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拔高點(diǎn)突破 01 一網(wǎng)打盡平面向量中的范圍與最值問(wèn)題
目錄
01 方法技巧與總結(jié)...............................................................................................................................2
02 題型歸納與總結(jié)...............................................................................................................................5
題型一：利用三角向量不等式............................................................................................................5
題型二：定義法....................................................................................................................................6
題型三：基底法....................................................................................................................................6
題型四：幾何意義法............................................................................................................................7
題型五：坐標(biāo)法....................................................................................................................................8
題型六：極化恒等式............................................................................................................................9
題型七：矩形大法..............................................................................................................................10
題型八：等和線、等差線、等商線..................................................................................................10
題型九：平行四邊形大法..................................................................................................................12
題型十：向量對(duì)角線定理..................................................................................................................14
03 過(guò)關(guān)測(cè)試 .........................................................................................................................................14
技巧一．平面向量范圍與最值問(wèn)題常用方法：
（1）定義法
第一步：利用向量的概念及其基本運(yùn)算將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系
第二步：運(yùn)用基木不等式求其最值問(wèn)題
第三步：得出結(jié)論
（2）坐標(biāo)法
第一步：根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)
第二步：將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化
第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解
（3）基底法
第一步：利用其底轉(zhuǎn)化向量
第二步：根據(jù)向量運(yùn)算律化簡(jiǎn)目標(biāo)
第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論
（4）幾何意義法
第一步：先確定向量所表達(dá)的點(diǎn)的軌跡
第二步：根據(jù)直線與曲線位置關(guān)系列式
第三步：解得結(jié)果
技巧二．極化恒等式
（1）平行四邊形平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和：
r r r r r r
| a + b |2 + | a - b |2 = 2(| a |2 + | b |2 )
uuur r uuur r uuur r r uuur r r
證明：不妨設(shè) AB = a, AD = b ，則 AC = a + b， DB = a - b
uuur 2 uuur2 r r 2 r 2 r r r 2AC = AC = a + b = a + 2a × b + b ①
uuur 2 uuur2 r r 2 r 2 r r r 2
DB = DB = a - b = a - 2a × b + b ②
①②兩式相加得：
uuur 2 uuur 2 r 2 r 2 uuur 2 uuur 2AC + DB = 2 a + b = 2 AB + AD
（2）極化恒等式：
1 r r
上面兩式相減，得： éê a + b
2
- r r 2a - b ùú ————極化恒等式4
r r
① 1平行四邊形模式： a × b = é AC
2 - DB 2 ù
4
幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方
1
差的 ．
4
r r
② 2 1 2三角形模式： a × b = AM - DB （M 為 BD 的中點(diǎn)）
4
A
B M C
技巧三．矩形大法
矩形所在平面內(nèi)任一點(diǎn)到其對(duì)角線端點(diǎn)距離的平方和相等已知點(diǎn) O 是矩形 ABCD 與所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，
證明：OA2 + OC 2 = OB2 + OD2 ．
【證明】（坐標(biāo)法）設(shè) AB = a, AD = b，以 AB 所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系 xoy，
則 B(a,0), D(0,b),C(a,b)，設(shè)O(x, y) ，則
OA2 + OC 2 = (x2 + y2 ) + [(x - a)2 + (y - b)2 ]
OB2 + OD2 = [(x - a)2 + y2 ] + [x2 + (y - b)2 ]
\OA2 + OC 2 = OB2 + OD2
技巧四．等和線
（1）平面向量共線定理
uuur uuur uuur
已知OA = lOB + mOC ，若l + m = 1，則 A, B,C 三點(diǎn)共線；反之亦然．
（2）等和線
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
平面內(nèi)一組基底OA,OB 及任一向量OP ，OP = lOA + mOB(l, m R) ，若點(diǎn) P 在直線 AB 上或者在平行
于 AB 的直線上，則 l + m = k （定值），反之也成立，我們把直線 AB 以及與直線 AB 平行的直線稱為等和
線．
①當(dāng)?shù)群途€恰為直線 AB 時(shí)， k =1；
②當(dāng)?shù)群途€在O點(diǎn)和直線 AB 之間時(shí)， k (0,1) ；
③當(dāng)直線 AB 在點(diǎn)O和等和線之間時(shí)， k (1,+ ) ；
④當(dāng)?shù)群途€過(guò)O點(diǎn)時(shí)， k = 0；
⑤若兩等和線關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，則定值 k 互為相反數(shù)；
B1
B
Q P l
O A A1
技巧五．平行四邊形大法
1、中線長(zhǎng)定理
2
2 AO = AB 2 1+ AD 2 - DB 2
2
2、 P 為空間中任意一點(diǎn)，由中線長(zhǎng)定理得：
2
2 PO = PA 2 + PC 2 1- AC 2
2
2
2 PO PD 2 PB 2 1= + - DB 2
2
AC 22 2 - BD
2

兩式相減： PA + PC - ( PD 2 + PB 2 ) = = 2 AB× AD
2
技巧六．向量對(duì)角線定理
uuur uuur uuur2 uuur2 uuur2 uuur2
AC BD (AD + BC ) - (AB + CD )× =
2
題型一：利用三角向量不等式
r r r r r r
【典例 1-1】已知 a + b = 2， a - b = 4 ，則 a + b 的范圍是 .
r r r r r r r
【典例 1-2】（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知 | a - 2e |=| b - e |= 1,| e |= 1，則向量 a ×b 的范圍是 ．
r r r r r 5 r r r
【變式 1-1】已知 a =1， b = 2， c = 3且 a ×b = ，則 a + b + c 的最大值為（ ）
8
A．5.5 B．5 C．6.5 D．6
r r ur ur r r r r
【變式 1-2】（2024·高三·浙江金華·開(kāi)學(xué)考試）已知向量 a,b滿足 | a + b |= 4 ， | a - b |= 3，則 | a | + | b |的范圍
是（ ）
A．[3,5] B．[4,5] C．[3, 4] D．[4, 7]
【變式 1-3】（2024·河北保定·二模）如圖，圓O1 和圓O2 外切于點(diǎn) P ，A ， B 分別為圓O1 和圓O2 上的動(dòng)點(diǎn)，
O uuur uuur
uuur uuur 2
已知圓 1 和圓O2 的半徑都為 1，且PA × PB = -1，則 PA + PB 的最大值為（ ）
A．2 B．4 C． 2 2 D． 2 3
ur uur ur ur ur ur r ur ur r r
【變式 1-4】已知平面向量 e1,e2 滿足 2e2 - e1 = 2 a
r
，設(shè) = e1 + 4e
r
2 ,b = e1 + e2 ，若1 a ×b 2，則 | a |的取值范
圍為_(kāi)_______．
題型二：定義法
r r r r r r r r
【典例 2-1】已知向量 a、b 滿足： a - b = 4 a = 2 b
r r
， .設(shè) a - b與 a + b 的夾角為q ，則sinq 的最大值為
___________.
【典例 2-2】八角星紋是大汶口文化中期彩陶紋樣中具有鮮明特色的花紋．八角星紋常繪于彩陶盆和豆的
上腹，先于器外的上腹施一圈紅色底襯，然后在上面繪并列的八角星形的單獨(dú)紋樣．八角星紋以白彩的成，
黑線勾邊，中為方形或圓形，且有向四面八方擴(kuò)張的感覺(jué)．八角星紋延續(xù)的時(shí)間較長(zhǎng)，傳播范圍亦廣，在
長(zhǎng)江以南的時(shí)間稍晚的崧澤文化的陶豆座上也屢見(jiàn)刻有八角大汶口文化八角星紋．圖 2 是圖 1 抽象出來(lái)的
圖形，在圖 2 中，圓中各個(gè)三角形（如△ACD）為等腰直角三角形，點(diǎn) O 為圓心，中間部分是正方形且邊
uuur uuur
長(zhǎng)為 2，定點(diǎn) A，B 所在位置如圖所示，則 AB × AO 的值為（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
uuur uuur
【變式 2-1】已知點(diǎn) A，B，C 均位于單位圓（圓心為 O，半徑為 1）上，且 AB = 2, AB × AC 的最大值為
（ ）
A． 2 B． 3 C． 2 +1 D． 3 +1
uuur uuuur uuuur uuur
【變式 2-2】已知 PQ, MN 是半徑為 5 的圓O上的兩條動(dòng)弦， PQ = 6, MN = 8，則 PM + QN 最大值是（ ）
A．7 B．12 C．14 D．16
題型三：基底法
【典例 3-1
π
】已知VABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c，若 A = ， a = 23 ，D為 AB 的中點(diǎn)，E 為CD 的
uuur uuur uuur uuur
中點(diǎn)，BC = 3BF ，則 AE × AF 的最大值為 .
uuur 1 uuur
【典例 3-2】在VABC 中， A = 60°， BC =1，點(diǎn) D 為 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn) E 為CD 的中點(diǎn)，若BF = BC ，則
3
uuur uuur
AE × AF 的最大值為 .
uuur
【變式 3-1】在VABC 中， A = 60°， | BC |=1，點(diǎn)D為 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn)E 為CD 的中點(diǎn)，若設(shè)
uuur r uuur r uuur r r uuur 1 uuur uuur uuur
AB = a, AC = b ，則 AE可用 a,b表示為 ；若BF = BC ，則 AE × AF 的最大值為 ．3
VABC M BC N A π【變式 3-2】在 中， 是邊 的中點(diǎn)， 是線段 BM 的中點(diǎn)．若 = ，VABC6 的面積為 3，則
uuuur uuur
AM × AN 取最小值時(shí)，則 2BC = （ ）
A．2 B．8 3 -12 C．6 D．4
【變式 3-3】如圖，已知等腰VABC 中， AB = AC = 3， BC = 4，點(diǎn) P 是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，則
uuur uuur uuurAP × AB + AC （ ）
A．為定值 10 B．為定值 6
C．為變量且有最大值為 10 D．為變量且有最小值為 6
題型四：幾何意義法
r r r r r r r r r
【典例 4-1】已知 a,b,c是同一平面上的 3 個(gè)向量，滿足 a = 3， b = 2 2 ， a × b = -6，則向量 a 與b 的夾角
r r r r π r
為 ，若向量 c - a與 c - b 的夾角為 ，則 c 的最大值為 ．4
r r r r r r
【典例 4-2】已知向量 a，b 滿足 a =1, b 2 a
r r
= ，則 + b + a - b 的最小值是 ，最大值是 ．
uuur uuur uuur
【變式 4-1】（2024·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測(cè)）已知 O 是VABC 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且 AB = 2 ，OA × AC = -1，
uuur uuur
OC × AC =1，則 ABC 的最大值為（　　）
π π π π
A． B． C． D．
6 4 3 2
r r r r r r r r r r r
【變式 4-2】已知平面向量 a ，b ， e，且 e =1， a = 2 .已知向量b 與 e所成的角為 60°，且 b - te b - e
r r
a e 1
r r
對(duì)任意實(shí)數(shù) t 恒成立，則 + + a - b 的最小值為（
2 ）
A． 3 +1 B． 2 3 C． 3 + 5 D． 2 5
r r r r r r π r
【變式 4-3】已知 a,b,e是平面向量，且 e是單位向量，若非零向量 a 與 e的夾角為 ，向量4 b
滿足
r r r r r2 r r
b - 4e ×b + 3 = 0，則 a - b + a - e 的最小值是（ ）
A． 5 - 2 B． 5 -1 C．2 D． 5
r r r r r r r r 1 r r r r
【變式 4-4】（2024·山東青島·三模）已知向量 a，b ， c滿足 a = b =1， a × (a - b) = ，2 b - c ^ 3b - c ，
r r
則 a - c 的最小值為（ ）
A． 3－1 B． 3 C．2 D．1
題型五：坐標(biāo)法
【典例 5-1】（2024·河北滄州·一模）如圖，在等腰直角VABC 中，斜邊 AB = 4 2 ，點(diǎn)D在以 BC 為直徑的
uuur uuur
圓上運(yùn)動(dòng)，則 | AB + AD |的最大值為（ ）
A． 4 6 B．8 C．6 3 D．12
uuuur uuuur uuur uuur uuuur
【典例 5-2】已知 | AM |= 2， AM = 2MB ，若動(dòng)點(diǎn) P，Q 與點(diǎn) A，M 共面，且滿足 | AP |=| AM |，
uuur uuuur uuur uuuur
| BQ |=| BM |，則MP × MQ的最大值為（ ）
A．0 B 1． 2 C．1 D．2
【變式 5-1】在梯形 ABCD中， AB / /CD ， AB = 2 ， AD = 2 ，CD =1， BAD = 45 o， P ，Q分別為線
uuur uuur
段 AD 和線段 AC 上（包括線段端點(diǎn)）的動(dòng)點(diǎn)，則 AP × AQ 的最大值為（ ）
A． 2 5 B． 2 2 C． 10 D．3
π
【變式 5-2】在△ABC 中，BC＝2， BAC = ，D 為 BC 中點(diǎn)，在△ABC 所在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn) P 滿足
3
uur uuur uuur uuur uuur uuur
PB × PD = PC × PD ，則 AP × BC 的最大值為（　　）
A 3 B 2 3 C 4 3． ． ． 3 D．
3 3 3
uuur uuur
【變式 5-3】在DABC 中， AB = 2BC = 2，∠B = 90o ， P 是以 AB 為直徑的圓上任意一點(diǎn)，則 AC × AP 的最
大值是（ ）
A． 5 + 2 B． 2 5 - 2 C． 2 5 D． 4
題型六：極化恒等式
uuur uuur uuur r
【典例 6-1】已知VABC 中，BC = 4 A
π
， = ，若VABC 所在平面內(nèi)一點(diǎn)D滿足
3 DB + DC + 2DA = 0
，則
uuur uuur
DB × DC 的最大值為 .
π uuur uuur uuur uuur uuur
【典例 6-2】在VPAB 中， AB = 2 3, APB = ，點(diǎn) Q 滿足PQ = 2(QA + QB)，則QA ×QB 的最大值
3
為 .
uuur uuur
【變式 6-1】在邊長(zhǎng)為 2 的正方形 ABCD中，動(dòng)點(diǎn) P，Q 在線段BD上，且 PQ = 2，則 AP × AQ的最小值為
（ ）
A．2 B 1． 2 C．1 D． 2
uuur uuur
【變式 6-2】點(diǎn) P 是邊長(zhǎng)為 1 的正六邊形 ABCDEF 邊上的動(dòng)點(diǎn)，則PA × PB 的最大值為（ ）
11 13
A．2 B． C．3 D．
4 4
【變式 6-3】勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩
個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形．在如圖所示的勒洛三角形中，已知
uuur uuur
AB = 2, P為弧 AC （含端點(diǎn)）上的一點(diǎn)，則BP ×CP的范圍為 ．
【變式 6-4】（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里
慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以在高處俯瞰四周景色．如圖，某摩天輪的最高點(diǎn)距離地面的高度為 12，轉(zhuǎn)盤(pán)的直徑為
uuur uuur
10，A，B 為摩天輪在地面上的兩個(gè)底座， AB =10，點(diǎn) P 為摩天輪的座艙，則PA × PB 的范圍為 ．
題型七：矩形大法
【典例 7-1】已知圓C : x2 + y21 = 9 與C2 : x
2 + y2 = 36 ，定點(diǎn) P(2,0)，A、B 分別在圓C1 和圓C2 上，
滿足 PA ^ PB，則線段 AB 的取值范圍是 ．
uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur
【典例 7-2】在平面內(nèi)，已知 AB1 ^ AB2 ，OB1 = OB2 =1， AP = AB1 + AB2 ，若 | OP |
1
，則
2
uuur
| OA |的取值范圍是（ ）
A． (0, 5 ] 5 7 5 B． ( , ] C． ( , 2] 7 D． ( , 2]
2 2 2 2 2
uuuur uuur
【變式 7-1】已知圓Q : x2 + y2 = 16，點(diǎn)P 1,2 ，M、N 為圓 O 上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且PM × PN = 0若
uuur uuuur uuur uuur
PQ = PM + PN ，則 PQ 的最小值為_(kāi)_____．
r r r 1 r r
【變式 7-2】設(shè)向量 ar r r
r r r r
，b ， c 滿足 | a |=| b |=1， a ×b = ， (a - c) × (b - c) = 0，則 | c |的最小值是（ ）2
A 3 +1 B 3 -1． ． C． 3 D．1
2 2
題型八：等和線、等差線、等商線
uuur 1 uuur uuur uuur uuur
【典例 8-1】如圖，在VABC 中， AN = NC ， P 是線段BN 上一點(diǎn)，若 ，則mn 的最大值
3 AP = mAB + nAC
為 .
uuur uuur uuur uuur uuur
【典例 8-2】（多選題）（2024·遼寧葫蘆島·二模）已知向量OA,OB,OP 滿足 | OA |=1， | OB |= 2，
uuur uuur uuur uuur uuur
OA ×OB = 0 ， OP = lOA + mOB .則下列說(shuō)法正確的是（ ）
uuur
A．若點(diǎn) P 在直線 AB 上運(yùn)動(dòng)，當(dāng) l m 取得最大值時(shí)， | OP |的值為 5
uuur uuur
B P 5．若點(diǎn) 在直線 AB 上運(yùn)動(dòng)， OA在OP 上的投影的數(shù)量的取值范圍是 (- ,1]
5
uuur
C．若點(diǎn) P 2 5在以 r = 為半徑且與直線 AB 相切的圓上， | OP |取得最大值時(shí)，l + m 的值為 3
5
D．若點(diǎn) P 在以 r = 2 5 為半徑且與直線 AB 相切的圓上，l + m 的范圍是[-1,3]
5
uuur uuur
【變式 8-1】如圖所示， B 是 AC 的中點(diǎn)，BE = 2OB, P 是平行四邊形BCDE 內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，且
uuur uuur uuur
OP = xOA + yOB x, y R ，則當(dāng) y = 2時(shí)， x 的范圍是 .
uuur uuur uuur
【變式 8-2】如圖，點(diǎn)C 是半徑為1的扇形圓弧 3πAB 上一點(diǎn)，且 AOB = 4 ，若OC = xOA + yOB，則
x + 2y 的最大值是（ ）
A．1 B 5． C． 10 D．4
2
uuur uuur uuur
【變式 8-3】如圖，邊長(zhǎng)為 2 的等邊三角形的外接圓為圓 O，P 為圓 O 上任一點(diǎn)，若 AP = xAB + y AC ，則
x + y 的最大值為（ ）
8 4
A． B．2 C． D．1
3 3
【變式 8-4】（2024·河北滄州·三模）對(duì)稱美是數(shù)學(xué)美的重要組成部分，他普遍存在于初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)
的各個(gè)分支中，在數(shù)學(xué)史上，數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力.如圖，在等邊VABC 中， AB = 2 ，以三條邊為直徑
uuuur uuur uuur
向外作三個(gè)半圓，M 是三個(gè)半圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)，若BM = l AB + m AC ，則l + m 的最大值為（ ）
A 1
3
． 2 B
3
． C．1 D．
3 2
【變式 8-5】平行四邊形 ABCD中， AB = 2 ， AD =1，以 C 為圓心作與直線 BD 相切的圓，P 為圓 C 上且
uuur uuur uuur
落在四邊形 ABCD內(nèi)部任意一點(diǎn)， AP = l AB + m AD，若l + m > 1，則角A 的范圍為（ ）
0, π π π π πA ． ÷ B． 0,
π
÷ C

． ,

3 D． ,è 6 è 6 3 ÷ è è 3 2 ÷
題型九：平行四邊形大法
【典例 9-1】如圖，圓O OA
1
是半徑為 1 的圓， = ，設(shè) B ，C 為圓上的任意 2 個(gè)點(diǎn)，則 的取值范圍
2 AC× BC
是___________.
uuur uuur
【典例 9-2】如圖，C，D 在半徑為 1 的eO 上，線段 AB 是eO 的直徑，則 AC × BD的取值范圍是
_________.
r r r
【變式 9-1】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知 er ar為單位向量，平面向量 ，b 滿足 | a
r er | | b er+ = - |=1 r， a ×b 的取
值范圍是____.
【變式 9-2】（2024·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）半徑為1的兩圓 M 和圓O外切于點(diǎn) P ，點(diǎn)C 是圓 M 上一點(diǎn)，
uuur uuur
點(diǎn) B 是圓O上一點(diǎn)，則PC × PB的取值范圍為_(kāi)______.
【變式 9-3】設(shè)圓M ，圓 N 的半徑分別為 1，2，且兩圓外切于點(diǎn) P ，點(diǎn)A ， B 分別是圓M ，圓 N 上的兩
uuur uuur
動(dòng)點(diǎn)，則PA × PB 的取值范圍是（ ）
é 1 ù é 3 ù
A． ê-8, ú B． ê-16, 2 4 ú
C． -8,1 D． -16,1
題型十：向量對(duì)角線定理
【典例 10-1】已知平行四邊形 ABCD ， AB ^ BC ， AB = BC = AD = 2，CD = 3 ， AC 與 BD交于點(diǎn)O，若
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
記 a = OA × OB ，b = OB ×OC ， c = OC × OD ，則（ ）
A. a b c B． a c b C． c a b D．b a c
uuur uuur
【典例 10-2】如圖，在圓O中，若弦 AB = 3，弦 AC = 5，則 AO × BC 的值是（ ）
A． -8 B． -1 C．1 D．8
uuur uuur uuur uuur
【變式 10-1】在四邊形 ABCD 中， AB ^ BC ， AD ^ BC 若， AB = a ， AD = b ，則 AC × BD 等于（ ）
A．b2 - a2 B． a2 - b2 C． a2 + b2 D． a2 ×b2
1．如圖，VABC 的三邊長(zhǎng)為 AB = 3, BC = 7, AC = 5，且點(diǎn)B,C 分別在 x 軸， y 軸正半軸上移動(dòng)，點(diǎn)A 在
uuur uuur uuur uuur uuur
線段BC的右上方．設(shè)OA = xOB + yOC x, y R ，記M = OA ×OC, N = x + y，分別考查M , N 的所有可能結(jié)
果，則（ ）
A．M 有最小值， N 有最大值 B．M 有最大值， N 有最小值
C．M 有最大值， N 有最大值 D．M 有最小值， N 有最小值
uuur uuur
2．在矩形 ABCD中， AB = 2 ， AD = 3， P 為矩形 ABCD所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PA =1，則PB × PC 的最大
值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
r r r r r
3．（2024· r湖北黃岡·二模）已知 e 為單位向量，向量 a滿足 a ×e = 3, le - a =1 a
r
，則 的最大值為（ ）
A．9 B．3 C． 10 D．10
r r r r r r
4 r．已知 e 為單位向量，向量 a滿足 e ×a = 3, le - a =1，則 a 的最大值為（ ）
A．9 B．2 3 C． 10 D．8
5．如圖，在等腰梯形 ABCD中， AB / /CD ， AB = 5， AD = 4，DC =1，點(diǎn)E 是線段 AB 上一點(diǎn)，且滿足
uuur uuur
AE = 4EB ，動(dòng)點(diǎn) P 在以E 為圓心的半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng)，則DP × AC 的最大值為（ ）
A． 21 - 6 B． 3 - 21 C． 2 3 - 6 D． 3
6．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）在矩形 ABCD中， AB = 5, AD = 4 ，點(diǎn)E 是線段 AB 上一點(diǎn)，且滿足
uuur uuur
AE = 4EB .在平面 ABCD中，動(dòng)點(diǎn) P 在以E 為圓心，1 為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則DP × AC 的最大值為（ ）
A． 41 + 4 B． 41 - 6 C． 2 13 + 4 D． 2 13 - 6
r r
7 2024· · | ar | 3,| b | 1,ar b 0,| cr ar | | cr ar
r r r r r
．（ 貴州貴陽(yáng) 三模）已知 = = × = + + - |= 4,d 2 - 6b × d + 5 = 0，則 | c - d |的最
大值為（ ）
A 4 21． + 2 B．4 C．6 D 2 21． + 2
3 3
r r r r
8．已知非零平面向量 ar
π
，b 的夾角為 ，且 a - b =1，則 a
r r
× (a + 2b)的最大值為（
3 ）
A 2 3 B 2 3 +1 C 3 3． ． ． D． + 2
3 3 6 6
9．如圖，在矩形 ABCD中， AB = 2BC = 4, AC 與BD的交點(diǎn)為M , N 為邊 AB 上任意一點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則
uuur uuur
MB × DN 的最大值為（ ）
A．2 B．4 C．10 D．12
uuur uuur uuur 2 1
10．如圖所示，VABC 中，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，E 是線段 AD 上的動(dòng)點(diǎn)，若BE = xBA + yBC ，則 +x y
的最小值（ ）
A．1 B．3 C．5 D．8
11．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù).如圖甲是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成
的正六邊形剪紙窗花，如圖乙所示其外框是邊長(zhǎng)為 4 的正六邊形 ABCDEF ，內(nèi)部圓的圓心為該正六邊形的
uuur uuur
中心O，圓O的半徑為 2，點(diǎn) P 在圓O上運(yùn)動(dòng)，則PE ×OF 的最小值為（ ）
A．-8 B．-4 C．0 D．4
uuur uuur
12．已知點(diǎn)A 、 B 在圓 x2 + y2 = 4上，且 AB = 2 ， P 為圓O上任意一點(diǎn)，則 AB × BP 的最小值為（ ）
A． 0 B．-4 C．-6 D．-8
uuur uuur uuur
13．已知VABC 是邊長(zhǎng)為 4 的等邊三角形， P 為平面 ABC 內(nèi)一點(diǎn)，則PA × PB + PC 的最小值是（ ）
A．-2 B．-8 C．-3 D．-6
r r 2π r r r r
14．已知向量 a,b的夾角為 ，且 a = 2 b = 4，則 a + tb t R 的最小值是（
3 ）
A． 3 B．3 C． 2 3 D． 2 5
uuur uuur
15．扇形 AOB的半徑為 1， AOB = 120° ，點(diǎn)C 在弧 AB 上運(yùn)動(dòng)，則CA ×CB 的最小值為（ ）
1 3
A．- B．0 C．- D．-1
2 2
16．（多選題）在VOAB中，OA =1,OB = 2, AOB =120°，點(diǎn) P 是等邊VABC （點(diǎn)O與C 在 AB 的兩側(cè)）邊
uuur uuur uuur
上的一動(dòng)點(diǎn)，若OP = xOA + yOB，則有（ ）
1
A．當(dāng) x =
9
時(shí)，點(diǎn) P 必在線段 AB 的中點(diǎn)處 B． x + y 的最大值是
2 2
uuur uuur uuur uuur
C é
7 7 ù
．OP ×OA的最小值是 -1 D．PA × PB 的范圍是 ê- , 4 2 ú
17．（多選題）已知點(diǎn) A、B、P 在eC 上，則下列命題中正確的是（ ）
uuur uuur uuur
A． AC =1 1，則 AC × AB 的值是 2
uuur uuur uuur
B． AB =1 1，則 AC × AB 的值是 2
uuur uuur
C． AC = AB 1
uuur uuur é 1 3= ù，則 AP × AB 的范圍是 ê- , 2 2ú
uuur uuur uuur uuur uuur
AC = AB =1 é ùD． ，且 AP = l AB + m AC l + m 1- 2 3，則 的范圍是 ê 3 ,1+
2 3
3 ú
18．（多選題）已知圓O半徑為 2，弦 AB = 2 ，點(diǎn)C 為圓O上任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
uuur uuur uuur uuur
A．BA × BO = 2 B． AB × AC 的最大值為 6
uuur uuur uuur uuur uuur
C． OC - AB - AO 0,4 D．滿足 AB × AC = 0的點(diǎn)C 只有一個(gè)
19．（多選題）“圓冪定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個(gè)重要定理，它包含三個(gè)結(jié)論，其中一個(gè)是相交弦定理：
圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等，如圖，已知圓O的半徑 2，點(diǎn) P 是圓O內(nèi)的定點(diǎn)，
且OP = 2 ，弦 AC，BD 均過(guò)點(diǎn) P ，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
uuur uuur
A．PA × PC 為定值
uuur uuur
B．OA ×OC 的取值范圍是 -2，0
uuur uuur
C．當(dāng) AC ^ BD 時(shí)， AB ×CD為定值
uuur uuur
D． AC ·BD 的最大值為 16
20．（多選題）如圖，在梯形 ABCD中， AB∥CD, AD ^ AB,CD = 2, AD = 4, AB = 5, E, F 分別在線段 AD, AB
上，且線段DE 與線段 BF 的長(zhǎng)度相等，則（ ）
uuur uuur uuur uuur
A．CE ×CF 的最小值為-4 B．CE ×CF 的最大值為 18
uuur uuur 41
C．CE × EF 的最大值為 -1 D．△CEF 的面積的最大值為 8
r r r r r r r
21．（多選題）（2024·山東濰坊·二模）已知向量 a ，b ， c為平面向量， a =1， b = 2， a ×b = 0 ，
r r
c a 1- = ，則（
2 ）
r 3 r r r rA 1+ 2 5．1 c B． c - a × c - b 的最大值為2 4
r r r r r
C 5．-1 b ×c 1 D．若 c = la + mb，則l + m 的最小值為1-
4
r r r
22．（2024· r甘肅·一模）已知單位向量 a,b 滿足 3a - 4b = m，則m 的范圍是 .
23．（2024·高三·上海閔行·開(kāi)學(xué)考試）阿波羅尼斯證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)
的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn) A，B 間的距離為 3，動(dòng)點(diǎn) P 滿足
PA
= 2 uuur uuur
PB ，則PA × PB 的范圍為 .
uuur uuur uuur
24．在VABC 中， AB = 3， AC = 2， BAC = 60° ，點(diǎn) P 是VABC
2
內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若 AP = AB + l AC ，
3
uuur
則 AP 的最大值為 .
25．（2024·天津河西·三模）如圖，動(dòng)點(diǎn) C 在以 AB 為直徑的半圓 O 上（異于 A，B），DC ^ BC ，
uuur uuur uuur uuur
DC = BC ， AB = 2 ， CA - BC = ；OC ×OD 的最大值為 ．
uuur uuur
26．如圖所示，在邊長(zhǎng)為 3 的等邊三角形 ABC
2
中， AD = AC ，且點(diǎn) P 在以 AD 的中點(diǎn) O 為圓心、OA為
3
uuur uuur uuur
半徑的半圓上，若BP = xBA + yBC ，則下列說(shuō)法正確的是 ．
uuur 1 uuur 2 uuur
① BD = BA + BC ② x + y 3的最大值為1+
3 3 3
uuur uuur uuur uuur
③ BP × BC 最大值為 9 ④ BO × DO =1
uuur 2 uuur
27．如圖所示，在邊長(zhǎng)為 3 的等邊三角形 ABC 中， AD = AC ，且點(diǎn) P 在以 AD 的中點(diǎn)O為圓心，OA為
3
uuur uuur
半徑的半圓上，則BP × BC 的最大值為 ．拔高點(diǎn)突破 01 一網(wǎng)打盡平面向量中的范圍與最值問(wèn)題
目錄
01 方法技巧與總結(jié)...............................................................................................................................2
02 題型歸納與總結(jié)...............................................................................................................................5
題型一：利用三角向量不等式............................................................................................................5
題型二：定義法....................................................................................................................................8
題型三：基底法..................................................................................................................................10
題型四：幾何意義法..........................................................................................................................13
題型五：坐標(biāo)法..................................................................................................................................18
題型六：極化恒等式..........................................................................................................................22
題型七：矩形大法..............................................................................................................................27
題型八：等和線、等差線、等商線..................................................................................................30
題型九：平行四邊形大法..................................................................................................................36
題型十：向量對(duì)角線定理..................................................................................................................41
03 過(guò)關(guān)測(cè)試 .........................................................................................................................................42
技巧一．平面向量范圍與最值問(wèn)題常用方法：
（1）定義法
第一步：利用向量的概念及其基本運(yùn)算將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系
第二步：運(yùn)用基木不等式求其最值問(wèn)題
第三步：得出結(jié)論
（2）坐標(biāo)法
第一步：根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)
第二步：將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化
第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解
（3）基底法
第一步：利用其底轉(zhuǎn)化向量
第二步：根據(jù)向量運(yùn)算律化簡(jiǎn)目標(biāo)
第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論
（4）幾何意義法
第一步：先確定向量所表達(dá)的點(diǎn)的軌跡
第二步：根據(jù)直線與曲線位置關(guān)系列式
第三步：解得結(jié)果
技巧二．極化恒等式
（1）平行四邊形平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和：
r r r r r r
| a + b |2 + | a - b |2 = 2(| a |2 + | b |2 )
uuur r uuur r uuur r r uuur r r
證明：不妨設(shè) AB = a, AD = b ，則 AC = a + b， DB = a - b
uuur 2 uuur2 r r 2 r 2 r r r 2AC = AC = a + b = a + 2a × b + b ①
uuur 2 uuur2 r r 2 r 2 r r r 2
DB = DB = a - b = a - 2a × b + b ②
①②兩式相加得：
uuur 2 uuur 2 r 2 r 2 uuur 2 uuur 2AC + DB = 2 a + b = 2 AB + AD
（2）極化恒等式：
1 r r
上面兩式相減，得： éê a + b
2
- r r 2a - b ùú ————極化恒等式4
r r
① 1平行四邊形模式： a × b = é AC
2 - DB 2 ù
4
幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方
1
差的 ．
4
r r
② 2 1 2三角形模式： a × b = AM - DB （M 為 BD 的中點(diǎn)）
4
A
B M C
技巧三．矩形大法
矩形所在平面內(nèi)任一點(diǎn)到其對(duì)角線端點(diǎn)距離的平方和相等已知點(diǎn) O 是矩形 ABCD 與所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，
證明：OA2 + OC 2 = OB2 + OD2 ．
【證明】（坐標(biāo)法）設(shè) AB = a, AD = b，以 AB 所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系 xoy，
則 B(a,0), D(0,b),C(a,b)，設(shè)O(x, y) ，則
OA2 + OC 2 = (x2 + y2 ) + [(x - a)2 + (y - b)2 ]
OB2 + OD2 = [(x - a)2 + y2 ] + [x2 + (y - b)2 ]
\OA2 + OC 2 = OB2 + OD2
技巧四．等和線
（1）平面向量共線定理
uuur uuur uuur
已知OA = lOB + mOC ，若l + m = 1，則 A, B,C 三點(diǎn)共線；反之亦然．
（2）等和線
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
平面內(nèi)一組基底OA,OB 及任一向量OP ，OP = lOA + mOB(l, m R) ，若點(diǎn) P 在直線 AB 上或者在平行
于 AB 的直線上，則 l + m = k （定值），反之也成立，我們把直線 AB 以及與直線 AB 平行的直線稱為等和
線．
①當(dāng)?shù)群途€恰為直線 AB 時(shí)， k =1；
②當(dāng)?shù)群途€在O點(diǎn)和直線 AB 之間時(shí)， k (0,1) ；
③當(dāng)直線 AB 在點(diǎn)O和等和線之間時(shí)， k (1,+ ) ；
④當(dāng)?shù)群途€過(guò)O點(diǎn)時(shí)， k = 0；
⑤若兩等和線關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，則定值 k 互為相反數(shù)；
B1
B
Q P l
O A A1
技巧五．平行四邊形大法
1、中線長(zhǎng)定理
2
2 AO = AB 2 1+ AD 2 - DB 2
2
2、 P 為空間中任意一點(diǎn)，由中線長(zhǎng)定理得：
2
2 PO = PA 2 + PC 2 1- AC 2
2
2
2 PO PD 2 PB 2 1= + - DB 2
2
AC 22 2 - BD
2

兩式相減： PA + PC - ( PD 2 + PB 2 ) = = 2 AB× AD
2
技巧六．向量對(duì)角線定理
uuur uuur uuur2 uuur2 uuur2 uuur2
AC BD (AD + BC ) - (AB + CD )× =
2
題型一：利用三角向量不等式
r r r r r r
【典例 1-1】已知 a + b = 2， a - b = 4 ，則 a + b 的范圍是 .
【答案】 é 4,2 5ù
r r
【解析】設(shè) a = m， b = n ，
Q ar
r
+ b = 2 r 2ar b r r r r 2 r r，\ + = a 2 + 2a ×b + b = m2 + n2 + 2a ×b = 4 …①；
r r r r 2 r 2 r r r 2 r rQ a - b = 4，\ a - b = a - 2a ×b + b = m2 + n2 - 2a ×b =16 …②；
① + ②得： 2 m2 + n2 = 20，\m2 + n2 =10，
2
\ m n 2 10 2mn m + n+ = + 10 + 2 ÷ （當(dāng)且僅當(dāng)m = n = 5 時(shí)取等號(hào)），
è 2
則 m + n 2 20，\m + n 2 5 ；
Q ar
r r r r
+ b = m + n a + b = 4 r（當(dāng)且僅當(dāng) a與b 同向時(shí)取等號(hào)），
r r
\ a + b 的取值范圍為 é4,2 5ù .
故答案為： é4,2 5ù .
r r
【典例 1-2 2024· r r r r】（ 浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知 | a - 2e |=| b - e |= 1,| e |= 1，則向量 ar ×b 的范圍是 ．
é 1 ù
【答案】 - ,6
ê 4 ú
r r r r
【解析】設(shè) cr = ar r- 2e,d = b - er, | c |=| d |= 1，
ar
r r r
b (cr 2er) (d er) cr d er
r
所以 × = + × + = × + × (2d + cr) + 2 ①,
r rc d er
r r v
一方面， × + × (2d r+ c) + 2 r r c ×d + | 2d + c∣+ 2 =1+ 3+ 2 = 6 ，
r r r r r
當(dāng)且僅當(dāng) c 與 d 同向， e 與 (2d + c)同向時(shí)取得最大值，
r r r r r r r r r
另一方面， c ×d + e × (2d + c) + 2 c ×d - 2d + c + 2
1
= t 2 - 5 1 3 1- t + 2 = t 2 - t + - ，
4 4 4 4
r r
t = 2d + cr [0,3] | 2d cr | 2,er
r r
其中 ，當(dāng)且僅當(dāng) + = 與 (2d + c)反向時(shí)取得最小值．
r r é 1 ù
故a ×b ê- ,6 ． 4 ú
é 1- ,6ù故答案為： ê 4 ú
r r r r r
a =1 b = 2 c = 3 a b 5
r r r
【變式 1-1】已知 ， ， 且 × = ，則 a + b + c 的最大值為（ ）
8
A．5.5 B．5 C．6.5 D．6
【答案】A
r r r r r r 2 r 2 r 2 r 2 r r r r r 5 r r r
【解析】 a + b + c = a + b + c = a + b + c + 2a ×b + 2c × a + b = 1+ 4 + 9 + + 2c × a + b ，4
r r r r r r r 2 r 2 r r 5 15 r r又 c × a + b c a + b = 3 a + b + 2a ×b = 3 1+ 4 + = r，當(dāng)且僅當(dāng) c 與 a + b 同向時(shí)取得等號(hào)；4 2
r r r
故 a + b + c 1 4 9 5 15 121 11+ + + + 2 = = = 5.5 .
4 2 4 2
故選：A.
r r ur ur r r r r
【變式 1-2】（2024·高三·浙江金華·開(kāi)學(xué)考試）已知向量 a,b滿足 | a + b |= 4 ， | a - b |= 3，則 | a | + | b |的范圍
是（ ）
A．[3,5] B．[4,5] C．[3, 4] D．[4, 7]
【答案】B
r r r r r r【解析】 a + b max a + b , a - b = 4，
r r r 2 r2 r r
由于： ( a + b )2 = a + b + 2 a × b ，
r r 2 r r 2 r 2 r2 r 2 r2 r 2 r2 r 2 r2 r r
25 = a + b + a - b = 2 a + b = a + b + a + b a + b + 2 a × b ，
r r
當(dāng)且僅當(dāng) a = b 時(shí)等號(hào)成立.
r r r r 2 r r 2
所以 ( a + b )2 a + b + a - b = 25，
r r
所以 a + b 5，
r r
所以 4 a + b 5 .
故選：B
【變式 1-3】（2024·河北保定·二模）如圖，圓O1 和圓O2 外切于點(diǎn) P ，A ， B 分別為圓O1 和圓O2 上的動(dòng)點(diǎn)，
uuur uuur 2
已知圓O
uuur uuur
1 和圓O2 的半徑都為 1，且PA × PB = -1，則 PA + PB 的最大值為（ ）
A．2 B．4 C． 2 2 D． 2 3
【答案】D
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur【解析】PA × PB = PO1 + O1A × PO2 + O2B = PO1 × PO2 + PO1 ×O2B + O1A × PO2 + O1A ×O2B
uuuur uuuur uuur uuur uuuur
= -1+ PO1 × O2B - O1A + O1A ×O2B = -1，
uuur uuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur所以 O1A ×O2B = PO1 × O2B - O1A O2B - O1A ，
uuur uuuur 2 uuuur 2 uuur 2 uuur uuuur uuur uuuur 2 uuur uuuur
所以 O1A ×O2B O2B + O1A - 2O1A ×O2B ，即 O1A ×O2B + 2O1A ×O2B - 2 0，
uuur uuuur
解得-1- 3 O1A ×O2B -1+ 3 .
uuur uuur 2 uuuur uuur uuuur uuuur 2 uuur uuuur 2 uuur 2 uuuur 2 uuur uuuur
PA + PB = PO1 + O1A + PO2 + O2B = O1A + O2B = O1A + O2B + 2O1A ×O2B
uuur uuuur
= 2 + 2O1A ×O2B 2 + 2 -1+ 3 = 2 3 .
故選：D
ur uur ur ur r ur ur r ur ur r r
【變式 1-4】已知平面向量 e1,e2 滿足 2e2 - e1 = 2，設(shè)a = e1 + 4e2 ,b = e1 + e2 ，若1 a
r
×b 2，則 | a |的取值范
圍為_(kāi)_______．
【答案】[ 3 -1, 5 +1]
r ur ur rc e 2e b 1 (ar cr
r r r r
【解析】設(shè) = 1 -
r
2 ，則 = + ) ，則由條件2 1 a ×b 2
知2 a × (a + c) 4 ，
r2 r r 1 r2 3 ar c
r cr
所以3 a + a × c + c 5，所以 + 5, = 1
4 2 2
，
r cr cr r cr cr r cr cr
又 a + - a
v = a + - a + +
2 2 2 2 2 2
所以 3 -1 | ar | 5 +1．
故答案為：[ 3 -1, 5 +1] .
題型二：定義法
r r r r r r r r r r
【典例 2-1】已知向量 a、b 滿足： a - b = 4， a = 2 b .設(shè) a - b與 a + b 的夾角為q ，則sinq 的最大值為
___________.
2 2 2
【答案】 / 2
3 3
r r r r
【解析】設(shè) b = t ，則 a = 2t ，設(shè)向量 a、b 的夾角為a ，
r r r 2a - b = 4 2 r r r2 3t -16若 ，則 a - 2a ×b + b = 3t 2 - 2 2t 2 cosa =16，可得 cosa = ，2 2t 2
2
由題意可得-1
3t -16
1，解得 4 2 -1 t 4 2 +1 ，
2 2t 2
r r 2 r 2 r r r2 r r
所以， a + b = a + 2a ×b + b = 3t 2 + 2 2t 2 cosa = 6t 2 -16，\ a + b = 6t 2 -16 ，
r r r ra + b × a - b
cosq r r r r t
2 1 1
= = = =
所以， a + b × a - b 4 6t 2 -16 4 2 3 8
2 ，
×
t 2
-
t 4 4 2
1 3 9
× -8 -

÷ +
è t 2 16 32
1 3
= 4 3 1當(dāng) 2 時(shí)，即當(dāng) t = 時(shí)， cosq 取得最小值 ，此時(shí)sinq 取得最大值，t 16 3 3
1 2
且 sinq = 1- 2 2 ÷ = .max è 3 3
2 2
故答案為： .
3
【典例 2-2】八角星紋是大汶口文化中期彩陶紋樣中具有鮮明特色的花紋．八角星紋常繪于彩陶盆和豆的
上腹，先于器外的上腹施一圈紅色底襯，然后在上面繪并列的八角星形的單獨(dú)紋樣．八角星紋以白彩的成，
黑線勾邊，中為方形或圓形，且有向四面八方擴(kuò)張的感覺(jué)．八角星紋延續(xù)的時(shí)間較長(zhǎng)，傳播范圍亦廣，在
長(zhǎng)江以南的時(shí)間稍晚的崧澤文化的陶豆座上也屢見(jiàn)刻有八角大汶口文化八角星紋．圖 2 是圖 1 抽象出來(lái)的
圖形，在圖 2 中，圓中各個(gè)三角形（如△ACD）為等腰直角三角形，點(diǎn) O 為圓心，中間部分是正方形且邊
uuur uuur
長(zhǎng)為 2，定點(diǎn) A，B 所在位置如圖所示，則 AB × AO 的值為（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【解析】如圖：連接OD
因?yàn)橹虚g是邊長(zhǎng)為 2 的正方形，且圖中的各個(gè)三角形均為等腰直角三角形，
uuur uuur
所以 ADO = ODB = 45°， OD = 2 ， AD = 4， ADB = 90° .
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AB·AO = AD + DB · AD + DO uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur= AD + AD·DO + DB·AD + DB·DO
= 42 + 4 3π π 2 cos + 0 + 2 2 cos =14 .
4 4
故選：A
uuur uuur
【變式 2-1】已知點(diǎn) A，B，C 均位于單位圓（圓心為 O，半徑為 1）上，且 AB = 2, AB × AC 的最大值為
（ ）
A． 2 B． 3 C． 2 +1 D． 3 +1
【答案】C
uuur uuur uuur
【解析】設(shè)O為圓心，則 | OA |=| OB |=| OC |= 1，因?yàn)?| AB |= 2 ，
uuur2 uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur2 uuur uuur
所以 AB = (OB - OA)2 = OB - 2OBgOA + OA = 2，所以O(shè)BgOA = 0，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 ABgAC = ABg(OC - OA) = ABgOC - ABgOA = ABgOC - (OB - OA)gOA
uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= AB·OC - OB·OA + OA = AB · OC cos AB,OC +1 = 2 cos AB,OC +1，
uuur uuur uuur uuur
因?yàn)?cos AB,OC [-1,1]，所以 (ABgAC)max =1+ 2 .
故選：C.
uuur uuuur uuuur uuur
【變式 2-2】已知 PQ, MN 是半徑為 5 的圓O上的兩條動(dòng)弦， PQ = 6, MN = 8，則 PM + QN 最大值是（ ）
A．7 B．12 C．14 D．16
【答案】C
【解析】
如圖，連接MO,OQ,OP,ON ，作PQ ^ OE ，MN ^ OD ，
易知E 是QP 的中點(diǎn)，D是MN 的中點(diǎn)，由勾股定理得OE = 4，OD = 3，
uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
故PM + QN = OM - OP + ON - OQ = (OM + ON ) - (OP + OQ) = 2(OD - OE)，
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
故 PM + QN = 2 OD - OE 2( OD + OE ) =14，當(dāng)OE,OD 反向時(shí)等號(hào)成立，故 C 正確.
故選：C
題型三：基底法
【典例 3-1】已知VABC 的內(nèi)角 A, B,C π的對(duì)邊分別為 a,b,c，若 A = ， a = 2，D為 AB 的中點(diǎn)，E 為CD3 的
uuur uuur uuur uuur
中點(diǎn)，BC = 3BF ，則 AE × AF 的最大值為 .
13
【答案】 / 2
1
6 6
【解析】因?yàn)镈為 AB 的中點(diǎn)，E 為CD 的中點(diǎn)，
uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur所以 AE = AD AC 1 1 1+ = AB + AC 1 1= AB + AC ,2 2 2 2 4 2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur 1 uuur
因?yàn)锽C = 3BF ，所以 AC - AB = 3(AF - AB)，所以 AF = AB + AC3 3
uuur uuur 1 uuur 1 uuur 2 uuur 1 uuur 1 uuur2 5 uuur uuur uuur2
則 AE × AF = AB + AC
1
÷ × AB + AC ÷ = AB + AB × AC + AC ，
è 4 2 è 3 3 6 12 6
uuur uuur
AE AF 1所以 × = c2
5
+ bc 1 1× + b2 1= b2 + c2 5+ bc .6 12 2 6 6 24
π
因?yàn)?A = , a = 2 2 2
π
，所以由余弦定理得 4 = b + c - 2bc cos ，
3 3
所以b2 + c2 = 4 + bc 2bc，則bc 4，當(dāng)且僅當(dāng)b = c = 2時(shí)，等號(hào)成立，
uuur uuur
AE AF 1 4 bc 5 bc 2 3 bc 2 3 13所以 × = + + = + + = ，
6 24 3 8 3 2 6
當(dāng)且僅當(dāng)b = c = 2時(shí)，等號(hào)成立.
13
故答案為：
6
uuur 1 uuur
【典例 3-2】在VABC 中， A = 60°， BC =1，點(diǎn) D 為 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn) E 為CD 的中點(diǎn)，若BF = BC ，則
3
uuur uuur
AE × AF 的最大值為 .
13
【答案】
24
uuur
【解析】在VABC 中， A = 60°， | BC |=1，點(diǎn)D為 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn)E 為CD 的中點(diǎn)，
uuur r uuur r uuur 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 r 1 r
設(shè) AB = a, AC = b ，則 AE = (AD + AC) = AB + AC = a + b ，2 4 2 4 2
uuur uuur
設(shè) AB = x, AC = y ，
由余弦定理可得1 = x2 + y2 - xy ，
因?yàn)?x2 + y2 2xy，可得1 = x2 + y2 - xy xy ，即 xy 1，當(dāng)且僅當(dāng) x = y 時(shí)取等號(hào)，
uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur r r
又因?yàn)锽F = BC ，則 AF = AB + BC = AB + (AC - AB)
2
= AB 1 AC 2 1+ = a + b ，
3 3 3 3 3 3 3
uuur uuur 1 r 1 r 2 r 1 r 1 r 2 r r r 1 5
則 AE × AF = ( a + b) × ( a + b) = (2a + 5a ×b + 2b 2 ) = (2x2 + 2y2 + xy)
4 2 3 3 12 12 2
1 (9 1 9 13= × xy + 2) ( + 2) = ，
12 2 12 2 24
uuur uuur 13
即 AE × AF 的最大值為 ．24
13
故答案為： ．
24
uuur
【變式 3-1】在VABC 中， A = 60°， | BC |=1，點(diǎn)D為 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn)E 為CD 的中點(diǎn)，若設(shè)
uuur r uuur r uuur r r uuur 1 uuur uuur uuur
AB = a, AC = b ，則 AE可用 a,b表示為 ；若BF = BC ，則 的最大值為 ．3 AE × AF
1 r r
【答案】 a
1 b 13+ ．
4 2 24
uuur
【解析】在VABC 中， A = 60°， | BC |=1，點(diǎn)D為 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn)E 為CD 的中點(diǎn)，
uuur r uuur r uuur 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 r 1 r
由 AB = a, AC = b ，則 AE = (AD + AC) = AB + AC = a + b ，2 4 2 4 2
uuur uuur
設(shè) AB = x, AC = y ，
由余弦定理可得1 = x2 + y2 - xy ，
因?yàn)?x2 + y2 2xy，可得1 = x2 + y2 - xy xy ，即 xy 1，當(dāng)且僅當(dāng) x = y 時(shí)取等號(hào)，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r
又因?yàn)锽F
1 BC AF AB 1 BC AB 1 2 1= ，則 = + = + (AC - AB) = AB + AC
2 1
= a + b ，
3 3 3 3 3 3 3
uuur uuur
AE 1
r 1 r 2 r 1 r 1 r 2 r r r 1 5
則 × AF = ( a + b) × ( a + b) = (2a + 5a ×b + 2b 2 ) = (2x2 + 2y2 + xy)
4 2 3 3 12 12 2
1 (9 xy 2) 1 9= × + ( + 2) 13= ，
12 2 12 2 24
uuur uuur 13
即 AE × AF 的最大值為 ．24
1 ar 1
r 13
故答案為： + b ； ．
4 2 24
【變式 3-2】在VABC π中，M 是邊BC的中點(diǎn)， N 是線段 BM 的中點(diǎn)．若 A = ，VABC6 的面積為 3，則
uuuur uuur
AM × AN 取最小值時(shí)，則 2BC = （ ）
A．2 B．8 3 -12 C．6 D．4
【答案】D
VABC A π 1 π【解析】在 中，由 = 6 ，VABC 的面積為 3，得 3 = AB × AC sin ，則2 6 AB × AC = 4 3
，
uuuur
BC AM 1
uuur uuur
由M 是邊 的中點(diǎn)， N 是線段 BM 的中點(diǎn)，得 = (AB + AC)，
2
uuur 1 uuur uuuurAN (AB AM ) 1
uuur 1 uuur 1 uuur 3 uuur(AB 1
uuur
= + = + AB + AC) = AB + AC ，
2 2 2 2 4 4
uuuur uuur 1 uuur uuur 3 uuur 1 uuur 3 uuur 1 uuur 1 uuur uuur
則 AM × AN = (AB + AC) × ( AB + AC) = | AB |2 + | AC |2 + AB × AC
2 4 4 8 8 2
3 uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= | AB |2 + | AC |2 + | AB || AC | cos π 3 | AB || AC | 3+ | AB || AC | 3= | AB || AC |= 6，
8 8 2 6 4 4 2
uuur uuur uuur uuur
當(dāng)且僅當(dāng) 3 | AB |=| AC |，即 | AB |= 2,| AC |= 2 3時(shí)取等號(hào)，
在VABC 3中，由余弦定理得：BC = AB2 + AC 2 - 2AB × AC cos A = 4 +12 - 2 2 2 3 = 2，
2
所以 2BC = 4 .
故選：D
【變式 3-3】如圖，已知等腰VABC 中， AB = AC = 3， BC = 4，點(diǎn) P 是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，則
uuur uuur uuurAP × AB + AC （ ）
A．為定值 10 B．為定值 6
C．為變量且有最大值為 10 D．為變量且有最小值為 6
【答案】A
uuur uuur
【解析】設(shè)BP = lBC 0 l 1 ，因?yàn)?AB = AC = 3， BC = 4
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur所以 AP × AB + AC = AB + BP × AB + AC = AB + AB × AC + lBC × AB + AC ,
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2 uuur 2 uuur 2又lBC × AB + AC = l AC - AB × AB + AC = l AC - AB = l AC - AB = 0，
AB 2 + AC 2 - BC 2
cosA 9 + 9 -16 1= = = ，
2 AB × AC 2 3 3 9
uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur 2 uuur uuur所以 AP × AB + AC = AB + AB × AC = AB + AB AC cosA 9 3 3 1× = + =10，9
故選：A.
題型四：幾何意義法
r r r r r r r r r
【典例 4-1】已知 a,b,c是同一平面上的 3 個(gè)向量，滿足 a = 3， b = 2 2 ， a × b = -6，則向量 a 與b 的夾角
r r r r π r
為 ，若向量 c - a與 c - b 的夾角為 ，則 c 的最大值為 ．4
3p
【答案】 /135° 58
4
r r r
【解析】因?yàn)?a
r
= 3， b = 2 2 ， a × b = -6，
r
cos ar
r ar,b ×b -6 2所以 = r r = = -a b 3 2 2 2 ，×
r r
又 a
r,b 0, π r 3π，所以 a,b = ，
4
r r r r 3π uuur r uuur r uuur
因?yàn)?a = 3 r， b = 2 2 ， a,b = ，如圖，設(shè)OA = a ，OB = b ，OC = c ，4
r r uuur uuur uuur r r uuur uuur uuur
則 c - a = OC - OA = AC ， c - b = OC - OB = BC ，
r r r r π π 3π
又向量 c - a與 c - b 的夾角為 ，則 ACB = ，又 AOB = ，4 4 4
uuur r
所以O(shè), A, B,C r四點(diǎn)共圓，又 AB = b - a ，
uuur
rAB b ar 2 r r r r 2所以 = - = a2 + b 2 - 2b ×a = 32 + 2 2 - 2 -6 = 29 ，
設(shè)VAOB外接圓的半徑為 R ，
2R AB 29= r
由正弦定理 sin 3π
= = 58
2 ，所以 c 的最大值為 58 .
4 2
3π
故答案為： ；
4 58
r r r r r
【典例 4-2】已知向量 a，b 滿足 a
r 1, b 2 r= = ，則 a + b + a
r
- b 的最小值是 ，最大值是 ．
【答案】 4 2 5
r ra b ar
r r r
【解析】(幾何法)：本題的關(guān)鍵是要挖掘隱含條件: + 和 - b 是以 a , b 為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)
角線，
r r 2 r 2 r 2
故 a + b ar b =2 ar+ - 2（ + b ）=10．
r r r r r r
如圖， a + b 和 a - b 是以 a , b 為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線，A 是以O(shè)為圓心的單位圓上一動(dòng)點(diǎn)，
構(gòu)造 2 個(gè)全等的平行四邊形．
ar
r
b ar
r uuur uuur
所以 + + - b = AB + AC ．
uuur uuur uuur uuur uuur
易知當(dāng) A, B,C 三點(diǎn)共線時(shí)， AB + BC 最小，此時(shí) AB + AC = BC = 4 ;
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
當(dāng) AO ^ BC 時(shí)， AB + BC 最大，此時(shí) AB + BC = 2 AB = 2 5 ．
r r r r
(坐標(biāo)法)：設(shè) a = cosq ,sinq ，b r= 2,0 ，則 a + b = cosq + 2,sinq ar， - b = cosq - 2,sinq ，
r r r
所以 a + b = 5 + 4cosq , a
r
- b = 5 - 4cosq ，
r
r r r
則 a + b + a - b 2 =10 + 2 25 -16cos2 q 16,20 ，
r r r r
所以 4 a + b + a - b 2 5 ．
r r r r r r
(不等式法)：最小值: a + b a
r b ar b ar+ - + - - b = 2b = 4．
r r r r r r(當(dāng)且僅當(dāng) a + b 和 a - b 方向相反，即 a / /b 時(shí)，取“ = ”)．
r 2 r 2
最大值: r r r r a
r r
+ b + a - b r r r r
a + b + a - b 2 = 2 5 ． (當(dāng)且僅當(dāng) a + b = a
r
- b = 5 r，即 a ^ b 時(shí)，取“=”)．
2
ar
r
b x, ar
r
(轉(zhuǎn)化為二元最值問(wèn)題)：令 + = - b = y 原題轉(zhuǎn)化為 x2 + y2 =10 ，且 x, y [1,3]， 求 t = x+y的最值．
方法 1(數(shù)形結(jié)合):直線 t = x+y與圓弧 x2 + y2 =10且x, y [1,3]有交點(diǎn)，如圖可得 4 t 2 5 ．
方法 2(判別式法): x2 + (t - x)2 =10化簡(jiǎn)得 2x2 - 2tx + t 2 -10 = 0,得Δ = 4t 2 -8(t 2 -10) 0 ，所以 4 t 2 5 ．
故答案為： 4； 2 5
uuur uuur uuur
【變式 4-1】（2024·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測(cè)）已知 O 是VABC 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且 AB = 2 ，OA × AC = -1，
uuur uuur
OC × AC =1，則 ABC 的最大值為（　　）
π π π π
A． B． C． D．
6 4 3 2
【答案】B
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2
【解析】根據(jù)OA × AC = -1，OC × AC =1可得OC × AC - OA × AC = OC - OA × AC = AC = 2 ，
uuur
即可得 AC = 2 ；
即可知C 點(diǎn)軌跡是以A 為圓心，半徑為 2 的圓，如下圖所示：
由圖可知，當(dāng)BC與圓相切時(shí)， ABC 取到最大，
uuur uuur
又 AB = 2 ， AC = 2
π
可知此時(shí) ABC = .
4
故選：B.
r r r r r r r r r r r
【變式 4-2】已知平面向量 a ，b ， e，且 e =1， a = 2 .已知向量b 與 e所成的角為 60°，且 b - te b - e
r r 1 r r
對(duì)任意實(shí)數(shù) t 恒成立，則 a + e + a - b 的最小值為（
2 ）
A． 3 +1 B． 2 3 C． 3 + 5 D． 2 5
【答案】B
r r r r r
【解析】根據(jù)題意，b ×e = b × e cos 60
1
° = b ，
2
r
b ter
r r r
b er b |2 t 2 er |2 2tb er
r r r r r r
- - + - × b |2 + e |2，兩邊平方 -2b ×e 2，整理得到 t - b t -1+ b 0，
r r r r
對(duì)任意實(shí)數(shù) t 恒成立，則Δ =| b |2 -4 -1+ b 0 2，解得 ( b - 2) 0，則 | b |= 2 .
ar 2 r r 1 r r r r 1 r
r 1 r r 1 r r 1 r r 1 r r
由于 = ，如上圖， a + e = a + 2e ，則 a + e + a - b = a + 2e + a - b ( a + 2e) - ( a - b)
2 2 2 2 2 2
r r 2 r r r 1 r r
= 2er r+ b = 2e + b = 8 + 4b ×er = 2 3 ，則 a + e + a - b 的最小值為 2 3 ．2
r r
當(dāng)且僅當(dāng)-2e,b ,
1 ar終點(diǎn)在同一直線上時(shí)取等號(hào).
2
故選：B．
r r r r r r π r
【變式 4-3】已知 a,b,e是平面向量，且 e是單位向量，若非零向量 a 與 e的夾角為 ，向量4 b
滿足
r r r r r2 a b ar erb - 4e ×b + 3 = 0，則 - + - 的最小值是（ ）
A． 5 - 2 B． 5 -1 C．2 D． 5
【答案】B
r r r r r r r r r r2
【解析】由b - 4e ×b + 3 = 0 b 2 - 4e ×b 3e
r2 0 b er b 3er 0, b er b 3er+ = - × - = \ - ^ - ，
uuur r uuur r uuur r uuur
設(shè)OA = e,OB = b,OC = a，以O(shè)為原點(diǎn)，OA的方向?yàn)?x 軸正方向，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
由 r rb er- ^ b - 3er ，得點(diǎn) B 在以D 2,0 為圓心，以 1 為半徑的圓上，
r r π r r
又非零向量 a 與 e的夾角為 ，設(shè) a 的起點(diǎn)為原點(diǎn)，則 a 的終點(diǎn)在不含端點(diǎn)O的兩條射線 y = ±x x > 0 上，4
設(shè)C x,-x ，
r uuur uuur uuur uuur uuur uuur
則 a
r r r
- b + a - e = BC + AC 的最小值為 CD -1+ AC = CD + AC -1
uuur uuur
CD + AC = x -1 2 + x2 + x - 2 2 + x2 = 2x2 - 2x +1 + 2x2 - 4x + 4

2 2 1 2

= x - x + + x - 2x + 22 ÷÷è ，
2 2
= 2 x 1- + 0 1- + x -1 2 + 0 -1 2 ÷ ÷ è 2 è 2 ÷è ÷
表示點(diǎn) x,0 1 1 到 , ÷和 1,1 的距離之和的最小值的 2 倍，
è 2 2
1 2 2 1
則最小值為 2 -1÷ + +12 2 ÷
= 5 ，
è è
uuur uuur\ CD + AC -1 = 5 -1
min
故選：B.
r r r r r r r r 1 r r r r
【變式 4-4】（2024·山東青島·三模）已知向量 a，b ， c滿足 a = b =1， a × (a - b) = ， b - c ^ 3b - c2 ，
r r
則 a - c 的最小值為（ ）
A． 3－1 B． 3 C．2 D．1
【答案】A
r uuur r uuur r uuur
【解析】由題意設(shè)b = OB = (1,0) ， a = OA = (m, n)， c = OC = (x, y)，
則 m, n · m -1, n 1= ，即 (m 1- )2 + n2 3= ，且m2 + n 2 =1，2 2 4
m 1 3 3解得 = ， n = 或 n = - .2 2 2
r r由 b - c ^ r r r r r r3b - c 可得 b - c × 3b - c = 0 ，即 (1- x, -y) × (3 - x,-y) = (x - 2)2 + y2 -1 = 0 ，
r
則 (x - 2)2 + y2 =1，即 c的終點(diǎn)C 在以D(2,0) 為圓心，1 為半徑的圓上,
r r uuur
故 a - c = CA .
3 r 1 3
由圓的對(duì)稱性，不妨令 n = ，即 a = ( , )，
2 2 2
如圖，連接 AD ，交圓于E ，
uuur uuur 1
由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可知， CA AE = AD - DE = ( - 2)2 3+ ( )2 -1 = 3 -1 .
2 2
故選：A.
題型五：坐標(biāo)法
【典例 5-1】（2024·河北滄州·一模）如圖，在等腰直角VABC 中，斜邊 AB = 4 2 ，點(diǎn)D在以 BC 為直徑的
uuur uuur
圓上運(yùn)動(dòng)，則 | AB + AD |的最大值為（ ）
A． 4 6 B．8 C．6 3 D．12
【答案】D
【解析】如圖：以C 為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系.
則 A 0,4 ，B 4,0 ，可設(shè)D 2 + 2cosq , 2sinq ，
uuur uuur
則 AB = 4, -4 ， AD = 2 + 2cosq , 2sinq - 4
uuur uuur
所以 AB + AD = 6 + 2cosq , 2sinq -8
uuur uuur 2
所以 AB + AD = 6 + 2cosq 2 + 2sinq -8 2 =104 + 8 3cosq - 4sinq .
uuur uuur 2 uuur uuur
又因?yàn)?cosq - 4sinq 5，所以 AB + AD 144 AB + AD 12 .
故選：D
uuuur uuuur uuur uuur uuuur
【典例 5-2】已知 | AM |= 2， AM = 2MB ，若動(dòng)點(diǎn) P，Q 與點(diǎn) A，M 共面，且滿足 | AP |=| AM |，
uuur uuuur uuur uuuur
| BQ |=| BM |，則MP × MQ的最大值為（ ）
A．0 B 1． 2 C．1 D．2
【答案】C
【解析】以點(diǎn)M 為原點(diǎn)，直線 AB 為 x 軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則 A(-2,0), B(1,0) ，
uuur uuuur
由 | AP |=| AM |= 2，得點(diǎn) P 在以A 為圓心，2 為半徑的圓 (x + 2)2 + y2 = 4 上，
uuur uuuur
由 | BQ |=| BM |=1，得點(diǎn)Q在以 B 為圓心，1 為半徑的圓 (x -1)2 + y2 =1上，
設(shè)P(-2 + 2cosa , 2sina ),Q(1+ cos b ,sin b )，
uuur uuuur
則MP × MQ = (-2 + 2cosa )(1+ cos b ) + 2sina sin b
= 2cosa cos b + 2sina sin b + 2 cosa - cos b - 2
2cos a b é a + b a - b a + b a - b ù= - + 2 êcos

+

2 2 ÷
- cos -
è è 2 2 ÷ ú
- 2

= -4sin2 a - b 4sin a + b sin a - b- = -(2sin a - b + sin a + b )2 sin2 a + b+ sin2 a + b 1，
2 2 2 2 2 2 2
a π當(dāng) = , b
2π
= 時(shí)，能取到所有等號(hào)，
3 3
uuur uuuur
所以MP × MQ的最大值為 1.
故選：C
【變式 5-1】在梯形 ABCD中， AB / /CD ， AB = 2 ， AD = 2 ，CD =1， BAD = 45 o， P ，Q分別為線
uuur uuur
段 AD 和線段 AC 上（包括線段端點(diǎn)）的動(dòng)點(diǎn)，則 AP × AQ 的最大值為（ ）
A． 2 5 B． 2 2 C． 10 D．3
【答案】D
【解析】
以 AB 為 x 軸，過(guò) A 垂直于 AB 的直線為 y 軸，
因?yàn)?AD = 2, DAB = 45°，所以D 1,1 ,
因?yàn)镃D =1, AB = 2, DAB = 45°，所以C 2,1 ,
uuur uuur uuur uuur
AP = l AD,0 l 1, AQ = t AC,0 t 1,
uuur uuur uuur uuur
AP·AQ = l AD·t AC = lt 1,1 · 2,1 = lt 2 +1 = 3lt ,
uuur uuur
當(dāng)l = t =1時(shí)， AP·AQ 的最大值為 3.
故選：D.
π
【變式 5-2】在△ABC 中，BC＝2， BAC = ，D 為 BC 中點(diǎn)，在△ABC 所在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn) P 滿足
3
uur uuur uuur uuur uuur uuur
PB × PD = PC × PD ，則 AP × BC 的最大值為（　　）
A 3 B 2 3． ． C 4 3． 3 D．
3 3 3
【答案】D
uur uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur
【解析】由PB × PD = PC × PD ，得PD × (PC - PB) = 0 ，即PD × BC = 0 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AP × BC = (AD - PD) × BC = AD × BC - PD × BC = AD × BC ．
因?yàn)锽C = 2， BAC
π
= ，所以點(diǎn) A 在以 BC 為弦的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)）．
3
設(shè)B AC 所在圓的圓心為 M，連接 MB、MC、MD，
2π BD 3 BD 2 3
則 MD⊥BC， BMC = MD = = , BM = =，可得BD =1， ， ．
3 tan π 3 sin π 3
3 3
以 B 為原點(diǎn)，BC 所在直線為 x 軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，
2
可得C 2,0 , D 1,0 , M 3 1, ÷÷，圓 M 的方程為 x -1
2 3 4+ y - ÷÷ =3 ，è è 3 3
uuur uuur
設(shè) A m, n ，則 AD = 1- m,-n ，結(jié)合BC = 2,0 ，
uuur uuur
可得 AD × BC = 2 1- m + 0 = 2 - 2m，
2
2 3 A M x 1 4因?yàn)?點(diǎn)在圓 ： - + y - ÷÷ = 上運(yùn)動(dòng)，
è 3 3
1 2 3 m 1 2 3 m 1 2 3 2 2m 2 2(1 2 3 ) 4 3所以 - + ，可得當(dāng) = - 時(shí)， - = - - = ，達(dá)到最大值．
3 3 3 3 3
2 3 uuur uuur 4 3
綜上所述，當(dāng)m =1- 時(shí)， AD × BC 有最大值 ．
3 3
故選：D．
uuur uuur
【變式 5-3】在DABC 中， AB = 2BC = 2，∠B = 90o ， P 是以 AB 為直徑的圓上任意一點(diǎn)，則 AC × AP 的最
大值是（ ）
A． 5 + 2 B． 2 5 - 2 C． 2 5 D． 4
【答案】A
【解析】如圖：以 AB 中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，
則 A 0,1 ，C 1, -1 ，設(shè)P cosa ,sina ，a [0, 2π)，
uuur uuur
所以 AC = 1,-2 ， AP = cosa ,sina -1 ，
uuur uuur
所以 AC × AP = 1, -2 × cosa ,sina -1 = cosa - 2sina + 2 .
因?yàn)?cosa - 2sina = 5 cos a +j ，（其中j 0, π 且 tanj = 2）.
所以 cosa - 2sina = 5 cos a +j 5 .
uuur uuur
從而 AC × AP 5 + 2 .
故選：A
題型六：極化恒等式
π uuur uuur uuur r
【典例 6-1】已知VABC 中，BC = 4，A = ，若VABC 所在平面內(nèi)一點(diǎn)D滿足DB + DC + 2DA = 0，則3
uuur uuur
DB × DC 的最大值為 .
【答案】 -1
【解析】如圖，設(shè)BC中點(diǎn)為E ，
uuur uuur uuur r
因?yàn)镈B + DC + 2DA = 0，
uuur uuur uuur uuur
所有DA
1
= - DB + DC = -DE ，2
所以D為 AE 中點(diǎn)，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2 uuur2所以DB × DC = DE + EB × DE + EC = DE + EB × DE - EB = DE - EB = DE - 4 ,
又BC 2 = AB2 + AC 2 - 2AB × AC ×cos BAC ，
AB2 + AC 2 AB2 + AC 2
所以16 = AB2 + AC 2 - AB × AC AB2 + AC 2 - = ，
2 2
即 AB2 + AC 2 32，當(dāng)且僅當(dāng) AB = AC = 4時(shí)等號(hào)成立，
uuur 1 uuur uuur 22AE = é AB + AC ù 1 uuur2 uuur uuur uuur2 1 uuur2 uuur uuur uuur2又 ê ú = AB + 2AB × AC + AC = 2 4 4 AB + AB × AC + AC
uuur 2 uuur 2
1 uuur2 AB + AC uuur

2 ÷ 1 32 AB + + AC ÷ = 32 + ÷ =12，當(dāng)且僅當(dāng) AB = AC 時(shí)等號(hào)成立，4 2 ÷ 4 è 2
è
所以 AE 2 3
uuur uuur uuur2 2所以DB × DC = DE - 4 3 - 4 = -1.
故答案為： -1 .
π uuur uuur uuur uuur uuur
【典例 6-2】在VPAB 中， AB = 2 3, APB = ，點(diǎn) Q 滿足PQ = 2(QA + QB)，則QA ×QB 的最大值
3
為 .
66
【答案】-
25
uuur uuur uuur uuur uuuur uuuur
QM 1
uuuur
【解析】設(shè) AB 中點(diǎn)為 M，則PQ = 2(QA + QB) QP = 4MQ ，則 = PM ，
5
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
QA ×QB = (QM + MA) × (QM + MB) = (QM + MA) × (QM - MA)
uuuur 2 uuur 2 1 uuuur 2 uuur 2
= QM - MA = PM - MA ，
25
uuuur 2 1 uuur 1 uuur
2
1 uuur 2 uuur 2 uuur uuur又 PM = PA + PB ÷ = PA + PB + 2 PA × PB cos APBè 2 2 4
1 uuur 2 uuur 2 uuur uuur= PA + PB + PA × PB ，4
由余弦定理可得：
uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur uuur uuur 2 uuur 2 uuur uuur
AB = PA + PB - 2 PA × PB cos APB = PA + PB - PA × PB =12，
uuur 2 uuur 2 uuur uuur
有 PA + PB = PA × PB +12，
uuur uuur uuur 2 uuur 2 uuur uuur
即 PA × PB +12 = PA + PB 2 PA × PB ，
uuur uuur uuur uuur
即 PA × PB 12，當(dāng)且僅當(dāng) PA = PB 時(shí)，等號(hào)成立，
uuuur 2 1 uuur 2 uuur 2 uuur uuur 1 uuur uuur則 PM = PA + PB + PA × PB = 12 1+ 2 PA × PB 12 + 2 12 = 9，4 4 4
uuur uuur 1 uuuur 2 uuur 2
即QA ×QB = PM
1 66
- MA 9 - 3 = - .
25 25 25
66
故答案為：- .
25
uuur uuur
【變式 6-1】在邊長(zhǎng)為 2 的正方形 ABCD中，動(dòng)點(diǎn) P，Q 在線段BD上，且 PQ = 2，則 AP × AQ的最小值為
（ ）
A．2 B． 2 C．1 D
1
． 2
【答案】C
【解析】方法一：設(shè) PQ的中點(diǎn)為M ，
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur則 AP × AQ = AM + MP × AM + MQ
uuuur2 uuur2
= AM - MP
uuuur 2
= AM -1 2 -1 =1（當(dāng)M 為BD中點(diǎn)時(shí)取等號(hào)）.
方法二：建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)P a, 2 - a ，
因?yàn)樵谶呴L(zhǎng)為 2 的正方形 ABCD中，動(dòng)點(diǎn) P，Q 在線段BD上，且 PQ = 2，
所以Q a + 2, 2 - 2 - a ， a é 0,2 - 2 ù ，
uuur uuur
所以 AP × AQ = a, 2 - a × a + 2,2 - 2 - a
= a a + 2 + 2 - a 2 - 2 - a
2

= 2a2 - 4 - 2 2 a 2 - 2+ 4 - 2 2 = 2 a - 2 ÷÷ +1，è
2 - 2 uuur uuur
所以當(dāng) a = 時(shí)， AP × AQ有最小值 1.
2
故選：C.
uuur uuur
【變式 6-2】點(diǎn) P 是邊長(zhǎng)為 1 的正六邊形 ABCDEF 邊上的動(dòng)點(diǎn)，則PA × PB 的最大值為（ ）
11 13
A．2 B． C．3 D．
4 4
【答案】C
【解析】分別取 AB ，DE 中點(diǎn) Q，R，連接 PQ，QR ，
QA 1則由題 = ，BD22 = DC
2 + BC 2 - 2DC BC cos BCD =1+1- 2 1 1 cos120o = 3，即BD = 3 ，
所以QD = QB2 + BD2 1 3 13 13= + = = ，
4 4 2
作圖如下，由圖可知當(dāng) P 運(yùn)動(dòng)到 D 或 E 時(shí) PQ 最大，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur所以PA × PB = PQ + QA × PQ + QB = PQ + QA × PQ - QA
uuur2 uuur2 uuur2 uuur2
= PQ - QA = PQ 1 1- QD - = 3，
4 4
uuur uuur
所以PA × PB 的最大值為 3.
故選：C.
【變式 6-3】勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩
個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形．在如圖所示的勒洛三角形中，已知
uuur uuur
AB = 2, P為弧 AC （含端點(diǎn)）上的一點(diǎn)，則BP ×CP的范圍為 ．
【答案】 0,2
【解析】取BC中點(diǎn)為O，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur則BP ×CP = PB × PC = PO + OB × PO + OC = PO + OB × PO - OB
uuur2 uuur2 uuur2
= PO - OB = PO -1，
uuur uuur uuur
其中易得 PO é 1, 3ù ，故BP ×CP 0,2 ．
故答案為： 0,2 .
【變式 6-4】（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里
慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以在高處俯瞰四周景色．如圖，某摩天輪的最高點(diǎn)距離地面的高度為 12，轉(zhuǎn)盤(pán)的直徑為
uuur uuur
10，A，B 為摩天輪在地面上的兩個(gè)底座， AB =10，點(diǎn) P 為摩天輪的座艙，則PA × PB 的范圍為 ．
【答案】 -21,119
【解析】設(shè) C 為 AB 的中點(diǎn)，如圖示：由題意可知： 2 | PC | 12 ,
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur
則PA × PB = PC + CA × PC + CB = PC 2 - CB2 = PC 2 - 52，
uuur
又因?yàn)?PC 2,12 uuur uuur，所以PA × PB 的取值范圍是 -21,119 ,
故答案為： -21,119
題型七：矩形大法
【典例 7-1】已知圓C : x21 + y
2 = 9 與C 22 : x + y
2 = 36 ，定點(diǎn) P(2,0)，A、B 分別在圓C1 和圓C2 上，
滿足 PA ^ PB，則線段 AB 的取值范圍是 ．
【答案】[ 41 - 2, 41 + 2]
【解析】以 PA, PB為鄰邊作矩形 PAQB ，則 | AB |=| PQ |
| OP |2 + | OQ |2 =| OA |2 + | OB |2由 得
| OQ |2 +4 = 9 + 36，即 | OQ |= 41 ，
Q的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為 41 的圓，
| PM |= 41 - 2, | PN |= 41 + 2，
\| AB |=| PQ | [ 41 - 2, 41 + 2]．
uuur uuuur uuur uuuur
【典例 7-2】在平面內(nèi)，已知 AB1 ^ AB2 ，OB1 = OB2 =1，
uuur uuur uuuur uuur 1 uuurAP = AB1 + AB2 ，若 | OP | ，則 | OA |的取值范圍是（ ）2
A． (0, 5 ] 5 7 5 7 B． ( , ] C． ( , 2] D． ( , 2]
2 2 2 2 2
【答案】D
uuur uuur uuuur
【解析】因?yàn)?AP = AB1 + AB2 ，
所以四邊形 AB1PB2 是平行四邊形，
uuur uuuur
又 AB1 ^ AB2 ，所以四邊形 AB1PB2 是矩形，
uuur uuur uuur uuuur uuur uuur
從而 | OA |2 + | OP |2 =| OB 2 21 | + | OB2 | = 2 ，因?yàn)?| OP |
1 7
，所以 | OA |2 2 ，即
2 4
7 uuur
| OA | 2.
2
uuuur uuur
【變式 7-1】已知圓Q : x2 + y2 = 16，點(diǎn)P 1,2 ，M、N 為圓 O 上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且PM × PN = 0若
uuur uuuur uuur uuur
PQ = PM + PN ，則 PQ 的最小值為_(kāi)_____．
【答案】3 3 - 5 / - 5 + 3 3
uuuur uuur
【解析】解法 1：如圖，因?yàn)镻M × PN = 0，所以 PM ^ PN ，故四邊形PMQN 為矩形，
設(shè)MN 的中點(diǎn)為 S，連接OS ，則OS ^ MN ，
OS 2所以 = OM
2 - MS 2 = 16 - MS 2 ，
又VPMN 2為直角三角形，所以 MS = PS ，故 OS = 16 - PS 2 ①，
設(shè) S x, y 2 2，則由①可得 x + y = 16 - é x -1
2 + y - 2 2 ù ，
1
2
2 27
整理得： x - ÷ + y -1 = ，
è 2 4
1
從而點(diǎn) S 的軌跡為以T ,1
3 3
2 ÷ 為圓心， 為半徑的圓，è 2
3 3 3 3 5
顯然點(diǎn) P 在該圓內(nèi)部，所以 PS = - PT = -min ，2 2 2
uuur uuur
因?yàn)?PQ = 2 PS ，所以 PQ = 3 3 - 5min ；
uuuur uuur
解法 2：如圖，因?yàn)镻M × PN = 0，所以 PM ^ PN ，
故四邊形PMQN 2 2 2 2為矩形，由矩形性質(zhì)， OM + ON = OP + OQ ，
所以16 +16 = 5 + OQ
2
，從而 OQ = 3 3，
故 Q 點(diǎn)的軌跡是以 O 為圓心，3 3為半徑的圓，
uuur
顯然點(diǎn) P 在該圓內(nèi)，所以 PQ = 3 3 - OP = 3 3 - 5min ．
故答案為： 3 3 - 5 ．
r r r r r r 1 r r
【變式 7-2 r】設(shè)向量 a，b ， c 滿足 | a |=| b | 1 r r= ， a ×b = ， (a - c) r× (b - c) = 0，則 | c |的最小值是（ ）2
A 3 +1 3 -1． B． C． 3 D．1
2 2
【答案】B
r r 3 1
【解析】建立坐標(biāo)系，以向量 ar r，b 的角平分線所在的直線為 x 軸，使得 a，b 的坐標(biāo)分別為 , ，
è 2 2 ÷
÷

3 , 1

-
r
÷÷，設(shè) c 的坐標(biāo)為 x, y 2 2 ，è
r r r
因?yàn)?(a - c) × (b cr- ) = 0，
3 1 3 1
2

所以 - x, - y ÷÷ × - x, - - y = 0
3 1
÷÷ ，化簡(jiǎn)得2 2 2 2
x - ÷ + y2 = ，
è è 2 ÷è 4
3
表示以 ,0
1
÷÷為圓心， 2 為半徑的圓，è 2
則 | c
r |的最小值表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值，
3 3 1
因?yàn)閳A到原點(diǎn)的距離為 ，所以圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為 - ，
2 2 2
故選：B
題型八：等和線、等差線、等商線
uuur 1 uuur uuur uuur uuur
【典例 8-1】如圖，在VABC 中， AN = NC ， P 是線段BN 上一點(diǎn)，若
3 AP = mAB + nAC
，則mn 的最大值
為 .
1
【答案】
16
uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【解析】因?yàn)?AN = NC ,所以 AC = 4AN , AP = mAB + nAC = mAB + 4nAN ,
3
因?yàn)?P, B, N 在一條直線上，所以m + 4n =1, m > 0, n > 0 ,
1 1
所以m + 4n 2 4mn ,1 4 mn , mn ,當(dāng)且僅當(dāng)m = 4n = 時(shí)取等號(hào)，
16 2
所以mn
1
的最大值為 .
16
1
故答案為： .
16
uuur uuur uuur uuur uuur
【典例 8-2】（多選題）（2024·遼寧葫蘆島·二模）已知向量OA,OB,OP 滿足 | OA |=1， | OB |= 2，
uuur uuur uuur uuur uuur
OA ×OB = 0 ， OP = lOA + mOB .則下列說(shuō)法正確的是（ ）
uuur
A．若點(diǎn) P 在直線 AB 上運(yùn)動(dòng)，當(dāng) l m 取得最大值時(shí)， | OP |的值為 5
uuur uuur
B 5．若點(diǎn) P 在直線 AB 上運(yùn)動(dòng)， OA在OP 上的投影的數(shù)量的取值范圍是 (- ,1]
5
C 2 5
uuur
．若點(diǎn) P 在以 r = 為半徑且與直線 AB 相切的圓上， | OP |取得最大值時(shí)，l + m 的值為 3
5
D 2 5．若點(diǎn) P 在以 r = 為半徑且與直線 AB 相切的圓上，l + m 的范圍是[-1,3]
5
【答案】BD
uuur uuur uuur uuur
【解析】因?yàn)镺A ×OB = 0 ，即有OA ^ OB，則以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA,OB的方向分別為 x, y 軸的正方向，
建立平面直角坐標(biāo)系，
uuur uuur uuur
則 A(1,0), B(0, 2)，由OP = lOA + mOB，得P(l,2m)，
點(diǎn) A, B
x y
確定的直線 l方程為： + = 1，即 2x + y = 2，
1 2
當(dāng)點(diǎn) P 在直線 l上時(shí)， 2l + 2m = 2，即m =1- l ，lm = l(1
1 1
- l) = -(l - ) + ，
2 4
uuur
因此當(dāng)m = l
1 1
= 時(shí)， l m 取得最大值 ，此時(shí)P(
1 ,1)， | OP |= (1)2 +12 5= ，A 錯(cuò)誤；
2 4 2 2 2
uuur uuur
uuur uuur OA ×OP l l
OA在OP 上的投影的數(shù)量m = uuur = =| OP | l 2 + (2m)2 5l 2
，
-8l + 4
m 1= 1
當(dāng)l = 0時(shí)，m = 0，當(dāng)l > 0時(shí)， ( 2
l = 1 0 m 1
- 2)2 +1 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，即 ，
l
m 1 5= - > - 4 8
l 0 - + 5 > 5 5當(dāng) 時(shí)， 4 8 5 ，因?yàn)?2 恒成立，則- m 0 ，
l 2
- + 5 l l 5
l
5 uuur uuur 5
所以- m 1，即OA在OP 上的投影的數(shù)量的取值范圍是 (- ,1]，B 正確；
5 5
當(dāng)點(diǎn) P 在以 r = 2 5 為半徑且與直線 AB 相切的圓上時(shí)，因?yàn)榕c直線 AB 相切，
5
2 5 2 5
且半徑為 的圓的圓心軌跡是與直線 AB 平行，到直線 AB 距離為 的兩條平行直線，
5 5
| t - 2 | 2
設(shè)這兩條與 AB 平行的直線方程為 2x + y = t, t 2，則 =2 2 5 ，解得
t = 4或 t = 0，
2 +1
因此動(dòng)圓圓心的軌跡為直線 l1 : 2x + y = 4或直線 l2 : 2x + y = 0，
2 2 4
設(shè)圓心為 (a , b ) ，則點(diǎn) P 在圓 (x - a) + (y - b) = 上，其中 2a + b = 4或 2a + b = 0 ，
5
ì 2
l = a + cosq 5
于是令 í (q R)，
2m = b 2+ sinq
5
uuur
| OP |= (a 2+ cosq )2 (b 2+ + sinq )2 = a2 + b2 4 4+ + (a cosq + bsinq )
5 5 5 5
a2 + b2 4 4 2+ - a2 + b2 =| a2 + b2 - |，顯然點(diǎn) (a , b ) 是直線 l1或 l2上任意一點(diǎn)，5 5 5
uuur
即 a,b R ，從而 a2 + b2 無(wú)最大值，即 | OP |無(wú)最大值，C 錯(cuò)誤；
l m a b 2+ = + + cosq 1+ sinq = a b+ + sin(q +j)，其中銳角j2 2 滿足
tanj = 2，
5 5
顯然-1 sin(q +j) 1，當(dāng)圓心 (a , b ) 在直線 l2時(shí)， 2a + b = 0 ，則l + m = sin(q +j) [-1,1]，
當(dāng)圓心 (a , b ) 在直線 l1時(shí)， 2a + b = 4，則l + m = 2 + sin(q +j) [1,3]，
所以l + m 的范圍是[-1,3]，D 正確.
故選：BD
uuur uuur
【變式 8-1】如圖所示， B 是 AC 的中點(diǎn)，BE = 2OB, P 是平行四邊形BCDE 內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，且
uuur uuur uuur
OP = xOA + yOB x, y R ，則當(dāng) y = 2時(shí)， x 的范圍是 .
【答案】 -1,0
【解析】如圖，過(guò) P 作PM / / AO ，交OE于M ，作PN / /OE ，交 AO 的延長(zhǎng)線于 N ，
uuur uuur uuuur
則：OP = ON + OM ，
uuur uuur uuur
又因?yàn)镺P = xOA + yOB， y = 2，則點(diǎn)M 為 BE 中點(diǎn)，
又 B 是 AC 的中點(diǎn)，所以CM //OA，則點(diǎn) P 在CM 上，
uuur uur uuur
由圖形看出，當(dāng) P 與C 重合時(shí)：OP = -OA + 2OB ，此時(shí) x 取最小值 -1，
uuur uur uuur
當(dāng) P 與M 重合時(shí)：OP = 0 ×OA + 2OB，此時(shí) x 取最大值 0，
所以 x 的范圍是 -1,0
故答案為： -1,0
3π uuur uuur uuur
【變式 8-2】如圖，點(diǎn)C 是半徑為1的扇形圓弧 AB 上一點(diǎn)，且 AOB = 4 ，若OC = xOA + yOB，則
x + 2y 的最大值是（ ）
A．1 B 5． C． 10 D．4
2
【答案】C
【解析】
如圖所示，以O(shè)B為 x 軸，過(guò)O作與OB垂直的線作為 y 軸，
3π uuur uuur Q 2 2 AOB = ， OA = OB =1，\ A - , ÷÷，B 1,0 4 ，è 2 2
uuur 2 2 uuur
則OA = - , ÷÷，OB = 1,0 ，
è 2 2
設(shè)C cosq ,sinq ,q éê0,
3π ù
ú ， 4
uuur
OC cosq ,sinq x 2 , 2

= = - ÷÷ + y 1,0
2 x y, 2=
2 2
- + x ÷÷
è è 2 2
ì
cosq 2 = - x + y ì
\ 2í ，\
x = 2 sinq
í ，
y = cosq + sinq
sinq
2
= x
2
\ x + 2y = 2 sinq + 2 cosq + sinq = 2 2 sinq + 2 cosq = 10 sin q +j ，
tanj 1= tanj 1 3 tan π
π
其中 ，又 = = 0 j 2 ，所以 ，2 3 6 6
\sin q +j =1 π，即q +j = 時(shí)， x + 2y 取得最大值，即 x + 2y = 10 ．
2 max
故選：C．
uuur uuur uuur
【變式 8-3】如圖，邊長(zhǎng)為 2 的等邊三角形的外接圓為圓 O，P 為圓 O 上任一點(diǎn)，若 AP = xAB + y AC ，則
x + y 的最大值為（ ）
8 4
A． B．2 C． D．1
3 3
【答案】C
【解析】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O平行于 AB 的直線為 x 軸建立平面直角坐標(biāo)系，
A( 1, 3 ), B(1, 3 ),C(0, 2 3如圖所示，可得 - - - ) ，
3 3 3
因?yàn)閂ABC 2 3是邊長(zhǎng)為 2 的等邊三角形，可得其外接圓的半徑為R = ，
3
2 3 2 3
因?yàn)辄c(diǎn) P 在VABC 的外接圓上，設(shè)P( cosq , sinq )，其中q [0, 2π)，
3 3
uuur 2 3 uuur uuur
則 AP = ( cosq +1, 2 3 sinq 3+ )，且 AB = (2,0), AC = (1, 3)，
3 3 3
uuur uuur uuur
又因?yàn)?AP xAB y AC 2 3 2 3 3= + ，可得 2x + y = cosq +1且 3y = sinq + ，
3 3 3
2x 2 3 2 1 4 π 4所以 + 2y = cosq +1+ sinq + = sin(q + ) + ，
3 3 3 3 3 3
π π π 8
當(dāng)q + = 時(shí)，即q = 時(shí)， 2x + 2y 取得最大值為 ，
3 2 6 3
所以 x + y
4
取得最大值為 .
3
故選：C.
【變式 8-4】（2024·河北滄州·三模）對(duì)稱美是數(shù)學(xué)美的重要組成部分，他普遍存在于初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)
的各個(gè)分支中，在數(shù)學(xué)史上，數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力.如圖，在等邊VABC 中， AB = 2 ，以三條邊為直徑
uuuur uuur uuur
向外作三個(gè)半圓，M 是三個(gè)半圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)，若BM = l AB + m AC ，則l + m 的最大值為（ ）
A 1
3
． 2 B
3
． C．1 D．
3 2
【答案】B
【解析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)M 作MP / /BC ，交直線 AB, AC 于點(diǎn)P,Q ，
uuuur uuur uuur
設(shè) AM = xAP + y AQ，可得 x + y = 1 .
uuur uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur
設(shè) AP = k AB， AQ = k AC ，則BM = AM - AB = kx -1 AB + ky AC ，
uuuur uuur uuur
因?yàn)锽M = l AB + m AC ，所以l + m = kx -1+ ky = k -1，
由圖可知，當(dāng)PM 與半圓BC相切時(shí)， k 最大，
1 2 3
又由 AB = 2 BE = = 2 3 6 + 2 3， ，可得 ，
sin π 3 AE = 2 + =
3 3 3
AE 3+ 3
所以 k = = ，即 k 3 + 3最大為 ，所以l + m 3的最大值為 .
AB 3 3 3
故選：B.
【變式 8-5】平行四邊形 ABCD中， AB = 2 ， AD =1，以 C 為圓心作與直線 BD 相切的圓，P 為圓 C 上且
uuur uuur uuur
落在四邊形 ABCD內(nèi)部任意一點(diǎn)， AP = l AB + m AD，若l + m > 1，則角A 的范圍為（ ）
π π π π π π A． 0, ÷ B． 0, ÷ C． ,6 è 3 6 3 ÷
D． , ÷
è è è 3 2
【答案】B
uuur uuur uuur
【解析】由 AP = l AB + m AD，當(dāng) P 在直線BD上時(shí)，l + m =1，
當(dāng)圓C 與BD的切點(diǎn)在DB延長(zhǎng)線上時(shí)，圓C 落在四邊形 ABCD內(nèi)部部分與直線DB沒(méi)有公共點(diǎn)，此時(shí)
l + m > 1，
當(dāng)恰好切于點(diǎn) B 時(shí)，則 DBC
π
= ，又CD = AB = 2，BC = AD = 12 ，
cos BCD BC 1 π所以 = = ，則 BCD = ，
CD 2 3
π π π
所以 DBC > 0 BCD

，則 ，故 A 0, .
2 3 ֏ 3
故選：B
題型九：平行四邊形大法
1
【典例 9-1 】如圖，圓O是半徑為 1 的圓，OA = ，設(shè) B ，C 為圓上的任意 2 個(gè)點(diǎn)，則 AC× BC 的取值范圍2
是___________.
é 1
【答案】 ê- ,3
ù
8 ú
【解析】連接OA，OB，設(shè)D是線段BC的中點(diǎn)，連接OD，則有OD ^ BC .
設(shè)q 為OA和BC 的夾角.

則 AC× BC = OC- OA

÷ × BC = OC× BC- OA× BC
è
2
= OC × BC ×cos BCO - OA × BC ×cosq 1 1= BC - BC cosq ，
2 2
1 2 1 2 uuur 2BC - BC cosq 1 1 BC - BC 1 BC 1 1= -
2 2 2 2 2 2 ÷
- ，
è 8
（當(dāng) cosq =1即q = 0時(shí)取等）

BC 0,2 BC 1= 1因?yàn)?，所以當(dāng) 時(shí)， AC× BC 有最小值- .2 8
1 2 1 2 uuur 2BC - BC cosq 1 1 BC + BC 1 BC 1= + 1
2 2 2 2 2 2 ÷
- ，
è 8
（當(dāng) cosq = -1即q = p 時(shí)取等）
1 2
當(dāng) BC = 2時(shí)， BC + 1 BC 有最大值為 3，
2 2
é 1 ù
即 AC× BC 有最大值 3，所以 AC× BC 的取值范圍是 ê- ,3 8 ú
.

é 1
故答案為： - ,3
ù
ê 8 ú
uuur uuur
【典例 9-2】如圖，C，D 在半徑為 1 的eO 上，線段 AB 是eO 的直徑，則 AC × BD的取值范圍是
_________.
é 4, 1 ù【答案】 -
ê 2 ú
【解析】以點(diǎn) O 為原點(diǎn)， AB 所在直線為 x 軸建立平面直角坐標(biāo)系，
uuur p p
設(shè)點(diǎn)D(cosq ,sinq ), (-p q p ), AC = (a,b) ， CAB = a - a

2 2 ÷，è
b uuur
則 tana = ,a = 2cos2 a ，b = 2sina cosa ，BD = cosq -1,sinq
a
uuur uuur
則 AC × BD = (a,b) × (cosq -1,sinq ) = a cosq + bsinq - a = a2 + b2 sin(q +j ) - a ，
其中 tanj
a
= ，
b
uuur uuur
所以 AC × BD的最大值為：
2
a2 + b2 - a = 2cos2 a 2 + (2sina cosa )2 - 2cos2 a = 2cosa - 2cos2 a = -2 cosa 1 1- 2 ÷ + ，è 2
uuur uuur
cosa 1= 1則當(dāng) 時(shí)， AC × BD取得最大值2 2
，
2
最小值為- a2 + b2 - a = -2cosa - 2cos2 a 2 cosa 1 1= - +

2 ÷
+ ，
è 2
uuur uuur
則當(dāng) cosa =1時(shí)， AC × BD取得最小值-4，
uuur uuur é 1 ù
綜上， AC × BD的取值范圍為 ê-4, 2 ú
.

é
故答案為： ê-4,
1 ù
2 ú
.

r r r r r r r r
【變式 9-1】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知 e 為單位向量，平面向量 a，b 滿足 | a + e |=| b - e |=1 ar， ×b 的取
值范圍是____.
é 1 ù
【答案】 -4,
ê 2 ú
r r r r
【解析】建系，不妨設(shè) e = (1,0)， a = (x, y)，b = (m,n) r，則 a ×b = mx + ny，再利用柯西不等式將所求mx + ny
r r
轉(zhuǎn)化為 x2 + y2 + x = -2x + x ，利用換元法求出最大值，最小值顯然為 a,b 共線方向時(shí)取得.不妨設(shè)
r r r
e = (1,0)， a = (x, y)，b = (m,n)，由已知，得 (x +1)2 + y2 =1， (m -1)2 + n2 = 1，
r ra ×b = mx + ny = (m -1)x + ny + x (m -1)2 + n2 × x2 + y2 + x = -2x + x，令
1
-2x = t [0,2] -2x + x = t - t2
1 r
，則 = - (t -1)2
1 1
+ r，又顯然當(dāng) a，b 向量反2 2 2 2
r r r r r r é 1 ù
向時(shí)， a ×b 最小，即a = (-2,0)，b = (2,0) ar b 4 ar，此時(shí) × = - ，綜上， ×b 的取值范圍是 ê-4, 2 ú
.

é
故答案為： ê-4,
1 ù
ú . 2
【變式 9-2】（2024·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）半徑為1的兩圓 M 和圓O外切于點(diǎn) P ，點(diǎn)C 是圓 M 上一點(diǎn)，
uuur uuur
點(diǎn) B 是圓O上一點(diǎn)，則PC × PB的取值范圍為_(kāi)______.
é
【答案】 ê-4,
1 ù
2 ú
【解析】設(shè)點(diǎn)C 關(guān)于點(diǎn) P 的對(duì)稱點(diǎn)為A ，則點(diǎn)A 在圓O上，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2
所以，PC × PB = -PA × PB = - OA - OP × OB - OP = OP × OA + OB - OA ×OB - OP
uuur uuur uuur uuur uuur= OP × OA + OB - OA ×OB -1，
uuur uuur uuur
因?yàn)? OA + OB - OP 2 uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur= OA + OB + OP - 2OP × OA + OB + 2OA ×OB
uuur uuur uuur uuur uuur
= 3- 2OP × OA + OB + 2OA ×OB ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 é uuur uuur uuur 2 ù 1 1 uuur uuur uuur 2所以，PC × PB = OP × OA + OB - OA ×OB -1 = ê3- OA + OB - OP ú -1 = - OA + OB - OP ，2 2 2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
因?yàn)? OA + OB - OP OA + OB + OP = 3，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
當(dāng)且僅當(dāng)OA、OB 同向且OA、OP 反向時(shí)， OA + OB - OP = 3，
uuur uuur uuur
當(dāng)OA + OB = OP 時(shí)，則 uuur uuur 2 uuur2 uuur uuurOA + OB = OP ，所以， 2 + 2OA ×OB =1，
uuur uuur
uuur uuur 1 uuur uuur
所以，OA ×OB = - ，所以， cos OA,OB u
OuurA ×OuuBur 1= = -
2 OA
，
× OB 2
uuur uuur uuur uuur
因?yàn)? OA,OB π，則 OA,OB
2π
= ，
3
uuur uuur uuur
故當(dāng) AOB
2π
= 且四邊形OAPB為菱形時(shí)， OA + OB - OP = 0，
3
uuur uuur
PC PB 1 1
uuur uuur uuur 2
因此， × = - OA + OB - OP
é 1-4, ùê ú .2 2 2
é 1 ù
故答案為： ê-4, 2 ú
.

【變式 9-3】設(shè)圓M ，圓 N 的半徑分別為 1，2，且兩圓外切于點(diǎn) P ，點(diǎn)A ， B 分別是圓M ，圓 N 上的兩
uuur uuur
動(dòng)點(diǎn)，則PA × PB 的取值范圍是（ ）
é 1 ù é 3 ù
A． ê-8, ú B． 2 ê
-16,
4 ú
C． -8,1 D． -16,1
【答案】C
【解析】連接MN 分別與兩圓交于 E, F ，又兩圓外切于點(diǎn) P ，
\P, E, F 三點(diǎn)共線，連 AE ，延長(zhǎng) AP 交圓 N 與C ，連CF ，
QPE, PF 分別為圓M ，圓 N 的直徑，
\PA ^ AE, PC ^ CF ,\ AE / /CF ，
uuur uuur uuur uuur
又PF = 2PE,\PC = 2PA，PA PB
1
× = - PB × PC ，
2
設(shè)G 為 PB中點(diǎn)，連GN ，
uuur
先固定PB，根據(jù)向量數(shù)量積的定義，
uuur uuur
當(dāng)PC 在PB同向投影最大值時(shí)C 為與GN 平行的圓切線的切點(diǎn)，
uuur uuur 1
記為圖中的D點(diǎn)，此時(shí)PD在PB投影 | PH |= | PB | +22
\PB 1× PC PB × PD =| PB | × | PH |=| PB | × 2 + | PB |2 ÷è
1
= | PB |2 +2 | PB | 16，
2
當(dāng)且僅當(dāng) | PB |= 4 ，等號(hào)成立，
uuur uuur 1 uuur uuur
\(PA × PB)min = - (PB × PC)max = -82
uuur uuur uuur
同理當(dāng)PC 在PB投影最小（在PB反向上）時(shí)，
C 為與GN 平行的圓切線的切點(diǎn)，
uuur uuur 1
記為圖中的K 點(diǎn)，此時(shí) PK 在PB投影 2 - | PB |，2
uuur uuur uuur uuur
PB × PC PB × PK = - | PB | × 2
1
- | PB
è 2 ÷
1
= | PB |2 -2 | PB | 1= (| PB | -2)2 - 2 -2，
2 2
當(dāng)且僅當(dāng) | PB |= 2 時(shí)，等號(hào)成立，
uuur uuur 1 uuur uuur
\(PA × PB) 1max = - (PB × PC)2 min
= - (-2) =1，
2
uuur uuur
所以PA × PB 的數(shù)量積取值范圍是[-8,1] .
故選：C.
題型十：向量對(duì)角線定理
【典例 10-1】已知平行四邊形 ABCD ， AB ^ BC ， AB = BC = AD = 2，CD = 3 ， AC 與 BD交于點(diǎn)O，若
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
記 a = OA × OB ，b = OB ×OC ， c = OC × OD ，則（ ）
A. a b c B． a c b C． c a b D．b a c
【答案】C
uuuur uuuur uuuur uuuur
uuur uuur (AB2 + CD2 ) - (AD2 + CB2 ) 5
【解析】由對(duì)角線向量定理得 AC × DB = = > 0 ，
2 2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以b - a = OB ×OC - OA × OB = OB × AC = tDB × AC >（0 t > 0），
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
而 c - a = OC × OD - OA ×OB = ( OC OD - OA OB )cos AOB 0，
所以 c a b ，選擇 C．
uuur uuur
【典例 10-2】如圖，在圓O中，若弦 AB = 3，弦 AC = 5，則 AO × BC 的值是（ ）
A． -8 B． -1 C．1 D．8
【答案】D
uuuur uuuur uuuur uuuur
uuur uuur (AC 2 + BO2 ) - (AB2 + CO2 )
【解析】如圖所示，由對(duì)角向量定理得 AO × BC = = 8
2
所以選 D．
uuur uuur uuur uuur
【變式 10-1】在四邊形 ABCD 中， AB ^ BC ， AD ^ BC 若， AB = a ， AD = b ，則 AC × BD 等于（ ）
A．b2 - a2 B． a2 - b2 C． a2 + b2 D． a2 ×b2
【答案】A
uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur
uuur uuur (AD2 + BC 2 ) - (AB2 + CD2 ) (b2 - a2 ) + (BC 2 - CD2 )
【解析】如圖所示，由對(duì)角線向量定理得 AC × BD = =
2 2
uuuur uuuur uuuur uuuur
(b2 - a2= ) + (AC
2 - AB2 ) - (AC 2 - AD2 )
= b2 - a2 ，所以選 A．
2
1．如圖，VABC 的三邊長(zhǎng)為 AB = 3, BC = 7, AC = 5，且點(diǎn)B,C 分別在 x 軸， y 軸正半軸上移動(dòng)，點(diǎn)A 在
uuur uuur uuur uuur uuur
線段BC的右上方．設(shè)OA = xOB + yOC x, y R ，記M = OA ×OC, N = x + y，分別考查M , N 的所有可能結(jié)
果，則（ ）
A．M 有最小值， N 有最大值 B．M 有最大值， N 有最小值
C．M 有最大值， N 有最大值 D．M 有最小值， N 有最小值
【答案】B

【解析】設(shè) BCO = a 0,
π
÷ , ACB = b ，
è 2
cosb 49 + 25 - 9 13由余弦定理得 = = ,sinb = 1- cos2b 3 3= ,
2 7 5 14 14
過(guò)A 點(diǎn)作 AD ^ y軸，設(shè)垂足為D，
在VBOC 中， OC = BC cosa = 7cosa , OB = BC sina = 7sina ，
所以B 7sina ,0 ,C 0,7cosa
在△ADC 中，
AD = AC sin ACD = 5sin a + b , CD = AC cos ACD = 5cos a + b ，
所以 A 5sin a + b ,7cosa - 5cos a + b
uuur uuur uuur
由OA = xOB + yOC
即 5sin a + b ,7cosa - 5cos a + b = 7xsina ,0 + 0,7ycosa
5sin a + b 7cosa - 5cos a + b
得 x = , y = ，
7sina 7cosa
5sin a + b 7cosa - 5cos a + bN 15 3 15 3所以 = x + y = + =1+ 1+ ，
7sina 7cosa 49sin2a 49
π
當(dāng)且僅當(dāng)a = 時(shí)取最小值，沒(méi)有最大值．
4
uuur uuur
M = OA ×OC = 7cosa é7cosa - 5cos a b
33 21
+ ù = + sin 2a + g ，4 2
sing 11 ,cosg 5 3其中 = = ,g 0,
π
，
14 14 ֏ 2
g 2a + g π + g 11因?yàn)?，所以- = sin π + g sin 2a + g 1，
14
M 75ù所以 0, ú，當(dāng)且僅當(dāng) sin 2a + g =1即a
π g
= - 時(shí)取最大值，沒(méi)有最小值．
è 4 4 2
故選：B.
uuur uuur
2．在矩形 ABCD中， AB = 2 ， AD = 3， P 為矩形 ABCD所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PA =1，則PB × PC 的最大
值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x, y) ，BC中點(diǎn)為H ，
因?yàn)?AB = 2 ， AD = 3，所以 A(0,0) , B(2,0)，C(2,3) 3，H (2, )2 ，
uuuuur uuur uuur uuur
得到PB =(2 - x, -y), PC = (2 - x,3 - y) ，所以PB × PC = (x - 2)2 + y2 - 3y = (x
3 9
- 2)2 + (y - )2 - ，
2 4
又因?yàn)镻A = 1，所以 x2 + y2 =1，
又PH = (x - 2)2 (y 3+ - )2 AH + AP 9 7= 22 + +1 = ，當(dāng)且僅當(dāng)H , A, P（ P 在HA的延長(zhǎng)線上）三點(diǎn)共
2 4 2
線時(shí)取等號(hào)，
uuur uuur
2 2 2 3 2 9 49 9
所以PB × PC = (x - 2) + y - 3y = (x - 2) + (y - ) - - =10，
2 4 4 4
故選：B.
r r r r r r
3．（2024· r湖北黃岡·二模）已知 e 為單位向量，向量 a滿足 a ×e = 3, le - a =1，則 a 的最大值為（ ）
A．9 B．3 C． 10 D．10
【答案】C
(ar ler)2 ar |2 l 2 2ar erl l 2 6l ar【解析】根據(jù)條件得 - = + - × = - + |2 =1，
r 2 2 2 r r
得到 | a | = - l - 6l -1 = -(l - 3) +10 10，所以 a 10 ，即 a 的最大值為 10 ，
故選：C.
r r r r r r4．已知 e 為單位向量，向量 ar滿足 e ×a = 3, le - a =1，則 a 的最大值為（ ）
A．9 B．2 3 C． 10 D．8
【答案】C
r
【解析】依題意設(shè) e = 1,0 ， ar = x, y ，
er ar
r
由 × = 3，所以 x = 3，則 a = 3, y ，
ler ar又 - = l,0 - 3, y = l - 3, y r r- ，且 le - a =1，
所以 l - 3 2 2+ -y 2 =1，即 y2 =1- l - 3 ，
r
所以 a = 32 + y2 = 9 +1- l - 3 2 10 ，當(dāng)且僅當(dāng)l = 3時(shí)取等號(hào)，
r
即 a 的最大值為 10 .
故選：C.
5．如圖，在等腰梯形 ABCD中， AB / /CD ， AB = 5， AD = 4，DC =1，點(diǎn)E 是線段 AB 上一點(diǎn)，且滿足
uuur uuur
AE = 4EB ，動(dòng)點(diǎn) P 在以E 為圓心的半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng)，則DP × AC 的最大值為（ ）
A． 21 - 6 B． 3 - 21 C． 2 3 - 6 D． 3
【答案】A
【解析】
如圖，以E 為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系.
由題意，梯形 ABCD的高長(zhǎng)為 42 5 -1- ( )2 = 2 3 ，則 A(-4,0),C(-1,2 3), D(-2,2 3) .
2
因?yàn)橐訣 為圓心的半徑為1的圓的方程為： x2 + y2 =1，可設(shè)點(diǎn) P(cosq ,sinq )，0 q 2π .
uuur uuur
則DP × AC = (cosq + 2,sinq - 2 3) × (3, 2 3) = 3cosq + 6 + 2 3 sinq -12
= 2 3 sinq + 3cosq - 6 = 21sin(q +j) - 6, 3其中， tanj = ，
2
uuur uuur
故當(dāng) sin(q +j) =1時(shí)， (DP × AC)max = 21 - 6 .
故選：A.
6．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）在矩形 ABCD中， AB = 5, AD = 4 ，點(diǎn)E 是線段 AB 上一點(diǎn)，且滿足
uuur uuur
AE = 4EB .在平面 ABCD中，動(dòng)點(diǎn) P 在以E 為圓心，1 為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則DP × AC 的最大值為（ ）
A． 41 + 4 B． 41 - 6 C． 2 13 + 4 D． 2 13 - 6
【答案】A
【解析】以E 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
動(dòng)點(diǎn) P 在以E 為圓心，1 為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，故設(shè)P cosq ,sinq ，
則 A 0,4 , D 4,4 ,C 4,-1 ,
uuur uuur
DP × AC = cosq - 4,sinq - 4 × 4,-5 = 4 cosq - 4 - 5 sinq - 4 = 41cos q +j + 4 ，其中銳角j 滿足
uuur uuur
tanj 5= ，故
4 DP × AC
的最大值為 41 + 4 ,
故選：A
r r r7 2024· · | a | 3,| b | 1,ar b 0,| cr ar | | cr r
r r r r r
．（ 貴州貴陽(yáng) 三模）已知 = = × = + + - a |= 4,d 2 - 6b × d + 5 = 0，則 | c - d |的最
大值為（ ）
A 4 21 2 21． + 2 B．4 C．6 D． + 2
3 3
【答案】C
【解析】如圖所示，
r uuur r uuur uuur uuur r r r r
不妨設(shè) a = OA = ( 3,0) ，b = OB = (0,1)，OC = (m,n)，OD = ( p,q) ， A1(- 3,0)，滿足 | a |= 3 ， | b |=1， a ×b = 0，
| cr r又 + a | + | c
r
- ar |= 4 ，即 (m + 3)2 + n2 + (m - 3)2 + n2 = 4 = 2a > 2c = 2 3 =| A1A |，
由橢圓的定義可知點(diǎn)C 在以 A1 A 為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 4 的橢圓上運(yùn)動(dòng)，
2
a = 2 x， c = 3，b = a2 - c2 = 4 - 3 =1，所以該橢圓方程為 + y2 =1，
4
r r r
而 d 2 - 6b × d + 5 = 0 ，即 p2 + q2 - 6q + 5 = 0，
即 p2 + (q - 3)2 = 4，這表明了點(diǎn)D在圓 x2 + (y - 3)2 = 4上面運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)E(0,3)為圓心， r = 2為半徑，
r r uuur uuur
又 c - d = OC - OD = CD CE + ED = CE + 2，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)C ，D，E 三點(diǎn)共線，
2
故只需求 | CE | x的最大值即可，因?yàn)辄c(diǎn)C 在橢圓 + y2 =1上面運(yùn)動(dòng)，
4
所以不妨設(shè)C(2cosq ,sinq )，
則 | CE |= 4cos2q + (sinq - 3)2 = 4(1- sin2q ) + sin2q - 6sinq + 9 = -3sin2q - 6sinq +13 ，
sinq -6所以當(dāng) = - = -12 (-3) ，且C ，D，E 三點(diǎn)共線時(shí)，
| cr
r
- d | 2有最大值， | CE |max +2 = 13 - 3 -1 - 6 -1 + 2 = 6．
故選：C．
ar
r π r r
8．已知非零平面向量 ，b 的夾角為 ，且 a
r
- b =1 r，則 a × (ar + 2b)的最大值為（
3 ）
A 2 3． B 2 3 3． +1 C 3． D． + 2
3 3 6 6
【答案】B
r r π r r r 2 r2 r r r 2 r2 r r
【解析】由向量 a，b 的夾角為 及 a - b =1，得3 a + b - 2a ×b =1
，即 a + b - | a || b |=1，
r
r b
r r r r r r
ar2 + ar b 1+ ar r
則 a × a + 2b = a2 + 2a ×b = r r r = | b |a2 + b 2 ar- b r r 2 ，令 r = t > 0b b ，| a |
1- r + a ar
÷
÷
è
ar (ar
r
2b) 1+ t 1+ t 1× + =
于是 1- t + t 2
= =
(1+ t)2 - 3(1+ t) + 3 (1 3+ t) + - 3
1+ t
1 2 3 1 t 3 = +1，當(dāng)且僅當(dāng) + = ，即 t = 3 -1時(shí)取等號(hào)，
2 3 - 3 3 1+ t
ì r
b = ( 3 -1) a
r
r 3 2 + 6 r
由 í r r r ，解得 | a |= ,| b |
6
= ，
a |
2 b |2 ar+ - b =1 6 3
r
| a | 3 2 + 6
r 6 r r r
所以當(dāng) = ,| b |= 且 áa,b
π
= ar (ar時(shí)， × + 2b) 2 3取得最大值
3 +1
.
6 3 3
故選：B
9．如圖，在矩形 ABCD中， AB = 2BC = 4, AC 與BD的交點(diǎn)為M , N 為邊 AB 上任意一點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則
uuur uuur
MB × DN 的最大值為（ ）
A．2 B．4 C．10 D．12
【答案】C
uuur uuur
【解析】以點(diǎn)A 為坐標(biāo)原點(diǎn)， AB, AD的方向?yàn)?x 軸， y 軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，則
M 2,1 , B 4,0 ，D 0,2 ，
uuur uuur
uuur uuur設(shè) N m,0 0 m 4 ，所以MB = 2, -1 , DN = m, -2 ，則MB × DN = 2m + 2，
uuur uuur uuur uuur
因?yàn)? m 4，所以 2 MB × DN 10，即MB × DN 的最大值為 10.
故答案為：C
uuur uuur uuur 2 1
10．如圖所示，VABC 中，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，E 是線段 AD 上的動(dòng)點(diǎn)，若BE = xBA + yBC ，則 +x y
的最小值（ ）
A．1 B．3 C．5 D．8
【答案】D
uuur uuur
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，則BC = 2BD，
uuur uuur uuur uuur uuur
則BE = xBA + yBC = xBA + 2yBD ，
因?yàn)?A, E, D 三點(diǎn)共線，所以 x + 2y =1 x > 0, y > 0 ，
2 1 2 1
則 + = + ÷ x + 2 y 4
4 y x 4 2 4 y x= + + + × = 8，
x y è x y x y x y
ì4y x
= 1 1
當(dāng)且僅當(dāng) í x y 時(shí)，即 x = , y = 時(shí)，等號(hào)成立，
x 2y 1 2 4 + =
2 1
所以 +x y 的最小值為8 .
故選：D
11．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù).如圖甲是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成
的正六邊形剪紙窗花，如圖乙所示其外框是邊長(zhǎng)為 4 的正六邊形 ABCDEF ，內(nèi)部圓的圓心為該正六邊形的
uuur uuur
中心O，圓O的半徑為 2，點(diǎn) P 在圓O上運(yùn)動(dòng)，則PE ×OF 的最小值為（ ）
A．-8 B．-4 C．0 D．4
【答案】C
【解析】
如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)， BE 所在直線為 x 軸， AF 的垂直平分線所在直線為 y 軸，建立平面直角坐標(biāo)系.
設(shè)點(diǎn)P 2cosq , 2sinq 0 q 2π ，由題意知，E 4,0 ,O 0,0 , F 2,2 3 ，
uuur uuur
則PE = 4 - 2cosq ,-2sinq ，OF = 2,2 3 ，
uuur uuur π
所以PE ×OF = 8 - 4cosq - 4 3sinq = 8 -8sin

q +

÷，
è 6
π
因0 q 2π ，則 q +
π 13
π ,
6 6 6
π uuur uuur
故當(dāng)q + =
π
時(shí)，即 sin
q π + ÷ =1時(shí)，PE ×OF 取最小值 0.6 2 è 6
故選:C.
uuur uuur
12．已知點(diǎn)A 、 B 在圓 x2 + y2 = 4上，且 AB = 2 ， P 為圓O上任意一點(diǎn)，則 AB × BP 的最小值為（ ）
A． 0 B．-4 C．-6 D．-8
【答案】C
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)A 、 B 在圓O : x2 + y2 =16上，且 AB = 2 ， P 為圓O上任意一點(diǎn)，
因?yàn)?OA = OB = 2 = AB ，所以，VOAB是等邊三角形，則 AOB
π
= ，
3
不妨設(shè) A -1, - 3 、B 1, - 3 ，設(shè)點(diǎn)P 2cosa , 2sina ，
uuur uuur
所以 AB = 2,0 ，BP = 2cosa -1,2sina + 3 ，
uuur uuur
所以 AB × BP = 2 2cosa -1 = 4cosa - 2 -6,2 ，
uuur uuur
即 AB × BP 的最小值為-6 .
故選：C.
uuur uuur uuur
13．已知VABC 是邊長(zhǎng)為 4 的等邊三角形， P 為平面 ABC 內(nèi)一點(diǎn)，則PA × PB + PC 的最小值是（ ）
A．-2 B．-8 C．-3 D．-6
【答案】D
【解析】以 BC 中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系.
則 A(0, 2 3), B(-2,0),C(2,0),設(shè)P x, y ，
uuur uuur uuur
則PA = -x, 2 3 - y , PB = -2 - x, -y , PC = 2 - x, -y
uuur uuur uuur
所以PA × PB + PC = -x × -2x + 2 3 - y × -2y = 2x2 - 4 3y + 2y2
= 2[x2 + (y - 3)2 - 3];
uuur uuur uuur
所以當(dāng) x = 0, y = 3時(shí), PA × PB + PC 取得最小值為 2 (-3) = -6 .
故選：D.
r r 2π r r r r
14．已知向量 a,b的夾角為 ，且 a = 2 b = 4，則 a + tb t R 的最小值是（
3 ）
A． 3 B．3 C． 2 3 D． 2 5
【答案】C
r r 2π r r r r r r 2π
【解析】因?yàn)橄蛄?a,b的夾角為 ，且 a = 2 b = 4，則 a ×b = a b cos = -4，
3 3
r r r 2 r r r2
可得 (a + tb)2 = a + 2ta ×b + t2b = 4t2 - 8t +16 = 4(t -1)2 +12 12，
當(dāng)且僅當(dāng) t =1時(shí)，等號(hào)成立，
r r
所以 a + tb t R 的最小值是 2 3 .
故選：C.
uuur uuur
15．扇形 AOB的半徑為 1， AOB = 120° ，點(diǎn)C 在弧 AB 上運(yùn)動(dòng)，則CA ×CB 的最小值為（ ）
1 3
A．- B．0 C．- D．-1
2 2
【答案】A
【解析】以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A所在直線為 x 軸，過(guò)O作OA的垂線為 y 軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè) AOC
2π
= q ，則C(cosq ,sinq ) 1 3，其中0 q ， A(1,0)，B(- , )，3 2 2
uuur uuur 1
故CA = (1- cosq ,-sinq )，CB = (- - cosq , 3 - sinq )2 ，2
uuur uuur
\ CA × CB = (-cosq +1)( 1- - cosq ) + ( 3 - sinq )(-sinq )
2 2
1 1
= - cosq 3 sinq 1- = - sin(q π+ ) ，
2 2 2 2 6
Q0 q 2π \ π q π 5π 1 ， + ，\ sin(q
π
+ ) 1，
3 6 6 6 2 6
1 1
\- - sin(q π+ ) 0 ，
2 2 6
uuur uuur
\ [ 1
uuur uuur 1
CA ×CB 的取值范圍為 - 2 ,
0]，故CA ×CB 的最小值為- ；2
故選：A．
16．（多選題）在VOAB中，OA =1,OB = 2, AOB =120°，點(diǎn) P 是等邊VABC （點(diǎn)O與C 在 AB 的兩側(cè)）邊
uuur uuur uuur
上的一動(dòng)點(diǎn)，若OP = xOA + yOB，則有（ ）
A．當(dāng) x
1
= 9時(shí)，點(diǎn) P 必在線段 AB 的中點(diǎn)處 B． x + y 的最大值是
2 2
uuur uuur uuur uuur é 7 7C ù．OP ×OA的最小值是 -1 D．PA × PB 的范圍是 - ,
ê 4 2 ú
【答案】BCD
【解析】
如圖，過(guò)OA中點(diǎn)作OB 1的平行線與VABC 的三邊有兩個(gè)交點(diǎn)，所以 x = 時(shí)，點(diǎn) P 有兩種情況，故 A 錯(cuò)；
2
2
OAB cos120 OA + OB
2 - AB2 1+ 4 - AB2 1
在三角形 中由余弦定理得 ° = = = - ,
2 ×OA ×OB 4 2
2 2 2 2
解得 AB = 7 ，則 cos ABO
AB + OB - OA 10
= = 10 2 3， ，
2 × AB ×OB sin ABO = 1-4 7 4 7 ÷
=
è 4 7
cos CBO = cos 10 1 2 3 3 1 ABO + CBA = - = ，
4 7 2 4 7 2 2 7
以O(shè)為原點(diǎn)，OB為 x 軸，過(guò)點(diǎn)O垂直O(jiān)B向上的方向?yàn)?y 軸建系，
1 3 3 3 3 uuur 1 3 uuur uuurO 0,0 ， A - , ÷÷，B 2,0 ，C2 2 , ÷÷，OA = - , ÷÷，OB = 2,0 ， AC = 2, 3 ，è è 2 2

è 2 2
uuur
BC 1 , 3 3
uuur uuur
= - ， xOA + yOB
1
= - x + 2y, 3 x
2 2 ÷÷ 2 2 ÷÷
，
è è
當(dāng)點(diǎn) P 在 AB 上時(shí)， x + y = 1，
uuur uuur
當(dāng)點(diǎn) P 在 AC 上時(shí)，設(shè) AP = l AC = 2l, 3l ，l 0,1 ，
uuur uuur uuur
OP 1 3
1 3
= OA + AP = - + 2l, + 3l ÷÷ = - x + 2y, x2 2 2 2 ÷÷
，
è è
3 7
則 x =1+ 2l ， y = l ， x + y =1+ l ，
2 2
9
所以當(dāng)l = 1時(shí)， x + y 最大為 ，
2
uuur uuur
當(dāng)點(diǎn) P 在BC上時(shí)，設(shè)BP = m BC
1
= - m,
3 3 m ，m 0,1 ，
è 2 2
÷÷

uuur uuur uuur
OP 1 3 3 1 3= OB + BP = 2 - m, m ÷÷ = - x + 2y, x2 2 2 2 ÷÷
，
è è
則 x = 3m
1 7
， y =1+ m ， x + y =1+ m ，
2 2
9
當(dāng)m =1時(shí)， x + y 最大為 ，
2
綜上可得，當(dāng)點(diǎn) P 在點(diǎn)C 處時(shí) x + y 9最大為 ，故 B 正確；
2
uuur uuur
根據(jù)數(shù)量積的幾何意義可得，當(dāng)點(diǎn) P 在點(diǎn) B 處時(shí)OP ×OA最小，
uuur uur uuur uur
此時(shí)OP ×OA = OB ×OA = -1，故 C 正確；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur 2 uuur 2 7取 AB 中點(diǎn)D，則PA × PB = PD + DA × PD - DA = PD - DA = PD - ，4
uuur é 21 ù uuur uuurPD 0, PA PB é 7 , 7因?yàn)?
ù
ê 2 ú
，所以 × ê- ，故 D 正確.
4 2
ú
故選：BCD.
17．（多選題）已知點(diǎn) A、B、P 在eC 上，則下列命題中正確的是（ ）
uuur uuur uuur
A AC =1 1． ，則 AC × AB 的值是 2
uuur uuur uuur
B． AB =1 1，則 AC × AB 的值是 2
uuur uuur
C． AC = AB =1
uuur uuur é 1 3ù
，則 AP × AB 的范圍是 ê- , 2 2ú
uuur uuur uuur uuur uuur
D AC = AB =1
é
AP = l AB + m AC l + m 1- 2 3 ,1+ 2 3
ù
． ，且 ，則 的范圍是 ê 3 3 ú
【答案】BCD
uuur uuur uuur uuur 1 uuur 2
【解析】由 AC × AB = AC × AB cos BAC = 2 AB
uuur uuur uuur
當(dāng) AB =1
1
時(shí)， AC × AB = ，則 A 錯(cuò)，B 正確；
2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur由 AP × AB = AC + CP × AB = AC × AB + CP × AB = + cos CP, AB2
uuur uuur
因?yàn)?cos CP, AB -1,1 uuur uuur é 1 3ù，所以 AP × AB 的范圍是 ê- ,2 2ú，故 C 正確；
1 3
設(shè)eC 方程為 x2 + y2 =1， A 1,0 , B , ÷÷ , P cosq ,sinq ,q 0,2p
è 2 2
uuur uuur uuur 1 3
由 AP = l AB + m AC 得 cosq -1,sinq = l - , ÷÷ + m -1,0
è 2 2
ì 2
cosq
1 ì
-1 = - l - m l = sinq 2 3
則 í ，得 í
1
sinq
3
= l m = - sinq - cosq +1
2 3
é ù
所以l + m
1
= sinq 2 2 3 2 3- cosq +1 = sin q +a +1 ê1- ,1+ ú ，故 D 正確．
3 3 3 3
故選：BCD
18．（多選題）已知圓O半徑為 2，弦 AB = 2 ，點(diǎn)C 為圓O上任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
uuur uuur uuur uuur
A．BA × BO = 2 B． AB × AC 的最大值為 6
uuur uuur uuur uuur uuur
C． OC - AB - AO 0,4 D．滿足 AB × AC = 0的點(diǎn)C 只有一個(gè)
【答案】AB
【解析】對(duì)于 A 選項(xiàng)，圓O半徑為 2，弦 AB = 2 ，故VABO 為等邊三角形，
uuur uuur uuur uuur
取 AB 的中點(diǎn)D，連接OD，則OD ^ AB ，所以BA × BO = BA × BD = 2，A 正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)O作OE平行于 AB ，交圓與點(diǎn)E ，
過(guò)點(diǎn)E 作 EG ^ AB，交 AB 延長(zhǎng)線于點(diǎn)G ，連接EB，
則四邊形OABE 為菱形，
uuur uuur
由投影向量可知，當(dāng)點(diǎn)C 與點(diǎn)E 重合時(shí)， AB × AC 取得最大值，
此時(shí) AG = AD + DG =1+ 2 = 3，
uuur uuur uuur uuur
故 AB × AC 的最大值為 AB × AG = 2 3 = 6，B 正確；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
對(duì)于 C 選項(xiàng)，OC - AB - AO = OC + OA + BA，
uuur uuur uuur uuur
因?yàn)樗倪呅蜲ABE 為菱形，所以O(shè)A + BA = EA，且 EA = 2 3 ，
uuur
因?yàn)?OC = 2 為定值，
uuur uuur uuur uuur uuur
故當(dāng)OC 與 EA平行且方向相同時(shí)， OC - AB - AO 取得最大值，最大值為 2 + 2 3 ，
uuur uuur uuur uuur uuur
當(dāng)OC 與 EA平行且方向相反時(shí)， OC - AB - AO 取得最小值，最小值為 2 3 - 2，
uuur uuur uuur
故 OC - AB - AO é 2 3 - 2,2 3 + 2ù ，C 錯(cuò)誤；
uuur uuur
對(duì)于 D 選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)C 為圓O上任意一點(diǎn)，故當(dāng)C, A重合時(shí)， AB × AC = 0，
uuur uuur uuur uuur
又當(dāng) AC ^ AB時(shí)，滿足 AB × AC = 0，故滿足 AB × AC = 0的點(diǎn)C 有 2 個(gè)，D 錯(cuò)誤.
故選：AB
19．（多選題）“圓冪定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個(gè)重要定理，它包含三個(gè)結(jié)論，其中一個(gè)是相交弦定理：
圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等，如圖，已知圓O的半徑 2，點(diǎn) P 是圓O內(nèi)的定點(diǎn)，
且OP = 2 ，弦 AC，BD 均過(guò)點(diǎn) P ，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
uuur uuur
A．PA × PC 為定值
uuur uuur
B．OA ×OC 的取值范圍是 -2，0
uuur uuur
C．當(dāng) AC ^ BD 時(shí)， AB ×CD為定值
uuur uuur
D． AC ·BD 的最大值為 16
【答案】ACD
【解析】對(duì)于 A，如圖，過(guò)O，P 作直徑EF ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
由題意PA × PC = - PA PC = - PF PE = - OF - OP OE + PO ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur所以PA × PC = - OF - OP - OF + OP = - OF - OP OF + OP
uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur 2= - OF - OP OF + OP = - OF - OP = -2 為定值，故 A 正確；
對(duì)于 B，若M 為 AC 中點(diǎn)，連接OM ，則
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuuurOA ×OC = OM + MA × OM + MC
uuuur2 uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur2 uuuur2 uuuur2= OM + OM × MA + MC + MA × MC = OM - 4 - OM = 2OM - 4，
uuuur2 uuur uuur uuur2
由題意0 OM OP = 2 ，則OA ×OC -4，0 ，故 B 錯(cuò)誤；
uuur uuur uuur uuur
對(duì)于 C，若 AC ^ BD ，故PB ×CP = AP × PD = 0 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur則 AB ×CD = AP + PB × CP + PD = AP ×CP + PB ×CP + AP × PD + PB × PD，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
又PA × PC = -2，則 AP ×CP = -2，同理可得PB × PD = -2，故 AB ×CD = -4，
故 C 正確；
uuur uuur
對(duì)于 D，因?yàn)?AC 4，BD 4，則當(dāng)弦 AC，BD 均與EF 重合時(shí)，
uuur uuur
此時(shí) AC × BD 有最大值，為 16，故 D 正確.
故選：ACD.
20．（多選題）如圖，在梯形 ABCD中， AB∥CD, AD ^ AB,CD = 2, AD = 4, AB = 5, E, F 分別在線段 AD, AB
上，且線段DE 與線段 BF 的長(zhǎng)度相等，則（ ）
uuur uuur uuur uuur
A．CE ×CF 的最小值為-4 B．CE ×CF 的最大值為 18
uuur uuur 41
C．CE × EF 的最大值為 -1 D．△CEF 的面積的最大值為 8
【答案】BCD
【解析】如圖，以點(diǎn) A 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)DE = BF = x 0 x 4 ，則
uuur uuur uuur
C 2,4 , E 0,4 - x , F 5 - x,0 ,CE = -2,-x ,CF = 3- x, -4 , EF = 5 - x, x - 4 ，
uuur uuur
對(duì)于 A,B，CE ×CF = 2x - 6 + 4x = 6x - 6 -6,18 ，故 A 錯(cuò)誤，B 正確；
uuur uuur
對(duì)于 C，CE × EF = 2x -10 - x2 + 4x = -x2 + 6x -10 = - x - 3 2 -1，
uuur uuur
當(dāng) x = 3時(shí)，CE × EF 取得最大值，且最大值為 -1，故 C 正確；
4 - x
D S 2 + 5 4 2x 4x 5 - x 對(duì)于 ，△CEF 的面積 = - - -
2 2 2 2
1 2
= - x2 3 1 3 41 x
3 41
+ x + 4 = - x - ÷ + ，當(dāng) = 時(shí)，S取得最大值，且最大值為 ，故 D 正確．2 2 2 è 2 8 2 8
故選：BCD.
r r r r r r r
21．（多選題）（2024·山東濰坊·二模）已知向量 a ，b ， c為平面向量， a =1， b = 2， a ×b = 0 ，
r r
c 1- a = ，則（ ）2
r 3 r r r r
A．1 c B 1+ 2 5． c - a × c - b 的最大值為2 4
r r r r r
C．-1 b ×c 1 D．若 c = la + mb 5，則l + m 的最小值為1-
4
【答案】BCD
r r
【解析】對(duì) A，設(shè) a = 1,0 ,b = 0,2 ,cr = x,y r r 1 2 2 1，根據(jù) c - a = 有 x -1 + y = ，
2 2
x 1 2 y2 1- + = 1 r即 ，為圓心為 1,0 ，半徑為 2 的圓，又 c = x
2 + y2 的幾何意義為原點(diǎn)到圓
4
x -1 2 + y2 1 x, y 1 cr 3= 上 的距離，則 ，故 A 錯(cuò)誤；
4 2 2
cr r r r對(duì) B， - a × c - b = x -1 x + y y - 2 = x2 - x + y2 - 2y
1 2 5 2 1 1
= x - ÷ + y -1
2 - ，則轉(zhuǎn)化為求圓 x -1 + y2 = 上的點(diǎn)到
2 4 4
,1÷的距離最大值，
è è 2
2
2 2 1 1 5 5 1 1 5 1+ 2 5為 -
2
2 ÷
+1 + ÷ - =
2 4
+ ÷÷ - = ，故 B 正確； è ÷ è 2 2 4 4è
r r 1 1 r r
對(duì) C，b ×c = 2y ，因?yàn)? y ，故
2 2 -1 b ×c 1
，故 C 正確；
對(duì) D，因?yàn)? x -1 2 y2 1 x cosq 1,y sinq+ = ，故 = + = ，
4 2 2
r r r y
又因?yàn)?c = la + mb，故l = x, m = ，2
l m cosq 1 sinq 5
2 5 cosq 5

sinq 1 5+ = + + = + + = sin q +j +1，
2 4 4 5 5 ÷÷è 4
故當(dāng) sin q +j = -1時(shí)，取最小值l + m 1 5取最小值 - ，故 D 正確.
4
故選：BCD
r r r22．（2024·甘肅·一模）已知單位向量 a,b 滿足 3a
r
- 4b = m，則m 的范圍是 .
【答案】 1,7
r r
【解析】設(shè) a,b 的夾角為q (q 0, π ) ，
r r 2 r r r r 2
因?yàn)?3a - 4b 9ar2 r r r= - 24a ×b +16b 2 = 9 a 2 - 24 a × b cosq +16 b ，
r
又 ar,b 為單位向量，得到m2 = 9 +16 - 24cosq = 25 - 24cosq ，
又 cosq -1,1 ，得到1 m2 49，所以1 m 7 ，
故答案為：1 m 7 .
23．（2024·高三·上海閔行·開(kāi)學(xué)考試）阿波羅尼斯證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)
的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn) A，B 間的距離為 3，動(dòng)點(diǎn) P 滿足
PA
= 2 uuur uuur
PB ，則PA × PB 的范圍為 .
【答案】 -2,18
【解析】以 AB 中點(diǎn)為原點(diǎn)O，以 AB 所在直線為 x 軸，以 AB 的垂直平分線為 y 軸，建立平面直角坐標(biāo)系
xOy ，
3 3
因?yàn)?AB = 3，所以 A - ,02 ÷
，B ,0÷ .
è è 2
PA 2 2
P x, y = 2 3 設(shè) ，因?yàn)?，所以 x + 2 3PB ÷ + y = 2 ×

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