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重難點(diǎn)突破 01 抽象函數(shù)模型歸納總結(jié)
目錄
01 方法技巧與總結(jié) ...............................................................................................................................2
02 題型歸納總結(jié) ...................................................................................................................................3
題型一：一次函數(shù)模型 ...............................................................................................................................................3
題型二：二次函數(shù)模型 ...............................................................................................................................................4
題型三：冪函數(shù)模型 ...................................................................................................................................................4
題型四：指數(shù)函數(shù)模型 ...............................................................................................................................................5
題型五：對(duì)數(shù)函數(shù)模型 ...............................................................................................................................................5
題型六：正弦函數(shù)模型 ...............................................................................................................................................6
題型七：余弦函數(shù)模型 ...............................................................................................................................................6
題型八：正切函數(shù)模型 ...............................................................................................................................................7
03 過(guò)關(guān)測(cè)試 ...........................................................................................................................................7
一次函數(shù)
（1）對(duì)于正比例函數(shù) f x = kx k 0 ，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為 f x ± y = f x ± f y ．
（2）對(duì)于一次函數(shù) f x = kx + b k 0 ，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為 f x ± y = f x ± f y m b．
二次函數(shù)
（3）對(duì)于二次函數(shù) f x = ax2 + bx + c a 0 ，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為
f x + y = f x + f y + 2axy - c
冪函數(shù)
（4）對(duì)于冪函數(shù) f x = xn ，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為 f xy = f x f y ．
n x f x
（5）對(duì)于冪函數(shù) f x = x ，其抽象函數(shù)還可以是 f = ．
è y
÷
f y
指數(shù)函數(shù)
6 f x = a x（ ）對(duì)于指數(shù)函數(shù) ，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為 f x + y = f x f y ．
x f x （7）對(duì)于指數(shù)函數(shù) f x = a ，其抽象函數(shù)還可以是 f x - y = ．
f y
其中 (a > 0, a 1)
對(duì)數(shù)函數(shù)
（8）對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù) f x = loga x ，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為 f xy = f x + f y ．
x
（9）對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù) f x = loga x ，其抽象函數(shù)還可以是 f = f x - f y ．
è y
÷

（10）對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù) f x = loga x ，其抽象函數(shù)還可以是 f xn = nf x ．
其中 (a > 0, a 1)
三角函數(shù)
（11 2 2）對(duì)于正弦函數(shù) f x = sinx，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為 f x + y f x - y = f x - f y
2 2
注：此抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)于正弦平方差公式： sin a - sin b = sin a + b sin a - b
x + y x - y
（12）對(duì)于余弦函數(shù) f x = cosx，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為 f x + f y = 2 f f 2 ÷ ÷è è 2
a + b a - b
注：此抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)于余弦和差化積公式： cosa + cosb = 2cos cos
2 2
（13）對(duì)于余弦函數(shù) f x = cosx 1，其抽象函數(shù)還可以是 f x f y =
2
é f x + y + f x - y ù
cos a + b + cos a - b
注：此抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)于余弦積化和差公式： cosacosb =
2
f x ± f y
（14）對(duì)于正切函數(shù) f x = tanx ，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為 f x ± y =
1m f x f y
tana ± tanb
注：此抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)于正切函數(shù)和差角公式： tan a ± b =
1m tana tanb
題型一：一次函數(shù)模型
【例 1】已知 f x + y = f x + f y -1且 f 1 = 2 ，則 f 1 + f 2 +L+ f n 不等于
é n n +1 ù
A． f 1 + 2 f 1 +L+ nf 1 n n -1 - B． f ê ú + n -1
2 2
C n
2 + 3n
． D． n n +1
2
【變式 1-1】已知函數(shù) f x 1 的定義域?yàn)镽 ，且 f ÷ 0，若 f (x + y) + f (x) f (y) = 4xy ，則下列結(jié)論錯(cuò)誤
è 2
的是（ ）
1 1A． f -
= 0 f B
2 ÷ ． ÷
= -2
è è 2

C．函數(shù) f x
1 1- ÷是偶函數(shù) D．函數(shù) f x + 是減函數(shù)
è 2 è 2 ÷
【變式 1-2】（2024·河南新鄉(xiāng)·一模）已知定義在R 上的函數(shù) f x 滿足"x, y R，
f 2xy -1 = f x × f y + f y + 2x - 3， f 0 = -1，則不等式 f x > 3 - 2x 的解集為（ ）
A． 1, + B． -1, + C． - ,1 D． - , -1
【變式 1-3】已知定義在R 上的單調(diào)函數(shù) f x ，其值域也是R ，并且對(duì)于任意的 x, y R ，都有
f xf y = xy ，則 f 2022 等于（ ）
A．0 B．1 C． 20222 D． 2022
題型二：二次函數(shù)模型
【例 2】（2024·高三·河北保定·期末）已知函數(shù) f (x) 滿足："x， y Z， f (x + y) = f (x) + f ( y) + 2xy +1成
立，且 f (-2) =1 f 2n n N*，則 =（ ）
A． 4n + 6 B．8n -1 C． 4n2 + 2n -1 D．8n2 + 2n - 5
【變式 2-1】（2024·山東濟(jì)南·三模）已知函數(shù) f x 的定義域?yàn)?R，且 yf x - xf y = xy x - y ，則下列結(jié)
論一定成立的是（ ）
A． f 1 =1 B． f x 為偶函數(shù)
C． f x 有最小值 D． f x 在 0,1 上單調(diào)遞增
【變式 2-2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)镽 ，且滿足
f (x) + f ( y) = f (x + y) - 2xy + 2, f (1) = 2，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． f (4) = 12 B．方程 f (x) = x 有解
f x 1+ f 1 C． ÷是偶函數(shù) D．2
x - ÷是偶函數(shù)
è è 2
【變式 2-3】（2024·河南·三模）已知函數(shù) f x 滿足： f 1 ≥3，且"x, y R，
9
f x + y = f x + f y + 6xy ，則 f i 的最小值是（ ）
i=1
A．135 B．395 C．855 D．990
題型三：冪函數(shù)模型
【例 3】已知函數(shù) f x 的定義域?yàn)? - ,0 U 0, + ，且 xf x = y +1 f y +1 ，則（ ）
A． f x 0 B． f 1 =1 C． f x 是偶函數(shù) D． f x 沒(méi)有極值點(diǎn)
【變式 3-1】（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在 - ,0 U 0, + 上的函數(shù) f x 滿足
f -x f -yf xy 1= + + ，則（ ）
y x xy
A． f x 是奇函數(shù)且在 0, + 上單調(diào)遞減
B． f x 是奇函數(shù)且在 - ,0 上單調(diào)遞增
C． f x 是偶函數(shù)且在 0, + 上單調(diào)遞減
D． f x 是偶函數(shù)且在 - ,0 上單調(diào)遞增
題型四：指數(shù)函數(shù)模型
【例 4】（多選題）（2024·山西晉中·三模）已知函數(shù) f x 的定義域?yàn)镽 ，滿足
f x + y = f x f y + f x + f y ，且 f 0 -1， f 1 > -1，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A． f 0 = 0 B． f x 為非奇非偶函數(shù)
C．若 f 1 =1，則 f 4 =15 D． f x > -1對(duì)任意 x N* 恒成立
【變式 4-1】已知函數(shù) f x 滿足， f p + q = f p × f q , f 1 = 3，則
f 2 1 + f 2 f 2 2 + f 4 f 2 3 + f 6 f 2 4 + f 8 f 2 5 + f 10
+ + + +
的值為（ ）f 1 f 3 f 5 f 7 f 9
A．15 B．30 C．60 D．75
f 2 f 4 f 6
【變式 4-2】如果 f a + b = f a f b 且 f 1 = 2 ，則 + + =f 1 f 3 f 5 （ ）
12 37
A． B． C．6 D．8
5 5
【變式 4-3】已知函數(shù) f x 對(duì)一切實(shí)數(shù) a,b滿足 f a + b = f a × f b ，且 f 1 = 2 ，若
2
é f n ù + f 2n
a = n n N* ，則數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為（ ）f 2n -1
A．n B． 2n C．4n D．8n
題型五：對(duì)數(shù)函數(shù)模型
2 2
【例 5】（多選題）已知函數(shù) f x 的定義域?yàn)镽 ， f xy = y f x + x f y ，則（ ）．
A． f 0 = 0 B． f 1 = 0
C． f x 是偶函數(shù) D． x = 0為 f x 的極小值點(diǎn)
1
【變式 5-1】已知定義在 0, + 11上的函數(shù) f x ，滿足 f xy +1 = f x + f y ，且 f 2 ÷ = 0，則 f 2 =è
（ ）
A．1 B．11 C．12 D． -1
【變式 5-2】（2024·四川涼山·三模）已知 f x 為定義在 R 上且不恒為零的函數(shù)，若對(duì)"x, y R，都有
f xy = xf y + yf x 成立，則下列說(shuō)法中正確的有（ ）個(gè)．
① f 0 = f 1 = 0；
f x
②若當(dāng) x >1 時(shí)， f x > 0，則函數(shù) g x = 在 0, + 單調(diào)遞增；
x
n n-1
③對(duì)"n N* ， f x = nx f x ；
f 1 1
n f 2i
④若 ÷ = - ，則 = 2n - 2 .è 2 2 i=1 i
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式 5-3】（2024·山西·一模）已知函數(shù) f x 是定義在 x∣x 0 上不恒為零的函數(shù)，若
f xy f x f y = 2 + 2 ，則（ ）y x
A． f 1 =1 B． f -1 =1
C． f x 為偶函數(shù) D． f x 為奇函數(shù)
題型六：正弦函數(shù)模型
【例 6】（多選題）（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?R，且
f (x + y) f (x - y) = f 2 (x) - f 2 (y), f (1) = 2, f (2) = 0 ，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
2024
A． f (x) 為偶函數(shù) B． f (3) = -2 C． f (-1) = f (5) D． f (k) = -2
k =2
【變式 6-1】（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f x 的定義域?yàn)镽 ，且
f (x + y) f (x - y) = f 2 (x) - f 2 (y), f (1) =1, f (2) = 0，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
2023
A． f (x) 為偶函數(shù) B． f (3) = -1 C． f (-1) = - f (5) D． f (k) =1
k =1
題型七：余弦函數(shù)模型
【例 7】（多選題）已知定義域?yàn)镽 的函數(shù) f x 滿足 f (x + y) = f (x) × f (y) - f (2 - x) f (2 - y) ，且
f 0 0, f -2 = 0，則（ ）
A． f 2 =1
B． f x 是偶函數(shù)
C．[ f (x)]2 + [ f (2 + x)]2 =1
D． f 1 + f 2 + f 3 +L+ f 2024 =1
【變式 7-1】（多選題）（2024·遼寧·二模）已知定義城為 R 的函數(shù) f x ．滿足
f x + y = f x f y - f 1- x f 1- y ，且 f 0 0 ， f -1 = 0，則（ ）
A． f 1 = 0 B． f x 是偶函數(shù)
2024
2 2C． é f x ù + é f 1+ x ù = 1 D． f i = -1
i
【變式 7-2】（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)镽 ，且 f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)，
2024
f (0) =1， f (3x +1) = - f (-3x +1)，則 f (k) = （ ）
k =0
A．-2 B． -1 C．0 D．1
【變式 7-3】（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）若定義在 R 上的函數(shù) f x ，滿足 2 f x + y f x - y = f 2x + f 2y ，
且 f 1 = -1，則 f 0 + f 1 + f 2 + ×××+ f 2024 = （ ）
A．0 B．-1 C．2 D．1
題型八：正切函數(shù)模型
【例 8】定義在 -1,1 上的函數(shù) f x 滿足： f x x - y - f y = f ，當(dāng) x -1,0 時(shí)，有 f x > 0，且
è1- xy
÷

1 1 1
f 1 -

÷ = 1．設(shè)m = f
+ f +L+ f , n 2, n N*
2 ÷ ÷ 2 ÷ ，則實(shí)數(shù)
m 與 -1的大小關(guān)系為（
5 11 n n 1 ）è è è è + -
A．m < -1 B．m = -1 C．m > -1 D．不確定
【變式 8-1】（2024·浙江·二模）已知函數(shù) f x 滿足對(duì)任意的 x, y 1,+ 且 x < y 都有
f x - y f 1 f 1 ÷ = ÷ - ÷，若 a = f
1
， * ，則 a + a + a +L+ a
1- xy x y n n2 + 5n + 5 ÷ n N 1 2 3 2024
=（ ）
è è è è
253 253 253 253
A． f ÷ B． f ÷ C． f385 380 ÷
D． f
è è è 765 è 760 ÷
1
1．已知函數(shù) f (x)

對(duì)于一切實(shí)數(shù) x, y 均有 f (x + y) - f (y) = x(x + 2y +1) 成立，且 f (1) = 0，則當(dāng) x 0, 時(shí)，
è 2 ÷
不等式 f (x) + 2 < loga x 恒成立，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是（ ）．
3 4 é 3 4 3 4 é 3 4
A． ,1 (1,+ ) ,1 (1,+ ) ,1 ,1
è 4 ÷
÷ B． ê 4 ÷÷ C． ÷÷ D． ê ÷ ÷è 4 4
2．設(shè)函數(shù) f：R→R 滿足 f(0)＝1，且對(duì)任意 x, y R ，都有 f xy +1 = f x f y - f y - x + 2，則
f 2017 ＝（ ）
A．0 B．2018 C．2 017 D．1
3． f x 滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù) a,b都有 f a + b = f a f b ，且 f 1 = 2 ，則
f 2 f 4 f 6 f 2018
+ + +L + =
f 1 f 3 f 5 f 2017 （ ）
A．2017 B．2018 C．4034 D．4036
f (2) f (4) f (6) f (2016)
4．如果函數(shù) f (x) 對(duì)任意 a,b滿足 f (a +b) = f (a) f (b)，且 f (1) = 2，則 + + +L+ =f (1) f (3) f (5) f (2015)
A．4032 B．2016 C．1008 D．504
f (x) + f ( y)
5．設(shè)函數(shù) f x 的定義域?yàn)镽 ，對(duì)任意實(shí)數(shù) x ， y ，只要 x + y 0 ，就有 f (xy) = x + y 成立，則函
數(shù) f (x) （ ）
A．一定是奇函數(shù) B．一定是偶函數(shù) C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f x 的定義域?yàn)镽 ， f x f y - f x = xy - y，則（ ）
A． f 0 = 0 B． f -1 =1
C． f x +1 為偶函數(shù) D． f x +1 為奇函數(shù)
7．設(shè)函數(shù) y = f x 的定義域?yàn)?(0, + )， f xy = f x + f y ，若 f 9 = 6，則 f 3 3 等于（ ）
3 9
A． B．2 C D
9
． ．
2 4 2
8．（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f x 的定義域?yàn)镽,"x, y R ，
f x + y - f x y 1 1- = 2 f - x f y f =12 ÷ ，且 ÷ ，則（2 ）è è
A． f x 為偶函數(shù)
B f x = 2 f x 1- x ． 2 ÷ f ÷è è 2
C． f 1 + 2 f 2 + 3 f 3 + ×× × + 2023 f 2023 = 1
2
D．[ f x ]2 é 1 ù+ ê f - x ÷è 2 ú
= 1

9．（多選題）已知函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)镽 ， f (x + y) - f (x - y) f x
3 3
= +

÷ f y +

÷， f (0) 02 2 ，則（ ）è è
3
A． f ÷ = 0 B． f (0) = -2
è 2
2022
C f (x) 3 D f k ． 的一個(gè)周期為 ． ÷ = 2
k =1 è 2
10．（多選題）（2024·江西九江·二模）已知函數(shù) f x 的定義域?yàn)镽 ，"x, y R，
f xy + xy = xf y + yf x ，則下列命題正確的是（ ）
A． f x 為奇函數(shù) B． f x 為R 上減函數(shù)
1 1 10
C．若 x 0 k，則 xf x ÷
+ f x 為定值 D．若 f 2 = 2，則 f 2 = 2046
è x k =1
11．（多選題）（2024·江蘇南京·二模）已知函數(shù) f (x) 滿足 f (x) f (y) = f (xy)+ | x | + | y |，則（ ）
A． f (0) =1 B． f (1) = -1 C． f (x) 是偶函數(shù) D． f (x) 是奇函數(shù)
12．（多選題）（2024·廣西·二模）已知函數(shù) y = f x 的定義域與值域均為Q+ ，且
2
f y f x + y 2 * y ÷ = f x + f y + txf y t N ，則（ ）è
A． f 1 =1 B．函數(shù) f x 的周期為 4
C． f x = x2 x Q+ D． t = 2
13．（多選題）已知非常數(shù)函數(shù) f x 的定義域?yàn)镽 ，且 f x f y = f xy + xy x + y ，則（ ）
A． f 0 = 0 B． f 1 = -2或 f 1 =1
f xC ． 是 x x R且x 0 上的增函數(shù) D． f x 是R 上的增函數(shù)
x
14 f x R "x R, f x > 0 f xy = f x × f y - x2 - y2．（多選題）已知 是定義在 上的函數(shù)， ，且 ，則
（ ）
A． f 1 =1
B． f x 是偶函數(shù)
C． f x 的最小值是 1
D．不等式 f x - 2 <10的解集是 -1,5
15．（多選題）已知函數(shù) f (x) 滿足 f (x + y) = f (x) + f (y), x, y R，則（ ）
A． f (0) = 0 B． f (k) = kf (1),k Z
C． f (x) kf
x= ÷ , (k 0) D． f (-x) f (x) < 0
è k
16．（多選題）（2024·高三·云南昆明·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)镽 ，且
f x - y = f -x + f y - 2xy ，則（ ）
A． f (0) = 0
B． f (2) = 4
C． y = f (x) - 2x 是奇函數(shù)
D． y = f x - 2x2 是偶函數(shù)
17．（多選題）（2024·重慶·三模）函數(shù) f x 是定義在R 上不恒為零的可導(dǎo)函數(shù)，對(duì)任意的 x， y R 均滿
足： (x + y) × f (x) f (y) = xy × f (x + y) ， f (1) = 2，則（ ）
A． f 0 = 0 B． f 2 = 8
n
C． f 1 = 4 D． f (k) = (n -1) ×2n+1 + 2
k =1
18．（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f x 的定義域?yàn)镽 ，且
f x + y = f x f y + f x + f y ， x > 0時(shí)， f x > 0， f 2 = 3，則（ ）
A． f 1 =1
B．函數(shù) f x 在區(qū)間 0, + 單調(diào)遞增
C．函數(shù) f x 是奇函數(shù)
D．函數(shù) f x x的一個(gè)解析式為 f x = 2 -1
f x
19．（多選題）已知函數(shù) y = f x ，對(duì)于任意 x, y R ， = f x - y f y ，則（ ）
A． f 0 =1 B． f x2 = 2 f x
f x + ff x > 0 y f x + yC． D ． ≥
2 ֏ 2
x - y
20．（多選題）（2024·高三·遼寧·期中）已知函數(shù) f x 的定義域?yàn)? -1,1 ， f (x) - f ( y) = f ÷ ，且
è1- xy
f 1 ÷ =1，當(dāng) x 0,1 時(shí)， f x > 0，則（2 ）è
A． f 0 = 0
B． f x 是偶函數(shù)
C．當(dāng) A，B 是銳角VABC 的內(nèi)角時(shí)， f sin A < f cos B
x 0 1 1+ x
2
> = n x 1D．當(dāng) n ，且 ， 1 =
n-1
時(shí)， f x
x 2x 2 n
= 2
n+1 n
f x f 1 21．（多選題）函數(shù) 的定義域?yàn)镽 ， ÷ 0，若 f x + y + f x f y = 4xy ，則下列選項(xiàng)正確的有
è 2
（ ）
f 1 1 A． - ÷ = 0 B． f ÷ = -2
è 2 è 2
1 1
C．函數(shù) f x + ÷是增函數(shù) D．函數(shù) f x - ÷是奇函數(shù)
è 2 è 2
22．（多選題）定義在 0, + 上的函數(shù) f x ，對(duì)"x, y > 0，均有 f xy = xf y + yf x ，當(dāng) x >1時(shí)，
f x < 0 ，令 g x f x = ，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
x
A． g 1 = 0 1 B． g x g ÷ 0
è x
C．"a > 0, g a < g a +1 D * n．"a > 0, n N , g a = ng a
23．（多選題）已知定義在 0, + 上的函數(shù) f x 滿足：對(duì)"x, y 0,+ ，都有 f xy = f x + f y ，則
對(duì)于"x, y 0,+ ， n N*，下式成立的有（ ）
A． f x + y = f x f y x B． f ÷ = f x - f y
è y
1
C n． f x = nf x D． f n x = f x n
24．（2024·山西臨汾·三模）已知函數(shù) f x 的定義域?yàn)镽 ，且 f x + y + f x - y = f x f y ， f 1 =1，
則 f 2024 = ．
25．已知函數(shù) f x 的定義域?yàn)?R，且 f x + y + f x - y = 2 f x f y ， f 0 =1，請(qǐng)寫(xiě)出滿足條件的一個(gè)
f x = （答案不唯一）．
f 0.5 f 1 f 0.5n
26．已知函數(shù) y = f

x ，x R，且 f 0 = 2 ， = 2,

= 2,L, = 2, n N*
f 0 f 0.5 f 0.5 n -1 ，則函數(shù)
y = f x 的一個(gè)解析式為 .
27．（2024·高三·江蘇揚(yáng)州·開(kāi)學(xué)考試）寫(xiě)出滿足 f x - y = f x + f y - 2xy 的函數(shù)的解析式 ．
28．（2024·高三·河南·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù) f（x）滿足：①對(duì)"m ， n > 0， f (m) + f (n) = f (mn)；②
f 1 ÷ = -1．請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合上述條件的函數(shù) f（x）＝ ．
è 2
f 0.5 f 1 f 0.5n
29．已知函數(shù) y = f x ， x R ，且 f 0 = 2 ， = 2 = 2 = 2 *f 0 ， f 0.5 ，…， f 0.5 n -1 ， n N ，
則滿足條件的函數(shù) f x 的一個(gè)解析式為 .
30．若函數(shù) f (x) 滿足"x, y R, f (xy) = f (x) f (y)，寫(xiě)出一個(gè)符合要求的解析式 f (x) = ．
31 n．同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：① f x = nf x , x > 0；② é f x1 - f x2 ù x1 - x2 > 0的函數(shù)可以為 .重難點(diǎn)突破 01 抽象函數(shù)模型歸納總結(jié)
目錄
01 方法技巧與總結(jié) ...............................................................................................................................2
02 題型歸納總結(jié) ...................................................................................................................................3
題型一：一次函數(shù)模型 ...............................................................................................................................................3
題型二：二次函數(shù)模型 ...............................................................................................................................................5
題型三：冪函數(shù)模型 ...................................................................................................................................................7
題型四：指數(shù)函數(shù)模型 ...............................................................................................................................................8
題型五：對(duì)數(shù)函數(shù)模型 .............................................................................................................................................10
題型六：正弦函數(shù)模型 .............................................................................................................................................13
題型七：余弦函數(shù)模型 .............................................................................................................................................15
題型八：正切函數(shù)模型 .............................................................................................................................................18
03 過(guò)關(guān)測(cè)試 .........................................................................................................................................19
一次函數(shù)
（1）對(duì)于正比例函數(shù) f x = kx k 0 ，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為 f x ± y = f x ± f y ．
（2）對(duì)于一次函數(shù) f x = kx + b k 0 ，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為 f x ± y = f x ± f y m b．
二次函數(shù)
（3）對(duì)于二次函數(shù) f x = ax2 + bx + c a 0 ，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為
f x + y = f x + f y + 2axy - c
冪函數(shù)
（4）對(duì)于冪函數(shù) f x = xn ，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為 f xy = f x f y ．
n x f x
（5）對(duì)于冪函數(shù) f x = x ，其抽象函數(shù)還可以是 f = ．
è y
÷
f y
指數(shù)函數(shù)
6 f x = a x（ ）對(duì)于指數(shù)函數(shù) ，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為 f x + y = f x f y ．
x f x （7）對(duì)于指數(shù)函數(shù) f x = a ，其抽象函數(shù)還可以是 f x - y = ．
f y
其中 (a > 0, a 1)
對(duì)數(shù)函數(shù)
（8）對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù) f x = loga x ，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為 f xy = f x + f y ．
x
（9）對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù) f x = loga x ，其抽象函數(shù)還可以是 f = f x - f y ．
è y
÷

（10）對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù) f x = loga x ，其抽象函數(shù)還可以是 f xn = nf x ．
其中 (a > 0, a 1)
三角函數(shù)
（11 2 2）對(duì)于正弦函數(shù) f x = sinx，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為 f x + y f x - y = f x - f y
2 2
注：此抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)于正弦平方差公式： sin a - sin b = sin a + b sin a - b
（12）對(duì)于余弦函數(shù) f x = cosx f x f y 2 f x + y f x - y ，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為 + =
è 2 ÷ è 2 ÷
注：此抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)于余弦和差化積公式： cosa + cosb 2cos a + b cos a - b=
2 2
1
（13）對(duì)于余弦函數(shù) f x = cosx，其抽象函數(shù)還可以是 f x f y = é f x + y + f x - y ù2
cos a + b + cos a - b
cos cos 注：此抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)于余弦積化和差公式： a b =
2
f x ± f y （14）對(duì)于正切函數(shù) f x = tanx，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為 f x ± y =
1m f x f y
tana ± tanb
注：此抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)于正切函數(shù)和差角公式： tan a ± b =
1m tana tanb
題型一：一次函數(shù)模型
【例 1】已知 f x + y = f x + f y -1且 f 1 = 2 ，則 f 1 + f 2 +L+ f n 不等于
n n -1 é n n +1 ù
A． f 1 + 2 f 1 +L+ nf 1 - B． f ê 2 ú + n -12
n2C + 3n． D． n n +1
2
【答案】D
【解析】Q f x + y = f x + f y -1，\ f x + y -1 = é f x -1 ù + é f y -1ù ，
構(gòu)造函數(shù) g x = f x -1，則 g x + y = g x + g y ，且 g 1 = f 1 -1 =1，
令 an = g n = f n -1，則 a1 = f 1 -1 =1，
令 x=n， y =1，得 g n +1 = g n + g 1 ，
\an+1 = an + a1 = an +1，即 an+1 - an =1，
所以，數(shù)列 an 為等差數(shù)列，且首項(xiàng)為1，公差為1，\an =1+ n -1 1 = n ，
\ f n -1 = n，則 f n = n +1 .
2
f 1 + f 2 n 2 + n +1 n n + 3+L+ f n = 2 + 3 +L+ n 1 n + 3n+ = = = ，
2 2 2
n n -1 n n +1 n n -1 n n -1
2
f 1 + 2 f 1 +L+ nf 1 f 1 - = - = n n +1 n + 3n- = ，合乎題意；
2 2 2 2 2
é n n +1 ù n n +1 2f n + 3nê ú + n -1 = +1+ n -1 = ，合乎題意；
2 2 2
故選 D.
1
【變式 1-1】已知函數(shù) f x 的定義域?yàn)镽 ，且 f ÷ 0，若 f (x + y) + f (x) f (y) = 4xy ，則下列結(jié)論錯(cuò)誤
è 2
的是（ ）
1 1A． f -
= 0 f B
2 ÷ ． ÷
= -2
è è 2

C．函數(shù) f x
1 1- ÷是偶函數(shù) D．函數(shù) f x + ÷是減函數(shù)
è 2 è 2
【答案】C
1 1 1 1
【解析】對(duì)于 A，令 x = 、 y = 0 ，則有 f ÷ + f ÷ f 0 = f ÷ é1+ f 0 ù2 è 2 è 2 è 2
= 0，
又 f
1
÷ 0，故1+ f 0 = 0，即 f 0 = -1，
è 2
1 1 1 1 1 1
令 x
1 1
= 、 y = -

，則有 f
2 2
- ÷ + f2 2 ÷
f - ÷ = 4 - ÷，
è è 2 è 2 2 è 2
f 0 f 1 1 1 1即 + ÷ f - ÷ = -1，由 f 0 = -1，可得 f2 2 2 ÷ f - ÷ = 0，è è è è 2
f 1 0 f 1 又 ÷ ，故 - 2 ÷
= 0，故 A 正確；
è 2 è
1 1 1 1
對(duì)于 C，令 y = - ，則有 f x - ÷ + f x f - ÷ = 4x - ÷，2 è 2 è 2 è 2
f 1則 x -

÷ = -2x，故函數(shù) f
x 1 -

2 ÷
是奇函數(shù)，故 C 錯(cuò)誤；
è è 2
f 1 對(duì)于 D，有 x +1- ÷ = -2 x +1 = -2x - 2，即 f
x 1 +

÷ = -2x - 2，
è 2 è 2
1
則函數(shù) f x + ÷是減函數(shù)，故 D 正確；
è 2
對(duì)于 B，由 f
x 1- ÷ = -2x
1
，令 x =1，有 f ÷ = -2 1 = -2，故 B 正確.
è 2 è 2
故選：C
【變式 1-2】（2024·河南新鄉(xiāng)·一模）已知定義在R 上的函數(shù) f x 滿足"x, y R，
f 2xy -1 = f x × f y + f y + 2x - 3， f 0 = -1 x，則不等式 f x > 3 - 2 的解集為（ ）
A． 1, + B． -1, + C． - ,1 D． - , -1
【答案】A
【解析】令 x = y = 0 ，得 f (-1) = f (0) × f (0) + f (0) - 3 = -3 .
令 y = 0 ，得 f (-1) = f (x) f (0) + f (0) + 2x -3，解得 f (x) = 2x -1，
則不等式 f (x) > 3 - 2x 轉(zhuǎn)化為 2x + 2x - 4 > 0，
因?yàn)?y = 2x + 2x - 4是增函數(shù)，且 2 1+ 21 - 4 = 0，
所以不等式 f (x) > 3 - 2x 的解集為 (1, + ) .
故選：A
【變式 1-3】已知定義在R 上的單調(diào)函數(shù) f x ，其值域也是R ，并且對(duì)于任意的 x, y R ，都有
f xf y = xy ，則 f 2022 等于（ ）
A．0 B．1 C． 20222 D． 2022
【答案】D
【解析】由于 f x 在R 上單調(diào)，且值域?yàn)镽 ，則必存在 y0 R ，使得 f y0 =1，
令 y = y0 得， f xf y0 = xy0，即 f x = y0x ，
于是"x, y R， f xf y = f xy0 y = y0 xy0 y = y20 xy = xy ，則 y0 = ±1，
從而 f x = ±x，有 f 2022 = 2022 .
故選：D
題型二：二次函數(shù)模型
【例 2】（2024·高三·河北保定·期末）已知函數(shù) f (x) 滿足："x， y Z，
f (x + y) = f (x) + f ( y) + 2xy +1 *成立，且 f (-2) =1，則 f 2n n N =（ ）
A． 4n + 6 B．8n -1 C． 4n2 + 2n -1 D．8n2 + 2n - 5
【答案】C
【解析】令 x = y = 0 ，則 f 0 = f 0 + f 0 +1，所以 f 0 = -1，
令 x = y = -1，則 f -2 = f -1 + f -1 + 2 +1 = 2 f -1 + 3 =1，
所以 f -1 = -1，
令 x = 1, y = -1，則 f 0 = f 1 + f -1 - 2 +1 = f 1 - 2 = -1，所以 f 1 =1，
令 x = n, y =1, n N*，則 f n +1 = f n + f 1 + 2n +1 = f n + 2n + 2，
所以 f n +1 - f n = 2n + 2，
則當(dāng) n 2時(shí)， f n - f n -1 = 2n，
則 f n = f n - f n -1 + f n -1 - f n - 2 +L+ f 2 - f 1 + f 1
2n + 4 n -1= 2n + 2n - 2 +L+ 4 +1 = +1 = n2 + n -1，
2
當(dāng) n = 1時(shí)，上式也成立，
f n = n2 *所以 + n -1 n N ，
2
所以 f 2n = 4n + 2n -1 n N* .
故選：C.
【變式 2-1】（2024·山東濟(jì)南·三模）已知函數(shù) f x 的定義域?yàn)?R，且 yf x - xf y = xy x - y ，則下
列結(jié)論一定成立的是（ ）
A． f 1 =1 B． f x 為偶函數(shù)
C． f x 有最小值 D． f x 在 0,1 上單調(diào)遞增
【答案】C
【解析】由于函數(shù) f x 的定義域?yàn)?R，且 yf x - xf y = xy x - y ，
令 y =1，則 f x - xf 1 = x x -1 ，得 f x = x2 + é f 1 -1ù x ，
x =1時(shí)， f 1 =12 + é f 1 -1 ù 恒成立，無(wú)法確定 f 1 =1，A 不一定成立；
由于 f 1 =1 2不一定成立，故 f x = x + é f 1 -1ù x 不一定為偶函數(shù)，B 不確定；
f x = x2由于 + é f 1 -1ù
1
x 的對(duì)稱軸為 x = - × é f 1 -1ù 與 0,1 的位置關(guān)系不確定，2
故 f x 在 0,1 上不一定單調(diào)遞增，D 也不確定，
由于 f x = x2 + é f 1 -1ù x 表示開(kāi)口向上的拋物線，故函數(shù) f x 必有最小值，C 正確，
故選：C
【變式 2-2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)镽 ，且滿足
f (x) + f ( y) = f (x + y) - 2xy + 2, f (1) = 2，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． f (4) = 12 B．方程 f (x) = x 有解
f x 1 f x 1C． +

÷是偶函數(shù) D． - ÷是偶函數(shù)
è 2 è 2
【答案】C
【解析】對(duì)于 A，因?yàn)楹瘮?shù) f (x) 的定義域?yàn)镽 ，且滿足 f (x) + f ( y) = f (x + y) - 2xy + 2, f (1) = 2，
取 x = y =1，得 f (1) + f (1) = f (2) - 2 + 2，則 f (2) = 4 ，
取 x = y = 2，得 f (2) + f (2) = f (4) -8 + 2，則 f (4) =14，故A 錯(cuò)誤；
對(duì)于 B，取 y =1，得 f (x) + f (1) = f (x +1) - 2x + 2，則 f (x +1) - f (x) = 2x，
所以 f (x) - f (x -1) = 2(x -1), f (x -1) - f (x - 2) = 2(x - 2),L, f (2) - f (1) = 2，
2(x -1) + 2 × (x -1)
以上各式相加得 f (x) f (1) - = = x2 - x ，
2
所以 f (x) = x2 - x + 2，
令 f (x) = x2 - x + 2 = x，得 x2 - 2x + 2 = 0，此方程無(wú)解，故 B 錯(cuò)誤.
對(duì)于 CD，由B知 f (x) = x2 - x + 2，
f x 1
2
+ =
1
所以 ÷ x +

÷ - x
1
+ + 2 7= x2 + 是偶函數(shù)，
è 2 ÷ è 2 è 2 4
f x 1
2
-
1 1
= x - - x - 2
11
÷ ÷ ÷ + 2 = x - 2x + 不是偶函數(shù)，故 C 正確，D 錯(cuò)誤.
è 2 è 2 è 2 4
故選：C.
【變式 2-3】（2024·河南·三模）已知函數(shù) f x 滿足： f 1 ≥3，且"x, y R，
9
f x + y = f x + f y + 6xy ，則 f i 的最小值是（ ）
i=1
A．135 B．395 C．855 D．990
【答案】C
【解析】由 f x + y = f x + f y + 6xy ，得 f x + y - 3 x + y 2 = f x - 3x2 + f y - 3y2 ，令
g x = f x - 3x2，得 g x + y = g x + g y ，
令 x = n, y =1，得 g n +1 - g n = g 1 ，
故 g n = ég n - g n -1 + g n -1 - g n - 2 + ×××+ g 2 - g 1 ù + g 1 = ng 1 ，又 g n = f n - 3n2，
f n = g n + 3n2所以 = 3n2 + é f 1 - 3ù n，
9 9 9 9
f i = 3 i2所以 + é f 1 - 3ù i = 855 + 45 é f 1 - 3 ù ，因?yàn)?f 1 ≥3，當(dāng) f 1 = 3時(shí)， f i 的最小值
i=1 i=1 i=1 i=1
為 855．
故選：C．
題型三：冪函數(shù)模型
【例 3】已知函數(shù) f x 的定義域?yàn)? - ,0 U 0, + ，且 xf x = y +1 f y +1 ，則（ ）
A． f x 0 B． f 1 =1 C． f x 是偶函數(shù) D． f x 沒(méi)有極值點(diǎn)
【答案】D
【解析】令 g x = xf x ，則 g y +1 = y +1 f y +1 ，
所以 g x = g y +1 ，且 x, y +1為定義域內(nèi)任意值，故 g x 為常函數(shù).
令 g x = k ，則 f x k= ，為奇函數(shù)且沒(méi)有極值點(diǎn)，C 錯(cuò)，D 對(duì)；
x
所以 f x 0不恒成立， f 1 =1不一定成立，A、B 錯(cuò).
故選：D
【變式 3-1】（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在 - ,0 U 0, + 上的函數(shù) f x 滿足
f xy f -x f -y 1= + + ，則（ ）
y x xy
A． f x 是奇函數(shù)且在 0, + 上單調(diào)遞減
B． f x 是奇函數(shù)且在 - ,0 上單調(diào)遞增
C． f x 是偶函數(shù)且在 0, + 上單調(diào)遞減
D． f x 是偶函數(shù)且在 - ,0 上單調(diào)遞增
【答案】A
【解析】令 x = y = -1，則 f 1 = -2 f 1 +1 1，所以 f 1 = ，
3
令 x = y =1，則 f 1 = 2 f -1 +1，所以 f -1 1= - ，
3
y = -1 f 1令 ，則 f -x = - f x 1- + - = - f 1 1-x + - = - f -x 2- ，
x x 3x x 3x
1
所以 f -x = - ，
3x
y =1 f f -1x f x 1 1 1 1 1 1令 ，則 = - + + = - - + = ，所以 f x = ，
x x 3x 3x x 3x 3x
因?yàn)?f -x 1= - = - f x ，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù) f x 是奇函數(shù)，
3x
1
由反比例函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù) f x = 在 0, + 上單調(diào)遞減.
3x
故選：A.
題型四：指數(shù)函數(shù)模型
【例 4】（多選題）（2024·山西晉中·三模）已知函數(shù) f x 的定義域?yàn)镽 ，滿足
f x + y = f x f y + f x + f y ，且 f 0 -1， f 1 > -1，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A． f 0 = 0 B． f x 為非奇非偶函數(shù)
C．若 f 1 =1，則 f 4 =15 D． f x > -1對(duì)任意 x N* 恒成立
【答案】ACD
【解析】我們有恒等式： f x + y +1 = f x f y + f x + f y +1 = f x +1 f y +1 .
對(duì)于 A，由恒等式可得 f 0 +1 = f 0 +1 f 0 +1 ，而 f 0 -1，故 f 0 +1 0，所以1 = f 0 +1，即
f 0 = 0，故 A 正確；
對(duì)于 B，由于 f x = 0滿足條件且是偶函數(shù)，所以 f x 有可能是偶函數(shù)，故 B 錯(cuò)誤；
對(duì)于 C，由恒等式可得 f x +1 +1 = f x +1 f 1 +1 ，故
f 4 +1 = f 3 +1 f 1 +1 = f 2 +1 f 1 +1 2 = f 41 +1 .
若 f 1 =1，則 f 4 4= f 1 +1 -1 = 24 -1 =15，故 C 正確；
對(duì)于 D，由恒等式可得 f x +1 +1 = f x +1 f 1 +1 .
而 f 1 +1 > 0，故 f x +1 +1和 f x +1同號(hào)（同為正數(shù)，或同為負(fù)數(shù)，或同為 0），
從而再由 f 1 +1 > 0可知 f x +1 > 0 x N* ，即 f x > -1 x N* ，故 D 正確.
故選：ACD.
【變式 4-1】已知函數(shù) f x 滿足， f p + q = f p × f q , f 1 = 3，則
f 2 1 + f 2 f 2 2 + f 4 f 2 3 + f 6 f 2 4 + f 8 f 2 5 + f 10
+ + + +
f 1 f 3 f 5 f 7 f 9 的值為（ ）
A．15 B．30 C．60 D．75
【答案】B
【解析】Q f p + q = f p × f q ,\ f n +1 = f n × f 1 ,Q f 1 = 3\ f n +1 = 3 f n
\ f n = 3 3n-1 = 3n
f 2 1 + f 2 f 2 2 + f 4 f 2 3 + f 6 f 2 4 + f 8 f 2 5 + f 10
因此 + + + +
f 1 f 3 f 5 f 7 f 9
32 + 32 34 + 34 6= 3 + 3
6 38 + 38 310 + 310
+ 3 + 5 + 7 +3 3 3 3 39
=6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30
故選：B
f 2 f 4 f 6
【變式 4-2】如果 f a + b = f a f b 且 f 1 = 2 ，則 + + =f 1 f 3 f 5 （ ）
12 37
A． B． C．6 D．8
5 5
【答案】C
【解析】Q f 1 = 2， f a + b = f a f b ，
\ f 2 = f 1 f 1 ， f 4 = f 3 f 1 ， f 6 = f 5 f 1 ，
f 2 f 1 f 4 f 6\ = ， = f 1

f 1 f 3 ，
= f 1
f 5 ，
f 2 f 4 f 6
\ + + = 3 f

1 = 6
f 1 f 3 f 5 ，
故選：C．
【變式 4-3】已知函數(shù) f x 對(duì)一切實(shí)數(shù) a,b滿足 f a + b = f a × f b ，且 f 1 = 2 ，若
é f n 2ù + f 2n
an =
n N* ，則數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為（ ）f 2n -1
A．n B． 2n C． 4n D．8n
【答案】C
【解析】∵函數(shù) f x 對(duì)一切實(shí)數(shù) a,b滿足 f a + b = f a × f b ，且 f 1 = 2
∴ f n +1 = f n × f 1 =2 f n
∴數(shù)列 f n 是等比數(shù)列，首項(xiàng)為 2，公比為 2
∴ f n = 2n，n N*
é f n
2
2n 2n
所以 a =
ù + f 2n 2 + 2
n = = 4f 2n -1 22n-1
所以數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為 4n．
故選：C．
題型五：對(duì)數(shù)函數(shù)模型
【例 5】（多選題）已知函數(shù) f x 的定義域?yàn)镽 ， f xy = y2 f x + x2 f y ，則（ ）．
A． f 0 = 0 B． f 1 = 0
C． f x 是偶函數(shù) D． x = 0為 f x 的極小值點(diǎn)
【答案】ABC
【解析】方法一：
因?yàn)?f (xy) = y2 f (x) + x2 f (y) ，
對(duì)于 A，令 x = y = 0 ， f (0) = 0 f (0) + 0 f (0) = 0，故A 正確.
對(duì)于 B，令 x = y =1， f (1) =1 f (1) +1 f (1)，則 f (1) = 0，故 B 正確.
對(duì)于 C，令 x = y = -1， f (1) = f (-1) + f (-1) = 2 f (-1) ，則 f (-1) = 0，
令 y = -1, f (-x) = f (x) + x2 f (-1) = f (x)，
又函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)镽 ，所以 f (x) 為偶函數(shù)，故C 正確，
對(duì)于 D，不妨令 f (x) = 0 ，顯然符合題設(shè)條件，此時(shí) f (x) 無(wú)極值，故D 錯(cuò)誤.
方法二：
因?yàn)?f (xy) = y2 f (x) + x2 f (y) ，
對(duì)于 A，令 x = y = 0 ， f (0) = 0 f (0) + 0 f (0) = 0，故A 正確.
對(duì)于 B，令 x = y =1， f (1) =1 f (1) +1 f (1)，則 f (1) = 0，故 B 正確.
對(duì)于 C，令 x = y = -1， f (1) = f (-1) + f (-1) = 2 f (-1) ，則 f (-1) = 0，
令 y = -1, f (-x) = f (x) + x2 f (-1) = f (x)，
又函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)镽 ，所以 f (x) 為偶函數(shù)，故C 正確，
2 2 f (xy) f (x) f (y)對(duì)于 D，當(dāng) x y 0時(shí)，對(duì) f (xy) = y2 f (x) + x2 f (y) 兩邊同時(shí)除以 x2 y2 ，得到 x2
=
y2 x2
+
y2 ，
f (x) ìx2 ln x , x 0
故可以設(shè) 2 = ln x (x 0)，則 f (x) = í ，x 0, x = 0
1
當(dāng) x > 0肘， f (x) = x2 ln x ，則 f x = 2x ln x + x2 × = x(2 ln x +1) ，
x
令 f x < 0 1，得 - - 10 < x < e 2 ；令 f x > 0，得 x > e 2 ；
1- 1-
故 f (x) 在 0,e 2 ÷上單調(diào)遞減，在 e 2 , + ÷上單調(diào)遞增，
è è
1 1- -
因?yàn)?f (x) 為偶函數(shù)，所以 f (x) 在 -e 2 ,0÷上單調(diào)遞增，在 - , e 2 ÷上單調(diào)遞減，
è è
顯然，此時(shí) x = 0是 f (x) 的極大值，故 D 錯(cuò)誤.
故選：ABC .
【變式 5-1】已知定義在 0, + 上的函數(shù) f x ，滿足 f xy 1+1 = f x + f y 11，且 f 2 ÷ = 0，則 f 2 =è
（ ）
A．1 B．11 C．12 D．-1
【答案】C
【解析】令 x = y =1，則 f 1 +1 = f 1 + f 1 ，解得 f 1 =1，
令 x = 2, y
1
= ，則 f 1 +1 1= f 2 + f
2 ÷
，解得 f 2 = 2，
è 2
令 x = y = 2 2，則 f 2 +1 = f 2 + f 2 ，解得 f 22 = 3，
x = 22 , y = 2 f 23令 ，則 +1 = f 22 + f 2 3，解得 f 2 = 4，
，
依次類推可得 f 211 =12。
故選：C
【變式 5-2】（2024·四川涼山·三模）已知 f x 為定義在 R 上且不恒為零的函數(shù)，若對(duì)"x, y R，都有
f xy = xf y + yf x 成立，則下列說(shuō)法中正確的有（ ）個(gè)．
① f 0 = f 1 = 0；
②若當(dāng) x >1時(shí)， f x > 0 f x，則函數(shù) g x = 在 0, + 單調(diào)遞增；
x
n
③對(duì)"n N* ， f x = nxn-1 f x ；
1 1 n f 2if ④若 ÷ = - ，則2 2 = 2
n - 2 .
è i=1 i
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】令 x = y = 0 有 f 0 = 0，令 x = y =1有 f 1 = 0 . 所以①正確.
f xy xf y + yf x f x f y0 < x1 < x

2 ，因?yàn)?g x
f x
= ，所以 g xy = = = + = g x + g y ，
x xy xy x y
g x g x x x所以 2 = × 21 ÷ = g x1 + g
x 2
x
2
x ÷
，又因?yàn)?>1x ，且當(dāng) x >1時(shí)，
f x > 0，
è 1 è 1 1

f x 2 x ÷
所以 g x - g x = g x2 = è 1 2 1 ÷ > 0 . 所以②正確.
è x x1 2
x1
當(dāng) x = 0時(shí)由①可得③成立；
當(dāng) x 0 ② g xn = g x + g xn-1 n n-1時(shí)，由 得 ，所以 g x = g x - g x ，
所以 g x = g xn - g xn-1 = g xn-1 - g xn-2 = …… = g x2 - g x ，
n f xn f x n
累加得 g x = g x + n -1 g x = ng x ，即 = n ，所以 f x = nxn-1 f x ，所以③正確．
xn x
1 y 2 1 f 2 2 f 1 f 1 0 f 1 1令 x = ， = ，由①得 + ÷ = = ，又因?yàn)? ÷ = - ，所以 f 2 = 2，2 2 è 2 è 2 2
f xn③ f 2
n
由 得 = xn-1 f x ，所以 = 2n-1 f 2 = 2n，
n n
f 2ii=1 i=1 n+1 所以 = 2i = 2 + 22 2 - 2+ 23 + ......+ 2n = = 2n+1 - 2，所以④錯(cuò)誤．
n i n 1- 2
故選：C
【變式 5-3】（2024·山西·一模）已知函數(shù) f x 是定義在 x∣x 0 上不恒為零的函數(shù)，若
f x f y
f xy = 2 + 2 ，則（ ）y x
A． f 1 =1 B． f -1 =1
C． f x 為偶函數(shù) D． f x 為奇函數(shù)
【答案】C
【解析】令 x = y =1，則 f 1 = 2 f 1 ，故 f 1 = 0，A 選項(xiàng)錯(cuò)誤；
令 x = y = -1，則 f 1 = 2 f -1 ，故 f -1 = 0，B 選項(xiàng)錯(cuò)誤；
令 y = -1
f -1
，則 f -x = f x + 2 = f x ，故 f x 為偶函數(shù)，C 選項(xiàng)正確；x
因?yàn)?f x 為偶函數(shù)，又函數(shù) f x 是定義在 x∣x 0 上不恒為零的函數(shù)，D 選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：C
題型六：正弦函數(shù)模型
【例 6】（多選題）（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?R，且
f (x + y) f (x - y) = f 2 (x) - f 2 (y), f (1) = 2, f (2) = 0 ，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
2024
A． f (x) 為偶函數(shù) B． f (3) = -2 C． f (-1) = f (5) D． f (k) = -2
k =2
【答案】BD
2
【解析】令 x = y = 0 ，則 f 0 = 0 f 0 = 0 .
另令 x = 0，則 f y f -y = - f 2 y ，由 f 1 = 2 ，所以 f y 0 不成立，
所以 f -y = - f y ，所以函數(shù) f x 為奇函數(shù)，故 A 錯(cuò)誤；
令 x = 2， y =1，則 f 3 f 1 = f 2 2 - f 2 1 f 3 = -2 ，故 B 正確；
令 x = 3， y = 2，則 f 5 f 1 = f 2 3 - f 2 2 f 5 = 2，
又 f -1 = - f 1 = -2，所以 f -1 = - f 5 ，故 C 錯(cuò)；
y = 2 f x + 2 f x - 2 = f 2 x - f 2 2 = f 2令 得 x .且 f 1 = 2 ， f 3 = -2 ， f 5 = 2 .
所以 f 7 f 3 = f 2 5 f 7 = -2 f 9 f 5 = f 2； 7 f 9 = 2； f 11 f 7 = f 2 9 f 11 = -2
L
所以 f 2k +1 = -1 k 2，又 f 0 = 0， f 2 = 2，
所以 f 6 f 2 = f 2 4 f 4 = 0 ； f 8 f 4 = f 2 6 f 6 = 0 L
所以 f 2k = 0；
所以 f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = f 5 + f 6 + f 7 + f 8 = L =
f 4k +1 + f 4k + 2 + f 4k + 3 + f 4k + 4 = 0
2024 2024
所以 f k = f k - f 1 = 0 - f 1 = -2，故 D 正確.
k =2 k =1
故選：BD
【變式 6-1】（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f x 的定義域?yàn)镽 ，且
f (x + y) f (x - y) = f 2 (x) - f 2 (y), f (1) =1, f (2) = 0，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
2023
A． f (x) 為偶函數(shù) B． f (3) = -1 C． f (-1) = - f (5) D． f (k) =1
k =1
【答案】BC
【解析】方法一：先介紹正弦平方差公式： sin2 A - sin2 B = sin(A + B)sin(A - B)．
證明過(guò)程如下：
sin2 A - sin2 B = (sin A + sin B)(sin A - sin B)
A + B A - B A + B A - B = sin + ÷ + sin - ÷÷ × sin
A + B A - B+ - sin A + B A - B-
è è 2 2
÷ ÷÷
è 2 2 è è 2 2 è 2 2
= 2sin
A + B cos A - B ÷ 2sin
A - B cos A + B
2 2 ÷è è 2 2
= 2sin
A + B cos A + B 2sin A - B cos A - B
è 2 2 ÷ è 2 2 ÷
= sin(A+ B)sin(A- B)．
π π
由題意，可以令 f (x) = sin x ，因?yàn)?f (x) = sin x 為奇函數(shù)，故選項(xiàng) A 錯(cuò)誤．
2 2
因?yàn)?f (3) = -1，故選項(xiàng) B 正確．
因?yàn)?f (-1) = -1 = - f (5)，故選項(xiàng) C 正確．
2023
因?yàn)門(mén) = 4,2023 4 = 505LL3，故 f (k) = f (1) + f (2) + f (3) = 0，故選項(xiàng) D 錯(cuò)誤．
k =1
方法二：對(duì)于選項(xiàng) A，因?yàn)?f (x) 的定義域?yàn)镽 ，
令 x = y = 0 ，則 f (0) f (0) = f 2 (0) - f 2 (0)，故 f 2(0) = 0 ，則 f (0) = 0，
令 x = 0，則 f (y) f (-y) = f 2 (0) - f 2 (y) ，
又 f (y) 不恒為 0，故 f (-y) = - f (y)，
所以 f (x) 為奇函數(shù)，故 A 錯(cuò)誤．
對(duì)于選項(xiàng) B，令 x = 2, y =1，則 f (3) f (1) = f 2 (2) - f 2 (1)．
而 f (1) =1, f (2) = 0，所以 f (3) = -1，故選項(xiàng) B 正確．
對(duì)于選項(xiàng) C，由選項(xiàng) B 可知， f (3) = -1，
令 x = 3, y = 2，則 f (5) f (1) = f 2 (3) - f 2 (2) ，所以 f (5) =1．
又因?yàn)?f (x) 為奇函數(shù)，所以 f (-1) = - f (1) = -1，故 C 正確．
對(duì)于選項(xiàng) D，由選項(xiàng) B 以及 f (x + 2) f (x - 2) = f 2 (x)，可得 f (7) = -1, f (9) =1, f (11) = -1，
所以 f (2k +1) = (-1)k ，同理可得 f (2k) = 0．
2023
因?yàn)?2023 4 = 505LL3，故 f (k) = f (1) + f (2) + f (3) = 0，故 D 錯(cuò)誤．
k =1
故選：BC
題型七：余弦函數(shù)模型
【例 7】（多選題）已知定義域?yàn)镽 的函數(shù) f x 滿足 f (x + y) = f (x) × f (y) - f (2 - x) f (2 - y) ，且
f 0 0, f -2 = 0，則（ ）
A． f 2 =1
B． f x 是偶函數(shù)
C．[ f (x)]2 + [ f (2 + x)]2 =1
D． f 1 + f 2 + f 3 +L+ f 2024 =1
【答案】BC
【解析】A. f x + y = f x × f y - f 2 - x × f 2 - y ，
令 x = 0, y = 2，則 f 2 = f 0 × f 2 - f 2 × f 0 = 0 ，故 A 錯(cuò)誤；
令 x = y = 0 ，則 f 0 = f 0 × f 0 - f 2 × f 2 = f 0 × f 0 ，又 f 0 0 ，所以 f 0 =1，
令 y = 2，則 f x + 2 = f x × f 2 - f 2 - x × f 0 = - f 2 - x ，
所以函數(shù) f x 關(guān)于 2,0 對(duì)稱，
令 x = y = 2，則 f 4 = f 2 × f 2 - f 0 × f 0 = -1，
令 y = 4 ，且 f -2 = 0，則 f x + 4 = f x × f 4 - f 2 - x × f -2 = - f x = - f -x ，所以 f x =f -x ，
又函數(shù) f x 的定義域R ，所以函數(shù) f x 為偶函數(shù)，故 B 正確；
令 y = -x，則 f 0 = f x × f -x - f 2 - x × f 2 + x ，
又 f 0 =1, f x = f -x , f x + 2 = - f 2 - x 2，所以 é f x ] + é f 2 + x ]2 =1，故 C 正確；
因?yàn)?f x + 4 = - f x ，所以 f x + 8 = - f x + 4 = f x ，所以函數(shù) f x 的一個(gè)周期為 8，
令 x = 2, y =1，則 f 3 = f 2 × f 1 - f 0 × f 1 = - f 1 ，所以 f 3 + f 1 = 0，
所以 f -3 + f -1 = 0，所以 f 5 + f 7 = f -3 + f -1 = 0，
f 6 = f -2 = f 2 = 0, f 8 = f 0 =1，
所以 f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 + f 6 + f 7 + f 8
= é f 1 + f 3 + f 5 + f 7 ù + f 2 + f 4 + f 6 + f 8 = 0 + 0 + 0 -1+ 0 +1 = 0，
所以 f 1 + f 2 + f 3 +L+ f 2024 = 253 é f 1 + f 2 + f 3 +L+ f 8 ù = 0，故 D 錯(cuò)誤.
故選：BC
【變式 7-1】（多選題）（2024·遼寧·二模）已知定義城為 R 的函數(shù) f x ．滿足
f x + y = f x f y - f 1- x f 1- y ，且 f 0 0 ， f -1 = 0，則（ ）
A． f 1 = 0 B． f x 是偶函數(shù)
2024
2 2
C． é f x ù + é f 1+ x ù = 1 D． f i = -1
i
【答案】ABC
【解析】對(duì)于 A 項(xiàng)，由 f x + y = f x f y - f 1- x f 1- y ，
1 2 2x = y = f 1 é 1 ù é 1 ù令 ，則 =2 ê f ÷ú - ê f ÷ú = 0，故 A 項(xiàng)正確； è 2 è 2
對(duì)于 B 項(xiàng)，令 x = y = 0
2 2 2
，則 f 0 = é f 0 ù - é f 1 ù = é f 0 ù ，
因 f 0 0 ，故 f 0 =1，
令 y =1，則 f x +1 = f x f 1 - f 1- x f 0 = - f 1- x ①，
所以函數(shù) f x 關(guān)于點(diǎn) 1,0 成中心對(duì)稱，
令 x = y =1，則 f 2 2 2= é f 1 ù - é f 0 ù = -1，
令 y = 2，則 f x + 2 = f x f 2 - f 1- x f -1 = - f x ②，
由①可得： f x + 2 = - f -x ③，由②③可知： f -x = f x ，
且函數(shù) f x 的定義域?yàn)镽 ，則函數(shù) f x 是偶函數(shù)，故 B 項(xiàng)正確；
對(duì)于 C 項(xiàng)，令 y = -x，則 f 0 = f x f -x - f 1- x f 1+ x ，
因?yàn)?f 0 =1， f -x = f x ， f x +1 = - f 1- x ，代入上式中得，
2
故得： é f x ù + é f 1+ x
2
ù =1，故 C 項(xiàng)正確；
對(duì)于 D 項(xiàng)，由上可知： f x + 2 = - f x ，則 f x + 4 = - f x + 2 = f x ，
故函數(shù) f x 的一個(gè)周期為 4，故 f 4 = f 0 =1，
令 x = 2, y =1，則 f 3 = f 2 f 1 - f -1 f 0 = 0，
所以 f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = 0 + -1 + 0 +1 = 0，
2024
則 f (i) = 254 0 = 0，故 D 項(xiàng)錯(cuò)誤．
i=1
故選：ABC．
【變式 7-2】（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)镽 ，且 f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)，
2024
f (0) =1， f (3x +1) = - f (-3x +1) ，則 f (k) = （ ）
k =0
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】D
【解析】由題意知函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)镽 ，且 f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)， f (0) =1，
令 x = 0，則 f (y) + f (-y) = 2 f (y)，即 f (-y) = f (y)，故 f (x) 為偶函數(shù)；
又 f (3x +1) = - f (-3x +1) ，令 x = 0，則 f (1) = - f (1),\ f (1) = 0，
又由 f (3x +1) = - f (-3x +1) ，得 f (x +1) + f (-x +1) = 0，
即 f (x) 的圖象關(guān)于點(diǎn) (1,0)成中心對(duì)稱，則 f (2) = - f (0) = -1；
f (x +1) + f (-x +1) = 0，即 f (x + 2) = - f (-x)，又結(jié)合 f (x) 為偶函數(shù)，
則 f (x + 2) = - f (x) ，故 f (x + 4) = - f (x + 2) = f (x) ，即 4 為 f (x) 的周期，
故 f (3) = f (-1) = f (1) = 0， f (4) = f (0) = 1
2024
故 f (k) = f (0) + [ f (1) + f (2) +L+ f (2024)] =1+ 506[ f (1) + f (2) + f (3) + f (4)]
k =0
=1+ 506[0 -1+ 0 +1] =1，
故選：D
【變式 7-3】（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）若定義在R 上的函數(shù) f x ，滿足
2 f x + y f x - y = f 2x + f 2y ，且 f 1 = -1，則 f 0 + f 1 + f 2 + ×××+ f 2024 = （ ）
A．0 B．-1 C．2 D．1
【答案】D
x y 1【解析】令 = = ，則有 2 f 1 f 0 = f 1 + f 1 ，
2
又 f 1 = -1，∴ f 0 =1 1.令 x = ， y = 0 .
2
2 f 1 f 1 1 則有 2 ÷ 2 ÷
= f 1 + f 0 = -1+1 = 0，∴ f ÷ = 0 .
è è è 2
令 y = x
1
- ，則有 2 f 2x
1
- f 1 ÷ ÷ = f 2x + f 2x -1 .2 è 2 è 2
∵ f
1
÷ = 0，∴ f 2x + f 2x -1 = 0，∴ f x + f x -1 = 0，
è 2
∴ f 0 + f 1 + f 2 + ××× + f 2024
= f 0 + é f 1 + f 2 ù + ××× + é f 2023 + f 2024 ù =1+1012 0 =1 .
故選：D.
題型八：正切函數(shù)模型
【例 8】定義在 -1,1 上的函數(shù) f x 滿足： f x - f y x - y = f ÷，當(dāng) x -1,0 時(shí)，有 f x > 0，且
è1- xy
f 1 m f 1- = 1 = + f 1 1 * 2 ÷ ．設(shè) ÷ ÷ +L+ f 2 ÷ , n 2, n N ，則實(shí)數(shù)
m與-1的大小關(guān)系為（
5 11 n n 1 ）è è è è + -
A．m < -1 B．m = -1 C．m > -1 D．不確定
【答案】C
x - y
【解析】Q 函數(shù) f x 滿足 f x - f y = f ÷，令 x = y = 0 得 f 0 = 0 ；
è1- xy
令 x = 0 得- f y = f -y ,
\ f x 在 -1,1 為奇函數(shù)，
又 x -1,0 時(shí)，有 f x > 0，所以 x 0,1 時(shí)，有 f x < 0 ，
x - x
設(shè) -1 < x1 < x2 < 1 x
2 1
，所以 1x2 <1，x2 - x1>0，所以 >01- x ，2x1

則 f x x- f x = f 2
- x1
2 1 ÷ < 0，所以 f x2 - f x1 < 0，即 f x1- x x 2 < f x1 ，è 2 1
\ f x 在 -1,1 是單調(diào)減函數(shù)，在 0,1 時(shí)， f x < 0 ，
1 1
f 1 1, f 1
-
f n n +1
÷
f 1 f 1 又 = - \ =2 ÷ n2 + n -1÷ 1 1 ÷
= ÷ - ，
è è 1- ÷ è n è n +1
÷

è n n +1
1
\m = f ÷ + f
1 + ... f 1+ ÷ ÷
è 5 è11 è n2 + n -1
= é 1 1 ù éê ÷ - ÷ú + ê f
1 f 1 ù é 1 1 ù ÷ - ÷ú + ...+ f
- f ÷ ÷
è 2 è 3
ê ú
è 3 è 4 è n è n +1
f 1 f 1 1 f 1= ÷ - ÷ = - -2 n +1 ÷
> -1，即m > -1 ，
è è è n +1
故選：C.
【變式 8-1】（2024·浙江·二模）已知函數(shù) f x 滿足對(duì)任意的 x, y 1,+ 且 x < y 都有
f x - y f 1 f 1 1 ÷ = ÷ - ÷，若 an = f

÷， n N*2 ，則 a1 + a1- xy x y n + 5n + 5 2
+ a3 +L+ a2024 =（ ）
è è è è
f 253 253 A． ÷ B． f ÷ C． f
253 f 253 D．
è 385 è 380 765 ÷ è è 760 ÷
【答案】D
x - y 1 1
【解析】∵函數(shù) f x 滿足對(duì)任意的 x, y 1, + 且 x < y 都有 f = f - f
è1- xy
÷ ÷ ÷
è x è y
x - y n + 2 - n + 3 1
∴令 x = n + 2, y = n + 3，則 = =1- xy 1- n + 2 n ，+ 3 n2 + 5n + 5
a f 1 1 1= = f - f ∴ n
è n2 + 5n + 5 ÷ n + 2 ÷ ÷ è è n + 3
a a a L a f 1 1 1+ + + + = 1 1 1 ∴ 1 2 3 2024 - f + f - f +L+ f - f
è 3 ÷ 4 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ è è 4 è 5 è 2026 è 2027
f 1 f 1 f 3- 2027 f 253= - = = 3 ÷ ÷
.
è è 2027 è1- 3 2027 ÷ è 760 ÷
故選：D
1
1．已知函數(shù) f (x)

對(duì)于一切實(shí)數(shù) x, y 均有 f (x + y) - f (y) = x(x + 2y +1) 成立，且 f (1) = 0，則當(dāng) x 0, 2 ÷時(shí)，è
不等式 f (x) + 2 < loga x 恒成立，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是（ ）．
3 4 é 3 3 4 é 3 4
A． ,1÷÷ (1,+ )
4
4 B． ê
,1 (1,+ )
4 ÷÷ C． è
,1
4 ÷÷
D． ê ,1÷
è ÷ 4
【答案】D
【解析】∵函數(shù) f (x) 對(duì)于一切實(shí)數(shù) x, y 均有 f (x + y) - f (y) = x(x + 2y +1) 成立，
∴令 x =1, y = 0得， f (1) - f (0) = 2 ，又 f (1) = 0，
∴ f (0) = -2，
∴令 y = 0 得， f (x) - f (0) = x(x +1)，即 f (x) = x2 + x - 2，
當(dāng) x

0,
1
時(shí)，不等式 f (x) + 2 < log x 恒成立，
è 2 ÷ a
x 1∴當(dāng)
2
0, ÷時(shí)， x + x < log
è 2 a
x恒成立，
g x x2 x x 0, 1 1令 = + ， ÷，則 g x = x2 + x 0, 在2 ÷上單調(diào)遞增，è è 2
∴ g x 3 0, ÷，
è 4
x 0, 1 2∴要使當(dāng) ÷時(shí)， x + x < loga x恒成立，è 2
3 1
則 loga x 在4
0, ÷上恒成立，
è 2
當(dāng) a > 1時(shí)， loga x < 0，不成立，
1 3 3
當(dāng) 0 < a < 1時(shí)，則有 loga
4
，所以
2 4 a <1
.
4
故選：D.
2．設(shè)函數(shù) f：R→R 滿足 f(0)＝1，且對(duì)任意 x, y R ，都有 f xy +1 = f x f y - f y - x + 2，則
f 2017 ＝（ ）
A．0 B．2018 C．2 017 D．1
【答案】B
【解析】Q f xy +1 = f x f y - f y - x + 2，
令 x = y = 0 ，得 f 1 =1-1- 0 + 2 ，
\ f 1 = 2，
令 y = 0, f 1 = f x f 0 - f 0 - x + 2，又 f 0 =1，
\ f x = x +1，
\ f 2017 = 2017 +1 = 2018，故選 B.
3． f x 滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù) a,b都有 f a + b = f a f b ，且 f 1 = 2 ，則
f 2 f 4 f 6 f 2018
+ + +L+ =
f 1 f 3 f 5 f 2017 （ ）
A．2017 B．2018 C．4034 D．4036
【答案】B
【解析】Q f x 滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù) a,b都有 f a + b = f a × f b ,\令b =1得
f a +1 f 2 f 4 f 6 f 2016 f 2018f a +1 = f a f 1 , × \ = f
1 2 = \ = = = ... = = = 2
f a ， f 1 f 3 f 5 f 2015 f 2017 ，
f 2 f 4 f 6 f 2016 f 2018
\ + + + ...

+ + =1009 2 = 2018
f 1 f 3 f 5 f 2015 f 2017 ，故選 B.
f (2) f (4) f (6) f (2016)
4．如果函數(shù) f (x) 對(duì)任意 a,b滿足 f (a + b) = f (a) f (b) ，且 f (1) = 2，則 + + +L+ =f (1) f (3) f (5) f (2015)
A．4032 B．2016 C．1008 D．504
【答案】B
f a +1
【解析】在 f (a + b) = f (a) f (b) 中令b =1，則有 f a +1 = f a × f 1 = 2 f a ，所以 = 2f a ，所以
f (2) f (4) f (6) L f (2016)+ + + +
f (1) f (3) f (5) f (2015) ＝ 2 + 2 + 2 +L+ 2 = 2 1008 = 2016，故選 B．
考點(diǎn)：1、函數(shù)解析式；2、新定義．
f x x y f (xy) f (x) + f ( y)5．設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)镽 ，對(duì)任意實(shí)數(shù) ， ，只要 x + y 0 ，就有 = x y 成立，則函+
數(shù) f (x) （ ）
A．一定是奇函數(shù) B．一定是偶函數(shù) C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
【答案】C
y = x f x2 f (x) + f (x) f (x)【解析】令 ,則 = = ，x + x x
∵ f x2 = f ( x)2 f (-x) + f (-x) f (-x)- = = -(-x) ,+ (-x) x
f (x) f (-x)
∴ = - ,即 f (-x) = - f (x) ,其中 x 0 ,
x x
f (0) f (0 1) f (0) + f (1)∵ = = = f (0) + f (1) ,
0 +1
∴ f (1) = 0, f (-1) = - f (1) = 0 .
f (0) f (0 ( 1)) f (0) + f (-1)∵ = - = = - f (0) ,∴ f (0) = 0 .
0 -1
f (1) + f (x) f (x)
∵ f (x) = f (1 x) = = (x 0, x -1) ,
1+ x 1+ x
∴ f (x) = 0(x 0, x -1) .
綜上,知 f (x) = 0(x R) ,
∴函數(shù) f (x)(x R)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).
故選：C
6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f x 的定義域?yàn)镽 ， f x f y - f x = xy - y，則（ ）
A． f 0 = 0 B． f -1 =1
C． f x +1 為偶函數(shù) D． f x +1 為奇函數(shù)
【答案】D
【解析】當(dāng) f x = 0時(shí)， f x f y - f x = xy - y不恒成立，故 f 0 =1，A 錯(cuò)誤．
B：解法一 令 x = 0，得 f 0 f y - f 0 = -y，又 f 0 =1，所以 f y =1- y ，
故 f -1 =1+1 = 2 ，B 錯(cuò)誤．
解法二 令 x = 0, y = -1，得 f 0 f -1 - f 0 =1，又 f 0 =1，所以 f -1 = 2，B 錯(cuò)誤．
C：解法一 由 B 選項(xiàng)的解法一可知 f x =1- x，則 f x +1 = -x ，所以 f x +1 為奇函數(shù)，C 錯(cuò)誤，D 正
確．
解法二 令 x = 0, y = 2，得 f 0 f 2 - f 0 = -2，又 f 0 =1，所以 f 2 = -1，
所以 f 0 + f 2 = 0，結(jié)合選項(xiàng)得 C 錯(cuò)誤，D 正確．
綜上可知，選 D．
故選：D.
7．設(shè)函數(shù) y = f x 的定義域?yàn)?(0, + )， f xy = f x + f y ，若 f 9 = 6，則 f 3 3 等于（ ）
3 9
A． B．2 C 9． D．
2 4 2
【答案】D
【解析】因?yàn)?f xy = f x + f y ，
令 x = y = 3，則 f 3 + f 3 = f 9 ，即 2 f 3 = 6，可得 f 3 = 3；
3
令 x = y = 3 ，則 f 3 + f 3 = f 3 ，即 2 f 3 = 3，可得 f 3 = ；2
3 9
令 x = 3, y = 3 ，可得 f 3 3 = f 3 + f 3 = 3 + = .2 2
故選：D.
8．（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f x 的定義域?yàn)镽,"x, y R ，
f x + y - f x - y = 2 f 1 - x 1 2 ÷ f y ，且 f ÷ =1，則（ ）è è 2
A． f x 為偶函數(shù)
f x 2 f x f 1- xB． =
è 2 ÷ ÷ è 2
C． f 1 + 2 f 2 + 3 f 3 + ×× × + 2023 f 2023 = 1
2
D．[ f x ]2 é+ f 1 ùê - x
= 1
è 2
÷
ú
【答案】BD
x, y R, f x y f x 1【解析】因?yàn)? + - + y = 2 f - x ÷ f y 2 ，è
令 x = 0，得 f y - f 1- y = 2 f ÷ f y = 2 f y ，即 f -y = - f y 2 ，所以函數(shù) f x 為奇函數(shù)，故選項(xiàng)è
A 不正確；
x x y x x x x x= f + - f - = 2 f 1 x x- × f 1- x x 用 替換 ，令 ，得
2 2 ÷ ÷ ÷ ÷
，即 f x - f 0 = 2 f ÷ f ÷，
è 2 2 è 2 2 è 2 2 è 2 è 2 è 2
f x f 0 0 f x 2 f 1- x x= = 又函數(shù) 為奇函數(shù)，所以 ，所以 f2 ÷ 2 ÷，故選項(xiàng) B 正確；è è
1
令 x = ，得 f
1 y 1+ ÷ - f - y ÷ = 2 f 0 × f y = 02 è 2 ， è 2
f 1 + y = f 1 - y f y 1即 ÷ ÷ = - -

÷ ，即 f y +1 = - f y 2 2 2 ，è è è
所以 f y + 2 = - f y +1 = f y ，所以函數(shù) f x 的周期為 2，
1- x
再由 f x = 2 f ÷ f
x x 1 f 1 = 2 f 0 × f 1
2 2 ÷，令
= ，可得 ÷ = 0，
è è è 2
由函數(shù)的周期性可知， f 1 = f 3 = f 5 = ×× × = f 2023 = 0， f 2 = f 4 = f 6 = ×× × = f 2022 = 0，
所以 f 1 + 2 f 2 + 3 f 3 + ×× × + 2023 f 2023 = 0 ，故選項(xiàng) C 不正確；
由 f x + y - f x - y = 2 f 1 - x

÷ f y 2 ，è
y 1
2
令 = - x f x 1 1 é 1 ù，得 + - x
- f ÷ x - + x ÷ = 2 ê f - x

，
2 è 2 ÷ è 2 è 2 ú
2
即1- f 2x 1 2 é- = f 1 ù ÷ ê - x
①．
è 2 ÷ è 2 ú
由 f x + y - f x - y = 2 f 1 - x

÷ f y 2 ，è
1 1
令 x
1
= - y ，得 f - y + y

÷ - f

- y - y

÷ = 2[ f y ]22 2 ，2 è è
1 f 1即 - - 2 y
1
÷ = 2[ f y ]2
2
2 ，可得
1- f - 2x2 ÷
= 2[ f x ] ②．
è è
2 2
由①+② é 1 ù é 1 ù整理后可得2 = 2 f 2 2ê - x ÷ú + 2[ f x ] ，即[ f x ] +è 2 ê
f - x ÷ú = 1，故選項(xiàng) D 正確.
è 2
故選：BD．
3 39 ．（多選題）已知函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)镽 ， f (x + y) - f (x - y) = f x + f2 ÷
y + ÷， f (0) 02 ，則（ ）è è
f 3 A． ÷ = 0 B． f (0) = -2
è 2
2022 k
C． f (x)

的一個(gè)周期為 3 D． f ÷ = 2
k =1 è 2
【答案】ABD
x = y = 0 f (0) - f (0) = f 2 3 【解析】令 ，則 ÷，所以 f
3
÷ = 0 A2 ， 選項(xiàng)正確；è è 2
令 x = 0，則 f (y) - f ( y) f
3
- = f 3 ÷ y +
= 0
2 2 ÷ ，即
f (y) = f (-y)，
è è
所以 f (3) = f (-3)
3
，令 x = y = ，則 f (3) - f (0) = f 2 (3)，
2
令 x
3
= y = - ，則 f (-3) - f (0) = f 2 (0) = f (3) - f (0)，所以 f 2 (0) = f 2 (3)，
2
因?yàn)?f 2
2
(0) + f (0) = f (3)，所以 é 2 f (0) + f (0)ù = f
2 (3)，
2
所以 f 2 (0) + f (0) = f 2 (0) ，
因?yàn)?f (0) 0，所以 f (0) = -2， f (3) = 2，B 選項(xiàng)正確；
3 3 3 3
令 y = -

，則 f x - ÷ - f x + ÷ = f x + ÷ f (0)
3
= -2 f
2
x + ÷ ，
è 2 è 2 è 2 è 2
f x 3- + f x 3 0 f x 3 f x 9 所以 ÷ + ÷ = ， + ÷ + + = 0
è 2 è 2 è 2 è 2 ÷
，

所以 f x
3 9
- ÷ = f

x +

÷，所以 f x = f x + 6 ，
è 2 è 2
由此可知： f (x) 的一個(gè)周期為 6，C 選項(xiàng)錯(cuò)誤；
f x 3 3因?yàn)? -
+ f ÷ x + ÷ = 0，且 f (y) = f (-y)，
è 2 è 2
f 1 f 5 f 1 5令 x =1， - ÷ + =

2 2 ÷
+ f
2 ÷ ÷
= 0 ，
è è è è 2
1
令 x = ， f (-1) + f (2) = f (1) + f (2) = 0，
2
3
且 f (3) = 2， f = 0，
è 2 ÷
f 1 f (1) f 3 f (2) f 5所以 ÷ + + ÷ + +

+ f (3) = 2
è 2 è 2 è 2 ÷
，

f x 3由 -

÷ + f x
3
+ ÷ = 02 2 可知，
f (x) + f (x + 3) = 0，所以
è è
f 1 ÷ + f (1)
3
+ f ÷ + f (2) f
5 f (3) f 7 f (4) f 9 f (5) f 11+
2 2 ÷
+ +
2 2 ÷
+ + 2 ÷
+ + ÷ + f (6) = 0，
è è è è è è 2
因?yàn)?f (x) 的一個(gè)周期為 6，且 2022 =12 168 + 6，
2022 k
所以 f ÷ = f (3) = 2，D 選項(xiàng)正確.
k =1 è 2
故選：ABD．
10．（多選題）（2024·江西九江·二模）已知函數(shù) f x 的定義域?yàn)镽 ，"x, y R，
f xy + xy = xf y + yf x ，則下列命題正確的是（ ）
A． f x 為奇函數(shù) B． f x 為R 上減函數(shù)
10
C．若 x 0，則 xf
1 1
÷ + f x 為定值 D．若 f 2 = 2，則x x f 2
k = 2046
è k =1
【答案】ACD
【解析】因?yàn)?x, y R， f xy + xy = xf y + yf x ，
令 x = y =1，可得 f 1 +1= f 1 + f 1 ，則 f 1 =1，
令 x = y = -1，可得 f 1 +1 = - f -1 - f -1 ，則 f -1 = -1，
令 x = y = 0 ，可得 f 0 = 0，
令 y = -1，可得 f -x - x = xf -1 - f x ，所以 f -x = - f x ，所以 f x 為奇函數(shù)，故 A 正確；
因?yàn)?f -1 = -1、 f 1 =1，所以 f x 不可能為R 上減函數(shù)，故 B 錯(cuò)誤；
y 1令 = x 0 可得 f 1 +1 = xf 1 1 1 1 ÷ + f x ，所以 xf ÷ + f x = 2 Cx ，故 正確；è x x è x x
令 y = 2可得 f 2x + 2x = xf 2 + 2 f x ，因?yàn)?f 2 = 2，
所以 f 2x = 2 f x f 4 = 2 f 2 = 22 f 8 = 2 f 4 = 23，所以 ， ，LL，
n n
所以 f 2 = 2 ，
10 2 1- 210
所以 f 2k = 21 + 22 +L+ 210 = = 2046，故 D 正確.
k =1 1- 2
故選：ACD
11．（多選題）（2024·江蘇南京·二模）已知函數(shù) f (x) 滿足 f (x) f (y) = f (xy)+ | x | + | y |，則（ ）
A． f (0) =1 B． f (1) = -1 C． f (x) 是偶函數(shù) D． f (x) 是奇函數(shù)
【答案】AC
【解析】令 y = 0 ，則 f 0 f x = f 0 + x ，
令 x = y = 0 ，則 é f
2
0 ù = f 0 ，解得 f 0 = 0或 f 0 =1，
若 f 0 = 0，則 x = 0 恒成立，不合題意，故 f 0 =1，A 選項(xiàng)正確；
f 0 =1，則 f x =1+ x , f -1 = 2，B 選項(xiàng)錯(cuò)誤；
函數(shù) f x =1+ x ，定義域?yàn)?R， f -x =1+ -x =1+ x = f x ，
f x 為偶函數(shù)，C 正確，D 錯(cuò)誤.
故選：AC
12．（多選題）（2024·廣西·二模）已知函數(shù) y = f x 的定義域與值域均為Q+ ，且

2
f y f x + y ÷ = f x + f 2 y + txf y t N* ，則（y ）è
A． f 1 =1 B．函數(shù) f x 的周期為 4
C． f x = x2 x Q+ D． t = 2
【答案】ACD
【解析】令 x = y 得 f x f x +1 = f x + f 2 x + txf x t Z* ，即 f x +1 =1+ f x + tx t Z* ①，
令 y =1，得 f 1 f x +1 = f x + f 2 1 + txf 1 t Z* ②，
聯(lián)立①② f 1 =1，故 A 正確；
令 x = y2 = 4，得 f 2 f 4 = f 4 + f 2 2 + 4tf 2 t Z* ③，
由①， f 2 =1+ f 1 + t = t + 2 t Z* ， f 4 =1+ f 3 + 3t =1+ é1+ f 2 + 2tù + 3t = 6t + 4 t Z* ，
將它們代入③整理可得 t t - 2 = 0，所以由 t Z* t = 2，故 D 對(duì)；
2
由 f x +1 =1+ f x + 2x可知 f x 為一元二次函數(shù)，設(shè) f x = ax + bx + c ，
則有 a x +1 2 + b x +1 + c = ax2 + bx + c + 2x +1，
整理得 2ax + a + b = 2x +1 a =1,b = 0，又由 f 1 = a + b + c =1 c = 0，
所以 f x = x2 x Q+ ，經(jīng)驗(yàn)證滿足題設(shè)要求，故 B 錯(cuò) C 對(duì)，
故選：ACD.
13．（多選題）已知非常數(shù)函數(shù) f x 的定義域?yàn)镽 ，且 f x f y = f xy + xy x + y ，則（ ）
A． f 0 = 0 B． f 1 = -2或 f 1 =1
f
C x ． 是 x x R且x 0 上的增函數(shù) D． f x 是R 上的增函數(shù)
x
【答案】AC
【解析】在 f x f y = f xy + xy x + y 中，
令 y = 0 ，得 f 0 f x = f 0 ，即"x R, f 0 é f x -1ù = 0．
因?yàn)楹瘮?shù) f x 為非常數(shù)函數(shù)，所以 f 0 = 0，A 正確．
f x
令 g x = , x 0，則 g x g y = g xy + x + y．
x
x = y = -1 [g -1 ]2令 ，則 = g 1 - 2，①
2
令 x = y =1，則[g 1 ] = g 1 + 2 ，②
由①②，解得 g 1 = 2, g -1 = 0，從而 f 1 = 2 ，B 錯(cuò)誤．
令 y =1，則 g x g 1 = g x + x +1，即 g x = x +1，
因?yàn)?f 0 = 0，所以 f x = x x +1 ，所以 C 正確，D 錯(cuò)誤．
故選：AC
14 2 2．（多選題）已知 f x 是定義在R 上的函數(shù)，"x R, f x > 0，且 f xy = f x × f y - x - y ，則
（ ）
A． f 1 =1
B． f x 是偶函數(shù)
C． f x 的最小值是 1
D．不等式 f x - 2 <10的解集是 -1,5
【答案】BCD
【解析】對(duì)于 A，令 x = y =1，得 f 1 = f 1 × f 1 -1-1，解得 f 1 = -1或 2.
因?yàn)?f x > 0，所以 f 1 = 2 ，則 A 錯(cuò)誤.
對(duì)于 BC，令 y =1，得 f x = f x f 1 - x2 -1 = 2 f x - x2 -1 f x = x2，則 +1，
從而 f x 是偶函數(shù)，且 f x 1，故 B，C 正確.
對(duì)于 D，因?yàn)?f x = x2 +1, f x 是偶函數(shù)，在 (0, + )上單調(diào)遞增，且 f 3 =10，
所以不等式 f x - 2 <10等價(jià)于 f -3 < f x - 2 < f 3 ，
所以-3 < x - 2 < 3，解得-1 < x < 5，則D 正確.
故選：BCD.
15．（多選題）已知函數(shù) f (x) 滿足 f (x + y) = f (x) + f (y), x, y R，則（ ）
A． f (0) = 0 B． f (k) = kf (1),k Z
C． f (x) = kf
x
÷ , (k 0) D． f (-x) f (x) < 0
è k
【答案】ABC
【解析】對(duì)于 A， f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0) = 2 f (0),\ f (0) = 0，故 A 正確；
對(duì)于 B， f (k) = f (k -1) + f (1) = f (k - 2) + f (1) + f (1) =L = f (1) + f (1) +L+ f (1) = kf (1)，故 B 正確；
f (x) f k -1 x x f k -1 x k - 2 x x對(duì)于 C， = × + ÷ = × x

÷ + f

÷ = f
× x + f + f
è k k ÷ ÷ ÷ è k è k è k è k è k
=L = f x x x x ÷ + f ÷ +L+ f

÷ = kf

÷ , k 0 ，故 C 正確；
è k è k è k è k
對(duì)于 D， f (x - x) = f (x + (-x)) = f (x) + f (-x) = f (0) = 0 ， f (x) = - f (-x), f (x) f (-x) = -( f (x))2 0，故 D 錯(cuò)
誤．
故選：ABC．
16．（多選題）（2024·高三·云南昆明·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)镽 ，且
f x - y = f -x + f y - 2xy ，則（ ）
A． f (0) = 0
B． f (2) = 4
C． y = f (x) - 2x 是奇函數(shù)
D． y = f x - 2x2 是偶函數(shù)
【答案】ABD
【解析】令 x = y = 0 ，則 f 0 = 2 f 0 ，即 f 0 = 0 . A 正確.
令 y = 0 ，則 f x =f -x .
令 y = x ，則 f -x + f x - 2x2 = f (0) = 0，則 f x = x2 .
故 f 2 = 4 . B 正確.
y = f x - 2x = x2 - 2x是非奇非偶函數(shù). C 不正確.
y = f x - 2x2 = -x2 是偶函數(shù). D 正確.
故選：ABD.
17．（多選題）（2024·重慶·三模）函數(shù) f x 是定義在R 上不恒為零的可導(dǎo)函數(shù)，對(duì)任意的 x， y R 均
滿足： (x + y) × f (x) f (y) = xy × f (x + y) ， f (1) = 2，則（ ）
A． f 0 = 0 B． f 2 = 8
n
C． f 1 = 4 D． f (k) = (n -1) ×2n+1 + 2
k =1
【答案】ABD
【解析】令 y =1，得 (x +1) f (x) f (1) = xf (x +1) ，代入 f (1) = 2，得 2(x +1) f (x) = xf (x +1)，
f (x +1) 2(x +1)
當(dāng) x 為正整數(shù)時(shí)， =f (x) x ，
f (x +1) f (x) f (x -1) f (2)
× × ×L× 2(x +1) 2x 2(x -1) L 2 2所以 = × × × ×f (x) f (x 1) f (x 2) f (1) ，- - x x -1 x - 2 1
f (x +1)
所以 = 2x × (x +1)，代入 f (1) = 2f (1) ，得 f (x +1) = (x +1) ×2
x+1，
所以 f (x) = x × 2x (x 2)，又當(dāng) x =1時(shí)，也符合題意，
所以 f (x) = x × 2x (x N*) .
當(dāng) x 不為正整數(shù)時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證 f (x) = x × 2x 也滿足 (x + y) × f (x) f (y) = xy × f (x + y) ，
故 x 為任意實(shí)數(shù)時(shí)，都有 f (x) = x × 2x .
所以 f (0) = 0，故 A 正確； f (2) = 8，故 B 正確；
所以 f (x) = 2x + x ×2x × ln 2， f (1) = 2 + 2ln 2，故 C 不正確；
n
所以 f (k) = f (1) + f (2) +L+ f (n) =1 2 + 2 22 + 3 23 + n ×2n ，
k =1
令 Sn = 1 2 + 2 22 + 3 23 + n ×2n ，
則 2Sn =1 2
2 + 2 23 + 3 24 +L+ n ×2n+1，
2 3 n n+1
所以 Sn - 2Sn = 2 + 2 + 2 +L+ 2 - n × 2 ，
n n+1
所以 -S 2(1- 2 )= - n × 2n +1n ，所以 Sn = (n -1) × 2 + 2 ，故 D 正確.1- 2
故選：ABD
18．（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f x 的定義域?yàn)镽 ，且
f x + y = f x f y + f x + f y ， x > 0時(shí)， f x > 0， f 2 = 3，則（ ）
A． f 1 =1
B．函數(shù) f x 在區(qū)間 0, + 單調(diào)遞增
C．函數(shù) f x 是奇函數(shù)
D．函數(shù) f x 的一個(gè)解析式為 f x = 2x -1
【答案】ABD
【解析】A 項(xiàng)：因?yàn)?f x + y = f x f y + f x + f y ，
當(dāng) x > 0時(shí)， f x > 0, f 2 = 3，令 x = y =1，
則 f 22 = é f 1 ù + 2 f 1 = 3，解得 f 1 =1，A 正確；
B 項(xiàng)：任取： x1 < x2 0, + ，
則 f x2 = f é x1 + x2 - x1 ù = f x1 f x2 - x1 + f x1 + f x2 - x1 ，
因?yàn)楫?dāng) x > 0時(shí)， f x > 0，
所以 f x2 - x1 > 0， f x1 > 0，
所以 f x1 f x2 - x1 + f x1 + f x2 - x1 > f x1 ，即 f x2 > f x1 ，
所以函數(shù) f x 在區(qū)間 0, + 單調(diào)遞增，B 正確；
C 項(xiàng)：令 x = y = 0
2
，則 f 0 = é f 0 ù + 2 f 0 ，
解得 f 0 = 0或 f 0 = -1，當(dāng) f 0 = 0，且 x > 0時(shí)，令 y = -x，
則0 = f x f -x + f x + f -x ，
若 f x 為奇函數(shù)，則 f -x = - f x 2，即0 = - f x + f x - f x ，
解得 f x = 0，與題意矛盾；
當(dāng) f 0 = -1時(shí) f x 不為奇函數(shù)．
綜上所述，函數(shù) f x 不是奇函數(shù)，C 錯(cuò)誤；
D x項(xiàng)：當(dāng) f x = 2 -1，
則 f x + y = 2x+ y -1，
f x f y + f x + f y = 2x -1 2y -1 + 2x -1 + 2y -1
= 2x+ y - 2x - 2y +1+ 2x -1+ 2y -1
= 2x+ y -1，
所以 f x + y = f x f y + f x + f y ，易得 f x = 2x -1在R 上單調(diào)遞增，
x > 0 f x = 2x -1 > 20所以 時(shí)， -1 = 0， f 2 = 22 -1 = 3，
故函數(shù) f x 的一個(gè)解析式為 f x = 2x -1，D 正確．
故選 :ABD
f x
19．（多選題）已知函數(shù) y = f x ，對(duì)于任意 x, y R ， = f x - y f y ，則（ ）
A． f 0 =1 B． f x2 = 2 f x
f x f> 0 x + f y f x + yC． D ． ≥
2 è 2 ÷
【答案】ACD
f x
【解析】令 x = y = f 0 f 0
=1
f x ，故 A 正確；
f x
由已知 = f x - y f x = f y f x - y f x + y = f x f y f y ，①
令 f x = a x , a 0,1 1, + x 2 x2 2滿足題干要求， 2 f x = 2a , f x = a ,則 f x 2 f x ，故 B 錯(cuò)誤；
2
① x = y
x
= f x f x f x é f x ù由 可知，令 2 ，則 = ÷ ÷ =

ê ÷ ，è 2 è 2 è 2
ú

f x 2
又因?yàn)?= f x - y f
x 0 é x ù
f y ，則 ，所以 ，故 C 正確；è 2 ÷ f x = f > 0 ê è 2 ÷ ú
因?yàn)?f x > 0，所以 f x + f y 2 f x f y = 2 f x + y ，
x y x + y
2
① = = f x y f x + y f x + y é x + y ù又由 ，令 ，則 + =2 ÷ =è 2 è 2 ÷ ê
f ÷ú ，
è 2
f x + f y f x + y 所以 ≥ ÷，故 D 正確.2 è 2
故選：ACD.
x - y
20．（多選題）（2024·高三·遼寧·期中）已知函數(shù) f x 的定義域?yàn)? -1,1 ， f (x) - f ( y) = f
è1- xy
÷ ，

f 1 且 ÷ =1，當(dāng) x 0,1 時(shí)， f x > 0，則（2 ）è
A． f 0 = 0
B． f x 是偶函數(shù)
C．當(dāng) A，B 是銳角VABC 的內(nèi)角時(shí)， f sin A < f cos B
x 0 1 1+ x
2
D > = n
1 n-1
．當(dāng) n ，且 ， x = 時(shí)， f x = 2x 1n+1 2xn 2 n
【答案】AD
【解析】令 x＝y(tǒng)＝0，得 f 0 = 0，故 A 正確．
令 x＝0，則- f y = f -y ，所以 f x 為奇函數(shù)，故 B 錯(cuò)誤．
任取 x1, x2 -1,1 ，且 x1 < x2，則 f

x x - x2 - f x1 = f 2 1 ．
è1- x1x
÷
2
因?yàn)? 1+ x1 1- x2 =1- x2 + x1 - x1x2 > 0 ，
x2 - x1
所以 x2 - x1 <1- x1x2，所以0 < <11- x1x
．
2
因?yàn)?x

0,1 ， f x 0 x - x> ，所以 f 2 11- x ÷ > 0 ， f x1 < f x2 ，è 1x2
即 f x 在 -1,1 上單調(diào)遞增．
π π
因?yàn)?A，B 是銳角VABC 的內(nèi)角，所以 A + B > ，所以 A > - B ，
2 2
所以 sin A > sin
π
- B

÷ = cos B ．
è 2
因?yàn)?sin A ， cos B 0,1 ，所以 f sin A > f cos B ，故 C 錯(cuò)誤．
1 1+ x2n 2xn
因?yàn)?xn > 0，且 = ，所以 xn+1 = 2 (0,1)xn+1 2xn x +1
．
n
2x
令 y＝－x，則 2 f (x) = f 2 ÷，è1+ x
f x
x = x 2 f x = f 2xn = f x n+1 令 n ，則 n 2 ÷ n+1 ，所以 = 2
è1+ xn f x
．
n
因?yàn)?f x1 = 1，
所以 f xn 是首項(xiàng)為 1，公比為 2 的等比數(shù)列，
f x = 2n-1所以 n ，故 D 正確．
故選：AD
21．（多選題）函數(shù) f x 1 的定義域?yàn)镽 ， f ÷ 0，若 f x + y + f x f y = 4xy ，則下列選項(xiàng)正確的有
è 2
（ ）
1 1
A． f

-

÷ = 0

B
2 ．
f ÷ = -2
è è 2
f x 1+ 1C．函數(shù) ÷是增函數(shù) D．函數(shù) f x -

÷是奇函數(shù)
è 2 è 2
【答案】ABD
1 1 1
【解析】令 x
1
= y = 0 f ， ，得
2 ÷
+ f ÷ f 0 = f2 2 2 ÷ éè è è
1+ f 0 ù = 0，
因?yàn)?f
1
÷ 0，所以 f 0 = -1；
è 2
1 1 1 1
令 x = ， y = - 得 f 0 + f ÷ f - ÷ = -1，2 2 è 2 è 2
1 1
因?yàn)?f 2 ÷
0，所以 f - ÷ = 0，即選項(xiàng) A2 正確；è è
1
由選項(xiàng) A 知 f x 的圖象過(guò)點(diǎn) 0, -1 、 - ,0÷，
è 2
ìb = -1 b = -1
令 f x = kx + b ì，則 í 1 得，
- k
í
+ b = 0 k = -2
，
2
所以 f x = -2x -1，
1
因?yàn)?f ÷ = -2，所以選項(xiàng) B 正確；
è 2
因?yàn)?f
x 1+ ÷ = -2x - 2是減函數(shù)，所以選項(xiàng) C 錯(cuò)誤；
è 2
f -x 1- = 2x = - f x 1- f x 1因?yàn)? ÷ ÷ ，所以 -

÷為奇函數(shù)，即選項(xiàng) D 正確；
è 2 è 2 è 2
故選：ABD．
22．（多選題）定義在 0, + 上的函數(shù) f x ，對(duì)"x, y > 0，均有 f xy = xf y + yf x ，當(dāng) x >1時(shí)，
f x < 0 g x f x ，令 = ，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
x
g 1 = 0 g x g 1 A． B． 0
è x ÷
C．"a > 0, g a < g a +1 D "a > 0, n N*, g an． = ng a
【答案】AD
【解析】對(duì)"x, y > 0，均有 f xy = xf y + yf x ，令 x = y =1可得 f 1 = f 1 + f 1 ，所以 f 1 = 0，則
f 1
g 1 = = 0，故 A 正確；
1
"x, y 1 1> 0 y 1 f x × = xf 1 1 1，可令 = x 得 ÷ ÷
+ f x = 0，所以 f ÷ = - 2 f x ，è x è x x è x x
f 1
g x g 1 f x
÷
則 ÷ = ×
è x
1 = f x f
1 1 1 2
x x x ÷
= f x × - f x ÷ = - f x < 0，故 B 不正確；
è è è x2 x2
x
令 x = a +1, y
1
= ，可得
a
f a +1 1 1 é 1 ù 1 af a +1 - a +1 f aa 1 f f a 1 a 1 f a f a 1 ÷ = + ÷ + + = + ê- + + =è a è a a a2 ú a a2
，
因?yàn)楫?dāng) x >1時(shí)， f x < 0 ，
a +1
又"a
a +1 1
> 0, =1+ >1 ，所以 f < 0，
a a ֏ a
af a +1 - a +1 f a
故 < 0，所以 af a +1 - a +1 f a < 0，
a2
f a +1 f a af a +1 - a +1 fa 0, g a 1 g a a 所以" > + - = - = < 0 g ，則 a +1 < g a a 1 a a a 1 ，故 C 不正確；+ +
令 x = y = a，得 f a2 = af a + af a = 2af a 3，則 f a = af a2 + a2 f a = 3a2 f a ，
f a4 = a2 f a2 + a2 f a2 = 4a3 f a ，
f an = nan-1以此類推可得： f a ，
f an nan-1 f a nf a
所以"a > 0, n N*, g an = ，故 D 正確.an = n = = ng a a a
故選：AD.
23．（多選題）已知定義在 0, + 上的函數(shù) f x 滿足：對(duì)"x, y 0,+ ，都有 f xy = f x + f y ，則
對(duì)于"x, y 0,+ ， n N*，下式成立的有（ ）
A． f x + y = f x f y B． f x ÷ = f x - f y
è y
C． f xn = nf x D． f n x 1= f x n
【答案】BCD
Q x y x, f x f x f y f x 【解析】 = \ = ÷ + ,\ ÷ = f x - f y y y y ,B 選項(xiàng)正確;è è
Q xn = x xn-1 = x x L x,
\ f xn = f x + f xn-1 = f x + f x + f xn-2 = f x + f x +L+ f x = nf x
\ f xn = nf x ,C 選項(xiàng)正確;
nQ x = n x = n x n x L n x ,\ f x = f n x + f n x +L+ f n x = nf n x \ f n x 1= f x ,D 選項(xiàng)正n
確;
定義在 0, + 上的函數(shù) f x 滿足：對(duì)"x, y 0,+ ，都有 f xy = f x + f y ，
設(shè) f x = lnx f xy = f x + f y = lnxy, f x f y = lnx lny ,
\ f x + y f x f y ,A 選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選:BCD.
24．（2024·山西臨汾·三模）已知函數(shù) f x 的定義域?yàn)镽 ，且 f x + y + f x - y = f x f y ， f 1 =1，
則 f 2024 = ．
【答案】-1
【解析】令 x =1, y = 0，則 f 1 + f 1 = 2 f 1 = f 1 f 0 ，
因?yàn)?f 1 =1，所以 f 0 = 2 ，
令 x = y =1，則 f 2 + f 0 = f 1 f 1 ，得 f 2 = -1，
令 y =1，則 f x +1 + f x -1 = f x f 1 = f x ，即 f x -1 = f x - f x +1 ，
所以 f x = f x +1 - f x + 2 ，
所以 f x -1 = f x +1 - f x + 2 - f x +1 = - f x + 2
所以 f x + 2 = - f x + 5 ，所以 f x -1 = f x + 5 ，即 f x = f x + 6 ，
f x 是以 6 為周期的周期函數(shù)，
所以 f 2024 = f 337 6 + 2 = f 2 = -1，
故答案為：-1.
25．已知函數(shù) f x 的定義域?yàn)?R，且 f x + y + f x - y = 2 f x f y ， f 0 =1，請(qǐng)寫(xiě)出滿足條件的一個(gè)
f x = （答案不唯一）．
【答案】1, cos x（答案不唯一）
【解析】令 x = 0，則 f y + f -y = 2 f 0 f y ，
又 f (0) =1，
所以 f y + f -y = 2 f y ，即 f (-y) = f (y)，
所以函數(shù)為偶函數(shù)，
不妨取偶函數(shù) f (x) = 1，則 f x + y + f x - y =1+1 = 2 1 1 = 2 f x f y ，
也可取 f (x) = cos x，則 cos(x + y) + cos(x - y) = 2cos x cos y，滿足題意.
故答案為：1, cos x（答案不唯一）
f 0.5 f 1 f 2, 2,L,
0.5n
26．已知函數(shù) y = f x ，x R，且 f 0 = 2 ， = = = 2, n N
*
f 0 f 0.5 f 0.5 n 1 - ，則函數(shù)
y = f x 的一個(gè)解析式為 .
【答案】 f (x) = 2 ×4x （不唯一）
f 0.5 f2, 1 f 0.5n *【解析】由題意， = = 2,L, = 2, n Nf 0 f 0.5 f 0.5 n -1 ，
f 0.5n
= 2n f 0.5n = 2 ×2n累乘可得 ，即 ，
f (0)
令 x = 0.5n，則 n = 2x，
所以 f (x) = 2 ×22x = 2 × 4x ，
故答案為： f (x) = 2 ×4x （不唯一）
27．（2024·高三·江蘇揚(yáng)州·開(kāi)學(xué)考試）寫(xiě)出滿足 f x - y = f x + f y - 2xy 的函數(shù)的解析式 ．
f x = x2【答案】
【解析】 f x - y = f x + f y - 2xy 中，令 x = y = 0 ，得 f (0) = 0；
令 y = x 得 f x - x = f x + f x - 2x2 ，故 f x + f x = 2x2，
則 f x = x2 ．
故答案為： f x = x2 ．
28．（2024·高三·河南·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù) f（x）滿足：①對(duì)"m ， n > 0， f (m) + f (n) = f (mn)；②
f 1 ÷ = -1．請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合上述條件的函數(shù) f（x）＝ ．
è 2
【答案】 log2 x （答案不唯一，符合條件即可）
【解析】因?yàn)閷?duì)"m ， n > 0， f (m) + f (n) = f (mn)；
所以 f (x) 在 0，+ 上可能為對(duì)數(shù)函數(shù)，
故 f (x) = loga x滿足條件①，又 f
1
÷ = -1，
è 2
所以 f (x) = log2 x ，
故符合上述條件的函數(shù)可能為： f (x) = log2 x ，
故答案為： log2 x （答案不唯一）.
f 0.5 f 1 f 0.5n
29．已知函數(shù) y = f x ， x R ，且 f 0 = 2 ， = 2， = 2 = 2 *f 0 f 0.5 ，…， f 0.5 n -1 ， n N ，
則滿足條件的函數(shù) f x 的一個(gè)解析式為 .
【答案】 f (x) = 2 4x
f (1) f (0.5) f (1) 4 f (2) f (0.5) f (1) f (1.5) f (2) 2【解析】由已知得 = × = = × × × = 4f (0) f (0) f (0.5) ， f (0) f (0) f (0.5) f (1) f (1.5) ，
f (3) f (0.5) f (1) f (1.5) f (2) f (2.5) f (3)
= × × × × × = 43
f (0) f (0) f (0.5) f (1) f (1.5) f (2) f (2.5) ，
f (x)
\ = 4x
f (0) ，又
f (0) = 2，\ f (x) = 2 4x
故答案為： f (x) = 2 4x
30．若函數(shù) f (x) 滿足"x, y R, f (xy) = f (x) f (y)，寫(xiě)出一個(gè)符合要求的解析式 f (x) = ．
【答案】x(答案不唯一)
【解析】因?yàn)楹瘮?shù) f (x) 滿足"x, y R, f (xy) = f (x) f (y)，
所以 f (x) = x，
故答案為：x,答案不唯一
31．同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：① f xn = nf x , x > 0；② é f x1 - f x2 ù x1 - x2 > 0的函數(shù)可以為 .
【答案】 f x = ln x（答案不唯一）
【解析】由 é f x1 - f x2 ù x1 - x2 > 0可知函數(shù)為增函數(shù)，
f xn再由 = nf x 可知 f x 可以為對(duì)數(shù)函數(shù)，故可以填 f x = ln x，或者其它底數(shù)大于1的對(duì)數(shù)函數(shù)．
故答案為： f x = ln x（答案不唯一）

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