資源簡介

第 05 講 對數與對數函數
目錄
01 考情透視·目標導航..........................................................................................................................2
02 知識導圖·思維引航..........................................................................................................................3
03 考點突破·題型探究..........................................................................................................................4
知識點 1：對數式的運算 ............................................................................................................................................4
知識點 2：對數函數的定義及圖像 ............................................................................................................................5
解題方法總結 ...............................................................................................................................................................5
題型一：對數式的運算 ...............................................................................................................................................6
題型二：對數函數的圖象及應用 ...............................................................................................................................6
題型三：對數函數過定點問題 ...................................................................................................................................7
題型四：比較對數式的大小 .......................................................................................................................................8
題型五：解對數方程或不等式 ...................................................................................................................................9
題型六：對數函數的最值與值域問題 .......................................................................................................................9
題型七：對數函數中的恒成立問題 .........................................................................................................................10
題型八：對數函數的綜合問題 .................................................................................................................................11
04 真題練習·命題洞見........................................................................................................................13
05 課本典例·高考素材........................................................................................................................13
06 易錯分析·答題模板........................................................................................................................15
易錯點：無視對數函數中底數和真數的范圍 .........................................................................................................15
答題模板：對數型復合函數的單調問題 .................................................................................................................15
考點要求 考題統計 考情分析
2024年 II卷第 8題，5分
2024年北京卷第 7題，4分 從近五年的高考情況來看，對數運算與對
2024年天津卷第 5題，5分 數函數是高考的一個重點也是一個難點，
（1）對數的概念及運算性質
2023年北京卷第 11題，5分 常與二次函數、冪函數、指數函數、三角
（2）對數函數的圖象
2023年 I卷第 10題，5分 函數綜合，考查數值大小的比較和函數方
（3）對數函數的性質
2022年天津卷第 6題，5分 程問題.在利用對數函數的圖像與性質應用
2022年浙江卷第 7題，5分 上，體現了邏輯推理與數學運算素養.
2022年 I卷 I卷第 7題，5分
復習目標：
（1）理解對數的概念及運算性質，能用換底公式將一般對數轉化成自然對數或常用對數.
（2）通過實例，了解對數函數的概念，會畫對數函數的圖象，理解對數函數的單調性與特殊點.
（3）了解指數函數 y = a x與對數函數 y = loga x ( a > 0，且 a 1)互為反函數．
知識點 1：對數式的運算
(1)對數的定義：一般地，如果 a x = N (a > 0且 a 1) ，那么數 x 叫做以 a 為底 N 的對數，記作
x = loga N ，讀作以 a 為底 N 的對數，其中 a 叫做對數的底數， N 叫做真數．
(2)常見對數：
①一般對數：以 a(a > 0且 a 1) 為底，記為 logNa ，讀作以 a 為底 N 的對數；
②常用對數：以10為底，記為 lg N ；
③自然對數：以 e為底，記為 ln N ；
(3) 對數的性質和運算法則：
① log1a = 0； log
a
a =1；其中 a > 0且 a 1；
② alog
N
a = N (其中 a > 0且 a 1， N > 0 )；
log
③ c
b
對數換底公式： loga b = log a ；c
④ loga (MN ) = loga M + loga N ；
⑤ log
M
a = loga M - logN a
N ；
⑥ log bn
n
m = loga b(m， n R)a ； m
⑦ aloga b = b和 log aba = b；
1
⑧ loga b = log a ；b
【診斷自測】（2024·青海·模擬預測）若 a = log3 5，5b = 6，則 ab - log3 2 =（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
知識點 2：對數函數的定義及圖像
(1)對數函數的定義：函數 y = loga x (a > 0且 a 1) 叫做對數函數．
(12)對數函數的圖象與性質
a >1 0 < a <1
y x=1 y x=1
log x
圖象 a (1,0)
O (1,0) x O xlogax
定義域： (0，+ )
值域： R
過定點 (1，0) ，即 x =1時， y = 0
性質
在 (0，+ ) 上增函數 在 (0，+ ) 上是減函數
當 0 < x <1時， y < 0， 當 0 < x <1時， y > 0，
當 x 1時， y 0 當 x 1時， y 0
1
【診斷自測】（2024·廣東深圳·二模）已知 a > 0，且 a 1，則函數 y = loga x + ÷ 的圖象一定經過（a ）è
A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限
解題方法總結
1、對數函數常用技巧
在同一坐標系內，當 a >1時，隨 a 的增大，對數函數的圖象愈靠近 x 軸；當 0 < a <1時，對數函數的
圖象隨 a 的增大而遠離 x 軸．(見下圖)
y
logax1
x a增大
1 loga2
x
O 1
logax3 a增大
log xa4
題型一：對數式的運算
【典例 1-1】已知 log2 3 = a， 2b = 5則 log12 45 = .（用含 a,b的式子表示）
【典例 1-2】（2024·重慶·三模）若正實數 a，b 滿足 lga 2 + lgb 2 = lg50 ， lga × lgb = lg 2 ，則
ab lg ab = .
【方法技巧】
對數的有關運算問題要注意公式的正用、逆用及變形等應用．
【變式 1-1】化簡下列各式：
(1) 4lg2 + 3lg5 lg
1
- ；
5
(2) 2log 2 log
32
3 - 3 + log38 - 5
log5 3 .
9
【變式 1-2】已知 7a = 3， log7 2 = b，則 log49 48 = .（用 a,b表示）
x y z 1 3 1【變式 1-3】（2024·全國·模擬預測）已知2 = 3 = 4 = 6，則 + + =x y z ．
題型二：對數函數的圖象及應用
【典例 2-1】已知函數① y＝logax；② y＝logbx；③ y＝logcx；④ y＝logdx 的大致圖象如圖所示，則下列
不等關系正確的是（　　）
A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋c
C．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c
【典例 2-2】（2024·江蘇揚州·模擬預測）設方程 2x + x + 3 = 0 和方程 log2x + x + 3 = 0的根分別為 p, q，設函
數 f x = x + p x + q ，則（ ）
A． f 2 = f 0 < f 3 B． f 0 = f 3 > f 2
C． f 3 < f 2 = f 0 D． f 0 < f 3 < f 2
【方法技巧】
對于有關對數型函數的圖象問題，一般是從最基本的對數函數的圖象入手，通過伸縮、平移、對稱等
變換得到，當 a >1時，對數函數的圖像呈上升趨勢；當0 < a <1時，對數函數的圖像呈下降趨勢.
【變式 2-1】（多選題）（2024·河南信陽·模擬預測）函數 f x = loga x +1 0 < a <1 的大致圖象不可能為
（ ）
A． B．
C． D．
【變式 2-2】（2024·高三·江西南昌·開學考試）已知函數 y = ex 和 y = lnx的圖象與直線 y = 2 - x交點的橫坐
標分別為 a，b ，則（ ）
A． a > b B． a + b < 2 C． ab >1 D．a2 + b2 > 2
ì1- log3x,0【變式 2-3】（2024·高三·上海·期末）已知定義在 0, + 上的函數 f (x)= ílog3x- 1,3
4- x ,x>9
互不相同的實數，滿足 f a = f b = f c ，則 abc的取值范圍為 .
【變式 2-4】（2024·高三·北京·開學考試）已知函數 f (x) =| ln | x -1|| -kx + 2，給出下列四個結論：
① $k <1，使得 f x 有兩個零點；
②若 k =1，則 f x 有兩個零點；
③ $k >1，使得 f x 有兩個零點：
④ $k >1，使得 f x 有三個零點；
以上正確結論的序號是 .
【變式 2-5】已知函數 f x = lg x ，若0 < a < b且 f a = f b ，則a + 2b的取值范圍為 .
題型三：對數函數過定點問題
【典例 3-1】函數 y = loga x +1 ( a > 0且 a 1)的圖象必經過一個定點，則這個定點的坐標是（ ）
A．( 0, 1) B． (1, 2) C． 1,1 D． 1,0
【典例 3-2】函數 y = loga x + a
x-1 + 2 （ a > 0且 a 1）的圖象恒過定點 k,b ，若m + n = b - k 且m > 0，
9n + m
n > 0，則 的最小值為（ ）
mn
5
A．9 B 8 C
9
． ． D．
2 2
【方法技巧】
loga (x - m) + n恒過定點 (m +1, n) ．
【變式 3-1】函數 y = loga x + 2 -1 a > 0,a 1 的圖象恒過定點A ，若點A 在直線mx + ny +1 = 0上，其中
m > 0, n > 0 1 2，則 + 的最小值為（ ）
m n
A．3+ 2 2 B．3 C．7 D．4
【變式 3-2】已知直線 y = mx + 2n經過函數 f x = loga x -1 + 2 圖象過的定點（其中m, n均大于 0），則
1 1
+ 的最小值為（ ）
m n
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式 3-3】（2024·安徽安慶·模擬預測）已知函數 f x = log2 ax + b a > 0,b > 0 恒過定點 2,0 ，則
b 1
+ 的最小值為（ ）．
a b
A． 2 2 +1 B． 2 2 C．3 D． 2 + 2
題型四：比較對數式的大小
3
【典例 4-1】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）設 a = log 3，b = 0.30.22 ， c = ，則（ ）2
A． a < c < b B． a < b < c C．b【典例 4-2】已知 a = log4 2，b = log53， c = log4 2 log53 ，則 a，b ， c的大小關系為（ ）
A． c > a > b B． c > b > a C． a > b > c D．b > a > c
【方法技巧】
比較大小問題，常利用函數的單調性及中間值法．
【變式 4-1】（2024·天津·二模）設 a = log23,b =1.3
0.9 ,0.9c =1.3，則 a,b,c的大小關系為（ ）
A． a < b < c B．bC． c < b < a D． c【變式 4-2】（2024·寧夏銀川·三模）已知 a = 0.20.5 ，b = cos2 ， c = lg15，則（ ）
A． a < b < c B． c < a < b
C．b < c < a D．b < a < c
5
【變式 4-3】（2024·青海西寧·模擬預測）已知 a = ln3，b = ， c = e0.3，則（ ）4
A． a < b < c B． a < c < b C．b < a < c D． c < a < b
a
【變式 4-4】（2024·江西·模擬預測）若 ae = b ln b a > 0 ，則（ ）
A． a < b B． a = b C． a > b D．無法確定
題型五：解對數方程或不等式
【典例 5-1】方程 lg(2 - x) + lg(3 - x) = lg12的解是 .
5-2 27x【典例 】不等式 + 7 log5 36x +1 < 23的解集為 ．
【方法技巧】
2
（1）對于形如 loga f (x) = b
b
的形式，利用b = loga a 轉化；對于形如 loga x + B × loga x + C = 0
的形式，可借助換元法轉化為二次方程求解.
（2）解對數不等式，也是利用對數函數的單調性將不等式轉化為比較真數之間的不等式，再解這個
不等式即可．
x
【變式 5-1】不等式3 + log3 x > 3的解集是 ．
【變式 5-2】方程： 2x +1 = log 1- 2 ×3x3 的解是 .

【變式 5-3】不等式 log
1
1 + 2 -1÷÷ > 0的解集是 .
2 è x
2 ex5-4 + e
- x 7-
【變式 】不等式 ln 2 < 0 的解集是 .
ex + e- x -1
x
【變式 5-5】由函數的觀點，不等式 log3x < 3- 3 的解集是 .
題型六：對數函數的最值與值域問題
2 1
【典例 6-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = loga x - ax +1 在區間 , 2÷上有最大值或最小值，
è 4
則實數 a的取值范圍為（ ）
1
A． , 2
1
÷ B． ,1

÷ U 1,2
1
C． ,1
1,4 1 D． ,1 U 1,2
è 4 è 2 è 4 ÷ 4 ÷ è
【典例 6-2】已知函數 f x = log3 -x2 + 4x + a -1 的最大值為 2，則a = ．
【方法技巧】
對數函數的最值與值域問題通常利用對數函數的單調性解決.
【變式 6-1】若函數 f x = loga -x2 - 2x + 3 （ a > 0且 a 1）的最小值為－4，則實數 a 的值為 .
【變式 6-2】已知函數 f x = log x2a - ax + 4 ( a > 0且 a 1).
(1)當 x 0,2 時，函數 f x 恒有意義，求實數 a的取值范圍；
(2)是否存在這樣的實數 a，使得函數 f x 在區間 1,2 上為減函數，且最大值為1？如果存在，試求出 a的
值；如果不存在，請說明理由．
2
6-3 f x x + lnx m g x 1+ x
3lnx
【變式 】已知函數 = 3 2 的最大值為 ，則函數 = 的最小值為 （結果用mx + x 1+ x
表示）
a2x + t
【變式 6-4】已知函數 f x = x (a > 0 且 a 1)是奇函數．a
(1)求 t的值；
(2)若 0 < a < 1，對任意 x [0,1]有 f (2x2 - kx - k) < f 1 恒成立，求實數 k 的取值范圍；
(3)設 g x = log 2x -2x x 1m[a + a - m(a - x )](m > 0, m 1) f 1
3
，若 = 2 ，問是否存在實數
m 使函數 g x 在[0,1]
a
上的最大值為 0？若存在，求出m 的值；若不存在，說明理由．
題型七：對數函數中的恒成立問題
【典例 7-1 2x x】已知函數 f x = ln e + e + a - 2 ，若對任意 x2 > x1 > 0 都有 f (x1) - f (x2 ) < x1 - x2 ，則實數 a
的取值范圍是（ ）
A． 0, + B． 0, + C． 0,3 D． 0,3
7-2 x2
1
【典例 】若不等式 - loga (x +1) < 2x -1在 x

，1

÷上恒成立，則實數 a 的取值范圍為（2 ）è
é16 1 16 A． ê ，÷ B． ，1 81 è 81 ÷
1 81ù 3 81ùC． ， D．16 ú
，
è è 2 16 ú
【方法技巧】
已知不等式能恒成立求參數值(取值范圍)問題常用的方法：
（1）函數法：討論參數范圍，通常借助函數單調性求解；
（2）分離參數法：首先將參數分離，轉化成求函數的最值或值域問題加以解決；
（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的
圖象，再利用數形結合的方法來解決．
【變式 7-1】已知函數 f (x) = -x2 - 4x + 6， g(x) = loga x(a > 0且 a 1)，若對任意的 x2 3,5 ，存在
x 31
é- ,1ùê 2 ú
，使得 f (x1) < g(x2 )成立，則實數 a的取值范圍是 .

1
【變式 7-2 x】已知 a > 0且 a 1，當 0 < x 時，-log2x > a ，則 a的取值范圍為 .4
x
【變式 7-3】已知函數 f x 2 +1= x 為奇函數．2 + a
(1)求實數 a 的值；
(2)判斷函數 f x 的單調性（不用證明）；
x x
(3)設函數 g(x) = log2 × log2 + m，若對任意的 x1 [2,8]，總存在 x2 4 2
(0,1]，使得 g x1 = f x2 成立，求實
數 m 的取值范圍．
題型八：對數函數的綜合問題
8-1 2024· · f x = xlnx -1 x g x = ex【典例 】（ 四川南充 模擬預測）函數 的零點為 1，函數 x -1 - e的零點為
x2，則下列結論正確的是（ ）
x 1A． e 2 × lnx1 = e
2 B x2 -1． e + > 2x1
1
C． lnx1 - x2 =1 D． x2 + 21+ lnx1
ìlg 3- x 2 + , -3 < x < 0
【典例 8-2】（2024·云南·二模）已知函數 f x 3+ x x - 3的定義域為 -3,3 ，且 f x = í 3 x 2 若 lg + - ,0 x < 3
3- x x + 3
3 f [x(x - 2)] + 2 > 0 ，則 x 的取值范圍為（ ）
A． (-3,2) B． (-3,0) (0,1) (1,2)
C． (-1,3) D． (-1,0) (0,2) (2,3)
【方法技巧】
對數函數常與其他函數形成復合函數問題，解題時要清楚復合的層次，外層是對數函數還是內層是對
數函數，其次如果涉及到定義域、值域、奇偶性、單調性等問題，則要按復合函數的性質規律求解．
ì3x , x 0
【變式 8-1】已知函數 f (x) = í ， g(x) =| x(x - 4) |，則 f (g(2)) = ．若方程
log8 x, x > 0
f (g(x)) + g(x) - m = 0的所有實根之和為 4，則實數 m 的取值范圍是 ．
lg(x -1) , x >1 2
【變式 8-2】設定義域為 R 的函數 f (x) = { ，若關于 x 的方程 2 é f x ù + 2bf x +1 = 0有 8 個
-x2 +1, x 1
不同的實根，到實數 b 的取值范圍是 .
2x x 2
【變式 8-3】已知函數 f x = 2 - 3 × 2 , g x = loga x -1 - loga x .
(1)求 g x 的定義域；
é ù
(2)若"x1 0,1 , x
5
2 ê , 2 ú , f x1 > g x2 ，求 a的取值范圍.
2
【變式 8-4】（2024·廣東佛山·模擬預測）已知x ，x 分別是關于 x 的方程 x ln x = 2023， xex1 2 = 2023的根，
則下面為定值 2023 的是（ ）
x
A 1． x1 + x2 B． x1 - x2 C． x1x2 D． x E．均不是2
f x a 1 1 【變式 8-5】給出函數 =
è x ×2x
+ ÷ - ln 4x + 2，- x 2x
(1)若 a = 0，求不等式 f x > 2 - ln2的解集；
(2)若 a > 0，且 f 3t -1 > f t - 2 ，求 t的取值范圍；
(3)若 a = 0
1 1
，非零實數m ，n滿足 f m + 2 2
n2
= f n - 2 ，求證：m m - n > 2 .
1．（2024 年新課標全國Ⅱ卷數學真題）設函數 f (x) = (x + a) ln(x + b)，若 f (x) 0，則 a2 + b2 的最小值為
（ ）
1 1
A B C 1． ． ． 2 D．18 4
d S -12．（2024 年北京高考數學真題）生物豐富度指數 = 是河流水質的一個評價指標，其中 S , N 分別表
ln N
示河流中的生物種類數與生物個體總數.生物豐富度指數 d 越大，水質越好．如果某河流治理前后的生物種
類數S沒有變化，生物個體總數由 N1變為 N2 ，生物豐富度指數由 2.1提高到3.15，則（ ）
A．3N2 = 2N1 B． 2N2 = 3N1
C N 2． 2 = N
3 D N 31 ． 2 = N
2
1
3．（2022 年新高考天津數學高考真題）化簡 2log4 3 + log8 3 log3 2 + log9 2 的值為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
1 0.74．（2022 年新高考天津數學高考真題）已知 a = 20.7 b =
1
， ÷ ， c = log2 ，則（ ）
è 3 3
A． a > c > b B．b > c > a C． a > b > c D． c > a > b
1．我們可以把 (1+1%)365 看作每天的"進步”率都是 1%，一年后是1.01365 ；而把 (1-1%)365看作每天的“落后”
率都是 1%，一年后是0.99365 .利用計算工具計算并回答下列問題：
（1）一年后“進步”的是“落后”的多少倍？
（2）大約經過多少天后“進步”的分別是“落后”的 10 倍、100 倍、1000 倍？
2．酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為，為了保障交通安全，根據國家有關規定：100mL血液中酒精含
量達到 20 - 79mg 的駕駛員即為酒后駕車，80mg 及以上認定為醉酒駕車，假設某駕駛員喝了一定量的酒后，
其血液中的酒精含量上升到了1mg / mL .如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時30%的速度減
少，那么他至少經過幾個小時才能駕駛？（參考數據 lg7 0.845， lg 2 0.301）
1 a 1
3．已知 loga <1
1
， ÷ <1，2 è 2 a
2 < 1求實數 a 的取值范圍.
4．比較下列各題中三個值的大小:
(1) log0.2 6, log0.3 6, log0.4 6 ;
(2) log2 3, log3 4, log4 5 .
5．假設有一套住房的房價從 2002 年的 20 萬元上漲到 2012 年的 40 萬元,下表給出了兩種價格增長方式,其
中P1是按直線上升的房價, P2 是按指數增長的房價,t 是 2002 年以來經過的年數.
t 0 5 10 15 20
P1 /萬元 20 30 40 50 60
P2 /萬元 20 20 2 40 40 2 80
(1)求函數P1 = f (t) 的解析式;
(2)求函數P2 = g t 的解析式;
(3)完成上表空格中的數據,并在同一直角坐標系中畫出兩個函數的圖象,然后比較兩種價格增長方式的差異.
易錯點：無視對數函數中底數和真數的范圍
易錯分析： 忽略“對數的真數大于 0”這一個條件導致出錯，面對這類題一定要注意真數和底數的范圍.
1 (x-4) (x-2)【易錯題 】解不等式 2log2 < log2 .
é
2 êax
2 +(a-1)x 1+ aù
【易錯題 】 y log 4 ú= 的定義域為 R ，求實數 a的取值范圍.2
答題模板：對數型復合函數的單調問題
1、模板解決思路
判斷復合函數單調性的原則是“同增異減”.
2、模板解決步驟
第一步：求函數的定義域．
第二步：將函數分解成內層函數和外層函數．
第三步：判斷內層函數和外層函數的單調性．
第四步：根據“同增異減”的原則確定復合函數的單調性．
【典例 1】若函數 f x = ln é a -1 x +1ù 在 2,3 上單調遞減，則實數 a的取值范圍是（ ）
- ,1 é2 é1 2 A． B．
ê
,1 C．
3 ÷ ê
,1÷ D． ,1÷
2 è 3
【典例 2】已知函數 f (x) = log2 (x
2 - ax + 6) 在 1,2 上單調遞減，則實數 a 的取值范圍為（ ）
A． 4,5 B． 4,5 C． - , 4 D． - , 4 U 5, +
2
【典例 3】（2024·重慶·模擬預測）若函數 f x = ln x - 2ax + 3a 在 1, + 上單調遞增，則實數 a的取值范
圍是（ ）
A． (- ,1］ B． -1,1 C． -1, + D． 1, + 第 05 講 對數與對數函數
目錄
01 考情透視·目標導航..........................................................................................................................2
02 知識導圖·思維引航..........................................................................................................................3
03 考點突破·題型探究..........................................................................................................................4
知識點 1：對數式的運算 ............................................................................................................................................4
知識點 2：對數函數的定義及圖像 ............................................................................................................................5
解題方法總結 ...............................................................................................................................................................6
題型一：對數式的運算 ...............................................................................................................................................6
題型二：對數函數的圖象及應用 ...............................................................................................................................8
題型三：對數函數過定點問題 .................................................................................................................................14
題型四：比較對數式的大小 .....................................................................................................................................16
題型五：解對數方程或不等式 .................................................................................................................................18
題型六：對數函數的最值與值域問題 .....................................................................................................................21
題型七：對數函數中的恒成立問題 .........................................................................................................................25
題型八：對數函數的綜合問題 .................................................................................................................................29
04 真題練習·命題洞見........................................................................................................................36
05 課本典例·高考素材........................................................................................................................38
06 易錯分析·答題模板........................................................................................................................40
易錯點：無視對數函數中底數和真數的范圍 .........................................................................................................40
答題模板：對數型復合函數的單調問題 .................................................................................................................41
考點要求 考題統計 考情分析
2024年 II卷第 8題，5分
2024年北京卷第 7題，4分 從近五年的高考情況來看，對數運算與對
2024年天津卷第 5題，5分 數函數是高考的一個重點也是一個難點，
（1）對數的概念及運算性質
2023年北京卷第 11題，5分 常與二次函數、冪函數、指數函數、三角
（2）對數函數的圖象
2023年 I卷第 10題，5分 函數綜合，考查數值大小的比較和函數方
（3）對數函數的性質
2022年天津卷第 6題，5分 程問題.在利用對數函數的圖像與性質應用
2022年浙江卷第 7題，5分 上，體現了邏輯推理與數學運算素養.
2022年 I卷 I卷第 7題，5分
復習目標：
（1）理解對數的概念及運算性質，能用換底公式將一般對數轉化成自然對數或常用對數.
（2）通過實例，了解對數函數的概念，會畫對數函數的圖象，理解對數函數的單調性與特殊點.
（3）了解指數函數 y = a x與對數函數 y = loga x ( a > 0，且 a 1)互為反函數．
知識點 1：對數式的運算
(1)對數的定義：一般地，如果 a x = N (a > 0且 a 1) ，那么數 x 叫做以 a 為底 N 的對數，記作
x = loga N ，讀作以 a 為底 N 的對數，其中 a 叫做對數的底數， N 叫做真數．
(2)常見對數：
①一般對數：以 a(a > 0且 a 1) 為底，記為 logNa ，讀作以 a 為底 N 的對數；
②常用對數：以10為底，記為 lg N ；
③自然對數：以 e為底，記為 ln N ；
(3) 對數的性質和運算法則：
① log1a = 0； log
a
a =1；其中 a > 0且 a 1；
② alog
N
a = N (其中 a > 0且 a 1， N > 0 )；
log b
③ c對數換底公式： loga b = log ；c a
④ loga (MN ) = loga M + loga N ；
⑤ log
M
a = loga M - logN a
N ；
⑥ log bn
n
m = loga b(m， n R)a ； m
⑦ aloga b = b和 log aba = b；
1
⑧ loga b = logb a
；
【診斷自測】（2024·青海·模擬預測）若 a = log3 5，5b = 6，則 ab - log3 2 =（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【答案】A
【解析】由5b = 6 b = log5 6，
log 6
所以 ab - log3 2 = log3 5 × log5 6 - log3 2 = log3 5 ×
3 - log3 2 = log3 6 - log 2log 5 3 = log
6
3 = log3 3 =1
3 2
故選：A
知識點 2：對數函數的定義及圖像
(1)對數函數的定義：函數 y = loga x (a > 0且 a 1) 叫做對數函數．
(12)對數函數的圖象與性質
a >1 0 < a <1
y x=1 y x=1
log x
圖象 a (1,0)
O (1,0) x O xlogax
定義域： (0，+ )
值域： R
過定點 (1，0) ，即 x =1時， y = 0
性質
在 (0，+ ) 上增函數 在 (0，+ ) 上是減函數
當 0 < x <1時， y < 0， 當 0 < x <1時， y > 0，
當 x 1時， y 0 當 x 1時， y 0
1
【診斷自測】（2024·廣東深圳·二模）已知 a > 0，且 a 1，則函數 y = log a x + ÷ 的圖象一定經過（a ）è
A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限
【答案】D
1
【解析】當 x = 0時， y = loga = -1，a
則當 0 < a < 1時，函數圖象過二、三、四象限；
則當 a >1時，函數圖象過一、三、四象限；
y = log 所以函數 a x
1
+ ÷的圖象一定經過三、四象限.
è a
故選：D
解題方法總結
1、對數函數常用技巧
在同一坐標系內，當 a >1時，隨 a 的增大，對數函數的圖象愈靠近 x 軸；當 0 < a <1時，對數函數的
圖象隨 a 的增大而遠離 x 軸．(見下圖)
y
logax1
a增大
1 loga
x
2
x
O 1
logax3 a增大
log xa4
題型一：對數式的運算
【典例 1-1】已知 log 3 = a， 2b2 = 5則 log12 45 = .（用含 a,b的式子表示）
2a + b
【答案】
a + 2
【解析】因為 2b = 5，所以 log2 5 = b，又 log2 3 = a，
log 5 9
所以 log12 45
log2 45 2 log2 5 + log 9= = = 2
log2 12 log2 3 4 log2 3+ log2 4
log2 5 + 2log2 3 2a + b= =
log2 3 + 2log 2 a + 2
.
2
2a + b
故答案為：
a + 2
【典例 1-2】（2024·重慶· 2 2三模）若正實數 a，b 滿足 lga + lgb = lg50 ， lga × lgb = lg 2 ，則
ab lg ab = .
【答案】100
【解析】由于 lga × lgb = lg 2 ，整理得 2lga × lgb = lg2，①，
2
又 lga + lgb 2 = lg50 ，②，
所以①+②得： lga 2 + 2lga × lgb + lgb 2 = lg2 + lg50 = 2；
即 lga + lgb 2 = 2
ab lg ab 對于 取常用對數可得， lg ab lg ab = lg ab × lg ab = lga + lgb 2 = 2，
ab lg ab 故 =100 .
故答案為：100.
【方法技巧】
對數的有關運算問題要注意公式的正用、逆用及變形等應用．
【變式 1-1】化簡下列各式：
(1) 4lg2 + 3lg5 - lg
1
；
5
(2) 2log 2 log
32
3 - 3 + log38 - 5
log5 3 .
9
4 3
= lg 2 5 4 4 4
【解析】（1）原式 1 = lg 2 5 = lg 2 5 = 4 .
5
（2）原式= 2log3 2 - 5log3 2 - 2 + 3log3 2 - 3
= 2log3 2 - 5log3 2 + 2 + 3log3 2 - 3 = -1.
【變式 1-2】已知 7a = 3， log7 2 = b，則 log49 48 = .（用 a,b表示）
a + 4b
【答案】
2
【解析】因為 7a = 3，所以 log7 3 = a ，
又 log7 2 = b，所以 log49 48 = log 2 3 24 1= log7 3 247 2
1
= log7 3 + log 42 7 2
1
= log7 3 + 4log2 7 2
1
= a + 4b .
2
a + 4b
故答案為：
2
1 3 1
【變式 1-3】（2024·全國·模擬預測）已知2x = 3y = 4z = 6，則 + + =x y z ．
【答案】3
【解析】依題意， x = log26, y = log36, z = log46，
1 3 1 1 3 1
則 + + = + + = log6 2 + 3log63 + log6 4 = log6 216 = 3x y z log ．26 log36 log46
故答案為：3
題型二：對數函數的圖象及應用
【典例 2-1】已知函數① y＝logax；② y＝logbx；③ y＝logcx；④ y＝logdx 的大致圖象如圖所示，則下列
不等關系正確的是（　　）
A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋c
C．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c
【答案】A
【解析】解析：由已知可得 b＞a＞1＞d＞c，則 a＋b＞a＋c，b＋d＞a＋c，故 A 正確，D 錯誤；又 a＋d
與 b＋c 的大小不確定，故 B，C 錯誤．故選 A.
【典例 2-2】（2024·江蘇揚州·模擬預測）設方程 2x + x + 3 = 0 和方程 log2x + x + 3 = 0的根分別為 p, q，設函
數 f x = x + p x + q ，則（ ）
A． f 2 = f 0 < f 3 B． f 0 = f 3 > f 2
C． f 3 < f 2 = f 0 D． f 0 < f 3 < f 2
【答案】B
【解析】由 2x + x + 3 = 0 得 2x = -x - 3，由 log2x + x + 3 = 0得 log2 x = -x - 3，
x
所以令 y = 2 , y = log2 x, y = -x - 3，這 3 個函數圖象情況如下圖所示：
設 y = 2x , y = -x - 3交于點 B ， y = log2 x, y = -x - 3交于點C ，
y = 2x由于 , y = log2 x的圖象關于直線 y = x 對稱，
而 y = -x - 3, y = x的交點為 A
3 3
- , -
p + q 3
÷，所以 = - ，
è 2 2 2 2
注意到函數 f x = x + p x + q = x2 + p + q x + pq p + q 3的對稱軸為直線 x = - ，即 x = ，
2 2
且二次函數 f x 的圖象是開口向上的拋物線方程，
從而 f 0 = f 3 > f 2 .
故選：B.
【方法技巧】
對于有關對數型函數的圖象問題，一般是從最基本的對數函數的圖象入手，通過伸縮、平移、對稱等
變換得到，當 a >1時，對數函數的圖像呈上升趨勢；當0 < a <1時，對數函數的圖像呈下降趨勢.
【變式 2-1】（多選題）（2024·河南信陽·模擬預測）函數 f x = loga x +1 0 < a <1 的大致圖象不可能為
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】函數 f x = loga x +1 0 < a <1 的定義域為 x x 0 ，
因為 f -x = loga x +1 = f x ，所以函數 f x 為偶函數，
當 x 0, + 時， f x = loga x +1 0 < a <1 為減函數，且過定點 1,1 ，
故函數 f x = loga x +1 0 < a <1 的大致圖象不可能為 BCD 選項.
故選：BCD.
【變式 2-2】（2024·高三·江西南昌·開學考試）已知函數 y = ex 和 y = lnx的圖象與直線 y = 2 - x交點的橫坐
標分別為 a，b ，則（ ）
A． a > b B． a + b < 2 C． ab >1 D．a2 + b2 > 2
【答案】D
【解析】作出函數 y = ex 和 y = lnx的圖象以及直線 y = 2 - x的圖象，如圖，
由函數 y = ex 和 y = lnx的圖象與直線 y = 2 - x交點的橫坐標分別為 a，b ，
結合圖象可知0 < a < b，A 錯誤；
由題意知 A(a, ea ), B(b, ln b)，也即 A(a, 2 - a), B(b, 2 - b)，
由于函數 y = ex 和 y = lnx互為反函數，
二者圖象關于直線 y = x 對稱，而 A, B為 y = ex 和 y = lnx的圖象與直線 y = 2 - x的交點，
故 A, B關于 y = x 對稱，故 a = 2 - b,\a + b = 2，B 錯誤；
由0 < a < b,a + b = 2 ab (
a + b 2
，故 < ) =1，C 錯誤；
2
因為0 < a < b，故 a2 + b2 > 2ab,\2(a2 + b2 ) > (a + b)2 ，
結合 a + b = 2 ，即得a2 + b2 > 2，D 正確，
故選：D
ì1- log3x,0【變式 2-3】（2024·高三·上海·期末）已知定義在 0, + 上的函數 f (x)= ílog3x- 1,3
4- x ,x>9
互不相同的實數，滿足 f a = f b = f c ，則 abc的取值范圍為 .
【答案】 81,144
【解析】作出 f x 的圖像如圖：
當 x > 9時，由 f x = 4 - x = 0 ，得 x=16，
若 a,b,c 互不相等，不妨設 a < b < c，
因為 f a = f b = f c ，
所以由圖像可知0 < a < 3 < b < 9,9 < c <16 ，
由 f a = f b ，得1- log3 a = log3 b -1，
即 log3a + log3b = 2，即 log3(ab) = 2，
則 ab = 9 ，所以 abc = 9c ，
因為9 < c <16，
所以81< 9c <144，
即81< abc <144，
所以 abc的取值范圍是 81,144 ．
故答案為： 81,144 ．
【變式 2-4】（2024·高三·北京·開學考試）已知函數 f (x) =| ln | x -1|| -kx + 2，給出下列四個結論：
① $k <1，使得 f x 有兩個零點；
②若 k =1，則 f x 有兩個零點；
③ $k >1，使得 f x 有兩個零點：
④ $k >1，使得 f x 有三個零點；
以上正確結論的序號是 .
【答案】③④
【解析】
首先我們分別作出 h(x) =| ln | x -1||和當 k =1時，即 y = x - 2的圖像，將直線 y = x - 2圖像繞定點 0, -2 按
要求旋轉分析，我們發現不存在 k <1，使得 f x 有兩零點，故①不正確；
由上圖可得我們可得當 k =1時，此時 f x 的零點為 2，且僅有一個，故②不正確；
若 k >1，則當函數 h(x) =| ln | x -1||與直線 y = kx - 2的圖象相切時，設切點橫坐標為 x0 ，此時
ì 1 = k
h(x) = - ln(1- x) ，則 h (x)
1
= ，得到方程組 í1- x0 化簡得 ln k = k - 3，易得 k 4,5 ，則1- x
- ln 1- x0 = kx0 - 2
此時有兩個零點，圖像見下圖，故③正確；
當 k >1時，只需將上圖相切時的直線向左偏一點，圖像如下圖所示，則兩函數會出現三個交點，此時 f (x)
有三個零點，如下圖所示，故④正確.
故答案為：③④.
【變式 2-5】已知函數 f x = lg x ，若0 < a < b且 f a = f b ，則a + 2b的取值范圍為 .
【答案】 3, +
【解析】畫出 f x = lg x 的圖象如圖：
∵ 0 < a < b，且 f a = f b ，
∴ lg a = lgb 且 0 < a < 1，b >1，
∴ - lg a = lgb
2
，即 ab =1，∴ y = a + 2b = a + ， a 0,1 ，
a
2
由圖象得 y = a + 在 0,1 上為減函數，
a
∴ y >1+ 2 = 3，
∴ a + 2b的取值范圍是 3, + .
故答案為： 3, + .
題型三：對數函數過定點問題
【典例 3-1】函數 y = loga x +1 ( a > 0且 a 1)的圖象必經過一個定點，則這個定點的坐標是（ ）
A．( 0, 1) B． (1, 2) C． 1,1 D． 1,0
【答案】C
【解析】因為對數函數 y =loga x( a > 0且 a 1)恒過定點 (1,0)，
所以函數 y = loga x +1 ( a > 0且 a 1)的圖象必過定點 (1,1) .
故選：C.
3-2 y = log x + a x-1【典例 】函數 a + 2 （ a > 0且 a 1）的圖象恒過定點 k,b ，若m + n = b - k 且m > 0，
9n + m
n > 0，則 的最小值為（ ）
mn
A 9 B 8 C 9
5
． ． ． D．
2 2
【答案】B
【解析】當 x =1時， y = loga 1+ a
1-1 + 2 = 3，
所以，函數 y = log x + a x-1a + 2 過定點 1,3 ，得 k =1,b = 3，
所以，m + n = 3 -1 = 2，
因為m > 0， n > 0，
9n + m 9 1 1 9 1 m n 1 10 9n m= + = + + = + + 1所以， ÷ 10 + 2 9 = 8，mn m n 2 è m n 2 m n ÷ è 2
ì9n m
= 3 1
當且僅當 í m n ，即m = , n = 時，等號成立，
m + n = 2
2 2
9n + m
所以， 的最小值為 8.
mn
故選：B
【方法技巧】
loga (x - m) + n恒過定點 (m +1, n) ．
【變式 3-1】函數 y = loga x + 2 -1 a > 0,a 1 的圖象恒過定點A ，若點A 在直線mx + ny +1 = 0上，其中
m > 0, n > 0 1 2，則 + 的最小值為（
m n ）
A．3+ 2 2 B．3 C．7 D．4
【答案】A
【解析】對于函數 y = loga x + 2 -1 a > 0,a 1 ，
當 x=- 1時， y = -1，所以 A -1, -1 ，
則-m - n +1 = 0,m + n =1，
1 2
+ =
1 2
所以 + m + n 3 n 2m n 2m= + + 3+ 2 × = 3 + 2 2 ，
m n è m n ÷ m n m n
n 2m
當且僅當 = ,n = 2m = 2 - 2 時等號成立.
m n
故選：A
【變式 3-2】已知直線 y = mx + 2n經過函數 f x = loga x -1 + 2 圖象過的定點（其中m, n均大于 0），則
1 1
+ 的最小值為（ ）
m n
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】因為 f 2 = loga 2 -1 + 2 = loga 1+ 2 = 0 + 2 = 2，所以函數 f x = loga x -1 + 2 圖象過的定點為
2,2 ，
將其代入直線方程 y = mx + 2n得 2 = 2m + 2n ，即m + n =1，
又m,n > 0，
1 1
所以 + = m n 1 1 m n m n+ +

÷ = 2 + + 2 + 2 × = 4，m n è m n n m n m
m n m n 1 1 1當且僅當 = 即 = = 時，等號成立，故 + 有最小值 4.
n m 2 m n
故選：C.
【變式 3-3】（2024·安徽安慶·模擬預測）已知函數 f x = log2 ax + b a > 0,b > 0 恒過定點 2,0 ，則
b 1
+ 的最小值為（ ）．
a b
A． 2 2 +1 B． 2 2 C．3 D． 2 + 2
【答案】A
【解析】由題意可知 2a + b =1，
b 1 b 2a + b b 2a b 2a
則 + = + = + +1 2 × +1 = 2 2 +1，
a b a b a b a b
2 - 2
當且僅當 a = ，b = 2 -1時，
2
b 1
+ 的最小值為
a b 2 2 +1
，
故選:A．
題型四：比較對數式的大小
【典例 4-1】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）設 a = log
3
2 3，b = 0.30.2 ， c = ，則（2 ）
A． a < c < b B． a < b < c C．b【答案】C
3 3
【解析】∵ c = = log2 22 = log2 2 2 < log2 3 = a ，2
b = 0.30.2 < 0.30 =1，
則b故選：C.
【典例 4-2】已知 a = log4 2，b = log53， c = log4 2 log53 ，則 a，b ， c的大小關系為（ ）
A． c > a > b B． c > b > a C． a > b > c D．b > a > c
【答案】D
1
a log 2 log 42 1【解析】因為 = 4 = 4 = ，b = log53 > log5 5
1
= ，∴ a < b ，
2 2
因為0 < log53 <1，∴ c = log4 2 log53 < log4 2 = a，
∴ b > a > c．
故選：D．
【方法技巧】
比較大小問題，常利用函數的單調性及中間值法．
【變式 4-1】（2024·天津·二模）設 a = log23,b =1.3
0.9 ,0.9c =1.3，則 a,b,c的大小關系為（ ）
A． a < b < c B．bC． c < b < a D． c【答案】C
3
【解析】Q log2 3 > log2 8 = log2 22
3
= , a 3\ > ，
2 2
Q0 3 3<1.30.9 <1.3 < ,\0 < b < ，
2 2
Q0.9c =1.3,\c = log0.9 1.3 < log0.9 1 = 0，
\c < 0，\c < b < a .
故選：C.
【變式 4-2】（2024·寧夏銀川·三模）已知 a = 0.20.5 ，b = cos2 ， c = lg15，則（ ）
A． a < b < c B． c < a < b
C．b < c < a D．b < a < c
【答案】D
【解析】由題知 a = 0.20.5 ，b = cos2 ， c = lg15，因為 f x = lg x在定義域內單調遞增，
所以 f 15 > f 10 ，即 c = lg15 > lg10 =1，
g x = 0.2x g 1 因為 在定義域內單調遞減，所以 ÷ < g 0 ，即0 < a = 0.20.5 < 0.20 ，
è 2
=1

因為 h x = cos x π π在 0, π 上單調遞減，所以 h 2 < h 2 ÷，即b = cos2 < cos = 0，è 2
綜上：b < 0 < a <1< c .
故選：D
5
【變式 4-3】（2024·青海西寧·模擬預測）已知 a = ln3，b = ， c = e0.3，則（ ）4
A． a < b < c B． a < c < b C．b < a < c D． c < a < b
【答案】A
x
【解析】令 f x = e - x -1，則 f x = ex -1.
當 x - ,0 時， f x < 0， f x 單調遞減，
當 x 0, + 時， f x > 0， f x 單調遞增，
則 f x f 0 = 0 c = e0.3，故 >1+ 0.3 5=1.3 > .
4
令 g x x= lnx - ，則 g x 1 1 e - x= - = .
e x e ex
當 x e, + 時， g x < 0， g x 單調遞減，
則 g 3 < g e = 0，即 ln3 3 3 5< < = .
e 2.4 4
故 a < b < c .
故選：A.
【變式 4-4】（2024· a江西·模擬預測）若 ae = b ln b a > 0 ，則（ ）
A． a < b B． a = b C． a > b D．無法確定
【答案】A
【解析】因為 a > 0，
所以aea > a > 0，
因為aea = b lnb，
所以b ln b > 0，可得b >1，
令aea = b lnb = k ， k > 0，
ea k k所以 = , ln b = ，
a b
設 f (x) = ex ， g(x) = ln x， h(x)
k
= ，
x
作出它們的圖象如圖：
由圖可知 a < b .故選項 A 正確.
故選：A.
題型五：解對數方程或不等式
【典例 5-1】方程 lg(2 - x) + lg(3 - x) = lg12的解是 .
【答案】 x=- 1
【解析】由方程 lg(2 - x) + lg(3 - x) = lg12，可得 lg (2 - x)(3 - x) = lg12，
ì2 - x > 0
\ í3 - x > 0 ，解得 x=- 1 .

2 - x 3 - x =12
故答案為： x=- 1
【典例 5-2 27x】不等式 + 7 log5 36x +1 < 23的解集為 ．
1 2
【答案】 - ,
è 36 3 ÷
【解析】設函數 f x = 27x + 7 log5 36x +1 ，
1
則應有36x
1
+1 > 0，解得 x > - ，所以， f x 定義域為 - , +

÷ .36 è 36
2 2
又 f ÷ = 273 + 7 log
2
3 5
36 +1÷ = 9 + 7 2 = 23，
è è 3
所以，由 f x < 23，可得 f x < f 2 ÷ .
è 3
因為 y = 27x 以及 y = 7 log5 36x
1
+1 均在 - , +

÷上單調遞增，
è 36
所以， f x = 27x + 7 log5 36x 1
1+ - , + 在 ÷上單調遞增，
è 36
所以， x
2
< .
3
1 2
綜上所述，- < x < .
36 3
1 2- , 所以，不等式的解集為 36 3 ÷
.
è
1 , 2 故答案為： - .
è 36 3 ÷
【方法技巧】
2
1 b（ ）對于形如 loga f (x) = b 的形式，利用b = loga a 轉化；對于形如 loga x + B × loga x + C = 0
的形式，可借助換元法轉化為二次方程求解.
（2）解對數不等式，也是利用對數函數的單調性將不等式轉化為比較真數之間的不等式，再解這個
不等式即可．
【變式 5-1 x】不等式3 + log3 x > 3的解集是 ．
【答案】 1, +
【解析】設 f x = 3x + log3 x ，其定義域為 0, + ，
Q y = 3x 和 y = log3 x在 0, + 均為增函數，
則 f x = 3x + log3 x 在 0, + 為增函數，且 f 1 = 3，
Q 3x + log3 x > 3，即 f x > f 1 ，\ x <1，
\ x不等式3 + log3 x > 3的解集是 1, + .
故答案為： 1, + .
x
【變式 5-2】方程： 2x +1 = log3 1- 2 ×3 的解是 .
【答案】 -1
x
【解析】因為 2x +1 = log 1- 2 ×3 ，即32x+1 =1- 2 ×3x ，所以3 ×32x3 + 2 ×3x -1 = 0，
3 ×3x -1 3x即 +1 = 0，解得3 ×3x -1 = 0，則 x=- 1，或3x +1 = 0無實根.
故答案為： -1
1
【變式 5-3】不等式 log 1 + 2 -1÷÷ > 0的解集是 .
2 è x
【答案】{x | x < -1 x
1
或 > }
2
1 1
【解析】原不等式可化為0 < + 2 -1 <1，即1< + 2 < 2，
x x
1 1 2 4 1 1∴ < + < ，于是- < < 2
1
，亦即-1 < < 0或0
1
< < 2 ，
x x x x
1
∴ x < -1或 x > ，故解集為{x | x < -1
1
或 x > }
2 2
1
故答案為：{x | x < -1或 x > }
2
【變式 5-4 2】不等式 e
x + e- x 7-
ln 2 < 0 的解集是 .
ex + e- x -1
【答案】 x∣- ln2 < x < ln2
2 ex e- x 7 2 ex e- x 7+ - + -【解析】由 ln 2 < 0 可得x - x 0 < 2 ，e + e -1 ex + e- x <1-1
x - x x - x
7 x - x 7 7 1
又 e + e -1 2 ex ×e- x -1 =1 > 0恒成立， 2 e + e - 2 2 e ×e - = 4 - = > 0恒成立，2 2 2 2
2 ex e- x 7 x - x所以不等式等價于 + - < e + e -1 x，即 e + e- x 5 2- < 0，也即 2 ex - 5ex + 2 < 0；2 2
可得 2ex -1 ex - 2 < 0 1，所以 < ex < 2，解得 ln 1 < x < ln 2 .
2 2
所以原不等式的解集為 x∣- ln2 < x < ln2 .
故答案為： x∣- ln2 < x < ln2
5-5 log x < 3- 3x【變式 】由函數的觀點，不等式 3 的解集是 .
【答案】 0,1
【解析】由不等式 log3x < 3- 3
x x
，可得3 + log3x - 3 < 0，
令 f x = 3x + log3x - 3，可知 f x 的定義域為 0, + ，
x
因為 y = 3 ,y = log3x在定義域 0, + 上單調遞增，
可知 f x 在定義域 0, + 上單調遞增，且 f 1 = 0，
對于不等式即為 f x < f 1 ，解得0 < x <1，
所以不等式 log3x < 3- 3
x
的解集是 0,1 .
故答案為： 0,1 .
題型六：對數函數的最值與值域問題
1
【典例 6-1】（2024· 2全國·模擬預測）已知函數 f x = loga x - ax +1 在區間 , 2÷上有最大值或最小值，
è 4
則實數 a的取值范圍為（ ）
1 1
A ． , 2÷ B． ,1 U 1,2
1
C ,1
1,4 1 D ,1 U 1,2
è 4 è 2 ÷
． ÷ ．
è 4 è 4 ÷
【答案】B
1
【解析】要使函數 f x 在區間 , 2 上有最大值或最小值，
è 4 ÷
由于 y = x2 - ax +1開口向上，
故需函數 y = x2
1
- ax +1在區間 , 2÷上有最小值，且 y > 0．
è 4
ìa > 0

a 1
1 a
該函數圖像的對稱軸為直線 x
a
= ，所以 í < < 2 ，2 4 2
a 2
÷ - a
a
× +1 > 0
è 2 2
ìa > 0

a 1
1
解得 í < a < 4 ，
2
-2 < a < 2


1 1
所以 < a < 2 ，且 a 1，即實數 a的取值范圍為 ,1÷ U 1,2 2 ．2 è
故選：B．
【典例 6-2 2】已知函數 f x = log3 -x + 4x + a -1 的最大值為 2，則a = ．
【答案】6
2
【解析】因為函數 f x = log3 -x + 4x + a -1 由 y = log3t, t > 0與 t = -x2 + 4x + a -1復合而成，
而 y = log3t 在定義域上單調遞增，所以當 t = -x2 + 4x + a -1取最大值時，函數 y = log3t 取得最大值，
由二次函數的性質易知當 x = 2時， tmax = a + 3，此時 f (x)max = log3 a + 3 ，所以 log3 a + 3 = 2，解得
a = 6．
故答案為：6
【方法技巧】
對數函數的最值與值域問題通常利用對數函數的單調性解決.
【變式 6-1】若函數 f x = loga -x2 - 2x + 3 （ a > 0且 a 1）的最小值為－4，則實數 a 的值為 .
2 1
【答案】 / 2
2 2
【解析】由題意知，-x2 - 2x + 3 > 0 ，解得-3 < x <1，
f x = log -x2 - 2x + 3 = log é- x +1 2因為 a a + 4ù ，
2
因為 x -3,1 ，則0 < - x +1 + 4 4，又因為 f x 的最小值為－4，
則 0 < a < 1，所以 log éa - x +1
2 + 4ù loga 4，
即 f x = loga 4 = -4，得 a-4min = 4，因為 0 < a < 1
2
，所以 a = .
2
2
故答案為： .
2
2
【變式 6-2】已知函數 f x = loga x - ax + 4 ( a > 0且 a 1).
(1)當 x 0,2 時，函數 f x 恒有意義，求實數 a的取值范圍；
(2)是否存在這樣的實數 a，使得函數 f x 在區間 1,2 上為減函數，且最大值為1？如果存在，試求出 a的
值；如果不存在，請說明理由．
【解析】（1）當 x 0,2 時，函數 f x 恒有意義，
所以 x2 - ax + 4 > 0在 0,2 上恒成立，
即 a < x
4
+ 在 0,2 上恒成立．
x
令 g x = x 4+ ， x 0,2 ，
x
g x 1 4 x
2 - 4 x + 2 x - 2
則 = - 2 = 2 = 2 < 0，x x x
所以 g x = x 4+ 在 0,2 上單調遞減，
x
所以 g x > g 2 = 4，所以 a 4 .
又 a > 0且 a 1，所以 a 0,1 1,4 .
（2）函數 f x 在區間 1,2 上有意義，
則 x2 - ax + 4 > 0在 1,2 上恒成立．
由（1）同理可知， a 0,1 1,4 ，
又函數 f x 在區間 1,2 上為減函數，并且最大值為1.
當 a 0,1 時， y =loga x為減函數，
則 y = x2 - ax + 4 > 0 且在 1,2 上單調遞增，
ìa
1
ìa 2
所以 í 2

，即 í 5 ，故不存在這樣的實數 a；
log 5 - a =1
a =
a 2
當 a 1,4 時， y =loga x為增函數，
則 y = x2 - ax + 4 > 0 且在 1,2 上單調遞減，
ìa 2 ìa 4 2 所以 í ，即 í 5 ，故不存在這樣的實數 a .
a = loga 5 - a =1 2
綜上，不存在這樣的實數 a，使得函數 f x 在區間 1,2 上為減函數，且最大值為1.
2
6-3 f x x + lnx 1+ x
3lnx
【變式 】已知函數 = 3 2 的最大值為m ，則函數 g x = 的最小值為 （結果用mx + x 1+ x
表示）
【答案】1- m
1 1 1
2
f x x + lnx f
1 2 + ln 2 - ln x x - x3 ln x
【解析】因為 = ，所以 ÷ =
x x = x =
3 ，x + x2 è x 1 + 1 1 + 1 1+ x
x3 x2 x3 x2
3
1 f 1 x lnx - x +1+ x則 - ÷ = = g x ，
è x 1+ x
當 x
1
的取值范圍為 0, + 時， 的取值范圍為 0, + ，
x
1
所以 f ÷的最大值與 f x 的最大值相等，均為m ，
è x
3
g x 1+ x lnx所以 = 的最小值為1- m ．
1+ x
故答案為：1- m .
2x
【變式 6-4】已知函數 f x a + t= (a > 0 且 a 1)x 是奇函數．a
(1)求 t的值；
(2)若 0 < a < 1，對任意 x [0,1]有 f (2x2 - kx - k) < f 1 恒成立，求實數 k 的取值范圍；
(3)設 g x = log [a2x + a-2x 1m - m(a x - x )](m > 0, m 1)，若 f 1
3
= ，問是否存在實數m 使函數 g x 在[0,1]
a 2
上的最大值為 0？若存在，求出m 的值；若不存在，說明理由．
a2x + t
【解析】（1）由函數 f x = (a > 0 且 a 1)是奇函數，
a x
0
f 0 a + t可得 = = 0，即1+ t = 00 ，可得 t = -1，a
2x -2x 2x
經驗證：當 t = -1時， f x a -1 f x a -1 1- a= x ，滿足 - = = = - f x ，a a- x a x
此時函數 f x 為奇函數，符合題意.
2x
（2）由 0 < a < 1，可得 f x a -1= = a x 1-
a x a x
為單調遞減函數，
因為對任意 x [0,1]有 f (2x2 - kx - k) < f 1 恒成立，
即對任意 x [0,1]有 2x2 - kx - k >1恒成立，
設 h x = 2x2 - kx - k -1，則函數 h x 開口向上的拋物線，且對稱軸為 x k= ，
4
當 k
k
0時，即 0 時，此時函數 h x 在區間[0,1]上單調遞增，
4
則 h 0 = -k -1 > 0，解得 k < -1；
當0 < k < 4 時，即0
k
< <1時，此時函數 h x k在對稱軸 x = 處取得最小值，
4 4
2
則 h(k ) k= - - k -1 > 0，解得-4- 2 2 < k < -4+ 2 2 ，因為0 < k < 4 ，此時無解；
4 8
k
當 k 4時，即 1時，此時函數 h x 在區間[0,1]上單調遞減，
4
則 h 1 =1- 2k > 0 k 1，解得 < ，因為 k 4，此時無解；
2
綜上可得，實數 k 的取值為 (- , -1) .
（3）由 f 1 3= ，可得 a
1 3 1 1
- = ，解得 a = 2或 a = -2 （舍去），所以 f x = 2
x - ，
a 2 2 2x
2x -2x x 1
則 g x = logm[2 + 2 - m(2 - )]，2x
設 s = 2x
1
- ，則 22x + 2-2xx = s2 + 2，2
當 x [0,1]
3 2x -2x x 1
時，可得 s [0, ]，此時 g x = logm[2 + 2 -m(2 - x )] = log 2m(s -ms + 2)，2 2
又由 g x = log (s2m - ms + 2) 0 = logm 1，
則當0 < m <1時， y = s2
3
- ms + 2在 s [0, ]上的最小值為1；
2
3
當m > 1時， y = s2 - ms + 2在 s [0, ]上的最大值為1；
2
設u x = x2 - mx + 2, x [0, 3]，
2
m
當0 < m <1時，函數u x 在 x = 處取得最小值，
2
2
此時u(m) m= - + 2 =1，解得m = ±2（舍去）；
2 4
m 3
當1 < m
3

2 時，函數
u x 的對稱軸為 x = ，
2 4
3 3 9 3 13
函數u x 在 x = 處取得最大值，此時u( ) = - m + 2 =1，解得m = （舍去）；
2 2 4 2 6
3
當m > 時，函數u x 的對稱軸為 x m 3= > ，
2 2 4
函數u x 在 x = 0處取得最大值，此時u(0) = 2 1，
綜上可得，不存在這樣的實數m ，使得其成立.
題型七：對數函數中的恒成立問題
【典例 7-1 2x x】已知函數 f x = ln e + e + a - 2 ，若對任意 x2 > x1 > 0 都有 f (x1) - f (x2 ) < x1 - x2 ，則實數 a
的取值范圍是（ ）
A． 0, + B． 0, + C． 0,3 D． 0,3
【答案】D
【解析】因為若對任意 x2 > x1 > 0，都有 f x1 - f x2 < x1 - x2，
所以對任意 x2 > x1 > 0 ，都有 f x1 - x1 < f x2 - x2，
令 g x = f x - x = ln e2x + ex a a - 2+ - 2 - ln ex = ln ex + x +1 ÷ ，則 g x 在 0, + 上單調遞增．è e
首先 e2x + ex + a - 2 > 0 2 - a < e2x + ex 2 - a 2 a 0 .
因為 g x 在 0, + 上遞增，所以 h x a - 2= ex + x +1在 0, + 上遞增．e
當 a 0,2 時，顯然符合題意；
當 a 2, + 時，令 t = ex >1，
y t a - 2則 = + +1在 t 1, + 上遞增，所以 a - 2 1，則 2 < a 3 .
t
綜上所述， a 0,3 ，故 D 正確．
故選：D．
1
【典例 7-2 2】若不等式 x - loga (x +1) < 2x -1在 x

，1

÷上恒成立，則實數 a 的取值范圍為（2 ）è
é16 1 16 A． ê ， B． ，1 81 ÷ ÷ è 81
1 81ù 3 81ùC． ， ú D．16
，
è è 2 16 ú
【答案】C
2 2 1
【解析】 x - loga (x +1) < 2x -1變形為： x - 2x +1 < loga (x +1)，即 x -1
2 < loga (x +1) x
,1 在 ÷上恒成
è 2
立，
若 0 < a < 1，此時 f x = log 1 1a (x +1) 在 x ,1÷上單調遞減， f x = loga (x +1) < logè 2 a
( +1) < 0 ，而當
2
x 1 ,1
2
÷時， g x = x -1 > 0 ，顯然不合題意；
è 2
當 a >1時，畫出兩個函數的圖像，
2
要想滿足 x -1 2 1< log (x +1) x ,1 f 1 g 1 1 1 a 在 2 ÷上恒成立，只需 2 ÷ ÷ ，即2 loga ( +1) -1 ，è è è 2 ÷è 2
4 4
3 3 ù
解得： a ，綜上：實數 a 的取值范圍是 1, ú .
è 2 ÷
÷
è è 2 ú
故選：C
【方法技巧】
已知不等式能恒成立求參數值(取值范圍)問題常用的方法：
（1）函數法：討論參數范圍，通常借助函數單調性求解；
（2）分離參數法：首先將參數分離，轉化成求函數的最值或值域問題加以解決；
（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的
圖象，再利用數形結合的方法來解決．
【變式 7-1】已知函數 f (x) = -x2 - 4x + 6， g(x) = loga x(a > 0且 a 1)，若對任意的 x2 3,5 ，存在
x é 3 - ,1ù1 ê ú ，使得 f (x1) < g(x2 )成立，則實數 a的取值范圍是 . 2
【答案】 1,3
【解析】根據題意知， f (x)min < g(x)min
因為 f (x) = -x2 - 4x + 6，
其圖象開口向下，對稱軸為 x = -2，
3
所以當 x
é ù
ê- ,1 時， 2 ú
其最小值 f (x)min = f 1 = 1，
當 a >1時， g(x) = loga x ，在 3,5 上的最小值為 loga 3，
則由1< loga 3得1 < a < 3，
當 0 < a < 1時， g(x) = loga x ，在 3,5 上的最小值為 loga 5，
則1 < loga 5時，無解，
故實數 a的取值范圍為 1,3 ，
故答案為： 1,3 .
a 0 a 1 0 x 1【變式 7-2】已知 > 且 ，當 < 時，-log2x > a
x
，則 a的取值范圍為 .4
【答案】 (0,1) (1,16)
1 1
【解析】當 0 < x 4 時，
-log2x -log2 = 2 .4
當 0 < a < 1時，-log2x > a
x
成立.
當 a >1 x時，若-log2x > a 成立， y = - log2 x
1
是減函數， y = a x 是增函數，則 2 > a 4 ，解得 a <16 ，所以
1 < a <16 .
綜上， a的取值范圍為 0,1 1,16 .
故答案為： 0,1 1,16 ．
2x +1
【變式 7-3】已知函數 f x =
2x
為奇函數．
+ a
(1)求實數 a 的值；
(2)判斷函數 f x 的單調性（不用證明）；
(3)設函數 g(x) log
x log x= 2 × 2 + m，若對任意的 x1 [2,8]，總存在 x2 (0,1]，使得 g x1 = f x2 成立，求實2 4
數 m 的取值范圍．
【解析】（1）由已知函數需滿足 2x + a 0，當 a 0時，函數的定義域為R ，
x
f x 2 +1函數 = x 為奇函數，所以 f -x = - f x ，2 + a
2- x +1 2x +1
即 = - 在R 上恒成立，即 a +1 2x +1 = 0- x x ， a = -1（舍），2 + a 2 + a
當 a<0時， x log2 -a ，函數的定義域為 - , log2 -a log2 -a ,+ ，
x
又函數 f x 2 +1= x 為奇函數，所以 log2 -a = 0,a = -1，2 + a
x
此時 f x 2 +1= ，函數定義域為 - ,0 0, + ，
2x -1
f x 2
- x +1 2x +1
- = - x = x = - f x ，函數為奇函數，滿足，2 -1 -2 +1
綜上所述： a = -1；
（2） f x 在 - ,0 和 0, + 上單調遞減，證明如下：
f x 2
x +1
= =1 2+ - ,0 x x ，定義域為 0, + ，2 -1 2 -1
設"x1, x2 0, + ，且 x1 < x2，
2 2 2 2x2 - 2x1
則 f x1 - f

x2 = 1+ x - 1+ =è 2 1 -1÷ è 2x2 -1÷ 2x1 -1 2x2 -1
因為 x1, x2 0, + ，且 x1 < x2，所以 2x1 -1 > 0,2x2 -1 > 0,2x2 - 2x1 > 0，
所以 f x1 > f x2 ，所以 f x 在 0, + 上單調遞減，
同理可證，所以 f x 在 - ,0 上單調遞減；
所以 f x 在 0, + ， - ,0 上單調遞減.
（3）函數 f x 在 - ,0 和 0, + 上單調遞減，
且當 x - ,0 時， f x < 0 ，當 x 0, + 時， f x > 0，
x2 0,1 時， f x f 1 = 3，所以當 x 0,1 時 f x 的值域 A = 3, + ，
又 g x log x x= 2 × log2 + m = log2x -1 log2x - 2 + m, x 2,8 ，2 4
設 t = log2x, t 1,3 ，則 y = t -1 t - 2 + m = t 2 - 3t + 2 + m，
3 1
當 t = 時，取最小值為- + m，當 x = 3時，取最大值為 2 + m，
2 4
g x x 2,8 B = é 1- + m, 2 + mù即 在 上的值域 ê 4 ú，
又對任意的 x1 2,8 ，總存在 x2 0,1 ，使得 g x1 = f x2 成立，
13
即B A
1 13 é
，所以- + m 3，解得m ，即m ,+ .
4 4 ê ÷ 4
題型八：對數函數的綜合問題
【典例 8-1】（2024· x四川南充·模擬預測）函數 f x = xlnx -1的零點為x1，函數 g x = e x -1 - e的零點為
x2，則下列結論正確的是（ ）
x 2 ex -1 1A． e 2 × lnx 21 = e B． + > 2x1
1
C． lnx1 - x2 =1 D． x2 + 21+ lnx1
【答案】B
1
【解析】由題意知， f (x1) = x1 ln x1 -1 = 0 ln x1 = x ，1
g(x2 ) = e
x2 (x2 -1) - e = 0 e
x2 (x 12 -1) = e e
x2 -1 =
x2 -1
，
令 t = x2 -1 t
1
，則 e = ，
t
又因為 y = ln x 與 y = ex 互為反函數，
y = ln x x y 1所以 、 y = e 分別與 = x 的的交點關于
y = x 對稱，
所以 x1t =1，即： x1(x2 -1) =1，
又因為 f (1) = -1 < 0 ， f (2) = 2ln 2 -1 = ln 4 - ln e > 0，
所以由零點存在性定理可知， x1 (1,2) ，
1
又因為 x1(x2 -1) =1，即 x2 = +1x ，1
3
所以 x2 ( , 2)2 ，
x x e 12 2
對于 A 項，因為 e (x2 -1) - e = 0 e = ， ln x1 = ， x1(x2 -1) =1x2 -1 x1
x e 1 e2
所以 e × ln x1 = × = = ex2 -1 x x (x -1)
，故 A 項錯誤；
1 1 2
1
對于 B 項，因為 x1(x2 -1) =1，所以 = xx 2
-1，
1
ex -1 12又因為 = x ( 3 , 2)x2 -1
， 2 2 ，
所以 ex
1 1 1
2 -1 + = ( ) + (x2 -1) > 2 ( ) × (x2 -1) = 2，故 B 項正確；x1 x2 -1 x2 -1
對于 C 項，因為 ln x
1 1
1 = ， = x2 -1，所以 ln x
1
1 - x2 = - x2 = (x2 -1) - x2 = -1x x x ，故 C 項錯誤；1 1 1
對于 D 項，因為 ln x
1 1
1 = xx ， 2
= +1 x
x ， 1
(1,2) ，
1 1
x 1 ( 1 1) 1 2 ( 12 + = + + > +1)
1
× = 2
所以 1+ ln x 1 11 x1 1+ x1 1+ ，故 D 項錯誤.
x1 x1
故選：B.
ìlg 3- x 2 + , -3 < x < 0
8-2 2024· · 3+ x x - 3【典例 】（ 云南 二模）已知函數 f x 的定義域為 -3,3 ，且 f x = í 3 x 2 若 lg + - ,0 x < 3
3- x x + 3
3 f [x(x - 2)] + 2 > 0 ，則 x 的取值范圍為（ ）
A． (-3,2) B． (-3,0) (0,1) (1,2)
C． (-1,3) D． (-1,0) (0,2) (2,3)
【答案】D
6 2
【解析】當-3 < x < 0 時， f x = lg -1÷ + ，
è x + 3 x - 3
由復合函數的單調性可知 f x 在 -3,0 上單調遞減，
2
所以 f x > f 0 = - ；
3
0 x
6 2
當 < 3時， f x = lg -1÷ - ，
è 3- x x + 3
t 6因為 = 在 0,3 上單調遞增， y = lg t -1 為增函數，
3 - x
所以 y = lg
6
-1

÷在 0,3 上單調遞增，
è 3- x
又 y
2
= - 在 0,3 上為增函數，所以 f x = lg 6 -1
2
÷ - 在 0,3 單調遞增，x + 3 è 3 - x x + 3
2
所以 f x f 0 = - .
3
綜上， f x 2 - 在 -3,3 上恒成立，當且僅當 x = 0時取等號.
3
2 ì-3 < x x - 2 < 3
所以不等式3 f [x(x - 2)]+ 2 > 0 f [x(x - 2)] > -
3 í x x - 2 0
，

解得-1 < x < 3且 x 0且 x 2，即原不等式的解集為 -1,0 0,2 2,3 .
故選：D
【方法技巧】
對數函數常與其他函數形成復合函數問題，解題時要清楚復合的層次，外層是對數函數還是內層是對
數函數，其次如果涉及到定義域、值域、奇偶性、單調性等問題，則要按復合函數的性質規律求解．
ì3x , x 0
【變式 8-1】已知函數 f (x) = í ， g(x) =| x(x - 4) |，則 f (g(2)) = ．若方程
log8 x, x > 0
f (g(x)) + g(x) - m = 0的所有實根之和為 4，則實數 m 的取值范圍是 ．
14
【答案】
2 m >3 3
ì3x , x 0
【解析】函數 f (x) = í ， g(x) =| x(x - 4) |，則 g(2) = 4 ，所以 f (g(2)) = log 4 = log 22
2
= ；
log8 x, x > 0
8 23 3
顯然函數 g(x) =| (x - 2)2 - 4 |的圖象關于直線 x = 2對稱，如圖，
函數 g(x)在 (- ,0]上單調遞減，函數值集合為[0, + ) ，在[0,2]上單調遞增，函數值集合為[0, 4]，
在[2,4]上單調遞減，函數值集合為[0, 4]，在[4,+ )上單調遞增，函數值集合為[0, + ) ，
當 g(x) = 0 ，即 x = 0或 x = 4時， f (g(x)) = 1，點 (0,1), (4,1)關于直線 x = 2對稱，
當 x R, x 0 且 x 4時，函數 f (g(x)) = log8 | x(x - 4) |的圖象關于直線 x = 2對稱，
因此函數 y = f (g(x)) + g(x)（ x R ）的圖象關于直線 x = 2對稱，
由于函數 y = log8 x 在 (0, + )上單調遞增，因此函數 y = f (g(x))在 (- ,0)上單調遞減，函數值集合為 R，
在 (0, 2]
2 2
上單調遞增，函數值集合為 (- , ]，在[2,4)上單調遞減，函數值集合為 (- , ]，
3 3
在 (4,+ ) 上單調遞增，函數值集合為 R，
于是函數 y = f (g(x)) + g(x)在 (- ,0)上單調遞減，函數值集合為 R，在 (0, 2]上單調遞增，函數值集合為
( ,14- ]，
3
在[2,4) ( ,
14
上單調遞減，函數值集合為 - ]，在 (4,+ ) 上單調遞增，函數值集合為 R，
3
在同一坐標系內作出直線 y = m與函數 y = f (g(x)) + g(x)的圖象，如圖，
m 14當 = 時，直線 y = m與函數 y = f (g(x)) + g(x)的圖象有 3 個交點，方程 f (g(x)) + g(x) - m = 0的所有實
3
根和為 6；
m 14當 < 且m 1時，直線 y = m與函數 y = f (g(x)) + g(x)的圖象有 4 個交點，方程 f (g(x)) + g(x) - m = 0的
3
所有實根和為 8；
當m =1時，直線 y = m與函數 y = f (g(x)) + g(x)的圖象有 6 個交點，方程 f (g(x)) + g(x) - m = 0的所有實根
和為 12；
m 14當 > 時，直線 y = m與函數 y = f (g(x)) + g(x)的圖象有 2 個交點，方程 f (g(x)) + g(x) - m = 0的所有實
3
根和為 4，
m 14所以實數 m 的取值范圍是 > .
3
2
故答案為： ；m
14
>
3 3
lg(x -1) , x >1
【變式 8-2】設定義域為 R 的函數 f (x) = {
2
2 ，若關于 x 的方程 2 é f x ù + 2bf x +1 = 0有 8 個-x +1, x 1
不同的實根，到實數 b 的取值范圍是 .
3
【答案】 - , - 2 ÷
è 2
【解析】由題設， f (x) 的圖象如下圖示：
t = f (x) 2令 ，則 2 é f x ù + 2bf x +1 = 0化為 2t 2 + 2bt +1 = 0 ，
∴要使原方程有 8 個不同實根，則 2t 2 + 2bt +1 = 0 有 2 個不同的實根且兩根m 、 n (0,1) ，
Δ = 4b2 -8 > 0 b < - 2
∴{m + n = -b {m
1
+ = -b y 1= m + (1 , 2，可得 2m ，又 在 )上遞減，在 (
2 ,1)上遞增，且
1 2m 2 2 2mn = 1
2 < m <12
y | = y | 3 y | = 2 3
x 1 x=1
=
= 2 ， x
2
= ，即-b [ 2, ) ，
2 2 2
3
綜上，b (- ,- 2) .
2
3
故答案為： - , - 2 ÷ .
è 2
【變式 8-3 2x x 2】已知函數 f x = 2 - 3 × 2 , g x = loga x -1 - loga x .
(1)求 g x 的定義域；
é ù
(2)若"x1 0,1 , x
5
2 ê , 2 ú , f x1 > g x2 ，求 a的取值范圍.
2
ìx22 -1 > 0
【解析】（1）要使函數 g x = loga x -1 - loga x 有意義，則 í ，解得 x >1，
x > 0
所以 g x 的定義域為 1, + ；
é ù
（2）因為"x1 0,1 , x
5
2 ê , 2 ú , f x1 > g x2 ，所以 f x > g x2 min max ，
2
f x = 22x - 3 × 2x = 2x 3 9 -

÷ -
x
，因為 x 0,1 ，所以 2 1,2 ，
è 2 4
x 3
所以當 2 - 時， f x 9= - ，
2 min 4
g x log x2 1 log x 1 é 5 ù對于函數 = a - - a = log a x - ÷， x ê , 2 ，
è x 2
ú

1 é 5 ù
若 0 < a < 1，則函數 y = loga x 在定義域上單調遞減，而函數 y = x - 在x ê
, 2
2 ú
上單調遞增，

1 é 5 ù
所以函數 g x = loga x - ÷在 ê , 2ú 上單調遞減，
è x 2
5 5 2 5
所以 g x g 5 5 9= ÷÷ = loga - ÷÷ = logmax 2 a ，則 log < - ，è è 2 5 è 10
÷÷ a ÷÷
è 10 4
5
因為 0 < a < 1，所以 loga 10 ÷÷
> 0，無解；
è
é ù
若 a >1，則函數 y = log
1 5
a x 在定義域上單調遞增，而函數 y = x - 在 ê , 2ú 上單調遞增，x 2
é ù
所以函數 g x = log a x
1 5 , 2 g x g 2 log 2 2 log 2- ÷在 ê ú 上單調遞增，所以 = =x max a - ÷ = a ÷，è ÷ ÷ 2 è 2 è 2
2 log 9 1則 a 2 ÷÷
< - ，又 a >1，所解得 ；
è 4 1< a < 4
9
1
綜上， a的取值范圍為 1,49 ÷ .
è
【變式 8-4】（2024·廣東佛山·模擬預測）已知x1，x2分別是關于 x 的方程 x ln x = 2023， xex = 2023的根，
則下面為定值 2023 的是（ ）
x
A． x1 + x2 B． x1 - x2 C． x x D
1
1 2 ． x E．均不是2
【答案】C
ln x 2023= ex 2023【解析】由已知條件可知， ， = ，
x x
令 y = ln x x
2023
1 ， y2 = e ， y3 = ，x
如圖所示，
曲線 y1 與曲線 y2 關于直線 y = x 對稱，曲線 y3 關于直線 y = x 對稱，
A(x , 2023) B(x , 2023設曲線 y3 分別與曲線 y2 ， y1 交于點 1 )x ， 2 ，1 x2
則點A ， B 關于直線 y = x 對稱，
而點 A(x ,
2023
1 )關于直線 y = x (
2023 , x ) 2023
x 對稱的點為 x 1 ，即為點
B(x2 , )
1 1 x
，
2
x 2023則 2 = x ，即
x1x2 = 2023 .
1
故選：C.
1 1
【變式 8-5】給出函數 f x = a x + ÷ - ln 4x + 2，è x ×2 - x 2x
(1)若 a = 0，求不等式 f x > 2 - ln2的解集；
(2)若 a > 0，且 f 3t -1 > f t - 2 ，求 t的取值范圍；
(3)若 a = 0
1 1
，非零實數m ，n滿足 f m + 2 2
n2
= f n - 2 ，求證：m m - n > 2 .
【解析】（1）若 a = 0，則不等式 f x > 2 - ln2為-ln 4x + 2 > 2 - ln2，
即 ln 4x < ln2 ，所以0 < 4x < 2
1
，解得- < x < 0或0
1
< x < ，
2 2
1 1
所以不等式的解集為 - ,0÷ U 0,2 ÷
.
è è 2
2 g x 1 1 1 2
x +1
（ ）設 = + = × ，可得其定義域是 - ,0 U 0, + ，
x ×2x - x 2x 2x 2x -1
x
g x 1 2 +1則 - = × = g x ，所以 g x 是偶函數，
-2x 1- 2x
設0 < x1 < x2 ，則1< 2x1 < 2x2 ，0 < 2x1 -1< 2x2 -1，
1 1 1 1 1 1
故
2x
> > 0，所以 + > + > 0，
1 -1 2x2 -1 2x1 -1 2 2x2 -1 2
1 1
> > 0 1 1 1 1 1 1因為 + > +

x x ，所以 x 2x 1 2 ÷ x 2x 1 2 ÷ ，即
g x1 > g x ，è 11 2 1 - 22 è - 2
故 g x 在 0, + 上是嚴格減函數，
又因為 a > 0，所以 f x 是偶函數，且在 0, + 上是嚴格減函數，
所以，不等式 f 3t -1 > f t - 2 等價于 f 3t -1 > f t - 2 ，
由單調性可得0 3t 1
1 1 1 3
< - < t - 2 t ，解得 的取值范圍是 - ,2 3 ÷
, ÷ .
è è 3 4
（3）若 a = 0，則 f x = -ln 4x + 2，
f m 1 1 1 1由 + 2 = f n - 2 得-ln 4m + = -ln 4n - ，n m n2 m2
2 2
所以 ln m - ln n m + n= 2 2 > 0，所以 m > n .m n
m 2 2 2 4
設 t = n ，則
t > 1， lnt t +1= ，解得m2 t +12 = ， n
2 t +1= ，則m2 - n2 t -1=
m lnt t 2lnt t 2
.
lnt
t 4 -1 2 1
要證m2 - n2 > 2，即證 2 > 2 .因為 lnt > 0 ，所以只需證 t - 2 > 2lnt ，t lnt t
t 2 1即證： - - 2lnt > 0 .
t 2
1 2 t 22 + t-2 -1
設 h t = t - 2 - 2lnt, t >1，則t h t = 2t + 2t
-3 2- = > 0 ，
t t
所以 h t 在 1, + 上是嚴格增函數，故 h t > h 1 = 0 ，于是m2 - n2 > 2 .
1．（2024 年新課標全國Ⅱ卷數學真題）設函數 f (x) = (x + a) ln(x + b)，若 f (x) 0，則 a2 + b2 的最小值為
（ ）
1 1
A． B． C 1． 2 D．18 4
【答案】C
【解析】解法一：由題意可知： f (x) 的定義域為 -b, + ，
令 x + a = 0解得 x = -a；令 ln(x + b) = 0 解得 x =1- b；
若-a -b ，當 x -b,1- b 時，可知 x + a > 0, ln x + b < 0 ，
此時 f (x) < 0，不合題意；
若-b < -a <1- b，當 x -a,1- b 時，可知 x + a > 0, ln x + b < 0 ，
此時 f (x) < 0，不合題意；
若-a =1- b，當 x -b,1- b 時，可知 x + a < 0, ln x + b < 0，此時 f (x) > 0 ；
當 x 1- b,+ 時，可知 x + a 0, ln x + b 0，此時 f (x) 0；
可知若-a =1- b，符合題意；
若-a >1- b，當 x 1- b,-a 時，可知 x + a 0, ln x + b 0，
此時 f (x) < 0，不合題意；
綜上所述：-a =1- b，即b = a +1，
2
2 2 2 2 1 1 1 a 1 1則 a + b = a + a +1 = 2 a + ÷ + ，當且僅當 = - ,b = 時，等號成立，
è 2 2 2 2 2
1
所以 a2 + b2 的最小值為 2 ；
解法二：由題意可知： f (x) 的定義域為 -b, + ，
令 x + a = 0解得 x = -a；令 ln(x + b) = 0 解得 x =1- b；
則當 x -b,1- b 時， ln x + b < 0，故 x + a 0 ，所以1- b + a 0；
x 1- b,+ 時， ln x + b > 0，故 x + a 0 ，所以1- b + a 0；
2
故1- b + a = 0 1 1 1，則 a2 + b2 = a2 + a +1 2 = 2 a +

÷ + ，
è 2 2 2
當且僅當 a
1 1
= - ,b = 時，等號成立，
2 2
2 2 1所以 a + b 的最小值為 2 .
故選：C.
S -1
2．（2024 年北京高考數學真題）生物豐富度指數 d = 是河流水質的一個評價指標，其中 S , N 分別表
ln N
示河流中的生物種類數與生物個體總數.生物豐富度指數 d 越大，水質越好．如果某河流治理前后的生物種
類數S沒有變化，生物個體總數由 N1變為 N2 ，生物豐富度指數由 2.1提高到3.15，則（ ）
A．3N2 = 2N1 B． 2N2 = 3N1
C N 2 = N 3． 2 1 D N
3 2
． 2 = N1
【答案】D
S -1 2.1, S -1【解析】由題意得 = = 3.15，則 2.1ln N1 = 3.15ln N2 ，即 2ln N1 = 3ln N
3 2
ln N ln N 2 ，所以 N2 = N1 .1 2
故選：D.
3．（2022 年新高考天津數學高考真題）化簡 2log4 3 + log8 3 log3 2 + log9 2 的值為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
1 1 1
【解析】原式= (2 log2 3 + log2 3)(log 2 + log 2)2 3 3 2 3
4
= log2 3
3
log3 2 = 2，3 2
故選：B
0.7 1
4．（2022 1 年新高考天津數學高考真題）已知 a = 20.7，b = ÷ ， c = log2 ，則（3 ）è 3
A． a > c > b B．b > c > a C． a > b > c D． c > a > b
【答案】C
0.7
【解析】因為 20.7 1> ÷ > 0 = log 1
1
2 > log2 ，故 a > b > c .
è 3 3
故答案為：C.
1．我們可以把 (1+1%)365 看作每天的"進步”率都是 1%，一年后是1.01365 ；而把 (1-1%)365看作每天的“落后”
率都是 1%，一年后是0.99365 .利用計算工具計算并回答下列問題：
（1）一年后“進步”的是“落后”的多少倍？
（2）大約經過多少天后“進步”的分別是“落后”的 10 倍、100 倍、1000 倍？
1.01365 1.01 3651 = 【解析】（ ） 365 ÷ 1480.7 .0.99 è 0.99
∴一年后“進步”的大約是“落后”的1480.7 倍
x x
（2 1.01 =10 1.01 ）由 得
0.99x ÷
=10
è 0.99
\ x = log lg10 1100 10 =
lg 1.01
= 115
0.9 lg 1.01
0.99 0.99
∴大約經過115天“進步”的是“落后”的10倍.
x
1.01x 1.01 2
由 x =100得
=100, x = 230
0.99 è 0.99
÷
lg 1.01
.
0.99
∴大約經過 230 天“進步”的是“落后”的100倍.
3
1.01x x
=1000 1.01
x = 1.01 345由 得
0.99x ÷
=1000解得
è 0.99 lg 0.99
∴大約經過345天“進步”的是“落后”的1000倍.
2．酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為，為了保障交通安全，根據國家有關規定：100mL血液中酒精含
量達到 20 - 79mg 的駕駛員即為酒后駕車，80mg 及以上認定為醉酒駕車，假設某駕駛員喝了一定量的酒后，
其血液中的酒精含量上升到了1mg / mL .如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時30%的速度減
少，那么他至少經過幾個小時才能駕駛？（參考數據 lg7 0.845， lg 2 0.301）
【解析】設經過 x 個小時才能駕駛，則100 (1- 30%)x < 20，
即0.7x < 0.2 ，
由于 y = 0.7x 在定義域上單調遞減，
x log 0.2 lg 0.2\ > 0.7 = 5lg 0.7 ，
∴他至少經過 5 小時才能駕駛.
a
1
3．已知 log
1 1
a <1， ÷ <1，a 2 < 1求實數 a 的取值范圍.2 è 2
Q log 1 1 log 1【解析】解: a < 2 a
< log
2 a
a ,
1
當 a >1時 loga < loga a成立；2
1
②當 0 < a < 1時，解得0 < a < ．
2
1
a a 0

又 ÷ <1
1 1< ÷ ÷ a > 0 ,
è 2 è 2 è 2
1
a 2 <1 a <1 0 a <1
1
∴a 的取值范圍是 0, 2 ÷
．
è
4．比較下列各題中三個值的大小:
(1) log0.2 6, log0.3 6, log0.4 6 ;
(2) log2 3, log3 4, log4 5 .
log 6 lg 6 , log 6 lg 6 lg 6【解析】解:(1) 因為 0.2 = = , log 6 = lg 6 > 0lg 0.2 0.3 lg 0.3 0.4 lg 0.4 ,
且 lg 0.2 < lg 0.3 < lg 0.4 < 0 ,故 log0.2 6 > log0.3 6 > log0.4 6
Q log 3 log 4 lg3 lg 4 (lg3)
2 - lg 2 lg 4
(2) 2 - 3 = - =lg 2 lg3 lg 2lg3
2
(lg3)2 lg 2 + lg 4 (lg3)2 lg8
2 2
- - 2
lg9
2 ÷ ÷
(lg3) -
2 2 ÷> è ,= è > è = 0
lg 2lg3 lg 2lg3 lg 2lg3
\log2 3 > log3 4同理可證 log3 4 > log5 5,\log2 3 > log3 4 > log4 5 .
5．假設有一套住房的房價從 2002 年的 20 萬元上漲到 2012 年的 40 萬元,下表給出了兩種價格增長方式,其
中P1是按直線上升的房價, P2 是按指數增長的房價,t 是 2002 年以來經過的年數.
t 0 5 10 15 20
P1 /萬元 20 30 40 50 60
P2 /萬元 20 20 2 40 40 2 80
(1)求函數P1 = f (t) 的解析式;
(2)求函數P2 = g t 的解析式;
(3)完成上表空格中的數據,并在同一直角坐標系中畫出兩個函數的圖象,然后比較兩種價格增長方式的差異.
ìb = 20, ìb = 20
【解析】解:(1)設 f (t) = kt + b(k 0) ,則 í ,
10k + b = 40
í
k = 2
\P1 = f (t) = 2t + 20 .
ì m = 20, ì m = 20
(2)設 g(t) = mat ( a > 0 ,且 a 1),則 í .
ma
10 = 40 í a = 10 2
t
\P2 = g(t) = 20 (
10 2)t = 20 210 .
(3)圖象如圖.
由圖象可以看出,在前 10 年,按P1增長的價格始終高于按 P2 增長的價格,但 10 年后, P2 的價格增長速度很快,遠
遠超出P1的價格并且時間越長,差別越大.
易錯點：無視對數函數中底數和真數的范圍
易錯分析： 忽略“對數的真數大于 0”這一個條件導致出錯，面對這類題一定要注意真數和底數的范圍.
【易錯題 1】解不等式 2log(x-4)2 < log
(x-2)
2 .
【解析】因為函數 y = log2 x 在定義域內是單調增函數,解不等式 2log2 (x - 4) < log2 (x - 2) ,即
ìx - 4 > 0 x > 4
ì
log2 (x - 4)
2 < log2 (x - 2)

所以需要滿足 íx - 2 > 0 ,解得 íx > 2 即 4 < x < 6 ,所以不等式
x - 4 2 < x - 2

3 < x < 6
2log2 (x - 4) < log2 (x - 2)的解集為 x 4,6 .
éax2 1+(a-1)x+ aù
【易錯題 2】 y ê ú= log 4 的定義域為 R ，求實數 a的取值范圍.2
【解析】由題意中函數 y = log2[ax
2 + (a -1)x 1+ a]的定義域為 R ,
4
2
即需要滿足 ax + (a -1)x
1
+ a > 0 恒成立,
4
ìa > 0 ìa > 0
1
故有 í 2 1 ,解得 ,即 a > , a -1 - 4a × a 0
í
< a 1> 2
4 2
1
所以函數 y = log2[ax
2 + (a -1)x 1+ a] 的定義域為 R 的取值范圍為 a ,+
4 2 ֏
答題模板：對數型復合函數的單調問題
1、模板解決思路
判斷復合函數單調性的原則是“同增異減”.
2、模板解決步驟
第一步：求函數的定義域．
第二步：將函數分解成內層函數和外層函數．
第三步：判斷內層函數和外層函數的單調性．
第四步：根據“同增異減”的原則確定復合函數的單調性．
【典例 1】若函數 f x = ln é a -1 x +1 ù 在 2,3 上單調遞減，則實數 a的取值范圍是（ ）
A． - ,1 é2 é1 2 B．
ê
,1 C．
3 ÷ ê
,1÷ D．2
,1÷
è 3
【答案】B
【解析】易知函數 y = ln x 在 (0, + )上單調遞增，又函數 f (x) 在 (2,3) 上單調遞減，
2
所以 a -1 < 0且 a -1 3+1 0，解得 a <1．
3
2
即實數 a 的取值范圍為[ ,1)
3
故選：B
【典例 2】已知函數 f (x) = log2 (x
2 - ax + 6) 在 1,2 上單調遞減，則實數 a 的取值范圍為（ ）
A． 4,5 B． 4,5 C． - , 4 D． - , 4 U 5, +
【答案】A
【解析】令 t = x2 - ax + 6，則 f (x) = log2 (x
2 - ax + 6) ，即由 y = log2 t 和 t = x2 - ax + 6復合而成，
而 y = log2 t 在 (0,+ )上單調遞增，
故要使得函數 f (x) = log2 (x
2 - ax + 6) 在 1,2 上單調遞減，
需滿足 t = x2 - ax + 6 > 0在 1,2 上恒成立，且 t = x2 - ax + 6在 1,2 上單調遞減，
ìa
2
即得 í 2 ，解得 4 a 5，即 a 4,5 ，
4 - 2a + 6 0
故選：A
【典例 3】（2024·重慶· 2模擬預測）若函數 f x = ln x - 2ax + 3a 在 1, + 上單調遞增，則實數 a的取值范
圍是（ ）
A． (- ,1］ B． -1,1 C． -1, + D． 1, +
【答案】B
【解析】因為函數 f x = ln x2 - 2ax + 3a 在 1, + 上單調遞增，
ì -2a
- 1
所以 í 2 ，解得-1 < a 1.
1- 2a + 3a > 0
故選：B.

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