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重難點(diǎn)突破 09 導(dǎo)數(shù)中的“距離”問題　
目錄
01 方法技巧與總結(jié) ..............................................................................................................................2
02 題型歸納與總結(jié) ..............................................................................................................................2
題型一：曲線與直線的距離 ................................................................................................................2
題型二：曲線與點(diǎn)的距離 ....................................................................................................................7
題型三：曲線與圓的距離 ....................................................................................................................8
題型四：曲線與拋物線的距離 ..........................................................................................................11
題型五：曲線與曲線的距離 ..............................................................................................................13
題型六：橫向距離 ..............................................................................................................................18
題型七：縱向距離 ..............................................................................................................................22
題型八：直線與兩曲線交點(diǎn)的距離 ..................................................................................................25
03 過關(guān)測(cè)試 ........................................................................................................................................26
導(dǎo)數(shù)中的“距離”問題，利用化歸轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想可把問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離、兩點(diǎn)間的距
離問題，再利用導(dǎo)數(shù)法來(lái)求距離的最值．方 法 之 一 是 轉(zhuǎn) 化 化 歸，將 動(dòng) 點(diǎn) 間 的 距 離 問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到
直線的距離問題，而這個(gè)“點(diǎn)”一般就是利用導(dǎo)數(shù)求得的切點(diǎn)；方法之二是構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)
求解最值．
題型一：曲線與直線的距離
9
【典例 1-1】（2024·廣西桂林·二模）已知函數(shù) f (x) = (x - m)2 + (ae x - 3m)2 (m R ) 的最小值為 ，則正實(shí)數(shù)
10
a =（ ）
A．3 B．3e-2 C．3e2 D．3 或3e-2
【答案】D
【解析】 (x - m)2 + (ae x - 3m)2 表示點(diǎn) A(x,aex )與點(diǎn) B(m,3m)的距離的平方，
點(diǎn)A在曲線 y = ae x 上，點(diǎn) B 在曲線 y = 3x 上，
如圖，可得a>0，
設(shè)與 y = 3x 平行的直線與曲線 y = ae x 相切于點(diǎn) P(x x00 ， ae ) ．
Q y = ae x ，\ aex0 =3， ①
點(diǎn) A(x,aex )與點(diǎn) B(m,3m)的距離的平方的最小值等于點(diǎn) P(x ， aex00 ) 到直線 y = 3x 的距離．
ae x0 - 3x
\ 0 3= ，\ aex0 -3x0 =3 ②
10 10
結(jié)合①②得 x = 0 ，a=3，或 x = 2，a =3e-20 0 .
故選：D.
3 2 2
【典例 1-2】若函數(shù) y1 = sin2x1 - x1 0,p ，函數(shù) y2 = x2 + 3 ，則 x1 - x2 + y1 - y2 的最小值為（ ）2
A 2p B p + 18
2
． ．
12 72
2
C p + 18
2 p - 3 3 +15
． D．
12 72
【答案】B
【解析】設(shè) z = ( x1 - x )
2
2 + ( y
2
1 - y 2 ) ，則 z 的幾何意義是兩條曲線上動(dòng)點(diǎn)之間的距離的平方.
∵ y sin2x 31 = 1 - x1 0,p 2
∴ y 1 = 2cos2x
∵直線 y2 = x2 + 3 的斜率為 1
p
∴令 y 1 = 2cos2x =1，解得 x = ，則 y1 = 0 ，6
3 p
即曲線 y1 = sin 2x1 - 在 ( ,0)處的切線和直線 y = x +3平行，2 6
p
+ 3
則最短距離為點(diǎn) (
p ,0)到 y = x +3的距離 d = 6 ，6 2
p
+ 3
∴ ( x - x )2 + ( y - y )2 6 (p +18)21 2 1 2 的最小值為 d 2 = ( )2 =
2 72
故選：B
lnx
【變式 1-1】點(diǎn) M 是曲線 f x = 上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn) M 到直線 y = x + 2 的距離的最小值為（ ）
x
A． 2 2 2+ B． 2 - C 3 2 D 2． ．
2e 2e 2 2
【答案】C
1- lnx
【解析】因?yàn)?f x = ，
x2
當(dāng)0 0 ， f x 單調(diào)遞增；
當(dāng)x>e時(shí)， f x < 0 ， f x 單調(diào)遞減．
由 f x 1- ln x= 2 =1，所以 x2 + lnx -1 = 0，x
易得函數(shù) y = x 2 + lnx -1為在 0 , + 上單調(diào)遞增函數(shù)， x=1為零點(diǎn)，
此時(shí) M 的坐標(biāo)為 1, 0 ，
3 2
由點(diǎn)到直線的距離公式可得 M 到直線 y = x + 2 的距離的最小值為 .
2
故選: C.
【變式 1-2】（2024·高三·安徽合肥·期中）點(diǎn)P,Q 分別是函數(shù) f x = 3 x - 4, g x = x 2 - 2 ln x 圖象上的動(dòng)點(diǎn)，
則 | PQ |2 的最小值為（ ）
3
A． (2 + ln2)2
3
B． (2 - ln2)2
5 5
2
C． (1+ ln2)2
2
D． (1- ln2)2
5 5
【答案】D
2
【解析】當(dāng)函數(shù) g x = x - 2lnx 在點(diǎn)Q處的切線與 f x = 3x - 4 平行時(shí)， | PQ |2 最小.
g x 2x 2 g x 2x 2 3 x 2 1= - ，令 = - = 得 = 或 x = - （舍），所以切點(diǎn)為Q(2, 4 - 2ln 2)，
x x 2
所以 | PQ |的最小值為切點(diǎn)Q(2, 4 - 2ln 2)
6 - 4 + 2 ln 2 - 4 2 ln 2 - 2
到直線 f x = 3x - 4 的距離 d = = ，
10 10
2
所以 | PQ |2 的最小值為d 2 = (1- ln2)2 .
5
故選：D.
【變式 1-3】（2024·陜西西安·二模）若 2ln x1 - x1 - y1 + 3 = 0， x2 - y2 + 5 = 0，則 x1 - x2
2 + y1 - y2
2
的最小
值為（ ）
A．2 2 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【解析】由題意，設(shè)函數(shù) f x = 2ln x - x + 3, x > 0 ，直線 y = x + 5，
設(shè)直線 y = x + b與函數(shù) y = f x 的切點(diǎn)為P(x0 , y0 )
2
可得 f x 2= -1，可得 f x0 = -1 =1，解得 x0 = 1x ，可得 y0 = 2，x 0
1- 2 + 5
即切點(diǎn)坐標(biāo)為P(1, 2)，則切點(diǎn)到直線 x - y + 5 = 0的距離為 d = = 2 2 ，
2
2 2
又因?yàn)? x1 - x2 + y1 - y2 表示點(diǎn) P 到直線 x - y + 5 = 0的距離為平方，
2 2
所以 x1 - x2 + y1 - y2 的最小值為 d 2 = 8 .
故選：C.
x
【變式 1-4】已知函數(shù) f x = ae - a -1 x +1- a a > 0 ， g x = x + b ，點(diǎn) P 與Q分別在函數(shù) y = f x 與
y = g x 的圖象上，若 PQ 的最小值為 2 ，則b = （ ）
A． -1 B．3 C． -1或 3 D．1 或 3
【答案】A
【解析】因?yàn)?f (x) = a ex - (a -1)，令 f (x) = 1，解得 x = 0，
而 f 0 = a +1- a =1，
則函數(shù) y = f (x) 的圖象在點(diǎn)( 0, 1)處的切線方程為 y = x +1，
則 | PQ |min = 2 ，即點(diǎn)( 0, 1)到直線 x - y + b = 0的距離為 2 ，
| b -1 |
所以 = 2 ，解得b = 3 或b = -1，
2
當(dāng)b = 3 x時(shí)， y = x +3與函數(shù) f x = ae - a -1 x +1- a a > 0 的圖象相交，
所以b = -1.
故選：A.
a
【變式 1-5 a - 2e 1- c】若實(shí)數(shù) a,b,c,d 滿足 = = 1，則 (a - c)2 + (b - d )2 的最小值是（
b d 1 ）-
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
a - 2ea
【解析】由 =1，得b = a - 2ea ，令 f x = x - 2ex '，則 f x =1- 2ex ，
b
f '令 (x)= 0得 x = - ln 2 ，當(dāng) x > - ln 2 '時(shí)， f x < 0, f x '單調(diào)遞減，當(dāng) x < - ln 2時(shí)， f x > 0, f x 單調(diào)遞
增；
1- c
由 =1，得 d = -c + 2，令 g x = -x + 2，
d -1
f x , g x 的圖像如下圖：
則 (a - c)2 + (b - d )2 表示 y = f x 上一點(diǎn)M a,b 與 y = g x 上一點(diǎn) N c, d 的距離的平方，
顯然，當(dāng)過 M 點(diǎn)的 f x 的切線與 g x 平行時(shí)， MN 最小，
設(shè) y = f x 上與 y = g x '平行的切線的切點(diǎn)為M 0 x0 , y0 ，由 f x =1- 2ex00 = -1，解得 x0 = 0，
2
所以切點(diǎn)為M 0 0, -2 ，切點(diǎn)到 y = g x
0 - 2 - 2
的距離的平方為 1 1 ÷
= 8，
è +
即 (a - c)2 + (b - d )2 的最小值為 8；
故選：A.
【變式 1-6】已知實(shí)數(shù) a，b ， c，d 滿足 | ln(a -1) - b | + | c - d + 2 |= 0，則 (a - c)2 + (b - d )2 的最小值為（ ）
A．2 2 B．8 C．4 D．16
【答案】B
【解析】由 | ln(a -1) - b | + | c - d + 2 |= 0得， ln(a -1) - b = 0， c - d + 2 = 0 ，即b = ln(a -1)，d = c + 2，
(a - c)2 + (b - d )2 的幾何意義為曲線b = ln(a -1)上的點(diǎn) (a , b ) 到直線d = c + 2上的點(diǎn) (c,d ) 連線的距離的平方，
不妨設(shè)曲線 y = ln(x -1) ，直線 y = x + 2 ，設(shè)與直線 y = x + 2 平行且與曲線 y = ln(x -1) 相切的直線方程為
y = x + m，
顯然直線 y = x + 2 與直線 y = x + m的距離的平方即為所求，
由 y = ln(x -1)
1
，得 y = ，設(shè)切點(diǎn)為 (x0 ， y0 )，x -1
ì 1
=1
x0 -1 ìx0 = 2
則 íy0 = x0 + m ，解得 ím = -2，

y0 = ln(x -1)

0 y0 = 0

\ | 2 + 2 |直線 y = x + 2 與直線 y = x + m的距離為 = 2 2 ，
2
\(a - c)2 + (b - d )2的最小值為 8．
故選：B.
題型二：曲線與點(diǎn)的距離
【典例 2-1】若點(diǎn) A(t,0)與曲線 y = ex 上點(diǎn) P 的距離的最小值為 2 3 ，則實(shí)數(shù) t的值為（ ）
4 ln 2 4 ln 2 3 ln 3 ln 3A． - B． - C． + D．3+
3 2 3 2
【答案】D
【解析】先設(shè)切點(diǎn) B，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義以及最值列式解得實(shí)數(shù) t的值.因?yàn)?2 3 >1 ,所以 t > 0,由題意得
以 A x為圓心， 2 3 為半徑的圓與曲線 y = ex 相切于點(diǎn) B,設(shè)B x，e 11 ,則在 B 點(diǎn)處切線的斜率為 ex1 ，所以
ì ex1
×ex 1 = -1
í x1 - t \(x1 - t)
2 - (x1 - t) -12 = 0
(x - t)2 + (ex1 )2 1 = 2 3
Q x t 0 x t 1 11 - < \ 1 - = -3, (e
x1 )2 = 3\ x1 = ln 3, t = ln 3 + 3，選 D.2 2
【典例 2-2】（2024·河北石家莊·石家莊二中校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn) A(t,0)，P 為曲線 y = ex 上動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn) A，
P 間距離的最小值為 6 ，則實(shí)數(shù) t 的值為（ ）
5 ln 2 ln 3
A． 5 B． C． 2 + D． 2 +2 2 2
【答案】C
【解析】設(shè)P(x,ex ) 2，則 AP = (x - t)2 + e2x ，記 g(x) = e2x + (x - t)2 ，
g (x) = 2e2x + 2(x - t) ，易知 g (x) = 2e2x + 2(x - t) 是增函數(shù)，且 g (x) 的值域是 R ，
∴ g (x) = 0的唯一解 x0 ，且 x < x0時(shí)， g (x) < 0， x > x0時(shí)， g (x) > 0，即 g(x)min = g(x0 )，
g(x ) = e2x0 + (x - t)2由題意 0 0 = 6，而 g (x ) = 2e
2x0
0 + 2(x
2x
0 - t) = 0， x0 - t = -e 0 ，
ln 2
∴ e2x0 + e4x0 = 6，解得 e2x0 = 2， x0 = ．2
∴ t = e2x
ln 2
0 + x0 = 2 + ．2
故選：C．
【變式 2-1】（2024·高三·廣東汕頭·開學(xué)考試）若點(diǎn) A 0, t 與曲線 y = ln x 上點(diǎn) B 距離最小值為 2 3 ，則實(shí)
數(shù) t為 .
1
【答案】 ln 3 + 3
2
1
【解析】設(shè)點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 m, ln m ，對(duì)函數(shù) y = ln x 求導(dǎo)得 y = ，
x
t - ln m
由題意可知，直線 AB 與曲線 y = ln x 在點(diǎn) B 處的切線垂直，則 kAB = = -m ，-m
得 t = m2 + ln m，
由兩點(diǎn)間的距離公式得 AB = m2 + t - ln m 2 = m2 + m4 ，
由于 AB 的最小值為 2 3 ，即m4 + m2 =12，Qm > 0，解得m = 3 ，
因此， t = 3+ ln 3 3
1
= + ln 3 .
2
1
故答案為： ln 3 + 3
2
題型三：曲線與圓的距離
1
【典例 3-1】（2024·高三· 2 2山東青島·期末）已知?jiǎng)狱c(diǎn) P，Q 分別在圓M : (x - ln m) + (y - m) = 和曲線
4
y = ln x 上，則 PQ 的最小值為 ．
1
【答案】 2 -
2
【解析】由題意得M ln m, m 1，即圓心M 在 y = ex 上，半徑為 2 ，
故 PQ 1的最小值等于 MQ 的最小值減去半徑 2 ，
設(shè)Q n, ln n ，由于 y = ex 與 y = ln x 關(guān)于 y = x 對(duì)稱，
MQ 的最小值等于Q到直線 y = x 的距離的最小值的 2 倍，
由 y = ln x
1 1
，可得 y = ，令 =1，解得 n = 1，
x n
故 y = ln x 在點(diǎn)Q 1,0 處的切線與 y = x 平行，此時(shí)Q 1,0 到 y = x 的距離最小，
1- 0 2
最小值為 = ，
1+1 2
2
故 MQ 的最小值為 2 = 2 ，
2
則 PQ
1
的最小值等于 2 - .
2
1
故答案為： 2 -
2
2
【典例 3-2】（2024· 2 浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知 x,m,n R且 x 0, m2 + n2 =1，則 (1+ x - m)2 + 1- x - + n÷
è x
的最小值是（ ）
A．2 2 B．9 - 4 2 C．1+ 2 2 D．8
【答案】B
(1 x m)2 1 x 2
2 2 2
【解析】代數(shù)式 + - + - - + n÷ = (1+ x - m)
2 + x -1+ - n

è x ÷ è x
可以看成點(diǎn) A(m,n)
2
到點(diǎn)B(1+ x, x + -1)距離的平方，點(diǎn) A(m,n)在平面直角坐標(biāo)系 sOt 中，表示單位圓
x
s2 + t 2 =1上的點(diǎn)，
點(diǎn)B(1+ x, x
2
+ -1) 2表示曲線 t(s) = s - 2 + 上的點(diǎn)，如下圖所示：
x s -1
2
t(2) = 2，由 t(s) = s - 2 + t (s)
2
=1- 2 t (2) = -1s 1 (s 1) ，- -
所以曲線 t(s) = s 2
2
- + 在點(diǎn)D(2, 2)處的切線方程為： y - 2 = -(x - 2) y = -x + 4 ，
s -1
此時(shí)直線OD與直線 y = -x + 4垂直于點(diǎn)D(2, 2)，交圓于點(diǎn)C ，
由數(shù)形結(jié)合思想可以確定：
2
當(dāng)點(diǎn) A(m,n)運(yùn)動(dòng)到C 點(diǎn)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)B(1+ x, x + -1)運(yùn)用到點(diǎn)D(2, 2)時(shí)，
x AB
2 有最小值，即
AB2 = (OD -1)2 = ( 22 + 22 -1)2 = 9 - 4 2 ，
故選：B
【變式 3-1】若 x、a、b 為任意實(shí)數(shù)，若 (a +1)2 + (b - 2)2 =1，則 (x - a)2 + (ln x - b)2最小值為( )
A．2 2 B．9 C．9 - 4 2 D． 2 2 -1
【答案】C
【解析】由 (a +1)2 + (b - 2)2 =1可得 a,b 在以 -1,2 為圓心，1 為半徑的圓上，
(x - a)2 + (lnx - b)2 表示點(diǎn) a,b 與點(diǎn) x, lnx 的距離的平方，
即表示圓 (x +1)2 + (y - 2)2 =1上動(dòng)點(diǎn)到函數(shù) y＝lnx 圖像上動(dòng)點(diǎn)距離的平方．
設(shè) m, lnm 為 y＝lnx 上一點(diǎn)，且在 m, lnm 處的 y＝lnx 的切線與 m, lnm 和 -1,2 連線垂直，可得
lnm - 2 1
× = -1，
m +1 m
即有 lnm + m2 + m = 2 ，
由 f m = lnm + m2 + m 在m > 0時(shí)遞增，且 f 1 = 2 ，可得 m＝1，即切點(diǎn)為 1,0 ，
圓心與切點(diǎn)的距離為 d = (1+1)2 + (0 - 2)2 = 2 2 ，
由此可得 (x - a)2 + (lnx - b)2 的最小值為 (2 2 -1)2 = 9 - 4 2 ．
故選：C．
2
【變式 3-2】若 P ，Q分別是函數(shù) y = x2 與圓 x + 3 + y2 =1上的點(diǎn)，則 PQ 的最小值為 ．
【答案】 5 -1 / -1+ 5
【解析】設(shè)圓 x + 3 2 + y2 =1的圓心為C(-3,0)，半徑為 r =1，
當(dāng)PC 垂直于拋物線在點(diǎn) P 處的切線時(shí)， | PQ |取得最小值，為 | PC | -r ，如圖所示，
設(shè)點(diǎn)P(m, n) ，則直線PC 的斜率為 k
n - 0
= ，且m2PC = n ，m + 3
由 x2 = y 知， y = 2x ，
所以在點(diǎn) P 處的切線的斜率為 k = 2m，
n - 0
因?yàn)橹本€PC 與切線垂直，所以 ×2m = -1，所以 2m3 = -3- m，
m + 3
所以 (2m3 + 2) + (m +1) = 0，即 (m +1)(2m2 - 2m + 3) = 0，
2m2因?yàn)?- 2m + 3 = 2(m
1
- )2 5+ > 0 恒成立，所以m +1 = 0，即m = -1，
2 2
此時(shí) P(-1,1)，
所以 PC - r = (-1+ 3)2 + (1- 0)2 -1 = 5 -1，即 | PQ |的最小值為 5 -1．
故答案為： 5 -1．
【變式 3-3】已知點(diǎn) P 為函數(shù) f (x) = ex 的圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓 (x -1)2 + y2 =1上任意一點(diǎn)，則線段 PQ
長(zhǎng)度的最小值為（ ）
A． 2 -1 B．1 C． 2 D． 3 -1
【答案】A
【解析】
由圓的對(duì)稱性可得只需考慮圓心M (1,0)到函數(shù) f (x) = ex 圖象上一點(diǎn)的距離的最小值．
設(shè) f (x) 圖象上一點(diǎn) N (m, em )，令 f (x) 圖象上一點(diǎn) N (m, em )的切線為 l
由 f (x) 的導(dǎo)數(shù)為 f (x) = ex ，即切線 l的斜率為 k = em ，
當(dāng)MN ^ l 時(shí)，圓心M (1,0)到函數(shù) f (x) = ex 圖象上一點(diǎn)的距離最小，
em
此時(shí) = -e-m ，即有 e2m + m -1 = 0，
m -1
由 g(x) = e2x + x -1，可得 g (x) = 2e2x +1 > 0， g(x)遞增，又 g(0) = 0，
所以m = 0，\ N (0,1) ，
所以點(diǎn)( 0, 1)到點(diǎn)Q的距離最小，且為 2 ，
則線段 PQ的長(zhǎng)度的最小值為 2 -1，
故選：A．
題型四：曲線與拋物線的距離
2
2 2
【典例 4-1】設(shè)j(a,b) = (a - b)2 b b+ ln a - ÷ + (a > 0,b R) ，當(dāng) a，b 變化時(shí)，j(a,b)的最小值為
è 4 4
_______.
【答案】 2 -1 .
2
2
2
【解析】j(a,b) = a - b 2 + ln a
b b
- ÷ + ，
è 4 4
b2
函數(shù)表示點(diǎn) A a, ln a 和 B b, 4 ÷ 的距離加上 B 的縱坐標(biāo)，è
2
畫出 f x = ln x x和y = 的圖像，如圖所示：
4
故 AB + BC = AB + BD -1 = AB + BF -1 AF -1，當(dāng) ABF 共線時(shí)等號(hào)成立.
設(shè) g x = x2 + ln x -1 2 ，則 g ' x 2ln x-1= +2x， g ' 1 = 0 ，
x
當(dāng) x >1時(shí)，2
ln x-1
> -2，故 g ' x 2ln x-1= +2x > 0，函數(shù)單調(diào)遞增；
x x
2ln x-1 2 g ' x 2ln x-1當(dāng)0 < x < 1時(shí)， < - ，故 = +2x < 0，函數(shù)單調(diào)遞減.
x x
g x = gmin 1 = 2，故 AF -1 2 -1 .
綜上所述：j(a,b)的最小值是 2 -1 .
故答案為： 2 -1 .
2
2 a2 a2
【典例 4-2】設(shè)D = x - a + ln x - ÷ + +1 . a R ，則D的最小值為
è 4 4
A 2． B．1 C． 2 D．2
2
【答案】C
1 2
【解析】由題可得：設(shè) f (x) = ln x, g(x) = x ，所以D為 g(x)上任意一點(diǎn)到 f (x)上任一點(diǎn)及拋物線焦點(diǎn)的
4
2 2 2 2 h ' (x) 2 éx ln x -1h(x) x ( ln x ù距離之和，所以距離表達(dá)式為 x + ( ln x -1) ,令 = + -1) ， = ê + ，顯然在[0,1] x ú
遞減，[1, + ) 遞增所以 h(x)min = h(1) = 2，故 x2 + ( ln x -1)2 最小值為 2
2
【變式 4-1】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)D = x - a 2 + ex - 2 a + a +1，其中 e 2.71828 ，則D的最小值
為（ ）
A． 2 B． 2 +1 C． 3 D． 3 +1
【答案】A
【解析】令Q x, ex ，P a, 2 a x，則點(diǎn)Q在函數(shù) f x = e 圖象上， P 在函數(shù) g x = 2 x 的圖象上，
容易知道 g x = 2 x 圖象是拋物線 y2 = 4x圖象的上半部分，
記拋物線焦點(diǎn)為F 1,0 ，過 P 作拋物線的準(zhǔn)線 l : x = -1的垂線，垂足為M ，如圖所示：
2
則D = x - a 2 + ex - 2 a + a +1 = PQ + PM = PQ + PF FQ ，
當(dāng)且僅當(dāng) P 在線段 FQ 上時(shí)，取最小值.
設(shè)這時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為Q x0 , ex0 ，又 f x = ex ，
ex0x - 0
所以有 e 0 × = -1 e2x0 =1- x0，解得 x0 = 0 ，即該點(diǎn)為 0,1 ，x0 -1
FQ 1- 0 2所以 + 0 -1 2 = 2 ，因此Dmin = 2 .
故選：A.
題型五：曲線與曲線的距離
【典例 5-1】（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中校考期中）設(shè)點(diǎn) P 在曲線 y = ln x -1 上，點(diǎn)Q在曲線
y = ex-1上，則 PQ 的最小值為___________.
【答案】 2
【解析】由于曲線 y = ln x -1 是由 y = ln x 向右平移 1 個(gè)單位得到的， y = ex-1是由 y = ex 現(xiàn)右平移 1 個(gè)單位
得到的，所以 PQ 的最小值可以看成曲線 y = ln x 上的點(diǎn)與 y = ex 上的點(diǎn)間的最小值，
因?yàn)?y = ex 與 y = ln x 互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線 y = x 對(duì)稱，
所以所求的最小值為曲線 y = ex 上的點(diǎn)A 到直線 y = x 的最小距離的 2 倍，
設(shè)與直線 y = x 平行的直線與曲線 y = ex 相切于點(diǎn)M (x0 ,e
x0 ) ，
因?yàn)?y ' = ex ，由 ex0 =1，得 x0 = 0，
所以切點(diǎn)M (0,1) ，
y = x 0 -1 2所以點(diǎn)A 到直線 的最小距離為 d = = ，
2 2
所以 PQ 的最小值為 2 ，
故答案為： 2
【典例 5-2】設(shè) a,b R ， c > 0，則 (a - b)2 + (ea - b)2 + (c - b)2 + (ln c - b)2 的最小值為 ．
【答案】 2
a
【解析】由兩點(diǎn)距離公式的幾何意義可知 (a - b)2 + (ea - b)2 表示點(diǎn) a, e 到 b,b 的距離，
(c - b)2 + (ln c - b)2 表示點(diǎn) c, ln c 到 b,b 的距離，
a
而 a, e 是 y = ex x > 0 上的點(diǎn)， c, ln c 是 y = ln x 上的點(diǎn)， b,b 是 y = x 上的點(diǎn)，且 y = ex 與 y = ln x 關(guān)于
直線 y = x 對(duì)稱，
所以 (a - b)2 + (ea - b)2 + (c - b)2 + (ln c - b)2 的最小值可轉(zhuǎn)化為 y = ex 圖像上的動(dòng)點(diǎn)與 y = ln x 圖像上的動(dòng)
點(diǎn)最小距離，
顯然， y = ex 與平行 y = x 的切線 l1的切點(diǎn)M ，和 y = ln x 與平行 y = x 的切線 l2的切點(diǎn) N ，它們之間的距離
MN 就是所求最小距離，
對(duì)于 y = ex ，設(shè)切點(diǎn)為 x1, y1 ，有 y = ex ex =1 x = 0 y = e0，則 1 ，故 1 ，則 1 =1，故M 0,1 ，
1
對(duì)于 y = ln x ，設(shè)切點(diǎn)為 x2, y 2 ，有 y 1= ，則 =1，故 x2 =1，則 y2 = ln1 = 0x ，故 N 1,0 x ，2
所以 MN = 1+1 = 2 ，所以題設(shè)式子的最小值為 2 .
故答案為： 2 .
【變式 5-1】（2024·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn) P 在曲線 y = e2x+2 +1上，點(diǎn) Q 在曲線 y =1+ ln x +1上，則
|PQ|的最小值為 .
2 1+ln2
【答案】
2
【解析】令 f (x) = e2(x+1)、 g(x) = ln x +1 分別向上平移一個(gè)單位可得 y = e2x+2 +1、 y =1+ ln x +1，而
f (x) 與 g(x)關(guān)于 y = x 對(duì)稱，
∴當(dāng)兩條曲線在 P、Q 處的切線均與 y = x +1平行時(shí)，P、Q 關(guān)于 y = x +1對(duì)稱，|PQ|有最小，對(duì)應(yīng)曲線平移到
f (x) 、 g(x)后，P、Q 關(guān)于 y = x 對(duì)稱即可，
∴令 t = x +1 > 0，則 f (x) = m(t) = e2t ，
ln 2 ln 2 1 ln 2 1
∴ m (t) = 2e2t =1有 t = - ，則m(- ) = ，即P(- , )，
2 2 2 2 2
| 1 ln 2+ |
∴ P 到 y = x 的距離 d = 2 2 2(ln 2 +1)= ，
2 4
∴ | PQ | 2d 2(ln 2 +1)= = .
2
2(ln 2 +1)
故答案為： .
2
【變式 5-2】設(shè)點(diǎn) P 在曲線 y = x2 +1(x 0) 上，點(diǎn)Q在曲線 y = x -1(x 1)上，則 | PQ |的最小值為 .
3 2 3
【答案】 / 2
4 4
【解析】由 y = x2 +1，得： x2 = y -1， x = ± y -1 .
2
所以 y = x +1 x 0 與 y = x -1互為反函數(shù)．
則它們的圖象關(guān)于 y = x 對(duì)稱．
要使 PQ 的距離最小，則線段 PQ垂直直線 y = x .
2
點(diǎn) P 在曲線 y = x +1 x 0 上，點(diǎn) Q 在曲線 y = x -1上，
設(shè) P(x, x2 +1)，Q(x, x -1) .
又 P，Q 的距離為 P 或 Q 中一個(gè)點(diǎn)到 y = x 的最短距離的兩倍．
以 Q 點(diǎn)為例，Q 點(diǎn)到直線 y = x 的最短距離
2
x 1 1 3 - -

÷ +x - x -1 è 2 4
d = =
2 2
1 5
所以當(dāng) x -1 = ，即 x = 3 2時(shí)，d 取得最小值 ，
2 4 8
3 2 3 2
則 PQ 的最小值等于 2 = .
8 4
3 2
故答案為：
4
x
【變式 5-3】已知點(diǎn) P 在函數(shù) f x = xe +1 ln x的圖象上，點(diǎn) Q 在函數(shù) g x = 的圖象上，則 PQ 的最小值
x
為 .
【答案】 2
【解析】
f x = xex +1 f x = 1+ x ex由函數(shù) ，求導(dǎo)可得： ，則 f 0 =1，
在 A 0,1 處的切線方程為 y -1 =1 x - 0 ，整理可得： y = x +1；
g x ln x g x 1- ln x由函數(shù) = ，求導(dǎo)可得： = 2 ，則 g 1 =1，x x
在B 1,0 處的切線方程為 y - 0 =1 x -1 ，整理可得 y = x -1；
1- 0
由直線 AB 的斜率 kAB = = -1，易知：直線 AB 分別與兩條切線垂直..0 -1
故答案為： 2 .
x 1
【變式 5-4】（2024·高三·遼寧·期中）如圖所示，動(dòng)點(diǎn) P，Q 分別在函數(shù) f x = e + x， g x = 2ln x + 上
2
運(yùn)動(dòng)，則 PQ 的最小值為 ．
5
【答案】
2
x 2
【解析】如題圖，兩個(gè)函數(shù)都是定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，又 f x = e +1， g x = 在定義域上分別單
x
調(diào)遞增、單調(diào)遞減，所以函數(shù) f x 遞增的速度由慢到快， g x 遞增的速度由快到慢，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P x1, y1 ，
ì x 21
e +1 = ,
x2
Q x2 , y

2 ，當(dāng)且僅當(dāng)滿足： í
ex1 + x1 1
時(shí)， PQ 取得最小值，由圖象的示意圖不難發(fā)
- 2lnx +

2 2 ÷ è 2× = -1
x1 - x2 x2
現(xiàn)，該方程組有唯一一組 x1 = 0 ， x2 =1，所以P 0,1 ，Q 1,
1
2 ÷ ，所以
PQ 的最小值為
è
1 2 0 1 2 5- + 1-

2 ÷
= ．
è 2
5
故答案為： .
2
【變式 5-5】設(shè)點(diǎn) P 在曲線 y = ex+1上，點(diǎn)Q在曲線 y = -1+ ln x 上，則 | PQ |最小值為（ ）
A． 2 B．2 2
C． 2(1+ ln2) D． 2(1- ln2)
【答案】B
【解析】Q y = ex+1與 y = -1+ ln x 互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于直線 y = x 對(duì)稱
先求出曲線 y = ex+1上的點(diǎn)到直線 y = x 的最小距離．
設(shè)與直線 y = x 平行且與曲線 y = ex+1相切的切點(diǎn) P(x0 ， y0 )．
y = ex+1， e x0 +1 = 1，解得 x = -1．\ y = e-1+10 0 = 1．
得到切點(diǎn) P( 1,1) y = x d
| -1-1|
- ，點(diǎn) P 到直線 的距離 = = 2 ．
2
\| PQ |最小值為2 2 ．
故選：B．
ex
【變式 5-6】已知函數(shù) y = 的圖象與函數(shù) y = ln(2x)的圖象關(guān)于某一條直線 l對(duì)稱，若 P ，Q分別為它們圖
2
象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則這兩點(diǎn)之間距離的最小值為（ ）
A 2 ln 2 B 2 ln 2． ． C 2(1+ ln 2)． D． 2 1- ln 2
2 4 2
【答案】D
ex ea
【解析】設(shè) P a,b 為函數(shù) y = 圖象上任意一點(diǎn)，則b = ， P a,b 關(guān)于直線 y = x 的對(duì)稱點(diǎn)為Q b, a ，
2 2
又 y = ln(2b) = ln ea = a，即點(diǎn)Q b, a 在函數(shù) y = ln(2x)的圖象上，
ex
所以函數(shù) y = 的圖象與函數(shù) y = ln(2x)的圖象關(guān)于直線 y = x 對(duì)稱，
2
所以這 P ，Q兩點(diǎn)之間距離的最小值等于點(diǎn) P 到直線 y = x 距離最小值的 2倍，
x x
由 y e= ，則 y e= ，
2 2
ex ex0 ex0
函數(shù) y = 在點(diǎn)P(x0 , y0 )處的切線斜率為 k = ，令 k = =1，解得 x0 = ln 2， y0 =1，2 2 2
所以點(diǎn) P 到直線 y = x
ln 2 -1 2 1- ln 2
距離的最小值為 d = = ，
2 2
所以這 P ，Q兩點(diǎn)之間距離的最小值為 2d = 2 1- ln 2 .
故選：D
1
【變式 5-7】（2024·高三·寧夏石嘴山·開學(xué)考試）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P、Q分別是曲線 xy = e2 和曲線 y = 2ln x 上的任
意一點(diǎn)，則線段 PQ 的最小值為（ ）
A．2 2 B． 2 2(1- ln 2) C． 2 D． 2(1- ln 2)
【答案】B
1
【解析】因?yàn)?xy = e2 與 y = 2ln x互為反函數(shù)，所以其圖象關(guān)于直線 y = x 對(duì)稱，
1
先求出曲線 xy = e2 上的點(diǎn)到直線 y = x 的最小距離，該距離的 2 倍即為所求.
1
設(shè)與直線 y = x 平行且與曲線 xy = e2 相切的直線切點(diǎn)為P(x0 , y0 )，
y 1
1 x 1 1 x0
因?yàn)?= e2 ，所以 e2 =1，解得 x0 = ln 4，2 2
1
所以 ln 4y0 = e2 = e
ln 2 = 2，即切點(diǎn)為P(ln 4,2)，
2 - ln 4
點(diǎn) P 到直線 y = x 的距離 d = = 2 1- ln 2 ，
2
所以線段 PQ 的最小值為 2 2 1- ln 2 .
故選：B
題型六：橫向距離
【典例 6-1】（多選題）（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f (x) = ex ， g(x) = ln x +1的圖象與直線 y=m 分
別交于 A、B 兩點(diǎn)，則（ ）.
A．m > 0
B．"m > 0，曲線 y = f (x) 在 A 處的切線總與曲線 y = g(x) 在 B 處的切線相交
C． AB 的最小值為 1
D． m > 0，使得曲線 y = f (x) 在點(diǎn) A 處的切線也是曲線 y = g(x) 的切線
【答案】ACD
【解析】設(shè) A、B 的橫坐標(biāo)分別為 x1，x2，
則 ex1 = ln x2 +1 = m
由于 ex1 > 0，故m > 0，故 A 正確；
當(dāng)m =1時(shí) x1 = 0, x2 =1 ,
Q f x = ex , g x 1= ,\ f x1 = f 0 =1, g x2 = g 1 =1,x
所以曲線 y = f (x) 在 A 處的切線總與曲線 y = g(x) 在 B 處的切線斜率相等，兩切線不相交，故 B 錯(cuò)誤；
AB = x2 - x = e
m-1
1 - ln m ,
設(shè) h m = em-1 - ln m, m > 0 ,則 h m = em-1 1- ,是單調(diào)遞增函數(shù)，且 h 1 = 0 ,
m
所以在 0,1 上 h m < 0, h m 單調(diào)遞減，在 1, + 上， h m > 0, h m 單調(diào)遞增，
所以 AB = h m = h 1 =1min min ,故 C 正確；
曲線 y = f (x) x在點(diǎn) A 處的切線方程為 y - e 1 = ex1 x - x1 ,若此切線同時(shí)也是曲線 y = g(x) 的切線，可設(shè)切點(diǎn)
為 x0 , y0 ,
ì

y0 - e
x1 = ex1 x0 - x1

則 í y0 = ln x0 +1 ,

ex 11 =
x0
消去 x0得 x1 -1 ex1 - x1 = 0 ,
x
設(shè)j x = x -1 e - x ,
j 2-1 = - +1 > 0,j 0 = -1 0,j 2 = e2 - 2 0 ,
e
因?yàn)閖 x 的圖象是連續(xù)的，所以j x 至少有兩個(gè)零點(diǎn)（可以證明恰有兩個(gè)零點(diǎn)，因與本題結(jié)論無(wú)關(guān)，在
此從略），
故 x1 -1 ex1 - x1 = 0有解，進(jìn)而得到m的值是存在的且大于零的，故 D 正確.
故選：ACD.
【典例 6-2】（2024·江蘇蘇州·一模）已知直線 y＝a 分別與直線 y = 2x - 2 ，曲線 y = 2ex + x交于點(diǎn) A，B，
則線段 AB 長(zhǎng)度的最小值為 ．
3 + ln 2
【答案】
2
【解析】Q y = 2ex + x, y ' = 2ex +1，設(shè)與 y = 2x - 2 平行的 y = 2ex + x的切線的點(diǎn)為 x0 , y0 ，則切線斜率為
2ex0 +1 x， 2e 0 +1 = 2, x0 = - ln 2, y0 =1- ln 2,\切線方程為 y + ln 2 -1 = 2 x + ln 2 ， y = 2x + ln 2 +1則 y = 2x - 2
與 y = 2x + ln 2 +1， y = a 被直線與切線截得的線段長(zhǎng)，就是 y = a 被直線 y = 2x - 2 和曲線 y = 2ex + x截得
線段 AB 的最小值，因?yàn)?a取任何值時(shí)， y = a 被兩平行線截得的線段長(zhǎng)相等，所以令 a = 0，可得
x 1, x - ln 2 -1, AB x x 3 + ln 2 3+ ln 2 3 + ln 2A = B = = B - A = ，線段 AB 的最小值 ，故答案為 .2 2 2 2
【變式 6-1】已知直線 y = m，分別與直線 y = 5x - 5和曲線 y = 2ex + x交于點(diǎn) M，N 兩點(diǎn)，則線段 MN 長(zhǎng)度
的最小值是 ．
9 - 4ln2
【答案】 .
5
x
【解析】設(shè)與 y = 5x - 5平行且與 y = 2ex + x相切的直線的切點(diǎn)為 x0 , 2e 0 + x0 ，
y = 2ex +1 \2ex因?yàn)?， 0 +1 = 5,ex0 = 2, x0 = ln 2，切點(diǎn)為 ln 2,4 + ln 2 ，
切線方程為 y - 4 - ln 2 = 5 x - ln 2 ，即 y = 5x + 4 - 4ln 2，
MN 長(zhǎng)度的最小值就是 y = m被 y = 5x - 5與 y = 5x + 4 - 4ln 2截得的弦長(zhǎng)，
m + 5 m + 4ln 2 - 4 9 - 4ln 2
則有 - = ，
5 5 5
9 - 4ln 2
故答案為： .
5
3
【變式 6-2 2】直線 y = m 分別與曲線 y = x - 2ln x ， 直線 y = x - 3 交于 A, B 兩點(diǎn)， 則 AB 的最小值為
2
（ ）
A 7 2 3 3
7
． B． C． D． 5
4 2 2
【答案】C
d
【解析】由題，設(shè)A 到直線 y = x - 3的距離為d ，直線 y = x - 3的傾斜角為a ，則 sina = AB ，
又 tana =1，\ AB = 2d ，故 AB 最小即d 最小，即為當(dāng)過點(diǎn)A 處的切線與直線 y = x - 3平行時(shí)最小，
3
由曲線 y = 3x
2
- =1, x > 0，得 x =1

，所以切點(diǎn)為 A
x
1, ÷，
è 2
1 3- - 3
可求得點(diǎn)A 到直線 y = x - 3的距離最小值為 d 2 7 2min = =
12 + -1 2 4
故 AB = 2d
7
min min
= ，
2
故選：C
【變式 6-3】（2024·陜西銅川·一模）直線 y = m分別與直線 y = x 、曲線 y = 4x - ln x 交于點(diǎn) A，B，則 AB
的最小值為（ ）
1 ln 3 1 ln 3 1+ ln 3A． + B． + C． D．2 + ln 3
2 2
【答案】B
【解析】由題意可知，直線 y = m與直線 y = x 的交點(diǎn) A m,m ，直線 y = m與曲線 y = 4x - ln x 交點(diǎn)B x0 , m ，
滿足m = 4x0 - ln x0 x0 > 0 ，
則 AB = x0 - m = x0 - 4x0 - ln x0 = ln x0 - 3x0 = 3x0 - ln x0 ，
設(shè) f x = 3x - ln x， x > 0，則 f (x) 1= 3- ，
x
由 f (x) > 0
1
，得 x > ； f (x) < 0 0 x
1
，得 < < ，
3 3
所以 f x 在 0,
1 1
÷ 上單調(diào)遞減，在 ,+ 3 3 ÷
上單調(diào)遞增，
è è
則 f x f 1 ÷ = 3
1 ln 1 - =1+ ln 3，即 AB =1+ ln 3
è 3 3 3 min
，
故選：B．
【變式 6-4】已知直線 y = a 分別與曲線 y = ex 和曲線 y = ln x +1交于P,Q 兩點(diǎn)，則 PQ 的最小值為（ ）
e
A．1 B． e C． D 1．
2 2
【答案】A
【解析】因?yàn)橹本€ y = a 分別與曲線 y = ex 和曲線 y = ln x +1交于P,Q 兩點(diǎn)，
所以點(diǎn) P a-1的坐標(biāo)為 ln a, a ，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 e , a ，
PQ = ea-1所以 - ln a ，
設(shè) f a = ea-1 - ln a a-1 1，則 f a = e - ，
a
y = ea-1因?yàn)楹瘮?shù) , y
1
= - 在 0, + 上都為增函數(shù)，
a
f a = ea-1 1所以函數(shù) - 在 0, + 為增函數(shù)，又 f 1 = 0，
a
a-1
所以當(dāng) 0 < a < 1時(shí)， f a < 0，函數(shù) f a = e - ln a單調(diào)遞減，
當(dāng) a > 1時(shí)， f a > 0 ，函數(shù) f a = ea-1 - ln a單調(diào)遞增，
所以 f a f 1 =1，
PQ = ea-1所以 - ln a 1，當(dāng)且僅當(dāng) a =1時(shí)取等號(hào)，
所以 PQ 的最小值為1.
故選：A.
f x = ex g x ln x 1【變式 6-5】已知函數(shù) ， = + 的圖象分別與直線 y = m m > 0 交于 A, B兩點(diǎn)，則 AB 的
2 2
最小值為（ ）
A．2 B 2． 2 + ln 2 C． e +
1
D． 2e - ln
3
2 2
【答案】B
x
【解析】因?yàn)楹瘮?shù) f x = e , g x ln x 1= + 的圖像與直線 y = m分別交于 A, B兩點(diǎn)，
2 2
m 1-
所以 A ln m，m ，B 2e 2 m m 1， ÷，其中 -2e 2 > ln m ，且m > 0，è
m 1-
所以 AB = 2e 2 - ln m，
x 1-
令 h x = 2e 2 - ln x(x > 0) ，
x 1-
則 h x 1= 2e 2 1- ，令 h x = 0得： x = ；
x 2
1 1
所以易得： x > 時(shí)， h x > 0；0 < x < 時(shí)， h x < 0；
2 2
即函數(shù) h x 在 0,
1 1
÷上單調(diào)遞減，在 ,+ ÷上單調(diào)遞增，
è 2 è 2
因此 h x h 1 ÷ = 2 + ln 2，即 AB 的最小值為 2 + ln 2 .
è 2
故答案為：B.
題型七：縱向距離
【典例 7-1】（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）若直線 x = a與兩曲線 y = ex , y = lnx分別交于 A, B兩點(diǎn)，且曲線
y = ex 在點(diǎn)A 處的切線為m，曲線 y = lnx在點(diǎn) B 處的切線為n，則下列結(jié)論：
① $a 0, + ，使得m // n；②當(dāng)m // n時(shí)， AB 取得最小值；
③ AB
5
的最小值為 2；④ AB 最小值小于 ．
2
其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由直線 x = a與兩曲線 y = ex , y = lnx分別交于 A, B兩點(diǎn)可知： a > 0
曲線 y = ex a a a a上A 點(diǎn)坐標(biāo) a,e ，可求導(dǎo)數(shù) y = ex ，則切線m斜率 km = e ，可知切線m： y - e = e x - a .
曲線 y = lnx上 B 點(diǎn)坐標(biāo) a, ln a 1 1，可求導(dǎo)數(shù) y = ，則切線n斜率 k
x n
= .
a
1
令 km = kn ，則 e
a 1 x 1 1= ，令 g x = e - x > 0 ， g ÷ = e2 - 2 < 0, g 1 = e -1 > 0，a x è 2
1
由零點(diǎn)存在定理，$a ,1÷使 g x = 0，即$a 0, + ，使 km = kn ，即m // n，故①正確.
è 2
1
AB = ea - ln a ，令 h a = ea - ln a 1a > 0 ,\h a = ea 1- a0，由 g x 同理可知有 a ,1 ，使 e = ，令
a 0 2 ֏ a0
ì h a > 0 a > a0
íh a 0 0 a a ，
\h a 在 a = a0 處取最小值，即當(dāng)m // n時(shí)， AB 取得最小值，故②正確.
< < < 0
AB = ea ln a ,Qea 1 10 - 00 = ,\a = ln = - ln a , AB
1
\ = + a 1
min a ,1a 0 0 min 0是對(duì)勾函數(shù)，在 0 ÷上是減函數(shù)，0 a0 a0 è 2

÷
\ AB 1 +1,
1 1
1 + AB
2, 5
min 1 2 ÷ min 2 ÷
，故③錯(cuò)誤，④正確.
÷ è
è 2
故選：C
【典例 7-2】直線 x = a分別與曲線 f x = ln x - x和曲線 g x = x2 - x + 2交于A ， B 兩點(diǎn)，則 AB 的最小值
為
11 5 1
A． B．2 C 3 2． D． + ln 2
4 4 2 2
【答案】D
【解析】根據(jù)題意可設(shè) A a, f a ，B a, g a ，即可表示出 AB ，構(gòu)造函數(shù) h x = x2 - ln x + 2 并求得
h x ，令 h x = 0求得極值點(diǎn)并判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求得 AB 的最小值.直線 x = a分別與曲線
f x = ln x - x和曲線 g x = x2 - x + 2交于A ， B 兩點(diǎn)，
設(shè) A a, f a ，B a, g a ，
且 f a = ln a - a ， g a = a2 - a + 2，
AB = f a - g a = a2 - ln a + 2 ， a > 0 ．
2
h x = x2 - ln x + 2 2x -1， h x = ， x > 0，
x
令 h x = 0 2 2解得 x = ， x = - （舍），
2 2

當(dāng) x
2
0, ÷÷時(shí) h x < 0，則 h x 在 0,
2
2 ÷è ÷
上單調(diào)遞減，
è 2
2 2
當(dāng) x , + ÷÷時(shí)， h x > 0，則 h x 在2 , + ÷÷上單調(diào)遞增．è è 2

所以 h x 2 5 1= h = + ln 2 > 0min ÷÷ ，
è 2 2 2
5 1
綜上可知 AB 的最小值為 + ln 2．
2 2
故選：D.
【變式 7-1】動(dòng)直線 x = m （m > 0）與函數(shù) f (x) = x2 + x ， g(x) = ln x的圖象分別交于點(diǎn) A，B，則 AB 的最
小值為（ ）
3
A． + ln 2 B
3
．3ln 2 C． + ln 2 3- ln 2
4 2
D．
【答案】A
【解析】設(shè) y = f (x) - g(x) = x2 + x - ln x(x > 0) ，
y ' 2x 1 1 2x
2 + x -1 (x +1)(2x -1)
則 = + - = = (x > 0) ，
x x x
0 x 1 1當(dāng) < < 時(shí)， y ' < 0，當(dāng) x > ， y ' > 0，
2 2
y = f (x) 1 1- g(x) 0, ,+ 所以 在 ÷上遞減，在2 2 ÷
上遞增，
è è
1 1
2
1 1 3
所以當(dāng) x = 時(shí) y = f (x) - g(x)取得最小值 ÷ + + ln = + ln 2，2 è 2 2 2 4
3
所以 AB 的最小值為 + ln 2，
4
故選：A
【變式 7-2】已知直線 x = a與函數(shù) f x = x +1， g x = ln 2x +1 的圖像分別交于 A，B 兩點(diǎn)，則 AB 的最
小值為（ ）
1 ln 2 1 ln 3 3A． - B． - C． - 2ln 2
3
D． - ln 2
2 2 2
【答案】D
【解析】設(shè) h(x) = f (x) - g(x) = x +1- ln(2x 1)(x
1
+ > - )，
2
2 2x -1
則 h (x) =1- = ，
2x +1 2x +1
1 1
當(dāng)- < x < 時(shí)， h (x) < 0 x
1
，當(dāng) > ， h (x) > 0，
2 2 2
所以 h(x) = f (x) - g(x)
1 1 1
在區(qū)間 - ,2 2 ÷
上單調(diào)遞減，在區(qū)間 , + ÷上單調(diào)遞增，
è è 2
x 1所以當(dāng) = 時(shí)， h(x) = f (x) - g(x)
1
取得最小值 +1- ln(2
1
+1) 3= - ln 2，
2 2 2 2
3
所以 AB 的最小值為 - ln 2，
2
故選：D.
題型八：直線與兩曲線交點(diǎn)的距離
【典例 8-1】已知直線 x + y + a = 0與曲線 y = eex y
ln x
， = 分別交于點(diǎn) A, B，則 AB 的最小值為（
e ）
2
A B 2 2． ． C．1 D．e
e e
【答案】B
【解析】設(shè)與直線 x + y + a = 0垂直，且與 y = eex 相切的直線為 l1，
設(shè)與直線 x + y + a = 0
ln x
垂直，且與 y = 相切的直線為 l2，e
所以， kl = k1 l =12 ，
設(shè)直線 l 與 y = eex1 的切點(diǎn)為M x1, y1 ，
因?yàn)?y = eex+1，所以 eex
1 1
1 +1 =1，解得 x
1 1
1 = - ， y1 = ，即M - , ，e e ÷è e e
設(shè)直線 l2與 y
ln x
= 的切點(diǎn)為 N x2 , ye 2 ，
1 1 1 1 1 1y = 因?yàn)?，所以 =1ex ，解得 x2 = ， y = - ，即
N , - ，
ex 2 e
2 e ֏ e e
此時(shí) kMN = -1，
所以，當(dāng)直線 x + y + a = 0 2 2與直線MN 重合時(shí)， AB 最小，最小值為 MN = .
e
故選：B
【典例 8-2】（2024·陜西安康·三模）已知直線 y = b分別與直線 y = x +1、曲線 y = ln x - 2交于點(diǎn) A，B，則
線段 AB 長(zhǎng)度的最小值為（ ）
A．2 B． 2 + ln 2 C．4 D． 4 + ln 2
【答案】C
【解析】令 g(x) = (x +1) - (ln x - 2) = x + 3 - ln x ，則 g x 1 1 x -1= - = ，
x x
x (0,1) 時(shí)， g (x) < 0， x (1,+ )時(shí)， g (x) > 0，
所以 g(x)在( 0, 1)上單調(diào)遞減，在 (1, + )上單調(diào)遞增，
所以 g(x)min = g(1) =1+ 3 - ln1 = 4 > 0．
所以直線 y = x +1在曲線 y = ln x - 2的上方，由 x +1 = b，則 x = b -1，
ln x - 2 = b x eb+2 AB = eb+2由 ，則 = ，則 - (b -1) = eb+2 - b +1．
令 h(x) = ex+2 - x +1，則 h (x) = ex+2 -1，
令 h (x) < 0，解得 x<- 2，令 h (x) > 0，解得 x > -2 ，
所以 h(x) 在 (- , -2)上單調(diào)遞減，在 (-2,+ )上單調(diào)遞增， h(x)min = h(-2) = 4．
故選：C．
【變式 8-1】（2024·福建莆田·一模）已知直線 l1：y = x + a分別與直線 l2：y = 2 x +1 及曲線C：y = x + ln x
交于 A,B 兩點(diǎn)，則 A,B 兩點(diǎn)間距離的最小值為（ ）
A 3 5 B 6 5． ．3 C． D．3 2
5 5
【答案】D
ìy = x + a ìy = x + a a a
【解析】由 íy = 2 x +1 ，得 A a - 2,2a - 2 ，由 í ，得B e ,a + e ， y = x + ln x
a 2 a 2AB = e - a + 2 + é e + a - 2a - 2 a ù = 2 e - a + 2 = g a ，
g ' a = ea -1， g a > 0，則 a 0, + ， g a < 0，則 a - ,0 ，
g a 在 - ,0 上遞減，在 0, + 上遞增，
\ g a = gmin 0 = 3 2 ，即 A, B兩點(diǎn)間距離的最小值為3 2 ，
故選：D.
1 2．已知直線 y = m與曲線 f x = 2x - 3ln x和直線 y = x - 3分別交于 P，Q 兩點(diǎn)，則 PQ 的最小值
為 ．
【答案】4
【解析】設(shè)點(diǎn) P 到直線 y = x - 3的距離為 d，則 PQ = 2d ，
所以當(dāng)點(diǎn) P 到直線 y = x - 3的距離最小時(shí) PQ 最小，
又當(dāng)曲線在點(diǎn) P 處的切線與直線 y = x - 3平行時(shí) d 最小，所以此時(shí) PQ 最小，
設(shè)P m,n ，
f x = 2x2 - 3ln x 0, + f ' x 4x 3因?yàn)楹瘮?shù) 的定義域?yàn)?， = - ，
x
4m 3 3令 - =1，解得m =1或m = - （舍去），
m 4
所以切點(diǎn)為P 1,2 ，
1- 3 - 2
y = x - 3 d 4點(diǎn) P 到直線 的距離 = = = 2 2 ，
2 2
所以 PQ 的最小值為 4，
故答案為：4.
2．（2024·高三·山東聊城·期末）最優(yōu)化原理是指要求目前存在的多種可能的方案中，選出最合理的，達(dá)到
事先規(guī)定的最優(yōu)目標(biāo)的方案，這類問題稱之為最優(yōu)化問題.為了解決實(shí)際生活中的最優(yōu)化問題，我們常常需
要在數(shù)學(xué)模型中求最大值或者最小值.下面是一個(gè)有關(guān)曲線與直線上點(diǎn)的距離的最值問題，請(qǐng)你利用所學(xué)知
3
識(shí)來(lái)解答：若點(diǎn)M 是曲線 y = x2 - 2ln x 上任意一點(diǎn)，則M 到直線 x - y - 2 = 0的距離的最小值為（
2 ）
A 5 2 B 5 2 C 3 2 3 2． ． ． D．
2 4 4 2
【答案】B
3 2
【解析】由函數(shù) y = x - 2ln x ，可得 y = 3x
2 , x 0 3x 2- > ，令 - =1，可得 (x -1)(3x + 2) = 0，
2 x x
3
因?yàn)?x > 0，可得 x =1，則 y = ，
2
即平行于直線 l : x - y 2
3
- = 0 3 2 且與曲線 y = x - 2ln x 相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為P 1,
2 2 ÷
，
è
1 3- - 2
由點(diǎn)到直線的距離公式，可得點(diǎn) P 到直線 l的距離為 d 5 2= 2 = .
2 4
故選：B
3．曲線 y = ex 上的點(diǎn)到直線 x - y - 3 = 0的距離的最小值為（ ）
A． 2 B．2 C．2 2 D．4
【答案】C
【解析】設(shè)與已知直線平行且與曲線相切的直線為 x - y + c = 0，
則 k = ex =1，解得 x = 0，
所以切點(diǎn)為( 0, 1)，代入切線方程，可得 c =1，
| -3-1| 4
即切線為 x - y +1 = 0 ，由兩平行線間的距離 d = = = 2 212 + (-1)2 2 ，
所以最小值為2 2 ，
故選：C．
4．已知點(diǎn) P 是曲線 f x = x ln x 上任意一點(diǎn)，點(diǎn) Q 是直線 y = x - 3上任一點(diǎn)，則 PQ 的最小值為（ ）
A． 2 B． 3 C．1 D． e
【答案】A
【解析】函數(shù) f x = x ln x 的定義域?yàn)槿w正實(shí)數(shù)，
f x = x ln x f x = ln x +1，
x 1當(dāng) > 時(shí)， f x > 0, f x 單調(diào)遞增，
e
0 x 1當(dāng) < < 時(shí)， f x < 0, f x 單調(diào)遞減，函數(shù)圖象如下圖：
e
過點(diǎn)P x0, y 0 的曲線 f x = x ln x 的切線與直線 y = x - 3平行時(shí)， PQ 最小，
即有 f x = ln x0 +1 =1 x0 =1 y0 = 0 P 1,0 ，
1- 3
所以 PQ = = 2min 2 ，1 + -1 2
故選：A
5．若點(diǎn) P 是曲線 y = lnx - x2 上任意一點(diǎn)，則點(diǎn) P 到直線 l : x + y - 4 = 0 距離的最小值為（ ）
A 2． B． 2 C．2 D．2 2
2
【答案】D
【解析】過點(diǎn) P 作曲線 y = lnx - x2 的切線，當(dāng)切線與直線 l : x + y - 4 = 0 平行時(shí)，點(diǎn) P 到直線 l : x + y - 4 = 0
距離最小.
設(shè)切點(diǎn)為P x0 , y0 x
1
0 > 0 , y = - 2x ，x
所以切線斜率為 k
1 1
= - 2x0 ，由題知 - 2x0 = -1
1
x x ，解得
x0 = 1或 x0 = - （舍），
0 0 2
1-1- 4\P 1, -1 ，此時(shí)點(diǎn) P 到直線 l : x + y - 4 = 0 距離 d = = 2 2 .
2
故選：D
6．若動(dòng)點(diǎn) P 在曲線 y = ex + x 上，則動(dòng)點(diǎn) P 到直線 y = 2x - 4 的距離的最小值為（ ）
A． 5 B． e + 1 C． 2 5 D． 2e
【答案】A
x
【解析】設(shè)P x0 , e 0 + x0 ，由題意知 y = ex +1，
則在點(diǎn)P x0 , ex0 + x0 處的切線斜率為 k = y | = ex0x=x +1，0
當(dāng)在點(diǎn)P x0 , ex0 + x0 處的切線與直線 y = 2x - 4 平行時(shí)，點(diǎn) P 到直線 y = 2x - 4 的距離最小，
由 ex0 +1 = 2 ，得 x0 = 0，則 P(0,1)，
| -1- 4 |
所以點(diǎn) P(0,1)到直線的距離 d = = 5 .
4 +1
所以動(dòng)點(diǎn) P 到直線 y = 2x - 4 的距離的最小值為 5 .
故選：A
7．設(shè)點(diǎn) P 在曲線 y = e2x
1
上，點(diǎn)Q在曲線 y = ln x上，則 | PQ |的最小值為（ ）2
A 2． (1- ln 2) B． 2(1- ln 2)
2
C． 2(1+ ln 2) D 2． (1+ ln 2)
2
【答案】D
【解析】 y = e2x
1
與 y = ln x互為反函數(shù)，它們圖像關(guān)于直線 y = x 對(duì)稱；
2
故可先求點(diǎn) P 到直線 y = x 的最近距離 d，
又 y = 2e2x ，當(dāng)曲線上切線的斜率 k = 2e2x x
1 ln 2 y e2x 10 =1時(shí)，得 0 = - ， 0 = 0 = ，2 2
P 1則切點(diǎn) - ln 2,
1 2
2 2 ÷到直線
y = x 的距離為 d = (1+ ln 2)，
è 4
所以 | PQ |的最小值為 2d 2= (1+ ln 2) ．
2
故選：D．
8．設(shè)點(diǎn) P 在曲線 y = 2ex 上，點(diǎn)Q在曲線 y = ln x - ln 2上，則 | PQ |的最小值為（ ）
A．1 - ln 2 B． 2(1- ln 2)
C． 2(1+ ln 2) D． 2(1+ ln 2)
【答案】D
【解析】Q y = 2ex 與 y = ln x - ln 2互為反函數(shù)，
所以 y = 2ex 與 y = ln x - ln 2的圖像關(guān)于直線 y = x 對(duì)稱，
設(shè) f (x) = 2ex - x(x R)，則 f (x) = 2ex -1，
令 f (x) = 0得 x = ln
1
，
2
則當(dāng) x < ln
1
時(shí)， f (x) < 0 x ln
1
，當(dāng) > 時(shí)， f (x) > 0，
2 2
所以 f (x) 在 (
1
- , ln ) 單調(diào)遞減，在 (ln
1 ,+ ) 單調(diào)遞增，
2 2
所以 f (x) f (ln
1) 1 ln 1 = - > 0，
2 2
所以 y = 2ex 與 y = x 無(wú)交點(diǎn)，則 y = ln x - ln 2與 y = x 也無(wú)交點(diǎn)，
下面求出曲線 y = 2ex 上的點(diǎn)到直線 y = x 的最小距離，
設(shè)與直線 y = x 平行且與曲線 y = 2ex 相切的切點(diǎn) P(x0 ， y0 )，
Q y = 2ex ，
1
\2ex0 = 1，解得 x0 = ln = - ln 22 ，
ln 1
\ y0 = 2e 2 =1，
得到切點(diǎn) P(- ln 2,1) y = x d | - ln 2 -1| 2(1+ ln 2)，到直線 的距離 = = ，
2 2
| PQ |的最小值為 2d = 2(1+ ln 2) ，
故選：D．
9．（2024·四川·一模）若點(diǎn) P 是曲線 y = ln x - x2 上任意一點(diǎn)，則點(diǎn) P 到直線 l : x + y - 4 = 0 距離的最小值為
（ ）
A 2． B． 2 C．2 2 D．4 2
2
【答案】C
【解析】過點(diǎn) P 作曲線 y = ln x - x2 的切線，當(dāng)切線與直線 l : x + y - 4 = 0 平行時(shí)，點(diǎn) P 到直線 l : x + y - 4 = 0
距離的最小.
設(shè)切點(diǎn)為P(x0 , y0 )(x0 > 0)
1
， y = - 2x ，
x
1
所以，切線斜率為 k = - 2xx 0 ，0
1
由題知 - 2x0 = -1
1
得 x = 1x 0 或 x0 = - （舍），0 2
|1-1- 4 |
所以， P(1,-1)，此時(shí)點(diǎn) P 到直線 l : x + y - 4 = 0 距離 d = = 2 2 .
2
故選：C
10．若點(diǎn) A a,a ，B b, eb a,b R ，則A 、 B 兩點(diǎn)間距離 AB 的最小值為（ ）
A．1 B 2． C． 2 D．2
2
【答案】B
【解析】點(diǎn) A a,a b在直線 y = x ，點(diǎn)B b, e 在 y = ex 上， y = ex , y = ex ，設(shè) y = ex 的切線的切點(diǎn)為 x0 , y0 ，
令 y =1 ex0 =1 x0 = 0 ，所以 y = ex 在點(diǎn) 0,1 處的切線為 y = x +1 ,此時(shí)切線 y = x +1與直線 y = x 平行，
1 2
直線 y = x 與 y = x +1之間的距離 = 為 AB 的最小值，
1+1 2
故選：B
11．已知 ln x1 - x1 - y1 + 2 = 0， x2 + 2y2 - 5 - 2ln 2 = 0，則 x1 - x
2
2 + y1 - y
2
2 的最小值為（ ）
A 3 5 B 4 5
9 16
． ． C． D．
5 5 5 5
【答案】C
【解析】由 ln x1 - x1 - y1 + 2 = 0，則點(diǎn) A x1, y1 在函數(shù) y = ln x - x + 2上，
x2 + 2y2 - 5 - 2ln 2 = 0
1 5
，則點(diǎn)B x2 , y2 在函數(shù) y = - x + + ln 2上，2 2
則 x1 - x
2 2
2 + y1 - y2 表示A 、 B 兩點(diǎn)的距離的平方，
2
要求 x1 - x2 + y1 - y2
2
的最小值，即求 AB 的最小值，
1 5 1 5
當(dāng)過 A 的點(diǎn)切線與直線 y = - x + + ln 2平行時(shí)，點(diǎn) A 到直線 y = - x + + ln 2的距離即為 AB 的最小值，
2 2 2 2
1 y | 1 1由 y = ln x - x + 2可得 y = -1，所以 x=x = -1 = -1 x 2 ，解得
x1 = 2，x 1
所以 y1 = ln 2 - 2 + 2 = ln 2，即 A 2, ln 2 ，
2 + 2ln 2 - 5 - 2ln 2A 2, ln 2 x 2y 5 3 3所以 到 + - - 2ln 2 = 0 的距離 d = = ，即 AB = ，
12 + 22 5 min 5
2 2 2 9
所以 x1 - x2 + y1 - y2 的最小值為 AB =min ；5
故選：C
12．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知 lnx1 + 2x1 - y1 +1 = 0,4x2 - y2 + 3 - ln2 = 0，則 x1 - x
2
2 + y1 - y2
2
的
最小值為（ ）
17ln2
A B 17
9 9ln2
． ． C． D．
9 9 17 17
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，點(diǎn) x1, y1 是函數(shù) y = ln x + 2x +1圖像上一點(diǎn)，
點(diǎn) x2 , y2 是直線 y = 4x + 3- ln 2 上一點(diǎn)
函數(shù) y = ln x + 2x +1
1
的導(dǎo)函數(shù)為 y = + 2，
x
所以其圖像上一點(diǎn) x, y 1處切線的斜率為 + 2
x
當(dāng)過點(diǎn) x1, y1 的切線與直線 y = 4x + 3- ln 2 平行時(shí)，點(diǎn) x1, y1 與點(diǎn) x2 , y2 之間的距離最小
且兩點(diǎn)間的距離可轉(zhuǎn)化兩平行線之間的距離
1
此時(shí)有， + 2 = 4\ x
1
1 = ，從而可得 y1 = 2 - ln 2x1 2
1
此時(shí)函數(shù) y = ln x + 2x +1圖像上過點(diǎn) x1, y1 的切線方程為 y = 4 x - ÷ + 2 - ln 2
è 2
3 3
化簡(jiǎn)為 4x - y - ln 2 = 0，其與直線 y = 4x + 3- ln 2 間的距離為 d = =
1+ 42 17
2 2 2 9
所以 x1 - x2 + y1 - y2 的最小值為 d = .17
故選：C.
13 a b c d a - 2e
a 1- c
．已知實(shí)數(shù) ， ， ， 滿足： = = 1，其中 e 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則 (a - c)2 + (b - d )2 的最小值
b d -1
是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
a - 2ea 1- c
【解析】因?yàn)閷?shí)數(shù) a，b，c，d 滿足： = = 1，
b d -1
所以b = a - 2ea ， d = 2 - c .
所以點(diǎn) a , b 在曲線 y = x - 2ex 上，點(diǎn) c,d 在 y = 2 - x上.
所以 (a - c)2 + (b - d )2 的幾何意義就是曲線 y = x - 2ex 上的任一點(diǎn)到 y = 2 - x上的任一點(diǎn)的距離的平方.
由幾何意義可知，當(dāng) y = x - 2ex 的某一條切線與 y = 2 - x平行時(shí)，兩平行線間距離最小.
設(shè) y = x - 2ex 在點(diǎn) a , b 處的切線與 y = 2 - x平行，則有：
ìb = a - 2ea ìb = -2
í ，解得： í ，即切點(diǎn)為 0,-2 .
y =1- 2e
a = -1 a = 0
此時(shí) 0,-2 到直線 y = 2 - x d
| 0 - 2 - 2 |
的距離為 = = 2 2 就是兩曲線間距離的最小值，
1+1
2 2所以 (a - c) + (b - d )2 的最小值為 d 2 = 2 2 = 8 .
故選：B
x2 - ln x x - 2
14．（2024·新疆· 1 1 2二模）若 = = 1 2，則 x1 - x2 + y1 - y2
2
的最小值是（ ）y1 y2
A 1 2． 2 B． C． 2 D． 22
【答案】D
2
【解析】由已知可得 y1 = x1 - ln x1， y2 = x2 - 2，
則 x - x 2 21 2 + y1 - y2 的最小值即為曲線 y = x2 - ln x的點(diǎn)到直線 x - y - 2 = 0的距離最小值的平方，
2
設(shè) f x = x - ln x x > 0 ，則 f x = 2x 1 1- ，令 2x - =1，解得 x =1，
x x
f 1 =1，
曲線 y = x2 - ln x與 x - y - 2 = 0平行的切線相切于P 1,1 ，
2 2
則所求距離的最小值為點(diǎn)P 1,1 到直線 x - y - 2 = 0的距離的平方，即 ÷ = 2 .
è 1+1
故選：D.
15．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知 x > 0， y R
2
， (x - y)2 + x2 - ln x + 2 - y 的最小值為（ ）
4 3 16A． 2 B．2 C． D．
3 3
【答案】B
2
【解析】 (x - y)2 + x2 - ln x + 2 - y 可以轉(zhuǎn)化為： A x, x2 - ln x + 2 是函數(shù) f (x) = x2 - ln x + 2 圖象上的點(diǎn)，
B(y, y) 2是函數(shù) y = x 上的點(diǎn)， | AB |2 = (x - y)2 + x2 - ln x + 2 - y .
當(dāng)與直線 y = x 平行且與 f (x) 的圖象相切時(shí)，切點(diǎn)到直線 y = x 的距離為 | AB |的最小值.
令 f x 2x 1 1 x 1= - = ，解得 x =1或 = - ，（舍去），又 f (1) = 3，
x 2
所以切點(diǎn)C(1,3)到直線 y = x 的距離即為 | AB |的最小值.
1- 3 2
所以 | AB |min = = 2 ，所以 | AB |min = 2 .2
故選：B.
16 2．在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知 x1 - ln x1 - y1 = 0， x2 - y2 - 3 = 0，則 (x1 - x )
2
2 + (y1 - y
2
2 ) 的最小值為
（ ）
A 9 B 9 C D 3 2． ． ．3 2 ．2 2
【答案】B
2 2
【解析】由 x1 - ln x1 - y1 = 0，則 y1 = x1 - ln x1，又 x2 - y2 - 3 = 0，
(x1 - x )
2
2 + (y1 - y2 )
2
的最小值轉(zhuǎn)化為： y = x2 - ln x上的點(diǎn)與 x - y - 3 = 0上的點(diǎn)的距離的平方的最小值，
1
由 y = x2 - ln x，得： y = 2x - ，與 x - y - 3 = 0平行的直線的斜率為 1，
x
∴ 2x
1 1 1- = ，解得 x =1或 x = - （舍 )，可得切點(diǎn)為 (1,1) ，
x 2
切點(diǎn)到直線 x - y - 3 = 0 2 2之間的距離的平方，即為 (x1 - x2 ) + (y1 - y2 ) 的最小值，
2 2 ( | 3 | 9\(x1 - x ) + (y - y )
2
2 1 2 的最小值為： ) = .1+1 2
故選：B.
2
17．（2024·山東· 2模擬預(yù)測(cè)）若 x ， y R ， x > 0，求 x - y + 4ln x - x2 - 2y -1 的最小值為（ ）
A 5 B 5
16 4 5
． ． C． D．
5 5 5
【答案】C
【解析】問題可以轉(zhuǎn)化為： A x, 4 ln x - x2 是函數(shù) y = 4ln x - x2 圖象上的點(diǎn)，
B y, 2y +1 是函數(shù) y = 2x +1 2上的點(diǎn)， AB = x - y 2 + 4ln x - x2 - 2y -1 2 .
當(dāng)與直線 y = 2x +1平行且與 f x 的圖象相切時(shí)，切點(diǎn)到直線 y = 2x +1的距離為 AB 的最小值.
f x 4= - 2x = 2, x2 + x - 2 = 0, x =1，舍去負(fù)值，
x
又 f 1 = -1，所以M 1, -1 到直線 y = 2x +1的距離即為 AB 的最小值.
AB 4= 2 16
min ， AB =min .5 5
故選：C.
a-1
18 a,b,c,d e c -1 1 2 2．已知實(shí)數(shù) 滿足 = = ，則 a - c + b - d 的最小值為（ ）
b d e
2
A e +1
e
． B．
e e2 +1
e2 +1 e2C． 2 D．e e2 +1
【答案】D
1
【解析】由題，得 a = ln b,c = ×d +1，
e
設(shè) (b, a)是曲線C : y = ln x的點(diǎn)， (d ,c)是直線 l : y
1
= × x +1的點(diǎn)，
e
a - c 2 + b - d 2 可看成曲線 C 上的點(diǎn)到直線 l 上的點(diǎn)的距離的平方，
對(duì) y = ln x y
1 1
求導(dǎo)得 = ，令 y =x ，得
x = e，
e
所以曲線 C 上的點(diǎn) (e,1)到直線 l 的距離最小，
|1-1+1| 1 e
= =
l 1 2 2該點(diǎn)到直線 的距離為 1 1+ e ，
÷ + (-1)
2
2 +1
è e e
2 2
因此 (a - c)2

+ (b - d )2 e e的最小值為 ÷ =
1 e2 2
.
è + 1+ e
故選：D
19．（2024·山西朔州·模擬預(yù)測(cè)）已知 A，B 分別為曲線 y = 2ex + x和直線 y = 3x - 3上的點(diǎn)，則 AB 的最小
值為 .
10 1
【答案】 / 10
2 2
【解析】
由題意 AB 的最小值為曲線上點(diǎn) A 到直線 y = 3x - 3距離的最小值，
而點(diǎn) A 就是曲線與直線 y = 3x + m 相切的切點(diǎn)，因?yàn)榍€上其它點(diǎn)到直線 y = 3x - 3的距離都大于 AB ，
對(duì) y = 2ex + x求導(dǎo)有 y = 2ex +1，由 y = 3可得 x = 0，即 A 0,2 ，
3 0 - 2 - 3
AB 10故 = =min
32 + -1 2 2
.
10
故答案為： .
2
20 2 2．（2024·河北石家莊·一模）若實(shí)數(shù) a,b,c,d 滿足 b + a - 3ln a + (c - d + 2) = 0，則 (a - c)2 + (b - d )2 的最
小值為 ．
【答案】8
【解析】Q實(shí)數(shù) a、b 、 c、d 滿足：
(b + a2 - 3lna)2 + (c - d + 2)2 = 0，
\b + a2 - 3lna = 0，設(shè) b = y， a = x，則有： y = 3lnx - x2 ，且 c - d + 2 = 0 ，設(shè) c = x， d = y ，則有： y = x + 2 ，
\(a - c)2 + (b - d )2就是曲線 y = 3lnx - x2 與直線 y = x + 2 之間的最小距離的平方值，
3
對(duì)曲線 y = 3lnx - x2 求導(dǎo)： y (x) = - 2xx ，
與 y = x + 2 k 1
3
平行的切線斜率 = = - 2x ，解得： x =1或 x
3
= - （舍 )，
x 2
把 x =1代入 y = 3lnx - x2 ，得： y = -1，即切點(diǎn)為 (1, -1) ，
y x 2 |1+1+ 2 |切點(diǎn)到直線 = + 的距離： = 2 2 ，
2
\(a - c)2 + (b - d )2的最小值就是 8．
故答案為： 8.
2
21．已知實(shí)數(shù) a，b，c，d 滿足 b - 2a2 + 3ln a + (c - d - 3)2 = 0，則 (a - c)2 + (b - d )2 的最小值為 ．
【答案】8
2
【解析】由 b - 2a2 + 3ln a + (c - d - 3)2 = 0可得b = 2a2 - 3ln a, d = c - 3，
所以點(diǎn) a,b 在曲線 y = 2x2 - 3ln x 上，點(diǎn) c,d 在 y = x - 3上，
則 (a - c)2 + (b - d )2 的最小值即為曲線 y = 2x2 - 3ln x 上點(diǎn)到直線 y = x - 3距離最小值的平方，
設(shè) f x = 2x2 - 3ln x上平行于 y = x - 3的切線方程的切點(diǎn)為 x0 , y0 ，
則 f x = 4x 3- ，則 4x
3 3
0 - =1x ，解得 x0 = - （舍）或
x0 = 1，則切點(diǎn)為 1,2 ，x 0 4
1- 2 - 3
則切點(diǎn)到直線 y = x - 3的距離為 = 2 2 ，
2
故 (a - c)2 + (b - d )2 的最小值為 8.
故答案為：8.
f x = ex Q 2 222．（2024·江西·一模）已知點(diǎn) P 為函數(shù) 的圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn) 為圓 x - e -1 + y2 =1上任意
一點(diǎn)（ e為自然對(duì)數(shù)的底），則線段 PQ的長(zhǎng)度的最小值為 ．
【答案】 e e2 +1 -1
【解析】圓心C e2 +1,0 ，先求 PC t的最小值，設(shè)P t, e , f ' x = ex ，所以以點(diǎn) P 為切點(diǎn)的切線方程為
et
y - et = et x - t t 2t 2，當(dāng)PC 垂直切線時(shí)， ·e = -1 e + t = e +1,\t =1 2 ，此時(shí)點(diǎn)P 1,et - e +1 ，函數(shù)圖象
上任意點(diǎn)到點(diǎn)C 的距離大于點(diǎn)C 到切線的距離即 e4 + e2 ，所以 PQ 的最小值是 e e2 +1 -1，故答案為
e e2 +1 -1.
2
23．（2024·高三·山東淄博· m期末）已知實(shí)數(shù) x，y 滿足 x2 - 3ln x - y = 0，則 x2 + y2 - mx + my + m R
2
的最小值為 ．
【答案】 2
2 2
x2 y2 mx my m x m y m
2
【解析】由題意得， + - + + = - ÷ + +

÷ ，2 è 2 è 2
m m
即求曲線 y = x2 3ln x

- 上一點(diǎn)到 ,- ÷距離最小值，
è 2 2
m m
又因?yàn)? ,-

÷在直線 y = -x 上，
è 2 2
所以當(dāng)切線與直線 y = -x 平行時(shí)，距離取得最小值，
y 2x 3 1 3令 = - = - ，解得 x =1或 x = - （舍去），
x 2
2
當(dāng) x =1時(shí)，點(diǎn) 1,1 到直線 x + y = 0距離為 = 2 ，
2
即所求曲線 y = x2
m m
- 3ln x 上一點(diǎn)到 ,- ÷距離最小值為2 2 2
.
è
故答案為： 2
24．（2024·廣東佛山·一模）若 A, B分別是曲線 y = ex 與圓 (x -1)2 + y2 =1上的點(diǎn)，則 AB 的最小值為 .
【答案】 2 -1
【解析】設(shè)圓 (x -1)2 + y2 =1圓心為M ，如下圖所示，
由題意可知， AB 取得最小值時(shí)， AM - r = AM -1取得最小值，
當(dāng) AM 垂直于曲線 y = ex 在點(diǎn)A 處的切線時(shí)， AM 最小，
A x x設(shè) 1 x1, e ，則對(duì) y = e 求導(dǎo)得 y = ex ，
x1
ex e - 0所以 1 × = -1 2x，即 e 1 + x1 -1 = 0，x1 -1
由于 x1 = 0 時(shí)滿足上式，且 y = e2x + x -1在 - ,+ 單調(diào)遞增，
所以 e2x1 + x1 -1 = 0有唯一解 x1 = 0 ，
所以 A 0,1 ，此時(shí) AM = 2 ，所以 AB = AM -1 = 2 -1min min min
故答案為： 2 -1
25．已知函數(shù) f (x) = x2 - 2ax + e6x
1
- 6a e3x +10a2的最小值是 ，則 a的值是
10
3
【答案】0.3 /
10
【解析】函數(shù) f (x) = x2 - 2ax + e6x - 6a e3x +10a2
= (x2 - 2ax + a2 ) + (e6x - 6a e3x + 9a2 )
= (x - a)2 + (e3x - 3a)2 ，
可得 f (x) 表示兩點(diǎn) (x,e3x )， (a,3a)的距離的平方，
即有函數(shù) y = e3x ， y = 3x
1
圖象上的兩點(diǎn)距離的最小值的平方為 ，
10
設(shè)直線 y = 3x + t 與函數(shù) y = e3x 的圖象相切，
y = 3e3x ，
設(shè)切點(diǎn)為 (m, e3m ) ，可得3 = 3e3m ，解得m = 0，則 e3m =1，
即有切點(diǎn)為 0,1 ，
則 (0 - a)2 + (1- 3a)2
1
=
10 ，
a 3解得 = ，
10
則 a的值為0.3．
故答案為：0.3．重難點(diǎn)突破 09 導(dǎo)數(shù)中的“距離”問題　
目錄
01 方法技巧與總結(jié) ..............................................................................................................................2
02 題型歸納與總結(jié) ..............................................................................................................................2
題型一：曲線與直線的距離 ................................................................................................................2
題型二：曲線與點(diǎn)的距離 ....................................................................................................................3
題型三：曲線與圓的距離 ....................................................................................................................3
題型四：曲線與拋物線的距離 ............................................................................................................4
題型五：曲線與曲線的距離 ................................................................................................................4
題型六：橫向距離 ................................................................................................................................5
題型七：縱向距離 ................................................................................................................................6
題型八：直線與兩曲線交點(diǎn)的距離 ....................................................................................................7
03 過關(guān)測(cè)試 ..........................................................................................................................................7
導(dǎo)數(shù)中的“距離”問題，利用化歸轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想可把問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離、兩點(diǎn)間的距
離問題，再利用導(dǎo)數(shù)法來(lái)求距離的最值．方 法 之 一 是 轉(zhuǎn) 化 化 歸，將 動(dòng) 點(diǎn) 間 的 距 離 問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到
直線的距離問題，而這個(gè)“點(diǎn)”一般就是利用導(dǎo)數(shù)求得的切點(diǎn)；方法之二是構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)
求解最值．
題型一：曲線與直線的距離
9
【典例 1-1】（2024·廣西桂林·二模）已知函數(shù) f (x) = (x - m)2 + (ae x - 3m)2 (m R ) 的最小值為 ，則正實(shí)數(shù)
10
a =（ ）
A．3 B．3e-2 C．3e2 D．3 或3e-2
【典例 1-2 3
2 2
】若函數(shù) y1 = sin2x1 - x1 0,p ，函數(shù) y2 = x2 + 3 ，則 x1 - x2 + y1 - y2 的最小值為（ ）2
A 2p B p + 18
2
． ．
12 72
2 2C p + 18 D p - 3 3 +15． ．
12 72
lnx
【變式 1-1】點(diǎn) M 是曲線 f x = 上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn) M 到直線 y = x + 2 的距離的最小值為（ ）
x
A 2 2 3 2 2． 2 + B． 2 - C． D．
2e 2e 2 2
【變式 1-2】（2024·高三· 2安徽合肥·期中）點(diǎn)P,Q 分別是函數(shù) f x = 3 x - 4, g x = x - 2 ln x 圖象上的動(dòng)點(diǎn)，
則 | PQ |2 的最小值為（ ）
3 (2 ln2)2 3A． + B． (2 - ln2)2
5 5
2
C． (1+ ln2)2
2
D (1- ln2)2．
5 5
【變式 1-3】（2024·陜西西安·二模）若 2ln x1 - x1 - y1 + 3 = 0， x
2 2
2 - y2 + 5 = 0，則 x1 - x2 + y1 - y2 的最小
值為（ ）
A．2 2 B．6 C．8 D．12
【變式 1-4 x】已知函數(shù) f x = ae - a -1 x +1- a a > 0 ， g x = x + b ，點(diǎn) P 與Q分別在函數(shù) y = f x 與
y = g x 的圖象上，若 PQ 的最小值為 2 ，則b = （ ）
A． -1 B．3 C． -1或 3 D．1 或 3
a - 2ea 1- c
【變式 1-5】若實(shí)數(shù) a,b,c,d 滿足 = = 1，則 (a - c)2 + (b - d )2 的最小值是（
b d 1 ）-
A．8 B．9 C．10 D．11
【變式 1-6】已知實(shí)數(shù) a，b ， c，d 滿足 | ln(a -1) - b | + | c - d + 2 |= 0，則 (a - c)2 + (b - d )2 的最小值為（ ）
A．2 2 B．8 C．4 D．16
題型二：曲線與點(diǎn)的距離
【典例 2-1】若點(diǎn) A(t,0)與曲線 y = ex 上點(diǎn) P 的距離的最小值為 2 3 ，則實(shí)數(shù) t的值為（ ）
4 ln 2 4 ln 2 ln 3 ln 3A． - B． - C．3+ D．3+
3 2 3 2
【典例 2-2】（2024·河北石家莊·石家莊二中校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn) A(t,0)，P 為曲線 y = ex 上動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn) A，
P 間距離的最小值為 6 ，則實(shí)數(shù) t 的值為（ ）
5 ln 2 ln 3
A． 5 B． C． 2 + D． 2 +2 2 2
【變式 2-1】（2024·高三·廣東汕頭·開學(xué)考試）若點(diǎn) A 0, t 與曲線 y = ln x 上點(diǎn) B 距離最小值為 2 3 ，則實(shí)
數(shù) t為 .
題型三：曲線與圓的距離
1
【典例 3-1】（2024· 2 2高三·山東青島·期末）已知?jiǎng)狱c(diǎn) P，Q 分別在圓M : (x - ln m) + (y - m) = 和曲線
4
y = ln x 上，則 PQ 的最小值為 ．
2
【典例 3-2】（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知 x,m,n R且 x 0, m2 + n2 =1，則 (1 x 2+ - m)2 + 1- x - + n

x ֏
的最小值是（ ）
A．2 2 B．9 - 4 2 C．1+ 2 2 D．8
【變式 3-1】若 x、a、b 為任意實(shí)數(shù)，若 (a +1)2 + (b - 2)2 =1，則 (x - a)2 + (ln x - b)2最小值為( )
A．2 2 B．9 C．9 - 4 2 D． 2 2 -1
【變式 3-2 2】若 P ，Q分別是函數(shù) y = x2 與圓 x + 3 + y2 =1上的點(diǎn)，則 PQ 的最小值為 ．
【變式 3-3】已知點(diǎn) P 為函數(shù) f (x) = ex 的圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓 (x -1)2 + y2 =1上任意一點(diǎn)，則線段 PQ
長(zhǎng)度的最小值為（ ）
A． 2 -1 B．1 C． 2 D． 3 -1
題型四：曲線與拋物線的距離
2
b2 b2
【典例 4-1】設(shè)j(a,b) = (a - b)2 + ln a - ÷ + (a > 0,b R) ，當(dāng) a，b 變化時(shí)，j(a,b)的最小值為
è 4 4
_______.
2 2 2
【典例 4-2】設(shè)D = 2 x - a + ln x
a a
- ÷ + +1 . a R ，則D的最小值為
è 4 4
A 2． B．1 C． 2 D．2
2
2
【變式 4-1】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)D = x - a 2 + ex - 2 a + a +1，其中 e 2.71828 ，則D的最小值
為（ ）
A． 2 B． 2 +1 C． 3 D． 3 +1
題型五：曲線與曲線的距離
【典例 5-1】（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中校考期中）設(shè)點(diǎn) P 在曲線 y = ln x -1 上，點(diǎn)Q在曲線
y = ex-1上，則 PQ 的最小值為___________.
【典例 5-2】設(shè) a,b R ， c > 0，則 (a - b)2 + (ea - b)2 + (c - b)2 + (ln c - b)2 的最小值為 ．
【變式 5-1】（2024·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn) P 在曲線 y = e2x+2 +1上，點(diǎn) Q 在曲線 y =1+ ln x +1上，則
|PQ|的最小值為 .
【變式 5-2】設(shè)點(diǎn) P 在曲線 y = x2 +1(x 0) 上，點(diǎn)Q在曲線 y = x -1(x 1)上，則 | PQ |的最小值為 .
x ln x
【變式 5-3】已知點(diǎn) P 在函數(shù) f x = xe +1的圖象上，點(diǎn) Q 在函數(shù) g x = 的圖象上，則 PQ 的最小值
x
為 .
【變式 5-4】（2024·高三·遼寧·期中）如圖所示，動(dòng)點(diǎn) P，Q 分別在函數(shù) f x = ex + x， g x = 2ln x 1+ 上
2
運(yùn)動(dòng)，則 PQ 的最小值為 ．
【變式 5-5】設(shè)點(diǎn) P 在曲線 y = ex+1上，點(diǎn)Q在曲線 y = -1+ ln x 上，則 | PQ |最小值為（ ）
A． 2 B．2 2
C． 2(1+ ln2) D． 2(1- ln2)
x
【變式 5-6 y e】已知函數(shù) = 的圖象與函數(shù) y = ln(2x)的圖象關(guān)于某一條直線 l對(duì)稱，若 P ，Q分別為它們圖
2
象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則這兩點(diǎn)之間距離的最小值為（ ）
A 2 ln 2 B 2 ln 2 C 2(1+ ln 2)． ． ． D． 2 1- ln 2
2 4 2
1
【變式 5-7】（2024·高三·寧夏石嘴山·開學(xué)考試）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P、Q分別是曲線 xy = e2 和曲線 y = 2ln x 上的任
意一點(diǎn)，則線段 PQ 的最小值為（ ）
A．2 2 B． 2 2(1- ln 2) C． 2 D． 2(1- ln 2)
題型六：橫向距離
【典例 6-1】（多選題）（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f (x) = ex ， g(x) = ln x +1的圖象與直線 y=m 分
別交于 A、B 兩點(diǎn)，則（ ）.
A．m > 0
B．"m > 0，曲線 y = f (x) 在 A 處的切線總與曲線 y = g(x) 在 B 處的切線相交
C． AB 的最小值為 1
D． m > 0，使得曲線 y = f (x) 在點(diǎn) A 處的切線也是曲線 y = g(x) 的切線
【典例 6-2】（2024·江蘇蘇州·一模）已知直線 y＝a 分別與直線 y = 2x - 2 ，曲線 y = 2ex + x交于點(diǎn) A，B，
則線段 AB 長(zhǎng)度的最小值為 ．
【變式 6-1】已知直線 y = m，分別與直線 y = 5x - 5和曲線 y = 2ex + x交于點(diǎn) M，N 兩點(diǎn)，則線段 MN 長(zhǎng)度
的最小值是 ．
【變式 6-2】直線 y = m
3
2分別與曲線 y = x - 2ln x ， 直線 y = x - 3 交于 A, B 兩點(diǎn)， 則 AB 的最小值為
2
（ ）
A 7 2 B 3 3
7
． ． C． D． 5
4 2 2
【變式 6-3】（2024·陜西銅川·一模）直線 y = m分別與直線 y = x 、曲線 y = 4x - ln x 交于點(diǎn) A，B，則 AB
的最小值為（ ）
1
A． + ln 3 B．1+ ln 3
1+ ln 3
C． D．2 + ln 3
2 2
【變式 6-4】已知直線 y = a 分別與曲線 y = ex 和曲線 y = ln x +1交于P,Q 兩點(diǎn)，則 PQ 的最小值為（ ）
e
A．1 B e C D 1． ． ．
2 2
6-5 f x = ex【變式 】已知函數(shù) ， g x x 1= ln + 的圖象分別與直線 y = m m > 0 交于 A, B兩點(diǎn)，則 AB 的
2 2
最小值為（ ）
1 3
A．2 B． 2 + ln 2 C． e2 + D． 2e - ln
2 2
題型七：縱向距離
【典例 7-1】（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）若直線 x = a與兩曲線 y = ex , y = lnx分別交于 A, B兩點(diǎn)，且曲線
y = ex 在點(diǎn)A 處的切線為m，曲線 y = lnx在點(diǎn) B 處的切線為n，則下列結(jié)論：
① $a 0, + ，使得m // n；②當(dāng)m // n時(shí)， AB 取得最小值；
③ AB
5
的最小值為 2；④ AB 最小值小于 ．
2
其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例 7-2】直線 x = a分別與曲線 f x = ln x - x和曲線 g x = x2 - x + 2交于A ， B 兩點(diǎn)，則 AB 的最小值
為
11 5 1
A． B．2 C 3 2． D． + ln 2
4 4 2 2
【變式 7-1】動(dòng)直線 x = m （m > 0）與函數(shù) f (x) = x2 + x ， g(x) = ln x的圖象分別交于點(diǎn) A，B，則 AB 的最
小值為（ ）
3
A． + ln 2 B．3ln 2 C
3
． + ln 2 D．3- ln 2
4 2
【變式 7-2】已知直線 x = a與函數(shù) f x = x +1， g x = ln 2x +1 的圖像分別交于 A，B 兩點(diǎn)，則 AB 的最
小值為（ ）
1
A． - ln 2 B．1- ln 3
3
C． - 2ln 2
3
D． - ln 2
2 2 2
題型八：直線與兩曲線交點(diǎn)的距離
【典例 8-1】已知直線 x + y + a = 0
ln x
與曲線 y = eex ， y = 分別交于點(diǎn) A, B，則 AB 的最小值為（
e ）
2
A B 2 2． ． C．1 D．e
e e
【典例 8-2】（2024·陜西安康·三模）已知直線 y = b分別與直線 y = x +1、曲線 y = ln x - 2交于點(diǎn) A，B，則
線段 AB 長(zhǎng)度的最小值為（ ）
A．2 B． 2 + ln 2 C．4 D． 4 + ln 2
【變式 8-1】（2024·福建莆田·一模）已知直線 l1：y = x + a分別與直線 l2：y = 2 x +1 及曲線C：y = x + ln x
交于 A,B 兩點(diǎn)，則 A,B 兩點(diǎn)間距離的最小值為（ ）
A 3 5． B．3 C 6 5． D．3 2
5 5
1 2．已知直線 y = m與曲線 f x = 2x - 3ln x和直線 y = x - 3分別交于 P，Q 兩點(diǎn)，則 PQ 的最小值
為 ．
2．（2024·高三·山東聊城·期末）最優(yōu)化原理是指要求目前存在的多種可能的方案中，選出最合理的，達(dá)到
事先規(guī)定的最優(yōu)目標(biāo)的方案，這類問題稱之為最優(yōu)化問題.為了解決實(shí)際生活中的最優(yōu)化問題，我們常常需
要在數(shù)學(xué)模型中求最大值或者最小值.下面是一個(gè)有關(guān)曲線與直線上點(diǎn)的距離的最值問題，請(qǐng)你利用所學(xué)知
3 2
識(shí)來(lái)解答：若點(diǎn)M 是曲線 y = x - 2ln x 上任意一點(diǎn)，則M 到直線 x - y - 2 = 0的距離的最小值為（ ）2
A 5 2 5 2 3 2 3 2． B． C． D．
2 4 4 2
3．曲線 y = ex 上的點(diǎn)到直線 x - y - 3 = 0的距離的最小值為（ ）
A． 2 B．2 C．2 2 D．4
4．已知點(diǎn) P 是曲線 f x = x ln x 上任意一點(diǎn)，點(diǎn) Q 是直線 y = x - 3上任一點(diǎn)，則 PQ 的最小值為（ ）
A． 2 B． 3 C．1 D． e
5．若點(diǎn) P 是曲線 y = lnx - x2 上任意一點(diǎn)，則點(diǎn) P 到直線 l : x + y - 4 = 0 距離的最小值為（ ）
A 2． B． 2 C．2 D．2 2
2
6．若動(dòng)點(diǎn) P 在曲線 y = ex + x 上，則動(dòng)點(diǎn) P 到直線 y = 2x - 4 的距離的最小值為（ ）
A． 5 B． e + 1 C． 2 5 D． 2e
1
7．設(shè)點(diǎn) P 在曲線 y = e2x 上，點(diǎn)Q在曲線 y = ln x上，則 | PQ |的最小值為（
2 ）
A 2． (1- ln 2) B． 2(1- ln 2)
2
C． 2(1+ ln 2) D 2． (1+ ln 2)
2
8．設(shè)點(diǎn) P 在曲線 y = 2ex 上，點(diǎn)Q在曲線 y = ln x - ln 2上，則 | PQ |的最小值為（ ）
A．1 - ln 2 B． 2(1- ln 2)
C． 2(1+ ln 2) D． 2(1+ ln 2)
9．（2024·四川·一模）若點(diǎn) P 是曲線 y = ln x - x2 上任意一點(diǎn)，則點(diǎn) P 到直線 l : x + y - 4 = 0 距離的最小值為
（ ）
A 2． B． 2 C．2 2 D．4 2
2
10．若點(diǎn) A a,a ，B b, eb a,b R ，則A 、 B 兩點(diǎn)間距離 AB 的最小值為（ ）
A 2．1 B． C． 2 D．2
2
11．已知 ln x1 - x1 - y1 + 2 = 0， x2 + 2y2 - 5 - 2ln 2 = 0
2
，則 x1 - x2 + y1 - y
2
2 的最小值為（ ）
9 16
A 3 5 4 5． B． C． D．
5 5 5 5
12．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知 lnx1 + 2x1 - y +1 = 0,4x - y + 3 - ln2 = 0 x - x 21 2 2 ，則 1 2 + y1 - y
2
2 的
最小值為（ ）
17ln2 17 9 9ln2A． B． C． D．
9 9 17 17
a - 2ea13 a b c d 1- c．已知實(shí)數(shù) ， ， ， 滿足： = = 1，其中 e 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則 (a - c)2 + (b - d )2 的最小值
b d -1
是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
x2 - ln x x - 2
14．（2024· · 1 1 2 2 2新疆 二模）若 = = 1，則 xy y 1 - x2 + y1 - y2 的最小值是（ ）1 2
A 1 2． 2 B． C． 2 D． 22
2
15．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知 x > 0， y R， (x - y)2 + x2 - ln x + 2 - y 的最小值為（ ）
16
A． 2 B．2 C
4 3
． D．
3 3
16 2 2 2．在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知 x1 - ln x1 - y1 = 0， x2 - y2 - 3 = 0，則 (x1 - x2 ) + (y1 - y2 ) 的最小值為
（ ）
A．9 B 9． C 3 2．
2 3 2
D．
2
17．（2024· 2山東·模擬預(yù)測(cè)）若 x ， y R ， x > 0，求 x - y + 4ln x - x2 2- 2y -1 的最小值為（ ）
16
A． 5 B 5． C． D 4 5．
5 5 5
a-1
18．已知實(shí)數(shù) a,b,c,d e c -1 1 2滿足 = = ，則 a - c + b - d 2 的最小值為（ ）
b d e
2
A e +1
e
． B．
e e2 +1
C e
2 +1 e2
． 2 D．e e2 +1
19．（2024·山西朔州·模擬預(yù)測(cè)）已知 A，B 分別為曲線 y = 2ex + x和直線 y = 3x - 3上的點(diǎn)，則 AB 的最小
值為 .
20．（2024· 2河北石家莊·一模）若實(shí)數(shù) a,b,c,d 滿足 b + a - 3ln a + (c - d + 2)2 = 0，則 (a - c)2 + (b - d )2 的最
小值為 ．
2
21．已知實(shí)數(shù) a，b，c，d 滿足 b - 2a2 + 3ln a + (c - d - 3)2 = 0，則 (a - c)2 + (b - d )2 的最小值為 ．
2
22 x．（2024·江西·一模）已知點(diǎn) P 為函數(shù) f x = e 的圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓 x - e2 -1 + y2 =1上任意
一點(diǎn)（ e為自然對(duì)數(shù)的底），則線段 PQ的長(zhǎng)度的最小值為 ．
2
23．（2024·高三· m山東淄博·期末）已知實(shí)數(shù) x，y 滿足 x2 - 3ln x - y = 0，則 x2 + y2 - mx + my + m R
2
的最小值為 ．
24．（2024·廣東佛山·一模）若 A, B分別是曲線 y = ex 與圓 (x -1)2 + y2 =1上的點(diǎn)，則 AB 的最小值為 .
1
25．已知函數(shù) f (x) = x2 - 2ax + e6x - 6a e3x +10a2的最小值是 ，則 a的值是
10

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