資源簡介

第 05 講 一元二次不等式與其他常見不等式解法
目錄
01 考情透視·目標導航..........................................................................................................................2
02 知識導圖·思維引航..........................................................................................................................3
03 考點突破·題型探究..........................................................................................................................4
知識點 1：一元二次不等式 ........................................................................................................................................4
知識點 2：分式不等式 ................................................................................................................................................5
知識點 3：絕對值不等式 ............................................................................................................................................5
解題方法總結 ...............................................................................................................................................................6
題型一：不含參數一元二次不等式的解法 ...............................................................................................................7
題型二：含參數一元二次不等式的解法 ...................................................................................................................8
題型三：三個二次之間的關系 .................................................................................................................................11
題型四：分式不等式以及高次不等式的解法 .........................................................................................................13
題型五：絕對值不等式的解法 .................................................................................................................................15
題型六：二次函數根的分布問題 .............................................................................................................................16
題型七：一元二次不等式恒（能）成立問題 .........................................................................................................19
題型八：解含參型絕對值不等式 .............................................................................................................................24
題型九：解不等式組型求參數問題 .........................................................................................................................26
題型十：不等式組整數解求參數問題 .....................................................................................................................28
04 真題練習·命題洞見........................................................................................................................31
05 課本典例·高考素材........................................................................................................................32
06 易錯分析·答題模板........................................................................................................................34
易錯點：解含參數不等式時分類討論不恰當 .........................................................................................................34
答題模板：一元二次不等式恒成立問題 .................................................................................................................35
考點要求 考題統計 考情分析
（1）會從實際情景中抽象出一
元二次不等式．
從近幾年高考命題來看，三個 “二次”
（2）結合二次函數圖象，會判
的關系是必考內容，單獨考查的頻率很低，
斷一元二次方程的根的個數，以 2020年 I卷第 1題，5分
偶爾作為已知條件的一部分出現在其他考點
及解一元二次不等式．
的題目中．
（3）了解簡單的分式、絕對值
不等式的解法．
復習目標：
1、理解二次函數的圖象和性質，能用二次函數、方程、不等式之間的關系解決簡單問題.
2、會結合二次函數的圖象，判斷一元二次方程實根的存在性及實根的分布問題.
3、能借助二次函數求解二次不等式，類比會求高次方程和絕對值不等式.
知識點 1：一元二次不等式
2
一元二次不等式 ax + bx + c > 0(a 0)，其中D = b2 - 4ac 2， x1, x2 是方程 ax + bx + c > 0(a 0)的
兩個根，且 x1 < x2
（1）當 a > 0時，二次函數圖象開口向上．
（2）①若D > 0，解集為 x | x > x2或x < x1 ．
D = 0 ìx | x R x b ü②若 ，解集為 í 且 - ．
2a
③若D < 0，解集為 R ．
（2） 當 a < 0 時，二次函數圖象開口向下．
①若D > 0，解集為 x | x1 < x < x2
②若D 0，解集為
【診斷自測】不等式 ax2 + bx - 3 < 0的解集是 - ,1 3, + ，則b - a的值是（ ）
A．-3 B．3 C．-5 D．5
【答案】D
【解析】因為不等式 ax2 + bx - 3 < 0的解集是 - ,1 3, + ，
所以 a<0， x =1和 x = 3是方程 ax2 + bx - 3 = 0的根，
ì1 3 b + = - a
所以 í ，即 a = -1，b = 4 ，則b - a = 5．
1 3 3= -
a
故選：D．
知識點 2：分式不等式
f (x)
（1） > 0 f (x)gg(x) > 0
g(x)
f (x)
（2） < 0 f (x)gg(x) < 0
g(x)
f (x) ì f (x)gg(x) 0
（3） 0
g(x) í g(x) 0
f (x) f (x)gg(x) 0
（4） 0 ì
g(x) í g(x) 0
x + 3 x - 2
【診斷自測】不等式 ≥0的解集為（ ）
x -1
A． -3,1 2,+ B． - , -3 U 1,2 C． -3,1 U 1,2
D． - , -3 2,+
【答案】A
x + 3 x - 2 ì x + 3 x - 2 0 ì x + 3 x - 2 0
【解析】不等式 ≥0，等價于 í 或 í ，
x -1 x -1 > 0 x -1< 0
解得 x 2或-3 x <1，
x + 3 x - 2
即不等式 ≥0的解集為 -3,1 2,+ .
x -1
故選：A
知識點 3：絕對值不等式
（1） f (x) > g(x) [ f (x)]2 > [g(x)]2
（2） f (x) > g(x)(g(x) > 0) f (x) > g(x)或f (x) < -g(x) ；
f (x) < g(x)(g(x) > 0) -g(x) < f (x) < g(x) ；
（3）含有兩個或兩個以上絕對值的不等式，可用圖象法和零點分段法求解.
1
【診斷自測】（2024·高三·山西忻州·期末）不等式 | x |> 的解集是 ．
x
【答案】 - ,0 1, +
ìx > 0 ìx < 0

【解析】原不等式可變形為 íx 1
或 í 1 ，
> -x > x x
ìx > 0 ìx < 0

由 í ，解得 x

>1；由 ，解得 x < 0 ，
x
1 í 1
> -x >
x x
所以原不等式的解集為 (- ,0) (1, + ) .
故答案為： (- ,0) (1, + ) .
解題方法總結
1、已知關于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集為 (m，n)，解關于 x 的不等式 cx2 + bx + a 0．
ax2 bx c 0 (m n) a(1 )2 b 1 c 0 ( 1 ]U [ 1由 + + > 的解集為 ， ，得： + + 的解集為 - ， ，+ ) 即關于 x 的
x x n m
不等式 cx2 + bx a 0 ( 1 ]U [ 1+ 的解集為 - ， ，+ ) ．
n m
2、已知關于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集為 (m，n)（其中mn > 0），解關于 x 的不等式
cx2 + bx + a > 0 ．
ax2 bx c 0 (m n) a(1 )2 b 1 c 0 (1 1由 + + > 的解集為 ， ，得： + + > 的解集為 ， ) ，即關于 x 的不等式
x x n m
cx2 + bx + a > 0 1 1的解集為 ( ， ) ．
n m
3、已知關于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集為 (m，n)，解關于 x 的不等式 cx2 - bx + a 0．
由 ax2 + bx + c > 0 的解集為 (m，n)，得： a(1 )2 - b 1 + c 0 1 1的解集為 (- ，- ]U [- ，+ ) 即關于 x
x x m n
1 1
的不等式 cx2 - bx + a 0的解集為 (- ，- ]U [- ，+ ) ，以此類推．
m n
4、已知關于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集為 (m，n)（其中 n > m > 0），解關于 x 的不等式
cx2 - bx + a > 0．
由 ax2 + bx + c > 0 的解集為 (m，n)，得： a(1 )2 b 1- + c 0 1 1> 的解集為 (- ，- ) 即關于 x 的不等式
x x m n
cx2 - bx a 0 1 1+ > 的解集為 (- ，- ) ．
m n
ìa > 0
5、已知關于 x 的一元二次不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集為 R ，則一定滿足 í ；
D < 0
ìa < 0
6、已知關于 x 的一元二次不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集為 ，則一定滿足 í ；
D 0
ìa < 0
7、已知關于 x 的一元二次不等式 ax2 + bx + c < 0的解集為 R ，則一定滿足 í ；
D < 0
ìa > 0
8、已知關于 x 的一元二次不等式 ax2 + bx + c < 0的解集為 ，則一定滿足 í ．
D 0
題型一：不含參數一元二次不等式的解法
【典例 1-1】（2024·上海嘉定·一模）不等式 x 2 - x - 6 < 0 的解集為 ．
【答案】 -2,3
【解析】由不等式 x 2 - x - 6 < 0 ，可得 (x - 3)(x + 2) < 0，解得-2 < x < 3，
所以不等式的解集為 -2,3 .
故答案為： -2,3 .
【典例 1-2】不等式 ax2 + bx + c > 0的解集是 (1, 2) ，則不等式 cx 2 + bx + a > 0 的解集是（用集合表
示） ．
ì 1 ü
【答案】 íx | < x <1
2
【解析】不等式 ax2 + bx + c > 0的解集為 (1, 2) ，
∴ a<0，且 1，2 是方程 ax2 + bx + c = 0的兩個實數根，
ì1+ 2 b= -
a
∴ í ，解得b = -3a， c = 2a ，其中 a<0；
1 c 2 =
a
∴不等式 cx 2 + bx + a > 0 化為 2ax2 - 3ax + a > 0，
2 1 即 2x - 3x +1 < 0，解得 x ,1÷，
è 2
ì 1 ü
因此所求不等式的解集為 íx | < x <1 .
2
ì
故答案為： íx |
1
< x <1ü
2 ．
【方法技巧】
解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相應方程根，將根標在 軸上，結合圖象，寫出其解集.
【變式 1-1】不等式 x2 - 3x -18 > 0的解集是 ．
【答案】 (- , - 3) (6, + )
2
【解析】由題意 x - 3x -18 > 0 x - 6 x + 3 > 0，解得 x < -3或 x > 6，
所以不等式 x2 - 3x -18 > 0的解集是 (- , - 3) (6, + ) .
故答案為： (- , - 3) (6, + ) .
【變式 1-2】一元二次不等式-x2 + 2x + 3 < 0 的解集為 .
【答案】 (- , -1) (3,+ )
【解析】由-x2 + 2x + 3 < 0 可得 x2 - 2x - 3 > 0，
即 (x - 3)(x +1) > 0 ，
解得 x > 3或 x < -1，
所以不等式的解集為 (- , -1) (3,+ ) .
故答案為： (- , -1) (3,+ )
題型二：含參數一元二次不等式的解法
【典例 2-1】設函數 f (x) = ax2 + (1- a)x + a - 2(a R)
(1)若不等式 f (x) -2對一切實數 x 恒成立，求 a 的取值范圍；
(2)解關于 x 的不等式： f (x) < a -1．
【解析】（1） f (x) -2對一切實數 x 恒成立，等價于"x R, ax2 + (1- a)x + a 0恒成立.
當 a = 0時，不等式可化為 x 0 ，不滿足題意.
ìa > 0 ìa > 0 1
當 a 0，有 íΔ 0，即 í3a2 ，解得
a
+ 2a -1 0 3
所以 a [
1
的取值范圍是 ,+ )．
3
（2）依題意， f (x) < a -1等價于 ax2 + (1- a)x -1< 0，
當 a = 0時，不等式可化為 x <1，所以不等式的解集為{x | x <1} .
當 a > 0時，不等式化為 (ax +1)(x -1) < 0
1
，此時- <1，所以不等式的解集為{x | 1- < x <1} .
a a
當 a<0時，不等式化為 (ax +1)(x -1) < 0，
①當 a = -1
1
時，- =1，不等式的解集為{x | x 1}；
a
1
②當-1 < a < 0時，- >1，不等式的解集為{x | x
1
> - 或x < 1}
a a
；
1
③當 a < -1時，- <1，不等式的解集為{x | x > 1或x
1
< - }；
a a
1
綜上，當 a < -1時，原不等式的解集為{x | x > 1或x < - }；
a
當 a = -1時，原不等式的解集為{x | x 1}；
當-1 < a 0 {x | x
1
< 時，原不等式的解集為 > - 或x < 1}a ；
當 a = 0時，原不等式的解集為{x | x <1}；
當 a > 0 1時，原不等式的解集為{x | - < x <1} .
a
【典例 2-2】已知關于 x 的一元二次不等式 ax2 + x + b > 0 的解集為 - , -2 U 1, + ．
(1)求 a和b 的值；
(2) 2 2求不等式 ax - 2a + b + 2 x +1- c < 0 的解集．
【解析】（1）由題意知-2和1是方程 ax2 + x + b = 0 的兩個根且 a > 0，
ì 1
-2 +1 = - a ìa =1
由根與系數的關系得 í b ，解得 í ； -2 1 = b = -2
a
（2）由 a =1、b = -2，不等式可化為 x2 - 2x +1- c2 < 0，
即 é x - 1+ c ù éx - 1- c ù < 0，則該不等式對應方程的實數根為1+ c 和1- c ．
當 c > 0時，1+ c >1- c，解得1- c < x <1+ c，即不等式的解集為 1- c,1+ c ，
當 c = 0 時，1+ c =1- c，不等式的解集為空集，
當 c < 0時，1+ c <1- c，解得1+ c < x <1- c，即不等式的解集為 1+ c,1- c ，
綜上：當 c > 0時，解集為 1- c,1+ c ，
當 c = 0 時，解集為空集，
當 c < 0時，解集為 1+ c,1- c ．
【方法技巧】
(1)根據二次項系數為正、負及零進行分類討論．
(2)根據判別式 Δ 與 0 的關系判斷根的個數，數形結合處理．
(3)有兩個根時，還需要根據兩根的大小進行討論，注意分類討論．
2
【變式 2-1】已知函數 f x = x - 2ax + 3．
(1)若關于 x 的不等式 f x 0的解集為 R，求實數 a 的取值范圍；
(2)解關于 x 的不等式 f x < 0 ．
【解析】（1）若不等式 x2 - 2ax + 3 0的解集為 R，
則Δ = (-2a)2 -12 0，
解得- 3 a 3，
即實數 a的取值范圍[- 3 , 3]；
（2）不等式 x2 - 2ax + 3 < 0，
①當D 0時，即- 3 a 3時，不等式的解集為 ，
②當D > 0時，即 a < - 3 或 a > 3時，
由 x2 - 2ax + 3 = 0，解得 x = a - a2 - 3 或 x = a + a2 - 3 ，
所以不等式的解集為{x | a - a2 - 3 < x < a + a2 - 3}，
綜上所述，當- 3 a 3時，不等式的解集為 ；
當 a < - 3 或 a > 3時，不等式的解集為{x | a - a2 - 3 < x < a + a2 - 3}．
【變式 2-2】解關于實數 x 的不等式： x2 - ax +1 < 0．
【解析】對方程 x2 - ax +1 = 0 ，
當D = a2 - 4 0時，
即-2 a 2時,不等式的解集為
當D = a2 - 4 > 0時，
即 a > 2或 a < -2時,
2
x2 - ax +1 = 0 x a - a - 4 , x a + a
2 - 4
的根為 1 = 2 = ，2 2
ì a - a2 - 4 a + a2 - 4 ü
不等式的解集為 íx < x < ；
2 2


綜上可得，-2 a 2時,不等式的解集為 ，
ì a - a2 - 4 a + a2 - 4 ü
a > 2或 a < -2時，不等式的解集為 íx < x <2 2
.

【變式 2-3】設函數 f (x) = x2 +1 - ax ，其中 a > 0．解不等式 f (x) 1；
【解析】因為 f (x) = x2 +1 - ax a > 0 ，不等式 f (x) 1等價于 x2 +1 1+ ax ，
又 x2 +1 1，所以1 1+ ax，即 ax 0，其中 a > 0，所以 x 0 ，
ìx2 +1 1+ ax 2
所以原不等式等價于 í ，
x 0
ì a2 -1 x + 2a 0
即 í ，
x 0
ì a2 -1 x + 2a 0 é 2a ù
所以當 0 < a < 1時，不等式組 í 的解集為 0, 2 ；
x 0
ê 1- a ú
ì a2 -1 x + 2a 0
當 a 1時，不等式組 í 的解集為 0, + .
x 0
綜上，當 0 < a < 1時，不等式 f (x) 1 é的解集為 ê0,
2a ù
1- a2 ú
；

當 a 1時，不等式 f (x) 1的解集為 0, + ；
題型三：三個二次之間的關系
【典例 3-1】（2024·高三·云南德宏·期末）已知關于 x 的不等式 x2 - ax + b 0的解集為 x 2 x 3 ，則
關于 x 的不等式 x2 - bx + a < 0的解集為（ ）
A． x 2 < x < 3 B． x 1< x < 3
C． x 2 < x < 5 D． x 1< x < 5
【答案】D
【解析】根據題意，方程 x2 - ax + b = 0的兩根為 2 和 3，
則 a = 2 + 3 = 5,b = 2 3 = 6，
則 x2 - bx + a < 0為 x2 - 6x + 5 < 0，其解集為 x 1 < x < 5 .
故選：D.
【典例 3-2】已知 ax2 + bx + c > 0的解集為{x | -1< x < 2}，則不等式a x2 +1 + b(x -1) + c < 2ax的解集
為（ ）
A．{x | 0 < x < 3} B．{x | x > 0}
C．{x | x < 0 或 x > 3} D．{x | x > 3}
【答案】C
【解析】已知 ax2 + bx + c > 0的解集為{x | -1< x < 2}，
則 ax2 + bx + c = 0的兩根為-1和 2，
ì
a < 0


所以 í-1+ 2
b
= - ，即b = -a,c = -2a ，
a

-1
c
2 =
a
2
代入不等式， a x +1 + b(x -1) + c < 2ax 化簡整理得 ax2 - 3ax < 0 ，
因為 a<0，故 x2 - 3x > 0，
不等式的解集為{x | x < 0 或 x > 3}.
故選：C
【方法技巧】
1、一定要牢記二次函數的基本性質．
2、含參的注意利用根與系數的關系找關系進行代換．
1 1
【變式 3-1】若不等式 ax2 + 2x + c < 0的解集是 (- , - ) ( , + )，則不等式 cx2 - 2x + a 0的解集是3 2
（　 ）
é 1 , 1- ù 1 1A B é- , ù． ê ． 2 3ú ê 3 2ú
C． -2,3 D． -3,2
【答案】C
1 1
【解析】因為不等式 ax2 + 2x + c < 0的解集是： (- , - ) ( , + )，3 2
1
所以-
1
和 2 是方程 ax
2 + 2x + c = 0的兩個實數根，
3
ì 1 1 2
- + = - 3 2 a
由 í ，解得： a = -12,c = 2
1 1 c
，
- =
3 2 a
故不等式 cx2 - 2x + a 0，即為 2x2 - 2x -12 0，
解不等式 x2 - x - 6 0 ，得：-2 x 3，
所求不等式的解集是： -2，3 .
故選：C．
【變式 3-2】（多選題）不等式 x2 + ax + b 0(a,b R) 的解集為{x | x1 x x2}，且 x1 + x2 2 .以下結論
錯誤的是（ ）
A． a + 2b 2 B． a + 2b 2 C． | a | 1 D．b 1
【答案】ABC
【解析】因為不等式 x2 + ax + b 0(a,b R) 的解集為{x | x1 x x2}，
則 x1, x2 是方程 x2 + ax + b = 0 的兩個實數根， x1x2 = b ，又 x1 + x2 2 ,
不妨令 a = -1，b = 0，則 x1 = 0 ， x2 =1，但 | a + 2b |=1，故 A 不成立，符合題意；
令 a = 2，b =1，則 x1 = x2 = -1，但 a + 2b = 4 ，故 B 不成立，符合題意；
令 a = 0，b = -1，則 x1 = -1， x2 =1，但 | a |= 0，故 C 不成立，符合題意；
2 2
b x + x
x + x
= x x 1 2 1 21 2 ÷ ÷ 1，故 D 成立，不符合題意．
è 2 ÷è 2
故選：ABC.
【變式 3-3】（多選題）已知關于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0的解集是{x∣1 < x < 3}，則（ ）
A． a < 0
B． a + b + c = 0
C． 4a + 2b + c < 0
1
D．不等式 cx2 - bx + a < 0的解集是{x∣x < -1或 x > - }3
【答案】ABD
ì b
- = 4 a ìb = -4a
【解析】由題意可知，1，3 是方程 ax2 + bx + c = 0的兩個根，且 a<0， í c í c = 3a
，
= 3
a
A：由以上可知 a<0，故 A 正確；
B：當 x =1時，代入方程可得 a + b + c = 0 ，故 B 正確；
C：因為1< 2 < 3，不等式 ax2 + bx + c > 0的解集是{x∣1< x < 3}，故將 x = 2代入不等式左邊為
4a + 2b + c > 0，故 C 錯誤；
1
D：原不等式可變為3ax2 + 4ax + a < 0，且 a<0，約分可得3x2 + 4x +1 > 0，解集為{x∣x < -1或 x > - }，3
故 D 正確；
故選：ABD
題型四：分式不等式以及高次不等式的解法
x - 3
【典例 4-1】（2024·高三·上海楊浦·期中）關于 x 的不等式 0的解集是 .
x
【答案】 x x < 0或 x 3
x - 3
【解析】因為 0，
x
ìx x - 3 0
所以 í ，解得 x < 0 或 x 3，
x 0
x - 3
所以 0的解集為 x x < 0或 x 3 .
x
故答案為： x x < 0或 x 3 .
x2 - 2x - 3
【典例 4-2】已知關于 x 的不等式 2 < 0的解集是 (- , -1) (3,+ )，則實數m 的mx + 2(m +1)x + 9m + 4
取值范圍是 ．
1
【答案】 (- , - ]
2
【解析】由 x2 - 2x - 3 > 0，解得 x < -1或 x > 3，
x2 - 2x - 3
由條件知 2 < 0與 2mx 2(m 1)x 9m 4 x - 2x - 3 > 0
同解，
+ + + +
當m 0 時，顯然不符合條件；
ì ì
m < 0 m < 0
ìm < 0 ìm < 0
所以 í ，或 íΔ = 0 2Δ 0 ，即
8m + 2m -1 = 0
<
í
8m
2 2m 1 0，或 ，+ - > í
m +1- [-1,3] m +1- [-1,3]
m m
m 1 1 1解得 < - 或m = - ，即m - .
2 2 2
所以m
1
的取值范圍為 (- , - ] .
2
1
故答案為： (- , - ] .
2
【方法技巧】
分式不等式化為二次或高次不等式處理．
3x + 5
【變式 4-1】（2024·上海浦東新·模擬預測）不等式 x的解集是 ．
x -1
【答案】 (- , -1] (1,5]
3x + 5 2 x +1 x - 5
【解析】 - x 0 3x + 5 - x + x，即 0 ，即 0，
x -1 x -1 x -1
ì x -1 x +1 x - 5 0
則 í ，根據穿根法解得 x (- ,-1] (1,5]，
x -1 0
故答案為： (- , -1] (1,5] .
【變式 4-2】（2024·上海青浦·二模）已知函數 y = ax2 + bx + c的圖像如圖所示，則不等式
ax + b bx + c cx + a < 0的解集是 .
1
【答案】 - ,
2 3, +
è 2 3 ÷
【解析】根據函數 y = ax2 + bx + c的圖像可知：
a 0,c 0,1 2 3 b ,b 0,1 2 2 c> > + = = - < = = ，即b = -3a,c = 2a ，
a a
不等式 ax + b bx + c cx + a < 0可化為 ax - 3a -3ax + 2a 2ax + a < 0，
即 x - 3 3x - 2 2x +1 > 0，
1 2
解得- < x < 或 x > 3，
2 3
1 2
所以不等式 ax + b bx + c cx + a < 0的解集是 - , ÷ 3, + .
è 2 3
1 , 2 故答案為： - 3, +
è 2 3 ÷
【變式 4-3】不等式 x + x3 0的解集是 ．
【答案】[0, + )
【解析】原不等式可以化為 x(1+ x2 ) 0，
因為 x2 +1> 0，所以 x 0 .
所以不等式的解集為[0, + ) .
故答案為：[0, + )
題型五：絕對值不等式的解法
【典例 5-1】（2024·高三·上海長寧·期中）不等式 x -1 x + 2 < 0的解集為 .
【答案】 - ,-2 -1,1
【解析】當 x 0 時， x -1 x + 2 < 0 ，
ìx 0
所以 í 0 x <1x -1 x + 2 < 0 .
當 x < 0 時， x +1 x + 2 > 0，
ìx < 0
í x < -2或-1 < x < 0 .
x +1 x + 2 > 0
綜上：解集為 - ,-2 -1,1
故答案為： - ,-2 -1,1
【典例 5-2】（2024·上海青浦·二模）不等式 | x - 2 |>1的解集為 ．
【答案】 (- ,1) U (3,+ )；
ìx - 2 0 ìx - 2 < 0
【解析】 x - 2 >1 íx 2 1 或- > í - x - 2 >1
，
即 x > 3或 x <1，所以不等式 | x - 2 |>1的解集為 x x <1或 x > 3 ，
故答案為： (- ,1) U (3,+ ) .
【方法技巧】
（1） f (x) > g(x) [ f (x)]2 > [g(x)]2
（2） f (x) > g(x)(g(x) > 0) f (x) > g(x)或f (x) < -g(x) ；
f (x) < g(x)(g(x) > 0) -g(x) < f (x) < g(x) ；
（3）含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點分段法和圖象法求解
【變式 5-1】（2024·上海虹口·模擬預測）不等式 x + 2023 - x < 2023的解集為 .
【答案】
【解析】 x + 2023 - x < 2023，當 x < 0 時，-x + 2023- x < 2023，解得 x > 0，故解集為 ，
當0 x 2023時， x + 2023- x < 2023，解集為 ，
當 x > 2023時， x + x - 2023 < 2023，解得 x < 2023，故解集為 ，
綜上：不等式的解集為 .
故答案為：
2
【變式 5-2】不等式 x - 2x > 4的解集是 ．
【答案】 x x >1+ 5 或 x <1- 5
x2【解析】因為 - 2x > 4，所以 x2 - 2x > 4或 x2 - 2x < -4，
即 x2 - 2x - 4 > 0或 x2 - 2x + 4 < 0，
由 x2 - 2x - 4 > 0解得 x >1+ 5 或 x <1- 5，
由 x2 - 2x + 4 < 0可得 (x -1)2 + 3 < 0，所以 x ，
2
故不等式 x - 2x > 4的解集為 x x >1+ 5 或 x <1- 5 .
故答案為： x x >1+ 5 或 x <1- 5 .
題型六：二次函數根的分布問題
lnx 1
【典例 6-1】已知函數 f x = ，關于 x 的方程 f x - = mf x 有三個不等的實根，則實數m 的取x
值范圍是 .
【答案】m
1
< - e
e
f x 1- lnx【解析】由題意得 = 2 , x > 0，x
當0 < x < e時， f x > 0， f x 遞增；當 x>e時， f x < 0， f x 遞減，
且 f x = f (e) 1=max ；可知函數 f x 的圖象如圖所示，e
1
令 t = f x ，則方程 f x - = mf x 有三個不等的實根，
即為 t 2 - mt -1 = 0有兩個不等的實根，
g t = t 2令 - mt -1，則 g t = t 2 - mt -1 = 0有兩個不等的實根，
t t 1則 1 2 = -1< 0，所以不妨令 t1 < 0 < t2 < ，e
g 0 = -1 0, g 1 1 m= - -1 0 m 1則 ÷ 2 ，解得 < - e，è e e e e
m 1故答案為： < - e
e
6-2 x x2【典例 】若關于 的一元二次方程 + 3a -1 x + a + 8 = 0有兩個不相等的實根 x1, x2 ，且
x1 <1, x2 >1．則實數 a 的取值范圍為 ．
【答案】 a < -2
【解析】令函數 f (x) = x2 + (3a -1)x + a + 8，依題意， f (x) = 0 的兩個不等實根 x1, x2 滿足 x1 <1, x2 >1，
而函數 f x 圖象開口向上，因此 f (1) < 0，則12 + (3a -1) 1+ a + 8 < 0，解得 a < -2，
所以實數 a 的取值范圍為 a < -2 .
故答案為： a < -2
【方法技巧】
解決一元二次方程的根的分布時，常需考慮：判別式，對稱軸與所給區間的位置關系，區間端點處函
數值的符號，所對應的二次函數圖象的開口方向．
【變式 6-1】已知一元二次方程 x2 - mx +1 = 0的兩根都在 (0,2)內，則實數m 的取值范圍是（ ）
5 é 5
A． 2, ÷ B． ê2, ÷ C． - ,-2
é
ê2,
5 5D
2 ÷ ．
- ,-2 2,2 ÷è 2 è 2
【答案】B
ìΔ = m2 - 4 0
m
f x = x2 - mx +1
0 < < 2 5
【解析】設 ，由題意可得 í 2 ，解得 2 m < .
f 0 =1 > 0 2

f 2 = -2m + 5 > 0
因此，實數m
é 5
的取值范圍是 ê2, 2 ÷
.

故選：B.
x
【變式 6-2 2】已知函數 f x = x ，若關于 x 的方程 f x - mf x - m +1 = 0恰有 4 個不相等的實數根，e
則實數m 的取值范圍是（ ）
1,1 1 1+ 1- ,1
e2 +1 e2 +1
A． ÷ B． ÷ C． 1, ÷ D． ,1

÷
è e è e è e
2 -1 è e
2 + e
【答案】D
ì x
x x , x 0
f x = e【解析】∵ x = í x ，e - , x < 0
ex
當 x 0 時， f (x) 0
1- x
（ x = 0時取等號）， f x =
ex
，
當0 x <1時， f (x) > 0 ，即 f (x) 在[0,1)上為增函數，
當 x >1時， f (x) < 0 ，即 f (x) 在 (1, + )上為減函數，
f x 在 x =1處取得極大值 f 1 1= .
e
當 x < 0 時， f (x)
x -1
= < 0 ，即 f (x)x 在 (- ,0)e 上為減函數，
作出函數 f (x) 的圖象如圖所示：
設 t = f (x) ，
t 1當 > 時，方程 t = f (x) 有 1 個解，
e
t 1當 = 時，方程 t = f (x) 有 2 個解，
e
當0 < t
1
< 時，方程 t = f (x) 有 3 個解，
e
當 t = 0時，方程 t = f (x) 有 1 個解，
當 t < 0時，方程 t = f (x) 有 0 個解，
方程 f 2 x - mf x - m +1 = 0等價為 t 2 - mt - m +1 = 0，
2
要使關于 x 的方程 f x - mf x - m +1 = 0恰有 4 個不相等的實數根，
1 1
等價為方程 t 2 - mt - m +1 = 0有兩個不同的根 t1, t2 ，且 t1 > ，0 < t2 < ，e e
設 g(t) = t 2 - mt - m +1，
ì
g(0) = -m +1 > 0 ìm <1

g(1) 1 m
2 2
則 í = 2 - - m +1 < 0

ím
e +1
> e +12 ，解得 ，
e e e e + e
2 < m <1e + e
-m- > 0 m > 0 2
故選：D．
【變式 6-3】已知關于 x 的方程 x2 + x + m = 0在區間 1,2 內有實根，則實數m 的取值范圍是（ ）
A．[-6,-2] B． (-6,-2) C． (- , -6] [-2,+ ) D． (- ,-6) U (-2,+ )
【答案】B
【解析】因為關于 x 的方程 x2 + x + m = 0在區間 1,2 內有實根，
所以m = -x2 - x在區間 1,2 內有實根，
令 f x = -x2 - x ， x 1,2 ，所以 f x 在 1,2 上單調遞減，
所以 f 2 < f x < f 1 ，即 f x -6, -2 ，
依題意 y = m與 y = f x 在 1,2 內有交點，
所以m -6, -2 .
故選：B
題型七：一元二次不等式恒（能）成立問題
【典例 7-1】已知關于 x 的不等式 2x -1 > m(x2 -1) .
(1)是否存在實數m ，使不等式對任意 x R 恒成立，并說明理由；
(2)若不等式對于m -2,2 恒成立，求實數 x 的取值范圍；
(3)若不等式對 x [2,+ )有解，求m 的取值范圍.
【解析】（1）
原不等式等價于mx2 - 2x + (1- m) < 0 ，
1
當m = 0時，-2x +1 < 0，即 x > ，不恒成立；
2
當m 0 時，若不等式對于任意實數 x 恒成立，
則m < 0且D = 4 - 4m(1- m) < 0，無解；
綜上，不存在實數m ，使不等式恒成立.
（2）設 f (m) = (x2 -1)m - (2x -1) ，
當m -2,2 時， f (m) < 0恒成立，
ì f (2) < 0 ì2x2 - 2x -1 < 0
當且僅當 í
f (-2) 0
，即 í ，< -2x
2 - 2x + 3 < 0
ì1- 3 1+ 3
< x <
2 2 -1+ 7 1+ 3
解得 í 即1 < x <
，
x - - 7 x -1+ 7 2 2或
2 2
所以 x -1+ 7 1+ 3的取值范圍是 ( , ) .
2 2
（3）若不等式對 x [2,+ )有解，
等價于 x [2,+ )時，mx2 - 2x + (1- m) < 0 有解.
令 g(x) = mx2 - 2x + (1- m)，
當m = 0時，-2x
1
+1 < 0即 x > ，此時顯然在 x [2,+ )有解；
2
當m < 0時， x [2,+ )時，結合一元二次函數圖象，mx2 - 2x + (1- m) < 0 顯然有解；
當m > 0時， y = g(x)
1
對稱軸為 x = ，D = 4 - 4m(1- m) = 4m2 - 4m + 4 = (2m -1)2 + 3 > 0，
m
x [2,+ )時，mx2 - 2x + (1- m) < 0 有解，
ìg 2 0
\ 結合一元二次函數圖象，易得： g(2) < 0或 í 1 ，
> 2 m
ìm 1

解得m <1或 í 1 （無解），
m < 2
又∵m > 0，
\0 < m <1;
綜上所述，m 的取值范圍為 (- ,1) .
【典例 7-2】（2024·陜西西安·模擬預測）當1 x 2時，不等式 x2 - ax +1 0恒成立，則實數 a的取值
范圍是 ．
5
【答案】[ , + ) .
2
【解析】當1 x 2時，不等式 x2 - ax +1 0恒成立，
2
1 x 2 a x +1 1
1
所以當 時， = x + 恒成立，則 a x + ÷ ，
x x è x max
令 g x = x 1+ ，則 g x 在 1,2 單調遞增，
x
g x g 2 2 1 5 5所以 = = + =max ，所以 a .2 2 2
5
故答案為：[ , + ) .
2
【方法技巧】
恒成立問題求參數的范圍的解題策略
（1）弄清楚自變量與參數．
（2）一元二次不等式在 R 上恒（能）成立，可用判別式D，一元二次不等式在給定的某個區間上恒
（能）成立，不能用判別式D，一般分離參數求最值或分類討論處理．
【變式 7-1】當 x -1,1 2 3時，不等式2kx - kx - < 0恒成立，則 k 的取值范圍是（ ）
8
1 1
A． -3,0 B． -3,0 C ù． -3, 8 ÷ D． -3,è è 8 ú
【答案】D
x -1,1 2kx2 kx 3【解析】當 時，不等式 - - < 0恒成立，
8
當 k = 0時，滿足不等式恒成立；
k 0 f x 2kx2 kx 3當 時，令 = - - ，則 f x < 0 在 -1,1 上恒成立，
8
函數 f x 1的圖像拋物線對稱軸為 x = ，
4
k > 0時， f x -1, 1 1 在 4 ÷上單調遞減，在 ,14 ÷上單調遞增，è è
ì
f -1
3
= 2k + k - 0
8 0 1則有 í ，解得 < k ；
f
1 2k k
3 8
= - - 0
8
f x 1, 1 1k < 0時， 在 - 4 ÷上單調遞增，在 ,1è è 4 ÷上單調遞減，
1 2k k 3
則有 f 4 ÷
= - - < 0，解得-3 < k < 0 .
è 16 4 8

綜上可知， k 的取值范圍是 -3,
1ù .
è 8 ú
故選：D.
【變式 7-2 2】已知函數 f x = 2x - ax + a2 - 4 g x x2 x a2 31， = - + - ， a R
4
(1)當 a =1時，解不等式 f x > g x ；
(2)若任意 x > 0，都有 f x > g x 成立，求實數 a的取值范圍；
(3)若"x1 0,1 ，$x2 0,1 ，使得不等式 f x1 > g x2 成立，求實數 a的取值范圍.
2 2 27
【解析】（1）當 a =1時， f x = 2x - x - 3， g x = x - x -
4
2 15
所以 f x - g x = x + > 0，所以 f x > g x ，所以 f x > g x 的解集為R .
4
2
（2）若對任意 x > 0，都有 f x > g x 成立，即 x + 1- a x 15+ > 0在 x > 0恒成立，
4
解法一：設 h x = x2 + 1- a x 15 a -1+ ， x > 0，對稱軸 x = ，由題意，只須 h x > 0min ，4 2
a -1 0 h x 0 + h x h 0 15①當 ，即 a 1時， 在 ， 上單調遞增，所以 > = ，符合題意，所以 a 1；
2 4
a -1 a -1> 0 a -1 ②當 ，即 a > 1時， h x 在 0, ÷上單調遞城，在 ，+ 2 è 2 è 2 ÷ 單調遞增，
2
h x h a -1> a -1 15所以 ÷ = - + > 0，解得1- 15 < a <1+ 15 且 a > 1，
è 2 4 4
所以1< a <1+ 15 .
綜上， a <1+ 15 .
a 1 x x2 15 a 1 x 15 15解法二：不等式可化為 - < + ，即 - < + ，設 k = x + ， x > 0，
4 4x 4x
15 15
由題意，只須 a -1< k x min ， k = x + 2 x × = 15 ，4x 4x
15 15
當且僅當 x = 即 x = 時等號成立，則 kmin = 15 ，4x 2
所以 a -1< 15 ，即 a <1+ 15 .
（3）若對任意 x1 0,1 ，存在 x2 0,1 ，使得不等式 f x1 > g x2 成立，
即只需滿足 f x > g xmin min ， x 0,1 ，
g x 2 2 31 1 g x é0, 1 1= x - x + a - ù，對稱軸 x = ， 在
4 2 ê
,1
2 ÷遞減，在 遞增， è 2 ú
g x = g 1 2 2 2min ÷ = a -8， f x = 2x - ax + a - 4， x 0,1
a
，對稱軸 x = ，
è 2 4
a
① 0 即 a 0時， f x 在 0,1 遞增， f x = f 0 = a2 - 4 > g x = a2 -8
4 min min
恒成立；
a
0 a< <1 f x é0, a ù② 即 0 < a < 4 時， 在 ê 4 ÷ 遞減，在4 ,14 遞增，è ú
f x = f a 7 2 2 7 2 2min 4 ÷ = a - 4 g x = a -8è 8 ， min ，所以
a - 4 > a -8，故 0 < a < 4 ；
8
a
③ 1即 a 4時， f x 在 0,1 遞減， f x = fmin 1 = a
2 - a - 2， g x = a2 -8
4 min
，
所以 a2 - a - 2 > a2 -8，解得 4 a < 6 ，綜上： a - ,6 .
【變式 7-3】若存在實數 a,b，對任意實數 x 0,1 ，不等式 x3 - m ax + b x2 恒成立，則實數 m 的取
值范圍是 .
é1
【答案】 ê ,+ ÷ 4
【解析】如圖所示，若存在實數 a,b，對任意實數 x 0,1 ，不等式 x3 - m ax + b x2 恒成立，
則直線 y = ax + b 在0 x 1時位于 y = x3 - m上方（可重合），且位于 y = x2 下方（可重合），
又因為 y = x3 - m在0 x 1時為凹函數，所以當直線經過 0, -m , 1,1- m 時符合題意，
ìb = -m ìa =1
由 í ，得 í ，此時直線為 y = x - m ，則 x - m x2 ，即-m x2 - x對0 x 1a b 1 m b m 恒成立， + = - = -
2
1 1 1 1 é1
則-m x2 - x = - = - ，則m ，即實數 m 的取值范圍是 , + .
min è 2 ÷ 2 4 4 ê
÷
4
é1
故答案為： ê ,+ 4 ÷
【變式 7-4】已知函數 f (x) = x2 + ax + b，若對任意 x 1,5 , f x 2，則所有滿足條件的有序數對
a,b 是 ．
【答案】 (-6,7)
【解析】因為 f (x) = x2 + ax + b對任意 x [1,5], | f (x) | 2，
ì-2 f (1) 2

所以必須滿足 í-2 f (3) 2，

-2 f (5) 2
ì -2 1+ a + b 2

即 í -2 9 + 3a + b 2 ，

-2 25 + 5a + b 2
ì-2 -1- a - b 2
由 í 2 9 3a b 2，得
-4 8 + 2a 4，
- + +
解得-6 a 2，①，
ì-2 -9 - 3a - b 2
再由 í ，得-4 16 + 2a 4
-2 25 5a b 2
，
+ +
解得-10 a -6，②，
由①②得 a = -6 ，
ì -2 1- 6 + b 2 ì 3 b 7

所以 í -2 9 -18 + b 2 ，即 í7 b 11，解得b = 7 ，

-2 25 - 30 + b 2 3 b 7
2
經檢驗，當 a = -6 ，b = 7 時， f x = x2 - 6x + 7 = x - 3 - 2，則
f (x) 的最大值為 f (1) = f (5) = 2 ， f (x) 的最小值為 f (3) = -2，
滿足任意 x [1,5], | f (x) | 2，
所以滿足條件的有序數對 (a , b ) 只有一對 (-6,7)，
故答案為： (-6,7) .
題型八：解含參型絕對值不等式
【典例 8-1 2】已知關于 x 的不等式 x - 2 + x + 2 a - 3a有實數解，則實數 a的取值范圍是 .
【答案】 - ,-1 4,+
2
【解析】因為關于 x 的不等式 x - 2 + x + 2 a - 3a有實數解，
a2所以 - 3a x - 2 + x + 2 min ，
當 x<- 2時， x - 2 + x + 2 = - x - 2 - x + 2 = -2x > 4，
當-2 x 2時， x - 2 + x + 2 = - x - 2 + x + 2 = 4，
當 x > 2時， x - 2 + x + 2 = x - 2 + x + 2 = 2x > 4 ，
a2所以 - 3a x - 2 + x + 2 = 4min ，即 a2 - 3a - 4 0 ，
解得 a -1或 a 4，
所以實數 a的取值范圍是 - ,-1 4,+ .
故答案為： - ,-1 4,+
【典例 8-2】若存在實數 x 使得不等式 | x +1| + | x - a | 2成立，則實數 a的取值范圍是 ．
【答案】 -3,1
【解析】因為 x +1 + x - a x +1 - x - a = a +1 ，當且僅當 x +1 x - a 0時，等號成立，
由題意可得 a +1 2，解得-3 a 1，
所以實數 a的取值范圍是 -3,1 .
故答案為： -3,1 .
【方法技巧】
含參型絕對值不等式 ，可用零點分段法和圖象法求解.
【變式 8-1】若關于 x 的不等式 x +1 < 6 - x - m 的解集為 ，則實數 m 的取值范圍是
【答案】 - , -7 5, +
【解析】不等式 x +1 < 6 - x - m 的解集為 ，即不等式 x +1 + x - m < 6的解集為 ，
所以 x +1 + x - m 6恒成立；
而 x +1 + x - m 表示數軸上的 x 對應點到-1, m對應點的距離之和，它的最小值為 m +1 ，
故有 m +1 6，所以m +1 6 或m +1 -6，即m 5或m -7，
故答案為： - , -7 5, + .
【變式 8-2】（2024·上海長寧·二模）若對任意 x [1,2] 2，均有 x - a + | x + a |= x2 + x ，則實數 a 的取值
范圍為 ．
【答案】 -1,1
【解析】因為在絕對值三角不等式 | a + b | | a | + | b |中，當 a,b同號時有 | a + b |=| a | + | b |，
2
又因為 x + x = (x2 - a) + (x + a) = x2 - a + | x + a |，
所以 (x2 - a)(x + a) 0在 x [1,2]恒成立，
ìx2 - a 0 ìx2 - a 0
所以 í 或 í 在 x [1,2]恒成立，
x + a 0 x + a 0
ìa x2 ìa x2
即有 í 或a x í
在 x [1,2]恒成立，
- a -x
ìa x2 ìa 1
由 í ，解得a x í
，
- a -1
ìa x2
由 í ，解得 a ，
a -x
綜上所述實數 a 的取值范圍為 -1,1 .
故答案為： -1,1
題型九：解不等式組型求參數問題
ìx2 - ax + 4 0
【典例 9-1】設集合 A = {x |1 x 3}

，集合 B 為關于 x 的不等式組 í 2 2 的解集，
x - 2b + 3 x + b + 3b 0
若 A B ，則 a + b 的最小值為（ ）
16 13
A．6 B． C．5 D．
3 3
【答案】C
ìx2 - ax + 4 0
【解析】因為不等式組 í 2 B A = {x |1 x 3} A B x - 2b + 3 x + b2 + 3b 0
的解集 ， ， ，
所以不等式 x2 - ax + 4 0在 1,3 上恒成立，
2
且不等式 x - 2b + 3 x + b2 + 3b 0的解集包含集合A ，
2
又不等式 x - 2b + 3 x + b2 + 3b 0可化為 x - b x - b - 3 0，
x2所以不等式 - 2b + 3 x + b2 + 3b 0的解集為 b,b + 3 ，
所以 1,3 b,b + 3 ，所以b + 3 3，且b 1，所以0 b 1 .
4
不等式 x + a 在 1,3 4 上恒成立，故 x + ÷ ax ，其中 x 1,3 ，x è max
f x x 4設 = + ， x 1,3 ，
x
則 f x = x 4+ 在 1,2 上單調遞減，在 2,3 上單調遞增，
x
f 1 = 5 f 3 3 4 13又 ， = + = ，
3 3
所以當 x =1時，函數 f x = x 4+ ， x 1,3 取最大值，最大值為5，
x
所以a 5，
所以當 a = 5,b = 0時， a + b 取最小值，最小值為5 .
故選：C.
ìx2 - 4x + 3 < 0
【典例 9-2】（2024·高三·山東菏澤·期中）已知不等式組 í 的解集是關于 x2 的不等式
x - 6x + 8 < 0
x2 - 3x + a < 0的解集的子集，則實數 a 的取值范圍為（ ）
A．a≤0 B．a<0 C．a≤-1 D．a<-2
【答案】A
ìx2 - 4x + 3 < 0
【解析】 í 2 ，解得： x 2,3 ，因為 x 2,3 是不等式 x2 - 3x + a < 0的解集的子集，故
x - 6x + 8 < 0
ì f 2 0
f x = x2 - 3x + a 要滿足： í f 3 0 ，解得： a 0，

Δ > 0
故選：A
【方法技巧】
求不等式(組)參數的問題，往往要利用不等式的性質、不等式(組)的解集，建立對應關系后求解.
ìx2 - 2x - 3 0
【變式 9-1】（2024·高三·山西呂梁·開學考試）若不等式組 íx2
的解集是空集，則實數
+ 4x - (1+ a) 0
a的取值范圍是 .
【答案】 - , -4
【解析】由 x2 - 2x - 3 0得-1 x 3，即不等式 x2 - 2x - 3 0的解集為 -1,3 ；
ìx2 - 2x - 3 0
又不等式組 í 2 的解集是空集，
x + 4x - (1+ a) 0
2
所以不等式 x + 4x - a +1 0的解集為集合{x∣x < -1或 x > 3}的子集，
當D = 42 + 4 a +1 < 0，即 a < -5 2時，不等式 x + 4x - a +1 0的解集為 ，符合題意；
當Δ = 0，即 a = -5時，不等式 x2 + 4x - a +1 0的解集為 x x = -2 ，也符合題意；
當D > 0，即 a > -5 2，設函數 f x = x + 4x - a +1 ，則該函數的圖象開口向上，且對稱軸方程為
x = -2，且-2 < -1 < 3，
2
為使不等式 x + 4x - a +1 0的解集為集合{x∣x < -1或 x > 3}的子集，
所以必有 f -1 = -4 - a > 0 ，即-5 a < -4 ；
綜上實數 a的取值范圍是 a < -4 .
故答案為： a < -4 .
ìx2 - 2x - 3 0
【變式 9-2】若不等式組 íx2 4x 1 a 0的解集不是空集，則實數 a 的取值范圍是（ ） + - +
A． (- , -4] B．[-4,+ ) C．[-4,20] D．[-40,20)
【答案】B
【解析】由題意，不等式 x2 - 2x - 3 0，解得-1 x 3，所以不等式的解集為 -1,3 ，
ì x2 - 2x - 3 0
假設不等式組 íx2 4x a 1 的解集為空集， + - + 0
2
則不等式 x + 4x - a +1 0的解集為集合 x | x < -1或 x > 3 的子集，
2
因為函數 f x = x + 4x - a +1 的圖象的對稱軸方程為 x = -2，
則必有 f -1 = -4 - a > 0 ，解得 a < -4，
ì x2 - 2x - 3 0
所以使得不等式組 í 2 的解集不為空集時，則滿足 a -4， x + 4x - 1+ a 0
即實數 a的取值范圍是[-4,+ ) .
故選：B.
題型十：不等式組整數解求參數問題
ì-x2 + 4x + 5 < 0
【典例 10-1】已知關于 x 的不等式組 í 2 的解集中存在整數解且只有一個整數解，
2x + 5x < - 2x + 5 k
則 k 的取值范圍為 .
【答案】 -6,2 3,4
2
【解析】由 x - 4x - 5 = x - 5 x +1 > 0，得 x < -1或 x > 5，
2
所以 2x + 2k + 5 x + 5k = 2x + 5 x + k < 0的解集與{x∣x < -1或 x > 5}的交集中存在整數解，且只有
一個整數解.
k 5< 2x2當 時， + 2k + 5 x + 5k < 0 ì的解集為 íx | 5- < x < -k ü ，此時-2 < -k 6，即-6 k < 22 ，滿足2
要求；
當 k
5
= 2時， 2x + 2k + 5 x + 5k < 0的解集為 ，此時不滿足題設；
2
k 5當 > 時， 2x2
ì
+ 2k + 5 x + 5k < 0的解集為 íx -k x 5
ü
< < - ，此時-4 -k < -3，即3 < k 4 ，滿足2 2
要求.
綜上， k 的取值范圍為 -6,2 3,4 .
故答案為： -6,2 3,4
【典例 10-2 2】關于 x 的不等式 ax -1 < x2 恰有 2 個整數解，則實數 a 的取值范圍是（ ）
A
3
． - , -1
3 3 4 4 3
÷

1, ÷ B
- , - ù é ,
è 2
．
è 2 è 2 3 ú ÷ ê 3 2
C
3
． - , 1
ù é 3 3 4- 4ú ê1, ÷ D． - , - ÷ ,
3
è 2 ÷ 2 è 2 3 è 3 2
【答案】B
2
【解析】由 ax -1 < x2 恰有 2 個整數解，即 é a +1 x -1 ù é a -1 x -1ù < 0恰有 2 個整數解，
所以 a +1 a -1 > 0，解得 a > 1或 a < -1，
a 1
1 , 1 1 1 ①當 > 時，不等式解集為 a +1 a -1÷，因為 a +1
0, ÷ ，故 22 個整數解為 1 和 2，è è
2 1 3 4 3則 < ，即 2a - 2 <1 3a - 3，解得 a < ；
a -1 3 2
1 , 1 1 1 ②當 a < -1時，不等式解集為 ÷，因為 - ,0
è a +1 a -1 a
-1
-1 ÷，故 2 個整數解為 ，-2，è 2
3 1則- < -2，即-2 a +1 <1 -3 a +1 3 4，解得- < a - ，
a +1 2 3
綜上所述，實數 a
3 a 4 4 3的取值范圍為- < - 或 a < .
2 3 3 2
故選：B.
【方法技巧】
不等式組整數解求參數問題通常使用分類討論與數形結合處理.
ìx2 - 2x -8 > 0
【變式 10-1】已知關于 x 的不等式組 í 2 僅有一個整數解，則 k 的取值范圍為（ ）
2x + (2k + 7)x + 7k < 0
A． x - 5 < x < 3或 4 < x < 5 B． x - 5 x < 3或 4 < x 5
C． x - 5 < x 3或 4 x < 5 D． x - 5 x 3或 4 x 5
【答案】B
【解析】 x2 - 2x -8 > 0，解得 x>4或 x<- 2，
2x2 + (2k + 7)x + 7k < 0 變形為 2x + 7 x + k < 0，
k 7 k 7當- = - ，即 = 時，不等式解集為空集，不合要求，舍去，
2 2
k 7 k 7 7當- < - ，即 > 時，解集為-k < x < - ，
2 2 2
要想不等式組僅有一個整數解，則-5 -k < -4 ，解得 4 < k 5，
k 74 < k 5與 > 求交集得 4 < k 5；
2
7 7 7
當- < -k ，即 k < 時，解決為- < x < -k ，
2 2 2
要想不等式組僅有一個整數解，則-3 < -k 5，解得-5 k < 3，
7
-5 k < 3與 k < 求交集得-5 k < 3，
2
綜上， k 的取值范圍是 x - 5 x < 3或 4 < x 5 .
故選：B
ì-24 < x <100,
【變式 10-2】若關于 x 的不等式組 í x2 2ax 3a2 0 的整數解共有
36 個，則正數 a的取值范圍
- -
是 .
65
【答案】 , 22
ù
è 3 ú
【解析】由 x2 - 2ax - 3a2 0，得 x + a x - 3a 0，因為 a為正數，所 x -a 或 x 3a .
當 a = 23時， x x -a x -24 < x <100 = -23 ，
x x 3a x -24 < x <100 = 69,70,L,99 ，
此時不等式組的整數解的個數為 32；
當 a = 22時， x x -a x -24 < x <100 = -22, -23 ，
x x 3a x -24 < x <100 = 66,67,L,99 ，
此時不等式組的整數解的個數為 36；
當 a = 21時， x x -a x -24 < x <100 = -21, -22, -23 ，
x x 3a x -24 < x <100 = 63,64,L,99 ，
此時不等式組的整數解的個數為 40.
a越大，則-a越小，3a 越大，
ì -24 < x <100
從而不等式組 íx2 的整數解的個數不會增加； - 2ax - 3a
2 0
a越小，則-a越大，3a 越小，
ì -24 < x <100
從而不等式組 íx2
.
- 2ax - 3a
2 0 的整數解的個數不會減少
ì-22 -a < -21 65
要使得不等式組的整數解的個數為 36，則需滿足 í < a 22 .
65 < 3a 66
，解得
3
65
故答案為： , 22
ù
è 3 ú
．

2
【變式 10-3】設集合 A = x | x + 2x - 3 > 0 ，集合B = x | x2 - 2ax -1 0,a > 0 若 A B 中恰有一個整
數，則實數 a 的取值范圍（ ）
A ． 0,
3 é 3
÷ B． ê ,
4 é 3
C
4 ÷ ．è 4 3 ê
, + ÷ D． (1, + )
4
【答案】B
【解析】由已知可得集合 A = x | x < -3或 x >1 ,
由 x2 - 2ax -1 0解得， a - a2 +1 x a + a2 +1，
所以B = x | a - a2 +1 x a + a2 +1 ，
因為 a > 0，所以 a +1 > a2 +1 ，則 a - a2 +1 > -1，且小于 0，
由 A B 中恰有一個整數，所以 2 a + a2 +1 < 3，
ìa + a2 +1 2 ì a2 +1 2 - a 3 4
即 í ，也即 í ，解得 a < ，
a + a
2 +1 < 3 a
2 +1 < 3- a 4 3
故選：B．
1．（2014 年全國普通高等學校招生統一考試數學（江蘇卷））已知函數 f (x) = x2 + mx -1，若對于任意
的 x m, m +1 都有 f (x) < 0，則實數m 的取值范圍為 .
2
【答案】 - ,0
è 2
÷÷

【解析】因為函數 f (x) = x2 + mx -1的圖象開口向上的拋物線，
所以要使對于任意的 x m, m +1 都有 f (x) < 0成立，
ì f (m) = m2 + m
2 -1< 0 2
í ，解得- < m < 0 ，
f (m +1) = m +1
2 + m(m +1) -1< 0 2

所以實數m
2
的取值范圍為 - ,02 ÷÷
．
è
2．（2007 年普通高等學校招生全國統一考試理科數學卷（北京））已知集合 A = x | x - a 1 ，
B = x | x2 - 5x + 4 0 ．若 A B = ，則實數 a的取值范圍是 ．
【答案】(2，3)
【解析】集合 A = x | x - a 1 ={x| a－1≤x≤a+1} 2，B = x | x - 5x + 4 0 ={x| x≥4 或 x≤1 }．又
a +1< 4
A B = ，∴{a 1 1 ，解得 2a的取值范圍是(2，3)．
- >
3．（2019 年天津市高考數學試卷（文科）） 設 x R ，使不等式3x2 + x - 2 < 0成立的 x 的取值范圍
為 .
2
【答案】 (-1, )
3
【解析】3x2 + x - 2 < 0，
即 (x +1)(3x - 2) < 0 ，
即-1
2
< x < ，
3
x ( 1, 2故 的取值范圍是 - ) ．
3
1 2．當 k 取什么值時，一元二次不等式2kx + kx
3
- < 0對一切實數 x 都成立.
8
2 3
【解析】當 k < 0時，要使一元二次不等式2kx + kx - < 0對一切實數 x 都成立，
8
則二次函數 y = 2kx2 + kx
3
- 的圖象在 x 軸下方，
8
3
即D = k 2 - 4 2k

-

÷ < 0，得-3 < k < 0 .
è 8
當 k > 0 y = 2kx2時，二次函數 + kx
3 3
- 2的圖象開口向上，一元二次不等式2kx + kx - < 0不可能對一切
8 8
實數 x 都成立.
綜上可知，-3 < k < 0 .
2． x 是什么實數時，下列各式有意義？
（1） x2 - 4x + 9 ；
（2） -2x2 +12x -18 .
【解析】（1）要使 x2 - 4x + 9 有意義，需 x2 - 4x + 9 0 .
x2 - 4x + 9 = x - 2 2 + 5 5 > 0恒成立，所以不等式 x2 - 4x + 9 = 0的解集為 R ，
因此， x R 時， x2 - 4x + 9 有意義；
（2）要使 -2x2
2
+12x -18 有意義，需-2x2 +12x -18 0，即 x - 3 0 ，\ x = 3 .
因此 x = 3時， -2x2 +12x -18 有意義.
3．如圖，據氣象部門預報，在距離某碼頭南偏東 45°方向 600km 處的熱帶風暴中心正以 20km/h 的速
度向正北方向移動，距風暴中心 450km 以內的地區都將受到影響.據以上預報估計，從碼頭現在起多長時間
后，該碼頭將受到熱帶風暴的影響，影響時間大約為多長（精確到 0.1h）？
【解析】如圖所示：
設風暴中心最初在 A 處，經 th 后到達 B 處，向 x 軸作垂線，垂足為 C，
若在點 B 處受到風暴的影響，
則 OB=450，OC = 600cos 45o = 300 2, AC = 600sin 45o = 300 2, AB = 20t ，
因為OC 2 + AC 2 = OA2 ，
所以 2 2300 2 + 300 2 - 20t = 6002 ，
即 4t2 -120 2t +1575 = 0 ，
15 2 2 -1 15 2 2 +1
解得 t = 13.7， t = ，
2 2
15 2 2 +1 15 2 2 -1
又 - = 15，
2 2
所以從碼頭現在起大約13.7 小時后，該碼頭將受到熱帶風暴的影響，影響時間大約 15 個小時.
4．一名同學以初速度 v0 =12m / s豎直上拋一排球，排球能夠在拋出點 2m 以上的位置最多停留多長時
間（精確到0.01s ）？
【解析】設該同學拋出此排球 t 秒后球的高度為 h，則 h =12t
1
- 10 t 2 =12t - 5t 2 .
2
排球在拋出點 2m 以上時滿足不等式12t - 5t 2 > 2，即5t 2 -12t + 2 < 0 .
設方程5t 2 -12t + 2 = 0的兩根為 t1 、 t2 t < t t t
12 2
1 2 ，則 1 + 2 = ， t5 1
t2 = ，5
所以排球在拋出點 2m 以上的位置的運動時間為
12 2t t 2 2 2 261 - 2 = t1 + t2 - 4t1t2 = ÷ - 4 = 2.04 s .
è 5 5 5
答：排球能在拋出點 2m 以上的位置最多停留 2.04s .
易錯點：解含參數不等式時分類討論不恰當
易錯分析： 含參數不等式的解法是不等式問題的難點．解此類不等式時一定要注意對字母分類討論，
討論時要做到不重不漏，分類解決后，要對各個部分的結論按照參數由小到大進行整合．
【易錯題 1】當 a <1時，解關于 x 的不等式 (ax -1)(x -1) < 0 .
【解析】當 a = 0時，代入不等式可得-x +1< 0，解得 x >1；
a 1 1 當 0 < a < 1時，化簡不等式可得 x - ÷ (x -1) < 0即 x - ÷ (x -1) < 0，
è a è a
1
由 >1
1
得不等式的解為1< x < ，
a a
當 a<0時，化簡不等式可得 a x
1
- ÷ (x
1
-1) < 0
a 即
x -
a ÷
(x -1) > 0 ，
è è
1 1 1由 < 得不等式的解為 x >1或 x < ，
a a
綜上可知，當 a = 0時，不等式 (ax -1)(x -1) < 0的解集為{x | x >1}；
當 0 < a < 1時，不等式 (ax -1)(x
ì
-1) < 0的解集為 íx 1
1 ü
< x < ；
a


ì 1
當 a<0時，不等式 (ax -1)(x -1) < 0的解集為 íx x < 或 x >1 .
a
【易錯題 2】解關于實數 x 的不等式： x2 - (a +1)x + a < 0 ．
【解析】易知方程 x2 - (a +1)x + a = 0的Δ = a -1 2 0，
由 x2 - (a +1)x + a = 0得 (x - a)(x -1) = 0，解得 x1 = a, x2 =1，
當 a > 1時， x2 - (a +1)x + a < 0 的解集為 x 1 < x < a ，
當 a =1時， x2 - (a +1)x + a < 0 的解集為 ，
當a < 1時， x2 - (a +1)x + a < 0 的解集為 x a < x <1 ．
答題模板：一元二次不等式恒成立問題
1、模板解決思路
結合對應二次函數的圖象，數形結合羅列關于參數的不等式．對于在定區間上恒成立的問題，可以分
離參數轉化為函數的最值問題，不要漏掉考慮函數圖象的對稱軸和區間端點的關系．
2、模板解決步驟
第一步：將不等式恒成立問題轉化為對應函數圖象的問題．
第二步：列出不等式（組），一定要注意二次項系數如果含參數時就需要進行分類討論．
第三步：解不等式求解參數的范圍．
2
【典例 1】已知函數 f x = x - 2ax - a -1， a R .
(1)當 a =1時，解不等式 f x 6 ；
(2)若$x0 0,2 ，使得 f x0 > 0，求實數 a的取值范圍.
【解析】（1）當 a =1時， f x = x2 - 2x - 2，由 f x 6 可得 x2 - 2x -8 0，解得 x -2或 x 4，
故當 a =1時，不等式 f x 6 的解集為 x x -2 或 x 4 .
2
（2）因為$x0 0,2 ，使得 f x0 = x0 - a 2x0 +1 -1 > 0，
2
1 2x 1 5 a x0 -1因為 0 + ，則 < ，2x0 +1
t -1
2
-1
令 t = 2x0 +1 1,5
t -1
，則 x0 = ，則 x
2 -1 2 ÷ 1 3
2 0 = è = t - - 2
，
2x0 +1 t 4
÷
è t
因為函數 y = t - 2、 y
3
= - 在 1,5 上均為增函數，
t
y 1 t 3= - - 2 1,5 y 1= 5 3 2 3所以，函數
4 ÷
在 上為增函數，則 max - - = ，
è t 4 è 5 ÷ 5
a 3故 < .
5
【典例 2】（1）若"x R ，ax2 - ax +1> 0，求實數 a 的取值范圍；
（2）若$a -2, -1 ，ax2 - ax +1> 0，求實數 x 的取值范圍．
【解析】（1）因為"x R ，ax2 - ax +1> 0，
①當 a = 0時，不等式1 > 0對"x R 成立，符合題意.
②當 a 0時，若不等式ax2 - ax +1> 0對"x R 恒成立，
ìa > 0
則 í 0 < a < 4
Δ = a
2 ，解得 ，- 4a < 0
綜上，實數 a 的取值范圍[0, 4) .
（2）$a -2, -1 ，ax2 - ax +1> 0，
即$a -2, -1 2 1， x - x < - ，
a
x2 x 1- < 1所以 - ÷ ，而 y = -a 在
x -2, -1 上單調遞增，
è max x
x2 x 1 1- 5 x 1+ 5所以 - < ，解得 < < ，
2 2
1- 5 1+ 5
故實數 x 的取值范圍 , .
è 2 2 ÷
÷
第 05 講 一元二次不等式與其他常見不等式解法
目錄
01 考情透視·目標導航 .........................................................................................................................2
02 知識導圖·思維引航 .........................................................................................................................3
03 考點突破·題型探究 .........................................................................................................................4
知識點 1：一元二次不等式 ........................................................................................................................................4
知識點 2：分式不等式 ................................................................................................................................................4
知識點 3：絕對值不等式 ............................................................................................................................................5
解題方法總結 ...............................................................................................................................................................5
題型一：不含參數一元二次不等式的解法 ...............................................................................................................6
題型二：含參數一元二次不等式的解法 ...................................................................................................................7
題型三：三個二次之間的關系 ...................................................................................................................................8
題型四：分式不等式以及高次不等式的解法 ...........................................................................................................9
題型五：絕對值不等式的解法 ...................................................................................................................................9
題型六：二次函數根的分布問題 .............................................................................................................................10
題型七：一元二次不等式恒（能）成立問題 .........................................................................................................11
題型八：解含參型絕對值不等式 .............................................................................................................................12
題型九：解不等式組型求參數問題 .........................................................................................................................12
題型十：不等式組整數解求參數問題 .....................................................................................................................13
04 真題練習·命題洞見 .......................................................................................................................14
05 課本典例·高考素材 .......................................................................................................................14
06 易錯分析·答題模板 .......................................................................................................................15
易錯點：解含參數不等式時分類討論不恰當 .........................................................................................................15
答題模板：一元二次不等式恒成立問題 .................................................................................................................16
考點要求 考題統計 考情分析
（1）會從實際情景中抽象出一
元二次不等式．
從近幾年高考命題來看，三個 “二次”
（2）結合二次函數圖象，會判
的關系是必考內容，單獨考查的頻率很低，
斷一元二次方程的根的個數，以 2020年 I卷第 1題，5分
偶爾作為已知條件的一部分出現在其他考點
及解一元二次不等式．
的題目中．
（3）了解簡單的分式、絕對值
不等式的解法．
復習目標：
1、理解二次函數的圖象和性質，能用二次函數、方程、不等式之間的關系解決簡單問題.
2、會結合二次函數的圖象，判斷一元二次方程實根的存在性及實根的分布問題.
3、能借助二次函數求解二次不等式，類比會求高次方程和絕對值不等式.
知識點 1：一元二次不等式
2
一元二次不等式 ax + bx + c > 0(a 0)，其中D = b2 - 4ac 2， x1, x2 是方程 ax + bx + c > 0(a 0)的
兩個根，且 x1 < x2
（1）當 a > 0時，二次函數圖象開口向上．
（2）①若D > 0，解集為 x | x > x2或x < x1 ．
②若D = 0 ì，解集為 íx | x
b
R x - ü且
2a
．

③若D < 0，解集為 R ．
（2） 當 a < 0 時，二次函數圖象開口向下．
①若D > 0，解集為 x | x1 < x < x2
②若D 0，解集為
【診斷自測】不等式 ax2 + bx - 3 < 0的解集是 - ,1 3, + ，則b - a的值是（ ）
A．-3 B．3 C．-5 D．5
知識點 2：分式不等式
f (x)
（1） > 0 f (x)gg(x) > 0
g(x)
f (x)
（2） < 0 f (x)gg(x) < 0
g(x)
f (x) ì f (x)gg(x) 0
（3） 0
g(x) í g(x) 0
f (x) ì f (x)gg(x) 0
（4） 0
g(x) í g(x) 0
x + 3 x - 2
【診斷自測】不等式 ≥0的解集為（ ）
x -1
A． -3,1 2,+ B． - , -3 U 1,2 C． -3,1 U 1,2
D． - , -3 2,+
知識點 3：絕對值不等式
（1） f (x) > g(x) [ f (x)]2 > [g(x)]2
（2） f (x) > g(x)(g(x) > 0) f (x) > g(x)或f (x) < -g(x) ；
f (x) < g(x)(g(x) > 0) -g(x) < f (x) < g(x) ；
（3）含有兩個或兩個以上絕對值的不等式，可用圖象法和零點分段法求解.
1
【診斷自測】（2024·高三·山西忻州·期末）不等式 | x |> 的解集是 ．
x
解題方法總結
1、已知關于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集為 (m，n)，解關于 x 的不等式 cx2 + bx + a 0．
ax2 bx 1 1由 + + c > 0 的解集為 (m，n)，得： a( )2 + b + c 0的解集為 ( 1 1- ， ]U [ ，+ ) 即關于 x 的
x x n m
cx2 1 1不等式 + bx + a 0的解集為 (- ， ]U [ ，+ ) ．
n m
2、已知關于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集為 (m，n)（其中mn > 0），解關于 x 的不等式
cx2 + bx + a > 0 ．
由 ax2 + bx + c > 0 1的解集為 (m，n)，得： a( )2 b 1+ + c > 0 的解集為 (1 1， ) ，即關于 x 的不等式
x x n m
cx2 + bx + a > 0 1 1的解集為 ( ， ) ．
n m
3、已知關于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集為 (m，n)，解關于 x 的不等式 cx2 - bx + a 0．
ax2 bx c 0 (m n) a(1 )2 b 1 c 0 ( 1 1由 + + > 的解集為 ， ，得： - + 的解集為 - ，- ]U [- ，+ ) 即關于 x
x x m n
的不等式 cx2 - bx + a 0 1 1的解集為 (- ，- ]U [- ，+ ) ，以此類推．
m n
4、已知關于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集為 (m，n)（其中 n > m > 0），解關于 x 的不等式
cx2 - bx + a > 0．
由 ax2 + bx + c 0 1 1 1 1> 的解集為 (m，n)，得： a( )2 - b + c > 0的解集為 (- ，- ) 即關于 x 的不等式
x x m n
cx2 - bx 1 1+ a > 0的解集為 (- ，- ) ．
m n
ìa > 0
5、已知關于 x 的一元二次不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集為 R ，則一定滿足 í ；
D < 0
ìa < 0
6、已知關于 x 的一元二次不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集為 ，則一定滿足 í ；
D 0
ìa < 0
7、已知關于 x 的一元二次不等式 ax2 + bx + c < 0的解集為 R ，則一定滿足 í ；
D < 0
ìa > 0
8、已知關于 x 的一元二次不等式 ax2 + bx + c < 0的解集為 ，則一定滿足 í ．
D 0
題型一：不含參數一元二次不等式的解法
【典例 1-1】（2024·上海嘉定·一模）不等式 x 2 - x - 6 < 0 的解集為 ．
【典例 1-2】不等式 ax2 + bx + c > 0的解集是 (1, 2) ，則不等式 cx 2 + bx + a > 0 的解集是（用集合表
示） ．
【方法技巧】
解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相應方程根，將根標在 軸上，結合圖象，寫出其解集.
【變式 1-1】不等式 x2 - 3x -18 > 0的解集是 ．
【變式 1-2】一元二次不等式-x2 + 2x + 3 < 0 的解集為 .
題型二：含參數一元二次不等式的解法
【典例 2-1】設函數 f (x) = ax2 + (1- a)x + a - 2(a R)
(1)若不等式 f (x) -2對一切實數 x 恒成立，求 a 的取值范圍；
(2)解關于 x 的不等式： f (x) < a -1．
【典例 2-2】已知關于 x 的一元二次不等式 ax2 + x + b > 0 的解集為 - , -2 U 1, + ．
(1)求 a和b 的值；
(2)求不等式 ax2 - 2a + b + 2 x +1- c2 < 0 的解集．
【方法技巧】
(1)根據二次項系數為正、負及零進行分類討論．
(2)根據判別式Δ與 0 的關系判斷根的個數，數形結合處理．
(3)有兩個根時，還需要根據兩根的大小進行討論，注意分類討論．
2
【變式 2-1】已知函數 f x = x - 2ax + 3．
(1)若關于 x 的不等式 f x 0的解集為 R，求實數 a 的取值范圍；
(2)解關于 x 的不等式 f x < 0 ．
【變式 2-2】解關于實數 x 的不等式： x2 - ax +1 < 0．
【變式 2-3】設函數 f (x) = x2 +1 - ax ，其中 a > 0．解不等式 f (x) 1；
題型三：三個二次之間的關系
【典例 3-1】（2024·高三·云南德宏·期末）已知關于 x 的不等式 x2 - ax + b 0的解集為 x 2 x 3 ，
則關于 x 的不等式 x2 - bx + a < 0的解集為（ ）
A． x 2 < x < 3 B． x 1< x < 3
C． x 2 < x < 5 D． x 1< x < 5
【典例 3-2】已知 ax2 + bx + c > 0的解集為{x | -1< x < 2}，則不等式a x2 +1 + b(x -1) + c < 2ax的解集
為（ ）
A．{x | 0 < x < 3} B．{x | x > 0}
C．{x | x < 0 或 x > 3} D．{x | x > 3}
【方法技巧】
1、一定要牢記二次函數的基本性質．
2、含參的注意利用根與系數的關系找關系進行代換．
1 1
【變式 3-1】若不等式 ax2 + 2x + c < 0的解集是 (- , - ) ( , + )，則不等式 cx2 - 2x + a 0的解集是3 2
（　 ）
é 1 , 1 1 1A． ê-
ù
B é． - , ù
2 3 ú ê 3 2 ú
C． -2,3 D． -3,2
【變式 3-2】（多選題）不等式 x2 + ax + b 0(a,b R) 的解集為{x | x1 x x2}，且 x1 + x2 2 .以下結論
錯誤的是（ ）
A． a + 2b 2 B． a + 2b 2 C． | a | 1 D．b 1
【變式 3-3】（多選題）已知關于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0的解集是{x∣1 < x < 3}，則（ ）
A． a < 0
B． a + b + c = 0
C． 4a + 2b + c < 0
D．不等式 cx2 - bx + a < 0的解集是{x∣x
1
< -1或 x > - }
3
題型四：分式不等式以及高次不等式的解法
x - 3
【典例 4-1】（2024·高三·上海楊浦·期中）關于 x 的不等式 0的解集是 .
x
x2 - 2x - 3
【典例 4-2】已知關于 x 的不等式 2 < 0的解集是 (- , -1) (3,+ )，則實數m 的mx + 2(m +1)x + 9m + 4
取值范圍是 ．
【方法技巧】
分式不等式化為二次或高次不等式處理．
3x + 5
【變式 4-1】（2024·上海浦東新·模擬預測）不等式 x的解集是 ．
x -1
【變式 4-2】（2024·上海青浦·二模）已知函數 y = ax2 + bx + c的圖像如圖所示，則不等式
ax + b bx + c cx + a < 0的解集是 .
【變式 4-3】不等式 x + x3 0的解集是 ．
題型五：絕對值不等式的解法
【典例 5-1】（2024·高三·上海長寧·期中）不等式 x -1 x + 2 < 0的解集為 .
【典例 5-2】（2024·上海青浦·二模）不等式 | x - 2 |>1的解集為 ．
【方法技巧】
（1） f (x) > g(x) [ f (x)]2 > [g(x)]2
（2） f (x) > g(x)(g(x) > 0) f (x) > g(x)或f (x) < -g(x) ；
f (x) < g(x)(g(x) > 0) -g(x) < f (x) < g(x) ；
（3）含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點分段法和圖象法求解
【變式 5-1】（2024·上海虹口·模擬預測）不等式 x + 2023 - x < 2023的解集為 .
【變式 5-2 x2】不等式 - 2x > 4的解集是 ．
題型六：二次函數根的分布問題
lnx 1
【典例 6-1】已知函數 f x = ，關于 x 的方程 f x - = mf x 有三個不等的實根，則實數m 的取x
值范圍是 .
【典例 6-2】若關于 x 2的一元二次方程 x + 3a -1 x + a + 8 = 0有兩個不相等的實根 x1, x2 ，且
x1 <1, x2 >1．則實數 a 的取值范圍為 ．
【方法技巧】
解決一元二次方程的根的分布時，常需考慮：判別式，對稱軸與所給區間的位置關系，區間端點處函
數值的符號，所對應的二次函數圖象的開口方向．
【變式 6-1】已知一元二次方程 x2 - mx +1 = 0的兩根都在 (0,2)內，則實數m 的取值范圍是（ ）
2, 5 é 5 5 5A é ． 2 ÷
B． ê2, ÷ C． - ,-2 è 2 ê
2, ÷ D． - ,-2 2, ÷
2 è 2
【變式 6-2】已知函數 f xx = 2x ，若關于 x 的方程 f x - mf x - m +1 = 0恰有 4 個不相等的實數根，e
則實數m 的取值范圍是（ ）
1 1 2 2
A． 1,1+ ÷ B． 1- ,1

÷ C． 1,
e +1 e +1
D． ,1

è e è e è e
2 -1÷ e2 + e ÷ è
【變式 6-3】已知關于 x 的方程 x2 + x + m = 0在區間 1,2 內有實根，則實數m 的取值范圍是（ ）
A．[-6,-2] B． (-6,-2) C． (- , -6] [-2,+ ) D． (- ,-6) U (-2,+ )
題型七：一元二次不等式恒（能）成立問題
【典例 7-1】已知關于 x 的不等式 2x -1 > m(x2 -1) .
(1)是否存在實數m ，使不等式對任意 x R 恒成立，并說明理由；
(2)若不等式對于m -2,2 恒成立，求實數 x 的取值范圍；
(3)若不等式對 x [2,+ )有解，求m 的取值范圍.
【典例 7-2】（2024·陜西西安·模擬預測）當1 x 2時，不等式 x2 - ax +1 0恒成立，則實數 a的取
值范圍是 ．
【方法技巧】
恒成立問題求參數的范圍的解題策略
（1）弄清楚自變量與參數．
（2）一元二次不等式在 R 上恒（能）成立，可用判別式D，一元二次不等式在給定的某個區間上恒
（能）成立，不能用判別式D，一般分離參數求最值或分類討論處理．
3
【變式 7-1】當 x -1,1 時，不等式2kx2 - kx - < 0恒成立，則 k 的取值范圍是（ ）
8
3,0 3,0 3, 1 1A - B - C - ù． ． ． 8 ÷ D． -3,è è 8 ú
【變式 7-2】已知函數 f x = 2x2 - ax + a2 - 4 g x = x2， - x + a2 31- ， a R
4
(1)當 a =1時，解不等式 f x > g x ；
(2)若任意 x > 0，都有 f x > g x 成立，求實數 a的取值范圍；
(3)若"x1 0,1 ，$x2 0,1 ，使得不等式 f x1 > g x2 成立，求實數 a的取值范圍.
【變式 7-3】若存在實數 a,b，對任意實數 x 0,1 ，不等式 x3 - m ax + b x2 恒成立，則實數 m 的取
值范圍是 .
【變式 7-4】已知函數 f (x) = x2 + ax + b，若對任意 x 1,5 , f x 2，則所有滿足條件的有序數對
a,b 是 ．
題型八：解含參型絕對值不等式
2
【典例 8-1】已知關于 x 的不等式 x - 2 + x + 2 a - 3a有實數解，則實數 a的取值范圍是 .
【典例 8-2】若存在實數 x 使得不等式 | x +1| + | x - a | 2成立，則實數 a的取值范圍是 ．
【方法技巧】
含參型絕對值不等式 ，可用零點分段法和圖象法求解.
【變式 8-1】若關于 x 的不等式 x +1 < 6 - x - m 的解集為 ，則實數 m 的取值范圍是
【變式 8-2】（2024 2·上海長寧·二模）若對任意 x [1,2]，均有 x - a + | x + a |= x2 + x ，則實數 a 的取
值范圍為 ．
題型九：解不等式組型求參數問題
ìx2 - ax + 4 0
【典例 9-1】設集合 A = {x |1 x 3}

，集合 B 為關于 x 的不等式組 í 2 2 的解集，
x - 2b + 3 x + b + 3b 0
若 A B ，則 a + b 的最小值為（ ）
16 13
A．6 B． C．5 D．
3 3
ìx2 - 4x + 3 < 0
【典例 9-2】（2024·高三·山東菏澤·期中）已知不等式組 í 的解集是關于 x2 的不等式
x - 6x + 8 < 0
x2 - 3x + a < 0的解集的子集，則實數 a 的取值范圍為（ ）
A．a≤0 B．a<0 C．a≤-1 D．a<-2
【方法技巧】
求不等式(組)參數的問題，往往要利用不等式的性質、不等式(組)的解集，建立對應關系后求解.
ìx2 - 2x - 3 0
【變式 9-1】（2024·高三·山西呂梁·開學考試）若不等式組 í 2 的解集是空集，則
x + 4x - (1+ a) 0
實數 a的取值范圍是 .
ìx2 - 2x - 3 0
【變式 9-2】若不等式組 íx2 4x 1 a 0的解集不是空集，則實數 a 的取值范圍是（ ） + - +
A． (- , -4] B．[-4,+ ) C．[-4,20] D．[-40,20)
題型十：不等式組整數解求參數問題
ì-x2 + 4x + 5 < 0
【典例 10-1】已知關于 x 的不等式組 í2x2 5x 2x 5 k 的解集中存在整數解且只有一個整數解， + < - +
則 k 的取值范圍為 .
2
【典例 10-2】關于 x 的不等式 ax -1 < x2 恰有 2 個整數解，則實數 a 的取值范圍是（ ）
A
3
- , -1 1, 3 B
3
． ÷ ÷ ． - ,
4 4 3
- ù é
è 2 è 2 è 2 3 ú ê
,
3 2 ÷
C
3
- , -1ù é 3 3 4 4 3． ú ê1, ÷ D． - , -

2 2 ÷
, ÷
è è 2 3 è 3 2
【方法技巧】
不等式組整數解求參數問題通常使用分類討論與數形結合處理.
ì
x x
2 - 2x -8 > 0
【變式 10-1】已知關于 的不等式組 í 2 僅有一個整數解，則 k 的取值范圍為（ ）
2x + (2k + 7)x + 7k < 0
A． x - 5 < x < 3或 4 < x < 5 B． x - 5 x < 3或 4 < x 5
C． x - 5 < x 3或 4 x < 5 D． x - 5 x 3或 4 x 5
ì-24 < x <100,
【變式 10-2】若關于 x 的不等式組 í 36 a
x
2 - 2ax 3a2 0 的整數解共有 個，則正數 的取值范圍-
是 .
【變式 10-3】設集合 A = x | x2 + 2x - 3 > 0 ，集合B = x | x2 - 2ax -1 0,a > 0 若 A B 中恰有一個整
數，則實數 a 的取值范圍（ ）
0, 3A
é 3 , 4 é 3 ． ÷ B． ê ÷ C． ê , + ÷ D． (1, + )è 4 4 3 4
1．（2014 年全國普通高等學校招生統一考試數學（江蘇卷））已知函數 f (x) = x2 + mx -1，若對于任意
的 x m, m +1 都有 f (x) < 0，則實數m 的取值范圍為 .
2．（2007 年普通高等學校招生全國統一考試理科數學卷（北京））已知集合 A = x | x - a 1 ，
B = x | x2 - 5x + 4 0 ．若 A B = ，則實數 a的取值范圍是 ．
3．（2019 年天津市高考數學試卷（文科）） 設 x R ，使不等式3x2 + x - 2 < 0成立的 x 的取值范圍
為 .
1 2
3
．當 k 取什么值時，一元二次不等式2kx + kx - < 0對一切實數 x 都成立.
8
2． x 是什么實數時，下列各式有意義？
（1） x2 - 4x + 9 ；
（2） -2x2 +12x -18 .
3．如圖，據氣象部門預報，在距離某碼頭南偏東 45°方向 600km 處的熱帶風暴中心正以 20km/h 的速
度向正北方向移動，距風暴中心 450km 以內的地區都將受到影響.據以上預報估計，從碼頭現在起多長時間
后，該碼頭將受到熱帶風暴的影響，影響時間大約為多長（精確到 0.1h）？
4．一名同學以初速度 v0 =12m / s豎直上拋一排球，排球能夠在拋出點 2m 以上的位置最多停留多長時
間（精確到0.01s ）？
易錯點：解含參數不等式時分類討論不恰當
易錯分析： 含參數不等式的解法是不等式問題的難點．解此類不等式時一定要注意對字母分類討論，
討論時要做到不重不漏，分類解決后，要對各個部分的結論按照參數由小到大進行整合．
【易錯題 1】當 a <1時，解關于 x 的不等式 (ax -1)(x -1) < 0 .
【易錯題 2】解關于實數 x 的不等式： x2 - (a +1)x + a < 0 ．
答題模板：一元二次不等式恒成立問題
1、模板解決思路
結合對應二次函數的圖象，數形結合羅列關于參數的不等式．對于在定區間上恒成立的問題，可以分
離參數轉化為函數的最值問題，不要漏掉考慮函數圖象的對稱軸和區間端點的關系．
2、模板解決步驟
第一步：將不等式恒成立問題轉化為對應函數圖象的問題．
第二步：列出不等式（組），一定要注意二次項系數如果含參數時就需要進行分類討論．
第三步：解不等式求解參數的范圍．
【典例 1】已知函數 f x = x2 - 2ax - a -1， a R .
(1)當 a =1時，解不等式 f x 6 ；
(2)若$x0 0,2 ，使得 f x0 > 0，求實數 a的取值范圍.
【典例 2】（1）若"x R ，ax2 - ax +1> 0，求實數 a 的取值范圍；
（2）若$a -2, -1 ，ax2 - ax +1> 0，求實數 x 的取值范圍．

展開更多......

收起↑