資源簡介

重難點突破 02 向量中的隱圓問題
目錄
01 方法技巧與總結(jié)...............................................................................................................................2
02 題型歸納與總結(jié)...............................................................................................................................3
題型一：數(shù)量積隱圓............................................................................................................................3
題型二：平方和隱圓............................................................................................................................6
題型三：定冪方和隱圓........................................................................................................................8
題型四：與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓......................................................................................................11
題型五：線段比定值隱圓（阿氏圓）..............................................................................................15
03 過關(guān)測試 .........................................................................................................................................19
技巧一．向量極化恒等式推出的隱圓
乘積型： PA PB
1
定理：平面內(nèi)，若 A, B 為定點，且 PA PB ,則 P 的軌跡是以 M 為圓心 AB2 為半徑的圓
4
證明：由 PA PB ，根據(jù)極化恒等式可知， PM 2 1 1 AB2 ，所以 PM AB2 ， P 的軌跡
4 4
是以 M 1為圓心 AB2 為半徑的圓．
4
技巧二．極化恒等式和型： PA2 PB2
1 AB2
定理：若 A，B 為定點， P 滿足 PA2 PB2 ,則 P 的軌跡是以 AB 中點 M 為圓心， 2 為半
2
1
徑的圓。 ( AB2 0)
2
1 2
PA2 PB2 2[PM 2 (1
AB
證明： AB)2 ] ，所以 PM 2 ，即 P 的軌跡是以 AB 中點 M 為圓
2 2
1 AB2
心， 2 為半徑的圓．
2
技巧三．定冪方和型
mPA2 PB2 n

若 A B ， 為定點， PA2 mPB2 n ，則 P 的軌跡為圓．
mPA2 nPB
2
證明：mPA2 PB2 n m[ x c 2 y2 ] [ x c 2 y2 ] n
(m 1)(x2 y2) 2c(m 1)x (m 1)c2 n 0
x2 y2 2(m 1)c x c
2 (m 1) n
0．
m 1 m 1
技巧四．與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓
坐標(biāo)法妙解
技巧五．阿氏圓
一般地，平面內(nèi)到兩個定點距離之比為常數(shù) ( 0 , 1) 的點的軌跡是圓，此圓被叫做阿氏圓．當(dāng)
1時，點 P 的軌跡是線段 AB 的中垂線．
題型一：數(shù)量積隱圓
r r r r r r r r r r r r r
【典例 1-1】已知平面向量 a,b ,c 滿足 a b a b 2, a c b 2c 1，則 b c 的最小值為（ ）
A 7 5 B 7 3 C 5 - 3 D 3 1． ． ． ．
2 2 2 2
【答案】A
r r r r r r r r【解析】根據(jù)題意，易知 a與 b 的夾角為60°，設(shè) a= 1，3 ， b 2，0 ， c x, y ，由 a c b 2cr 1，
x2 y2 2x 3y 1 0 2 2 1可得 ，所以原問題等價于，圓 x y 2x 3y 0上一動點與點 2，0 之間距
2 2
r r r r r
離的最小值， 利用圓心和點 2，0 的距離與半徑的差，即可求出結(jié)果.因為 a b a b 2，所以 ar與b 的
r r r
夾角為60°，設(shè) a= 1，3 ，b 2，0 ， c x, y ，
ar r
r
因為 c b 2cr 1 2 2，所以 x y 2x 1 3y 0，2
r
又 b
r
c x 2 2 y2 ，
2 2 1
所以原問題等價于，圓 x y 2x 3y 0上一動點與點 2，0 之間距離的最小值，
2
2 2 1 3
又圓 x y 2x 3y 0的圓心坐標(biāo)為 1， ÷
5
÷ ，半徑為 ，所以點 2，0 與圓2 è 2 2
2
x2 1 y2 2x 3y 0 2 1 2 3
5 7 5
上一動點距離的最小值為
2 ÷÷
.
è 2 2 2
故選：A.
r r r r r r r r
【典例 1-2】（2024·遼寧鞍山·一模）已知平面向量 a，b ， c滿足 a b c 1 a
1
，若 b ，則
2
r r2a c r rb c 的最小值為 ( )
A． 2 B． 3 C． 1 D．0
【答案】B
r r r r r r r r 1
【解析】因為平面向量 a，b ， c滿足 a b c 1， a b ，2
r r
1
cos ar,b a
r
b 1 r r o

ar
r 2 ，\ a,b 60 ，
b 1 1 2
uuur r uuur r 1 3 r
設(shè)OA a 1,0 ，OB b ,2 2 ÷÷， c (cosq ,sinq )，è
r
\ 2ar r c r 1 3 b c 2 cosq ,sinq cosq , sinq ÷÷
è 2 2

2 cosq 1 cosq 3

÷ sinq ÷÷sinq
3
sinq 3 cosq 3 sin q 150o2 2 2 2 ，è è
r
所以 2ar cr r b c 的最小值為 3 ．
故選 B．
r r r r r r r 2π r 1 r r r r
【變式 1-1】設(shè)平面向量 a,b,c滿足 a 1, b 2, a與b 的夾角為 ,且3
a c ÷ b c 0 ，則 c 的最小值為
è 2
（ ）
A． 3 1 B． 3 C． 3 1 D． 2 3
【答案】A
【解析】依題意建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，
r uuur r r r r不妨令 a OA 1,0 ，因為 a 1, b 2, a 2π與b 的夾角為 ,3
r uuur
所以 xB 2cos
2π
1, yB 2sin
2π
3，所以b OB 1, 33 3 ，
r uuur r 1 r 1 1 r r
設(shè) c OC x, y ，則 a c 1 x, y

÷，b c 1 x, 3 y ，2 è 2 2
ra 1
r r r
由 c

÷ b c 0 1 1 ，所以 1 x ÷ 1 x y 3 y 0 ，
è 2 è 2 2
1 2
2

即 2 x x2 y2 3y 0 ，即 x ÷ y
3
3，
è 2
÷
֏ 2
2
D 1 , 3
2
即C 點表示以 1 3 2 2 ÷÷為圓心， 3為半徑的圓，又 OD ÷ ÷÷ 1è è 2 è 2
r uuur
所以 c OC 3 OD 3 1；
故選：A
1
【變式 1-2】（2024· 遼寧沈陽·二模）已知平面向量 a ， b ， c ，滿足"x R, a x b a b ，4

a 2, a b 4 ， a c
÷ b 2 c

÷ 6，則 a c 的最小值為（ ）
è è
A 2 6 6 2．1 B． C．3 D．
3 2
【答案】A
1
【解析】因為"x R, a x b a b ， a 2, a b 4，
4
r r r r r
4+x2b 2 1 8x 4 b 2 2,b 0,\ x2 1 所以 ÷b
2 8x+2 0，
16 è 16
2 2
所以 b x2 8x+2 1 b 0對任意 x 都恒成立，
16
1
所以D 64+ | b |4
1 1
8 | b |2 0,\( | b |2 8)2 0,\ | b |2 =8，\|b |=4 .
4 2 2

不妨設(shè) a =(2,0)，b (m, n),\2m 4,\m 2,又 |b |=4，\4+n2 16,\n ±2 3 .

當(dāng) b （2,2 3)，設(shè) c (x, y)，

所以 a c ÷ =(2 x, y),

b 2 c ÷ (2 2x, 2 3 2y)，
è è
所以 (2 x)(2 2x) ( y)(2 3 2y) 6，
3 3
所以（x )2 (y )2 4，
2 2
3 3
所以 c 對應(yīng)的點的軌跡是以 ( , ) 為圓心，以 2 為半徑的圓，2 2

所以 a c (x 2)2 (y 0)2 可以看成是 (x, y)到 (2,0)的距離，

所以 a c 3的最小值為 2 （ 2)2 ( 3 0)2 2 1 1 .
2 2

當(dāng) b （2, 2 3) 時，同理可得 a c 的最小值為 1.
故選：A
題型二：平方和隱圓
r r r r r r ur r r ur r ur r r r
【典例 2-1】已知 a,b ,c,d 是單位向量，滿足 a ^ b ,m a 2b ,| m c |2 | m d |2 20，則 | c d |的最大值為
________．
2 5
【答案】
5
r r
【解析】依題意， a,b 可為與 x 軸、y 軸同向的單位向量，設(shè)
r r ra 1,0 ,b 0,1 ,cr cos x,sin x ,d cos y,sin y
ur ur r ur r
\m 1,2 ,\| m c |2 | m d |2 20 cos x 1 2 sin x 2 2 cos y 1 2 sin y 2 2
化簡得： 4 cos x 2sin x cos y 2sin y
運用輔助角公式得： 4 5 sin x j 5 sin y j , tanj 1 ,j 0, π
2 2 ֏
4 sin x j sin y j 2sin x y j cos x y
5
÷ ，
è 2 2
cos x y 2
即得： 2 5 sin x y j
，
÷
è 2
cos2 x y 4 4
故 2 5sin2 x y j
5 ；
÷
è 2
r ur
c d x ycos x cos y 2 sin x sin y 2 2 2cos x y 4 4cos2
2
4 2 5
4 4 .
5 5
2 5
故答案為：
5
uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv
【典例 2-2】已知平面向量PA、PB滿足 PA |
2 PB |2 4 2 uuuv uuv uuv ， | AB | 2，設(shè)PC 2PA PB，則 PC
________.
é3 6 2 , 3 6 2
ù
【答案】 ê
2 2
ú

uuur 2 uuur uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur uuur uuur 2 uuur 2 uuur uuur
【解析】因為 AB AP PB PA PB 2PA PB 2且 PA PB 4，所以 PA PB 1；
uuur uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur uuur uuur uuur
又因為 PA PB PA PB 2PA PB 6，所以 PA PB 6 ；
uuur 2 uuur uuur 2 uuur uuur 2 uuur uuur
由 AB PB PA PA PB 2，所以 PA PB 2 ；
uuur uuur uuur 3 uuur uuur根據(jù) PC 2PA PB PA PB 1 uuur uuurPA PB 可知：2 2
3 uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurPA PB PA PB PC 3 PA PB 1 PA PB ，
2 2 2 2
左端取等號時：P, A, B 三點共線且 P 在線段 AB 外且 P 靠近 B 點；右端取等號時，P, A, B 三點共線且 P 在
線段 AB 外且 P 靠近A 點，
3 6 2 uuur 3 6 2 uuur éPC 3 6 2 , 3 6 2
ù
所以 PC ，所以 ê ú .
2 2 2 2
é3 6 2 ù
故答案為： ê ,
3 6 2
ú .
2 2
2
【變式 2-1】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點 A 2,0 ， B 0,2 ，圓C : x a y2 1，若圓C 上存在點 M ，
2
使得 MA MB 2 12，則實數(shù) a的取值范圍為（ ）
A． é1,1 2 2ù B． é 1 2 2,1 2 2ù
C． é 1,1 2 2ù é ù D． 1 2,1 2
【答案】B
【解析】先求出動點 M 的軌跡是圓 D,再根據(jù)圓 D 和圓 C 相交或相切，得到 a 的取值范圍.設(shè)M (x, y)，則
(x 2)2 y2 x2 (y 2)2 12，
所以 (x 1)2 (y 1)2 4，
所以點 M 的軌跡是一個圓 D,
由題得圓 C 和圓 D 相交或相切，
所以1 (1 a)2 12 3，
所以1 2 2 a 1 2 2 .
故選：B
【變式 2-2】在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知直線 l : x y a 0與點 A(0，2) ，若直線 l上存在點M 滿足
MA 2 MO 2 10（O為坐標(biāo)原點），則實數(shù) a的取值范圍是（　　）
A． 5 1, 5 1 B．[ 5 1, 5 1]
C． 2 2 1,2 2 1 D．[ 2 2 1,2 2 1]
【答案】D
【解析】設(shè)M x, x a ，
∵直線 l : x y a 0與點 A 0，2 ，直線 l 2 2上存在點M 滿足 MA MO 10，
∴ x2 x a 2 x2 x a 2 2 10，
整理,得 4x2 2 2a 2 x a2 a 2 2 10 0 ①，
∵直線 l 上存在點 M,滿足 MA 2 MO 2 10，
∴方程①有解，
∴ D 0，
解得： 2 2 1 a 2 2 1 ，
故選 D.
題型三：定冪方和隱圓
【典例 3-1】已知點 A 1,0 ，B 2,0 ，直線 l： kx y 5k 0上存在點 P ，使得PA2 2PB2 9 成立，則實
數(shù) k 的取值范圍是______.
é 15 15 ù
【答案】 ê , ú
15 15
【解析】由題意得：直線 l : y k(x 5)，
因此直線 l經(jīng)過定點 (5,0) ；
設(shè)點 P 坐標(biāo)為 (x0 ， y0 )；QPA2 2PB2 9 ，
\ y 20 (x0 1)2 2y 20 2(x0 2)2 9
化簡得： x 2 20 y0 2x0 0，
因此點 p 為 x2 y2 2x 0與直線 l : y k(x 5)的交點．
所以應(yīng)當(dāng)滿足圓心 (1,0)到直線的距離小于等于半徑
| 4k |
\ 1
k 2 1
k [ 15 , 15解得： ]
15 15
k [ 15 , 15故答案為 ]
15 15
r r r r r r r r
【典例 3-2】（2024·浙江·高三期末）已如平面向量 a、b 、 c，滿足 a 3 3 ， b 2， c 2，b c 2，則
r r 2 r r 2 r r r r 2a b a c é a b a c ù 的最大值為（ ）
A．192 3 B．192 C． 48 D． 4 3
【答案】B
uuur r uuur r uuur r
【解析】如下圖所示，作OA a，OB b，OC c，取BC的中點D，連接OD，
r
以點O為圓心， a 為半徑作圓O，
r r r r
cos BOC cos b c 1 < b,c r r
b c 2 ，Q0
p
BOC p ，\ BOC ，
3
所以，VBOC 為等邊三角形，
uuur
QD為BC的中點，OD ^ BC ，所以，VBOC 的底邊BC上的高為 OD
p
2sin 3 ，
3
r r uur uuur uur r r uuur uuur uuur
a b OA OB BA， a c OA OC CA，
r r r r uuur uuur uuur uuur uuur uuur所以， a b a c BA CA AB AC AB AC cos BAC ，
r r 2 r r 2 r r r r 2 uuur uuur uuur uuur 2所以， a b a c é a b a c ù 2 2 AB AC AB AC cos BAC
uuur uuurAB AC sin BAC 2 2S 2△ABC ，
由圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)A 、O、D三點共線且O為線段 AD 上的點時，
uuur uuur
VABC 的面積取得最大值，此時，VABC 的底邊BC上的高 h取最大值，即 hmax AO OD 4 3 ，則
S 1△ABC 2 4 3 4 3max ，2
r r 2 r r 2 r r r r 2 2因此， a b a c é a b a c ù 的最大值為 4 4 3 192 .
故選：B.
ur uur r
【變式 3-1】（2024·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)校考期中）已知平面單位向量 e1 ， e2 的夾角為 60°，向量 c
uur r ur
滿足 c
r2 r 2e1 e2 cr 3 0，若對任意的 t R ，記 | c te1 |的最小值為 M，則 M 的最大值為2
A 1 3 B 1 3 C 1 3 3． ． ． D．1 3
2 4 2 4
【答案】A
ur uur 2 ur uur 2 ur uurr uur2 r r 3 2e1 e2 r 2e e 1
【解析】由 c 2e1 e2 c 0推出 cr 2e1 e2 3 1 ÷ ，所以 c 1 2 ，如圖，2 è 2 2 4 4 2 2
cr 1
uuur uuur uuur uuur uur r r
終點的軌跡是以 2 為半徑的圓，設(shè)OA e
r
1，OB e
r
2 ，OC
r
c ，OD te1 ，所以 | c te1 |表示CD 的距離，
r r
顯然當(dāng)CD ^ OA 1 1 2 3時 | c te1 |最小，M 的最大值為圓心到OA的距離加半徑，即 M max sin 60° ，2 2 4
故選：A
v r v r r r r r r r r r
【變式 3-2】已知 a，b 是兩個單位向量，與 a，b 共面的向量 c 滿足 c 2 (a b) c a b 0，則 c 的最大
值為（ ）
A． 2 2 B．2 C． 2 D．1
【答案】C
r r r r uuur uuur r uuur
【解析】由平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算得 (c a) ^ (c b)，設(shè)DA ar, DC b , DC cr ，
r r uuur r r uuur
則 c a AC, c b BC ，則點 C 在以 AB 為直徑的圓 O 周上運動，由圖知：當(dāng) DC⊥AB 時，|DC|≥|DC′|，
r r
ADC q r r r
r r
設(shè) ，利用三角函數(shù)求 c 的最值．由 c 2 (a b) c ar b 0 (cr ar) (cr得： b) 0，即
r r r(c a) (cr^ b)，
uuur r uuur r uuur
設(shè)DA a, DC b , DC cr ，
r r uuur r r uuur
則 c a AC, c b BC ，
則點 C 在以 AB 為直徑的圓 O 上運動，
由圖知：當(dāng) DC⊥AB 時，|DC|≥|DC′|，
設(shè) ADC q ，
則 DC | DO | | AO | sinq cosq 2 sin
q p 4 ÷
，
è
p
所以當(dāng)q 時，|DC|取最大值 2 ，4
故選：C．
題型四：與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓
r r r r r r r r r r r r
【典例 4-1】已知平面向量 a，b ，且 a b 1
1
， a b ，向量 c滿足 c 2a 2b a b ，則2
r r
c b ( R) 的最小值為（ ）
A． 3 1 B． 2 1 C． 3 D． 2
【答案】A
r r r r 1
【解析】因為 a = b =1， a b 2 ，
r r 1r r
所以 cos a,b ar br 2 1 ，
a b 1 2
r r r r p
因為 a,b [0,p ]，所以 a,b ，
3
uur r uuur r uuur r r uuur r r
如圖，令OA a,OB b ，則OD a b ，OC 2(a b)，
uuur uuur
所以 OD 3 ，OC 2 3，
r r r 2 r r r2 r r r r r
因為 a b a 2a b b 1 2 1 1 1， c 2a 2b a b ，
2
r r r r r r
所以 c 2a 2b 1，即 c 2(a b) 1，
uuur r
設(shè)OP c，則點 P 的軌跡是以C 為圓心，1 為半徑的圓，
uuur r r r uuur uuur uuur
令OQ b， 則 c b OP OQ QP ，
r r
所以當(dāng)CQ ^ OQ ，且 C，P，Q 三點共線時， c b ( R) 取最小值，
r r
則 c b OC sin 30° 1 3 1，
min
故選：A
uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur
【典例 4-2】已知向量OA,OB滿足 OA 1, OB 2 ，且向量OB 在OA方向上的投影向量為OA．若動點 C 滿
uuur 1 uuur uuur
足 OC ，則CAgCB 的最小值為（ ）2
1
A B 4 2 6 C 1 7 D 5 2 7． ． ． ．
2 3 2 4
【答案】D
【解析】如圖，
根據(jù)投影向量，OA ^ AB，則 AOB 60°，且 AB 3 ，
uuur 1 1
因為 OC ，所以點 C 在以 O 為圓心，半徑 r 的圓上運動．
2 2
uuur uuur uuuur2 1 uuur2 uuuur 2 3
設(shè) M 是 AB 的中點，由極化恒等式得：CB·CA CM AB CM ，
4 4
uuuur
CM OM r 7 1
uuuur 2
因為 ，此時 CM 3 8 2 7 3 5 2 7 ，
min 2 4 4 4 4
uuur uuur 5 2 7
即CBgCA的最小值為 ，
4
故選：D．
r r r
【變式 4-1】（2024·高三·浙江·期末）已知 a，b 是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量 c滿足
r r r r r r r
| c a | 1 ，則 | a b c | 2 | c b |最小值為 .
2
5
【答案】
2
uuur r uuur r r r r 1 uuur r
【解析】如圖， A 1,0 , B 0,1 , D 1,1 ，設(shè)OA a,OB b ，則向量 c滿足 | c a | ，設(shè)OC c，所以點C2
1
為以A 為圓心，以 2 為半徑的圓上的一點，
r r r uuur uuur r r
所以 | a b c | |OD OC | | CD |，同理2 | c b | 2 | BC |，
E 取點 1,
1 AE AC
÷，則 ，又因 CAE DAC4 ，è AC AD
所以DAEC∽DACD，
CE 1
所以 ，即CD 2CE ，
CD 2
av
v v
所以 b c
v 2 cv b CD 2BC 2CE 2BC 2 BC CE ，
3 2
由三角形的三邊關(guān)系知 2 BC CE 2BE 2 12 2
5 5
.
è 4 ÷ 4 2
5
故填： .
2
r r r ur r r r r r r ur p
【變式 4-2】已知 a 、b 、 c、 d 都是平面向量，且 | a | | 2a b | | 5a c | 1，若 a, d ，則4
r ur r ur
| b d | | c d |的最小值為____________．
【答案】 29 2
【解析】
r uuur r uuur r uuur
作圖， a OA，則 2a OB，5a OC ，
r r r
因為 2a b 1，所以b 起點在原點，終點在以 B 為圓心，1 為半徑的圓上；
r r r
同理， 5a c 1，所以 c起點在原點，終點在以 C 為圓心，1 為半徑的圓上，
r ur r ur
所以 | b d | | c d |的最小值則為 BD CD 2min ，
r ur
a, d p因為 ， BD B D ，當(dāng)B ，D，C 三點共線時， BD CD B C 52 22 29 ，所以4 min
BD CD 2 29 2min .
故答案為： 29 2 .
r r r r r r r r r
【變式 4-3】已知 a,b是單位向量， a b 0 .若向量 c滿足 | c a b | 1，則| c |的最大值是________.
【答案】 2 1/1 2
r r r r
【解析】法一　由 a b 0 ，得 a ^ b .
uuur r uuur r uuur r r
如圖所示，分別作OA a,OB b ,作 ,OC a b ，
r r uuur
由于 a,b是單位向量,則四邊形 OACB 是邊長為 1 的正方形，所以 | OC | 2 ,
uuur r r r r uuur uuur uuur
作OP c，則 | c a b | | OP OC | | CP | 1,
所以點 P 在以 C 為圓心，1 為半徑的圓上.
uuur
由圖可知，當(dāng)點 O，C，P 三點共線且點 P 在點 P1處時，|OP |取得最大值 2 1,
r
故| c |的最大值是 2 1,
故答案為： 2 1
r r r r
法二　由 a b 0 ，得 a ^ b，
uuur r uuur r
建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則OA a (1,0),OB b (0,1) ，
r uuur r r r
設(shè) c OC (x, y) ，由 | c a b | 1，
得 (x 1)2 (y 1)2 1 ，
所以點 C 在以(1,1)為圓心，1 為半徑的圓上.
r
所以 | c |max 2 1
故答案為： 2 1
題型五：線段比定值隱圓（阿氏圓）
r r r r r r r r r r 1 r r r r
【典例 5-1】已知平面向量 a ，b ， c，滿足 a b 2，且 | a b | 2 2 ， | a b c | 1，則 b c a c2
的最小值為（ ）
A 15． B 15 C 17． ． D． 17
2 2
【答案】C
【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：
uuuur r uuur r uuur r
依題意設(shè)MO a 2,0 ， NO b 0,2 ，OC c x, y ，M 2,0 ， N 0, 2 ，
r r r
則 a b c 1 x 2 2 y 2 2 1，故 C 在以D 2, 2 為圓心，半徑為 1 的圓上，
3 DC 1 DN 2
如圖，取點E , 2
2
2 ÷ ，則 DE 1 ，
2
DC 1 ，且 CDE NDC ，è 2
CN DC
因此VDCN :VDEC ，\ 2 ，故 CN 2 ECEC DE ，
1 r r r rb 1又 c a c x2 y 2 2 x 2 2 y2 1 CN CM CE CM ，
2 2 2
CE 1
2 17
由于 CM EM 2 2 ，
è 2 ÷ 2
當(dāng) E，M，C 三點共線且點 C 在線段ME 上時，等號取到，
1 r r r r
因此 b 17 c a c .
2 2
故選:C.
r r r r r r r r r r
【典例 5-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知平面向量 a，b ， c滿足 a ^ b，且 a b 2 ， c a b 1，則
r r r r
c b 2 c a 的最小值為（ ）
A 15． B． 15 C 17． D． 17
2 2
【答案】D
r r uuur r
【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè) a 2,0 ,b 0,2 ,OC c x, y ，M 2,0 , N (0, 2)
r r r
則 c a b 1 x 2 2 y 2 2 1，故點C 在以 ( 2, 2)為圓心，半徑為 1 的圓上，
E( 3
1
如圖：取點 , 2) ,則 DE 2 1 DC 12 ,
,且 CDE NDC ,
DC 1 2 DN 2
CN
因此VDCN :VDEC ,所以 2 ,故CN 2EC ,
EC
r r r r
c b 2 c a x2 y 2 2 2 x 2 2 y2 =CN 2CM 2CE 2CM 2 CE CM 由于
1 2CE CM EM 22 17 ,當(dāng)E, M ,C 三點共線且點C 在線段ME 上時，等號取到，
2 2
r r r r
因此 c b 2 c a 2 CE CM 17 ，
故選：D
r r r r r r
5-1 r r r
r r r r r
【變式 】已知平面向量 a,b,c滿足 a ^ b，且 | a | | b | 2,| c a b | 1，則 | c a | 2 | c b |的最小值為
（ ）
A 15． B． 15 C 17． D． 17
2 2
【答案】D
uuur r uuur r uuur r
【解析】建立如圖所示直角坐標(biāo)系，由題意可設(shè)OA=a= 2,0 , OB=b= 0,2 ，OC c x, y ，
cr r
uuur r r uuur
則 a= x 2,y =AC, cr ar b= x 2,y 2 cr， b x, y 2 BC ，
r r r| c a b | 1 x 2 2 y 2 2由 得 1，故 C 在以D 2,2 為圓心，半徑為 1 的圓上，
3 DE DC 1 EC 1
取E 2, ÷ ，則E 在 AD 上，則 DC DA 2 ，又 CDE ADC ，∴VEDC :VCDA，∴

AC 2 ，即è 2
AC 2 EC ，
r 2
∴ | cr ar | 2 | cr b | AC 2 BC 2 EC BC 2 EB 2 2 0 2 3 2 ÷ 17 .
è 2
故選：D
r r r r r r r r r r
【變式 5-2】（2024·高三·山東日照·期中）已知平面向量 a，b ， c 滿足 a ⊥ b ，且 a b 4， a b c 2，
ar cr
r r
則 2 b c 的最小值為（ ）
A． 4 5 B． 2 17 C． 2 5 D． 17
【答案】B
uuur uuur r
【解析】設(shè)OA a
r
4,0 ，OB b 0,4 ，
r r r
則 a b 4,4 r， a b cr 2，
即 C 在以D 4，4 為圓心，2 為半徑的圓上，
如圖，取E 4，3 ，則CD 2DE 2，AD 2CD 4，又 CDE ADC ，
所以有△DAC ～△DCE ，所以 AC 2CE ，
r r uuur uuur
又因為 b c BC ， a
r cr AC ，
r r r r uuur uuur uuur uuur
所以 a c 2 b c AC 2 BC 2 CE 2 BC 2BE 2 17 ．
故選：B.
r r r r r r r r r r 1 r r
【變式 5-3】已知平面向量 a， b ， c滿足： a b c 1， a b 0 ，則 2c a c b 的最小值為（2 ）
5
A 17． B．2 C． D．
2 52
【答案】A
p
【解析】如圖，eO 為單位圓，A 、 B 、C 在eO 上，OA ^ OB， BOA ，
2
B 在OB的延長線上，OB 2，B 為OB中點， A 為OA中點， A 在OB的延長線上，OA 2 ，
r uuur r uuur r uuur
設(shè) a OA，b OB，C 為eO 上一點， c OC ，
OA OC 1
則 ，
OC OA 2
\DOCA ∽△ OA C ，
\CA 2A C ，
同理CB
1
CB ，
2
r r r 1 r uuur uuur uuuur2c a 2(c a) 2(OC OA ) 2A C
2
1 r r 1 r r 1 r r 1 uuur uuur 1 uuuurc b (c 2b) (c 2b) (OC OB ) B C
2 2 2 2 2
\ | 2cr ar | | 1 cr
r uuuur uuuur
b | 2 | A C | 1 | B C | | B C | 1 17 | CA |… | B A | 4 ，
2 2 4 2
故選：A．
r r r r r r r2 r r r r
1．已知平面向量 a,b,c滿足 a 1,cos a,c
1
,b 4a b 3 0，則 b c 的最小值是（ ）
2
A 3 1． B 3． C． 3 D． 3 1
2 2
【答案】D
【解析】
r uuur r uuur r uuur r r r 1 r uuur
建立平面直角坐標(biāo)系 xOy ，設(shè) a OA,b OB,c OC ，由 a 1,cos a,c ，不妨設(shè) a OA 1,0 ，
2
r r
a,c p C y 3x x 0 r2 r r r2 r r又 ，不妨設(shè) 在直線 上，又
3 b 4a b 3 0
可得b 4a b 4 1，即
r2 r r r 2
b 4a b 4a 1，
r r則 b 2a 2 uuur uuur r uuur uuur 2 uuur 1，設(shè)D 2,0 ，則OD 2OA 2a，則 OB OD 1，即 2DB 1，則 B 在以D 2,0 為圓心，
1 為半徑的圓上；
r r uuur uuur uuur r r uuur
又 b c OB OC CB ，則 b c 的最小值等價于 CB 的最小值，即以D 2,0 為圓心，1 為半徑的圓上
一點
r r
到直線 y 3x x 0 2 3上一點距離的最小值，即圓心到直線的距離減去半徑，即 1 3 1，則 b c
1 3
的最小值是 3 1.
故選：D.
r r r r r r r r2．已知 a,b 是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量 c 滿足 a c b c 0 ，則 c 的最大值是(　　)
A． 2 B． 2 2
C． 3 D．2
【答案】A
r r
【解析】 a,b 是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，如圖所示，
uuur r uuur r uuur
設(shè)OA a ，OB b ，OC r c ，
uuur r r uuur r r
則CA a c ，CB b c ，
r
r r uuur uuur由 a c b r c 0 可知CA ^ CB，所以 C 點在以 AB 為直徑的圓上，即O，A，C，B四點共圓
r uuur
當(dāng)OC 為圓的直徑時， c 最大，此時 OC 2
故選：A
r r r
3．（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期中）已知向量 a，b 是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量 c 滿足
ar cr
r
b r r 2c 0，則 c 的最大值是（ ）
A． 2 B 5． C
3
． D 5．
2 2 5
【答案】B
r r
【解析】因為 a ，b 是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，
r r r
故可設(shè) a 1,0 ，b 0,1 ， c x, y ，
r r r r
則 a c 1 x, y ，b 2c 2x,1 2y ，
r r r r
因為 a c b 2c 0，所以 1 x 2x y 1 2y 0 ，
2 2
x2 1整理得到 y2 x y 0 1 1 5，即 x ÷ y ÷ ，2 è 2 è 4 16
r 2 2
故 c x2 y2 1 1 5 5的最大值為 2 ÷
+ ÷ + = ，
è è 4 4 2
故選：B.
r r r r r r r r
4．已知 a，b 是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量 c滿足 (a c) (2b c) 0，則 c 的最大值是（ ）
A． 2 B 2 C 5 D 5． ． ．
2
【答案】C
uuur r uuur r uuur r uuur r
【解析】如圖，設(shè)OA a，OB b，OE 2b，OC c，
r r uuur r r uuur
則 a c CA， 2b c CE，
r r r r uuur uuur uuur uuur
因為 (a c) (2b c) 0，故CA CE 0，故CA ^ CE ，
r
所以C 在以 AE 為直徑的圓上，故 c 的最大值為圓的直徑 AE 1 4 5 ，
故選：C.
r r5 a,b ,cr r
r r r r r r
．已知 是平面內(nèi)的三個單位向量，若 a ^ b ，則 a 2c 3a 2b c 的最小值為（ ）
A． 29 3 2 B． 29 C． 29 2 3 D．5
【答案】B
r rQa,b ,cr r
r r r
【解析】 均為單位向量且 a ^ b ，\不妨設(shè) a 1,0
r
，b 0,1 ， c x, y 且 x2 y2 1，
r r r
\a 2c 2x 1,2y 3ar r， 2b c 3 x, 2 y ，
r r r r
\ a 2c 3a r 2b c 2x 1 2 4y2 3 x 2 2 y 2
3 x2 y2 x2 4x y2 1 3 x 2 2 y 2 x 2 2 y2 3 x 2 2 y 2 ，
ar 2cr 3ar
r r
\ 2b c 的幾何意義表示的是點 x, y 到 2,0 和 3,2 兩點的距離之和，
2,0 和 3,2 2兩點確定的直線為 y x 2 ，即 2x 5y 4 0，
5
\ 2x 5y 4 0 d 4 4 29原點到 的距離 <1，
4 25 29
\ x2 y2 1與 2x 5y 4 0相交，
則點 x, y 到 2,0 和 3,2 兩點的距離之和的最小值即為 2,0 和 3,2 兩點間距離，
\ 2 2所求最小值為 2 3 0 2 29 .
故選：B.
uuur uuur
6．（2024·北京朝陽·一模）在VABC 中， AB AC 2，BC 2 3 ，點 P 在線段BC上.當(dāng)PA PB 取得最小
值時，PA （ ）
3 7 3 7A． B． C． D．
2 2 4 4
【答案】B
【解析】如圖，以BC所在直線為 x 軸，以BC的垂直平分線建立 y 軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
2
由 AB AC 2，BC 2 3 ，則OA 22 3 1，
所以 A 0,1 ，B 3,0 ，C 3,0 ，設(shè)P x,0 ，
uuur uuur
則PA x,1 ，PB 3 x,0 ，
uuur uuur 2
則PA PB x 3 x x2 3x 3 3 x ÷÷ ，
è 2 4
3 uuur uuur uuur
2
3 3 7
當(dāng) x 時，PA PB 取得最小值，此時PA ,12 ÷÷， PA ÷÷ 1 .2 è è 2 2
故選：B
7．（2024·高三·重慶·開學(xué)考試）在同一直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點O 0,0 , A 2,0 , B 0,2 ，點 P 滿足
uuur uuur uuur uuur
PA PB 0 ，則OP OB的最小值為（ ）
A． 2 2 2 B． 2 2 2
C． 2 2 2 D． 2 2 2
【答案】A
uuur uuur
【解析】設(shè)P x, y ，PA 2 x, y , PB x, 2 y ，
uuur uuur
所以PA PB x 2 x y 2 y 0，即 x 1 2 y 1 2 2 ，
所以 2 1 y 2 1，
uuur uuur uuur uuur
OP OB 2y 2 2 2 ，所以O(shè)P OB的最小值為 2 2 2 .
故選：A
r r r r r r r π r r r r r r
8．已知向量 a ，b ， c滿足 a 4， b 2， a,b ， a c 2b c 0，則 a c的最小值等于（ ）3
A．12 6 3 B．12 4 3 C．4 D． 4 2
【答案】C
r r r
【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，依題意令 a (4,0) ，b (1, 3)， c (x, y) ，
r r ra c 4 x, y , 2b cr 2 x, 2 3 y ，
ar cr
r
因為 2b r c 4 x 2 x y 2 3 y 0，
所以 x2 y2 6x 2 3y 8 0，即 (x 3)2 (y 3)2 4，
(x 3)2 4，則1 x 5，
r r
則 a c 4x 4 ，
r r
則 a c的最小值為 4.
故選：C.
r r r r r r π r r r r
9．已知 a ，b 2， e是平面向量， e是單位向量，若非零向量 a 與 e的夾角為 ，向量b 滿足4 b 6b e 8 0
，
r r
則 a b 的最小值是（ ）
3 3
A． 2 1 B．
2 2 1
C． 2 1 D．
2 2 2
【答案】A
r r
【解析】設(shè) a ，b 共起點，
r2 r r r r r r
由b 6b e 8 0，可得 b 4e b 2e 0，
r r r r
所以b 4e 與b 2e 垂直，如圖
r
由向量減法的幾何意義可知，向量b 的終點落在圖中的圓上，
r
由題意可知 a 的終點在圖中所示的射線上，
r r
所以 a b的最小值是從圓上的點到射線上的點形成的向量，
r r
要求 a b 的最小值，只需求圓心到射線的距離減去圓的半徑，
r r
故 a b 的最小值為3sin π 1 3 2 1 .
4 2
故選：A .
r r r r r r π r r r r
10．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知向量 a ，b 滿足 a b 1， a,b ，則 a b 2 a b 的最小值為（3 ）
A． 6 2 2 B． 6 2 C．8 D．2
【答案】A
uuur r uuur r uuur uuur
【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)OA a,OB b 且 OA m, OB n，
r r π
因為 a,b ，可得
3 A(m,0), B(
1 n, 3 n) ，
2 2
r uuur r uuur
a OA 1 3則 (m,0),b OB ( n, n) ，
2 2
r r r r
a b (m 1 n, 3 n), a b (m 1 3所以 n, n) ，
2 2 2 2
r r r r r r r r r
又因為向量 a,b滿足 a b 1，可得 a b a b cos a
r,b 1 mn 1，解得mn 2 ，
2
r ra 1所以 b (m n)2 ( 3 n)2 m2 n2 mn m2 n2 2 ，
2 2
ar
r
b (m 1 n)2 ( 3 n)2 m2 n2 mn m2 n2 2 ，
2 2
r r r
則 a b 2 a
r
b m2 n2 2 2 m2 n2 2 ，
設(shè) t m2 n2，因為 t m2 n2 2mn 4，當(dāng)且僅當(dāng)m n 2 ，
ar
r r
所以 b 2 a
r
b t 2 2 t 2 ，
又因為 f t t 2 2 t 2 在[4, )上為單調(diào)遞增函數(shù)，
r r
所以 f t f 4 6 2 2 r，即 a b 2 ar bmin 的最小值為 6 2 2 .
故選：A.
r r r r r r r r r r
11．已知 a,b,c是平面內(nèi)的三個單位向量，若 a ^ b，則 a 2c 3a 2b 2c 的最小值是 ．
【答案】 2 5
r r r r r
【解析】Qar,b ,cr r均為單位向量且 a ^ b ，\不妨設(shè) a 1,0 ，b 0,1 ， c x, y 且 x2 y2 1，
r r
\a 2cr 2x 1,2y ，3ar 2b 2cr 3 2x, 2 2y ，
r 2 2
ar 2cr 3ar 2b 2cr
1 3
\ 2x 1 2 4y2 3 2x 2 2 2 x 2 2 2y ÷ y2 x ÷ y 1 ÷， è 2 è 2 ÷è
ar 2cr 3ar
r
\ 2b r 1 3 2c 的幾何意義表示的是點 x, y 到 ,0÷和 ,1÷ 兩點的距離之和的 2 倍，
è 2 è 2
1
點 ,0
3
÷在單位圓內(nèi)，點 ,1÷ 在單位圓外，
è 2 è 2
x, y 1 ,0 3 ,1 1 3 則點 到 ÷和 ÷ 兩點的距離之和的最小值即為 ,0÷和 ,1÷ 兩點間距離，
è 2 è 2 è 2 è 2
2
\ 2 1 3 所求最小值為 0 1
2 2 5 .
è 2 2 ÷
故答案為： 2 5 .
r r r r r r r 1 r r
12．已知 a,b,c是平面中的三個單位向量，且 a b 0 ，則 2c a c b 的最小值是 .2
17
【答案】
2
r r r
【解析】根據(jù)題意可設(shè) a (1,0)，b (0,1) ，設(shè) c (x, y)， 則
r r 1 r r 1 1 r
2c a (2x 1,2y) ， c b x, y 1÷，又 c為單位向量，所以 x2 y2 1，2 è 2 2
r r 1 r r 2
所以 2c a c b (2x 1)2 4y2 1 x2 1
2 4
y 1
è 2 ÷
4x2 4x 1 1 1 4y2 x2 y2 y 1
4 4
1 4x 4 1 y 1
4
1
x2 y2 4x 4 x2 y2 y
4
(x 2)2 y2 x2 y 1
2
2 ֏
1
表示單位圓上的點 (x, y)到點 (2,0)， 0， ÷ 的距離之和，
è 2
1 x y
(2,0) 0 1 =1又過點 ， ， ÷ 兩點的直線方程為 2 ，即 x 4y 2 0，
è 2 2
| 2 | 2
所以圓心 (0,0)到直線的距離 d <1，所以直線與圓 x2 y2 1相交，
1 16 17
r r 1 r r 1
所以 2c a c b 的最小值距離為點 (2,0)

， 0

，
2 2 ÷
之間的距離.
è
r r 1 r r 22c a c b 1 17即 的最小值為
2 (2 0)
2 0 ÷ .
è 2 2
17
故答案為：
2
v v p v v v v v
13 v．在平面內(nèi)，已知非零向量 a與單位向量 e的夾角為 ，若向量b 滿足b 2 6e b 8 0 ，則 | a b |的最3
小值為 .
3
【答案】 3 1
2
r r r
【解析】設(shè) a (a, 3a) ， e (1,0)，b (x, y) ，
r2 r r
由 2 2b 6e b 8 0 得： x y 6x 8 0，
即 (x 3)2 y2 1，
r
所以向量b 的末端落在以 3,0 為圓心,以1為半徑的圓上,即圖中的虛線圓上.
r r p
因為非零向量 a與單位向量 e的夾角為 ,3
r
所以向量 a的末端落在如圖所示的射線上.
由向量減法的三角形法則可知,
r r
向量 a b是從圓上的點到射線上的點形成的向量.
由圖形的對稱性可知，只需考慮上半部分即可.
由幾何分析可知,如圖:
r r
圓心到射線的距離減去圓的半徑即為 | a b |最小值.
r r
所以 a b 3 3 3 3 1 1 .
min 2 2
: 3故答案為 3 1
2
r r r r r r r
14．（2024·高三·浙江· r開學(xué)考試）平面中存在三個向量 a，b ， c ，若 | a | 4， | b | 4，且 a b 0，且 c滿
cr r
r
足 2 2a cr 15 0，則 | cr | 4 | ar b r c |的最小值 ．
【答案】 257
r r r r 3 r r 5 r r 3 r
【解析】由 argb 0 ，得 a與b 之間的夾角為 90°. r r由 c 2 2agcr 15 0 ，得 c a ÷g c a ÷ 0 ，即 c a
è 4 è 4 4
r 5 r
與 c a 夾角為 90°.數(shù)形結(jié)合得C 點在以點 A 4,0 為圓心，1 為半徑的圓上運動．再根據(jù)阿波羅尼斯圓的
4
r r r r r
性質(zhì)求出 | cr | 4 | ar b cr |的最小值.Q| ar | 4,| b | 4 r，且 agb 0 ，則 a與b 之間的夾角為 90°.
r2 r r r r 15 r r 3 r r 5 r 將 c 2agcr 15 2 2 0 可以改寫成 c 2agc | a | 0,\ c a ÷g c a ÷ 0，16 è 4 è 4
cr 3因此 a
r
與 c
r 5
ar 夾角為 90°.
4 4
因此綜上條件我們可以做出如下圖象
uuur uuur r uuur
OA ar,OB b,OC cr
uuur r 3 r uuurCD c a,CE cr 5 ar
4 4
C 點在以A 點為圓心，1 為半徑的圓上動．
| CO | 15
根據(jù)阿波羅尼斯圓的性質(zhì)可知該圓可以看成由 4 G
| CG |
,0÷÷所構(gòu)成的圓
è è 4
uuur uuur
O x, y
15
（以 為原點，分別以O(shè)A,OB所在直線為 軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則G ,0÷ , H 4,4 ）.
è 4
r r uuur r r r uuura b OH ，a b c CH ，
r r r
\| cr | 4 | ar r b c | 1 4 | c | | a
r b cr | ÷
è 4
4 1 |OC | | HC |

÷ 4(| CG | | CH |) 4 | HG | 257 .
è 4
故答案為： 257 .
2 2 uuuur uuur uuur uuuur uuur15．已知圓Q : x y 16，點P 1,2 ，M、N 為圓 O 上兩個不同的點，且PM PN 0若 PQ PM PN ，則
uuur
PQ 的最小值為 .
【答案】3 3 5 / 5 3 3
uuuur uuur
【解析】解法 1：如圖，因為PM PN 0，所以 PM ^ PN ，故四邊形PMQN 為矩形，
設(shè)MN 的中點為 S，連接OS ，則OS ^ MN ，
OS 2所以 OM
2 MS 2 16 MS 2 ，
又VPMN 2為直角三角形，所以 MS PS ，故 OS 16 PS 2 ①，
設(shè) S x, y 2 2，則由①可得 x y 16 é x 1
2 y 2 2 ù ，
1 2
整理得： x ÷ y 1
2 27 ，
è 2 4
T 1S ,1 3 3從而點 的軌跡為以 2 ÷ 為圓心， 為半徑的圓，è 2
P PS 3 3 PT 3 3 5顯然點 在該圓內(nèi)部，所以 min ，2 2 2
uuur uuur
因為 PQ 2 PS ，所以 PQ 3 3 5min ；
uuuur uuur
解法 2：如圖，因為PM PN 0 ,所以 PM ^ PN ，
故四邊形PMQN 2 2 2 2為矩形，由矩形性質(zhì)， OM ON OP OQ ，
所以16 16 5 OQ
2
，從而 OQ 3 3，
故 Q 點的軌跡是以 O 為圓心，3 3為半徑的圓，
uuur
顯然點 P 在該圓內(nèi)，所以 PQ 3 3 OP 3 3 5min .
故答案為： 3 3 5 .
uuur uuur uuur uuur
16．已知VABC 是邊長為 2 的正三角形，點D在平面 ABC 內(nèi)且DA DB 0，則DA DC 的最大值
為 ，最小值為 .
【答案】 3 1
uuur uuur
【解析】因為DA DB 0，所以點D在以 AB 為直徑的圓上，
記 AB, AC 的中點分別為O, E，
uuur uuur uuur uuur則DA DC DE EA uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2 DE EC DE EA DE EA DE EA ，
uuur uuur uuur2
因為VABC 是邊長為 2 的正三角形，EA 1，所以DA DC DE 1，
易知，當(dāng)D,O, E 三點共線時DE 取得最大值，此時OE OD 1，
uuur uuur uuur
所以DA DC 2的最大值為DE 1 22 1 3，
uuur uuur uuur
當(dāng)D, E 重合時DE 2取得最小值，此時DA DC 的最小值為DE 1 0 1 1 .
故答案為：3; 1 .
r r r 2ar
r r r r r
17．已知 a,b ,c 為單位向量，且 b 7 ，則 3a c b c 的最小值為 .
【答案】 13
r r r r r r r
【解析】因為 a,b ,c 為單位向量，有 a b c 1，得 ar2 r b 2 c 2 1，
r r r 22a b 7 2ar b 4ar2 4ar r r
r r 1
由 ，得 b b 2 7 ，得 agb ，
2
r r r
cos ar,b a b r r
1 r
rar,b 0, π ar,b 2π所以 a b 2 ，又 ，所以 ，3
r
3ar b 3ar r 2 r r而 b 9ar2 6ar b b 2 13，
r r r r r r
則 3a c b c 3a b 13
r r r r
當(dāng)且僅當(dāng)3a c 與b c 方向相反時“=”成立
r r r r
所以 3a c b c 的最小值為 13 ；
故答案為： 13
r r r r r r r r r r r
18．設(shè)向量 a,b,c滿足 a b 2, a b 2 r， a c與b c 的夾角為60° ，則 c 的最大值為
【答案】4
【解析】如圖所示，
uuur r uuur r uuur r r
設(shè)OA a,OB b ,OC cr, 因為 ar b | ar || b | cos AOB 2，
1
所以 cos AOB ，因為0° AOB 180°，
2
r r r r
所以 AOB 120° ，因為 a c,b c 60° ，
所以 AOB 120°, ACB 60°，
uuur r r uuur 2 r 2 r r
所以O(shè), A, B,C r r r四點共圓，因為 AB b a， AB b a b 2 a2 2a b 12，
AB
所以 AB 2 3 ，由正弦定理知 2R= 4 ，sin120°
即過O, A, B,C 四點的圓的直徑為 4，
r
所以 c 的最大值等于直徑 4.
故答案為：4.
r r r ra b 1
r r
19．設(shè) a b 是單位向量，且 c
r r r r 1
，向量 滿足 c a c 2b ，則 c 的取值范圍是 .2 4
7
【答案】[ 1, 7 1]
2 2
r r r r 1 r r r 2 r2 r r
【解析】單位向量 a b 滿足 a b ，則2 | a 2b | a 4b 4a b 7
，
r r2 r r r r r
由 (c
r ar) (cr 1 2b) ，得 c (a 2b)
1
c 2a b ，
4 4
r2 3 r r r r r r r r r r
則 c (a 2b) c | a 2b || c | 7 | c |，當(dāng)且僅當(dāng) a 2b,c 同向時取等號，
4
r2 r r
因此 c 7 | c |
3
0 7，解得
4 1 | c |
7
1.
2 2
cr 7所以 的取值范圍是[ 1, 7 1] .
2 2
7 7
故答案為：[ 1, 1]
2 2
r r r r r r r r r r r r r
20．已知平面向量 a ，b ， c滿足 a 1， b 2， a,b
π
且 c a c b 0 ，則3 b c 的最大值為 .
5
【答案】 3
2
r uuur 1 3 r uuur r uuur
【解析】由題意可設(shè)： a OA , ÷÷ ,b OB 2,0 ,c OC ，
è 2 2
r r uuur uur uuur r r uuur uuur uuur
則 c a OC OA AC,c b OC OB BC ，
r r r r uuur uuur uuur uuur若 c a c b 0 ，即 AC BC 0，則 AC ^ BC ，
5 3
可知點 C 在以 AB 為直徑的圓上，即圓心為D , ÷ r 1 3
è 4 4 ÷
，半徑 AB ，
2 2
r r 3 5
則 c在b 方向上的投影數(shù)量的最大值為 ，
2 4
r r 3 5 5
所以b c 的最大值為 2 ÷÷ 3 .
è 2 4 2
5
故答案為： 3 .
2
r r r r r r r r r r r r r
21．已知向量 a ，b ， c滿足 a 4， b 2， a,b
p
， a c 2b c 0，則 a c的取值范圍為 .3
【答案】 4，20
r r 1 r r r
【解析】由題意可得： a b 4 2 4，設(shè) c x, y ， a 4,0 ，b 1, 3 ，2
r r r r r r r r
a c 4 x, y ， 2b c 2 x, 2 3 y ，Q a c 2b c 0，\ 4 x 2 x y 2 3 y 0，
2 r r
整理得： x 3 2 y 3 4 ，所以 a c 4x ，
因為 2 x 3 2，所以1 x 5，所以 4 4x 20，
r r
即 a c的取值范圍為 4,20 .
故答案為： 4,20 .
r r r r r r r r r r r r
22．已知向量 a ，b ， c滿足 a 4， b 2 2
π
， a 與b 的夾角為 ， a c b c 0 ，則 c 的最大值4
為 .
【答案】 10 2
uuur r uuur r uuur r
【解析】設(shè)OA a，OB b，OC c，
以O(shè)A所在的直線為 x 軸，O為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，
r r r r
因為 a 4， b 2 2
π
， a 與b 的夾角為 ，4
所以 A 4,0 ，B 2,2 ，設(shè)C x, y ，
uuur uuur r uuur
即OA
r
a 4,0 r，OB b 2,2 ，OC c x, y ，
r r r r
所以 a c 4 x, y ，b c 2 x, 2 y ，
r
因為 ar cr b cr 0 ，所以 x2 6x 8 y2 2 y 0 2，即 x 3 y 1 2 2，
圓心坐標(biāo)為D 3,1 r，半徑 r 2 ， c 表示點C 到坐標(biāo)原點的距離即為圓上的點到坐標(biāo)原點的距離，
因為圓心D 3,1 r到原點的距離為 d 32 12 10 ，所以 c d r 10 2max .
故答案為： 10 2 .
r r r r r r r r r
23．在平面內(nèi)，若有 a
r
2， b a b
r
4， c a 2c a b 0，則 c b 的最大值為 .
【答案】7 2 3
r r r r r r r r ra 2 b a b 4 a b a b cos ar,b 2 4cos ar
r
【解析】由向量 ， ，可得 ,b 4 ，
r r
可得 cos a
r,b 1 r π ，所以 a,b ，
2 3
uuur r uuur r π uuur uuur
如圖所示，作OA a,OB b ，則 AOB ，且 OA 2, OB 4，
3
uuur r r
連接 AB AB D OD OD a b，取 的中點 ，連接 ，則 ，
2
r r r r r r r
r r r r
因為 c a 2c a b 0，可得 c a (cr a b r r r a b ) 0，所以 c a ^ (c ) ，
2 2
uuur r uuur r r uuur r r r
AC,CD AC c a, DC c a b作OC c，連接 ，則 ，所以 AC ^ DC ，2
所以點C 在以 AD 為直徑的圓上，
uuur uuur r r
所以當(dāng)C 運動到圓的最右側(cè)時，OC 在OB 上的投影最大，此時 c b 最大，
由 OG
π
OA cos 1， GB 4 1 3 ,
3
1
因為VBEH∽VBAG，且 AE AB ，所以 GH
1 1 3
GB 3 ，
4 4 4 4
uuur uuur 3 3 7 2 3
所以O(shè)C 在OB 上的最大投影為1 ，
4 2 4
所以 rcr b 7 2 3 4 7 2 3 .
max 4
故答案為：7 2 3 .重難點突破 02 向量中的隱圓問題
目錄
01 方法技巧與總結(jié)...............................................................................................................................2
02 題型歸納與總結(jié)...............................................................................................................................3
題型一：數(shù)量積隱圓............................................................................................................................3
題型二：平方和隱圓............................................................................................................................3
題型三：定冪方和隱圓........................................................................................................................4
題型四：與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓........................................................................................................4
題型五：線段比定值隱圓（阿氏圓）................................................................................................5
03 過關(guān)測試 ...........................................................................................................................................6
技巧一．向量極化恒等式推出的隱圓
乘積型： PA PB
1
定理：平面內(nèi)，若 A, B 為定點，且 PA PB ,則 P 的軌跡是以 M 為圓心 AB2 為半徑的圓
4
證明：由 PA PB ，根據(jù)極化恒等式可知， PM 2 1 1 AB2 ，所以 PM AB2 ， P 的軌跡
4 4
是以 M 1為圓心 AB2 為半徑的圓．
4
技巧二．極化恒等式和型： PA2 PB2
1 AB2
定理：若 A，B 為定點， P 滿足 PA2 PB2 ,則 P 的軌跡是以 AB 中點 M 為圓心， 2 為半
2
1
徑的圓。 ( AB2 0)
2
1 2
PA2 PB2 2[PM 2 (1
AB
證明： AB)2 ] ，所以 PM 2 ，即 P 的軌跡是以 AB 中點 M 為圓
2 2
1 AB2
心， 2 為半徑的圓．
2
技巧三．定冪方和型
mPA2 PB2 n

若 A B ， 為定點， PA2 mPB2 n ，則 P 的軌跡為圓．
mPA2 nPB
2
證明：mPA2 PB2 n m[ x c 2 y2 ] [ x c 2 y2 ] n
(m 1)(x2 y2) 2c(m 1)x (m 1)c2 n 0
x2 y2 2(m 1)c x c
2 (m 1) n
0．
m 1 m 1
技巧四．與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓
坐標(biāo)法妙解
技巧五．阿氏圓
一般地，平面內(nèi)到兩個定點距離之比為常數(shù) ( 0 , 1) 的點的軌跡是圓，此圓被叫做阿氏圓．當(dāng)
1時，點 P 的軌跡是線段 AB 的中垂線．
題型一：數(shù)量積隱圓
r r r r r r r r r r r r
【典例 1-1】已知平面向量 a,b ,cr滿足 a b a b 2, a c b 2c 1，則 b c 的最小值為（ ）
A 7 5 B 7 3． ． C 5 - 3 3 1． D．
2 2 2 2
r r r r r r r r 1
【典例 1-2】（2024·遼寧鞍山·一模）已知平面向量 a，b ， c滿足 a b c 1，若 a b ，則2
r r r r2a c b c 的最小值為 ( )
A． 2 B． 3 C． 1 D．0
r r r r r r r 2π r 1 r r r r
【變式 1-1】設(shè)平面向量 a,b,c滿足 a 1, b 2, a與b 的夾角為 ,且 a c b c 0 ，則 c 的最小值為3 2


（ ）
A． 3 1 B． 3 C． 3 1 D． 2 3
1
【變式 1-2 】（2024·遼寧沈陽·二模）已知平面向量 a ， b ， c ，滿足"x R, a x b a b ，4

a 2, a b 4 a c b 2 c ， 6，則 a c 的最小值為（ ）

A 1 B 2 6 C 6 2． ． ．3 D．
3 2
題型二：平方和隱圓
r r r r r r ur r r ur r ur r r r
【典例 2-1】已知 a,b ,c,d 是單位向量，滿足 a ^ b ,m a 2b ,| m c |2 | m d |2 20，則 | c d |的最大值為
________．
uuuv uuuv uuuv uuuv2 uuuvPA | uuuv uuv uuv
uuuv
【典例 2-2】已知平面向量PA、PB滿足 PB |
2 4 ， | AB |2 2，設(shè)PC 2PA PB，則 PC
________.
2
【變式 2-1】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點 A 2,0 ， B 0,2 ，圓C : x a y2 1，若圓C 上存在點 M ，
MA 2 MB 2使得 12，則實數(shù) a的取值范圍為（ ）
A． 1,1 2 2 B． 1 2 2,1 2 2
C． 1,1 2 2 D． 1 2,1 2
【變式 2-2】在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知直線 l : x y a 0與點 A(0，2) ，若直線 l上存在點M 滿足
MA 2 MO 2 10（O為坐標(biāo)原點），則實數(shù) a的取值范圍是（　　）
A． 5 1, 5 1 B．[ 5 1, 5 1]
C． 2 2 1,2 2 1 D．[ 2 2 1,2 2 1]
題型三：定冪方和隱圓
【典例 3-1】已知點 A 1,0 ，B 2,0 ，直線 l： kx y 5k 0上存在點 P ，使得PA2 2PB2 9 成立，則實
數(shù) k 的取值范圍是______.
r r r r r r r r
【典例 3-2】（2024·浙江·高三期末）已如平面向量 a、b 、 c，滿足 a 3 3 ， b 2， c 2，b c 2，則
r ra b 2 r r 2 r r r r 2 a c a b a c 的最大值為（ ）
A．192 3 B．192 C． 48 D． 4 3
ur uur r
【變式 3-1】（2024·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)校考期中）已知平面單位向量 e1 ， e2 的夾角為 60°，向量 c
uur r ur
滿足 c
r2 r 2e1 e2 cr 3 0，若對任意的 t R ，記 | c te1 |的最小值為 M，則 M 的最大值為2
A 1 3 B 1 3 C 1 3 3． ． ． D．1 3
2 4 2 4
v r v r r r r r
【變式 3-2 r r r r】已知 a，b 是兩個單位向量，與 a，b 共面的向量 c 滿足 c 2 (a b) c a b 0，則 c 的最大
值為（ ）
A． 2 2 B．2 C． 2 D．1
題型四：與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓
r r r r r r 1 r r r r r r
【典例 4-1】已知平面向量 a，b ，且 a b 1， a b ，向量 c滿足 c 2a 2b a b ，則2
r r
c b ( R) 的最小值為（ ）
A． 3 1 B． 2 1 C． 3 D． 2
uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur
【典例 4-2】已知向量OA,OB滿足 OA 1, OB 2 ，且向量OB 在OA方向上的投影向量為OA．若動點 C 滿
uuur uuur uuur
足 OC
1
，則CAgCB 的最小值為（ ）2
1
A． B 4 2 6． C 1 7． D 5 2 7．
2 3 2 4
r r r
【變式 4-1】（2024·高三·浙江·期末）已知 a，b 是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量 c滿足
r r r r r r r
| c a | 1 ，則 | a b c | 2 | c b |最小值為 .
2
r r r ur r r r r r r ur p
【變式 4-2】已知 a 、b 、 c、 d 都是平面向量，且 | a | | 2a b | | 5a c | 1，若 a, d ，則4
r ur r ur
| b d | | c d |的最小值為____________．
r r r r r r r r r
【變式 4-3】已知 a,b是單位向量， a b 0 .若向量 c滿足 | c a b | 1，則| c |的最大值是________.
題型五：線段比定值隱圓（阿氏圓）
r r r r r r r r r r r r r r
【典例 5-1】已知平面向量 a ，b ， c，滿足 a b 2
1
，且 | a b | 2 2 ， | a b c | 1，則 b c a c
2
的最小值為（ ）
A 15 B 15 C 17． ． ． D． 17
2 2
r r r r r r r r r r
【典例 5-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知平面向量 a，b ， c滿足 a ^ b，且 a b 2 ， c a b 1，則
r r r r
c b 2 c a 的最小值為（ ）
A 15 B 17． ． 15 C． D． 17
2 2
r r r r r r r r
【變式 5-1】已知平面向量 a,b,c滿足 a ^ b，且 | ar | | b | 2,| cr ar b | 1，則 | cr r r a | 2 | c b |的最小值為
（ ）
A 15 B 17． ． 15 C． D． 17
2 2
r r r r r r r r r
【變式 5-2】（2024·高三·山東日照·期中）已知平面向量 a，b ， c 滿足 a
r
⊥ b ，且 a b 4， a b c 2，
r
則 a
r cr r 2 b c 的最小值為（ ）
A． 4 5 B． 2 17 C． 2 5 D． 17
r r r r r r r r r r 1 r r
【變式 5-3】已知平面向量 a， b ， c滿足： a b c 1， a b 0 ，則 2c a c b 的最小值為（2 ）
A 17
5
． B．2 C． D． 5
2 2
r r r r r r 1 r2 r r r r
1．已知平面向量 a,b,c滿足 a 1,cos a,c ,b 4a b 3 0，則 b c 的最小值是（ ）
2
A 3 1 B 3． ． C． 3 D． 3 1
2 2
r r r r r r r
2．已知 ar,b 是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量 c 滿足 a c b c 0 ，則 c 的最大值是(　　)
A． 2 B． 2 2
C． 3 D．2
r r r
3．（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期中）已知向量 a，b 是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量 c 滿足
r r r a c b 2cr 0 cr ，則 的最大值是（ ）
A 2 B 5 C
3 D 5． ． ． ．
2 2 5
r r r r r r r r
4．已知 a，b 是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量 c滿足 (a c) (2b c) 0，則 c 的最大值是（ ）
A． 2 B 5．2 C． 5 D．
2
r r r r r r r
5．已知 ar,b ,cr r是平面內(nèi)的三個單位向量，若 a ^ b ，則 a 2c 3a 2b c 的最小值為（ ）
A． 29 3 2 B． 29 C． 29 2 3 D．5
uuur uuur
6．（2024·北京朝陽·一模）在VABC 中， AB AC 2，BC 2 3 ，點 P 在線段BC上.當(dāng)PA PB 取得最小
值時，PA （ ）
3 7 3 7A． B． C． D．
2 2 4 4
7．（2024·高三·重慶·開學(xué)考試）在同一直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點O 0,0 , A 2,0 , B 0,2 ，點 P 滿足
uuur uuur uuur uuur
PA PB 0 ，則OP OB的最小值為（ ）
A． 2 2 2 B． 2 2 2
C． 2 2 2 D． 2 2 2
r r r r r r r r r r r r r
8．已知向量 a ，b ， c滿足 a 4， b 2， a,b
π
， a c 2b c 0，則3 a c的最小值等于（ ）
A．12 6 3 B．12 4 3 C．4 D． 4 2
r r r r r r π r r r r
9．已知 a ，b ， e是平面向量， e是單位向量，若非零向量 a 與 e 2的夾角為 ，向量b 滿足b 6b e 8 0，4
r r
則 a b 的最小值是（ ）
3
A． 2 1
3
B． 2 1 C． 2 1 D．2 2 2 2
r r r r r r π r r r r
10．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知向量 a ，b 滿足 a b 1， a,b ，則 a b 2 a b 的最小值為（3 ）
A． 6 2 2 B． 6 2 C．8 D．2
r r r r r r r r r r
11．已知 a,b,c是平面內(nèi)的三個單位向量，若 a ^ b，則 a 2c 3a 2b 2c 的最小值是 ．
r r r r r r r r r
12．已知 a,b,c是平面中的三個單位向量，且 a b 0 ，則 2c a
1
c b 的最小值是 .
2
v v p v v v v v v13．在平面內(nèi)，已知非零向量 a與單位向量 e的夾角為 ，若向量b 滿足b 2 6e b 8 0 ，則 | a b |的最3
小值為 .
r r r r r r r
14．（2024·高三· r浙江·開學(xué)考試）平面中存在三個向量 a，b ， c ，若 | a | 4， | b | 4，且 a b 0，且 c滿
r2 r r | cr | 4 | ar
r
足 c 2a c 15 0，則 b cr |的最小值 ．
uuuur uuur uuur uuuur uuur
15．已知圓Q : x2 y2 16，點P 1,2 ，M、N 為圓 O 上兩個不同的點，且PM PN 0若 PQ PM PN ，則
uuur
PQ 的最小值為 .
uuur uuur uuur uuur
16．已知VABC 是邊長為 2 的正三角形，點D在平面 ABC 內(nèi)且DA DB 0，則DA DC 的最大值
為 ，最小值為 .
r r r r r r r
17 r．已知 a,b ,cr為單位向量，且 2a b 7 ，則 3a c b c 的最小值為 .
r r r r r r r r r r r r
18．設(shè)向量 a,b,c滿足 a b 2, a b 2， a c與b c 的夾角為60° ，則 c 的最大值為
r r r 1 r r r r
19．設(shè) ar b 是單位向量，且 a b ，向量 c 滿足 c a
r r 1 c 2b ，則 c 的取值范圍是 .2 4
r r r r r r r r r r r r r
20．已知平面向量 a ，b ， c滿足 a 1， b 2 a,b
π
， 且 c a c b 0 ，則b c 的最大值為 .3
r r r r r r r r r r r r r
21．已知向量 a ，b ， c滿足 a 4， b 2， a,b
p
， a c 2b c 0，則 a c的取值范圍為 .3
r r r r r r r π r r r r r
22．已知向量 a ，b ， c滿足 a 4， b 2 2 ， a 與b 的夾角為 ， a c b c 0 ，則 c 的最大值4
為 .
r r r r r r r r r r r
23．在平面內(nèi)，若有 a 2， b a b 4， c a 2c a b 0，則 c b 的最大值為 .

展開更多......

收起↑