（舍）
A
所以 = 2 .
B
故答案為： 2
【變式 1-3】（2024·湖北黃石·三模）若VABC的三個(gè)內(nèi)角A ， B ，C所對(duì)的邊分別為 a，b， c，
B C 60 sin A + sin B - sin C+ = °， a = 3，則 =（ ）a + b - c
1
A． 2 3 B 3． C． D．6
6 6
【答案】B
【解析】在VABC中，B +C = 60° A = 120° sin A sin120° 3，所以 ，所以 = = ，
a 3 6
sin A + sin B - sin C sin A 3
由正弦定理以及比例的性質(zhì)可得： = = .
a + b - c a 6
故選：B
【變式 1-4】（2024·高三·江西贛州·期中）在VABC中，角 A, B,C 所對(duì)的邊分別為 a,b,c，若
a = 4, A π= ,C 5π= ，則b =（
4 12 ）
A． 2 3 B． 2 5 C．2 6 D．6
【答案】C
A π ,C 5π π【解析】因?yàn)?= = ，所以B = π - A - C = ，
4 12 3
a b a sin B 4 sin
π 4 3
= b = = 3因?yàn)?，所以 = 2 = 2 6 ．
sin A sin B sin A sin π 2
4 2
故選：C.
π 9
【變式 1-5 2】在VABC中,內(nèi)角 A, B,C 所對(duì)的邊分別為 a,b,c，若 B = ，b = ac ，則 sinA + sinC =3 （4 ）
A 2 39． B 39 C 7 D 3 13． ． ．
13 13 2 13
【答案】C
p
【解析】因?yàn)锽 = ,b2
9 ac sin Asin C 4 sin2 B 1= ，則由正弦定理得 = = .
3 4 9 3
: b2 = a2由余弦定理可得 + c2 - ac
9
= ac ，
4
: a2 2
13
即 + c = ac ，根據(jù)正弦定理得 sin2 A + sin2 C
13
= sin Asin C 13= ，
4 4 12
所以 (sin A + sin C)2 = sin2 A + sin2 C + 2sin Asin C
7
= ，
4
因?yàn)?A,C 為三角形內(nèi)角，則 sin A + sin C > 0，則 sin A + sin C 7= .
2
故選：C.
題型二：余弦定理的應(yīng)用
【典例 2-1】在VABC中，a，b，c 分別為內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊，且 a cos B -1 - b cos A -1 = 0．若
a = 4 ，則b =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】Qa cos B -1 - b cos A -1 = 0 ，
a2 + c2 - b2 2 2 2
\a b + c - a× -1 - b × -12ac ÷ 2bc ÷
= 0，
è è
a2 + c2 - b2 2a b + c
2 - a2 2 2
\ - - + b = 0 a - b， - (a - b) = 0．
2c 2c c
\a2 - b2 - c a - b = 0，即 a - b a + b - c = 0．
Qa +b-c > 0，\a-b = 0，即b = a = 4．
故選：D
2 2 2
【典例 2-2】在△ABC A B C b + c - a中，角 ， ， 所對(duì)的邊分別為 a，b，c，已知b - = 2acosBcosC ，
2b
π
其中，C ，角 B= .
2
π
【答案】
3
b2 + c2 - a2 2 2 2
【解析】根據(jù)余弦定理：得b - = 2a cos B a + b - c× ，
2b 2ab
b2 - c2 + a2 2 22cosB a + b - c
2
即 = × ，
2b 2b
C π
2 2
a + b - c
2
因?yàn)?，所以 0，
2 2b
所以 cos B
1
= π，又0 < B < π ，得 B = 3 ，2
π
故答案為：
3
【方法技巧】
（1）已知兩邊一夾角或兩邊及一對(duì)角，求第三邊．
（2）已知三邊求角或已知三邊判斷三角形的形狀，先求最大角的余弦值，
ì> 0,則D ABC為銳角三角形

若余弦值 í= 0,則D ABC為直角三角形.

< 0,則D ABC為鈍角三角形
【變式 2-1】已知 a,b,c分別為VABC的內(nèi)角 A, B,C 的對(duì)邊，且 c a cos B - bsin A = a2 - b2 .角
A = .
π
【答案】
4
a2 + c2 - b2
【解析】在VABC中，由余弦定理得， cos B = ，代入得 c a cos B - bsin A = a2 - b2 ，
2ac
a2c a + c
2 - b2 2
則 × - bsin A÷ = a - b
2
2ac ，即 a
2 + c2 - b2 - 2bc sin A = 2a2 - 2b2 ，
è
b2 + c2 - a2 π
即 sin A = = cos A，因?yàn)?A 0, π ，但 A = 時(shí)上式不成立，
2bc 2
所以 cos A 0，所以 tan A π=1，則 A = .4
π
故答案為：
4
【變式 2-2】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）在VABC中，角 A，B，C 的對(duì)邊分別是 a，b，c，若
2 tan A tan B
a2 + b2 = 2024c2，則 =tan C(tan A tan B) .+
【答案】 2023
2 tan A tan B 2 2
= =
【解析】 tan C(tan A + tan B) tan C 1 1 tan C cos B cos A +tan B tan A ÷
+
è è sin B sin A ÷
2sin Asin B 2sin Asin B 2sin Asin B
= = = 2sin Asin B cosC 2abcosC= =
tanC(sin Acos B + cos Asin B) tanC sin(A + B) tanC sinC ，sin2 C c2
2ab cosC a2 + b2 - c2
由余弦定理有： 2 = ，c c2
2 2
又 a2 2 2
2024c - c
+ b = 2024c ，所以原式=
c2
= 2023 .
故答案為： 2023
【變式 2-3】（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）在VABC中，角A ， B ，C所對(duì)的邊分別為 a，b， c，若
(a2 + c2 - b2 ) tan B = 3ac，則 cos5B =（ ）
1 3 3 1A． 2 B．± C． D．±2 2 2
【答案】D
【解析】Q a2 + c2 - b2 tanB = 3ac ，\2ac ×cosB × tanB = 3ac ，
\sin B 3= ，
2
QB (0, π) π 2π，\ B = 3 或 ，3
5π
\可得 cos5B = cos = cos
- π 1 ÷ =
10π 4π 1
或 cos = cos = - ．
3 è 3 2 3 3 2
故選：D．
【變式 2-4】在銳角三角形 ABC中，角 A, B,C 所對(duì)的邊分別為 a,b,c，若
cos2B + cos2C + 2sinBsinC =1+ cos2A，則角A = .
π
【答案】
3
【解析】因?yàn)?cos2B + cos2C + 2sinBsinC =1+ cos2A，所以
所以1- 2sin2 B +1- 2sin2 C + 2sin B sin C = 2 - 2sin2 A，\sin2 A = sin2 B + sin2 C - sin B sin C ，
2 2 2
2 2 2 cos A b + c - a 1
π π
\a = b + c - bc ，\ = = ．Q0 < A < ，\ A = ．
2bc 2 2 3
π
故答案為：
3
題型三：判斷三角形的形狀
【典例 3-1】（2024·河北秦皇島·三模）在VABC中，內(nèi)角A ， B ，C的對(duì)邊分別為 a，b， c，且
B = 2C ，b = 2a，則（ ）
A．VABC為直角三角形 B．VABC為銳角三角形
C．VABC為鈍角三角形 D．VABC的形狀無法確定
【答案】A
【解析】由b = 2a，可得 sin B = 2 sin A，
則 sin 2C = 2 sin π - 3C = 2 sin 3C ，
sin 2C = 2 sin 2C cosC + 2 cos2C ×sinC ，
2cosC = 2 2 cos2 C + 2 2cos2 C -1 ，
即4 2 cos2 C - 2cosC - 2 = 0，
由B = 2C > C ，故C只能為銳角，可得 cosC 2= ，
2
因?yàn)? < C
π π π
< ，所以C = ，B = .
2 4 2
故選：A.
【典例 3-2】在VABC中，內(nèi)角 A, B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c,若滿足2acos B = c，則該三角形為（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．不能確定
【答案】B
【解析】在VABC中，已知 2a cos B = c,
由正弦定理得 2sin Acos B = sin C = sin(A + B) = sin Acos B + sin B cos A，
所以 sin Acos B - sin B cos A = 0,即 sin(A - B) = 0,
又0 < A < π,0 < B < π，則-π < A - B < π，則 A- B = 0，
所以 A = B, 所以該三角形為等腰三角形.
故選：B.
【方法技巧】
（1）求最大角的余弦，判斷DABC 是銳角、直角還是鈍角三角形．
（2）用正弦定理或余弦定理把條件的邊和角都統(tǒng)一成邊或角，判斷是等腰、等邊還是直角三角形．
【變式 3-1】在VABC中，若 a - a cos B sin B = b - c cosC sin A，則這個(gè)三角形是 ．
【答案】等腰或直角三角形/直角或等腰三角形
【解析】因?yàn)? a - a cos B sin B = b - c cosC sin A，
所以， sin A 1- cos B sin B = sin B - sin C cosC sin A，
Q0 < A < p ，則 sin A > 0，所以， sin B - sin B cos B = sin B - sin C cosC ，
a2 + c2 - b2 a2 + b2 2
即bcos B = ccosC - c，所以，b × = c × ，
2ac 2ab
b2 a2 + c2 - b2 = c2 a2 + b2 - c2 ，即 a2b2 - b4 = a2c2 - c4 ，
2 2
整理可得 b - c b2 + c2 - a2 = 0，即b = c或 a2 = b2 + c2 ，
因此，VABC為等腰或直角三角形.
故答案為：等腰或直角三角形.
【變式 3-2】（2024·陜西渭南·三模）已知VABC中，角 A，B，C 所對(duì)的邊分別是 a，b，c，若
b cosC + c cos B = b ，且 a = c cos B ，則VABC是（ ）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【解析】b cosC + c cos B = b sin B cosC + sin C cos B = sin B sin B + C = sin B，
即 sin A = sin B ，故 a = b ，
a = c cos B sin A = sin C cos B sin B + C = sin C cos B
sin B cosC + cos B sin C = sin C cos B sin B cosC = 0，
因?yàn)锽 0, π ，所以sin B 0，故 cosC = 0，
因?yàn)镃 0, π π，所以C = 2 ，
故VABC為等腰直角三角形.
故選：D
a2 + b2 sin(A + B)
【變式 3-3】在△ABC 中， 2 = ，則△ABC 的形狀是（a ）- b2 sin(A - B)
A．等腰三角形但一定不是直角三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形但一定不是等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【答案】C
2 2
【解析】原式可化為 a + b × sin Acos B - cos Asin B = a2 - b2 sin Acos B + cos Asin B ，然后利用正弦定理、
a2 + b2 sin(A + B)
余弦定理進(jìn)行邊角互化，得出 a，b， c的關(guān)系.由 2 = 得：a - b2 sin(A - B)
a2 + b2 ×sin(A - B) = a2 - b2 sin(A + B) ，且 a b ，
∴ a2 + b2 × sin Acos B - cos Asin B = a2 - b2 sin Acos B + cos Asin B ，且 a b ，
∴ a2 + b2 × acos B - bcos A = a2 - b2 acos B + bcos A ，
a2 + c2 - b2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ a + b × a - b b + c - a2ac 2bc ÷ = a
2 b2 a a + c - b b b + c - a- +2ac 2bc ÷，è è
2 2
化簡整理得： a + b × a2 - b2 = a2 - b2 c2，即 a2 + b2 - c2 a2 - b2 = 0，
∴ a2 = b2 或 a2 + b2 = c2 ，又 a b ，
∴△ABC 是直角三角形但一定不是等腰三角形.
故選：C.
2
【變式 3-4】在VABC中，角 A、B、C 所對(duì)的邊為 a、b、c b tan B若 2 = ，則VABC的形狀是（ ）c tan C
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
sin B
b2 tan B sin2 B cos B
【解析】在VABC中，由 = 及正弦定理得 2 = sin C ，而 sin A > 0,sin B > 02 ，c tan C sin C
cosC
整理得 sin Bcos B = sinC cosC ，即sin2B = sin2C，而0 < B < π,0 < C < π ，
則0 < 2B < 2π,0 < 2C < 2π，因此 2B = 2C
π
或 2B + 2C = π ，即 B = C 或B + C = ，
2
所以VABC是等腰三角形或直角三角形.
故選：C
【變式 3-5】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）已知VABC的三個(gè)內(nèi)角 A，B，C 所對(duì)的邊分別為 a，b，c，滿
足 2a + b = 2c cos B ，且sin A+sin B =1，則VABC的形狀為（ ）
A．等邊三角形 B．頂角為120°的等腰三角形
C．頂角為150°的等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】由正弦定理可得 2sin A + sin B = 2sin C cos B，
因?yàn)?A + B + C = π，所以 B +C = π - A，
所以 2sin B + C + sin B = 2sin C cos B ，即2sin BcosC +2cosBsinC +sin B = 2sinCcosB，
即2sin BcosC +sin B = 0，因?yàn)锽 0, π ，所以sin B 0，
所以 cosC
1 2π π
= - ，因?yàn)镃 0, π ，所以C = ，所以B + A = ，
2 3 3
因?yàn)閟in A+sin B =1，所以 sin A
π
+ sin - A÷ =1，
è 3
sin A 3 cos A 1 3 1所以 + - sin A =1，即 cos A + sin A =1，
2 2 2 2
即 sin

A
π
+ ÷ =1

，因?yàn)?A 0,
π π π π
÷ ，所以 A + = ，所以 A = ，
è 3 è 3 3 2 6
因?yàn)锽 + A
π π
= .所以 A = B = ，
3 6
所以VABC的形狀為頂角為120°的等腰三角形.
故選：B.
題型四：正、余弦定理的綜合運(yùn)用
【典例 4-1】在VABC中內(nèi)角 A, B,C π 2 9所對(duì)邊分別為 a,b,c，若 B = ，b = ac ，則 sinA + sinC =3 （4 ）
3
A． B． 2 C
7
． D 3．
2 2 2
【答案】C
【解析】因?yàn)锽
π 9 4 1
= ,b2 = ac 2，則由正弦定理得 sin Asin C = sin B = .
3 4 9 3
2 2 2 9
由余弦定理可得: b = a + c - ac = ac ，
4
: a2 + c2
13 13 13
即 = ac 2 2，根據(jù)正弦定理得 sin A + sin C = sin Asin C = ，
4 4 12
(sin A + sin C)2所以 = sin2 A + sin2 C + 2sin Asin C
7
= ，
4
因?yàn)?A,C 為三角形內(nèi)角，則 sin A + sin C > 0，則 sin A + sin C 7= .
2
故選：C.
【典例 4-2】（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）記VABC的內(nèi)角A ， B ，C的對(duì)邊分別為 a，b， c，已知
tan A
a 2 = 3b 2 + c 2 ，則 = ．
tan C
【答案】-2
2 2 2
【解析】因?yàn)?a 2 = 3b 2 + c 2 ，所以 a2 + b2 - c2 2
a + b - c 2b
= 4b ，所以 = ，
2ab a
cosC 2b cosC 2sin B即 = ，由正弦定理可得 = ，
a sin A
所以 sin AcosC = 2sin B，所以 sin AcosC = 2sin A + C ，
所以 sin AcosC = 2sin AcosC + 2sin C cos A，
即 sin AcosC = -2sin C cos A，
因?yàn)?cos AcosC 0 ，所以 tan A = -2 tan C
tan A
，所以 = -2 .
tan C
故答案為：-2
【方法技巧】
先利用平面向量的有關(guān)知識(shí)如向量數(shù)量積將向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)形式，再利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)化求解．
【變式 4-1】（2024·四川綿陽·一模）VABC中，角A 、 B 、C的對(duì)邊分別為 a、b、c，若
sinC sin A - B = sin B sin C - A ,a 25= 5,cos A = ，則VABC的周長為 ．
31
【答案】14
【解析】因?yàn)?sin C sin A - B = sin B sin C - A ，
所以 sinC sin Acos B - sinC cos Asin B = sin BsinC cos A - sin B cosC sin A，
即 sin C sin Acos B + sin B cosC sin A = 2sin B sin C cos A .，
由正弦定理可得： ac cos B + ab cosC = 2bc cos A，
a2 + c2 - b2 a2 + b2 - c2
由余弦定理可得： + = c2 + b2 - a2 ，整理得： 2a2 = b2 + c2 .
2 2
25
因?yàn)閍 = 5,cos A = ，
31
ìb2 + c2 = 50
ìb2 + c2 = 50
所以 í b2 + c2 - a2 25 ，整理得： í ，

cosA = = 2bc = 312bc 31
則 b + c = b2 + c2 + 2bc = 50 + 31 = 9，
所以 a + b + c =14，
故答案為：14 .
【變式 4-2】（2024·新疆·一模）在VABC中，角 A, B,C 的對(duì)應(yīng)邊是a,b,c,cosC 1= - ，且
4
2sinA 15+ sinB = ，則 sinB = （ ）
2
A 3 5 B 15 15
7
． ． C． D．
16 8 4 8
【答案】B
cosC 1【解析】因?yàn)?= - ，所以由余弦定理可得 c2 = a2
1
+ b2 + ab ，
4 2
sin2 C = sin2 A + sin2 1利用正弦定理邊化角得 B + sin Asin B ，
2
因?yàn)?cosC
1
= - ，所以C
π
, π
sin2 15
4 2 ÷
，且 C = ，
è 16
由2sinA + sinB 15= 得 sinB 15= - 2sinA，
2 2
2
15 2 15 1 15 所以 = sin A + - 2sin A÷÷ + sin A - 2sin A ，16 ÷÷è 2 2 è 2
整理得64sin2 A - 28 15 sin A + 45 = 0，
sin A 3 15 15解得 = 或 sin A = ，
16 4
所以 sin B 15= 或 sin B = 0，
8
C π , π B 0, π 15又 ÷，所以 ÷ ，所以 sin B = .
è 2 è 2 8
故選：B
【變式 4-3】 VABC中，角 A、B、C 所對(duì)的邊分別為a、b、c，若 a2 - b2 = bc ，且 sin A = 3 sin B，則
角 A =
π
【答案】
3
【解析】Qa2 - b2 = bc，\ a2 = b2 + bc ，Qa2 = b2 + c2 - 2bc cos A，
\bc = c2 - 2bc cos A，\b = c - 2bcos A，
\sin B = sin C - 2sin B cos A，
\sin B = sin(A + B) - 2sin B cos A，
\sin B = sin Acos B + sin B cos A - 2sin B cos A，
\sin B = sin Acos B - sin B cos A = sin A - B ，
因?yàn)?A, B 0, π ，所以 A - B -π, π ，
\B = A - B 或B + A - B = π （舍），\ A = 2B ，
因?yàn)?sin A = 3 sin B，\sin 2B = 3 sin B
即 2sin B cos B = 3 sin B ，Qsin B 0，
\cos B 3= ，Q 0 < B < π ，
2
π π
\B = ，\ A = 2B = .
6 3
π
故答案為： .
3
【變式 4-4】（2024·四川攀枝花·二模）VABC的內(nèi)角 A、B、C 的對(duì)邊分別為 a、b、c，且
a2 + b2 - c2
- 3c sin B = a ，則B = ．
2a
5π
【答案】
6
a2 + b2 - c2
【解析】由 - 3c sin B = a ，
2a
由余弦定理得bcosC - 3c sin B = a，
由正弦定理得 sin B cosC - 3 sin C sin B = sin A，
因?yàn)?A= π - (B +C)，
即 sin B cosC - 3 sin C sin B = sin(B + C) = sin B cosC + cos B sin C ，
即- 3 sin C sin B = cos B sin C ，
因?yàn)閟inC 0，則 tan B sin B 3= = - ，
cos B 3
因?yàn)?B (0, π) ，故B
5π
= .
6
5π
故答案為：
6
題型五：正、余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用
ur x r
【典例 5-1】已知向量m = 3sin ,1÷ , n =

cos
x , cos2 x .
è 4 è 4 4 ÷
ur r
(1)求 m 2+ n 2的取值范圍；
ur r
(2)記 f x = m × n ，在VABC中，角 A, B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c且滿足 2a - c cosB = bcosC ，求函數(shù) f A
的值域.
ur
m =
r
3sin x ,1 , n = cos x , cos2 x 【解析】（1）（1）因?yàn)? 4 ÷ 4 4 ÷
，
è è
ur 2 r 2 2 x 2 x 4 x 2 x 2 x
可得 m + n = 3sin +1+ cos + cos = 3 1- cos ÷ +1+ cos + cos
4 x
4 4 4 è 4 4 4
2
= cos4 x - 2cos2 x + 4 = cos
2 x -1 ÷ + 3，4 4 è 4
2 x ur 2 r 2
因?yàn)?cos 0,1 ，所以 m + n
4 3,4 .
ur r x x 2 x x x 2 x
（2）由題意得 f x = m ×n = 3sin ,1 × cos ,cos4 ÷ 4 4 ÷ = 3 sin cos + cosè è 4 4 4
3 x 1
= sin + cos x 1 sin x π+ = + 1 ÷ + ，可得 f A = sin
A π 1+ + ，
2 2 2 2 2 è 2 6 2
2 6 ÷ è 2
因?yàn)? 2a - c cosB = bcosC ，由正弦定理得 2sinA - sinC cosB = sinBcosC ，
所以 2sinAcosB - cosBsinC = sinBcosC ，所以 2sinAcosB = sin B + C ，
又因?yàn)?A + B + C = π，則 sin B + C = sinA，且sinA 0，所以 cosB 1= ，
2
B (0, π) B π因?yàn)?，所以 = ，所以0 < A
2π π A π π
< ，則 < + <3 ，3 6 2 6 2
1
< sin A π+ <1 3 則 ÷ ，所以函數(shù) f A 的值域是 1, .2 è 2 6 ÷ è 2
【典例 5-2】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f (x) = sin 2x - 2 3sin2 x + 2 3 ．
1 x é
p p ù
（ ）當(dāng) ê- , ú時(shí)，求 f (x)3 6 的取值范圍；
3
（2）已知銳角三角形 ABC的內(nèi)角 A, B,C 所對(duì)的邊分別為 a,b,c，且滿足 f (A) = 3,sin B = ,b = 2，求
5
VABC的面積．
【解析】（1）由題意得， f (x) = sin 2x + 2 3 cos2 x = sin 2x + 3(cos2x +1) = 2sin 2x
p
+ ÷ + 3．
è 3
∵ x é
p p
ù
p p 2p
ê- , ú，∴ 2x +
é- , ù
3 6 3 ê
，
3 3 ú
∴ f (x) [0,2 + 3]．
é p
故當(dāng) x ê- ,
p ù
3 6 ú時(shí)，
f (x) 的取值范圍是[0,2 + 3]．

（2）∵ f (A) = 3 ，
∴由（1）得2sin 2A
p
+ ÷ + 3 = 3，∴ sin

2A
p
+ ÷ = 0．
è 3 è 3
A p p p 4p又 0, ÷ ，∴ 2A +
p p
, ÷，∴ 2A + = p , A = ．
è 2 3 è 3 3 3 3
sin B 3
p 4
∵ = ，且B 0, ，∴ cos B = ，5 è 2 ÷ 5
∴ sinC = sin B
p 3 1 4 3 3 + 4 3
+ ÷ = + = ，
è 3 5 2 5 2 10
∴ c b sinC 3 + 4 3由正弦定理得， = × = ，
sin B 3
∴ S 1 bcsin A 1 2 3 + 4 3 3 2 3VABC = = = + ．2 2 3 2 2
【方法技巧】
正、余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用，主要體現(xiàn)在解三角形問題中。通過利用正弦定理和余弦定
理，可以方便地求解三角形的邊長和角度。同時(shí)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，如和差化積、積化和差等，可以
進(jìn)一步簡化計(jì)算過程，提高解題效率。
p
【變式 5-1】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f x = sin x - ÷ + m，將 y = f x 的圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵?br/>è 6
1 p
來的 ，縱坐標(biāo)不變，再向左平移 個(gè)單位后得到 g x 的圖象，且 y = g x ép p ù在區(qū)間 ê , 內(nèi)的最大值為2 6 4 3 ú
3 .
2
（1）求m 的值；
（2）在銳角VABC C 3中，若 g ÷ = ，求 tan A + tan B的取值范圍.
è 2 2
p 1 p
【解析】（1）將函數(shù) f x = sin x - ÷ + m的圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，再向左平移 個(gè)單
è 6 2 6
位后得到 g x 的圖象，
g x sin é2 x p p ù= + - + m = sin p 則 ê ÷ 2x + ÷ + m ，
è 6 6 ú è 6
Q x épê ,
p ù 2x p é2p , 5pú，\ +
ù
ê ú ， 4 3 6 3 6
2x p 2p x p當(dāng) + = ，即 = 時(shí)， g x 3 3最大值 g x = +m = ，所以，m = 0；6 3 4 max 2 2
2
C
（ ）Q g ÷ = sin
C p+ 3 ÷ = ，
è 2 è 6 2
QC 0, p p p 2p p p p ÷ ，則 < C + < ，所以，C + = ，所以，C = ，
è 2 6 6 3 6 3 6
tan A tan B sin A sin B sin Acos B + sin B cos A
sin A + B
+ = + = =
cos A cos B cos Acos B cos Acos 5p - A6 ֏
sin C 2 2
= = =
3 cos2 A 1 sin Acos A sin 2A - 3 cos 2A - 3- + 2sin
2A p- ÷ - 3
，
2 2 è 3
ì0 A p < <
QVABC 2 p p是銳角三角形，由 í ，解得 < A <5p p ， 0 < B = - A < 3 2
6 2
p 2A p 2p< - < 3 < sin 2A p- 所以， ， ÷ 1，則 tan A + tan B
2
= 4 + 2 3 .
3 3 3 2 è 3 2 - 3
2 x
【變式 5-2】已知函數(shù) f x = sin - 3 sin x cos x +1 .
2 2 2
(1)求函數(shù) y = f x 的單調(diào)遞減區(qū)間；
1
(2)在VABC 2 2中，內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c，且滿足 a - b = ac cos B - bc，求 f B 的取值范
2
圍.
【解析】（1） f x 3= - sin x 1- cos x 3 sin π 3+ = -
2 2 2
x + ÷ +
è 6 2
π 2kπ x π π 2π π令- + + + 2kπ ，則- + 2kπ x + 2kπ, k Z
2 6 2 3 3
é 2π
所以，單調(diào)減區(qū)間是 ê- + 2kπ,
π
+ 2kπù ,k Z .
3 3 ú
a2 + c2 - b2 1
（2）由 a2 - b2 = ac × - bc得：
2ac 2
2 2 2
2 2 2 cos A b + c - a 1b + c - a = bc ，即 = = ，2bc 2
由于0 < A < π ，所以 A π= 3 .
在VABC中，0 2π< B < ，
3
f B π 3= -sin B + + ，
è 6 ÷ 2
π B π 5π
1 π π 1
于是 < + < ，則 < sin

2
B + ÷ 1，-1 -sin6
B + ÷ < - ，6 6 6 è è 6 2
1
-sin B π 3 + ÷ + <1
1
，所以 f B <1.
2 è 6 2 2
3p
【變式 5-3】（2024·高三·北京昌平·期末）已知 f (x) = 3 cos 2x + 2sin + x ÷sin(p - x)， x R，
è 2
（1）求 f (x) 的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）已知銳角VABC的內(nèi)角 A, B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c，且 f (A) = - 3 ， a = 4 ，求BC邊上的高的最大值．
【解析】（1） f (x) = 3 cos 2x + 2sin
3p
+ x2 ÷
sin(p - x)
è
= 3 cos 2x - 2cos x sin x
= 3 cos 2x - sin 2x
= 2cos p 2x + ÷ ．
è 6
T 2pf (x) 的最小正周期為： = = p2 ；
當(dāng) 2kp 2x
p
+ 2kp +p (k Z )時(shí)，
6
即當(dāng) kp -
p
x 5p kp + (k Z )時(shí)，函數(shù) f (x) 單調(diào)遞減，
12 12
p 5p
所以函數(shù) f (x)
é ù
單調(diào)遞減區(qū)間為： kp - ,kp + (k Z ) ；
ê 12 12 ú
（2）因?yàn)?f (A) = - 3 ，所以
f (A) = 2cos 2A p+ = - 3 cos 2A p+ 3 6 ÷ 6 ÷
= - ,
è è 2
Q A p p p 7p 0,

÷，\2A +
,
2 6 6 6 ÷
，
è è
2A p 5p p\ + = ，\ A = ．
6 6 3
設(shè)BC h 1 ah 1邊上的高為 ，所以有 = bc sin A h 3= bc，
2 2 8
由余弦定理可知： a2 = b2 + c2 - 2bc cos A ，
\ 16 = b2 + c2 - bc，Qb2 + c2 2bc ，
\bc 16 3（當(dāng)用僅當(dāng)b = c時(shí)，取等號(hào)），所以 h = bc 2 3 ，
8
因此BC邊上的高的最大值 2 3 .
【變式 5-4】（2024·北京·三模）已知函數(shù) f (x) = 2 3 sinwx coswx + 2cos2 wx, (w > 0) 的最小正周期為 π .
(1)求w 的值；
(2)在銳角VABC π中，角 A B é ù， ，C 所對(duì)的邊分別為 a，b，c.c 為 f (x) 在 ê0, 2 ú 上的最大值，再從條件①、條
件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求 a - b的取值范圍.條件①： a cos B + b cos A = 2c cos C ；
3 a2 + b2 - c2
條件②： 2a sin Acos B + bsin 2A = 3a ；條件③：VABC的面積為 S ，且 S = .注：如果選擇
4
多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)條件計(jì)分.
【解析】（1）由題意可知： f (x) = 2 3 sinwx coswx + 2cos2 wx = 3 sin 2wx + cos 2wx +1 = 2sin
π
2wx + ÷ +1，
è 6
2π
因?yàn)楹瘮?shù) f (x) 的最小正周期為 π，且w > 0，所以w = =1.
2π
f (x) 2sin 2x π= + （2）由（1）可知： ÷ +1，
è 6
x é0, π ù π é π 7π ù因?yàn)? ê ，則 2x + , ， 2 ú 6 ê 6 6 ú
2x π π
π
可知當(dāng) + = ，即 x =6 2 時(shí)，
f (x) 取到最大值 3，即 c = 3 .
6
若條件①：因?yàn)?a cos B + b cos A = 2c cos C ，
由正弦定理可得sin Acos B+sin Bcos A = 2sinCcosC，
又因?yàn)?sin Acos B + sin B cos A = sin A + B = sin C ，
π
可得sinC = 2sinCcosC C 0, ，且 ÷，則sinC 0，
è 2
可得 cosC
1 π
= ，所以C = ，
2 3
a b c 3
= = = = 2 3
由正弦定理可得 sin A sin B sin C 3 ，可得a = 2 3sin A,b = 2 3sin B ，
2
則 a - b = 2 3 sin A - 2 3 sin B = 2 3 sin A
π
- 2 3 sin A + 3 ֏

2 3 sin A 2 3 1

= - sin A
3
+ cos A
è 2 2
÷÷

= 3 sin A - 3cos A = 2 3 sin π A - ÷，
è 3
ì
0 < A
π
<
VABC 2 π π因?yàn)?銳角三角形，則 í ，解得 < A < ，
0 2π π
6 2
< - A <
3 2
π π π 1 π 1
可得- < A - < ，則- < sin

6 3 6 2
A -
3 ÷
< ，可得
2 - 3 < b - a < 3è
所以 a - b的取值范圍為 - 3, 3 ；
若條件②；因?yàn)?2a sin Acos B + bsin 2A = 3a ，
由正弦定理可得： 2sin2 Acos B + sin B sin 2A = 3 sin A，
則 2sin2 Acos B + 2sin B sin Acos A = 3 sin A，
因?yàn)?A

0,
π
÷ ，則sin A 0，
è 2
可得 2sin Acos B + 2sin B cos A = 2sin A + B = 2sin C = 3 ，

即 sin C 3= ，且C 0,
π
，所以C
π
= ，
2 è 2
÷
3
a b c 3
= = = = 2 3
由正弦定理可得 sin A sin B sin C 3 ，可得a = 2 3sin A,b = 2 3sin B ，
2
則 a - b = 2 3 sin A - 2 3 sin B = 2 3 sin A - 2 3 sin
π
A +

÷
è 3

= 2 3 sin A 1- 2 3 sin A
3
+ cos A
2 2 ÷÷è
= 3 sin A - 3cos A π= 2 3 sin A - ÷，
è 3
ì
0
π
< A <
2 π π
因?yàn)閂ABC銳角三角形，則 í ，解得 < A < ，
0 2π
6 2
< - A π<
3 2
π π π 1 π 1
可得- < A - <

，則- < sin A - ÷ < ，可得6 3 6 2 3 2 - 3 < b - a < 3è
所以 a - b的取值范圍為 - 3, 3 ；
3 a2 + b2 - c2③ 1 absin C 3 2ab cosC若選 ：因?yàn)?S = ，則 = ，
4 2 4
π π
整理得 tan C = 3，且C 0, ÷，所以C = ，
è 2 3
a b c 3
= = = = 2 3
由正弦定理可得 sin A sin B sin C 3 ，可得a = 2 3sin A,b = 2 3sin B ，
2
a - b = 2 3 sin A - 2 3 sin B = 2 3 sin A - 2 3 sin A π+ 則 3 ÷è

= 2 3 sin A 1- 2 3 sin A
3
+ cos A
2 2 ÷÷è
= 3 sin A - 3cos A = 2 3 sin π A - ，
è 3 ÷
ì
0 < A
π
<
因?yàn)閂ABC 2 π π銳角三角形，則 í 2π π ，解得
< A < ，
6 20 < - A <
3 2
π A π π
1 π 1
可得- < - <

，則- < sin A - ÷ < ，可得6 3 6 2 3 2 - 3 < b - a < 3è
所以 a - b的取值范圍為 - 3, 3 .
題型六：解三角形的實(shí)際應(yīng)用
【典例 6-1】中國古代四大名樓鸛雀樓，位于山西省運(yùn)城市永濟(jì)市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩人王之渙的詩作
《登鸛雀樓》而流芳后世．如圖，某同學(xué)為測(cè)量鸛雀樓的高度MN ，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物
AB ，高約為37m，在地面上點(diǎn)C處（ B ，C， N 三點(diǎn)共線）測(cè)得建筑物頂部A ，鸛雀樓頂部M 的仰角分
別為30°和45°，在A 處測(cè)得樓頂部M 的仰角為15°，則鸛雀樓的高度約為 m．
【答案】74
【解析】由題設(shè)及圖知：MC = 2MN , AC = 2AB = 74, CAM = 45°，則 AMC =180° - 45° -105° = 30°，
AC MC 74 2MN
ACM = = MN = 74在△ 中 sin 30° sin 45° 1 2 m.
2 2
故答案為：74
【典例 6-2】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N ，選擇 A 和另一座山的山頂 C 為測(cè)量觀測(cè)
點(diǎn)，從點(diǎn) A 測(cè)得點(diǎn) M 的仰角 MAN = 45°，點(diǎn) C 的仰角 CAB = 60°，以及 MAC = 75° .從點(diǎn) C 測(cè)得
MCA= 45° ,已知山高 BC = 300m ，則山高M(jìn)N = m.
【答案】200
【解析】在VABC中，因?yàn)?CAB = 60°, ABC = 90°, BC = 300，所以 AC 300= = 200 3，
sin 60°
在VAMC中，因?yàn)?MAC = 75°， MCA= 45°，可得∠AMC = 60°，
AC AM
因?yàn)?= ，所以 AM
AC ×sin 45°
= = 200 2 ，
sin AMC sin ACM sin 60°
在直角VAMN 中，可得MN = AM ×sin MAN = 200 2 sin 45° = 200 .
故答案為：200 .
【方法技巧】
根據(jù)題意畫出圖形，將題設(shè)已知、未知顯示在圖形中，建立已知、未知關(guān)系，利用三角知識(shí)求解．
【變式 6-1】（2024·寧夏銀川·三模）某同學(xué)為測(cè)量塔的高度 AB ，選取了與塔底 B 在同一水平面內(nèi)的
兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得 BCD =15°, BDC =135°,CD = 20m,在點(diǎn)C測(cè)得塔頂 A 的仰角為60°，則塔
高 AB = m.
【答案】 20 6
【解析】因?yàn)樵凇鰾CD中，CD = 20m， BDC =135°， BCD =15°，
所以 CBD =180° -135° -15° = 30° ，
20 BC
CD BC =
由正弦定理得 = ，即 1 ，解得 ，
sin CBD sin BDC 2 BC = 20 2m 2 2
在Rt△ABC 中， ACB = 60°，所以 AB = BC tan 60° = 20 6m，
故塔高 AB = 20 6m .
故答案為： 20 6 .
【變式 6-2】（2024·寧夏銀川·二模）如圖，在山腳A 測(cè)得山頂 P 的仰角為a ，沿傾斜角為b 的斜坡向
上走 a米到 B ，在 B 出測(cè)得山頂 P 得仰角為g ，
(1)若 b = 15° ，求坡面的坡比．（坡比是坡面的垂直高度與水平寬度的比值）
h a sina sin(g - b )(2)求證;山高 = sin(g -a )
【解析】（1）坡面的坡比為
3
°
tan =tan15° tan(45° 30° ) tan45 - tan30
° 1-
b = - = 3
1+ tan45° °
= = 2 - 3
tan30
1+1 3
3
（2）在V ABP 中, ABP =180° - g + b,
BPA =180° - (a -b) - ABP =180° - (a -b) - (180° - g + b) = g - a
在V ABP 中,根據(jù)正弦定理
AP AB , AP a= = ,
sin ABP sin APB sin(180° - g+b) sin(g - a)
AP a sin(g - b )=
sin(g -a )
h AP sina a sina sin(g - b )所以山高為 = = sin(g -a )
【變式 6-3】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）在100m高的樓頂A 處，測(cè)得正西方向地面上B、C兩點(diǎn)
B、C 與樓底在同一水平面上）的俯角分別是75o和15o，則B、C兩點(diǎn)之間的距離為（ ）．
A．200 2 B． 240 2 C．180 3 D． 200 3
【答案】D
BC 100 100 tan 75° - tan15° tan 60°(1+ tan15° tan 75°)【解析】由題意， = - =100 =100
tan15° tan 75° tan15° tan 75° tan15° tan 75°
tan15 tan 75 sin15° sin 75° sin15° cos15°而 ° ° = × = × =1，
cos15° cos 75° cos15° sin15°
所以BC =100 2 3 = 200 3 .
故選：D
【變式 6-4】如圖所示， A, B, P,Q在同一個(gè)鉛垂面，在山腳A 測(cè)得山頂 P 的仰角 QAP 為
60o , QAB = 30o，斜坡 AB 長為m ，在 B 處測(cè)得山頂 P 的仰角 CBP 為a ，則山的高度 PQ為（ ）
3msin a + 30o 3msin a - 30o
A． B．
2sin a + 60o 2sin a + 60o
3msin a + 30o 3msin a - 30o
C． o D．2sin a - 60 2sin a - 60o
【答案】D
【解析】如圖所示：
因?yàn)?APQ = 30o ， CPB = 90o - a ，
所以 APB = 30o - 90o + a = a - 60o ，
則 PBA = 180o - 30o - a + 60o = 180o + 30o - a ，
在△PBA中，由正弦定理得，
PA AB
= ，
sin PBA sin APB
PA m
則 =sin 180o + 30o -a sin a - 60o ，
msin a - 30o
得 PA = ，sin a - 60o
PAQ sin 60o
PQ
在直角三角形 中， = PA ，
m 3sin a - 30o
得 PQ =
2sin .a - 60o
故選：D
【變式 6-5】如圖，某人在垂直于水平地面 ABC的墻面前的點(diǎn) A 處進(jìn)行射擊訓(xùn)練．已知點(diǎn) A 到墻面的
距離為 AB ，某目標(biāo)點(diǎn) P 沿墻面的射擊線CM 移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn) P ，需計(jì)算由點(diǎn) A 觀察點(diǎn) P
的仰角q 的大小(仰角q 為直線 AP 與平面 ABC所成角)．若 AB =15m， AC = 25m， BCM = 30°，則 tanq
的最大值（ ）
A 30 B 30． ． C 4 3 D 5 3． ．
5 10 9 9
【答案】D
【解析】由勾股定理可得，BC = 20，過 P 作 PP ^ BC ，交BC于P ，連結(jié) AP ，
PP 3
則 tanq = CP = x oAP ，設(shè) ，則PP = CP tan 30 = x ，3
在Rt△ABC 中， AB =15m， AC = 25m，所以BC = 20m，
則 cos BCA
4
= ，可得 AP = 625 + x2 - 2 25x 4 = x25 - 40x + 625
，
5
3 x 3 3
所以 tanq = 3 = 3 = 3 ，
x2 - 40x + 625 1 40 625- + 2 (
25 4)2 9- +
x x x 5 25
3
25 4 x 125當(dāng) = ，即 = 時(shí)， tanq 5 3取得最大值為 3 = .
x 5 4 3 9
5
故選：D.
【變式 6-6】（2024·廣東·二模）在一堂數(shù)學(xué)實(shí)踐探究課中，同學(xué)們用鏡而反射法測(cè)量學(xué)校鐘樓的高度.
如圖所示，將小鏡子放在操場(chǎng)的水平地面上，人退后至從鏡中能看到鐘樓頂部的位置，此時(shí)測(cè)量人和小鏡
子的距離為a1 = 1.00m，之后將小鏡子前移a = 6.00m，重復(fù)之前的操作，再次測(cè)量人與小鏡子的距離為
a2 = 0.60m，已知人的眼睛距離地面的高度為 h = 1.75m ，則鐘樓的高度大約是（ ）
A． 27.75m B． 27.25m C． 26.75m D．26.25m
【答案】D
【解析】如下圖，設(shè)鐘樓的高度為 PQ，
MKE : PQE EQ PQ × KE a1 × PQ由△ △ ，可得： = = ，
MK h
由△NTF :△PQF FQ
PQ ×TF PQ × a
，可得： = = 2 ，
NT h
故EQ - FQ
a
= 1
× PQ PQ ×a
- 2 = a ，
h h
PQ ah 6 1.75 10.5故 = = = = 26.25ma1 - a2 1- 0.6 0.4
，
故選：D.
題型七：倍角關(guān)系
【典例 7-1】記VABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c，已知 acosB = b 1+ cosA .
(1)證明： A = 2B；
(2)若 c = 2b, a = 3 ，求VABC 的面積.
【解析】（1）證明：由 acosB = b 1+ cosA 及正弦定理得： sinAcosB = sinB 1+ cosA ，
整理得 sin A - B = sinB ，.
因?yàn)?A, B 0,π ，
所以 A - B -π, π ，
所以 A - B = B或 A - B + B = π ，
所以 A = 2B或 A = π（舍），
所以 A = 2B .
2
2 acosB = b 1+ cosA : a(a + c
2 - b2 ) b2 + c2 - a2
（ ）由 及余弦定理得 = b(1+ )，
2ac 2bc
整理得 a2 - b2 = bc ，
又因?yàn)?c = 2b, a = 3 ，可解得b = 1,c = 2，
則 a2 + b2 = c2 ，所以△ ABC是直角三角形，
所以△ ABC 1 3的面積為 ab = .
2 2
【典例 7-2】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）在VABC 中，角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c（a，b，c 互不相
等），且滿足bcosC = 2b - c cos B .
（1）求證： A = 2B；
（2）若 c = 2a ，求 cos B .
【解析】（1）證明：因?yàn)閎 cosC = 2b - c cos B，由正弦定理，得 sin B cos C = 2 sin B cos B - sin C cos B ，
所以 sin B + C = sin 2B ，所以 sin A = sin 2B .
又因?yàn)? < A < p ， 0 < 2B < 2p ，所以 A = 2B或 A + 2B = p .
若 A + 2B = p ，又 A + B + C = p ，所以 B = C ，與 a，b，c 互不相等矛盾，
所以 A = 2B .
p
（2）由（1）知C = p - A + B = p - 3B，所以0 < B < .
3
因?yàn)?c = 2a ，所以 sin C = 2 sin A，則 sin p - 3B = 2 sin 2B ，
可得 sin 3B = 2 sin 2B .
又因?yàn)?sin 3B = sin 2B + B = sin 2B cos B + cos 2B sin B
= 2sin B cos2 B + 2sin B cos2 B - sin B = 3sin B - 4sin3 B
所以3sin B - 4sin3 B = 2 2 sin B cos B .
0 B p因?yàn)?< < ，所以 sin B > 0，所以
3 3- 4sin
2 B = 2 2 cos B，
所以 4cos2 B - 2 2 cos B -1 = 0 ，
解得 cos B 2 ± 6= ，
4
p
又0 < B < ，得 cos B 2 + 6= .
3 4
【方法技巧】
解三角形中的倍角關(guān)系，主要涉及到正弦、余弦等三角函數(shù)的倍角公式。這些公式允許我們通過已知
的一個(gè)角的大小，來求解其兩倍角的大小所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值，從而在解三角形問題時(shí)提供更多的信息和
靈活性。
【變式 7-1】（2024·吉林長春·模擬預(yù)測(cè)）VABC的內(nèi)角 A B C 所對(duì)的邊分別為
a b c,a = 3,b =1, A = 2B，則 c = （ ）
A．2 B． 3 C． 2 D．1
【答案】A
【解析】因?yàn)?A = 2B ，
所以sin A = sin2B，故 sin A = 2sin B cos B ，
a b
由正弦定理可得 = ，
sin A sin B
所以a = 2bcos B，又 a = 3,b =1，
cos B 3所以 = ，又B 0, π ，
2
π π
所以 B = A =6 ， 3 ，
故C = π - A
π
- B =
2
由勾股定理可得 c2 = a2 + b2 = 4，
所以 c = 2，
故選：A.
【變式 7-2】在VABC 中，角A 、 B 、C的對(duì)邊分別為 a、b、c，若 A = 2B．
(1)求證： a2 - b2 = bc ；
cosB 2= 3(2)若 ，點(diǎn)D為邊 AB 上一點(diǎn)， AD = DB，
4 CD = 2 6
，求邊長b．
3
【解析】（1）Q A = 2B ，\sinA = sin2B = 2sinBcosB
a2 + c2a 2b - b
2
\ = ，\ b - c a2 - b2 - bc = 0
2ac
\ a2 - b2 - bc = 0 或b = c
當(dāng)b = c時(shí)，C = B， A = 2B π= 2C = ，\a2 = b2 + c2 = b2 + bc 即 a2 - b2 = bc ，2
綜上 a2 - b2 = bc
QcosB 2（2） =
1
，\sinB 5= ， sinA = sin2B 4 5= ， cosA = cos2B = -3 3 9 9
sinC sin A B 7 5
22
\ = + = ， cosC =
27 27
a b c
= = a b c， = =
sinA sinB sinC 36 27 21
設(shè) a = 36t ，b = 27t ，c = 21t，\AD = 9t，DB =12t
BCD 36t 2 + 12t 2 2
2
在△ 中： - 2 36t 12t =
3 2 6
t 1= ，b
9
=
6 2
【變式 7-3】（2024·福建三明·高三統(tǒng)考期末）非等腰VABC 的內(nèi)角A 、 B 、C的對(duì)應(yīng)邊分別為 a、b、
c a - cos B sin B，且 = .
a - cosC sin C
(1)證明： a2 = b + c；
2
(2)若B = 2C ，證明：b > .
3
a - cos B sin B b
【解析】（1）由正弦定理 = = ，得ac -ccos B = ab-bcosC，
a - cosC sin C c
2 2 2 2 2 2 2 2
a c a + c - b- b = c - b a + b - c c - b= ，由b c，
2ac 2ab a
則 a2 = b + c .
（2）由B = 2C ，則C為銳角，sinB = sin2C = 2sinCcosC，
a2 2b 2c cosC 2c + b - c
2
則 = = ，去分母得 ab2 - a2c - b2c + c3 = 0，
2ab
則 a - c b2 - ac - c2 = 0，由 a c 則b2 - ac - c2 = 0 .
由（1）有 a2 = b + c > a ，得 a > 1 .
ìa2 = b + c 2
解方程組 í 2 2 ，消元 a2 - c - ac - c2 = 0，
b - ac - c = 0
a3 a3 + a2
則 c = ，可得b = ，
2a +1 2a +1
2 3 2
要證b > b a + a 2，即證 = > ，
3 2a +1 3
只需證3a3 + 3a2 - 4a - 2 > 0，
3
即證 3a - 3 + 3a2 - 4a +1 > 0，
即證 a -1 3a2 + 6a + 2 > 0 ，由 a > 1，此不等式成立，得證.
a3 + a2 2
另令 f a = ， a > 1，又 f 1 = ，
2a +1 3
3 2
f a 4a + 5a + 2a求導(dǎo)得 = > 0 ，則
f a 在 1, + 遞增，
2a +1 2
則 f a > f 1 2= ，得證.
3
題型八：三角形解的個(gè)數(shù)
p
【典例 8-1】設(shè)在VABC 中，角 A、B、C 所對(duì)的邊分別為 a，b，c，若滿足a = 3,b = m, B = 的
6
VABC 不唯一，則 m 的取值范圍為（ ）
3
A． , 32 ÷÷
B． (0, 3)
è
1 3 1
C ． , ÷÷ D． ,12 2 ÷è è 2
【答案】A
a b 3 m
【解析】由正弦定理 = = 3，即
sin A sin B sin A 1
，所以m = ，
2 2sin A
p 5p p
因?yàn)閂ABC 不唯一，即VABC 有兩解，所以 < A < 且 A 1，即 < sin A < 1，
6 6 2 2
1 1
所以1< 2sin A < 2，所以 < <1 3，即 ；
2 2sin A < m < 32
故選：A
p
【典例 8-2】在△ABC 中，a，b，c 分別為角 A，B，C 的對(duì)邊，若b =10，A = ，且VABC有唯一解，
6
則 a的取值范圍是 .
【答案】 x a = 5或 a 10
a b bsin A 10 sin
p
【解析】由正弦定理得 a 5= = = 6 = ，
sin A sin B sin B sin B sin B
因?yàn)閂ABC有唯一解，當(dāng)sin B =1時(shí)，即∠B = 90o ，
VABC唯一，符合題意，得 a = 5；
當(dāng) sin B
1
,1 ÷時(shí)， B 有兩個(gè)值，VABC不唯一，不合題意；
è 2
sin B 0, 1 ù a b a 5當(dāng) 時(shí)， = = b ，
è 2 ú sin A sin B sin B
所以 A B ，VABC唯一，符合題意，得 a 10 .
所以 a的取值范圍為 x a = 5或 a 10 .
故答案為： x a = 5或 a 10 .
【方法技巧】
三角形解的個(gè)數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)
角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷．
π
【變式 8-1】在VABC中，已知 A = ，a = 2，若VABC有兩解，則邊b的取值范圍為 .
6
【答案】 2,4
【解析】
由圖可得，要使VABC有兩解，則bsin A< a < b 1，即 b < 2 < b，解得 2 < b < 4 .
2
故答案為： 2,4 .
【變式 8-2】在VABC中， a = x,b = 3, B = 30°，若該三角形有兩解，則 x 的取值范圍是 ．
【答案】 3,6
a b a sin B x
【解析】由 = 可得 sin A = =
sin A sin B b 6
因?yàn)?B = 30°，所以0° < A<150°
要使三角形有兩解，所以30° < A<150°且 A 90°,
1
所以 < sin A
1 x
< 1，即 < <1，解得3 < x < 6 ，
2 2 6
故答案為： 3,6
π
【變式 8-3】在VABC中，已知 AB = x ，BC = 2 2 ，C = ，若存在兩個(gè)這樣的三角形 ABC，則 x 的4
取值范圍是 ．
【答案】 2,2 2
π
【解析】由正弦定理，要使VABC有兩解，則 a sin C < c < a，即 2 2 sin < x < 2 2 ，
4
所以 2 < x < 2 2 ，即 x 的取值范圍是 2,2 2 .
AB BC BC sin C 2
法二：由正弦定理 = 可得 sinA = =
sinC sinA AB x
，
2 3π
由題意可知：關(guān)于A 的方程： sinA = 在 A 0,x 4 ÷
有兩解，
è
3π 2
在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出曲線 y = sinA， A 0, ÷和水平直線 y = ，
è 4 x
2 2
因?yàn)樗鼈冇袃蓚€(gè)不同的交點(diǎn)，所以 < < 1，所以
2 x 2 < x < 2 2 .
故答案為： 2,2 2
ABC π【變式 8-4】若滿足 = ， AC = 6，BC = k 的VABC恰有一個(gè)，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 ．
4
【答案】 (0,6]U{6 2}
p
【解析】已知B = ,b
a b
= 6,a = k 2，則由正弦定理 = ，則 ，
4 sin A sin B sin A = k12
A 3又 (0, p ) 2，當(dāng)
4 < sin A <1
時(shí)，A 有兩解；
2
當(dāng)0 < sin A 2 或sin A =1時(shí)，A 有唯一解，故 k (0,6]U{6 2}．
2
故答案為： (0,6]U{6 2}
題型九：三角形中的面積與周長問題
【典例 9-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知VABC的內(nèi)角 A, B,C 所對(duì)的邊分別為 a,b,c，滿足
sin B -sinC 2b - a
= ，sin Asin B 2= ，且 S c =△ABC =1，則邊 ．
sin A b + c 5
【答案】 5
sin B -sinC 2b - a b - c 2b - a
【解析】因?yàn)?= ，由正弦定理可得： = ，
sin A b + c a b + c
2
2 2 2 a + b
2 - c2 2
所以 a + b - c = 2ab，由余弦定理可得： cosC = = ，
2ab 2
因?yàn)镃 (0,π)
π
，所以C = ，
4
因?yàn)?S
1
VABC = absinC = 1，所以ab = 2 2 ，2
2
c a b c a b 2 2= × = =10
由正弦定理可得： = = ， ÷ ，
sinC sinA sinB è sinC sinA sinB 2
5
c c
= = 10
所以 sinC 2 ，即 c = 5
2
故答案為： 5
【典例 9-2】記VABC的內(nèi)角 A, B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c，且 a cosC + 3a sin C - b - c = 0 .
(1)求A ；
(2)若 a = 2 2 ，VABC的面積為 2 3 ，求VABC的周長
【解析】（1）由 a cosC + 3a sin C - b - c = 0
a b c
又 = = = 2R得
sin A sin B sin C sin AcosC + 3 sin Asin C - sin B - sin C = 0
其中 sin B = sin( A + C ) = sin A cos C + cos A sin C
化簡得 3 sin Asin C - cos Asin C - sin C = 0
又sinC 0得 3 sin A - cos A =1.
即 sin(A
π 1
- ) =
6 2
p
因?yàn)锳 是三角形的內(nèi)角，所以 A = 3 .
S 1（2）由 VABC = bc sin A = 2 3 ，得bc = 8，2
2
cos A b + c
2 - a2 1
由余弦定理 = = ，得b2 + c22bc 2 -8 = bc ，
得 b + c 2 = 3bc + 8 = 32，得b + c = 4 2 ，
所以VABC的周長為 a + b + c = 2 2 + 4 2 = 6 2 ．
【方法技巧】
解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦
或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．
【變式 9-1】（2024·山東青島·三模）設(shè)三角形 ABC的內(nèi)角A 、 B 、C的對(duì)邊分別為 a、b、 c且
sin B + C = 2 3 sin2 A ．
2
(1)求角A 的大小；
(2) 3 21若b = 3 ，BC邊上的高為 ，求三角形 ABC的周長．
7
【解析】（1）因?yàn)锳 ， B ，C為VABC的內(nèi)角，所以 sin B + C = sin A，
sin2 A 1- cos A A因?yàn)?= ，所以 sin B + C = 2 3 sin2 可化為： sin A = 3 1- cos A ，
2 2 2
π 3
即 sin A + 3 cos A = 3 ，即 sin A +

÷ = ，
è 3 2
A π π , 4π+ A+ π 2π因?yàn)? ÷，解得： = ，即 A
π
=
3 è 3 3 3 3 3
．
（2 1 1 3 21 1 π 1 3 21）由三角形面積公式得 b ×c sin A = a，b = 3 代入得： 3 ×c sin = a，
2 2 7 2 3 2 7
所以 a 7= c 2 2 2，由余弦定理 a = b + c - 2bc cos A
7
= c2 得： c2 + 4c -12 = 0 ，
2 4
解得： c = 2或c = -6舍去，即 a = 7 ，
所以VABC的周長為5 + 7 .
【變式 9-2】（2024·重慶·三模）已知函數(shù) f x = 3sin 2wx π+ ÷ (w > 0) 的最小正周期為 π
è 3
(1)求函數(shù) f x 的單調(diào)遞增區(qū)間；
uuur uuur
(2)已知VABC 3的三邊長分別為 a，b，c，其所對(duì)應(yīng)的角為 A，B，C，且 f A = ，
2 AB × AC = 2 3
，
a = 5 ，求該三角形的周長.
f x 3sin 2wx π 【解析】（1）由函數(shù) = + ÷ (w > 0) 的最小正周期為 π，
è 3
2π p
所以 = π ，即w =1，所以 f x = 3sin 2x + ，
2w ֏ 3
π 2kπ 2x π π 2kπ,k Z 5π kπ x π令- + + + ，解得- + + kπ, k Z，
2 3 2 12 12
é 5π π ù
所以函數(shù) f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ê- + kπ, + kπú , k Z . 12 12
f A 3sin 2A π 3 π2 = + = sin 2A + 3（ ）因?yàn)? ÷ ，所以 = ，
è 3 2 3 ÷è 2
0 A π π因?yàn)?< < ，可得 < 2A
π 7π π 2π π
+ < ，所以 2A + = ，解得 A = ，
3 3 3 3 3 6
uuur uuur
因?yàn)?AB × AC = bccosA 3= bc = 2 3 ，所以bc = 4，
2
由余弦定理 a2 = b2 + c2 - 2bccosA，可得5 = b2 + c2 - 4 3，
所以 (b + c)2 = b2 + c2 + 2bc =13+ 4 3 = (2 3 +1)2 ，所以b + c = 2 3 +1，
則VABC的周長為 a + b + c = 2 3 +1+ 5.
【變式 9-3】（2024·西藏·模擬預(yù)測(cè)）已知VABC的內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c，且
2bsin π A + ÷ - 2a = c．
è 6
(1)求 B；
(2)若 ABC的平分線交 AC 于點(diǎn)D，且 BD = 2， a = 3，求VABC的面積．
π
【解析】（1）由正弦定理及 2bsin A + ÷ - 2a = c，得 2sinBsin
A π+ ÷ - 2sinA = sinC ，
è 6 è 6
所以 sinB 3sinA + cosA - 2sinA = sin A + B ，
整理，得 3sinAsinB - 2sinA = sinAcosB．
π
因?yàn)閟inA 0 ，所以 3sinB - cosB = 2 ，即 sin B - ÷ =1．
è 6
因?yàn)锽 0, π , B π π 5π- 2π
6
- , ÷ ，所以B = ．
è 6 6 3
（2）因?yàn)锽D為 ABC的平分線，所以 SVABC = SVBCD + SVBAD ，
1
即 acsin ABC
1
= 2csin ABC 1+ 2asin ABC ，
2 2 2 2 2
化簡，得 ac = 2 a + c ，
由 a = 3，得 c = 6，
1
所以 SVABC = acsinB2
1
= 3 6 sin 2π 9 3 = ．
2 3 2
【變式 9-4】（2024·安徽滁州·三模）在VABC中，角 A, B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c, 2b cosC - c = 2a．
(1)求 B 的大小；
(2)若 a = 3，且 AC 19邊上的中線長為 ，求VABC的面積．
2
【解析】（1）Q2bcosC - c = 2a，
\ a
2 + b2 - c2
由余弦定理得 2b × - c = 2a ，
2ab
2 2 2
化簡得 a2 + c2 - b2 = -ac,\cosB a + c - b 1= = - ．
2ac 2
QB 2π 0, π ，\B = ；
3
（2）由（1）可得b2 = a2 + c2 + ac = c2 + 3c + 9 ①，
a2 + b2 - c2
又 cosC = ②，
2ab
取 AC 的中點(diǎn)D，連接BD，
a2 b
2 19
△CBD 2 2 2 + -在 中， cosC BC + CD - BD= = 4 4 ③，
2BC ×CD ab
由②③得 2c2 - b2 =1 ④，
由①④得 c2 - 3c -10 = 0 ，解得 c = 5 或 c = -2（舍去），
\c = 5，
S 1 15 3\ VABC = acsinB = .2 4
【變式 9-5】（2024·安徽蕪湖·三模）已知 a,b,c分別為VABC三個(gè)內(nèi)角 A, B,C 的對(duì)邊，且
bcosA + 3bsinA = a + c
(1)求 B ；
(2)若b = 2,△ABC 的面積為 3，D為 AC 邊上一點(diǎn)，滿足CD = 2AD ，求BD的長．
【解析】（1）由正弦定理有 sinBcosA + 3sinBsinA = sinA + sinC ，
因?yàn)?sinC = sin A + B = sin Acos B + cos Asin B，
所以 sinBcosA + 3sinBsinA = sinA + sin Acos B + cos Asin B，
化簡得 3sinBsinA = sinA + sinAcosB ，
由 A 0, π ,sinA π 1 0 有 3sinB =1+ cosB ，可得 sin B - ÷ = ，
è 6 2
因?yàn)锽 0, π , B π π 5π- - ,
6 6 6 ÷
，
è
B π π所以 - =
π
，則 B = 3 ．6 6
B π（2）由 = , S
1
= acsinB = 3 有 ac = 4
3 2
又b2 = a2 + c2 - 2accosB 可得 a2 + c2 = 8，
ìa2 + c2 = 8
聯(lián)立 í 解得a = c = 2，所以VABC為正三角形，
ac = 4
2 π
所以 AD = , A = ，
3 3
△ABD BD2 22 2
2
2 2 2 1 28在 中，由余弦定理得 = + ÷ - = ．
è 3 3 2 9
故BD 2 7的長為 .
3
π
1．（2024 年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在VABC中,內(nèi)角 A, B,C 所對(duì)的邊分別為 a,b,c，若 B = 3 ，
b2 9= ac ，則 sinA + sinC =（
4 ）
A 2 39 B 39 C 7 3 13． ． ． D．
13 13 2 13
【答案】C
p 2 9 4 2 1
【解析】因?yàn)锽 = ,b = ac，則由正弦定理得 sin Asin C = sin B = .
3 4 9 3
b2 a2 c2 ac 9由余弦定理可得: = + - = ac ，
4
即: a2 c2
13 ac sin2 A sin2 C 13 13+ = ，根據(jù)正弦定理得 + = sin Asin C = ，
4 4 12
(sin A sin C)2 7所以 + = sin2 A + sin2 C + 2sin Asin C = ，
4
7
因?yàn)?A,C 為三角形內(nèi)角，則 sin A + sin C > 0，則 sin A + sin C = .
2
故選：C.
2．（2023 年北京高考數(shù)學(xué)真題）在VABC中， (a + c)(sin A - sin C) = b(sin A - sin B) ，則 C =（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
【答案】B
【解析】因?yàn)?(a + c)(sin A - sin C) = b(sin A - sin B) ，
所以由正弦定理得 (a + c)(a - c) = b(a - b)，即 a2 - c2 = ab - b2 ，
2 2 2
則 a2 + b2 - c2 = ab，故 cosC
a + b - c ab 1
= = = ，
2ab 2ab 2
π
又0 < C < π，所以C = .
3
故選：B.
3．（2023 年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）在VABC中，內(nèi)角 A, B,C 的對(duì)邊分別是 a,b,c，若
acosB p- bcosA = c，且C = ，則 B = （
5 ）
p p 3p 2p
A． B． C． D．
10 5 10 5
【答案】C
【解析】由題意結(jié)合正弦定理可得sin Acos B-sin Bcos A = sinC，
即 sin Acos B - sin B cos A = sin A + B = sin Acos B + sin B cos A，
整理可得 sin B cos A = 0，由于B 0, π ，故 sin B > 0，
據(jù)此可得 cos A = 0, A
π
= ，
2
則B = π - A C
π π 3π
- = π - - = .
2 5 10
故選：C.
4．（2023 年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在VABC中， BAC = 60°, AB = 2, BC = 6 ， BAC 的角平分
線交 BC 于 D，則 AD = ．
【答案】 2
【解析】
如圖所示：記 AB = c, AC = b, BC = a，
方法一：由余弦定理可得， 22 + b2 - 2 2 b cos 60o = 6，
因?yàn)閎 > 0，解得：b =1+ 3，
由 SVABC = SVABD + SVACD 可得，
1
2 b sin 60o 1= 2 AD sin 30o 1+ AD b sin 30o，
2 2 2
2 3 1+ 3
解得： AD
3b
= b = = 21+ 3 + 3
．
2
故答案為： 2．
方法二：由余弦定理可得， 22 + b2 - 2 2 b cos 60o = 6，因?yàn)閎 > 0，解得：b =1+ 3，
6 b 2 6 + 2 2
由正弦定理可得， o = = ，解得： sin B = ， sin C = ，sin 60 sin B sin C 4 2
因?yàn)?+ 3 > 6 > 2 ，所以C = 45o ，B =180o - 60o - 45o = 75o，
又 BAD = 30o ，所以 ADB = 75o ，即 AD = AB = 2．
故答案為： 2．
5．（2022 年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，
他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白．如果把這個(gè)方法寫成公式，就是
2
1 é c2 + a2 - b2 ùS = êc2a2 - ÷ ú ，其中 a，b，c 是三角形的三邊，S 是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊4 ê è 2 ú
a = 2,b = 3,c = 2，則該三角形的面積S = ．
23
【答案】 .
4
é 2 2 2 2 ù 1 é 4 + 2 - 3 2 ù 23
【解析】因?yàn)?S
1 c + a - b
= êc2a2 - ÷ ú ，所以 S = ê4 2 -

÷ ú = ．4 ê è 2 ú 4 ê è 2 ú 4
23
故答案為： .
4
1．在VABC中，角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c，若 a cosC + 3a sin C - b - c = 0 .
(1)求 A；
(2)若 a=2，VABC的面積為 3，求 b，c 的值.
【解析】（1）由 a cosC + 3a sin C - b - c = 0及正弦定理得
sin AcosC + 3 sin Asin C - sin B - sin C = 0 .
因?yàn)?sin B = sin p - A - C = sin A + C = sin AcosC + cos Asin C ，
所以 3 sin Asin C - cos Asin C - sin C = 0 .
由于sinC 0，\ 3 sin A - cos A -1 = 0
sin A p- 1所以 6 ÷
=
2 .è
又0 < A < p p，故 A = 3 .
1
（2）由題得VABC的面積 S = bc sin A = 3，故bc = 4 ①.
2
而 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A，且a = 2，故b2 + c2 = 8 ②，
由①②得b = c = 2 .
2．為了測(cè)量兩山頂 M，N 間的距離，飛機(jī)沿水平方向在 A，B 兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A，B，M，N 在同一個(gè)鉛垂
平面內(nèi)（如示意圖），飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和 A，B 間的距離，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：①指出需要
測(cè)量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；②用文字和公式寫出計(jì)算 M，N 間的距離的步驟.
【解析】
要求長度，需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：A 點(diǎn)到M ， N 點(diǎn)的俯角a1, b1，最后通過正弦定理得到最終結(jié)果.
①需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：A 點(diǎn)到M ， N 點(diǎn)的俯角a1, b1；
B 點(diǎn)到M ， N 的俯角a2 , b2；A ， B 的距離 d ……….
②第一步：計(jì)算 AM . 由正弦定理 AM
dsina
= 2
sin a +a 　；1 2
dsinb2
第二步：計(jì)算 AN . 由正弦定理 AN = sin b2 - b 　；1
第三步：計(jì)算MN . 由余弦定理MN = AM 2 + AN 2 - 2AM ANcos a1 - b1
3．已知VABC 1的三個(gè)角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c，設(shè) p = (a + b + c)，求證：
2
（1）三角形的面積 S = p( p - a)( p - b)( p - c) ；
( p - a)( p - b)( p - c)
（2）若 r 為三角形的內(nèi)切圈半徑，則 r = ；
p
2
（3）把邊 BC，AC，AB 上的高分別記為 ha ,hb , hc ,則 ha = p( p - a)( p - b)( p - c) ，a
h 2b = p( p - a)( p - b)( p - c) h
2
， c = p( p - a)( p - b)( p - c) .b c
a2 + b2 - c2
【解析】證明：（1）根據(jù)余弦定理的推論得 cosC = ，
2ab
2 2 2
2
1
則 sin C = 1- cos2 C 1 a + b - c= - ÷ ，代入 S = absin C ，
è 2ab 2
2
1 2S ab 1 a + b
2 - c2 1
= - = (2ab)2 - a2 + b2 - c2 2得 2 è 2ab ÷ 4
1
= é2ab - a2 + b2 - c24 ù é 2ab + a
2 + b2 - c2 ù
1
= (a + b + c)(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c)
4
p 1又 = (a + b + c)，
2
1
所以 (b + c - a) = p - a,
1 (c + a - b) p b, 1= - (a + b - c) = p - c，
2 2 2
代入可得 S = p( p - a)( p - b)( p - c) ；
（2）因?yàn)?p
1
= (a + b + c)，所以三角形的周長 l = a + b + c = 2 p ，
2
1 1
又三角形的面積 S = lr = × 2 p × r = pr ，其中 r 為內(nèi)切圓半徑，
2 2
r S ( p - a)( p - b)( p - c)所以 = = ；
p p
1 1 1
（3）根據(jù)三角形的面積公式 S = ah = bh = ch ，
2 a 2 b 2 c
2S 2
得 ha = = p( p - a)( p - b)( p - c) .a a
2
同理可證 hb = p( p - a)( p
2
- b)( p - c) ， hc = p( p - a)( p - b)( p - c) .b c
4． VABC的三邊分別為 a，b，c，邊 BC，CA，AB 上的中線分別記為ma ,mb ,mc ，利用余弦定理證明
m 1a = 2 b2 + c2 1- a2 m = 2 a2， b + c2 - b2 m 1= 2 a2 + b2 - c2，2 2 c 2
a2 + c2 - b2
【解析】證明：根據(jù)余弦定理得 cos B = ，
2ac
2
m2 a c2 2 a a
2 a2 + c2 - b2 1
所以 a = ÷ + - × ×c ×cos B = + c
2 - ac × = é2 b2 + c2 - a2 ù，
è 2 2 4 2ac 4

1
所以ma = 2 b2 + c2 - a2 ，2
1
同理可得mb = 2 a2 1+ c2 - b2 m = 2 a2， c + b22 2 - c
2 .
5．一條東西方向的河流兩岸平行，河寬 250m ，河水的速度為向東 2 3km / h .一艘小貨船準(zhǔn)備從河的這一
邊的碼頭 A 處出發(fā)，航行到位于河對(duì)岸 B（AB 與河的方向垂直）的正西方向并且與 B 相距 250 3m的碼頭
C 處卸貨.若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為6km / h，則當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，求合速
度的方向，并求此時(shí)小貨船航行速度的大小.
【解析】如圖
AB = 250m = 0.250km, BC = 250 3m 3= km，
4
3
tan CAB BC= = 4 = 3 ，
AB 0.250
\ CAB = 60° ,\ CAD = 90° + 60° =150° ，
∴合速度的方向與水流的方向成 150°的角.
ur uur r ur r uur
設(shè)小貨船的速度為 v1 ，水流速度為 v2 ，合速度為 v，則 v1 = v - v2 ，
ur r2 r uur uur
\ v1 = v - 2v ×v
2
2 + v2 = 6 - 2 6 2 3 cos150° + (2 3)2 = 2 21km / h
∴小船航行速度的大小為 2 21km .
易錯(cuò)點(diǎn)：忽視三角形三角間的聯(lián)系與范圍限制
易錯(cuò)分析： 在解答過程中易忽視三角形中三內(nèi)角的聯(lián)系及三角形各內(nèi)角大小范圍的限制，易使思路受
阻或解答出現(xiàn)增解現(xiàn)象.
【易錯(cuò)題 1】在VABC 中， B = 30° ，b = 2 ， c = 2 2 ，則角 A 的大小為（ ）
A． 45° B．135° 或 45° C．15° D．105° 或15°
【答案】D
【解析】
2 2 1
由正弦定理可得 sin C csin B 2 2= = = ，
b 2 2
Qc > b ，
\C > B ，
故C = 45° 或C = 135° ，
則 A = 180° - B - C = 15° 或105°.
故選 D.
p
【易錯(cuò)題 2】在VABC 中，已知 a = 6 ，b = 3， B = ，則角C = __________．3
5p
【答案】
12
p
【解析】Qa = 6 ，b = 3， B = ，3
a b
\由正弦定理 = ，
sin A sin B
a × sin B 6
3

可得： sin A 2= = 2 = ，
b 3 2
Qa < b，A 為銳角，
p
\可得： A = ，
4
C p 5p\ = - A - B = .
12
5p
故答案為： .
12
答題模板：利用邊角關(guān)系解三角形
1、模板解決思路
如果遇到的式子含角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子含角的正弦或邊的一
次式，則考慮用正弦定理．
2、模板解決步驟
第一步：結(jié)合正弦定理、余弦定理將關(guān)系式中的角化邊或者邊化角．
第二步：化簡上一步所得的式子，結(jié)合已知條件和余弦定理與正弦定理來進(jìn)一步求解．
【經(jīng)典例題 1】VABC中，角A ， B ，C的對(duì)邊分別為 a，b， c，若bcosC + 3bsin C - a - c = 0．
(1)求 B ；
π
(2)若C = 且VABC的面積為
4 3+ 3
，求邊長 c．
【解析】（1）VABC中，bcosC + 3bsin C - a - c = 0，
由正弦定理得 sin B cosC + 3 sin B sin C - sin A - sin C = 0，
又 sin A = sin(π - B - C) = sin(B + C) = sin B cosC + cos B sin C ，
所以 3sin B sinC - cos B sinC - sinC = 0 ，
由于C 0, π ，sinC 0，有 3 sin B - cos B -1 = 0，
sin B π 1 π π所以 - ÷ =

，又B 0, π ，則B - - ,
5π π
÷ ，所以 B = .
è 6 2 6 è 6 6 3
π π 5π
（2）由（1） A = π - - = ，
3 4 12
而 sin A = sin 5π π π 2 3 2 1 6 + 2 ÷ = sin + ÷ = + = ，
è 12 è 4 6 2 2 2 2 4
a b c
= = 6 + 2 3 +1 3
由正弦定理有 sin 5π sin π sin π ，從而 a = × 2c = c，b = × 2c
6
= c，
12 3 4 4 2 2 2
由三角形面積公式可知，VABC S 1 1 3 +1 6 2 3+ 3的面積可表示為 2VABC = absin C = × c × c × = c ，2 2 2 2 2 8
VABC 3+ 3由已知 的面積為3+ 3 ，可得 c2 = 3 + 3 ，所以 c = 2 2 .
8
【經(jīng)典例題 2】VABC中， 角 A， B， C 所對(duì)應(yīng)的邊分別是 a， b， c，且 acosC + 3asinC = b + c.
(1)求 A；
(2)若a = 2， 求 BC 邊上高的最大值.
【解析】（1）因?yàn)閍 cosC + 3a sinC = b + c
由正弦定理得 sin AcosC + 3 sin Asin C = sin B + sin C ，
因?yàn)?A + B + C = π ,
所以 sin B = sin A + C = sin AcosC + cos Asin C ，
所以 3sin Asin C = cos Asin C + sin C
因?yàn)閟inC 0，
所以 3 sin A = cos A +1，
π 1
所以 3 sin A - cos A =1，所以 sin A - = ，
è 6 ÷ 2
A (0, π), A π ( π , 5π因?yàn)? - - ),
6 6 6
π π π
所以 A - = ， A = .
6 6 3
（2）因?yàn)閍 = 2， A π= 3 ，
由余弦定理得：b2 + c2 - 2bc cos A = a2 ，即b2 + c2 - bc = 4 ，
因?yàn)榧碽2 + c2 - bc = 4≥ 2bc - bc = bc，即bc 4，
S 1 πV ABC = bcsin 32 3 ，
1
設(shè)VABC中 BC 邊上高為 h ，則 SV ABC = ah = h2 ，所以 h 3 ，
即 BC 邊上高的最大值為 3 .

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