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資源簡介

重難點突破 01 玩轉指對冪比較大小
目錄
01 方法技巧與總結 ...............................................................................................................................2
02 題型歸納總結 ...................................................................................................................................3
題型一：直接利用單調性 ...........................................................................................................................................3
題型二：引入媒介值 ...................................................................................................................................................4
題型三：含變量問題 ...................................................................................................................................................6
題型四：構造函數 .......................................................................................................................................................8
題型五：數形結合 .....................................................................................................................................................12
題型六：特殊值法、估算法 .....................................................................................................................................18
題型七：放縮法 .........................................................................................................................................................20
題型八：不定方程 .....................................................................................................................................................23
題型九：泰勒展開 .....................................................................................................................................................25
題型十：同構法 .........................................................................................................................................................27
題型十一：帕德逼近估算法 .....................................................................................................................................31
03 過關測試 .........................................................................................................................................32
（1）利用函數與方程的思想，構造函數，結合導數研究其單調性或極值，從而確定 a，b，c 的大小．
（2）指、對、冪大小比較的常用方法：
①底數相同，指數不同時，如 a x1 和 a x2 ，利用指數函數 y = a x 的單調性；
②指數相同，底數不同，如 xa xa1 和 2 利用冪函數 y = xa單調性比較大小；
③底數相同，真數不同，如 loga x1和 loga x2利用指數函數 loga x單調性比較大小；
④底數、指數、真數都不同，尋找中間變量 0，1 或者其它能判斷大小關系的中間量，借助中間量進行大
小關系的判定．
（3）轉化為兩函數圖象交點的橫坐標
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放縮法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
（7）常見函數的麥克勞林展開式：
x2 n q x
① ex =1+ x + +L
x e
+ + xn+1
2! n! (n +1)!
3 5 2n+1
② sin x
x x
= x + L+ ( 1)n x + o(x2n+2 )
3! 5! (2n +1)!
2 4 6 2n
③ cos x 1
x x x x
= + +L+ ( 1)n + o(x2n )
2! 4! 6! (2n)!
x2 3 n+1④ ln(1+ x) = x x + L+ ( 1)n x + o(xn+1)
2 3 n +1
1
⑤ =1+ x + x2 +L+ xn + o(xn )
1 x
n(n 1)
⑥ (1+ x)n =1+ nx + x2 + o(x2 )
2!
題型一：直接利用單調性
1-1 a = 30.2 ,b = 0.3 0.2【典例】記 ,c = log0.2 0.3，則（）
A． a > b > c B．b > c > a
C． c > b > a D．b > a > c
【答案】D
10 0.2
【解析】因為b = 0.3 0.2 = ÷ ，冪函數 y = x
0.2 在 0, + 上單調遞增，
è 3
10 0.2
又 > 3 10 ，所以 ÷ > 3
0.2 > 30 =1，
3 è 3
所以b > a >1，
又對數函數 y = log0.2x 在 0, + 上單調遞減，所以 c = log0.2 0.3 < log0.2 0.2 =1，
故b > a >1 > c .
故選：D.
【典例 1-2】（2024·全國·模擬預測）已知 a = 30.6，b = log25， c = log3 2 3 ，則實數 a，b，c 的大小關系
是（）
A．b > a > c B． a > b > c C．b > c > a D． a > c > b
【答案】A
0.6 0.5 3 5
【解析】由 y = 3x 在 R 上單調遞增，可得3 > 3 = 3 > ，又 30.6 = 27 < 25 = 32 ，2
3
< a = 30.6則 < 2．
2
由 y = log2x 在 0, + 上單調遞增，可得b = log25 > log2 4 = 2．
由 y = log3x在 0, + 上單調遞增，可得 c = log3 2 3 < log
3
33 3 = ．2
所以b > a > c，
故選：A．
1 3
2 4
【變式 1-1】設 a 4= ÷ ，b =
3
÷ ， c = ln1.6，則（）
è 7 è 5
A． c【答案】D
1 4 4é 4 ù 2 é
3 ù 3
ê 2 ú =
4 16 2000 3 4 3 27 1323
【解析】因為 = = ê ， ú = = = ，
ê 7 ÷ ÷ ÷ ÷è ú è 7 49 6125 êè 5 ú è 5 125 6125

1 4 4é 4 ù é
3 ù 1 3
ê 2 ú > ê
3 4 ú 4 2 3 4所以
ê 7 ÷ ÷
，則 > ，即 a > b，è ú êè 5 ú
è 7
÷ ÷
è 5
3
5
55
因為 e0.6 = e5 ÷ = e3 > 2.53 =15.625，1.65 = 8 32768 = <11，
è è 5
÷
3125
所以 e0.6 5 >1.65 ，所以 e0.6 >1.6，則 lne0.6 > ln1.6，即 ln1.6 < 0.6，
3
又b 3
1
=
4
>
3 3
÷ ÷ = ，所以b > c ，
è 5 è 5 5
所以 a > b > c .
故選：D
【變式 1-2】（2024·寧夏銀川·三模）已知 a = 0.20.5 ，b = cos2 ， c = lg15，則（）
A． a f 10 ，即 c = lg15 > lg10 =1，
因為 g x 1= 0.2x 在定義域內單調遞減，所以 g ÷ < g 0 ，即0 < a = 0.20.5 0
è 2
< 0.2 =1，

因為 h x = cos x在 0, π 上單調遞減，所以 h 2 < h π π 2 ÷，即b = cos2 < cos = 0，è 2
綜上：b < 0 < a <1< c .
故選：D
題型二：引入媒介值
5 3
14
【典例 2-1】（2024 7 5·甘肅蘭州·二模）故 a 5 7= ÷ ，b =

÷ ， c = log3 ，則 a，b，c 的大小順序是
è 7 è 5 5
（）
A．b < a < c B． c < a b =

7 5 5 ÷
>1 = log > c = log ，3 3
è è è 5 5
所以 c c > a B．b > a > c C． a > c > b D． a > b > c
【答案】A
a sin π 1【解析】 = = ，
6 2
因為 20 < 20.1 < 21，所以1 c > a，
故選：A.
【變式 2-1】（2024·全國·模擬預測）已知 a = log0.3 0.6，b = 0.50.6， c = 2cos2 22.5° 1，那么a，b， c的
大小關系為（）
A．b【答案】B
1
【解析】因為 0.6 2 1> 0.3 1 1，所以0.6 > 0.32 ，則 a = log0.3 0.6 < log 20.3 0.3 = ，即0 < a < ，2 2
0.5 < b = 0.50.6 < 0.50.5 2 1 2= ，即 < b = ，
2 2 2
c = 2cos2 22.5° 1 cos 45° 2= = ，故 a log 2 2 =3 3 3 2 3
2 2 2 ，
1 1
c 23 22 3= < < ，而 c > 0，所以 a < c b > 0,a + b =1且 x = ÷ , y = log1 a, z = log
è a 1 1
ab ，則
b
+
è a b ÷
x, y, z的大小關系是（）
A． x < z < y B． z < y < x
C． y < z < x D． x < y < z
【答案】A
【解析】由 a > b > 0,a + b =1 0 b
1
，可得 < < < a <1，
2
z = log 1 1 ab = log a+b ab = log則 1 ab = 1 +
è a b ÷ ab ab
因為0 logb b = 1b b ，
b
1 b
因為 x = < 1，所以 x < z < y．
è a ÷
故選：A．
【典例 3-2】（多選題）若 0 < a logb(1+ a)
【答案】AC
【解析】A 選項中，因為 0 < a < 1，故 y = a x 在 R 上單調遞減，故 ab < aa，
因為 y = xa在 0, + 上單調遞增，故 aa < ba ，綜上， ab < aa < ba ，A 正確；
B 選項中，由于 a + b ab 1 = (a 1)(1 b) < 0，而已知 0 < a < b <1，所以 B 不正確；
C 1 b 1 a選項中， a g(1) = 0 f (x) > 0，x
所以 f (x) 在 0,1 上遞增，這樣 f (a) < f (b)，故 C 正確；
1 1 4 2 3 10
D 選項中，取 a = ，b = ，則 log (1+ b) = log = log
9 3 a 1 3 1
， logb (1+ a) = log3 1
，
9 3 3
9
2 3 6 3 10
又 = > >1，故 loga (1+ b) = log
4 10
1 < log3 b
(1+ a) = log1 ，所以 D 錯誤.
3 9 9 9 3 9
故選：AC.
【變式 3-1】（多選題）（2024·海南海口·模擬預測）已知 x，y，z 都為正數，且 2x = 3y = 6z ，則（）
2 1 1 1A． xy > 4z B． + < C． x + y > 4z D． x + y < 5zx y z
【答案】ACD
【解析】令 2x = 3y = 6z = k >1，則 x = log2 k ， y = log3 k ， z = log6 k ，
1 1 log 2 log 3 1所以 + = k + k = logx y k
6 =
z ，B 錯誤；
z xy xy
xy
= < = x y > 0 4z2 < xy A
x + y 2 xy 2
（注意等號不成立），故，正確；
z xy (x + y)
2 x + y
= < = （注意 x y > 0等號不成立），則 4z < x + y，C 正確，
x + y 4(x + y) 4
由 x + y 5z = log2 k + log3 k 5log6 k ，令 f (x) = log2 x + log3 x 5log6 x 且 x (1,+ )，
f (x) 1 ( 1 1 5 ) 1 [(ln 6)
2 5ln 2ln 3
則 = + = × ]，
x ln 2 ln 3 ln 6 x ln 2 ln 3ln 6
由 (ln 6)2 5ln 2ln 3 = (ln 2 + ln 3)2 5ln 2ln 3
3 1
= (ln )2 ln 2 ln 3 < (ln e)2 ln 2 ln 3 = ln 2 ln 3，
2 4
4
因為 ln 3 > ln e = 1
1
，故 ln 2 ln 3 1 e< ln 2 = ln < 0，
4 4 2
綜上， f (x) < 0 ，即 f (x) 在 x (1,+ )上單調遞減，
所以 f (x) < f (1) = 0，故 log2 x + log3 x < 5log6 x恒成立，即 x + y < 5z ，D 正確.
故選：ACD
1 1 1
【變式 3-2】（多選題）（2024·山西·模擬預測）已知當 x > 0時， < ln(1+ ) < ，則（）
1+ x x x
10 1 1 1A． < e9 9< B． ln 9 <1+ +L+ < ln10
9 8 2 9
(10
0 1 9
C 9． ) < 9! D C C C． ( 9 2 9 2 9 2
e 90
) + ( 1 ) +L+ ( ) < e9 99
【答案】ACD
1 1
【解析】因為 < ln(1
1) 1 1 1 1 9+ < ，令 x = 8， = < ln(1+ ) = ln e9 9，則 < ，
1+ x x x 1+ 8 9 8 8 8
1
令 x = 9 ， ln(1
1
+ ) 10 1= ln < 10，則 < e9 ，A 正確；
9 9 9 9
ln(1 1因為 + ) = ln
x +1 1 ln 2 1 ln 3 1 ln 10 1 1 1< ，則 < ， < ，…， < ，以上各式相加有 ln10 <1+ +L+ ，B
x x x 1 2 2 9 9 2 9
錯誤；
由 ln(1
1
+ ) x +1 1= ln < 得， x ln(x +1) x ln x 1< 0，即 x ln(x +1) (x 1) ln x 1< ln x ，
x x x
于是 ln 2 1< ln1， 2ln 3 ln 2 1< ln 2，3ln 4 2ln 3 1< ln 3，…，9ln10 8 ln 9 1< ln 9，
9 109 10
以上各式相加有9ln10 9 < ln 9!，即 eln10 9 = 9 = ( )
9 < 9!，C 正確；
e e
0 1 9
由 ln(1
1 1
+ ) < 得， (1
1
+ )x < e C，因此 9 C9 L C9 (1 1+ + + = + )90 < e ，x x x 9 91 99 9
k, n N*, k n C
k
n n(n 1)(n 2)L(n k +1)設， k = k 1，n n × k !
k k 0 1 9 0 1 9
則 (Cnk )
2 Cn C C C C C C k ，所以 (
9 )2 + ( 9 2 9 2 9 9 9
n n 90 91
) +L+ ( 9 ) < 0 + 1 +L+ 9 < e，D 正確．9 9 9 9
故選：ACD
【變式 3-3】（多選題）（2024 b·湖北·模擬預測）已知正實數 a，b，c 滿足 c < ba <1< logc a ，則一定有
（）
A．a < 1 B． a 1 = logc c ，所以 a < c <1．
所以 ab < cb ，又 cb < ba ，所以 ab < ba ，
ln a ln b
即b ln a < a ln b，等價于 < ，
a b
f x ln x構造函數 = ， x > 0
x
f x 1 ln x=
x2
，
當 x 0,1 f x 1 ln x時， = 2 > 0x
f x ln x故 = 在 0,1 上遞增，從而 a < b ．
x
又取b = c b a時，原式為b < b <1< logb a同樣成立，
故 CD 不正確，
故選：AB
題型四：構造函數
【典例 4-1】設 a = log
2
3 2 ，b = log4 3， c = ， d = log5 3，則（）3
A． a 0可得： x 0,e ，令 f x < 0可得： x e, + ，x
所以 f x 在 0,e 上單調遞增，在 e, + 上單調遞減．
f 3 > f 4 = f 2 ln 3 ln 4 ln 2故，即 > = ，
3 4 2
ln 2 2
變形可得 < ，即 log 2
2
3 < ，所以 a < c；ln 3 3 3
2
又3ln 3 = ln 27 > ln 25 = 2ln 5，所以 < log5 3，又因為 log5 3 < log4 3，3
所以 c < d < b，綜上， a < c < d < b，
故選：B．
1 1 1 6 6
【典例 4-2】（2024

·湖北武漢·二模）設 a = ,b = 2ln5
sin + cos ÷ ,c = ln ，則 a,b,c的大小關系是
è 10 10 5 5
（）
A． a 0，
所以 f (x) = x sin x 在( 0, 1)上單調遞增，
1 1 1 1
所以 f ÷ > f (0) = 0，即 > sin ，所以b = ln 1+ sin ÷ < ln
1 1+
5 5 5 5 5 ÷
，
è è è
設 g(x) = x ln(x +1) ， x (0,1) ，則 g (x) 1
1 x
= = > 0，
x +1 x +1
所以 g(x) = x ln(x +1) 在( 0, 1)上單調遞增，
g 1 所以 ÷ > g(0) 0
1
= > ln 1 1+ ，即 > ln
1 sin 1+
è 5 5 è 5 ÷ ÷
，
è 5
綜上 a > b，
設 h(x) x
6
= ln(x +1)， x (0,1) ，則 h (x) =1
6 5x 1
= ，
5 5x + 5 x +1
x 0, 1 當 ÷ 時， h (x)
1
< 0
5 ，當
x ,15 ÷時，
h (x) > 0，
è è
1 1
所以 h(x)
6
= x ln(x +1) 在 0,

5 ÷上單調遞減，在
,1
5 ÷上單調遞增，5 è è
1 1 6 1 6 6
所以 h ÷ < h(0) = 0 ，即 < ln 1+ = ln a < c
è 5 5 5 è 5 ÷ 5 5
，所以，
所以b < a < c
故選：B.
4
【變式 4-1】設 a = ,b = ln1.04,c = e0.04 1，則下列關系正確的是（）
105
A． a > b > c B．b > a > c
C． c > a > b D． c > b > a
【答案】D
【解析】設 f x = ex x +1 , g x = ln x x 1 ，則 f x = ex 1, g x 1 x = ，
x
易知 x > 0 f x > 0,1 > x > 0 g x > 0，且 x < 0 f x 0, x 1 g x < 0，
所以 f x 在 ,0 上單調遞減，在 0, + 上單調遞增； g x 在 0,1 上單調遞增，在 1, + 上單調遞減，
即 f x f 0 = 0 ex 1 x，在 x = 0時取得等號，
且 g x g 1 = 0 ln x x 1 1 1，在 x =1時取得等號，則 ln 1 x > 0 ln x 1 1 ，在 x =1時取得等
x x x
號，
1 4 4
所以 e0.04 1 > 0.04 =1.04 1 > ln1.04 >1 = > ，即 c > b > a .1.04 104 105
故選：D
【變式 4-2】（2024·全國·模擬預測）已知 a = 5050 ，b = 4951， c = 5149，則（）
A．b【答案】B
【解析】因為 a = 5050 ，b = 4951，所以 ln a = 50ln 50， ln b = 51ln 49，
1
令 f (x)
ln x
=
x 1
2 1+ ln xx > e ，則
+ f (x) =
x ，
x +1 2
令 g x =1 1+ ln x x x +1> e2 ，則 g x = x x2 < 0恒成立，
所以 g x 在 e2 ,+ 2 1上單調遞減，則 g x < g e =1+ 2 2 < 0，e
所以 f (x) < 0 e2在 ,+ 上恒成立，則 f (x) 上單調遞減，又 e2 < 49 < 50，
f 50 < f 49 ln 50 ln 49所以，即 < ，即50ln 50 < 51ln 49 ，
51 50
所以 ln a < ln b ，則 a e2 ，則 h (x) = x ，x 1 x 1 2
1 1 x
令j x =1 ln x x > e2 ，則j x = 2 < 0 恒成立，x x
2 2 1
所以j x 在 e ,+ 上單調遞減，則j x < j e =1 e2 2 < 0，
所以 h (x) < 0在 e2 ,+ 上恒成立，則 h(x) 上單調遞減，又 e2 < 50 < 51，
所以 h 51 < h 50 ln 51 ln 50，即 < ，即 49ln 51< 50ln 50 ，
50 49
所以 ln c < ln a，則 c < a；
綜上， c故選：B．
【變式 4-3】已知 a = log2 986 log2 985,b =1 cos
1 ,c 1= ，則（）
986 985
A．b > a > c B．b > c > a C． a > c > b D． c > b > a
【答案】C
【解析】設 g x = log 2 x +1 x, x 0,1 ，則 g x
1
= 1
x +1 ln 2 ，
x 0, 1當 1

÷ 時， g x > 0， g x 單調遞增；
è ln 2
x 1當 1,1

÷時， g x < 0， g x 單調遞增；
è ln 2
又 g 0 = g 1 = 0，所以 g x = log2 x +1 x > 0, x 0,1 ，
1 1
所以 a = log2 986 log2 985 = log2 1+ 985 ÷
> = c；
è 985
0 < b =1 cos 1 <1 1 1，0 < < c = <1，
986 986 985
設 f x =1 cos x x ，0 < x <1，
f x = sin x 1< 0，所以函數 f x 在區間 0,1 上單調遞減，
所以 f x =1 cos x x < f 0 = 0，
1
所以1 cos x < x ，又0 < <1，
986
所以1 cos
1 1 1
< < ，則b < c ，
986 986 985
綜上， a > c > b .
故選：C.
題型五：數形結合
1
【典例 5-1】（2024·高三·海南·期末）若a = ln1.1,b = 0.9 ,c = 0.1，則（）e
A． a < b < c B． c < b < a C． a < c g 0 e 0.9，即 0.9 +1 > e0 0 +1 = 0，即 e 0.9 > 0.1；
1
c = 0.12 > 0.11 = 0.1，故a最小，
1 1 1 0.9 10 9 10b = 0.9 ,c = = ， e < 3 =19683， 10 =105 =100000 ，e 10 10
10 10 1 1
因為19683 <100000 ，所以 e0.9 < 39 < 10 ，所以 e0.9 < 10 ， e0.9 > ，10
所以b > c > a
故選：C
1 3
【典例 5-2】（2024·陜西商洛·模擬預測）設 a = sin0.2,b = 0.16,c = ln ，則（
2 2 ）
A． a > c > b B．b > a > c
C． c > b > a D． c > a > b
【答案】D
2
【解析】設 f x = sinx x x , x 0,0.2 , f x = cosx 1+ 2x ，
設 g x = f x , g x = sinx + 2 > 0，所以 g x g 0 = 0 ，
所以函數 f x 在 0,0.2 上單調遞增，
f 0.2 = sin0.2 0.2 0.22所以 = sin0.2 0.16 > f 0 = 0，即 a > b .
c 1 ln 3 1 1.2 1 1+ 0.2根據已知得 = = ln = ln ，
2 2 2 0.8 2 1 0.2
可設 h x 1= é ln 1+ x ln 1 x sinx, x 0,0.22 ù ，
則 h x 1= 1 1 + ÷ cosx
1
= cosx > 0
2 ，è1+ x 1 x 1 x2
所以函數 h x 在 0,0.2 上單調遞增，
所以 h 0.2 > h 0 = 0，即 c > a .
綜上， c > a > b .
故選：D.
【變式 5-1】已知 a = 0.80.5 + 0.80.7 + 0.80.9 0.8
8 12 1
，b = 0.6 + 0.70.8 + 0.80.8 ， c = e 15 + e 35 + e 5 ，則（）
A． a > b > c B． a > c > b C． c > a > b D．b > c > a
【答案】A
x
【解析】設 f x = 0.8 ，畫出 f x 的圖象，
故 f x 為下凸函數，
f x1 + f x2 x + x
當 x1 x 1 22 時 > f2 ÷
，
è 2
所以0.80.5 + 0.80.9 > 2 0.80.7 ， a = 0.80.5 + 0.80.7 + 0.80.9 > 3 0.80.7 .
g x = x0.8設 x > 0 ，畫出 g x 圖象，
g x + g x故 g x 為上凸函數，當 x x 1 2 g x時 < 1 + x2 1 2 ，2 ÷è 2
所以b = 0.60.8 + 0.70.8 + 0.80.8 < 3 0.70.8 ，
同一坐標系內畫出 f x = 0.8x 和 r x = 0.7x 的圖象，
又 y = 0.7x 在 R 上單調遞減，故0.80.7 > 0.70.7 > 0.70.8 ，所以 a > b .
設 h x = ln x 1 1 + 0 < x <1 ，則 h x 1 1= < 0， h x 在 0,1 上單調遞減，
x x x2
所以0 < x <1時 h x > h 1 = 0，
4 5 8
所以 ln x > 1
1
，0.8ln 0.6 >

1 ÷ = x 5 è 3
，
15
8 12 1
所以0.60.8

> e 15 ，同理可得

0.70.8 > e 35 ，0.80.8 > e 5 ，
8 12 1
相加得0.60.8 + 0.70.8 + 0.80.8

> e 15 + e 35 + e 5 ，b > c ，
所以 a > b > c .
故選：A
【變式 5-2】（2024·四川廣安·二模）已知a，b， c均為正數， a
4
=1+ 2a 2，b = 4 + b 2 3b ，
a
4 c2
= log4 c + 3 ，則a，b， c的大小關系為（）c
A．b【答案】B
4 a 4 a 2 b 4 b
【解析】 a =1+ 2 可變形為： a =1 2 ，b = 4 + b 2 3 可變形為：b = 2 3 ，
a a b
4 c2
= log4 c + 3
4
可變形為： c = log c + 3 ，
c c 4
令 f x = x 4 ， g x =1 2x， h x = 2 3x ， q x = log4 x + 3 ，且 x > 0，x
可知 a,b,c分別為函數 f x 與 g x ， h x ， q x 的交點橫坐標，
當 x > 0時， f x 單調遞增且 f 1 = 3， f 2 = 0 ，
g x ， h x ， q x 這三個函數全部單調遞減，且 g 1 = h 1 = q 1 = 1 > 3， g 2 = 3 < 0，
h 2 = 7 < 0， q 2 = log4 5 < 1< 0，
由零點存在性定理可知： a,b,c 1,2 ，所以只需判斷 g x ， h x ， q x 這三個函數的單調性，在
x 1,2 范圍內下降速度快的，交點橫坐標小，下降速度慢的交點橫坐標大，
由圖象可知， q x = log4 x + 3 下降速度最慢，所以 c最大，
g x = 2x ln 2， h x = 3x ln 3， x > 0時， g x > h x ，所以交點 a > b，
故選：B
a 1 b
【變式 5-3】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知 2 = log 1 a， ÷ = log 1b，則下面正確的是（）
2 è 2 2
1
A． a > b B． a <
4
1
C．b 2> D． a b <
2 2
【答案】D
x x
【解析】令 f x = 2 log 1 x = 2 + log x 2
a
2 ，由 = log 1 a，故 f a = 0，
2 2
由 y = 2x 與 y = log2 x 在 0, + 上單調遞增，故 f x 在 0, + 上單調遞增，
1 1 1 1f 1
1 1 1 1
又 ÷ = 24 + log 42 = 2 2 < 0， f ÷ = 22 + log2 = 2 1 > 0 ，故 a ,4 2 ÷，故 B 錯誤；è 4 4 è 2 2 è
x x
令 g x 1= ÷ log
1
1 x =

÷ + log2 x，
è 2 2 è 2
y 1
x
由函數 = 的圖象及 y = log x的圖象可得 g x 在 0, + 上只有一個零點，
è 2 ÷
2

1
b

由 ÷ = log 1b，故 g b = 0，
è 2 2
2 2

又 g 2 1
1
2 2
÷÷ = ÷ + log
2 1 1 1 1
2 2 2
=
2 ÷
> ÷ = 0，
è è è 2 2 è 2 2
1 1
1 1 2 1 1 2 1
0
1 2 g 2 ÷
= ÷ + log2 = ÷ 1 < ÷ 1 = 0，故b , ÷÷，故 C 錯誤；
è è 2 2 è 2 è 2 è 2 2
有 a 1， n N* ，則 (1+ x)n 1+ nx ．伯努利不等式是數學中的一
種重要不等式，它的應用非常廣泛，尤其在概率論、統計學等領域中有著重要的作用．已知
a = log2 2024 log2 2023，b
1 1
= 1 cos ， c = ，則（）
2024 2023
A．b > a > c B． a > c > b C．b > c > a D． c > b > a
【答案】B
【解析】 a = log2 2024 log2 2023 log
2024
= c 1 20242 ， = = 12023 2023 2023
，
令 f x = log2 x, g x = x 1，兩函數圖象如圖所示，
因為 f x 、g x 均單調遞增，且 f 1 = g 1 , f 2 = g 2 ，
結合圖象可知當 x 1,2 時， f x > g x ，即 log2 x > x -1，
log 2024 2024故 2 > 1 a > c2023 2023 ，故；
π
如圖，單位圓 A 中，BD ^ AC 于D，設 BAC = q ，0 < q < ，
2
則B C 的長度 l = q ， AD = cosq ， CD =1 cosq ，
則由圖易得， l > BC > CD ，即θ >1- cosθ ，
1 1
所以 > >1- cos
1
，故c > b ；
2023 2024 2024
綜上， a > c > b .
故選：B.
1 1 1
【變式 5-5】（2024·高三·江蘇蘇州·期中）設 a = cos ，b = sin 4， c = e 5 ，則 a，b，c 的大小關系為5 5 5
（）．
A．b < a < c B． a < c < b C．b < c < a D． a S1 > SVABO ，即 tana > a > sina ，故 tana > a > sina ，2 2 2
1 0, π因為
1 1 1
5 ÷，所以
tan > > sin ，
è 2 5 5 5
又 cos
1 0 1 1 1 1 1> ，由 tan > 得 sin > cos ，即b > a，
5 5 5 5 5 5
令 f x = ex x 1， x < 0 ，
則 f x = ex 1，當 x < 0 時， f x = ex 1< 0，
故 f x 在 ,0 上單調遞減，
4 4
所以 f ÷ > f 0 0

= 1
5 ，所以 e
5 > ，
è 5
故c > b ，
綜上， a < b < c .
故選：D
a b
1
【變式 5-6】（2024 1 ·江西南昌·三模）若 ÷ = log a
1
2 ， ÷ = b
2， c 2 = 2 c，則正數 a,b,c大小關系是è 2 è 2
（）
A． c < a < b B． c < b < a
C． a < c < b D． a < b < c
【答案】B
1 a 1 x
【解析】由 ÷ = log a a

2 ，則為 y = ÷ 與 y = log2 x 交點的橫坐標，
è 2 è 2
1 b x
由 ÷ = b
2 1 ，則b為 y = ÷ 與 y = x
2 交點的橫坐標，
è 2 è 2
c x
1 1 1 1 1
由 c 2 = 2 c，即 c
2 = 2 ÷
，則 c為 y = ÷ 與
è è 2 y = x
2 交點的橫坐標，
x
1 1
作出 y = ÷ ， y = log2 x ， y = x
2 ， y = x 2 的圖象如下所示，è 2
由圖可知， c b，則（）
A 1
b a
． a <
1
b B． + > 2 C． e
a b >1 D． ln a > ln ba b
【答案】C
【解析】取 a =1,b = 1
1 1
，滿足 a > b，但 > ，A 錯誤；
a b
當 a =1,b = 1
b a
，滿足 a > b，但 + = 2 < 2，B 錯誤；
a b
因為 a > b，所以 a b > 0，所以 ea b >1，C 正確；
當 a<0或b < 0時， ln a, ln b無意義，故 D 錯誤．
故選：C
【典例 6-2】已知 a = 2x ，b = ln x ， c = x3 ，若 x 0,1 ，則 a、b、c 的大小關系是（）
A． a > b > c B． a > c > b
C． c > b > a D． c > a > b
【答案】B
3
【解析】取 x
1 1 1
= 1 ，則
2 a = 22 >1
，b = ln < 0， c =
2 ÷
<1，所以 a > c > b．
è 2
故選：B．
1
【變式 6-1】已知 a = 3，b = 24 ， c = log2 e，則a，b， c的大小關系為（）
A． a > b > c B． a > c > b
C．b > a > c D．b > c > a
【答案】B
【解析】由 a4 = 9，b4 = 2 ，可知 a > b >1，
3 3
又由 e2 < 8，從而 e < 2 2 = 22 ，可得 c = log2 e < < a，2
因為b4 (
6)4 2 1296= < 0，所以1 2.75
6
64 > 0，從而 e5 > 26 ，即 e > 25 ，
6 6
由對數函數單調性可知， c = log2 e >log2 25 = ，5
綜上所述， a > c > b．
故選：B．
【變式 6-2】（2024 a b·陜西安康·模擬預測）若 a,b,c滿足 2 > 2 , log3c < 0，則（）
1
A． > 0 B．ac > bc b a c
C． ac > bc D． a + c > bc
【答案】C
1
【解析】由 2a > 2b , log < 03c < 0，得 a > b,0 < c <1，所以b a < 0，所以 b a c ，所以A 錯誤；
令 a = 1,b = 2,c
1
= ，此時 ac 與bc 無意義，所以B錯誤；2
因為 a > b,0 < c <1，所以由不等式的性質可得 ac > bc ，所以C 正確；
令 a = 2,b 3,c
1 3
= = ，則 a + c = = bc ，所以D 錯誤.
2 2
故選：C .
題型七：放縮法
π 9π
【典例 7-1】（2024·全國·模擬預測）已知 6a = e10 ，b =1+ sin ，，則a，b， c的大小關系為10 c =1.1
（）
A． a > b > c B． a > c > b C． c > a > b D． c > b > a
【答案】C
【解析】令 f x = ex x 1 x 0 ，則 f x = ex 1 0恒成立，
所以 f x 在 0, + 單調遞增，
所以當 x > 0時， f x > f 0 = 0 x，即 e > x +1 x > 0 ；
令 g x = x sin x x 0 ，則 g x =1 cos x 0恒成立，
所以 g x 在 0, + 單調遞增，
所以當 x > 0時， g x > g 0 = 0，即 sin x < x(x > 0)；
9π
由誘導公式得b =1+ sin =1+ sin
π
，
10 10
b 1 sin π
π
所以 = + <1 π+ < e10 ，因此 a > b；
10 10
π 4 0.4
因為 a = e10 < e10 = e0.4， c =1.1
6 = 1.115 ，
故只需比較 e與1.115 的大小，
15 15 1 1 2 2
由二項式定理得，1.1 = (1+ 0.1) > 1+ C15 (0.1) + C15 (0.1) > 3 > e，
所以 c > a ．
綜上， c > a > b .
故選：C
3
1 π
【典例 7-2 4】（2024·全國·模擬預測）已知 a = log 12，b = sin ， 1 ，則（）
3 5 10 c = è 7 ÷
A． a log5 125
1
= ，b sin
π sin π 1= < = ，
3 6 6 2 10 6 2
所以b < a ．
3 1 1
b sin π sin π π 1 π 1 π 1因為 = > cos = sin > sin = ， c 1
4 1 4 1 4 1
10 10 10 2 5 2 6 4 = =

7 ÷ 343 ÷
< ÷ = ，
è è è 256 4
所以 c 2 C． a + b > 2 D． + > 4a b
【答案】C
【解析】因為 a = lg 2,b = lg5，所以 a + b = lg 2 + lg5 = lg10 =1，
對于 A，易得0 < a <1,0 lg = 1，所以 2 > 2 = ，故 B 成立.
5 10 2
對于 C， ( a + b )2 = 1+ 2 ab 1+ a + b = 2，
a b 1當且僅當 = = 時，等號成立，
2
顯然等號不成立，所以 a + b < 2 ，故 C 不成立.
對于 D，因為 a + b =1且 a b ，
1 1 (a b) 1 1 b a b a所以 + = + + = 2 + + > 2 + 2 × = 4 ，故 D 成立.
a b ÷è a b a b a b
故選：C.
3 13
【變式 7-2】（2024·江西宜春·模擬預測）若 0.3a = e 10 ，b = 0.3e ， c = ln1.3，則（10 ）
A． a > b > c B． a > c > b C．b > a > c D． c > b > a
【答案】A
3
【解析】顯然 a = e 10 > 0，b = 0.3e
0.3 > 0，
b 0.3e0.3
因為 = 3 = 0.3e
0.6 < 0.3e < 0.9 <1
a ，所以 a > b；e 10
13
又因為b = 0.3e0.3 = e0.3 ln e0.3， c = ln1.3 = 1.3ln1.3，10
令 g x = ex x 1， x > 0 x．則 g x = e 1 > 0，
可知 g(x)在 0, + 上單調遞增，
則 g 0.3 > g 0 = 0 e0.3，可得 >1+ 0.3 =1.3 1> ，
e
令 f (x) = x ln x x
1
， > ，則 f x ln x 1 0 1= + > , + 在 e ÷內恒成立，e è
1
可知 f (x)

在 ,+

e ÷內單調遞增，è
f e0.3則 > f 1.3 ，即 e0.3 ln e0.3 >1.3ln1.3，所以b > c ；
綜上所述： a > b > c．
故選：A．
【變式 7-3】（2024·內蒙古呼和浩特·二模）設 a = log615，b = log8 20， c = log2012 2024，則a、b、 c的
大小關系為（）
A． a < b < c B． a < c < b
C．b < a < c D． c < b < a
【答案】D
a 15= log 15 = log 6 5【解析】 6 6 ÷ = log6 +1，
è 6 2
b log 20 log 20 5= 8 = 8 8÷ = log8 +1
è 8 2
，
c log 2024 log 2024= 2012 = 2012 2012
506
÷ = log2012 +1
è 2012 503
，
5 5
因為 log6 ＞log8 ，所以 a＞b ，2 2
log 5 log 2 1因為 8 ＞ = ，2 8 3
log 506
1 1
＜log 10 = log 3 3 12012 2012 2012 1000 ＜log2012 2012 = ，503 3
所以b＞c ，
所以 c 2.22
C．3.32 > 23.3 D．3.34 < 43.3
【答案】C
【解析】對于 A，由于 2 >1,0 < ln 2 <1，
2 2所以 2 > ln 2 > 0, 2 > ln 2 2 ，故 > ln2，故 A 錯誤；ln2
對于 BCD，設 f x ln x= ，則 f x 1 ln x= ，
x x2
當 x>e時， f x < 0，此時 f x 單調遞減，
當0 < x < e時， f x > 0，此時 f x 單調遞增，
因此 f 2.2 > f 2 , f 3.3 > f 4 ，
ln 2.2 ln 2
> 2ln 2.2 > 2.2 ln 2 22.2即 < 2.22 ，故 B 錯誤；
2.2 2
ln 3.3 ln 4
> 4ln 3.3 > 3.3ln 4 2ln 3.3 > 3.3ln 2 3.32 > 23.3 ，故 C 正確；
3.3 4
ln 3.3 ln 4
> 4ln 3.3 > 3.3ln 4 3.34 > 43.3，故 D 錯誤.
3.3 4
故選：C
題型八：不定方程
【典例 8-1】已知 a、b、c 是正實數，且 e2a 2ea+b + eb+c = 0，則 a、b、c 的大小關系不可能為（）
A． a = b = c B． a > b > c
C．b > c > a D．b > a > c
【答案】D
【解析】因為 e2a 2ea+b + eb+c = 0，a、b、c 是正實數，
e2a ea+b + eb+c ea+b = ea ea eb + eb所以 ec ea = 0 ，
因為 a,b,c > 0，所以 ea >1,eb >1,ec >1，
對于 A，若 a = b = c，則 ea eb = ec ea = 0，滿足題意；
對于 B，若 a > b > c，則 ea eb > 0,ec ea < 0，滿足題意；
對于 C，若b > c > a，則 ea eb < 0,ec ea > 0，滿足題意；
對于 D，若b > a > c，則 ea eb < 0,ec ea < 0，不滿足題意．
故選：D．
【典例 8-2】設實數a，b滿足1001a +1010b = 2023a ，1014a +1016b = 2024b ，則a，b的大小關系為（）
A． a > b B． a = b C． a < b D．無法比較
【答案】C
【解析】假設 a b ，則1010a 1010b ，1014a 1014b ，
1001 1010
由1001a +1010b = 2023a 得1001a +1010a 2023a ( )a + ( )a 1，2023 2023
f (x) (1001)x (1010)x 1001 1010 2011因函數 = + 在R 上單調遞減，又 f (1) = + = <1，則 f (a) 1 > f (1)，所
2023 2023 2023 2023 2023
以a < 1；
由1014a +1016b = 2024b b b得1014 +1016 2024b (
1014 )b + (1016 )b 1，
2024 2024
g(x) 1014 1016 1014 1016 2030因函數 = ( )x + ( )x 在R 上單調遞減，又 g(1) = + = >1，則 g(b) 1 < g(1) ，所以
2024 2024 2024 2024 2024
b >1；
即有 a <1 < b與假設 a b 矛盾，所以 a 1，
所以 (log 22 3) > log2 3，
2 (log 2
所以 a 2 = log 3 + log 4 2 = log 3 + 2 = 2 3) log2 32 6 2 > 0，即 a > 2，1+ log2 3 1+ log2 3
故排除 A， B ，
再比較b 與 2 的大小，
易得，當b = 2 時，由3a + 4a = 5b ，得 a = 2與 a > 2矛盾，舍去，
故 a > 2，則有3a + 4a = 5b ，得b > 2 ，
令 f (x) = 3x + 4x 5x ， x > 2，
令 t = x 2，則 x = t + 2，
故 g(t) = 9 3t +16 4t 25 5t < 25 × 4t 25 ×5t < 0，
故3a + 4a = 5b < 5a ，
從而 2 b > 2 B．b > a > 2 C． 2 > b > a D． a > 2 > b
【答案】 A
Qa log 4 log 9 log 4 log 9 2【解析】 = 33 + 12 = 3 + = loglog 12 3
4 + ，
3 1+ log3 4
2 (log 4)2a 2 log 3 log 4故 = 33 4 + 2 = ，1+ log3 4 1+ log3 4
Q log3 4 > log3 3 = 1，\ (log3 4)
2 > log3 4，
故 a 2 > 0，即 a > 2，
Q5a +12a = 13b ，且 a > 2，
\13b > 52 +122 = 132 ，\b > 2，
令 g(x) = 5x +12x 13x (x > 2)，
則 g(x) = 52 × 5x 2 +122 ×12x 2 132 ×13x 2 < (52 +122 ) ×12x 2 169 ×13x 2 < 0，
故13b = 5a +12a < 13a ，即 a > b ，
故 a > b > 2 ，
故選： A．
【變式 8-3】若 a < 4且 4a = a4 ，b < 5且5b = b5 ， c < 6且 6c = c6 ，則 (　　 )
A． a 0)，則 f (x) 1 lnx=
x x2
．
由 f (x) > 0 得： 0 < x < e ．
\函數 f (x) 在 (0,e)上單調遞增，在 (e,+ ) 上單調遞減．
Q4a = a4 ，5b = b5 ， 6c = c6 ，\aln4 = 4lna ，bln5 = 5lnb ， cln6 = 6lnc，
f 4 ln4 lna f a f 5 ln5 lnb f b f 6 ln6 lnc\ （） = = = （），（） = = = （），（） = = = f （c）．
4 a 5 b 6 c
Q6 > 5 > 4 > e ，\ f （6）< f （5）< f （4），\ f （c）< f （b）< f （a），
又Qc < 6 ，b < 5， a < 4，\c ， a，b 都小于 e ，\c < b < a ．
故選： B ．
題型九：泰勒展開
31 1 1
【典例 9-1】已知 a = ,b = cos ,c = 4sin ，則（）
32 4 4
【答案】A
2 2 4
【解析】設 x = 0.25 a 31 1 0.25 b cos 1 1 0.25 0.25，則 = = ， = + ，
32 2 4 2 4!
1 sin
1
2 4
c = 4sin = 41 1
0.25 0.25
+ ，計算得 c > b > a，故選 A．
4 3! 5!
4
1
【典例 9-2 a = e0.2】設 1,b = ln1.2,c = ，則 a,b,c的大小關系為___________．（從小到大順序排）
5
【答案】b【解析】 a = e0.2 1 >1+ 0.2 1 = 0.2 = c ，由函數切線放縮 ln(1+ x) < x 得b = ln 1+ 0.2 < 0.2 = c，因此
a > c > b．
故答案為：b【變式 9-1】設 a = 0.1e0.1,b 1= ,c = ln 0.9 ，則（）
9
A． a < b < c B． c < b < a C． c < a < b D． a < c < b
【答案】C
2
【解析】 a = 0.1e0.1 0.1 1 0.1 (0.01) 1 + + ÷ = 0.1105，b = 0.1111
è 2 9
1
2

÷
c = ln 0.9 10 1 1= ln = ln 1+ è 9 ÷ = 0.10499 è 9 9 2
\c < a < b
故選C
【變式 9-2】 a = 2ln1.01,b = ln1.02,c = 1.04 1，則（）
A． a < b < c B．b < c < a C． c < a < b D． a < c < b
【答案】B
a 2ln1.01 2ln(1 0.01) 2(0.01 (0.01)
2 (0.01)3
【解析】 = = + + ÷ = 0.0199，2 3
b ln(1 0.02) 0.02 (0.02)
2
= + = 0.0198 ，
2
1 1 2
1 1 2
÷ (0.04)
c = 1.04 1 = (1+ 0.04)2 1 1+ 0.04 + è 2 1 = 0.02 0.00002 = 0.0198
2 2
\b < c < a ，故選 B
【變式 9-3】（2024·全國·模擬預測）已知 a = 0.99 ，b = 0.9999 ， c = sin9 則（）
A． a > b > c B．b > a > c C． c > a > b D．b > c > a
【答案】C
1 10 1 1 100 1a = 0.99 = 【解析】由已知， 99 1 ÷ ，b = 0.99 = 1 ，
è 10 è 100 ÷
1 1 1 1 1 ln 1 x
設 f ÷x = 1 x 1x = eln 1 x x = eè x ， x 0,1 ，
1
1÷ ln 1 x
則 f x = eè x é 1 ù× ê 1

x ÷
ln 1 x ，
è
ú

é 1 ù 其中 1 ln 1 x 1= ln 1 x + 1 1 1 ln 1 x + xê ÷ ú 2 ÷ × = ，
è x 2 x è x 1 x x
令 g x = ln 1 x + x g x 1 x，則 = +1 = ，
1 x x 1
當 x 0,1 時， g x < 0，∴ g x 在 0,1 上單調遞減， g x < g 0 = 0，
é 1 ù ∴當 x 0,1 時， ê 1÷ ln 1 x ú > 0， f x > 0， f x 在 0,1 上單調遞增，
è x
1 1 1 10 1 1 100 1∴ f > f a > b .
è10 ÷ 100 ÷
，即 1 è 10 ÷
> 1 ÷ ，∴有
è è 100
對于 c與a， c = sin 9 = sin 3π 9 > sin 9.42 9 > sin 0.4，
0.43
將 sin 0.4泰勒展開，得 sin 0.4 > 0.4 > 0.3893，
3!
a = 1 0.1 9 < C0 0.1 0 + C1 0.1 1 + C 2 0.1 2 + C3 0.1 3 + C 4 0.1 49 9 9 9 9
=1 0.9 + 0.36 0.084 + 0.0126 = 0.3886 < 0.3893 < c ，
∴ a < c .
綜上所述，a，b， c的大小關系為 c > a > b .
故選：C.
題型十：同構法
【典例 10-1】（多選題）（2024·全國·模擬預測）已知實數 a，b 滿足 log3 a + logb 3 = log3 b + loga 4，則下
列關系式中可能正確的是（）
A．$a,b (0,+ ) ，使 | a b |> 1 B．$a,b (0,+ ) ，使 ab =1
C．"a,b (1, + )，有b < a < b2 D．"a,b (0,1)，有b < a < b
【答案】ABC
【解析】由 log3 a + logb 3 = log3 b + loga 4
log b 1 log a 1得 3 = log3 b
3 log ，4 a
令 f (x) = log3 x
1

log x ，則
f (x) 分別在( 0, 1)和 (1, + )上單調遞增，
3
1
令 g(x) = log3 x log x ，則
g(x)分別在( 0, 1)和 (1, + )上單調遞增，
4
當 x (0,1) 時， f x 的值域為R ，當 x (2,+ ) 時， g(x)的值域為 log3 2 2,+ ，
所以存在b (0,1),a (2,+ )，使得 f (b) = g(a) ；
同理可得，存在b (2,+ ),a (0,1)，使得 f (b) = g(a) ，
因此$a,b (0,+ ) ，使 | a b |> 1 ，故選項 A 正確．
令 ab =1，則方程 log3 a + logb 3 = log3 b + loga 4
可化為 logb 3+ logb 4 = 2log3 b，
(ln b)2 ln 3 ln12由換底公式可得 = > 0，
2
顯然關于 b 的方程在 (0, + )上有解，所以$a,b (0,+ ) ，使 ab =1，故選項 B 正確．
1 1 1
當a,b (1,+ )時，因為 log3 b = log a < log a f (b) < f (a)log3 b
3 log a 34 log3 a
，所以．
又 f x 在 (1, + )上單調遞增，所以b < a ．
因為 log3 b
1
= log 13 a > log a
1

log b log 4 ，3 4 a log4 a
令 h(x) = x
1
，則 h(x) 在 (0, + )上單調遞增．
x
因為 h log3 b > h log4 a ，所以 log3 b > log4 a ，
從而 log3 b > log4 a = log2 a > log3 a ，所以b > a ．
綜上所述，b < a < b2，故選項 C 正確．
1 1
當 a,b (0,1) 時，因為 log3 b = log3 a > log
1
log b log a 3
a
log a ，所以
f (b) > f (a) ．
3 4 3
又 f x 在( 0, 1)上單調遞增，所以b > a．
1 1
因為 log3 b = log3 a < log4 a
1

log3 b log4 a log4 a
．
令 h(x)
1
= x ，則 h(x) 在 (0, + )上單調遞增，
x
因為 h log3 b < h log4 a ，所以 log3 b < log4 a，
從而 log3 b < log4 a = log2 a < log3 a ，所以b < a ．
綜上所述，b2 < a < b，故選項 D 錯誤．
故選：ABC．
【典例 10-2】（多選題）已知 a > 0，b > 0且滿足 ab 2b + b ln ab = e，則下列結論一定正確的是（）
A．ab > e B．ab < e C． ab > e2 D． ab < e2
【答案】AD
【解析】等式 ab 2b + b ln ab = e，等號兩邊同除以b，
可得 a 2 + ln ab e= ，
b
所以 a ln a
e
+ = ln b + 2，
b
所以 a + ln a
e
= + 1 ln b +1，
b
a ln a e e所以 + = + ln +1，
b b
a e e
e
構造函數 + ln a = + ln +1

，則 f a = f ÷ +1，b b è b
顯然，函數 f x = x + ln x在定義域 0, + 內是增函數，
所以 a
e
> ，即ab > e．
b
而 ab e = b 2 ln ab ，而ab > e，
故 2 ln ab > 0，故 ab < e2 ，故 D 正確.
故選：AD．
【變式 10-1】（2024·高三·浙江·開學考試）已知 a >1,b > 0，若 a + log2a = b + log2b，則（）
A． a > 2b B． a < 2b
C． a > b2 D． a < b2
【答案】D
【解析】當 a = 4時， a + log2a = b + log2b = 4 b + log2b 4 = 0，
函數 g x = x + log2 x 4 是正實數集的上的增函數，
因為 g 2 g 4 = 1 2 < 0，因此b 2,4 2b 4,8 ，顯然 a < 2b，
因此選項 A 不正確；
當 a =16時， a + log2a = b + log2b = 8 b + log2b 8 = 0，
函數 h x = x + log2 x 8是正實數集的上的增函數，
因為 h 4 g 8 = 2 3 < 0，因此b 4,8 2b 8,16 ，顯然 a > 2b，
因此選項 B 不正確；
因為 a > 1，所以 log2a > 0
由 a + log2a = a + 2log2 a > a + log2 a b + log2b > a + log2 a ，
構造函數 f x = x + log2 x x > 0 ，顯然該函數單調遞增，
由b + log2b > a + log2 a f b > f a b > a b2 > a ，因此選項 C 不正確，選項 D 正確，
故選：D
b
【變式 10-2 a b】（2024·重慶·模擬預測）已知正實數 a, b 滿足 2 = 8 + log2 ,則（）a
A． a = b B． a < 3b C． a = 3b D． a > 3b
【答案】B
a
【解析】由 2 = 8b log
b
+ a 3b2 可得 2 2 = log2 b log2a = log2 (3b) log2a log2 3,a
log 3 >1 a 3b a 3b因 2 ，則有 2 2 < log2 (3b) log2a,即 2 +log2a < 2 + log2 (3b),（*）
設 f (x) = 2x +log2x，則（*）即 f a < f 3b ，因 f (x) 在 (0, + )上為增函數，故可得： a < 3b .
故選：B.
【變式 10-3】（多選題）（2024·遼寧撫順·模擬預測）已知實數 a，b 滿足 a > 0， a 1，b > 0，且
ln b a 1= ，則下列結論正確的是（
a ）
A．當 0 < a < 1時，b < a B．當 a > 1時，b > a
C． loga b >1 D． loga b > 2
【答案】ABC
ln b ln a a 1 1【解析】因為 = ln a = a 2ln a ，
a a
1 2
令函數 f x = x 2ln x，則 f x 1 1 2 x 1 = + = 0，x x2 x x2
則函數 f x 在 0, + 上單調遞增，且 f 1 = 0，
可知當 x 0,1 時， f x < 0 ；當 x 1,+ 時， f x > 0；
f a ln b ln a a 1且 = = 2ln a ，則有：
a
當0 < a < 1時， f a < 0，即 ln b ln a < 0，可得 0 1時， f a > 0，即 ln b ln a > 0，可得b > a >1，故 B 正確；
又因為當 0 loga a =1；
當b > a >1時， y =loga x在定義域內單調遞增，可得 loga b > loga a =1，
所以 C 正確，D 錯誤．
故選：ABC.
【變式 10-4】（2024·陜西西安·模擬預測）若e2a eb > 4a2 b2 +1，則（）
A． 4a2 > b2 B． 4a2 < b2
1 1 1
C ( )a > ( )b D ( )a (
1
< )b．．
4 2 4 2
【答案】D
【解析】不等式 e2a eb > 4a2 b2 +1 e2a (2a)2 > eb b2 +1 > eb b2 ，
令函數 f (x) = ex x2 ，求導得 f (x) = ex 2x ，令 g(x) = ex 2x，求導得 g (x) = ex 2，
當 x < ln 2時， g (x) < 0，當 x > ln 2時， g (x) > 0，函數 g(x)在 ( , ln 2) 上遞減，在 (ln 2,+ ) 上遞增，
g(x)min = g(ln 2) = e
ln 2 2ln 2 = 2(1 ln 2) > 0 ，即 f (x) > 0 ，因此函數 f (x) 在 R 上遞增，
原不等式等價于 f (2a) > f (b)，于是 2a > b，
對于 AB，取 2a =1,b = 1，有 4a2 = b2，AB 錯誤；
1
CD ( )2a
1
< ( )b對于，，即 (
1)a 1< ( )b ，C 錯誤，D 正確.
2 2 4 2
故選：D
題型十一：帕德逼近估算法
1
【典例 11-1】已知 a = e0.2 1，b = ln1.2， c = ，則（）
6
A． a < b < c B． c < b < a C． c【答案】B
2
a e0.2 1 0.2 + 6 0.2 +12 13.24【解析】利用帕德逼近，得 = 2 1 = 1 0.2214，0.2 6 0.2 +12 10.84
2 1
b = ln1.2 3 1.2 3 1.32 = 0.1823， c = 0.16662 ，綜上， c < b < a .1.2 + 4 1.2 +1 7.24 6
故選：B
ln1.5
【典例 11-2】已知 a = e0.3，b = +1，
2 c = 1.5
，則（）
A． a < b < c B．b【答案】B
【解析】利用帕德逼近可得，
2
a e0.3 0.3 + 6 0.3+12 13.89= 2 = 1.34990.3 6 0.3 +12 10.29
b ln1.5 1 1 3 1.5
2 3 1 1 3.75= + 2 + = +1 1.20272 2 1.5 + 4 1.5 +1 2 9.25
c 1 1= 1.5 = 1+ 0.5 1+ 0.5 0.52 =1.21875
2 8
綜上，b故選：B.
1
【變式 11-1】已知 a = ，b = ln1.01， c = e0.01 1，則（）1.01
A． a < b < c B．b【答案】B
a 1
2
【解析】 = 0.9900 b ln1.01 3 1.01 3， = 2 0.00995，1.01 1.01 + 4 0.1+1
c e0.01 1 0.01
2 + 6 0.01+12 1 12.0601= 2 = 1 0.01005，0.01 + 6 0.01+12 11.9401
綜上，b故選：B
【變式 11-2】已知 a = 2ln1.02，b = ln1.05， c = 1.1 1，則（）
A． a < b < c B．b【答案】A
a 2ln1.02 2 3 1.02
2 3 0.1204
【解析】 = 2 = 2 0.03934，1.02 + 4 1.02 +1 6.1204
b ln1.05 3 1.05
2 3 0.3075
= 2 = 0.4879，1.05 + 4 0.5 +1 6.3025
c = 1.1 1 = 1+ 0.1 1 1 1+ 0.1 0.12 1 =1.4875 .
2 8
綜上， a 0得0 < x < e ，令 f x < 0得 x > e2x (2x) ，
所以 f x 在 0,e 上單調遞增，在 e, + 上單調遞減，
2 2
2 ln2 lne2 ln2 ln
e ln e 2
因為 c = = = 2 = 2

2 = f
e ，
e e2 e2 e2 2 ÷è
a ln2 f 4 ,b 1且 = = = = f e ，
4 2e
e
2
則 f e > f ÷ > f 4 ，即 a < c < b .
è 2
故選：C.
2．（2024·寧夏銀川·三模）設 a = 90.2 ，b = 30.31， c = 3ln1.3 ，則（）
A． c f 1 = 0，即 f 1.3 =1.3 1 ln1.3 = 0.3 ln1.3 > 0 ，
所以0.3 > ln1.3，
又指數函數 y = 3x 為單調遞增，可得30.31 > 30.3 > 3ln1.3 ，即b > c ，
因為 a = 90.2 = 30.4 > 20.4 > 20.31 = b ，所以 c e，求導得 f (x)
1 ln x
= 2 < 0，即函數 f (x) 在 (e, + )上單調遞減，x x
ln e
2
ln2 ln4 2 2
而 a = = ,b
ln3
= ,c 4 2ln2= 2 e e2 = e2 ，又
3 < < 4，因此
2 4 3 e f (3) > f ( ) > f (4)
，
2 2
2
所以 a < c b > c B．b > c > a C．b > a > c D． a log5 1
=1
2 ， a
2
= ( )3 = [(2)4 ]12 (16= )12 3 1> ( )12 = ( )4 = c ，而 a 2= ( )3 <1，
2 2 3 3 81 81 3 3
所以 a，b，c 的大小關系為b > a > c .
故選：C
5．已知 a = 3ln 7 ，b = 4ln 6 ， c = 5ln5， d = 6ln 4 ，則在 b a ， c b ， d c ， d b ， d a ， c a 這 6 個數
中最小的是（）
A． b a B． c b C． d b D． c a
【答案】C
【解析】因為 ln a = ln 3 × ln 7， ln b = ln 4 × ln 6，
ln c = ln 5 × ln 5， ln d = ln 4 × ln 6，則 d = b ，故 d b = 0，
又 b a > 0， c b > 0， d c > 0， c a > 0， d a > 0 ，故最小值是 d b ，
故選：C．
6．（2024·全國·模擬預測）已知 a sin
8 b ln 3 c 2= ， = ， = ，則 a,b,c的大小關系為（
5 ）15 2
A． a > b > c B． a > c > b C．b > a > c D． c > b > a
【答案】A
8
15 8 6 16 8 π π 8 π 1
【解析】Q π = × = >1，又 <1 < ，\sin < sin < sin ，即 < a <1；15 π 5π 15 2 6 15 2 2
6
Q 3 9
3 1 1
= = 2.25 < e ，\ln < ln e = ，即b < ，\a > b；
2 4 2 2 2
2 3 1

Q 2
÷
= è 2 \
2 x 1
3 ，可令 f x = ln x

x >1 ，
5 +1 x +1
2
Q f x 1 4 x 1
2
= 2 = 2 > 0，\ f x 在 1, + 上單調遞增，x x +1 x x +1
f 3\ ÷ > f 1 = 0
3 2
，即 ln > ，\b > c ；
è 2 2 5
綜上所述： a > b > c .
故選：A.
1
7．（2024·山西·模擬預測）已知實數 a,b,c滿足 ln a = ，b = 3log c7 2，6 = 7，則（）5
A． c > a > b B．b > a > c
C． a > c > b D． a > b > c
【答案】C
1 1
【解析】由 ln a = ，可得 a = e5 ，且b = log5 7
8， c = log6 7，
f x ln(x +1) f x x ln x (x +1) ln(x +1)令 = (x >1) ，則 =
ln x x(x +1)(ln x)2
，
設 g x = x ln x, x >1，可得 g x = ln x +1 > 0，所以 g x 為 R 上單調遞增函數，
因為 x < x +1，可得 g x < g x +1 ，即 x ln x < (x +1) ln(x +1)，
所以 f x < 0，即 f x 單調遞減，所以 f 6 > f 7 ln 7 ln8，即 > ，
ln 6 ln 7
即 log6 7 > log7 8，所以c > b ，
h x = ex再設 (x +1), x > 0 x，可得 h x = e 1 > 0，
1 1 1 6
所以 h x 在 (0, + )上在單調遞增，所以 h( ) > h 0 = 0，即 e5 >1+ = ，
5 5 5
log 75 log 66 6 log 7 6又因為 6 < 6 = ，所以 6 < ，所以 a > c ，5
綜上可得： a > c > b .
故選：C.
8．（2024 a·湖北黃岡·二模）已知 a,b,c,d 分別滿足下列關系：16 =15,b = log17 16, log15 c
17 3
= ,d = tan ，
16 16 2
則 a,b,c,d 的大小關系為（）
A． a < b < c < d B． c < a < b < d
C． a < c < b < d D． a < d < b < c
【答案】B
【解析】由16a = 15,可得a = log1615,
2
a b = log 15 log 16 ln15 ln16= ln15 × ln17 (ln16)16 17 = ,ln16 ln17 ln16 × ln17
2 2 2
因 ln15 × ln17 ln15 + ln17 ln255 ln256< 2 2 ÷
= ÷ < ÷ = (ln16) ，
è è 2 è 2
又 ln16 × ln17 > 0，故 a b < 0 ,即 a e時， y < 0，x x
y ln x (e, + ) 0 ln16 ln15即函數 = 在上單調遞減，則有 < < ，故得 c < a；
x 16 15
由b = log17 16 < 1，而d = tan
3
> tan π = 1，即b < d ，
2 4
綜上，則有 c < a 0， f x 單調遞增，
則 f x f 0 = 0，故 c = e0.3 >1+ 0.3 1.3 5= > .
4
令 g x = lnx x ，則 g x 1 1 e x= = .
e x e ex
當 x e, + 時， g x < 0， g x 單調遞減，
g 3 < g e = 0 ln3 3 3 5則，即 < < = .
e 2.4 4
故 a 1 ，
則 f x = ex 1 1 > 0在 1, + 上恒成立，
故 f x 在 1, + 上單調遞增，
則有 f π 2 = e π 2 1 π 2 > f 1 = 0，即 a > c ，
令 g x = ln x x +1 x >1 ，
則 g x 1 1 1 x= = < 0在 1, + 上恒成立，
x x
故 g x 在 1, + 上單調遞減，
則有 g π 2 = ln π 2 +1 π 2 < g 1 = 0，即b < c ，
故b故選：A.
5c
11．（2024 5a·河南南陽·模擬預測）設 ln = 0.2,b = 0.96,e 2 = 5，則（）
4
A． c < b < a B． cC． a < c < b D． a 0，è
所以 f x 在區間 0,1 內單調遞增，
又 f 1 = 0 x 1，則 2lnx < 0 ，
x
即 2xlnx <1 x2，所以 c 0，
所以 g x 在區間 0,1 內單調遞增，
則 g x > g 0 = 0，
故 ex x 2> x +1，則 1 x e >1 x ，即b < a ，
所以 c b D．b > a
【答案】BC
【解析】A 選項，因為11t =12，所以 t = log1112，
ln x +1令 f x = log x x +1 = ， x >1，ln x
ln x ln x +1

則 f x x +1 x x ln x x +1 ln x +1 = = ，
ln2 x x x +1 ln2 x
x ln x x +1 ln x +1 因為 x >1，所以 f x = < 0x x 恒成立，+1 ln2 x
ln x +1故 f x = log x x

+1 = 在 1, + 上單調遞減，
ln x
故 log1112 > log12 13，
則 a =12t 13 =12log1112 13 >12log12 13 13 = 0，故 A 錯誤；
B 選項，由 A 選項可知， log10 11 > log1112
b =10t 11 =10log1112 11 <10log10 11 11 = 0，故 B 正確；
CD 選項，由 AB 選項可知，a > 0 > b，C 正確，D 錯誤.
故選：BC
13 a．（多選題）已知 a > 0， e 1 ln b =1，則（）
A．1 ln b C． ea ln b <1 D．b a <1
【答案】ABD
1
【解析】已知 a > 0，則 ea > 1，有0 <
ea
<1，
a 1
由 e 1 ln b =1，得1 ln b = a ，則0 <1 ln b <1，即0 < ln b <1，e
所以1 0時， f x > 0， f x 單調遞增，
f x = f 0 = 0， f x = ex x 1 0min ，即 ex x +1， x = 0時等號成立，
a 0 1 ln b 1已知 > ，由 = a = e
a > a +1，所以a > ln b，B 選項正確；
e
a > 0 a ea 1 1 a
1
已知，則 e > 1， + a e =a 2 e × a = 2，當且僅當 a ，即 e
a =1等號成立，
e e e
所以 ea
1
+ a > 2，有 ae e +1 ln b > 2
，得 ea ln b >1，C 選項錯誤；
設1 ln b
1
= = t ，有0 < t <1，則 a = ln t ，b = e1 t ，有b a = e1 tea + ln t
，
g t = e1 t設 + ln t 0 < t <1 g t = e1 t 1，有 + ，
t
設 p t = ln t t +1 0 < t <1 ，則 p t 1= 1 > 0 0 < t <1 ，
t
所以 p t = ln t t +1< 0，即 ln t < t 1， ln t >1 t ，
1
> e1 t所以， g t >0在 0,1 上恒成立，
t
得 g t 在 0,1 上單調遞增， g t < g 1 =1，即b a <1，D 選項正確.
故選：ABD.
14．（多選題）已知函數 f (x) = ex + x 2 (e = 2.71828 為自然對數的底數）， g(x) = ln x + x 2，若
f (a) = g(b) = 0 ，則下列結論正確的是（）
A． a + b = 2 B． a2 + b2 < 3
C． ea + ln b > 2 D． eb + ln a > 3
【答案】ABD
【解析】由題意 ea + a 2 = elnb + ln b 2 = 0，即 f (a) = f (ln b) = 0，
而 f (x) = ex + x 2 在定義域上遞增，故 a = ln b，
所以 ea + ln b 2 = a + b 2 = 0 ，即 ea + ln b = a + b = 2，A 對，C 錯；
1 1
由 (
3)2 e 5 1 1< < ( )3 ， f (1) = e3 5 < 0, f (1) = e2 3 > 0，故零點 x = a = ln b ( , )，
2 3 3 3 2 2 3 2
a2 + b2 = a2 + (2 a)2 2所以 = 2a 4a + 4 = 2(a 1)2 + 2
1 26
< 2 ( 1)2 + 2 = < 3，B 對；
3 9
3
由 a (
1 , 1)，則 eb + ln a = e2 a + ln a > e2 a + ln 1 e2 ln 1> + = e3 ln 3 > 20 ln 3 > 4.4 ln 3，
3 2 3 3
7
5 7
而 4.4 ln 3 3 =1.4 ln 3 e= ln ，顯然 e
7 > 35 ，則 e5 > 3，故 4.4 ln 3 3 > 0，
3
綜上， eb + ln a > 3，D 對.
故選：ABD
15．（多選題）（2024·吉林長春·模擬預測）若正實數 a，b滿足 a > b，且 ln a × ln b > 0 ，則下列不等式一
定成立的是（）
A． loga b > 0
1 1
B． a > b
b a
C． 2ab+1 < 2a+b D． ab 1 < ba 1
【答案】AD
【解析】因為a > b > 0， y = ln x 為單調遞增函數，故 ln a > ln b，
由于 ln a × ln b > 0 ，故 ln a > ln b > 0，或 ln b < ln a < 0，
當 ln a > ln b > 0時， a > b >1，此時 loga b > 0；
a 1 b 1

÷ = a b
1
1 ÷ > 0 a
1 b 1 >
b è a è ab
，故；
b a
ab +1 a +b = a 1 b 1 > 0， 2ab+1 > 2a+b；
當 ln b < ln a < 0時， 0 0， a
1 1
b

÷ = a b
1 1 1
b a
1 ÷ < 0，故 a 0， 2ab+1 > 2a+b；
對于 ABC，A 正確，BC 均錯誤；
對于 D， ab 1 < ba 1，兩邊取自然對數， b 1 ln a < a 1 ln b，
因為不管 a > b >1，還是 0 0，
ln a ln b ln a ln b
所以 < ，故只需證 < 即可，
a 1 b 1 a 1 b 1
1 1 ln x
設 f x ln x= （ x > 0且 x 1），則 x ，x -1 f x = x 1 2
令 g x =1 1 ln x 1 1 1 x（ x > 0且 x 1），則 g x = = ，
x x2 x x2
當 x 0,1 時， g x > 0，當 x 1,+ 時， g x < 0，
所以 g x < g 1 = 0 ，所以 f x < 0在 x > 0且 x 1上恒成立，
f x ln x故 = （ x > 0且 x 1）單調遞減，x -1
ln a ln b
因為 a > b，所以 < ，結論得證，D 正確．
a 1 b 1
故選：AD．
16 2 2．（多選題）（2024·海南海口·模擬預測）已知 a > 0,b > 0， a2 + b2 ab = 2， a b 2 ，下面結論正
確的是（）
A． a + b 2 2 B． a b
6

3
C． log2 a + log2 b 1 D． log2 a + log2 3b 2
【答案】BCD
【解析】A 選項， a2 + b2 ab = 2變形得到 a + b 2 = 2 + 3ab，
a > 0,b > 0 ab a + b
2 3 a + b 2
因為，所以，故 a + b 2 2 = 3ab ，
4 4
解得0 < a + b 2 2 ，當且僅當 a = b時，等號成立，A 錯誤；
B a2 b2選項，因為 2 ，所以 2 a2 b2 2 ，即 a2 2 + b2 ，
又 a2 = 2 + ab b2，所以 2 + ab b2 2 + b2，即 ab 2b2 ，
因為 a > 0,b > 0，所以 a 2b ，同理可得b 2a ，
由 a 2b 2可得 a b b，故 a a b 2b ，
a2 + b2 ab = 2，所以 a a b = 2 b2 ，
故 2 b2 2b2 6，解得b ，
3
2 2
又b 2a ，即 a
b
，所以 a 8a b b b ，即 2 b2 2，解得b ，2 4 4 3
0 b 2 6 6 b 2 6 6 2 6解得 < ，綜上，，同理可得 a ，
3 3 3 3 3
6 a b 6所以，故 B 正確；
3 3
C 選項，因為 a2 + b2 ab = 2，所以 a2 + b2 = 2 + ab 2ab ，解得0 < ab 2，
當且僅當 a = b時，等號成立，
log2 a + log2 b = log2 ab 1，C 正確；
1 a
D 選項，由 B 可知， 2，
2 b
g t 1
2
設 = t + 1， t 22 ，則 g t t
1 t 1
=1
t 2
= 2 ，t
1
故當 t
é ,1 ê ÷時， g t < 0， g t t
1
= +
2 單調遞減， t
當 t 1,2 時， g t >0， g t 1= t + 單調遞增，
t
又 g
1 5
÷ = g 2 =
5
2 2 ，所以
g t ，
è 2
a2 + b2 a b 5 a2 + b2 2 5 4
所以 = + ，即 = +1 ，解得 ab ，
ab b a 2 ab ab 2 3
log2 a + log2 3b = log2 3ab log2 4 = 2 ，
故選：BCD
3 3 3
17．若 a = ln 4，b = ， c = sin + tan ，則 a，b，c 的大小關系為（
4 4 ）2
A． a < b < c B．b < a < c C． a < c < b D． c【答案】A
2
2
3 3
4 < e2 3
3
【解析】因為 ÷ ，所以 4 < e2 ，所以 a = ln 4 < b = = ln e
2 ，
è 2
令 h x = sin x + tan x 2x, x

0,
π
÷÷，所以，則
è è 4
3 2 cos3 x cos2 x cos2 x 1
h (x) = cos x 1 2 cos x 2cos x +1+ =
cos2 x cos2
=
x cos2 x
cos2 x cos x 1 cos x +1 cos x 1 cos x 1 cos2 x cos x 1
= = ，
cos2 x cos2 x
2
cos2 x cos x 1 5 1+ 2 1 = cos x

2 ÷

4
, 1÷
è 2 ÷
，
è
cos x 1 cos2 x cos x 1
所以 h x = ，
cos2
> 0
x
π
即 h x = sin x + tan x 2x, x 0, 4 ÷÷恒為遞增函數，è è
3
則 h( ) > h(0) = 0，即 sin
3
+ tan 3 3 > 0，所以c > b ，
4 4 4 2
綜上： a < b < c，
故選：A.
2
18 2024 3 e +1
e
4
3

．（ ·高三·四川成都·期末）已知 a = ÷ ，b = ， c = ，則 a，b，c 的大小關系為
è 2 ÷ ÷ è e è 3
（）
A． a < c 0，則 ln f x = x ln

1
1
+
x x ÷
， x > 0
è è
g x = x ln 1 1+ 令 ÷， x > 0x ，è
g x = ln 1 1+ ÷ + x
1 1 1 1× 1 ×

2 ÷ = ln

1+

÷ 則 è x 1+ è x è x 1+ x ，
x
令 h x = ln 1 x+ x ， x > 0，
1+ x
1 1 x
則 h x = = > 01+ x 2 2 在 0, + 1+ x 1 + x 上恒成立，
故 h x = ln 1 x+ x 在 0, + 上單調遞增，
1+ x
x
又 h 0 = 0，故 h x = ln 1+ x > 0在 0, + 上恒成立，
1+ x
1
1
將 h x ln 1 x 1= + x > 0 x中 x換為可得， ln 1+ > 0，
1+ x x x ÷è 1 1+
x
即 ln
1 1
1+ ÷ > 0，故 g x > 0x 1 x 在 0, + 上恒成立，è +
1
所以 g x = x ln 1+

÷在 0, + x 上單調遞增，è
x
由復合函數單調性可知 f x = 1 1+ ÷ 在 0, + 上單調遞增，
è x
1 2 e 3 1+ 1 1< + < 1 1+ 故 ÷ ÷ ÷ ，即 a < b < c .
è 2 è e è 3
故選：D
19．（2024·全國·模擬預測）設 a = 0.2 ln10，b = 0.99， c = 0.9e0.1，則（）
A． a < b < c B． c < b < a C． c < a < b D． a < c 0，
è
所以 f (x)
1
在( 0, 1)上單調遞增，則 x 2ln x < 0，即
x 2x ln x <1 x
2 ，所以 a 0，
所以 g(x)在( 0, 1)上單調遞增，則g(x) > g(0) ex x 1 > 0 ex > x +1，
所以 (1 x)ex >1 x2 ，即b < c ，
所以 a b > c B． a > c > b
C．b > c > a D．b > a > c
【答案】C
2
ln e ln 14
a = 2 2 b = 5 c ln 2 2【解析】 e2 ， 14 ，
= ，
2 2
2 2 5
ln x 1 ln x
構造函數 f x = ， x > 0，則 f x = 2 ，x x
當0 < x < e時， f x > 0，當 x>e時， f x < 0，
故 f x ln x= 在 0,e 上單調遞增，在 e,+ 上單調遞減，
x
故 f x ln x= 在 x=e時取得極大值，也是最大值，
x
若 f (x1) = f (x2 )，不妨設0 < x1 < e < x2 ，
2
設F x = f x f e ÷， 0 < x e ，則F e = 0，
è x
2 2 2
F x f x e f e 1 ln x e ln x 1 1 ln x ln x 1= + = + ×
x2 x ÷ x2 x2 2 2
= 2 + 2
è e x e
x ÷è
2 2
= 1 ln x 1 1 1 ln x e x = × ，
è x2 e2 ÷ e2x2
當 0 < x e 時，F x > 0，故F x 在 0,e 上單調遞增，
e
2
故F x1 < F e = 0，即 f x1 < f ÷，
è x1
2
又 f (x1)
e
= f (x2 )，故 f x2 < f ÷，
è x1
2
因為0 < x1 < e < x
e
2 ，所以 > e，x1
而 f x ln x= 在 e,+ 上單調遞減，
x
e2
故 x2 > ，則 x1x
2
x 2
> e ，
1
e2
由于 2 2 > e，令 x1 = < e，2 2
x x e
2
而 1 × 2 = × x
2
2 > e x2 > 2 2 ，2 2
而 f x ln x= 在 e,+ 上單調遞減，
x
e2
\ f ÷ = f (x2 ) < f (2 2) ，即 c > a ，
è 2 2
b f 14= 2 2 14 e 14> > 5 ÷，而，故
f ÷ > f 2 2 ，即b > c5 ，è 5 è
綜上，b > c > a .
故選：C
2
21．已知三個互不相等的正數 a,b,c滿足 a = e3 ,b = log23 + log9 6,c = log 5 2a +1 ，（其中 e = 2.71828L是一
個無理數），則 a,b,c的大小關系為（）
A． a < b < c B． a < c 2 log2 2 = 23
2
c = log a5 2 +1 = 2log e3 ÷ 25 2 +1÷ < 2log5 2 +1 = 2log5 5 = 2，
è
c log 5 2a +1 ln 2a +1= = log a
a a a 2 +1 =5 a ，ln 5
因為 f x = ln x是遞增函數，又因為 a 0,2 ，
y = ln 2a a作出 +1 和 y = ln 5 的圖像，如圖可得，當 a = 2 a時，兩函數值相等； a < 2時， y = ln 2 +1 圖
a
像一直在 y = ln 5 的上方，所以 a < c
故 a < c < b，
故選：B
a 1 b log 2023 202322．已知 = ， = 2022 ， c = log ，則（）2022 2022 2023
2022
A． a < c log 2023 2022 > log 2023 1 = 0，
2022 2022 2022 2022
1 1
> 2023 2023
所以 log 2023 2022 log 2023 ，即 log2022 > log2023 2022 2023
，
2022
2022 2022
所以b > c ，
f (x) ln x令 = (x > 0) ，則 f (x)
1 ln x
= 2 (x > 0) ，x x
當 x>e時， f (x) < 0 ，所以 f (x) 在 (e, + )上遞減，
ln 2023 ln 2022
因為 2023 > 2022 > e ，所以 < ，所以 2022ln 2023 < 2023ln 2022，
2023 2022
所以 ln 20232022 < ln 20222023 ，所以 20232022 < 20222023 = 20222022 2022，
2023
2022 2022
2023
所以 < 2022 ，所以 log < log 2022 =1，
è 2022 ÷ 2022 2022 ÷ 2022 è
2022log 2023所以 2022 <1，所以 log
2023 1
< ，
2022 2022 2022 2022
所以 a > b，
綜上， a > b > c，
故選：D
a b
23．（多選題）已知a > b > 0， c > d > 0， = =1.1， 1 ln c c = 1 ln d d = 0.9，則（）
ln a +1 ln b 1 +
1 1
A． a + b < 2 B． c + d > 2 C． > a b D． ad >1
d c
【答案】BC
x ln x
【解析】令 f x = ，則 f x = 2 ，
ln x +1 ln x +1
當 x

0,
1 1
÷

,1÷ 時， f x < 0，當 x 1, + 時， f x > 0e ，è è e
f x 0, 1 1 故在 e ÷、 ,1e ÷上單調遞減，在 1, + 上單調遞增，è è

當 x 0,
1
÷時， f x < 0 ，當 x
1
,+
f x > 0
è e è e ÷
時，，

f 1 1= =1，有 f a = f b =1.1 1，故 1.1，故有 < a b ，即 C 正確，1< a < ，即 ad <1，故 D 錯誤，
d c d
下證： f x < f 2 x ,1 < x 1< 2 恒成立.
e
x 2 x
即證： < ，即證 x ln(2 x) +1 < 2 x ln x +1ln x 1 ln(2 x) 1 ，+ +
設 s x = x ln(2 x) +1 2 x ln x +1 ，
則 s x = ln(2 x) 1 x 2 x + + ln x +1 = ln x(2 x) + 2 x 2 x+ 2 x x 2 x x ÷，è
x 2 x
因為 x 2 x <1， + > 2，故 s x < 0，
2 x x
故 s x 在 1,2
1
÷上為減函數，故 s x < s 1 = 0
è e
，

即 x ln(2 x) +1 < 2 x ln x +1 在 1,2
1
÷成立，
è e
故 f x < f 2 x ,1 < x 1< 2 恒成立.
e
因為 f a = f b =1.1 > 0 1，則 2 ；
e
若1< a
1
< 2 ，則 f b = f a < f 2 a ，
e
1
而 2 a即 a + b > 2 ，故 A 錯誤；
e e
令 g x = x 1 ln x ，有 g c = g d = 0.9 ，
則 g x =1 ln x 1 = ln x ，
當 x 0,1 時， g x > 0，當 x 1, + ， g x < 0，
故 g x 在 0,1 上單調遞增，在 1, + 上單調遞減，
有 g 1 =1，又 c > d > 0，故 d <1 < c ，
令G x = g x g 2 x = x 1 ln x 2 x é 1 ln 2 x ù ，
則G x = g x + g 2 x = ln x ln 2 x = ln 2x x2 ，
2
由0 < x <1，故 2x x2 = x 1 +1 <1，即G x > 0，
故G x 在 0,1 上單調遞增，又G 1 = 0，故G x < 0恒成立，
即 g x < g 2 x ，由 d <1 < c ，即有 g d < g 2 d ，
又 g d = g c ，即有 g c < g 2 d ，有 2 d >1， c >1，
又 g x 在 1, + 上單調遞減，故 c > 2 d ，即 c + d > 2，故 B 正確.
故選：BC.
24．（多選題）（2024·湖南長沙·二模）下列不等式正確的有（）
10190A 3 5
2 3
6
．
10091
> B． >
125 è 4 ÷ ÷ è 5
3 3
C． e2 e > D． tan1 >
2 2
【答案】AD
【解析】由
10190
90 = (1+ 0.01)
90 =1+ C190 0.01+ C
2
90 0.01
2 + C390 0.01
3 +L+ C90 90
100 90
0.01
90
>1+ C190 0.01+ C
2
90 0.01
2 + C390 0.01
3 =1+ 0.9 + 0.4005 + 0.11748 > 2.4 101 0.024 3，則有 > = ，A 正確；
10091 125
(5) 2 6 5 6假定 < ( ) 3 2，有 ( ) < ( ) 3 2 ln
5 6
< 3 ln 2 ln 25 < ( 3 2) ln 6 ，
4 5 4 5 4 5 24 5
令 f (x) ln x
2(x 1)
= , x >1，求導得， f (x) 在 (1, + )上單調遞增，
x +1
則 f (x) > f (1) = 0 ln x
2(x 1) ln 6 2 ( 3 2) ln 6 2，即當 x >1時， > ， > ， > ( 3 2)，
x +1 5 11 5 11
g(x) ln x x 1令 = , x >1，求導得， g(x)在 (1, + )上單調遞減，
x
x 1 25 1 25 1
則 g(x) < g(1) = 0，即當 x >1時， ln x < ， ln < ， 2 ln <
x 24 10 6 24
，
10 3
2 ( 3 2) 1> 60 20 6 >11 49 > 20 6
11 ，10 3
25 6 5 6
49 2 3因 > 492 1 = 50 48 = 20 6 成立，則 2 ln < ( 3 2) ln 成立，所以 ( ) < ( ) 成立，B 不正24 5 4 5
確；
e2 e 3< e2 e 3 3 3 3假定，有 < 2 e < ln ln < e
1 3 ln 3 < e ln e ，
2 2 2 2 2 2 2 2
令 h(x) = x ln x, x >1，，則 h(x) 在 (1, + )上單調遞增，
e 3 3> h( e) > h( ) e2 e 3而，則，所以 < 成立，C 不正確；
2 2 2
令 y = tan x,0 x
p
< < ，求導得，，
2
曲線 y = tan x x
p p
在 = 處切線方程為 y = 4(x ) + 3，
3 3
j(x) tan x 4(x p令 = ) 3,0 x
p
< < p，求導得，即j(x) 在 (0, )3 上單調遞減，3 3
而1
p
< ，則j(1)
p p 3 5 4p 3 3.15 3
> j( ) = 0，即 tan1 > 4(1 ) + 3 = + ( + 3 ) > + (2.5 +1.7 4 ) = ，D 正
3 3 3 2 2 3 2 3 2
確.
故選：AD
25．（多選題）（2024·山東聊城·一模）若實數 a 2，則下列不等式中一定成立的是（）
A． (a +1)a+2 > (a + 2)a+1 B． loga (a +1) > loga+1(a + 2)
C． log (a 1)
a +1 log (a 2) a + 2a + < D．a a+1
+ <
a +1
【答案】ABD
ln a +1 lnA a + 2 a +1 ln a +1 a +1【解析】對于選項：原式等價于 > ，對于選項 C： log (a +1) < <
a +1 a + 2 a a ln a a
ln a +1 ln a ln a + 2D ln a +1 ln x < ，對于選項：變形為 < ，構造函數 f x = ，通過求導判斷其在
a +1 a a + 2 a +1 x
x e,+ 上的單調性即可判斷；
ln a +1 ln a + 2
對于選項 B：利用換底公式： loga (a +1) > loga+1(a + 2) >ln a ln a 1 ，+
2
ln2 a +1 > ln a × ln a + 2 ab a + b f x ln x等價于，利用基本不等式 ÷ ，再結合放縮法即可判斷；令 = ，
è 2 x
f x 1 ln x 0 x 3,+ f x ln x則 = 2 < 在上恒成立，所以函數 = 在 x e,+ 上單調遞減，x x
對于選項 A：因為 a 2，所以 (a +1)a+2 > (a + 2)a+1 a + 2 ln a +1 > a +1 ln a + 2 ，
ln a +1 ln a + 2 ln a +1 lna +1 < a + 2 a + 2 即原不等式等價于 > ，因為，所以 > ，從而可得
a +1 a + 2 a +1 a + 2
(a +1)a+2 > (a + 2)a+1，故選項 A 正確；
對于選項 C： loga (a +1)
a +1 ln a +1 a +1 ln a +1< ln a < < ，
a ln a a a +1 a
由于函數 f x ln x= 在 e,+ ln 4 ln 3上單調遞減，所以 f 4 < f 3 ，即 < ，
x 4 3
ln 4 2ln 2 ln 2 ln 2 ln 3 ln a +1
因為 = = ，所以 < ，取 a = 2 ln a，則 > ，故選項 C 錯誤；
4 4 2 2 3 a +1 a
ln a + 2 a + 2
對于選項 D： log (a
a + 2 ln a + 2 ln a +1
a+1 + 2) < <

a +1 ln a +1 a +1 < ，與選項 A 相同，故選項 D 正a + 2 a +1
確.
ln a +1 ln a + 2
對于選項 B： loga (a +1) > loga+1(a + 2) >ln a ln a +1 ，因為 a 2，
22 é ln a + ln a + 2 ù
所以等價于 ln a +1 > ln a × ln a + 2 ，因為 ln a × ln a + 2 < ê 2 ú ，
2
2 2
é ln a + ln a + 2 ù é ln a2 + 2a ù é ln a2 + 2a +1 ù
因為 ê ú = ê ú < ê ú = ln
2 a +1 ，
2 ê 2 ú ê 2 ú
所以不等式 loga (a +1) > loga+1(a + 2) 成立，故選項 B 正確；
故選：ABD
1 b26 ．（多選題）（2024·江蘇南通·三模）已知2a = log1a, log2b = ÷ ，則（）
2 è 2
A．a + 2a = b + 2 b B．a + b = 2b + 2 a
1 1
C．2b +1 > ea D．
1
2a > e b
【答案】AD
【解析】對 A，由圖可知： y = 2x 與 y = log 1 x A a, 2a交點， 0 < a <1
2
x
y = log x y 1= 2 與 ÷ 的交點B b, 2 b , (b >1)，
è 2
根據指數函數與對數函數為一對反函數知：A ， B 關于 y = x 對稱，
ìa = 2 b
故 íb 2a
，a + 2a = b + 2 b，故 A 正確；
=
對 B，由 A 知 a + b = 2 b + 2a ，故 B 錯誤；
b 1 1
對 C，由 a = 2 b知 2 = ，則 2b +1 = +1 x，設 f x = e x 1， x R ，a a
則 f x = ex 1，則當 x ,0 時， f x < 0，此時 f x 單調遞減；
當 x 0, + 時， f x > 0，此時 f x 單調遞增；
則 f x f 0 = 0，則 ex x 1 0恒成立，即 x +1 ex，當 x = 0時取等；
1 1
x 1 1 1 1令 = ，則有 +1 ea ，因為 0 1，則 +1< ea ，即 2b +1< ea ，故 C 錯誤；a a a a
對 D，設 h x = ln x +1 x， x 0, + ，則 h x 1 x= ，
x
則當 x 0,1 時， f x > 0，此時 f x 單調遞增；
當 x 1, + 時， f x < 0，此時 f x 單調遞減；
則 h x h 1 = 0，即 ln x +1 x 0在 0, + 上恒成立，
即 ln x x 1在 0, + 上恒成立，當 x =1時取等，
1 1 1 1 1 1
令 x = ，則 ln ÷ 1，即 ln b 1 ，因為b >1，則 ln b >1 ，則 1 重難點突破 01 玩轉指對冪比較大小
目錄
01 方法技巧與總結 ...............................................................................................................................2
02 題型歸納總結 ...................................................................................................................................3
題型一：直接利用單調性 ...........................................................................................................................................3
題型二：引入媒介值 ...................................................................................................................................................3
題型三：含變量問題 ...................................................................................................................................................4
題型四：構造函數 .......................................................................................................................................................4
題型五：數形結合 .......................................................................................................................................................5
題型六：特殊值法、估算法 .......................................................................................................................................6
題型七：放縮法 ...........................................................................................................................................................6
題型八：不定方程 .......................................................................................................................................................7
題型九：泰勒展開 .......................................................................................................................................................7
題型十：同構法 ...........................................................................................................................................................8
題型十一：帕德逼近估算法 .......................................................................................................................................8
03 過關測試 ...........................................................................................................................................9
（1）利用函數與方程的思想，構造函數，結合導數研究其單調性或極值，從而確定 a，b，c 的大小．
（2）指、對、冪大小比較的常用方法：
①底數相同，指數不同時，如 a x1 和 a x2 ，利用指數函數 y = a x 的單調性；
②指數相同，底數不同，如 xa xa1 和 2 利用冪函數 y = xa單調性比較大小；
③底數相同，真數不同，如 loga x1和 loga x2利用指數函數 loga x單調性比較大小；
④底數、指數、真數都不同，尋找中間變量 0，1 或者其它能判斷大小關系的中間量，借助中間量進行大
小關系的判定．
（3）轉化為兩函數圖象交點的橫坐標
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放縮法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
（7）常見函數的麥克勞林展開式：
x2 n q x
① ex =1+ x + +L
x e
+ + xn+1
2! n! (n +1)!
3 5 2n+1
② sin x
x x
= x + L+ ( 1)n x + o(x2n+2 )
3! 5! (2n +1)!
2 4 6 2n
③ cos x 1
x x x x
= + +L+ ( 1)n + o(x2n )
2! 4! 6! (2n)!
x2 3 n+1④ ln(1+ x) = x x + L+ ( 1)n x + o(xn+1)
2 3 n +1
1
⑤ =1+ x + x2 +L+ xn + o(xn )
1 x
n(n 1)
⑥ (1+ x)n =1+ nx + x2 + o(x2 )
2!
題型一：直接利用單調性
1-1 a = 30.2 ,b = 0.3 0.2【典例】記 ,c = log0.2 0.3，則（）
A． a > b > c B．b > c > a
C． c > b > a D．b > a > c
【典例 1-2】（2024·全國·模擬預測）已知 a = 30.6，b = log25， c = log3 2 3 ，則實數 a，b，c 的大小關系
是（）
A．b > a > c B． a > b > c C．b > c > a D． a > c > b
1 3
2 4
【變式 1-1】設 a 4 ，b 3= ÷ = ÷ ， c = ln1.6，則（）
è 7 è 5
A． c【變式 1-2】（2024·寧夏銀川·三模）已知 a = 0.20.5 ，b = cos2 ， c = lg15，則（）
A． a < b < c B． c < a < b
C．b < c < a D．b < a < c
題型二：引入媒介值
5 3
14
【典例 2-1 2024 7 5】（ ·甘肅蘭州·二模）故 a 5 ，b 7= ÷ =

÷ ， c = log3 ，則 a，b，c 的大小順序是
è 7 è 5 5
（）
A．b < a < c B． c < a c > a B．b > a > c C． a > c > b D． a > b > c
【變式 2-1】（2024·全國·模擬預測）已知 a = log0.3 0.6，b = 0.50.6， c = 2cos2 22.5° 1，那么a，b， c的
大小關系為（）
A．b1 1 1 1
【變式 2-2】（2024 a·江西上饒·模擬預測）設 ( ) = 2,b = log 3
3 1
,c = ( ) ，則有（）
2 3 2
A． a b > 0,a + b =1且 x = ÷ , y = log1 a, z = log ab ，則
è a 1 1+ b a b ÷è
x, y, z的大小關系是（）
A． x < z < y B． z < y < x
C． y < z < x D． x < y < z
【典例 3-2】（多選題）若 0 < a logb(1+ a)
【變式 3-1】（多選題）（2024·海南海口·模擬預測）已知 x，y，z 都為正數，且 2x = 3y = 6z ，則（）
1 1 1
A． xy > 4z2 B． + < x + y > 4z x + y < 5zx y z C． D．
1 1 1
【變式 3-2】（多選題）（2024·山西·模擬預測）已知當 x > 0時， < ln(1+ ) < ，則（）
1+ x x x
10 1 9 ln 9 1 1A． < e9 < B． < + +L
1
+ < ln10
9 8 2 9
(10
0 1 9
C )9． < 9! D (C． 9 )2 C+ ( 90 1 )
2 +L+ (C9 2
e 9 9 99
) < e
【變式 3-3】（多選題）（2024 b a·湖北·模擬預測）已知正實數 a，b，c 滿足 c < b <1< logc a ，則一定有
（）
A．a < 1 B． a < b C．b < c D． c < a
題型四：構造函數
【典例 4-1】設 a = log 2
2
3 ，b = log4 3， c = ， d = log5 3，則（）3
A． a < b < c < d B． a < c < d < b
C． a < d < c < b D． c < a < b < d
1 1
【典例 4-2】（2024·湖北武漢·二模）設 a = ,b = 2ln sin + cos
1
÷ ,c
6
= ln 6 ，則 a,b,c5 10 10 5 5 的大小關系是è
（）
A． a b > c B．b > a > c
C． c > a > b D． c > b > a
【變式 4-2】（2024·全國·模擬預測）已知 a = 5050 ，b = 4951， c = 5149，則（）
A．b1 1
【變式 4-3】已知 a = log2 986 log2 985,b =1 cos ,c = ，則（）986 985
A．b > a > c B．b > c > a C． a > c > b D． c > b > a
題型五：數形結合
1
【典例 5-1】（2024·高三·海南·期末）若a = ln1.1,b = 0.9 ,c = 0.1，則（）e
A． a c > b B．b > a > c
C． c > b > a D． c > a > b
【變式 5-1】已知 a = 0.80.5 + 0.80.7 + 0.80.9 ，b = 0.60.8 + 0.70.8 + 0.80.8
8 12 1
， c = e 15 + e 35 + e 5 ，則（）
A． a > b > c B． a > c > b C． c > a > b D．b > c > a
4 a 2
【變式 5-2】（2024·四川廣安·二模）已知a，b， c均為正數， a =1+ 2 ，b = 4 + b 2 3b ，
a
4 c2
= log a4 c + 3 ，則，b， c的大小關系為（）c
A．ba b
【變式 5-3 2024 1 】（ ·黑龍江哈爾濱·三模）已知 2 = log 1 a， ÷ = log 1b，則下面正確的是（）
2 è 2 2
1
A． a > b B． a <
4
1
C．b 2> D． a b <
2 2
【變式 5-4】雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli，1654-1705 年）是伯努利家族代表人物之一，瑞士數學家，
他酷愛數學，常常忘情地沉溺于數學之中．伯努利不等式就是由伯努利提出的在分析不等式中一種常見的
不等式．伯努利不等式的一種形式為："x > 1， n N* ，則 (1+ x)n 1+ nx ．伯努利不等式是數學中的一
種重要不等式，它的應用非常廣泛，尤其在概率論、統計學等領域中有著重要的作用．已知
a = log2 2024 log2 2023 b 1 cos
1 c 1， = ， = ，則（）
2024 2023
A．b > a > c B． a > c > b C．b > c > a D． c > b > a
1 1 1 4
【變式 5-5】（2024·高三·江蘇蘇州·期中）設 a = cos ，b = sin ，
5 5 5 c = e
5 ，則 a，b，c 的大小關系為
（）．
A．b < a < c B． a < c < b C．b < c < a D． a b，則（）
b a
A 1． < 1 B． + > 2 C． ea ba b >1 D． ln a > ln ba b
【典例 6-2】已知 a = 2x ，b = ln x ， c = x3 ，若 x 0,1 ，則 a、b、c 的大小關系是（）
A． a > b > c B． a > c > b
C． c > b > a D． c > a > b
1
【變式 6-1】已知 a = 3，b = 24 ， c = log2 e，則a，b， c的大小關系為（）
A． a > b > c B． a > c > b
C．b > a > c D．b > c > a
【變式 6-2】（2024 a·陜西安康·模擬預測）若 a,b,c滿足 2 > 2b , log3c < 0，則（）
1
A． > 0 b a c B．a
c > bc
C． ac > bc D． a + c > bc
題型七：放縮法
π 9π
【典例 7-1】（2024·全國·模擬預測）已知，b =1+ sin ， c =1.16a = e10 ，則a，b， c的大小關系為10
（）
A． a > b > c B． a > c > b C． c > a > b D． c > b > a
3
a 1【典例 7-2】（2024·全國·模擬預測）已知 = log5 12 b = sin
π 1 4，，，則（）
3 10 c = ÷è 7
A． a 2 C． a + b > 2 D． + > 4a b
3 13
【變式 7-2】（2024·江西宜春·模擬預測）若 0.3a = e 10 ，b = 0.3e ， c = ln1.3，則（）10
A． a > b > c B． a > c > b C．b > a > c D． c > b > a
【變式 7-3】（2024·內蒙古呼和浩特·二模）設 a = log615，b = log8 20， c = log2012 2024，則a、b、 c的
大小關系為（）
A． a 2.2
2
C．3.32 > 23.3 D．3.34 < 43.3
題型八：不定方程
【典例 8-1】已知 a、b、c 是正實數，且 e2a 2ea+b + eb+c = 0，則 a、b、c 的大小關系不可能為（）
A． a = b = c B． a > b > c
C．b > c > a D．b > a > c
【典例 8-2】設實數a，b滿足1001a +1010b = 2023a ，1014a +1016b = 2024b ，則a，b的大小關系為（）
A． a > b B． a = b C． a < b D．無法比較
【變式 8-1】已知實數 a、 b ，滿足 a = log 3 + log 4， 3a + 4a = 5b2 6 ，則關于 a、 b 下列判斷正確的是 (　　
)
A． a b > 2 B．b > a > 2 C． 2 > b > a D． a > 2 > b
【變式 8-3】若 a < 4且 4a = a4 ，b < 5且5b = b5 ， c < 6且 6c = c6 ，則 (　　 )
A． a < b < c B． c < b < a C．b < c < a D． a < c < b
題型九：泰勒展開
31
【典例 9-1】已知 a = ,b = cos
1 ,c 1= 4sin ，則（）
32 4 4
1
【典例 9-2 a = e0.2】設 1,b = ln1.2,c = ，則 a,b,c的大小關系為___________．（從小到大順序排）
5
【變式 9-1】設 a = 0.1e0.1,b 1= ,c = ln 0.9 ，則（）
9
A． a < b < c B． c b > c B．b > a > c C． c > a > b D．b > c > a
題型十：同構法
【典例 10-1】（多選題）（2024·全國·模擬預測）已知實數 a，b 滿足 log3 a + logb 3 = log3 b + loga 4，則下
列關系式中可能正確的是（）
A．$a,b (0,+ ) ，使 | a b |> 1 B．$a,b (0,+ ) ，使 ab =1
C．"a,b (1, + )，有b < a < b2 D．"a,b (0,1)，有b < a 0，b > 0且滿足 ab 2b + b ln ab = e，則下列結論一定正確的是（）
A．ab > e B．ab < e C． ab > e2 D． ab < e2
【變式 10-1】（2024·高三·浙江·開學考試）已知 a >1,b > 0，若 a + log2a = b + log2b，則（）
A． a > 2b B． a < 2b
C． a > b2 D． a < b2
a b b
【變式 10-2】（2024·重慶·模擬預測）已知正實數 a, b 滿足 2 = 8 + log2 ,則（）a
A． a = b B． a < 3b C． a = 3b D． a > 3b
【變式 10-3】（多選題）（2024·遼寧撫順·模擬預測）已知實數 a，b 滿足 a > 0， a 1，b > 0，且
ln b a 1= ，則下列結論正確的是（）a
A．當 0 < a < 1時，b < a B．當 a > 1時，b > a
C． loga b >1 D． loga b > 2
【變式 10-4】（2024·陜西西安·模擬預測）若e2a eb > 4a2 b2 +1，則（）
A． 4a2 > b2 B． 4a2 < b2
1
C． ( )a > (
1)b (1)a (1D． < )b
4 2 4 2
題型十一：帕德逼近估算法
1
【典例 11-1】已知 a = e0.2 1，b = ln1.2， c = ，則（）
6
A． a < b < c B． c < b < a C． cln1.5
【典例 11-2】已知 a = e0.3，b = +1，
2 c = 1.5
，則（）
A． a < b < c B．b1
【變式 11-1】已知 a = ，b = ln1.01，
1.01 c = e
0.01 1，則（）
A． a < b < c B．b【變式 11-2】已知 a = 2ln1.02，b = ln1.05， c = 1.1 1，則（）
A． a < b < c B．bln2 1 2 ln2
1．（2024·江西萍鄉·二模）已知 a = ,b = ,c = 2 ，則這三個數的大小關系為（）4 2e e
A． c < b < a B． a < b < c
C． a < c < b D． c < a < b
2．（2024·寧夏銀川·三模）設 a = 90.2 ，b = 30.31， c = 3ln1.3 ，則（）
A． c < b < a B．b < c < a C． a < c b > c B．b > c > a C．b > a > c D． a < b < c
5．已知 a = 3ln 7 ，b = 4ln 6 ， c = 5ln5， d = 6ln 4 ，則在 b a ， c b ， d c ， d b ， d a ， c a 這 6 個數
中最小的是（）
A． b a B． c b C． d b D． c a
8 3 2
6．（2024·全國·模擬預測）已知 a = sin ，b = ln ， c = ，則 a,b,c的大小關系為（
5 ）15 2
A． a > b > c B． a > c > b C．b > a > c D． c > b > a
1
7．（2024·山西·模擬預測）已知實數 a,b,c滿足 ln a = ，b = 3log7 2，6c = 7，則（）5
A． c > a > b B．b > a > c
C． a > c > b D． a > b > c
17 3
8．（2024·湖北黃岡·二模）已知 a,b,c,d a分別滿足下列關系：16 =15,b = log17 16, log15 c = ,d = tan ，
16 16 2
則 a,b,c,d 的大小關系為（）
A． a < b < c < d B． c < a < b < d
C． a < c < b < d D． a < d < b < c
5
9．（2024·青海西寧·模擬預測）已知 a = ln3，b = ， c = e0.3，則（）4
A． a < b < c B． a < c < b C．b < a < c D． c < a < b
10．（2024 π 3·安徽·三模）已知 a = e ,b = ln eπ 2e ,c = π 2，則（）
A．b11 2024 ln 5a
5c
．（ ·河南南陽·模擬預測）設 = 0.2,b = 0.96,e 2 = 5，則（）
4
A． c b D．b > a
13 a > 0 ea．（多選題）已知， 1 ln b =1，則（）
A．1 ln b C． ea ln b <1 D．b a <1
14．（多選題）已知函數 f (x) = ex + x 2 (e = 2.71828 為自然對數的底數）， g(x) = ln x + x 2，若
f (a) = g(b) = 0 ，則下列結論正確的是（）
A． a + b = 2 B． a2 + b2 < 3
C． ea + ln b > 2 D． eb + ln a > 3
15．（多選題）（2024·吉林長春·模擬預測）若正實數 a，b滿足 a > b，且 ln a × ln b > 0 ，則下列不等式一
定成立的是（）
log b > 0 a 1 b 1A． a B． > b a
C． 2ab+1 < 2a+b D． ab 1 < ba 1
16．（多選題）（2024·海南海口·模擬預測）已知 a > 0,b > 0， a2 + b2 ab = 2， a2 b2 2 ，下面結論正
確的是（）
A 6． a + b 2 2 B． a b 3
C． log2 a + log2 b 1 D． log2 a + log2 3b 2
3 3 3
17．若 a = ln 4，b = ， c = sin + tan ，則 a，b，c 的大小關系為（
4 4 ）2
A． a < b < c B．b < a < c C． a < c < b D． c2
18 2024 3 e +1
e
4
3

．（ ·高三·四川成都·期末）已知 a = ÷ ，b = ÷ ， c = ÷ ，則 a，b，c 的大小關系為
è 2 è e è 3
（）
A． a < c < b B．b < a < c C．b19．（2024·全國·模擬預測）設 a = 0.2 ln10，b = 0.99， c = 0.9e0.1，則（）
A． a b > c B． a > c > b
C．b > c > a D．b > a > c
2
21．已知三個互不相等的正數 a,b,c滿足 a = e3 ,b = log23 + log 6,c = log 2a9 5 +1 ，（其中 e = 2.71828L是一
個無理數），則 a,b,c的大小關系為（）
A． a b > 0， c > d > 0， = =1.1， 1 ln c c = 1 ln d d = 0.9，則（
ln a 1 ln b 1 ）+ +
1 1
A． a + b < 2 B． c + d > 2 C． > a b D． ad >1
d c
24．（多選題）（2024·湖南長沙·二模）下列不等式正確的有（）
10190 2 3A 3． 91 > B
5 6
． >
100 125 4 ÷ ÷è è 5
3 3
C 2 e． e > D． tan1 >
2 2
25．（多選題）（2024·山東聊城·一模）若實數 a 2，則下列不等式中一定成立的是（）
A． (a +1)a+2 > (a + 2)a+1 B． loga (a +1) > loga+1(a + 2)
a +1 a + 2
C． loga (a +1) < D． loga a+1
(a + 2) <
a +1
b
26．（多選題）（2024·江蘇南通·三模）已知2a = log 1 1a, log2b = 2 ÷
，則（）
2 è
A．a + 2a = b + 2 b B．a + b = 2b + 2 a
1 1
C． 1 2b +1 > ea D．2a > e b
27．（多選題）（2024·全國·模擬預測）已知 log2 (x +1) = log2 (x 1) + log5 x, log5 (y +1) = log5 (y 1) + log2 y ，
則（）
A． x + y > 7 B． x + y < 7
C． 2x < 5y D． 2x > 5y
28．（多選題）已知 a = 3x，b = 4x +1， c = log3 x + 3 ，則下列結論一定成立的是（）
A．若 a ，則 , + ÷
è 4
D．若 x
1
= ，則b > 2c
2

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重難點突破01 玩轉指對冪比較大小（十一大題型）（含答案）第三章一元函數的導數及其應用 2025年高考數學一輪復習講練測（新教材新高考）

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