資源簡介

重難點突破 02 利用傳統(tǒng)方法求線線角、線面角、二面角與距離
目錄
01 方法技巧與總結...............................................................................................................................2
02 題型歸納與總結...............................................................................................................................4
題型一：平移法求異面直線所成角....................................................................................................4
題型二：定義法求線面角....................................................................................................................5
題型三：等體積法法求線面角............................................................................................................7
題型四：定義法求二面角....................................................................................................................8
題型五：三垂線法求二面角..............................................................................................................10
題型六：射影面積法求二面角..........................................................................................................12
題型七：垂面法求二面角..................................................................................................................14
題型八：補棱法求二面角..................................................................................................................16
題型九：距離問題..............................................................................................................................17
03 過關測試 .........................................................................................................................................19
技巧一：二面角的求法
法一：定義法
在棱上取點，分別在兩面內引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角，
如圖在二面角 l 的棱上任取一點O，以O為垂足，分別在半平面 和 內作垂直于棱的射線OA和
OB ，則射線OA和OB 所成的角稱為二面角的平面角（當然兩條垂線的垂足點可以不相同，那求二面角就
相當于求兩條異面直線的夾角即可）．
法二：三垂線法
在面 或面 內找一合適的點 A，作 AO 于O，過 A作 AB c 于 B ，則 BO為斜線 AB 在面 內
的射影， ABO為二面角 c 的平面角．如圖 1，具體步驟：
①找點做面的垂線；即過點 A，作 AO 于O；
②過點（與①中是同一個點）做交線的垂線；即過 A作 AB c 于 B ，連接 BO；
③計算： ABO為二面角 c 的平面角，在 Rt△ABO 中解三角形．
A
C
A
a B
A'
C'
B
O B'
b b
圖 1 圖 2 圖 3
法三：射影面積法
凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面
S
積公式（ cos 射 =
S A ' B 'C ' ，如圖 2）求出二面角的大小；
S S
斜 ABC
法四：補棱法
當構成二面角的兩個半平面沒有明確交線時，要將兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線（稱為
補棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題．當二平面沒有明確的交線時，也可直接用法三的攝影面
積法解題．
法五：垂面法
由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個面的交線所成的角，就是
二面角的平面角．
技巧二：線與線的夾角
平行直線
共面直線
（1）位置關系的分類： 相交直線

異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點
（2）異面直線所成的角
①定義：設 a，b是兩條異面直線，經過空間任一點O作直線 a ∥a，b ∥b ，把 a 與 b 所成的銳角（或
直角）叫做異面直線 a與b 所成的角（或夾角）．

②范圍： (0， ]
2
③求法：平移法：將異面直線 a，b平移到同一平面內，放在同一三角形內解三角形．
技巧三：線與面的夾角
①定義：平面上的一條斜線與它在平面的射影所成的銳角即為斜線與平面的線面角．

②范圍：[0， ]
2
③求法：
常規(guī)法：過平面外一點 B 做 BB 平面 ，交平面 于點 B ' ；連接 AB ，則 BAB 即為直線 AB 與平
BB h
面 的夾角．接下來在 Rt△ABB 中解三角形．即 sin BAB （其中 h 即點 B 到面 的距離，
AB 斜線長
可以采用等體積法求 h ，斜線長即為線段 AB 的長度）；
題型一：平移法求異面直線所成角
【典例 1-1】在正三棱柱 ABC A1B1C1中， AB AA1，D，E 分別是 A1B1，CC1中點，則異面直線BD與
AE 所成角的余弦值為（ ）
1 2
A． B 6 2 6． C． D．
5 5 5 5
【典例 1-2】如圖，已知正三棱柱 ABC A1B1C1, AB1 2AB, M 為 A1C1的中點，則 AM 與BC1所成角的余弦
值為（ ）
A．1 B 10 C 6 D 5． ． ．
4 4 10
【變式 1-1】在正四棱臺 ABCD A1B1C1D1中， AB 2A1B1 2AA1，點O為底面 ABCD的中心，則異面直線
OB1與CC1所成的角為（ ）
A．30° B． 45° C．60° D．90°
【變式 1-2】如圖，在正四面體 ABCD 中．點 E 是線段 AD 上靠近點 D 的四等分點，則異面直線 EC 與 BD
所成角的余弦值為（ ）
A 3 13 B 13 C 13 D 3 13． ． ． ．
26 13 26 13
【變式 1-3】已知空間四邊形 ABCD中， E 、 F 分別是 AC 、 BD的中點，若 AB 2 3 ，CD 4， EF AB，
則EF 與CD所成的角為（ ）
A．30° B． 45° C．60° D．90°
題型二：定義法求線面角
【典例 2-1】（2024·高三·貴州黔東南·開學考試）如圖，在四面體 ABCD中，DA DB DC 2 .若從直
1
線DA，DB，DC ，BC 中任選兩條，則它們互相垂直的概率為 .
2
(1)證明： AD 平面BCD；
(2) 2 3若四面體 ABCD的體積為 ，且BC BD，求直線 AB 與平面 ADC 所成角的正弦值.
3
【典例 2-2】如圖，四邊形 ABCD是矩形， AD 2，DC 1， AB 平面BCE ， BE EC ，EC 1 .點F 為
線段 BE 的中點.
(1)求證：DE //平面 ACF ；
(2)求 AC 和平面 ABE 所成角的正弦值.
【變式 2-1】如圖，已知 AA1 平面 ABC, BB1 //AA1, AB AC 3, BC 2 5 ， AA1 7 ，BB1 2 7 ，點E
為BC 的中點．
(1)求證： AE // 平面 A1CB1；
(2)求直線 A1B1 與平面BCB1所成角的大小．
【變式 2-2】如圖，在四棱錐 P ABCD ， PA 底面 ABCD， AB BC，AD / /BC ， PA AD 4， BC 1，
AB 3 .
(1)證明：平面PCD 平面PAC ；
(2)求 AD 與平面 PCD所成角的正弦值.
題型三：等體積法法求線面角
【典例 3-1】如圖，已知四棱錐 P-ABCD 的底面 ABCD 是平行四邊形，M，N 分別是棱 PB，PC 的中點，Q
是棱 PA 上一點，且 AQ 3QP .
(1)求證: NQ / /平面 MCD;
(2) AB 14, BC PB PD 8, PA PC 4 6 ，求直線 PA 與平面 PBC 所成角的正弦值.
【典例 3-2】如圖 1，在四邊形 ABCD中， AB∥CD, AB 1, A 60°, BD CD, ABD 90°，將△ABD 沿
邊 BD 翻折至△PBD ，使得平面PBD 平面BCD，如圖 2 所示．E 是線段 PD 上的一點，且BE PD．
(1)求證：平面BEC 平面 PCD；
(2)求直線 BE 與平面 PBC 所成角的正弦值．
【變式 3-1】正方體 ABCD A1B1C1D1的棱長為 2， P 是線段 A1B 上的動點.
(1)求證：平面BDD1B1 平面 A1BC1；
(2) PB 31與平面 A1BC1所成的角的余弦值為 ，求 PB的長．
3
【變式 3-2】在直三棱柱 ABC A1B1C1中，D、E 分別是棱 AC, A1C1的中點，F(xiàn) 為線段B1E 上的點．
(1)證明：CF // 平面 A1BD ；
EF
(2)若 AB BC CA BB1 2，當DF
15
與平面 A1BD 所成角的正弦值為 時，求
10 FB
的值．
1
題型四：定義法求二面角
【典例 4-1】如圖，在邊長為 4 的菱形 ABCD中， ABC 60o, E, F 分別是 AB, BC 的中點，將△BEF 沿
EF 折起，使點 B 到 P 的位置，且PD 4 2 ．
(1)若平面PAC I平面PEF l ，判斷 AC 與 l的位置關系并說明理由；
(2)求直線PE與平面 ABCD所成角的正弦值；
(3)求二面角D PE F 大小的余弦值．
【典例 4-2】如圖PO為三棱錐P ABC 的高，點O在三角形 ABC 內，D為BP中點（圖中未畫），
BD BO 2，OD / / 平面PAC .
(1)求直線BP與平面 ABC 所成角；
(2)若OA OC ，且 APB CPB ，求二面角P AC B 的大小.
【變式 4-1】如圖，正方體 ABCD A1B1C1D1的棱長為 1，線段 B1D1上有兩個不同的動點E, F .
(1)求證：EF // 平面 ABCD；
(2)二面角 A EF B的大小是否為定值，若是，求出其余弦值，說明理由.
【變式 4-2】五面體 ABCDEF 中， ABC BAD 90°，BC 2AD 2EF 4， ABE ，VADE 均為正三
角形.
(1)證明：BE CD；
(2)求平面 ABF 與平面BDE 所成夾角的余弦值.
【變式 4-3】如圖，在四棱錐P ABCD 中，底面 ABCD為菱形， BAD 60 o，PA PD ，E 為PC 的中
點.
(1)證明：PA / / 平面BDE ；
(2)若 PA PB 2 3 ，PD 2 .
求二面角P AD B的余弦值；
題型五：三垂線法求二面角
【典例 5-1】如圖，在三棱錐 A BCD中，△ABD 是等邊三角形，
BD DC, AB 2, AC 4, DBC 60o , E, F 分別為 AD, DC 的中點.
(1)求證：平面BEF 平面 ADC ；
(2)求二面角E BF D 的余弦值.
【典例 5-2】如圖 1，平面圖形PABCD由直角梯形 ABCD和Rt△PAD 拼接而成，其中 AB BC 1，
BC∥AD， AB AD ，PA PD 2 ，PA PD ，PC 與 AD 相交于點O，現(xiàn)沿著 AD 將其折成四棱錐
P ABCD （如圖 2）．
(1)當側面PAD 底面 ABCD時，求點 B 到平面 PCD的距離；
(2)在（1）的條件下，線段PD上是否存在一點Q．使得平面QAC 與平面 ACD 6夾角的余弦值為 ？若存
3
PQ
在，求出 QD 的值；若不存在，請說明理由．
【變式 5-1】如圖，在四棱錐P ABCD 中，M 為 AP 邊上的中點， N 為CP邊上的中點，平面PBC 平面
ABCD， PBC 90°, AD / /BC, ABC 90°, 2AB 2AD 2CD BC 2．
(1)求證：MN / / 平面 ABCD；
(2)求證：CD 平面PBD ；
(3) 3若直線PD與底面 ABCD所成角的余弦值為 ，求二面角 B PC D的正切值．
3
【變式 5-2】如圖，已知四棱錐 S ABCD 中， AB BC 1, ABC 120o , AB AD,CD 平面 SAD，且
uuur uuur
SG 2 SC .
3
(1)證明：BG ∥平面 SAD；
4
(2)已知銳二面角 S AC D的正弦值為 ，求二面角C SA D 的余弦值.
5
題型六：射影面積法求二面角
【典例 6-1】如圖，在四棱錐 P ABCD 中，四邊形 ABCD為正方形， PA 平面
ABCD, PA AB a ，求平面 PBA與平面 PDC 所成二面角的大小．
【典例 6-2】在四棱錐 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，側面 PAD 是正三角形，平面 PAD⊥底面
ABCD．
(1)證明：AB⊥平面 PAD；
(2)求面 PAD 與面 PDB 所成的二面角的正切值．
【變式 6-1】如圖，在四棱錐 P ABCD 中，四邊形 ABCD為正方形， PA 平面
ABCD, PA AB a ，求平面 PBA與平面 PDC 所成二面角的大小．
【變式 6-2】類比于平面三角形中的余弦定理，我們得到三維空間中的三面角余弦定理：如圖 1，由射線
PA、 PB、PC 構成的三面角P ABC ， APC ， BPC ， APB g ，二面角 A PC B的大小為
，則cosg cos cos + sin sin cos .
(1)如圖 2，四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，平面 AA1C1C 平面 ABCD， A AC 60
o
1 ， BAC 45o ，求
A1AB 的余弦值；

(2)當 、 0,

÷ 時，證明以上三面角余弦定理；
è 2
(3)如圖 3，斜三棱柱 ABC A1B1C1中側面 ABB1A1，BCC1B1， ACC1A1 的面積分別為 S1， S2， S3 ，記二面角
A CC1 B，二面角B AA1 C ，二面角C BB1 A的大小分別為 1， 2 ， 3 ，試猜想正弦定理在三維空
間中推廣的結論，并證明.
題型七：垂面法求二面角
【典例 7-1】（2024·高三·山東濟南·開學考試）如圖，在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，底面 ABCD和側面
ABB1A1均是邊長為 2 的正方形.
(1)證明：BD1 B1C .
(2)若 B o1BC 120 ，求二面角 A BC D1的余弦值.
【典例 7-2】已知二面角 l ，若直線 a ，直線b ，且直線 a,b所成角的大小為60°，則二面角
l 的大小為_________.
【變式 7-1】如圖，在四棱錐P ABCD中，底面 ABCD為矩形，平面PAD 底面 ABCD， PAD為正三角
形，E 是 AB 的中點， AD 2, AB 4 .
(1)求點 C 到平面PDE 的距離.
(2)求二面角D PE C 的余弦值.
【變式 7-2】在三棱臺 ABC - A1B1C1 中， AB AC, AB 2A1B1 2, AC 2 2,CC1 2 ， A1AC A1CA，且
平面 ACA1C1 平面 ABC ．
(1)求證：平面 A1BC 平面 ABC1；
(2)求二面角 A A1C B的正弦值．
題型八：補棱法求二面角
【典例 8-1】（2024·廣東廣州·模擬預測）如圖，在三棱臺 ABC A1B1C1中，△AB1C 為正三角形，
AB BC 2， AB BC，點D為 AC 的中點，平面 ABC 平面 AB1C ．
(1)若C1D B1C ，證明：平面BC1D 平面BCC1B1；
(2)若 AA1 CC1 4，記平面 ABB1A1與平面BC1D的交線為 l，求二面角 A1 l C1的余弦值．
【典例 8-2】如圖，已知正方體 ABCD A1B1C1D1 的棱長為 2，M 、 N 分別為棱BB1、BC 的中點．
(1)證明：直線DN // 平面 AMD1 ；
(2)設平面 AMD1 與平面 ABCD的交線為 l，求點M 到直線 l的距離及二面角D1 l C 的余弦值．
【變式 8-1】《九章算術》是中國古代的一部數(shù)學專著，是《算經十書》中最重要的一部，成于公元一世紀
左右.它是一本綜合性的歷史著作，是當時世界上最簡練有效的應用數(shù)學，它的出現(xiàn)標志著中國古代數(shù)學形
成了完整的體系.《九章算術》中將由四個直角三角形組成的四面體稱為“鱉臑”，已知在三棱錐 P ABC 中，
PA 平面 ABC .
（1）從三棱錐P ABC 中選擇合適的兩條棱填空：________ ________，則三棱錐P ABC 為“鱉臑”；
（2）如圖，已知 AD PB ，垂足為D， AE PC ，垂足為E ， ABC 90° .
（i）證明：平面 ADE 平面PAC ；
（ii）設平面 ADE 與平面 ABC 交線為 l，若PA 2 3 ， AC 2，求二面角E l C 的大小.
題型九：距離問題
【典例 9-1】（2024·四川資陽·二模）如圖，在四面體 ABCD 中， AB AC AD BC BD 2，
BC BD，E，F(xiàn) 分別為 AB，AC 的中點.
(1)證明：平面 ACD 平面 BCD；
(2)求點 A 到平面 BDF 的距離.
【典例 9-2】如圖，在四棱錐P ABCD 中， AB / /CD,CD BC ，PB CD 2AB 2, PA BC 3 ．
(1)若點O為CD中點，求證： AB 平面PAO ；
(2)若二面角P AB C 的平面角為60°，求點D到平面PAC 的距離．
【變式 9-1】多面體 ABC A1B1C1中， AA1∥BB1∥CC1，平面 A1B1C1∥平面 ABC ，平面 AA1C1C 底面 ABC，
BC 2， AC 2 3， ABC 90°， AA1 A1C ，且 AA1 A1C ．
(1)求 AA1與平面 ABC 所成角；
(2)求平面 A1ABB1與平面 ABC 所成二面角的大小；
(3)求側棱BB1到側面 AA1C1C 的距離．
【變式 9-2】如圖①，已知VAB C 是邊長為 2 的等邊三角形，D 是 AB 的中點，DH B C ，如圖②，將
B DH 沿邊 DH 翻折至△BDH .
BF
(1)在線段 BC 上是否存在點 F，使得 AF // 平面BDH ？若存在，求 的值；若不存在，請說明理由；
FC
(2)若平面 BHC 與平面 BDA 所成的二面角的正切值為 2 2 ，求點 B 到直線 CH 的距離.
1．平面 過正方體 ABCD A1B1C1D1的頂點 A, / / 平面CB1D1, I平面 ABCD m， I 平面 ABB1A1 n，
則m, n所成角的正弦值為 .
2．在三棱錐 A BCD中， AB 平面 BCD， BD CD， AB 3 且最長的棱長為 13 ， E 為棱 AD 的中點，
則當三棱錐 A BCD的體積最大時，直線 AC 與 BE 所成角的余弦值為 .
3．菱形 ABCD 的對角線 AC 3 ，沿 BD 把平面 ABD 折起與平面 BCD 成120°的二面角后，點 A 到平面
BCD 的距離為 ．
4．在正三棱柱 ABC A1B1C1中，E 為棱BC 的中點，如圖所示．
(1)求證： A1B / / 平面 AEC1；
(2)若二面角C AE C1 的大小為60°，求直線 AC 和平面 AEC1所成角的正弦值．
5．如圖，在三棱臺 ABC A1B1C1中， A1B1 與 A1C, B1C1都垂直，已知 AB 3, A1A AC 5．
(1)求證：平面 A1BC 平面 ABC ．
(2) 21直線 A1B 與底面 ABC 所成的角 為多少時，二面角 A1 AC B 的余弦值為 ？
14
6．如圖， AB 是半球 O 的直徑，P 是半球底面圓周上一點，Q 是半球面上一點，且 AP PQ ．
(1)求證：PQ BQ；
(2)若 AB 4, AP 1, BQ 3 ,求直線 PQ與平面 ABQ所成角的正弦值．
7．如圖，在四棱錐P ABCD 中，平面PBD 平面 ABCD，四邊形 ABCD是梯形， AB / / CD，
BC CD, BC CD 2AB 2 2, E 是棱PA上的一點.
(1)若PE 2EA，求證：PC ∥平面EBD ；
(2)若PA 平面EBD ，且 PA 4 ，求直線BC 與平面EBD 所成角的正弦值.
uuur uuur
8 3．如圖，在長方形 SABC中， AB 2 3 ，BC 2， SD lSC( < l < 1)，將 SAD 沿 AD 折起至△S AD ，使
3
平面 S AB 平面 ABC .
(1)證明：BC 平面 S AB ；
2
(2)若二面角 S AD B 的平面角的余弦值為 ，求 SD 的長；
3
1
(3)設直線BC 與平面 S AD 所成的角為 1，二面角 S AD B 的平面角為 2 ，證明： cos 2 1 + 2 2 1cos .2
（注：本題用空間向量法求解或證明不給分，若需要作輔助線，請在答題卡上作出相應的輔助線.）
9．“陽馬”是我國古代數(shù)學名著《九章算術》中《商功》章節(jié)研究的一種幾何體，它是底面為矩形，一條側
棱垂于底面的四棱錐．如圖，四邊形 ABCD 是邊長為 2 的正方形， PA 4 ，平面PAB 平面 ABCD，平面
PAD 平面 ABCD .
(1)求證：四棱錐P ABCD 是“陽馬”；
é π π ù
(2)點 M 在正方形 ABCD內（包括邊界）．平面 ⊥ 平面 PDM 且 ADM ê , 4 3 ú
，

（i）求 M 點軌跡長度；
（ii）是否存在 M 點，使得平面BPM 平面CPM ，若存在，求二面角 A PD M 的余弦值；若不存在，
請說明理由．
10．如圖（1）梯形 ABCD中， AD∥BC ， AB 2 3 ，BC 2，CD 2 2 ，BE AD且BE 2，將梯形沿
BE 折疊得到圖②，使平面 ABE 平面BCDE ，CE與BD和交于 O，點 P 在 AB 上，且 AP 2PB，R 是
CD的中點，過 O、P、R 三點的平面交 AC 于 Q．在圖（2）中：
(1)證明：Q 是 AC 的中點；
3 AM
(2)M 是 AB 上一點，已知二面角M EC B的正切值為 ，求 的值．
4 AB
11．空間的彎曲性是幾何研究的重要內容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于 2π與
多面體在該點的面角之和的差，其中多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制.例如：正四面體
π π
每個頂點均有 3 個面角，每個面角均為 3 ，故其各個頂點的曲率均為 2π 3 π .如圖，在直三棱柱3
ABC A B C 2π1 1 1中，點A 的曲率為 ， N ，M 分別為 AB ，CC1的中點，且 AB AC .3
(1)證明：CN 平面 ABB1A1；
(2)若 AA1 2AB ，求二面角B1 AM C1的余弦值；
(3)表面經過連續(xù)變形可以變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w稱為簡單多面體.關于簡單多面體有著名歐拉定理：設簡單多面
體的頂點數(shù)為D，棱數(shù)為 L，面數(shù)為M ，則有：D L + M 2 .利用此定理試證明：簡單多面體的總曲率
（多面體有頂點的曲率之和）是常數(shù).
12．如圖，在正三棱柱 ABC A1B1C1中，點 D 是 BC 的中點， AB AA1 4．
(1)求證： A1B// 平面 ADC1；
(2)求證：平面 ADC1 平面BCC1B1；
(3)求直線 A1B 到平面 ADC1的距離．
13．如圖在直三棱柱 ABC A1B1C1中， ABC 90°， BC 2，CC1 4，E 是 BB1上的一點，且 EB1 1，D、
F、G 分別是CC1、 B1C1 、 A1C1的中點，EF 與B1D相交于H ．
(1)求證：B1D 平面 ABD；
(2)求平面EGF 與平面 ABD的距離．
14．如圖，已知三棱臺 ABC A1B1C1，底面VABC 是以 B
14 3
為直角頂點的等腰直角三角形，體積為 ，平
3
1
面 ABB1A1 平面 ABC ，且 AA1 A1B1 BB1 AB .2
(1)證明：BC 平面 ABB1A1；
(2)求點 B 到面 ACC1A1 的距離；
π
(3)在線段CC1上是否存在點F ，使得二面角 F AB C 的大小為 ，若存在，求出CF 的長，若不存在，請6
說明理由.
π uuur uuur
15．如圖，在VABC 中， ACB , AC 2, BC 4，點 P 滿足
2 AP lPB
，沿CP將△ACP折起形成三棱
錐 A1 PBC .
(1)若l 1， A1在面 PBC 上的射影恰好在BC 上，求二面角 A1 CP B 平面角的余弦值；
(2)若二面角 A1 CP B 為直二面角，當 A1B 取到最小值時，求l 的值及點 P 到平面 A1BC 的距離.
16．類比思想在數(shù)學中極為重要，例如類比于二維平面內的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理：
如圖 1，由射線PA， PB，PC 構成的三面角P ABC ，記 APC ， BPC ， APB g ，二面角
A PC B的大小為 ，則 cosg cos cos + sin sin cos ．如圖 2，四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，
YABCD 為菱形， BAD 60°， 1 = 2 3， AB 2，且 A1點在底面 ABCD內的射影為 AC 的中點O．
(1)求 cos A1AB的值；
π π
(2)直線 AA1與平面 ABCD內任意一條直線夾角為j ，證明： j ；3 2
uuur uuuur
(3)過點 B 作平面h ，使平面h // 平面 A1C1D ，且與直線CC1相交于點 P ，若C1P lC1C ，求l 值．
17．如圖，在四棱錐 P ABCD 中，四邊形 ABCD 是邊長為 2 的菱形， BAD 60°， PB PD， PA PC ，
點 E，F(xiàn) 分別為棱 AD，PC 的中點．
(1)若EF 3，PA 2 ，求異面直線 EF 與 AB 的夾角 的大小；
(2)若直線 PC 與平面 ABCD 所成角的大小為30°．
①求二面角B PA D 的余弦值；
②求點 F 到平面 PAB 的距離．
18．如圖，在六面體 PABCD中，△PCD為等邊三角形，平面 PAC 平面 PCD， PA PD ， AB CD 2，
BC AD 4，PB 2 3 ，
(1)求證：PA 平面 PCD；
(2)求直線 AD 與平面PAC 所成角的正弦值；
(3) PC M M AB C 8 3
PM
線段 上是否存在一點 ，使得二面角 的平面角的余弦值為 .若存在，求出 PC 值；15
若不存在，請說明理由.
19．在三棱錐P ABC 中， AB AC PB PC ，點 P 在平面 ABC 內的投影為 H，連接 AH．
(1)如圖 1，證明： AP BC；
(2)如圖 2，記 PAB ，直線 AP 與平面 ABC 的夾角為 1， BAH 2 ，求證： cos cos 1 ×cos 2 ，并
比較 和 1的大小；
(3)如圖 3，已知 AB 5, AP 4, BC 6，M 為平面 PBC 內一點，且 AM 4，求異面直線 AM 與直線 BC 夾
角的最小值．重難點突破 02 利用傳統(tǒng)方法求線線角、線面角、二面角與距離
目錄
01 方法技巧與總結...............................................................................................................................2
02 題型歸納與總結...............................................................................................................................4
題型一：平移法求異面直線所成角....................................................................................................4
題型二：定義法求線面角....................................................................................................................7
題型三：等體積法法求線面角..........................................................................................................12
題型四：定義法求二面角..................................................................................................................17
題型五：三垂線法求二面角..............................................................................................................23
題型六：射影面積法求二面角..........................................................................................................32
題型七：垂面法求二面角..................................................................................................................37
題型八：補棱法求二面角..................................................................................................................41
題型九：距離問題..............................................................................................................................47
03 過關測試 .........................................................................................................................................53
技巧一：二面角的求法
法一：定義法
在棱上取點，分別在兩面內引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角，
如圖在二面角 l 的棱上任取一點O，以O為垂足，分別在半平面 和 內作垂直于棱的射線OA和
OB ，則射線OA和OB 所成的角稱為二面角的平面角（當然兩條垂線的垂足點可以不相同，那求二面角就
相當于求兩條異面直線的夾角即可）．
法二：三垂線法
在面 或面 內找一合適的點 A，作 AO 于O，過 A作 AB c 于 B ，則 BO為斜線 AB 在面 內
的射影， ABO為二面角 c 的平面角．如圖 1，具體步驟：
①找點做面的垂線；即過點 A，作 AO 于O；
②過點（與①中是同一個點）做交線的垂線；即過 A作 AB c 于 B ，連接 BO；
③計算： ABO為二面角 c 的平面角，在 Rt△ABO 中解三角形．
A
C
A
a B
A'
C'
B
O B'
b b
圖 1 圖 2 圖 3
法三：射影面積法
凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面
S
積公式（ cos 射 =
S A ' B 'C ' ，如圖 2）求出二面角的大小；
S S
斜 ABC
法四：補棱法
當構成二面角的兩個半平面沒有明確交線時，要將兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線（稱為
補棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題．當二平面沒有明確的交線時，也可直接用法三的攝影面
積法解題．
法五：垂面法
由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個面的交線所成的角，就是
二面角的平面角．
技巧二：線與線的夾角
平行直線
共面直線
（1）位置關系的分類： 相交直線

異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點
（2）異面直線所成的角
①定義：設 a，b是兩條異面直線，經過空間任一點O作直線 a ∥a，b ∥b ，把 a 與 b 所成的銳角（或
直角）叫做異面直線 a與b 所成的角（或夾角）．

②范圍： (0， ]
2
③求法：平移法：將異面直線 a，b平移到同一平面內，放在同一三角形內解三角形．
技巧三：線與面的夾角
①定義：平面上的一條斜線與它在平面的射影所成的銳角即為斜線與平面的線面角．

②范圍：[0， ]
2
③求法：
常規(guī)法：過平面外一點 B 做 BB 平面 ，交平面 于點 B ' ；連接 AB ，則 BAB 即為直線 AB 與平
BB h
面 的夾角．接下來在 Rt△ABB 中解三角形．即 sin BAB （其中 h 即點 B 到面 的距離，
AB 斜線長
可以采用等體積法求 h ，斜線長即為線段 AB 的長度）；
題型一：平移法求異面直線所成角
【典例 1-1】在正三棱柱 ABC A1B1C1中， AB AA1，D，E 分別是 A1B1，CC1中點，則異面直線BD與
AE 所成角的余弦值為（ ）
1 2
A B C 6 D 2 6． ． ． ．
5 5 5 5
【答案】A
【解析】設 AB AA1 4，取 AA1的中點Q， AB 的中點M ， AM 的中點 N ,
易知 AE //QC1 , DB//A1M //QN ,
所以異面直線BD與 AE 所成角為 C1QN 或其補角.
由正三棱柱的幾何特征可得 AQ AN , A1Q A1C1，CC1 CN .
QN AQ2 + AN 2 22 +12 5 ,
QC AQ21 1 + (A
2 2 2
1C1) 2 + 4 2 5 ,
CM 4 sin 60° 2 3 ，CN MN 2 + CM 2 1+12 13，
C1N CN
2 + C1C
2 13+16 29 ,
2
C QN cos C QN QN + (QC )
2 C 21 1N 5 + 20 29 1在△ 1 中，由余弦定理可得 1 ,2QN ×QC1 2 5 2 5 5
1
所以直線BD與 AE 所成角的余弦值為 .
5
故選:A.
【典例 1-2】如圖，已知正三棱柱 ABC A1B1C1, AB1 2AB, M 為 A1C1的中點，則 AM 與BC1所成角的余弦
值為（ ）
A 1 B 10 6 5． ． C． D．
4 4 10
【答案】B
【解析】如圖，取 AC 的中點D，連接DC1、BD，易知 AM ∥DC1，
所以異面直線 AM 與BC1所成角就是直線DC1與直線BC1所成的角，即 BC1D（或其補角），
由題意可知正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱長都相等，
可設三棱柱的棱長都為 2，則 DC1 5 ， BD 3 ， BC1 2 2 ，
2 2 2
因為 BC1 DC1 + BD ，所以 BDC1為直角三角形，
DC1 10
所以 cos BC1D BC1 4
AM BC 10即異面直線 與 1所成角的余弦值為 .
4
故選：B .
【變式 1-1】在正四棱臺 ABCD A1B1C1D1中， AB 2A1B1 2AA1，點O為底面 ABCD的中心，則異面直線
OB1與CC1所成的角為（ ）
A．30° B． 45° C．60° D．90°
【答案】C
【解析】如圖所示，連接 A1C1, AC, BD，則 AC I BD O ，連接 A1O，因為 AB 2A1B1 2AA1，
所以 AC 2A1C1 ．易知四邊形 A1C1CO 為平行四邊形，則 A1O / /CC1，且 A1O CC1 ，
所以 A1OB1或其補角為異面直線OB1與CC1所成的角，
同理知B1O DD1，又CC1 DD1 A1B1，所以△A1OB1為等邊三角形，所以 A1OB1 60°，
故選：C．
【變式 1-2】如圖，在正四面體 ABCD 中．點 E 是線段 AD 上靠近點 D 的四等分點，則異面直線 EC 與 BD
所成角的余弦值為（ ）
A 3 13 B 13 C 13 D 3 13． ． ． ．
26 13 26 13
【答案】A
【解析】過點 E 作直線 BD 的平行線，交 AB 于點 F，連接 CF，
則 CEF 為異面直線 EC 與 BD 所成角或其補角，
不妨設 AB 4，易得 EF 3，
CF CE DC 2 + DE2 2DC × DE cos CDE 13 ，
EC 2 2 2
在△CEF 中，由余弦定理得 cos CEF + EF CF 3 13 ，
2EC × EF 26
所以異面直線 EC BD 3 13與 所成角的余弦值為 ．
26
故選：A．
【變式 1-3】已知空間四邊形 ABCD中， E 、 F 分別是 AC 、 BD的中點，若 AB 2 3 ，CD 4， EF AB，
則EF 與CD所成的角為（ ）
A．30° B． 45° C．60° D．90°
【答案】C
【解析】設G 為 AD 的中點，連接GF ，GE ，又E 、F 分別是 AC 、BD的中點，
所以GF 、GE 分別為△ABD 、 ACD的中線，
所以GF //AB 且GF 1 AB 3 ，GE //CD GE 1且 CD 22 2 ，
所以EF 與CD所成的角即為EF 與GE 所成的角，
又EF AB，所以 EF GF ，所以△GEF 為直角三角形，且 GFE 90°，
所以 sin GEF
GF 3
，所以 GEF 60°，
GE 2
即EF 與CD所成的角為60° .
故選：C
題型二：定義法求線面角
【典例 2-1】（2024·高三·貴州黔東南·開學考試）如圖，在四面體 ABCD中，DA DB DC 2 .若從直
1
線DA，DB，DC ，BC 中任選兩條，則它們互相垂直的概率為 .
2
(1)證明： AD 平面BCD；
(2)若四面體 ABCD 2 3的體積為 ，且BC BD，求直線 AB 與平面 ADC 所成角的正弦值.
3
2
【解析】（1）證明：從直線DA，DB，DC ，BC 中任選兩條，不同的選法共有C4 6 種，
1
因為它們互相垂直的概率為 ，所以互相垂直的直線有 3 對.
2
又DB DC ，所以BC 與BD，CD均不垂直.
若DB DC ，則 AD 恰與BC ，BD，CD的其中兩條垂直，
不妨設 AD BD ， AD CD ，則 AD 平面BCD，則 AD BC ，不符合題意.
若DB與DC 不垂直，則 AD BC ， AD BD ， AD CD ，
BD CD D，BD,CD 平面BCD，
則 AD 平面BCD，符合題意，故 AD 平面BCD .
（2）設 BDC V 1，則 ABCD S△BCD × AD
4
sin 2 3 ，
3 3 3
π 2π
解得 sin 3 ，則 或 .
2 3 3
π若 ，則△BCD為正三角形，則BC BD ，不符合題意.
3
2π若 ，則BC BD，符合題意.
3
如圖，過點 B 作BH CD ，垂足為H .
因為 AD 平面BCD，BH 平面BCD，所以 AD BH ，
AD ICD D ， AD,CD 平面 ADC ，所以BH 平面 ADC .
連接 AH ，則 BAH 為直線 AB 與平面 ADC 所成的角.
BH DB ×sin 3 ， AB DA2 + DB2 2 2
則 sin BAH
BH 3 6
，
AB 2 2 4
6
故直線 AB 與平面 ADC 所成角的正弦值為 .
4
【典例 2-2】如圖，四邊形 ABCD是矩形， AD 2，DC 1， AB 平面BCE ， BE EC ，EC 1 .點F 為
線段 BE 的中點.
(1)求證：DE //平面 ACF ；
(2)求 AC 和平面 ABE 所成角的正弦值.
【解析】（1）連接BD交 AC 于M ，連接FM ，因為M , F 為BD、 BE 的中點，
所以FM 為VBDE 的中位線；
所以FM / /DE ，而FM 平面 ACF ，DE 平面 ACF ，
故DE / / 平面 ACF ；
（2）因為 AB 平面BCE ，CE 平面BCE ，所以 AB CE，
又由 BE EC ，而 AB I BE B， AB, BE 平面 ABE ，
故CE 平面 ABE ；
故 CAE 即為 AC 和平面 ABE 所成的角.
由已知， AC AD2 + DC 2 5 ，EC 1，
在直角三角形 ACE 中，可得 sin CAE EC 5 ，
AC 5
5
所以 AC 和平面 ABE 所成角的正弦值為 .
5
【變式 2-1】如圖，已知 AA1 平面 ABC, BB1 //AA1, AB AC 3, BC 2 5 ， AA1 7 ，BB1 2 7 ，點E
為BC 的中點．
(1)求證： AE // 平面 A1CB1；
(2)求直線 A1B1 與平面BCB1所成角的大小．
1
【解析】（1）取BB1中點M ，連接 AM ，ME ，B1M BB1 7 AA1 ，如圖所示，2
又因為BB1 //AA1，所以B1M //AA1，
所以四邊形 AA1B1M 為平行四邊形，所以 A1B1 //AM ，
又 A1B1 平面 A1B1C ， AM 平面 A1B1C ，所以 AM // 平面 A1B1C ，
因為點E, M 為BC, BB1 的中點，所以ME //B1C ，
又 B1C 平面 A1B1C ，ME 平面 A1B1C ，所以ME // 平面 A1B1C ，
又ME AM M ，ME, AM 平面 AME ，
所以平面 AME // 平面 A1B1C ，
又 AE 平面 AME ，所以 AE // 平面 A1B1C ．
（2）因為 AA1 平面 ABC ，BB1 //AA1，
所以BB1 平面 ABC ，
因為BB1 平面BCB1，
所以平面BCB1 平面 ABC ，
因為 AB AC ，點E 為BC 的中點，
所以 AE BC ，
因為平面BCB1 I平面 ABC BC, AE 平面 ABC ，
所以 AE 平面BCB1，
由（1）得四邊形 AA1B1M 為平行四邊形，所以 AM //A1B1，
所以直線 A1B1 與平面BCB1所成角和直線 AM 與平面BCB1所成角相等，
因為 AE 平面BCB1，
所以 AME 即為直線 AM 與平面BCB1所成角，
因為點E 為BC 的中點，BC 2 5 ，
所以BE 5, AE 32 5 2, EM 5 + ( 7)2 2 3 ，
tan AME 2 3 AME 所以 ，由 0,
π
÷，
2 3 3 è 2
AME π所以 ，
6
所以直線 A1B BCB
π
1 與平面 1所成角為 ．6
【變式 2-2】如圖，在四棱錐 P ABCD ， PA 底面 ABCD， AB BC，AD / /BC ， PA AD 4， BC 1，
AB 3 .
(1)證明：平面PCD 平面PAC ；
(2)求 AD 與平面 PCD所成角的正弦值.
π
【解析】（1）在VABC 中， AB BC， BC 1， AB 3 ，則 AC AB2 + BC 2 1+ 3 2， ACB ，3
所以 CAD
π

3
ACD CD2在 中， AC 2 + AD2 2AC × AD ×cos
π
4 +16 2 2 1 4 12，
3 2
故 AC 2 + CD2 AD2 ，所以 ACD為直角三角形，故CD CA，
又因為PA 底面 ABCD，CD 底面 ABCD，所以PA CD ，
又因為CAI PA A，CA, PA 平面PAC ，所以CD 平面PAC ，
又CD 平面 PCD，故平面PCD 平面PAC .
（2）如圖：作 AH PC 于H ，
因為平面PCD 平面PAC ，且平面PCD I平面PAC PC ， AH 平面PAC ，
所以 AH 平面 PCD，故 ADH 為 AD 與平面 PCD所成的角，
AH PA × AC 4 2 4 PAC AH 4 1 5中， PC ， sin ADH ，2 5 5 DA 5 4 5
5
所以直線 AD 與平面 PCD所成角的正弦值為 .
5
題型三：等體積法法求線面角
【典例 3-1】如圖，已知四棱錐 P-ABCD 的底面 ABCD 是平行四邊形，M，N 分別是棱 PB，PC 的中點，Q
是棱 PA 上一點，且 AQ 3QP .
(1)求證: NQ / /平面 MCD;
(2) AB 14, BC PB PD 8, PA PC 4 6 ，求直線 PA 與平面 PBC 所成角的正弦值.
【解析】（1）取 PA 的中點 S，連接 SM，SD，SC，因為M 為 PB 的中點，
所以 SM / / AB，又 AB / /CD ，所以 SM / /CD ，故 S，M，C，D 四點共面，
由題意知 Q，N 分別為 PS，PC 的中點，故 NQ / /SC ，
又 NQ / 平面MCD, SC 平面 MCD，因此 NQ / /平面 MCD；
（2）連接 AC，BD 交于點O，則O為平行四邊形 ABCD 的中心，
又PA PC, PB PD，
則等腰△PAC,△PBD 中，根據(jù)三線合一，有PO AC, PO BD ，
又 AC I BD O ， AC, BD 平面 ABCD，
故PO 平面 ABCD，
設OA OC m,OB OD n,OP h, ABC ，
則 BAD π ，
AC2 4m2 BA2 + BC2 2AB × AC ×cos 260 224cos ，
BD2 4n2 AB2 + AD2 2AB × AD ×cos(π ) 260 + 224cos ，
相加并整理得m2 + n2 130，①
在 Rt POA，RtVPOB中，有PO2 + OA2 PA2 , PO2 + OB2 PB2，
即h2 + m2 96，（2），h2 + n2 64，③
解方程組①②③得，m 9,n 7,h 15 ，
cos AB
2 + BC 2 AC 2 2 2 2 3 5
故 ,sin 1
2AB × AC 7

7 ÷
，
è 7
1
于是 S ABC BA × BC ×sin 24 5 ，2
在△PBC 中，BC BP 8, N 是 PC 中點，
故BN PC, BN BC2 CN 2 82 (2 6)2 2 10 ，
于是 S
1
△PBC PC × BN 8 15 ，2
1 1
設點 A 到平面 PBC 的距離為 d ，由VP ABC VA PBC ，得 × h × S3 △ABC
× d × S ，
3 △PBC
d h × S故 △ABC
15 × 24 5
3 5 ，
S△PBC 8 15
sin d 3 5 30故所求線面角 的正弦值 .
PA 4 6 8
【典例 3-2】如圖 1，在四邊形 ABCD中， AB∥CD, AB 1, A 60°, BD CD, ABD 90°，將△ABD 沿
邊 BD 翻折至△PBD ，使得平面PBD 平面BCD，如圖 2 所示．E 是線段 PD 上的一點，且BE PD．
(1)求證：平面BEC 平面 PCD；
(2)求直線 BE 與平面 PBC 所成角的正弦值．
【解析】（1）因為平面PBD 平面 BCD，平面PBD I平面BCD BD，
且CD 平面BCD，由題意易知CD BD ，所以CD 平面 PBD，
又BE 平面PBD ，所以BE CD，
又BE PD, PD ICD D，且PD,CD 平面 PCD，所以BE 平面 PCD，
又BE 平面BEC ，所以平面BEC 平面 PCD；
（2）在△PBD 中，結合已知有PB 1, BD 3, PD 2, BE 3 ．
2
因為平面PBD 平面BCD，平面PBD I平面BCD BD，
且PB 平面PBD ，PB BD，所以PB 平面BCD，
BC 平面BCD，所以PB BC ，
所以△PBC 中，易得PB 1, BC 6 ，
1 6
所以 S△PBC PB × BC ． 2 2
因為CD 平面 PBD，所以 CD 是三棱錐C - PBD 的高，
1
解法一：所以VC PBD S△PBD ×CD
1 1 1
1 3 3 ．
3 3 2 2
設點 D 到平面 PBC 的距離為 h，因為VC PBD VD PBC ，
1 6 h 1 6所以 ，解得h ，
3 2 2 2
1 1 6
易得PE PD ，所以點 E 到平面 PBC 的距離為
4 d h
，
4 8
6
d 6 2 2
所以直線 BE 與平面 PBC 所成角的正弦值為 8 ．
BE 3 8 3 4
2
1
解法二：在Rt△PBD 中，BE 是邊 PD 的高，可求出PE ，
2
V 1所以 C PBE × S△PBE ×CD
1 1 1 3 1
3 ，
3 3 2 2 2 8
設點 E 到平面 PBC 的距離為 d，則V 1 6E PBC × S PBC ×d d ，△ 3 6
1 6 6
由等體積可知，令 d ，解出 d ，
8 6 8
所以直線 BE 與平面 PBC d 2所成角的正弦值為 ．
BE 4
【變式 3-1】正方體 ABCD A1B1C1D1的棱長為 2， P 是線段 A1B 上的動點.
(1)求證：平面BDD1B1 平面 A1BC1；
(2) PB1與平面 A1BC
3
1所成的角的余弦值為 ，求 PB的長．
3
【解析】（1）因為DD1 平面 A1B1C1D1，且 A1C1 平面 A1B1C1D ，可得 A1C1 DD1，
四邊形 A1B1C1D1為正方形，則 A1C1 B1D1，
且B1D1 DD1 D1, B1D1, DD1 平面BDD1B1，所以 A1C1 平面BDD1B1，
又 A1C1 平面 A1BC1，所以平面BDD1B1 平面 A1BC1 .
（2）設B1在平面 A1BC1上的射影點為E ，連接EP, EB1，
可知VA 31BC1 是以邊長為 2 2 的等邊三角形，則 SVA BC 2 2 2 2 2 3 ，1 1 4
V V 1 1 1 2 3因為 B1 A1BC1 B A B 2 3 EB 2 2 21 1C1 ，即 1 ，解得EB1 ，3 3 2 3
設PB1與平面 A1BC1所成的角的大小為 ，因為 cos
3
，則 sin 1 cos2 6 ，
3 3
2 3
則 sin 6 EB 1 3 ，可得PB1 2 ，
3 PB1 PB1
在△BPB 2 2 2
π
1中，由余弦定理得PB1 BB1 + PB 2BB1 PB cos ，4
即 2 4 + PB2 2 2PB，解得 = 2.
【變式 3-2】在直三棱柱 ABC A1B1C1中，D、E 分別是棱 AC, A1C1的中點，F(xiàn) 為線段B1E 上的點．
(1)證明：CF // 平面 A1BD ；
EF
(2)若 AB BC CA BB 151 2，當DF 與平面 A1BD 所成角的正弦值為 時，求 FB 的值．10 1
【解析】（1）如圖，連接 A1B 、BD、CE、CB1 、ED，
由直棱柱性質 A1E / /DC
1 1
且 A1E A1C1 AC DC ，2 2
所以四邊形 A1ECD 是平行四邊形，故 A1D / /EC ，
又 A1D 平面 A1BD ，EC 平面 A1BD ，故EC / / 平面 A1BD ；
又由直棱柱性質有ED / /C1C 且ED C1C ，C1C / /B1B 且C1C B1B ，
所以ED / /B1B 且ED B1B ，
所以四邊形EB1BD 是平行四邊形，故EB1 / /DB ，
又DB 平面 A1BD ，EB1 平面 A1BD ，所以EB1 / / 平面 A1BD ，
因為EB1 I EC E，EB1、EC 平面EB1C ，
所以平面 A1BD / / 平面EB1C ，因為CF 平面EB1C ，
所以CF // 平面 A1BD .
（2）因為 AB BC CA BB1 2，
所以BD AC ，ED 2, A1D A1A
2 + AD2 22 +12 5 ，EB1 BD BC
2 CD2 22 12 3，
EF
設 l l 0,1 EB ，則EF lEB1 3l ，所以DF ED2 + EF 2 4 + 3l 2 ，1
由（1）可知點 F 到平面 A1BD 的距離是一個定值，將其設為 h，
由直棱柱性質 A1A 平面 ABC ，BD 平面 ABC ，故 A1A BD ，
又BD AC, A1A AC A， A1A, AC 平面 AA1C1C ，
所以BD 平面 AA1C1C ，
因為 A1D 平面 AA1C1C ，所以BD A1D ，
1 1 1
所以VF A BD S A BDh A1D BD h
1 1 15
5 3 h h ，
1 3 1 3 2 3 2 6
V 1 S A E 1 1 1 1A FBD FBD 1 B1B BD A1E 2 3 1
3
，
1 3 3 2 3 2 3
V 15 3 2 5又 F A1BD VA1 FBD ，所以 h h .6 3 5
2 5 2
所以DF 與平面 A1BD 所成角的正弦值為 h 5 15 4 l 2 即l ，
DF 34 + 3l 2 10 9
2
EF 2 EB1
所以
2 EF 3 2
EB1 3
即EF EB
3 1
，故 .
FB1 EB 21 EB3 1
題型四：定義法求二面角
【典例 4-1】如圖，在邊長為 4 的菱形 ABCD中， ABC 60o, E, F 分別是 AB, BC 的中點，將△BEF 沿
EF 折起，使點 B 到 P 的位置，且PD 4 2 ．
(1)若平面PAC I平面PEF l ，判斷 AC 與 l的位置關系并說明理由；
(2)求直線PE與平面 ABCD所成角的正弦值；
(3)求二面角D PE F 大小的余弦值．
【解析】（1） l / / AC ，理由如下：
由E, F 分別是 AB, BC 的中點，得EF // AC ，而EF 平面PEF ， AC 平面PEF ，
則 AC / / 平面PEF ，又平面PAC I平面PEF l ， AC 平面PAC ，
所以 l / / AC .
（2）令EF BD G，連接PG ，由 ABCD是菱形， ABC 60o ，得△ABC,△PEF 都是正三角形，
則 AC BD ，EF BD, EF PG ，而PG I BD G, PG, BD 平面PBD ，
于是EF 平面PBD ，又EF 平面 ABCD，則平面PBD 平面 ABCD，
在平面PBD 內過 P 作PQ BD于Q，由平面PBD I平面 ABCD BD，
因此PQ 平面 ABCD，連接EQ，則 PEQ是直線PE與平面 ABCD所成的角，
在正!PEF 中，PE 2, PG 3 ，DG BD BG 2AB cos30o 3 3 3，
( 3)2 + (3 3)2 (4 2)2cos 1 PGD ，則 sin PGB 1 cos2 4 5 PGB ，
2 3 3 3 9 9
PQ PG sin PGB 4 15 sin PEQ PQ 2 5于是 ， ，
9 PE 9
2 5
所以直線PE與平面 ABCD所成角的正弦值是 .
9
3 VADE DE2 AE2 + AD2（ ）在 中， 2AE × AD cos120o 4 16 2 2 4 (
1
+ ) 28，
2
即DE 2 7 ，顯然DE2 + PE2 32 PD2 ，則有DE PE ，同理DF PF ，
取PE, PD的中點O, M ，連接FO, MO, FM ，則MO / /DE ，有MO PE, FO PE ，
1 1
因此 FOM 是二面角D PE F 的平面角，而FM PD 2 2, MO DE 7, FO 3 ，
2 2
cos FOM ( 3)
2 + ( 7)2 (2 2)2 21
則 ，
2 3 7 21
所以二面角D PE F 21大小的余弦值是 .
21
【典例 4-2】如圖PO為三棱錐P ABC 的高，點O在三角形 ABC 內，D為BP中點（圖中未畫），
BD BO 2，OD / / 平面PAC .
(1)求直線BP與平面 ABC 所成角；
(2)若OA OC ，且 APB CPB ，求二面角P AC B 的大小.
【解析】（1）
因為PO為三棱錐P ABC 的高，故PO 平面 ABC .
又BO 平面 ABC ，故PO BO .
因為點D為BP的中點，則BD DP OD
又BD BO 2，故BD BO OD 2，
DBO π則△BDO 為等邊三角形，故 .
3
又PO 平面 ABC ，則 DBO 即為直線BP與平面 ABC 所成的角，
π
故BP與平面 ABC 所成角的大小為 .
3
（2）如圖，延長BO交 AC 于點E ，連接PE .
由PO 平面 ABC , AO,CO 平面 ABC ，
故PO AO, PO CO ，又 AO CO ，則PA PC .
BP BP,

在△APB 與△CPB 中， APB CPB,

PA PC,
故 APB @ CPB，\BA BC .
BO BO,

又在 ABO 與 CBO中， BA BC,

AO CO,
故 ABO @ CBO ，故 ABO CBO ，
即 BE 為 CBA的平分線，
又BA BC ，則BE AC ，且E 為 AC 的中點，
又PA PC ，則PE AC ，
則 PEO即為二面角P AC B 的平面角，
由OD / / 平面PAC ，OD 平面BPE ，平面BPE I 平面PAC PE ，故OD // PE .
\ PEO DOB，
由（1）知， DOB
π
，\ PEO
π

3 3
π
即二面角P AC B 的大小為 .
3
【變式 4-1】如圖，正方體 ABCD A1B1C1D1的棱長為 1，線段 B1D1上有兩個不同的動點E, F .
(1)求證：EF // 平面 ABCD；
(2)二面角 A EF B的大小是否為定值，若是，求出其余弦值，說明理由.
【解析】（1）直線EF 就是直線D1B1，
根據(jù)正方體的性質知EF //BD，
∵ EF 平面 ABCD，BD 平面 ABCD，
∴ EF // 平面 ABCD；
（2）平面 AEF 就是平面 AD1B1，平面BEF 就是平面BDD1B1，
∵平面 AD1B1與平面BDD1B1固定，
∴二面角 A EF B的大小是定值，
設 AC I BD O ， A1C1 B1D1 O1，
∵ AB1 AD1，O1是D1B1的中點，∴ AO1 B1D1，
根據(jù)正方體的性質可知OO1 B1D1，OO1 BD ，
∴ AO1O 里二面角 A EF B的平面角，
2
2
在直角 AOO1 中， AO ,OO1 1, AO
2 2 6
1 ÷÷ +1 ，2 è 2 2
∴ cos AO O
1 6
1 6 3 .
2
∴二面角 A EF B 6的余弦值為 .
3
【變式 4-2】五面體 ABCDEF 中， ABC BAD 90°，BC 2AD 2EF 4， ABE ，VADE 均為正三
角形.
(1)證明：BE CD；
(2)求平面 ABF 與平面BDE 所成夾角的余弦值.
【解析】（1）因為BC 2AD 2EF 4， ABE ，VADE 均為正三角形，
所以 AB AD BE DE AE 2，
記BD的中點為G ，連接 AG, EG，則EG BD ，
因為 BAD 90°，所以 AG
1 1
BG BD AB2 + AD2 2 ，
2 2
所以EG BE2 BG2 2 ，則 AE2 AG2 + EG2 4，所以 AG EG，
又 AG BD G, AG, BD 平面 ABCD，所以EG 平面 ABCD，
因為CD 平面 ABCD，所以EG CD .
易知在△BCD中， CBD 45°, BD 2 2, BC 4，
2
由余弦定理可得CD2 42 + 2 2 2 2 4 2 2 8，2
所以BC 2 BD2 + CD2，所以CD BD ，
又EG BD G, EG, BD 平面BDE ，所以CD 平面BDE ，
因為BE 平面BDE ，所以BE CD .
（2）記 AF , DE 的交點為H ，連接BH ， AH 的中點為Q，
作EP BH , AM BH ，垂足分別為P, M ，連接QP,QE ，
因為BD 2 2, BE DE 2，所以BD2 BE2 + DE2 ，所以BE DE ，
由題設易得 AD / /BC ， AD 平面BCFE ，BC 平面BCFE ，所以 AD / / 平面BCFE ，
又 AD 平面 ADFE ，平面 ADFE I平面BCFE EF ，所以 AD / /EF ，
所以四邊形 ADFE 為菱形，所以EH 1， AF ED ，
所以BH EH 2 + BE2 5 ，則 5PE EH × EB 2，
2 5 5
解得PE , PH EH 2 EP2 ，
5 5
在 ABH 中， AH 3, BH 5, AB 2，
cos AHB 3+ 5 4 2 15由余弦定理得 ，
2 3 5 15
所以HM AH cos AHB 3 2 15 2 5 ， AM AH 2 55 HM 2
15 5 5
55
所以 P 為HM 的中點，又Q為 AH 的中點，所以PQ ，PQ / / AM，
10
所以PQ BH ，所以 EPQ或者其補角即為平面 ABF 與平面BDE 所成夾角，
2

又EQ EH 2 + HQ2 1 3 7+ 2 ÷÷
，
è 2
2 2 2
2 5 55 7
+
2 2 2 5 ÷ 10 ÷ 2 ÷
所以 cos EPQ PE + PQ EQ 11 è è è ，
2PE × PQ
2 2 5 55
11

5 10
11
所以平面 ABF 與平面BDE 所成夾角的余弦值為 .
11
【變式 4-3】如圖，在四棱錐P ABCD 中，底面 ABCD為菱形， BAD 60 o，PA PD ，E 為PC 的中
點.
(1)證明：PA / / 平面BDE ；
(2)若 PA PB 2 3 ，PD 2 .
求二面角P AD B的余弦值；
【解析】（1）連接 AC ，交BD于點O，連接OE ，
因為底面 ABCD為菱形，所以O為 AC 的中點，
因為E 為 PB的中點，所以EO//PA，
又因為PA 平面BDE ，EO 平面BDE ，
所以PA / / 平面BDE ；
（2）因為 AD AB, BAD 60o ，所以△ABD 為等邊三角形，
取 AD 的中點F ，連接 BF ，則 BF AD ，
在△PAD中，作 IF AD,交 AP 于點 I ，
所以 IFB 為二面角P AD B的平面角，
在Rt APD 中，因為PA 2 3, PD 2，所以 PAD 30o ，
所以 AD 4, BF 2 3 ，
在Rt△AFI 中， AF 2, PAD 30o ，
FI 2 3所以 , AI 4 3 ，
3 3
AP2 + AB2 BP2 3
在△ABI 中， cos IAB cos PAB ，
2AP × AB 3
由余弦定理得BI AI 2 + AB2 2AI × AB 3 4 6 ，
3 3
2 2
BFI cos IFB FI + BF BI
2 1
在△ 中，由余弦定理 ，
2FI·BF 3
1
所以二面角P AD B的余弦值為 ；
3
題型五：三垂線法求二面角
【典例 5-1】如圖，在三棱錐 A BCD中，△ABD 是等邊三角形，
BD DC, AB 2, AC 4, DBC 60o , E, F 分別為 AD, DC 的中點.
(1)求證：平面BEF 平面 ADC ；
(2)求二面角E BF D 的余弦值.
【解析】（1）因為BD AB 2， DBC 60 o，BD DC ，
所以DC AB tan DBC 2 tan 60 o 2 3 ，
又 AD 2，AC 4 ，所以 AD 2+ CD 2 AC 2 ，所以 AD CD ，
又BD DC，AD I BD D，AD 、BD 平面 ABD，所以CD 平面 ABD，
又BE 平面 ABD，所以CD BE
因為△ABD 是等邊三角形，E 是 AD 的中點，所以 AD BE ，
又CD I AD D ，CD、 AD 平面CDA，所以BE 平面 ADC ，
又BE 平面BEF ，所以平面BEF 平面 ADC .
（2）因為CD 平面 ABD，CD 平面BCD，所以平面BCD 平面 ABD，
在△ABD 中，過E 作BD的垂線，垂足為O，過O作 BF 的垂線，垂足為G ，
連接EG ，如圖所示，
因為平面BCD 平面 ABD，平面BCD I平面 ABDD BD, EO BD, EO 平面 ABD，
所以EO 平面BCD，又BF 平面BCD，所以EO BF ，
因為GO BF ,GO IOE O,GO、OE 平面GOE ，所以BF 平面GOE ，
又EG 平面GOE ，所以BF EG，所以 EGO 為二面角E BF D 的平面角，
在Rt△BDF 中，BF BD 2+ DF 2 2 2+（ 3）2 7 ，
又BE 平面 ADC，EF 平面 ADC ，所以BE EF ，
1 BE EF 1在Rt△BEF 中， × BF × EG ，
2 2
EF 1 AC 2, BE BD2 DE2 22 12又 3 ，
2
1 1
所以 3 2 7 EG ，解得
2 2 EG
2 21
，
7
因為EO 平面BCD，OG 3平面BCD，所以EO OG ，又EO DE sin 60o ，
2
在Rt△EOG GO EG2 EO2 2 21 2 3 3 21中， （ ） （ ）2 ，
7 2 14
3 21
所以 cos EGO
OG 3
14 3
EG 4 ，即二面角E BF D 的平面角的余弦值為 .2 21 4
7
【典例 5-2】如圖 1，平面圖形PABCD由直角梯形 ABCD和Rt△PAD 拼接而成，其中 AB BC 1，
BC∥AD， AB AD ，PA PD 2 ，PA PD ，PC 與 AD 相交于點O，現(xiàn)沿著 AD 將其折成四棱錐
P ABCD （如圖 2）．
(1)當側面PAD 底面 ABCD時，求點 B 到平面 PCD的距離；
(2)在（1）的條件下，線段PD上是否存在一點Q．使得平面QAC 與平面 ACD 6夾角的余弦值為 ？若存
3
PQ
在，求出 QD 的值；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）在Rt△PAD 中，PA PD 2 ，所以 AD PA2 + PD2 2，
因為在直角梯形 ABCD中， AB BC 1，BC∥AD， AB AD ，
所以 AC CD 2 ，所以四邊形 ACDP為正方形，
所以PC AD ， AO OD 1，
因為側面PAD 底面 ABCD，側面PAD 底面 ABCD AD ，PO 平面PAD ，
所以PO 底面 ABCD，
連接BO，因為BC OD 1，BC / / OD ，所以四邊形BCDO為平行四邊形，
所以OB / / CD，
因為OB 平面 PCD，CD 平面 PCD，所以OB / / 平面 PCD，
所以點 B 到平面 PCD的距離與點O到平面 PCD的距離相等，
設點O到平面 PCD的距離為 d ，由題意得OP OC OD 1，
則PC PD CD 2 ，
V 1 1因為 O PCD VP OCD ，所以 S PCD × d S OCD × OP ，3 3
1 3
所以 22 d 1 1 1 3 1 1，解得 d ，3 4 3 2 3
所以點 B 到平面 PCD
3
的距離為 ；
3
（2）過Q作QF AD交 AD 于點F ，
因為側面PAD 底面 ABCD，側面PAD 底面 ABCD AD ，QF 平面PAD ，
所以QF 底面 ABCD，
作 FH AC 交 AC 于點H ，連接QH ，
因為QF 底面 ABCD， AC 底面 ABCD，所以QF AC ，
因為FH I QF F ，F(xiàn)H ,QF 平面QFH ，所以 AC 平面QFH ，
因為QH 平面QFH ，
所以QH AC ，所以 QHF 為二面角Q AC D 的平面角，
2

則 cos 6 QHF ，所以 sin 6 3 QHF 1
3 3 ÷÷
，
è 3
所以 tan 2 QHF ，
2
連接BO，交 AC 于點E ，因為四邊形 ABCO為正方形，所以 AC OB，
所以OE / / FH ，設 FD t ，
OE AO 2
1 2由 ，得
FH AF 2
，得FH 2 t ，
FH 2 t 2
QF FD t tan QHF
QF t 2
t 2因為 ，所以 HF 2 2 ，解得 ，2 t 3
2
因為PO 底面 ABCD，QF 底面 ABCD，所以QF / / OP
DQ QF DQ 2 PQ 1
所以 ，所以 ，即 ,
DP OP DP 3 QD 2
所以線段PD 6上存在一點Q．使得平面QAC 與平面 ACD夾角的余弦值為 ，
3
PQ 1
此時 QD 2 .
【變式 5-1】如圖，在四棱錐P ABCD 中，M 為 AP 邊上的中點， N 為CP邊上的中點，平面PBC 平面
ABCD， PBC 90°, AD / /BC, ABC 90°, 2AB 2AD 2CD BC 2．
(1)求證：MN / / 平面 ABCD；
(2)求證：CD 平面PBD ；
(3)若直線PD 3與底面 ABCD所成角的余弦值為 ，求二面角 B PC D的正切值．
3
【解析】（1）證明：法一：連接 AC ，
在△ACP中，因為M , N 為對應邊上的中點，
所以MN 為中位線，MN / / AC ，
又MN 平面 ABCD, AC 平面 ABCD，
\ MN / / 平面 ABCD；
法二：設 AB 中點為 S, BC 中點為T ，連接 SM , ST ,TN ，
在 ABP中，因為 S , M 為對應邊上的中點，
1
所以 SM 為中位線， SM / /BP且 SM BP ，
2
1
同理，在 CBP 中，TN / /BP 且TN BP，
2
\TN / /SM 且TN SM ，
\四邊形TNMS 為平行四邊形，
\MN / /ST ，
又MN 平面 ABCD, ST 平面 ABCD，
\ MN / / 平面 ABCD；
（2）在四邊形 ABCD中， AD / /BC, ABC 90°, 2AB 2AD 2CD BC ，
所以 ABD, BCD 都為等腰直角三角形，即CD DB，
又因為平面PBC 平面 ABCD, PBC 90°，平面PBC I平面 ABCD BC ，PB 平面PBC ，
所以直線PB 平面 ABCD，
又CD 平面 ABCD，所以PB CD，
又PB I BD B, PB, BD 平面PBD ，所以CD 平面PBD ．
（3 3）Q直線PD與底面 ABCD所成角的余弦值為 ，且PB 平面 ABCD，
3
\直線PD與底面 ABCD所成的角為 PDB，又BC 2，
則 AB 1,CD BD 2 ，
\ Rt PBD cos PDB BD 3在 △ 中， ，
PD 3
\PD 6, PB 2，
設BC 的中點為E ，連接DE ，過點E 作PC 的垂線交PC 于F ，連接DF ，
由（1）知，DE CB, DE PB，且 PB, BC 平面PBC, PB BC B ，
則DE 平面 PBC ，QPC 平面 PBC ，\DE PC ，
QDE, EF 平面DEF ，\ PC 平面DEF ，
QDF 平面DEF ，\PC DF ，又PC EF ，
則 DFE 是二面角 B PC D的平面角，
QDE AB 1, EF CF , PBC 90°, BC PB 2，
\CF EF ,\CE 2EF 2 1\ EF ，
2
DE
設二面角 B PC D的平面角為 ，則二面角 B PC D的正切值為 tan 2 ．
EF
【變式 5-2】如圖，已知四棱錐 S ABCD 中， AB BC 1, ABC 120o , AB AD,CD 平面 SAD，且
uuur 2 uuurSG SC .
3
(1)證明：BG ∥平面 SAD；
4
(2)已知銳二面角 S AC D的正弦值為 ，求二面角C SA D 的余弦值.
5
【解析】（1）法一：如圖 1，延長BC 和DA相交于點E ，連接 SE ，
Q ABC 120o ,\ ABE 60o，Q AB AD,\ BAE 90o ，則BE 2AB ，
uuur uuur
又Q AB BC,\BE 2BC
2
，QSG SC,\SG 2GC ，
3
則BG ∥ SE,QBG 平面 SAD, SE 平面 SAD,\BG ∥平面 SAD .
法二：如圖 2，過G 作GF 平行 SA交 AC 于點F ，
uuur uuur uuur
Q AB BC 1, ABC 120o ,\ AC 3 AF 2 3，則 ,QBF 1 BA 2+ BC ，
3 3 3
BF 1 BA2 4 4 1 4 2 3\ + BC 2 + BA × BC ×cos120o + ，
9 9 9 9 9 9 3
QBA 1,\BA2 + BF 2 AF 2 ,\BA BF ，QBA AD ，\BF ∥ AD ，
QSA ∥ GF , BF ∥ AD ，\GF , BF 均平行于平面 SAD，
且BF ,GF 是平面BGF 內的兩條相交直線，
\平面BGF ∥平面 SAD，又QBG 平面GBF ,\BG ∥平面 SAD .
法三：如圖 2，過 B 作 BF 平行 AD 交 AC 于點F ，連接GF ，
Q AB BC 1, ABC 120o ,\ BAC BCA 30o ，且 AC 3 ，
Q AB AD, BF 平行 AD AB 2 3 2，\BF AB，則 AF o AC ，cos30 3 3
\GF 平行于 SA，QSA ∥ GF , BF ∥ AD ，
..GF , BF 均平行于平面 SAD，且BF ,GF 是平面BGF 內的兩條相交直線，
\平面BGF ∥平面 SAD，又QBG 平面GBF ,\BG ∥平面 SAD .
（2）法一：QCD 平面 SAD,CD 平面 ABCD,\平面 ABCD 平面 SAD，
如圖 3，過點S作 SM AD交 AD 于M ,Q平面 SAD 平面 ABCD AD ，
\SM 平面 ABCD,Q AC 平面 ABCD,\ AC SM .
過點M 作MN AC 交 AC 于 N ，又MN SM M ，
且MN , SM 平面 SMN ，\ AC 平面 SMN ，
SM 4
\ SNM 為二面角 S AC D的平面角，則 sin SNM ，
SN 5
5
設 SM a，則 SN a，
4
QCD 平面 SAD, AD 平面 SAD，\CD AD ，
又Q AB AD ，\ AB∥ CD,Q ABC 120o , AB BC,\ BCA 30o，
\Rt ADC 中， ACD 30o , AC 3 3，則 AD ，
2
過點D作DP SA交 SA于點 P ，連接CP，
則 CPD為二面角C SA D 的平面角，
SM × AD 3
cos CPD DP SM × AD 4 2 SASN AC
2
PC ×
，
SN × AC 5 3 5
SA
2
綜上所述，二面角C SA D 的余弦值為 .
5
法二：如圖 4，在平面 SAD內過點D作 AD 的垂線于 AS 的延長線交于點Q
過D作DP AC 交 AC 于 P ，連接QP ，
QCD 平面 SAD,CD 平面 ABCD,\平面 SAD 平面 ABCD，
Q平面 SAD 平面 ABCD AD,QD AD,QD 平面 SAD，
\QD 平面 ABCD，
Q AC 平面 ABCD,\QD AC ，
又Q AC DP,..AC 平面QDP，即 QPD 為二面角 S AC D的平面角，
QCD 平面 SAD, AD 平面 SAD，\CD AD ，又Q AB AD ，
\ AB∥ CD,Q ABC 120o , AB BC 1,\ BCA 30o
\Rt ADC 中， ACD 30o , AC 3 AD 3，則 ,CD 3 ，
2 2
DP 1 CD 3 ,Qsin QPD 4 4 ,\ tan QPD ，
2 4 5 3
\QD DP × tan QPD 1，
3
QD × AD 1 2 3
Rt QDA h 中，邊QA上的高 QA 2
2 3
7 ，
1 + 2 ֏
設二面角C SA D 的平面角為 ,QCD 平面 SAD，
3
\cos h 2 7
h2 + CD2 2 ，3 3
+
5
7 ֏ 2
2
綜上所述，二面角C SA D 的余弦值為 .
5
題型六：射影面積法求二面角
【典例 6-1】如圖，在四棱錐 P ABCD 中，四邊形 ABCD為正方形， PA 平面
ABCD, PA AB a ，求平面 PBA與平面 PDC 所成二面角的大小．
【解析】因為 PA 平面 ABCD, AD 平面 ABCD，
所以 PA AD ，
又 AD AB，且 PA AB A， PA, AB 平面 PAB，
所以 AD 平面 PAB，
同理 BC 平面 PAB，
所以DPCD在平面 PBA上的射影為DPAB．
1 a2
設平面 PBA與平面 PCD S 2所成二面角為 ，所以 cos DPAB 21 ，所以 45
o．
SDPCD a × 2a 2
2
故平面 PBA與平面 PCD所成二面角的大小為 45o ．
【典例 6-2】在四棱錐 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，側面 PAD 是正三角形，平面 PAD⊥底面
ABCD．
(1)證明：AB⊥平面 PAD；
(2)求面 PAD 與面 PDB 所成的二面角的正切值．
【解析】（1）證明：∵底面 ABCD 是正方形，
∴AB⊥AD，
∵平面 PAD⊥底面 ABCD，平面 PAD∩底面 ABCD＝AD，
∴由面面垂直的性質定理得，AB⊥平面 PAD；
（2）(法一)由題意，△PBD 在面 PAD 上的射影為△PAD．
3
設 AD＝a，則 S PAD a2△ ，
4
△PBD 中，PD＝a，BD 2 a，PB 2 a，
2
∴S△PBD
1
a 2a2 a 7 a2 ，
2 4 4
3
∴面 PAD 與面 PDB 所成的二面角的余弦值為 ，
7
PAD PDB 2 2 3∴面 與面 所成的二面角的正切值為 ．
3 3
（法二）如圖所示：取PD中點E ，連接 AE, BE .
設 AD＝a，則BD = PB = 2a ，
所以 AE ^ PD, BE ^ PD ,
所以 AEB是平面 PAD 與平面 PDB 所成的二面角的平面角，
Rt AEB AE 3在 中， = a, AB = a, BAE
π
,
2 2
tan AEB AB a 2 2 3 = = = =
所以 AE 3 3 3 .a
2
【變式 6-1】如圖，在四棱錐 P ABCD 中，四邊形 ABCD為正方形， PA 平面
ABCD, PA AB a ，求平面 PBA與平面 PDC 所成二面角的大小．
【解析】因為 PA 平面 ABCD, AD 平面 ABCD，
所以 PA AD ，
又 AD AB，且 PA AB A， PA, AB 平面 PAB，
所以 AD 平面 PAB，
同理 BC 平面 PAB，
所以DPCD在平面 PBA上的射影為DPAB．
1 a2S 2
設平面 PBA與平面 PCD所成二面角為 ，所以 cos DPAB 21 ，所以 45
o．
SDPCD a × 2a 2
2
故平面 PBA與平面 PCD所成二面角的大小為 45o ．
【變式 6-2】類比于平面三角形中的余弦定理，我們得到三維空間中的三面角余弦定理：如圖 1，由射線
PA、 PB、PC 構成的三面角P ABC ， APC ， BPC ， APB g ，二面角 A PC B的大小為
，則cosg cos cos + sin sin cos .
(1)如圖 2，四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，平面 AA1C1C 平面 ABCD， A1AC 60
o
， BAC 45o ，求
A1AB 的余弦值；
0, (2)當 、 ÷ 時，證明以上三面角余弦定理；
è 2
(3)如圖 3，斜三棱柱 ABC A1B1C1中側面 ABB1A1，BCC1B1， ACC1A1 的面積分別為 S1， S2， S3 ，記二面角
A CC1 B，二面角B AA1 C ，二面角C BB1 A的大小分別為 1， 2 ， 3 ，試猜想正弦定理在三維空
間中推廣的結論，并證明.
【解析】（1）由平面 AA1C1C 平面 ABCD，得 90o ，
由三面角余弦定理得 cos A1AB cos A1AC cos CAB，
因為 A1AC 60°， BAC 45°，
cos A AB 1 2 2所以 1 ；2 2 4
（2）過射線 PC 上一點 H 作MH PC 交 PA 于 M 點，
作MH PC 交 PB 于 N 點，連接 MN，如圖所示：
則 MHN 是二面角 A PC B的平面角，
在△MNP中，由余弦定理得：
MN 2 MP2 + NP2 2MP × NP cosg ，
在△MNH 中，由余弦定理得：
MN 2 MH 2 + NH 2 2MH × NH cos ，
兩式相減得：
MP2 MH 2 + NP2 NH 2 2MP × NP cosg + 2MH × NH cos 0，
則： 2MP × NP cosg 2PH 2 + 2MH × NH cos ，
兩邊同除以 2MP × NP ，
得cosg cos cos + sin sin cos ；
（3）已知三棱錐 S ABC ， SA a， = ， = ，側面 SAB ， SAC ， SBC的面積分別為 S1， S2， S3 ，
以 SA， SB ，SC為棱的二面角分別為 1， 2 ， 3 ，
aS SBC bS SAC cS SAB
求證： sin 1 sin 2 sin
.
3
證明：
在 SA上取點 P ，使得PS 1，過 P 作 PP 平面 SBC，P C SC ，P B SB ，
設 BSC ， ASC ， ASB g ，
則PB PS sin g sin g ，PP PB sin 2 sin g sin 2，
同理PP PC sin 3 sin sin 3，
sin sin g
所以 sin g sin 2 sin sin 3，即 sin 2 sin
，
3
sin sin
同理可證 sin 1 sin
，
2
sin sin sin g
所以 sin 1 sin 2 sin
，
3
1
又因為 S SAB absin g ，所以 sin g
2S
SAB ，
2 ab
sin 2S SAC sin 2S同理 ， SBC ，
ac bc
2S SBC 2S SAC 2S SAB
所以 bc ac ab ，同乘 abc得：
sin 1 sin 2 sin 3
aS SBC bS SAC cS SAB
sin 1 sin 2 sin
.
3
題型七：垂面法求二面角
【典例 7-1】（2024·高三·山東濟南·開學考試）如圖，在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，底面 ABCD和側面
ABB1A1均是邊長為 2 的正方形.
(1)證明：BD1 B1C .
(2)若 B1BC 120
o
，求二面角 A BC D1的余弦值.
【解析】（1）連結BC1，
因為底面 ABCD和側面 ABB1A1均是邊長為 2 的正方形，
所以四邊形BCC1B1是邊長為 2 的菱形，則B1C BC1，
且四邊形 A1B1C1D1和CDD1C1 也是邊長為 2 的正方形，
所以C1D1 B1C1，且C1D1 CC1，B1C1 IC1D1 C1，CC1, B1C1 平面BCC1B1，
所以C1D1 平面BCC1B1， B1C 平面BCC1B1
所以C1D1 B1C ，且BC1 IC1D1 C1，且BC1,C1D1 平面BC1D1，
所以 B1C 平面BC1D1，BD1 平面BC1D1 ,
所以B1C BD1；
（2）由（1）可知，C1D1 平面BCC1B1，且 AB / /C1D1，
所以 AB 平面BCC1B1，且 AB 平面 ABCD，
所以平面 ABCD 平面BCC1B1，又因為平面BCC1B1 / / 平面 ADD1A1，
所以平面 ABCD 平面 ADD1A1，且平面 ABCD 平面 ADD1A1 AD ，
因為 B1BC A1AD 120
o o
，所以 D1DA 60 ，
所以△D1DA 為等邊三角形，
取 AD 的中點M ，連結D1M ，則D1M AD ，D1M 平面 ADD A1
所以D1M 平面 ABCD，
再取BC 的中點 N ，連結MN , D1N ,則MN BC ，
因為BC 平面 ABCD，所以D1M BC ，
又MN BC ，且 D1M I MN M ，D1M , MN 平面D1MN ，
所以BC 平面D1MN ，D1N 平面D1MN ，
所以BC D1N ，
所以 D1NM 為二面角 A BC D1的平面角，
D1M 3 ，MN 2，D1N 3+ 4 7 ，
cos D NM 2 2 7所以 1 ，7 7
所以二面角 A BC D 2 71的余弦值為 .
7
【典例 7-2】已知二面角 l ，若直線 a ，直線b ，且直線 a,b所成角的大小為60°，則二面角
l 的大小為_________.
【答案】60°或120°
【解析】設點 P 是二面角 l 內的一點，過 P 分別作直線 a,b的平行線 PA, PB ，且PA垂直于 于A ，
PB垂直于 于 B ，設平面PAB交直線 l于點O，連接OA，OB ，由于PA ，PB ， l ， l ，
故PA l ，PB l ，又PAI PB P ，PA, PB 平面PAB，
故 l 平面PAB，又OA，OB 平面PAB，故 l OA， l OB ，
所以 AOB 為二面角 l 的平面角，
因為直線 a,b所成角的大小為60°，所以 APB 60° 或120°，
當 APB 120°時，如圖
因為 APB + AOB 180°，所以 AOB 60°；
當 APB 60° 時，
如圖
因為 APB + AOB 180°，所以 AOB 120° ;
綜上，二面角 l 的大小為60°或120°
故答案為：60°或120°
【變式 7-1】如圖，在四棱錐P ABCD中，底面 ABCD為矩形，平面PAD 底面 ABCD， PAD為正三角
形，E 是 AB 的中點， AD 2, AB 4 .
(1)求點 C 到平面PDE 的距離.
(2)求二面角D PE C 的余弦值.
【解析】（1）由題設 AB AD ，面PAD 面 ABCD， AB 面 ABCD，面PAD 面 ABCD AD ，
所以 AB 面PAD ，PA 面PAD ，故 AB PA，即 AE PA，
所以PE PA2 + AE2 22 + 22 2 2 ，而DE AD2 + AE2 2 2 ，PD 2，
1
△ PDE 中PD上的高 7 ，故 S PDE 2 7 7 ，2
1
令點 C 到平面PDE 的距離為d ，又VP CDE VC PDE ，且 S CDE 2 4 4， P 到面CDE 的距離為正三角形2
PAD 的高，
1
7d 1 4 3 d 4 21 4 21所以 ，可得 ，故點 C 到平面PDE 的距離為 .3 3 7 7
（2）由CD AD ，面PAD 面 ABCD，CD 面 ABCD，面PAD 面 ABCD AD ，
所以CD 面PAD ，PD 面PAD ，故CD PD，則PC 22 + 52 2 5 ，
又EC 22 + 22 2 2 PE ，故 PCE 為等腰三角形，則PC 上的高為 3，
C PE h 1 h PE 1 3 PC 2 2h 2 15 h 30令 到 的距離為 ，則 ，
2 2 2
4 21
由（1）知：點 C 到平面PDE 的距離為 ，
7
D PE C sin 4 21 2 4 70若銳二面角 為 ，則 ，故 cos 105 ，
7 30 35 35
D PE C 105所以二面角 的余弦值為 .
35
【變式 7-2】在三棱臺 ABC - A1B1C1 中， AB AC, AB 2A1B1 2, AC 2 2,CC1 2 ， A1AC A1CA，且
平面 ACA1C1 平面 ABC ．
(1)求證：平面 A1BC 平面 ABC1；
(2)求二面角 A A1C B的正弦值．
【解析】（1）平面 AA1C1C 平面 ABC ，平面 AA1C1C I平面 ABC AC ， AB AC ，
AB 平面 ABC ，故 AB 平面 AA1C1C ， A1C 平面 AA1C1C ，故 AB A1C ， AC 中點為D，連接 A1D，
A1AC A1CA，則 A1D AC ， AD CD 2 ，
AB 2A1B
1
1 ，則 A1C1 AC 2 ， A1C1 CD ， A1C1∥CD ，2
故四邊形 A1DCC1為矩形，
2 2 2 CAC , ACC 0, πtan CAC 1 ， tan ACC ， ，2 2 2 1 1
1 1 1 ÷
2 è 2
故 CAC1 A1CC1，即 A1C AC1，
AB AC1 A， AB, A1C 平面 ABC1，故 A1C 平面，
又 A1C 平面 A1BC ，故平面 A1BC 平面 ABC1 .
（2）設 A1C AC1 O，連接BO， A1C 平面 ABC1，OB 面 ABC1，故 A1C OB ，
又因為 A1C AC1，所以二面角 A A1C B的平面角為 AOB ，
AC1 8 + 4 2 3
2 4 3
， AO AC1 ，3 3
AB 平面 AA1C1C ， AO 平面 AA1C1C ，所以 AB AO，
AB 2 21
Rt OAB OB2 OA2 AB2 28 2 7
sin AOB
在 中， + ，解得OB ，從而 OB
3 2 7 7
，故二面角
3
3
A A1C B
21
的正弦值為 .
7
題型八：補棱法求二面角
【典例 8-1】（2024·廣東廣州·模擬預測）如圖，在三棱臺 ABC A1B1C1中，△AB1C 為正三角形，
AB BC 2， AB BC，點D為 AC 的中點，平面 ABC 平面 AB1C ．
(1)若C1D B1C ，證明：平面BC1D 平面BCC1B1；
(2)若 AA1 CC1 4，記平面 ABB1A1與平面BC1D的交線為 l，求二面角 A1 l C1的余弦值．
【解析】（1）因為平面 ABC 平面 AB1C ，且平面 ABC I平面 AB1C AC ，
因為 AB BC ，且點D是 AC ，所以BD AC ，又BD 面 ABC ，
所以BD 平面 AB1C ， B1C 平面 AB1C ，
所以BD B1C ，C1D B1C ，且BD IC1D D，BD,C1D 平面BC1D，
所以 B1C 平面BC1D，且 B1C 平面BCC1B1，
所以平面BC1D 平面BCC1B1；
1 3
（2）由題意知，BD AC 2 ，B1D AC 6 ，2 2
因為△AB1C 是等邊三角形，且點D為 AC 的中點，則B1D ^ AC ，
又因為平面 ABC 平面 AB1C ，平面 ABC I平面 AB1C AC ，B1D 面 AB1C ，
所以B1D 平面 ABC ，且BD 平面 ABC ，
所以B1D BD，可得B 21B B1D + BD
2 2 2 ，
取 AB 的中點M ，連結DM ，B1M ，
因為B1B = AB1， AD DB ，則B1M AB，DM AB，
且B1M DM M ，B1M , DM 平面B1DM ，則 AB 平面B1DM ，
對于梯形 ABB1A1，故點A 作 AD1 A1B1，垂足為D1，
因為B1M AB
2
1 AM
2 7 ，則 AD1 B1M 7 ，可得 A1D1 AA
2
1 AD
2
1 3，
AB 2 1
由 A1B1 A1D1 + B1D1 4，可知 A B B C 4A B 4 2 ，且 1 1 1 1 ， A1C1 4 2 ，1 1
GA GB GC 1
將三棱臺 ABC A1B1C1補成三棱錐G - A1B1C1，則 GA1 GB1 GC 2
，
1
NA ND AD 1 NA 1
設C1D I A1G N ，可知 l即為直線BN ，則
4
NA NC AC 4 ，即
，可得 NA ，
1 1 1 1 NA + AA1 4 3
NA AM 1
B M N 4 7由 NA A B 4 ，則 1、 、 三點共線，且 NB1 NA
2
1 A1B
2
1 ，
1 1 1 3
4
可知B1N 為線段 AB 的中垂線，則 NA NB ，3
過點D作DH B1N ，垂足為H ，過H 作HF BN ，垂足為F ，連結DF ，
因為 AB 平面B1DM ，DH 平面B1DM ，所以DH AB，
且B1N I AB M ，B1N , AB 平面GA1B1，
可得DH 平面GA1B1，由 BN 平面GA1B1
可得DH BN ，且DH I HF H ，DH , HF 平面DHF ，
所以BN 平面DHF ，由DF 平面DHF ，可得DF BN ，
可知二面角 A1 l C 的平面角為 DFH ，
因為B1D 平面 ABC ，由DM 平面 ABC ，所以B1D DM ，
在Rt△B1DM 中，B1D 6 ，DM 1，B1M 7 ，
B D × DM 6 6 7 10 7
可得DH 1 ，B 2B M 1H B1D DH
2 ，則 NH B1N B1H ，
1 7 7 21
Rt BMN BN 4在 △ 中， ，BM 1，可得 sin BM 3 BNM 3 ，BN 4
在Rt NHF 5 7中，可得HF NH ×sin BNM ，
14
在Rt DHF 2 2 7
HF 5
△ 中，則DF DH + HF ，可得 cos DHF ，
2 DF 7
5
所以二面角 A1 l C1的余弦值為 .7
【典例 8-2】如圖，已知正方體 ABCD A1B1C1D1 的棱長為 2，M 、 N 分別為棱BB1、BC 的中點．
(1)證明：直線DN // 平面 AMD1 ；
(2)設平面 AMD1 與平面 ABCD的交線為 l，求點M 到直線 l的距離及二面角D1 l C 的余弦值．
【解析】（1）證明：取CC1 的中點E ，連接DE 、 NE 、ME ，
在正方體 ABCD A1B1C1D1 中，BB1 //CC1 且BB1 CC1，
QM 、E 分別為BB1、CC1 的中點，則BM //CE 且 BM CE ，
故四邊形BCEM 為平行四邊形，則ME //BC 且ME BC ，
又因為 AD//BC 且 AD BC，則ME //AD且ME AD，
故四邊形 ADEM 為平行四邊形，則DE //AM ，
QDE 平面 AMD1 ， AM 平面 AMD1 ，\DE // 平面 AMD1 ，
因為 AB//C1D1 且 AB C1D1，故四邊形 ABC1D1為平行四邊形，則BC1 //AD1，
Q N 、E 分別為BC 、CC1 的中點，則 NE //BC1，則 NE //AD1 ，
Q NE 平面 AMD1 ， AD1 平面 AMD1 ，\ NE // 平面 AMD1 ，
QDE I NE E ，DE 、 NE 平面DEN ，所以，平面DEN // 平面 AMD1 ，
QDN 平面DEN ，\DN //平面 AMD1 .
（2）延長D1M 、DB交與點 P ，連接 AP ，則直線 AP 即為直線 l，
PM PB BM 1
因為BB1 //DD1且BB1 DD1 ，M 為BB1的中點，則 PD PD DD 2 ，1 1
故點 B 為PD的中點，M 為PD1的中點，
在 ABP中， AB 2 ，BP BD 2 2 ， ABP 135o ，
由余弦定理可得 AP2 AB2 + BP2 2AB × BP cos135o 20，則 AP 2 5 ，
2 2 2
cos BAP AB + AP BP 2 5 5 ，則 sin BAP 1 cos2 BAP ，
2AB × AP 5 5
過點D在平面 ABCD內作DF 直線 AP ，垂足為點F ，連接D1F ，
sin DAF sin 90o BAP cos BAP 2 5 4 5 ，所以，DF AD sin DAF ，5 5
Q DD1 平面 ABCD， l 平面 ABCD，\DD1 l ，
QDF l ，DF I DD1 D，DF 、DD1 平面DD1F ，\l 平面DD1F ，
QD1F 平面DD1F ，\D1F l ，故二面角D1 l C 的平面角為 D1FD，
且D1F DD
2 6 5
1 + DF
2 ，故點M 到直線 l 3 5的距離為 ，
5 5
cos D1FD
DF 2
2
D F 3 ，因此，二面角
D1 l C 的平面角的余弦值為
1 3
.
【變式 8-1】《九章算術》是中國古代的一部數(shù)學專著，是《算經十書》中最重要的一部，成于公元一世紀
左右.它是一本綜合性的歷史著作，是當時世界上最簡練有效的應用數(shù)學，它的出現(xiàn)標志著中國古代數(shù)學形
成了完整的體系.《九章算術》中將由四個直角三角形組成的四面體稱為“鱉臑”，已知在三棱錐 P ABC 中，
PA 平面 ABC .
（1）從三棱錐P ABC 中選擇合適的兩條棱填空：________ ________，則三棱錐P ABC 為“鱉臑”；
（2）如圖，已知 AD PB ，垂足為D， AE PC ，垂足為E ， ABC 90° .
（i）證明：平面 ADE 平面PAC ；
（ii）設平面 ADE 與平面 ABC 交線為 l，若PA 2 3 ， AC 2，求二面角E l C 的大小.
【解析】（1）因為“鱉臑”是由四個直角三角形組成的四面體，又PA 平面 ABC ，所以PA AB ，
PA AC ，PA BC ；即 PAB ，△PAC 為直角三角形；
若BC AB，由 AB I PA A， AB, PA 平面PAB，可得：BC 平面PAB；
所以BC PB ，即 ABC ， PBC為直角三角形；滿足四個面都是直角三角形；
同理，可得BC AC 或BC PB 或BC PC ，都能滿足四個面都是直角三角形；
故可填：BC AB或BC AC 或BC PB 或BC PC ；
（2）（i）證明：
∵PA 平面 ABC ，BC 平面 ABC ，
∴PA BC ，
又BC AB，PAI AB A，PA, AB 平面PAB，
∴BC 平面PAB，
又 AD 平面PAB，
∴BC AD ，
又 AD PB ，PB BC B， PB, BC 平面PBC ，
∴ AD 平面PBC ，
又PC 平面PBC ，
∴PC AD ，
又 AE PC ， AE AD A， AD, AE 平面 ADE ，
∴PC 平面 ADE ，
又PC 平面PAC ，
∴平面 ADE 平面PAC .
（ii）由題意知，在平面PBC 中，直線DE 與直線BC 相交.
如圖所示，設DE BC F ，連結 AF ，則 AF 即為 l .
∵PC 平面 AED， l 平面 AED，
∴PC l ，
∵PA 平面 ABC ， l 平面 ABC ，
∴PA l ，
又PAI PC P，PA, PC 平面PAC ，
∴ l 平面PAC ，
又 AE, AC 平面PAC ，
∴ AE l ， AC l .
∴ EAC 即為二面角E l C 的一個平面角.
在△PAC 中，PA AC ，PA 2 3 ， AC 2，
∴ PC 4，
又 AE PC ，
AE AP AC 2 3 2∴ 3，
PC 4
∴ cos EAC AE 3 ，
AC 2
∴ EAC 30°，
∴二面角E l C 的大小為30° .
題型九：距離問題
【典例 9-1】（2024·四川資陽·二模）如圖，在四面體 ABCD 中， AB AC AD BC BD 2，
BC BD，E，F(xiàn) 分別為 AB，AC 的中點.
(1)證明：平面 ACD 平面 BCD；
(2)求點 A 到平面 BDF 的距離.
【解析】（1）
取 CD 的中點 O，連接 OA，OB，
1
因為BC BD，BC BD 2，所以OB CD ，且CD 2 2,OB CD 2 ，
2
又 AC AD 2，OA CD，OA2 AC 2 CO2 2，OA 2 ，
所以OA2 + OB2 AB2 ，可得OA OB，
又OB ICD O ，OB、CD 平面BCD，所以OA 平面 BCD，
又OA 平面 ACD，所以平面 ACD 平面 BCD；
（2）因為 AB 2，所以由（1）可得OB 2 ，CD 2 2 ，
S 1 ACD CD OA
1
2 2 2 2，
2 2
V 1 S 1 2 2B ACD 3 ACD
×OB 2 2 ，
3 3
又 F 為 AC 1 2的中點，所以VA BDF VB ACD ，2 3
在△BDF 中， BD 2，BF 3，DF AD2 + AF 2 5 ，
2 2 2
則 cos BFD
BF + DF BD 2
，
2BF × DF 15
sin BFD 11所以 ，
15
則 S 1 BDF BF × DF sin BFD
11
.
2 2
1 11 2
設點 A 到平面 BDF 的距離為 d，則 d ，
3 2 3
d 2 22 2 22解得 ，即點 A 到平面 BDF 的距離為 .
11 11
【典例 9-2】如圖，在四棱錐P ABCD 中， AB / /CD,CD BC ，PB CD 2AB 2, PA BC 3 ．
(1)若點O為CD中點，求證： AB 平面PAO ；
(2)若二面角P AB C 的平面角為60°，求點D到平面PAC 的距離．
【解析】（1）
取CD中點O，連接PO．
因為PB CD 2AB 2, PA BC 3 ，
所以PA2 + AB2 PB2 ，即PA AB ， AB OC ，
因為 AB / /OC,CD BC ，所以四邊形 ABCO是矩形，
所以 AB AO，
又因為PA AB ， PA, AO 平面PAO ，PAI AO A，
故 AB 平面PAO ．
（2）
因為PA AB, AO AB ，PA 平面PAB， AO 平面 ABC ，平面PAB 平面 ABC AB，
故 PAO即為二面角P AB C 的平面角，所以 PAO 60o．
過點 P 作PE AO于點E ，
因為 AB 平面PAO ，PE 平面PAO ，所以PE AB，
因為 AO AB A, AO, AB 平面 AOCB，
所以PE 平面 ABCD．
因為PA BC AO 3 ， PAO 60o，
所以三角形PAO 是等邊三角形，
PO 3, PE 3 3 3 1從而 , S△ACD 2 3 3 ，2 2 2
V 1 1 3 3故 P ACD PE × S△ACD 3 ．3 3 2 2
因為PC PE2 + EC 2 PE2 + EO2 OC 2 9 3+ + +1 2，
4 4
又 AC 1+ 3 2, PA 3 ，
2

則等腰三角形 APC 1 3 39的面積為： S 2 PAC 3 2 2 ÷÷
，
è 2 4
1
記D到平面PAC 的距離為 d ，由VP ACD VD PAC d × S3 △PAC
d 3 3 39 6 13可求得 ．
2 4 13
【變式 9-1】多面體 ABC A1B1C1中， AA1∥BB1∥CC1，平面 A1B1C1∥平面 ABC ，平面 AA1C1C 底面 ABC，
BC 2， AC 2 3， ABC 90°， AA1 A1C ，且 AA1 A1C ．
(1)求 AA1與平面 ABC 所成角；
(2)求平面 A1ABB1與平面 ABC 所成二面角的大小；
(3)求側棱BB1到側面 AA1C1C 的距離．
【解析】（1）（1）取 AC 的中點 D，連接 A1D，
∵ A1A A1C .，∴ A1D AC ，
∵平面 AA1C1C 底面 ABC ，平面 AA1C1C 底面 ABC AC ， A1D 平面 AA1C1C ，∴ A1D 底面 ABC ，
∴ A1AC 為 A1A與底面 ABC 所成的角，
∵ A1A A1C 且 A1A A1C ，∴ A o1AC 45 .
即 AA1與平面 ABC 所成角為 45o .
（2）取 AB 中點E ，則DE // BC ，
∵ ABC 90°，∴ CB AB，∴ DE AB，
連接 A1E ，∵ A1D 底面 ABC ，∴ A1E 在平面 ABC 上的射影為DE ，
∴ 1 ⊥ ，∴ A1ED 為側面 A1ABB1與底面 ABC 所成二面角的平面角.
在等腰Rt△A1AC 中， AC 2 3，∴ A1D 3 ，
在Rt△ABC 中，BC 2，∴ DE 1，
在Rt△A1DE
A D
中， tan A1ED 1 3 ，DE
∴ A1ED 60
o
，即側面 A1ABB1與底面 ABC 所成二面角的大小為60o .
（3）過 B 作BH AC 于H ，∵ A1D 底面 ABC ，BH 底面 ABC ，∴ A1D BH ，
∵平面 AA1C1C 底面 ABC ，平面 AA1C1C I底面 ABC AC ，BH AC
∴ BH 平面 AA1C1C ，
在Rt△ABC 中， AC 2 3，BC 2，∴ AB 2 2 ，
BH AB × BC 2 2∴ 6 ，即側棱BB 到側面 AAC C 的距離為 6 .
AD 3 1 1 1 3
【變式 9-2】如圖①，已知VAB C 是邊長為 2 的等邊三角形，D 是 AB 的中點，DH B C ，如圖②，將
B DH 沿邊 DH 翻折至△BDH .
BF
(1)在線段 BC 上是否存在點 F，使得 AF // 平面BDH ？若存在，求 的值；若不存在，請說明理由；
FC
(2)若平面 BHC 與平面 BDA 所成的二面角的正切值為 2 2 ，求點 B 到直線 CH 的距離.
【解析】（1）在圖①中，取B M 的中點 M，連接 AM，如圖所示，
因為VAB C 是等邊三角形，B C 的中點為 M，
所以 AM B C ,
因為DH B C ，
所以 AM //DH ，
在圖②中， AM //DH ， AM 平面 BDH，DH 平面 BDH，
所以 AM //
HM 1
平面 BDH，且 ，
MC 2
BF 1
在線段 BC 上取點 F 使 ，連接 MF，F(xiàn)A，如圖所示，
FC 2
HM BF 1
因為 ，
MC FC 2
所以MF //BH ，
又因為BH 平面 BDH，MF 平面 BDH，
所以MF // 平面 BDH，
又因為MF AM M , MF , AM 平面 AMF，
所以平面 AMF // 平面 BDH ，
又因為 AF 平面 AMF ，
所以 AF // 平面 BDH，
BF 1
所以存在點 F 滿足題意，且 ；
FC 2
（2）如圖所示，連接BB ，取BB 的中點T ，連接TH ,TD，
由折疊性質可得BD B D, BH B H , B 平面 ABD，B 平面BCH ，
因為DH BH , DH CH , BH CH H , BH ,CH 平面BCH ，
所以DH 平面BCH ，
又TH 平面BCH ，所以DH TH ，
因為T 為BB 的中點，
所以TH BB , DT BB ，
所以 DTH 即為平面 BHC 與平面 BDA 所成的二面角的平面角，
1
由（1 3）可得DH ，B H BH , BD B D 1，
2 2
因為平面 BHC 與平面 BDA 所成的二面角的正切值為 2 2 ，
tan DTH DH 2 2 6所以 ，所以 ，
TH TH 8
10 10
所以B T B H 2 TH 2 ，所以B B ，
8 4
設點 B 到直線 CH 的距離為 h，
S 1 BB 1則 BHB × ×TH B H × h，2 2
1 10 6 1 1
即 h 15，解得 h ，
2 4 8 2 2 8
即點 B 到直線 CH 15的距離為 .
8
1．平面 過正方體 ABCD A1B1C1D1的頂點 A, / / 平面CB1D1, I平面 ABCD m， I 平面 ABB1A1 n，
則m, n所成角的正弦值為 .
3
【答案】
2
【解析】由題意可知，延長B1A1 與平面 交于點E ，延長CB 與平面 交于點F ，連接 AE, AF , EF ，即平
面 AEF 所在平面為平面 ，如圖所示
因為平面 AEF / / 平面CB1D1，平面 AEF 平面 ABCD m，又BD // B1D1，
所以m / /B1D1 .
同理可證 n / /CD1 ,
所以m, n所成角的大小與B1D1,CD1 所成角的大小相等，
在正方體 ABCD A1B1C1D1中， B1C B1D1 CD1，
所以 CB1D1是等邊三角形，
所以m, n所成角就是 CD o1B1 60 ,
所以m, n 3所成角的正弦值為 .
2
3
故答案為： .
2
2．在三棱錐 A BCD中， AB 平面 BCD， BD CD， AB 3 且最長的棱長為 13 ， E 為棱 AD 的中點，
則當三棱錐 A BCD的體積最大時，直線 AC 與 BE 所成角的余弦值為 .
26
【答案】
26
【解析】因為BD CD，所以BC > BD ，所以 AC 13 ，
又因為 AB 平面BCD，所以 AB BC，所以BC 13 3 10 ，
又BD2 + CD2 10 2BDgCD，
當且僅當BD CD時等號成立，
V 1 1所以 BD·CD 3 5 3 ，當BD CD 5 時取最大值，
3 2 6
取 AC 的中點F ，連接BE, EF , FB ，所以EF∥ AC ，
所以 BEF （或其補角）為直線 AC 與 BE 所成的角，
因為BE
1 1
AD 13 5 2 EF 1 AC 13
5 5
，
2 2
，BF 5 + ，
2 2 4 2
13 25
2 2 2 2 +
所以 cos BEF
BE + EF BF 26
4 4
2BEgEF 13 26 ，2 2
2
直線 AC 與 BE 26所成角的余弦值為 .
26
3．菱形 ABCD 的對角線 AC 3 ，沿 BD 把平面 ABD 折起與平面 BCD 成120°的二面角后，點 A 到平面
BCD 的距離為 ．
3
【答案】 /0.75
4
【解析】為了區(qū)別，設折起后的點 A 為 A ，
設 AC I BD O ，連接 A O ，可知O為BD的中點， AC BD ，
則 A O BD,CO BD ，可知 A OC 120°，即 A OA 60°，
過點 A 作 A E AO，垂足為E ，
則 AO BD, A O BD， AO I A O O， AO, A O 平面 A OE ，
可知BD 平面 A OE ，由 A E 平面 A OE ，可知BD A E ，
且 A E AO， AO I BD O ， AO, BD 平面 ABCD，
可得 A E 平面 ABCD，
所以點 A A 到平面 BCD 的距離為即為 A E AO sin A OA 3 3 3 .
2 2 4
3
故答案為： .
4
4．在正三棱柱 ABC A1B1C1中，E 為棱BC 的中點，如圖所示．
(1)求證： A1B / / 平面 AEC1；
(2)若二面角C AE C1 的大小為60°，求直線 AC 和平面 AEC1所成角的正弦值．
【解析】（1）
證明：連接 A1C ，設 A1C AC1 O，連接OE ，
在 A1BC 中， A1O OC ，BE EC ，∴ OE∥ A1B，
又 A1B 平面 AEC1，OE 平面 AEC1，
∴ A1B / / 平面 AEC1．
（2）由正三棱柱 ABC A1B1C1，可得BB1 平面 ABC ，
∵ AE 平面 ABC ，∴ AE BB1，∵ E 為BC 的中點，∴ AE BC ，
又BC I BB1 B，BC ，BB1 平面BCC1B1，
故 AE 平面BCC1B1，
而C1E ，EC 平面BCC1B1，故 AE C1E ， AE EC ，
∴二面角C AE C1 的平面角是 CEC1 60°，
在平面BCC1B1內作CH C1E ，連接 AH ，
∵ AE 平面 AEC1，∴平面 AEC1 平面BCC1B1，
又平面 AEC1 I平面BCC1B1 C1E ，CH 平面BCC1B1，
故CH 平面 AEC1，
∴直線 AC 和平面 AEC1所成的角為 CAH ，
又 AH 平面 AEC1，∴ CH AH ，
∴ sin CAH CH CE ×sin60° 3 ，
AC AC 4
∴直線 AC 和平面 AEC 31所成角的正弦值為 ．
4
5．如圖，在三棱臺 ABC A1B1C1中， A1B1 與 A1C, B1C1都垂直，已知 AB 3, A1A AC 5．
(1)求證：平面 A1BC 平面 ABC ．
(2)直線 A1B 與底面 ABC 所成的角 為多少時，二面角 A1 AC B
21
的余弦值為 ？
14
【解析】（1）Q A1B1與 A1C, B1C1都垂直，由棱臺的性質得 AB∥ A1B1, BC∥B1C1，
\ AB BC, AB A1C ．又BC I A1C C, BC, A1C 平面 A1BC ，
\ AB 平面 A1BC ．又 AB 平面 ABC，
∴平面 ABC 平面 A1BC ，即平面 A1BC 平面 ABC ．
（2）由（1）知，平面 A1BC 平面 ABC．如圖，
過 A1作 A1D BC 于 D，Q平面 A1BC 平面 ABC BC, A1D 平面 A1BC ，
則 A1D 平面 ABC ，
\ A1BD是 A1B 與平面 ABC 所成的角，即 A1BD ．
作DE AC 于 E，連接 A1E,Q A1D 平面 ABC， AC 平面 ABC，\ A1D AC ．
又 A1D DE D， A1D, DE 平面 1 ，
\ AC 平面 A1DE.Q A1E 平面 A1DE,\ AC A1E ，
則 A1ED 為二面角 A1 AC B 的平面角．
在Rt△ABC 中， AB 3, AC 5，得BC 4．
Q AB 平面 A1BC ， A1B 平面 A1BC ，所以 AB A1B，則 A1B A1A
2 AB2 4，
在Rt A1DB中， A1B 4, A1D 4sin , BD 4cos , DC 4 4cos ．
Rt ABC AB AC DE AB × DC 12(1 cos )由 △ ∽- Rt△DEC ，得 ，則 ．
DE DC AC 5
Qcos A1ED
21
，則 sin A1ED
175
，
14 14
\ tan A1ED
A1D 5 5sin 5
DE ，即

3 3(1 cos )
，
3
π π 3
于是 sin 3 cos 3 2sin + ，則 + ÷ 3,\sin + ÷ ，
è 3 è 3 2
Q0 π , π π 5π π 2π π< \ < + ,\ + ,\ .
2 3 3 6 3 3 3
6．如圖， AB 是半球 O 的直徑，P 是半球底面圓周上一點，Q 是半球面上一點，且 AP PQ ．
(1)求證：PQ BQ；
(2)若 AB 4, AP 1, BQ 3 ,求直線 PQ與平面 ABQ所成角的正弦值．
【解析】（1）因為 AB 為半球O的直徑， P 為半球底面圓周上一點,
所以 AP BP ,
因為 AP PQ, PQ BP P, PQ 、BP 平面PBQ ,
所以 AP 平面PBQ ，又因為BQ 平面PBQ ,
所以 AP BQ ,
又因為Q為半球面上一點,
所以 AQ BQ ,
又因為 AQ AP A, AQ, AP 平面QAP
所以BQ 平面QAP ,又PQ 平面QAP ,
所以BQ PQ ;
（2）因為三角形 ABP 為直角三角形, AB 4，AP 1
所以BP AB2 AP2 15 ,
又因為BQ 3, BQ 平面QAP ,
所以PQ BP2 PQ2 6 ，
又因為三角形QAB 也是直角三角形，
所以QA AB2 BQ2 7 ,
所以 S 1 QAP × AP × PQ
1 1 6 6 ，
2 2 2
S 1 QA BQ 1 7 3 3 7 QAB × 2 2 2
設點 P 到平面QAB 的距離為 h ,
V 1 1則有 P QAB VB QAP ，即 S QAB × h S QAP × BQ ,3 3
6
S ·BQ 3
h QAP 42所以 2 ，
S QAB 3 7 7
2
42
設直線 PQ與平面 ABQ所成的角為 ，則 sin h 7 7 .
PQ 6 7
7．如圖，在四棱錐P ABCD 中，平面PBD 平面 ABCD，四邊形 ABCD是梯形， AB / / CD，
BC CD, BC CD 2AB 2 2, E 是棱PA上的一點.
(1)若PE 2EA，求證：PC ∥平面EBD ；
(2)若PA 平面EBD ，且 PA 4 ，求直線BC 與平面EBD 所成角的正弦值.
【解析】（1）連接 AC ，交BD于點O，連接OE ，如圖所示.
因為 AB ∥ CD，易得 OAB : OCD
OA AB 1
，所以 ，
OC CD 2
EA 1
又PE 2EA， ，所以OE ∥ PC ，
PE 2
又OE 平面EBD, PC 平面EBD ，所以PC ∥平面EBD ；
（2）取CD中點M ，連接 AM 交BD于點 N ，連接EN ，
則 AB ∥ CM ，且 AB CM ，所以四邊形 ABCM 是平行四邊形，
1
N 為BD中點， AN BC 2 .因為PA 平面EBD ，
2
所以直線EN 是直線 AN 在平面EBD 內的射影，
所以 ANE 是直線 AM 與平面EBD 所成的角，
即為直線BC 與平面EBD 所成角的平面角.
如圖所示，過點A 作 AG BD，垂足為G ，連接 AG,GP，
因為BC CD, BC CD 2AB 2 2 ，所以 AB BC, AG BG ,易得 AG 1，
因為平面PBD 平面 ABCD，平面PBD I平面 ABCD BD, AG 平面 ABCD，
所以 AG 平面PBD ，
又PG 平面PBD ，所以 AG PG，所以PG PA2 AG2 42 12 15 ，
AE AG 1
在直角 AGE 中，由PA 平面EBD,GE 平面EBD ，則 AE GE, ，解得 AE ，
AG AP 4
1
所以 sin ANE AE 2
2
4 .所以直線BC 與平面EBD 所成角的正弦值為 .
AN 2 8 8
uuur uuur
8．如圖，在長方形 SABC中， AB 2 3 ，BC 2， SD lSC( 3 < l < 1)，將 SAD 沿 AD 折起至△S AD ，使
3
平面 S AB 平面 ABC .
(1)證明：BC 平面 S AB ；
2
(2)若二面角 S AD B 的平面角的余弦值為 ，求 SD 的長；
3
1
(3)設直線BC 與平面 S AD 所成的角為 1，二面角 S AD B 的平面角為 2 ，證明： cos 2 1 + 2 2 1cos .2
（注：本題用空間向量法求解或證明不給分，若需要作輔助線，請在答題卡上作出相應的輔助線.）
【解析】（1）因為四邊形 SABC為長方形，所以BC AB ,
又平面 S AB 平面 ABC ，平面 S AB I平面 ABC AB ,所以BC 平面 S AB ，
（2）如圖所示，在（ii）圖中過點 S 作 SO AD ,垂足為 O,
SO 交 AB 于點 E,連接 S O ．由翻折知 S O AD ,
所以二面角 S AD B 的平面角為 S OE ,
AE 4 , SO 2x在（ii）圖中設 SD x ,可得 ,OE
8

x ，x2 + 4 x x2 + 4
8
cos S OE 2 OE 2 OE 2 , , x x
2 + 4 2
因為 ，所以 所以 所以 2x ，3 S O 3 SO 3 3
x2 + 4
解得 x2 6 ,即 x 6 或 x 6 （舍去），所以 SD 6 ．
（i）（ii）
（3）如圖所示，由（2）知 SO I S O O ,所以 AD 平面 S OS ,
S E 平面 S OS ,所以 AD S E ．由（1）問，
知BC 平面 S AB 且 SA∥BC ,所以 SA 平面 S AB ,
又 S E 平面 S AB ,所以 SA S E ,又 SAI AD A ,
且 SA, AD 平面 ABCD ,所以 S E 平面 ABCD ,
又 AB 平面 ABCD ,所以 S E AB ．
在（ii）圖中過點 E 作EH∥BC交 AD 于點 H，
過點 E 作EG S O ,連接GH ．由（2）知 AD 平面 S OE ,
又 AD 平面 S AD ,所以平面 S AD 平面 S OE ,
因為平面 S AD I 平面 S OE S O ,所以EG 平面 S AD ,
所以EH 在平面 S AD 的射影為GH ,
所以 EHG 為直線EH 與平面 S AD 所成角．
2x 8 8 2
注意到 S O > OE , > 8 x 4即 2 2 ，解得 x (2, 2 3)．又EH 2 ，EG OE ×sin 2 ,所以4 + x x x + 4 x x3
sin EG x
2 4
1 ，EH x
2
sin x 4即 ，所以 cos 2 1 1 2sin
2 81 2 11 ，x x
4 1 8 x2
由（2）知 cos 2 2 ,所以 cos 2 1 + 2 1+ 2 2 1x cos 2 x 4
（等號當且僅當 x4 32 時成立32 (16,144) ）．
（i）（ii）
9．“陽馬”是我國古代數(shù)學名著《九章算術》中《商功》章節(jié)研究的一種幾何體，它是底面為矩形，一條側
棱垂于底面的四棱錐．如圖，四邊形 ABCD 是邊長為 2 的正方形， PA 4 ，平面PAB 平面 ABCD，平面
PAD 平面 ABCD .
(1)求證：四棱錐P ABCD 是“陽馬”；
é π π ù
(2)點 M 在正方形 ABCD內（包括邊界）．平面 ⊥ 平面 PDM 且 ADM , ，
ê 4 3 ú
（i）求 M 點軌跡長度；
（ii）是否存在 M 點，使得平面BPM 平面CPM ，若存在，求二面角 A PD M 的余弦值；若不存在，
請說明理由．
【解析】（1）因為四邊形 ABCD 是邊長為 2 的正方形，所以BA DA，
因為平面PAB 平面 ABCD，平面PAB 平面 ABCD BA，DA 平面 ABCD，
所以DA 平面PAB，又PA 平面PAB，所以DA PA；
因為平面PAD 平面 ABCD，平面PAD 平面 ABCD DA，BA 面 ABCD，
所以BA 平面PAD ，又PA 平面PAD ，所以BA PA .
因為BAI DA A, BA, DA 平面 ABCD，所以PA 平面 ABCD，
所以四棱錐P ABCD 是“陽馬”.
（2）（i）如圖，以DA為直徑在平面 ABCD上作一個半圓，
在該半圓周上任取點M ，連接 AM 、DM 、PM ，則 AM DM ，
又由（1）知PA 平面 ABCD，而DM 平面 ABCD，
所以PA DM ，又PAI AM A, PA, AM 平面PAM ，
所以DM 平面PAM ，又DM 平面 PDM ，
所以平面 ⊥ 平面 PDM ，故點M 的運動軌跡在該半圓周上，
ADM é π , π ù AOM é π 2π ù因為
ê
，所以
4 3 ú ê
,
2 3 ú
，

2π DA π DA 2π π π
所以根據(jù)扇形的弧長公式得點M 的運動軌跡長度為 .
3 2 2 2 3 2 6
（ii）存在 M 點，使得平面BPM 平面CPM ，且該點為 AC 與BD交點，
如圖，連接 AC 、BD，則由（i）可知此時 AC 與BD交點在（i）中所作的半圓圓周上，且滿足
AOM π ，
2
由正方體性質可知，BM CM ，又PA 平面 ABCD，而BM 平面 ABCD，
所以PA BM ，又PAICM A, PA,CM 平面CPM ，
所以BM 平面CPM ，又BM 平面BPM ，
所以平面BPM 平面CPM ，
所以存在 M 點為 AC 與BD交點，使得平面BPM 平面CPM ，
過點 A 作 AG PD交PD于點G ，過A 作 AH PM 交PM 于點H ，連接GH ，
又由 AH 平面CPM 可得 AH BM ，
所以由PM BM M 且PM 、BM 平面PBD 得AH 平面PBD ，
所以 AHG 90o 且由PD 平面PBD 得 AH PD，
因為 AH I AG A， AH 、 AG 平面 AGH ，所以PD 平面 AGH ，
所以 AGH 是二面角 A PD M 的平面角，
因為正方體 ABCD邊長為 2， PA 4 ，
1 1
所以 AM AC 22 + 22 2, PD PA2 + DA2 42 + 22 2 5 ，
2 2
PM PA2 + MA2 42 + 2 2 3 2 ，
1
S PA AM
1
AH PAM 2 4 2 4 S
PA AD
AG PAD 2 4 2 4 5所以 1 ， ，PM 1 PM 3 2 3 1 PD 1 PD 2 5 5
2 2 2 2
4
所以 sin AGH
AH 5
3
AG 4 5 3 ，
5
2
5 2
所以 cos AGH 1 3 ÷÷
，
è 3
2
所以二面角 A PD M 的余弦值為 .
3
10．如圖（1）梯形 ABCD中， AD∥BC ， AB 2 3 ，BC 2，CD 2 2 ，BE AD且BE 2，將梯形沿
BE 折疊得到圖②，使平面 ABE 平面BCDE ，CE與BD和交于 O，點 P 在 AB 上，且 AP 2PB，R 是
CD的中點，過 O、P、R 三點的平面交 AC 于 Q．在圖（2）中：
(1)證明：Q 是 AC 的中點；
3 AM
(2)M 是 AB 上一點，已知二面角M EC B的正切值為 ，求 的值．
4 AB
【解析】（1）如圖（1）：因為 AD∥BC ， AB 2 3 ，BC 2，CD 2 2 ，BE AD且BE 2，
所以 AB AE2 + BE2 AE 2 2 ，F(xiàn)D 2，EF 2 .
圖（2）中：
BP 1 BO BC 1
在△ABD 中， ， ，所以OP / / AD，
PA 2 OD ED 2
又OP 平面PORQ， AD 平面PORQ，所以 AD / / 平面PORQ，
AD 平面 ACD，平面PORQ I平面 ACD QR ，所以 AD / /QR，
在 ACD中， R 為CD中點，所以Q為 AC 中點.
（2）如圖：
因為平面 ABE 平面BCDE ，平面 ABE 平面BCDE BE ， AE 平面 ABE ， AE BE ，
所以 AE 平面BCDE .
作MN BE 于E ，則MN 平面BCDE ，作MH EC 于H ，連HN ，
則 MHN 為二面角M CE B 的平面角.
AM
設 l
AB AM l AB 2 3l
，
因為MN / / AE
NE
l NE lEB 2l .
EB
因為△EHN 為等腰直角三角形，所以 NH 2l .
MN BM
又 1 l MN 1 l AE 2 2 × 1 l .
AE BA
2 2 × 1 l
在直角△MNH tan
MN 8
中， MHN 3 l .
NH 4 2l 11
AM 8
即 .
AB 11
11．空間的彎曲性是幾何研究的重要內容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于 2π與
多面體在該點的面角之和的差，其中多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制.例如：正四面體
π π
每個頂點均有 3 個面角，每個面角均為 3 ，故其各個頂點的曲率均為 2π 3 π .如圖，在直三棱柱3
ABC A1B C
2π
1 1中，點A 的曲率為 ， N ，M 分別為 AB ，CC1的中點，且 AB AC .3
(1)證明：CN 平面 ABB1A1；
(2)若 AA1 2AB ，求二面角B1 AM C1的余弦值；
(3)表面經過連續(xù)變形可以變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w稱為簡單多面體.關于簡單多面體有著名歐拉定理：設簡單多面
體的頂點數(shù)為D，棱數(shù)為 L，面數(shù)為M ，則有：D L + M 2 .利用此定理試證明：簡單多面體的總曲率
（多面體有頂點的曲率之和）是常數(shù).
【解析】（1）證明：因為在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1 平面 ABC ， AC, AB 平面 ABC ，
所以 AA1 AC, AA1 AB，
π 2π π
所以點A 的曲率為 2π 2 BAC ，得 BAC ，
2 3 3
因為 AB AC ，所以VABC 為等邊三角形，
因為 N 為 AB 的中點，所以CN AB，
因為 AA1 平面 ABC ，CN 平面 ABC ，
所以 AA1 CN ，
因為 AA1 I AB A， AA1, AB 平面 ABB1A1，所以CN 平面 ABB1A1；
（2）取 A1C1的中點F ，連接B1F ,MF ，
因為△A1B1C1為等邊三角形，所以B1F A1C1，
因為三棱柱 ABC A1B1C1為直三棱柱，所以平面 AA1C1C 平面 A1B1C1，
因為平面 AA1C1C I平面 A1B1C1 A1C1，B1F 平面 A1B1C1，
所以B1F 平面 AA1C1C ，
因為 AM , MF 平面 AA1C1C ，所以B1F AM , B1F MF ，
設 AB 2 ，則 AA1 2, AM B1M 3, AB1 6 ，
所以 AM 2 + B M 21 AB
2
1 ，所以 AM B1M ，
因為B1F I B1M B1，B1F , B1M 平面 B1FM ，
所以 AM 平面 B1FM ，
因為MF 平面 B1FM ，所以 AM MF ，
所以 FMB1為二面角B1 AM C1的平面角，
2

因為MF 2 6 ÷÷ +1
2 , B1M 3，
è 2 2
所以在Rt FMB1中， cos FMB
FM 2
1 ，MB1 2
所以二面角B1 AM C
2
1的余弦值為 ；2
（3）證明：設多面體有M 個面，給組成多面體的多邊形編號，分別為1,2,× × ×,M 號，
設第 i號（1 i M ）多邊形有 Li條邊，
L L1 + L2 + × × × + L則多面體共有 M 條棱，
2
L + L + × × × + L
由題意，多面體共有D 2 M + L 2 M + 1 2 M 個頂點，
2
i號多邊形的內角之和為 πLi 2π，
所以所有多邊形的內角之和為 π(L1 + L2 + × × × + LM ) 2πM ，
所以多面體的總曲率為 2πD [π(L1 + L2 + × × × + LM ) 2πM ]
2π 2 M L1 + L2 + ×××+ L + M ÷ [π(L1 + L2 + ×××+ LM ) 2πM ]
è 2
4π
所以簡單多面體的總曲率為 4π .
12．如圖，在正三棱柱 ABC A1B1C1中，點 D 是 BC 的中點， AB AA1 4．
(1)求證： A1B// 平面 ADC1；
(2)求證：平面 ADC1 平面BCC1B1；
(3)求直線 A1B 到平面 ADC1的距離．
【解析】（1）連接 A1C ，交 A1C 點 O，連接OD ，則 O 是 A1C 的中點，
因為 D 是BC 的中點，所以OD / / A1B，
又OD 平面 ADC1， A1B 平面 ADC1，所以 A1B / / 平面 ADC1 .
（2）因為VABC 為等邊三角形，且 D 是BC 的中點，
所以 AD BC ，由正三棱柱的性質知，BB1 平面 ABC ，
因為 AD 平面 ABC ，所以BB1 AD，
又BC I BB1 B, BC、BB1 平面BCC1B1，
所以 AD 平面BCC1B1，因為 AD 平面 ADC1，
所以平面 ADC1 平面BCC1B1 .
（3）由（1）知 A1B / / 平面 ADC1，
以直線 A1B 到平面 ADC1的距離等價于點 B 到平面 ADC1的距離，
由（2）知 AD 平面BCC1B1，所以點 A 到平面BDC1 的距離為 AD ，
S 1 AD DC 1而 ADC × 1 2 3 4
2 + 22 2 15 ，
1 2 2
S 1 1 BDC BD ×CC1 2 4 4，1 2 2
設點 B 到平面 ADC1的距離為 d，
因為VB ADC V1 A BDC1 ，
1 1 1 1
所以 ×d × S ADC × AD × S BDC ，即 × d × 2 15 × 2 3 × 4 d
4 5
，解得
3 3 3 3
，
1 1 5
4 5
所以直線 A1B 到平面 ADC1的距離為 ．
5
13．如圖在直三棱柱 ABC A1B1C1中， ABC 90°， BC 2，CC1 4，E 是 BB1上的一點，且 EB1 1，D、
F、G 分別是CC1、 B1C1 、 A1C1的中點，EF 與B1D相交于H ．
(1)求證：B1D 平面 ABD；
(2)求平面EGF 與平面 ABD的距離．
【解析】（1）證明：由直三棱柱的性質得平面 ABC 平面BB1C1C ，
又 AB BC，平面 ABC I平面BB1C1C BC ， AB 平面 ABC ，
\ AB 平面BB1C1C ，
又B1D 平面BB1C1C ，
\ AB B1D ，
QBC CD DC1 B1C1 2 ，
\在Rt△DCB 和Rt DC1B1中， BDC B1DC1 45° ，
\ BDB1 90°，即B1D BD，
又 AB I BD B， AB, BD 平面 ABD
\B1D 平面 ABD．
（2）由題意知 EB1 B1F 1，
\在Rt EB1F 中， FEB1 45°，
又 DBB1 45°，\EF //BD，
Q BD 平面 ABD，EF 平面 ABD，
\EF //平面 ABD，
QG 、F 分別為 A1C1、 B1C1 的中點，
\GF //A1B1 ，又 A1B1 //AB ，
\GF //AB，
Q AB 平面 ABD，GF 平面 ABD，
\GF // 平面 ABD，
QEF 平面EFG ，GF 平面EFG ， EFIGF F ，
\平面EFG// 平面 ABD．
QB1D 平面 ABD，平面EGF //平面 ABD，
\B1D 平面EGF ，
\HD為平行平面EFG 與 ABD之間的距離，
\ HD B1D B
2 3 2
1H 2 2 ，2 2
3 2
即平面EFG 與 ABD之間的距離為 ．
2
14 14 3．如圖，已知三棱臺 ABC A1B1C1，底面VABC 是以 B 為直角頂點的等腰直角三角形，體積為 ，平3
面 ABB1A1 平面 ABC ，且 AA1 A1B1 BB
1
1 AB .2
(1)證明：BC 平面 ABB1A1；
(2)求點 B 到面 ACC1A1 的距離；
π
(3)在線段CC1上是否存在點F ，使得二面角 F AB C 的大小為 ，若存在，求出CF 的長，若不存在，請6
說明理由.
【解析】（1）在三棱臺 ABC A1B1C1中，平面 ABB1A1 平面 ABC ， AB BC，
而平面 ABB1A1 I平面 ABC AB，BC 平面 ABC ，
所以BC 平面 ABB1A1 .
（2）由棱臺性質知：延長 AA1, BB1,CC1交于一點 P ，
由 A
1
1B1 AB ，得 S2 △ABC
4S△A1B1C ，點 P1 到平面 ABC 的距離為到平面 A1B1C1距離的 2 倍，則
VP ABC 8VP A1B1C1 ，
V 8 V 8 14 3 16 3于是 ABB AP ABC ABC A B C ，由BC 平面 1 1，得BC 為點C 到平面PAB的距離，7 1 1 1 7 3 3
又 A1B1 / / AB，則 A1是PA的中點，PA1 AA1 A1B1 PB1，即△PA1B1為正三角形， PAB 為正三角形，
設 AB 2x，則BC PA PB AB 2x ，
V 1 1 3 2P ABC S PAB × BC (2x) 2x
2 3 16 3
x3 ，解得 x 2，
3 3 4 3 3
AB BC PA PB 4，由PB 平面PAB，得BC PB ， AC PC 4 2 ，

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