資源簡介

重難點突破 02 解三角形圖形類問題
目錄
01 方法技巧與總結(jié) ...............................................................................................................................2
02 題型歸納與總結(jié) ...............................................................................................................................2
題型一：妙用兩次正弦定理（兩式相除消元法） ............................................................................2
題型二：兩角使用余弦定理建立等量關(guān)系 ........................................................................................8
題型三：張角定理與等面積法 ..........................................................................................................12
題型四：角平分線問題 ......................................................................................................................15
題型五：中線問題 ..............................................................................................................................21
題型六：高問題 ..................................................................................................................................30
題型七：重心性質(zhì)及其應(yīng)用 ..............................................................................................................33
題型八：外心及外接圓問題 ..............................................................................................................37
題型九：兩邊夾問題 ..........................................................................................................................42
題型十：內(nèi)心及內(nèi)切圓問題 ..............................................................................................................44
03 過關(guān)測試 .........................................................................................................................................49
解決三角形圖形類問題的方法：
方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；
方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的問題，
相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；
方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關(guān)系的不錯選
擇；
方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可
以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；
方法六：建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更
加直觀化.
題型一：妙用兩次正弦定理（兩式相除消元法）
π 3π
【典例 1-1】（2024·河南·三模）已知 P 是VABC 內(nèi)一點，PB = PC, BAC = , BPC = , ABP = q .
4 4
π
(1)若q = , BC = 2 ，求 AC ；
24
π
(2)若q = ，求 tan BAP .
3
【解析】（1）如圖所示，
BPC 3π在△BPC 中， = , PB = PC ，所以 PBC
π
= .
4 8
所以 ABC = PBC +q
π π π
= + = .
8 24 6
AC 2
在VABC
AC BC
中，由正弦定理得 = ，即 1 = 2 ，解得 AC =1 .sin ABC sin BAC
2 2
（2）如圖所示，
q π當 = 時， ACP = π - BAC - ABP - 2 PBC
π
= .
3 6
π
設(shè) BAP = a ，則 PAC = -a .
4
sin π
在VABP中，由正弦定理得 AP = 3 .
PB sina
AP sin
π
在△APC = 6中，由正弦定理得 PC .sin π -a

÷
è 4
sin π sin π 3 1
因為PB = PC 3，所以 = 6 2 2sin =a π ，即 ，sin -a sina 2 4 ÷ cosa - sinaè 2
3 2 3 2
整理得 = ，即 = ，解得 tana = 3 - 6 ，即 tan BAP = 3- 6 .
sina cosa - sina tana 1- tana
【典例 1-2】VABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c, AD 為 BAC 平分線， c : AD : b = 3 : 2 : 2 3 .
(1)求 A；
(2) AD 上有點M , BMC = 90o ，求 tan ABM .
【解析】（1）
設(shè) c = 3k, AD = 2k,b = 2 3k ， SVABC = SVABD + SVADC ,
1
\ bcsinA 1= AD ×csin A 1+ AD ×bsin A，
2 2 2 2 2
3sin A A A A= sinA， 3sin = 2sin cos ，
2 2 2 2
A 3 A A π π
\cos = , 0,
π
÷ ，\ = ,\ A =2 2 2 è 2 2 6 3
BAD π（2）由（1）知： = ，
6
π
VBAD BD2中， = 3k 2 + 4k 2 - 2 × 3k ×2k ×cos = k 2 ，
6
BD = k, \BD2 + AB2 2
π
= AD ，故得： ABC = , C
π
= , BC = 3k, DC = 2k ，
2 6
設(shè) ABM =q ,VABM 5π中， AMB = π - BAM - ABM = -q
6
AM AB 3k
= =
sinq sin 5π -q
sin 5π -q ，
è 6 ÷ ÷ è 6
Q ABM + MBC π= = MCB + MBC,\ ABM = MCB = q ，
2
π 2π
△ACM 中， ACM = ACB - MCB = -q ， AMC = π - MAC - ACM = +q ，
6 3
AM AC 2 3k
= =
sin π -q 2π 2π ÷ sin +q ÷ sin +q
，
÷
è 6 è 3 è 3
sin π 2π -q

÷ sin

+q
sin 2π +q
è 6 = è 3
÷ ÷
= è 3 兩式相除得： ，
sinq 2sin 5π q 2sin π- +q ÷ ÷
è 6 è 6
1 2 2 cos q
3 sin2q sinq 3 1- ÷ =4 4
cosq - sinq ，
è è 2 2
÷÷

2 2 Qq π\(zhòng)cos q - 3cosqsinq - 2sin q = 0， ,\cosq 0，
2
\2tan2q + 3tanq -1 = 0 tanq - 3 ± 11 = ，
4
Qq tanq - 3 + 11為銳角，故 = .
4
【變式 1-1】如圖，在平面四邊形 ABCD中， ACB = ADC = 90°， AC = 2 3， BAC = 30°．
(1)若CD = 3 ，求BD；
(2)若 CBD = 30°，求 tan BDC ．
CD 1
【解析】（1）在Rt△ACD 中， cos ACD = = ，所以 ACD = 60°，
AC 2
Rt ABC tan BAC BC 3在 △ 中， = = ，所以BC = 2，又 ACB = 90°，
AC 3
所以 DCB = ACB + ACD = 150° ，
在△BCD中由余弦定理BD2 = DC 2 + BC 2 - 2DC × BC cos BCD ，
2
2 2
即BD = 3 + 2 - 2 2 3 3 - 2 ÷÷ =13，è
所以BD = 13 .
（2）由已知可得 ABC = 60
BC
°，又 CBD = 30°，所以 ABD = 30°， AB = = 4 ，
sin 30°
設(shè)DC = x 0 < x < 2 3 ， BDC = a ，則 AD = 12 - x2 ，
2
AD AB 12 - x 4= 2
在△ABD 中由正弦定理 = ，即 1 ，所以 cosa = ，
si n ABD si n ADB sin
π
-a

2 12 - x
2
è 2 ÷
DC BC x 2= 1
在△BCD中由正弦定理 = ，即 1
sin CBD sin CDB sina
，所以 sina = ，
2 x
2 2 1 4又 sin a + cos a =1，所以 2 + =1
9 - 33 9 + 33
，解得 2 或 2 ，
x 12 x = x =- x2 2 2
2 2
由 tana sina 1 12 - x 1 12 - x 1 12= = × = = -1，
cosa x 2 2 x2 2 x2
2 9 - 33 tana 1 12 1 1 24 1 1 7 + 33 11 + 3當 x = 時 = 2 - = - = = ，2 2 x 2 9 - 33 2 2 4
2 9 + 33 1 12 1 24 1 7 - 33 11 - 3當 x = 時 tana =
2 2 x2
-1 = -1 = = ，
2 9 + 33 2 2 4
所以 tan BDC 11 + 3= 或 tan BDC 11 - 3= .
4 4
【變式 1-2】（2024·廣東廣州·二模）記VABC 的內(nèi)角A 、 B 、C 的對邊分別為 a、b 、 c，已知
bcosA - acosB = b - c .
(1)求A ；
(2)若點 D在BC 3邊上，且CD = 2BD， cosB = ，求 tan BAD .
3
【解析】（1）因為bcos A - a cos B = b - c，
2 2
b b + c - a
2
a a
2 + c2 - b2
由余弦定理可得 × - × = b - c ，
2bc 2ac
2 2 2 cos A b
2 + c2 - a2 1
化簡可得b + c - a = bc ，由余弦定理可得 = = ，2bc 2
因為0 < A π< π ，所以， A = 3 .
2
2 cosB 3

（ ）因為 = ，則 B 為銳角，所以， sin B = 1- cos2 B 1 3 6= -
3 3 ÷÷
= ，
è 3
2π
因為 A + B + C = π，所以，C = - B，
3
sin C sin 2π B sin 2π cos B cos 2π 3 3 1 6 1 6所以， = - ÷ = - sin B = + = + ，
è 3 3 3 2 3 2 3 2 6
2π
設(shè) BAD = q ，則 CAD = -q ，
3
CD AD 6AD
BD AD 3AD = =
在△ABD 和VACD中，由正弦定理得 = = πsin sin B ， sin -q sin Cq 3+ 6 ，6 3 ÷è
因為CD = 2BD，上面兩個等式相除可得 6 sin
π
-q ÷ = 3 + 6 sinq ，
è 3
3 1
得 6 cosq - sinq ÷÷ = 3 + 6 sinq ，即 2 cosq = 2 + 62 2 sinq ，è
所以， tan BAD = tanq 2= = 3 - 2 .
2 + 6
【變式 1-3】在VABC 中，內(nèi)角 A， B ，C 所對的邊分別為 a，b ， c，且 2cos A(c cos B + bcosC) = a .
(1)求角 A；
(2)若O是VABC 內(nèi)一點， AOB = 120° ， AOC =150°，b =1， c = 3，求 tan ABO．
【解析】（1）因為 2cos A(c cos B + bcosC) = a ，
所以由正弦定理得 2cos A sin C cos B + sin B cosC = 2cos Asin B + C = 2sin Acos A = sin A；
Q 10° < A <180°，\sin A 0，\cos A = ，則 A = 60°；
2
（2）
Q OAC + OAB = BAC = 60o ， OAB + ABO =180o - AOB = 60o，\ OAC = ABO ；
AB ×sin ABO 3sin ABO
在△ABO 中，由正弦定理得： AO = = = 2 3 sin ABO；
sin AOB sin120o
AC ×sin ACO sin 30o - ABO在VACO 中，由正弦定理得： AO = = = 2sin 30o - ABO ；
sin AOC sin150o
\2 3 sin ABO = 2sin 30o - ABO = cos ABO - 3 sin ABO ，
1 3
即 cos ABO = 3 3 sin ABO，\ tan ABO = =
3 3 9
題型二：兩角使用余弦定理建立等量關(guān)系
ABCD cos BAD 1【典例 2-1】如圖，四邊形 中， = ， AC = AB = 3AD．
3
(1)求 sin ABD；
(2)若 BCD = 90°，求 tan CBD ．
2 2 2
【解析】（1）△ABD 中，設(shè) AC = AB = 3AD 3t t 0 3t + t - BD= > ，則 cos BAD 1 = = ，解得
3 2 3t t
BD = 2 2t
QBD2 + AD2 = AB2 ，\sin ABD
AD 1
= = ；
AB 3
（2）設(shè) AC = AB = 3AD = 3t t > 0 ，則BD = 2 2t
設(shè)BC = xt ，CD = yt x > 0, y > 0 ，
3t 2 + xt 2 - 3t 2
VABC 中， cos BCA x= =
2 3t xt 6
3t 2 + yt 2 - t 2 2
△ADC 中， cos DCA 1 y + 8 = = =
3 2 3t yt 6y
2 2
Q BCA DCA π+ = BCD = ，\cos DCA = sin BCA y + 8 1 x ，可得2 = -6y ÷
，化簡得
è 6
y2
2
+ 8 2
=1 x- ，即 x2 y2 + y4 + 64 = 20y2 6y ÷ 6 ÷è è
又QBC 2 + CD2 = BD2 ，\ x2t 2 + y2t 2 = 8t 2 ，即\ x2 + y2 = 8
\ 8 - y2 y2 + y4 + 64 = 20y2 y2 16= , x2 = 8 - y2 8，解得 =
3 3
16
tan CBD CD yt = = = 3 = 2
BC xt 8
3
【典例 2-2】如圖，在梯形 ABCD 中， AB∥CD ， AD = 3BC = 3．
(1)求證： sinC = 3sinA；
(2)若C = 2A， AB = 2CD ，求梯形 ABCD 的面積．
【解析】（1）連接 BD．
因為 AB / /CD ，所以 ABD = BDC ．
AD BD
在△ABD 中，由正弦定理得 = ，①
sin ABD sinA
BC BD
在△BCD中，由正弦定理得 = ，②
sin BDC sinC
由 AD = 3BC ， ABD = BDC ，結(jié)合①②可得 sinC = 3sinA．
（2）由（1）知 sinC = 3sinA， sinC = sin2A = 2sinAcosA = 3sinA，
3 A π C 2A πcosA = ，又0 < A < π ，所以 = ，則 = = ．
2 6 3
連接 BD，
2
在△ABD 中，由余弦定理得BD2 = AD2 + AB2 - 2AD × AB ×cosA 3= 3 + AB2 - 2 3 × AB × 2
= AB2 -3AB +3 = 4CD2 -6CD +3；
在△BCD中，由余弦定理得BD2 = BC 2 + CD2 - 2BC ×CD ×cosC =12 + CD2
1
- 2 1 CD
2
= CD2 -CD +1，
2
所以4CD2 -6CD +3 = CD2 -CD +1，解得CD =1或 3 ．
當CD
2 2 2 2 5π= 時，連接 AC，在VACD中，由余弦定理，得 AC = AD + CD - 2 AD CD cos
3 6

= 3 4 2 3 2 3 49+ - - = ，9 3 è 2 ÷
÷
9
7 4 7 2
所以 AC = ，而此時 AB + BC = +1 = ，故CD = 不滿足題意，經(jīng)檢驗CD =1滿足題意，
3 3 3 3
此時梯形 ABCD 的高 h = AD ×sin π 3= ，
6 2
當CD =1時，梯形 ABCD S 1 AB 3 3的面積 = + CD h = ；
2 4
3 3
所以梯形 ABCD 的面積為 ．
4
【變式 2-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）在銳角VABC 中，內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，
2cos2 2C = 3 - 5cos2 23p - C
.
è 2 ÷
(1)求角C ；
AC
(2)若點 D在 AB 上，BD = 2AD ，BD = CD，求 的值.
BC
【解析】（1）因為 2cos2 2C = 3- 5cos2
23π
- C

÷ = 3- 5cos 23π - 2C =3- 5cos π - 2C =3+ 5cos2C ，
è 2
所以2cos2
1
2C -5cos2C - 3 = 0，解得 cos2C = - 或cos2C = 3（舍去），2
所以2cos2C -1
1 1
= - ，即cosC = ± ，
2 2
0 C p π因為 < < ，所以C = .
2 3
（2）如圖，因為BD = 2AD ，BD = CD，設(shè) AD = m ，BD = CD = 2m ，
在VABC 中，由余弦定理得9m2 = AC2 + BC2 - AC × BC，
2 2 2 2 2 2 2 2
在△BCD中，由余弦定理得cos BDC BD + CD - BC (2m) + (2m) - BC 8m - BC= = = ，
2BD ×CD 2 2m 2m 8m2
AD2 + CD2 - AC2 m2ADC + (2m)
2 - AC2 5m2 - AC2
在△ 中，由余弦定理得cos ADC = = = ，
2AD ×CD 2m 2m 4m2
因為 BDC + ADC = p ，所以cos BDC + cos ADC = 0，
8m2 - BC2 5m2 - AC2
即 2 + 2 = 0，所以18m
2 - BC2 - 2AC2 = 0，
8m 4m
2
所以 2 AC + BC 2 - AC × BC - BC 2 - 2AC 2 = 0 ，
因為BC 0，所以BC = 2AC ，
AC 1
所以 = .
BC 2
π
【變式 2-2】平面四邊形 ABCD中， AB =1， AD = 2， ABC + ADC = π， BCD = ．
3
(1)求BD；
(2)求四邊形 ABCD周長的取值范圍；
(3)若E為邊BD上一點，且滿足CE = BE ， S△BCE = 2S△CDE ，求△BCD的面積．
π 2π
【解析】（1）因為 ABC + ADC = π， BCD = ，所以 BAD = ，
3 3
在△BCD中由余弦定理BD = AB2 + AD2 -2AB× ADcos BAD
= 12 + 22 - 2 1 2 1 -

2 ÷
= 7 ；
è
（2）在△BCD中BD2 = CB2 + CD2 - 2CB ×CD cos BCD，
即7 = CB2 + CD2 - CB ×CD，
所以CB2 + CD2 = 7 + CB ×CD 2CB ×CD，所以0 < CB ×CD 7，當且僅當CB = CD 時取等號，
CB + CD 2又 = CB2 + CD2 + 2CB ×CD = 7 + 3CB ×CD，
則7 < 7 + 3CB ×CD 28，即7 < CB + CD 2 28，所以 7 < CB + CD 2 7 ，
所以CABCD = AC + AD + CB + CD = 3+ CB + CD 3+ 7,3+ 2 7 ù ，
即四邊形 ABCD周長的取值范圍為 3+ 7,3+ 2 7 ù ；
（3）因為 S△BCE = 2S△CDE ，所以BE = 2ED，又BD = 7 ，
BE 2 2 7 1 7 2 7所以 = BC = ，DE = BC = ，又CE = BE ，所以CE = ，
3 3 3 3 3
在VBCE 中由余弦定理CB2 = CE2 + BE2 - 2CE × BE cos CEB ，
CB2 56 56即 = - cos CEB
9 9
在△DCE 中由余弦定理CD2 = CE2 + DE2 - 2CE × DE cos CED ，
CD2 35 28即 = - cos CED，
9 9
又 CEB + CED = π，所以 cos CEB = -cos CED，
所以CB2 + 2CD2 =14 ，
又7 = CB2 + CD2 - CB ×CD，所以CB2 + 2CD2 = 2CB2 + 2CD2 - 2CB ×CD ，
即CB2 = 2CB ×CD，所以CB = 2CD ，
CD2 7所以 = ，所以CB ×CD = CB2 + CD2 7
14
- = ，
3 3
1
所以 SVBCD = CB ×CD sin BCD
1 14 3 7 3
= = .
2 2 3 2 6
題型三：張角定理與等面積法
sin A - sin B a - c
【典例 3-1】（2024·吉林·模擬預(yù)測）VABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別是 a,b,c，且 = ，
sin C a + b
(1)求角 B 的大小；
(2)若b = 3， D為 AC 邊上一點， BD = 2，且BD為 B的平分線，求VABC 的面積．
sin A - sin B a - c a - b a - c
【解析】（1）因為 = ，由正弦定理得 = ，
sin C a + b c a + b
化簡得b2 = a2 + c2 - ac，
cos B a
2 + c2 - b2 1
所以由余弦定理得 = = ，又因為B 0,p ，
ac 2
p
所以B = .
3
（2）如圖所示
S 1 1 B 1 B因為 VABC = SVABD + SVCBD 即 BA BC sin B = BA BD sin + BC BD sin ，2 2 2 2 2
BA BC 3化簡得 + = BA BC ①,
2
又由余弦定理得 AC 2 = BA2 + BC 2 - 2BA BC cos B即 (BA + BC)2 - 3BA BC = 9 ②，
①②聯(lián)立解得BA BC = -2（舍去）或6，
S 1 3 3所以 VABC = BA BC sin B = .2 2
【典例 3-2】（2024·黑龍江哈爾濱·二模）記 VABC 的內(nèi)角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c，已知b = 4 ，
2bcos B cos A sin A= + .
c tan C
(1)求角 B 的大小;
(2) 2 2已知直線BD為 ABC 的平分線，且與 AC 交于點 D，若BD = ，求VABC 的周長.
3
csin A
【解析】（1）由已知，得2bcos B = c cos A + ，
tanC
sinC sin A
根據(jù)正弦定理，得2sin B cos B = sinC cos A + ，
tanC
即2sin B cos B = sin AcosC + cos AsinC ，
即2sin Bcos B = sin(A+C) = sin B，
由于0 < B < π ， sin B > 0，
1
所以 cos B = ，所以 B π= 3 ；2
（2）因為 S△ABC = S△ABD + S△BCD ，
1
所以 acsin ABC
1
= BD 1× c ×sin ABD + BD × a ×sin CBD ，
2 2 2
因為直線BD為 ABC 的平分線，
1 π
所以 ABD = CBD = ABC = ，
2 6
1 ac 3 1 2 2 c 1 1 2 2 a 1所以 = + ，
2 2 2 3 2 2 3 2
3ac 2 2
2 2
則 = (a + c) ，即ac = (a + c)，
3 3 3
由余弦定理得b2 = a2 + c2 - 2ac cos ABC ，即16 = a2 + c2 - ac，
所以16 = (a + c)2 - 3ac = (a 2 2+ c)2 - (a + c) ，
3
解得 a + c -4 6= 2 6 或 a + c = （舍），
3
故VABC 的周長為 2 6 + 4 .
【變式 3-1】（2024·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知銳角VABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別
為 a,b,c
a sin B - sin C
，且 = ．
b + c sin A - sin C
(1)求 B ；
(2)若b = 6 ，角 B 的平分線交 AC 于點 D，BD =1，求VABC 的面積．
a sin B - sin C a b - c
【解析】（1）因為 = ，由正弦定理得 = ，整理得 a2 - ac = b2 - c2，
b + c sin A - sin C b + c a - c
2 2 2
又由余弦定理得 cosB a + c - b 1= = ．
2ac 2
B 0, π π因為 ，所以 B = ．
è 2 ÷ 3
（2）如圖所示，因為 S△ABC = S△ABD + S△BCD ，
S 1所以 VABC = BD ×c sin
π 1
+ BD π 1× a sin = a + c ．
2 6 2 6 4
1 π 3
又因為 SVABC = ac sin = ac
1 3
，所以 a + c = ac．
2 3 4 4 4
2 2 2 π
由余弦定理得b = a + c - 2accos = a + c 2 - 3ac = 6 ，
3
ì1
a + c
3
= ac
聯(lián)立方程組 í4 4 ，可得3(ac)2 - 3ac = 6 ，即 (ac)2 - ac - 2 = 0，

a + c
2 - 3ac = 6
解得 ac = 2或 ac = -1（舍去），
1 3 3
所以 S△ABC = ac sin B = ac = ．2 4 2
1
【變式 3-2】（2024·江西撫州·江西省臨川第二中學(xué)校考二模）如圖，在VABC 中， AB = 4 ， cos B = ，點
3
D在線段BC 上.
3π
（1）若 ADC = ，求 AD 的長；
4
VACD 16 2 sin BAD（2）若BD = 2DC ， 的面積為 ，求 的值.
3 sin CAD
ADC 3π【解析】（1）∵ = ，
4
∴ ADB = π ，
4
又∵ cos B
1
= ，
3
∴ sin B 2 2= .
3
在△ABD
AD AB
中， = ，
sin B sin ADB
4 2 2×
∴ AD 3
16
= = .
2 3
2
（2）∵ BD = 2DC ，
∴ S△ABD = 2S△ADC ，
S△ABC = 3S△ADC ，
16 2
又 S△ADC = ，3
∴ S△ABC =16 2 ，
∵ S
1
△ABC = AB × BC sin ABC ，2
∴ BC =12，
∵ S
1
△ABD = AB × AD sin BAD，2
S 1△ADC = AC × AD sin CAD ，2
S△ABD = 2S△ADC ，
sin BAD AC
∴ = 2 × ，
sin CAD AB
在VABC 中，
由余弦定理得 AC 2 = AB2 + BC 2 - 2AB × BC cos ABC .
∴ AC = 8 2 ，
sin BAD 2 AC∴ = × = 4 2 .
sin CAD AB
題型四：角平分線問題
【典例 4-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知在△ ABC 中，內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，且 a = 6, A = 60°．
(1)若 AD 為BC 邊上的高線，求 AD 的最大值；
(2)已知 AM 為BC 上的中線， BAC 的平分線 AN 交BC N tan B
sin A
于點 ，且 = ，求△ AMN 的面積．
2 - cos A
【解析】（1）方法一：由余弦定理得
36 = b2 + c2 - 2bc cos 60° = b2 + c2 - bc 2bc - bc = bc，
所以bc 36（當且僅當b = c = 6時取等號）．
1 1
又因為 SVABC = bcsin A = a × AD ，2 2
AD bc sin A 36 sin 60°所以 = = 3 3 ．
a 6
故 AD 的最大值為3 3 .
方法二：由 a = 6, A = 60°知，點 A 在eO 的優(yōu)弧B C 上運動（如圖所示）．
顯然，當點 A 在BC 的中垂線上時，即點A 位于點 A 處時，邊BC 上的高最大．
此時△ ABC 為等腰三角形，
又 A = 60°，故△ ABC 為正三角形，
根據(jù) BC = a = 6得 AD = 3 3 ．故 AD 的最大值為3 3 .
sin B sin A
（2）方法一：因為 tan B = = ，
cos B 2 - cos A
所以 2sin B - sin B cos A = sin Acos B，
所以 2sin B = sin B cos A + sin Acos B = sin(A + B)，
即 sin C = 2sin B．
由正弦定理得 c = 2b，
結(jié)合（1）可得 b 2 = 12 ，所以b = 2 3,c = 4 3，
所以 S
1
VABC = bc sin A = 6 3 ．2
因為 AN 平分 BAC
AB BN
，所以 = = 2，
AC NC
1
所以 S△ANC = S3 △ABC
．
1
又因為 AM 是BC 邊上的中線，所以 SVAMC = S2 VABC
，
1
所以 S△AMN = S△AMC - S△ANC = S△ABC = 3．6
方法二：同方法一可得b = 2 3,c = 4 3．
又因為 a = 6，所以△ ABC 是以角C 為直角的直角三角形．
由于 AN 平分 BAC, AM 是BC 邊的中線，且 BC = a = 6
AB BN
所以 = = 2, BM = MC ，
AC NC
所以MN =1,CN = 2，
所以 AN = AC 2 + NC 2 = 4, ANC = 60°，
所以 ANB = 120°，
1
所以 S△AMN = AN × NM ×sin120° = 3 ．2
方法三：由 A = 60° tan B sin A 3得 = = ，
2 - cos A 3
則 B = 30°, C = 90°．
又因為 a = 6，所以 c = 4 3 ．
由 AN 是角平分線知 CAN = 30°，
在Rt△ACN 中易得CN = 2，
CM 1又因為 = CB = 3，所以MN =1，
2
S 1所以 △AMN = MN × AC = 3．2
【典例 4-2】如圖所示，在VABC 中， AB = 3AC ，AD 平分 BAC ，且 AD = kAC .
(1)若 DC = 2，求 BC 的長度；
(2)求 k 的取值范圍；
(3)若 S△ABC =1，求 k 為何值時，BC 最短.
ABD AB BD【解析】（1）在△ 中，由正弦定理得 = ，
sin ADB sin BAD
AC DC
在VACD中，由正弦定理得 = ，
sin ADC sin CAD
因為 AD 平分 BAC ，所以 BAD = CAD ，
因為 ADB + ADC = π ，
所以 sin ADB = sin ADC ，
AB BD
所以 = ，
AC DC
因為 AB = 3AC ， DC = 2，
BD
所以 = 3，得BD = 6，
2
所以 BC = 8；
（2）因為 SVABC = SVABD + SVADC ，
1 AB AC sin BAC 1 AB ADsin BAC 1 BAC所以 × = × + AC × ADsin ，
2 2 2 2 2
因為 AB = 3AC ， AD = kAC ，
所以3AC × AC × 2sin
BAC cos BAC = 3AC kAC sin BAC BAC× + AC × kAC sin ，
2 2 2 2
sin BAC 0 6cos BAC因為 ，所以 = 4k ，
2 2
k 3 cos BAC所以 = ，
2 2
BAC
0, π BAC因為
2 2 ÷
，所以 cos 0,1 ，
è 2
所以 k

0,
3
2 ÷
；
è
（3）由余弦定理得BC 2 = AB2 + AC 2 - 2AB × AC cos BAC = AC 2 (10 - 6cos BAC)，
因為 S
1
△ABC =1，所以 AB × AC sin BAC =1，2
3 2 2 2
因為 AB = 3AC ，所以 AC sin BAC = 1，所以 AC = ，
2 3sin BAC
2 2
所以BC = (10 - 6cos BAC)
4 5 - 3cos BAC
= × ，
3sin BAC 3 sin BAC
y 5 - 3cos BAC令 = ，則 ysin BAC + 3cos BAC = 5，
sin BAC
3
所以 y2 + 9 sin( BAC + j) = 5（其中 tanj = y ），
所以當 sin( BAC + j) = 1時， y 取得最小值 4，
π 3
即當 BAC + j = 時， y 取得最小值 4，此時 tanj = ，
2 4
所以 cos BAC = cos
π
-j

÷ = sinj
3
= ，
è 2 5
因為 cos BAC = 2cos2
BAC
-1，
2
所以 2cos2
BAC 3
-1 = ，所以
2 5 cos
BAC 2 5
= ，
2 5
3 BAC
由（2）知 k = cos ，
2 2
k 3 2 5 3 5所以 = = ，
2 5 5
3 5
即當 k = 時，BC 最短.
5
2π
【變式 4-1】在VABC 中，角A ， B ，C 所對的邊分別是 a，b ， c，已知 A = ， c2 - b23 = ac cosC .
(1)求 tan C ；
(2)作角A 的平分線，交邊BC 于點 D，若 AD = 2 ，求 AC 的長度；
(3)在（2）的條件下，求VABC 的面積.
【解析】（1）在VABC 中，由 c2 - b2 = ac cosC 及正弦定理，得sin2 C -sin2 B = sin AsinC cosC，
A 2π
π
由 = B + C =3 ，得 ，則 sin B = sin(
π
- C) 3 1= cosC - sin C ，
3 3 2 2
3
于是 sin2 C = ( cosC 1- sin C)2 + sin 2π sin C cosC 3 1= cos2 C + sin2 C ，
2 2 3 4 4
π
整理得 sin2 C = cos2 C ，而C (0, ) ，則 sin C = cosC ，3
所以 tan C =1 .
π π
（2）由 AD 為 BAC 的平分線，得 CAD = ，由（1）知，C = ，
3 4
3
AD CD 2
在VACD中，由正弦定理 = ，則CD = 2 = 3 ，
sin C sin CAD 2
2
2 2 2
由余弦定理得CD = AD + AC - 2AD × AC cos
π
，即
3 3 = 2 + AC
2 - 2AC ，
整理得 AC 2 - 2AC -1 = 0，而 AC > 0，
所以 AC 2 + 6= .
2
（3）由（2）知， sin B = sin(π - A - C) = sin(π π 3 2 1 2 6 - 2- ) = - = ，
3 4 2 2 2 2 4
2 + 6 2
b c
由正弦定理得 = ，則 c = 2 2 = 2 2 + 6 ，
sin B sin C 6 - 2
4
VABC 1 2π 1 2 + 6 3 9 + 5 3所以 的面積 S = bc sin = 2 2 + 6
2 3 2 2 = ．2 4
【變式 4-2】已知VABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，其面積為S，且
a b + c - a sinA + sinB + sinC = 6S
(1)求角 A 的大小；
uuur uuur
(2)若 a = 7, BA × AC = -3, A的平分線交邊BC 于點T ，求 AT 的長.
【解析】（1） a b + c - a sinA + sinB + sinC = 6S 6 1= absin C = 3absin C ，
2
由正弦定理得： a b + c - a b + c + a = 3abc，即 b + c - a b + c + a = 3bc
即b2 + c2 - a2 + 2bc = 3bc ，即b2 + c2 - a2 = bc
2 2 2
所以 cos A
b + c - a 1
= = ，
2bc 2
因為 A 0, π π，所以 A = 3 .
π uuur uuur
（2）由（1）知： A = 3 ，所以BA × AC = -bc cos A = -3，
cos A 3 1即 = = ，解得：bc = 6，
bc 2
cos A b
2 + c2 - 7 3 b2 + c2 - 7
由余弦定理得： = ，所以 = ，
2bc bc 2bc
b = 3 b = 2
解得：b2 + c2
ì ì
=13，解得： í
c = 2
或 í
c = 3
2 2 2
b = 3,c = 2 cos B a + c - b 7 + 4 - 9 7當 得： = = = ，
2ac 4 7 14
則 sin B = 1- cos2 B 3 21= ，
14
所以 sin ATB = sin π B + ÷ = sin B cos
π
+ cos B sin π 3 21 3 7 1 5 7= + = ，
è 6 6 6 14 2 14 2 14
AT AB
在三角形 ABT 中，由正弦定理得： = ，，
sin B sin ATB
AT 2
=
即 3 21 5 7 6 3，解得： AT = ；
14 14 5
當b = 2,c = 3時，同理可得： AT 6 3= ；
5
6 3
綜上： AT =
5
題型五：中線問題
【典例 5-1】如圖，在VABC 中，已知 AB = 2 ， AC = 6 2 ， BAC = 45°，BC 邊上的中點為M ，點 N 是
邊 AC 上的動點（不含端點）， AM ，BN 相交于點 P ．
(1)求 BAM 的正弦值；
(2)當點 N 為 AC 中點時，求 MPN 的余弦值．
uuur uuur uuur uuur
(3)當 NA × NB 取得最小值時，設(shè)BP = lBN ，求l 的值．
【解析】（1）解法 1、由余弦定理得BC 2 = AB2 + AC 2 - AB × AC ×cos BAC ，
2 2 2即BC = 22 + 6 2 - 2 2 6 2 = 52，所以BC = 2 13 ，2
所以BM
1
= CM = BC = 13，
2
BM 2 + AM 2 - AB2 AM 2 + 9
在VABM 中，由余弦定理，得 cos BMA = = ，
2BM × AM 13 × AM
2
ACM cos CMA CM + AM
2 - AC 2 AM 2 - 59
在△ 中，由余弦定理，得 = = ，
2CM × AM 13 × AM
因為 BMA 與 CMA互補，所以 cos BMA + cos CMA = 0 ，解得 AM = 5，
2
VABM cos BAM AB + AM
2 - BM 2 4
在 中，由余弦定理，得 = = ，
2AB × AM 5
BAM 0, π sin BAM 1 cos2 BAM 3因為 ÷，所以 = - = ．
è 2 5
uuur uuur uuur uuur
解法 2、由題意可得， AB × AC = AB AC cos 45° =12，
uuuur 1 uuur uuur由 AM 為邊BC 上的中線，則 AM = AB + AC ，2
uuuur2 1 uuur2 1 uuur2 1 uuur uuur
兩邊同時平方得， AM = AB + AC + AB × AC = 25，
4 4 2
uuuur
故 AM = 5，
M BC VABM VABC 1因為 為 邊中點，則 的面積為 面積的 2 ，
1 AB AM sin BAM 1 1所以 = AB AC sin BAC ，
2 2 2
1
即 2 5 sin BAM
1 1
= 2 6 2 sin 45°，
2 2 2
化簡得， sin BAM
3
= ．
5
解法 3：以A 為坐標原點，以 AC 所在直線為 x 軸，以過點A 的垂線為 y 軸，建立平面直角坐標系
則B 2, 2 ，C 6 2,0 7 2 2，M ,2 2 ÷÷，è
uuur uuuur
AB 2, 2 AM 7 2 2 所以 = ， = ,2 2 ÷÷，è
uuur uuuur
cos BAM AB ×uAuMuur 8 4所以 = = =AB AM 2 5 5 ，
π 2 3
因為 BAM 0, ÷，所以 sin BAM = 1- cos BAM = ．
è 2 5
（2））方法 1、在VABN 中，由余弦定理，
得BN 2 = AB2 + AN 2 - 2AB × AN 2 ×cos 45°，
所以BN= 10，
由 AM ，BN 分別為邊BC ， AC 上的中線可知 P 為VABC 重心，
2 2 10
可得BP = BN = ， AP
2
= AM 10= ，
3 3 3 3
2 2 2
在VABP PA + PB - AB 13 10中，由余弦定理，得 cos APB = = ，
2PA × PB 50
又由 MPN = APB ，所以 cos 13 10 MPN = cos APB = ．
50
uuur uuur uuur uuur
BN BA AN AB 1
uuur
解法 2：因為BN 為邊 AC 上的中線，所以 = + = - + AC ，
2
uuuur uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur2 uuur uuur uuur-2AM × BN = AB + AC × 1 1 12 -AB + AC ÷ = - AB - AB × AC + AC =13，è 2 2 4 4
uuur2 uuur 1 uuur
2
uuur2 uuur uuur 1 uuur2 uuurBN = -AB + AC ÷ = AB - AB × AC + AC =10，即 BN = 10 ．
è 2 4
uuuur uuur
所以 cos MPN u
AuMuur ×uBuNur 13 13 10 = = =
AM BN 5 10 50 ．
解法 3：以A 為坐標原點，以 AC 所在直線為 x 軸，以過點A 的垂線為 y 軸，建立平面直角坐標系：

則B 2, 2 ，C 6 2,0 ， N 3 2,0 7 2 2，M ,2 2 ÷÷，è
uuuur 7 2 2 uuur
所以 AM = , ÷÷，BN = 2 2, - 2 ．
è 2 2


uuur
cos MPN AM × BN 13 13 10所以 = = =AM BN 5 10 50 ．
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur（3）設(shè) NA = x ， NA × NB = NA × NA + AB = NA + NA × AB = x2 - 2x，
2 uuur 2 uuur uuur 1
當 x = 即 NA = 時， NA × NB 取最小值- ，
2 2 2
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 11 uuur 1 uuur\BN = BA + AN = BA - BA - BC = BA + BC ，12 12 12
uuur uuuur uuur uuur
QBC = 2BM ，BP = lBN 0 l 1 ，
uuur 11 uuur 1 uuuur 11 uuur 1 uuuur
\BP = l BA + BM

12 6 ÷
= lBA + lBM ，
è 12 6
Q A， P ，M 三點共線，
11 l 1+ l =1 l 12\ = .
12 6 13
【典例 5-2】（2024·遼寧沈陽·東北育才雙語學(xué)校校考一模）如圖，設(shè)VABC 中角 A，B，C 所對的邊分別為
1
a，b，c，AD 為 BC 邊上的中線，已知 c =1且 2csin Acos B = asin A - bsin B + bsin C ， cos BAD 21=4 ．7
(1)求 b 邊的長度；
(2)求VABC 的面積；
(3)設(shè)點 E，F(xiàn) 分別為邊 AB，AC 上的動點（含端點），線段 EF 交 AD 于 G，且△AEF 的面積為VABC 面積
1 uuur uuur
的 ，求
6 AGgEF
的取值范圍．
【解析】（1）由已知條件可知： 2c ×sin Acos B = a ×sin A - b
1
×sin B + b ×sin C
4
在V
a b c
ABC 中，由正弦定理 = = = 2R
sin A sin B sin C
得 2ac ×cos B = a2 - b2
1
+ bc
4
a2 + c2 - b2
在VABC 中，由余弦定理 cos B =
2ac
a2 + c2 - b2 2 2 1得 = a - b + bc
4
\b = 4c ，又Qc =1，\b = 4
（2）設(shè) BAC =q
uuur uuur 1 uuurQ 1
uuur
AD 為 BC 邊上中線\ AD = AB + AC2 2
uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur 2 uuur uuur則 ABgAD = ABg AB + AC = AB 1+ AB AC cosq = 2cosq 1+ 2 2 2 2
uuur uuur2 1 uuur2 uuur2 uuur uuurAD = AD = AB + AC + 2ABgAC4
1 uuur 2 uuur 2 uuur uuur
= AB + AC + AB AC cosq 17 + 8cosq=
2 2
uuur uuur
cos BAD uAuuBr gAuuDur 4cosq +1 21 = = =
AB g AD 17 + 8cosq 7 ①
\28cos2 q + 8cosq -11 = 0
1 11
\ 2cosq -1 14cosq +11 = 0\cosq = 或-
2 14
由①，得 4cosq +1 > 0\cosq 1 cosq 1 3> - \ = \sinq =
4 2 2
1 uuur uuur
\S△ABC = AB × AC ×sinq = 32
uuuv uuuv uuur uuur uuur uuur
（3）設(shè) AD = k AG ， AB = l AE， AC = m AF （l，m 1，+ ）
uuur uuur
\ AE 1= ， AF
4
=
l m
uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAD = AB + AC 2k AG = l AE + m AF AG l m = AE + AF
2 2 2k 2k
根據(jù)三點共線公式，得l + m = 2k
uuur uuur 1 uuur uuur uuurAGgEF = ADg AF - AEk
1 uuur uuurAB AC 1 uuur uuur= + AC 1- AB 2k ֏ m l
1 1 uuur 2 1 uuur 2AC AB 1 1
uuur uuur
= × × - × + - ÷ AB × AC ×cosq ÷（ cosq
1
= ，q 為∠BAC）
2k è m l è m l 2
1 16 1 2 2
= ×
2k
- + -
m l m l ֏
3 6l - m
= ×
lm l + m
1 uuur uuur
S × AB AC ×sinq△ABC = 2
S 1 uuur uuur
= 6\lm = 6
△AEF × AE AF sinq
2
uuur uuur 1 6l
6
-
\ AG × EF = × l
2 l 6+
l
3 l
2 -1
= ×
l 2 + 6
7
= 3 × 1-
è l 2 + 6 ÷
m 6= 1 l 6 l 1，6 l 2 + 6 7，42
l
1 7 uuuv uuuv
1 AGgEF é0 5 ù，
6 l 2 + 6 ê 2 ú
【變式 5-1】阿波羅尼奧斯（Apollonius）是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，他提出的阿波羅尼奧斯定理是一個關(guān)于
三角形邊長與中線長度關(guān)系的定理，內(nèi)容為：三角形兩邊平方的和，等于所夾中線及第三邊之半的平方和
é 2 ù
2 2 2 BC
的兩倍，即如果 AD 是VABC 中 BC 邊上的中線，則 AB + AC = 2 êAD + ÷ ú .
ê è 2 ú
(1)若在VABC 中， AB = 5， AC
π
= 3， BAC = ，求此三角形 BC 邊上的中線長；
3
(2)請證明題干中的定理；
(3)如圖VABC 中，若 AB > AC ，D 為 BC 中點，BD = DC = 3， a sin A + 3bsin B = 3bsin A - C ，
S 3 3△ABC = ，求 cos DAC 的值.2
【解析】（1）
如圖所示，
由余弦定理得，BC 2 = AC 2 + AB2 - 2AB AC cos A，
2 2 2 π
代值計算得到BC = 5 + 3 - 2 5 3 cos ，求得
3 BC = 19
；
é 2 ù é 2 ù
由于 AB2 AC 2
BC
+ = 2 19 7êAD2 + 2 2 2 ÷ ú，代值計算得5 + 3 = 2 êAD +2 ÷
ú，求得 AD =
ê è ú ê
2 ÷è ú 2
（2）在△ABD 中， AB2 = AD2 + BD2 - 2AD BD cos ADB；
在VACD中， AC 2 = AD2 + CD2 - 2AD CD cos ADC ；
1 é BC 2cos ADB = -cos ADC, BD = CD = BC AB2 + AC 2 = 2 AD2 +
ù
兩式相加，且 ，得到 ê
2 2 ÷
ú，則原式得證．
ê è ú
（3）由于 a sin A + 3bsin B = 3bsin A - C = 3b(sin AcosC - sin C cos A) = 3bsin AcosC - 3bsin C cos A
則由正弦定理，得 a2 + 3b2 = 3ba cosC - 3bc cos A，
a2 + b2 - c2 2 2 2
即 a2 + 3b2 = 3ba - 3bc b + c - a ，
2ab 2bc
2a2
去分母整理得到3b2 + 3c2 = 2a2，即b2 + c2 = ．
3
且BD = DC = 3，則 BC = a = 6，則b2 + c2 = 24．
é
AB2 AC 2 2 AD2 BC
2 ù
由于 + = ê +

÷ ú，且BD = DC = 3，即 c
2 + b2 = 2 é AD
2 + 9ù
ê è 2

ú
聯(lián)立解出 AD = 3
S 3 3 S 3 3 1由于 △ABC = ，則 VADC = = AD DC sin ADC
1
= 3 3sin ADC ，
2 4 2 2
1 3
解得 sin ADC = ，則 （負數(shù)不滿足）.
2 cos ADC = 2
3
由余弦定理得到 AC 2 = DC 2 + AD2 - 2AD DC cos ADC ，代值計算， AC 2 = 9 + 3- 6 3 = 3， 則
2
AC = 3 ，
cos DAC AD
2 + AC 2 - DC 2 3 + 3 - 9 1
則 = = = - ．
2AD AC 2 3 3 2
【變式 5-2】在VABC 中，內(nèi)角A ， B ，C 所對的邊分別為 a，b ， c，B = 30° .
(1)已知b = 2 ，bcos A + a cos B = 2
（i）求C ；
（ii）若 a < b ， D為 AB 邊上的中點，求CD的長.
(2)若VABC 2 3為銳角三角形，求證： a < c
3
【解析】（1）（i）因為b = 2 ，b cos A + a cos B = 2 ，所以bcos A + a cos B = 2b ，
由正弦定理可得： sin B cos A + sin Acos B = 2 sin B，即 sin(A + B) = 2 sin B，
因為在VABC ，B = 30° ， A + B + C = 180° ，
sin C 2 1 2則 = = ，
2 2
因為C (0,π)，所以C = 45° 或135°；
（ii） a < b ，所以 A < B ，則C =135° ，則 A =15°，
b a c
由正弦定理可得： = = 2 a c，即 = = ，
sin B sin A sin ACB sin 30° sin15° sin135°
6 - 2
又 sin15° = ，解得 a = 3 -1， c = 2，
4
因為 D為 AB 中點，則BD =1，
在VBDC 中，由余弦定理可得：CD2 = BC 2 + BD2 - 2BC × BD cos B，
即CD2 =1+ ( 3 -1)2 3- 2 ( 3 -1) 1 = 2 - 3 ，則CD = 2 - 3 .
2
ì0 < C < 90°
（2）因為VABC 為銳角三角形，B = 30° ，則 í ，則60°° ° < C < 90°，
0 < A =150 - C < 90
2 3
要證 a < c，即證 3 sin A < 2sin C ，
3
由于 3 sin A - 2sin C = 3 sin(B C) 2sin C 3(1 3+ - = cosC + sin C) - 2sin C
2 2
3 cosC 1= - sin C = cos(C + 30° ) ，
2 2
1
由60° < C < 90°，則90° < C + 30° <120° ，所以- < cos(C + 30° ) < 0，2
故 3 sin A - 2sin C 0 2 3< ，則 3 sin A < 2sin C ，則 a < c，證畢.
3
【變式 5-3】（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）在VABC 中，角A ， B ，C 所對的邊分別為 a，b ， c，已知
uuur uuur
a = 2， c2 = BA × BC - 2 3S ，其中S為VABC 的面積.
(1)求角A 的大小；
(2)設(shè) D是邊BC 的中點，若 AB ^ AD ，求 AD 的長.
uuur uuur 2 1
【解析】（1）據(jù) c2 = BA × BC - 2 3S ，可得 c = c × a ×cosB - 2 3 acsinB ，2
即 c = acosB - 3asinB ，
結(jié)合正弦定理可得 sinC = sinAcosB - 3sinAsinB .
在VABC 中， sinC = sin éπ - A + B ù = sin A + B = sinAcosB + cosAsinB ，
所以 sinAcosB + cosAsinB = sinAcosB - 3sinAsinB，
整理得 cosAsinB = - 3sinAsinB .
因為B 0, π ， sinB > 0，故 cosA 3= - 3sinA，即 tanA = - ，
3
又 A 0, π 5，所以 A = π .
6
（2）
法一：因為 D是邊BC 的中點， a = 2，所以BD = CD =1 .
在△ABD 中， AB ^ AD ，則 AD = BDsinB = sinB .
VACD CAD 5π π π C π 5π B π在 中， = - = ， = - - = - B ，CD =1，
6 2 3 6 6
1 AD
CD AD =
據(jù)正弦定理可得， = ，即 π π ，
sin CAD sinC sin sin3
- B
6 ֏
AD 2= sin π - B 所以 ÷ .3 è 6
sinB 2所以 = sin
π 3
- B6 ÷
，即 sinB 1= cosB 3- sinB，
3 è 2 2 2
所以 cosB = 2 3sinB，
又 sin2B + cos2B =1，B 0, π ，
2 2所以 sin B + 2 3sinB =1，解得 sinB 13= ，13
13
所以 AD = .
13
法二：因為 D是邊BC 的中點，故 SVABD = SVACD ，
1 c 1
1
所以 × AD = b × AD ×sin DAC ，即 c × AD
1
= b 5π× AD ×sin π -

÷ ，2 2 2 2 è 6
3
整理得 c = b ①
2
在VABC 中，據(jù)余弦定理得，a2 = b2 + c2 - 2bccos BAC，
即b2 + c2 + 3bc = 4 ②
4
聯(lián)立①②，可得b = ， c 2 3= .
13 13
2
2 3 1
在Rt△ABD 中，據(jù)勾股定理得， AD2 = BD2 - AB2 =1- 13 ÷
÷ = ，
è 13
13
所以 AD = .
13
法三：延長BA到點 H ，使得CH ^ AB .
在Rt△CHB 中， AD ^ AB，CH ^ AB，故 AD∥CH ，
又 D是BC 的中點，所以A 是BH 的中點，
所以 AH = AB = c ，CH = 2AD，且HB2 + HC 2 = a2 = 4 .
在Rt△CHA中， CAH = π - BAC = π
5 π
- π = ， AC = b ， AH = c ，
6 6
所以CH = bsin CAH
1
= b ，且
2 c = bcos CAH
3
= b .
2
2 2 2
2c 2 1+ b 2 3 1= 4 b + b = 4 b 4 13所以 ，即
è 2 ÷
，解得 = （負舍），
è 2
÷÷ ÷
è 2 13
AD 1 CH 1 1 b 1 b 13所以 = = = = .
2 2 2 4 13
法四：延長 AD 到E，使 AD = DE ，連結(jié)EB， EC .
因為 D是BC 的中點，且 AD = DE ，
故四邊形 ABEC 是平行四邊形，BE = AC = b .
又 BAC
5
= π ，所以 ABE = π - BAC
5
= π - π π= .
6 6 6
在Rt△BAE 中， AB ^ AD ， ABE
π
= ， AB = c，BE = AC = b，
6
所以 AE = BE ×sin ABE
1
= b ，且
2 c = BE ×cos ABE
3
= b .
2
1 1 1
在Rt△BAD中， AB ^ AD ， AB = c， AD = AE = b ，BD = a =1，
2 4 2
1 2
據(jù)勾股定理 AB2 + AD2 = BD2，可得 c2 + b 4 ÷
=1，
è
3 4 13
將 c = b 代入上式，可得b = （負舍），
2 13
AD 1 13所以 = b = .
4 13
題型六：高問題
π
【典例 6-1】（2024·河北秦皇島·三模）在VABC 中，內(nèi)角A ， B ，C 所對的邊分別為 a，b ， c，C = 且
3
a + b = 7 4 3，VABC 的外接圓半徑為 .
3
(1)求VABC 的面積；
(2)求VABC 邊 AB 上的高 h .
c 4 3 4 3 3
【解析】（1）在VABC 中，由正弦定理可得， = 2 ，則 c = 2 = 4，
sinC 3 3 2
根據(jù)余弦定理 c2 = a2 + b2 - 2abcosC ，得16 = a2 + b2 - 2abcosC = a + b 2 - 3ab，
所以3ab = 49 -16 = 33，所以 ab =11，
所以 S 1△ABC = absinC
11 3
= .
2 4
1
（2） S△ABC = absinC
1
= ch h 11 sin60° 11 3，所以 = = .2 2 4 8
【典例 6-2】（2024·四川·模擬預(yù)測）在VABC 中，內(nèi)角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c，且
3c sin B + b cos A + B = b .
(1)求角C 的大小；
(2)若a = 8，VABC 的面積為 4 3 ，求 AB 邊上的高.
【解析】（1）∵ 3c sin B + b cos A + B = b，
由正弦定理可得： 3 sin C sin B + sin B cos A + B = sin B，
∴ 3 sin C sin B - sin B cosC = sin B .
∵ sin B 0 ，
∴ 3 sin C - cosC =1，
∴ sin
π 1
C - ÷ = ，
è 6 2
∵ C 0, π ，
π π
∴ C - = ，
6 6
C π∴ = .
3
（2）如圖所示，
S 1 absin C 1∵ = = 8 bsin
π
= 2 3b = 4 3 ，
2 2 3
∴ b = 2 .
由余弦定理可知 c = 22 + 82 - 2 2 8 cos π = 2 13 .
3
1 1
而 S = ch = 2 13 h = 4 3 4 39，解得
2 2 h =
，
13
4 39
所以 AB 邊上的高為 .
13
【變式 6-1】在VABC 中，角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，已知 a = 7,c = 8 .
4
(1)若 sinC = ，求角A 的大小；
7
(2)若b = 5，求 AC 邊上的高.
a c 4
【解析】（1 7 ）由正弦定理， = ，即 sin A a sinC 7 1= = = ，sin A sin C c 8 2
因 a < c
π
，故 A < C ,即A 是銳角，故 A = ；
6
（2）
a2 + b2 - c2cosC 49 + 25 - 64 1如圖，由余弦定理， = = = ，
2ab 70 7
知角C 是銳角，則 sinC = 1- cos2 C 4= 3 ，
7
作BH ^ AC 于點 H ，在Rt△BCH
4
中，BH = a sinC = 7 3 = 4 3 ,
7
即 AC 邊上的高是 4 3 .
【變式 6-2】（2024·山東棗莊·一模）在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c
a
，且 = sinAtan
C
．
2c 2
(1)求C ；
uuur uur uuur m
(2)若a = 8,b = 5,CH 是邊 AB 上的高，且CH = mCA + nCB，求 ．n
a C
【解析】（1）VABC 中， = sinAtan ，由正弦定理和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，
2c 2
sinA sinA
C
×sin C
2 sinA
sinA ×sin
得 = C ，由倍角公式得 C C =
2
2sinC ．cos 4sin ×cos cos C
2 2 2 2
又因為 A,C 為VABC 的內(nèi)角，所以 A 0, π C π ， 0, ÷，2 è 2
所以 sinA
C
0,cos 0．
2
2 C 1 C 1
所以 sin = ， sin = ，
2 4 2 2
C π π
則有 = ，得C = ．
2 6 3
π uuur uuur uuur uuur
（2）方法一 ： a = 8,b = 5，C = ，CA ×CB CA CB
π
= × ×cosC = abcosC = 5 8 cos = 20，
3 3
uuur2 uuur2
所以CA = b2 = 25,CB = a2 = 64 ，
uuur uuur
由題意知CH ^ AB，所以CH × AB = 0，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2即 mCA + nCB × CB - CA = m - n CB ×CA - mCA + nCB = 20 m - n - 25m + 64n = 0．
所以5m = 44n
m 44
，所以 = ．
n 5
方法二 ：VABC 中，由余弦定理得 c2 = a2 + b2 - 2abcosC
1
= 82 + 52 - 2 8 5 = 49 ，
2
所以 c = 7．
1
又因為 S△ABC = absinC
1
= c ×CH ，
2 2
8 5 3
所以CH absinC 20 3= = 2 = ．
c 7 7
2 2 5 AH 5
所以 AH = CA - CH = ， = ．
7 AB 49
uuur uuur uuur uuur 5 uuur uuur 44 uuur uuur所以CH = CA + AH 5= CA + CB - CA = CA + CB．49 49 49
m 44 ,n 5由平面向量基本定理知， = = ，
49 49
m 44
所以 = ．
n 5
題型七：重心性質(zhì)及其應(yīng)用
【典例 7-1】（2024·四川內(nèi)江·一模）VABC 的內(nèi)角A 、 B 、C 所對的邊分別為 a、b 、 c， a = 6，
bsin B + C = asinB．
2
(1)求角A 的大小；
(2) M 為VABC 的重心， AM 的延長線交BC 于點 D，且 AM = 2 3，求VABC 的面積．
bsin B + C【解析】（1）在VABC 中，因為 = bsin
π A A
2
- ÷ = bcos = asinB ，
è 2 2 2
由正弦定理可得 sinBcos
A
= sinAsinB ,Q0 < B < π，\sinB 0，即 cos
A
= sinA，
2 2
所以 cos
A
= 2sin A cos A ，Q0 < A < π, 0
A π A
\ < < ，\cos > 0，
2 2 2 2 2 2
故 sin
A 1
= π，即 A =
2 2 3
.
（2）因為M 為VABC 的重心， AM 的延長線交BC 于點 D，且 AM = 2 3，
b2 + c2 - 62 1
所以點 D為BC 中點，且 AD = 3 3 ，在VABC 中， a = 6， cosA = = ，即bc = b2 + c2 - 36，
2bc 2
AD2 + BD2 - c2 AD2 2 2
在△ABD 和VACD中， cos + CD - b ADB = = -cos ADC = - ,化簡得b2 + c2 = 72 ，
2AD × BD 2AD ×CD
1
所以bc = b2 + c2 - 36 = 72 - 36 = 36，故 SVABC = bcsinA
1 36 sin π= = 9 3 ，
2 2 3
所以VABC 的面積為9 3 ．
【典例 7-2】（2024·江西景德鎮(zhèn)·一模）如圖，已知△ABD 的重心為 C，△ABC 三內(nèi)角 A、B、C 的對邊分別
a b c. cos2
A b + c
為 ， ， 且 =
2 2c
(1)求∠ACB 的大小；
π
(2)若 CAB = ，求 sin CDA的大小.
6
2 A b + c 1 1 b + c
【解析】（1）由題意知， cos = ， + cos A =2 2 2c ，2 2c
1 1 sin B + sin C
由正弦定理，得 + cos A =2 2 2sin C ，
整理，得 sin C cos A = sin B ，又sin B = sin(A+ C)，
所以 sin C cos A = sin(A + C) = sin AcosC + sin C cos A，
有 sin AcosC = 0，又 sin A 0 ，所以 cosC = 0，
由0 < C < π C
π π
，得 = ，即 ACB = .
2 2
（2）由題意知，點 C 是△ABD 的重心，
如圖，延長 DA、BC 分別交 AB、AD 于點 E、F，則 E、F 分別是 AB、AD 的中點，
π π
由（1）知C = ，又 CAB = ，則 c = 2a,b = 3a ，得 AE = BE = a,CF a= ，
2 6 2
由 CBA
π
= ，知VEBC 為等邊三角形，有CE = a ，所以CD = 2a ，
3
在直角△ACF 中， AF = AC 2 + CF 2 13a= ，所以 AD = 2AF = 13a ，
2
在VACD中，由余弦定理，
DA2cos CDA + DC
2 - CA2 13a2 + 4a2 - 3a2 7 13
得 = = = ，
2DA × DC 4 13a2 26
由 0 < CDA < π ，得 sin CDA = 1- cos2 CDA
39
= ，
26
39
即 sin CDA的值為 .
26
【變式 7-1】（2024·高三·福建福州·期中）已知VABC 內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，點 G 是VABC
uuur uuur
的重心，且 AG × BG = 0 ．
(1)若 GAB
AG
= π6 ，①直接寫出 = ______；②設(shè) CAG = a ，求 tana 的值CG
(2)求 cos ACB的取值范圍．
【解析】（1）①設(shè) AB 的中點為 D，則D,G,C 三點共線且CG = 2DG ，
uuur uuur
因為 AG × BG = 0 ，所以 AG ^ BG ，所以 AD = DG ，
因為 GAB = π6 ，所以 GAB = AGD =
π
6 , ADG =
2π
3 ，
所以在△ADG 中，由余弦定理得 AG = AD2 + DG2 - 2ADg DG cos ADG = 3DG ，
AG 3
所以 = .
CG 2
3
故答案為： .
2
②以A 為原點， AB 所在直線為 x 軸建立如圖平面直角坐標系，設(shè) AB = 2 ，則

B 2,0 ，G 3 3 , ÷÷，D 1,0 ，
è 2 2
uuur 1 3 uuur uuurDG = , ÷÷，GC = 2DG = 1, 32 2

C 5 3 3

，故 ,2 2 ÷÷
，
è è
tan BAC 3 3所以 = ，
5
tan BAC tan π 3 3 3 - -
所以 tana = tan

BAC
π 3- = 6 = 5 3 = .
è 6 ÷ 1+ tan BAC g tan π 3 3 3 6
6 1+ 5 3
π uuur
（2）設(shè) GAB = q ,q 0, ÷，則 G 2cos2 q , 2cosq sinq ， DG = 2cos2 q -1,2cosq sinq = cos 2q ,sin 2q ，
è 2
uuur uuur
GC = 2DG = 2cos 2q , 2sin 2q ，故C 2cos 2q + 2cos2 q ,3sin 2q ，即C 3cos 2q +1,3sin 2q
uuur uuur
所以CA = -3cos 2q -1, -3sin 2q ，CB = 1- 3cos 2q , -3sin 2q ，
uuur uuur uuur uuur
所以 cos ACB = cosáCA,CB
CA
= uuurg CuuBur
CA CB
8 8
= =
，1+ 3cos 2q 2 + 9sin2 2q 1- 3cos 2q 2 + 9sin2 2q 100 - 36cos2 2q
π
因為q 0, ÷ ，所以 2q 0, π ，所以-1 < cos 2q <1，
è 2
4 8
所以 <15 ，100 - 36cos2 2q
cos ACB é4 ,1 即 ê5 ÷
.

【變式 7-2】（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測）VABC 的角 A, B,C 對應(yīng)邊是 a，b，c ，三角形的重心是 O.已知
OA = 3,OB = 4,OC = 5 .
(1)求 a 的長.
(2)求VABC 的面積.
uuur uuur uuur r uuur uuur uuur
【解析】（1）在VABC 中，由 O 是重心，得 OA+ OB + OC = 0 ，即有 AO = OB + OC ，
uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur 4
于是 AO = OB + OC + 2OB ×OC = 42 + 52 + 2 4 5cos BOC = 32 ，解得 cos BOC = - ，5
uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2 uuur uuur
而BC = OC -OB，所以 a =| BC |= OC + OB - 2OC ×OB = 42 + 52 - 2 4 5 (
4
- ) = 73 .
5
4 3
（2）由（1）得 sin BOC = 1- (- )2 = ，又 O 是重心，
5 5
1
所以VABC 的面積 SVABC = 3SVOBC = 3 OB ×OC sin BOC
3 4 5 3= =18 .
2 2 5
題型八：外心及外接圓問題
【典例 8-1】（2024·廣東深圳·二模）已知在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c, a = 6,b = 2,c =1.
(1)求角A 的余弦值；
uuur uuur uuur uuur
(2)設(shè)點O為VABC 的外心（外接圓的圓心），求 AO × AB, AO × AC 的值.
【解析】（1）在VABC 中， a = 6,b = 2,c =1，
b2 + c2 - a2cosA 1由余弦定理 = = - ；
2bc 4
（2）設(shè) AB, AC 的中點分別為M , N , OAM = a , OAN = b ，
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur2
則 AO × AB = AO × AB cosa = AM × AB
1
= AB 1= ，
2 2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2
同理 AO × AC = AO × AC cos b = AN × AC
1
= AC = 2 .
2
【典例 8-2】已知VABC 的內(nèi)角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c, a = 3,2c - b = 2acosB ．
(1)求A ；
(2) M 為VABC 3外心， AM 的延長線交BC 于點 D，且MD = ，求VABC 的面積．
2
【解析】（1）Qa = 3,b + 6cosB = 2c ，在VABC 中，由正弦定理得 sinB + 2sinAcosB = 2sinC ，
又 sinC = sin A + B ，則 sinB + 2sinAcosB = 2sin A + B ，即 sinB = 2cosAsinB，
QB 0, π ，即 sinB 0，
\cosA 1= ，Q A 0, π ，
2
π
\ A = ；
3
（2
π
）由（1）得 A = 3 ，設(shè)VABC 的外接圓M 的半徑為 R ，
在VABC
a
中，由正弦定理得 2R = = 2 3，解得
sinA R = 3
，
BM 2 + CM 2 - BC 2
則BM = CM = R = 3 ，在△BMC 中，由余弦定理得 cos BMC 1= = - ，
2BM ×CM 2
\ BMC 2π MBD π= = 3， ，QMD = ，
3 6 2
\在VBDM 中，由正弦定理得 sin BDM
BM
= ×sin MBD =1，
MD
\ BDM π= ，即MD ^ BC,\VABC 是等邊三角形，
2
\VABC 1的面積為 32 3 9 3 = .
2 2 4
uuur uuur
【變式 8-1】VABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c,c > b, AB × AC = 20,VABC 的面積為10 3 .
(1)求 A；
uuur uuur 49
(2)設(shè)O點為VABC 外心，且滿足OB ×OC = - ，求 a .
6
uuur uuur
【解析】（1） AB × AC = 20 bccosA = 20, S
1
VABC =10 3 bcsinA =10 3 ，2
兩式相除得： tanA = 3 ，
又0° < A <180°，∴ A = 60° .
uuur uuur uuur
2 1 49 uuur 7
（2）QO為外心，故 BOC = 2 A =120°,OB ×OC =| OB | - ÷ = - OB = .
è 2 6 3
a 2R 14由正弦定理可知： = = a = 7sinA .3
【變式 8-2】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知VABC 的外心為O，點M , N 分別在線段 AB, AC 上，且O恰為
MN 的中點．
(1)若BC = 3,OA = 1，求VABC 面積的最大值；
(2)證明： AM × MB = AN × NC ．
BC
【解析】（1）由正弦定理，得 = 2OA，
sin BAC
所以 sin BAC BC 3= = ，
2OA 2
又 BAC 0, π ，所以 BAC π 2π= 或 ，
3 3
BAC π當 = 時，
3
由余弦定理，得BC 2 = AB2 + AC 2 - 2AB AC cos BAC
= AB2 + AC2 - AB AC 2AB AC - AB AC = AB AC ，
所以 AB AC 3，VABC S 1的面積 = AB AC sin π 3 3 ，
2 3 4
當且僅當 AB = AC = 3 時，取等號；
BAC 2π當 = 時，
3
同理可得 AB AC 1，VABC 的面積 S 3≤ ，
4
當且僅當 AB = AC =1時，取等號．
綜上，VABC 3 3面積的最大值為 ；
4
（2）證明：設(shè) AM = x1, BM = y1, AN = x2 ,CN = y2，
2
cos AMO x1 + OM
2 - AO2 cos BMO y
2
1 + OM
2 - BO2
由余弦定理知 = ， = ，
2x1 ×OM 2y1 ×OM
因為cos AMO + cos BMO = 0，
x21 + OM
2 - AO2 y2 + OM 2 - BO2
所以 + 1 = 02x ，1 ×OM 2 y1 ×OM
2 2
化簡整理得 x1y1 + OM - AO x1 + y1 = 0，
而 x1 + y1 0，因此 x1 y1 = AO
2 - OM 2 ，
又因為O是VABC 外心，故 AO = BO = CO，
同理可知 x2 y2 = AO
2 - ON 2 ，
因為O恰為MN 的中點，
因此 x1y1 = x2 y2，所以 AM × MB = AN × NC ．
【變式 8-3】（2024·安徽黃山·三模）記VABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，已知 c = 3，
b(1+ cosC) = 3c sin B .
(1)求角C 的大小和邊b 的取值范圍；
uuur uuur uuur uuur
(2)如圖，若O是VABC 的外心，求OC × AB + CA ×CB的最大值.
【解析】（1）在VABC 中，由b(1+ cosC) = 3c sin B 結(jié)合正弦定理可得：
sin B(1+ cosC) = 3 sin C sin B ，
因為B 0, π ，則 sin B 0 ，
化簡得 3 sin C - cosC 2sin
π= p 1 C - ÷ =1，即 sin(C - ) = ，
è 6 6 2
又因為C 0, π C π π 5π，則 - - ,

6 6 6 ÷
，
è
C π π π所以 - = ，解得C = ，
6 6 3
c b 3
= = = 2
由正弦定理 sin C sin B 3 ，化簡得b = 2sin B ，
2
因為 0 < B
2π
<
3 ，所以
0 < sin B≤1，所以0 < b 2 .
uur uuur uuur
（2）解法 1：由正弦定理得 OA = OB = OC = R =1 AOB
2π
，且 = ，
3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur因為OC × AB + CA ×CB = OC × OB - OA + OA - OC × OB - OC
uuur uuur uuur uur uur uuur uur uuur uuur uuur uuur2
= OC ×OB - OC ×OA + OA ×OB - OA ×OC - OC ×OB + OC
uuur uur uur uuur uuur2
= -2OC ×OA + OA ×OB OC 2cos AOC 1 12 1+ = - - + = - 2cos AOC ，
2 2
當點 O 不在VABC 外部時（如圖） AOC = 2B ，
uuur uuur uur uur
OC AB CA CB 1 2cos 2B= 1× + × = - - 2(1- 2sin2 B) = 4sin2 B 3 b2 3- = - ；
2 2 2 2
當點 O 在VABC 外部時（如圖）， AOC = 2(π - B) = 2π - 2B ，
uuur uuur uur uur
OC AB CA CB 1 2cos(2π 2B) 1 2cos 2B b2 3× + × = - - = - = - ；
2 2 2
由（1）可知0 < b 2，
uuur uuur uuur uuur
即當b
5
= 2 時，則OC × AB + CA ×CB的最大值為 .2
uuur uuur
解法 2：由題可知：CA CB
p 1
× = a ×bcos = ab ，
3 2
如圖，分別取線段BC, AC 的中點D, E ，
由于 O 是VABC 的外心，則OD ^ BC,OE ^ AC ，
uuur uuur uuur uur uur uuur uur uuur uur
則OC × AB = -CO × (CB - CA) = -CO ×CB + CO ×CA
uuur uur uur uur a2 b2
= -CD ×CB + CE ×CA = - + ，
2 2
uuur uuur uur uur
OC b
2 + ab - a2
所以 × AB + CA ×CB = ，
2
由余弦定理得 c2 = a2 + b2 - 2abcosC ，即3 = a2 + b2 - ab ，
整理得 ab - a2 = b2 - 3，
uuur uuur uur uur 2
OC AB CA CB b + ab - a
2 b2 + b2 - 3
所以 × + × = = = b2 3- ，
2 2 2
由（1）可知0 < b 2，
uuur uuur uuur uuur
即當b
5
= 2 時，則OC × AB + CA ×CB的最大值為 .2
題型九：兩邊夾問題
a + b
【典例 9-1】在DABC 中，角 A, B,C
2
所對的邊分別為 a,b,c，若 cos A + sin A - = 0，則 的值
sin B + cos B c
是（ ）
A． 2 B． 3 C． 2 D．1
【答案】C
【解析】因為 cos A + sin A
2
- = 0，即 cos A + sin A
2
= ，
sin B + cos B sin B + cos B
所以 cos A + sin A sin B + cos B = 2，
可得 cos Asin B + cos Acos B + sin Asin B + sin Acos B = 2，
所以 sin(A + B) + cos(A - B) = 2，
由正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得 sin(A + B) = 1且 cos(A - B) = 1，
因為 A, B,C (0,p )且 A + B + C = p ，
ìA B p + = p p
所以 í 2 ，解得 A = B = ，所以C =
A B 0 4 2
，
- =
2 2
又由正弦定理可得 a + b sin A + sin B += = 2 2 = 2 .
c sin C 1
故選：C.
【典例 9-2】在DABC 中， a、b 、 c分別是 A、 B、 C 所對邊的邊長.若
cos A + sin A 2- = 0 a + b，則 的值是（
cos B sin B ）.+ c
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【答案】B
【解析】因為 cos sin
2
A + A - = 0 ，所以 cos A + sin A cos B + sin B = 2，
cos B + sin B
所以 cos Acos B + sin Asin B + sin Acos B + cos Asin B = 2，
即 cos(A - B) + sin(A + B) = 2
所以 cos(A - B) =1,sin(A + B) =1，所以 A = B, A + B
p
= ，所以 a = b,
a + b
= 2 ，故選 B.
2 c
【變式 9-1】在DABC 中，已知邊 a,b,c所對的角分別為 A, B,C ，若
2sin2 B + 3sin2 C = 2sin Asin B sin C + sin2 A，則 tan A = _________________
【答案】 -1
【解析】由正弦定理得 2b2 + 3c2 = 2bc sin A + a2 ，由余弦定理得 2b2 + 3c2 = 2bc sin A + b2 + c2 - 2bc cos A ,
b2 + 2c2
即 = sin A - cos A
2bc
2
因為 b + 2c
2 2 b2 × 2c2
= 2,sin A - cos A 2
2bc 2bc
所以b = 2c, A
3π
= tan A = -1.
4
【變式 9-2】（2024·江蘇蘇州·吳江中學(xué)模擬預(yù)測）在DABC 中，已知邊 a,b,c所對的角分別為 A, B,C ，若
5 - 2cos2 B - 3cos2 C = 2sin Asin Bsin C + sin2 A，則 tan A = _____．
【答案】-1
【解析】由5 - 2cos2 B - 3cos2 C = 2sin Asin Bsin C + sin2 A得 2sin2 B + 3sin2 C = 2sin Asin B sin C + sin2 A
由正弦定理得 2b2 + 3c2 = 2bc sin A + a2 ，
b2 + 2c2
由余弦定理得 2b2 + 3c2 = 2bc sin A + b2 + c2 - 2bc cos A ,即 = sin A - cos A 因為
2bc
b2 + 2c2 2 b2 × 2c2
= 2,sin A - cos A 2
2bc 2bc
所以b = 2c, A
3π
= tan A = -1.
4
【變式 9-3】在DABC 中，已知邊 a、b 、 c所對的角分別為A 、 B 、C ，若 a = 5 ，
2sin2 B + 3sin2 C = 2sin Asin B sin C + sin2 A，則DABC 的面積 S = ______.
1
【答案】 2
【解析】正弦定理得 2b2 + 3c2 = 2bc sin A + a2，
由余弦定理得 2b2 + 3c2 = 2bc sin A + b2 + c2 - 2bc cos A，
b2 + 2c2
即 = sin A - cos A，
2bc
b2 + 2c2 2 b2 × 2c2
因為 = 2 ，
2bc 2bc
sin A cos A = 2 sin
p
故 - A - ÷ 2 ，
è 4
p p 3p
故可得 sinA - cosA = 2 ，當且僅當 A - = ，即 A = 時取得.4 2 4
也即當b = 2c時取得等號，
所以 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A = 5c2，即 c2 =1 .
所以DABC
1 1 2 1
的面積為 S = bc sin A = c = .
2 2 2
1
故答案為： .
2
【變式 9-4】在VABC 中，若 (cos A + sin A)(cos B + sin B) = 2 ，則角C = __．
【答案】90o
【解析】Q(cos A + sin A)(cos B + sin B) = 2，\cos Acos B + sin Asin B + cos Asin B + sin Acos B = 2 ，
即 cos(A - B) + sin(A + B) = 2，
Qcos(A - B) 1， sin(A + B) 1，
\cos(A - B) + sin(A + B) = 2 ，等價于 cos(A - B) = 1且 sin(A + B) = 1，
A, B為VABC 的內(nèi)角，所以 A - B = 0且 A + B = 90o，即 A = B = 45o ．
則VABC 是等腰直角三角形，C = 90o ．
故答案為：90o．
題型十：內(nèi)心及內(nèi)切圓問題
【典例 10-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)VABC 的內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，且滿足
2a cos B + b = 2c， a = 5．
(1)求VABC 的周長的取值范圍；
(2)若VABC 5 3的內(nèi)切圓半徑 r = ，求VABC 的面積 S.
6
【解析】（1）由 2a cos B + b = 2c及余弦定理得，
a2 + c2 - b22a + b = 2c，即b2 + c2 - a2 = bc ，
2ac
b2 + c2 2
所以 cos A
- a 1
= = ．
2bc 2
又0 < A
π
< π ，所以 A = ，
3
a b c 10 3
π = = =所以由正弦定理得 sin sin B sin C 3
，
3
10 3 10 3
所以b = sin B， c = sin C ，
3 3
則 a + b + c 5 10 3= + sin B 10 3+ sin C
3 3
5 10 3 é 2π= + ùêsin B + sin - B ÷ú = 5 +10sin
B π +

3 3 6 ÷
，
è è
2π π π 5π 1 π
又因為0 < B < ，所以 < B + < ，所以 < sin B + 1，
3 6 6 6 2 6 ֏
即10 < 5 +10sin
π
B + ÷ 15，即10 < a + b + c 15，
è 6
故VABC 的周長的取值范圍為 10,15 ；
（2）解法一：
π 1 1
由（1）得 A = ，因為 SVABC = bc sin A = a + b + c r ，3 2 2
r 5 3= ， a = 5
5
，所以bc = 5 + b + c 25 5= + b + c ，
6 3 3 3
2
由b2 + c2 - a2 = bc 得 b + c - 25 = 3bc ，
從而 b + c 2 - 25 = 25 + 5 b + c ，
即 b + c 2 - 5 b + c - 50 = 0，
解得b + c =10或b + c = -5（舍去），
S 1 a b c r 1 5 3 25 3所以 = + + = 5 +10 = ．
2 2 6 4
解法二：
如圖，設(shè)圓 O 是VABC 的內(nèi)切圓，各切點分別為 D，E，H．
π π
由（1）知 A = ，所以 DAO = ．
3 6
r 5 3又因為 = ，
6
所以由切線長定理得DA = EA = 3DO
5
= ，
2
于是BD = BH c
5 5
= - ，CE = CH = b - ，
2 2
a BH CH 5 5又 = + = c - + b - = 5，即b + c =10，
2 2
1 1
所以 S = a + b + c r = 5 +10 5 3 25 3 = ．
2 2 6 4
【典例 10-2】（2024·湖南永州·一模）在VABC 中，設(shè) A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，且滿足
c cos A - a cosC = a + b．
(1)求角C ；
(2)若 c = 5,VABC 3的內(nèi)切圓半徑 r = ，求VABC 的面積．
4
【解析】（1）在VABC 中，由 c cos A - a cosC = a + b得 sin C cos A - sin AcosC = sin A + sin B ，
即 sin C cos A - sin AcosC = sin A + sin(A + C) ,
故-2sin AcosC = sin A，由于 A (0, π),\sin A 0，
故 cosC
1
= - ，而C (0,π)，故C
2π
= .
2 3
C 2π（2）由 = 可得 c2 = a2 + b2 + ab，而 c = 5，
3
故 a2 + b2 = 25 - ab，則 (a + b)2 = 25 + ab ，
VABC 3 1 (a b c) r 1由 的內(nèi)切圓半徑 r = ，可得 + + × = absin C ，
4 2 2
3
即 (a + b + 5) 3= ab ，即 a + b = 2ab - 5，
4 2
故 (2ab - 5)2
21
= 25 + ab，解得 ab = ，
4
VABC S 1 absin C 1 21 3 21 3故 的面積 = = = .
2 2 4 2 16
【變式 10-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知VABC 中，角A ， B ，C 的對邊分別是 a，b ， c，
3b-csin A = 3acosC．
(1)求角A 的大小；
(2)若 a = 7，VABC
R
外接圓的半徑為 R ，內(nèi)切圓半徑為 r ，求 的最小值．
r
【解析】（1）由 3b-csin A = 3acosC及正弦定理，
得 3sin B-sinCsin A = 3sin AcosC，
故 3 sin(A + C) - sin C sin A = 3 sin AcosC ，
即 3sin AcosC + 3cos AsinC -sinCsin A = 3sin AcosC ，
即 sin C( 3 cos A - sin A) = 0．
由0 < C < π，則 sin C 0，故 3 cos A - sin A = 0，即 tan A = 3 ．
因為0 < A < π p，所以 A = 3 ．
（2）由（1）和余弦定理可得， 49 = b2 + c2 - bc = (b + c)2 - 3bc，
bc (b + c)
2 - 49 b + c 2 (b + c)2
故 = ， 49 = (b + c)2 - 3bc (b + c)2 - 3
3 ÷
= ，
è 2 4
即b + c 14，當且僅當b = c = 7時等號成立．
故 (b + c)max =14．
1
由利用等面積法求得 r 的最大值，易知 (a + b
1
+ c)r = bc sin A，
2 2
(b + c)2 - 49
故 r bc sin A 3 bc 3
7 3
= = × = × 3 3= (b + c - 7) 7 3 ，故 rmax = ，
a + b + c 2 b + c + 7 2 b + c + 7 6 6 6
R a 7 3
R
利用正弦定理 = = ，所以 的最小值為 2．
2sin A 3 r
【變式 10-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）在VABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，且
sin2 A sin2 B sin 2A ×sin 2B× = ．
4
(1)求C ；
(2)若 c = 2，求VABC 內(nèi)切圓半徑取值范圍．
π
【解析】（1）由題意 sin2 Asin2 B = sin Acos Asin Bcos B得 sin Asin B = cos Acos B ，即 cos(A + B) = 0 ， A + B = ，2
π
故C = ．
2
1 1
（2）因為 ab = (a + b + c)r ， r 為內(nèi)切圓半徑，
2 2
r ab 2sin A × 2cos A 2sin Acos A所以 = = = ．
a + b + 2 2sin A + 2cos A + 2 sin A + cos A +1
2
設(shè) t = sin A + cos A r t -1，則 = = t -1，
t +1
t 2 sin A π π

A 0, sin A π 2
ù
又因為 = + 4 ÷
， ÷ ， +2 4 ÷
,12 ú
， t (1, 2]，
è è è è
所以三角形內(nèi)切圓半徑的取值范圍為 (0, 2 -1]．
【變式 10-3】（2024·廣西南寧·一模）在VABC 中，角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，已知 a = 2，且
sin A + sin B b - c
= ．
sin C b - a
(1)求VABC 的外接圓半徑 R；
(2)求VABC 內(nèi)切圓半徑 r 的取值范圍．
sin A + sin B b - c a + b b - c
【解析】（1）因為 = ，由正弦邊角關(guān)系得 = ，即b2 + c2 2 ，sin C b - a c b - a - a = bc
b2 2 2 π
由余弦定理，得 cos A + c - a bc 1= = = ，又 A 0, π ，所以 A = ，
2bc 2bc 2 3
2R a 2 4 3= = = 2 3
由 sin A 3 3 ，則R = .3
2
b c a 2 4
= = = = 4
（2）由正弦定理得 sin B sin C sin A π 3 ，所以b = sin B， c
4
= sin C
sin ，
3 3 3
2
2 2
由余弦定理，得 4 = b + c - 2bc cos
π
= b + c 2 - 3bc b + c - 4，所以
3 bc =
，
3
1 1
利用等面積法可得 SVABC = bc sin A = a + b + c r ，2 2
b + c 2 - 4
則 r bc sin A 3 3= = = b + c - 2
a + b + c 6 2 + b + c 6
3 4 sin B 4 sin C 2 3 é 4 4 2 ù= + - ÷ = ê sin B + sin
π - B ÷ - 26 è 3 3 6 3 3 è 3 ú
2 3 π 3
= sin B +

÷ - ，3 è 6 3
π B 0, π π 2π πB A = , B +
π π π 5π
∵ a b ，∴ ，故 ÷ ÷ ，則 , 3 3 3 3 6 6 2 ÷
, ÷，
è è è è 2 6
sin B π 1

所以 + ÷ ,1
3
，故 r 0,
6 2 ÷ 3 ÷
.
è è ÷è
【變式 10-4】（2024·吉林·二模）已知 VABC 的三個內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c,VABC 的外接圓半徑為
3，且 sin2 B + sin2 C - sin BsinC = sin2 A.
(1)求 a ;
(2)求VABC 的內(nèi)切圓半徑 r 的取值范圍
【解析】（1）由正弦定理可得，b2 + c2 - bc = a2 ，即b2 + c2 - a2 = bc ，
2 2
cos A b + c - a
2 1
所以 = = ，
2bc 2
由0 < A < π 可知， A π= 3 ，
a
所以 = 2R = 2 3 π，故 a = 2 3 sin = 2 3 3 = 3 .
sin A 3 2
（2）因為VABC 的內(nèi)切圓半徑 r ，
S 1所以 △ABC = (a
1
+ b + c) × r = bc sin A，
2 2
r bc sin A 3 bc即 = = × ，
a + b + c 2 3+ b + c
又因為b2 + c2 - bc = a2 = 9，所以 (b + c)2 - 9 = 3bc ，
r 1 (b + c)
2 - 9 b + c - 3
所以 = × = ，
2 3 3+ b + c 2 3
b + c = 2R(sin B + sin C) = 2 3 ésin B + sin 2π - B ù
3 1
由正弦定理 ê ÷ = 2 3 sin B + cos B + sin B ÷
è 3 ú è 2 2 ÷

= 2 3 3 sin B
3
+ cos B ÷÷ = 6sin

B
π
+ ÷，
è 2 2 è 6
又B

0,
2π
÷，則B
π π 5π
+
3 6
, ÷ ，
è è 6 6
所以 sin
B π 1 π +
ù
6 ÷
,1
è è 2 ú
，故b + c - 3 = 6sin B + ÷ - 3 0,3 ，
è 6
b + c - 3 3 ù
所以 r = 0, 2 ú
.
2 3 è
1．如圖所示，在VABC 中，設(shè) a,b,c分別為內(nèi)角 A, B,C 的對邊，已知b + c = 3a，b = 4 c - a ．
(1)求角C ；
(2)若 c = 7，過 B 作 AC 的垂線并延長到點 D，使 A, B,C, D 四點共圓， AC 與BD交于點E，求四邊形
ABCD的面積．
ìb + c = 3a 7 8
【解析】（1）由b + c = 3a，聯(lián)立方程組 í ，解得 c = a,b = a b = 4 c - a
，
5 5
不妨設(shè) a = 5m ，可得 c = 7m,b = 8m
2 2 2
由余弦定理得 cosC a + b - c 40 1= = = ，
2ab 2 5 8 2
因為C (0,π) C
π
，所以 = .
3
2 c = 7 1 a = 5,b = 8 S 1（ ）由 ，由（ ）知 ，可得 △ABC = absin C
1
= 5 8 3 =10 3 ，
2 2 2
因為過 B 作 AC 的垂線并延長到點 D，使 A, B,C, D 四點共圓，
在直角VBCE 中，可得CE = BC cos
π 5
= ，則 AE = AC - CE 8
5 11
= - = ，
3 2 2 2
π π
因為 ACB = ，可得 ADB = ，
3 3
AE π AE
在直角VADE 中，可得 tan ADE = ，即 tan = = 3，
DE 3 DE
11
所以DE AE= = 2 11 3= ，
3 3 6
S 1 1 11 3 22 3所以 VACD = AC DE = 8 = ，2 2 6 3
所以四邊形 ABCD的面積為 S = SVABC + S 10 3
22 3 52 3
VACD = + = .3 3
2．如圖，在梯形 ABCD中， AB//CD ， D = 60o ．
(1)若 AC = 3，求VACD周長的最大值；
(2)若CD = 2AB ， BCD = 45o ，求 tan DAC 的值．
【解析】（1）在VACD中，
AC 2 = AD2 + DC 2 - 2AD × DC cos D = AD2 + DC 2 - AD × DC
2 2
= AD + DC 2 AD + CD- 3AD × DC AD AD + DC + DC 2 - 3 ÷ = ，
è 2 4
因此 AD + DC 6，當且僅當 AD = DC = 3時取等號．
故VACD周長的最大值是9．
（2）設(shè) DAC = a ，則 DCA =120o -a ， BCA = a - 75o．
V CD AC在 ACD中， = ，
sina sin 60o
AB AC
在△ACB 中， =sin a - 75o sin135o ．
2sin a - 75o
兩式相除得， 6= ， sina = 6 sin a - 75o ，
sina 3
因為 sin 75o = sin 45o + 30o = sin 45o cos30o + cos 45o sin 30o 6 + 2= ，4
cos 75o = cos 45o 6 - 2+ 30o = cos 45o cos30o - sin 45o sin 30o = ，4
1- 3 3+ 3 tan DAC tana 3+ 3\ sina = cosa ，故 = = = -3- 2 3 ．
2 2 1- 3
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）在VABC 中，已知 sin( BAC - B) = sin B + sin C ．
(1)求 BAC ．
(2)若 AC = 2AB ， BAC 的平分線交BC 于點 D，求 cos ADB ．
【解析】（1）因為 sin( BAC - B) = sin BAC cos B - cos BAC sin B = sin B + sin C ，
又 sin C = sin π - C = sin BAC + B = sin BAC cos B + cos BAC sin B，
所以-2cos BAC sin B = sinB．又0 < B
1
< π ，所以 sinB > 0，所以cos BAC = - ．
2
2π
因為0 < BAC < π，所以 BAC = ．
3
（2）設(shè) AB = t ，則 AC = 2t ．
由余弦定理，得BC 2 = AC 2 + AB2 - 2AC × AB cos BAC = 4t 2 + t 2 + 2t 2 = 7t 2，故BC = 7t ．
BD AB t
由角平分線的性質(zhì)及三角形的面積公式，知 = = ，故 BD 1= BC 7= t ．
DC AC 2t 3 3
AB BD
在△ABD 中，由正弦定理，得 = ．
sin ADB sin BAD
7 t
因為 BAD
π t
= 3 21，所以 = 3 ，所以 ．
3 sin ADB
sin ADB =
3 14
2
π π
因為 AC > AB ，所以 B > C ，所以B + > C + ，即 ADC > ADB．
3 3
2

又 ADC + ADB = π 3 21 7，所以 ADB 為銳角，故 cos ADB = 1- ÷÷ = ．
è 14 14
B + C
4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）在VABC 中，角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，且 3bsin = asinB，邊
2
BC 上有一動點 D .
(1)當 D為邊BC 中點時，若 AD = 3,b = 2，求 c的長度；
(2)當 AD 為 BAC 的平分線時，若 a = 4，求 AD 的最大值.
【解析】（1）因為 3bsin
B + C
= asinB，
2
所以 3bsin
p - A
= asinB，即 3bcos
A
= asinB .
2 2
A
由正弦定理，得 3sinB ×cos = sinA ×sinB .
2
A A A
因為 sinB 0，所以 3cos = sinA = 2sin cos .
2 2 2
因為 cos
A
0，所以
2 sin
A 3
= .
2 2
0 A p A p 2p又因為 < < ，所以 = ，所以 A = .
2 2 2 3 3
uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur
因為 D為邊BC 中點，所以 2AD = AB + AC ，則 4 AD = (AB + AC)2 .
又 AD = 3,b 2, A
2p
= = ，
3
2
所以12 = c + 4 + 4c ×cos
2p
，即 c23 - 2c -8 = 0
，即 c - 4 c + 2 = 0，
所以 c = 4 .
（2）在VABC 中，由余弦定理，得a2 = b2 + c2 - 2bc ×cos BAC .
又 a = 4, BAC
2p
= ，所以
3 16 = b
2 + c2 +bc ，
16 (b c)2 bc (b c)2 (b + c)
2 3
所以 = + - + - = (b + c)2 ，當且僅當b = c 時取等號，
4 4
所以 (b + c)2
64
，所以
3 4 < b + c
8 3
.
3
因為 SVABC = SVABD + SVACD , AD平分 BAC, BAC
2p
= ，
3
1
所以 bc ×sin
2p 1
= b × AD ×sin p 1 p+ c × AD ×sin ，
2 3 2 3 2 3
所以bc = AD × b + c ，
bc (b + c)2
所以 AD -16= = = b + c 16- .
b + c b + c b + c
令 t = b + c 16 8 3，則 AD = t - ,4 < t .
t 3
16 4, 8 3
ù
因為 y = t - 在 上單調(diào)遞增，
t è 3
ú

8 3 4 3 2 3
所以當 t = 即b = c = 時， y 取得最大值為 ，
3 3 3
所以 AD 2 3的最大值為 .
3
π 2π 1
5．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f x = sin x + ÷ ×sin x + ÷ - ，角 A 為△ABC 的內(nèi)角，且
è 3 è 3 2
f A = 0 ．
(1)求角 A 的大小；
(2) 9 3如圖，若角 A 為銳角， AB = 3，且△ABC 的面積 S 為 ，點 E、F 為邊 AB 上的三等分點，點 D 為邊
4
AC 的中點，連接 DF 和 EC 交于點 M，求線段 AM 的長．
f x sin x π 2π 1【解析】（1） = +
×sin
3 ÷
x + ÷ -
è è 3 2
1
= sin x
3 cos x 1 sin x 3 cos x 1+
2 2 ÷÷
- + -
è è 2 2
÷÷
2
3
= cos2 x 1 sin2 x 1- -
4 4 2
1
= - sin2 x ，
4
則 f A 1= - sin2 A = 0，
4
因為 A 0, π 1，所以 sin A > 0，所以 sin A = ，
2
A π所以 = 或 A
5π
= ；
6 6
π
（2）若角 A 為銳角，則 A = ，
6
設(shè)角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，
1
則 S = bc sin A 3 9 3= b = ，所以b = 3 3，
2 4 4
如圖，連接CF ，
因為點 E、F 為邊 AB 上的三等分點，所以E為 AF 的中點，
因為點 D 為邊 AC 的中點，所以點M 為△ACF 的重心，
uuuur 2 uuur 2 uuur uuur 2 1 uuur uuur 1 uuur 2 uuur則CM = CE = AE - AC = AF - AC ÷ = AF - AC ，3 3 3 è 2 3 3
uuuur uuur uuuur 1 uuur uuur所以 AM = AC + CM = AF + AC ，3
uuur uuur
又 AF = 2, AC = 3 3 ，
uuuur 1 uuur uuur 2 1 uuur2 uuur2 uuur uuur 1 7所以 AM = AF + AC = AF + AC + 2AF × AC = 4 + 27 +18 = ，9 3 3 3
7
即線段 AM 的長為 ．
3
6．（2024·全國·模擬預(yù)測）在VABC 中，角 A, B,C ，的對邊分別為 a,b,c，VABC 的面積為S，
4 3 ésin 2A + B ùS b2 = ê +1 ．3 sinB
ú

(1)求角A ．
(2)若VABC 的面積為3 3， a = 13 ， D為邊BC 的中點，求 AD 的長．
4 3 S sin2AcosB + cos2AsinB【解析】（1）由題意得 = +1

÷ ×b
2
3 è sinB
2sinAcosAcosB + 2cos2 AsinB 2 2cosAsinb A + B b2 2cosAsinC= × = × = ×b2 ，
sinB sinB sinB
4 3 S 2ccosA 4 3 1由正弦定理，得 = ×b2 ，即 bcsinA = 2bccosA，
3 b 3 2
π
所以 tanA = 3 ．又 A 0, π ，所以 A = 3 ．
（2）因為VABC 的面積為3 3，
1
所以 bcsin
π
= 3 3 ，所以bc =12 ．
2 3
π
因為 a = 13 b2 + c2，所以 - 2bccos =13，3
即b2 + c2 - bc =13，所以b2 + c2 = 25．
uuur 1 uuur uuur
因為 D是邊BC 的中點，所以 AD = AC + AB ，2
uuur 2
所以 AD
1 b2 1 37= + c2 + 2bccosA = b2 + c2 + bc = ，4 4 4
uuur
所以 AD 37= ，所以 AD 37的長為 ．
2 2
7．（2024·四川成都·三模）在VABC 中，BC = 5, AC = 6,cosB
1
= ．
8
(1)求 AB 的長；
(2)求 AC 邊上的高．
a 5 b 6 cos B 1【解析】（1）由題， = ， = ， = ，由余弦定理得，
8
1 25 + c2 - 36
\ = ，解得 c = 4，即 AB = 4 .
8 2 5c
VABC cos B 1（2）在 中， = ，\sin B 3 7= ，設(shè) AC 邊上的高為 h ，8 8
1 bh 1則 = ac sin B，即
2 2 6h = 5
3 7 5 7
4 ，解得 h = .
8 4
所以 AC 5 7邊上的高為 .
4
8．（2024·江蘇南通·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為a,b,c, 2b - c cosA = acosC ．
(1)求A ；
(2)若VABC 的面積為 3, BC 邊上的高為 1，求VABC 的周長．
【解析】（1）因為 (2b - c) cos A = a cosC ，
由正弦定理，得 (2sin B - sin C) cos A = sin AcosC ，
即 2sin B cos A = sin AcosC + sin C cos A，即 2sin B cos A = sin B .
因為在VABC 中， sin B 0 ，
所以 cos A
1
= .
2
π
又因為0 < A < π ，所以 A = 3 .
（2）因為VABC 的面積為 3，
1
所以 a 1 = 3 ，得
2 a = 2 3
.
1
由 bc sin A = 3 1 bc 3，即 = 3 ，
2 2 2
所以bc = 4 .由余弦定理，得 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A，即12 = b2 + c2 - bc，
化簡得 (b + c)2 = 3bc +12，所以 (b + c)2 = 24，即b + c = 2 6 ，
所以VABC 的周長為 a + b + c = 2 6 + 2 3 .
9．（2024·高三·河南·開學(xué)考試）在VABC 中，內(nèi)角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，且滿足
a + b + c sinA sinB sinC 10+ + = asinB + 2csinA + 2 b + c sinC ．
3
(1)求 cosC ；
(2)若 AB 邊上的高為2,c = 5 ，求 a,b．
10
【解析】（1）由正弦定理有 (a + b + c)2 = ab + 2ca + 2b + 2c c ，
3
a2有 + b2 - c2
4
= ab，
3
4
2 2 2 ab
又由余弦定理有cosC a + b - c 3 2= = = ；
2ab 2ab 3
2
（2）由C 0, π 得 sinC = 1- cos2C 1 2= - 5 ÷ = ，
è 3 3
2 2 4
又由余弦定理和 c = 5 ，有 a + b - ab = 5，3
S 1 5VABC = absinC = ab ，2 6
1
又由 AB 邊上的高為 2，有 S△ABC = 2 c = 5 ，2
5
有 ab = 5 ，可得 ab = 6，
6
有 a2 + b2 = 13，可得a + b = a2 + b2 + 2ab = 13 +12 = 5，
ìa + b = 5 ìa = 2 ìa = 3
聯(lián)立方程組 íab 6 ，解得 íb 3 或 í
.
= = b = 2
10．（2024·高三·山東濟南·開學(xué)考試）在VABC 中，內(nèi)角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c．已知
bcosA = a 2 - cosB .
c
(1)求 ；
a
2π
(2)若B = ，且 AC 邊上的高為 3，求VABC 的周長.3
【解析】（1）因為bcos A = a(2 - cos B)，由正弦定理可得 sin B cos A = sin A 2 - cos B ，
所以 sin B cos A + sin Acos B = 2sin A，
即 sin A + B = 2sin A，
所以 sin C = 2sin A，
c
由正弦定理得 c = 2a ，即 = 2；
a
c 2a B 2π（2）由題意得 = ， = ，
3
2 2 2 2 2 2
由余弦定理得 cos B cos
2π 1 a + c - b a + 4a - b
= = - = = ，
3 2 2ac 4a2
解得b = 7a （負值舍去），
因為 AC 邊上的高為 3，
1 a 3 1所以 2a = 7a 3 ，
2 2 2
則 a = 7 ，所以b = 7， c = 2 7 ，
故VABC 的周長CV ABC = a + b + c = 7 + 3 7 ．
11．在VABC 中，設(shè) a，b ， c分別表示角A ， B ，C 對邊．設(shè)BC 邊上的高為 h ，且 a = 2h．
b c b c
(1)把 + 表示為 x sin A + y cos A（ x ， y R ）的形式，并判斷 + 能否等于 2 2 ？說明理由．c b c b
(2)已知 B ，C 均不是直角，設(shè)G 是VABC 的重心，BG ^ CG ，c > b ，求 tan B 的值．
1 ∵ S bc sin A a
2 a2
【解析】（ ） VABC = = ，∴ = 2sin A，2 4 bc
b c b2∴ + c
2 a2 + 2bc cos A a2
+ = = = + 2cos A = 2sin A + 2cos A
c b bc bc bc
2 2 sin(A π= + ) 2 2 ，
4
π π π b c
當且僅當 A + = ，即 A = 時， + 取得最大值
4 2 4 c b 2 2
．
如圖, 設(shè)VA0BC 為等腰直角三角形，即滿足 2h = 2A0D = BC = a ,
過 A0 作BC 的平行線, 由平面幾何的知識得，
π
在平行線上存在一點A ,使得 A = 2h = BC4 滿足 ，
故存在VABC A π b c，當 = 4 時 + = 2 2 c b
（2）
如圖：連結(jié) AG 并延長交BC 于 E，作 AD ^ BC 于 D，
因為 a = BC = 2h，所以 BE = h ，
因為G 是VABC
AG
的重心，所以 = 2，
GE
因為c > b ,所以 D 與 E 不會重合，
所以 tan B
AD AD h
= = = ，
BD BE + ED h + ED
1
在Rt△ BGC 中，E 是BC 的中點，則GE = BC = h，
2
AG = 2h, AE = 3h, ED = 3h 2所以 - h2 = 2 2h，
tan B h 2 2 -1\ = =
1 2 2 h 7 .+
V A, B,C a,b,c a + b sinC - sinB12．（2024·江蘇蘇州·二模）記 ABC 的內(nèi)角 的對邊分別為 ，已知 = ．
c sinA - sinB
(1)求角A ；
(2)若 a = 6，點M 為VABC 的重心，且 AM = 2 3，求VABC 的面積．
a + b sinC - sinB a + b c - b
【解析】（1）因為 = ，由正弦定理可得 = ，
c sinA - sinB c a - b
b2 + c2 - a2 1
整理得b2 + c2 - a2 = bc ，由余弦定理可得 cosA = = ．
2bc 2
又因為 A 0, π π，所以 A = 3 ．
（2）設(shè) AM 的延長線交BC 于點 D，因為點M 為VABC 的重心，所以點 D為BC 中點，
又因為 AM = 2 3，所以 AD = 3 3 ．
在VABC 中，由b2 + c2 - a2 = bc 和 a = 6，可得bc = b2 + c2 - 36．
在△ABD 和VACD中，有 cos ADB = -cos ADC ，
32 + 3 3 2 2 2 2- c 3 + 3 3 - b2
由余弦定理可得 = -
2 3 3 3 2 3 3 3
故b2 + c2 = 72 ，所以bc = b2 + c2 - 36 = 72 - 36 = 36，
1 1
所以VABC 的面積為 bcsinA = 36 sin
π
= 9 3 ．
2 2 3
13．（2024·河南開封·模擬預(yù)測）記VABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，已知
3asinB - acosC = ccosA,b = 6,G 為VABC 的重心．
(1)若 a = 2，求 c的長；
(2) AG 3若 = ，求VABC 的面積．
3
【解析】（1）因為 3asinB - acosC = ccosA，
所以， 3sinAsinB - sin AcosC = sin CcosA，
所以， 3sinAsinB = sin AcosC + sin CcosA = sin A + C = sin B
因為B 0, π ,sin B 0，
3
所以 sinA = ，
3
因為 a = 2 < b = 6 ，
π
所以 A

0,

cosA 62 ÷
， = ，
è 3
cosA b
2 + c2 - a2 6 + c2 - 4 6
因為 = = = ，整理得 c2 - 4c + 2 = 0，解得 c = 2 ± 2 ，
2bc 2 6c 3
所以 c = 2 ± 2
（2）由（1）知 sinA 3= ，記邊BC 的中點為 D
3
因為G 為VABC 的重心， AG 3= ，
3
所以，BC 3 3邊上的中線長 AD 為 ，即 AD = ，
2 2
uuur uuur uuur
因為 AD
1
= AB + AC ，
2
uuur2 1 uuur2 uuur2 uuur uuur 1 2 2
所以 AD = AB + AC + 2AB × AC = c + b + 2bc cos A ，4 4
因為b = 6 ，
6 uuur2 1A cosA = AD = c2 2所以，當 為銳角時， ，則由 + b + 2bc cos A 得 c2 + 4c + 3 = 0，解得 c = -1或 c = -3，
3 4
不滿足題意，舍去；
uuur2 1
當A 為鈍角時， cosA 6= - ，則由 AD = c2 + b2 + 2bc cos A 得 c2 - 4c + 3 = 0，解得 c =1或 c = 3，
3 4
1 1 3 2
所以，當 c =1，VABC 的面積為 S = bc sin A = 6 1 =
2 2 3 2
當 c = 3，VABC 1 1的面積為 S = bc sin A = 6 3 3 2 3 = .
2 2 3 2
14．（2024·遼寧撫順·一模）記VABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，已知
a + b sinA - sinB = c sinC - sinB ．
(1)求角A ；
(2)若 a = 6，點M 為VABC 的重心，且 AM = 2 3，求VABC 的面積．
【解析】（1）因為 a + b sinA - sinB = c sinC - sinB ，由正弦定理可得 a + b a - b = c c - b ，
2 2 2
整理得b2 + c2 - a2 = bc ，由余弦定理可得 cosA
b + c - a 1
= = ．
2bc 2
又因為 A 0, π 重難點突破 02 解三角形圖形類問題
目錄
01 方法技巧與總結(jié) ...............................................................................................................................2
02 題型歸納與總結(jié) ...............................................................................................................................2
題型一：妙用兩次正弦定理（兩式相除消元法） ............................................................................2
題型二：兩角使用余弦定理建立等量關(guān)系 ........................................................................................4
題型三：張角定理與等面積法 ............................................................................................................5
題型四：角平分線問題 ........................................................................................................................6
題型五：中線問題 ................................................................................................................................7
題型六：高問題 ....................................................................................................................................9
題型七：重心性質(zhì)及其應(yīng)用 ..............................................................................................................10
題型八：外心及外接圓問題 ..............................................................................................................11
題型九：兩邊夾問題 ..........................................................................................................................13
題型十：內(nèi)心及內(nèi)切圓問題 ..............................................................................................................14
03 過關(guān)測試 .........................................................................................................................................15
解決三角形圖形類問題的方法：
方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；
方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的問題，
相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；
方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關(guān)系的不錯選
擇；
方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可
以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；
方法六：建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更
加直觀化.
題型一：妙用兩次正弦定理（兩式相除消元法）
π
【典例 1-1】（2024·河南·三模）已知 P 是VABC 內(nèi)一點，PB = PC, BAC = , BPC
3π
= , ABP = q .
4 4
π
(1)若q = , BC = 2 ，求 AC ；
24
q π(2)若 = ，求 tan BAP .
3
【典例 1-2】VABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c, AD 為 BAC 平分線， c : AD : b = 3 : 2 : 2 3 .
(1)求 A；
(2) AD 上有點M , BMC = 90o ，求 tan ABM .
【變式 1-1】如圖，在平面四邊形 ABCD中， ACB = ADC = 90°， AC = 2 3， BAC = 30°．
(1)若CD = 3 ，求BD；
(2)若 CBD = 30°，求 tan BDC ．
【變式 1-2】（2024·廣東廣州·二模）記VABC 的內(nèi)角A 、 B 、C 的對邊分別為 a、b 、 c，已知
bcosA - acosB = b - c .
(1)求A ；
(2)若點 D在BC 邊上，且CD = 2BD， cosB 3= ，求 tan BAD .
3
【變式 1-3】在VABC 中，內(nèi)角 A， B ，C 所對的邊分別為 a，b ， c，且 2cos A(c cos B + bcosC) = a .
(1)求角 A；
(2)若O是VABC 內(nèi)一點， AOB = 120° ， AOC =150°，b =1， c = 3，求 tan ABO．
題型二：兩角使用余弦定理建立等量關(guān)系
【典例 2-1】如圖，四邊形 ABCD中， cos BAD
1
= ， AC = AB = 3AD．
3
(1)求 sin ABD；
(2)若 BCD = 90°，求 tan CBD ．
【典例 2-2】如圖，在梯形 ABCD 中， AB∥CD ， AD = 3BC = 3．
(1)求證： sinC = 3sinA；
(2)若C = 2A， AB = 2CD ，求梯形 ABCD 的面積．
【變式 2-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）在銳角VABC 中，內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，
2cos2 2C = 3 - 5cos2 23p - C2 ÷
.
è
(1)求角C ；
AC
(2)若點 D在 AB 上，BD = 2AD ，BD = CD，求 的值.
BC
【變式 2-2】平面四邊形 ABCD中， AB =1， AD = 2， ABC
π
+ ADC = π， BCD = ．
3
(1)求BD；
(2)求四邊形 ABCD周長的取值范圍；
(3)若E為邊BD上一點，且滿足CE = BE ， S△BCE = 2S△CDE ，求△BCD的面積．
題型三：張角定理與等面積法
【典例 3-1】（2024·吉林·模擬預(yù)測）VABC 的內(nèi)角 A, B,C a,b,c
sin A - sin B a - c
的對邊分別是 ，且 = ，
sin C a + b
(1)求角 B 的大小；
(2)若b = 3， D為 AC 邊上一點， BD = 2，且BD為 B的平分線，求VABC 的面積．
【典例 3-2】（2024·黑龍江哈爾濱·二模）記 VABC 的內(nèi)角 A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c，已知b = 4 ，
2bcos B cos A sin A= + .
c tan C
(1)求角 B 的大小;
(2)已知直線BD 2 2為 ABC 的平分線，且與 AC 交于點 D，若BD = ，求VABC 的周長.
3
【變式 3-1】（2024·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知銳角VABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別
a,b,c a sin B - sin C為 ，且 = ．
b + c sin A - sin C
(1)求 B ；
(2)若b = 6 ，角 B 的平分線交 AC 于點 D，BD =1，求VABC 的面積．
1
【變式 3-2】（2024·江西撫州·江西省臨川第二中學(xué)校考二模）如圖，在VABC 中， AB = 4 ， cos B = ，點
3
D在線段BC 上.
3π
（1）若 ADC = ，求 AD 的長；
4
sin BAD
（2 BD = 2DC VACD 16 2）若 ， 的面積為 ，求 的值.
3 sin CAD
題型四：角平分線問題
【典例 4-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知在△ ABC 中，內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，且 a = 6, A = 60°．
(1)若 AD 為BC 邊上的高線，求 AD 的最大值；
(2)已知 AM 為BC 上的中線， BAC 的平分線 AN 交BC 于點 N ，且 tan B
sin A
= ，求△ AMN 的面積．
2 - cos A
【典例 4-2】如圖所示，在VABC 中， AB = 3AC ，AD 平分 BAC ，且 AD = kAC .
(1)若 DC = 2，求 BC 的長度；
(2)求 k 的取值范圍；
(3)若 S△ABC =1，求 k 為何值時，BC 最短.
2π
【變式 4-1】在VABC 中，角A ， B ，C 所對的邊分別是 a，b ， c，已知 A = 3 ， c
2 - b2 = ac cosC .
(1)求 tan C ；
(2)作角A 的平分線，交邊BC 于點 D，若 AD = 2 ，求 AC 的長度；
(3)在（2）的條件下，求VABC 的面積.
【變式 4-2】已知VABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，其面積為S，且
a b + c - a sinA + sinB + sinC = 6S
(1)求角 A 的大小；
uuur uuur
(2)若 a = 7, BA × AC = -3, A的平分線交邊BC 于點T ，求 AT 的長.
題型五：中線問題
【典例 5-1】如圖，在VABC 中，已知 AB = 2 ， AC = 6 2 ， BAC = 45°，BC 邊上的中點為M ，點 N 是
邊 AC 上的動點（不含端點）， AM ，BN 相交于點 P ．
(1)求 BAM 的正弦值；
(2)當點 N 為 AC 中點時，求 MPN 的余弦值．
uuur uuur uuur uuur
(3)當 NA × NB 取得最小值時，設(shè)BP = lBN ，求l 的值．
【典例 5-2】（2024·遼寧沈陽·東北育才雙語學(xué)校校考一模）如圖，設(shè)VABC 中角 A，B，C 所對的邊分別為
a，b，c，AD 為 BC 邊上的中線，已知 c =1且 2csin Acos B = asin A 1- bsin B + bsin C ， cos BAD 21=4 ．7
(1)求 b 邊的長度；
(2)求VABC 的面積；
(3)設(shè)點 E，F(xiàn) 分別為邊 AB，AC 上的動點（含端點），線段 EF 交 AD 于 G，且△AEF 的面積為VABC 面積
1 uuur uuur
的 ，求 AGgEF 的取值范圍．6
【變式 5-1】阿波羅尼奧斯（Apollonius）是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，他提出的阿波羅尼奧斯定理是一個關(guān)于
三角形邊長與中線長度關(guān)系的定理，內(nèi)容為：三角形兩邊平方的和，等于所夾中線及第三邊之半的平方和
é 2 ù
AD VABC BC AB2 + AC 2 = 2 êAD2
BC
的兩倍，即如果 是 中 邊上的中線，則 + ÷ ú .
ê è 2 ú
π
(1)若在VABC 中， AB = 5， AC = 3， BAC = ，求此三角形 BC 邊上的中線長；
3
(2)請證明題干中的定理；
(3)如圖VABC 中，若 AB > AC ，D 為 BC 中點，BD = DC = 3， a sin A + 3bsin B = 3bsin A - C ，
S 3 3△ABC = ，求 cos DAC 的值.2
【變式 5-2】在VABC 中，內(nèi)角A ， B ，C 所對的邊分別為 a，b ， c，B = 30° .
(1)已知b = 2 ，bcos A + a cos B = 2
（i）求C ；
（ii）若 a < b ， D為 AB 邊上的中點，求CD的長.
(2)若VABC 2 3為銳角三角形，求證： a < c
3
【變式 5-3】（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）在VABC 中，角A ， B ，C 所對的邊分別為 a，b ， c，已知
uuur uuur
a = 2， c2 = BA × BC - 2 3S ，其中S為VABC 的面積.
(1)求角A 的大小；
(2)設(shè) D是邊BC 的中點，若 AB ^ AD ，求 AD 的長.
題型六：高問題
π
【典例 6-1】（2024·河北秦皇島·三模）在VABC 中，內(nèi)角A ， B ，C 所對的邊分別為 a，b ， c，C = 且
3
a + b = 7 VABC 4 3， 的外接圓半徑為 .
3
(1)求VABC 的面積；
(2)求VABC 邊 AB 上的高 h .
【典例 6-2】（2024·四川·模擬預(yù)測）在VABC 中，內(nèi)角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c，且
3c sin B + b cos A + B = b .
(1)求角C 的大小；
(2)若a = 8，VABC 的面積為 4 3 ，求 AB 邊上的高.
【變式 6-1】在VABC 中，角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，已知 a = 7,c = 8 .
(1)若 sinC
4
= ，求角A 的大小；
7
(2)若b = 5，求 AC 邊上的高.
【變式 6-2】（2024·山東棗莊·一模）在VABC 中，角 A, B,C a,b,c
a sinAtan C的對邊分別為 ，且 = ．
2c 2
(1)求C ；
uuur uur uuur m
(2)若a = 8,b = 5,CH 是邊 AB 上的高，且CH = mCA + nCB，求 ．n
題型七：重心性質(zhì)及其應(yīng)用
【典例 7-1】（2024·四川內(nèi)江·一模）VABC 的內(nèi)角A 、 B 、C 所對的邊分別為 a、b 、 c， a = 6，
bsin B + C = asinB．
2
(1)求角A 的大小；
(2) M 為VABC 的重心， AM 的延長線交BC 于點 D，且 AM = 2 3，求VABC 的面積．
【典例 7-2】（2024·江西景德鎮(zhèn)·一模）如圖，已知△ABD 的重心為 C，△ABC 三內(nèi)角 A、B、C 的對邊分別
2 A b + c
為 a，b，c.且 cos =
2 2c
(1)求∠ACB 的大小；
π
(2)若 CAB = ，求 sin CDA的大小.
6
【變式 7-1】（2024·高三·福建福州·期中）已知VABC 內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，點 G 是VABC
uuur uuur
的重心，且 AG × BG = 0 ．
AG
(1)若 GAB = π6 ，①直接寫出 = ______；②設(shè) CAG = ，求 tan 的值CG
(2)求 cos ACB的取值范圍．
【變式 7-2】（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測）VABC 的角 A, B,C 對應(yīng)邊是 a，b，c ，三角形的重心是 O.已知
OA = 3,OB = 4,OC = 5 .
(1)求 a 的長.
(2)求VABC 的面積.
題型八：外心及外接圓問題
【典例 8-1】（2024·廣東深圳·二模）已知在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c, a = 6,b = 2,c =1.
(1)求角A 的余弦值；
uuur uuur uuur uuur
(2)設(shè)點O為VABC 的外心（外接圓的圓心），求 AO × AB, AO × AC 的值.
【典例 8-2】已知VABC 的內(nèi)角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c, a = 3,2c - b = 2acosB ．
(1)求A ；
(2) M 為VABC 3外心， AM 的延長線交BC 于點 D，且MD = ，求VABC 的面積．
2
uuur uuur
【變式 8-1】VABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c,c > b, AB × AC = 20,VABC 的面積為10 3 .
(1)求 A；
uuur uuur
V OB OC 49(2)設(shè)O點為 ABC 外心，且滿足 × = - ，求 a .
6
【變式 8-2】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知VABC 的外心為O，點M , N 分別在線段 AB, AC 上，且O恰為
MN 的中點．
(1)若BC = 3,OA = 1，求VABC 面積的最大值；
(2)證明： AM × MB = AN × NC ．
【變式 8-3】（2024·安徽黃山·三模）記VABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，已知 c = 3，
b(1+ cosC) = 3c sin B .
(1)求角C 的大小和邊b 的取值范圍；
uuur uuur uuur uuur
(2)如圖，若O是VABC 的外心，求OC × AB + CA ×CB的最大值.
題型九：兩邊夾問題
ABC A, B,C a,b,c cos A sin A 2【典例 9-1】在D 中，角 所對的邊分別為 ，若 + - = 0
a + b
，則 的值
sin B + cos B c
是（ ）
A． 2 B． 3 C． 2 D．1
【典例 9-2】在DABC 中， a、b 、 c分別是 A、 B、 C 所對邊的邊長.若
cos A sin A 2 0 a + b+ - = ，則 的值是（
cos B sin B ）.+ c
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【變式 9-1】在DABC 中，已知邊 a,b,c所對的角分別為 A, B,C ，若
2sin2 B + 3sin2 C = 2sin Asin B sin C + sin2 A，則 tan A = _________________
【變式 9-2】（2024·江蘇蘇州·吳江中學(xué)模擬預(yù)測）在DABC 中，已知邊 a,b,c所對的角分別為 A, B,C ，若
5 - 2cos2 B - 3cos2 C = 2sin Asin Bsin C + sin2 A，則 tan A = _____．
【變式 9-3】在DABC 中，已知邊 a、b 、 c所對的角分別為A 、 B 、C ，若 a = 5 ，
2sin2 B + 3sin2 C = 2sin Asin B sin C + sin2 A，則DABC 的面積 S = ______.
【變式 9-4】在VABC 中，若 (cos A + sin A)(cos B + sin B) = 2 ，則角C = __．
題型十：內(nèi)心及內(nèi)切圓問題
【典例 10-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)VABC 的內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，且滿足
2a cos B + b = 2c， a = 5．
(1)求VABC 的周長的取值范圍；
(2)若VABC 5 3的內(nèi)切圓半徑 r = ，求VABC 的面積 S.
6
【典例 10-2】（2024·湖南永州·一模）在VABC 中，設(shè) A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，且滿足
c cos A - a cosC = a + b．
(1)求角C ；
(2)若 c = 5,VABC 3的內(nèi)切圓半徑 r = ，求VABC 的面積．
4
【變式 10-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知VABC 中，角A ， B ，C 的對邊分別是 a，b ， c，
3b-csin A = 3acosC．
(1)求角A 的大小；
(2)若 a = 7，VABC
R
外接圓的半徑為 R ，內(nèi)切圓半徑為 r ，求 的最小值．
r
【變式 10-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）在VABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，且
sin2 A sin2 B sin 2A ×sin 2B× = ．
4
(1)求C ；
(2)若 c = 2，求VABC 內(nèi)切圓半徑取值范圍．
【變式 10-3】（2024·廣西南寧·一模）在VABC 中，角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，已知 a = 2，且
sin A + sin B b - c
= ．
sin C b - a
(1)求VABC 的外接圓半徑 R；
(2)求VABC 內(nèi)切圓半徑 r 的取值范圍．
【變式 10-4】（2024·吉林·二模）已知 VABC 的三個內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c,VABC 的外接圓半徑為
3，且 sin2 B + sin2 C - sin BsinC = sin2 A.
(1)求 a ;
(2)求VABC 的內(nèi)切圓半徑 r 的取值范圍
1．如圖所示，在VABC 中，設(shè) a,b,c分別為內(nèi)角 A, B,C 的對邊，已知b + c = 3a，b = 4 c - a ．
(1)求角C ；
(2)若 c = 7，過 B 作 AC 的垂線并延長到點 D，使 A, B,C, D 四點共圓， AC 與BD交于點E，求四邊形
ABCD的面積．
2．如圖，在梯形 ABCD中， AB//CD ， D = 60o ．
(1)若 AC = 3，求VACD周長的最大值；
(2)若CD = 2AB ， BCD = 45o ，求 tan DAC 的值．
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）在VABC 中，已知 sin( BAC - B) = sin B + sin C ．
(1)求 BAC ．
(2)若 AC = 2AB ， BAC 的平分線交BC 于點 D，求 cos ADB ．
B + C
4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）在VABC 中，角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，且 3bsin = asinB，邊
2
BC 上有一動點 D .
(1)當 D為邊BC 中點時，若 AD = 3,b = 2，求 c的長度；
(2)當 AD 為 BAC 的平分線時，若 a = 4，求 AD 的最大值.
π 2π 1
5．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f x = sin x + 3 ÷ ×sin x + ÷ - ，角 A 為△ABC 的內(nèi)角，且è è 3 2
f A = 0 ．
(1)求角 A 的大小；
(2) 9 3如圖，若角 A 為銳角， AB = 3，且△ABC 的面積 S 為 ，點 E、F 為邊 AB 上的三等分點，點 D 為邊
4
AC 的中點，連接 DF 和 EC 交于點 M，求線段 AM 的長．
6．（2024·全國·模擬預(yù)測）在VABC 中，角 A, B,C ，的對邊分別為 a,b,c，VABC 的面積為S，
4 3 S = b2
ésin 2A + B ù
+1 ．
3 ê sinB
ú

(1)求角A ．
(2)若VABC 的面積為3 3， a = 13 ， D為邊BC 的中點，求 AD 的長．
1
7．（2024·四川成都·三模）在VABC 中，BC = 5, AC = 6,cosB = ．
8
(1)求 AB 的長；
(2)求 AC 邊上的高．
8．（2024·江蘇南通·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為a,b,c, 2b - c cosA = acosC ．
(1)求A ；
(2)若VABC 的面積為 3, BC 邊上的高為 1，求VABC 的周長．
9．（2024·高三·河南·開學(xué)考試）在VABC 中，內(nèi)角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，且滿足
a 10+ b + c sinA + sinB + sinC = asinB + 2csinA + 2 b + c sinC ．
3
(1)求 cosC ；
(2)若 AB 邊上的高為2,c = 5 ，求 a,b．
10．（2024·高三·山東濟南·開學(xué)考試）在VABC 中，內(nèi)角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c．已知
bcosA = a 2 - cosB .
c
(1)求 ；
a
2π
(2)若B = ，且 AC 邊上的高為 3，求VABC 的周長.3
11．在VABC 中，設(shè) a，b ， c分別表示角A ， B ，C 對邊．設(shè)BC 邊上的高為 h ，且 a = 2h．
b c b c
(1)把 + 表示為 x sin A + y cos A（ x ， y R ）的形式，并判斷 + 能否等于 2 2 ？說明理由．c b c b
(2)已知 B ，C 均不是直角，設(shè)G 是VABC 的重心，BG ^ CG ，c > b ，求 tan B 的值．
V A, B,C a,b,c a + b sinC - sinB12．（2024·江蘇蘇州·二模）記 ABC 的內(nèi)角 的對邊分別為 ，已知 = ．
c sinA - sinB
(1)求角A ；
(2)若 a = 6，點M 為VABC 的重心，且 AM = 2 3，求VABC 的面積．
13．（2024·河南開封·模擬預(yù)測）記VABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，已知
3asinB - acosC = ccosA,b = 6,G 為VABC 的重心．
(1)若 a = 2，求 c的長；
(2)若 AG 3= ，求VABC 的面積．
3
14．（2024·遼寧撫順·一模）記VABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，已知
a + b sinA - sinB = c sinC - sinB ．
(1)求角A ；
(2)若 a = 6，點M 為VABC 的重心，且 AM = 2 3，求VABC 的面積．
15．在VABC 中，內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，且 a，b，c 是公差為 2 的等差數(shù)列.
(1)若 2sin C = 3sin A，求VABC 的面積.
(2)是否存在正整數(shù) b，使得VABC 的外心在VABC 的外部 若存在，求 b 的取值集合；若不存在，請說明理
由.
16．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知VABC 的外心為O，M , N 為線段 AB, AC 上的兩點，且O恰為MN 中點.
(1)證明： | AM | × | MB |=| AN | × | NC |
S
(2)若 | AO |= 3 |OM |= 1 VAMN， ，求 S 的最大值.VABC
17．在VABC 中，角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c
3
，滿足 c = acosB + b .
5
(1)求 cosA的值；
(2)當BC 與BC 邊上的中線長均為 2 時，求VABC 的周長；
(3)當VABC 內(nèi)切圓半徑為 1 時，求VABC 面積的最小值.
18．已知VABC 的內(nèi)角A ， B ，C 所對的邊分別為 a，b ， c，且b + c = a cosC + 3 sin C .
(1)求A ；
(2)若 a = 2，求VABC 內(nèi)切圓周長的最大值.
19．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測）已知VABC 的周長為 20，角A ， B ，C 所對的邊分別為 a，b ， c
π
(1)若C = ， c = 7，求VABC 的面積；
4
(2)若VABC 的內(nèi)切圓半徑為 3， a = 7，求 tanA的值．
2p
20．（2024·高三·江蘇揚州·開學(xué)考試）已知VABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c， A = ，b =10，
3
c = 6，VABC 的內(nèi)切圓 I 的面積為S .
(1)求S的值；
uuur uuur
(2)若點 D在 AC 上，且B, I , D 三點共線，求BD × BC 的值.
π
21．（2024·貴州·模擬預(yù)測）在VABC 中， AB = 13， AC = 2， C = ， N 為 AB 的中點， A的角平分
6
線 AM 交CN 于點O .
(1)求CN 的長；
(2)求VAOC 的面積.
22．（2024·廣東梅州·二模）在VABC 中，角 A，B，C 所對應(yīng)的邊分別為 a，b，c， 3a cos B - bsin A = 3c，
c = 2，
(1)求 A 的大小：
(2)點 D 在 BC 上，
（Ⅰ）當 AD ^ AB，且 AD =1時，求 AC 的長；
（Ⅱ）當BD = 2DC ，且 AD =1時，求VABC 的面積 SVABC ．
23．（2024·甘肅隴南·一模）在VABC 中，內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 a,b,c .已知 ccosA + acosC = 3 .
(1)求 b；
(2)D 為邊 AC 上一點， AD = 2DC, DBC
π
= ,AB ^ BD，求BD的長度和 ADB 的大小.
6
24．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，四邊形 ABCD為梯形， AB//CD 2， AB = 2CD = 6 2 ， tan A = ，
2
cos ADB 1= ．
3
(1)求 cos BDC 的值；
(2)求BC 的長．

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