資源簡介

第 06 講 函數的圖象
目錄
01 考情透視·目標導航..........................................................................................................................2
02 知識導圖·思維引航..........................................................................................................................3
03 考點突破·題型探究..........................................................................................................................4
知識點 1：掌握基本初等函數的圖像 ........................................................................................................................4
知識點 2：函數圖像作法 ............................................................................................................................................4
解題方法總結 ...............................................................................................................................................................6
題型一：由解析式選圖（識圖） ...............................................................................................................................7
題型二：由圖象選表達式 ...........................................................................................................................................9
題型三：表達式含參數的圖象問題 .........................................................................................................................13
題型四：函數圖象應用題 .........................................................................................................................................17
題型五：函數圖象的變換 .........................................................................................................................................21
題型六：利用函數的圖像研究函數的性質、最值 .................................................................................................24
題型七：利用函數的圖像解不等式 .........................................................................................................................27
題型八：利用函數的圖像求恒成立問題 .................................................................................................................30
題型九：利用函數的圖像判斷零點的個數 .............................................................................................................33
04 真題練習·命題洞見........................................................................................................................39
05 課本典例·高考素材........................................................................................................................41
06 易錯分析·答題模板........................................................................................................................44
易錯點：圖像的變換問題 .........................................................................................................................................44
答題模板：圖像的變換問題 .....................................................................................................................................45
考點要求 考題統計 考情分析
基本初等函數的圖像是高考中的重要考點之
2024年全國甲卷第 7題，5分 一，是研究函數性質的重要工具．高考中總以一
2024年 I卷第 7題，5分 次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對
（1）函數圖像的識別
2023年天津卷第 4題，5分 數函數、冪函數、三角函數等的圖像為基礎來考
（2）函數圖像的應用
2022年天津卷第 3題，5分 查函數圖像，往往結合函數性質一并考查，考查
（3）函數圖像的變換
2022年全國乙卷第 8題，5分 的內容主要有知式選圖、知圖選式、圖像變換以
2022年全國甲卷第 5題，5分 及靈活地應用圖像判斷方程解的個數，屬于每年
必考內容之一．
復習目標：
（1）在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函數.
（2）會畫簡單的函數圖象.
（3）會運用函數圖象研究函數的性質，解決方程解的個數與不等式解的問題.
知識點 1：掌握基本初等函數的圖像
（1）一次函數；（2）二次函數；（3）反比例函數；（4）指數函數；（5）對數函數；（6）三角函數．
x
【診斷自測】函數 f x = 2 的圖象是下列的（ ）4 - x
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因為函數 f x
x
=
2 的定義域為 4 - x
2 > 0，解得：-2 < x < 2，故 B 錯誤.
4 - x
f x -x- = = - f x f x x=
2 ，則函數 2 為奇函數，故 C，D 錯誤；4 - x 4 - x
故選：A.
知識點 2：函數圖像作法
1、直接畫
①確定定義域；②化簡解析式；③考察性質：奇偶性（或其他對稱性）、單調性、周期性、凹凸性；
④特殊點、極值點、與橫/縱坐標交點；⑤特殊線（對稱軸、漸近線等）．
2、圖像的變換
（1）平移變換
①函數 y = f (x + a)(a > 0) 的圖像是把函數 y = f (x) 的圖像沿 x 軸向左平移 a個單位得到的；
②函數 y = f (x - a)(a > 0)的圖像是把函數 y = f (x) 的圖像沿 x 軸向右平移 a個單位得到的；
③函數 y = f (x) + a(a > 0) 的圖像是把函數 y = f (x) 的圖像沿 y 軸向上平移 a個單位得到的；
④函數 y = f (x) + a(a > 0) 的圖像是把函數 y = f (x) 的圖像沿 y 軸向下平移 a個單位得到的；
（2）對稱變換
①函數 y = f (x) 與函數 y = f (-x) 的圖像關于 y 軸對稱；
函數 y = f (x) 與函數的圖像關于 x 軸對稱；
函數 y = f (x) 與函數 y = - f (-x) 的圖像關于坐標原點 (0,0) 對稱；
②若函數 f (x) 的圖像關于直線 x = a對稱，則對定義域內的任意 x 都有
f (a - x) = f (a + x) 或 f (x) = f (2a - x)（實質上是圖像上關于直線 x = a對稱的兩點連線的中點橫坐標
(a - x) + (a + x)
為 a，即 = a 為常數）；
2
若 函 數 f (x) 的 圖 像 關 于 點 (a,b)對 稱 ， 則 對 定 義 域 內 的 任 意 x 都 有
f (x) = 2b - f (2a - x)或f (a - x) = 2b - f (a + x)
③ y = f (x) 的圖像是將函數 f (x) 的圖像保留 x 軸上方的部分不變，將 x 軸下方的部分關于 x 軸對稱翻
折上來得到的（如圖（a）和圖（b））所示
④ y = f ( x ) 的圖像是將函數 f (x) 的圖像只保留 y 軸右邊的部分不變，并將右邊的圖像關于 y 軸對稱
得到函數 y = f ( x ) 左邊的圖像即函數 y = f ( x ) 是一個偶函數（如圖（c）所示）．
注： f (x) 的圖像先保留 f (x) 原來在 x 軸上方的圖像，做出 x 軸下方的圖像關于 x 軸對稱圖形，然后擦
去 x 軸下方的圖像得到；而 f ( x )的圖像是先保留 f (x) 在 y 軸右方的圖像，擦去 y 軸左方的圖像，然后做
出 y 軸右方的圖像關于 y 軸的對稱圖形得到．這兩變換又叫翻折變換．
⑤函數 y = f -1(x) 與 y = f (x) 的圖像關于 y = x 對稱．
（3）伸縮變換
① y = Af (x)(A > 0) 的圖像，可將 y = f (x) 的圖像上的每一點的縱坐標伸長 (A > 1) 或縮短 (0 < A < 1)到
原來的 A倍得到．
② y = f (wx)(w > 0) 的圖像，可將 y = f (x) 的圖像上的每一點的橫坐標伸長 (0 < w < 1)或縮短 (w > 1) 到
1
原來的 倍得到．
w
【診斷自測】若函數 y = f x 的定義域為R ，則函數 y = f x -1 與 y = f 1- x 的圖象關于（ ）
A．直線 x = 0對稱 B．直線 y = 0 對稱
C．直線 x =1對稱 D．直線 y = 1對稱
【答案】C
【解析】因為函數 f x -1 的圖象是 f x 的圖象向右平移 1 個單位得到的，
f 1- x = f - x -1 的圖象是 f -x 的圖象也向右平移 1 個單位得到的；
又因為 f x 與 f -x 的圖象是關于 y 軸（直線 x = 0）對稱，
所以函數 y = f x -1 與 y = f 1- x 的圖象關于直線 x =1對稱.
故選：C .
解題方法總結
（1）若 f (m + x) = f (m - x) 恒成立，則 y = f (x) 的圖像關于直線 x = m 對稱．
（2）設函數 y = f (x) 定義在實數集上，則函數 y = f (x - m) 與 y = f (m - x) (m > 0)的圖象關于直線
x = m 對稱．
a + b
（3）若 f (a + x) = f (b - x) ，對任意 x R 恒成立，則 y = f (x) 的圖象關于直線 x = 對稱．
2
a + b
（4）函數 y = f (a + x) 與函數 y = f (b - x)的圖象關于直線 x = 對稱．
2
（5）函數 y = f (x) 與函數 y = f (2a - x)的圖象關于直線 x = a對稱．
（6）函數 y = f (x) 與函數 y = 2b - f (2a - x) 的圖象關于點 (a，b) 中心對稱．
（7）函數平移遵循自變量“左加右減”，函數值“上加下減”．
題型一：由解析式選圖（識圖）
【典例 1-1】（2024·安徽淮北·二模）函數 f x
sinx
=
cosx 的大致圖像為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
sinx π
【解析】由 f x = cosx 可知， cos x 0，即 x + kπ,k Z ，顯然該函數定義域關于原點對稱，2
f x sin( - x) sin x由 - = = - = - f (x)cos( - x) cos x 可知，函數為奇函數，排除 B, D 兩項，
sin 3π
又 f (
3π) = 43π = 1 > 0，排除 A 項，故 C 項正確.4 | cos |
4
故選：C.
【典例 1-2】（2024·陜西商洛·模擬預測）函數 y = xcosx - sinx 的部分圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】當 x = 0時， y = 0 ，故排除選項 C；
當 x = π 時， y = -π < 0 ，故排除選項 B；
令 f x = xcosx - sinx，則 f -x = -xcosx + sinx = - f x 在 -π, π 上恒成立，
\函數 y = xcosx - sinx 在區間 -π, π 上是奇函數，其函數圖象關于原點對稱，
故排除選項 D，A 選項正確.
故選：A.
【方法技巧】
利用函數的性質（如定義域、值域、奇偶性、單調性、周期性、特殊點等）排除錯誤選項，從而篩選
出正確答案.
xln x
【變式 1-1】（2024·天津·二模）研究函數圖象的特征，函數 f x = 的圖象大致為（ ）
x2 +1
A． B．
C． D．
【答案】B
xln x
【解析】 f x = 2 定義域為 - ,0 0, + ，即定義域關于原點對稱，x +1
-x ln x
且 f -x = 2 = - f x ，x +1
所以 f x 是奇函數，其圖象關于原點對稱，故排除 CD，
注意到當0 < x <1時，有 x ln x 0, x2 +1 0，即 f x < 0 ，
此時函數圖象位于 x 軸下方，故排除 A，經檢驗 B 選項符合題意.
故選：B.
1
【變式 1-2】（2024·湖北·模擬預測）函數 f x = ex - e x - lnx2 的圖象大致為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
ì 11 x x
x e - e - 2ln -x , x < 0【解析】 f x = e - e x lnx2 - = í 1 ，

e
x - e x - 2lnx, x > 0
1
因為當 x < 0 時， y = ex , y = -e x , y = -2ln -x 都為增函數，
1
所以， y = ex - e x - 2ln -x 在 - ,0 上單調遞增，故 B，C 錯誤；
1
-
又因為 f -x = e- x - e x - ln x2 - f x ，
所以 f x 不是奇函數，即圖象不關于原點對稱，故 D 錯誤.
故選：A
題型二：由圖象選表達式
【典例 2-1】（2024·安徽馬鞍山·三模）已知函數 y = f (x) 的大致圖象如圖所示，則 y = f (x) 的解析式
可能為（ ）
x x
A． f (x) x ×3 x ×3= B． f (x) =
9x -1 9x +1
ln x +1C f (x)
-x
． f (x) = D． =2 2x +1 x +1 ln x + 2
【答案】D
3
【解析】對于選項 A：因為 f (1) = > 0，與圖象不符，故 A 錯誤；
8
3
對于選項 B：因為 f (1) = > 0，與圖象不符，故 B 錯誤；
10
ln 2
對于選項 C：因為 f (1) = > 0，與圖象不符，故 C 錯誤；
2
故選：D.
【典例 2-2】（2024·寧夏固原·一模）已知函數 f x 的部分圖像如圖所示，則 f x 的解析式可能為
（ ）
x
f x e - e
- x ex - e- x
A． = 4 x B．
f x =
- 3 3- 4 x
x - x x
C． f x e + e= f x =4 x - 3 D． x -1
【答案】A
x - x
【解析】對于 B，當 x >1時， f x e - e= ，易知 ex - e- x > 0，3 - 4x < 0，
3 - 4x
則 f x < 0 ，不滿足圖象，故 B 錯誤；
x - x
對于 C， f x e + e= 3 3 3 3，定義域為 - , - ÷ U - , ÷ U , +

4 x ，- 3 4 ÷è è 4 4 è 4
e- x + ex ex - x
又 f (-x)
+ e
= = = f (x) f x
4 x 3 4 x 3 ，則 的圖象關于
y 軸對稱，故 C 錯誤；
- - -
對于 D，當 x >1時， f x
x x 1
= = =1+
x -1 x -1 x -1，
由反比例函數的性質可知， f x 在 1, + 上單調遞減，故 D 錯誤；
x - x
檢驗選項 A， f x e - e= 4 x 3 滿足圖中性質，故 A 正確.-
故選：A.
【方法技巧】
1、從定義域值域判斷圖像位置；
2、從奇偶性判斷圖像的對稱性；
3、從周期性判斷圖像循環往復；
4、從單調性判斷大致變化趨勢；
5、從特殊點排除錯誤選項．
【變式 2-1】（2024·天津·二模）函數 f x 的圖象如圖所示，則 f x 的解析式可能為（ ）
ln x ex - e- xA． f x = 2 B． f x =x +1 x2
x2 -1 ln xC． f x = D． f x =
x x
【答案】C
【解析】由圖象知，該函數圖象關于原點對稱，所以函數 f x 為奇函數，且 f 1 = 0，
ln -x ln x對于 A， f -x = 2 = 2 = f x x +1 ，為偶函數，故 A 錯誤；-x +1
e1 - e-1
對于 B， f 1 = 2 = e
1
- 0 ，故 B 錯誤；
1 e
C -x
2 -1 x2 -1 x2 -1 1
對于 ， f -x = = - ，為奇函數，當 x > 0時， f x = = x - ，
-x x x x
1 1
因為 y = x ， y = - 在 0, + 為單調遞增函數，所以 f x = x - 在 0, + 單調遞增，故 C 正確；
x x
對于 D，當 x > 0時， f x ln x f x 1- ln x= ， = 2 ，所以 x 0,e 時， f x > 0，x x
f x 單調遞增，當 x e, + 時， f x < 0， f x 單調遞減，故 D 錯誤，
故選：C.
【變式 2-2】（2024·湖南·二模）已知函數 f x 的部分圖象如圖所示，則函數 f x 的解析式可能為
（ ）
2 2
A． f x 2x 2x= - x 1 B． f x = -- x +1
f x 2x= - 2 xC． x -1 D． f x = - x2 -1
【答案】A
【解析】由圖可知，函數圖象對應的函數為偶函數，排除 C；
由圖可知，函數的定義域不是實數集.故排除 B；
由圖可知，當 x + 時， y - ，
而對于 D 選項，當 x + 時， y 0，故排除 D.
故選：A.
【變式 2-3】（2024·陜西安康·模擬預測）函數 f (x) 的部分圖象如圖所示，則 f (x) 的解析式可能為（ ）
x sin x + x2 x sin x x sin x + x
A． f (x) = B． f (x) = C． f (x) =
| x | +1 | x | +1 | x | +1
x sin x
D． f (x) =
x2 +1
【答案】A
【解析】由圖象可得函數 f x 為偶函數，且 x R ， f x 0，當且僅當 x = 0時， f x = 0，
2 2
對于 A，因為 f -x -x sin -x + -x x sin x + x= = = f x ， x R ，所以函數 f x 是偶函數，又
-x +1 x +1
y = sin x + x ， x > 0，
則 y = cos x +1 0，所以函數 y = sin x + x 在 0, + 上單調遞增，
所以 y = sin x + x > 0，故解析式可能為 A，故 A 正確；
3π 3π 3π
f 3π
sin -
對于 B，由 = 2 2 2 ÷
è 2 3π
=
1 3π
< 0，不合題意，故 B 錯誤；
+ +1
2 2
-x sin -x + -xf x x sin x - x對于 C，因為 - = = ，所以 f -x f x 且 f -x - f x x ，- +1 x +1
所以函數 f x 是非奇非偶函數，故 C 錯誤；
對于 D，由 f π πsin π= 2 = 0，不合題意，故 D 錯誤.π +1
故選：A.
題型三：表達式含參數的圖象問題
【典例 3-1】（2024·重慶·模擬預測）已知函數 f (x) = xa (x > 0)，a 為實數， f (x) 的導函數為 f (x) ，在
同一直角坐標系中， f (x) 與 f (x) 的大致圖象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 f (x) = xa ,可得 f x = a xa -1
對于A ，當a = -1 -1 -2
1
時，在第一象限上 f x = x 遞減，對應 f x = -x = - 圖象在第四象限且遞增，故
x2
A 項符合；
對于B, C, D,在第一象限上 f x 與 f (x) 的圖象在 (0, + )上都單調遞增，故a > 0且a -1 > 0 ，則a > 1 .
又由 f x = f x 可得 x = a > 1，即 f (x) = xa f x = a xa -1與 的圖象交點橫坐標應大于 1，顯然 C 項不符
合，B, D 項均符合.
故選：C.
m n
【典例 3-2】（多選題）（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = a x +1 x -1 （其中m + n > 0,a 0）
的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．m > n > 0 B．m < 3n C．m > 0 > n D． a<0
【答案】AB
【解析】選項 A，B，C：由題意知
f x = am x +1 m-1 x -1 n + an x +1 m x -1 n-1 = a x +1 m-1 x -1 n-1 é m + n x - m - n ù ，
令 f x = 0，解得 x= 1 m - n- 或 x =1或 x = ，
m + n
f x 0, 1 由題圖可知函數 的一個極值點位于區間 2 ÷ ，è
因此0
m - n 1
< < ，又m + n > 0，所以0 < 2m - 2n < m + n n < m < 3n ，故 n > 0，因此 A，B 正確，C 錯
m + n 2
誤.
D f 1 3
m 1 n
選項 ：由題圖可知 = a
-
2 ÷ 2 ÷ 2 ÷
> 0，
è è è
3 2
若取m = 3,n = 2 a 3 1 ，則 2 ÷
- ÷ > 0，解得 a > 0，因此 D 錯誤.
è è 2
故選：AB
【方法技巧】
根據參數的不同情況對每個選項逐一分析，推斷出合理的圖像位置關系，排除相互矛盾的位置關系，
以得出正確選項．
m
【變式 3-1】（多選題）（2024· 3安徽合肥·一模）函數 f x = x - m R 的圖象可能是（ ）
x
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由題意可知，函數 f x 的定義域為 - ,0 0, + ，
當m > 0時， f x = 3x2 m+ 2 > 0，函數 f x 在 - ,0 , 0, + 上單調遞增，故 B 正確；x
m = 0 f x = x3 f x = 3x2當 時， ， > 0，所以在 - ,0 , 0, + 上單調遞增，故 D 正確；
f x x3 m 0 f x x3 m當m < 0時，當 x > 0時， = - > ；當 x < 0 時， = - < 0；
x x
故 A 正確；C 錯誤.
故選：ABD.
ax +1
【變式 3-2】（多選題）函數 f x = 2 的大致圖象可能是（x a ）+
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】當 a = 0 f x 1時， = 2 是偶函數，當 x > 0時， f x 為減函數，此時對應圖象可能是 C；x
-ax2 - 2x + a2
當 a > 0時， x R ，令 f x = 0得 x 1= - < 0， f x 為非奇非偶函數，且 f x =
a 2 2 ，x + a
令 y = -ax2 - 2x + a2其對應方程的D = 4 + 4a3 > 0，設其對應方程的兩根分別為x1，x2， x1 < 0 < x2 ，
所以 x - , x1 ， f x < 0， x x 1, x2 ， f x > 0， x x2 , + ， f x < 0，
即函數 f x 在 - , x1 和 x2 ,+ 上單調遞減，在 x1, x2 上單調遞增，由單調性判斷此時對應圖象可能是
B；
當 a<0時， f x 為非奇非偶函數， f x 在 x = ± -a 處無定義，
取 a = -2, f x 1- 2x= 2 , f
1
÷ = 0, x < - 2 時 f x > 0且 f x 單增，x - 2 è 2
x > 2 時 f x < 0 且 f x 單增，- 2 < x < 2 時 f x 單增，
此時對應圖象可能是 D；
對于 A，由于圖象無間斷點，故 a > 0，但此時 f x 在 x < 0 上不可能恒正，
故選：BCD.
【變式 3-3】（多選題）（2024·福建泉州·模擬預測）函數 f (x) = ln 1+ x - k ln 1- x 的大致圖像可能為
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】因為 f (x) = ln 1+ x - k ln 1- x ，
ì1+ x > 0
所以 í ，解得-1 < x <1，故 f x 定義域為 -1,1 .
1- x > 0
1 k x k -1 +1+ kf x = + = ， f (-x) = ln 1- x - k ln 1+ x2 ，1+ x 1- x 1- x
因為 k > 0時， f (x)
1 k
= + > 0在區間 (-1,1)上恒成立，
1+ x 1- x
所以 f (x) 在區間 (-1,1)上單調遞增.
當 k =1時， f (-x) = - f (x) ，此時 f (x) 為奇函數，故選項 B 正確；
當 k = 0時， f (x) = ln 1+ x ，易知其圖像為選項 D，故選項 D 正確.
f (x) = 0 x 1+ k 1 2kk 0 1+ k 2當 < 時，由 ，得 = = + ，又 - (-1) = > 0，
1- k 1- k 1- k 1- k
1+ k
所以-1 < <1，即 f (x) ( 1,
1+ k 1+ k
在區間 - ) 上單調遞增，在區間 ( ,1)上單調遞減，
1- k 1- k 1- k
綜上可知， f (x) 在區間 (-1,1)上不嚴格單調遞減，故選項 A 不正確；
當 k = -1時， f (-x) = f (x)，此時 f (x) 為偶函數，
且 f (x) 在區間 (-1,0) 上單調遞增，在區間( 0, 1)上單調遞減，故選項 C 正確，
故選：BCD.
ax + b
【變式 3-4】（多選題）函數 f x = 2 a,b,c R 的圖象可能為（ ）x + c
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】①當 a 0,b = 0時， f (-x)
-ax ax
= 2 = - 2 = - f (x)( x) c x c ，- + +
a
當 a > 0,c > 0時， f (x)
f (x) =
是定義在 R 上的奇函數，當 x (0,+ )時， f (x) > 0 ， x c+ ，
x
y x c函數 = + 在 (0, c )x 上遞減，在 ( c , + )上遞增，
因此 f (x) 在 (0, c ) 上遞增，在 ( c , + )上遞減，A 可能；
當a < 0,c < 0時， f (x) 是定義在{x R | x ± -c}上的奇函數，
a
f (x) > 0 f (x) = c y x -c當 x (0, -c )時， ， x - = -- ，函數 在 (0, -c ) 上遞增，
x x
則 f (x) 在 (0, -c ) 上遞增，當 x ( -c ,+ ) 時， f (x) < 0，同理 f (x) 在 ( -c , + )上遞增，B 可能；
b b
②當 a = 0,b 0,c < 0時， f (x) 的定義域為{x | x ± -c}， f (-x) = 2 = 2 = f (x) ， f (x)(-x) c x c 為偶函數，+ +
若b > 0時，當 x (- -c , -c )時， f (x) < 0（注意 f (0) < 0），
當 x (- ,- -c ) U ( -c ,+ ) 時， f (x) > 0 ，則 C 不可能；
若b < 0時，當 x (- -c , -c )時， f (x) > 0 ，當 x (- ,- -c ) U ( -c ,+ ) 時， f (x) < 0，則 D 可能.
故選：ABD
題型四：函數圖象應用題
【典例 4-1】如圖，長方形 ABCD的邊 AB = 2 ， BC =1，O是 AB 的中點．點 P 沿著邊BC ，CD與DA
運動，記 BOP = x ．將動點 P 到 A, B兩點距離之和表示為 x 的函數 f (x) ，則 y = f (x) 的圖像大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由題意可得 f
π π 2 2
÷ = 2 + 2 = 2 2 ， f ÷ = 2 +1 +1 = 5 +1，
è 2 è 4
f π < f π 故 ÷ ÷，由此可排除 C、D；
è 2 è 4
當 0 < x
π
< 時點 P 在邊BC 上，PB = tan x4 ，PA = AB
2 + PB2 = 4 + tan2 x ，
π
所以 f x = tan x + 4 + tan2 x ，可知 x 0, ÷時圖像不是線段,可排除 A，故選 B．
è 4
故選：B.
【典例 4-2】（2024·廣東佛山·模擬預測）如圖，點 P 在邊長為 1 的正方形邊上運動， M 是CD的中點，
當點 P 沿 A - B - C - M 運動時，點 P 經過的路程 x 與△ APM 的面積 y 的函數 y = f x 的圖象的形狀大致是
（ ）
A． B．
C． D．
E．均不是
【答案】A
1 x
【解析】當點 P 在 AB 上時， y = AP BC = ，
2 2
當點 P 在BC 上時， y = AB BC
1
- AB BP 1- AD DM 1- MC CP
2 2 2
1 1 x 1 1 1 1 1 3 x= - - - - 2 - x = - ，
2 2 2 2 2 4 4
1
當點 P 在CM 上時， y = AD PM
1 5 5 1
= - x

÷ = - x，2 2 è 2 4 2
其中 A 選項符合要求，B、C、D 都不符合要求，故 A 正確.
故選：A.
【方法技巧】
（1）從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置．
（2）從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；
（3）從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；
（4）從函數的特征點，排除不合要求的圖象．
【變式 4-1】（2024·安徽·模擬預測）如圖，直線 l在初始位置與等邊VABC 的底邊重合，之后 l開始在
平面上按逆時針方向繞點A 勻速轉動（轉動角度不超過60°），它掃過的三角形內陰影部分的面積S是時間
t 的函數．這個函數的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如圖所示，取BC 的中點E，連接 AE ，因為VABC 為等邊三角形，可得 EAB = 30o ，
設等邊VABC 的邊長為 2，且 DAB = a ，其中0o a 60o，
o o
可得 DE = AE tan(30 -a ) = 3 tan(30 -a ) ，
3
又由VABC 的面積為 SVABC = 3 ，可得 SVABE = ，2
S 1= 3 3 tan(30o a ) 3- = tan(30o且 VADE -a ) ，2 2
△ABD S S S 3 3則 的面積為 = VABE - VADE = - tan(30
o -a ) 3 3= + tan(a - 30o )，
2 2 2 2
令 S x 3 3= + tan(x - 30o )，其中0o x 60o，
2 2
S x 3 1可得 = 2 o > 0 ，所以 S x2 cos (x 30 ) 為單調遞增函數，-
又由余弦函數的性質得，當 x = 30o 時，函數 S x 取得最小值，
所以陰影部分的面積一直在增加，但是增加速度先快后慢再快，
結合選項，可得選項 C 符合題意.
故選：C.
【變式 4-2】（2024·山東·二模）如圖所示，動點 P 在邊長為 1 的正方形 ABCD的邊上沿
A B C D運動， x 表示動點 P 由 A 點出發所經過的路程， y 表示△APD 的面積，則函數 y = f x
的大致圖像是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
x
【解析】當 x 0,1 時， y = ，是一條過原點的線段；
2
當 x 1,2 y 1時， = ，是一段平行于 x 軸的線段；
2
當 x 2,3 3- x時， y = ，圖象為一條線段.
2
故選：A．
題型五：函數圖象的變換
【典例 5-1】（2024·北京西城·二模）將函數 f (x) = tan x 的圖象向右平移1個單位長度，所得圖象再關
于 y 軸對稱，得到函數 g(x)的圖象，則 g(x) =（ ）
A．1- tan x B． -1- tan x C． - tan ( x -1) D． - tan ( x +1)
【答案】D
【解析】將函數 f (x) = tan x 的圖象向右平移1個單位長度，所得函數為 f (x -1) = tan x -1 ，
則函數 f (x -1) = tan x -1 的圖象再關于 y 軸對稱得函數 g(x) = f -x -1 = tan -x -1 = - tan x +1 .
故選：D.
【典例 5-2】（2024·遼寧·三模）已知對數函數 f (x) = loga x，函數 f (x) 的圖象上所有點的縱坐標不變，
橫坐標擴大為原來的 3 倍，得到函數 g(x)的圖象，再將 g(x)的圖象向上平移 2 個單位長度，所得圖象恰好
與函數 f (x) 的圖象重合，則 a的值是（ ）
3
A B 2 3． ． 3 C． D．2 33
【答案】D
【解析】因為將函數 f (x) 的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標擴大為原來的 3 倍，得到函數 g x 的圖象，
所以 g(x) = log
x
a ，即 g(x) = loga x - loga 3，3
將 g(x)的圖象向上平移 2 個單位長度，所得圖象的函數解析式 y = loga x - loga 3 + 2 ，
因為所得圖象恰好與函數 f x 的圖象重合，
所以- loga 3 + 2 = 0，
所以 a2 = 3，又 a > 0且 a 1，
解得 a = 3，
故選：D
【方法技巧】
熟悉函數三種變換：（1）平移變換；（2）對稱變換；（3）伸縮變換.
【變式 5-1】（2024·江西贛州·二模）已知函數 f x 的圖象的一部分如下左圖，則如下右圖的函數圖象
所對應的函數解析式（ ）
y f 4x -1 A． y = f (2x -1) B． = 2 ÷è
1- 4x
C． y = f (1- 2x) D． y = f

÷
è 2
【答案】C
【解析】
①x - x ②x x-1 ③x 2x
y = f (x) y = f (-x) y = f (1- x) y = f (1- 2x)
①關于 y 軸對稱②向右平移 1 個單位③縱坐標不變，橫坐標變為原來的一半
故選：C.
【變式 5-2】（2024·四川南充·二模）已知函數 f (x) = ex - e- x ，則函數 y = f (x -1) +1的圖象（ ）
A．關于點 (1,1) 對稱 B．關于點 (-1,1)對稱 C．關于點 (-1,0) 對稱 D．關于點
(1, 0) 對稱
【答案】A
【解析】因為 f (x) = ex - e- x ，所以 f (-x) = e-x - ex = - f (x)，即 f (x) 的圖象關于原點對稱，
函數 y = f (x -1) +1的圖象可由 f (x) 的圖象，先向右平移一個單位，再向上平移一個單位得到，
所以函數 y = f (x -1) +1的圖象關于點 (1,1) 對稱.
故選：A.
【變式 5-3】已知函數 f x 的圖象如圖 1 所示，則圖 2 所表示的函數是（ ）
A．1- f x B．- f 2 - x C． f -x -1 D．1- f -x
【答案】C
【解析】由圖知，將 f x 的圖象關于 y 軸對稱后再向下平移1個單位即得圖 2，
又將 f x 的圖象關于 y 軸對稱后可得函數 y = f -x ，
再向下平移1個單位，可得 y = f -x -1
所以解析式為 y = f -x -1，
故選：C.
題型六：利用函數的圖像研究函數的性質、最值
ì 2 x , x > 0
【典例 6-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = í .若m < n ， f m = f n ，則 n - m的
x + 3, x 0
最小值為（ ）
5 3
A．1 B． C． D．2
4 2
【答案】D
【解析】畫出 f x 的圖象如下圖所示，
令 f m = f n = t ，則0 < t 3，
且-3 < m 0 < n，則 2 n = t, m + 3 = t ，
t 2
所以 n = 且m = t - 3，
4
t 2
2
n m - 4t +12 t - 2 + 8所以 - = = 0 < t 3 ，
4 4
當 t = 2時， n - m取得最小值為 2．
故選：D.
【典例 6-2】用min a,b,c ì 1 ü表示 a，b，c 三個數中的最小值，則函數 f (x) = min íx +1, - x + 4,-x + 6
2
的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
y x 1, y 1【解析】在一個坐標系中畫出 = + = - x + 4, y = -x + 6的圖像，從左到右，取橫坐標對應的縱坐標小
2
的點構成新的圖像，如圖：
1
其中 A 點，即 y = x +1與 y = - x + 4的交點，其縱坐標即為所求
2
ìy = x +1

聯立 í 1 ，解得 A 2,3 ，
y = - x + 4 2
ì 1 ü
函數 f (x) = min íx +1, - x + 4,-x + 6 的最大值為 3
2
故選：C.
【方法技巧】
利用函數圖像求函數的最值，先作出所涉及到的函數圖像，根據題目對函數的要求，從圖像上尋找取
得最值的位置，計算出答案，體現了數形結合的思想．
【變式 6-1】已知b R ，設函數 f x = log2 x + 2x + b 在區間 t, t +1 t > 0 上的最大值為M t b .若
b M t b 2 = R ，則正實數 t 的最大值為 .
1
【答案】
3
【解析】畫出 f x = log2 x + 2x + b 的圖象如下：
故M t b = max f t , f t +1 ，
由圖象可知，當 f t = f t +1 時，M t b 取得最小值，最小值為 f t ，
此時 t < m < t +1，- log2 t + 2t + b = log2 t +1 + 2 t +1 + b，
則b
1
= - log2 t t +1 - 2t -1 ①，2
故只需要- log2 t + 2t + b 2 ②，

將①代入②得- log
1
2 t + 2t - log2 t t +1 - 2t -1

÷ 2，
è 2
t 1
化簡得 ，解得 t
1
，
t +1 4 3
1
故正實數 t 的最大值為 .
3
1
故答案為：
3
ìa, (a b) 9
【變式 6-2】對 a，b R ，記max a,b = ì 2 üíb, (a ，則函數 f (x) = max< b) í x +1 , x - 2x + 的最小值 4
為 ．
3
【答案】 /1.5
2
f (x) max ì x 1 , x2 2x 9【解析】函數 = í + - +
ü
是函數 y =| x +1| 2與函數 y = x - 2x
9
+ 同一個 x 取得的兩個函數
4 4
值的較大的值，
作函數 y =| x +1|與函數 y = x2 - 2x
9
+ 的圖象如下，
4
x2 2x 9由圖象可知，令 - + = x 1 x
1
+ ，得 = 或 x
5
= ，
4 2 2
故當 x
1 3
= 時， f (x) 的最小值為 ．
2 2
3
故答案為： ．
2
題型七：利用函數的圖像解不等式
ì log2 x , x 0,4
【典例 7-1】已知函數 f x = í 3 ，則滿足1 f x 3的 x 的取值范圍為（ ）
, x 4,+ x - 3
A． é0,2 4,6
é1 , 1ù ù B． 4,6 ê8 2 ú
é1 , 1 ù 2,4 é1 , 1 ùC． ê ú D． ê 2,6 8 2 8 2 ú
【答案】D
【解析】令 f x =1，則 log2x =1 x 0,4 3或 =1 x 4, + ，x - 3
1
解得 x = 或 x = 2或 x = 6 .
2
令 f x = 3，則 log2x = 3 x 0,4 3或 = 3 x 4, + ，x - 3
1
解得 x = 或 x = 4 .
8
é1 1 ù
畫出函數 f x 圖象的草圖（如圖），得滿足1 f x 3的 x 的取值范圍為 ê , ú 2,6 . 8 2
故選:D.
ìx 1 + , x
é
ê0,
3
÷
【典例 7-2】（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）已知函數 f x
2 2= í ，則
2 3 3 - f
x - ÷ , x
é
è 2 ê
, + ÷
2
f x > log2x 的解集是（ ）
A
1
． ,1

÷ B． 1,22 è
1 ,2 C
1
． ÷ D． ,1÷ U 1,2
è 2 è 2
【答案】C
é3
【解析】根據題意當 x ê ,3
3 1
÷時, f x = 2 - (x - + ) = 3 - x ，
2 2 2
x 9 é 當 ê3, ÷時, f x = 2 -[2
5
- f (x - 3)] = f (x - 3) = x - ,
2 2
ì 1 é
x + , x ê0,
3
2 2 ÷
作出函數 f x = í 的圖象如圖，
2 3- f x - , x é 3 , +

è 2
÷ ê 2 ÷
在同一坐標系中作出函數 y = log2x 的圖象，
由圖象可得不等式 f x 1> log 2x 解集為 , 2

2 ÷
，
è
故選：C
【方法技巧】
利用函數圖像求解不等式的解集及參數的取值范圍．先作出所涉及到的圖像，求出它們的交點，根據
題意結合圖像寫出答案.
ì3x , x 0
【變式 7-1】已知函數 f x = í ，則不等式 f ( f (x)) < 4 f (x) +1的解集是（ ）
3x +1, x < 0
1 1
A． - ,0

B．
3 ÷
- ,1
è è 3 ÷
1
C． (0,2) D． - , log3 3
2÷
è
【答案】D
【解析】令 t = f (x) ，則 f ( f (x)) < 4 f (x) +1即為 f (t) < 4t +1，
當 t < 0時， f (t) = 3t +1 > 4t +1，故 f (t) < 4t +1 無解，
當 t 0時， f (t) = 3t , f (t) < 4t +1即為3t < 4t +1，
在同一平面直角坐標系下畫出 y = 3t 和 y = 4t +1的大致圖像如圖，
由圖可得當且僅當0 < t < 2時，3t < 4t +1，
綜上所述， f (t) < 4t +1的解為0 < t < 2，又 t = f (x) ，
所以0 < f (x) < 2，
當 x < 0 時， f (x) = 3x +1，
1 1 1
故 0 < 3x +1 < 2，解得：- < x < ，所以- < x < 0，
3 3 3
當 x 0 時， f (x) = 3x ，
故 0 < 3x < 2 ，解得： x < log3 2 ，所以 0 x < log3 2 ，
1
綜上所述，不等式 f ( f (x)) < 4 f (x) +1

的解集是 - , log 2

3 3 ÷
.
è
故選：D.
x + x
【變式 7-2】（2024·高三·江西·期中）已知函數 f x = +1， g x = f x - 2 + 1，則不等式
2
f x < g x 的解集為（ ）
A． - ,1 B． 1,2
C． 1, + D． 2, +
【答案】A
x + x ì 1, x < 0, 2, x < 2,【解析】由題知 f x = +1 = í g x f x
ì
= - 2 +1 =
2 x +1, x 0, íx, x
在同一坐標系下畫出 f x ，
2,
g x 圖象如下所示：
由圖可知 f x < g x 的解集為 - ,1 .
故選：A.
題型八：利用函數的圖像求恒成立問題
ì-x2 + 4x, x 1,
【典例 8-1】（2024·北京昌平·二模）已知函數 f x = íln x 1 , x 1.若對任意的
x 都有 f x ax恒成
- >
立，則實數 a的取值范圍是（ ）
A． - ,0 B． -4,0 C． -3,0 D． - , 2
【答案】B
ì -x2 + 4x, x 1
【解析】因為 f x = í g(x) = f (x) g(x)
ln x -1 , x 1
，令 ，作出 圖象，如圖所示，
>
令 h(x) = ax，由圖知，要使對任意的 x 都有 f x ax恒成立，則必有a 0，
ì 2
當 x 0 時， y = x2
y = x - 4x
1 - 4x ，由 í ，消 y 得到 x2 - (4 + a)x = 0，
y = ax
由Δ = 0，得到 (4 + a)2 = 0，即 a = -4 ，由圖可知-4 a 0，
故選：B.
ì x + 2, x <1
【典例 8-2】已知函數 f (x)
x
= í 2 ,設 a R,若關于 x 的不等式 f (x) + a 在R 上恒成立，則
x + , x 1 2 x
a的取值范圍是（　　）
é 3 ù
A． ê-2, 2ú B． -2,2 2
é 5 2, 2ù é 5 2, 3C． ê-
ù
D．
2 ú ê
- 2
2 2 ú
【答案】B
x
【解析】由題意知，令 g(x) = + a2 ，函數
f (x) 的圖象如圖所示，
當函數 g(x)的圖象經過點 (0,2)時，得 a = ±2 .
x 2
當 y = + a 的圖象與 y = x + (x 1)x 的圖象相切時，2
x
由 + a = x
2
+ ，得 x2 - 2ax + 4 = 0，結合圖形，由Δ = 0得 a = 2 .
2 x
若不等式 f (x)
x
+ a 在 R 上恒成立，
2
當a 0時，需滿足-a 2，即 -a 2 0，
當 a > 0時，需滿足 a 2，即0 a 2 ，
所以-2 a 2，
所以實數 a 的取值范圍為[-2,2] .
故選：B.
【方法技巧】
先作出函數的圖像，觀察參數的變化怎樣影響函數的形態和位置關系，找到參數的臨界值，進一步得
出參數的范圍．
【變式 8-1】已知函數 f x 的定義域為R ,滿足 f (x) = 2 f (x -1) ,且 x (0,1]時, f (x) = x2 - x .若
"x (- ,a] 3,都有 f (x) - ,則 a的取值范圍是（ ）
4
5 ù 9 ù
A． - , ú B． - ,è 2 è 4 ú
7 ù 11ù
C． - , D． - ,
è 3 ú è 4 ú
【答案】B
【解析】當1< x 2時, 0 < x -1 1,
因為 f (x) = 2 f (x -1) ,且 x (0,1] é
1 ù
時, f (x) = x2 - x ê- ,0 4 ú
,

所以 f (x) = 2 f (x -1) = 2 é x -1 2 - x -1 ù = 2x2 6x 4 é 1- + - ,0ù ê ú ; 2
當 2 < x 3時,1< x -1 2 ,
所以 f (x) = 2 f (x -1) = 2 é 2 x -1
2 - 6 x -1 + 4ù = 4x
2 - 20x + 24 -1,0 ;
因為 f (x) = 2 f (x -1) f x +1 = 2 f x 1 f x = f x +1 ,
2
當-1 < x 0時, 0 < x +1 1 ,
1
所以 f (x) = f (x +1)
1
= é x +1
2 1- x +1 ù = x
2 1 1+ x éê- ,0
ù
2 2 2 2 8 ú
;

所以 f (x) = 2 f (x -1) f x +1 = 2 f x ,得 f x + t = 2t f x t Z ,
由此做出函數圖像得:
當 2 < x 3時, 4x2 20x 24
3 9 11
- + = - ,解得 x = 或 x = ,
4 4 4
4x2結合圖像得 - 20x 24
3 9 11
+ - 的解為: x 或 x ,
4 4 4
因為"x (- ,a] ,都有 f (x)
3
- ,
4
a , 9所以 -
ù
ú .è 4
故選:B.
【變式 8-2】（2024·河南新鄉·三模）設函數 f (x) 的定義域為R ，滿足 f (x - 2) = 2 f (x) ，且當 x (0, 2]
時， f (x) = x(2 - x)
3
.若對任意 x [a, + )，都有 f (x) 成立，則 a的取值范圍是（
8 ）
A é
7 é5
． ê ,+ ÷ B． , + 2 ê2 ÷
3ù 5 ù
C． - , - ú D． - ,-è 2 è 2 ú
【答案】A
【解析】因為當 x (0, 2]時， f (x) = x(2 - x)； f (x - 2) = 2 f (x) ，
1
所以 f (x) = f (x - 2) ，即若 f (x) 在 (0, 2] 1上的點的橫坐標增加 2，則對應 y 值變為原來的 2 ；若減少 2，則2
對應 y 值變為原來的 2 倍.
當 x (0, 2]時， f (x) = x(2 - x) = -(x -1)2 +1， f (x)max = f (1) =1，
故當 a<0時，對任意 x [a, + )， f (x)
3
不成立，
8
當 x (2, 4]
1
時， f (x) = f (x 2)
1 1 1
- = - (x - 3)2 + é0, ù ，
2 2 2 ê 2 ú
x 4,6 f (x) 1 (x 5)2 1 1同理當 時， = - - + é0, ù
4 4 ê 4 ú
，

以此類推，當 x>4時，必有 f (x)
3
.
8
3
函數 f x 和函數 y = 的圖象如圖所示：
8
因為當 x (2, 4]時， f (x)
1
= - (x - 3)2 1 1+ éê0,
ù
2 2 2 ú
，

1
- (x - 3)2 1 3 7 5令 + = ，解得 x1 = ， x2 = （舍去），2 2 8 2 2
因為當x éa, +
3 7
時， f (x) 成立，所以 a .
8 2
故選：A.
題型九：利用函數的圖像判斷零點的個數
ì1
x, x 0
【典例 9-1】（2024· · · x高三 重慶渝中 期中）已知函數 f x = í2 ，若方程 f x = ke 有兩個不相
2
-x , x < 0
等的實數根，則實數 k 的取值范圍是（ ）
1 1 1 1
A． 0, B． ,+ C
- ,- ． D． - ,0
è 2e ÷ è 2e ÷
÷ ÷
è e è e
【答案】A
f x
【解析】由題意得 x = k 有兩個不相等的實數根，e
ì x
f x 2ex , x 0
令 g x = x =e í 2 ， x- x , x < 0 e
x 1- x
當 x 0 時， g x = x ， g x = ，2e 2ex
當 x >1時， g x < 0， g x x= 單調遞減，
2ex
當0 x <1時， g x > 0， g x x= 單調遞增，
2ex
且 g 1 1= ，當 x > 0時， g x x= x > 0恒成立，2e 2e
2 2
當 x < 0 x x - 2x時， g x = - x ，則 g x =e ex ，
2
當 x < 0 g x > 0 g x x時， ， = - x 單調遞增，e
g 0 0
2
且 = - 0 = 0 ，e
g x f x 畫出 = x 的圖象如下：e
f x 1
要想 x = k 有兩個不相等的實數根，則 k e
0,
2e ÷
，
è
故 f x 1= kex 有兩個不相等的實數根，則 k 0, ÷ .
è 2e
故選：A
ì 2x + 3 -1- m, x 0【典例 9-2】設函數 f x = í ，若函數 f x 恰有 3 個零點，則實數m 的取值范圍為
ln x - m, x > 0
（ ）
A． - , -1 B． -1,2 C． 2, + D． -1,2
【答案】B
ì 2x + 3 -1, x 0
【解析】由題意，設函數 g x = í ，令 f x = 0，即 g x = m，
ln x, x > 0
所以問題轉化為 y = g x ， y = m有 3 個交點；
在坐標系內，作出函數 g x 的圖像如下所示，
結合圖象可知，-1 < m 2，故實數m 的取值范圍為 -1,2 .
故選：B
【方法技巧】
利用函數圖像判斷方程解的個數．由題設條件作出所研究對象的圖像，利用圖像的直觀性得到方程解
的個數．
ìex , x 0
【變式 9-1】設函數 f (x) = í ，若 f x - k = 0ln x , x 0 有三個不同的實數根，則實數 k 的取值范圍是 >
（ ）
A． 0,1 B． 0, + C． 0,1 D． 0, +
【答案】C
【解析】當 x 0 時，函數 y = ex 單調遞增，函數值集合為 (0,1]，
當0 < x 1時，函數 y=-lnx單調遞減，函數值集合為[0, + ) ，
當 x 1時，函數 y = ln x 單調遞增，函數值集合為[0, + ) ，
作出函數 y = f (x) 的圖象與直線 y = k ，如圖，
觀察圖象知，當0 < k 1時，函數 y = f (x) 的圖象與直線 y = k 有 3 個交點，
所以 f x - k = 0 有三個不同的實數根，實數 k 的取值范圍是 0,1 .
故選：C
2
ì x + 5x + 4 , x 0
【變式 9-2】（多選題）已知 f x = í ，若 y = f x - a x 恰有 3 個零點，則 a的可能值
2 x - 2 , x > 0
為（ ）
3
A．0 B．1 C． D．2
2
【答案】AD
【解析】由 f x - a x = 0得 f x = a x ，作出函數 y = f x ， y = a x |的圖像，如圖所示．
當 a = 0，滿足條件，
當 a 2時，此時 y = a x 與 y = f x 有三個交點，
故符合條件的 a滿足 a = 0或 a 2．
故選：AD
ìa, a < b
【變式 9-3 a,b R x】已知 ，定義：min a,b = í ，設 f x = min 2 - a,-x + 6 - a , x R .b, a b 若函數
y = f x + ax有兩個零點，則實數 a的取值范圍是（ ）
A． 0,1 B． 0,2 C． -1,0 D． -2,0
【答案】A
【解析】令函數 g(x) = 2x - a - (-x + 6 - a) = 2x + x - 6，顯然函數 g(x)在R 上單調遞增，
而 g(2) = 0，則當 x < 2時， 2x - a < -x + 6 - a，當 x 2時， 2x - a -x + 6 - a，
ì2x - a, x < 2 ì2x + ax - a, x < 2
于是函數 f (x) = í ，則 f (x) + ax =x 6 a, x 2 í
，
- + - -x + 6 + ax - a, x 2
ì2x , x < 2
令函數 h(x) = í ，由 f (x) + ax = 0，得 h(x) = -a(x -1) ，
-x + 6, x 2
因此函數 y = f (x) + ax的零點，即函數 y = h(x)的圖象與直線 y = -a(x -1)交點的橫坐標，
當 x < 2，恒有 h(x) > 0，在同一坐標系內作出直線 y = -a(x -1)與函數 y = h(x)的圖象，如圖，
觀察圖象知，當-a 0 ，即a 0時，直線 y = -a(x -1)與函數 y = h(x)的圖象只有一個交點，
如圖，直線 y = 4 x -1 過點 1,0 , 2,4 x，它與 y = 2x 的圖象交于兩點 2,4 , 3,8 ，當 x < 2時， 2 > 4 x -1 ，
當-a -1，即 a 1時，直線 y = -a(x -1)與函數 y = h(x)的圖象只有一個交點，
當 -1 < -a < 0 ，即 0 < a < 1時，直線 y = -a(x -1)與函數 y = h(x)的圖象有兩個交點，
所以函數 y = f x + ax有兩個零點，實數 a的取值范圍是 0,1 .
故選：A
ì f x , f x g x
【變式 9-4】（2024·高三·廣東江門·開學考試）定義函數min f x , g x = í
g x , f x > g x
h x = min x -1, x2 - 2ax + a + 2 ,若 h x = 0 至少有 3 個不同的解,則實數 a的取值范圍是（ ）
A． 1,2 B． 2,3 C． 3,4 D． 4,5
【答案】B
【解析】解:由題知 h x = min x -1, x2 - 2ax + a + 2 ,
記 f x = x -1, g x = x2 - 2ax + a + 2 ,
所以 h x 圖象為 f x , g x 圖象靠下的位置,
因為 f x = 0 ,有兩個根,分別為 x=- 1或 x =1 ,
若 h x = 0 至少有 3 個不同的解,
則 g x = 0有一個解或者兩個解,
即D = 4a2 - 4 a + 2 0 ,
解得 a 2或 a -1 ,
當 a 2時, g x = x2 - 2ax + a + 2 ,
所以對稱軸為 x = a 2 1 ,
若 h x = 0 至少有 3 個不同的解,
畫 h x 大致圖象如下:
根據圖象則需滿足 g 1 0 ,即3- a≥0 ,
解得 2 a 3 ;
當 a -1 2時, g x = x - 2ax + a + 2 ,
所以對稱軸為 x = a -1 ,
此時 h x 大致圖象如下:
根據圖象則需滿足 g -1 0 ,即3 + 3a 0 ,
解得 a -1 ,又因為 a -1 ,
故 a = -1 ,
2
當 a = -1時, g x = x + 2x +1 = 0 ,
解得根為-1,因為 f x = 0的根為-1,1,
此時 h x = 0 的根為-1,1,
不滿足有三個根,故舍去,
綜上: 2 a 3 .
故選:B
p
1．（2024 年新課標全國Ⅰ卷數學真題）當 x [0,2p ]時，曲線 y = sin x y = 2sin 3x - 與 6 ÷的交點個數為è
（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】因為函數 y = sin x 的的最小正周期為T = 2π，
函數 y = 2sin
3x π- 2π ÷的最小正周期為T = ，
è 6 3
所以在 x 0,2π π上函數 y = 2sin 3x - 6 ÷有三個周期的圖象， è
在坐標系中結合五點法畫出兩函數圖象，如圖所示：
由圖可知，兩函數圖象有 6 個交點.
故選：C
2 2 x - x．（2024 年高考全國甲卷數學（理）真題）函數 f x = -x + e - e sinx 在區間[-2.8,2.8]的大致圖像為
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
f -x = -x2 + e- x - ex sin -x = -x2 + ex - e- x【解析】 sin x = f x ，
又函數定義域為 -2.8,2.8 ，故該函數為偶函數，可排除 A、C，
又 f 1 = -1+ e
1
- ÷sin1 > -1+

e
1
- ÷sin
π e
= -1 1 1 1- > - > 0，
è e è e 6 2 2e 4 2e
故可排除 D.
故選：B.
3．（2023 年天津高考數學真題）已知函數 f x 的部分圖象如下圖所示，則 f x 的解析式可能為（ ）
5exA - 5e
- x 5sin x
． 2 B．x + 2 x2 +1
5ex + 5e- x 5cos xC． 2 D．x + 2 x2 +1
【答案】D
【解析】由圖知：函數圖象關于 y 軸對稱，其為偶函數，且 f (-2) = f (2) < 0 ，
5sin(-x) 5sin x
由 = -( x)2 1 x2 1 且定義域為 R，即 B 中函數為奇函數，排除；- + +
x > 0 5(e
x - e- x ) 5(ex + e- x )
當 時 > 0、 > 0，即 A、C 中 (0, + )2 2 上函數值為正，排除；x + 2 x + 2
故選：D
x2 -1
4．（2022 年新高考天津數學高考真題）函數 f x = 的圖像為（ ）
x
A． B．
C． D．
【答案】D
x2 -1
【解析】函數 f x = 的定義域為 x x 0 ，
x
-x 2 -1 x2 -1
且 f -x = = - = - f x ，
-x x
函數 f x 為奇函數，A 選項錯誤；
x2 -1
又當 x < 0 時， f x = 0，C 選項錯誤；
x
x2 -1 2
當 x >1時， f x x -1 1= = = x - 函數單調遞增，故 B 選項錯誤；
x x x
故選：D.
1．已知函數 f (x) = -x2 - 3x - 2, g(x) = 2 -[ f (x)]2 .
（1）求函數 y = g(x) 的解析式；
（2）利用信息技術，畫出函數 y = g(x) 的圖象；
（3）求函數 y = g(x) 的零點（精確度為 0.1）
2 2
【解析】（1）由題意得： g x = 2 - é f x ù = 2 - x2 + 3x + 2 = -x4 - 6x3 -13x2 -12x - 2
（2）函數圖象如下圖所示：
（3）由圖象可知，函數 g x 分別在區間 -3, -2 和區間 -1,0 內各有一個零點
取區間 -3, -2 的中點 x1 = -2.5，用計算器可算得 g -2.5 =1.4375
Q g -3 × g -2.5 < 0 \ x0 -3, -2.5
再取 -3, -2.5 的中點 x2 = -2.75，用計算器可算得 g -2.75 0.28
Q g -3 × g -2.75 < 0 \ x0 -3, -2.75
同理可得： x0 -2.875,-2.75 ， x0 -2.8125,-2.75
因為Q -2.75 - -2.8125 = 0.0625 < 0.1
\原方程在區間 (-3, -2)內的近似解可取為-2.75
同理可求得函數在區間 -1,0 內的零點可取為-0.25
\函數 g x 滿足精確度0.1的零點為-2.75或-0.25
2．如圖，VOAB是邊長為 2 的正三角形，記VOAB位于直線 x = t t > 0 左側的圖形的面積為 f t .試求函
數 y = f t 的解析式，并畫出函數 y = f t 的圖象.
【解析】（1）當0 < t 1時，
如圖，設直線 x = t 與VOAB分別交于C、 D兩點，則 | OC |= t ，
CD BC
又 = = 3 ，\ | CD |= 3t ，
OC OE
\ f (t) 1 | OC | | CD | 1= × = × t × 3t 3= t2
2 2 2
（2）當1 < t 2時，
如圖，設直線 x = t 與VOAB分別交于M 、 N 兩點，則 | AN |= 2 - t ，
| MN | | BE | 3
又 = = = 3 ，\ | MN |= 3(2 - t)
| AN | | AE | 1
\ f (t) 1 1 3 3= × 2 × 3 - × | AN | × | MN |= 3 - (2 - t)2 = - t2 + 2 3t - 3
2 2 2 2
（3）當 t > 2時， f (t) = 3
ì 3 2
t ,0 < t 1
2

f (t) = 3 2綜上所述 í- t + 2 3t - 3,1 < t 2
2
3, t > 2


3．經濟學家在研究供求關系時，一般用縱軸表示產品價格（自變量），而用橫軸來表示產品數量（因變
量），下列供求曲線，哪條表示廠商希望的供應曲線，哪條表示客戶希望的需求曲線？為什么？
【解析】題圖（1）中的曲線表示廠商希望的供應曲線；
題圖（2）中的曲線表示客戶希望的需求曲線.
從題圖（1）觀察，隨著產品數量的上升，單價越來越高，可見是廠商希望的供應曲線；
而題圖（2）恰恰相反，當產品數量逐漸上升時，單價越來越低，由此判斷是客戶希望的需求曲線.
4．圖（1）是某條公共汽車線路收支差額 y 關于乘客量 x 的圖象.
（1）試說明圖（1）上點 A，點 B 以及射線 AB 上的點的實際意義；
（2）由于目前本條線路虧損，公司有關人員提出了兩種扭虧為贏的建議，如圖（2）（3）所示，你能根據
圖象，說明這兩種建議是什么嗎？
【解析】（1）點 A 的實際意義為：當乘客量為 0 時，公司虧損 1（單位）；點 B 的實際意義為：當乘客量為
1.5 時，公司收支持平；
射線 AB 上的點的實際意義為：當乘客量小于 1.5 時，公司將虧損；當乘客量大于 1.5 時，公司將贏利.
（2）題圖（2）的建議是：降低成本而保持票價不變；題圖（3）的建議是：提高票價而保持成本不變.
易錯點：圖像的變換問題
易錯分析： 平移變換是高中數學圖像變換中的基礎，包括左右平移和上下平移.在平移過程中，學生
常常會出現平移方向或平移單位長度的誤判.學生在對稱變換方面的易錯點主要是對稱關系的混淆.伸縮變
換主要涉及圖像的橫向和縱向拉伸或壓縮，學生在這方面的易錯點主要是伸縮比例的理解和應用.翻折變換
主要涉及圖像沿 x 軸或 y 軸的翻折，在這方面的易錯點主要是翻折軸的選擇和翻折后的圖像判斷.
答題模板：圖像的變換問題
1、模板解決思路
仔細閱讀題目，然后確定題目要求的是哪種圖像變換，如平移、伸縮、對稱、翻折等。
2、模板解決步驟
第一步：確定變換類型，理解變換規則
第二步：分析函數表達式，繪制草圖
第三步：應用變換規則，驗證結果
ì2
x (x 1)
【易錯題 1】已知函數 f (x) = ílog x(x >1) ，則 f (2 - x)的圖象是（ ）
1 2
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】設 g x = f 2 - x ，則 g 1 = f 1 = 2，從而排除 ABD.
故選：C
【易錯題 2】要得到函數 y = x y
1
x -1 的圖象，只需將函數 = x 的圖象（ ）
A．向右平移 1 個單位長度，再向上平移 1 個單位長度
B．向右平移 1 個單位長度，再向下平移 1 個單位長度
C．向左平移 1 個單位長度，再向上平移 1 個單位長度
D．向左平移 1 個單位長度，再向下平移 1 個單位長度
【答案】A
y = x x -1+1 1【解析】 x 1 = x 1 = 1+- - x -1 ，
y 1故 = xx 先向右平移
1 個單位長度，再向上平移 1 個單位得到 y = x -1 .
故選：A第 06 講 函數的圖象
目錄
01 考情透視·目標導航..........................................................................................................................2
02 知識導圖·思維引航..........................................................................................................................3
03 考點突破·題型探究..........................................................................................................................4
知識點 1：掌握基本初等函數的圖像 ........................................................................................................................4
知識點 2：函數圖像作法 ............................................................................................................................................4
解題方法總結 ...............................................................................................................................................................6
題型一：由解析式選圖（識圖） ...............................................................................................................................6
題型二：由圖象選表達式 ...........................................................................................................................................7
題型三：表達式含參數的圖象問題 ...........................................................................................................................9
題型四：函數圖象應用題 .........................................................................................................................................12
題型五：函數圖象的變換 .........................................................................................................................................14
題型六：利用函數的圖像研究函數的性質、最值 .................................................................................................15
題型七：利用函數的圖像解不等式 .........................................................................................................................16
題型八：利用函數的圖像求恒成立問題 .................................................................................................................17
題型九：利用函數的圖像判斷零點的個數 .............................................................................................................18
04 真題練習·命題洞見........................................................................................................................19
05 課本典例·高考素材........................................................................................................................20
06 易錯分析·答題模板........................................................................................................................22
易錯點：圖像的變換問題 .........................................................................................................................................22
答題模板：圖像的變換問題 .....................................................................................................................................22
考點要求 考題統計 考情分析
基本初等函數的圖像是高考中的重要考點之
2024年全國甲卷第 7題，5分 一，是研究函數性質的重要工具．高考中總以一
2024年 I卷第 7題，5分 次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對
（1）函數圖像的識別
2023年天津卷第 4題，5分 數函數、冪函數、三角函數等的圖像為基礎來考
（2）函數圖像的應用
2022年天津卷第 3題，5分 查函數圖像，往往結合函數性質一并考查，考查
（3）函數圖像的變換
2022年全國乙卷第 8題，5分 的內容主要有知式選圖、知圖選式、圖像變換以
2022年全國甲卷第 5題，5分 及靈活地應用圖像判斷方程解的個數，屬于每年
必考內容之一．
復習目標：
（1）在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函數.
（2）會畫簡單的函數圖象.
（3）會運用函數圖象研究函數的性質，解決方程解的個數與不等式解的問題.
知識點 1：掌握基本初等函數的圖像
（1）一次函數；（2）二次函數；（3）反比例函數；（4）指數函數；（5）對數函數；（6）三角函數．
x
【診斷自測】函數 f x = 2 的圖象是下列的（ ）4 - x
A． B．
C． D．
知識點 2：函數圖像作法
1、直接畫
①確定定義域；②化簡解析式；③考察性質：奇偶性（或其他對稱性）、單調性、周期性、凹凸性；
④特殊點、極值點、與橫/縱坐標交點；⑤特殊線（對稱軸、漸近線等）．
2、圖像的變換
（1）平移變換
①函數 y = f (x + a)(a > 0) 的圖像是把函數 y = f (x) 的圖像沿 x軸向左平移a個單位得到的；
②函數 y = f (x - a)(a > 0)的圖像是把函數 y = f (x) 的圖像沿 x軸向右平移a個單位得到的；
③函數 y = f (x) + a(a > 0) 的圖像是把函數 y = f (x) 的圖像沿 y 軸向上平移a個單位得到的；
④函數 y = f (x) + a(a > 0) 的圖像是把函數 y = f (x) 的圖像沿 y 軸向下平移a個單位得到的；
（2）對稱變換
①函數 y = f (x) 與函數 y = f (-x) 的圖像關于 y 軸對稱；
函數 y = f (x) 與函數的圖像關于 x軸對稱；
函數 y = f (x) 與函數 y = - f (-x) 的圖像關于坐標原點 (0,0) 對稱；
②若函數 f (x)的圖像關于直線 x = a對稱，則對定義域內的任意 x都有
f (a - x) = f (a + x) 或 f (x) = f (2a - x)（實質上是圖像上關于直線 x = a對稱的兩點連線的中點橫坐標
a (a - x) + (a + x)為 ，即 = a 為常數）；
2
若 函 數 f (x)的 圖 像 關 于 點 (a,b)對 稱 ， 則 對 定 義 域 內 的 任 意 x都 有
f (x) = 2b - f (2a - x)或f (a - x) = 2b - f (a + x)
③ y = f ( x ) 的圖像是將函數 f (x)的圖像保留 x軸上方的部分不變，將 x軸下方的部分關于 x軸對稱翻
折上來得到的（如圖（a）和圖（b））所示
④ y = f ( x ) 的圖像是將函數 f (x)的圖像只保留 y 軸右邊的部分不變，并將右邊的圖像關于 y 軸對稱
得到函數 y = f ( x ) 左邊的圖像即函數 y = f ( x ) 是一個偶函數（如圖（c）所示）．
注： f (x) 的圖像先保留 f (x)原來在 x軸上方的圖像，做出 x軸下方的圖像關于 x軸對稱圖形，然后擦
去 x軸下方的圖像得到；而 f ( x ) 的圖像是先保留 f (x)在 y 軸右方的圖像，擦去 y 軸左方的圖像，然后做
出 y 軸右方的圖像關于 y 軸的對稱圖形得到．這兩變換又叫翻折變換．
⑤函數 y = f -1 ( x ) 與 y = f (x) 的圖像關于 y = x 對稱．
（3）伸縮變換
① y = Af (x)(A > 0) 的圖像，可將 y = f (x) 的圖像上的每一點的縱坐標伸長 (A >1)或縮短 (0 < A < 1)到
原來的 A 倍得到．
② y = f (wx)(w > 0) 的圖像，可將 y = f (x) 的圖像上的每一點的橫坐標伸長 (0 < w < 1)或縮短 (w >1)到
1
原來的 倍得到．
w
【診斷自測】若函數 y = f x 的定義域為R ，則函數 y = f x -1 與 y = f 1- x 的圖象關于（ ）
A．直線 x = 0對稱 B．直線 y = 0 對稱
C．直線 x = 1對稱 D．直線 y =1對稱
解題方法總結
（1）若 f (m + x) = f (m - x) 恒成立，則 y = f (x) 的圖像關于直線 x =m對稱．
（2）設函數 y = f (x) 定義在實數集上，則函數 y = f (x - m)與 y = f (m - x) (m > 0)的圖象關于直線
x =m對稱．
（3）若 f (a + x) = f (b - x) a + b，對任意 x R 恒成立，則 y = f (x) 的圖象關于直線 x = 對稱．
2
（4）函數 y = f (a + x) 與函數 y = f (b - x) x a + b的圖象關于直線 = 對稱．
2
（5）函數 y = f (x) 與函數 y = f (2a - x)的圖象關于直線 x = a對稱．
（6）函數 y = f (x) 與函數 y = 2b - f (2a - x) 的圖象關于點 (a，b) 中心對稱．
（7）函數平移遵循自變量“左加右減”，函數值“上加下減”．
題型一：由解析式選圖（識圖）
sinx
【典例 1-1】（2024·安徽淮北·二模）函數 f x = cosx 的大致圖像為（ ）
A． B．
C． D．
【典例 1-2】（2024·陜西商洛·模擬預測）函數 y = xcosx - sinx 的部分圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
利用函數的性質（如定義域、值域、奇偶性、單調性、周期性、特殊點等）排除錯誤選項，從而篩選
出正確答案.
xln x
【變式 1-1】（2024·天津·二模）研究函數圖象的特征，函數 f x = 2 的圖象大致為（ ）x +1
A． B．
C． D．
1
【變式 1-2】（2024·湖北·模擬預測）函數 f x = e x - e x - lnx 2 的圖象大致為（ ）
A． B． C． D．
題型二：由圖象選表達式
【典例 2-1】（2024·安徽馬鞍山·三模）已知函數 y = f (x) 的大致圖象如圖所示，則 y = f (x) 的解析式
可能為（ ）
x ×3x x ×3xA． f (x) = x B． f (x) =9 -1 9x +1
ln
C x +1
-x
． f (x) = D． f (x) =
x2 +1 x2 +1 ln x + 2
【典例 2-2】（2024·寧夏固原·一模）已知函數 f x 的部分圖像如圖所示，則 f x 的解析式可能為
（ ）
ex -e-x ex -e-x
A． f x = f x =4 x B．-3 3- 4 x
ex -x x
C． f x + e= 4 x 3 D．
f x =
- x -1
【方法技巧】
1、從定義域值域判斷圖像位置；
2、從奇偶性判斷圖像的對稱性；
3、從周期性判斷圖像循環往復；
4、從單調性判斷大致變化趨勢；
5、從特殊點排除錯誤選項．
【變式 2-1】（2024·天津·二模）函數 f x 的圖象如圖所示，則 f x 的解析式可能為（ ）
ln xA f x e
x -e-x
． = 2 B． f x =x +1 x2
2
C f x x -1． = D． f x ln x=
x x
【變式 2-2】（2024·湖南·二模）已知函數 f x 的部分圖象如圖所示，則函數 f x 的解析式可能為
（ ）
2x2 2x2
A． f x = - B． f x = -x -1 x +1
f x 2xC． = - x -1 D． f
2 x
x = -
x2 -1
【變式 2-3】（2024·陜西安康·模擬預測）函數 f ( x ) 的部分圖象如圖所示，則 f ( x ) 的解析式可能為（ ）
x sin x + x2
A． f (x) = B． f (x)
xsin x
= f (x) x sin x + x=
| x | +1 | x | C．+1 | x | +1
D． f (x)
x sin x
=
x2 +1
題型三：表達式含參數的圖象問題
【典例 3-1】（2024·重慶·模擬預測）已知函數 f (x) = xa (x > 0) ，a 為實數， f ( x ) 的導函數為 f (x) ，
在同一直角坐標系中， f ( x ) 與 f (x) 的大致圖象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【典例 3-2】（多選題）（2024· m n全國·模擬預測）已知函數 f x = a x +1 x -1 （其中m + n > 0,a 0）
的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．m > n > 0 B．m < 3n C．m > 0 > n D． a<0
【方法技巧】
根據參數的不同情況對每個選項逐一分析，推斷出合理的圖像位置關系，排除相互矛盾的位置關系，
以得出正確選項．
【變式 3-1】（多選題）（2024·安徽合肥·一模）函數 f x = x3 m- m R 的圖象可能是（
x ）
A． B．
C． D．
ax +1
【變式 3-2】（多選題）函數 f x = 2 的大致圖象可能是（x ）+ a
A． B．
C． D．
【變式 3-3】（多選題）（2024·福建泉州·模擬預測）函數 f (x) = ln 1+ x - k ln 1- x 的大致圖像可能為
（ ）
A． B．
C． D．
f x ax + b【變式 3-4】（多選題）函數 = 2 a,b,c R 的圖象可能為（x c ）+
A． B．
C． D．
題型四：函數圖象應用題
【典例 4-1】如圖，長方形 ABCD的邊 AB = 2 ， BC =1，O 是 AB 的中點．點 P 沿著邊 BC ，CD 與
DA 運動，記 BOP = x ．將動點 P 到 A, B兩點距離之和表示為 x的函數 f ( x ) ，則 y = f (x) 的圖像大致為
（ ）
A． B．
C． D．
【典例 4-2】（2024·廣東佛山·模擬預測）如圖，點 P 在邊長為 1 的正方形邊上運動， M 是CD 的中點，
當點 P 沿 A - B - C - M 運動時，點 P 經過的路程 x與△ APM 的面積 y 的函數 y = f x 的圖象的形狀大致是
（ ）
A． B．
C． D．
E．均不是
【方法技巧】
（1）從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置．
（2）從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；
（3）從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；
（4）從函數的特征點，排除不合要求的圖象．
【變式 4-1】（2024·安徽·模擬預測）如圖，直線 l 在初始位置與等邊 VABC 的底邊重合，之后 l 開始在
平面上按逆時針方向繞點A 勻速轉動（轉動角度不超過 60° ），它掃過的三角形內陰影部分的面積S是時間
t 的函數．這個函數的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【變式 4-2】（2024·山東·二模）如圖所示，動點 P 在邊長為 1 的正方形 ABCD的邊上沿
A B C D 運動， x表示動點 P 由 A 點出發所經過的路程， y 表示△APD 的面積，則函數 y = f x 的
大致圖像是（ ）．
A． B．
C． D．
題型五：函數圖象的變換
【典例 5-1】（2024·北京西城·二模）將函數 f (x) = tan x 的圖象向右平移1個單位長度，所得圖象再關
于 y 軸對稱，得到函數 g(x)的圖象，則 g(x) =（ ）
A．1 - tan x B． -1- tan x C． - tan ( x - 1) D． - tan ( x + 1 )
【典例 5-2】（2024·遼寧·三模）已知對數函數 f (x) = log a x ，函數 f ( x ) 的圖象上所有點的縱坐標不變，
橫坐標擴大為原來的 3 倍，得到函數 g(x)的圖象，再將 g(x)的圖象向上平移 2 個單位長度，所得圖象恰好
與函數 f ( x ) 的圖象重合，則a的值是（ ）
3
A 2 3． B． C． D．
2 3 33
【方法技巧】
熟悉函數三種變換：（1）平移變換；（2）對稱變換；（3）伸縮變換.
【變式 5-1】（2024·江西贛州·二模）已知函數 f x 的圖象的一部分如下左圖，則如下右圖的函數圖象
所對應的函數解析式（ ）
4x -1
A． y = f (2x -1) B． y = f ÷
è 2
1- 4x
y f (1 2 x ) y = f C． = - D． 2 ÷è
【變式 5-2】（2024·四川南充·二模）已知函數 f (x) = ex - e- x ，則函數 y = f (x -1) +1的圖象（ ）
A．關于點 (1,1) 對稱 B．關于點 (-1,1)對稱 C．關于點 (-1,0)對稱 D．關于點
(1,0)對稱
【變式 5-3】已知函數 f x 的圖象如圖 1 所示，則圖 2 所表示的函數是（ ）
A．1- f x B．- f 2- x C． f -x -1 D．1- f -x
題型六：利用函數的圖像研究函數的性質、最值
ì 2 x , x > 0
【典例 6-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = í .若m x + 3, x 0
最小值為（ ）
5 3
A．1 B． C． D．2
4 2
【典例 6-2】用min a,b,c ì 1表示 a，b，c 三個數中的最小值，則函數 f (x) = min íx +1, - x + 4,-x + 6ü2
的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【方法技巧】
利用函數圖像求函數的最值，先作出所涉及到的函數圖像，根據題目對函數的要求，從圖像上尋找取
得最值的位置，計算出答案，體現了數形結合的思想．
【變式 6-1】已知b R ，設函數 f x = log2 x + 2x +b 在區間 t,t +1 t > 0 上的最大值為Mt b .若
b M t b 2 = R ，則正實數 t 的最大值為 .
ìa, (a b) ì 9 ü
【變式 6-2】對a，b R ，記max a,b = í ，則函數 f (x) = max í x +1 , x2 - 2x +
b, (a < b)
的最小值
4


為 ．
題型七：利用函數的圖像解不等式
ì log2 x , x 0,4
【典例 7-1】已知函數 f x = í 3 ，則滿足1 f x 3 的
x的取值范圍為（ ）
, x 4,+ x - 3
é1 1 ù
A． é0,2 4,6 ù B． ê , ú 4,6 8 2
é1
C． ê ,
1 ù é1 1 ù
ú 2,4 D． ê , ú 2,6 8 2 8 2
ìx 1+ , x é0, 3 2 ê 2 ÷
【典例 7-2】（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）已知函數 f x = í ，則

2 - f
x 3- ÷ , x
3
é , +
2 ÷ è ê 2
f x > log2x 的解集是（ ）
1
A ,1 ． ÷ B． 1,2
è 2


1
C． , 2
1
÷ D． ,1 U 1,2
è 2 è 2 ÷
【方法技巧】
利用函數圖像求解不等式的解集及參數的取值范圍．先作出所涉及到的圖像，求出它們的交點，根據
題意結合圖像寫出答案.
ì3x , x 0
【變式 7-1】已知函數 f x = í ，則不等式 f ( f (x)) < 4 f (x)+1的解集是（ ）
3x +1, x < 0
1- ,0 1 A． ÷ B． - ,1
è 3 è 3 ÷
C． (0,2)
1
D． - , log 2

è 3 3 ÷
x + x【變式 7-2】（2024·高三·江西·期中）已知函數 f x = +1， g x = f x - 2 + 1，則不等式
2
f x < g x 的解集為（ ）
A． - ,1 B． 1,2
C． 1,+ D． 2,+
題型八：利用函數的圖像求恒成立問題
ì -x2 + 4x, x 1,
【典例 8-1】（2024·北京昌平·二模）已知函數 f x = í 若對任意的
x都有 f x ax
ln x
恒成
-1 , x > 1.
立，則實數a的取值范圍是（ ）
A． - , 0 B． -4,0 C． -3,0 D． - ,2
ì x + 2, x <1
x
【典例 8-2】已知函數 f (x) = í
x 2
,設 a R,若關于 x的不等式 f (x) + a 在R 上恒成立，則a
+ , x 1 2 x
的取值范圍是（　　）
é
A． ê-2,
3 2ùú B． -2,2 2
é 5
C． ê- 2, 2
ù é 5- 2, 3 2ùú D． 2 ê 2 2 ú
【方法技巧】
先作出函數的圖像，觀察參數的變化怎樣影響函數的形態和位置關系，找到參數的臨界值，進一步得
出參數的范圍．
【變式 8-1】已知函數 f x 的定義域為R ,滿足 f (x) = 2 f (x -1) ,且 x (0,1]時, f (x) = x 2 - x .若
"x (- ,a] ,都有 f (x) 3 - ,則a的取值范圍是（
4 ）
5 9
A． - ,
ù
ú B． - ,
ù
è 2 è 4 ú

C． - ,
7 ù 11
D． - ,
ù
è 3 ú è 4 ú
【變式 8-2】（2024·河南新鄉·三模）設函數 f ( x ) 的定義域為R ，滿足 f (x - 2) = 2 f (x) ，且當 x (0,2]
時， f (x) = x(2 - x) .若對任意 x [a, + ) 3，都有 f (x) 成立，則a的取值范圍是（
8 ）
é7 é5 A． ê ,+ 2 ÷ B． ,+ ê2 ÷

C． - ,
3
- ù ú D． - ,
5
- ù
è 2 è 2 ú
題型九：利用函數的圖像判斷零點的個數
ì1
x, x 0
【典例 9-1 x】（2024·高三·重慶渝中·期中）已知函數 f x = í2 ，若方程 f x = ke 有兩個不相
-x
2 , x < 0
等的實數根，則實數 k的取值范圍是（ ）
1 1 1 1 A． 0, ÷ B． , + ÷ C． - ,- ÷ D． - ,0
è 2e è 2e è e è e ÷
ì 2x + 3 -1- m, x 0
【典例 9-2】設函數 f x = í ，若函數 f x 恰有 3 個零點，則實數m的取值范圍為
ln x - m, x > 0
（ ）
A． - ,-1 B． -1,2 C． 2,+ D． -1,2
【方法技巧】
利用函數圖像判斷方程解的個數．由題設條件作出所研究對象的圖像，利用圖像的直觀性得到方程解
的個數．
ìex , x 0
【變式 9-1】設函數 f (x) = í ，若 f x - k = 0ln x , x 0 有三個不同的實數根，則實數 k的取值范圍是 >
（ ）
A． 0,1 B． 0,+ C． 0,1 D． 0,+
ì x
2 + 5x + 4 , x 0
【變式 9-2】（多選題）已知 f x = í ，若 y = f x - a x 恰有 3 個零點，則a的可能值
2 x - 2 , x > 0
為（ ）
3
A．0 B．1 C． D．2
2
ìa, a < b x【變式 9-3】已知a,b R，定義：min a,b = íb, a b ，設 f x = min 2 - a,-x + 6 - a , x R .若函數
y = f x + ax有兩個零點，則實數a的取值范圍是（ ）
A． 0,1 B． 0,2 C． -1,0 D． -2,0
ì f x , f x g x
【變式 9-4】（2024·高三·廣東江門·開學考試）定義函數min f x , g x = í
g x , f x > g x
h x = min x -1, x2 - 2ax + a + 2 ,若h x = 0至少有 3 個不同的解,則實數a的取值范圍是（ ）
A． 1,2 B． 2,3 C． 3,4 D． 4,5
p
1．（2024 年新課標全國Ⅰ卷數學真題）當 x [0, 2p ]時，曲線 y = sin x 與 y = 2sin 3x - ÷的交點個數為
è 6
（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
2 2024 f x = -x2 + ex - e- x．（ 年高考全國甲卷數學（理）真題）函數 sinx 在區間[-2.8,2.8]的大致圖像為
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023 年天津高考數學真題）已知函數 f x 的部分圖象如下圖所示，則 f x 的解析式可能為（ ）
5ex -5e-x 5sin xA． 2 B．x + 2 x2 +1
5exC +5e
-x 5cos x
．
x2
D．
+ 2 x2 +1
x2 -1
4．（2022 年新高考天津數學高考真題）函數 f x = 的圖像為（ ）
x
A． B．
C． D．
1．已知函數 f (x) = -x2 - 3x - 2, g (x) = 2 - [ f (x)]2 .
（1）求函數 y = g(x)的解析式；
（2）利用信息技術，畫出函數 y = g(x)的圖象；
（3）求函數 y = g(x)的零點（精確度為 0.1）
2．如圖，VOAB 是邊長為 2 的正三角形，記VOAB 位于直線 x = t t > 0 左側的圖形的面積為 f t .試求函
數 y = f t 的解析式，并畫出函數 y = f t 的圖象.
3．經濟學家在研究供求關系時，一般用縱軸表示產品價格（自變量），而用橫軸來表示產品數量（因變
量），下列供求曲線，哪條表示廠商希望的供應曲線，哪條表示客戶希望的需求曲線？為什么？
4．圖（1）是某條公共汽車線路收支差額 y 關于乘客量 x 的圖象.
（1）試說明圖（1）上點 A，點 B 以及射線 AB 上的點的實際意義；
（2）由于目前本條線路虧損，公司有關人員提出了兩種扭虧為贏的建議，如圖（2）（3）所示，你能根據
圖象，說明這兩種建議是什么嗎？
易錯點：圖像的變換問題
易錯分析： 平移變換是高中數學圖像變換中的基礎，包括左右平移和上下平移.在平移過程中，學生
常常會出現平移方向或平移單位長度的誤判.學生在對稱變換方面的易錯點主要是對稱關系的混淆.伸縮變
換主要涉及圖像的橫向和縱向拉伸或壓縮，學生在這方面的易錯點主要是伸縮比例的理解和應用.翻折變換
主要涉及圖像沿 x 軸或 y 軸的翻折，在這方面的易錯點主要是翻折軸的選擇和翻折后的圖像判斷.
答題模板：圖像的變換問題
1、模板解決思路
仔細閱讀題目，然后確定題目要求的是哪種圖像變換，如平移、伸縮、對稱、翻折等。
2、模板解決步驟
第一步：確定變換類型，理解變換規則
第二步：分析函數表達式，繪制草圖
第三步：應用變換規則，驗證結果
ì2
x (x 1)
【易錯題 1】已知函數 f (x) = ílog x(x >1) ，則 f (2- x)的圖象是（ ）

1
2
A． B．
C． D．
【易錯題 2 x 1】要得到函數 y = x -1 的圖象，只需將函數 y = x 的圖象（ ）
A．向右平移 1 個單位長度，再向上平移 1 個單位長度
B．向右平移 1 個單位長度，再向下平移 1 個單位長度
C．向左平移 1 個單位長度，再向上平移 1 個單位長度
D．向左平移 1 個單位長度，再向下平移 1 個單位長度

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