資源簡介

第 05 講 空間向量及其應用
目錄
01 考情透視·目標導航.................................................................................................................................................2
02 知識導圖·思維引航.................................................................................................................................................3
03 考點突破·題型探究.................................................................................................................................................4
知識點 1：空間向量及其加減運算 ............................................................................................................................4
知識點 2：空間向量的數乘運算 ................................................................................................................................5
知識點 3：空間向量的數量積運算 ............................................................................................................................6
知識點 4：空間向量的坐標運算及應用 ....................................................................................................................7
知識點 5：向量法證明平行、垂直 ............................................................................................................................7
知識點 6：空間角公式 ................................................................................................................................................9
知識點 7：空間中的距離 ..........................................................................................................................................10
解題方法總結 .............................................................................................................................................................11
題型一：空間向量的加法、減法、數乘運算.........................................................................................................11
題型二：空間共線向量定理的應用 .........................................................................................................................13
題型三：空間向量的數量積運算 .............................................................................................................................14
題型四：三點共線問題 .............................................................................................................................................16
題型五：多點共面問題 .............................................................................................................................................18
題型六：證明直線和直線平行 .................................................................................................................................21
題型七：證明直線和平面平行 .................................................................................................................................22
題型八：證明平面與平面平行 .................................................................................................................................23
題型九：證明直線與直線垂直 .................................................................................................................................25
題型十：證明直線與平面垂直 .................................................................................................................................26
題型十一：證明平面和平面垂直 .............................................................................................................................27
題型十二：求兩異面直線所成角 .............................................................................................................................28
題型十三：求直線與平面所成角 .............................................................................................................................30
題型十四：求平面與平面所成角 .............................................................................................................................32
題型十五：求點面距、線面距、面面距 .................................................................................................................35
題型十六：點到直線距離、異面直線的距離.........................................................................................................37
04 真題練習·命題洞見...............................................................................................................................................38
05 課本典例·高考素材...............................................................................................................................................40
06 易錯分析·答題模板...............................................................................................................................................41
易錯點：計算線面角出錯 .........................................................................................................................................41
答題模板：用向量法求空間角 .................................................................................................................................42
考點要求 考題統計 考情分析
空間向量解立體幾何一般以解答題形式
（1）空間向量的線性運算 2024 年 I 卷第 17 題，15 分 為主,每年必考,一般 12 分.以解答題為主,難度
（2）空間向量基本定理及其 2024 年 II 卷第 17 題，15 分 中等,可靈活選擇運用向量方法與綜合幾何方
應用 2023 年 I 卷第 18 題，12 分 法,從不同角度解決立體幾何問題,通過對比體
（3）向量法證明平行、垂直 2023 年 II 卷第 20 題，12 分 會向量方法的優越性.選擇題和填空題一般不
（4）向量法求空間角 2022 年 I 卷第 19 題，12 分 用空間向量法.但要理解向量基本定理的本質,
（5）空間距離 2022 年 II 卷第 20 題，12 分 感悟“基底”的思想,并運用它解決立體幾何中
的問題.
復習目標：
（1）了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示.
（2）掌握空間向量的線性運算及其坐標表示，掌握空間向量的數量積及其坐標表示，能用向量的數量積判
斷向量的共線和垂直.
（3）理解直線的方向向量及平面的法向量，能用向量方法證明立體幾何中有關線面位置關系的一些簡單定
理．
（4）能用向量法解決異面直線、直線與平面、平面與平面的夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序，
體會向量法在研究空間角問題中的作用．
知識點 1：空間向量及其加減運算
（1）空間向量
在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長度或模．空間向量也可
r r
用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的模，若向量 a的起點是 A，終點是 B ，則向量 a也可以記作
uuur r uuur
AB ，其模記為 a 或 AB ．
（2）零向量與單位向量
r uuur r
規定長度為 0 的向量叫做零向量，記作 0 ．當有向線段的起點 A與終點 B 重合時， AB = 0．
模為 1 的向量稱為單位向量．
（3）相等向量與相反向量
方向相同且模相等的向量稱為相等向量．在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向
量．空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面，成為同一平面內的兩個向量．
r r r
與向量 a長度相等而方向相反的向量，稱為 a的相反向量，記為 -a．
（4）空間向量的加法和減法運算
uuur uuur uuur r r uuur uuur uuur r r
① OC = OA + OB = a + b ， BA = OA - OB = a - b ．如圖所示．
②空間向量的加法運算滿足交換律及結合律
r r r r r r r r r r
a + b = b + a ， a + b + c = a + b + c
【診斷自測】如圖，在平行六面體 ABCD - A1B1C1D1中，M 為 A1C1與 B1D1的交點．若
uuur r uuur r uuur r uuuur
AB = a, AD = b, AA1 = c，則下列向量中與BM 相等的是（ ）
1 r 1 r r 1 r 1 r r
A． a + b + c B．- a + b + c
2 2 2 2
1 r 1 r r 1 r 1 r r
C．- a - b + c D． a - b + c
2 2 2 2
知識點 2：空間向量的數乘運算
（1）數乘運算
r r r r
實數 l 與空間向量 a的乘積 la 稱為向量的數乘運算．當 l > 0 時， la 與向量 a方向相同；當 l < 0 時，
r r r r
向量la 與向量 a方向相反．la 的長度是 a的長度的 l 倍．
（2）空間向量的數乘運算滿足分配律及結合律
r r r r r rl a + b = la + lb，l ma = lm a ．
（3）共線向量與平行向量
r
如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量， a
r r r
平行于b ，記作 a / /b ．
（4）共線向量定理
r r r r r r r r
對空間中任意兩個向量 a，b b 0 ， a / /b 的充要條件是存在實數 l ，使 a = lb ．
（5）直線的方向向量
r
如圖 8-153 所示， l 為經過已知點 A且平行于已知非零向量 a的直線．對空間任意一點O，點 P 在直線
uuur uuur r r uuur r
l 上的充要條件是存在實數 t ，使OP = OA + ta ①，其中向量 a叫做直線 l 的方向向量，在 l 上取 AB = a ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
則式①可化為OP = OA + t AB = OA + t OB - OA = 1- t OA + tOB ②
① ② 1
uuur 1 uuur uuur
和 都稱為空間直線的向量表達式，當 t = ，即點 P 是線段 AB 的中點時，OP = OA + OB ，此2 2
式叫做線段 AB 的中點公式．
（6）共面向量
r uuur r
如圖 8-154 所示，已知平面a 與向量 a，作OA = a，如果直線OA平行于平面a 或在平面a 內，則說明
r
向量 a平行于平面a ．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
O a A
a
a
（7）共面向量定理
r r ur r r
如果兩個向量 a， b 不共線，那么向量 p 與向量 a， b 共面的充要條件是存在唯一的有序實數對 x, y ，
ur r r
使 p = xa + yb ．
uuur uuur uuur
推論：①空間一點 P 位于平面 ABC 內的充要條件是存在有序實數對 x, y ，使 AP = xAB + y AC ；或
uuur uuur uuur uuur
對空間任意一點O，有OP - OA = xAB + y AC ，該式稱為空間平面 ABC 的向量表達式．
uuur uuur uuur uuur
②已知空間任意一點O和不共線的三點 A， B ，C ，滿足向量關系式OP = xOA + yOB + zOC （其中
x + y + z = 1）的點 P 與點 A， B ，C 共面；反之也成立．
【診斷自測】已知點 A a,-3,5 ， B 0,b, 2 ，C 2,7,-1 ，若 A，B，C 三點共線，則 a，b 的值分別是（ ）
A．-2，3 B．-1，2 C．1，3 D．-2，2
知識點 3：空間向量的數量積運算
（1）兩向量夾角
r r uuur r uuur r r r
已知兩個非零向量 a， b ，在空間任取一點O，作OA = a，OB = b，則 AOB 叫做向量 a， b 的夾角，
r r r r r r
a,b 0 a,b p a,b p
r r r r
記作 ，通常規定 ，如果 = ，那么向量 a，b 互相垂直，記作 a ^ b．
2
（2）數量積定義
r r r r r r r r r r
已知兩個非零向量 a，b ，則 a b cos a,b 叫做 a，b 的數量積，記作 a ×b，即
r r r r r r r r r 2
a × b = a b cos a,b ．零向量與任何向量的數量積為 0，特別地， a × a = a ．
（3）空間向量的數量積滿足的運算律：
r r r r
rla r× b = l r ra ×b ， a × b = b × a （交換律）；
r r r r r r ra × b + c = a × b + a × c （分配律）．
uuur uuur
【診斷自測】已知正四面體P - ABC ，底面邊長為 2，側棱 PB中點為 E，則PA ×CE = ．
知識點 4：空間向量的坐標運算及應用
r r r r
（1）設 a = a1,a2 ,a3 ，b = b1,b2 ,b3 ，則 a + b = a1 + b1,a2 + b2 ,a3 + b3 ；
r r
a - b = a1 - b1,a2 - b2 ,a3 - b3 ；
r
la = la1,la2 ,la3 ；
r r
a × b = a1b1 + a2b2 + a3b3 ；
r r r r
a / /b b 0 a1 = lb1,a2 = lb2 ,a3 = lb3 ；
r r
a ^ b a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0 ．
uuur uuur uuur
（2）設 A x1, y1, z1 ， B x2 , y2 , z2 ，則 AB = OB - OA = x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1 ．
這就是說，一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示該向量的有向線段的終點的坐標減起點的坐標．
（3）兩個向量的夾角及兩點間的距離公式．
r r r r 2
①已知 a = a1,a2 ,a3 ，b = b1,b2 ,b3 ，則 a = a = a 2 + a 2 21 2 + a3 ；
r r2
b = b = b 2 + b 21 2 + b
2
3 ；
r r
a × b = a1b1 + a2b2 + a3b3 ；
r r
cos a,b a1b1 + a2b2 + a3b= 3 ；
a 21 + a
2
2 + a
2
3 b
2
1 + b
2 2
2 + b3
uuur
②已知 A x1, y1, z1 ， B x2 , y2 , z2 ，則 AB = x1 - x
2
2 + y - y
2 + z - z 21 2 1 2 ，
uuur
或者 d A, B = AB ．其中 d A, B 表示 A與 B 兩點間的距離，這就是空間兩點的距離公式．
r r r r r r r
（4）向量 a在向量b 上的投影為 a cos a,b a × b= r ．
b
r r
【診斷自測】已知 a = 2,3,1 ，b = 1, -2, -2 r r，則a 在b 上的投影向量為（ ）
r r
A． 2b B．-2b
2 r 2 r
C． b D．- b
3 3
知識點 5：向量法證明平行、垂直
（1）平面的法向量：
r r
如果表示向量 n的有向線段所在直線垂直于平面a ，則稱這個向量垂直于平面a ，記作 n ^ a ，如果
r r
n ^ a ，那么向量 n叫做平面a 的法向量．
注意：
r ur
①法向量一定是非零向量；②一個平面的所有法向量都互相平行；③向量 n是平面的法向量，向量m
ur r
是與平面平行或在平面內，則有m × n = 0．
r r
第一步：寫出平面內兩個不平行的向 a = x1 ，y1 ，z1 ，b = x2 ，y2 ，z2 ；
r r
r ìn × a = 0 ìxx1 + yy1 + zz = 0第二步：那么平面法向量 n = x，y，z ，滿足 ír r 1í ．
n × b = 0 xx2 + yy2 + zz2 = 0
（2）判定直線、平面間的位置關系
r r
①直線與直線的位置關系：不重合的兩條直線 a，b 的方向向量分別為 a，b ．
r r r r
若 a ∥ b ，即 a = lb ，則 a∥b；
r r r r
若 a⊥b ，即 a × b = 0 ，則 a⊥b．
r r
②直線與平面的位置關系：直線 l 的方向向量為 a，平面a 的法向量為 n ，且 l⊥a ．
r r r r
若 a ∥ n ，即 a = ln ，則 l⊥a ；
r r r r
若 a r⊥n，即 a × n = 0，則 a∥a ．
（3）平面與平面的位置關系
平面a r r的法向量為 n1，平面 b 的法向量為 n2 ．
若 nr ∥ nr nr lnr r r r r1 2 ，即 1 = 2 ，則a∥b ；若 n1 ⊥ n2 ，即 n1 × n2 = 0 ，則a ⊥ b ．
【診斷自測】如圖所示，四邊形 ABCD為矩形，PA ^平面 ABCD，PA = AD ，M ， N ，Q分別是PC ，
AB ，CD的中點.
(1)求證：MN / / 平面PAD ；
(2)求證：平面MNQ / / 平面PAD .
知識點 6：空間角公式
r r
（1）異面直線所成角公式：設 a，b 分別為異面直線 l1 ， l2 上的方向向量，q 為異面直線所成角的大
r r
r r a × b
小，則 cosq = cos a,b = r r ．
a b
r r
（2）線面角公式：設 l 為平面a 的斜線， a為 l 的方向向量， n為平面a 的法向量，q 為
r r
r r a × n
l 與a 所成角的大小，則 sinq = cos a,n = r r ．
a n
（3）二面角公式：
uur uur uur uur
設 n1， n2 分別為平面a ， b 的法向量，二面角的大小為q ，則q = n1,n2 或p - n1,n2 （需要根據具
uur uur
n1 × n2
體情況判斷相等或互補），其中 cosq = uur uur ．
n1 n2
【診斷自測】如圖，在正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中， AA1 =2AB=4，E ，F 分別為BB1，CC1的中點.
(1)證明： A1F / / 平面CDE .
(2)求 A1E 與平面CDE 所成角的正弦值.
知識點 7：空間中的距離
求解空間中的距離
（1）異面直線間的距離：兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量的正射影性質
直接計算．
r
如圖，設兩條異面直線 a，b的公垂線的方向向量為 n ，這時分別在 a，b上任取 A，B 兩點，則向量在
uuur r uuur r
nr n | AB × n |上的正射影長就是兩條異面直線 a，b的距離．則 d =| AB × r |= r 即兩異面直線間的距離，等于兩
| n | | n |
異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值．
（2）點到平面的距離
A r為平面a 外一點（如圖）， n 為平面a 的法向量，過 A作平面a 的斜線 AB 及垂線 AH ．
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur r uuur r
| AH |=| AB | ×sinq =| AB | × | cos < AB,n | = | AB | | AB × n | | AB × n |> uuur r = r
AB × n n
uuur r
d | AB × n |= r
| n |
【診斷自測】如圖，在四棱錐P - ABCD 中，底面 ABCD是矩形，PA ^平面 ABCD，PA = AD = 4，
AB = 2 ，若 M、N 分別為棱PD、PC 的中點，O 為 AC 中點．
(1)求證：平面 ABM ^平面 PCD；
(2)求點 N 到平面 ACM 的距離．
解題方法總結
用向量法可以證點共線、線共點、線（或點）共面、兩直線（或線與面、面與面）垂直的問題，也可
以求空間角和距離．因此，凡涉及上述類型的問題，都可以考慮利用向量法求解，且其解法一般都比較簡
單．
用向量法解題的途徑有兩種：一種是坐標法，即通過建立空間直角坐標系，確定出一些點的坐標，進
而求出向量的坐標，再進行坐標運算；另一種是基底法，即先選擇基向量（除要求不共面外，還要能夠便
于表示所求的目標向量，并優先選擇相互夾角已知的向量作為基底，如常選擇幾何體上共點而不共面的三
條棱所在的向量為基底），然后將有關向量用基底向量表示，并進行向量運算．
題型一：空間向量的加法、減法、數乘運算
uuur r uuur r uuur r
【典例 1-1】如圖，在空間四邊形OABC 中，OA = a，OB = b，OC = c，點M 在OA上，且
uuuur
OM = 2 MA ， N 為BC 的中點，則MN 等于（ ）
1 r 2 r 1 r r r r
A． a - b + c
2 a 2 b 1B． + - c
2 3 2 3 3 2
2 r 1 r 1 r r r r
C．- a + b + c
1 a 1 b 1D． + - c
3 2 2 2 2 2
uuur
【典例 1-2】如圖，在四面體 ABCD中，E, F 分別為BC, AE 的中點，G 為VACD的重心，則FG =
（ ）
1 uuur 1 uuur 1 uuur
A．- AB + AC + AD
3 12 4
1 uuur 1 uuur uuur
B．- AB + AC
1
+ AD
4 12 3
1 uuur uuur uuur
C． AB
1 1
- AC + AD
4 12 3
1 uuur 1 uuur 1 uuur
D． AB + AC - AD
3 12 4
【方法技巧】
空間向量的運算包括空間向量的加法、減法、數乘、數量積的幾何意義及坐標運算，可以類比平面向
量的運算法則．
【變式 1-1】如圖，在梯形 ABCD中， AB / /CD ，且 AB = 3CD ，點O為空間內任意一點，設
uuur r uuur r uuur r uuur
OA = a,OB = b ，OC = c，則向量OD =（ ）
r r r r r r
A． a - b + 3c B． a - b - 3c
1 r 1 r r 1 r 1 r r
C．- a + b + c D． a - b + c
3 3 3 3
【變式 1-2】（2024·高三·河南濮陽·開學考試）已知直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1的底面為梯形，
3 uuuur uuuurAB = BB1 = C1D1 = 6,CD ∥ AB, BM = lMB1(0 < l <1) ，若DD1 平面 AC1M = N ，則DN = （ ）2
4l 4l + 2 2l + 6 2l + 4
A． B． C． D．
l +1 l +1 l +1 l +1
uuur uuuur
【變式 1-3】如圖，OABC 是四面體，G 是VABC 的重心，G1是 OG 上一點，且OG = 4OG1 ，則（ ）
uuuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur uuuur 1 uuur 1 uuur uuur
A．OG1 = OA + OB + OC B．OG1 = OA + OB
1
+ OC
6 6 6 12 12 12
uuuur
OG 1
uuur 1 uuur 1 uuur uuuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur
C． 1 = OA + OB + OC D．OG1 = OA + OB + OC18 18 18 8 8 8
uuur r uuur r uuur r
【變式 1-4】如圖，在四面體OABC 中，OA = a，OB = b，OC = c， OB = 2 ， OC = 3， BOC
π
= ，
3
uuuur
M 為VABC 的重心，N 為△OBC 的外心，則MN = （ ）
1 ra 1
r r r r r
A． - b
1 c 1 a 1 1+ B．- + b + c
3 6 9 3 6 3
1 ra 1
r 1 r 1 r 1 r 1 r
C．- - b + c D． a + b + c
3 6 9 3 6 3
題型二：空間共線向量定理的應用
uuur 2 uuur 1 uuur
【典例 2-1】若空間四點OABP滿足OP = OA + OB ，則（
3 3 ）
A．P 直線 AB
B．P 直線 AB
C．點 P 可能在直線 AB 上，也可能不在直線 AB 上
D．P 直線 AB ，且 AP = PB
ur uur uuur ur uur uuur ur uur
【典例 2-2】設 e1 ， e2 是空間兩個不共線的非零向量，已知 AB = 2e1 + ke2 ，BC = e1 + 3e2 ，
uuur ur uur
DC = 2e1 - e2 ，且 A、B、D 三點共線，則實數 k 的值為（ ）
A．-8 B．-4 C．-2 D．8
【方法技巧】
r r r r r r空間共線向量定理： a / /b b 0 a = lb ．
利用此定理可解決立體幾何中的平行問題．
uuur uuur
【變式 2-1】已知向量 AB = (1, m, -3)， AC = (-3,6,9)，若A ， B ，C 三點共線，則m =（ ）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
【變式 2-2】在四面體 ABCD中，E 為 AD 的中點，G 為平面BCD的重心．若 AG 與平面BCE 交于點
AF
F，則 =AG （ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
2 3 4 5
r r uuur r r uuur r uuur r
【變式 2-3】已知空間向量 a ，b ，且 AB = 3a + 6b ，BC = -10ar 12b CD 14ar+ ， = - 4b ，則一定共線的
三點是（ ）
A．A 、 B 、C B． B 、C 、D
C．A 、 B 、D D．A 、C 、D
【變式 2-4】在正方體 ABCD - A1B1C1D
1
1中，點 E 在對角線 D1B上，且 D1E = EB ，點 F 在棱 D1C1上，3
若 A、E、F 三點共線，則 D1F = FC1 ．
題型三：空間向量的數量積運算
【典例 3-1】已知 MN 是長方體外接球的一條直徑，點 P 在長方體表面上運動，長方體的棱長分別為 1、
uuuur uuur
1、4，則PM × PN 的取值范圍為
uuur uuur uuur uuur
AB 0,1, 2 AC = 2 AB, AC 2π uuur uuur【典例 3-2】已知空間向量 = - ， ， = ，則
3 AB × BC =
．
【方法技巧】
r r r r r r
a × b = a b cos a,b = x1x2 + y1 y2 + z1z2 ；
r r 2
求模長時，可根據 a = a = x 21 + y
2 2
1 + z1 ；
r r
r r a × b
求空間向量夾角時，可先求其余弦值 cos a,b = r r ．要判斷空間兩向量垂直時，可以求兩向量的數
a b
r r r r
量積是否為 0，即 a × b = 0 a ^ b．
r r r r r r r r r r
a,b 為銳角 a × b > 0； a,b 為鈍角 a × b < 0．由此，通常通過計算 a ×b的值來判斷兩向量夾角是
銳角還是鈍角．
uuur uuur
【變式 3-1】棱長為 2 的正四面體 ABCD 中，點 E 是 AD 的中點，則 B A × C E = （ ）
A．1 B．－1 C． 3 D．- 3
uuur uuur uuur
【變式 3-2】設 O 為坐標原點，向量OA = 1,2,3 ，OB = 2,1,2 ，OP = 1,1,2 ，點 Q 在直線 OP 上運
uuur uuur
動，則QA ×QB 的最小值為（ ）
2 2 1 1
A． B．- C． D．-
3 3 3 3
【變式 3-3】由四個棱長為 1 的正方體組合成的正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1（如圖所示），點 P 是正方形
uuuur uuur
A1B1C1D1的中心，則 AD1 × AP =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式 3-4】有一長方形的紙片 ABCD， AB 的長度為 4cm ，BC 的長度為3cm ，現沿它的一條對角線
uuur uuur
AC 把它折成直二面角，則折疊后 AC × BD = （ ）
A．-4 B．-16 C．-7 D．-9
【變式 3-5】（多選題）（2024·?？寄M預測）在平行六面體 ABCD - A1B1C1D1 中，已知
AB = AD = AA1 =1， A1AB = A1AD = BAD = 60°，則（ ）
A．直線 A1C與BD所成的角為90°
B．線段 A1C的長度為 3
C．直線 A1C與BB1所成的角為90°
D 6．直線 A1C與平面 ABCD所成角的正弦值為
3
uuur uuur
【變式 3-6】（多選題）空間直角坐標系中，已知O 0,0,0 ，OA = -1,2,1 ，OB = -1,2,-1 ，
uuur
OC = 2,3, -1 ，則（ ）
uuur
A． AB = 2
B．VABC 是等腰直角三角形
uuur 6 6 6 6 6 6
C．與OA平行的單位向量的坐標為 ,- ,-6 3 6 ÷÷
或 - , ,6 3 6 ÷÷è è
uuur uuur 2 4 2
D．OA在OB 方向上的投影向量的坐標為 - , ,
è 3 3 3 ÷
題型四：三點共線問題
【典例 4-1】如圖，在棱長均相等的平行六面體 ABCD - A1B1C1D1中，用空間向量證明下列結論．
若E 是棱CC1的中點，F 是 A1C 上靠近點C 的三等分點，求證： A, F , E 三點共線．
【典例 4-2】如圖，已知M , N 分別為四面體 A - BCD的面BCD與面 ACD的重心，G 為 AM 上一點，
uuur r uuur r uuur
且GM : GA = 1: 3 .設 AB = a, AC = b , AD r= c .
(1)請用 r uuurar,b ,cr 表示BN ；
(2)求證：B,G, N 三點共線.
【方法技巧】
uuur uuur uuur uuur
先構造共起點的向量 AB ， AC ，然后證明存在非零實數 l ，使得 AB = l AC ．
1
【變式 4-1】如圖，在平行六面體 ABCD - A1B1C1D1中，點M 在對角線 A1B 上，且 A1M = MB ，點2
AC A N 1N 在對角線 1 上，且 1 = NC ．求證：M 、 N 、D1三點共線．3
【變式 4-2】如圖，已知 M，N 分別為四面體 A-BCD 的面 BCD 與面 ACD 的重心，G 為 AM 上一點，
且GM : GA = 1: 3 .求證：B，G，N 三點共線.
題型五：多點共面問題
【典例 5-1】在下列條件中，使 M 與 A，B，C 一定共面的是（其中 O 為坐標原點）（ ）
uuuur uuur uuur uuur uuuur
OM 1
uuur 1 uuur 1 uuur
A．OM = OA - OB - OC B． = OA + OB + OC5 3 2
uuuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur r
C．OM + OA + OB + OC = 0 D．MA + MB + MC = 0
r r r r r r
【典例 5-2】（2024·河南·模擬預測）已知空間向量 a = 1,2,0 ,b = (0,-1,1),c = (2,3,m)，若 a,b,c共面，
則實數m = （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【方法技巧】
要證明多點（如 A， B ，C ， D ）共面，可使用以下方法解題．
uuur uuur uuur
先作出從同一點出發的三個向量（如 AB ， AC ， AD ），然后證明存在兩個實數 x, y ，使得
uuur uuur uuur
AD = xAB + y AC .
【變式 5-1】如圖，已知四棱錐 P - ABCD 的底面是菱形，對角線 AC, BD 交于點O，OA = 4，OB = 3，
uuuur uuur
OP = 4,OP ^ 底面 ABCD，E, F 分別為側棱PB, PD的中點，點M 在CP上且CM = 2MP．求證： A, E, M , F
四點共面.
【變式 5-2】（2024·高三·北京海淀·開學考試）如圖，正四棱錐 P - ABCD 的底面邊長和高均為 2，
E，F 分別為PD， PB的中點．
(1)證明：EF ^ PC ；
1
(2)若點 M 是線段PC 上的點，且PM = PC ，判斷點 M 是否在平面 AEF 內，并證明你的結論；
3
【變式 5-3】已知點D在VABC 確定的平面內，O是平面 ABC 外任意一點，實數 x, y 滿足
uuur uuur uuur uuur
DO = xOA + 2yOB - 3OC ，則 x2 + y2 的最小值為（ ）
4
A． B 2 5． C．1 D．2
5 5
uuur uuur uuur uuur
【變式 5-4】在正四棱錐P - ABCD 中，若PE
2
= PB 1，PF = PC ，平面 AEF 與棱PD交于點G ，則
3 3
四棱錐P - AEFG與四棱錐P - ABCD 的體積比為（ ）
7 8 7 4
A． B． C． D．
46 45 45 45
1
【變式 5-5】如圖四棱錐P - ABCD, ABC = 90o , AD//BC ，且 AD = AB = BC = 2，平面PCD ^平面
2
ABCD，且△PDC 是以 DPC為直角的等腰直角三角形，其中E 為棱PC 的中點，點F 在棱PD上，且
PF = 2FD .求證： A, B, E, F 四點共面.
【變式 5-6】已知正三棱錐P - ABC 的側棱長為 2，過其底面中心O作動平面a 交線段PC 于點S，分
別交PA，PB M N
1 1 1
的延長線于點 ， ，求 + + 的值．
PS PM PN
【變式 5-7】（2024·浙江溫州·模擬預測）如圖，在三棱柱 ABC - A1B1C1中， AA1 = AC = BC = 2，
ACC1 = BCC1 = 60
o
，平面 A1ACC1⊥平面B1BCC1, E，F 分別為CC1, B1C1 的中點．
(1)求直線 AB 與平面 AEF 所成角的正弦值；
(2)若平面 AEF 平面 A1ABB1 = AM ，且M A1B1，求 AM 的長度．
【變式 5-8】如圖，在邊長為 3 的正方體 ABCD - A1B1C1D1中，點 P，Q，R 分別在棱 AB ， B1C1 ，D1D
上，且 AP = B1Q = D1R =1 .
（1）求點 D 到平面PQR 的距離；
AN
（2）若平面PQR 與線段 AC1的交點為 N，求 AC 的值.1
題型六：證明直線和直線平行
【典例 6-1】如圖所示，在四棱錐P- ABCD中，底面 ABCD為矩形，PD ^平面 ABCD，E 為CP 的
1
中點， N 為DE 的中點，DM = DB, DA = DP =1,CD = 2 ，求證：MN //AP．
4
【典例 6-2】已知棱長為 1 的正方體OABC--O1A1B1C1在空間直角坐標系中的位置如圖所示， D, E, F ,G
分別為棱O1A1, A1B1, BC, OC 的中點，求證：DE //GF .
【方法技巧】
r r
將證線線平行轉化為證兩向量共線．設 a,b 是兩條不重合的直線，它們的方向向量分別為 a,b ，則
r r r r
a / /b a = lb l R,l 0 .
【變式 6-1】如圖，四邊形 ABCD 和 ABEF 都是平行四邊形，且不共面，M，N 分別是 AC，BF 的中點，
求證：CE / /MN .
【變式 6-2】在四棱錐P- ABCD中，平面 ABCD⊥平面 PCD，底面 ABCD 為梯形． AB / /CD ，
AD ^ DC ，且 AB = 1， AD = DC = DP = 2， PDC =120o．若 M 是棱 PA 的中點，則對于棱 BC 上是否存
在一點 F，使得 MF 與 PC 平行．
題型七：證明直線和平面平行
【典例 7-1】（2024·陜西安康·模擬預測）如圖，已知多面體是由正四棱錐 P-ABCD 與正方體
ABCD - A 31B1C1D1組合而成的，且PC = AB .
2
求證：PC / / 平面 ADC1B1；
【典例 7-2】如圖，在四棱錐 S - ABCD 中，底面 ABCD滿足 AB ^ AD ， AB ^ BC, SA ^底面 ABCD，
且 SA = AB = BC =1, AD = 0.5，E 為 SB 中點．求證： AE // 面 SCD
【方法技巧】
r r
（1）利用共面向量定理．設 a,b 為平面a 內不共線的兩個向量，證明存在兩個實數 x, y ，使得
r r r
l = xa + yb ，則 l / /a ．
（2）轉化為證明直線和平面內的某一直線平行．
（3）轉化為證明直線的方向向量與平面的法向量垂直（此方法最常用）．
【變式 7-1】如圖所示，正方形 AA1D1D 與矩形 ABCD所在平面互相垂直， AB = 2AD = 2，點E 為 AB
的中點.
求證：BD1 // 平面 A1DE ；
【變式 7-2】由四棱柱 ABCD - A1B1C1D1截去三棱錐D1 - A1DC1后得到如圖所示的幾何體，四邊形
ABCD是菱形， AC = 4, BD = 2,O 為 AC 與BD的交點，B1O ^平面 ABCD .求證：B1O / / 平面 A1DC1
題型八：證明平面與平面平行
【典例 8-1】如圖所示，平面 PAD⊥平面 ABCD，四邊形 ABCD 為正方形，△PAD 是直角三角形，且
PA＝AD＝2，E，F，G 分別是線段 PA，PD，CD 的中點，求證：平面 EFG∥平面 PBC．
【典例 8-2】如圖，在長方體 ABCD - A1B1C1D1中， AB = 4，BC = 3，CC1 = 2 .求證：平面 A1C1B / /平
面 ACD1 .
【方法技巧】
（1）證明兩平面內有兩條相交直線分別平行．
（2）轉化為證兩平面的法向量平行（常用此方法）．
【變式 8-1】如圖所示，正四棱 ABCD - A1B1C1D1 的底面邊長 1，側棱長 4， AA1中點為E ，CC1 中點為
F ．求證：平面BDE / / 平面B1D1F .
【變式 8-2】如圖，在長方體 ABCD - A1B1C1D1中， AB = 4，BC = 3，CC1 = 2 .
(1)求證：平面 A1C1B / /平面 ACD1 .
(2)線段B1C 上是否存在點 P，使得 A1P / / 平面 ACD1？若存在，求出點 P 的位置；若不存在，請說明理由.
題型九：證明直線與直線垂直
【典例 9-1】（2024·高三·貴州·開學考試）在三棱錐 A - BCD中， AB = AC = BC = CD = 2，
BCD =120°， AB ^ AD ，E 為線段BD的中點．
證明： AB ^CE ．
【典例 9-2】如圖，直三棱柱 ABC - A1B1C1中， ABC = 90o ，CB = 1，CA = 2， AA1 = 6 ，M 是CC1
的中點．
(1)求直線BA1的一個方向向量；
(2)求證： AM ^ BA1．
【方法技巧】
r r r r r r
設直線 l1, l2 的方向向量為 a,b ，則 a ^ b a × b = 0 .
【變式 9-1】在四棱錐P - ABCD 中，底面 ABCD 是邊長為 2 的正方形，PC ^ PD，PC = PD ，O為
CD的中點，二面角 A - CD - P為直二面角.求證：PB ^ PD .
【變式 9-2】如圖，在多面體PABCD中， ABC = 90o ,VDAB,VDBC 都是等邊三角形，
AC = 2 2, PB = 2, PB ^平面 ABC, M 為PC 的中點.證明：BM ^ AD
題型十：證明直線與平面垂直
【典例 10-1】如圖，在正三棱柱 ABC - A1B1C1中，BC = CC1, M , N , P 分別是CC1, AB, BB1 的中點．
在線段BB1上是否存在一點 Q，使 AB1 ^平面 A1MQ？若存在，確定點 Q 的位置；若不存在，也請說明理
由．
【典例 10-2】如圖，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AB = BC = 2， AB ^ BC ，CC1 = 2 3 ，
uuur uuur
BE = l BB1(0
1
< l < 1) .當l = 時，求證：CE ^平面 ABC
3 1
；
【方法技巧】
（1）證明直線和平面內的兩天相交直線垂直．
（2）證明直線和平面內的任一直線垂直．
（3）轉化為證明直線與平面的法向量共線．
【變式 10-1】如圖， ABCD - A1B1C1D1為正方體．
證明： BD1 ^平面 AB1C ；
【變式 10-2】如圖，在三棱錐P - ABC 中， AB ^ BC ， AB = BC = kPA，點O，D分別是 AC ，PC 的
中點. OP ^底面 ABC .
(1)求證：OD / / 平面PAB；
(2)當 k 取何值時，O在平面 PBC 內的射影恰好為△PBC 的重心？
題型十一：證明平面和平面垂直
【典例 11-1】如圖，直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1的底面 ABCD為平行四邊形， AD = 3，BD = 4，
AB = 5，DD1 = 6，E 是CC1的中點．平面a 滿足：直線 AC1∥平面a ，直線BE / /平面a ．求證：平面
a ^平面 ADD1
1
【典例 11-2】如圖，四邊形 ABCD為正方形，PD ^平面 ABCD，PD / /QA，QA = AB = PD .證明：
2
平面 PQB ^平面DCQ
【方法技巧】
（1）轉化為證明兩平面的法向量互相垂直
（2）轉化為證明一平面內的一條直線垂直于另一個平面．
【變式 11-1】如圖所示，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，C1C = CB = CA = 2, AC ^ BC, D, E分別為棱
C1C, B1C1的中點．證明：平面 ACE ^ 平面 A1BD．
【變式 11-2】平面上兩個等腰直角VPAC 和VABC ， AC 既是VPAC 的斜邊又是VABC 的直角邊，沿
AC 邊折疊使得平面PAC ^平面 ABC ，M 為斜邊 AB 的中點．
(1)求證： AC ^ PM ；
PN
(2)在線段 PB上是否存在點 N ，使得平面CNM ^平面 PAB？若存在，求出 的值；若不存在，說明理由．
PB
題型十二：求兩異面直線所成角
【典例 12-1】如圖，在三棱錐P - ABC 中，VABC 為等邊三角形，△APC 為等腰直角三角形，
PA = PC ，平面PAC ^平面 ABC，D 為 AB 的中點，則異面直線 AC 與 PD 所成角的余弦值為 ．
【典例 12-2】在我國古代數學名著《九章算術》中，將底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的棱柱
稱為塹堵．已知在塹堵 ABC - A1B1C1中， ABC = 90o ， AB = 2 ，BC = 2 2 ，若直線CA1與直線 AB所成角
為 60o ，則 AA1 = ( )
A． 3 B．2 C． 2 2 D． 2 3
【方法技巧】
r r r r
設兩異面直線 a 和 b 的方向向量為 a 和b ，利用求角余弦公式可求得 a 和b 的夾角，由于兩向量所成
r r
[0,p ] a 0π] cosa =|cosq | = u|uar × br|角q 的范圍是 ，而兩異面直線所成角 的范圍是（ ， ．所以 .
2 | a || b |
【變式 12-1】（2024·遼寧撫順·三模）在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AB ^ AC, AB = AC = 4, AA1 = 6 ，
uuur uuur
E 為CC1的中點，點F 滿足 AF = 2FA1 ，則異面直線EF , BC1 所成角的余弦值為 ．
【變式 12-2】（2024·高三·四川德陽·期末）正四面體 ABCD中，E 、F 分別是 AB 和CD的中點，
則EF 和 AC 所成角的大小是 .
【變式 12-3】（2024·江西南昌·模擬預測）如圖，在平行六面體 ABCD - A1B1C1D1中，
AB = AD = AA1 =1， A1AB = A1AD = BAD = 60° .
(1)求證：四邊形BDD1B1為正方形；
(2)求體對角線 AC1的長度；
(3)求異面直線 AB1與BD1所成角的余弦值.
【變式 12-4】（2024·高三·江蘇南京·期中）如圖，矩形BCDE 所在平面與VABC 所在平面垂直，
ACB = 90o，BE = 2
(1)證明：DE ^平面 ACD；
(2) 5若平面 ADE 與平面 ABC 的夾角的余弦值是 , AE = 4，求異面直線DE 與 AB 所成角的余弦值.
5
【變式 12-5】如圖1，在VABC 中，D, E 分別為 AB, AC 的中點，O為DE 的中點， = = 2 5，
BC = 4 .將VADE 沿DE 折起到△A1DE 的位置，使得平面 A1DE ^ 平面BCED ，如圖 2．
(1)求證： A1O ^ BD ．
A F
(2)線段 A1C F
35 1
上是否存在點 ，使得直線DF 和BC 所成角的余弦值為 ？若存在，求出
7 A1C
的值；若不
存在，說明理由．
題型十三：求直線與平面所成角
【典例 13-1】（2024·廣東茂名·模擬預測）已知四棱柱 ABCD - A1B1C1D1的底面是正方形， AB = 4，
AA1 = 4 2 ，點B1在底面 ABCD的射影為BC 中點 H，則直線 AD1 與平面 ABCD所成角的正弦值為 ．
【典例 13-2】如圖，四棱錐P - ABCD 的底面為正方形，PD ^底面 ABCD．設平面PAD 與平面 PBC
的交線為 l．若PD = AD =1，Q 為 l 上的點，則 PB 與平面QCD所成角的正弦值的最大值為 ．
【方法技巧】
r r
設 l 為平面a 的斜線， a為 l 的方向向量， n為平面a 的法向量，q 為 l 與a 所成角的大小，則
r r
r r a × n
sinq = cos a,n = r r ．
a n
【變式 13-1】如圖，AB 是圓的直徑，平面 PAC ^面 ACB，且 AP ^ AC．
(1)求證：BC ^平面PAC ；
(2)若 AB = 2, AC =1, AP =1，求直線 AC 與面 PBC 所成角的正弦值.
【變式 13-2】（2024·江蘇南京·模擬預測）如圖，四棱錐 P - ABCD 中， PA ^底面 ABCD， AD//BC ，
AB = AD = AC = 3, PA = BC = 4, M , N 分別為線段 AD, PC 上一點， AM = 2MD .
(1)若 N 為PC 的中點，證明：MN // 平面PAB；
(2)求直線 AN 與平面CMN 所成角的正弦值的最大值.
【變式 13-3】（2024·廣西桂林·模擬預測）如圖，幾何體PABCD中，△PBD 和△CBD均為等邊三
角形，平面 ABD ^平面PBD ， AB = AD = 5, BD = 2, PC = 3, M 為BD中點．
(1)證明：PC 與 AM 不是異面直線；
(2)求直線 AB 與平面 PBC 所成角的正弦值．
【變式 13-4】（2024·貴州貴陽·二模）由正棱錐截得的棱臺稱為正棱臺.如圖，正四棱臺
ABCD - A1B1C1D1中，E, F 分別為 AD, AB的中點， AB = 2A1B1 = 4，側面BB1C1C 與底面 ABCD所成角為
45° .
(1)求證：BD1 / / 平面 A1EF ；
(2) 3 5線段 AB 上是否存在點M ，使得直線D1M 與平面 A1EF 所成的角的正弦值為 ，若存在，求出線段
10
AM 的長；若不存在，請說明理由.
【變式 13-5】（2024·河南駐馬店·二模）在如圖①所示的平面圖形中，四邊形 ACDE 為菱形，現沿
1
AC 進行翻折，使得 AB ^平面 ACDE ，過點E 作EF //AB，且EF = AB，連接FD, FB, BD，所得圖形如
2
圖②所示，其中G 為線段BD的中點，連接 FG .
(1)求證： FG ^ 平面 ABD；
(2) 7若 AC = AD = 2，直線 FG 與平面BCD所成角的正弦值為 ，求 AB 的值.
7
題型十四：求平面與平面所成角
【典例 14-1】（2024·海南·模擬預測）如圖，在四棱錐 S - ABCD 中，平面 SAC ^ 平面 SBD，點S在
平面 ABCD內的射影恰為點A ，直線 AC ，BD交于點O .
(1)求證： BOC = 90°；
(2)若 AB = AD = AS = 2，3BD = 2AC = 6 2 ，求平面 SAD與平面 SCD 夾角的余弦值.
【典例 14-2】（2024·山西太原·一模）如圖，在四棱錐P - ABCD 中，底面 ABCD是直角梯形，
AB//CD ， BAD = 90°，DA = DC = 2AB = 2 .
(1)點E 在側棱 PB上，且PD// 平面 EAC ，確定E 在側棱 PB上的位置；
(2)若平面PAD ^平面 ABCD，且PA = PD = 2 2 ，求二面角 A - PD - B 的余弦值.
【方法技巧】
r r r r r
（1）在平面a 內， a ^ l ，在平面 β 內， b ^ l （ l 是交線 l 的方向向量），其方向如圖所示，則二面
r r
a l b ra ×ub角 - - 的平面角的余弦值為 ur ．
| a | | b |
uur uur
（2）設 n1，n2 是二面角a - l - b 的兩個半平面的法向量，其方向一個指向二面角內側，另一個指向二
uur uur
n × n
面角的外側，則二面角a - l - b 的余弦值為 uur1 uu2r ．
|n1| × |n2 |
【變式 14-1】（2024·安徽安慶·三模）如圖，在多面體 ABCDE 中，平面 ACD⊥平面 ABC，BE⊥平面
ABC，△ABC 和△ACD 均為正三角形， AC = 4，BE = 3 ，點 F 在棱 AC 上.
(1)若 BF∥平面 CDE，求 CF 的長；
(2)若 F 是棱 AC 的中點，求二面角F - DE - C 的正弦值.
【變式 14-2】（2024·湖南·三模）如圖，四棱錐P - ABCD 的底面 ABCD是梯形，
BC / / AD, PA = AB = BC =1, AD = 2, PC = 3, PA ^平面 ABCD .
(1)求證：平面PBC ^平面PAB；
(2)在棱PD 6上是否存在一點 E，使得二面角 E - AC - P 的余弦值為 .若存在，求出PE : ED的值；若不存
3
在，請說明理由.
【變式 14-3】（2024·四川達州·二模）如圖，在直角梯形 ABCD中， AD//BC ， AB ^ BC ，
AB = BC = 2AD ，把梯形 ABCD繞 AB 旋轉至 ABC1D1 ，E ，F 分別為 AB ，CC1中點．
(1)證明：EF // 平面CD1A；
(2)若 DAD1 = q (0 < q < π)，求二面角C - AD1 - C1余弦的最小值．
【變式 14-4】（2024·遼寧錦州·模擬預測）如圖，在四棱錐P - ABCD 中， AD / / BC, M 為BP的中
點， AM / / 平面CDP ．
(1)求證：BC = 2AD ；
(2)若PA ^ AB, AB = AP = AD = CD =1， CBM = CPM ．
（i）求證：PA ^平面 ABCD；
（ii）設平面CDP 平面BAP = l ，求二面角C - l - B 的正弦值．
【變式 14-5】由四棱柱 ABCD - A1B1C1D1截去三棱錐D1 - A1DC1后得到如圖所示的幾何體，四邊形
ABCD是菱形， AC = 4, BD = 2,O 為 AC 與BD的交點，B1O ^平面 ABCD .
(1)求證：B1O / / 平面 A1DC1；
(2) O - AC - D 3若二面角 1 1 的正切值為 ，求平面 A1DC1與平面BCC1B6 1夾角的大小
.
題型十五：求點面距、線面距、面面距
【典例 15-1】如圖，在四棱錐O - ABCD中，底面 ABCD是邊長為 2的正方形，OA ^ 底面 ABCD，
OA = 2 ，M 、 N 、 R 分別是OA、BC 、 AD 的中點．求：
(1)直線MN 與平面OCD的距離；
(2)平面MNR 與平面OCD的距離．
【典例 15-2】（2024·廣西柳州·一模）如圖VABC 的外接圓O的直徑 AB = 2 ，CE 垂直于圓O所在
的平面， BD / /CE ，CE = 2， BC = BD = 1，M 為 DE 上的點.
(1)證明： BM ^ AC ；
(2)當M 為 DE 的中點時，求點M 到平面 ACD 的距離.
\ AC ^平面 BCED ，QBM 平面 BCED ，\ AC ^ BM ；
uuur
uuur
uuuur 1 3
CA = 3,0,0 CM = 0, , ，CD = 0,1,1 ，
è 2 2 ÷
【方法技巧】
r
如圖所示，平面a 的法向量為 n ，點Q是平面a 內一點，點 P 是平面a 外的任意一點，則點 P 到平面
uuur r uuur uuur r uuur ur
a 的距離 d ，就等于向量 PQ在法向量 n 方向上的投影的絕對值，即 d =| PQ |=| cos < PQ,n >| d= |P或 uuQur ×unur|
|PQ|×|n|
【變式 15-1】已知正方體 ABCD - A1B1C1D1 的棱長為 1，求平面 A1BD 與平面B1CD1 間的距離．
【變式 15-2】（2024·山西呂梁·三模）如圖， P 為圓錐的頂點，O為圓錐底面的圓心， AC 為底面直
徑，△ABD 為底面圓O的內接正三角形，且△ABD 的邊長為 3，點E 在母線PC 上，且 AE = 3，CE = 1.
(1)求證：BD ^ AE，并求三棱錐P - BDE 的體積；
(2)若點M 為線段PO上的動點，當直線DM 與平面 ABE 所成角的正弦值最大時，求此時點M 到平面 ABE
的距離.
題型十六：點到直線距離、異面直線的距離
【典例 16-1】在如圖所示實驗裝置中，正方形框架的邊長都是 1，且平面 ABCD ^平面 ABEF ，活動彈
子M , N 分別在正方形對角線 AC ， BF 上移動，則MN 長度的最小值是 ．
【典例 16-2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知空間中有三點O 0,0,0 ， A 1, -1,1 ， B 1,1,0 ，
則點 O 到直線 AB 的距離為 .
【方法技巧】
r r設兩條異面直線 a，b的公垂線的方向向量為 n ，這時分別在 a，b上任取 A，B 兩點，則向量在 n 上
uuur r uuur rn | AB × n |
的正射影長就是兩條異面直線 a，b的距離．則 d =| AB × r |= r 即兩異面直線間的距離，等于兩異面
| n | | n |
直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值．
【變式 16-1】如圖，多面體 ABC - A1B1C1是由長方體一分為二得到的， AA1 = 2， AB = BC =1，
ABC = 90°，點 D 是BB1中點，則異面直線DA1與 B1C1 的距離是 ．
【變式 16-2】已知棱長為 2 的正四面體 ABCD中，VABC 的一條高為 AE ，求 AE 與CD間的距離．
【變式 16-3】（2024·高三·河北滄州·期末）已知正方體 ABCD - A1B1C1D1的棱長為 2，M 為棱CC1
的中點，P，Q 分別為線段 AC1， BM 上的動點，則 PQ的最小值為 .
【變式 16-4】（2024·天津河西·模擬預測）如圖，在棱長為 a的正方體OABC - O A B C 中，E, F 分
別是棱 AB, BC 上的動點，且 AE = BF ．
(1)求證： A F ^ C E ；
(2)當三棱錐B - BEF 的體積取得最大值時，求平面B EF 與平面 BEF 夾角的正切值及點O到直線B E 的距
離．
【變式 16-5】（2024·江蘇南京·二模）在梯形 ABCD中， AB∥CD， D = 90°， AB = 2 2 ，
AD = DC = 2 ，如圖 1．現將△ADC 沿對角線 AC 折成直二面角 P - AC - B ，如圖 2，點M 在線段 BP上．
(1)求證： AP ^ CM ；
BM
(2)若點M 2 5到直線 AC 的距離為 ，求 的值．
5 BP
1．（2024 年上海秋季高考數學真題）定義一個集合Ω ，集合中的元素是空間內的點集，任取 P1, P2 , P3 Ω ，
uuur uuur uuur r
存在不全為 0 的實數l1,l2 ,l3 ，使得l1OP1 + l2OP2 + l3OP3 = 0 ．已知 (1,0,0) Ω ，則 (0,0,1) Ω 的充分條件
是（ ）
A． 0,0,0 W B． -1,0,0 W
C． 0,1,0 W D． 0,0, -1 W
2．（2022 年高考全國乙卷數學（理）真題）在正方體 ABCD - A1B1C1D1中，E，F 分別為 AB, BC 的中點，則
（ ）
A．平面B1EF ^ 平面BDD1 B．平面B1EF ^ 平面 A1BD
C．平面B1EF / / 平面 A1AC D．平面B1EF / / 平面 A1C1D
3．（多選題）（2021 年全國新高考 I 卷數學試題）在正三棱柱 ABC - A1B1C1中， AB = AA1 =1，點 P 滿足
= + 1，其中l 0,1 ， ∈ [0,1]，則（ ）
A．當l =1時，△AB1P 的周長為定值
B．當m =1時，三棱錐P - A1BC 的體積為定值
l 1C．當 = 時，有且僅有一個點 P ，使得 A1P ^ BP2
D．當m
1
= 時，有且僅有一個點 P ，使得 A1B ^ 平面 AB2 1
P
4．（2017 年普通高等學校招生統一考試數學（上海卷））如圖，以長方體 ABCD - A1B1C1D1的頂點D為
uuuuv
坐標原點，過D的三條棱所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，若DB1 的坐標為 (4,3,2)，則
uuuuv
AC1 的坐標為
5．（2016 年全國普通高等學校招生統一考試文科數學（浙江卷精編版））如圖，已知平面四邊形 ABCD，
AB=BC=3，CD=1，AD= 5 ，∠ADC=90°．沿直線 AC 將△ACD 翻折成△ACD'，直線 AC 與 BD'所成角的余
弦的最大值是 ．
1．在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架 ABCD，ABEF 的邊長都是 1，且它們所在的平面互相垂
直．活動彈子 M，N 分別在正方形對角線 AC 和 BF 上移動，且 CM 和 BN 的長度保持相等，記
CM = BN = a 0 < a < 2 ．
（1）求 MN 的長；
（2）a 為何值時，MN 的長最??？
（3）當 MN 的長最小時求平面 MNA 與平面 MNB 夾角的余弦值．
r
2．在空間直角坐標系中，已知向量u = (a,b,c)(abc 0)，點P0 x0 , y0 , z0 ，點P x, y, z ．
r x - x y - y
（1）若直線 l 經過點P ，且以u 為方向向量，P 是直線 l 上的任意一點，求證： 0 = 0
z - z0
0 =a b c
（2）若平面a 經過點P
r
0 ，且以u 為法向量，P 是平面a 內的任意一點，求證： a x - x0 + b y - y0 +
c z - z0 = 0．
3．如圖，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， BAC = 90°， AB = AC = 2， AA1 = 3，M 是 AB 的中點，N 是 B1C1
的中點，P 是BC1與B1C 的交點．在線段 A1N 上是否存在點 Q，使得PQ / /平面 A1CM ？
4．如圖，正方體 ABCD - A1B1C1D1的棱長為 1，M 是棱 AA1的中點，O 是BD1的中點．求證：OM 分別與異
面直線 AA1，BD1垂直，并求 OM 的長．
5．如圖，已知正方體 ABCD - A1B1C1D1的棱長為 1，Q 為 B1C1 的中點，點 P 在棱 AA1上， AP : AA1 =1: 3．求
平面 ABCD 與平面 BQP 的夾角．
6．如圖，在正方體 ABCD - A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L 分別是 AB，BB1， B1C1 ，C1D1，D1D，DA
各棱的中點．
（1）求證： A1C ^平面 EFGHKL；
（2）求DB1與平面 EFGHKL 所成角的余弦值．
易錯點：計算線面角出錯
易錯分析： 計算線面角時出錯，常見原因包括：1. 對線面角概念理解不清，錯誤地將直線與平面上任
意直線的夾角視為線面角；2. 在利用向量法計算時，未正確設置平面的法向量和直線的方向向量，導致計
算結果偏離實際；3. 忽視線面角的取值范圍，錯誤地計算了鈍角或超出規定范圍的角；4. 計算過程中存在
符號錯誤或計算失誤，影響最終結果的準確性。因此，在計算線面角時需仔細理解概念，正確設置向量，
并仔細檢查計算過程。
【易錯題 1】（2024·山東菏澤·模擬預測）如圖，在正四棱臺 ABCD - A1B1C1D1中，
AB = 4, A1B1 = 2, AA1 = 2 2 .
(1)證明： AC ^ BB1；
(2)若E 為BB1的中點，求直線CE與平面 ABB1A1的夾角的正弦值.
【易錯題 2】在長方體 ABCD - A1B1C1D1中，已知異面直線 A1C 與 AD， A1C 與 AB 所成角的大小分別為 60°
和 45°，則直線B1D和平面 A1BC 所成的角的余弦值為 ．
答題模板：用向量法求空間角
1、模板解決思路
用向量法求空間角的方法一般都是先確定兩個向量（直線的方向向量或平面的法向量），然后求這兩
個向量夾角的余弦值。
2、模板解決步驟
第一步：我們需要根據題目的描述，選擇一個合適的點作為原點，并建立空間直角坐標系。
第二步：我們需要求出與所求角相關的直線的方向向量或平面的法向量。
第三步：我們可以利用向量的夾角公式來求出它們之間的夾角的余弦值。
第四步：我們根據得到的向量夾角的余弦值，可以確定所求角的值或其三角函數值。
【典型例題 1】如圖，正方體 ABCD - A1B1C1D1中， E ， F 分別是 A1D1， AB 的中點，則 cos ECF = ，
【典型例題 2】已知正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1的底面邊長與側棱長之比為1: 3，則平面DA1B 與平面 A1BC1
夾角的余弦值為 ．第 05 講 空間向量及其應用
目錄
01 考情透視·目標導航.................................................................................................................................................2
02 知識導圖·思維引航.................................................................................................................................................3
03 考點突破·題型探究.................................................................................................................................................4
知識點 1：空間向量及其加減運算 ............................................................................................................................4
知識點 2：空間向量的數乘運算 ................................................................................................................................5
知識點 3：空間向量的數量積運算 ............................................................................................................................6
知識點 4：空間向量的坐標運算及應用 ....................................................................................................................7
知識點 5：向量法證明平行、垂直 ............................................................................................................................8
知識點 6：空間角公式 ..............................................................................................................................................11
知識點 7：空間中的距離 ..........................................................................................................................................12
解題方法總結 .............................................................................................................................................................14
題型一：空間向量的加法、減法、數乘運算.........................................................................................................15
題型二：空間共線向量定理的應用 .........................................................................................................................19
題型三：空間向量的數量積運算 .............................................................................................................................23
題型四：三點共線問題 .............................................................................................................................................28
題型五：多點共面問題 .............................................................................................................................................32
題型六：證明直線和直線平行 .................................................................................................................................41
題型七：證明直線和平面平行 .................................................................................................................................44
題型八：證明平面與平面平行 .................................................................................................................................48
題型九：證明直線與直線垂直 .................................................................................................................................51
題型十：證明直線與平面垂直 .................................................................................................................................55
題型十一：證明平面和平面垂直 .............................................................................................................................59
題型十二：求兩異面直線所成角 .............................................................................................................................63
題型十三：求直線與平面所成角 .............................................................................................................................71
題型十四：求平面與平面所成角 .............................................................................................................................79
題型十五：求點面距、線面距、面面距 .................................................................................................................92
題型十六：點到直線距離、異面直線的距離.........................................................................................................98
04 真題練習·命題洞見.............................................................................................................................................105
05 課本典例·高考素材.............................................................................................................................................112
06 易錯分析·答題模板.............................................................................................................................................117
易錯點：計算線面角出錯 .......................................................................................................................................117
答題模板：用向量法求空間角 ...............................................................................................................................119
考點要求 考題統計 考情分析
空間向量解立體幾何一般以解答題形式
（1）空間向量的線性運算 2024 年 I 卷第 17 題，15 分 為主,每年必考,一般 12 分.以解答題為主,難度
（2）空間向量基本定理及其 2024 年 II 卷第 17 題，15 分 中等,可靈活選擇運用向量方法與綜合幾何方
應用 2023 年 I 卷第 18 題，12 分 法,從不同角度解決立體幾何問題,通過對比體
（3）向量法證明平行、垂直 2023 年 II 卷第 20 題，12 分 會向量方法的優越性.選擇題和填空題一般不
（4）向量法求空間角 2022 年 I 卷第 19 題，12 分 用空間向量法.但要理解向量基本定理的本質,
（5）空間距離 2022 年 II 卷第 20 題，12 分 感悟“基底”的思想,并運用它解決立體幾何中
的問題.
復習目標：
（1）了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示.
（2）掌握空間向量的線性運算及其坐標表示，掌握空間向量的數量積及其坐標表示，能用向量的數量積判
斷向量的共線和垂直.
（3）理解直線的方向向量及平面的法向量，能用向量方法證明立體幾何中有關線面位置關系的一些簡單定
理．
（4）能用向量法解決異面直線、直線與平面、平面與平面的夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序，
體會向量法在研究空間角問題中的作用．
知識點 1：空間向量及其加減運算
（1）空間向量
在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長度或模．空間向量也可
r r
用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的模，若向量 a的起點是 A，終點是 B ，則向量 a也可以記作
uuur r uuur
AB ，其模記為 a 或 AB ．
（2）零向量與單位向量
r uuur r
規定長度為 0 的向量叫做零向量，記作 0 ．當有向線段的起點 A與終點 B 重合時， AB = 0．
模為 1 的向量稱為單位向量．
（3）相等向量與相反向量
方向相同且模相等的向量稱為相等向量．在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向
量．空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面，成為同一平面內的兩個向量．
r r r
與向量 a長度相等而方向相反的向量，稱為 a的相反向量，記為 -a．
（4）空間向量的加法和減法運算
uuur uuur uuur r r uuur uuur uuur r r
① OC = OA + OB = a + b ， BA = OA - OB = a - b ．如圖所示．
②空間向量的加法運算滿足交換律及結合律
r r r r r r r r r r
a + b = b + a ， a + b + c = a + b + c
【診斷自測】如圖，在平行六面體 ABCD - A1B1C1D1中，M 為 A1C1與 B1D1的交點．若
uuur r uuur r uuur r uuuur
AB = a, AD = b, AA1 = c，則下列向量中與BM 相等的是（ ）
1 r r r r r r
A． a
1
+ b + c 1 1B．- a + b + c
2 2 2 2
1 r 1 r r 1 r 1 r r
C．- a - b + c D． a - b + c
2 2 2 2
【答案】B
uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur r r r
【解析】BM = BB1 + B
1 1
1M = AA1 + B A + B C AA
1
= - AB 1 1 1+ AD = - a + b + c .
2 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2
故選：B．
知識點 2：空間向量的數乘運算
（1）數乘運算
r r r r
實數 l 與空間向量 a的乘積 la 稱為向量的數乘運算．當 l > 0 時， la 與向量 a方向相同；當 l < 0 時，
r r r r
向量la 與向量 a方向相反．la 的長度是 a的長度的 l 倍．
（2）空間向量的數乘運算滿足分配律及結合律
l r r r r r ra + b = la + lb，l ma = lm a ．
（3）共線向量與平行向量
r
如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量， a
r r r
平行于b ，記作 a / /b ．
（4）共線向量定理
r r r r r r r r
對空間中任意兩個向量 a，b b 0 ， a / /b 的充要條件是存在實數 l ，使 a = lb ．
（5）直線的方向向量
r
如圖 8-153 所示， l 為經過已知點 A且平行于已知非零向量 a的直線．對空間任意一點O，點 P 在直線
uuur uuur r r uuur r
l 上的充要條件是存在實數 t ，使OP = OA + ta ①，其中向量 a叫做直線 l 的方向向量，在 l 上取 AB = a ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
則式①可化為OP = OA + t AB = OA + t OB - OA = 1- t OA + tOB ②
1 uuur 1 uuur uuur①和②都稱為空間直線的向量表達式，當 t = ，即點 P 是線段 AB 的中點時，OP = OA + OB ，此2 2
式叫做線段 AB 的中點公式．
（6）共面向量
r uuur r
如圖 8-154 所示，已知平面a 與向量 a，作OA = a，如果直線OA平行于平面a 或在平面a 內，則說明
r
向量 a平行于平面a ．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
O a A
a
a
（7）共面向量定理
r r ur r r
如果兩個向量 a， b 不共線，那么向量 p 與向量 a， b 共面的充要條件是存在唯一的有序實數對 x, y ，
ur r r
使 p = xa + yb ．
uuur uuur uuur
推論：①空間一點 P 位于平面 ABC 內的充要條件是存在有序實數對 x, y ，使 AP = xAB + y AC ；或
uuur uuur uuur uuur
對空間任意一點O，有OP - OA = xAB + y AC ，該式稱為空間平面 ABC 的向量表達式．
uuur uuur uuur uuur
②已知空間任意一點O和不共線的三點 A， B ，C ，滿足向量關系式OP = xOA + yOB + zOC （其中
x + y + z = 1）的點 P 與點 A， B ，C 共面；反之也成立．
【診斷自測】已知點 A a,-3,5 ， B 0,b, 2 ，C 2,7,-1 ，若 A，B，C 三點共線，則 a，b 的值分別是（ ）
A．-2，3 B．-1，2 C．1，3 D．-2，2
【答案】D
【解析】因為 A a,-3,5 ，B 0,b, 2 ，C 2,7,-1 ，
uuur uuur
所以 AB = (-a,b + 3,-3)，BC = (2,7 - b,-3)，
uuur uuur
因為 A，B，C 三點共線，所以存在實數 k ，使 AB = k BC ，
所以 (-a,b + 3,-3) = k(2,7 - b,-3) ，
ì-a = 2k

所以 íb + 3 = k(7 - b)，解得 k = 1,a = -2,b = 2 .

-3 = -3k
故選：D
知識點 3：空間向量的數量積運算
（1）兩向量夾角
r r uuur r uuur r r r
已知兩個非零向量 a， b ，在空間任取一點O，作OA = a，OB = b，則 AOB 叫做向量 a， b 的夾角，
r r r r r r p r r r r
記作 a,b ，通常規定 0 a,b p ，如果 a,b = ，那么向量 a，b 互相垂直，記作 a ^ b．
2
（2）數量積定義
r r r r r r r r r r
已知兩個非零向量 a，b ，則 a b cos a,b 叫做 a，b 的數量積，記作 a ×b，即
r r r r r r r r r 2
a × b = a b cos a,b ．零向量與任何向量的數量積為 0，特別地， a × a = a ．
（3）空間向量的數量積滿足的運算律：
r r r r
r r r r
la × b = l a ×b ， a × b = b × a （交換律）；
r r r r r r ra × b + c = a × b + a × c （分配律）．
uuur uuur
【診斷自測】已知正四面體P - ABC ，底面邊長為 2，側棱 PB中點為 E，則PA ×CE = ．
【答案】-1
【解析】因為正四面體P - ABC ，底面邊長為 2，側棱 PB 中點為 E，
uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur所以PA ×CE = PA × CP + CB 1= PA ×CP 1+ PA ×CB2 2 2
1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur= PA ×CP + PA × AB - AC = PA ×CP + PA × AB - PA × AC2 2 2 2 2
1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur
= PA × CP cos120o + PA × AB cos120o - PA × AC cos120o
2 2 2
1 1
= - 2 2 = -1 .
2 2
故答案為：-1.
知識點 4：空間向量的坐標運算及應用
r r r r
（1）設 a = a1,a2 ,a3 ，b = b1,b2 ,b3 ，則 a + b = a1 + b1,a2 + b2 ,a3 + b3 ；
r r
a - b = a1 - b1,a2 - b2 ,a3 - b3 ；
r
la = la1,la2 ,la3 ；
r r
a × b = a1b1 + a2b2 + a3b3 ；
r r r r
a / /b b 0 a1 = lb1,a2 = lb2 ,a3 = lb3 ；
r r
a ^ b a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0 ．
uuur uuur uuur
（2）設 A x1, y1, z1 ， B x2 , y2 , z2 ，則 AB = OB - OA = x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1 ．
這就是說，一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示該向量的有向線段的終點的坐標減起點的坐標．
（3）兩個向量的夾角及兩點間的距離公式．
r r r r 2
①已知 a = a1,a2 ,a3 ，b = b1,b2 ,b3 ，則 a = a = a 2 21 + a2 + a 23 ；
r r2
b = b = b 21 + b
2
2 + b
2
3 ；
r r
a × b = a1b1 + a2b2 + a3b3 ；
r r
cos a,b a1b1 + a2b2 + a b= 3 3 ；
a 2 21 + a2 + a
2
3 b
2
1 + b
2
2 + b
2
3
uuur
②已知 A x1, y1, z1 ， B x2 , y2 , z2 ，則 AB = x1 - x2
2 + y 21 - y2 + z1 - z
2
2 ，
uuur
或者 d A, B = AB ．其中 d A, B 表示 A與 B 兩點間的距離，這就是空間兩點的距離公式．
r r r r r r r
（4）向量 a在向量b a × b上的投影為 a cos a,b = r ．
b
r r
【診斷自測】已知 a = r r2,3,1 ，b = 1, -2, -2 ，則a 在b 上的投影向量為（ ）
r r
A． 2b B．-2b
2 rb 2
r
C． D．- b
3 3
【答案】D
r r
a ×b 2,3,1 × 1,-2,-2 2 - 6 - 2 2
【解析】 r 2 = 2 = = -
b 12 + -2 + -2
2 9 3 ，
r r r
r r a ×b ×b 2 r
故a 在b 上的投影向量為 r 2 = - b3 .b
故選：D
知識點 5：向量法證明平行、垂直
（1）平面的法向量：
r r
如果表示向量 n的有向線段所在直線垂直于平面a ，則稱這個向量垂直于平面a ，記作 n ^ a ，如果
r r
n ^ a ，那么向量 n叫做平面a 的法向量．
注意：
r ur
①法向量一定是非零向量；②一個平面的所有法向量都互相平行；③向量 n是平面的法向量，向量m
ur r
是與平面平行或在平面內，則有m × n = 0．
r r
第一步：寫出平面內兩個不平行的向 a = x1 ，y1 ，z1 ，b = x2 ，y2 ，z2 ；
r r
r ìn × a = 0 ìxx1 + yy1 + zz = 0第二步：那么平面法向量 n = x，y，z ，滿足 ír r 1í ．
n × b = 0 xx2 + yy2 + zz2 = 0
（2）判定直線、平面間的位置關系
r r
①直線與直線的位置關系：不重合的兩條直線 a，b 的方向向量分別為 a，b ．
r r r r
若 a ∥ b ，即 a = lb ，則 a∥b；
r r r r
若 a⊥b ，即 a × b = 0 ，則 a⊥b．
r r
②直線與平面的位置關系：直線 l 的方向向量為 a，平面a 的法向量為 n ，且 l⊥a ．
r r r r
若 a ∥ n ，即 a = ln ，則 l⊥a ；
r r r r
若 a r⊥n，即 a × n = 0，則 a∥a ．
（3）平面與平面的位置關系
平面a r r的法向量為 n1，平面 b 的法向量為 n2 ．
若 nr ∥ nr nr lnr r r r r1 2 ，即 1 = 2 ，則a∥b ；若 n1 ⊥ n2 ，即 n1 × n2 = 0 ，則a ⊥ b ．
【診斷自測】如圖所示，四邊形 ABCD為矩形，PA ^平面 ABCD，PA = AD ，M ， N ，Q分別是PC ，
AB ，CD的中點.
(1)求證：MN / / 平面PAD ；
(2)求證：平面MNQ / / 平面PAD .
【解析】（1）證明：因為PA ^平面 ABCD， AB, AD 平面 ABCD，
所以 PA ^ AB, PA ^ AD ，
因為四邊形 ABCD為矩形，所以 AB ^ AD ，
所以 AB, AD, AP兩兩垂直，
所以以A 為原點，分別以 AB ， AD ， AP 所在直線為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標系，如圖所示，
設B(b,0,0)，D(0,d ,0)，P(0,0,d ) .
則C(b,d ,0)，因為M ， N ，Q分別是PC ， AB ，CD的中點，
M b d所以 , ,
d
÷， N
b
,0,0
Q b÷， ,d ,0

÷ ，
è 2 2 2 è 2 è 2
uuuur
所以MN =
d d
0, - ,- ÷ .
è 2 2
ur uuuur ur uuuur ur
因為平面PAD 的一個法向量為m = (1,0,0) ，所以MN × m = 0 ，即MN ^ m .
又因為MN 平面PAD ，所以MN / / 平面PAD .
uuur uuur ur uuur ur
（2）因為QN = (0, -d ,0)，所以QN ×m = 0，所以QN ^ m，
又QN 平面PAD ，所以QN / /平面PAD .
又因為MN IQN = N ，MN ,QN 平面MNQ ，
所以平面MNQ / / 平面PAD .
知識點 6：空間角公式
r r
（1）異面直線所成角公式：設 a，b 分別為異面直線 l1 ， l2 上的方向向量，q 為異面直線所成角的大
r r
r r a × b
小，則 cosq = cos a,b = r r ．
a b
r r
（2）線面角公式：設 l 為平面a 的斜線， a為 l 的方向向量， n為平面a 的法向量，q 為
r r
r r a × n
l 與a 所成角的大小，則 sinq = cos a,n = r r ．
a n
（3）二面角公式：
uur uur uur uur
設 n1， n2 分別為平面a ， b 的法向量，二面角的大小為q ，則q = n1,n2 或p - n1,n2 （需要根據具
uur uur
n1 × n2
體情況判斷相等或互補），其中 cosq = uur uur ．
n1 n2
【診斷自測】如圖，在正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中， AA1 =2AB=4，E ，F 分別為BB1，CC1的中點.
(1)證明： A1F / / 平面CDE .
(2)求 A1E 與平面CDE 所成角的正弦值.
【解析】（1）在正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中， AB ， AD ， AA1兩兩垂直，且 AA1 =2AB=4，
以A 為坐標原點， AB ， AD ， AA1所在直線分別為 x 軸， y 軸， z 軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，則C 2,2,0 ，D 0,2,0 ， 1(0,0,4).
因為E ，F 分別為BB1，CC1的中點，所以E 2,0,2 ，F 2,2,2 ，
uuur uuur uuuur
則CD = -2,0,0 ，CE = 0, -2,2 ， A1F = 2,2,-2 ，
設平面CDE 的法向量為 = ( , , )，
uuur
ìCD
r
×m = 0 ì-2x = 0
則 íuuur ，即 í
CE ×m
r
= 0 -2y + 2z 0
，
=
令 y
r
=1，則有 x = 0， z =1，即m = 0,1,1 ，
uuuur r uuuur ur
因為 A1F ×m = 2 0 + 2 1+ -2 1 = 0，所以 A1F ^ m，
又 A1F 平面CDE ，所以 A1F / / 平面CDE ；
uuur
（2）由（1）可知， A1E = 2,0, -2 ，
uuur uuur r
cosA1E, m
r uAu1uEr × m -2 1= = = -
A1E m
r 2 2 2 2 ，
所以 A1E
1
與平面CDE 所成角的正弦值為 .
2
知識點 7：空間中的距離
求解空間中的距離
（1）異面直線間的距離：兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量的正射影性質
直接計算．
r
如圖，設兩條異面直線 a，b的公垂線的方向向量為 n ，這時分別在 a，b上任取 A，B 兩點，則向量在
r uuur
r uuur r
n 上的正射影長就是兩條異面直線 a，b的距離．則 d =| AB n× r | | AB= r × n | 即兩異面直線間的距離，等于兩
| n | | n |
異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值．
（2）點到平面的距離
A為平面a r外一點（如圖）， n 為平面a 的法向量，過 A作平面a 的斜線 AB 及垂線 AH ．
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur r uuur r
| AH |=| AB | ×sinq =| AB | × | cos < AB,n >| = | AB | | AB × n | | AB × n |uuur r = r
AB × n n
uuur r
d | ABr × n |=
| n |
【診斷自測】如圖，在四棱錐P - ABCD 中，底面 ABCD是矩形，PA ^平面 ABCD，PA = AD = 4，
AB = 2 ，若 M、N 分別為棱PD、PC 的中點，O 為 AC 中點．
(1)求證：平面 ABM ^平面 PCD；
(2)求點 N 到平面 ACM 的距離．
【解析】（1）QPA ^ 平面 ABCD， AB, AD 面 ABCD，
∴ ⊥ ，PA ^ AD．
Q矩形 ABCD，
\ AB ^ AD ，故PA、 AB 、 AD 兩兩垂直．
分別以 AB 、 AD 、 AP 所在直線為 x 軸、 y 軸和 z 軸建立空間直角坐標系，如圖所示．
則P 0,0,4 ，B 2,0,0 ，C 2,4,0 ，D 0,4,0 ，O 1,2,0 ．
uuur uuuur
\M 0,2,2 ， N 1,2,2 ， AB = 2,0,0 ， AM = 0,2,2
ì 2x1 = 0, ur
設平面 ABM 的法向量為 n1 = x1, y1, z1 ，則 í n2y 可取+ 2z = 0, 1 = 0,1, -1 ， 1 1
uur uuur uuur ì2x + 4y - 4z = 0,
設平面 PCD的法向量為 n2 = x2 , y2 , z2 ，PC = 2,4,-4 ，DC = 2,0,0 2 2 2，則 í 2x 0, 可取= 2 = 2
(0,1,1)，
ur uur
\n1 ×n2 = 0，
ur uur
\n1 ^ n2 ，
\平面 ABM ^平面 PCD．
（2）設平面 ACM 的法向量為 = ( , , )．
uuur uuuur
Q AC = 2,4,0 ， AM = 0,2,2 ，
uuur
ì AC
r
×n = 0, ì2x + 4y = 0, r
由 íuuuur 得 í n = 2, -1,1
AM
r
× n = 0, 2y + 2z = 0,
可取
uuur
Q AN = 1,2,2 r，平面 ACM 的法向量為n = 2, -1,1 ，
uuur
AN ×nr 2 6
\d = = = ．
nr 6 3
解題方法總結
用向量法可以證點共線、線共點、線（或點）共面、兩直線（或線與面、面與面）垂直的問題，也可
以求空間角和距離．因此，凡涉及上述類型的問題，都可以考慮利用向量法求解，且其解法一般都比較簡
單．
用向量法解題的途徑有兩種：一種是坐標法，即通過建立空間直角坐標系，確定出一些點的坐標，進
而求出向量的坐標，再進行坐標運算；另一種是基底法，即先選擇基向量（除要求不共面外，還要能夠便
于表示所求的目標向量，并優先選擇相互夾角已知的向量作為基底，如常選擇幾何體上共點而不共面的三
條棱所在的向量為基底），然后將有關向量用基底向量表示，并進行向量運算．
題型一：空間向量的加法、減法、數乘運算
uuur r uuur r uuur r
【典例 1-1】如圖，在空間四邊形OABC 中，OA = a，OB = b，OC = c，點M 在OA上，且
uuuur
OM = 2 MA ， N 為BC 的中點，則MN 等于（ ）
1 r 2 r 1 r 2 r 2 r 1 r
A． a - b + c B． a + b - c
2 3 2 3 3 2
2 r 1 r r r r r
C．- a + b
1 c 1 a 1 1+ D． + b - c
3 2 2 2 2 2
【答案】C
uuuur uuur r
【解析】由點M 在OA
2 2
上，且 OM = 2 MA ，知OM = OA = a；由 N 為BC 的中點，知
3 3
uuur uuur uuur r r
ON 1 OB 1 1 1= + OC = b + c .
2 2 2 2
uuuur uuur uuuur r r r
所以MN = ON OM
2 1 1
- = - a + b + c .
3 2 2
故選：C.
uuur
【典例 1-2】如圖，在四面體 ABCD中，E, F 分別為BC, AE 的中點，G 為VACD的重心，則FG =
（ ）
1 uuur 1 uuur 1 uuur
A．- AB + AC + AD
3 12 4
1 uuur uuur uuur
B．- AB
1
+ AC 1+ AD
4 12 3
1 uuurAB 1
uuur 1 uuur
C． - AC + AD
4 12 3
1 uuur 1 uuur 1 uuur
D． AB + AC - AD
3 12 4
【答案】B
uuur uuur uuur uuur
【解析】因為E, F 分別為BC, AE
1 1
的中點，所以 AF = AE = AB + AC .2 4
uuur 1 uuur uuur因為G 為VACD的重心，所以 AG = AC + AD ，3
uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur所以FG = AG - AF = AC AD 1 AB AC 1 AB 1 AC 1+ - + = - + + AD .3 4 4 12 3
故選：B.
【方法技巧】
空間向量的運算包括空間向量的加法、減法、數乘、數量積的幾何意義及坐標運算，可以類比平面向
量的運算法則．
【變式 1-1】如圖，在梯形 ABCD中， AB / /CD ，且 AB = 3CD ，點O為空間內任意一點，設
uuur r uuur r uuur r uuur
OA = a,OB = b ，OC = c，則向量OD =（ ）
r r r r r r
A． a - b + 3c B． a - b - 3c
1 r 1 r r 1 r 1 r r
C．- a + b + c D． a - b + c
3 3 3 3
【答案】D
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【解析】OD = OA + AD = OA + AB + BC + CD = OA
1
+ AB + OC - OB - AB
3
uuur 2 uuur uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur uuur 1 r r r
= OA + (OB - OA) + OC - OB = OA - OB + OC = a 1- b + c .
3 3 3 3 3
故選：D
【變式 1-2】（2024·高三·河南濮陽·開學考試）已知直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1的底面為梯形，
3 uuuur uuuurAB = BB1 = C1D1 = 6,CD ∥ AB, BM = lMB1(0 < l <1) ，若DD1 平面 AC1M = N ，則DN = （ ）2
4l 4l + 2 2l + 6 2l + 4
A． B． C． D．
l +1 l +1 l +1 l +1
【答案】C
【解析】因為四棱柱 ABCD - A1B1C1D1為直四棱柱，CD∥ AB ，
故平面 ABB1A1∥平面DCC1D1 ，而平面 AMC1N I平面DCC1D1 = C1N ，
平面 AMC1N I平面 ABB1A1 = AM ，故 AM ∥C1N ，
又C1D1 P CD P AB ，則 D1C1N = BAM ，故RtVC1D1N ∽ RtVABM ，
C1D1 AB 3 uuuur uuuur
故 =D N BM ，又 AB BB
6l
= 1 = C1D1 = 6，BM = lMB1(0 < l <1)，則BM = ，
1 2 l +1
4 6
= 6l D N 4l DN 6 4l 2l + 6則 D = = - =1N ，故 1 ，則 ，
l 1 l +1 l +1 l +1+
故選：C
uuur uuuur
【變式 1-3】如圖，OABC 是四面體，G 是VABC 的重心，G1是 OG 上一點，且OG = 4OG1 ，則（ ）
uuuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur uuuurOG 1
uuur 1 uuur uuur
A． 1 = OA + OB + OC B．OG1 = OA + OB
1
+ OC
6 6 6 12 12 12
uuuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur uuuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur
C．OG1 = OA + OB + OC D．OG1 = OA + OB + OC18 18 18 8 8 8
【答案】B
【解析】連接 AG 并延長交 BC 于 N，連接 ON，
uuur 2 uuur uuur 1 uuur uuur
由 G 是VABC 的重心，可得 AG = AN ，ON = OB + OC3 2
uuur
AG 2
uuur
AN = 2則 = uuur uuur 2 é1 uuur uuur uuurù 1 uuur 1 uuur uuurON - OA = ê OB + OC - OAú = OB + OC 2- OA3 3 3 2 3 3 3
uuur 1 uuur 1 uur uuur 1 uur 1 uuur 1 uuur 2 uur 1 uur 1 uuur 1 uuur則OG1 = OG = OA + AG = OA + OB + OC - OA = OA + OB + OC4 4 4 è 3 3 3 ÷ 12 12 12
故選：B
uuur r uuur r uuur r
【變式 1-4】如圖，在四面體OABC 中，OA = a，OB = b，OC = c， OB = 2 ， OC = 3， BOC
π
= ，
3
uuuur
M 為VABC 的重心，N 為△OBC 的外心，則MN = （ ）
1 r 1 r 1 r r r r
A． a - b + c
1
B．- a
1 b 1+ + c
3 6 9 3 6 3
1 r r r r r r
C．- a
1
- b 1+ c 1 a 1D． + b
1
+ c
3 6 9 3 6 3
【答案】C
【解析】連接CM 并延長交 AB 于 F，因為 M 為VABC 的重心，所以 F 為 AB 的中點，
uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur
根據重心的性質：OM = OC + CM
r 2
= c + CF cr 2 1= + CA + CB
3 3 2
r 1 uuur uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur 1 r 1 r 1 r
= c + OA - OC + OB - OC = OA + OC + OB = a + b + c ,3 3 3 3 3 3 3
取OB 、OC 的中點D，E ，連接 ND， NE ，因為 N 為△OBC 的外心，所以 NE ^ OC , ND ^ OB ，
uuur uuur uuur π
設ON = mOB + nOC，因 OB = 2 ， OC = 3， BOC = ，3
uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur 2 uuur uuur
則ON ×OB = mOB + nOB ×OC = m OB + n OB × OC cos BOC = 4m + 3n ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
又ON ×OB = ON × OB cos NOB = OD × OB = 2，所以 4m + 3n = 2，
uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur 2 uuur uuur
因為ON ×OC = nOC + mOB ×OC = n OC + m OB × OC cos BOC = 9n + 3m ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
又ON ×OC = ON × OC cos NOC = OE OC
9 3
× = ，所以m + 3n = ，
2 2
1 4 uuur 1 uuur 4 uuur r r
解得m = ， n = ，所以ON = OB + OC
1
= b 4+ c ，
6 9 6 9 6 9
uuuur uuur uuuur r r r
所以MN = ON - OM
1 b 4 cr 1 ar 1 1 r 1= + ÷ - + b + c

÷ = - a
r 1 b 1 cr- + ．
è 6 9 è 3 3 3 3 6 9
故選：C．
題型二：空間共線向量定理的應用
uuur 2 uuur 1 uuur
【典例 2-1】若空間四點OABP滿足OP = OA + OB ，則（
3 3 ）
A．P 直線 AB
B．P 直線 AB
C．點 P 可能在直線 AB 上，也可能不在直線 AB 上
D．P 直線 AB ，且 AP = PB
【答案】A
uuur 2 uuur 1 uuur
【解析】由于OP = OA + OB ，所以O, A, B, P四點共面，
3 3
2 1
由于 + = 1，所以 A, P, B三點共線，
3 3
根據平行四邊形法則可知： P 是線段 AB 上，靠近A 的三等分點（如下圖所示）.
所以 A 選項正確，BCD 選項錯誤.
故選：A
ur uur uuur ur uur uuur ur uur
【典例 2-2】設 e1 ， e2 是空間兩個不共線的非零向量，已知 AB = 2e1 + ke2 ，BC = e1 + 3e2 ，
uuur ur uur
DC = 2e1 - e2 ，且 A、B、D 三點共線，則實數 k 的值為（ ）
A．-8 B．-4 C．-2 D．8
【答案】A
uuur uuur
【解析】因為 A、B、D 三點共線，所以$l R,使得 AB = l AD,
uuur ur uur uuur ur uur uuur ur uur
又 AB = 2e1 + ke2 ，BC = e1 + 3e2 ，DC = 2e1 - e2 ，
uuur uuur uuur uuur ur uur ur uur ur uur ur uur
所以 AD = AB + BC - DC = 2e1 + ke2 + e1 + 3e2 - 2e1 - e2 = e1 + k + 4 e2 ,
ur ur ur ur
則 2e1 + ke2 = l e1 + k + 4 e2 ,
則l = 2, l k + 4 = k,解得： k = 8.
故選：A.
【方法技巧】
r r r r r r
空間共線向量定理： a / /b b 0 a = lb ．
利用此定理可解決立體幾何中的平行問題．
uuur uuur
【變式 2-1】已知向量 AB = (1, m, -3)， AC = (-3,6,9)，若A ， B ，C 三點共線，則m =（ ）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
【答案】B
uuur uuur uuur uuur
【解析】因為A ， B ，C 三點共線，則 AB = l AC ，又向量 AB = (1, m, -3)， AC = (-3,6,9)，
ì1 = -3l

所以 ím = 6l
1
，解得l = - ,m = -2，
3
-3 = 9l
故選：B.
【變式 2-2】在四面體 ABCD中，E 為 AD 的中點，G 為平面BCD的重心．若 AG 與平面BCE 交于點
AF
F，則 =AG （ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
2 3 4 5
【答案】C
【解析】如圖：連接DG 交BC 于 H，則 H 為BC 中點，連接 AH , EH , AG ,
因為 AG 平面 AHD ，EH 平面 AHD ，設 AG I EH = K ，則K EH , K AG ，
又EH 平面BCE ，所以K 平面BCE ，故 K 為 AG 與平面BCE 的交點，
又因為 AG 與平面BCE 交于點 F，所以 F 與 K 重合，
又 E 為 AD 的中點，G 為平面BCD的重心，
uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuuur 因為點 A，F，G 三點共線，則 AF = mAG = m AD + DG = m AD + DH3 ÷è
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= m AD
2 DB + DC
+ = m éAD 1+ AB - AD + AC - AD ù
è 3 2
÷
ê 3
ú
1 uuur uuur uuur= m AD + AB + AC3
uuur uuur uuur
又因為點 E，F，H 三點共線，則 AF = xAH + y AE, x + y =1 ，
uuur uuur uuur x uuur uuur uuurAF = xAH + y AE = AB y+ AC2 + AD ,2
ìm x
=
3 2
x + y =1 m 3
uuur 3 uuur AF 3
所以 í ，解得 = ，即 AF = AG =
4
，故
4 AG 4
.
m y=
3 2
故選：C.
r r uuur r r uuur2-3 a b AB 3a 6b BC 10ar
r uuur r r
【變式 】已知空間向量 ， ，且 = + ， = - +12b ，CD =14a - 4b ，則一定共線的
三點是（ ）
A．A 、 B 、C B． B 、C 、D
C．A 、 B 、D D．A 、C 、D
【答案】C
uuur r uuur r
【解析】因為 AB = 3ar + 6b ，BC = -10ar +12b ，若A 、 B 、C 三點共線，
uuur uuur ì-10 = 3l
則BC = l AB ，而 í12 6l 無解，故 A 錯誤. =
uuur
BC 10ar
r uuur r
因為 = - +12b ，CD =14ar - 4b 若 B 、C 、D三點共線，
uuur uuur ì-10 =14l
則BC = lCD，而 í12 4l 無解，故 B 錯誤. = -
uuur r r uuur r r uuur r r
因為 AB = 3a + 6b 、BC = -10a +12b 、CD =14a - 4b ，
uuur uuur uuur r r uuur 4 uuur
所以BD = BC + CD = 4a + 8b ，即BD = AB ，3
所以A 、 B 、D三點共線，故選 C 正確.
uuur r r uuur r r uuur r
因為 AB = 3a + 6b 、BC = -10a +12b 、CD =14ar - 4b ，
uuur uuur uuur
AC AB BC 7ar
r
所以 = + = - +18b ，若A 、C 、D三點共線，
uuur uuur ì-7 =14l
則 AC = lCD ，而 í18 4l 無解，故 D 錯誤. = -
故選：C.
【變式 2-4】在正方體 ABCD - A B C D D B D E
1
1 1 1 1中，點 E 在對角線 1 上，且 1 = EB ，點 F 在棱 D1C1上，3
若 A、E、F 三點共線，則 D1F = FC1 ．
1
【答案】 / 0.5
2
uuuur uuuur uuur uuuur uuuur
【解析】因為正方體中，D1B = D1A + AB = D1A + D1C1 ，
設 D1F = l FC D E
1
1 ，又 1 = EB ，3
uuuur uuuur l +1uuuur uuuur 1 uuuur l +1uuuur
所以4D1E = D1A + D1F ，即D1E = D A + D F ，l 4 1 4l 1
1 l +1 1 1
因為 A、E、F 三點共線，所以 + =1，解得l = ，即 D F = FC .
4 4l 2 1 2 1
1
故答案為： .
2
題型三：空間向量的數量積運算
【典例 3-1】已知 MN 是長方體外接球的一條直徑，點 P 在長方體表面上運動，長方體的棱長分別為 1、
uuuur uuur
1、4，則PM × PN 的取值范圍為
é 17
【答案】 ê- ,0
ù
4 ú
uuur uuur uuuur
【解析】根據題意，以 D 為坐標原點，DA為 x 軸正方向，DC 為 y 軸正方向，DD1 為 z 軸正方向，建立空
間直角坐標系，如圖示.
設長方體外接球球心為 O，則 DB1為外接球的一條直徑，
設 O 為 DB1中點，不妨設 M 與 D 重合，N 與 B1重合.
所以MN = 1+1+ 42 = 3 2 ，
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur所以PM × PN = PO + OM × PO + ON
uuur uuuur uuur uuuur= PO + OM × PO - OM
uuur uuuur
=| PO |2 - | OM |2
uuur
=| PO |2 9- ，
2
1 uuur uuur 1 uuur uuur
由 P 在長方體表面上運動，所以 AD PO OD ，故 | PO |2
é1 , 9 ù
2 2 ê 4 2 ú
uuur
2 9 é 17
所以 | PO | - - ,0
ù uuuur uuur é 17 ù
2 ê 4 ú
，即PM × PN ê- ,0ú . 4
é 17
故答案為： ê- ,0
ù
4 ú
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【典例 3-2】已知空間向量 AB = 0,1, -2 ， AC = 2 2π， AB, AC = ，則
3 AB × BC =
．
【答案】- 5 - 5
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur 2π uuur 2【解析】因為 AB·BC = AB· AC - AB = AB·AC - AB = AB · AC cos - AB ，3
uuur uuur uuur
AB = 02 +12又因為 + -2 2 = 5, AC AB cos 2π = 2 5× 1 -

÷ = - 5 ，3 è 2
uuur uuur
所以 AB·BC = - 5 - 5 .
故答案為：- 5 - 5 .
【方法技巧】
r r r r r r
a × b = a b cos a,b = x1x2 + y1 y2 + z1z2 ；
r r 2
求模長時，可根據 a = a = x 21 + y
2 + z 21 1 ；
r r
r r a × b
求空間向量夾角時，可先求其余弦值 cos a,b = r r ．要判斷空間兩向量垂直時，可以求兩向量的數
a b
r r r r
量積是否為 0，即 a × b = 0 a ^ b．
r r r r r r r r r r
a,b 為銳角 a × b > 0； a,b 為鈍角 a × b < 0．由此，通常通過計算 a ×b的值來判斷兩向量夾角是
銳角還是鈍角．
uuur uuur
【變式 3-1】棱長為 2 的正四面體 ABCD 中，點 E 是 AD 的中點，則 B A × C E = （ ）
A．1 B．－1 C． 3 D．- 3
【答案】A
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【解析】 CE = CA + AE ，所以 BA ×CE = BA × CA + AE = BA ×CA + BA × AE = 2 2 cos60° + 2 1 cos120° =1．
故選：A．
uuur uuur uuur
【變式 3-2】設 O 為坐標原點，向量OA = 1,2,3 ，OB = 2,1,2 ，OP = 1,1,2 ，點 Q 在直線 OP 上運
uuur uuur
動，則QA ×QB 的最小值為（ ）
2 2 1 1
A． B．- C． D．-
3 3 3 3
【答案】B
uuur
【解析】∵ OP = 1,1,2 ，點 Q 在直線 OP 上運動，
uuur uuur
∴可設OQ = lOP = l,l, 2l .
uuur uuur
又向量OA = 1,2,3 ，OB = 2,1,2 ，
uuur uuur
∴ QA = 1- l, 2 - l,3- 2l ，QB = 2 - l,1- l, 2 - 2l ，
uuur uuur
則QA ×QB = 1- l 2 - l + 2 - l 1- l + 3 - 2l 2 - 2l = 6l 2 -16l +10 .
4 uuur uuur 2
易得當l = 時，QA ×QB 取得最小值- .
3 3
故選：B.
【變式 3-3】由四個棱長為 1 的正方體組合成的正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1（如圖所示），點 P 是正方形
uuuur uuur
A1B1C1D1的中心，則 AD1 × AP =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
uuuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur
【解析】因為 AD1 = AD + AA1 ， AP = AB + AA1 + AD，2 2
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AD1 × AP = (AD + AA1)(
1 AB 1+ AA1 + AD)2 2
1 uuur uuur uuur uuur 1 uuur2 1 uuur uuur uuur2 uuur uuurAD AB AD AA AD AB AA AA 1 AD AA 1
uuur2 uuur2
= × + × + + × + + × = AD + AA 1= 22 +12 = 3 .
2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2
故選：C.
【變式 3-4】有一長方形的紙片 ABCD， AB 的長度為 4cm ，BC 的長度為3cm ，現沿它的一條對角線
uuur uuur
AC 把它折成直二面角，則折疊后 AC × BD = （ ）
A．-4 B．-16 C．-7 D．-9
【答案】C
3
【解析】在Rt 4△ABC 中， AC = AB2 + BC 2 = 5cm， cos BAC = ， cos ACB =5 ，5
所以 cos CAD
3
= ，
5
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 4所以 AC × BD = AC × BA + AD = AC × BA + AC × AD = 5 4 - ÷ + 5 3 3 = -7 ，
è 5 5
故選：C．
【變式 3-5】（多選題）（2024·?？寄M預測）在平行六面體 ABCD - A1B1C1D1 中，已知
AB = AD = AA1 =1， A1AB = A1AD = BAD = 60°，則（ ）
A．直線 A1C與BD所成的角為90°
B．線段 A1C的長度為 3
C．直線 A1C與BB1所成的角為90°
D．直線 A1C與平面 ABCD
6
所成角的正弦值為
3
【答案】AC
uuur r uuur r uuur r r r r r r r r r r 1
【解析】設 AB = a, AD = b , AA1 = c ，則 | a |=| b |=| c |=1，且 a ×b = b × c = c × a = ，2
uuur
A AC ar
r
b cr
uuur r
對于 ， 1 = + - , BD = b a
r
- ，
uuur uuur
r r r rAC × BD = ar b r+ - c × b ar- = b 2 - ar2 ar cr b cr1 + × - × = 0，
所以直線 A1C與BD所成的角為90°，故 A 正確；
uuur 2 r r r r r r r r
對于 B，因為 AC = (a + b - c)2 = a2 + b 21 + c
2 - 2b ×c = 2，
uuur
所以 A1C = 2 ，故 B 錯誤；
uuur uuur r r
對于 C，因為 A1C × BB1 = ar + b - cr ×cr ar= ×cr + b ×cr r- c 2 = 0，
所以BB1 ^ A1C ，故 C 正確；
對于 D，連接 AC ，交BD于點O，則O為BD, AC 的中點，
因為 AB = AD = AA1 =1， A1AB = A1AD = BAD = 60°，
所以 AC ^ BD ，
又因 A1C ^ BD, AC A1C = C, A1C, AC 平面 AA1C ，所以BD ^平面 AA1C ，
又 BD 平面 AA1C ，所以平面 AA1C ^平面 ABCD，
作 A1M ^ AC ，垂足為M ，
因為平面 AA1C ^平面 ABCD，平面 AA1C I平面 ABCD = AC ， A1M 平面 AA1C ，
所以 A1M ^ 平面 ABCD，
則 A1C與平面 ABCD所成的角為 A1CA，
在Rt△AA1C 中， AA1 =1, AC = 3，所以 sin A1CA
3
= ，
3
AC ABCD 3即直線 1 與平面 所成角的正弦值為 ，故 D 錯誤.3
故選：AC.
uuur uuur
【變式 3-6】（多選題）空間直角坐標系中，已知O 0,0,0 ，OA = -1,2,1 ，OB = -1,2,-1 ，
uuur
OC = 2,3, -1 ，則（ ）
uuur
A． AB = 2
B．VABC 是等腰直角三角形
uuur 6 6 6 6 6 6
C．與OA平行的單位向量的坐標為 ,- ,- ÷÷或 - , ,
è 6 3 6 6 3 6
÷÷
è
uuur uuur 2 4 2
D．OA在OB 方向上的投影向量的坐標為 - , , ÷
è 3 3 3
【答案】AC
【解析】根據空間向量的線性運算，
uuur uuur uur
AB = OB - OA
= (-1,2,-1) - (-1,2,1)
= (0,0,-2)
uuur
\| AB |= 02 + 02 + (-2)2 = 2，選項 A 正確；
uuur uuur uur
AC = OC - OA
= (2,3,-1) - (-1,2,1)
= (3,1, -2)
uuur
\| AC |= 32 +12 + (-2)2 = 14
uuur uuur uuur
BC = OC - OB
= (2,3,-1) - (-1,2, -1)
= (3,1,0)
uuur
\| BC |= 32 +12 + 02 = 10
計算可得，VABC 三條邊不相等，選項 B 不正確；
uuur
與OA平行的單位向量為：
r uur
e O= ± uuAr
| OA |
(-1,2,1)
= ±
(-1)2 + 22 +12
(-1,2,1)
= ±
6
6 6 6
= ±(- , , )
6 3 6
選項 C 正確；
uuur uuur uuur 2 4 2 2
OA在OB 方向上的投影向量與OB 向量共線， - , , ÷ = (-1,2,1) ，選項 D 不正確，
è 3 3 3 3
故選：AC.
題型四：三點共線問題
【典例 4-1】如圖，在棱長均相等的平行六面體 ABCD - A1B1C1D1中，用空間向量證明下列結論．
若E 是棱CC1的中點，F 是 A1C 上靠近點C 的三等分點，求證： A, F , E 三點共線．
uuuur uuur uuur uuur
【解析】由題意，C1C = 2EC, A1C = 3FC ，
uuur uuur uuuur r 2 uuur uuur uuur uuur
故 AF = AA1 + A1F = a + A1C = a
r 2
+ AB + AD - AA3 3 1
2 r 2 r 1 r 2 r
= b + c + a = b c
r 1 r
+ + a
3 3 3 3 ÷
，
è 2
uuur uuur uuur uuur r
AE AB BC CE b cr 1 r又 = + + = + + a ，
2
uuur 2 uuur uuur uuur
所以 AF = AE ，由于 AF , AE 有公共點 A,
3
故 A, F , E 三點共線．
【典例 4-2】如圖，已知M , N 分別為四面體 A - BCD的面BCD與面 ACD的重心，G 為 AM 上一點，
uuur uuur r uuur
且GM : GA = 1: 3 .設 AB = ar, AC b , AD r= = c .
ar r r uuur(1)請用 ,b ,c 表示BN ；
(2)求證：B,G, N 三點共線.
uuur uuur uuur 2 1 uuur uuur uuur r
【解析】（1） BN = AN - AB = (AC + AD) AB
1 b 1- = + cr ar-
3 2 3 3 ．
uuur uuuur uuuur uuuur 1 uuuur uuuur 1 uuur uuuur 3 uuuur
（2） BG = BM + MG
1 r
= BM - AM = BM - (AB + BM ) = BM - a
4 4 4 4
3 2 1 uuur uuur r(BC BD) 1 ar 1 (b ar cr ar) 1 ar 3 ar 1
r
b 1 r= + - = - + - - = - + + c
4 3 2 4 4 4 4 4 4 ；
uuur uuur
則 BG
3
= BN
4 ，
uuur uuur
又 BG, BN 有公共起點 B ，\B，G ， N 三點共線．
【方法技巧】
uuur uuur uuur uuur
先構造共起點的向量 AB ， AC ，然后證明存在非零實數 l ，使得 AB = l AC ．
1
【變式 4-1】如圖，在平行六面體 ABCD - A1B1C1D1中，點M 在對角線 A1B 上，且 A1M = MB ，點2
1
N 在對角線 A1C 上，且 A1N = NC ．求證：M 、 N 、D1三點共線．3
uuur r uuur r
【解析】在平行六面體 ABCD - A1B1C1D
uuur r
1中，令 AB=a ， AD = b ， AA1 = c，
uuuur uuur r uuur uuur uuur r r uuuur 1 uuur 1 r r
則D1A1 = DA = -b ， A1B = AB - AA1 = a - c ， A1M = A3 1
B = a - c
3 ，
uuuuur uuuur uuuur r r r r r r
因此D1M = D1A A M b
1
1 + 1 = - + a - c 1= a - 3b - c3 3 ，
uuur uuur uuur uuur uuur r r r uuuur 1 uuur 1 r r r
又 A1C = A1B + BC = A1B + AD = a - c + b ， A1N = A1C = a - c + b ，4 4
uuuur uuuur uuuur r r r r r r r
因此D1N = D1A1 + A1N
1
= -b + a - c + b 1= a - 3b - c ，4 4
uuuuur 4 uuuur uuuuur uuuur uuuuur uuuur
于是D1M = D N ，即有D M / /D N ，而D M 與D N 有公共點D ，3 1 1 1 1 1 1
所以M 、 N 、D1三點共線．
【變式 4-2】如圖，已知 M，N 分別為四面體 A-BCD 的面 BCD 與面 ACD 的重心，G 為 AM 上一點，
且GM : GA = 1: 3 .求證：B，G，N 三點共線.
【解析】證明：取 CD 的中點 E，連接 AE，BE，
因為 M，N 分別為四面體 A-BCD 的面 DCD 與面 ACD 的重心，
所以 M 在 BE 上，N 在 AE 上，
uuur r uuur r uuur r
設 AB=a ， AC = b ， AD = c ，
因為 M 為V BCD 的重心，
uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur
所以 AM = AB + BM = AB
2 1
+ BC + BD
3 2
uuur 1 uuur uuur= AB + BC + BD3
uuur uuur uuur uuur uuur
= AB 1+ AC - AB + AD - AB3
1 uuur uuur uuurAB AC AD 1 r r r= + + = a + b + c3 3
uuur uuuur
因為GM = GA =1: 3，所以 AG
3
= AM ，
4
uuur uuur uuur uuur 3 uuuur r 1 r r r 3 r 1 r r所以BG = BA + AG = BA 1+ AM = -a + a + b + c = - a + b + c ，4 4 4 4 4
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur r r r uuur同理得BN = BA + AN = BA + AC + AD = -a 1+ b 1 4+ c = BG ，3 3 3 3
uuur uuur
∴ BN ∥BG .
又BN BG = B，
∴B，G，N 三點共線
題型五：多點共面問題
【典例 5-1】在下列條件中，使 M 與 A，B，C 一定共面的是（其中 O 為坐標原點）（ ）
uuuur uuur uuur uuur uuuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur
A．OM = OA - OB - OC B．OM = OA + OB + OC5 3 2
uuuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur r
C．OM + OA + OB + OC = 0 D．MA + MB + MC = 0
【答案】D
uuuur uuur uuur uuur
【解析】空間向量共面定理：OM = xOA + yOB + zOC ，若 A, B,C 不共線，且 A, B,C, M 共面，其充要條件
是 x + y + z =1 .
對 A，因為1-1-1 1，所以 A, B,C, M 四點不共面；
1 1 1 31
對 B，因為 + + = 1，所以 A, B,C, M5 3 2 30 四點不共面；
uuuur uuur uuur uuur r uuuur uuur uuur uuur
對 C，由OM + OA + OB + OC = 0可得OM = -OA - OB - OC ，
因為-1-1-1 = -3 1，所以 A, B,C, M 四點不共面；
uuur uuur uuur r uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur r
對 D，由MA + MB + MC = 0可得OA - OM + OB - OM + OC - OM = 0 ，
uuuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur 1 1 1
即OM = OA + OB + OC ，因為 + + = 1，所以 A, B,C, M 四點共面.
3 3 3 3 3 3
故選：D
r r r r r r
【典例 5-2】（2024·河南·模擬預測）已知空間向量 a = 1,2,0 ,b = (0,-1,1),c = (2,3,m)，若 a,b,c共面，
則實數m = （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
r r r r r
【解析】因為 a = 1,2,0 ,b = (0,-1,1)不共線， a,b,c共面，
r r r
所以存在一對有序實數 (x, y)，使 c = xa + yb ，
所以 (2,3,m) = x(1,2,0) + y(0,-1,1) = (x,2x - y, y)，
ìx = 2 ìx = 2

所以 í2x - y = 3

，解得 íy =1 ，

y = m m =1
故選：A
【方法技巧】
要證明多點（如 A， B ，C ， D ）共面，可使用以下方法解題．
uuur uuur uuur
先作出從同一點出發的三個向量（如 AB ， AC ， AD ），然后證明存在兩個實數 x, y ，使得
uuur uuur uuur
AD = xAB + y AC .
【變式 5-1】如圖，已知四棱錐 P - ABCD 的底面是菱形，對角線 AC, BD 交于點O，OA = 4，OB = 3，
uuuur uuur
OP = 4,OP ^ 底面 ABCD，E, F 分別為側棱PB, PD的中點，點M 在CP上且CM = 2MP．求證： A, E, M , F
四點共面.
【解析】因為平面 ABCD是菱形，所以 AC ^ BD ，
由OP ^平面 ABCD， AC, BD 平面 ABCD，得OP ^ AC,OP ^ BD，
所以OP,OA,OB 兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標系O - xyz ，
A(4,0,0), B(0,3,0),C(-4,0,0), D(0,-3,0), P(0,0, 4)，
E 0, 3則 ,2

÷ , F 0,
3
- ,2 ÷，
è 2 è 2
uuuur uuur 4 8
由CM = 2MP知，點M 為靠近 P 的三等分點，則M - ,0, ，
è 3 3 ÷
uuur 3 uuur uuuur
所以 AF = -4,- ,2÷ , AE
3 16 8= -4, ,2

÷ , AM = - ,0,

è 2 è 2 è 3 3 ÷
，

ì 16
- = -4x - 4y3
uuuur uuur uuur 3 3 2
設 AM = xAE + y AF ，則 í0 = x - y ，解得 x = y = ，
2 2 3
8
= 2x + 2y 3
uuuur 2 uuur 2 uuur uuuur uuur uuur
則 AM = AE + AF ，所以
3 3 AM , AE, AF
共面，
又直線 AM , AE, AF 的公共點為A ，所以 A, E, M , F 四點共面.
【變式 5-2】（2024·高三·北京海淀·開學考試）如圖，正四棱錐 P - ABCD 的底面邊長和高均為 2，
E，F 分別為PD， PB的中點．
(1)證明：EF ^ PC ；
1
(2)若點 M 是線段PC 上的點，且PM = PC ，判斷點 M 是否在平面 AEF 內，并證明你的結論；
3
【解析】（1）連接 AC 、BD交于O，連接OP ，由正四棱錐的性質可得PO ^平面 ABCD，底面 ABCD為
正方形，則 AC ^ BD ，
所以以O為坐標原點，OA、OB 、OP 為 x 、 y 、 z 軸建立空間直角坐標系，
則 A( 2,0,0), B(0, 2,0), P(0,0, 2),C(- 2,0,0), D(0,- 2,0) 2，E(0, - ,1)，F (0, 2 ,1) ，
2 2
uuur uuur uuur uuur
則EF = (0, 2,0) ，PC = (- 2,0,-2)，則EF × PC = 0，
所以EF ^ PC .
uuur uuur
（2）由（1）知 AE = (- 2, 2- ,1) 2， AF = (- 2, ,1)，
2 2
uuur uuur 1 uuur
AP = (- 2,0,2)， AP + PC = (- 2,0,2)
1
+ (- 2,0, 4 4-2) = (- 2,0, )，
3 3 3 3
uuuur 1 uuur uuuur uuur uuuur uuur uuurPM PC AM AP PM AP 1 PC ( 4 2,0, 4又 = ，得 = + = + = - )，
3 3 3 3
uuur uuur uuuur 2 uuur 2 uuur
AE + AF = (-2 2,0,2)，所以 AM = AE + AF ，
3 3
所以A 、M 、E 、F 四點共面，即點M 在平面 AEF 內．
【變式 5-3】已知點D在VABC 確定的平面內，O是平面 ABC 外任意一點，實數 x, y 滿足
uuur uuur uuur uuur
DO = xOA + 2yOB - 3OC ，則 x2 + y2 的最小值為（ ）
4
A B 2 5． ． C．1 D．2
5 5
【答案】A
uuur uuur uuur uuur
【解析】因為DO = xOA + 2yOB - 3OC ，
uuur uuur uuur uuur
所以OD = -xOA - 2yOB + 3OC ，又點 D 在VABC 確定的平面內，O是平面 ABC 外任意一點，
所以-x - 2y + 3 =1，即 x = 2 - 2y ，
x2 4
2 4 4
則 + y2 = 2 - 2y 2 + y2 = 5y2 -8y + 4 = 5 y -
+ .
è 5 ÷ 5 5
故選：A.
uuur 2 uuur uuur 1 uuur
【變式 5-4】在正四棱錐P - ABCD 中，若PE = PB，PF = PC ，平面 AEF 與棱PD交于點G ，則
3 3
四棱錐P - AEFG與四棱錐P - ABCD 的體積比為（ ）
7 8 7 4
A． B． C． D．
46 45 45 45
【答案】B
【解析】如圖所示，
uuur uuur
設PG = lPD ，由A 、E 、F 、G 四點共面，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
設 AF = xAE + y AG，則 AP + PF = x(AP + PE) + y(AP + PG)，
uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
即 AP + (AB + AD - AP) = xAP
2x
+ (AB - AP) + y AP + y
3 3 l AD - l AP ，
2 x uuur uuur uuur r
得 - y - + l y ÷ AP
1 2x+ 1 - ÷ AB + - l y ÷ AD = 0 ，
è 3 3 è 3 3 è 3
ì2 x
- y - + l y = 0
3 3
uuur uuur uuur 1 2x uuur uuur
又 AP ， AB ， AD 不共面，則 í - = 0 ，解得：l=
2 2
，即 PG = PD
3 3 5 5
，
1
- l y = 0 3
h PF
設h h 11， 2 分別是點F 到平面 PAE 和點C 到平面PAB的距離，則 =h ，2 PC
VP- AEF VF -PAE SVPAE × h1 SVPAE PF PA × PE PF PE PF 2
所以 = = = × = × = × =V ，P- ABC VC -PAB SVPAB × h2 SVPAB PC PA × PB PC PB PC 9
V 1
V
= V P- AEF
1
=
P- ABC 2 P- ABCD
，V ，P- ABCD 9
VP- AGF V= F -PAG PA × PG PF PG PF 2 V= × = × = V 1= V P- AGF
1
同理， =V V PA × PD PC PD PC 15 ， P- ADC 2 P- ABCD ，P- ADC C -PAD V 15
，
P- ABCD
VP- AEFG V= P- AGF +VP- AEF 1 1 8= + =
VP- ABCD VP- ABCD 9 15 45
則四棱錐P - AEFG
8
與四棱錐P - ABCD 的體積比為 .
45
故選：B
1
【變式 5-5】如圖四棱錐P - ABCD, ABC = 90o , AD//BC ，且 AD = AB = BC = 2，平面PCD ^平面
2
ABCD，且△PDC 是以 DPC為直角的等腰直角三角形，其中E 為棱PC 的中點，點F 在棱PD上，且
PF = 2FD .求證： A, B, E, F 四點共面.
1
【解析】證明：由 ABC = 90o , AD//BC ，且 AD = AB = BC = 2，
2
取BC 的中點M ，連接DM ，則DM = MC = 2 ，且DM ^ MC ，
所以DC = 22 + 22 = 2 2 ，
又△PDC 是以 DPC為直角的等腰直角三角形，所以DP = CP = 2 .
過點 P 作PN ^ CD ，垂足為 N ，則點 N 為DC 的中點，且 PN = 2 ，
因為平面PCD ^平面 ABCD，且平面PCD I平面 ABCD = DC ，
所以PN ^平面 ABCD，
故以 AB, AD所在的直線分別為 x 軸， y 軸，過點A 作垂直于平面 ABCD的 z 軸，建立如圖所示空間直角坐
標系，
則 A(0,0,0) ，B(2,0,0), D(0, 2,0),C(2, 4,0)，P(1,3, 2)，
因為E 為棱PC 3 7 2的中點，所以E( , , ) ，又因為點F 在棱PD上，且PF = 2FD ，
2 2 2
F (1 , 7 , 2
uuur
) AF (1 , 7 2
uuur 3 7 2 uuur
所以 ，則 = , )， AE = ( , , )， AB = 2,0,0 ，
3 3 3 3 3 3 2 2 2
uuur uuur uuur
令 AE = l AB + m AF ，
3 7 2 1 7 2 1 7 2
則 ( , , ) = l(2,0,0) + m( , , ) = 2l + m, m, m2 2 2 3 3 3 3 3 3 ÷÷
，
è
ì
2l 1 + m
3
=
3 2
7 7
則 í m =
1 3
，解得l = , m = ，
3 2 2 2
2 2
m =
3 2
uuur 1 uuur 3 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
故 AE = AB + AF ，則 AE, AB, AF 共面，且向量 AE, AB, AF 有公共點A ，
2 2
所以 A, B, E, F 四點共面.
【變式 5-6】已知正三棱錐P - ABC 的側棱長為 2，過其底面中心O作動平面a 交線段PC 于點S，分
別交PA，PB的延長線于點M，N
1 1 1
，求 + + 的值．
PS PM PN
【解析】QVABC 是等邊三角形，\O 是VABC 的重心，
uuur 1 uuur uuur
如圖，延長 AO 交BC 于點D，則D為BC 的中點，\ AD = (AB + AC)，
2
uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur故PO = PA + AO = PA + AD = PA + AB + AC = PA + PB - PA + PC - PA3 3 3
1 uuurPA 1
uuur
PB 1
uuur
= + + PC ，
3 3 3
uuur uuuur uuur uuur uuur uuur
設PA = xPM，PB = yPN，PC = zPS ，
uuur 1 uuuur 1 uuur 1 uuur
則PO = xPM + yPN + zPS ，
3 3 3
QO M 1 1 1， ，N，S 四點共面，\ x + y + z =1，即 x+ y+ z =3，
3 3 3
x PA 2 y PB 2 z PC 2又 = = ， = = ， = = ，
PM PM PN PN PS PS
2 1 1 1\ + + ÷ = 3
1 1 1 3
，\ + + = ．
è PS PM PN PS PM PN 2
【變式 5-7】（2024·浙江溫州·模擬預測）如圖，在三棱柱 ABC - A1B1C1中， AA1 = AC = BC = 2，
ACC1 = BCC1 = 60
o
，平面 A1ACC1⊥平面B1BCC1, E，F 分別為CC1, B1C1 的中點．
(1)求直線 AB 與平面 AEF 所成角的正弦值；
(2)若平面 AEF 平面 A1ABB1 = AM ，且M A1B1，求 AM 的長度．
o
【解析】（1）Q AC = 2, CE =1, ACC1 = 60 ，\ AE ^ CC1
又∵平面 A1ACC1⊥平面B1BCC1, AE 平面AA1CC1，
且平面 A1ACC1 平面B1BCC1 = CC1
\ AE ^平面B1BCC1，
連接BC1交EF 于G ，則 AE ^ BC1, AE ^ BE .
∵四邊形B1BCC1是菱形，且E, F 是線段CC1, B1C1 的中點，\BC1 ^ EF ,
又∵ AE EF = E ，∴ BC1 ^ 平面 AEF ，
連接 AG ，則 BAG 為 AB 與平面 AEF 所成的角
連接 BE ，有 AE = BE = 3, \ AB = 6 ，
QBG 3 BC 3又 = 1 = ，4 2 \sin BAG
BG 6
= = ．
BA 4
（2）以E 為坐標原點，以射線EB, EC, EA方向為 x, y, z軸，建立空間直角坐標系如圖所示：
3 3
則 A(0,0, 3), F ,- ,0÷÷，B( 3,0,0), A1(0,-2, 3), B1( 3, -2,0)2 2 ，è
uuuur uuuur
設M (x, y, z)，∵ M A1B1，∴存在l 0,1 ,使得 A1M = l A1B1 ，
即 (x, y + 2, z - 3) = l( 3,0, - 3)，∴ M ( 3l,-2, 3 - 3l) .
uuuur
于是EM = ( 3l,-2, 3 - 3l) ，
uuur uuur
易得EA = (0,0, 3), EF
3 3
= , - ,0÷÷ .
è 2 2
uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur
QEF , EM , EA共面，∴存在實數m, n使得EM = mEF + nEA，

即 ( 3l,-2, 3 - 3l)
3 m, 3= - m,0÷÷ + (0,0, 3n)，
è 2 2
ì
3l
3
= m ìl 2=
2

3
3 4 2 3
\ í -2 = - m ，\ím = ，∴M 的坐標為 ,-2,
3
2 3 è 3 3
÷÷，

3 - 3l = 3n n 1 =
3
2 2
2 3 ∴ AM 3 2 15= 3 ÷÷
+ 4 + - 33 ÷÷
= .
è è 3
【變式 5-8】如圖，在邊長為 3 的正方體 ABCD - A1B1C1D1中，點 P，Q，R 分別在棱 AB ， B1C1 ，D1D
上，且 AP = B1Q = D1R =1 .
（1）求點 D 到平面PQR 的距離；
AN
（2）若平面PQR 與線段 AC1的交點為 N，求 AC 的值.1
uuur uuur uuuur
【解析】（1）如圖，以點 D 為坐標原點，分別以DA，DC ， DD1 的方向為 x，y，z 軸的正方向，建立空間
uuur
直角坐標系D - xyz ，則 A 3,0,0 ，P 3,1,0 ，R 0,0,2 ，Q 2,3,3 ，C1 0,3,3 ，PQ = -1,2,3 ，
uuur uuur uuuur uuur
PR = -3, -1,2 ， AP = 0,1,0 ， AC1 = -3,3,3 ，DR = 0,0,2 .
ur
設平面PQR 的法向量為m = x, y, z ，
v uuuvìm × PQ -x + 2y + 3z = 0
則 í v uuuv
= 0 ì
，代入可得 í ，
m × PR = 0 -3x - y + 2z = 0
ur
令 x =1，則 y = -1， z =1，所以m = 1, -1,1 ，
ur uuur
PQR m ×urDR 2 2 3故點 D 到平面 的距離為 = = .
m 3 3
uuur uuur uuur
（2）因為點 N 在平面PQR 內，可設PN = mPQ + nPR （其中 m，n 為常數），
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur
又 AN 與 AC1 共線，可設 AN = k AC1 ，由圖可得 AN = AP + PN = AP + mPQ + nPR = k AC1 ，
即 0,1,0 + m -1,2,3 + n -3,-1,2 = k -3,3,3 ，
ì-m - 3n = -3k①

整理得 í1+ 2m - n = 3k②，

3m + 2n = 3k③
由①③可得 2m = n ④，
由②③可得m + 3n = 1⑤，
ìm 1 = 7 1
聯立④⑤解得 í 2 ，代入②可得
k = ，
n = 3
7
uuur 1 uuuur AN 1
所以 AN = AC1 ，即 =3 AC
.
1 3
題型六：證明直線和直線平行
【典例 6-1】如圖所示，在四棱錐P- ABCD中，底面 ABCD為矩形，PD ^平面 ABCD，E 為CP 的
1
中點， N 為DE 的中點，DM = DB, DA = DP =1,CD = 2 ，求證：MN //AP．
4
【解析】證法一：由題意知，直線DA, DC, DP兩兩垂直，
以D為坐標原點，DA, DC, DP所在直線分別為 x 軸 y 軸 z 軸建立空間直角坐標系，如圖所示，
則D 0,0,0 , A 1,0,0 , P 0,0,1 , N 0,
1 , 1 , M 1 , 1 ,0 ，
è 2 4 ÷ ÷ è 4 2
uuur uuuur
AP ( 1 1所以 = -1,0,1), MN =

- ,0,

÷，
è 4 4
uuuur 1 uuur
所以MN = AP ，又M AP，故MN //AP．
4
uuuur uuuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur 1 1 uuur uuur
證法二：由題意可得MN = MD + DN = BD + DE = BD + DC + DP
4 2 4 2 2
1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= BD 1 DC 1 DP 1 1 1+ + = BC + DP = AD + DP 1= AP，4 4 4 4 4 4 4
又M AP，所以MN //AP．
【典例 6-2】已知棱長為 1 的正方體OABC--O1A1B1C1在空間直角坐標系中的位置如圖所示， D, E, F ,G
分別為棱O1A1, A1B1, BC, OC 的中點，求證：DE //GF .
【解析】因為正方體的棱長為 1， D, E, F ,G 分別為棱O1A1, A1B1, BC, OC 的中點，
1
所以有D ,0,1
1 1 1
， E

2 ÷
1, ,1÷ ， F ,1,0 G2 ÷，2
0, ,0÷，
è è è è 2
uuur 1 1 uuur uuur uuur
所以DE = , ,0

÷ ，GF
1 1
= , ,0

÷，則有DE = GF ，所以DE //GF .
è 2 2 è 2 2
【方法技巧】
r r
將證線線平行轉化為證兩向量共線．設 a,b 是兩條不重合的直線，它們的方向向量分別為 a,b ，則
r r r r
a / /b a = lb l R,l 0 .
【變式 6-1】如圖，四邊形 ABCD 和 ABEF 都是平行四邊形，且不共面，M，N 分別是 AC，BF 的中點，
求證：CE / /MN .
【解析】（方法 1）因為 M，N 分別是 AC，BF 的中點，且四邊形 ABCD 和 ABEF 都是平行四邊形，
uuuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuurMN MA AF FN CA AF FB MN MC CE EB BN CA CE AF 1
uuur
則有 = + + = + + ，又 = + + + = - + - - FB ，
2 2 2 2
uuuur uuur uuur uuuur
兩式相加得： 2MN = CE ，因此CE與MN 共線，而直線CE 與MN 不重合，
所以CE / /MN .
（方法 2）因為 M，N 分別是 AC，BF 的中點，且四邊形 ABCD 和 ABEF 都是平行四邊形，
uuuur uuur uuuur 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur
MN = AN - AM = (AB + AF ) - AC = (AB + BE) - (AB + BC)
1 1
= (BE - BC) = CE ，
2 2 2 2 2 2
uuur uuuur
因此CE與MN 共線，而直線CE 與MN 不重合，
所以CE / /MN .
【變式 6-2】在四棱錐P- ABCD中，平面 ABCD⊥平面 PCD，底面 ABCD 為梯形． AB / /CD ，
AD ^ DC ，且 AB = 1， AD = DC = DP = 2， PDC =120o．若 M 是棱 PA 的中點，則對于棱 BC 上是否存
在一點 F，使得 MF 與 PC 平行．
【解析】在平面PCD內過點D作DH ^ DC ，交PC 于點H ，
因為平面 ABCD ^平面PCD，且平面 ABCD 平面PCD = CD，DH 平面PCD，
可得DH ^ 平面 ABCD，
又由 AD ^ DC ，所以 AD,CD, DH 兩兩垂直，
以D為原點，以DA, DC, DH 所在的直線分別為 x 軸、 y 軸和 z 軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，
由 AB = 1， AD = DC = DP = 2， PDC =120o，
可得D(0,0,0), P(0, -1, 3), A(2,0,0), B(2,1,0),C(0, 2,0)，
假設BC 上存在點F ，使得MF / /PC ，
uuur uuur
設BF = l BC ，其中l [0,1]，
因為M 1 3是棱PA的中點，可得M (1, - , )，
2 2
uuur uuur
又由BC = (-2,1,0), BF = (-2l,l,0), F (2 - 2l,1+ l,0)，
uuur uuur
所以MF = (1- 2l, 3 + l, 3- ), PC = (0,3,- 3)，
2 2
ì
1- 2l = 0

uuur uuur 3
設MF = m PC ，可得 í + l = 3m ，此方程組無解，所以假設不成立，
2
3
- = - 3m
2
所以對于BC 上任意一點F ，MF 與PC 都不平行，
即在線段BC 上不存在點F ，使得MF 與PC 平行．
題型七：證明直線和平面平行
【典例 7-1】（2024·陜西安康·模擬預測）如圖，已知多面體是由正四棱錐 P-ABCD 與正方體
ABCD - A1B
3
1C1D1組合而成的，且PC = AB .
2
求證：PC / / 平面 ADC1B1；
【解析】如圖以點 A1為原點， A1D1為 x 軸 A1B1 為 y 軸 A1A為 z 軸建立空間直角坐標系．
設 AB = 2a ,則 PC 3= AB = 3a ,過 P 作PP1平面 ABCD . P - ABCD 是正四棱錐點 1是正方形 ABCD的中2
心,
因為PC 2 = PP2 21 + CP1 ，PC = 3a,CP1 = 2a ，所以PP1 = a ,
uuur
C 2a, 2a, 2a , P a, a,3a , PC = -a,-a,a
r
設平面 ADC1B1法向量為 n = x, y, z ,
A 0,0,2a , D 0,2a, 2a ,C1 2a, 2a,0 ,
uuur uuuur
AD = 2a,0,0 , AC1 = 2a, 2a,-2a ,
ì2ax = 0
則 í
2ax + 2ay
,
- 2az = 0
ìx = 0

可得 íy =1 ,

z =1
r r uuur
所以 n = 0,1,1 , n·PC = 0 - a + a = 0 , PC 不在平面 ADC1B1內，所以PC / / 平面 ADC1B1
【典例 7-2】如圖，在四棱錐 S - ABCD 中，底面 ABCD滿足 AB ^ AD ， AB ^ BC, SA ^底面 ABCD，
且 SA = AB = BC =1, AD = 0.5，E 為 SB 中點．求證： AE // 面 SCD
【解析】由題可知 SA ^ 底面 ABCD， AB ^ AD ，故 AS、AB、AD 兩兩垂直．
則以 A 為原點， AD、AB、AS 分別為 x、y、z 軸正方向建系，
A 0,0,0 , D 1 ,0,0÷ , S 0,0,1 , B 0,1,0 ,C 1,1,0 , E

0,
1 , 1 ÷，
è 2 è 2 2
uuur 1 1 uuur 1 uuur
則 AE = 0, , ÷ ，DC = ,1,0

÷， SD
1= ,0,-1
2 2 2 ÷
，
è è è 2
r
設平面 SCD 的一個法向量為m = x, y, z ，
r uuur ì1ìm × DC = 0 x + y = 0 2
則 í r uuur ，即 í ，令 x = 2，則 y = -1, z =11 ， m × SD = 0 x - z = 0
2
mr所以 = 2, -1,1 ，
uuur r 1 1
而 AE × m = 0 2 + -1 + 1 = 0，
2 2
uuur ur
所以 AE ^ m，又 AE 面 SCD ，
∴ AE // 面 SCD ；
【方法技巧】
r r
（1）利用共面向量定理．設 a,b 為平面a 內不共線的兩個向量，證明存在兩個實數 x, y ，使得
r r r
l = xa + yb ，則 l / /a ．
（2）轉化為證明直線和平面內的某一直線平行．
（3）轉化為證明直線的方向向量與平面的法向量垂直（此方法最常用）．
【變式 7-1】如圖所示，正方形 AA1D1D 與矩形 ABCD所在平面互相垂直， AB = 2AD = 2，點E 為 AB
的中點.
求證：BD1 // 平面 A1DE ；
【解析】Q平面 AA1D1D ^ 平面 ABCD，
平面 AA1D1D 平面 ABCD = AD ，
DD1 ^ AD, DD1 平面 AA1D1D,\DD1 ^平面 ABCD，
則以D為坐標原點，DA, DC, DD1所在直線分別為 x 軸、 y 軸、 z 軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系D - xyz ，則
D 0,0,0 ,C 0,2,0 , A1 1,0,1 , D1 0,0,1 , B 1,2,0 , E 1,1,0 .
uuuur uuur
\DA1 = 1,0,1 , DE = 1,1,0 ，
ur uuuur
ìn × DA = x + z = 0
設平面 A1DE

的法向量為 1 = ( 1, 1, ) ur
1 1 1 1
1 ，則 í ，
n1 × DE = x1 + y1 = 0
ur
令 x1 =1，解得： y1 = -1, z1 = -1,\n1 = 1,-1,-1 ，
uuuur uuuur ur uuuur ur
又BD1 = -1, -2,1 ,\BD1 × n1 = 0，即BD1 ^ n1 ，
又BD1 平面 A1DE,\BD1 // 平面 A1DE ；
【變式 7-2】由四棱柱 ABCD - A1B1C1D1截去三棱錐D1 - A1DC1后得到如圖所示的幾何體，四邊形
ABCD是菱形， AC = 4, BD = 2,O 為 AC 與BD的交點，B1O ^平面 ABCD .求證：B1O / / 平面 A1DC1
【解析】四邊形 ABCD是菱形，則 AC ⊥ BD，
又B1O ^平面 ABCD， AC, BD 平面 ABCD，故B1O ^ AC ，B1O ^ BD，
故B1O, AC, BD 兩兩垂直，以直線OA,OD,OB1 分別為 x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標系，
其中 AC = 4, BD = 2，則O 0,0,0 , A 2,0,0 , B 0,-1,0 ,C -2,0,0 , D 0,1,0 ，
設B1 0,0, a ，
uuur uuur
由 AA1 = BB1 = 0,1, a ，得 A1 2,1, a ，
uuuur uuur
由CC1 = BB1 = 0,1, a ，得C1 -2,1,a ，
uuuur uuuur uuur
則 A1C1 = -4,0,0 , DA1 = 2,0,a ,OB1 = 0,0,a ，
設平面 A1DC
r
1的法向量為m = x, y, z ，
uuuur
ìm
r
× A
u1
C1 = 0, ì -4x = 0,
則 í r uuur í ，取 y =1，得m
r
= 0,1,0 ，
m × DA 2x + az = 0,1 = 0
uuur
mr OB 0 0 1 0 0 a 0 mr
uuur
\ × 1 = + + = ^ OB1 ，
又OB1 平面 A1DC1，
\OB1 / / 平面 A1DC1 .
題型八：證明平面與平面平行
【典例 8-1】如圖所示，平面 PAD⊥平面 ABCD，四邊形 ABCD 為正方形，△PAD 是直角三角形，且
PA＝AD＝2，E，F，G 分別是線段 PA，PD，CD 的中點，求證：平面 EFG∥平面 PBC．
【解析】因為平面 PAD⊥平面 ABCD，四邊形 ABCD 為正方形，△PAD 是直角三角形，
所以 AB，AP，AD 兩兩垂直，
以 A 為坐標原點，AB，AD，AP 所在直線分別為 x 軸，y 軸，z 軸，建立空間直角坐標系，
則 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，
0)．
uuur uuur uuur uuur
所以PB = (2,0, -2)，FE = (0, -1,0) ，FG = (1,1, -1) ，BC = (0, 2,0) ，
ur
設 n1 = (x1, y1, z1)是平面 EFG 的法向量，
ur uuur
ur uuur ur uuur ì n1 × FE = 0 ì -y = 0
則 n1 ^ FE ， n1 ^ FG，即 íur uuur
1
，得 í
n × FG = 0 x1 + y z 0
，
- =
1 1 1
ur
令 z1 =1，則 x1 =1， y1 = 0 ，所以 n1 = (1,0,1)，
uur
設 n2 = (x2 , y2 , z2 ) 是平面 PBC 的法向量，
uur uuur
uur uuur uur uuur ì n2 × PB = 0 ì2x - 2z = 0
由 n2 ^ PB ， n2 ^ BC ，即 íuur uuur
2 2
，得 í ，
n2 × BC = 0 2y2 = 0
uur
令 z2 =1，則 x2 =1， y2 = 0，所以 n2 = (1,0,1) ，
ur uur
所以 n1 = n2 ，所以平面 EFG∥平面 PBC．
【典例 8-2】如圖，在長方體 ABCD - A1B1C1D1中， AB = 4，BC = 3，CC1 = 2 .求證：平面 A1C1B / /平
面 ACD1 .
【解析】以 D 為原點， DA, DC, DD1 DD1所在直線分別為 x 軸、y 軸、z 軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則 A(3,0,0) ，B(3, 4,0)，C(0,4,0)， A1(3,0, 2) ，B1(3, 4, 2)，C1(0,4,2)，D1(0,0,2)，
uuuur uuur uuur uuuur
則 A1C1 = (-3,4,0)， A1B = (0, 4, -2)， AC = (-3,4,0) ， AD1 = (-3,0,2) .
r
設平面 A1C1B的法向量為n = (x, y,z)，
uuuur
ì r n × A1C1 = -3x + 4y = 0
則 í r uuur .
n × A1B = 4y - 2z = 0
取 x = 4，則 y = 3， z = 6，
r
所以平面 A1C1B的一個法向量為 n = (4,3,6) .
ur
設平面 ACD1的法向量為m = (a,b,c)，
r uuurì m × AC = -3a + 4b = 0
則 í r uuuur .
m × AD1 = -3a + 2c = 0
取 a = 4，則b = 3， c = 6，
ur
所以平面 ACD1的一個法向量為m = (4,3,6) .
ur r ur r
因為m = n ，即m / /n，
所以平面 A1C1B / /平面 ACD1 .
【方法技巧】
（1）證明兩平面內有兩條相交直線分別平行．
（2）轉化為證兩平面的法向量平行（常用此方法）．
【變式 8-1】如圖所示，正四棱 ABCD - A1B1C1D1 的底面邊長 1，側棱長 4， AA1中點為E ，CC1 中點為
F ．求證：平面BDE / / 平面B1D1F .
【解析】以A 為原點， AB ， AD ， AA1所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，如圖
則 B(1 ,0, 0) ，D(0 ,1, 0) ，E(0 ,0, 2) ， B1 (1 ,0, 4) ， D1(0 ,1, 4) ， F (1 ,1, 2) ，
uuur uuur
Q DE = FB1 = (0, -1,2)，\DE / /FB1 ，同理BD // B1D1，
QDE 平面B1D1F ，FB1 平面B1D1F ，\DE / /平面B1D1F ，
QBD 平面B1D1F ，B1D1 平面B1D1F ，\ BD / / 平面B1D1F ，
又DE BD = D, DE, BD 平面BDE
\平面BDE 與平面B1D1F 平行．
【變式 8-2】如圖，在長方體 ABCD - A1B1C1D1中， AB = 4，BC = 3，CC1 = 2 .
(1)求證：平面 A1C1B / /平面 ACD1 .
(2)線段B1C 上是否存在點 P，使得 A1P / / 平面 ACD1？若存在，求出點 P 的位置；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）證明：以 D 為原點，DA，DC ，DD1所在直線分別為 x 軸、y 軸、z 軸建立如圖所示的空間直
角坐標系，
則 A(3,0,0) ，B(3, 4,0)，C(0,4,0)， A1(3,0, 2) ，B1(3, 4, 2)，C1(0,4,2)，D1(0,0,2)，
uuuur uuur uuur uuuur
則 A1C1 = (-3,4,0)， A1B = (0, 4, -2)， AC = (-3,4,0) ， AD1 = (-3,0,2) .
r
設平面 A1C1B的法向量為n = (x, y,z)，
r uuuur
ìn × A1C1 = -3x + 4y = 0
則 í r uuur .
n × A1B = 4y - 2z = 0
r
取 x = 4，則 y = 3， z = 6，所以平面 A1C1B的一個法向量為 n = (4,3,6) .
ur
設平面 ACD1的法向量為m = (a,b,c)，
r uuur
ì m × AC = -3a + 4b = 0
則 í r uuuur .
m × AD1 = -3a + 2c = 0
ur
取 a = 4，則b = 3， c = 6，所以平面 ACD1的一個法向量為m = (4,3,6) .
ur r ur r
因為m = n ，即m / /n，所以平面 A1C1B / /平面 ACD1 .
（2）設線段B1C 上存在點 P 使得 A1P / / 平面 ACD1，B1P = tB1C(0 t 1) .
uuuur uuur ur
由（1）得 A1B1 = (0, 4,0)，B1C = (-3,0, -2) ，平面 ACD1的一個法向量為m = (4,3,6)，
uuur uuuur uuur uuuur uuur
所以 A1P = A1B1 + B1P = A1B1 + tB1C = (-3t, 4, -2t) .
ur uuur 1
所以m × A1P = -3t 4 + 4 3 + (-2t) 6 = 0，解得 t = .2
所以當 P 為線段B1C 的中點時， A1P / / 平面 ACD1 .
題型九：證明直線與直線垂直
【典例 9-1】（2024·高三·貴州·開學考試）在三棱錐 A - BCD中， AB = AC = BC = CD = 2，
BCD =120°， AB ^ AD ，E 為線段BD的中點．
證明： AB ^CE ．
【解析】作OG ^面BCD，OT ^ BC ，
如圖，以BC 中點O為原點建立如下空間直角坐標系，
所以B(0, -1,0)，因為 AB = AC = BC = CD = 2，
所以C(0,1,0) ，VABC 是等邊三角形，設D(x, y,0) ，
x y -1
因為E 為線段BD的中點，所以E( , ,0)，CE ^ BD ，
2 2
uuur uuur uuur uuur
故BD ×CE = 0，所以BD = (x, y +1,0) ，CE = (
x , y -1 -1,0)，
2 2
x x y 1)( y -1得到 + + -1) = 0，
2 2
1
因為 BCD =120°，所以 cos BCD = - ，
2
uuur uuur
而CB = (0, -2,0)，CD = (x, y -1,0)，
1 -2(y -1)
所以- =2 4 x2 ，+ (y -1)2
解得 x = 3, y = 2 ，所以D( 3, 2,0) 3，E( , 1 ,0) ，
2 2
uuur
所以CE = ( 3 , 1- ,0)，設 A(a,b,c)，因為VABC 是等邊三角形，
2 2
uuur uuur uuur uuur
所以BC ^ OA，故BC ×OA = 0，而BC = (0, 2,0) ，OA = (a,b,c) ，
所以 2b = 0，解得b = 0，所以 A(a,0,c)，
uuur uuur uuur
因為 AB ^ AD ，所以 AB × AD = 0 ， AB = (-a, -1, -c)
uuur
AD = ( 3 - a, 2, -c)，故-a( 3 - a) - 2 + c2 = 0，
3 2 6
由兩點間距離公式得 a2 + c2 +1 = 4，解得 a = ,c = ，
3 3
uuur
所以 A( 3 ,0, 2 6 )，故 AB = ( 3- , -1, 2 6- )，
3 3 3 3
uuur 3 1 uuur uuur 3 3 1
而CE = ( ,- ,0)，可得 AB ×CE = - + = 0，故 AB ^CE 得證.
2 2 3 2 2
【典例 9-2】如圖，直三棱柱 ABC - A B C 中， ABC = 90o1 1 1 ，CB = 1，CA = 2， AA1 = 6 ，M 是CC1
的中點．
(1)求直線BA1的一個方向向量；
(2)求證： AM ^ BA1．
【解析】（1）
由題意知，BC, BA, BB1兩兩垂直，故以點 B 為原點，
uuur uuur uuur
分別以BC 、BA與BB1 的方向為 x, y 與 z 軸的正方向，建立空間直角坐標系，
所以B 0,0,0 、C 1,0,0 、 A 0, 3,0 、B1 0,0, 6 、
C1 1,0, 6 、 A1 0, 3, 6 ．
uuur
則BA1 = 0, 3, 6 ，是直線BA1的一個方向向量
6 uuuur 6
（2）因為 M 是CC1的中點，所以M 1,0, ÷÷，所以 AM = 1, - 3, ，
è 2 2 ÷
÷
è
uuur uuuur
又因為BA1 × AM = 0 1+ 3 - 3 + 6 6 = 0，2
uuur uuuur
所以BA1 ^ AM ，所以 AM ^ BA1．
【方法技巧】
r r r r r r
設直線 l1, l2 的方向向量為 a,b ，則 a ^ b a × b = 0 .
【變式 9-1】在四棱錐P - ABCD 中，底面 ABCD 是邊長為 2 的正方形，PC ^ PD，PC = PD ，O為
CD的中點，二面角 A - CD - P為直二面角.求證：PB ^ PD .
【解析】因為PC = PD ，O為CD的中點，所以PO ^ CD，
由二面角 A - CD - P為直二面角，故平面PCD ^平面 ABCD，
又平面PCD I平面 ABCD = CD，PO 平面 PCD，
所以PO ^平面 ABCD，
因為CD = 2，PC ^ PD，PC = PD ，所以PO =1，
取 AB 的中點E ，連接OE ，則OE ^ CD，
以點 O 為坐標原點，OD ，OE ，OP 所在直線分別為 x ， y ， z 軸，
如圖建立空間直角坐標系O - xyz ，
則 (0,0,0)，D 1,0,0 ，C -1,0,0 ，B -1,2,0 ， (0,0,1)， A 1,2,0 ，
uuur uuur
PB = -1,2,-1 ，PD = 1,0,-1 ，
uuur uuur
因為PB × PD = -1+ 0 +1 = 0，所以PB ^ PD．
【變式 9-2】如圖，在多面體PABCD中， ABC = 90o ,VDAB,VDBC 都是等邊三角形，
AC = 2 2, PB = 2, PB ^平面 ABC, M 為PC 的中點.證明：BM ^ AD
【解析】由 ABC = 90o ,VDAB,VDBC 都是等邊三角形， AC = 2 2 ，可得 AB = BC = 2 .
取 AC 的中點為Q，則QB = QC = QA，
又DB = DC = DA，所以VQBD @VQCD @VQAD ，
所以 DQA = DQC = DQB = 90o ，即 DQ ^ AC, DQ ^ BQ ，
又 AC I BQ = Q, AC、BQ 平面 ABC ，故 DQ ^平面 ABC .
因為△ABC @△ADC ，所以 ADC = ABC = 90o , DQ
1
= AC = 2 .
2
因為PB ^ 平面 ABC, ABC = 90o ， AB、BC 平面 ABC ，
所以PB ^ AB, PB ^ BC ，又 AB ^ BC ，所以BA, BC, BP兩兩垂直，
以 B 為原點，BA, BC, BP所在直線分別為 x, y, z軸建立空間直角坐標系，

則 A 2,0,0 , D 1,1,- 2 , P 0,0, 2 ,C 0,2,0 ，M 0,1,
2
2 ÷÷
，
è
uuur uuuur 2
所以 AD = -1,1,- 2 , BM = 0,1, ，
è 2
÷÷

uuur uuuur
所以 AD × BM = 0，則 AD ^ BM .
題型十：證明直線與平面垂直
【典例 10-1】如圖，在正三棱柱 ABC - A1B1C1中，BC = CC1, M , N , P 分別是CC1, AB, BB1 的中點．
在線段BB1上是否存在一點 Q，使 AB1 ^平面 A1MQ？若存在，確定點 Q 的位置；若不存在，也請說明理
由．
【解析】假設在線段BB1上存在一點 Q，使 AB1 ^平面 A1MQ．
取BC 的中點 O，以 O 為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系．
設BC = 2, BQ = a(0 a 2)，則M (0, -1,1), A( 3,0,0), B1(0,1, 2), A1( 3,0, 2),Q(0,1, a) ，
uuur uuuur uuuur
\ AB1 = (- 3,1,2), MQ = (0, 2,a -1), A1M = (- 3,-1,-1) ．
uuur uuuur
Q AB1 ^ 平面 A1MQ,\ AB1 ^ MQ ，
uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur
AB1 ^ A1M ,\ AB1 × MQ = 2 + 2a - 2 = 0, AB1 × A1M = 3 -1- 2 = 0，解得 a = 0，
∴在線段BB1上存在一點 Q，使 AB1 ^平面 A1MQ，此時點 Q 為點 B．
【典例 10-2】如圖，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AB = BC = 2， AB ^ BC ，CC1 = 2 3 ，
uuur uuur
BE BB (0 1) l 1= l 1 < l < .當 = 時，求證：CE ^平面 ABC ；3 1
【解析】證明：以 B 為坐標原點，以BC, BA, BB1所在的直線分別為 x, y, z軸建立空間直角坐標系，如圖所
示，
B(0,0,0),C(2,0,0), A(0, 2,0),C1(2,0, 2 3), E(0,0, 2 3l)，
1 uuur uuuur uuur
當l = 時，
3 E(0,0,
2 3 )，所以 AB = (0, -2,0), BC1 = (2,0, 2 3),CE = (-2,0,
2 3 )，
3 3
uuur uuur uuuur uuur
可得 AB ×CE = 0, BC1 ×CE = 0，所以CE ^ AB,CE ^ BC1，
又因為 AB I BC1 = B ， AB 平面 ABC1，BC1 平面 ABC1，
所以CE ^平面 ABC1 .
【方法技巧】
（1）證明直線和平面內的兩天相交直線垂直．
（2）證明直線和平面內的任一直線垂直．
（3）轉化為證明直線與平面的法向量共線．
【變式 10-1】如圖， ABCD - A1B1C1D1為正方體．
證明： BD1 ^平面 AB1C ；
【解析】如圖，以 D 為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線為 x，y，z 軸，建立空間直角坐標系，
設正方體的棱長為 1，
則 A 1,0,0 , B 1,1,0 ,C 0,1,0 , B1 1,1,1 ,C1 0,1,1 , D1 0,0,1 ,
uuuur uuur uuur
因為BD1 = -1, -1,1 , AC = -1,1,0 , AB1 = 0,1,1 ，
uuuur uuur uuuur uuur
且BD1 × AC = -1 -1 + -1 1+1 = 0, BD1 × AB1 = -1 0 + -1 1+1 = 0，
所以BD1 ^ AC, BD1 ^ AB1 ，
又 AC AB1 = A， AC, AB1 平面 AB1C1，
所以 BD1 ^平面 AB1C1；
【變式 10-2】如圖，在三棱錐P - ABC 中， AB ^ BC ， AB = BC = kPA，點O，D分別是 AC ，PC 的
中點. OP ^底面 ABC .
(1)求證：OD / / 平面PAB；
(2)當 k 取何值時，O在平面 PBC 內的射影恰好為△PBC 的重心？
【解析】（1）連接OB ，
QOP ^平面 ABC ，OA = OC ， AB = BC ，
\OA ^ OB ，OA ^ OP，OB ^ OP ，
以O為原點，OA，OB ，OP 所在直線為 x 軸、 y 軸、 z 軸，建立空間直角坐標系（如圖）.
2
設 AB = a ，則 A a,0,0
2 2
÷÷，B2
0, a,0÷÷，C - a,0,0÷÷ .
è è 2 è 2
設OP = h ，則P(0,0,h) .
uuur 2 1 uuur
QD為PC 的中點，\OD
2
= - a,0, h÷÷ ，又PA = a,0,-h4 2 2 ÷÷
，
è è
uuur 1 uuur uuur uuur
\OD = - PA，\OD / /PA，則OD//PA，2
又OD 平面PAB，PA 平面PAB
\OD / / 平面PAB .

G 2 a, 2

（2）設△PBC 的重心為G ，則 - a,
1 h
6 6 3 ÷÷
，
è
uuur 2 2 1
\OG = - a, a, h ，
è 6 6 3
÷÷

uuur uuur
QOG ^平面 PBC ，又PB 平面 PBC \OG ^ PB，
uuur 2 uuur uuur
又PB = 0, a,-h÷÷，\OG × PB
1 a2 1= - h2 = 0，
è 2 6 3
uuur uuur 2
\h 2= a，\ PA = OA + h2 = a ，即 k =1，
2
經檢驗，當 k =1時，O在平面 PBC 內的射影為△PBC 的重心，
所以 k =1 .
題型十一：證明平面和平面垂直
【典例 11-1】如圖，直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1的底面 ABCD為平行四邊形， AD = 3，BD = 4，
AB = 5，DD1 = 6，E 是CC1的中點．平面a 滿足：直線 AC1∥平面a ，直線BE / /平面a ．求證：平面
a ^平面 ADD1
【解析】由 AD = 3， AB = 5，BD = 4，可得 AD2 + BD2 = AB2，\ AD ^ BD ，
在直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，DD1 ^平面 ABCD，
DB 平面 ABCD，DA 平面 ABCD，所以DD1 ^ DB，DD1 ^ DA，
所以DA, DB, DD1兩兩相互垂直，
所以以D為原點，DA, DB, DD1所在直線分別為 x, y, z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則D 0,0,0 ， A 3,0,0 ，B 0,4,0 ，C1 -3,4,6 ，E -3,4,3 ，
uuuur uuur
\ AC1 = -6,4,6 ，BE = -3,0,3 ，
r
設m = x, y, z 為平面a 的一個法向量，
r uuuurì m × AC1 = -6x + 4y + 6z = 0
則 í r uuur ，
m × BE = -3x + 3z = 0
r
令 x =1，則 z =1， y = 0 ，所以m = 1,0,1 ，
uuur
又BD ^平面 ADD1，所以DB = 0,4,0 為平面 ADD1的一個法向量，
r uuur r uuur
又m × DB = 0，即m ^ DB ，
所以平面 ADD1 ^平面a .
1
【典例 11-2】如圖，四邊形 ABCD為正方形，PD ^平面 ABCD，PD / /QA，QA = AB = PD .證明：
2
平面 PQB ^平面DCQ
【解析】由題意易知DA, DP, DC 兩兩互相垂直.
如圖，以 D 為坐標原點，DA, DP, DC 所在直線分別為 x 軸、y 軸、z 軸，
建立空間直角坐標系D - xyz .設DA =1 .
依題意有D 0,0,0 ,Q 1,1,0 ,C 0,0,1 , P 0,2,0 ，
uuur uuur uuur
則DQ = 1,1,0 , DC = 0,0,1 , PQ = 1,-1,0 ，
uuur uuur
所以PQ × DQ =1 1+1 -1 + 0 = 0，
uuur uuur
PQ × DC = 0 1+ 0 -1 +1 0 = 0，
即PQ ^ QD, PQ ^ DC ，
又DQ DC = D ，DQ, DC 平面DCQ ，
故PQ ^平面DCQ .又PQ 平面PQB ，
所以平面 PQB ^平面DCQ .
【方法技巧】
（1）轉化為證明兩平面的法向量互相垂直
（2）轉化為證明一平面內的一條直線垂直于另一個平面．
【變式 11-1】如圖所示，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，C1C = CB = CA = 2, AC ^ BC, D, E分別為棱
C1C, B1C1的中點．證明：平面 ACE ^ 平面 A1BD．
【解析】如圖，以 C 為坐標原點，CA,CB,CC1所在直線分別為 x，y，z 軸，建立空間直角坐標系，
則C(0,0,0), A(2,0,0), B(0, 2,0), A1(2,0, 2), E(0,1, 2), D(0,0,1)，
uuur uuur uuuur uuur
所以CA = (2,0,0), AE = (-2,1,2), DA1 = (2,0,1), DB = (0, 2, -1)．
ur
設平面 A1BD的法向量為m = (x, y, z)，
r uuurì m ×CA = 0 ì2x + z = 0
則 í r uuur
1
，即 í ，令 x = -1，
m × DB = 0 2y - z = 0
ur
可得平面 A1BD的一個法向量m = (-1,1,2) ．
r
設平面 ACE 的法向量為 n = (a,b,c) ，
r uuur
ìn ×CA = 0 ì2a = 0
則 í r uuur ，即 í ，令b = 2 ，
n × AE = 0 -2a + b + 2c = 0
r
可得平面 ACE 的一個法向量 n = (0, 2, -1)．
ur r
因為m × n = -1 0 +1 2 + 2 (-1) = 0，
ur r
所以m ^ n，
所以平面 ACE ^ 平面 A1BD．
【變式 11-2】平面上兩個等腰直角VPAC 和VABC ， AC 既是VPAC 的斜邊又是VABC 的直角邊，沿
AC 邊折疊使得平面PAC ^平面 ABC ，M 為斜邊 AB 的中點．
(1)求證： AC ^ PM ；
PN
(2)在線段 PB上是否存在點 N ，使得平面CNM ^平面 PAB？若存在，求出 的值；若不存在，說明理

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