資源簡介

第 08 講 函數模型及其應用
目錄
01 考情透視·目標導航 .........................................................................................................................2
02 知識導圖·思維引航 .........................................................................................................................3
03 考點突破·題型探究 .........................................................................................................................4
知識點 1：幾種常見的函數模型 ................................................................................................................................4
知識點 2：解函數應用問題的步驟 ............................................................................................................................5
題型一：二次函數模型，分段函數模型 ...................................................................................................................6
題型二：對勾函數模型 ...............................................................................................................................................9
題型三：指數型函數、對數型函數、冪函數模型 .................................................................................................12
題型四：已知函數模型的實際問題 .........................................................................................................................15
題型五：構造函數模型的實際問題 .........................................................................................................................18
04 真題練習·命題洞見 .......................................................................................................................22
05 課本典例·高考素材 .......................................................................................................................25
06 易錯分析·答題模板 .......................................................................................................................29
易錯點：函數模型應用錯誤 .....................................................................................................................................29
答題模板：數學建模 .................................................................................................................................................29
考點要求 考題統計 考情分析
高考對函數模型的考查相對穩定，考
2023 年 I 卷第 10 題，5 分 查內容、頻率、題型、難度均變化不
（1）利用函數模型解決問題 2020 年 II 卷第 3 題，5 分 大．2025 年高考可能結合函數與生活應
2020 年 I 卷第 6 題，5 分 用進行考察，對學生建模能力和數學應用
能力綜合考察．
復習目標：
（1）了解指數函數、對數函數與一次函數增長速度的差異．
（2）理解“指數爆炸”“對數增長”“直線上升”等術語的含義．
（3）會選擇合適的函數模型刻畫現實問題的變化規律，了解函數模型在社會生活中的廣泛應用．
知識點 1：幾種常見的函數模型
函數模型 函數解析式
一次函數模型 f (x) ax b(a ，b為常數且 a 0)
反比例函數模型 f (x) k b(k ，b為常數且 a 0)
x
二次函數模型 f (x) ax2 bx c(a，b，c為常數且 a 0)
指數函數模型 f (x) bax c(a ，b，c為常數， b 0 ， a 0 ， a 1)
對數函數模型 f (x) b log a x c(a ，b，c為常數， b 0 ， a 0 ， a 1)
冪函數模型 f (x) axn b(a ，b為常數， a 0)
【診斷自測】近年來，天然氣表觀消費量從 2006 年的不到600 108 m3激增到 2021 年的3726 108 m3. 從
2000 年開始統計，記 k 表示從 2000 年開始的第幾年，0 k ，k N.經計算機擬合后發現，天然氣表觀消
k
費量隨時間的變化情況符合Vk V0 1 ra ，其中Vk 是從 2000 年后第 k 年天然氣消費量，V0 是 2000 年的天
然氣消費量， ra 是過去 20 年的年復合增長率.已知 2009 年的天然氣消費量為900 108 m3，2018 年的天然氣
消費量為 2880 108 m3，根據擬合的模型，可以預測 2024 年的天然氣消費量約為（ ）
2 2 2
（參考數據： 2.88 3 2.02 ，3.2 3 2.17，4 3 2.52
A．5817.6 108 m3 B．6249.6 108 m3
C．6928.2 108 m3 D．7257.6 108 m3
【答案】B
【解析】據題意V V (1 r )99 0 a 900 10
8 m3 ，V18 V0 (1 r )
18
a 2880 10
8 m3 ，兩式相除可得 (1 r )9a 3.2 ，
2
又因為V V (1 r )6 2880 108 (3.2)3 8 3，24 18 a 6249.6 10 m
故選：B．
知識點 2：解函數應用問題的步驟
（1）審題：弄清題意，識別條件與結論，弄清數量關系，初步選擇數學模型；
（2）建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用已有知識建立相應的數
學模型；
（3）解模：求解數學模型，得出結論；
（4）還原：將數學問題還原為實際問題．
【診斷自測】長江流域水庫群的修建和聯合調度，極大地降低了洪澇災害風險，發揮了重要的防洪減災效
益．每年洪水來臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風險，水利部門需要在原有蓄水量的基礎聯合調度，
水庫實際蓄水量
統一蓄水，用蓄滿指數（蓄滿指數＝ ×100）來衡量每座水庫的水位情況．假設某次聯合
水庫總蓄水量
調度要求如下：
（ⅰ）調度后每座水庫的蓄滿指數仍屬于區間 0,100 ；
（ⅱ）調度后每座水庫的蓄滿指數都不能降低；
（ⅲ）調度前后，各水庫之間的蓄滿指數排名不變．
記 x 為調度前某水庫的蓄滿指數，y 為調度后該水庫的蓄滿指數，給出下面四個 y 關于 x 的函數解析式：
y 1 x π① - x2 6x ；② y 10 x ；③ y 1050 ；④ y 100sin x．20 200
則滿足此次聯合調度要求的函數解析式的個數為（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
1 2 1 2 1 2
【解析】① y - x 6x - x -120x - x - 60 180，20 20 20
該函數在 x 60 時函數值為180 ，超過了范圍，不合題意；
② y 10 x 為增函數，且 x [0,100], y [0,100]
且 x 10，則 x 10 x ，符合題意；
x x
③ y 1050 ，當 x 50 時1050 10 <50，不合題意
π π π
④ y 100sin x，當 x [0,100]
é
時， x 0, ù ，
200 200 ê 2 ú
π
故該函數在[0,100]上單調遞增，又 y 100sin x 0,100
200
設 g x 100sin π x - x, x 0,100
200
g x 100 π cos π × × x -1, x 0,100
200 200
即 g x π π ×cos x -1，
2 200
易知 g x π π ×cos x -1在[0,100]上為減函數
2 200
g x [0,100] g 0 π由 在 上連續，且 -1 0，
2
g 100 π cos π -1 -1< 0 ，
2 2
則存在 x0 [0,100]，有 g x 0
當 x [0, x0 ]， g x 0；
當 x [x0 ,100]， g x < 0；
故 g x 在[0, x0 ]遞增，在[x0 ,100]遞減.
g 0 0， g 100 0
故[0,100]上 g x 0
即[0,100]上100sin π x x
200
故④符合題意，
所以②④滿足題意，
故選：B.
題型一：二次函數模型，分段函數模型
【典例 1-1】我國的煙花名目繁多，其中“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一．制造時一般是期望在它達到最
高點時爆裂．如果煙花距地面的高度 h （單位： m ）與時間 t （單位： s ）之間的關系為
h t -5t2 15t 20，那么煙花沖出后在爆裂的最佳時刻距地面高度約為（ ）
A．26 米 B．28 米 C．31 米 D．33 米
【答案】C
3
2 125 3 125
【解析】h t -5t2 15t 20 -5 t -

÷ ， h t hmax 31.
è 2 4 è 2
÷
4
故選：C
【典例 1-2】（2024·云南·二模）下表是某批發市場的一種益智玩具的銷售價格：
一次購買件數 5-10 件 11-50 件 51-100 件 101-300 件 300 件以上
每件價格 37 元 32 元 30 元 27 元 25 元
張師傅準備用 2900 元到該批發市場購買這種玩具，贈送給一所幼兒園，張師傅最多可買這種玩具（ ）
A．116 件 B．110 件 C．107 件 D．106 件
【答案】C
【解析】設購買的件數為 x，花費為 y 元，
ì37x,1 x 10

32x,11 x 50
則 y

í30x,51 x 100 ，當 x 107 時， y 2889 < 2990，

27x,101 x 300
25x, x 300
當 x 108時， y 2916 2900，所以最多可購買這種產品107 件，
故選：C.
【方法技巧】
1、分段函數主要是每一段自變量變化所遵循的規律不同，可以先將其當做幾個問題，將各段的變化
規律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值．
2、構造分段函數時，要準確、簡潔，不重不漏．
【變式 1-1】（2024·安徽淮南·一模）我國在 2020 年 9 月 22 日在聯合國大會提出，二氧化碳排放力爭于
2030 年前實現碳達峰，爭取在 2060 年前實現碳中和．為了響應黨和國家的號召，某企業在國家科研部門
的支持下，進行技術攻關：把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品，經測算，該技術處理總成本 y（單
位：萬元）與處理量 x（單位：噸） (x [120,500]) 之間的函數關系可近似表示為
ì 1 3 2
x -80x 5040x, x 120,144
y 3í1 ，當處理量 x 等于多少噸時，每噸的平均處理成本最少（ ） x2 - 200x 80000, x
144,500 2
A．120 B．200 C．240 D．400
【答案】D
ì1
x
2 -80x 5040, x[120,144)
3
【解析】由題意得二氧化碳每噸的平均處理成本為 S í
1 x 200 80000
，
- , x [144,500]
2 x
當 x [120,144) 1 2時， S x -80x 5040 1 (x -120)2 240 ，
3 3
當 x 120 時，S取得最小值 240，
x [144,500] S 1 x 80000 200 2 1 x 80000當 時， - × - 200 200，
2 x 2 x
1
當且僅當 x
80000
，即 x 400 時取等號，此時S取得最小值 200，
2 x
綜上，當每月得理量為 400 噸時，每噸的平均處理成本最低為 200 元，
故選：D
【變式 1-2】（2024·高三·黑龍江佳木斯·期中）在新冠肺炎疫情防控中，核酸檢測是新冠肺炎確診的有
效快捷手段，在某醫院成為新冠肺炎核酸檢測定點醫院并開展檢測工作的第 n 天，設每個檢測對象從接受
檢測到檢測報告生成的平均耗時為 t(n) （單位：小時），已知 t(n) 與 n 之間的函數關系為
ì t0
,n < N
n
0
t(n) í t （ t0 ， N0 為常數），并且第 16 天的檢測過程平均耗時 16 小時，第 64 天和第 67 天的 0 ,n N
0 N0
檢測過程平均耗時均為 8 小時，那么可得第 49 天的檢測過程平均耗時大約為（ ）
A．7 小時 B．8 小時 C．9 小時 D．10 小時
【答案】C
【解析】由已知可得，當 n N0 時，函數為定值；當 n < N0 時，顯然函數為單調函數.則根據數值分析可得，
t
16 < N 0 < 67 .所以有 t 16 0 16，解得 t16 0
64 .
因為 49 < t0 64，所以 t 49
t0 64 9 .
49 7
故選：C.
【變式 1-3】近年來，“共享單車”的出現為市民“綠色出行”提供了極大方便．某共享單車公司計劃在甲、乙
兩座城市共投資120萬元，根據行業規定，每座城市至少要投資 40 萬元．由前期市場調研可知：甲城市收益
P(單位：萬元 ) 與投入a(單位：萬元 ) 滿足 P 3 2a - 6 ，乙城市收益Q(單位：萬元 ) 與投入 A(單位：萬
) Q 1元 滿足 A 2 ，則投資這兩座城市收益的最大值為 （
4 ）
A． 26 萬元 B． 44 萬元 C． 48 萬元 D．72萬元
【答案】B
ì40 a <120
【解析】由題意可知： í 40 a 80
40 120
，
- a <120
設投資這兩座城市收益為 y ，
則有 y 3 2a 6
1
- A 2 3 2a 1 1 (120 - a) - 4 3 2a - a 26，
4 4 4
1
令 a t t [2 10 , 4 5 ]，則有 f (t) - t 2 3 2t 26，
4
該二次函數的對稱軸為 t 6 2 ，且開口向下，
所以 f (t)max f (6 2)
1
- (6 2)2 3 2 6 2 26 44，
4
故選：B
題型二：對勾函數模型
【典例 2-1】（2024·廣東韶關·二模）在工程中估算平整一塊矩形場地的工程量 W（單位：平方米）的計
算公式是W 長 4 寬 4 ，在不測量長和寬的情況下，若只知道這塊矩形場地的面積是 10000 平方米，
每平方米收費 1 元，請估算平整完這塊場地所需的最少費用（單位：元）是（ ）
A．10000 B．10480 C．10816 D．10818
【答案】C
10000
【解析】設矩形場地的長為 x米，則寬為 米，
x
W (x 4)(10000 4) 4x 40000 10016 2 4x 40000 × 10016 10816 ，
x x x
40000
當且僅當 4x ，即 x 100 時，等號成立.
x
所以平整這塊場地所需的最少費用為1 10816 10816元.
故選：C
【典例 2-2】（2024·高三·北京朝陽·期末）根據經濟學理論，企業生產的產量受勞動投入、資本投入和
技術水平的影響，用Q表示產量， L 表示勞動投入，K 表示資本投入，A 表示技術水平，則它們的關系可
以表示為Q AKa Lb ，其中 A 0,K 0,L 0,0論中正確的是（ ）
A．存在a
1 1
<
2 和
b <
2 ，使得
Q不變
1 1
B．存在a 和 b 2 2 ，使得Q變為原來的 2倍
C．若ab
1
，則Q4 最多可變為原來的 2倍
D a 2．若 +b 2
1

2 ，則
Q最多可變為原來的 2倍
【答案】D
【解析】設當A 不變，K 與 L 均變為原來的 2倍時，Q1 A 2K
a 2L b 2a b AKa Lb 2a b Q，
1 1 1
對于 A，若0
2 < 2 < 22 2 2
，故 A 錯誤；
1 1
B 1 1對于 ，若a 和 b 2 2 ，則 2a b

2 2 2 2 ，故 B 錯誤；
1 1
對于 C，若ab ，則 2a b 22 ab4 2 ，即若
ab
4 ，故 C 錯誤；
對于 D，若a 2 +b 2
1
a 2 2ab b 2 2 a 2 b 2 0 2 ，由 ， ，可得 2a b 2 2，故 D
正確.
故選：D.
【方法技巧】
1、解決此類應用題一定要注意函數定義域；
2、利用 f (x) b ax 求解最值時，注意取等的條件．
x
【變式 2-1】某合作社需要分裝一批蔬菜.已知這批蔬菜只由一名男社員分裝時，需要 12 天完成，只由一名
女社員分裝時，需要 18 天完成.為了讓市民盡快吃到這批蔬菜，要求一天內分裝完畢.由于現有的男 女社
員人數都不足以單獨完成任務，所以需要若干名男社員和若干名女社員共同分裝.已知分裝這種蔬菜時會不
可避免地造成一些損耗.根據以往經驗，這批蔬菜分裝完畢后，參與任務的所有男社員會損耗蔬菜共 80 千
克，參與任務的所有女社員會損耗蔬菜共 30 千克.則參與分裝蔬菜的男社員的平均損耗蔬菜量（千克）與
女社員的平均損耗蔬菜量（千克）之和的最小值為（ ）
A．10 B．15 C．30 D．45
【答案】B
【解析】設安排男社員 x名，女社員 y 名，
x y 80 30
根據題意，可得 1，平均損耗蔬菜量之和為
12 18 x y ，
80 30 80 30 x y 40y 5x 25 2 40y 5x 25則 ÷× ÷ x y è x y è12 18 9x 2y 3 9x 2y 3
20 25 40y 5x
15，當且僅當 x 8, y 69x 2y ，即 時等號成立，3 3
則分裝蔬菜的男社員的平均損耗蔬菜量（千克）與女社員的平均損耗蔬菜量（千克）之和的最小值為 15.
故選：B.
【變式 2-2】（2024·云南楚雄·模擬預測）足球是一項深受人們喜愛的體育運動.如圖，現有一個 11 人制
的標準足球場，其底線寬 AB 68m ，球門寬 EF 7.32m ，且球門位于底線 AB 的中間，在某次比賽過程
中，攻方球員帶球在邊界線 AC 上的 M 點處起腳射門，當 EMF 最大時，點 M 離底線 AB 的距離約為
（ ）
A． 26.32m B． 28.15m C．33.80m D．37.66m
【答案】C
【解析】設 AMF b , AME a ， AM x 0 ，所以 EMF b -a ；
記 AB a 68m, EF b 7.32m a b a - b可得 tan b , tana ；
2x 2x
a b a - b b
tan b a tan b - tana
-
2x 2x x 4b-
1 tan b tana a b a - b a2 - b2 a2 - b2 ，1 ×
2x 2x 1 4x 4x2 x
tan b a 4b-
當 EMF 取最大時， a24x - b
2 取最大即可，

x
a2 - b2 a2 - b2
易知 4x 2 4x × 4 a2 - b2 ，此時 tan b a
b
-
2 2 取到最大值，x x a - b
2 2 2 2
當且僅當 4x a - b a - b時，即 x 時，等號成立，
x 2
2 2
將a 68m,b 7.32m a - b代入可得 x 33.80m .
2
故選：C
【變式 2-3】（2024·黑龍江·二模）“不以規矩，不能成方圓”出自《孟子·離婁章句上》.“規”指圓規，“矩”
指由相互垂直的長短兩條直尺構成的方尺，是古人用來測量、畫圓和方形圖案的工具，今有一塊圓形木板，
按圖中數據，以“矩”量之，若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個內角
a 滿足 cosa 1 ，則這塊四邊形木板周長的最大值為（
3 ）
10 30 15 10 30 - 15A ． cm B ． cm
3 3
10 10 5 10 10 - 5C ． cm D． cm
3 3
【答案】A
1
【解析】因為四邊形木板的一個內角a 滿足 cosa ，如圖，
3
設 BAD a ，由題設可得圓的直徑為 100 25 5 5 ，
1
故BD 5 5 sina 2 2，因 cosa ，a 為三角形內角，故
3 sina
，
3
BD 5 5 2 2 10 10故 ，
3 3
AB2 AD2故 - 2AD AB cosa BD2
1000
，
9
2
故 AB AD 2 8 AD AB 1000 2 AD AB 1000 ，
3 9 3 9
AB 1000 10 30故 AD 3 AB AD 5 30，當且僅當 時等號成立，
9 3 3
同理BC CD 10 15 ，當且僅當BC CD 5 15 等號成立，
3 3
10 30 15
故四邊形周長的最大值為 cm，
3
故選：A.
題型三：指數型函數、對數型函數、冪函數模型
【典例 3-1】（2024·全國·模擬預測）遺忘曲線（又稱作“艾賓浩斯記憶曲線”）由德國心理學家艾·賓浩斯
（H. Ebbinghaus）研究發現，描述了人類大腦對新事物遺忘的規律．人體大腦對新事物遺忘的循序漸進的
直觀描述，人們可以從遺忘曲線中掌握遺忘規律并加以利用，從而提升自我記憶能力．該曲線對人類記憶
認知研究產生了重大影響．陳同學利用信息技術擬合了“艾賓浩斯遺忘曲線”，得到記憶率 y 與初次記憶經
過的時間 x （小時）的大致關系： y 1- 0.6x0.06若陳同學需要在明天 15 時考語文考試時擁有復習背誦記憶
的 50%，則他復習背誦時間需大約在（ ）
A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00
【答案】A
50
5 3
【解析】令1 - 0.6 x 0.06 0.5 ， x0.06 ， x 5 6 ÷
，
è 6
50
∵ 5 3 5
16
5
4
< <
625
÷ ÷ ÷ 0.5，
è 6 è 6 è 6 1296
∴他在考試前半小時復習即可，
∴他復習背誦時間需大約在 14：30，
故選：A.
【典例 3-2】（2024·陜西渭南·二模）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關.經研
究可知：在室溫 25oC下，某種綠茶用85oC的水泡制，經過 xmin后茶水的溫度為 y oC ，且
y k ×0.9227x 25 x 0,k R .當茶水溫度降至60oC時飲用口感最佳，此時茶水泡制時間大約為（ ）
（參考數據： ln2 0.69,ln3 1.10,ln7 1.95,ln0.9227 -0.08）
A． 6min B． 7min C．8min D．9min
【答案】B
【解析】由題意可知，當 x 0時， y 85，則85 k 25 ，解得 k 60 ，
所以 y 60 0.9227x 25，
當 y 60 7時，60 60 0.9227x 25，即0.9227x ，12
ln 7
則 x log 7 12 ln 7 - ln12 0.9227 12 ln 0.9227 ln 0.9227
ln 7 - 2ln 2 - ln 3 1.95 - 2 0.69 -1.10
7，
ln 0.9227 -0.08
所以茶水泡制時間大的為 7 min.
故選：B.
【方法技巧】
1、在解題時，要合理選擇模型，指數函數模型是增長速度越來越快（底數大于 1）的函數模型，與增
長率、銀行利率等有關的問題都屬于指數模型．
2、在解決指數型函數、對數型函數、冪函數模型問題時，一般先需通過待定系數法確定函數解析式，
然后再借助函數圖像求解最值問題．
【變式 3-1】為了預防信息泄露，保證信息的安全傳輸，在傳輸過程中都需要對文件加密，有一種加密密
鑰密碼系統 (Private Key Cryptosystem)，其加密、解密原理為：發送方由明文→密文（加密），接收方由密
文→明文．現在加密密鑰為 y kx 3
1
，如“4”通過加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“ ”，則解密后
256
得到的明文是（ ）
A 1
1 1
． 2 B． C．2 D．4 8
【答案】A
【解析】由題可知加密密鑰為 y kx 3 ，
由已知可得，當 x 4 時， y 2 ，
2 1
所以 2 k 43 ，解得 k 3 ，4 32
y 1 x3 y 1 1 1故 ，顯然令 3，即 x ，
32 256 256 32
x3 1解得 ，即 x
1
．
8 2
故選：A.
【變式 3-2】（2024·廣東梅州·模擬預測）某科創公司新開發了一種溶液產品，但這種產品含有 2% 的雜
1
質，按市場要求雜質含量不得超過 0.1% ，現要進行過濾，已知每過濾一次雜質含量減少 ，要使產品達
3
到市場要求，對該溶液過濾的最少次數為 ．
（參考數據： lg2 0.301， lg3 0.477）
【答案】8
n n
【解析】設至少需要過濾n次，可得0.02 2 2 1 ÷ 0.001，即 ，
è 3 3 ÷è 20
1
2 1 lgn 20 1 lg2兩邊取對數，可得 nlg lg ，所以 2 7.4，3 20 lg lg3 - lg2
3
又因為 n N* ，所以 n 8，所以使產品達到市場要求的過濾次數最少為8次．
故答案為：8 .
【變式 3-3】（2024·廣東廣州·模擬預測）“阿托秒”是一種時間的國際單位，“阿托秒”等于10-18 秒，原子
核內部作用過程的持續時間可用“阿托秒”表示.《莊子 天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，
如果把“一尺之棰”的長度看成 1 米，按照此法，至少需要經過 天才能使剩下“棰”的長度小于光在 2“阿托
秒”內走過的距離.（參考數據：光速為3 108 米/秒， lg2 0.3, lg3 0.48）
【答案】31
【解析】依題意，光在 2“阿托秒”內走的距離為2 10-18 3 108 6 10-10 米，
n n
n f n 1 f n < 6 10-10 1 經過 天后，剩余的長度 米，由 ，得 < 6 10-10 ÷
è 2 2 ÷
，
è
lg 6 10-10 10 - lg2 lg3
兩邊同時取對數，得 n log 1 6 10-10
10 - lg6 10 - 0.78
1 30.73
2 lg lg2 lg2 0.3
，
2
而 n N*，則 n 31 ，所以至少需要經過 31 天才能使其長度小于光在 2“阿托秒”內走的距離.
故答案為：31.
題型四：已知函數模型的實際問題
【典例 4-1】（2024·北京昌平·二模）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關，經
驗表明，某種綠茶用 90℃的水泡制，再等到茶水溫度降至 60℃時飲用，可以產生極佳口感；在 20℃室溫
下，茶水溫度從 90℃ t開始，經過 tmin 后的溫度為 y℃，可選擇函數 y 60 0.9 20 t 0 來近似地刻畫茶
水溫度隨時間變化的規律，則在上述條件下，該種綠茶茶水達到最佳飲用口感時，需要放置的時間最接近
的是（ ）
（參考數據： lg2 0.30,lg3 0.48）
A． 2.5min B． 4.5min C．6min D．8m in
【答案】B
t
【解析】由題可知，函數 y 60 0.9 20 t 0 ，
令60 0.9t 20 60，則0.9t
2
，
3
t 2 9
兩邊同時取對可得： lg 0.9 lg ，即 t lg t 2lg3-1 lg 2 - lg3，
3 10
t lg2- lg3 0.30-0.48 0.18即 4.52lg3-1 2 0.48 1 0.04 min .-
故選：B.
【典例 4-2】（2024·廣東茂名·一模）Gompertz 曲線用于預測生長曲線的回歸預測，常見的應用有：代謝
- x
預測，腫瘤生長預測，有限區域內生物種群數量預測，工業產品的市場預測等，其公式為： f x kab
（其中 k 0,b 0，a為參數）.某研究員打算利用該函數模型預測公司新產品未來的銷售量增長情況，發
現a e.若 x 1表示該新產品今年的年產量，估計明年 x 2 的產量將是今年的 e 倍，那么b的值為（ e 為
自然數對數的底數）（ ）
A 5 -1． B 5 1． C． 5 -1 D． 5 1
2 2
【答案】A
【解析】由a e，得到 f x k ×eb- x ，
\ 當 x 1時， f 1 -1 k ×eb ；
-2
當 x 2 時， f 2 keb .
b-2
x 2 ke -2 -1依題意，明年 的產量將是今年的 e 倍，得： -1 eb -b e，
keb
1 1
\ - 1 b2 b 1 0 b -1± 5b2 ，即 ，解得b - .2
Q b 0 5 -1，\b .
2
故選：A.
【方法技巧】
求解已知函數模型解決實際問題的關鍵
（1）認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數．
（2）根據已知利用待定系數法，求出模型中的待定系數．
（3）利用該函數模型，求解實際問題，并進行檢驗．
【變式 4-1】（2024·陜西安康·模擬預測）若一段河流的蓄水量為v立方米，每天水流量為 k立方米，每
r t m t r r
k
- t
天往這段河流排水 立方米的污水，則 天后河水的污染指數 m - e v m 為初始值，
k 0è k ÷ 0
m0 0 ．現有一條被污染的河流，其蓄水量是每天水流量的 60 倍，以當前的污染指數為初始值，若從現
1
在開始停止排污水，要使河水的污染指數下降到初始值的 ，需要的天數大約是（參考數據： ln7 1.95 ）
7
（ ）
A．98 B．105 C．117 D．130
【答案】C
v r r k- t 1- t
【解析】由題意可知： r 0 ， 60，所以m t m - ÷e v0 m e 60k k 0è k
1 1- t 1
設約 t 天后，河水的污染指數下降到初始值的 ，即m e 600 m0，7 7
1
所以- t ln
1
t 60ln 7 60 1.95 117，
60 7
故選：C.
【變式 4-2】（2024·四川涼山·三模）工廠廢氣排放前要過濾廢氣中的污染物再進行排放，廢氣中污染物
- at
含量 y （單位：mg/L）與過濾時間 t 小時的關系為 y y0e （ y0 ，a均為正的常數）．已知前 5 小時過濾掉
了 10%污染物，那么當污染物過濾掉 50%還需要經過（ ）（最終結果精確到 1h，參考數據： lg2 0.301，
lg3 0.477）
A．43h B．38h C．33h D．28h
【答案】D
- at
【解析】∵廢氣中污染物含量 y 與過濾時間 t 小時的關系為 y y0e ，
令 t 0 ，得廢氣中初始污染物含量為 y y0 ，
又∵前 5 小時過濾掉了 10%污染物，
∴ 1-10% y y e-5a ln
9 ln 10
0 0 ，則 a - 10 9 ，
5 5
∴ -at當污染物過濾掉 50%時， 1-50% y0 y0e ，
ln 1
t 2 ln 2 5ln 2 5lg 2 5lg 2則 33h ，
-a a ln10 lg10 1- 2lg3
9 9
∴當污染物過濾掉 50%還需要經過33 - 5 28h .
故選：D.
【變式 4-3】（2024·河北邯鄲·模擬預測）中國地震臺網測定：2024 年 4 月 3 日，中國臺灣花蓮縣海域發
生里氏 7.3 級地震.已知地震時釋放出的能量 E（單位：焦耳）與地震里氏震級 M 之間的關系為
lg E 4.8 1.5M ，2011 年 3 月 11 日，日本東北部海域發生里氏 9.0 級地震，則它所釋放出來的能量約是中
國臺灣花蓮縣海域發生里氏 7.3 級地震的多少倍？（ ）
A．98 B．105 C．355 D．463
【答案】C
【解析】由題設，
4.8 1.5 9
日本東北部海域發生里氏 9.0 級地震所釋放出來的能量 E1 10 ，
4.8 1.5 7.3
中國臺灣花蓮縣海域發生里氏 7.3 級地震所釋放出來的能量 E2 10 ，
E1 10
4.8 1.5 9
2.55所以 E 104.8 1.5 7.3
10 355 .
2
故選：C.
【變式 4-4】（2024·江蘇·一模）德國天文學家約翰尼斯·開普勒根據丹麥天文學家第谷·布拉赫等人的觀
測資料和星表，通過本人的觀測和分析后，于 1618 年在《宇宙和諧論》中提出了行星運動第三定律——
繞以太陽為焦點的橢圓軌道運行的所有行星，其橢圓軌道的長半軸長 a 與公轉周期 T 有如下關系：
T 2p
3
×a 2 ，其中 M 為太陽質量，G 為引力常量．已知火星的公轉周期約為水星的 8 倍，則火星的橢圓
GM
軌道的長半軸長約為水星的（ ）
A．2 倍 B．4 倍 C．6 倍 D．8 倍
【答案】B
【解析】設火星的公轉周期為T1 ，長半軸長為 a1 ，火星的公轉周期為T2 ，長半軸長為 a2，
ì
T 2p
3
21 a1 ①
GM
則，T1 8T2 ，且 í
T 2p
3
2
2 aGM 2
②

① T a 3
得： 1 ( 1 )2 8，
② T2 a2
a1
所以， 4，即： a1 4aa 2 .2
故選：B．
【變式 4-5】（2024·山西長治·一模）研究人員用 Gompertz 數學模型表示治療時長 x（月）與腫瘤細胞含
量 f ( x ) 的關系，其函數解析式為 f (x) ka-b
-x
，其中 k 0,b 0,a為參數．經過測算，發現a e（ e 為自然
1
對數的底數）．記 x 1表示第一個月，若第二個月的腫瘤細胞含量是第一個月的 ，那么b的值為（
e ）
A． 5 1 B． 5 5 1 5 -1-1 C． D．
2 2
【答案】D
ì f (1) ke-b
-1
1
í -b
-2 b-1 1
【解析】依題意， -2 -1
-b-2
，而 f (2) f (1)，則 e ，即b -b -1 0，
f (2) ke e e
又b 0 b-1 5 1，解得 ，所以b 5 -1 .
2 2
故選：D
題型五：構造函數模型的實際問題
【典例 5-1】有一組實驗數據如下表所示：
x 2.01 3 4.01 5.1 6.12
y 3 8.01 15 23.8 36.04
則最能體現這組數據關系的函數模型是（ ）
A． y 2 x 1 - 1 B． y x3 C． y 2log2 x D． y x2 -1
【答案】D
【解析】將各點 x, y 分別代入各函數可知，最能體現這組數據關系的函數模型是 y x2 -1．
故選：D．
【典例 5-2】（2024·高三·江西贛州·期末）“打水漂”是一種游戲：按一定方式投擲石片，使石片在水面
上實現多次彈跳，彈跳次數越多越好．小樂同學在玩“打水漂”游戲時，將一石片按一定方式投擲出去，石
片第一次接觸水面時的速度為30m/s ，然后石片在水面上繼續進行多次彈跳．不考慮其他因素，假設石片
每一次接觸水面時的速度均為上一次的 75% ，若石片接觸水面時的速度低于6m/s ，石片就不再彈跳，沉入
水底，則小樂同學這次“打水漂”石片的彈跳次數為（ ）（參考數據： ln 2 0.7, ln 3 1.1, ln 5 1.6 ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】設這次“打水漂”石片的彈跳次數為 x，
由題意得30 0.75x < 6，即 0.75 x < 0.2 ，得 x log0.75 0.2 .
ln 1
log 0.2 ln0.2 5 -lg5因為 0.75 5.3，ln0.75 ln 3 ln3 - 2ln2
4
所以 x 5.3，即 x 6 .
故選：B.
【方法技巧】
構建函數模型解決實際問題的步驟
（1）建模：抽象出實際問題的數學模型；
（2）推理、演算：對數學模型進行推理或數學運算；
（3）解模：求解數學模型，得出結論；
（4）還原：將數學問題還原為實際問題．
【變式 5-1】（2024·高三·北京·開學考試）某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每增加一次過濾可使水
中雜質減少 50%，若要使水中雜質減少到原來的 5%以下，則至少需要過濾（ ）
（參考數據： lg2 0.3010）
A．2 次 B．3 次 C．4 次 D．5 次
【答案】D
【解析】設經過n n N 次過濾后，水中雜質減少到原來的 5%以下，
n
則 1- 50 0 n < 5 0 1 10 0 ，即 ÷ < ，
è 2 20
lg2 1
不等式兩邊取常用對數得： n lg 2 lg 2 1，解得：n 4.3lg2 ，
故至少需要過濾 5 次.
故選：D
【變式 5-2】（2024·陜西商洛·模擬預測）凈水機通過分級過濾的方式使自來水逐步達到純凈水的標準，
其工作原理中有多次的PP棉濾芯過濾，其中第一級過濾一般由孔徑為 5 微米的PP棉濾芯（聚丙烯熔噴濾
芯）構成，其結構是多層式，主要用于去除鐵銹、泥沙、懸浮物等各種大顆粒雜質，假設每一層PP棉濾芯
可以過濾掉三分之一的大顆粒雜質，若過濾前水中大顆粒雜質含量為 80mg/L，現要滿足過濾后水中大顆粒
雜質含量不超過 2mg/L，則PP棉濾芯的層數最少為（參考數據： lg2 0.30， lg3 0.48）（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
n n
【解析】設經過n層PP 1 2 棉濾芯過濾后的大顆粒雜質含量為 y ，則 y 80 1- ÷ 80 ÷ ，
è 3 è 3
80 2
n n 2 1 3
令 2 2 1 ÷ ，解得 ÷ ，兩邊取常用對數得 n lg lg ，即 n lg lg 40
è 3 è 3 40 3 40 2
即n lg3- lg2 1 2lg2，因為 lg2 0.30， lg3 0.48，
所以 0.48-0.30 n 1.60 80，解得 n ，因為 n N*，所以n的最小值為 9．9
故選：A
【變式 5-3】（2024·湖南衡陽·一模）衡東土菜辣美鮮香，享譽三湘．某衡東土菜館為實現 100 萬元年經
營利潤目標，擬制定員工的獎勵方案：在經營利潤超過 6 萬元的前提下獎勵，且獎金 y （單位：萬元）隨
經營利潤 x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數不超過 3 萬元，同時獎金不能超過利潤的 20% ．下
列函數模型中，符合該點要求的是 ( 　　 )
（參考數據：1.015100 4.432 ， lg11 1.041)
A． y 0.04x B． y 1.015x -1
C x． y tan( - 1) D． y log11(3x -10)19
【答案】D
【解析】對于函數： y 0.04x ，當 x 100 時， y 4 3，不符合題意；
對于函數： y 1.015x -1，當 x 100 時， y 3.432 3，不符合題意；
對于函數： y tan(
x
- 1)
19 ，不滿足遞增，不符合題意；
對于函數： y log11(3x -10)，滿足 x (6，100]，增函數，
且 y log11 (3 100 -10) log11 290 < log111331 3，
結合圖象， y
1
x 與 y log11 (3x-10)的圖象如圖所示：5
符合題意，
故選：D．
【變式 5-4】（2024·福建福州·二模）經多次實驗得到某種型號的汽車每小時耗油量Q（單位： L ）與速
度v（單位： km/h ）（ 40 v 120）的數據如下表：
v 40 60 90 100 120
Q 5.2 6 8.325 10 15.6
為描述Q與v的關系，現有以下三種模型供選擇：Q(v) 0.04v 3.6，Q(v) 0.5v a ，
Q(v) 0.000025v3 - 0.004v 2 0.25v .選出最符合實際的函數模型，解決下列問題：某高速公路共有三個車道，
分別是外側車道、中間車道、內側車道，車速范圍分別是［60，90），［90，110)，[110，120]（單位： km/h ）.
為使百公里耗油量W （單位： L ）最小，該型號汽車行駛的車道與速度為（ ）
A．在外側車道以80km/h 行駛 B．在中間車道以90km/h 行駛
C．在中間車道以95km /h 行駛 D．在內側車道以115km/h 行駛
【答案】A
【解析】由題意，符合的函數模型需要滿足在 40 v 120，v都可取，且由表可知，Q隨v的增大而增大，
則該函數模型應為增函數，
\Q v 0.5v a不符合，
若選擇Q(v) 0.04v 3.6，則Q 90 0.04 90 3.6 7.2，Q 100 0.04 100 3.6 7.6，
Q 120 0.04 120 3.6 8.4，與實際數據相差較大，所以Q(v) 0.04v 3.6不符合，
若選擇Q(v) 0.000025v3 - 0.004v 2 0.25v ，則Q 40 5.2，Q 60 6，Q 90 8.325，Q 100 10，
Q 120 15.6，\Q(v) 0.000025v3 - 0.004v2 0.25v 最符合實際，
QW 100 Q 0.0025v2 - 0.4v 25 0.0025 v -80 2 9，
v
當 v 80 時，W 取得最小值為9 .
故選：A
【變式 5-5】（2024·浙江·二模）紹興某鄉村要修建一條 100 米長的水渠，水渠的過水橫斷面為底角為
120°的等腰梯形（如圖）水渠底面與側面的修建造價均為每平方米 100 元，為了提高水渠的過水率，要使
過水橫斷面的面積盡可能大，現有資金 3 萬元，當過水橫斷面面積最大時，水果的深度（即梯形的高）約
為（ ）（參考數據： 3 1.732 ）
A．0.58 米 B．0.87 米 C．1.17 米 D．1.73 米
【答案】B
【解析】如圖設橫截面為等腰梯形 ABCD ， BE ^ CD 于 E ， BAD ABC 120°，
要使水橫斷面面積最大，則此時資金 3 萬元都用完，
則100 AB BC AD 100 30000，解得 AB BC AD 3米，
3
設 BC x ，則 AB 3 - 2x, BE 3 x,CE 1 x，故CD 3 - x ，且0 < x < ，
2 2 2
梯形 ABCD 的面積 3 - 2x 3 - x
3
x
S 2 3 3 -x2 2x ，2 4
當 x 1時， S 3 3max ，4
3
此時BE 0.87 ，
2
即當過水橫斷面面積最大時，水果的深度（即梯形的高）約為 0.87 米.
故選：B.
1．（多選題）（2023 年新課標全國Ⅰ卷數學真題）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的
強弱，定義聲壓級 Lp 20 lg
p
p ，其中常數
p p0 p0 0 是聽覺下限閾值， 是實際聲壓．下表為不同聲源
0
的聲壓級：
聲源 與聲源的距離 /m 聲壓級 /dB
燃油汽車 10 60 ~ 90
混合動力汽車 10 50 : 60
電動汽車 10 40
已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m 處測得實際聲壓分別為 p1 , p2 , p3 ，則（ ）．
A． p1 p2 B． p2 10 p3
C． p3 100 p0 D． p1 100 p2
【答案】ACD
【解析】由題意可知：Lp 60,90 ,Lp 50,60 ,Lp 40，1 2 3
p p p
A L - L 20 lg 1 - 20 lg 2 20 lg 1對于選項 ：可得 p1 p2 p0 p
，
0 p2
p p
因為 Lp Lp ，則 Lp - Lp 20 lg 1 0 11 2 1 2 p ，即
lg 0 ，
2 p2
p1
所以 1且 p1, p 0p 2 ，可得
p1 p2 ，故 A 正確；
2
p2 p3 p2
對于選項 B：可得 Lp - Lp 20 lg - 20 lg 20 lg2 3 p p p ，0 0 3
p2 p2 1
因為 L p - L p L p - 40 10 ，則 20 lg 10，即 lg 2 3 2 p p ，3 3 2
p2
所以 10 且 p2 , p3 0p ，可得 p2 10p3，3
當且僅當 L p 502 時，等號成立，故 B 錯誤；
p3 p3
對于選項 C：因為 Lp 20 lg 403 p ，即
lg 2
0 p
，
0
p3
可得 100 ，即 p3 100 pp 0 ，故 C 正確；0
p1
對于選項 D：由選項 A 可知： Lp - Lp 20 lg1 2 p ，2
p
L 1且 p - L p 90 - 50 40 ，則 20 lg 401 2 p ，2
p1 p1
即 lg 2p ，可得
100 ，且 p1, p2 0，所以 p1 100 pp 2 ，故 D 正確；2 2
故選：ACD.
2．（2019 年全國統一高考數學試卷（理科）（新課標Ⅱ））2019 年 1 月 3 日嫦娥四號探測器成功實現人類歷
史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業取得又一重大成就，實現月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技
術問題是地面與探測器的通訊聯系．為解決這個問題，發射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月
拉格朗日 L2點的軌道運行． L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設地球質量為 M１，月球質量為 M２，
地月距離為 R， L2點到月球的距離為 r，根據牛頓運動定律和萬有引力定律，r 滿足方程：
M1 M2
2 2 (R r)
M
1
(R r) r R3 .
r 3a 3 3a 4 a 5 3
設a ，由于a 的值很小，因此在近似計算中 3a ，則 r 的近似值為
R (1 a )2
M
A． 2 R
M
B． 2 R
M1 2M1
3M M
C． 3 2 R D． 3 2 R
M1 3M1
【答案】D
r
【解析】由a ，得 r a R
R
M1 M 2 (R r) M1因為 (R r)2 2

r R3 ，
M1 M M
所以 2
2 (1 a) 1
R (1 ， a)2 a 2R2 R2
M 2 a 2[(1 a ) 1 a
5 3a 4 3a 3
即 - 2 ] 2 3a
3
M ，1 (1 a ) (1 a )
3 M
解得a 2 ，
3M1
所以 r
M
a R 3 2 R.
3M1
3．（2020 年新高考全國卷Ⅰ數學試題（山東卷））基本再生數 R0與世代間隔 T 是新冠肺炎的流行病學基本
參數.基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎
疫情初始階段，可以用指數模型： I (t) ert 描述累計感染病例數 I(t)隨時間 t(單位:天)的變化規律，指數增
長率 r 與 R0，T 近似滿足 R0 =1+rT.有學者基于已有數據估計出 R0=3.28，T=6.據此，在新冠肺炎疫情初始階
段，累計感染病例數增加 1 倍需要的時間約為(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2 天 B．1.8 天
C．2.5 天 D．3.5 天
【答案】B
R 3.28 T 6 R 1 rT r 3.28 -1 0.38 I t ert e0.38t【解析】因為 0 ， ， 0 ，所以 ，所以 ，6
設在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加 1 倍需要的時間為 t1天，
則e0.38(t t1) 2e0.38t ，所以e0.38t1 2，所以0.38t1 ln 2，
t ln 2 0.69所以 1 1.8天.0.38 0.38
故選：B.
1．若某公司生產某種電子儀器的固定成本為 20000 元，每生產一臺儀器需增加投入 100 元，已知總收入 R
ì
400x
1
- x2 ,0 x 500
（單位：元）關于月產量 x（單位：臺）滿足函數：R x í 2 ．
75000, x 500
（1）將利潤 f x （單位：元）表示為月產量 x 的函數；
（2）當月產量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？（總收入=總成本+利潤）
【解析】（1）由題可知總成本為 20000 100 x ，
ì 1
- x
2 300x - 20000,0 x 500
∴ f x R(x) - 20000 -100x í 2 ．
55000 -100x, x 500
1 2
（2）當0 x 500 ， f x - x - 300 25000，
2
∴ x 300 時， f x 有最大值 25000；
當 x 500 時， f x 55000-100x是減函數，
∴ f x < 55000-100 500 5000．
∴ x 300 時， f x 有最大值 25000．
即當每月生產 300 臺儀器時，利潤最大，最大利潤為 25000 元．
2．某地區上年度電價為 0．8 元 /(kW ×h)，年用電量為 a kW × h ，本年度計劃將電價下降到 0．55 元
/(kW ×h)至 0．75 元 /(kW ×h)之間，而用戶期望電價為 0．4 元 /(kW ×h)．經測算，下調電價后新增用電量
和實際電價與用戶的期望電價的差成反比，且比例系數為 k（注：若m與n成反比，且比例系數為 k，則其
關系表示為mn k ）．該地區的電力成本價為 0．3 元 /(kW ×h)．
（1）下調后的實際電價為 x（單位：元 /(kW ×h)），寫出新增用電量 t 關于 x的函數解析式；
（2）寫出本年度電價下調后電力部門的收益 y （單位：元）關于實際電價 x（單位：元 /(kW ×h)）的函數
解析式；（注：收益=實際電量 （實際電價－成本價））
（3）設 k 0.2a ，當電價最低定為多少時，仍可保證電力部門的收益比上年至少增長 20%
【解析】（1）因為下調電價后新增用電量 t 和實際電價 x元 /kw × h ，與用戶的期望電價 0．4 元 /(kW ×h)的
差成反比，且比例系數為 k，
k
所以，依題意知用電量 t 關于 x的函數表達式為 t ， (0.55 x 0.75)
x - 0.4
k
（2）依題意知用電量增至 t a a，
x - 0.4
k
所以，電力部門的收益為 y a (x - 0.3)(0.55 x 0.75)；
è x - 0.4 ÷
ì 0.2a a ÷ (x - 0.3) [a (0.8 - 0.3)](1 20%)
（3）依題意有 íè x - 0.4 ，
0.55 x 0.75
ìx2 -1.1x 0.3 0
整理得 í ，
0.55 x 0.75
解此不等式組得0.60 x 0.75．
答：當電價最低定為 0．6 元 /kw × h 仍可保證電力部門的收益比上年至少增長 20% ．
3．某商場經營一批進價為 30 元/件的商品，在市場試銷中發現，此商品的銷售單價 x（單位：元）與日銷
售量 y（單位：件）之間有如下表所示的關系．
x … 30 40 45 50 …
y … 60 30 15 0 …
（1）根據表中提供的數據描出實數對 (x，y)的對應點，根據畫出的點猜想 y 與 x 之間的函數關系，并寫出
一個函數解析式；
（2）設經營此商品的日銷售利潤為 P（單位：元），根據上述關系，寫出 P 關于 x 的函數解析式，并求銷
售單價為多少元時，才能獲得最大日銷售利潤？
【解析】（1）如圖，猜想 y 與 x 是一次函數關系，設 y ax b(a 0) ．
60 30a b a -3
將 (30,60), (40,30)
ì ì
代入得 í ，解得 í
30 40a b b 150
．

∴y 與 x 的一次函數解析式為 y -3x 150(x 0)．
240
（2） P (-3x 150)(x - 30) -3x2 240x - 4500(x 0)，當 x - 40時，P 3002 ． (-3) max
∴銷售單價為 40 元時，才能獲得最大日銷售利潤 300 元．
I
4．聲強級 L

1（單位：dB）由公式 L1 10lg -12 ÷ 給出，其中 I 為聲強（單位：W / m2）．è10
（1）一般正常人聽覺能忍受的最高聲強為1W / m2，能聽到的最低聲強為10-12W / m2．求人聽覺的聲強級
范圍．
（2）平時常人交談時的聲強約為10-6W / m2 ，求其聲強級．
【解析】解：（1）10lg
1
-12 ÷ 10 lg10
12 120(dB) ．
è10
-12
10lg 10 -12 ÷ 10lg1 0(dB)．
è10
因此人聽覺的聲強級范圍為0 dB -120 dB．
10-6
（2） L1 10lg -12 10 lg10
6 10 6 60(dB)．
10
5．假設有一套住房的房價從 2002 年的 20 萬元上漲到 2012 年的 40 萬元，下表給出了兩種價格增長方式，
其中 P1 是按直線上升的房價，P2是按指數增長的房價，t 是 2002 年以來經過的年數．
t 0 5 10 15 20
P1 /萬元 20 30 40 50 60
P2 /萬元 20 20 2 40 40 2 80
（1）求函數 P1 f (t) 的解析式；
（2）求函數P2 g t 的解析式；
（3）完成上表空格中的數據，并在同一直角坐標系中畫出兩個函數的圖象，然后比較兩種價格增長方式
的差異．
ìb 20, ìb 20
【解析】解：（1）設 f (t) kt b(k 0)，則 í
10k
，
b 40 í k 2
\P1 f (t) 2t 20．
ì m 20, ì m 20
（2）設 g(t) mat （ a 0，且 a 1），則 íma10

40
í
a 10
．
2
t
\P g(t) 20 (10 2)t2 20 210 ．
（3）圖象如圖．
由圖象可以看出，在前 10 年，按 P1 增長的價格始終高于按P2增長的價格，但 10 年后，P2的價格增長速度
很快，遠遠超出 P1 的價格并且時間越長，差別越大．
6．某地由于人們健康水平的不斷提高，某種疾病的患病率正以每年 15%的比例降低，要將當前的患病率
降低一半，需要多少年
x 1
【解析】解：設今年的患病率為 a，經 x 年后的患病率為當前的一半．則 a(1-15%) a，即
2
0.85x 0.5, x log lg0.50.85 0.5 4lg0.85 ．∴大約需要 4 年．
7．從甲地到乙地的距離約為 240km ，經多次實驗得到一輛汽車每小時耗油量Q（單位： L ）與速度v（單
位： km / h）（0 v 120 ）的下列數據：
v 0 40 60 80 120
Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000
為了描述汽車每小時耗油量與速度的關系，現有以下三種模型供選擇：
Q av 3 bv 2 cv, Q 0.5v a , Q k log a v b ．
（1）選出你認為最符合實際的函數模型，并寫出相應的函數解析式；
（2）從甲地到乙地，這輛車應以什么速度行駛才能使總耗油量最少？
【解析】（1）畫出散點圖如圖
由圖知應選擇函數Q av3 bv2 cv
將 40,6.667 , 80,10 , 120,20 代入函數解析式得：
ì6.667 a 403 b 402 c 40 ìa 0.000026

í10 a 803 b 802 c 80

，解得： íb -0.00416

20 a 120
3 b 1202 c 120 c 0.291475
\Q 0.000026v3 - 0.00416v2 0.291475v
240
（2）從甲地到乙地共需 小時，設總耗油量為 yL
v
y Q 240則 × 0.000026v3 - 0.00416v2 240 0.291475vv × v
240 0.000026v2 - 0.00416v 0.291475 0 v 120
v 0.00416當 80(km / h)時，y 取最小值
2 0.000026
\ 從甲地到乙地，這輛車應以80km / h 的速度行駛才能使總耗油量最少
易錯點：函數模型應用錯誤
易錯分析： 1、忽視函數定義域；2、計算錯誤或忽視計算過程中的細節.
答題模板：數學建模
1、模板解決思路
數學建模的思路將問題轉化為常見的函數模型，然后根據已知條件解決問題.
2、模板解決步驟
第一步：審題
第二步：建模
第三步：解模
第四步：還原
【易錯題 1】把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是 θ o1 C，空氣的溫度是 θ0℃，那么 t min 后
1
物體的溫度 θ -kt（單位： oC）可由公式q q0 q1 -q0 e （k 為正常數）求得.若 k ln 2，將 55 oC的物體2
放在 15 oC的空氣中冷卻，則物體冷卻到 35 oC所需要的時間為 min .
【答案】2
1
【解析】將 k ln 2，q1 55°C，q 0 15°C ，q 35°C2
-kt 1
代入q q - (ln 2)t0 q1 -q0 e 得35 15 (55 -15)e 2 ，
ln 2
所以 - t35 15 (55 -15)e 2 ，
ln2
- t
\e 2 1 ，
2
ln 2 1
所以- t ln - ln 2，
2 2
即 t 2 min .
故答案為：2
【易錯題 2】一種藥在病人血液中的量保持1500mg 以上才有療效；而低于500mg 病人就有危險.現給某病
人靜脈注射了這種藥 2500mg，如果藥在血液中以每小時 20％的比例衰減，為了充分發揮藥物的利用價值，
那么從現在起經過 小時向病人的血液補充這種藥，才能保持療效.（附： lg2 0.3010， lg3 0.4771，
精確到 0.1h ）
【答案】 2.3
【解析】設應在病人注射這種藥經過 x小時后再向病人的血液補充這種藥，
x
則血液中的含藥量 y 與注射后的時間 x的關系式為： y 2500 1- 20 0 0 ，
依題意，可得 2500 1- 20 0 x0 1500，
4 x 3
整理可得 ÷ ，
è 5 5
x
4 3
所以 log 4 ÷ log
3
，即 x log 4 ，
5 è 5
4
5 5 5 5
3 lg
6
log log 6 10 lg 6 -1 lg 2 lg3-1由 4 8 2.3，
5 5 10 10 lg 8 lg8 -1 3lg 2 -1
10
所以 x 2.3 .
故在起經過 2.3小時向病人的血液補充這種藥，才能保持療效.
故答案為： 2.3第 08 講 函數模型及其應用
目錄
01 考情透視·目標導航 .........................................................................................................................2
02 知識導圖·思維引航 .........................................................................................................................3
03 考點突破·題型探究 .........................................................................................................................4
知識點 1：幾種常見的函數模型 ................................................................................................................................4
知識點 2：解函數應用問題的步驟 ............................................................................................................................4
題型一：二次函數模型，分段函數模型 ...................................................................................................................5
題型二：對勾函數模型 ...............................................................................................................................................7
題型三：指數型函數、對數型函數、冪函數模型 ...................................................................................................8
題型四：已知函數模型的實際問題 ...........................................................................................................................9
題型五：構造函數模型的實際問題 .........................................................................................................................11
04 真題練習·命題洞見 .......................................................................................................................13
05 課本典例·高考素材 .......................................................................................................................14
06 易錯分析·答題模板 .......................................................................................................................17
易錯點：函數模型應用錯誤 .....................................................................................................................................17
答題模板：數學建模 .................................................................................................................................................17
考點要求 考題統計 考情分析
高考對函數模型的考查相對穩定，考
2023 年 I 卷第 10 題，5 分 查內容、頻率、題型、難度均變化不
（1）利用函數模型解決問題 2020 年 II 卷第 3 題，5 分 大．2025 年高考可能結合函數與生活應
2020 年 I 卷第 6 題，5 分 用進行考察，對學生建模能力和數學應用
能力綜合考察．
復習目標：
（1）了解指數函數、對數函數與一次函數增長速度的差異．
（2）理解“指數爆炸”“對數增長”“直線上升”等術語的含義．
（3）會選擇合適的函數模型刻畫現實問題的變化規律，了解函數模型在社會生活中的廣泛應用．
知識點 1：幾種常見的函數模型
函數模型 函數解析式
一次函數模型 f (x) ax b(a ，b 為常數且 a 0)
反比例函數模型 f (x) k b(k ，b 為常數且 a 0)
x
二次函數模型 f (x) ax2 bx c(a ，b ， c 為常數且 a 0)
指數函數模型 f (x) ba x c(a ，b ， c 為常數，b 0， a 0， a 1)
對數函數模型 f (x) b loga x c(a ，b ， c 為常數，b 0， a 0， a 1)
冪函數模型 f (x) axn b(a ，b 為常數， a 0)
【診斷自測】近年來，天然氣表觀消費量從 2006 年的不到600 108 m3激增到 2021 年的3726 108 m3. 從
2000 年開始統計，記 k 表示從 2000 年開始的第幾年， 0 k ， k N .經計算機擬合后發現，天然氣表觀消
k
費量隨時間的變化情況符合Vk V0 1 ra ，其中Vk 是從 2000 年后第 k 年天然氣消費量，V0 是 2000 年的
天然氣消費量， ra 是過去 20 年的年復合增長率.已知 2009 年的天然氣消費量為900 108 m3，2018 年的天然
氣消費量為 2880 108 m3，根據擬合的模型，可以預測 2024 年的天然氣消費量約為（ ）
2 2 2
（參考數據： 2.883 2.02，3.23 2.17，43 2.52
A．5817.6 108 m3 B．6249.6 108 m3
C．6928.2 108 m3 D．7257.6 108 m3
知識點 2：解函數應用問題的步驟
（1）審題：弄清題意，識別條件與結論，弄清數量關系，初步選擇數學模型；
（2）建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用已有知識建立相應的數
學模型；
（3）解模：求解數學模型，得出結論；
（4）還原：將數學問題還原為實際問題．
【診斷自測】長江流域水庫群的修建和聯合調度，極大地降低了洪澇災害風險，發揮了重要的防洪減災效
益．每年洪水來臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風險，水利部門需要在原有蓄水量的基礎聯合調度，
水庫實際蓄水量
統一蓄水，用蓄滿指數（蓄滿指數＝ ×100）來衡量每座水庫的水位情況．假設某次聯合
水庫總蓄水量
調度要求如下：
（ⅰ）調度后每座水庫的蓄滿指數仍屬于區間 0,100 ；
（ⅱ）調度后每座水庫的蓄滿指數都不能降低；
（ⅲ）調度前后，各水庫之間的蓄滿指數排名不變．
記 x 為調度前某水庫的蓄滿指數，y 為調度后該水庫的蓄滿指數，給出下面四個 y 關于 x 的函數解析式：
1
① y - x2 6x
x π
；② y 10 x ；③ y 1050 ；④ y 100sin x．20 200
則滿足此次聯合調度要求的函數解析式的個數為（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
題型一：二次函數模型，分段函數模型
【典例 1-1】我國的煙花名目繁多，其中“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一．制造時一般是期望在它達到最
2
高點時爆裂．如果煙花距地面的高度 h（單位：m）與時間 t（單位：s）之間的關系為 h t -5t 15t 20 ，
那么煙花沖出后在爆裂的最佳時刻距地面高度約為（ ）
A．26 米 B．28 米 C．31 米 D．33 米
【典例 1-2】（2024·云南·二模）下表是某批發市場的一種益智玩具的銷售價格：
一次購買件數 5-10 件 11-50 件 51-100 件 101-300 件 300 件以上
每件價格 37 元 32 元 30 元 27 元 25 元
張師傅準備用 2900 元到該批發市場購買這種玩具，贈送給一所幼兒園，張師傅最多可買這種玩具（ ）
A．116 件 B．110 件 C．107 件 D．106 件
【方法技巧】
1、分段函數主要是每一段自變量變化所遵循的規律不同，可以先將其當做幾個問題，將各段的變化
規律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值．
2、構造分段函數時，要準確、簡潔，不重不漏．
【變式 1-1】（2024·安徽淮南·一模）我國在 2020 年 9 月 22 日在聯合國大會提出，二氧化碳排放力爭于
2030 年前實現碳達峰，爭取在 2060 年前實現碳中和．為了響應黨和國家的號召，某企業在國家科研部門
的支持下，進行技術攻關：把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品，經測算，該技術處理總成本 y（單
位：萬元）與處理量 x（單位：噸） (x [120,500]) 之間的函數關系可近似表示為
ì 1 x3 -80x2 5040x, x 120,144
y 3í1 ，當處理量
x 等于多少噸時，每噸的平均處理成本最少（ ）
x2 - 200x 80000, x 144,500 2
A．120 B．200 C．240 D．400
【變式 1-2】（2024·高三·黑龍江佳木斯·期中）在新冠肺炎疫情防控中，核酸檢測是新冠肺炎確診的有
效快捷手段，在某醫院成為新冠肺炎核酸檢測定點醫院并開展檢測工作的第 n 天，設每個檢測對象從接受
檢測到檢測報告生成的平均耗時為 t(n) （單位：小時），已知 t(n) 與 n 之間的函數關系為
ì t0
,n < Nn 0
t(n) í t （ t0 ， N0 為常數），并且第 16 天的檢測過程平均耗時 16 小時，第 64 天和第 67 天的檢 0 ,n N
0 N0
測過程平均耗時均為 8 小時，那么可得第 49 天的檢測過程平均耗時大約為（ ）
A．7 小時 B．8 小時 C．9 小時 D．10 小時
【變式 1-3】近年來，“共享單車”的出現為市民“綠色出行”提供了極大方便．某共享單車公司計劃在甲、乙
兩座城市共投資120萬元，根據行業規定，每座城市至少要投資 40萬元．由前期市場調研可知：甲城市收益
P(單位：萬元 )與投入 a(單位：萬元 )滿足P 3 2a - 6，乙城市收益Q(單位：萬元 )與投入 A(單位：萬
) Q 1元 滿足 A 2 ，則投資這兩座城市收益的最大值為 （
4 ）
A． 26萬元 B． 44萬元 C． 48萬元 D． 72萬元
題型二：對勾函數模型
【典例 2-1】（2024·廣東韶關·二模）在工程中估算平整一塊矩形場地的工程量 W（單位：平方米）的計
算公式是W 長 4 寬 4 ，在不測量長和寬的情況下，若只知道這塊矩形場地的面積是 10000 平方米，
每平方米收費 1 元，請估算平整完這塊場地所需的最少費用（單位：元）是（ ）
A．10000 B．10480 C．10816 D．10818
【典例 2-2】（2024·高三·北京朝陽·期末）根據經濟學理論，企業生產的產量受勞動投入、資本投入和
技術水平的影響，用Q表示產量， L表示勞動投入， K 表示資本投入，A 表示技術水平，則它們的關系可
以表示為Q AKa Lb ，其中 A 0, K 0, L 0,0 < a < 1,0 < b < 1.當A 不變， K 與 L均變為原來的 2倍時，下面結
論中正確的是（ ）
1 1
A．存在a < 和 b < ，使得Q2 2 不變
1 1
B．存在a 和 b 2 2 ，使得Q變為原來的 2倍
1
C．若ab 4 ，則Q最多可變為原來的 2倍
1
D 2 2．若a +b ，則Q2 最多可變為原來的 2倍
【方法技巧】
1、解決此類應用題一定要注意函數定義域；
b
2、利用 f (x) ax 求解最值時，注意取等的條件．
x
【變式 2-1】某合作社需要分裝一批蔬菜.已知這批蔬菜只由一名男社員分裝時，需要 12 天完成，只由一名
女社員分裝時，需要 18 天完成.為了讓市民盡快吃到這批蔬菜，要求一天內分裝完畢.由于現有的男 女社
員人數都不足以單獨完成任務，所以需要若干名男社員和若干名女社員共同分裝.已知分裝這種蔬菜時會不
可避免地造成一些損耗.根據以往經驗，這批蔬菜分裝完畢后，參與任務的所有男社員會損耗蔬菜共 80 千
克，參與任務的所有女社員會損耗蔬菜共 30 千克.則參與分裝蔬菜的男社員的平均損耗蔬菜量（千克）與
女社員的平均損耗蔬菜量（千克）之和的最小值為（ ）
A．10 B．15 C．30 D．45
【變式 2-2】（2024·云南楚雄·模擬預測）足球是一項深受人們喜愛的體育運動.如圖，現有一個 11 人制
的標準足球場，其底線寬 AB 68m，球門寬EF 7.32m，且球門位于底線 AB 的中間，在某次比賽過程中，
攻方球員帶球在邊界線 AC 上的M 點處起腳射門，當 EMF 最大時，點M 離底線 AB 的距離約為（ ）
A． 26.32m B． 28.15m C．33.80m D．37.66m
【變式 2-3】（2024·黑龍江·二模）“不以規矩，不能成方圓”出自《孟子·離婁章句上》.“規”指圓規，“矩”
指由相互垂直的長短兩條直尺構成的方尺，是古人用來測量、畫圓和方形圖案的工具，今有一塊圓形木板，
按圖中數據，以“矩”量之，若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個內角
a cosa 1滿足 ，則這塊四邊形木板周長的最大值為（
3 ）
10 30 15 10 30 - 15A ． cm B． cm
3 3
10 10 5 10
C D 10 - 5 ． cm ． cm
3 3
題型三：指數型函數、對數型函數、冪函數模型
【典例 3-1】（2024·全國·模擬預測）遺忘曲線（又稱作“艾賓浩斯記憶曲線”）由德國心理學家艾·賓浩斯
（H. Ebbinghaus）研究發現，描述了人類大腦對新事物遺忘的規律．人體大腦對新事物遺忘的循序漸進的
直觀描述，人們可以從遺忘曲線中掌握遺忘規律并加以利用，從而提升自我記憶能力．該曲線對人類記憶
認知研究產生了重大影響．陳同學利用信息技術擬合了“艾賓浩斯遺忘曲線”，得到記憶率 y 與初次記憶經
過的時間 x（小時）的大致關系： y 1- 0.6x0.06若陳同學需要在明天 15 時考語文考試時擁有復習背誦記憶
的 50%，則他復習背誦時間需大約在（ ）
A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00
【典例 3-2】（2024·陜西渭南·二模）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關.經研
究可知：在室溫 25oC下，某種綠茶用85o C的水泡制，經過 xmin后茶水的溫度為 yoC，且
y k ×0.9227x 25 x 0, k R .當茶水溫度降至60o C 時飲用口感最佳，此時茶水泡制時間大約為（ ）
（參考數據： ln2 0.69, ln3 1.10, ln7 1.95, ln0.9227 -0.08）
A．6min B．7min C．8min D．9min
【方法技巧】
1、在解題時，要合理選擇模型，指數函數模型是增長速度越來越快（底數大于 1）的函數模型，與增
長率、銀行利率等有關的問題都屬于指數模型．
2、在解決指數型函數、對數型函數、冪函數模型問題時，一般先需通過待定系數法確定函數解析式，
然后再借助函數圖像求解最值問題．
【變式 3-1】為了預防信息泄露，保證信息的安全傳輸，在傳輸過程中都需要對文件加密，有一種加密密
鑰密碼系統 (Private Key Cryptosystem) ，其加密、解密原理為：發送方由明文→密文（加密），接收方由密
1
文→明文．現在加密密鑰為 y kx3，如“4”通過加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“ ”，則解密后
256
得到的明文是（ ）
A 1
1 1
． 2 B． C．2 D．4 8
【變式 3-2】（2024·廣東梅州·模擬預測）某科創公司新開發了一種溶液產品，但這種產品含有 2%的雜
1
質，按市場要求雜質含量不得超過0.1% ，現要進行過濾，已知每過濾一次雜質含量減少 ，要使產品達到
3
市場要求，對該溶液過濾的最少次數為 ．
（參考數據： lg2 0.301， lg3 0.477）
【變式 3-3】（2024·廣東廣州·模擬預測）“阿托秒”是一種時間的國際單位，“阿托秒”等于10-18 秒，原子
核內部作用過程的持續時間可用“阿托秒”表示.《莊子 天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，
如果把“一尺之棰”的長度看成 1 米，按照此法，至少需要經過 天才能使剩下“棰”的長度小于光在 2“阿托
秒”內走過的距離.（參考數據：光速為3 108 米/秒， lg2 0.3, lg3 0.48）
題型四：已知函數模型的實際問題
【典例 4-1】（2024·北京昌平·二模）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關，經
驗表明，某種綠茶用 90℃的水泡制，再等到茶水溫度降至 60℃時飲用，可以產生極佳口感；在 20℃室溫
下，茶水溫度從 90℃開始，經過 tmin t后的溫度為 y℃，可選擇函數 y 60 0.9 20 t 0 來近似地刻畫茶
水溫度隨時間變化的規律，則在上述條件下，該種綠茶茶水達到最佳飲用口感時，需要放置的時間最接近
的是（ ）
（參考數據： lg2 0.30, lg3 0.48）
A． 2.5min B． 4.5min C．6min D．8min
【典例 4-2】（2024·廣東茂名·一模）Gompertz 曲線用于預測生長曲線的回歸預測，常見的應用有：代謝
- x
預測，腫瘤生長預測，有限區域內生物種群數量預測，工業產品的市場預測等，其公式為： f x kab
（其中 k 0,b 0， a為參數）.某研究員打算利用該函數模型預測公司新產品未來的銷售量增長情況，發
現 a e .若 x 1表示該新產品今年的年產量，估計明年 x 2 的產量將是今年的 e倍，那么b 的值為（ e為
自然數對數的底數）（ ）
A 5 -1 B 5 1． ． C． 5 -1 D． 5 1
2 2
【方法技巧】
求解已知函數模型解決實際問題的關鍵
（1）認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數．
（2）根據已知利用待定系數法，求出模型中的待定系數．
（3）利用該函數模型，求解實際問題，并進行檢驗．
【變式 4-1】（2024·陜西安康·模擬預測）若一段河流的蓄水量為 v立方米，每天水流量為 k 立方米，每
k
- t
天往這段河流排水 r 立方米的污水，則 t天后河水的污染指數m t r r
k
m0 - k ÷
e v m0 為初始值，
è
m0 0 ．現有一條被污染的河流，其蓄水量是每天水流量的 60 倍，以當前的污染指數為初始值，若從現
1
在開始停止排污水，要使河水的污染指數下降到初始值的 ，需要的天數大約是（參考數據： ln7 1.95）
7
（ ）
A．98 B．105 C．117 D．130
【變式 4-2】（2024·四川涼山·三模）工廠廢氣排放前要過濾廢氣中的污染物再進行排放，廢氣中污染物
含量 y （單位：mg/L）與過濾時間 t小時的關系為 y y0e
-at
（ y0 ， a均為正的常數）．已知前 5 小時過濾掉
了 10%污染物，那么當污染物過濾掉 50%還需要經過（ ）（最終結果精確到 1h，參考數據： lg2 0.301，
lg3 0.477）
A．43h B．38h C．33h D．28h
【變式 4-3】（2024·河北邯鄲·模擬預測）中國地震臺網測定：2024 年 4 月 3 日，中國臺灣花蓮縣海域發
生里氏 7.3 級地震.已知地震時釋放出的能量 E（單位：焦耳）與地震里氏震級 M 之間的關系為
lg E 4.8 1.5M ，2011 年 3 月 11 日，日本東北部海域發生里氏 9.0 級地震，則它所釋放出來的能量約是中
國臺灣花蓮縣海域發生里氏 7.3 級地震的多少倍？（ ）
A．98 B．105 C．355 D．463
【變式 4-4】（2024·江蘇·一模）德國天文學家約翰尼斯·開普勒根據丹麥天文學家第谷·布拉赫等人的觀
測資料和星表，通過本人的觀測和分析后，于 1618 年在《宇宙和諧論》中提出了行星運動第三定律——
繞以太陽為焦點的橢圓軌道運行的所有行星，其橢圓軌道的長半軸長 a 與公轉周期 T 有如下關系：
T 2p
3
×a 2 ，其中 M 為太陽質量，G 為引力常量．已知火星的公轉周期約為水星的 8 倍，則火星的橢圓
GM
軌道的長半軸長約為水星的（ ）
A．2 倍 B．4 倍 C．6 倍 D．8 倍
【變式 4-5】（2024·山西長治·一模）研究人員用 Gompertz 數學模型表示治療時長 x （月）與腫瘤細胞含
量 f (x)
- x
的關系，其函數解析式為 f (x) ka-b ，其中 k 0,b 0,a 為參數．經過測算，發現 a e（ e為自然
1
對數的底數）．記 x 1表示第一個月，若第二個月的腫瘤細胞含量是第一個月的 ，那么b 的值為（
e ）
A． 5 1 B． 5 -1 C 5 1． D 5 -1．
2 2
題型五：構造函數模型的實際問題
【典例 5-1】有一組實驗數據如下表所示：
x 2.01 3 4.01 5.1 6.12
y 3 8.01 15 23.8 36.04
則最能體現這組數據關系的函數模型是（ ）
A． y 2x 1 -1 B． y x3 C． y 2log x D． y x22 -1
【典例 5-2】（2024·高三·江西贛州·期末）“打水漂”是一種游戲：按一定方式投擲石片，使石片在水面
上實現多次彈跳，彈跳次數越多越好．小樂同學在玩“打水漂”游戲時，將一石片按一定方式投擲出去，石
片第一次接觸水面時的速度為30m/s ，然后石片在水面上繼續進行多次彈跳．不考慮其他因素，假設石片
每一次接觸水面時的速度均為上一次的75% ，若石片接觸水面時的速度低于6m/s，石片就不再彈跳，沉
入水底，則小樂同學這次“打水漂”石片的彈跳次數為（ ）（參考數據： ln 2 0.7, ln 3 1.1, ln 5 1.6 ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【方法技巧】
構建函數模型解決實際問題的步驟
（1）建模：抽象出實際問題的數學模型；
（2）推理、演算：對數學模型進行推理或數學運算；
（3）解模：求解數學模型，得出結論；
（4）還原：將數學問題還原為實際問題．
【變式 5-1】（2024·高三·北京·開學考試）某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每增加一次過濾可使水
中雜質減少 50%，若要使水中雜質減少到原來的 5%以下，則至少需要過濾（ ）
（參考數據： lg 2 0.3010）
A．2 次 B．3 次 C．4 次 D．5 次
【變式 5-2】（2024·陜西商洛·模擬預測）凈水機通過分級過濾的方式使自來水逐步達到純凈水的標準，
其工作原理中有多次的PP棉濾芯過濾，其中第一級過濾一般由孔徑為 5 微米的PP棉濾芯（聚丙烯熔噴濾
芯）構成，其結構是多層式，主要用于去除鐵銹、泥沙、懸浮物等各種大顆粒雜質，假設每一層PP棉濾
芯可以過濾掉三分之一的大顆粒雜質，若過濾前水中大顆粒雜質含量為 80mg/L，現要滿足過濾后水中大顆
粒雜質含量不超過 2mg/L，則PP棉濾芯的層數最少為（參考數據： lg 2 0.30， lg3 0.48）（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【變式 5-3】（2024·湖南衡陽·一模）衡東土菜辣美鮮香，享譽三湘．某衡東土菜館為實現 100 萬元年經
營利潤目標，擬制定員工的獎勵方案：在經營利潤超過 6 萬元的前提下獎勵，且獎金 y （單位：萬元）隨
經營利潤 x （單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數不超過 3 萬元，同時獎金不能超過利潤的 20%．下
列函數模型中，符合該點要求的是 ( 　　 )
（參考數據：1.015100 4.432， lg11 1.041)
A． y 0.04x B． y 1.015x -1
C． y tan(
x
-1) D． y log11(3x -10)19
【變式 5-4】（2024·福建福州·二模）經多次實驗得到某種型號的汽車每小時耗油量Q（單位： L）與速
度 v（單位： km/h ）（ 40 v 120）的數據如下表：
v 40 60 90 100 120
Q 5.2 6 8.325 10 15.6
為描述Q與 v的關系，現有以下三種模型供選擇：Q(v) 0.04v 3.6，Q(v) 0.5v a，
Q(v) 0.000025v3 - 0.004v2 0.25v .選出最符合實際的函數模型，解決下列問題：某高速公路共有三個車
道，分別是外側車道、中間車道、內側車道，車速范圍分別是［60，90），［90，110)，[110，120]（單位：
km/h ）.為使百公里耗油量W （單位： L）最小，該型號汽車行駛的車道與速度為（ ）
A．在外側車道以80km/h行駛 B．在中間車道以90km/h 行駛
C．在中間車道以95km/h 行駛 D．在內側車道以115km/h 行駛
【變式 5-5】（2024·浙江·二模）紹興某鄉村要修建一條 100 米長的水渠，水渠的過水橫斷面為底角為
120°的等腰梯形（如圖）水渠底面與側面的修建造價均為每平方米 100 元，為了提高水渠的過水率，要使
過水橫斷面的面積盡可能大，現有資金 3 萬元，當過水橫斷面面積最大時，水果的深度（即梯形的高）約
為（ ）（參考數據： 3 1.732）
A．0.58 米 B．0.87 米 C．1.17 米 D．1.73 米
1．（多選題）（2023 年新課標全國Ⅰ卷數學真題）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的
強弱，定義聲壓級 Lp 20 lg
p
p ，其中常數
p0 p0 0 是聽覺下限閾值， p 是實際聲壓．下表為不同聲源
0
的聲壓級：
聲源 與聲源的距離 /m 聲壓級 /dB
燃油汽車 10 60 ~ 90
混合動力汽車 10 50 : 60
電動汽車 10 40
已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為 p1, p2 , p3，則（ ）．
A． p1 p2 B． p2 10 p3
C． p3 100 p0 D． p1 100 p2
2．（2019 年全國統一高考數學試卷（理科）（新課標Ⅱ））2019 年 1 月 3 日嫦娥四號探測器成功實現人類歷
史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業取得又一重大成就，實現月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技
術問題是地面與探測器的通訊聯系．為解決這個問題，發射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月
拉格朗日L2點的軌道運行．L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設地球質量為 M１，月球質量為 M２，
地月距離為 R，L2點到月球的距離為 r，根據牛頓運動定律和萬有引力定律，r 滿足方程：
M1 M 22 2 (R r)
M1
(R r) r R3 .
r 3a 3 3a 4 a 5
設a ，由于a 的值很小，因此在近似計算中 2 3a
3
，則 r 的近似值為
R (1 a )
M 2 R MA． B． 2 R
M1 2M1
3M 2 R MC． 3 D． 3 2 R
M1 3M1
3．（2020 年新高考全國卷Ⅰ數學試題（山東卷））基本再生數 R0與世代間隔 T 是新冠肺炎的流行病學基本
參數.基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎
疫情初始階段，可以用指數模型： I (t) ert 描述累計感染病例數 I(t)隨時間 t(單位:天)的變化規律，指數增
長率 r 與 R0，T 近似滿足 R0 =1+rT.有學者基于已有數據估計出 R0=3.28，T=6.據此，在新冠肺炎疫情初始階
段，累計感染病例數增加 1 倍需要的時間約為(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2 天 B．1.8 天
C．2.5 天 D．3.5 天
1．若某公司生產某種電子儀器的固定成本為 20000 元，每生產一臺儀器需增加投入 100 元，已知總收入 R
ì400x 1 - x2 ,0 x 500
（單位：元）關于月產量 x（單位：臺）滿足函數：R x í 2 ．
75000, x 500
（1）將利潤 f x （單位：元）表示為月產量 x 的函數；
（2）當月產量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？（總收入=總成本+利潤）
2．某地區上年度電價為 0．8 元 /(kW ×h)，年用電量為 a kW × h ，本年度計劃將電價下降到 0．55 元
/(kW ×h)至 0．75 元 /(kW ×h)之間，而用戶期望電價為 0．4 元 /(kW ×h)．經測算，下調電價后新增用電量
和實際電價與用戶的期望電價的差成反比，且比例系數為 k （注：若m 與n成反比，且比例系數為 k ，則
其關系表示為mn k ）．該地區的電力成本價為 0．3 元 /(kW ×h)．
（1）下調后的實際電價為 x （單位：元 /(kW ×h)），寫出新增用電量 t關于 x 的函數解析式；
（2）寫出本年度電價下調后電力部門的收益 y （單位：元）關于實際電價 x （單位：元 /(kW ×h)）的函數
解析式；（注：收益=實際電量 （實際電價－成本價））
（3）設 k 0.2a，當電價最低定為多少時，仍可保證電力部門的收益比上年至少增長 20%
3．某商場經營一批進價為 30 元/件的商品，在市場試銷中發現，此商品的銷售單價 x（單位：元）與日銷
售量 y（單位：件）之間有如下表所示的關系．
x … 30 40 45 50 …
y … 60 30 15 0 …
（1）根據表中提供的數據描出實數對 (x，y)的對應點，根據畫出的點猜想 y 與 x 之間的函數關系，并寫出
一個函數解析式；
（2）設經營此商品的日銷售利潤為 P（單位：元），根據上述關系，寫出 P 關于 x 的函數解析式，并求銷
售單價為多少元時，才能獲得最大日銷售利潤？
4．聲強級 L
I
1 （單位：dB）由公式 L 21 10lg -12 ÷ 給出，其中 I 為聲強（單位：W / m ）．è10
（1）一般正常人聽覺能忍受的最高聲強為1W / m2 ，能聽到的最低聲強為10-12W / m2．求人聽覺的聲強級
范圍．
（2）平時常人交談時的聲強約為10-6W / m2 ，求其聲強級．
5．假設有一套住房的房價從 2002 年的 20 萬元上漲到 2012 年的 40 萬元，下表給出了兩種價格增長方式，
其中P1是按直線上升的房價， P2 是按指數增長的房價，t 是 2002 年以來經過的年數．
t 0 5 10 15 20
P1 /萬元 20 30 40 50 60
P2 /萬元 20 20 2 40 40 2 80
（1）求函數P1 f (t) 的解析式；
（2）求函數P2 g t 的解析式；
（3）完成上表空格中的數據，并在同一直角坐標系中畫出兩個函數的圖象，然后比較兩種價格增長方式
的差異．
6．某地由于人們健康水平的不斷提高，某種疾病的患病率正以每年 15%的比例降低，要將當前的患病率
降低一半，需要多少年
7．從甲地到乙地的距離約為 240km，經多次實驗得到一輛汽車每小時耗油量Q（單位： L）與速度 v（單
位： km / h ）（0 v 120）的下列數據：
v 0 40 60 80 120
Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000
為了描述汽車每小時耗油量與速度的關系，現有以下三種模型供選擇：
Q av3 bv2 cv,Q 0.5v a,Q k loga v b．
（1）選出你認為最符合實際的函數模型，并寫出相應的函數解析式；
（2）從甲地到乙地，這輛車應以什么速度行駛才能使總耗油量最少？
易錯點：函數模型應用錯誤
易錯分析： 1、忽視函數定義域；2、計算錯誤或忽視計算過程中的細節.
答題模板：數學建模
1、模板解決思路
數學建模的思路將問題轉化為常見的函數模型，然后根據已知條件解決問題.
2、模板解決步驟
第一步：審題
第二步：建模
第三步：解模
第四步：還原
【易錯題 1】把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是 θ o1 C ，空氣的溫度是 θ0℃，那么 t min 后
-kt 1
物體的溫度 θ（單位： o C ）可由公式q q0 q1 -q0 e （k 為正常數）求得.若 k ln 2 ，將 55 o C 的物體2
放在 15 o C 的空氣中冷卻，則物體冷卻到 35 o C 所需要的時間為 min .
【易錯題 2】一種藥在病人血液中的量保持1500mg 以上才有療效；而低于500mg 病人就有危險.現給某病
人靜脈注射了這種藥 2500mg ，如果藥在血液中以每小時 20％的比例衰減，為了充分發揮藥物的利用價值，
那么從現在起經過 小時向病人的血液補充這種藥，才能保持療效.（附： lg 2 0.3010， lg3 0.4771，
精確到0.1h）

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