資源簡介

重難點突破 01 玩轉外接球、內切球、棱切球
目錄
01 方法技巧與總結...............................................................................................................................2
02 題型歸納與總結...............................................................................................................................7
題型一：外接球之正方體、長方體模型............................................................................................7
題型二：外接球之正四面體模型........................................................................................................8
題型三：外接球之對棱相等的三棱錐模型......................................................................................11
題型四：外接球之直棱柱模型..........................................................................................................13
題型五：外接球之直棱錐模型..........................................................................................................15
題型六：外接球之正棱錐、正棱臺模型..........................................................................................18
題型七：外接球之側棱相等的棱錐模型..........................................................................................22
題型八：外接球之圓錐、圓柱、圓臺模型......................................................................................25
題型九：外接球之垂面模型..............................................................................................................27
題型十：外接球之二面角模型..........................................................................................................31
題型十一：外接球之側棱為球的直徑模型......................................................................................35
題型十二：外接球之共斜邊拼接模型..............................................................................................38
題型十三：外接球之坐標法模型......................................................................................................41
題型十四：外接球之空間多面體......................................................................................................44
題型十五：與球有關的最值問題......................................................................................................46
題型十六：內切球之正方體、正棱柱模型......................................................................................50
題型十七：內切球之正四面體模型..................................................................................................52
題型十八：內切球之棱錐模型..........................................................................................................54
題型十九：內切球之圓錐、圓臺模型..............................................................................................57
題型二十：棱切球之正方體、正棱柱模型......................................................................................58
題型二十一：棱切球之正四面體模型..............................................................................................61
題型二十二：棱切球之正棱錐模型..................................................................................................63
題型二十三：棱切球之臺體、四面體模型......................................................................................66
題型二十四：多球相切問題..............................................................................................................67
03 過關測試 .........................................................................................................................................72
知識點一：正方體、長方體外接球
1、正方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．
2、長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．
3、補成長方體
（1）若三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內，如圖 1 所示．
（2）若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構造長方體，如圖 2 所示．
（3 PA）正四面體 P - ABC 可以補形為正方體且正方體的棱長 a = ，如圖 3 所示．
2
（4）若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內，如圖 4 所示
圖 1 圖 2 圖 3 圖 4
知識點二：正四面體外接球
如圖，設正四面體 ABCD 2的的棱長為 a，將其放入正方體中，則正方體的棱長為 a，顯然正四面體
2
2
和正方體有相同的外接球．正方體外接球半徑為 R = a 3 6 a R 6× = ，即正四面體外接球半徑為 = a ．
2 2 4 4
知識點三：對棱相等的三棱錐外接球
四面體 ABCD 中， AB = CD = m， AC = BD = n ， AD = BC = t ，這種四面體叫做對棱相等四面體，可
以通過構造長方體來解決這類問題．
ìb2 + c2 = m2

如圖，設長方體的長、寬、高分別為 a,b,c ，則 ía2 + c2 = n2 ，三式相加可得 a2 + b2 + c2 =
2
a + b
2 = t2
m2 + n2 + t2 ,而顯然四面體和長方體有相同的外接球，設外接球半徑為 R ，則 a2 + b2 + c2 = 4R2 ，所以
2
m2 + n2 + t2R = ．
8
知識點四：直棱柱外接球
如圖 1，圖 2，圖 3，直三棱柱內接于球（同時直棱柱也內接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角
形）
C1 C C11
A1 O F2 A1 A1 FB1 O2 B1 O2
B1
O
O O
C C C
A O1 E A O A E1 B O1
B B
圖3-1 圖3-2 圖3-3
圖 1 圖 2 圖 3
第一步：確定球心O的位置，O1 是DABC 的外心，則OO1 ^ 平面 ABC ；
1 1
第二步：算出小圓O1 的半徑 AO1 = r ，OO1 = AA1 = h（ AA1 = h 也是圓柱的高）；2 2
OA2 = O A2 + O O2 R2 (h第三步：勾股定理： = )2 2 2 h 21 1 + r R = r + ( ) ，解出 R2 2
知識點五：直棱錐外接球
如圖， PA ^ 平面 ABC ，求外接球半徑．
P
O
C
A O1 D
B
圖5
解題步驟：
第一步：將DABC 畫在小圓面上， A為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑 AD ，連接 PD，則 PD必
過球心O；
第二步：O1 為 DABC 的外心，所以OO1 ^ 平面 ABC ，算出小圓O1 的半徑O1D = r (三角形的外接圓直
a b c
徑算法：利用正弦定理，得 = = = 2r )，OO 11 = PA；sin A sin B sin C 2
第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：① (2R)2 = PA2 + (2r)2 2R = PA2 + (2r)2 ；
② R2 = r2 + OO 2 R = r21 + OO
2
1 ．
知識點六：正棱錐與側棱相等模型
r21 + h
2
、正棱錐外接球半徑： R = ．
2h
A
l
h
B
r
D
C
2、側棱相等模型：
如圖， P 的射影是DABC 的外心
三棱錐 P - ABC 的三條側棱相等
三棱錐 P - ABC 的底面DABC 在圓錐的底上，頂點 P 點也是圓錐的頂點．
P
O
C
A O1 B
圖5-1
解題步驟：
第一步：確定球心O的位置，取DABC 的外心O1 ，則 P,O,O1 三點共線；
第二步：先算出小圓O1 的半徑 AO1 = r ，再算出棱錐的高 PO1 = h （也是圓錐的高）；
r2 + h2
第三步：勾股定理：OA2 = O A2 + O O2 R2 = (h - R)2 + r21 1 ，解出 R = ．2h
知識點七：側棱為外接球直徑模型
方法：找球心，然后作底面的垂線，構造直角三角形．
知識點八：共斜邊拼接模型
如圖，在四面體 ABCD 中， AB ^ AD ，CB ^ CD ，此四面體可以看成是由兩個共斜邊的直角三角形
拼接而形成的， BD為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之．設點O為公共斜邊 BD的中點，根據直
角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結論可知，OA = OC = OB = OD ，即點O到 A， B ，C ， D 四點的距
離相等，故點O就是四面體 ABCD 外接球的球心，公共的斜邊 BD就是外接球的一條直徑．
知識點九：垂面模型
如圖 1 所示為四面體 P - ABC ，已知平面 PAB ^ 平面 ABC ，其外接球問題的步驟如下：
（1）找出△PAB 和△ABC 的外接圓圓心，分別記為O1 和O2 ．
（2）分別過O1 和O2 作平面 PAB 和平面 ABC 的垂線，其交點為球心，記為O．
（3）過O1 作 AB 的垂線，垂足記為 D ，連接O2D ，則O2D ^ AB ．
（4）在四棱錐 A - DO1OO2 中， AD 垂直于平面 DO1OO2 ，如圖 2 所示，底面四邊形 DO1OO2 的四個頂
點共圓且OD 為該圓的直徑．
圖 1 圖 2
知識點十：最值模型
這類問題是綜合性問題，方法較多，常見方法有：導數法，基本不等式法，觀察法等
知識點十一：二面角模型
如圖 1 所示為四面體 P - ABC ，已知二面角 P - AB - C 大小為a ，其外接球問題的步驟如下：
（1）找出△PAB 和△ABC 的外接圓圓心，分別記為O1 和O2 ．
（2）分別過O1 和O2 作平面 PAB 和平面 ABC 的垂線，其交點為球心，記為O．
（3）過O1 作 AB 的垂線，垂足記為 D ，連接O2D ，則O2D ^ AB ．
（4）在四棱錐 A - DO1OO2 中， AD 垂直于平面 DO1OO2 ，如圖 2 所示，底面四邊形 DO1OO2 的四個頂
點共圓且OD 為該圓的直徑．
知識點十二：坐標法
對于一般多面體的外接球，可以建立空間直角坐標系，設球心坐標為O(x, y, z) ，利用球心到各頂點的
距離相等建立方程組，解出球心坐標，從而得到球的半徑長．坐標的引入，使外接球問題的求解從繁瑣的
定理推論中解脫出來，轉化為向量的計算，大大降低了解題的難度．
知識點十三：圓錐圓柱圓臺模型
1、球內接圓錐
如圖1，設圓錐的高為 h，底面圓半徑為 r ，球的半徑為 R ．通常在△OCB 中，由勾股定理建立方程
來計算 R ．如圖 2，當 PC > CB 時，球心在圓錐內部；如圖 3，當 PC < CB 時，球心在圓錐外部．和本專
題前面的內接正四棱錐問題情形相同，圖 2 和圖 3 兩種情況建立的方程是一樣的，故無需提前判斷．
h2 + r2
由圖 2、圖3可知，OC = h - R 或 R - h ，故 (h - R)2 + r2 = R2 ，所以 R = ．
2h
2、球內接圓柱
h
如圖，圓柱的底面圓半徑為 r ，高為 h，其外接球的半徑為 R ，三者之間滿足 ( ) + r2 = R2 ．
2
3、球內接圓臺
2

R2 r2 r
2 - r2 - h2
= 2 +
2 1 ÷ ，其中 r1,r2 ,h分別為圓臺的上底面、下底面、高．
è 2h
知識點十四：錐體內切球
3V
方法：等體積法，即 R = 體積
S表面積
知識點十五：棱切球
方法：找切點，找球心，構造直角三角形
題型一：外接球之正方體、長方體模型
【典例 1-1】正方體的表面積為 96，則正方體外接球的表面積為
【答案】 48π
【解析】設正方體的棱長為 a，因為正方體的表面積為96，可得6a2 = 96，解得 a = 4，
則正方體的對角線長為 l = 42 + 42 + 42 = 4 3 ，
設正方體的外接球的半徑為 R ，可得 2R = 4 3 ，解得R = 2 3，
所以外接球的表面積為 S = 4πR2 = 4π × (2 3)2 = 48π .
故答案為： 48π .
【典例 1-2】已知正方體的頂點都在球面上，若正方體棱長為 3，則球的表面積為 ．
【答案】9p
【解析】該球為正方體外接球，其半徑 R 與正方體棱長 a之間的關系為 2R = 3a，
3
由 a = 3，可得R = ，所以球的表面積
2 S = 4p R
2 = 9p .
答案：9p
【變式 1-1】長方體 ABCD - A1B1C1D1 的外接球的表面積為 25p ， AB = 3 ， AD = 6 ，則長方體
ABCD - A1B1C1D1 的體積為 .
【答案】12 2
【解析】因為長方體 ABCD - A1B1C1D1 的外接球的表面積為 25p ，
5
設球的半徑為 R ，由題意 4p R2 = 25p ，R = ，2R = 5，
2
長方體 ABCD - A B C D 的外接球的一條直徑為 AC = AB2 + AD2 + AA21 1 1 1 1 1 = 5 .
因為 AB = 3 ， AD = 6 ，所以 3+ 6 + AA21 = 5， AA1 = 4，
則長方體 ABCD - A1B1C1D1 的體積為 AB AD AA1 =12 2 .
故答案為：12 2
題型二：外接球之正四面體模型
【典例 2-1】（2024·天津和平· 3 3二模）已知圓錐底面圓的直徑為 3，圓錐的高為 ，該圓錐的內切球也是
2
棱長為 a 的正四面體的外接球，則此正四面體的棱長 a 為（ ）
3 9
A． 2 B． 2 C．3 D． 3 - 22 2
【答案】A
【解析】由題意可知，該四面體內接于圓錐的內切球，設球心為 P ，球的半徑為 r ，圓錐的底面半徑為 R，
軸截面上球與圓錐母線的切點為 Q，圓錐的軸截面如圖所示，
由已知可得 AB = SA = SB = 3， 所以△SAB 為等邊三角形，故點 P 是△SA B 的中心，
r
連接 BP，則 BP 平分∠SBA，所以∠PBO= 30°，故 tan 30° = ，
R
解得 r
3 R 3 3 3 3= = = ，故正四面體的外接球的半徑 r = .
3 3 2 2 2
又正四面體可以從正方體中截得，如圖所示，
2
從圖中可以得到，當正四面體的棱長為 a時，截得它的正方體的棱長為 a ，而正四面體的四個頂點都在
2
正方體上，故正四面體的外接球即為截得它的正方體的外接球，
所以2r 2 6= 3AA1 = 3 a = a = 3 ，解得 a = 2 ,2 2
故選：A
【典例 2-2】已知正四面體 S - ABC 的外接球表面積為 6π ，則正四面體 S - ABC 的棱長為（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【答案】D
【解析】Q正四面體 S - ABC 的外接球表面積為 6π ，
\4πR2 = 6π 6，解得R = （負值舍去），
2
設四面體的棱長為 a，取BC 的中點E ，連接 AE ，
設頂點S在底面 ABC 的射影為D，則D是底面VABC 的重心，連接 SD ，則外接球的球心在 SD 上，設為O，
連接 AO ，
則 AE 3= a， AD 2 3= AE = a，
2 3 3
2 2
則 SD = a2
3 6a 6
- a ÷÷ = = a ，
è 3 9 3
OD SD SO 6 a 6所以 = - = - ，
3 2
2 2 2
2 2 2 6 3 6 6 在直角△AOD中， AO = AD + OD ，即 =2 ÷÷ a3 ÷÷ + a -3 2 ÷÷ ，è è è
6 3a2 6a2 6
即 = + - 2a + ，得 2
4 9 9 4 a - 2a = 0，得 a = 0（舍
) 或 a = 2 .
故選：D
【變式 2-1】（2024·陜西咸陽·一模）已知正四面體 S - ABC 的外接球表面積為6p ，則正四面體 S - ABC 的
體積為（ ）
2 2 2 3 2A． B． C D 3 2． ．
3 3 3 4
【答案】A
【解析】設外接球半徑為 R ，則 S = 4p R2 6= 6p ，解得R = ,
2
將正四面體 S - ABC 恢復成正方體，知正四面體的棱為正方體的面對角線，
則正四面體 S - ABC 的外接球即為正方體的外接球，
則正方體的體對角線等于外接球的直徑，
故 AB
2 2
3 = 6 ，解得 AB = 2，正方體棱長為 2 = 2 ，
2 2
1 1 2 2
故該正四面體的體積為 ( 2)3 - 4 2 2 2 = ，
3 2 3
故選：A．
【變式 2-2】如圖所示，正四面體 ABCD中, E 是棱 AD 的中點, P 是棱 AC 上一動點，BP + PE 的最小值為
14 ，則該正四面體的外接球表面積是（ ）
A．12p B．32p C．8p D． 24p
【答案】A
【解析】將側面VABC 和VACD沿 AC 邊展開成平面圖形,如圖所示,菱形 ABCD ,
在菱形 ABCD中,連接 BE ,交 AC 于點 P ,則 BE 的長即為BP + PE 的最小值,即BE = 14 ,
因為正四面體 ABCD ,所以 AC = AB ,所以 BCD =120° ,
因為E 是棱 AD 的中點,所以 DCE = 30°，
所以 BCE = BCD - DCE = 90° ,
設DE = x ,則 AB = BC = CD = AD = 2x ,
所以CE = 3x ,則BE = BC 2 + CE2 = 7x = 14 ,所以 x = 2 ,
則正四面體 ABCD的棱長為 2 2 ,
6
所以正四面體的外接球半徑為 2 2 = 3 ,
4
2
所以該正四面體外接球的表面積為 S = 4π 3 =12π ,
故選：A
題型三：外接球之對棱相等的三棱錐模型
【典例 3-1】（2024·河南·開封高中校考模擬預測）已知四面體 ABCD 中， AB = CD = 2 5 ，
AC = BD = 29 ， AD = BC = 41 ，則四面體 ABCD 外接球的體積為（ ）
A 15 5π 45 5π． 45π B． C． D． 24 5π
2 2
【答案】C
【解析】設四面體 ABCD的外接球的半徑為 R ,
則四面體 ABCD在一個長寬高為 a,b,c的長方體中，如圖，
ìa2 + b2 = 20,
22
íb + c2 = 29, R a + b
2 + c2 45
則 故 = = ，
a2 + c2 = 41,
2 2
ABCD V 4 πR3 4 π 45 45 45 5π故四面體 外接球的體積為 = = = ，
3 3 8 2
故選：C
【典例 3-2】在三棱錐 S - ABC 中， SA = BC = 5， SB = AC = 41， SC = AB = 34 ，則該三棱錐的外接球
表面積是（ ）
A．50π B．100π C．150π D． 200π
【答案】A
【解析】因為 SA = BC = 5, SB = AC = 41, SC = AB = 34 ，
所以可以將三棱錐 S - ABC 如圖放置于一個長方體中，如圖所示：
設長方體的長、寬、高分別為 a、b、c，
ìa2 + b2 = 41
a2 2則有 í + c = 25，整理得 a2 + b2 + c2 = 50 ，
2
b + c
2 = 34
則該棱錐外接球的半徑即為該長方體外接球的半徑，
所以有 a2 + b2 + c2 50 5 2= = 2R 2 R = ，
2
2
5 2
所以所求的球體表面積為： S = 4πR2 = 4 π ÷÷ = 50π．
è 2
故選：A．
【變式 3-1】（2024·四川涼山·二模）在四面體 A - BCD中， AB = CD = 7, AD = BC = 29, AC = BD = 2 7 ，
則四面體 A - BCD外接球表面積是（ ）
32π 256π 256A．64π B． C． D． π
3
【答案】B
【解析】由題意可知，此四面體 A - BCD可以看成一個長方體的一部分，長方體的長、寬、高分別為 3，
25， 2，四面體 A - BCD如圖所示，
所以此四面體 A - BCD 2的外接球的直徑為長方體的體對角線，即 2R = 3 2 + 225 + 22 ,解得R = 2 2 .
2
所以四面體 A - BCD外接球表面積是 S = 4πR2 = 4 π 2 2 = 32π .
故答案為：B.
題型四：外接球之直棱柱模型
【典例 4-1】已知直三棱柱 ABC - A1B1C1的 6 個頂點都在球O的球面上，若
AB = 3, AC =1, BAC = 60°, AA1 = 2，則該三棱柱的外接球的體積為（ ）
40π
A B 40 30π C 320 30π． ． ． D． 20π
3 27 27
【答案】B
【解析】設△A1B1C1的外心為O1，VABC 的外心為O2，連接O1O2 ,O2B,OB ，如圖所示，
由題意可得該三棱柱的外接球的球心O為O1O2 的中點．
在VABC 中，由余弦定理可得BC 2 = AB2 + AC 2 - 2AB AC cos BAC
= 32 +12 - 2 3 1 cos 60° = 7 ，則BC = 7 ，
BC 2 7 7
由正弦定理可得VABC 外接圓的直徑 2r = = ，則 r = ，
sin 60° 3 3
而球心 O 到截面 ABC 的距離 d = OO2 = AA1 =1，
設直三棱柱 ABC - A1B1C1的外接球半徑為 R ，
2
由球的截面性質可得R2 = d 2 + r2 =12
7 10
+ 30 ÷÷ = ，故R = ，
è 3 3 3
3

V 4 πR3 4 π 30
40 30π
所以該三棱柱的外接球的體積為 = =
3 3 ÷÷
= ，
è 3 27
故選：B．
【典例 4-2】（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知直三棱柱 ABC - A1B1C1的 6 個頂點都在球O的表面上，若
AB = AC = 1, AA = 4 BAC 2π1 ， = ，則球O的表面積為（3 ）
A．16π B． 20π C． 28π D．32π
【答案】B
2π
【解析】如圖所示，在VABC 中， AB = AC =1，且 BAC = ，
3
2 2π
由余弦定理得BC = AB2 + AC 2 - 2AB × AC cos BAC =1+1- 2 1 1cos = 3 ，
3
設底面VABC 的外接圓的半徑為 r
BC
，由正弦定理得 2r = = 2，即O1A =1 sin BAC
再設直三棱柱 ABC - A1B1C1外接球的球心為O，外接球的半徑為 R ，
在直角△OO A中，可得R = O A2 + OO21 1 1 = O1A
2 + (O1O2 )2 = 12 + 22 = 5 ，
2
所以球O的表面積為 S = 4πR2 = 4π ( 5)2 = 20π .
故選：B.
【變式 4-1】已知正六棱柱 ABCDEF — A1B1C1D1E1F1的每個頂點都在球 O 的球面上，且 AB = 3， AA1 = 4，
則球 O 的表面積為（ ）
A． 42π B． 48π C．50π D．52π
【答案】D
【解析】因為 AB = 3，所以正六邊形 ABCDEF 外接圓的半徑 r = 3，
AA 2
所以球 O 的半徑R = r 2 + 1 ÷ = 13，故球 O 的表面積為 4πR
2 = 52π．
è 2
故選：D
【變式 4-2】（2024·吉林長春·模擬預測）已知正四棱柱(底面為正方形且側棱與底面垂直的棱柱)的底面邊長
為 3，側棱長為 4，則其外接球的表面積為（ ）
A． 25p B．34p C．68p D．100p
【答案】B
【解析】正四棱柱即長方體，其體對角線長為 d = 32 + 32 + 42 = 34 ，
34
因此其外接球的半徑為 r = ，則其表面積為 S=4p r 2 = 34p ，
2
故選:B.
題型五：外接球之直棱錐模型
π
【典例 5-1】（2024·高三·遼寧大連·期中）在三棱錐 A - BCD中， AD ^ 平面BCD， ABD + CBD = ，
2
BD = BC = 2，則三棱錐 A - BCD外接球表面積的最小值為 .
【答案】 (2 + 2 5)π
a a
【解析】設 CBD = a ，在等腰△BCD中，CD = 2 × BC sin = 4sin ，
2 2
設△BCD的外心是M ，外接圓半徑是 r ，
CD 4sin
a 1
則 2r = = 2
2
= r =，∴ a ，
sina 2sin a cos a cos a cos
2 2 2 2
設外接球球心是O，則OM ^ 平面BCD，DM 平面BCD，則OM ^ DM ，
同理 AD ^ BD ， AD ^ DM ，
又 AD ^ 平面BCD，所以 AD / /OM ，OMDA是直角梯形，
設OM = h ，外接球半徑為 R ，即OD = OA = R，
ìr 2 + h2 = R2
則 í 2 2 2 ，所以 AD = 2h，
r + (AD - h) = R
π
在直角△ABD 中， ABD = -a ， BAD = a ，
2
tana 2 2= ， AD = ，∴ h
1
= ，
AD tana tana
2 2
R2 1 1 cos a 2 cos a 2= + = + = +
tan2 a 2cos2 a sin a 1+ cosa 1- cos
2 a 1+ cosa
2
3
cos2 a + 2 - 2cosa 2( - cosa )
= = -1+ 2 ，
1- cos2 a 1- cos2 a
3
令 - cosa
1 3
= t ，則 t ( , ) ，
2 2 2
R2 = -1 2t 2t+ = -1+
1 (3- - t)2 -t 2 + 3t 5-
2 4
2 2
= -1+ -1+ = -1 2 1+ 5+ =
3- (t 5+ ) 5 3 - 5 2 ，
4t 3- 2 t × 4t
t 5= t 5當且僅當 ， = 時等號成立，4t 2
所以4πR2 1+ 5的最小值是 4π × = (2 + 2 5)π．
2
故答案為： (2 + 2 5)π .
【典例 5-2】《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，已知“鱉臑” P - ABC 中，
π
PA ^平面 ABC ，PA = AB， ABC = ， AB + BC = 6 ，則“鱉臑” P - ABC 外接球體積的最小值為 ．
2
【答案】8 6π
【解析】根據題意三棱錐P - ABC 可以補成分別以BC ， AB ，PA為長、寬、高的長方體，如圖所示，
其中PC 為長方體的對角線，則三棱錐P - ABC 的外接球球心即為PC 的中點，
要使三棱錐P - ABC 的外接球的體積最小，則PC 最小．
設 AB = x ，則 PA = x ，BC = 6 - x ， | PC |= AB2 + PA2 + BC 2 = 3(x - 2)2 + 24 ，
所以當 x = 2時， | PC |min = 2 6 ，則有三棱錐P - ABC 的外接球的球半徑最小為 6 ，
V 4所以 min = πR
3 = 8 6π ．
3
故答案為：8 6π .
【變式 5-1】（2024·高三·貴州·開學考試）在三棱錐P - ABC 中， AB = BC =10， ABC =120° ，D 為 AC
的中點，PD ^平面 ABC，且 PD = 15，則三棱錐P - ABC 外接球的表面積為 ．
【答案】500π
【解析】在VABC 中， AB = BC =10， ABC =120° ，
由余弦定理得 AC 2 = AB2 + BC 2 - 2AB × BC × cos ABC = 300，
所以 AC =10 3 ，設VABC 的外接圓O1的半徑為 r ，
則由正弦定理得 2r AC 10 3= = ，解得 r =10
sin ABC sin120°
結合圖形分析：
因為 D 為 AC 的中點，PD ^平面 ABC，且 PD = 15，
1
在Rt△ABD 中， AD = AC = 5 3 ，
2 BD = AB
2 - AD2 = 5，
又O1B = r = 10，則圓心O1到D點的距離為O1D = 5，
另設三棱錐P - ABC 的外接球球心O到平面 ABC 的距離為OO1 = d ，設外接球的半徑為 R ，
則Rt△ O OB O B2 + OO2 21 中， 1 1 = OB ，即102 + d 2 = R2 ，
直角梯形O OPD中，O D2 + PD - OO 2 = OP2 52 + 15 - d 2，即 = R21 1 1 ，
解得 d = 5，R2 = 125，所以 S = 4πR2 = 500π .
故答案為：500π .
π
【變式 5-2】（2024·河南開封·三模）在三棱錐 P - ABC 中， PA = AB， PA ^平面 ABC， ABC = ，
2
AB + BC = 6 ，則三棱錐P - ABC 外接球體積的最小值為（ ）
A．8 6π B．16 6π C． 24 6π D．32 6π
【答案】A
【解析】根據題意三棱錐 P - ABC 可以補成分別以 BC, AB, PA為長、寬、高的長方體，其中 PC 為長方體
的對角線，
則三棱錐P - ABC 的外接球球心即為PC 的中點，要使三棱錐P - ABC 的外接球的體積最小，則PC 最小．
設 AB = x ，則 PA = x ，BC = 6 - x ， PC = AB2 + PA2 + BC 2 = 3 x - 2 2 + 24 ，
所以當 x = 2時， PC = 2 6min ，則有三棱錐P - ABC 的外接球的球半徑最小為 6 ，
V 4所以 min = πR
3 = 8 6π ．
3
故選：A
題型六：外接球之正棱錐、正棱臺模型
【典例 6-1】（2024·安徽蕪湖·模擬預測）已知正三棱臺 ABC - A1B1C1的上、下底面邊長分別為 3， 2 3 ，
且側棱與底面所成角的正切值為 3，則該正三棱臺的外接球表面積為（ ）
A．9π B．10 2π C．10 3π D． 20π
【答案】D
【解析】分別取VABC 、△A1B1C1的中心E, F ，連結EF ，過A 作 AM ^ A1F ，
AB
因為 AB = 3 ，由正弦定理得 2AE = ，得 AE =1，同理可得 A F = 2，所以 Asin 60o 1 1
M =1，
因為正三棱臺 ABC - A1B1C1，所以EF ^ 平面 A1B1C1，EF ∥ AM ，
所以 AM ^ 平面 A1B1C1，所以 AA1M 為側棱 A1A與底面所成的角，
所以 AM = A1M × tan AA1M = 3，所以EF = AM = 3，
設正三棱臺的外接球球心 O，因為E 為上底面截面圓的圓心，F 為下底面截面圓的圓心，
所以由正三棱臺的性質可知，其外接球的球心O在直線 EF 上，
設外接球 O 的半徑為 R 2 2 2，所以OA = OA1 = R，OA2 = AE2 + OE2 ，OA1 = A1F + OF ，
即R2 =12 + OE2 ，R2 = 22 + OF 2 ，
當O在 EF 的延長線上時，可得 R2 -12 - R2 - 32 = 3，無解；
當O在線段 EF 上時，軸截面中由幾何知識可得 R 2 -12 + R 2 - 22 = 3，解得R = 5 ，
所以正三棱臺 ABC - A1B1C1的外接球表面積為 S = 4πR2 = 20π .
故選：D
【典例 6-2】（2024·全國·模擬預測）在正三棱錐 A - BCD中，BC = CD = DB = 2 ， AB = AC = AD = 3，則
三棱錐 A - BCD的外接球表面積為（ ）
27π 27π 27π
A． B．9π C． D．
2 5 4
【答案】C
【解析】方法一：如圖，取正三角形BCD的中心為 P ，連接 AP, PC ，
則三棱錐 A - BCD的外接球球心O在 AP 上，連接OC .
BCD BC = 2 PC 2 BC sin π 2 3在正三角形 中， ，所以 = = .
3 3 3
4 15
在Rt△APC 中， AC = 3 ，所以 AP = AC 2 - PC 2 = 3 - = .
3 3
設外接球的半徑為 R ，
2 2
由OC 2 = OA2，OP2 2 2
15 2 3 9
+ PC = OC - R ÷ + ÷ = R2，解得R = ，
è 3 ÷ è 3 ÷ 2 15
2 27π
所以三棱錐 A - BCD的外接球表面積 S = 4πR = .
5
故選:C.
方法二：在正三棱錐 A - BCD中，過點A 作 AF ^底面BCD于點F ，
則F 為底面正三角形BCD的中心，
BCD 2 BF 2 BC sin π 2 3因為正三角形 的邊長為 ，所以 = = .
3 3 3
因為 AB 3 AF AB2 BF 2 15= ，所以 = - = .
3
如圖，以F 為坐標原點建立空間直角坐標系，

A 0,0, 15 C 0, 2 3

則 ， ,0 .
è 3 ÷
÷ 3 ÷÷ è
設三棱錐 A - BCD的外接球球心為O 0,0, h ，半徑為 R .
2
4 15 1
由OC 2 = OA2，得 + h2 = h =3
h - ÷÷ ，解得 ，
è 3 2 15
R2 4 h2 27所以 = + = ，
3 20
27π
則三棱錐 A - BCD 2的外接球表面積 S = 4πR = .
5
故選：C.
【變式 6-1】（2024·山東菏澤·模擬預測）已知正三棱臺的上、下底面邊長分別為 2 3,4 3 ，體積為 42 3 ，
則該正三棱臺的外接球表面積為（ ）
20π 80A B π C 160 5． ． ．80π D．
3 π3
【答案】C
【解析】令給定的正三棱臺為正三棱臺 ABC - A1B1C1， A1B1 = 2 3, AB = 4 3 ，
3 3
令正VA 2 21B1C1,VABC 的中心分別為O1,O2 ，而 SVA B C = (2 3) = 3 3, SVABC = (4 3) =12 3 ，1 1 1 4 4
1
則V = (3 3 + 3 3 12 3 +12 3) ×O1O2 = 42 3 ，解得O1O2 = 6，3
△A 3 21B1C1的外接圓半徑 r1 = 2 3 = 2，VABC 的外接圓半徑 r = 4，2 3
顯然正三棱臺的外接球球心在直線O1O ，設外接球半徑為R,OO1 = x，則 | OO2 |=| 6 - x |，
因此R2 = x2 + 22 = (6 - x)2 + 42，解得 x = 4, R2 = 20，
所以該正三棱臺的外接球表面積為 S = 4πR2 = 80π .
故選：C
【變式 6-2】（2024·黑龍江·二模）已知正四棱錐P - ABCD 的側棱長為 2，且二面角P - AB - C 的正切值為
6 ，則它的外接球表面積為（ ）
16
A． π
28
B． 6π C．8π D． π
3 3
【答案】A
【解析】設正方形 ABCD中心為O，取 AB 中點H ，連接PO、PH 、OH ，
則PH ^ AB ，OH ^ AB ，PO ^平面 ABCD，
所以 PHO 為二面角P - AB - C 的平面角，即 tan PHO
PO
= = 6 ，
OH
設正方形 ABCD的邊長為 a a > 0 PO 6，則 = a，
2
AO 1 AC 1又 = = a2 + a2 2= a，PA = 2 ，所以PO2 + AO2 = PA2，
2 2 2
2 2
6
即 a
2
÷÷ + a ÷÷ = 4，解得2 2 a = 2
（負值已舍去），
è è
則PO = 3 ， AO =1，設球心為G ，則球心在直線PO上，設球的半徑為 R ，
2
則R2 =12 + 3 - R R 2 3，解得 = ，3
2
2 S 4πR 4π 2 3 16所以外接球的表面積 = = 3 ÷÷
= π .
è 3
故選：A
題型七：外接球之側棱相等的棱錐模型
【典例 7-1】（2024·陜西商洛·模擬預測）在三棱錐P - ABC 中，PA = PC = AB = BC = AC = 2 3 ，
PB = 3 3，則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． 48π B．12π C． 27π D． 28π
【答案】D
【解析】根據題意畫出圖形，如圖所示，
分別取 AC ， PB的中點M ， N ，連接MN ，PM ， BM ，
又PA = PC = AB = BC = AC = 2 3 ，
所以PM ^ AC ，BM ^ AC ，PM = MB = 3，
由圖形的對稱性可知：球心必在MN 的延長線上，
設球心為O，連接OC ，OB ，
設半徑為 R ，ON = x ，OC = OB = R ，
可知VONB，VOMC 為直角三角形，
ì R2 x2 27= +
ì OB2 = ON 2 + NB2 4
所以 í ，所以 ，
OC
2 í 2= OM 2 + MC 2 R2 3= + x + 3
÷ è 2
解得 x
1
= ，R2 = 7，
2
所以球的表面積為 S = 4πR2 = 4π 7 = 28π .
故選：D .
【典例 7-2】（2024·安徽安慶·校聯考模擬預測）三棱錐 P - ABC 中， PA = PB = PC = 2 3 ， AB = 2AC = 6，
BAC π= ，則該三棱錐外接球的表面積為 ．
3
【答案】 48π
π 2
【解析】因為 AB = 2AC = 6， BAC = 9 + 36 - BC 1，所以由余弦定理可得 cos BAC = = ，解得
3 2 3 6 2
BC = 3 3 ，所以BC 2 + AC 2 = AB2 ，
所以VABC 是以 AB 為斜邊的直角三角形，
因為PA = PB = PC = 2 3 ，
所以點 P 在平面 ABC 內的射影是VABC 的外心，
即斜邊 AB 的中點，且平面PAB ^平面 ABC ，
于是VPAB 的外心即為三棱錐P - ABC 的外接球的球心，
因此VPAB 的外接圓半徑等于三棱錐P - ABC 的外接球半徑．
因為 PA = PB = 2 3 ， AB = 6，
2
cos APB PA + PB
2 - AB2 12 +12 - 36 1
所以 = = = - ，
2PA × PB 2 12 2
3
于是sin APB = ，
2
2R AB 6= = = 4 3
根據正弦定理知VPAB 的外接圓半徑 R 滿足 sin APB 3 ，
2
所以三棱錐P - ABC 的外接球半徑為R = 2 3，
因此三棱錐P - ABC 的外接球的表面積為 4πR2 = 48π ．
故答案為： 48π
【變式 7-1】在三棱錐 S - ABC 中， SA = SB = CA = CB = AB = 2，二面角 S - AB - C 的大小為60°，則三棱
錐 S - ABC 的外接球的表面積為 ．
52 p 52p【答案】 /
9 9
【解析】取 AB 的中點D，連接 SD,CD ，因為 SA = SB = CA = CB = AB = 2，
所以△SAB 和VABC 都是等邊三角形，所以 SD ^ AB,CD ^ AB，
所以 SDC 是二面角 S - AB - C 的平面角，即 SDC = 60° ，
設球心為O，△SAB 和VABC 的中心分別為F , E，則OE ^ 平面 ABC ，OF ^平面 SAB ，
因為DE = DF 1 3= 2 3= ，OD 公共邊，所以VODE ≌△ODF ，
3 2 3
所以 ODE = ODF = 30°，
3
因為 cos ODE
DE DE 2
= ，所以OD = = 3 = ，
OD cos ODE 3 3
2
所以OA = OD2 4+ AD2 = +1 13= ，
9 3
所以三棱錐 S - ABC 2
52
的外接球的表面積為 4π ×OA = π
9
52
故答案為： π
9
【變式 7-2】已知三棱錐P - ABC 的各側棱長均為 2 3 ，且 AB = 3, BC = 3, AC = 2 3 ，則三棱錐P - ABC
的外接球的表面積為 .
【答案】16p
【解析】如圖：
過 P 點作平面 ABC 的垂線，垂足為 M，則VPMA,VPMB,VPMC 都是直角三角形，
又PA = PB,\VPMA @VPMB ，同理可得VPMA @VPMC ，\MA = MB = MC ，
所以 M 點是VABC 的外心；
又 AB2 + BC 2 =12 = AC 2 ，\VABC 是以 AC 斜邊的直角三角形，
\P在底面 ABC 的射影為斜邊 AC 的中點M ，如下圖：
則PM = PC 2 - CM 2 = (2 3)2 - ( 3)2 = 3，設三棱錐P - ABC 外接球的球心為O，半徑為 r ，
則O在PM 上，則OC 2 = OM 2 + CM 2 ，即 (3 - r)2 + ( 3)2 = r 2 ，得 r = 2，外接球的表面積為 4pr 2 =16p；
故答案為：16π.
題型八：外接球之圓錐、圓柱、圓臺模型
【典例 8-1】（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知某圓錐底面半徑為 1，高為 2，則該圓錐的外接球表面積為
（ ）
25 π 25A． B． π
25
C 25． π D． π
8 6 4 2
【答案】C
【解析】根據題意，設圓錐外接球的半徑為 R ，
5
則有R2 = 1+ (2 - R)2 ，解得R = ，
4
2 25π
則該圓錐的外接球表面積 S = 4πR = 4 ．
故選：C．
【典例 8-2】若一個圓柱的底面半徑為 1，側面積為10π，球O是該圓柱的外接球，則球O的表面積為 ．
【答案】 29π
【解析】設圓柱的高為 h，其外接球的半徑為 R ，
因為圓柱的底面半徑為 1，側面積為10π，所以 2πh =10π ，解得 h = 5；
由圓柱和球的對稱性可知，球心位于圓柱上下底面中心連線的中點處，
R 1 5
2 29
所以 = + ÷ = ，所以球的表面積為 S = 4πR
2 = 29π .
è 2 2
故答案為： 29π
【變式 8-1】（2024·全國·模擬預測）已知某圓臺的上底面圓心為O1，半徑為 r ，下底面圓心為O2，半徑為
uuuur uuuur
2r ，高為 h
h
，若該圓臺的外接球球心為O，且O1O = 2OO2 ，則 =（r ）
A． 3 B．3 C． 2 D． 2
【答案】B
【解析】由圓臺的上底面圓心為O1，半徑為 r ，下底面圓心為O2，半徑為 2r ，高為 h，
uuuur uuuur 2h
如圖所示，因為O1O = 2OO2 ，所以OO1 = ,OO
h
2 = ，3 3
2 2 2
所以 r 2 2h
h
+ ÷ = (2r)
2 h+ ，解得3r 2 h ÷ = ，所以 = 3 .
è 3 è 3 3 r
故選：B.
【變式 8-2】（2024·重慶·統考模擬預測）如圖所示，已知一個球內接圓臺，圓臺上、下底面的半徑分別為
500π
3和 4，球的體積為 ，則該圓臺的側面積為（
3 ）
A． 60π B．75π C．35π D．35 2π
【答案】D
4πR3 500π
【解析】設球的半徑為 R ，則 = ，所以，R = 5，
3 3
取圓臺的軸截面 ABCD，如下圖所示：
設圓臺的上、下底面圓心分別為E 、F ，則E 、F 分別為 AB 、CD 的中點，
連接OE 、OF 、OA、OB 、OC 、OD ，則OA = OB = OC = OD = 5，
由垂徑定理可知，OE ^ AB，OF ^ CD ，
所以，OE = OA2 - AE2 = 52 - 42 = 3，OF = OD2 - DF 2 = 52 - 32 = 4，
因為OE = DF ，OA = DO， AE = OF ，所以，Rt△OAE≌Rt△DOF ，
所以， OAE = DOF ，所以， DOF + AOE = DOF + ODF = 90o，
所以， AOD = 90o，則 AD = OA2 + OD2 = 5 2 ，
因此，圓臺的側面積為 π 3+ 4 5 2 = 35 2π，
故選：D.
題型九：外接球之垂面模型
【典例 9-1】（2024·陜西榆林·模擬預測）如圖，VABC 是邊長為 4 的正三角形，D 是 BC 的中點，沿 AD 將
VABC 折疊，形成三棱錐 A - BCD．當二面角B - AD - C 為直二面角時，三棱錐 A - BCD外接球的體積為
（ ）
A．5π B． 20π C 5 5π D 20 5π． ．
6 3
【答案】D
【解析】由于二面角B - AD - C 為直二面角，且△ABD 和VACD都是直角三角形，
故可將三棱錐 A - BCD補形成長方體來求其外接球的半徑 R，
2
即 2R 2 = 22 + 22 + 2 3 ，解得R = 5 ，
3
從而三棱錐 A - BCD V 4πR 20 5π外接球的體積 = = ．
3 3
故選：D
【典例 9-2】如圖，在三棱錐P - ABC 中， ACB = 60°， 2AC = BC = PB = PC ，平面PBC ^平面 ABC ，
D是BC 的中點， PD = 4 3 ，則三棱錐P - ACD 的外接球的表面積為（ ）
160π
A． B． 40π
3
208π
C． D．80π
3
【答案】C
【解析】依題意，VPCB 為等邊三角形，且高 PD = 4 3 ，則PC = CB = PB = 8，
而 AC = CD = 4，又 ACB = 60°，則VACD為等邊三角形，
平面PBC ^平面 ABC ，PD ^ BC ，平面 ABC I平面 PBC = BC ，PD 平面 PBC ，于是PD ^平面 ABC ，
令VACD的外心為G ，三棱錐P - ACD 外接球的球心為O，則OG ^平面 ACD，
又三棱錐P - ACD 的外接球球心O在線段PD的中垂面上，此平面平行于平面 ACD，
1 2 4 3
因此OG = PD = 2 3 ，等邊VACD外接圓半徑
2 r = 4sin 60
o = ，
3 3
三棱錐P - ACD 的外接球 R ，則R2 = OG2 + r 2 12 4 3 52= + ( )2 = ，
3 3
2 208π
所以三棱錐P - ACD 的外接球的表面積 S = 4πR = ，
3
故選：C
【變式 9-1】（2024·江西鷹潭·三模）在菱形 ABCD中， AB = 2， AC = 2 3，將VABC 沿對角線 AC 折起，
使點 B 到達B 的位置，且二面角B - AC - D 為直二面角，則三棱錐 B - ACD的外接球的表面積為（ ）
A．5π B．16π C． 20π D．100π
【答案】C
【解析】如圖所示：
由題意在菱形 ABCD中， AC, BD 互相垂直且平分，點E 為垂足，
AB = BC = CD = DA = 2, EC 1= EA = AC = 3，
2
由勾股定理得BE = DE = BC 2 - CE2 = 4 - 3 =1，
ADC 2π所以 = ，
3
設點O1為VACD外接圓的圓心，
AC 2 3
則VACD
r1 = O1D = = = 2外接圓的半徑為 2sin ADC 3 ，O1E = O1D - DE = 2 -1 =1，2
2
設點O2為△ACB 外接圓的圓心，同理可得△ACB 外接圓的半徑為 r2 = O2B = 2，
O2E = O2B - B E = 2 -1 =1，
如圖所示：
設三棱錐 B - ACD的外接球的球心、半徑分別為點O, R ，
而DE, B E均垂直平分 AC ，
所以點O在面 ADC ，面 ACB 內的射影O1,O2 分別在直線DE, B E上，
即OO1 ^ DE,OO2 ^ B E，
由題意 AC ^ DE, AC ^ B E ，且二面角B - AC - D 為直二面角，
即面DAC ^ 面 ACB ，DE B E = E ，
所以B E ^ ED，即O2E ^ EO1，可知四邊形O1OO2E 為矩形，所以O1O = O2E = 1，
OD2 = O O2 + O D2 2由勾股定理以及 1 1 = 5 = R ，
所以三棱錐 B - ACD的外接球的表面積為 S = 4πR2 = 4π 5 = 20π .
故選：C.
【變式 9-2】（2024·四川·三模）如圖，在梯形 ABCD中， AB∥CD, AB = 4,BC = CD = DA = 2，將VACD沿
對角線 AC 折起，使得點D翻折到點 P ，若面PAC ^面 ABC ，則三棱錐P - ABC 的外接球表面積為（ ）
A．16π B． 20π C． 24π D．32π
【答案】B
【解析】如圖，
設M 為 AC 的中點，O2為 AB 的中點，O1為△APC 的外心，O為三棱錐P - ABC 的外接球球心，
則OO2 ^ 面 ABC,OO1 ^面 APC .
由題意得 ACB = 90o ,\O2為VABC 的外心，
在△APC 中， APC =120o , AP = PC = 2, AC = 2 3 ，
所以O1M = 1，
又四邊形OO1MO2 為矩形，
\OO2 = O1M =1，設外接球半徑為 R ，
R2則 = O2B
2 + O2O
2 = 5,\外接球表面積 4p R2 = 20p ，
故選：B.
【變式 9-3】（2024·貴州貴陽·模擬預測）在三棱錐 A - BCD中，已知 AC ^ BC, AC = BC = 2, AD = BD = 6 ，
且平面 ABD ^平面 ABC，則三棱錐 A - BCD的外接球表面積為（ ）
A．8π B．9π C．10π D．12π
【答案】B
【解析】如圖，設外接球的半徑為 R，取 AB 的中點O1，連接O1D ，則由 AD = BD ，得O1D ^ AB ，
因為平面 ABD ^平面 ABC，平面 ABD 平面 ABC = AB，O1D 平面 ABD，
所以O1D ^平面 ABC，則球心 O 在直線O1D 上．
連接 OA，則OD = OA = R，
因為 AC ^ BC, AC = BC = 2，所以 AB = 2 2 ；
因為 AD = BD = 6 ，所以 AO1 = 2,O1D = 2 .
因為O1D > AO1 ，所以球心在線段O1D 上．
在Rt△O1OA
2
中，由勾股定理，得OO1 + O A
2
1 = OA
2
，
3
即 (2 - R)2 + 2 = R2，解得R = ，
2
2
所以三棱錐 A - BCD的外接球表面積為 4πR2 = 4π 3 2 ÷
= 9π .
è
故選：B．
題型十：外接球之二面角模型
【典例 10-1】在三棱錐 A - BCD 中，二面角 A - BD
π
- C 的大小為 ， BAD = CBD ，BD = BC = 2，則
3
三棱錐外接球表面積的最小值為 ．
8 7 - 4
【答案】 π
3
【解析】
取△ABD 外心O1，△BCD外心O2，BD中點為E ，
則O2 A = O2B = O2D，O1B = O1C = O1D ，OO2 ^ 面 ABD，OO1 ^面BCD
所以O1E ^ BD,O2E ^ BD ， O1EO
π
2 = ，3
設 BAD = CBD = q ，
BD
由正弦定理得 = 2O2B，sinq
2 2 2 q余弦定理得CD = BC + BD - 2BC × BD cosq = 8 -8cosq ，所以CD = 8 -8cosq = 4sin ，2
CD 12O B O B =所以由正弦定理得 = 1 ，即 1 cos q ，sinq 2
O 1 2 1 2 2 q所以 2B = ，O E = O B -1 = ，O E = O B - BE = tan ，sinq 2 2 tanq 1 1 2
q
在四邊形OO1EO
tan
2 中，O O2 = O E21 2 1 + O2E
2 - O E O E tan2 q 1 21 × 2 = + -2 tan2 q tanq
2
1- tan2 q ÷ 1- tan2
q 7 tan4 q - 4 tan2 q +1
= tan2 q + è 2 - 2 = 2 ，
2 4 tan2 q 2 4 tan2 q
2 2
R2 OE2 1 O
2
1O2 1 7 tan2 q 1 1 2 7 1 2 7 -1= + = p + = +2 3 2 2 q
- - =
3 9 3 3 ，sin 3tan
3 2
q 1-
當且僅當 tan = 7 4 時等號成立，
2
4 2 7 -1
所以三棱錐外接球表面積最小值為 4πR2 = π，
3
8 7 - 4
故答案為： π .
3
【典例 10-2】如圖，在三棱錐 P - ABC 中， PA = PB = 5 ，CA ^ AB ， AB = AC = 2，二面角 P - AB - C
的大小為120°，則三棱錐P - ABC 的外接球表面積為 .
49 49p
【答案】 p /
3 3
【解析】取BC 和 AB 的中點分別為O1，D，過點 P 作PE ^面 ABC 于點E ，
連結PD， 1，DE , AB 平面 ABC ,故PE ^ AB，
又PA = PB ，則PD ^ AB,又PD PE = P, PD, PE 平面PDE ,
故 AB ^平面PDE ，DE 平面PDE ，故 AB ^ DE
則 PDE 為二面角P - AB - C 的補角， PDE = 60o ，
因為PA = PB = 5 ， AB = AC = 2，則PD = 2，且PE = 3, DE =1，
易知DO1 =1，DO1 ^ AB ， BC = 2 2 = 2AO1
因為VABC 為等腰直角三角形，所以O1是VABC 的外心.
設三棱錐P - ABC 的外接球的球心為O，則OO1 ^面 ABC ，易知PE / /OO1 ，
作OQ ^ PE ，易知OO1EQ 為矩形，OQ = EO1 =1+1 = 2 ，
設OO1 = h，OA = R，則在 RtVAO O中，R2 21 = h + 2，
49
且 Rt△ PQO 中，R2 = ( 3 - h)2 + 4 2，解得R = ，
12
所以外接球表面積為 S = 4πR2
49
= π .
3
49
故答案為： π .
3
【變式 10-1】（2024·陜西咸陽·二模）已知三棱錐D - ABC 中， AB = 4, AC = 3, BC = 5，三角形DBC 為正三
角形，若二面角D - BC - A為120°，則該三棱錐的外接球的體積為 ．
1625 13
【答案】 π
162
【解析】如圖，∵ AB = 4, AC = 3, BC = 5，即 AB2 + AC 2 = BC 2 ，∴ BAC = 90° .
∴球心O在過BC 的中點O1與平面 ABC 垂直的直線上，
同時也在過△BCD的中心O2與平面BCD垂直的直線上，.
∴這兩條直線必相交于球心O .
∵二面角D - BC - A的大小為120°，
易知 O1OO2 = 60°， OO2O1 = 90°，
2
QO1O
1
2 = O
1 2 5 5 3 5 3 3 5
1D = 5 - ÷ = ，\OO2 = O O × tan 30° = = ，3 3 1 2è 2 6 6 3 6
2
QO2D
2
= O 2 2 5 5 31D = 5 - ÷ = ，3 3 è 2 3
2 2
∴三棱錐D - ABC 的外接球的半徑為R = OD OO2 O 2 5 5 3 5 13= 2 + 2D = +6 3 ÷÷
= .
è 6
3
∴ D ABC V 4 πR3 4
5 13 1625 13
三棱錐 - 的外接球的體積為 = = π
3 3 ÷÷
= π .
è 6 162
1625 13
故答案為： π
162
【變式 10-2】（2024·高三·河南·期末）在邊長為 1 的菱形 ABCD中 BAD = 60°，將DABD 沿BD折起，使
二面角 A - BD - C 的平面角等于120°，連接 AC ，得到三棱錐 A - BCD，則此三棱錐 A - BCD外接球的表
面積為 .
7p 7
【答案】 / p
3 3
【解析】取BD的中點E ，連接 AE , CE ，
因為 ABCD為菱形，所以 AEC 即為二面角 A - BD - C 的平面角，
因為 BAD = 60°，所以△ABD 和△CBD均為正三角形，
取 AE 靠近E 的三等分點G ，取CE靠近E 的三等分點F ，
過點F 作OF ^平面BCD，過點G 作OG ^平面 ABD，OF ,OG交于點O，
則O為三棱錐 A - BCD外接球的球心，連接 , ，
由對稱性知ΔOGE @ ΔOFE 3
1
，則EF = ，BE = ，
6 2
OEF 120°因為 = = 60°，
2
3
所以OE 6 3 ，= =
cos 60° 3
OB BE2 OE2 1 1 7 21所以外接球的半徑 = + = + = = ，
4 3 12 6
7 7π
所以外接球的表面積為 4π = .
12 3
7π
故答案為：
3
題型十一：外接球之側棱為球的直徑模型
【典例 11-1】（2024·山東·模擬預測）如圖①，將兩個直角三角形拼在一起得到四邊形 ABCD，且
AC BC 1= = AD =1， AC ^ AD，現將VACD沿 AC 折起，使得點D到達點 P 處，且二面角P - AC - B 的
2
大小為 60°，連接 BP，如圖②，若三棱錐 P - ABC 的所有頂點均在同一球面上，則該球的表面積為（ ）
A． 4π B．5π C． 6π D．7π
【答案】B
【解析】過點C 作CE //PA且CE = PA，連接PE、 BE ，則四邊形 ACEP為平行四邊形，
所以 AC //PE ，因為 AC ^ AP，所以AC ^ CE ，又 AC ^ BC ，
所以 BCE 是二面角P - AC - B 的平面角，即 BCE = 60°，
1
在VBCE 2 2 2中，由余弦定理可得BE = BC + CE - 2BC ×CE cos 60° =1+ 4 - 2 1 2 = 3，
2
即BE = 3 ，所以BE2 + BC 2 = CE2 ，所以BC ^ BE ，
又BC ^ AC ， AC //PE ，所以BC ^ PE ，PE BE = E，PE, BE 平面 PBE ，
所以BC ^平面 PBE ，PB 平面 PBE ，所以BC ^ PB ，
所以PC 為三棱錐P - ABC 的外接球的直徑，
R 1 PC 1 AP2 5所以外接球的半徑 = = + AC 2 = ，
2 2 2
2
S 4πR2

4π 5

所以外接球的表面積 = = 2 ÷÷
= 5π .
è
故選：B
【典例 11-2】（2024·安徽阜陽·模擬預測）已知三棱錐P - ABC 的外接球為球O，PC 為球O的直徑，且
PC = 2，PA = PB = 3 ， AB =1，則三棱錐P - ABC 的體積為 .
2 1
【答案】 / 2
6 6
【解析】如圖，易知 PAC = PBC = 90°， AC = BC =1，所以 APC = BPC
π
= ，
6
作 AH ^ PC 于點H ，易知BH ^ PC ，所以 AH = BH 3= ，
2
2 2 2
cos AHB AH + BH - AB 1= = ,sin AHB 2 2= ，
2AH × BH 3 3
S 1VAHB = AH × BH ×sin AHB
3 2 2 2
= = ，
2 8 3 4
故三棱錐P - ABC 的體積為
V V V 1 1 2= P- AHB + C- AHB = SV AHB × PH + HC = SV AHB × PC = .3 3 6
2
故答案為： .
6
【變式 11-1】已知三棱錐 S - ABC 的所有頂點都在球O的球面上， SC 是球O的直徑.若平面 SCA ^ 平面
8
SCB ， SA = AC ， SB = BC ，三棱錐 S - ABC 的體積為 ，則球O的體積為（
3 ）
20p 32p
A． 4p B． C．6p D．
3 3
【答案】D
【解析】取 SC 的中點O，連接OA,OB，
因為 SA = AC ， SB = BC ，所以OA ^ SC ，OB ^ SC .
因為平面 SAC ^ 平面 SBC ，所以OA ^ 平面 SBC .
設OA = r ，
V 1 1 1 1A-SBC = SDSBC OA = 2r r r = r
3
3 3 2 3
1 3 8
所以 r = ，\r = 2
3 3
4 p r3 32p所以球的體積為 = .
3 3
故選：D
1
【變式 11-2】（2024·四川巴中·高三統考期末）已知三棱錐 S - ABC 的體積為 2 ， AC = BC =1，
ACB =120°，若 SC 是其外接球的直徑，則球的表面積為（ ）
A． 4p B．6p C．8p D．16p
【答案】D
【解析】由 SC 是其外接球的直徑，得 SC 中點 O 是 S - ABC 外接球球心，設G 是DABC 的外心，則OG ^
平面 ABC ，且OG 等于S 到平面 ABC 的距離的一半．求出DABC 中 AB 長（用余弦定理），由正弦定理求得
DABC 外接圓半徑，求出DABC 面積，求體積求出OG ，從而可得外接圓半徑，得表面積．如圖，O是 SC
中點，則 O 是 S - ABC 外接球球心，設G 是DABC 的外心，則OG ^平面 ABC ，且OG 等于S 到平面 ABC
的距離的一半．
∵ AC = BC =1， ACB =120°，∴ AB = AC 2 + BC 2 - 2AC BC cos120° = 3，
2GC AB 3= = = 2，GC =1，
sin BCA sin120°
S 1DABC = AC BC sin120
3 1 1 3 1
° = ，VS - ABC = SDABC × 2OG = 2OG = ，2 4 3 3 4 2
OG = 3 ，
∴ OC = GC 2 + GO2 = 2，
S = 4p (OC)2 = 4p 22 =16p ．
故選：D.
題型十二：外接球之共斜邊拼接模型
【典例 12-1】如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，底面是菱形，PB ^ 底面 ABCD， O是對角線 AC 與 BD的交點，
p
若PB =1， APB = ，則三棱錐P - BOC 的外接球的體積為（ ）
3
2p 4p
A B C 5p． ． ． D3 ．2p3 3
【答案】B
【解析】解：∵底面 ABCD 為菱形，∴ AC ^ BD ，又PB ^ 底面 ABCD，∴ AC ^ PB ，
p
∴ AC ^ 平面 PBD，∴ AC ^ PO ，即 POC = ，
2
取 PC 的中點 M，如下圖：
連結 BM，OM，在Rt△PBC 中，MB=MC=MP= 12 PC，
在Rt△POC 中 MO= 12 PC，
∴點 M 為三棱椎 P-BOC 的外接球的球心，
在△PAC 中，由于PO ^ AC ，O 是 AC 的中點，所以△PAC 是等腰三角形，
PA = PC 1 cos p= = 2 ，
3
1 4
外接球半徑為 PC =1 ，外接球的體積為 p ；
2 3
故選：B．
【典例 12-2】已知三棱錐P - ABC 中，PA = 1，PB = 3，PC = 5 ， AB = 2 2 ，CA = CB = 2 ，則此三棱錐
的外接球的表面積為（ ）
14p 28p
A． B． C．9p D．12p
3 3
【答案】C
【解析】因為PA = 1， AB = 2 2 ，PB = 3，則PB2 = PA2 + AB2 ，所以PA ^ AB ，
又因為 AB = 2 2 ，BC = 2， AC = 2，則 AB2 = BC 2 + AC 2 ，所以 AC ^ BC ，
由PA = 1， AC = 2，PC = 5 ，則PC 2 = PA2 + AC 2 ，所以PA ^ AC ，
又由PC = 5 ，BC = 2，PB = 3，則PB2 = PC 2 + BC 2 ，所以 PC ^ BC ，
可得 PB為三棱錐P - ABC 的外接球的直徑，
又由PC 2 = PA2 + AC 2 + BC 2 =1+ 4 + 4 = 9，
4 + 4 +1 3
所以此三棱錐的外接球半徑為R = = ，
2 2
所以球的表面積為 S = 4p R2 = 9p ．
故選：C．
【變式 12-1】在三棱錐 A - SBC 中， AB = 10, ASC = BSC
p
= , AC = AS, BC = BS 若該三棱錐的體積為
4
15
，則三棱錐 A - SBC 外球的體積為（ ）
3
p
A．p B． C．
3 5p
D． 4 3p
【答案】D
【解析】如圖所示：
設 SC 的中點為 O，AB 的中點為 D，連接 OA、OB、OD，
p
因為 ASC = BSC = , AC = AS , BC = BS ，
4
所以 SAC
p
= SBC = ，
2
則OA = OB = OC = OS ，
所以 O 為其外接球的球心，設球的半徑為 R，
因為OD ^ AB， AB = 10 ，
2
10 10
所以 AD = DB = ,OD = R2 -
2 ÷÷
，
è 2
1 1
所以 SVAOB = × AB ×OD = 10R
2 - 25 ，
2 2
因為 SC ^ OA, SC ^ OB,OA OB = O ，
所以 SC ^平面 AOB，
1 1 1 15
所以VA-SBC = × SAOB × SC = × 10R
2 - 25 ×2R = ，
3 3 2 3
解得 R = 3 ，
V 4所以其外接球的體積為 = ×p × R3 = 4 3p ，
3
故選：D
題型十三：外接球之坐標法模型
【典例 13-1】空間直角坐標系O- xyz中， A( 2,0,0), B(0,3,0),C(0,0,5), D( 2,3,5), 則四面體 ABCD 外接球體積
是（ ）
108
A． 25p B．36p C． p D． 288p3
【答案】B
【解析】取E( 2,0,5), F ( 2,3,0),G(0,3,5),O(0,0,0)，則OAFB - CEDG 是長方體，
其對角線長為 l = ( 2)2 + 32 + 52 = 6，
∴四面體 ABCD
l
外接球半徑為 r = = 3．
2
V 4 p r3 4= = p 33 = 36p ，
3 3
故選：B．
【典例 13-2】（2024·河南開封·開封高中校考一模）如圖，在三棱錐 A - BCD中，
AD ^ AB, AB = AD = 2,VACD 2為等邊三角形，三棱錐 A - BCD的體積為 3 ，則三棱錐 A - BCD外接球的表
面積為 .
【答案】 4π 5 - 2 2
【解析】
過 C 作CH ^面 ABD于 H，
1
則三棱錐 A - BCD的體積為V＝ SV ABD ×CH
1 1 2
= 2 2 × CH =
3 3 2 3 ，所以
CH =1，
取 AD 中點 M，連接 CM，MH，
因為VACD為等邊三角形，所以 AD ^ CM ，
又CH ^面 ABD， AD 面 ABD，所以 AD ^ CH ，
又CM CH＝C ，所以 AD ^ 面CMH ，
MH 面CMH ，所以 AD ^ MH ，
在RtVCMH 中，CM = 3,CH =1, 所以MH = 2,
以 AB，AD 為 x, y 軸，垂直于 AB，AD 方向為 z 軸，建立如圖所示空間坐標系，
A 0,0,0 , B 2,0,0 , D 0,2,0 ,C 2,1,1 ,
設球心O，O在面 ABD的投影為 N ，
由 OA = OB = OD 得 NA = NB = ND ，
所以 N 為Rt△ABD 的外接圓圓心，所以 N 為Rt△ABD 斜邊的中點，故設O 1,1, t ,
2
由 OA = OC 得12 +12 + t 2 = 2 -1 + 1-1 2 + t -1 2 ，解得 t =1- 2 ，
2 2
所以R2 = OA =12 +12 + 1- 2 = 5 - 2 2 ，
2
故外接球的表面積為 4πR = 4π 5 - 2 2 ，
故答案為： 4π 5 - 2 2
p
【變式 13-1】如圖①，在RtVABC 中，C = 2 ， AC = BC = 2，D，E 分別為 AC ， AB 的中點，將VADE
沿DE 折起到△A1DE 的位置，使 A1D ^ CD，如圖②.若 F 是 A1B 的中點，則四面體FCDE 的外接球體積是
（ ）
A 2p B 2． ． p C 2． p D 2． p
3 6 12
【答案】B
【解析】依題意CD ^ DE ， A1D ^ DE， A1D I DC = D， A1D, DC 平面 A1DC ，所以DE ^ 平面 A1DC ，
又 A1D ^ CD，如圖建立空間直角坐標系，則D 0,0,0 、C 1,0,0 、E 0,1,0 、B 1,2,0 、 A1 0,0,1 、
F 1 ,1, 1 1 1 2 2 ÷
，依題意△DCE 為直角三角形，所以△DCE 的外接圓的圓心在CE的中點 , ,02 2 ÷，設外接球è è
的球心為M
1 1
, , m÷，半徑為 R ，則 DM = MF = R2 2 ，即è
R 1
2
1
2
m2 1 1
2 1 2 1 2 2
= ÷ + ÷ + =

- ÷ +

1- ÷ + - m

÷ ，解得m = 0，所以R = ，所以外接球的體積
è 2 è 2 è 2 2 è 2 è 2 2
V 4 p R3 2= = p ；
3 3
故選：B
題型十四：外接球之空間多面體
【典例 14-1】阿基米德多面體是由邊數不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現了數學的對稱美.將
正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到的阿基米德多面體，如
圖所示.則該多面體所在正方體的外接球表面積為（ ）
A．16π B．9π C．8π D．12π
【答案】D
【解析】將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，截面三角形邊長為 2 ，
則原正方體棱長的一半為 1，即多面體所在正方體的棱長為 2，
可得正方體體對角線長 2 3 ，外接球半徑為 3，
所以外接球表面積為 4π ( 3)2 =12π .
故選：D.
【典例 14-2】（2024·廣西賀州·一模）半正多面體亦稱“阿基米德體”，是以邊數不全相同的正多邊形為面的
多面體．將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，得到一個有
十四個面的半正多面體．它的各棱長都相等，其中八個面為正三角形，六個面為正方形，這樣的半正多面
體被稱為二十四等邊體．如圖所示，已知該半正多面體過 A，B，C 三點的截面面積為6 3 ，則其外接球的
表面積為（ ）
A．8π B．10π C．12π D．16π
【答案】D
【解析】將二十四等邊體補全為正方體，則該二十四等邊體的過 A，B，C 三點的截面為正六邊形
ABCFED ，
1 3
設原正方體棱長為 2a，則正六邊形邊長為 2a，其面積為6 2a 2a = 6 3 ，解得 a = 2 ，
2 2
因此原正方體的棱長為 2 2 ，由對稱性知，二十四等邊體的外接球球心是原正方體的體對角線的交點，
2
球半徑 R 為該點到點A 的距離 2 2 = 2，所以外接球的表面積為 4πR2 =16π .
2
故選：D
【變式 14-1】截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經過適當的截角，即截去四面體的四個頂點所產
生的多面體.如圖所示，將棱長為 3 的正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面得到所有棱長均為 1 的
截角四面體，則該截角四面體的外接球表面積為 .
11p
【答案】
2
2
2 3 6
【解析】因為棱長為 a的正四面體的高為 a2 - a3 2 ÷÷
= a ，
è 3
6 3 6 1 2 6所以截角四面體上下底面距離為 - = ，
3 3 3
序曲其外接球的半徑為 R ，等邊三角形 ABC 的中心為O ' ，正六邊形EFHILK 的中心為O '' ，則O 'O ''垂直于
2 6
平面 ABC 與平面EFHILK ，則 R2 - O 'C 2 + R2 - O ''H 2 = ,
3
2
2 R 3

R2 12 2 6 R2
11
所以 - ÷
=
÷ + - = ，解得 ，
è 3 3 8
2 11 11p
所以該截角四面體的外接球的表面積為 4p R = 4p = ,
8 2
11p
故答案為：
2
題型十五：與球有關的最值問題
【典例 15-1】（2024·河南·模擬預測）在四棱錐V - ABCD 14 3中，若 AB = 2BC = CD = DA =1，其中
7 3
VVBD 是邊長為 2 的正三角形，則四棱錐V - ABCD 外接球表面積的最小值為（ ）
16π
A．32 3π B
16π
． C． D． π
27 9 3
【答案】C
DB AB 2BC 14 3【解析】如圖，連接 ，因為 = = CD = DA =1，
7 3
2
所以 AB =1, BC = ,CD 14= , DA = 3 ，所以 AB2 + AD2 = BC 2 + CD2 = BD2 ，
2 2
所以 AB ^ AD, BC ^ CD，所以四邊形 ABCD必存在一個外接圓，
且圓心為BD的中點設為O1，設外接球的球心為O，則OO1 ^平面 ABCD，
設OO1 = x，過O作與平面VDB的垂線，垂足設為E ，連接VO，OB，AE ，
則E 為VVBD 的中心，且O必位于底面 ABCD的上方，
2
設O E = y ，外接球的半徑為 r ，則 r 2 2 =12 + x2 = 2 3 ÷
+ y ，
è
x2 y2 1 1所以 = + 3，所以 x ，當且僅當 y = 0 時，3 3 3
4 16π
即O 2與E 重合時，外接球表面積取得最小值為 4πr = 4 π = .
3 3
故選：C.
【典例 15-2】在VABC 中，BC = 6， AB + AC = 8，E，F，G 分別為三邊BC ，CA， AB 的中點，將
VAFG ，VBEG，△CEF 分別沿 FG ，EG ，EF 向上折起，使得 A，B，C 重合，記為 P ，則三棱錐
P - EFG的外接球表面積的最小值為（ ）
15π 17π 19π 21π
A． B． C． D．
2 2 2 2
【答案】B
【解析】設 AB = 2m ， AC = 2n，由題設m + n = 4 .
三棱錐P - EFG中，FG = PE = 3，EF = PG = m，EG = PF = n ，
將P - EFG放在棱長為 x，y，z 的長方體中，如圖，
ìx2 + y2 = 32
2 2
則有 íy + z = m2 ，
z2 + x2 = n
2
三棱錐P - EFG的外接球就是長方體的外接球，
(2R)2 = x2 1所以 + y2 + z2 = 9 + m2 + n2 ，2
m2 n2 (m + n)
2
由基本不等式 + = 8，當且僅當m = n = 2時等號成立，
2
1 17π
所以外接球表面積 S = 4πR2 (9 + 8)π = .
2 2
故選：B.
【變式 15-1】（2024·高三·山東青島·期中）如圖，已知直三棱柱 ABC - A1B1C1的底面是等腰直角三角形，
AA1 = 2， AC = BC =1，點D在上底面 A1B1C1（包括邊界）上運動，則三棱錐D - ABC 外接球表面積的最
大值為（ ）
81π 243π
A． B． 6π C． D．
16 64 2 6π
【答案】B
【解析】因為VABC 為等腰直角三角形， AC = BC =1，
所以VABC 2的外接圓的圓心為 AB 的中點O1，且 AO1 = ，2
設 A1B1 的中點為E ，連接O1E ，則O1E //AA1，則O1E ^ 平面 ABC ，
設三棱錐D - ABC 外接球的球心為O，由球的性質可得O在O1E 上，

設OO1 = x，DE t 0 t
2
= ÷÷，外接球的半徑為 R ，
è 2
2

因為OA = OD = R 2 2，所以 x2 + ÷ = 2 - x + t 2 ÷ ，
è 2
t 2 4x 7 2 7即 = - ，又0 t ，則 x 1，2 2 8
2 2 1 81 2 3
因為R = x + ，所以 R
2 64 2
3
所以三棱錐D - ABC 外接球表面積的最大值為 4π = 6π .
2
故選：B.
【變式 15-2】（ 2024·浙江 ·模擬預測）在三棱錐 D - ABC 中， AB = BC = 2， ADC = 90o，二面角
D - AC - B的平面角為30o，則三棱錐D - ABC 外接球表面積的最小值為（ ）
A．16 2 3 -1 p B．16 2 3 - 3 p
C．16 2 3 +1 p D．16 2 3 + 3 p
【答案】B
【解析】當 D 在△ACD 的外接圓上動的時候，該三棱錐的外接球不變，
故可使 D 點動到一個使得 DA=DC 的位置，取 AC 的中點 M，連接BM , DM ，
因為 AB = BC = 2，DA=DC，所以 AC ^ BM ， AC ^ DM ，故 DMB 即為二面角D - AC - B的平面角，
△ACB 的外心為 O1，過 O1作平面 ABC 的垂線，過△ACD 的外心 M 作平面 ACD 的垂線，兩條垂線均在平
面 BMD 內，它們的交點就是球心 O，畫出平面 BMD，如圖所示；
1 cos 2q
在平面 ABC 內，設 CBA = 2q BC，則 r 1= BO = 2 = ，O1M = O1C cos 2q =1 cosq cosq cos
，
q
因為 DMB = 30o ，所以 O MO = 60o O O 3O M 3 cos 2q1 ，所以 1 = 1 = ，cosq
R2 r2 OO 2 1 3cos
2 2q
所以 = + 1 = +cos2 q cos2 q
2
令 t = cos2 q (0,1)
1 3(2t -1) 4
，則 R2 = + = 12t + -12 2 48 -12 = 8 3 -12 ，
t t t
3
所以 S = 4p R2 16(2 3 - 3)p ，當且僅當 t = 時取等，
3
故選:B
題型十六：內切球之正方體、正棱柱模型
【典例 16-1】棱長為 2 的正方體 ABCD - A1B1C1D1的內切球的球心為O，則球O的體積為（ ）
2 p 4 8A． B． p C．2p D． p
3 3 3
【答案】B
【解析】正方體 ABCD - A1B1C1D1的內切球的球心為O，由對稱性可知O為正方體的中心，球半徑為 1，
V 4 p 13 4即球的體積為 = = p .
3 3
故選：B.
【典例 16-2】在正三棱柱 ABC - A B C 中，D 是側棱BB 上一點，E 是側棱CC 上一點，若線段
AD + DE + EA 的最小值是 2 7 ﹐且其內部存在一個內切球（與該棱柱的所有面均相切），則該棱柱的外接
球表面積為（ ）
A．4π B．5π C．6π D．8π
【答案】B
【解析】設正三棱柱 ABC - A B C 的底面邊長為 a,高為 h ，
對三個側面進行展開如圖，
要使線段 AD + DE + EA 的最小值是 2 7 ，則連接 AA （左下角A ，右上角 A ），
2
此時D, E 在連接線上，故 3a + h2 = 2 7 ①，
因為正三棱柱 ABC - A B C 內部存在一個半徑為 r 的內切球，
ìh = 2r
3
所以 í 3 1 整理得 h = a ，

a = r 3
2 3
3
將 h = a 代入①可得 a = 3,h =1，
3
3 2
所以正三棱柱 ABC - A B C 的底面外接圓半徑為 3 =1，
2 3
所以正三棱柱 ABC - A B C 的外接球半徑為 1 1 5+ = ，
4 2
2
5
所以該棱柱的外接球表面積為 4π × 2 ÷÷
= 5π
è
故選：B
【變式 16-1】若一個正六棱柱既有外接球又有內切球，則該正六棱柱的外接球和內切球的表面積的比值為
（ ）
A． 2 :1 B．3: 2 C．7 : 3 D．7 : 4
【答案】C
【解析】如圖：O1,O2 分別為底面中心，O為O1O2 的中點，D為 AB 的中點
設正六棱柱的底面邊長為 2
若正六棱柱有內切球，則OO1 = O1D = 3 ，即內切球的半徑 r = 3
OA2 = OO 21 + O
2
1A = 7 ，即外接球的半徑R = 7
則該正六棱柱的外接球和內切球的表面積的比值為 4πR2 : 4πr 2 = R2 : r 2 = 7 : 3
故選：C．
【變式 16-2】（2024·高三·遼寧錦州·開學考試）已知一個正三棱柱既有內切球又有外接球，且外接球的表
面積為 40π ，則該三棱柱的體積為（ ）
A．6 6 B．12 6 C．6 10 D．12 10
【答案】B
【解析】
如圖，設正三棱柱 ABC - A1B1C1的外接球O的半徑為 R ，
則4π 2 = 40π，解得R = 10 ，
因三棱柱 ABC - A1B1C1有內切球，設內切球半徑為 r ，則正三棱柱的高為 2r ，
連接VABC,VA1B1C1的中心 2, 1，則線段O2O1的中點即為球心O，
依題意，VABC 內切圓半徑為 r ，得O2C = 2r, AB = 2 3r，
則 (2r)2 + r2 = R2，解得 r = 2, AB = 2 6 ,
3
故三棱柱的體積為V = (2 6)2 2 2 = 12 6.
4
故選：B．
題型十七：內切球之正四面體模型
【典例 17-1】已知某棱長為 2 2 的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球的表面積為（ ）
4π
A． 4π B． 2π C． D． π
3
【答案】A
【解析】如圖所示，在棱長為 2 的正方體中構造棱長為 2 2 的正四面體 A - BCD ，
顯然正四面體的棱切球即為正方體的內切球，故球的半徑 r =1，
則該球的表面積為 S = 4πr 2 = 4π ．
故選：A．
【典例 17-2】已知正四面體的棱長為12，則其內切球的表面積為（ ）
A．12p B．16p
C． 20p D． 24p
【答案】D
【解析】設正四面體內切球球心為O，內切球半徑為 R ，取CD 中點F ，作 AE ^ 平面BCD于E ，則E 為
△BCD中心，
1 1 3V
則V = S + S + S + S × R = S × R，\R = A-BCDA-BCD .3 △BCD △ACD △ABC △ABD 3 表 S表
QBE 2= BF 2= 144 - 36 2= 6 3 = 4 3，\ AE = 144 - 48 = 4 6 ，
3 3 3
1
\VA-BCD = S AE
1 1
× = 122 3 4 6 =144 2 ，
3 △BCD 3 2 2
1 3 3 144 2
又 S = 4S△BCD = 4 12
2 =144 3 ，\R = = 6 ，表 2 2 144 3
\內切球表面積 S = 4p R2 = 24p .
故選：D .
【變式 17-1】邊長為1的正四面體內切球的體積為（ ）
A 6π
π
B 2 C D 6π． ． ． ．
8 12 6 216
【答案】D
【解析】將棱長為1的正四面體 ABCD補成正方體 AECF - GBHD 2，則該正方體的棱長為 ，
2
3 3

V 2 4V 2 4 1 1
2 2
A-BCD = 2 ÷÷
- B- ACE = - 4 3 2 2 ÷÷
= ，
è è 12
設正四面體 ABCD的內切球半徑為 r ，正四面體 ABCD 3 3每個面的面積均為 12 = ，
4 4
2 1
由等體積法可得VA-BCD = = r S△ABC + S△ACD + S△ABD + S
3
BCD = r ，解得△ r
6
= ，
12 3 3 12
3
4 6 6
因此，該正四面體的內切球的體積為V = π ÷÷ = π .3 è 12 216
故選：D.
題型十八：內切球之棱錐模型
【典例 18-1】（2024·陜西西安·一模）六氟化硫，化學式為SF6 ，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃
的穩定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業方面具有廣泛用途．六氟化硫結構為正八面體結構，如圖所示，
硫原子位于正八面體的中心，6 個氟原子分別位于正八面體的 6 個頂點，若相鄰兩個氟原子之間的距離為
m，則該正八面體結構的內切球表面積為（ ）
2 2
A． πm2 B． 2πm2 C
πm 2πm
． D．
3 3
【答案】D
【解析】如圖，連接 AC, BD 交于點O，連接OP ，
取BC 的中點E ，連接OE, PE ，
因為 AB = m ,所以OA = OB = OC = OD 2= m ,
2
OP = AP2 - OA2 2= m ,
2
由BE = CE,可得BC ^ OE, BC ^ PE,OE, PE 平面POE ，
且OE PE = E ，所以BC ^平面POE ，
過O作OH ^ PE ，
因為BC ^平面POE ，OH 平面POE ，所以BC ^ OH ,
且BC I PE = E, BC, PE 平面 PBC ，所以OH ^平面 PBC ，
所以OH 為該正八面體結構的內切球的半徑，
2 1 3
在直角三角形POE 中，OP = m,OE = m, PE = m，
2 2 2
1 1 6
由等面積法可得， OP OE = PE OH ,解得
2 2 OH = m
，
6
2

所以內切球的表面積為 4π
6
m
2π
÷ = m2 6 ÷
，
è 3
故選:D.
128
【典例 18-2】若正四棱錐P - ABCD 體積為 ，內接于球 O，且底面 ABCD過球心 O，則該四棱錐內切
3
球的半徑為（ ）
A．2( 3 -1) B．4 C． 2 3 D． 2
【答案】A
【解析】因為正四棱錐P - ABCD 內接于球 O，且底面 ABCD過球心 O，
設球的半徑為 R ，
所以OA = OB = OC = OD = OP = R，
所以 AB = BC = CD = DA = PA = PB = PC = PD = 2R ，
1 2
于是正四棱錐P - ABCD 的體積V = 2R R 128 = ，解得R = 4，3 3
2 2
所以正四棱錐P - ABCD 3的表面積 S = 4 4 2 + 4 2 = 32 3 + 32，4
設正四棱錐P - ABCD 內切球的半徑為 r ，
V 1 Sr 1則 = = (32 3 32)r
128
+ = ，解得 r = 2( 3 -1) .
3 3 3
故選：A.
【變式 18-1】在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑 A - BCD中， AB ^
平面BCD，BC ^ CD，且 AB = BC = CD =1，則其內切球表面積為（ ）
A．3π B． 3π C． 3- 2 2 π D． 2 -1 π
【答案】C
【解析】
因為四面體 ABCD四個面都為直角三角形， AB ^ 平面BCD, BC ^ CD，
所以 AB ^ BD, AB ^ BC, BC ^ CD ， AC ^ CD ，
設四面體 ABCD內切球的球心為O，半徑為 r ，
1
則VABCD = VO- ABC +VO- ABD +VO- ACD +VO-BCD = r S + S +S + S 3 V ABC VABD V ACD VBCD
r 3V所以 = S ，ABCD
因為四面體 ABCD的表面積為 SABCD = S△ABC + S△ABD + S△ACD + S△BCD =1+ 2 ，
ABCD V 1 1又因為四面體 的體積 ABCD = 1 1 1
1
= ，
3 2 6
r 3V 2 -1所以 = = ，
S 2
所以內切球表面積 S = 4πr 2 = (3- 2 2)π .
故選：C.
【變式 18-2】已知四棱錐P- ABCD的各棱長均為 2，則其內切球表面積為（ ）
A． (8 - 2 3)π B． (8 - 4 3)π
C． (8 - 6 3)π D． (8 - 3 3)π
【答案】B
【解析】因為四棱錐P- ABCD的各棱長均為 2，所以四棱錐P- ABCD是正四棱錐，
則 SABCD = 2 2 = 4, S表面積 = 4 + 4 3 ，
過 P 作底面垂線，垂足為 H，則PH = 2 ，
V 1 1所以 P- ABCD = SABCD × PH = S表面積 × r r
6 - 2
，則 ，
3 3 = 2
故其內切圓表面積為 4πr 2 = (8 - 4 3)π ，
故選：B．
題型十九：內切球之圓錐、圓臺模型
【典例 19-1】（2024·安徽池州·二模）已知圓錐的底面半徑為 3，其內切球表面積為12π，則該圓錐的側面
積為（ ）
A．9 3π B．18π C．18 3π D． 27π
【答案】B
【解析】球表面積為12π，則該球半徑為 3，
設圓錐的高為 h，則圓錐的母線長為 32 + h2 ，
則此圓錐的軸截面面積為
1
6h 1= 3
2 2 6 + 2 32 + h2 ，解之得 h = 3 3 ，
則該圓錐的側面積為3π 32 + 23 3 =18π
故選：B
【典例 19-2】（2024·廣東梅州·一模）某圓錐的底面直徑和高均是 2，則其內切球（與圓錐的底面和側面均
相切）的半徑為（ ）
A 5 +1 5 -1． B．
2 2
C 3 +1 D 3 -1． ．
2 2
【答案】B
【解析】圓錐的軸截面如圖所示，設內切球的球心為 D，半徑為 R，
則 AB = 2,CG = 2 ，所以 AC BC (
AB
= = )2 + CG2 = 5 ，
2
又 SVABC = SVADB + SVADC + SVBDC ，
1 2 1 1 1即 2 = 2R + 5R + 5R，
2 2 2 2
R 2 5 -1= = 5 -1解得 ，即內切球的半徑為 .
1+ 5 2 2
故選：B
【變式 19-1】（2024·高三·內蒙古赤峰·開學考試）已知上底面半徑為 2 ，下底面半徑為 2 2 的圓臺存在內
切球（與上，下底面及側面都相切的球），則該圓臺的體積為（ ）
56π
A．14 6π B 56π C 14 6π． ． D．
3 3
【答案】D
【解析】圓臺的軸截面為等腰梯形，上底面半徑為 2 ，下底面半徑為 2 2 ，則腰長為3 2 ，
2 2
故梯形的高為 3 2 - 2 = 4 ，
1 é
則該圓臺的體積為 4π
3 ê
2
2 + 2 2 2 2 8ù 56π+ ú = . 3
故選：D.
題型二十：棱切球之正方體、正棱柱模型
【典例 20-1】（2024·廣東佛山·模擬預測）已知正三棱柱的所有棱長均相等，其外接球與棱切球（該球與其
S1
所有棱都相切）的表面積分別為 S1, S2 ，則 =S ．2
7
【答案】
4
【解析】
設正三棱柱的棱長為 a，因為正三棱柱上下底面中心連線的中點O為外接球的球心，
2 3 3
則外接球的半徑OB2 = OD2 + BD2 ，BD = a = a ，
3 2 3
2 2
2 a 3a 7a2所以 r1 = +2 ÷ ÷
= ，
è ÷è 3 12
3 2
2 2 2
OE = a = 1
3 3a a
因為 a ÷ + a ÷÷ = OF ，所以O為棱切球的球心，則棱切球半徑 r
2
2 = ÷ = ，3 è 2 6 ÷è è 3 3
7a2
S1 4πr
2
所以 = 1
7
2 =
12
2 = .S2 4πr2 a 4
3
7
故答案為：
4
【典例 20-2】已知球O1 與一正方體的各條棱相切，同時該正方體內接于球O2 ，則球O1 與球O2 的表面積之
比為（ ）
A．2：3 B．3：2 C． 2 : 3 D． 3 : 2
【答案】A
【解析】設正方體棱長為 a，
因為球O1 與正方體的各條棱相切，所以球O1 的直徑大小為正方體的面對角線長度，
2
即半徑 r = a ；
2
3
正方體內接于球O2 ，則球O2 的直徑大小為正方體的體對角線長度，即半徑R = a ；
2
2
2
2 ar è 2
÷
2
所以球O1 與球O2 的表面積之比為 2 = 2 = .R 3 3
a ÷
è 2
故選：A.
【變式 20-1】已知正三棱柱 ABC - A1B1C1的體積為18，若存在球O與三棱柱 ABC - A1B1C1的各棱均相切，
則球O的表面積為 .
【答案】16π
【解析】
如圖所示，取上下底面的中心O ,O ''， D、E、F 分別為上底面棱上的切點，
則O為O O ''的中點，設 AB = a, AA1 = 2h，
由題意易知 a = 2h，
2
則C1F
3
= a,O F 3= a = O D,OD = h2 a+ = R2 ，
2 6 12
3
因為V = 2hS 2 2 3△ABC = ha =18 ha = 4h =12 3 h = 3 ，2
所以R = 2 S球 = 4πR
2 =16π .
故答案為：16π .
【變式 20-2】已知正三棱柱 ABC - A1B1C1 的體積為 18，若存在球 O 與三棱柱 ABC - A1B1C1 的各棱均相切，
則球 O 的表面積為（ ）
A．8p B．12p C．16p D．18p
【答案】C
【解析】設正三棱柱 ABC - A1B1C1 的底面邊長為 a，高為b ，上底面中心為O1 ，下底面中心為G ，
連接O1G ，則球O的球心O在O1G 的中點上，設球O切棱 AA1于F ，切棱BC于E ，
則F 、E 分別為所在棱的中點，
由題意V 3 2ABC- A1B1C = a b =18，①1 4
OF AG a 3= = = a
因為 ，
2sin π 3 GE
3
= a，
3 6
2 2
又OG
b
= b a
2 ，所以OE = OG
2 + GE2 = + ，
4 12
3 b2 a2
所以 a = + ，解得 a = b，②
3 4 12
聯立①②可得 a = b = 2 3，
3
所以球O的半徑為 R = a = 2，
3
所以球 O 的表面積為 S = 4p R2 = 4p 22 =16p ，
故選：C.
題型二十一：棱切球之正四面體模型
【典例 21-1】已知某棱長為 2 2 的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球與此正四面體的體積之比
為（ ）
π π
A 3π． B． C． D 2π．
2 3 3 2
【答案】A
【解析】如圖，正方體 ABCD - A1B1C1D1 中，棱長為 2，
所以，四面體 A1BDC1是棱長為 2 2 的正四面體，
當正四面體的各條棱都與同一球面相切時，該球為正方體的內切球，半徑為1，
4π
所以，該球的體積為 ，
3
因為正四面體的體積為8 4
1 1 16 8
- 2 2 2 = 8 - = ，
3 2 3 3
4π
3 π
所以，該球與此正四面體的體積之比為 8 = .2
3
故選：A
【典例 21-2】所有棱長均相等的三棱錐構成一個正四面體，則該正四面體的內切球與外接球的體積之比為
（ ）
1 1 1 1
A． B． 3 3 C． D．27 2 2 8
【答案】A
【解析】
如圖，設E 為正三角形BCD的中心，連接 AE ，
根據對稱性可知正四面體的內切球和外接球共球心且球心O在線段 AE 上，
1 2a 2 3
連接BO, AE 2a BE = p = a，設正四面體的棱長為 ，則 2 ，sin 3
3
4a2
故 AE = 4a2 2 6- = a ．
3 3
設外接球的半徑為 R ，則 AO = BO = R ，
2 2
R2
2 3 2 6
故 = a ÷÷ +
6
a - R ÷÷ ，解得R = a，
è 3 è 3 2
r 2 6 a 6 a 6
r 1
故內切球的半徑為 = - = a ，所以 = ，
3 2 6 R 3
3
r 1
故內切球與外接球的體積之比為 ÷ = ，
è R 27
故選：A．
【變式 21-1】球與棱長為3 2 的正四面體各條棱都相切，則該球的表面積為（ ）
A．6p B．18p C．9p D．10p
【答案】C
【解析】將正四面體補形為一個正方體如圖所示（紅色線條表示正四面體），則正四面體的棱為正方體的
面對角線，
因為球與正四面體的各條棱都相切，所以球與正方體的各個面都相切，所以所求的球為正方體的內切球，
3 2 3
又因為正方體的棱長為 = 3，所以球的半徑R = ，
2 2
2
3
所以球的表面積為： 4p × ÷ = 9p ，
è 2
故選：C.
題型二十二：棱切球之正棱錐模型
3
【典例 22-1】（2024·四川樂山·一模）若一個正三棱錐底面邊長為 1，高為 ，求與該三棱錐 6 條棱都相
3
切的球的表面積為 .
11- 4 6 π
【答案】
3
【解析】如圖所示：
設底面 ABC 外接圓的圓心為O，連接PO， AO ，延長 AO 交BC 于點 N ，
球H 與棱PA, BC 分別切于點M , N ，則MH ^ AP，球H 的半徑為HM = HN = r ，
2 2 3 3 1
注意到在邊長為 1 的等邊三角形 ABC 中， AO = AN = AB = ，ON = AO 3= ，
3 3 2 3 2 6
且PO ^底面 ABC ， AO 底面 ABC ，所以PO ^ AO ，
2
所以HO = HN 2 2

- ON = r 2 3- = r 2 1- , ÷÷ r
2 1> ，
è 6 12 è 12
÷

3
sin APO AO 3 2 MH r= = = = =
AP 2 2 2 PH PH ， 3 3
+3 ÷ ÷è è 3
3 3 1 3
所以PH = 2r，而PO = PH + HO = ，所以 - 2r = r 2 - > 0 ，即 2r < ，
3 3 12 3
6 1 6 1
解得 r1 = - , r2 = + （舍去），3 2 3 2
2
11- 4 6 π
從而與該三棱錐 6 條棱都相切的球的表面積為 S 6 1= 4πr 21 = 4π -3 2 ÷÷
= .
è 3
11- 4 6 π
故答案為： .
3
【典例 22-2】在正三棱錐P - ABC 中， AB = 6，PA = 4 3 ，若球 O 與三棱錐P - ABC 的六條棱均相切，
則球 O 的表面積為 ．
【答案】 76 - 32 3 π
【解析】如圖示：
取VABC 的中心 E，連接 PE，則PE ^平面 ABC，且與棱均相切的球的球心 O 在 PE 上.
連接 AE 并延長交 BC 于 D，則 D 為 BC 的中點， AD ^ BC ，連接 OD.
因為PE ^平面 ABC，所有PE ^ BC .
因為PE 平面PAE ， AD 平面PAE ， AD I PE = E ，所有BC ^平面PAE .
因為OD 平面PAE ，所有 BC ^ OD
.過 O 作OF ^ PA，交 PA 于點 F.
球 O 的半徑為 r，則OD = OF = r .
3 2
由題意：VABC 為正三角形，因為 AB = 6，所以 AD = AB sin 60° = 6 = 3 3 ， AE = AD = 2 3 ，
2 3
ED = 3 .
2 2
因為PA = 4 3 ， AE = 2 3 ，所以PE = PA2 - AE2 = 4 3 - 2 3 = 6，所以 APE = 30° .
設OE = t 0 < t < 6 ，所以PO = 2OF = 2r ，因為 r = t 2 + 3 ，所以 t + 2 t 2 + 3 = 6，解得: t = 2 3 - 2，所以
2
r 2 = 2 3 - 2 + 3 =19 -8 3，故球 O 的表面積為 76 - 32 3 π．
故答案為： 76 - 32 3 π
【變式 22-1】正三棱錐P - ABC 的底面邊長為 2 3 ，側棱長為 2 2 ，若球 H 與正三棱錐所有的棱都相切，
則這個球的表面積為（ ）
17
A． p
9
B． (44 -16 6)p C． p D．32p
4 2
【答案】B
【解析】設底面 ABC 的外接圓的圓心為O，連接PO, AO ，延長 AO 交BC于 N ，
球 H 與棱PA, BC 分別切于M , N ，設球 H 的半徑為 r ，
AO 3 3則 = 2 3 = 2，ON = 2 3 - 2 =1，
3 2
而PO ^底面 ABC ，所以PO ^ AO ，可得PO = 8 - 4 = 2，
在直角三角形ONH 中，OH = r 2 -1，1< r < 2 2 ，
在直角三角形PMH 中，PM = MH = r, PH = 2r ，
所以PO = PH + OH ，即有 2 = 2r + r 2 -1，解得 r = 2 2 - 3 ，
則這個球的表面積為 4p r 2 = 4p 22 2 - 3 = 44 -16 6 p ．
故選：B
題型二十三：棱切球之臺體、四面體模型
【典例 23-1】已知四面體 A - BCD中， AB ^ AC ， AB ^ AD ， AC ^ AD， AB = AC = AD = 2，球心在該四
面體內部的球與這個四面體的各棱均相切，則球的體積為（ ）
4 3 3 3 3
A． π 2 -1 32B． π 2 1 4- C． π 2 32+1 D． π 2 +13 3 3 3
【答案】B
【解析】如圖，O1是△BCD的中心，
根據對稱性，球心O在 AO1 上，球O與BC 、 AB 的切點分別為M ， N ，
且OM ^ BC ，ON ^ AB ，OM = ON 為球的半徑．
2 6
由勾股定理易得BC = 2 2 ，由正弦定理可求得BO1 = ，3
2 3
由勾股定理可求得 AO1 = ．3
∵ BM ，BN 均為球O的切線，∴ BN = BM = 2 ，
AN ON
∵△ANO 與VAO1B 相似，∴ =AO1 BO
，
1
2 - 2 ON
=
即 2 3 2 6 ，∴ ON = 2 2 -1 ，
3 3
4
∴球的體積為 π é2
3
3 3
2 -1 ù 32 = π 2 -1 ．3
故選：B．
【典例 23-2】（2024·浙江寧波·二模）在正四棱臺 ABCD - A1B1C1D1中， AB = 4, A1B1 = 2, AA1 = 3 ，若球O
與上底面 A1B1C1D1以及棱 AB,BC,CD,DA均相切，則球O的表面積為（ ）
A．9π B．16π C． 25π D．36π
【答案】C
【解析】設棱臺上下底面的中心為 N , M ,連接D1B1, DB ，
則D1B1 = 2 2, DB = 4 2 ，
2 2
所以棱臺的高MN = B1B
2 - MB - NB1
2 = 3 - 2 2 - 2 =1 ,
設球半徑為 R ,根據正四棱臺的結構特征可知：球O與上底面 A1B1C1D1相切于 N ,與棱 AB,BC,CD,DA均相切
于各邊中點處，
設BC 中點為E ，連接OE,OM , ME ,
所以OE2 = OM 2 + ME2 R2 = R -1 2 + 22 R
5
，解得 = ，
2
所以球O的表面積為 4πR2 = 25π，
故選：C
題型二十四：多球相切問題
【典例 24-1】如圖是某零件結構模型，中間大球為正四面體的內切球，小球與大球和正四面體三個面均相
切，若 AB =12，則該模型中一個小球的體積為（ ）
A．3π
3π
B 9 6π． C．
2 6π
D．
16
【答案】C
【解析】如圖所示，
設O為大球的球心，大球的半徑為 R ，大正四面體的底面中心為E ，棱長為 AB =12，高為 h，
CD的中點為F ，連接OA，OB ，OC ，OD ，OE ， BF ，
BE 2 BF 3則 = = 12 = 4 3 ，正四面體的高 h = AE = AB2 - BE2 6= 12 = 4 6 .
3 3 3
因為V正四面體 = 4V
1
O- ABC ，所以 SVABCh = 4
1
S R R 1VABC ，所以 = h = 6 ，3 3 4
設小球的半徑為 r ，小球也可看作一個小的正四面體的內切球，
1 1 6
且小正四面體的高 h小 = h - 2R = 2 6 ，所以 r = h = 2 6 = ，4 小 4 2
3
4
所以小球的體積為 πr3
4
= π 6
3 3 ÷÷
= 6π .
è 2
故選：C
【典例 24-2】已知正四面體的棱長為 12，先在正四面體內放入一個內切球O1，然后再放入一個球O2，使
得球O2與球O1及正四面體的三個側面都相切，則球O2的體積為（ ）
A． 6π B． 2 3π C．2 2π D． 3π
【答案】A
【解析】
如圖，正四面體V - ABC ，設點O是底面 ABC 的中心，點D是BC 的中點，連接VO,VD .
則由已知可得，VO ^ 平面 ABC ，球心O1,O2 在線段VO 上，球O1,O2 切平面VBC的切點在線段VD 上，分別
設為D1, D2 .
則易知VVD1O1∽VVOD，VVD2O2∽VVD1O1，設球O1,O2 的半徑分別為 r1, r2 .
2 2 OD 1因為 AD = AB - BD = 6 3 ，根據重心定理可知， = AD = 2 3 .3
VD = 6 3 ，VO = VD2 - OD2 = 4 6 ，OO1 = O1D1 = r1 ，O1O2 = r1 + r2 ，O2D2 = r2 .
由VVD O
O D VO VO - OO
∽VVOD可得， 1 1 = 1 = 11 1 ，OD VD VD
r1 4 6 - r即 = 1 ，解得， r1 = 6 ，所以VO = 3 6 .2 3 6 3 1
O D VO VO - O O
由VVD O ∽VVD O 2 2 2 1 1 22 2 1 1可得， = =O1D
，
1 VO1 VO1
r2 2 6 - r= 2 r 6即 ，解得 2 = ，6 3 6 2
3
4
所以，球O 的體積為 πr3 4
6
2 2 = π ÷÷ = 6π .3 3 è 2
故選：A.
【變式 24-1】棱長為 2 3 的正四面體內切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個小球，則
這樣一個小球的表面積最大為（ ）
π
A． B． π C． 2π D．2 3π
【答案】A
【解析】
如圖，由題意知球和正四面體 A - BCD的三個側面以及內切球都相切時半徑最大，設內切球球心為O，半
徑為 R ，空隙處的最大球球心為O1，半徑為 r ，G 為△BCD的中心，易知 AG ^面BCD，E 為CD中點，
球O和球O1分別與面 ACD相切于F 和H .
2 2 2 2易得BE = 2 3 - 3 = 3，BG = BE = 2， AG = 2 3 - 223 = 2 2 ，
由VA-BCD = VO-BCD +VO- ABC +VO- ABD +VO- ACD ，
R 3V= A-BCD可得 S ，VBCD + SVABC + SVABD + SVACD
V 1 1 3 1 3又 A-BCD = 2 2 2 3 2 3 = 2 6 ， SVBCD = S3 2 2 VABC
= SVABD = SVACD = 2 3 2 3 = 3 3 ，2 2
2 2 2 3 2
故R = ， AO1 = AG - GO1 = 2 2 - 2 - r = 2 - r ， AO = AG - GO = 2 2 - = ，2 2 2 2
AO O H 2 - r r=
又由VAO1H 和VAOF 1 = 1
2
相似，可得 ，即 ，解得 ，
AO OF 3 2 2 r = 4
2 2
2
即小球的最大半徑為 .
4
2
2 π
所以小球的表面積最大值為 4π ÷÷ = .
è 4 2
故選：A
【變式 24-2】（2024·高三·河南新鄉·開學考試）已知體積為 3 的正三棱錐 P-ABC，底面邊長為 2 3 ，其內
切球為球 O，若在此三棱錐中再放入球O ，使其與三個側面及內切球 O 均相切，則球O 的半徑為（ ）
1
A 3． B 2． C． D 3．
3 9 3 9
【答案】D
【解析】設內切重難點突破 01 玩轉外接球、內切球、棱切球
目錄
01 方法技巧與總結...............................................................................................................................2
02 題型歸納與總結...............................................................................................................................7
題型一：外接球之正方體、長方體模型............................................................................................7
題型二：外接球之正四面體模型........................................................................................................7
題型三：外接球之對棱相等的三棱錐模型........................................................................................8
題型四：外接球之直棱柱模型............................................................................................................8
題型五：外接球之直棱錐模型............................................................................................................9
題型六：外接球之正棱錐、正棱臺模型............................................................................................9
題型七：外接球之側棱相等的棱錐模型..........................................................................................10
題型八：外接球之圓錐、圓柱、圓臺模型......................................................................................10
題型九：外接球之垂面模型..............................................................................................................11
題型十：外接球之二面角模型..........................................................................................................12
題型十一：外接球之側棱為球的直徑模型......................................................................................13
題型十二：外接球之共斜邊拼接模型..............................................................................................13
題型十三：外接球之坐標法模型......................................................................................................14
題型十四：外接球之空間多面體......................................................................................................15
題型十五：與球有關的最值問題......................................................................................................16
題型十六：內切球之正方體、正棱柱模型......................................................................................17
題型十七：內切球之正四面體模型..................................................................................................17
題型十八：內切球之棱錐模型..........................................................................................................18
題型十九：內切球之圓錐、圓臺模型..............................................................................................19
題型二十：棱切球之正方體、正棱柱模型......................................................................................19
題型二十一：棱切球之正四面體模型..............................................................................................20
題型二十二：棱切球之正棱錐模型..................................................................................................20
題型二十三：棱切球之臺體、四面體模型......................................................................................21
題型二十四：多球相切問題..............................................................................................................21
03 過關測試 .........................................................................................................................................22
知識點一：正方體、長方體外接球
1、正方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．
2、長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．
3、補成長方體
（1）若三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內，如圖 1 所示．
（2）若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構造長方體，如圖 2 所示．
（3 PA）正四面體 P - ABC 可以補形為正方體且正方體的棱長 a = ，如圖 3 所示．
2
（4）若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內，如圖 4 所示
圖 1 圖 2 圖 3 圖 4
知識點二：正四面體外接球
如圖，設正四面體 ABCD 2的的棱長為 a，將其放入正方體中，則正方體的棱長為 a，顯然正四面體
2
2
和正方體有相同的外接球．正方體外接球半徑為 R = a 3 6 a R 6× = ，即正四面體外接球半徑為 = a ．
2 2 4 4
知識點三：對棱相等的三棱錐外接球
四面體 ABCD 中， AB = CD = m， AC = BD = n ， AD = BC = t ，這種四面體叫做對棱相等四面體，可
以通過構造長方體來解決這類問題．
ìb2 + c2 = m2

如圖，設長方體的長、寬、高分別為 a,b,c ，則 ía2 + c2 = n2 ，三式相加可得 a2 + b2 + c2 =
2
a + b
2 = t2
m2 + n2 + t2 ,而顯然四面體和長方體有相同的外接球，設外接球半徑為 R ，則 a2 + b2 + c2 = 4R2 ，所以
2
m2 + n2 + t2R = ．
8
知識點四：直棱柱外接球
如圖 1，圖 2，圖 3，直三棱柱內接于球（同時直棱柱也內接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角
形）
C1 C C11
A1 O F2 A1 A1 FB1 O2 B1 O2
B1
O
O O
C C C
A O1 E A O A E1 B O1
B B
圖3-1 圖3-2 圖3-3
圖 1 圖 2 圖 3
第一步：確定球心O的位置，O1 是DABC 的外心，則OO1 ^ 平面 ABC ；
1 1
第二步：算出小圓O1 的半徑 AO1 = r ，OO1 = AA1 = h （ AA1 = h 也是圓柱的高）；2 2
OA2 = O A2 + O O2 R2 (h第三步：勾股定理： = )2 2 2 h 21 1 + r R = r + ( ) ，解出 R2 2
知識點五：直棱錐外接球
如圖， PA ^ 平面 ABC ，求外接球半徑．
P
O
C
A O1 D
B
圖5
解題步驟：
第一步：將DABC 畫在小圓面上， A為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑 AD ，連接 PD，則 PD必
過球心O；
第二步：O1 為 DABC 的外心，所以OO1 ^ 平面 ABC ，算出小圓O1 的半徑O1D = r (三角形的外接圓直
a b c
徑算法：利用正弦定理，得 = = = 2r )，OO 11 = PA；sin A sin B sin C 2
第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：① (2R)2 = PA2 + (2r)2 2R = PA2 + (2r)2 ；
② R2 = r2 + OO 2 R = r21 + OO
2
1 ．
知識點六：正棱錐與側棱相等模型
r21 + h
2
、正棱錐外接球半徑： R = ．
2h
A
l
h
B
r
D
C
2、側棱相等模型：
如圖， P 的射影是DABC 的外心
三棱錐 P - ABC 的三條側棱相等
三棱錐 P - ABC 的底面DABC 在圓錐的底上，頂點 P 點也是圓錐的頂點．
P
O
C
A O1 B
圖5-1
解題步驟：
第一步：確定球心O的位置，取DABC 的外心O1 ，則 P,O,O1 三點共線；
第二步：先算出小圓O1 的半徑 AO1 = r ，再算出棱錐的高 PO1 = h （也是圓錐的高）；
r2 + h2
第三步：勾股定理：OA2 = O A2 + O O2 R2 = (h - R)2 + r21 1 ，解出 R = ．2h
知識點七：側棱為外接球直徑模型
方法：找球心，然后作底面的垂線，構造直角三角形．
知識點八：共斜邊拼接模型
如圖，在四面體 ABCD 中， AB ^ AD ，CB ^ CD ，此四面體可以看成是由兩個共斜邊的直角三角形
拼接而形成的， BD為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之．設點O為公共斜邊 BD的中點，根據直
角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結論可知，OA = OC = OB = OD ，即點O到 A， B ，C ， D 四點的距
離相等，故點O就是四面體 ABCD 外接球的球心，公共的斜邊 BD就是外接球的一條直徑．
知識點九：垂面模型
如圖 1 所示為四面體 P - ABC ，已知平面 PAB ^ 平面 ABC ，其外接球問題的步驟如下：
（1）找出△PAB 和△ABC 的外接圓圓心，分別記為O1 和O2 ．
（2）分別過O1 和O2 作平面 PAB 和平面 ABC 的垂線，其交點為球心，記為O．
（3）過O1 作 AB 的垂線，垂足記為 D ，連接O2D ，則O2D ^ AB ．
（4）在四棱錐 A - DO1OO2 中， AD 垂直于平面 DO1OO2 ，如圖 2 所示，底面四邊形 DO1OO2 的四個頂
點共圓且OD為該圓的直徑．
圖 1 圖 2
知識點十：最值模型
這類問題是綜合性問題，方法較多，常見方法有：導數法，基本不等式法，觀察法等
知識點十一：二面角模型
如圖 1 所示為四面體 P - ABC ，已知二面角 P - AB - C 大小為a ，其外接球問題的步驟如下：
（1）找出△PAB 和△ABC 的外接圓圓心，分別記為O1 和O2 ．
（2）分別過O1 和O2 作平面 PAB 和平面 ABC 的垂線，其交點為球心，記為O．
（3）過O1 作 AB 的垂線，垂足記為 D ，連接O2D ，則O2D ^ AB ．
（4）在四棱錐 A - DO1OO2 中， AD 垂直于平面 DO1OO2 ，如圖 2 所示，底面四邊形 DO1OO2 的四個頂
點共圓且OD為該圓的直徑．
知識點十二：坐標法
對于一般多面體的外接球，可以建立空間直角坐標系，設球心坐標為O(x, y, z) ，利用球心到各頂點的
距離相等建立方程組，解出球心坐標，從而得到球的半徑長．坐標的引入，使外接球問題的求解從繁瑣的
定理推論中解脫出來，轉化為向量的計算，大大降低了解題的難度．
知識點十三：圓錐圓柱圓臺模型
1、球內接圓錐
如圖1，設圓錐的高為 h，底面圓半徑為 r ，球的半徑為 R ．通常在△OCB 中，由勾股定理建立方程
來計算 R ．如圖 2，當 PC > CB 時，球心在圓錐內部；如圖 3，當 PC < CB 時，球心在圓錐外部．和本專
題前面的內接正四棱錐問題情形相同，圖 2 和圖 3 兩種情況建立的方程是一樣的，故無需提前判斷．
2 2
由圖 2、圖3可知，OC = h - R 或 R - h ，故 (h - R)2 + r2 = R2 ，所以 R h + r= ．
2h
2、球內接圓柱
h
如圖，圓柱的底面圓半徑為 r ，高為 h，其外接球的半徑為 R ，三者之間滿足 ( ) + r2 = R2 ．
2
3、球內接圓臺
2
2 2
2
R r r2 - r
2 - h2
= 2 +
1 ÷ ，其中 r1,r2 ,h分別為圓臺的上底面、下底面、高．
è 2h
知識點十四：錐體內切球
3V
方法：等體積法，即 R = 體積
S表面積
知識點十五：棱切球
方法：找切點，找球心，構造直角三角形
題型一：外接球之正方體、長方體模型
【典例 1-1】正方體的表面積為 96，則正方體外接球的表面積為
【典例 1-2】已知正方體的頂點都在球面上，若正方體棱長為 3，則球的表面積為 ．
【變式 1-1】長方體 ABCD - A1B1C1D1 的外接球的表面積為 25p ， AB = 3 ， AD = 6 ，則長方體
ABCD - A1B1C1D1 的體積為 .
題型二：外接球之正四面體模型
【典例 2-1】（2024·天津和平· 3 3二模）已知圓錐底面圓的直徑為 3，圓錐的高為 ，該圓錐的內切球也是
2
棱長為 a 的正四面體的外接球，則此正四面體的棱長 a 為（ ）
3 9
A． 2 B． 2 C．3 D． 3 - 22 2
【典例 2-2】已知正四面體 S - ABC 的外接球表面積為 6π ，則正四面體 S - ABC 的棱長為（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【變式 2-1】（2024·陜西咸陽·一模）已知正四面體 S - ABC 的外接球表面積為6p ，則正四面體 S - ABC 的
體積為（ ）
A 2 2 B 2 3
2
． ． C． D 3 2．
3 3 3 4
【變式 2-2】如圖所示，正四面體 ABCD中, E 是棱 AD 的中點, P 是棱 AC 上一動點，BP + PE 的最小值為
14 ，則該正四面體的外接球表面積是（ ）
A．12p B．32p C．8p D． 24p
題型三：外接球之對棱相等的三棱錐模型
【典例 3-1】（2024·河南·開封高中校考模擬預測）已知四面體 ABCD 中， AB = CD = 2 5 ，
AC = BD = 29 ， AD = BC = 41 ，則四面體 ABCD 外接球的體積為（ ）
A 45π B 15 5π C 45 5π． ． ． D． 24 5π
2 2
【典例 3-2】在三棱錐 S - ABC 中， SA = BC = 5， SB = AC = 41， SC = AB = 34 ，則該三棱錐的外接球
表面積是（ ）
A．50π B．100π C．150π D． 200π
【變式 3-1】（2024·四川涼山·二模）在四面體 A - BCD中， AB = CD = 7, AD = BC = 29, AC = BD = 2 7 ，
則四面體 A - BCD外接球表面積是（ ）
256
A．64π B．32π C． 256π D． π
3
題型四：外接球之直棱柱模型
【典例 4-1】已知直三棱柱 ABC - A1B1C1的 6 個頂點都在球O的球面上，若
AB = 3, AC =1, BAC = 60°, AA1 = 2，則該三棱柱的外接球的體積為（ ）
40π
A． B 40 30π 320 30π． C． D． 20π
3 27 27
【典例 4-2】（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知直三棱柱 ABC - A1B1C1的 6 個頂點都在球O的表面上，若
AB = AC = 1, AA = 4 BAC 2π1 ， = ，則球O的表面積為（3 ）
A．16π B． 20π C． 28π D．32π
【變式 4-1】已知正六棱柱 ABCDEF — A1B1C1D1E1F1的每個頂點都在球 O 的球面上，且 AB = 3， AA1 = 4，
則球 O 的表面積為（ ）
A． 42π B． 48π C．50π D．52π
【變式 4-2】（2024·吉林長春·模擬預測）已知正四棱柱(底面為正方形且側棱與底面垂直的棱柱)的底面邊長
為 3，側棱長為 4，則其外接球的表面積為（ ）
A． 25p B．34p C．68p D．100p
題型五：外接球之直棱錐模型
π
【典例 5-1】（2024·高三·遼寧大連·期中）在三棱錐 A - BCD中， AD ^ 平面BCD， ABD + CBD = ，
2
BD = BC = 2，則三棱錐 A - BCD外接球表面積的最小值為 .
【典例 5-2】《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，已知“鱉臑” P - ABC 中，
ABC ABC πPA ^平面 ，PA = AB， = ， AB + BC = 6 ，則“鱉臑” P - ABC 外接球體積的最小值為 ．
2
【變式 5-1】（2024·高三·貴州·開學考試）在三棱錐P - ABC 中， AB = BC =10， ABC =120° ，D 為 AC
的中點，PD ^平面 ABC，且 PD = 15，則三棱錐P - ABC 外接球的表面積為 ．
【變式 5-2】（2024·河南開封·三模）在三棱錐 P - ABC 中， PA = AB， PA ^平面 ABC， ABC
π
= ，
2
AB + BC = 6 ，則三棱錐P - ABC 外接球體積的最小值為（ ）
A．8 6π B．16 6π C． 24 6π D．32 6π
題型六：外接球之正棱錐、正棱臺模型
【典例 6-1】（2024·安徽蕪湖·模擬預測）已知正三棱臺 ABC - A1B1C1的上、下底面邊長分別為 3， 2 3 ，
且側棱與底面所成角的正切值為 3，則該正三棱臺的外接球表面積為（ ）
A．9π B．10 2π C．10 3π D． 20π
【典例 6-2】（2024·全國·模擬預測）在正三棱錐 A - BCD中，BC = CD = DB = 2 ， AB = AC = AD = 3，
則三棱錐 A - BCD的外接球表面積為（ ）
27π 27π 27π
A． B．9π C． D．
2 5 4
【變式 6-1】（2024·山東菏澤·模擬預測）已知正三棱臺的上、下底面邊長分別為 2 3,4 3 ，體積為 42 3 ，
則該正三棱臺的外接球表面積為（ ）
A． 20π
80
B． π C．80π D 160 5．
3 π3
【變式 6-2】（2024·黑龍江·二模）已知正四棱錐P - ABCD 的側棱長為 2，且二面角P - AB - C 的正切值為
6 ，則它的外接球表面積為（ ）
16 π 28A． B． 6π C．8π D． π
3 3
題型七：外接球之側棱相等的棱錐模型
【典例 7-1】（2024·陜西商洛·模擬預測）在三棱錐P - ABC 中，PA = PC = AB = BC = AC = 2 3 ，
PB = 3 3，則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． 48π B．12π C． 27π D． 28π
【典例 7-2】（2024·安徽安慶·校聯考模擬預測）三棱錐 P - ABC 中， PA = PB = PC = 2 3 ， AB = 2AC = 6，
BAC π= ，則該三棱錐外接球的表面積為 ．
3
【變式 7-1】在三棱錐 S - ABC 中， SA = SB = CA = CB = AB = 2，二面角 S - AB - C 的大小為60°，則三棱
錐 S - ABC 的外接球的表面積為 ．
【變式 7-2】已知三棱錐P - ABC 的各側棱長均為 2 3 ，且 AB = 3, BC = 3, AC = 2 3 ，則三棱錐P - ABC
的外接球的表面積為 .
題型八：外接球之圓錐、圓柱、圓臺模型
【典例 8-1】（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知某圓錐底面半徑為 1，高為 2，則該圓錐的外接球表面積為
（ ）
25
A． π
25 25
B． π C． π D 25． π
8 6 4 2
【典例 8-2】若一個圓柱的底面半徑為 1，側面積為10π，球O是該圓柱的外接球，則球O的表面積為 ．
【變式 8-1】（2024·全國·模擬預測）已知某圓臺的上底面圓心為O1，半徑為 r ，下底面圓心為O2，半徑為
uuuur uuuur
2r ，高為 h，若該圓臺的外接球球心為O
h
，且O1O = 2OO2 ，則 =（ ）r
A． 3 B．3 C． 2 D． 2
【變式 8-2】（2024·重慶·統考模擬預測）如圖所示，已知一個球內接圓臺，圓臺上、下底面的半徑分別為
500π
3和 4，球的體積為 ，則該圓臺的側面積為（
3 ）
A． 60π B．75π C．35π D．35 2π
題型九：外接球之垂面模型
【典例 9-1】（2024·陜西榆林·模擬預測）如圖，VABC 是邊長為 4 的正三角形，D 是 BC 的中點，沿 AD 將
VABC 折疊，形成三棱錐 A - BCD．當二面角B - AD - C 為直二面角時，三棱錐 A - BCD外接球的體積為
（ ）
A 5π B 20π C 5 5π． ． ． D 20 5π．
6 3
【典例 9-2】如圖，在三棱錐P - ABC 中， ACB = 60°， 2AC = BC = PB = PC ，平面PBC ^平面 ABC ，
D是BC 的中點， PD = 4 3 ，則三棱錐P - ACD 的外接球的表面積為（ ）
160π
A． B． 40π
3
208π
C． D．80π
3
【變式 9-1】（2024·江西鷹潭·三模）在菱形 ABCD中， AB = 2 ， AC = 2 3，將VABC 沿對角線 AC 折起，
使點 B 到達B 的位置，且二面角B - AC - D 為直二面角，則三棱錐 B - ACD的外接球的表面積為（ ）
A．5π B．16π C． 20π D．100π
【變式 9-2】（2024·四川·三模）如圖，在梯形 ABCD中， AB∥CD, AB = 4, BC = CD = DA = 2，將VACD沿
對角線 AC 折起，使得點D翻折到點 P ，若面PAC ^面 ABC ，則三棱錐P - ABC 的外接球表面積為（ ）
A．16π B． 20π C． 24π D．32π
【變式 9-3】（2024·貴州貴陽·模擬預測）在三棱錐 A - BCD中，已知 AC ^ BC, AC = BC = 2, AD = BD = 6 ，
且平面 ABD ^平面 ABC，則三棱錐 A - BCD的外接球表面積為（ ）
A．8π B．9π C．10π D．12π
題型十：外接球之二面角模型
π
【典例 10-1】在三棱錐 A - BCD 中，二面角 A - BD - C 的大小為 ， BAD = CBD ，BD = BC = 2，則
3
三棱錐外接球表面積的最小值為 ．
【典例 10-2】如圖，在三棱錐 P - ABC 中， PA = PB = 5 ，CA ^ AB ， AB = AC = 2，二面角 P - AB - C 的
大小為120°，則三棱錐P - ABC 的外接球表面積為 .
【變式 10-1】（2024·陜西咸陽·二模）已知三棱錐D - ABC 中， AB = 4, AC = 3, BC = 5，三角形DBC 為正三
角形，若二面角D - BC - A為120°，則該三棱錐的外接球的體積為 ．
【變式 10-2】（2024·高三·河南·期末）在邊長為 1 的菱形 ABCD中 BAD = 60°，將DABD 沿BD折起，使
二面角 A - BD - C 的平面角等于120°，連接 AC ，得到三棱錐 A - BCD，則此三棱錐 A - BCD外接球的表
面積為 .
題型十一：外接球之側棱為球的直徑模型
【典例 11-1】（2024·山東·模擬預測）如圖①，將兩個直角三角形拼在一起得到四邊形 ABCD，且
AC = BC 1= AD =1， AC ^ AD，現將VACD沿 AC 折起，使得點D到達點 P 處，且二面角P - AC - B 的
2
大小為 60°，連接 BP，如圖②，若三棱錐 P - ABC 的所有頂點均在同一球面上，則該球的表面積為（ ）
A． 4π B．5π C． 6π D．7π
【典例 11-2】（2024·安徽阜陽·模擬預測）已知三棱錐P - ABC 的外接球為球O，PC 為球O的直徑，且
PC = 2，PA = PB = 3 ， AB =1，則三棱錐P - ABC 的體積為 .
【變式 11-1】已知三棱錐 S - ABC 的所有頂點都在球O的球面上， SC 是球O的直徑.若平面 SCA ^ 平面
8
SCB ， SA = AC ， SB = BC ，三棱錐 S - ABC 的體積為 ，則球O的體積為（ ）3
20p 32p
A． 4p B． C．6p D．
3 3
1
【變式 11-2】（2024·四川巴中·高三統考期末）已知三棱錐 S - ABC 的體積為 2 ， AC = BC =1，
ACB =120°，若 SC 是其外接球的直徑，則球的表面積為（ ）
A． 4p B．6p C．8p D．16p
題型十二：外接球之共斜邊拼接模型
【典例 12-1】如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，底面是菱形，PB ^ 底面 ABCD， O是對角線 AC 與 BD的交點，
p
若PB =1， APB = ，則三棱錐P - BOC 的外接球的體積為（ ）
3
2p 4p
A B C 5p． ． ． D．2p3 3 3
【典例 12-2】已知三棱錐P - ABC 中，PA = 1，PB = 3，PC = 5 ， AB = 2 2 ，CA = CB = 2 ，則此三棱錐
的外接球的表面積為（ ）
14p 28p
A． B． C．9p D．12p
3 3
【變式 12-1】在三棱錐 A - SBC 中， AB = 10, ASC = BSC
p
= , AC = AS, BC = BS 若該三棱錐的體積為
4
15
，則三棱錐 A - SBC 外球的體積為（ ）
3
A．p
p
B． C．
3 5p
D． 4 3p
題型十三：外接球之坐標法模型
【典例 13-1】空間直角坐標系O- xyz中， A( 2,0,0), B(0,3,0),C(0,0,5), D( 2,3,5), 則四面體 ABCD 外接球體積
是（ ）
A． 25p B．36p
108
C． p D． 288p3
【典例 13-2】（2024·河南開封·開封高中校考一模）如圖，在三棱錐 A - BCD中，
AD ^ AB, AB = AD = 2,VACD為等邊三角形，三棱錐 A - BCD 2的體積為 3 ，則三棱錐 A - BCD外接球的表
面積為 .
【變式 13-1】如圖①，在RtVABC 中，C p= ， AC = BC = 22 ，D，E 分別為 AC ， AB 的中點，將VADE
沿DE 折起到△A1DE 的位置，使 A1D ^ CD，如圖②.若 F 是 A1B 的中點，則四面體FCDE 的外接球體積是
（ ）
A．2p B 2． p C 2 2． p D． p
3 6 12
題型十四：外接球之空間多面體
【典例 14-1】阿基米德多面體是由邊數不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現了數學的對稱美.將
正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到的阿基米德多面體，如
圖所示.則該多面體所在正方體的外接球表面積為（ ）
A．16π B．9π C．8π D．12π
【典例 14-2】（2024·廣西賀州·一模）半正多面體亦稱“阿基米德體”，是以邊數不全相同的正多邊形為面的
多面體．將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，得到一個有
十四個面的半正多面體．它的各棱長都相等，其中八個面為正三角形，六個面為正方形，這樣的半正多面
體被稱為二十四等邊體．如圖所示，已知該半正多面體過 A，B，C 三點的截面面積為6 3 ，則其外接球的
表面積為（ ）
A．8π B．10π C．12π D．16π
【變式 14-1】截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經過適當的截角，即截去四面體的四個頂點所產
生的多面體.如圖所示，將棱長為 3 的正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面得到所有棱長均為 1 的
截角四面體，則該截角四面體的外接球表面積為 .
題型十五：與球有關的最值問題
【典例 15-1】（2024·河南·模擬預測）在四棱錐V - ABCD AB 2BC 14中，若 = = CD 3= DA =1，其中
7 3
VVBD 是邊長為 2 的正三角形，則四棱錐V - ABCD 外接球表面積的最小值為（ ）
32 3π 16π 16πA． B． C． D． π
27 9 3
【典例 15-2】在VABC 中，BC = 6， AB + AC = 8，E，F，G 分別為三邊BC ，CA， AB 的中點，將
VAFG ，VBEG，△CEF 分別沿 FG ，EG ，EF 向上折起，使得 A，B，C 重合，記為 P ，則三棱錐
P - EFG的外接球表面積的最小值為（ ）
15π 17π 19π 21π
A． B． C． D．
2 2 2 2
【變式 15-1】（2024·高三·山東青島·期中）如圖，已知直三棱柱 ABC - A1B1C1的底面是等腰直角三角形，
AA1 = 2， AC = BC =1，點D在上底面 A1B1C1（包括邊界）上運動，則三棱錐D - ABC 外接球表面積的最
大值為（ ）
81π 243π
A． B． 6π C． D．
16 2 6π64
【變式 15-2】（ 2024·浙江 ·模擬預測）在三棱錐 D - ABC 中， AB = BC = 2， ADC = 90o，二面角
D - AC - B的平面角為30o，則三棱錐D - ABC 外接球表面積的最小值為（ ）
A．16 2 3 -1 p B．16 2 3 - 3 p
C．16 2 3 +1 p D．16 2 3 + 3 p
題型十六：內切球之正方體、正棱柱模型
【典例 16-1】棱長為 2 的正方體 ABCD - A1B1C1D1的內切球的球心為O，則球O的體積為（ ）
2 p 4A． B． p 8C．2p D． p
3 3 3
【典例 16-2】在正三棱柱 ABC - A B C 中，D 是側棱BB 上一點，E 是側棱CC 上一點，若線段
AD + DE + EA 的最小值是 2 7 ﹐且其內部存在一個內切球（與該棱柱的所有面均相切），則該棱柱的外接
球表面積為（ ）
A．4π B．5π C．6π D．8π
【變式 16-1】若一個正六棱柱既有外接球又有內切球，則該正六棱柱的外接球和內切球的表面積的比值為
（ ）
A． 2 :1 B．3: 2 C．7 : 3 D．7 : 4
【變式 16-2】（2024·高三·遼寧錦州·開學考試）已知一個正三棱柱既有內切球又有外接球，且外接球的表
面積為 40π ，則該三棱柱的體積為（ ）
A．6 6 B．12 6 C．6 10 D．12 10
題型十七：內切球之正四面體模型
【典例 17-1】已知某棱長為 2 2 的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球的表面積為（ ）
4π
A． 4π B． 2π C． D． π
3
【典例 17-2】已知正四面體的棱長為12，則其內切球的表面積為（ ）
A．12p B．16p
C． 20p D． 24p
【變式 17-1】邊長為1的正四面體內切球的體積為（ ）
A 6π
π
B 2 C D 6π． ． ． ．
8 12 6 216
題型十八：內切球之棱錐模型
【典例 18-1】（2024·陜西西安·一模）六氟化硫，化學式為SF6 ，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃
的穩定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業方面具有廣泛用途．六氟化硫結構為正八面體結構，如圖所示，
硫原子位于正八面體的中心，6 個氟原子分別位于正八面體的 6 個頂點，若相鄰兩個氟原子之間的距離為
m，則該正八面體結構的內切球表面積為（ ）
2
A πm 2πm
2
． πm2 B． 2πm2 C． D．
3 3
P ABCD 128【典例 18-2】若正四棱錐 - 體積為 ，內接于球 O，且底面 ABCD過球心 O，則該四棱錐內切
3
球的半徑為（ ）
A．2( 3 -1) B．4 C． 2 3 D． 2
【變式 18-1】在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑 A - BCD中， AB ^
平面BCD，BC ^ CD，且 AB = BC = CD =1，則其內切球表面積為（ ）
A．3π B． 3π C． 3- 2 2 π D． 2 -1 π
【變式 18-2】已知四棱錐P- ABCD的各棱長均為 2，則其內切球表面積為（ ）
A． (8 - 2 3)π B． (8 - 4 3)π
C． (8 - 6 3)π D． (8 - 3 3)π
題型十九：內切球之圓錐、圓臺模型
【典例 19-1】（2024·安徽池州·二模）已知圓錐的底面半徑為 3，其內切球表面積為12π，則該圓錐的側面
積為（ ）
A．9 3π B．18π C．18 3π D． 27π
【典例 19-2】（2024·廣東梅州·一模）某圓錐的底面直徑和高均是 2，則其內切球（與圓錐的底面和側面均
相切）的半徑為（ ）
A 5 +1． B 5 -1．
2 2
C 3 +1 3 -1． D．
2 2
【變式 19-1】（2024·高三·內蒙古赤峰·開學考試）已知上底面半徑為 2 ，下底面半徑為 2 2 的圓臺存在內
切球（與上，下底面及側面都相切的球），則該圓臺的體積為（ ）
A．14 6π B．56π C 14 6π
56π
． D．
3 3
題型二十：棱切球之正方體、正棱柱模型
【典例 20-1】（2024·廣東佛山·模擬預測）已知正三棱柱的所有棱長均相等，其外接球與棱切球（該球與其
S1
所有棱都相切）的表面積分別為 S1, S2 ，則 =S ．2
【典例 20-2】已知球O1 與一正方體的各條棱相切，同時該正方體內接于球O2 ，則球O1 與球O2 的表面積之
比為（ ）
A．2：3 B．3：2 C． 2 : 3 D． 3 : 2
【變式 20-1】已知正三棱柱 ABC - A1B1C1的體積為18，若存在球O與三棱柱 ABC - A1B1C1的各棱均相切，
則球O的表面積為 .
【變式 20-2】已知正三棱柱 ABC - A1B1C1 的體積為 18，若存在球 O 與三棱柱 ABC - A1B1C1 的各棱均相切，
則球 O 的表面積為（ ）
A．8p B．12p C．16p D．18p
題型二十一：棱切球之正四面體模型
【典例 21-1】已知某棱長為 2 2 的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球與此正四面體的體積之比
為（ ）
π π
A B C 3π 2π． ． ． D．
2 3 3 2
【典例 21-2】所有棱長均相等的三棱錐構成一個正四面體，則該正四面體的內切球與外接球的體積之比為
（ ）
1 1 1 1
A． B． 3 3 C． D．27 2 2 8
【變式 21-1】球與棱長為3 2 的正四面體各條棱都相切，則該球的表面積為（ ）
A．6p B．18p C．9p D．10p
題型二十二：棱切球之正棱錐模型
3
【典例 22-1】（2024·四川樂山·一模）若一個正三棱錐底面邊長為 1，高為 ，求與該三棱錐 6 條棱都相
3
切的球的表面積為 .
【典例 22-2】在正三棱錐P - ABC 中， AB = 6，PA = 4 3 ，若球 O 與三棱錐P - ABC 的六條棱均相切，
則球 O 的表面積為 ．
【變式 22-1】正三棱錐P - ABC 的底面邊長為 2 3 ，側棱長為 2 2 ，若球 H 與正三棱錐所有的棱都相切，
則這個球的表面積為（ ）
17 9
A． p B． (44 -16 6)p C． p D．32p
4 2
題型二十三：棱切球之臺體、四面體模型
【典例 23-1】已知四面體 A - BCD中， AB ^ AC ， AB ^ AD ， AC ^ AD， AB = AC = AD = 2，球心在該四
面體內部的球與這個四面體的各棱均相切，則球的體積為（ ）
4 3 32 3 3 3A． π 2 -1 B． π 2 1 4 32- C． π 2 +1 D． π3 3 3 3 2 +1
【典例 23-2】（2024·浙江寧波·二模）在正四棱臺 ABCD - A1B1C1D1中， AB = 4, A1B1 = 2, AA1 = 3 ，若球O
與上底面 A1B1C1D1以及棱 AB,BC,CD,DA均相切，則球O的表面積為（ ）
A．9π B．16π C． 25π D．36π
題型二十四：多球相切問題
【典例 24-1】如圖是某零件結構模型，中間大球為正四面體的內切球，小球與大球和正四面體三個面均相
切，若 AB =12，則該模型中一個小球的體積為（ ）
3π
A 3π B C 6π D 9 6π． ． ． ．2 16
【典例 24-2】已知正四面體的棱長為 12，先在正四面體內放入一個內切球O1，然后再放入一個球O2，使
得球O2與球O1及正四面體的三個側面都相切，則球O2的體積為（ ）
A． 6π B． 2 3π C．2 2π D． 3π
【變式 24-1】棱長為 2 3 的正四面體內切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個小球，則
這樣一個小球的表面積最大為（ ）
π
A． B． π C．
2 2π
D． 3π
【變式 24-2】（2024·高三·河南新鄉·開學考試）已知體積為 3 的正三棱錐 P-ABC，底面邊長為 2 3 ，其內
切球為球 O，若在此三棱錐中再放入球O ，使其與三個側面及內切球 O 均相切，則球O 的半徑為（ ）
A 3
1
． B C 2． ． D 3．
3 9 3 9
1．（2024·重慶·三模）已知直三棱柱 ABC - A1B1C1的外接球表面積為16π, ABC = 90°, AB = BC = 2 ，則該
三棱柱的體積為（ ）
A．2 B． 3 C．4 D． 2 3
O O 2π 104π2．（2024·安徽·三模）已知圓臺 1 2 的上、下底面積分別為 ，18π ，體積為 ，線段 AB ，CD分別3
為圓臺O1O2 上、下底面的兩條直徑，且 A，B，C，D 四點不共面，則四面體 ABCD的外接球表面積為（ ）
A． 48π B．72π C．96π D．144π
3．在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AA1 = 2， AB =1， AC = 3 ， BAC =150° ，該直三棱柱的外接球表面積
為（ ）
A．16π B． 29π C．32π D．36π
4．（2024·高三·四川成都·開學考試）邊長為 1 的正方體的外接球表面積為（ ）
3
A． π B．3π C． π
π
D．
4 4
5．（2024·四川涼山·二模）已知在三棱錐P - ABC 中，PA = 3 ， PB = PC = 2，底面 ABC 是邊長為 1 的正
三角形，則該三棱錐的外接球表面積為（ ）
A．3π
13π
B． C． 4π D． 6π
3
6．已知四面體 ABCD的體積為 3，從頂點 B 出發的三條棱BA, BC, BD兩兩垂直，若BA = 4，則該四面體外
接球表面積的最小值為（ ）
125 125
A． 25π B．50π C． π D． π
6 3
7．（2024·新疆烏魯木齊·三模）三棱錐 A - BCD中， AD ^ 平面 ABC ， BAC = 60°， AB =1， AC = 2，
AD = 4，則三棱錐 A - BCD外接球的表面積為（ ）
A．10π B． 20π C． 25π D．30π
1 π
8．（2024·山西朔州·一模）在三棱錐 A - BCD中， AB = AD = 2 3,cos ABC = - , ABD = ，若△BCD是
8 3
等邊三角形，則三棱錐 A - BCD的外接球的體積是（ ）
A 28 7
32
． π B．8 6π C 20 5． π D． π
3 3 3
9．（2024·陜西寶雞·三模）VABC 與△ABD 都是邊長為 2 的正三角形，沿公共邊 AB 折疊成三棱錐且CD長
為 3，若點A ， B ，C ，D在同一球O的球面上，則球O的表面積為（ ）
13 π 208π 112π 52A． B． C． D． π
9 9 3 9
2
10．已知三棱錐 S - ABC 中， SB ^平面 ABC ，若 SB = 4， AB = 2 ， BC = 5 ， cos ABC = ，則三棱錐
5
S - ABC 的外接球表面積為（ ）
A．39p B． 45p C． 43p D． 41p
11．（2024·四川自貢·二模）在VABC 中， AB = AC = 2，BC = 2 3 ，D為BC 的中點，將VACD繞 AD 旋
轉至 APD，使得 BP = 3，則三棱錐P - ABD 的外接球表面積為（ ）
A 8 2π B 5 5p． ． C．5π D．8π
3 6
12．正四棱錐P - ABCD 的底面邊長為4 2 ，PA=4 5則平面 PCD截四棱錐P - ABCD 外接球所得截面的
面積為（ ）.
100p 50p 200p 100p
A． B． C． D．
9 3 9 3
13．（2024·河南開封·三模）已知正方體 ABCD - A1B1C1D1的棱長為 1，P 為棱 A1D1的中點，則四棱錐 P－
ABCD 的外接球表面積為（ ）
3p 41p 41pA． B．3p C． D．
2 16 64
14．（2024·陜西咸陽·二模）如圖，四棱錐P - ABCD 中，PA ^平面 ABCD，底面 ABCD為邊長為 4的正方
形，PA = 5，則該四棱錐的外接球表面積為（ ）
A 125 2π． B． 48π C．75π D．57π
3
15．在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，VABC 為等邊三角形，若三棱柱 ABC - A1B1C1的體積為3 3，則該三棱
柱外接球表面積的最小值為（ ）
A．12p B．6p C．16p D．8p
16．（2024·高三·四川成都·開學考試）在四棱錐P - ABCD 中，底面 ABCD為等腰梯形，PB ^ 底面 ABCD .
若PB = AB = CD = AD =1， BC = 2，則這個四棱錐的外接球表面積為（ ）
A．3π B． 4π C．5π D． 6π
17．（2024·全國·模擬預測）已知正三棱柱 ABC - A1B1C1的側面積為 36，則與三棱柱 ABC - A1B1C1各棱均相
切的球的表面積為（ ）
A．8π B．16π C．32π D． 48π
18．棱長為 2 的正四面體內切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個小球，則這些小球的
最大半徑為（ ）
A 3． B 2 6 6． C． D．
3 6 12 6
19．（2024·湖北·二模）已知直三棱柱 ABC - A1B1C1存在內切球，若 AB = 3, BC = 4, AB ^ BC ，則該三棱柱
外接球的表面積為（ ）
A． 26π B． 27π C． 28π D． 29π
20．（2024·福建龍巖·模擬預測）如圖，已知正方體的棱長為 2，以其所有面的中心為頂點的多面體為正八
面體，則該正八面體的內切球表面積為（ ）
π 4π
A． B． π C． D． 4π
6 3
21．已知正三棱錐V - ABC 中，側面與底面所成角的正切值為 2 ， AB = 6，這個三棱錐的內切球和外接
球的半徑之比為（ ）
2 3 -1A B 3 -1 2 1． ． C． D．
3 3 3 3
22．（多選題）圓錐內半徑最大的球稱為該圓錐的內切球，若圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上，
則稱該球為圓錐的外接球.如圖，圓錐PO的內切球和外接球的球心重合，且圓錐PO的底面直徑為 6，則
（ ）
A．設圓錐的軸截面三角形為VPAB ，則其為等邊三角形
B．設內切球的半徑為 r1 ，外接球的半徑為 r2 ，則 r2 = 2r1
V1 27C．設圓錐的體積為V1，內切球的體積為V2，則 =V2 8
3π
D．設 S ,T 是圓錐底面圓上的兩點，且 ST = 3，則平面PST 截內切球所得截面的面積為
5
23．（多選題）（2024·廣東茂名·一模）如圖，已知圓錐頂點為 P ，其軸截面VPAB 是邊長為 2 的為等邊三角
形，球O內切于圓錐（與圓錐底面和側面均相切），Q是球O與圓錐母線 PB的交點，M 是底面圓弧上的動
點，則（ ）
A 4 3．球O的體積為 π
27
B 3．三棱錐 A - QBM 體積的最大值為
3
C．MA + MQ 的最大值為 3
π
D．若M 為 AB 中點，則平面PMQ截球O的截面面積為 7

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