資源簡介

拔高點突破 02 平面向量與復數背景下的新定義問題　
目錄
01 方法技巧與總結...............................................................................................................................2
02 題型歸納與總結...............................................................................................................................2
題型一：向量外積（叉積）................................................................................................................2
題型二：斜坐標系................................................................................................................................3
題型三：向量新定義之新概念............................................................................................................5
題型四：向量新定義之新運算............................................................................................................6
題型五：向量新定義之新性質............................................................................................................8
題型六：復數新定義............................................................................................................................9
03 過關測試 .........................................................................................................................................10
1、平面向量背景下的新定義問題是一類既涉及平面向量基礎知識，又融入新穎定義和復雜信息的數
學問題。這類問題要求考生不僅掌握平面向量的基本概念和運算規則，還需要具備良好的分析能力和邏輯
推理能力。平面向量背景下的新定義問題，通?；谄矫嫦蛄康姆较蛐院痛笮⌒裕胄碌倪\算規則或概
念。解題時，首先要準確理解新定義的本質，明確其涉及的向量運算和性質。接著，將新定義應用到具體
的題目情境中，通過向量的加法、減法、數乘、數量積等運算，推導出所需的結論。這類問題往往信息量
大，背景新穎，需要考生耐心分析，細致推理。同時，注意平面向量的模、夾角等幾何特征在新定義問題
中的應用，以及如何利用這些特征簡化解題過程。最終，通過綜合應用平面向量的基礎知識和新定義，解
決這類復雜而有趣的數學問題。
2、復數背景下的新定義問題是一類融合了復數基礎理論與新穎概念的數學問題。這類問題要求考生
不僅熟悉復數的代數表示、模、輻角等基本概念，還需具備靈活運用復數運算規則的能力。解題時，首先
要深入理解新定義的本質，明確其涉及的復數運算和性質。接著，將新定義與具體的題目情境相結合，通
過復數的加、減、乘、除等運算，推導出所需的結論。這類問題往往考察考生的邏輯推理能力和創新能力，
需要考生在新穎的復數運算或概念中找到解題的突破口。最終，通過綜合運用復數的基礎知識和新定義，
解決這類富有挑戰性的數學問題。
題型一：向量外積（叉積）
r r r r r r r r
【典例 1-1】如果向量 a ，b 的夾角為q ，我們就稱 a b為向量 a 與b 的“向量積”， a b還是一個向量，它
r r r r r r r r r r
的長度為 a b = a × b sinq ，如果 a =10 ， b = 2， a ×b = -12，則 a b = （ ）
A．-16 B．16 C．-20 D．20
r r r r
【典例 1-2】（2024·高三·內蒙古呼和浩特·期末）若向量 a = x1, y1 ，b = x2 , y2 ，則以 a 、b 為鄰邊的平行
r r r r r r
四邊形的面積S可以用 a 、b 的外積 a b表示出來，即 S = a b = x1y2 - x2 y1 .已知在平面直角坐標系 xOy 中，
A cosa , 3 B sin 2a , 2cosa a é0, π ù、 ， ê ú ，則 OAB2 面積的最大值為（ ）
A．1 B． 2 C． 2 D．3
r r r r r r r r
【變式 1-1】（多選題）已知向量 a,b 的數量積（又稱向量的點積或內積）： a ×b = a × b cos a,b ，其中
r r r r r r
ar,b r r r r表示向量 a,b 的夾角；定義向量 a,b 的向量積（又稱向量的叉積或外積）： a b = a × b sin a
r,b ，其
r r r r
中 a,b 表示向量 a,b 的夾角，則下列說法正確的是（ ）
r r r r r r r r πA．若 a,b 為非零向量，且 a b = a ×b ，則 a,b =
4
uuur uuur
B．若四邊形 ABCD為平行四邊形，則它的面積等于 AB AD
uuur uuur
C．已知點 A 2,0 , B -1, 3 ,O為坐標原點，則 OA OB = 2 3
r
D ar b 3 r
r r r
．若 = a ×b = 3 ，則 a + 2b 的最小值為 12 + 8 3
3
r r r r r r
【變式 1-2】（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期中）已知兩個非零向量 a 與b ，定義 a b = a × b ×sinq ，其中q
r r r r r r
為 a 與b 的夾角，若 a = (-2,3)，b = (1,1) ，則 a b 的值為（ ）
A．5 B．7 C．2 D． 26
r r r r r r r r r r r
【變式 1-3】定義： a b = a b sinq ，其中q 為向量 a ，b 的夾角，若 a = 2， b = 5， a + b × a = -2，則
r r
a b = （ ）
A．6 B．-6 C．-8 D．8
題型二：斜坐標系
【典例 2-1】（2024·云南昆明·模擬預測）向量的廣義坐標是用于描述向量或系統狀態的一組數值，其選擇
取決于問題的特定背景和需求．在物理學、工程學、計算機圖形學等領域，廣義坐標被廣泛應用．比如，
物理學中的振動系統可能采用角度作為廣義坐標，而工程學中的結構分析可能使用特定坐標系來簡化問
題．通過選擇適當的廣義坐標，可以更自然地描述問題，簡化數學表達，提高問題的可解性，并使模型更
ur uur
符合實際場景．已知向量 e1 ， e2 是平面a 內的一組基向量，O 為a 內的定點．對于a 內任意一點 P，若
uuur ur uur
OP = xe1 + ye2 x, y R ，則稱有序實數對 x, y 為點 P 的廣義坐標．若點 A，B 的廣義坐標分別為 x1, y1 ，
x2, y 2 ，關于下列命題正確的（ ）
A．點M 1,2 關于點 O 的對稱點不一定為M -1,-2
B．A，B x - x 2 + y - y 2兩點間的距離為 1 2 1 2
uuur uuur
C．若向量OA平行于向量OB ，則 x1 y2 - x2 y1的值不一定為 0
x1 + x2 , y1 + y D．若線段 AB 的中點為 C，則點 C 的廣義坐標為 2
2 2
【典例 2-2】（2024·吉林長春·模擬預測）互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角坐標系，但如果
平面坐標系中兩條坐標軸不垂直，則這樣的坐標系稱為“斜坐標系”．如圖，在斜坐標系中，過點 P 作兩坐
標軸的平行線，其在 x 軸和 y 軸上的截距 a，b 分別作為點 P 的 x 坐標和 y 坐標，記 P a,b ，則在 x 軸正方
向和 y 軸正方向的夾角為q 的斜坐標系中，下列選項錯誤的是（ ）
A．當q = 60°時 A 1,2 與B 3,4 距離為 2 3
B．點 A 1,2 關于原點的對稱點為 A -1, -2
r r
C．向量 a = x1, y1 與 b = x2 , y2 平行的充要條件是 y1x2 = y2x1
D．點 A 1,2 到直線 x + y -1= 0的距離為 2
p ur uur
【變式 2-1】如圖所示，設 Ox，Oy 是平面內相交成q q 角的兩條數軸， e1,e2 分別是與 x，y 軸正方向 2
uuuur ur uur
同向的單位向量，則稱平面坐標系 xOy 為q 斜坐標系，若OM = xe1 + ye2 ，則把有序數對 x, y 叫做向量
uuuur uuuur p r 1 3 r
OM 的斜坐標，記為OM = x, y ．在q = 的斜坐標系中， a = , ,b = 3, -1 ﹒則下列結論中，錯4 2 2
誤的是（ ）
r r 1 3 r
① a - b = - 3, +1 ；② a
r
=1 r r；③ r ；④
2 2 a ^ b b
在 a上的投影為- 2

A．②③ B．②④ C．③④ D．②③④
π ur uur
【變式 2-2】如圖，設Ox ，Oy是平面內夾角為q q 的兩條數軸， e1 ， e2 分別是與 x 軸、 y 軸正方向 2
uuur ur uur
同向的單位向量.若向量OA = xe1 + ye2 ，則有序數對 x, y 叫做點A 在坐標系Oxy 中的坐標.在該坐標系下，
A x1, y1 ，B x2 , y2 ，C x3 , y3 為不共線的三點，下列結論錯誤的是（ ）
x1 + x2 y1 + y2 x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y A 3．線段 AB 中點的坐標為 ， B． ABC 重心的坐標為 ，2 2 3 3
C．A ， B 兩點的距離為 x1 - x2 2+ y1 - y2 2 D．若 x1y2 = x2 y1，則O，A ， B 三點共線
題型三：向量新定義之新概念
【典例 3-1】（多選題）（2024·山東濰坊·三模）定義平面向量的一種運算“ Q ”如下：對任意的兩個向量
r r r r
a = x1, y1 ， b = x2 , y2 ，令 aQb = x1 y2 - x2 y1, x1x2 + y1 y2 ，下面說法一定正確的是（ ）
r r r r
A．對任意的l R ，有 la Qb = l aQb
r r r r r r r
B．存在唯一確定的向量 e使得對于任意向量 a，都有 aQe = eQa = a 成立
r r r r r r r rC．若 a與b 垂直，則 aQb Qc 與 aQ bQc 共線
r r r r r r r r
D．若 a與b 共線，則 aQb Qc 與 aQ bQc 的模相等
uuuur uuuur
【典例 3-2】（多選題）設 A1、A2、A3、A4 是平面直角坐標系中相異的四點，若 A1A3 = l A1A2 (l R) ，
uuuur uuur 1 1
A A + = 21 4 = m A1A (m R) ，且 ，則稱 A3 , A4 調和分割 A2 l m 1
, A2 ，已知平面上的點 C，D 調和分割點 A，B，
則下面說法正確的是（ ）
A．A、B、C、D 四點共線
B．D 可能是線段 AB 的中點
C．C、D 可能同時在線段 AB 上
D．C、D 不可能同時在線段 AB 的延長線上
r r r r
r r r r ì a ×b ,a與b不共線,
【變式 3-1】設 a,b 為平面內的任意兩個向量，定義一種向量運算“ ”： a b = í r r r r 對于同
a - b , a與b共線.
r r r r
一平面內的向量 a,b ,c, d ，給出下列結論：
r r r r r r r① a b b r = a ；② l a b = la b l R ；
r r r r r r r r r r③ a + b c = a c + b c ；④若 er 是單位向量，則 a e a +1．
以上所有正確結論的序號是 ．
r r
r r r r a ×b
【變式 3-2】（2024·河北邯鄲·二模）對任意兩個非零的平面向量 a 和b ，定義：a b = r 2 r 2 ，a + b
r r r r
a eb a ×b= r r r rr r r
r r
2 ．若平面向量 a,b滿足 a > b > 0
ìn
，且 a b 和a e b都在集合 í | n Z,0 < n 4
ü
4
中，則
b
r r r r
a b + a e b = （ ）
3 7 5
A．1 B． C．1 或 D．1 或
2 4 4
uuur uuur
【變式 3-3】（多選題）（2024·高三·山東青島·期末）已知對任意平面向量 AB = x, y ，把 AB 繞其起點沿逆時
uuur
針方向旋轉q 角得到向量 AP = xcosq - ysinq , xsinq + ycosq ，叫做把點 B 繞點 A 沿逆時針方向旋轉q 角得
uuur
uuur uuur到點 P .已知平面內點 A 2,1 ，點B 2 + t,1- t ， AB = 2 2 ， AB ×OA > 0 ，點 B 繞點 A 沿逆時針方向旋轉
π
角得到點 P ，則（ ）3
uuur uuur
A． BP = 2 2 B． AB = -2,2
C． B 的坐標為 4, -1 D． P 的坐標為 3 + 3, 3
題型四：向量新定義之新運算
【典例 4-1】（多選題）在實數集R 中，我們定義的大小關系“＞”為全體實數排了一個“序”．類似實數排序
的定義，我們定義“點序”，記為“ ”：已知M x1, y1 ， N x2 , y2 ，M N ，當且僅當“ x1 > x2 ”或“ x1 = x2且
y1 > y2 ”．定義兩點的“ ”與“ ”運算：M N = x1 + x2，y1 + y2 ，M N = x1x2 + y1 y2 ．則下列說法正確
的是（ ）
A．若P 2025，2024 ，Q 2024，2025 ，則P Q
B．若P 2025，2024 ，Q x，y ，P Q，則 x 2025且 y 2024
C．若P Q，則對任意的點 T，都有P T Q T
D．若P Q，則對任意的點 T，都有P T > Q T
r r r r r r
【典例 4-2】定義空間兩個向量的一種運算 a b = a × b sin a,b ，則關于空間向量上述運算的以下結論中
恒成立的有（ ）
r r
A．l a b r r= la b
r r r r r rB． a b c = a b c
r r r r r r rC． a + b c = a c + b c
r r r r
D．若 a = x1, y1 ， b = x2 , y2 ，則 a b = x1 y2 - x2 y1
r r v v
【變式 4-1】設向量m = a,b ，向量 n = c,d ，規定兩向量 m，n 之間的一個運算“ Θ ”的結果為向量mΘ n
a b r= - , ad + bc -1 = 1,2 pvΘ qv r r ）， 若已知向量 q ，且向量 與向量u = 1,-2 共線又與向量 v = 1,1 垂直，
c d
ur
則向量 p 的坐標為（ ）
1 1 1 1
A．（ , ） B．（ , ）
2 4 4 2
1
C．（- ,
1 1 1
） D．（- , ）
2 4 4 2
r r r r r r r r
【變式 4-2】設向量 a 與b 的夾角為q ，定義 a b = asinq + bcosq .已知向量 a 為單位向量， b = 2 ，
r r r r
a - b =1，則 a b =（ ）
A 2 B 10． ． 2 C． D． 2 3
2 2
r r r r r r r r r r
【變式 4-3】設向量 a與b 的夾角為q ，定義 a b = a sinq - b cosq ，已知 a = 2 ， b = a - b =1，則
r r
a b =（ ）
A 2． B 3． 2 C． D． 3
2 2
r r r
【變式 4-4】定義向量一種運算“ ”如下：對任意的 a = (m, n)，b = ( p, q) r，令 a b = mq - np ，下面錯誤
的是（ ）
r r r
A r．若 a與b 共線，則 a b = 0
r r r rB． (a b)2 + (ar ×b)2 r=| a |2 × | b |2
r r
C．對任意的l R ，有 (lar) b r = l(a b)
D ar
r r
b b ar． =
r r r
r r r r a sin a,b ur r
【變式 4-5】對任意量給非零向量 a，b ，定義新運算： a b = r ．已知非零向量m ， n滿足
b
ur r ur r
m 3 n q π π
ur r
> ，且向量m ， n的夾角 , ，若 44 2 m n
r ur ur r
和 4 n m 都是整數，則m n的值可能是（ ）

A．2 B．3 C 4 D
17
． ．
4
題型五：向量新定義之新性質
【典例 5-1 *】我們稱 n n N 元有序實數組 x1, x2 ,L, xn 為 n維向量， x1 + x2 +L+ xn 為該向量的范數.已
r
知 n維向量 a = x1, x2 ,L, xn ，其中 xi -1,0,1 i
r
=1,2,Ln ，記范數為奇數的 a 的個數為 An ，則 A3 = ；
A2n = （用含 n的式子表示， n N* ）.
ur r ur rur ur a × b r r r r r
【典例 5-2】對任意兩個非零的平面向量a 和 b ，定義a o b = r r ．若平面向量 a 、b 滿足 a b > 0， a
b × b
r π r r r r ìn ü r r r r
與b 的夾角q 0, 4 ，且a o b 和b o a 都在集合 í
n Z 中，則2 a ob + b o a =（ ）．
3 5
A． B． 2 C． D．3
2 2
ur uur uur uur uur uur
【變式 5-1】（2024·浙江紹興·模擬預測）定義兩個向量組 X = x1, x2 , x3 ,Y = y1, y2 , y3 的運算
ur uur uur uur uur uur ur uur ur ur uur uur uur uur uur ur uur ur
X ×Y = x1 × y1 + x2 × y2 + x3 × y3 ，設 e1,e2 ,e3 為單位向量，向量組 X = x1, x2 , x3 ,Y = y1, y2 , y3 分別為 e1,e2 ,e3
的一個排列，則 X ×Y 的最小值為 ．
【變式 5-2】我們知道，在平面內取定單位正交基底建立坐標系后，任意一個平面向量，都可以用二元有
序實數對 a1, a2 表示．平面向量又稱為二維向量．一般地，n 元有序實數組 a1, a2 , L, an 稱為 n 維向量，
它是二維向量的推廣．類似二維向量，對于 n 維向量，也可定義兩個向量的數量積、向量的長度（模）等：
r r r r
設 a = a1, a2 , L, an ， b = b1, b2 , L, bn ，則 a × b = a1, a2 , L, an × b1, b2 , L, bn = a1b1 + a2b2 +L+ anbn ；
r
a = a2 + a2
r r
1 2 +L+a
2
n ．已知向量 a = a1, a2 , L, an 滿足 an =n ，向量b = b1, b2 , L, bn 滿足bn =2n ．
r r
(1)求 a × b的值；
r
c =ln a
r
(2)若 c = c1, c2 , L, c
n+1 n
n ，其中 n a ，當 n 2且 n N
* 時，證明： c > ．
n 2n + 4
r r r r
【變式 5-3】設向量 a = x1, y1 ，b = x2 , y2 ，當 x1 x2，且 y1 > y2 時，則記作 a b ；當 x1 < x2，且
r ry1 y2 時，則記作 a = b ，有下面四個結論：
ar
r
2,4 r①若 = ，b = 3,5 ，則 ar = b ；
r r r② r若 a b 且ma lb ，則m l ；
③ ar
r r r r r r
若 b ，則對于任意向量 c ，都有 a + c b + c ；
r r r
④若 ar = b r r r，則對于任意向量 c ，都有 a ×c b ×c ；
其中所有正確結論的序號為（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①④
題型六：復數新定義
r
【典例 6-1】已知平面直角坐標系 xOy 中向量的旋轉和復數有關，對于任意向量 x = a,b ，對應復數
r
z = a + bi ，向量 x 逆時針旋轉一個角度q ，得到復數 z = a + bi cosq + isinq = acosq -
ur
bsinq + i asinq + bcosq ，于是對應向量 x = a cosq - bsinq ,a sinq + b cosq ．這就是向量的旋轉公式．已
知正三角形 ABC 的兩個頂點坐標是 A 1, 4 , B 3, 2 ，根據此公式，求得點C 的坐標是 ．（任寫一個即可）
【典例 6-2】（2024·浙江· 模擬預測）已知平面直角坐標系 xOy 中向量的旋轉和復數有關，對于任意向量 x
=(a，b)，對應復數 z=a+ib，向量 x 逆時針旋轉一個角度q ，得到復數
z ' = (a + ib)(cosq + i sinq ) = a cosq - bsinq + i(a sinq + b cosq )，于是對應向量

x ' = (a cosq - bsinq ,a sinq + b cosq ) .這就是向量的旋轉公式.根據此公式，已知正三角形 ABC 的兩個頂點坐
標是 A(1，2)，B(3，4)，則 C 的坐標是 .(任寫一個即可)
【變式 6-1】（多選題）（2024·河北滄州·一模）在復數城內，大小成為了沒有意義的量，那么我們能否賦予
它一個定義呢，在實數域內，我們通常用絕對值來描述大小，而復數域中也相應的有復數的模長來代替絕
對值，于是，我們只需定義復數的正負即可，我們規定復數的“長度”即為模長，規定在復平面 x 軸上方的
復數為正，在 x 軸下方的復數為負，在 x 軸上的復數即為實數大?。按笮　庇梅?“長度”表示，我們用
[z]來表示復數的“大小”，例如：[1+ 2i] = 5 ，[1- 2i] = - 5 ，[1] = 1，[-3] = -3，[-1- 2i] = - 5 ，則下列
說法正確的是（ ）
A．[z] =1在復平面內表示一個圓
B．若 z C，則方程[z]2 = -1無解
C．若 z1, z2 為虛數，且 z1 = z2 ，則 z1 + z2 = 0
D．復平面內，復數 z 對應的點在直線 y = -x + 4上，則 | [z] |最小值為 2 2
【變式 6-2】（多選題）（2024·全國·三模）一般地，對于復數 z = a + bi （i 為虛數單位，a，b R ），在平面
uuur
直角坐標系中，設 z = OZ = r r 0 ，經過點Z 的終邊的對應角為q ，則根據三角函數的定義可知
a = r cosq ，b = r sinq ，因此 z = r cosq + i sinq ，我們稱此種形式為復數的三角形式，r 稱為復數 z 的模，
q 稱為復數 z 的輻角.為使所研究的問題有唯一的結果，我們規定，適合0 q < 2π 的輻角q 的值叫做輻角的
主值.已知復數 z 滿足 z -1 r ， r 0,1 ，Re z 為 z 的實部，q 為 z 的輻角的主值，則（ ）
A． z - 2024i 的最大值為 r + 2025
B． z - 2024i 的最小值為 2025 - r
C． cosq 1- r 2
1 1
D 2．Re 1- r
z Re z
【變式 6-3】現定義“ n維形態復數 zn ”： zn = cos nq + i sin nq ，其中 i為虛數單位， n N* ，q 0 .
q π(1)當 = 時，證明：“2 維形態復數”與“1 維形態復數”之間存在平方關系；
4

(2)若“2 維形態復數”與“3 維形態復數”相等，求 sin q
π
+ 的值；
4
(3)若正整數m ， n m >1, n > 2 ，滿足 zm = z 21 ， zn = zm ，證明：存在有理數q，使得m = q ×n +1- 2q .
a,b éc ù z【變式 6-4】若定義一種運算： ê ú = ac + bd .已知 z 為復數，且 2, z é ùê ú = 6 - 4i .
d 4
(1)求復數 z ；
t, x é1ù ésin xù(2)設 為實數，若 t + cos x, i ê ú - 1,1 ê ú為純虛數，求 t 的最大值.
2 i
r r
1．（多選題）（2024·河南·模擬預測）設向量 a = x1, y1 ，b = x2 , y2 ，當且僅當 x1 x2，且 y1 > y2 時，則
r r r r
稱 a b；當且僅當 x1 < x2，且 y1 y2 時，則稱 a = b，則下列結論正確的有（ ）
r r r r
A．若 a b且ma lb，則m l
r r r r
B．若 a = 2022,2024 ，b = 2023,2025 ，則 a = b
r r r r r r r
C．若 a b，則對于任意向量 c，都有 a + c b + c
r r r r r r r
D．若 a = b，則對于任意向量 c，都有 a ×c≤b ×c
ur uur
2．（多選題）（2024·江蘇鹽城·一模）定義平面斜坐標系 xOy ，記 xOy = q ， e1 ， e2 分別為 x 軸、y 軸正方
uuur ur uur uuur
向上的單位向量，若平面上任意一點 P 的坐標滿足：OP = xe1 + ye2 ，則記向量OP 的坐標為 x, y ，給出
下列四個命題，正確的選項是（ ）
uuur uuur uuur uuur
A．若OP = x1, y1 ，OQ = x2 , y2 ，則OP + OQ = x1 + x2 , y1 + y2
uuur uuur uuur uuur
B．若OP = x1, y1 ，OQ = x2 , y2 ，則OP ×OQ = x1x2 + y1 y2
C．若P x1, y 2 21 ，Q x2 , y2 ，則 PQ = x2 - x1 + y2 - y1
D．若q = 60°，以 O 為圓心、半徑為 1 的圓的斜坐標方程為 x2 + y2 + xy -1 = 0
ur uur
3．（多選題）（2024·山西臨汾·二模）設Ox ，Oy 是平面內相交成 60°角的兩條數軸， e1,e2 分別是與 x 軸、
uuur ur uur
y uuur軸正方向同向的單位向量.若OP = xe1 + ye2 ，則把有序實數對 (x, y)叫做向量OP 在斜坐標系 Oxy 中的坐標，
uuur
記作OP = (x, y) .則下列說法正確的是（ ）
uuur uuur
A．若OP = (2,1)，則 | OP |= 7
uuur uuur
B．若 AB = (2,1), BC =

-1,
1
- ，則 A，B，C 三點共線
2
uuur uuur uuur uuur
C．若OP1 = (3, 2),OP2 = (2,-3)，則OP1 ^ OP2
uuur uuur uuur
D．若OA = (2,0),OB = (0,3),OC = (4,1) 7 3，則四邊形 OACB 的面積為
2
r r r r r r
4．（多選題）（2024·湖北·二模）定義空間兩個非零向量的一種運算： a b = a × b ×sináa,b ，則關于空間
向量上述運算的以下結論中恒成立的有（ ）
r r r r r r r rA．l a b = la b B． a b=b a
r r r r r r r r
C．若 a b = 0，則 a ^ b D． a b a × b
r
5．（多選題）定義： ar，b 兩個向量的叉乘 a b = a × b ×sin a,b ，則以下說法正確的是（ ）
r r r rA．若 a b = 0，則 a P b

B．l a b = la b
uuur uuur
C．若四邊形 ABCD 為平行四邊形，則它的面積等于 AB AD
r r rD．若 a b = 3 ar， ×b =1，則 a + b 的最小值為 7
r r
6．（多選題）在平面直角坐標系 xOy 內，設兩個向量 a = x1, y1 ，b = x2 , y2 ，定義運算：
r r
a b = x1y2 - x2 y1，下列說法正確的是（ ）
r r r r r r r r
A． a b = 0是 a∥b的充要條件 B． a b = b a
r r r r r r r uuur uuurC． a b + c = a b + a c 1D．若點O，A ， B 不共線，則 OAB的面積 S = OA OB2
r r r r
7．（多選題）（多選）在三維空間中， a b叫做向量 a與b 的外積，它是一個向量，且滿足下列兩個條件：
r r r r r r r r r r r r r r r r① a ^ a b ，b ^ a b ，且 a，b ， a b三個向量構成右手系（如圖所示）；② a b = a b sin a,b .在
正方體 ABCD - A1B1C1D1 中，已知其表面積為 S，下列結論正確的有（ ）
uuuur uuur uuuur uuur
AB AC AD DB uuur uuur uuur uuurA． 1 = 1 B． AB AD = AD AB
uuur uuur uuuur uuuur uuuur
C． S = 6 BC AC D． A1C1 A1D 與 BD1 共線
p ur uur
8．（多選題）如圖所示設Ox ，Oy是平面內相交成q q 角的兩條數軸， e1 ， e2 分別是與 x，y 軸正方 2
uuuur ur uur
向同向的單位向量，則稱平面坐標系 xOy 為q 反射坐標系，若OM = xe1 + ye2 ，則把有序數對 x, y 叫做向
uuuur uuuur 2 r r
量OM 的反射坐標，記為OM = x, y ．在q = p 的反射坐標系中， a = 1,2 ，b = 2,-1 ．則下列結論中，3
錯誤的是（ ）
r r r
A． a - b = -1,3 B． a = 3
r r r r
C 3 7
r
． a ^ b D． a在b 上的投影向量為- b
14
r r r
r r r r a sin a，b ur r ur r
9．（多選題）對任意兩個非零向量 a,b ，定義新運算： a b = r .已知非零向量m, n滿足 m > 3 n 且
b
ur r
q p p
ur r r ur ur r
向量m, n的夾角 , ，若 4 m n 和 4 n m 都是整數，則m n的值可能是（4 2 ）
5
A．2 B． C．3 D．4
2
10．如圖，在平面斜坐標系 xOy 中， xOy = q ，平面上任意一點 P 關于斜坐標系的斜坐標這樣定義：若
uuur ur uur ur uur uuur
OP = xe + ye （其中 e ,e 分別是 x 軸， y 軸正方向的單位向量），則 P 點的斜坐標為 (x, y)1 2 1 2 ，且向量OP 的
斜坐標為 (x, y) .給出以下結論，其中所有正確的結論的序號是
uuur
①若q = 60°， P (2, -1) ，則 OP = 3 ；
uuur uuur
②若P(x1, y1),Q(x2 , y2 ) ，則OP + OQ = (x1 + x2 , y1 + y2 ) ；
uuur
③若P x, y ,l R，則lOP = (lx,l y)；
uuur uuur uuur uuur
④若OP = (x1, y1),OQ = (x2 , y2 ) ，則OP ×OQ = x1x2 + y1 y2.
r r r r r r r
11．（2024·河南·模擬預測）向量 a,b的夾角為q ，定義運算“ ”: a b =| a || b | sinq ，若 a = ( 3,1) ，
r r r
b = (- 3,1)，則 a b 的值為 .
12．我們把由平面內夾角成60°的兩條數軸Ox ，Oy構成的坐標系，稱為“@未來坐標系”，如圖所示，
ur uur uuur ur uur uuur
e1,e2 分別為Ox,Oy 正方向上的單位向量，若向量OP = xe1 + ye2 ，則把實數對 x, y 叫做向量OP 的“@未來
uuur r r r r
坐標”，記OP = x, y ，已知 x1, y1 ， x2 , y2 分別為向量 a ，b 的“@未來坐標”，若向量 a ，b 的“@未來
坐標”分別為 1,2 ， 2,1 r r，則向量 a ，b 的夾角的余弦值為 .
uuur
13．已知對任意平面向量 AB = x, y ，把 B 繞其起點沿逆時針方向旋轉q 得到向量
uuur
AP = x cosq - y sinq , x cosq + y sinq 叫做把點 B 繞點 A 沿逆時針方向旋轉q 得到點 P.已知平面內點 A 2,1 ，
r
點B 2 2,1 uuur uuur+ - 2 π，把點 B 繞點 A 沿逆時針 后得到點 P，向量 a 為向量4 PB在向量PA上的投影向量，則
r
a = .
r r r r r r14．定義平面非零向量之間的一種運算“*”，記 a * b = a cosq + b sinq （其中q 是非零向量 a，b 的夾角）．若
ur uur ur uur 1 ur uure1 ， e2 均為單位向量，且 e1 ×e2 = ，則 e1 * 3e2 = ．2
r r r r r r r r r r
15．定義 a*b是向量 a 和b 的“向量積”，其長度為 | a *b |=| a || b | sinq ，其中q 為向量 a 和b 的夾角．若
r r r
a = 2,0 ， a - b = r r r1, - 3 ，則 | a *(a + b) | = ．
uuur
uuur16．已知對任意平面向量 AB = x, y ，把 AB 繞其起點沿逆時針方向旋轉q 角得到向量
uuur
AP = x cosq - y sinq , x sinq + y cosq ，叫做把點 B 繞點 A 沿逆時針方向旋轉q 角得到點 P.已知平面內點
A 3- 3,2 3 B 4 3- 3,3 + 2 3 p B2 ， ，把點 繞點 A 沿順時針方向旋轉 后得到點 P，則點 P 的坐標 2 3
為 .
17．（多選題）在復數域內，大小成為了沒有意義的量，那么我們能否賦予它一個定義呢，在實數域內，
我們通常用絕對值來描述大小，而復數域中也相應的有復數的模長來代替絕對值，于是，我們只需定義復
數的正負即可，我們規定復數的“長度”即為模長，規定在復平面 x 軸上方的復數為正，在 x 軸下方的復數
為負，在 x 軸上的復數即為實數大小.“大小”用符號+“長度”表示，我們用 z 來表示復數的“大小”，例如：
1+ 2i = 5, 1- 2i = - 5, 1 =1, -3 = -3, -1- 2i = - 5 ，則下列說法正確的是（ ）
A． z = 1在復平面內表示一個圓
B．若 z C，則方程[z]2 = -1無解
C．若 z1, z2 為虛數，且 z1 = z2 ，則 z1 + z2 = 0
D．復數 z 滿足 z - i =1，則 z 的取值范圍為 é 2, 2ù
18．（多選題）（2024·山西·模擬預測）數系的擴充是數學發展的一個重要內容，1843 年，數學家哈密頓發
現了四元數．四元數的產生是建立在復數的基礎上的，和復數相似，四元數是實數加上三個虛數單位 i， j
和 k，而且它們有如下關系： i2 = j2 = k2 = -1,i0 = j0 = k0 =1,ij = k, ji = -k, jk = i, kj = -i, ki = j, ik = - j．四元數
一般可表示為 a + bi + cj+ dk ，其中 a,b,c,d 為實數．定義兩個四元數：
a = a1 + b1i + c1 j+ d1k, b = a2 + b2i + c2 j+ d2k ，那么這兩個四元數之間的乘法定義如下：
ab = a1a2 - b1b2 - c1c2 - d1d2 + a1b2 + b1a2 + c1d2 - d1c2 i + a1c2 + c1a2 + d1b2 - b1d2 j+ a1d2 + d1a2 + b1c2 - c1b2 k ．
關于四元數，下列說法正確的是（ ）
A． ijk = -1
B aa = a2 + b2． 1 1 + c
2 2
1 + d1
C．ab = ba
D．若a =1+ i + j+ k，且ab = 4，則 b =1- i - j- k
19．（多選題）（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）定義復數的大小關系：已知復數 z1 = a1 + b1i ， z2 = a2 + b2i ， a1，
a2，b1，b2 R．若 a1 > a2 或（ a1 = a2 且b1 > b2 ）,稱 z1 > z2．若 a1 = a2 且b1 = b2 ,稱z1 = z2．共余情形均為
2

z1 < z2 ．復數 u v
3 +1
， ，w 分別滿足：u2 + u +1 = 0， v = ， w +1 =1，則（ ）
2
A．u < w < v B．u = v = w C． v > u = w D．w < u < v
20．對于任意的復數 z = x + yi(x, y R)，定義運算 P(z) = x2[cos(yπ) + isin(yπ)]．
(1)集合 A = {w | w = P(z) ， | z | 1，Rez， Imz 均為整數}，試用列舉法寫出集合A ；
(2)若 z = 2 + yi(y R) ，P(z)為純虛數，求 | z |的最小值；
(3)直線 l : y = x - 9上是否存在整點 (x, y)（坐標 x ， y 均為整數的點），使復數 z = x + yi經運算 P 后，P(z)對
應的點也在直線 l上？若存在，求出所有的點；若不存在，請說明理由．
21．（2024·河南鄭州·三模）復數除了代數形式 a + bi之外，還有兩種形式，分別是三角形式和指數形式，
著名的歐拉公式 eiq = cosq + isinq 體現了兩種形式之間的聯系．利用復數的三角形式進行乘法運算，我們可
iθ
以定義旋轉變換．根據 a + bi e = a + bi cosq + isinq = acosq - bsinq + asinq + bcosq i，我們定義：在
直角坐標系內，將任一點繞原點逆時針方向旋轉q 的變換稱為旋轉角是q 的旋轉變換．設點 A a,b 經過旋
ìa = acosq - bsinq ,
轉角是q 的旋轉變換下得到的點為 A a ,b ，且旋轉變換的表達式為 íb asinq bcosq . 曲線的旋轉變換也 = +
1 π
如此，比如將“對勾”函數 y = x + 圖象上每一點繞原點逆時針旋轉 8 后就得到雙曲線：x
y2 x2
- =1
2 2 +1 2 2 -1 ．
(1)求點 -1, - 3 π在旋轉角是 的旋轉變化下得到的點的坐標；4
π
(2)求曲線 xy =1在旋轉角是 的旋轉變化下所得到的曲線方程；
4
(3)等邊 ABC 中，B -1, -1 , A,C 在曲線 xy =1上，求 ABC 的面積．
22．（2024·河南·模擬預測）從數據組W : (1, 2,3,L, n) 中取出 k k N*, k n 個不同的數構成一個新數據組
P： (x1, x2 ,L, xk )．若"a W，$xi , x j P ， i, j {1,2,L, k}，使得 a = lxi + mx j ，l, m -1,0,1 ，則稱數
據組P為數據組W的一個 k 維基本數據庫.
(1)判斷數據組P： 1,4 是否為數據組W： 1,2,3,4,5 的一個 2 維基本數據庫；
(2)判斷數據組P： 2,3,4 是否為數據組W： 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的一個 3 維基本數據庫.
(3)若數據組P是數據組W的一個 k 維基本數據庫，求證： k 2 + k n .
a1 b1
r a r b 2 2 r r r23．（2024·全國·模擬預測）設有 n維向量 a = ，b = ，稱 é a,b ù = a1b1 + a b + ×××+ a b
r
××× 2 2 n n
為向量 a和
× × × b

an bn
r r r r
的內積，當 éa,b ù = 0，稱向量 a和b 正交．設 Sn 為全體由 -1和 1 構成的 n元數組對應的向量的集合．
1
r 2 r r r
(1)若 a = 3 ，寫出一個向量b ，使得
éa,b ù = 0．

4


B xr(2)令 = , yr xr, yr Sn ．若m B ，證明：m + n為偶數．
r r
(3)若 n = 4， f 4 是從 S4 中選出向量的個數的最大值，且選出的向量均滿足 é a,b ù = 0，猜測 f 4 的值，
并給出一個實例．拔高點突破 02 平面向量與復數背景下的新定義問題　
目錄
01 方法技巧與總結...............................................................................................................................2
02 題型歸納與總結...............................................................................................................................2
題型一：向量外積（叉積）................................................................................................................2
題型二：斜坐標系................................................................................................................................5
題型三：向量新定義之新概念..........................................................................................................10
題型四：向量新定義之新運算..........................................................................................................14
題型五：向量新定義之新性質..........................................................................................................18
題型六：復數新定義..........................................................................................................................22
03 過關測試 .........................................................................................................................................26
1、平面向量背景下的新定義問題是一類既涉及平面向量基礎知識，又融入新穎定義和復雜信息的數
學問題。這類問題要求考生不僅掌握平面向量的基本概念和運算規則，還需要具備良好的分析能力和邏輯
推理能力。平面向量背景下的新定義問題，通常基于平面向量的方向性和大小性，引入新的運算規則或概
念。解題時，首先要準確理解新定義的本質，明確其涉及的向量運算和性質。接著，將新定義應用到具體
的題目情境中，通過向量的加法、減法、數乘、數量積等運算，推導出所需的結論。這類問題往往信息量
大，背景新穎，需要考生耐心分析，細致推理。同時，注意平面向量的模、夾角等幾何特征在新定義問題
中的應用，以及如何利用這些特征簡化解題過程。最終，通過綜合應用平面向量的基礎知識和新定義，解
決這類復雜而有趣的數學問題。
2、復數背景下的新定義問題是一類融合了復數基礎理論與新穎概念的數學問題。這類問題要求考生
不僅熟悉復數的代數表示、模、輻角等基本概念，還需具備靈活運用復數運算規則的能力。解題時，首先
要深入理解新定義的本質，明確其涉及的復數運算和性質。接著，將新定義與具體的題目情境相結合，通
過復數的加、減、乘、除等運算，推導出所需的結論。這類問題往往考察考生的邏輯推理能力和創新能力，
需要考生在新穎的復數運算或概念中找到解題的突破口。最終，通過綜合運用復數的基礎知識和新定義，
解決這類富有挑戰性的數學問題。
題型一：向量外積（叉積）
r r r r r r r r
【典例 1-1】如果向量 a ，b 的夾角為q ，我們就稱 a b為向量 a 與b 的“向量積”， a b還是一個向量，它
r r r r r r r r r r
的長度為 a b = a × b sinq ，如果 a =10 ， b = 2， a ×b = -12，則 a b = （ ）
A．-16 B．16 C．-20 D．20
【答案】B
r r r r r r
【解析】因為 a =10 b 2
r r
， = ， a ×b = -12，所以 a ×b = a b cosq =10 2cosq = -12，
cosq 3= - sinq 4 r
r r r
所以 ，所以 = ，所以 a b = a b sinq =10 2
4
=16 .
5 5 5
故選：B
r r r r
【典例 1-2】（2024·高三·內蒙古呼和浩特·期末）若向量 a = x1, y1 ，b = x2 , y2 ，則以 a 、b 為鄰邊的平行
r r r r r r
四邊形的面積S可以用 a 、b 的外積 a b表示出來，即 S = a b = x1y2 - x2 y1 .已知在平面直角坐標系 xOy 中，
A cosa , 3 、B sin 2a , 2cosa a é0, π ù， ê 2 ú ，則 OAB面積的最大值為（ ）
A．1 B． 2 C． 2 D．3
【答案】A
【解析】已知在平面直角坐標系 xOy 中， A cosa , 3 、B sin 2a , 2cosa a é π ù， ê0, ú ， 2
1 uuur uuur
因為 S OAB = OA OB
1
= 2cos2 a - 3 sin 2a 1= 3 sin 2a - 2cos2 a
2 2 2
1 3 sin 2a 1 1 π= - 1+ cos 2a = 3 sin 2a - cos 2a -1 = 2sin 2a -

÷ -1 ，2 2 2 è 6
π π π 5π 1
因為0 a ，則- 2a - ，則- sin

2a
π
- 1，
2 6 6 6 2 è 6 ÷
2 π 1 π則- 2sin

2a -

÷ -1 1，則 S = 2sin 2a - ÷ -1 0,1 ，
è 6 2 è 6
π π
當 2a - = - 時，即當a = 0 時， OAB面積取最大值1.
6 6
故選：A.
r r r r r r r r
【變式 1-1】（多選題）已知向量 a,b 的數量積（又稱向量的點積或內積）： a ×b = a × b cos a,b ，其中
r r r r r r
ar,b ar
r r r
表示向量 ,b r的夾角；定義向量 a,b 的向量積（又稱向量的叉積或外積）： a b = a × b sin a,b ，其
r r
中 a
r,b r表示向量 a,b 的夾角，則下列說法正確的是（ ）
r r r r r r r π
A r．若 a,b 為非零向量，且 a b = a ×b ，則 a,b =
4
uuur uuur
B．若四邊形 ABCD為平行四邊形，則它的面積等于 AB AD
uuur uuurC．已知點 A 2,0 , B -1, 3 ,O為坐標原點，則 OA OB = 2 3
D ar
r
b 3 r
r
ar
r
．若 = a ×b = 3 ，則 + 2b 的最小值為 12 + 8 3
3
【答案】BCD
A ar
r r r r r r r
【解析】對于 中，因為 ,b 是非零向量，由 a
r b ar b r r r r = × ，可得 a b sin a,b = a b cos a,b ，即
r r
sin ar,b cos ar= ,b ，
r r r r
可得 tan a
r,b = ±1，且 a,b 0, π r π 3π，解得 a,b = 或 ，所以 A 錯誤；
4 4
1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
對于 B 中，由 S = 2 | AB‖AD | sináAB, AD = AB AD ，所以 B 正確；
2
uur uuur uur uuur uur uuur
對于 C 中，因為OA = 2,0 ,OB = -1, 3 ，可知OA ×OB = -2, OA = OB = 2，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
則 cos OA,OB = u
OuurA ×OuuBur 1= - ，且OA,OB 0, π
2π

OA ，可得 OA,OB = ，× OB 2 3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 OA OB = OA × OB sin OA,OB = 2 3 ，故 C 正確；
D ar
r 3 r r r r r r r r
對于 中，因為 b = a ×b = 3 ，即 a b sin ar,b 3= a b cos ar,b = 3 ，
3 3
r r r r r
可得 tan ar,b 3= ，可知 a,b 0, π ar,b π，可得 = , ar b = 2 3，
3 6
r r r r r r
則 | a + 2b |2 =| ar |2 4ar r r+ ×b + 4 | b |2 =12+ | a |2 +4 | b |2 12 + 4 | a || b |=12 + 8 3，
r r r r
所以 a + 2b 12 + 8 3 = 2 3+ 2 3 ，當且僅當 a = 2 b 時，等號成立，所以 D 正確，
故選：BCD.
r r r r r r
【變式 1-2】（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期中）已知兩個非零向量 a 與b ，定義 a b = a × b ×sinq ，其中q
r r r r r r
為 a 與b 的夾角，若 a = (-2,3)，b = (1,1) ，則 a b 的值為（ ）
A．5 B．7 C．2 D． 26
【答案】A
r r r r
【解析】因為 a = (-2,3)，b = (1,1) ，則 | a |= 13,| b |= 2，
r r
a ×b = -2 1+ 3 1 =1，
r r r r
cos a,b ra ×br 1 1則 = = = ，
| a | × | b | 13 × 2 26
又q [0, π]，則 sinq 1 5= 1- cos2 q = 1- = ，
26 26
r
則 | a
r b | 5 = 13 2 = 5 .
26
故選：A
r r r r r r r r r r r
【變式 1-3】定義： a b = a b sinq ，其中q 為向量 a ，b 的夾角，若 a = 2， b = 5， a + b × a = -2，則
r r
a b = （ ）
A．6 B．-6 C．-8 D．8
【答案】D
r r r r 2 r r【解析】∵ a + b a r r× = -2 ∴ 2 r， a + a ×b = -2，即 a + a b cosq = -2，
3
∴ 22 + 2 5 cosq = -2，∴ cosq = - ，5
∵ 0 q 4 π，∴ sinq = 5 ，
r r r r
∴ a b = a b sinq = 2 5
4
= 8 .
5
故選：D.
題型二：斜坐標系
【典例 2-1】（2024·云南昆明·模擬預測）向量的廣義坐標是用于描述向量或系統狀態的一組數值，其選擇
取決于問題的特定背景和需求．在物理學、工程學、計算機圖形學等領域，廣義坐標被廣泛應用．比如，
物理學中的振動系統可能采用角度作為廣義坐標，而工程學中的結構分析可能使用特定坐標系來簡化問
題．通過選擇適當的廣義坐標，可以更自然地描述問題，簡化數學表達，提高問題的可解性，并使模型更
ur uur
符合實際場景．已知向量 e1 ， e2 是平面a 內的一組基向量，O 為a 內的定點．對于a 內任意一點 P，若
uuur ur uur
OP = xe1 + ye2 x, y R ，則稱有序實數對 x, y 為點 P 的廣義坐標．若點 A，B 的廣義坐標分別為 x1, y1 ，
x2, y 2 ，關于下列命題正確的（ ）
A．點M 1,2 關于點 O 的對稱點不一定為M -1,-2
B 2 2．A，B 兩點間的距離為 x1 - x2 + y1 - y2
uuur uuur
C．若向量OA平行于向量OB ，則 x1 y2 - x2 y1的值不一定為 0
x1 + x2 , y1 + y D．若線段 AB 的中點為 C，則點 C 的廣義坐標為 2 2 2 ÷è
【答案】D
uuuur ur uur
【解析】對于 A，OM = e1 + 2e2 ，設M 1,2 關于點O的對稱點為M x, y ，則
uuuuur uuuur ur uur ur uur
OM = -OM = -e1 - 2e2 = xe1 + ye2 ，
ur uur ì x = -1
因為 e1 ， e2 不共線，所以 íy ，A 錯誤； = -2
uuur uuur uuur ur uur ur uur ur uur
對于 B，因為 AB = OB - OA = x2 e1 + y2 e2 - x1e1 - y1e2 = x2 - x1 e1 + y2 - y1 e2 ，
uuur ur uur 2 ur2 ur uur uur2
所以 AB = é x2 - x1 e1 + y2 - y e ù = x - x
2 2
1 2 2 1 e1 + 2 x2 - x1 y2 - y1 e1 ×e2 + y2 - y1 e2 ，
ur uur 2 2
當向量 e1 ， e2 是相互垂直的單位向量時，A ， B 兩點間的距離為 x1 - x2 + y1 - y2 ，否則距離不為
x1 - x
2
2 + y1 - y
2
2 ，B 錯誤；
uuur uuur r
對于 C，當OA與OB 中至少一個是0 時，結論成立；
uuur uuur r uuur uuur ur uur ur uur ìx1 = x2
當OA與OB 都不為0 時，設OA = OB（ 0），有 x1e1 + y1e2 = x2 e1 + y2 e2 ，即 íy ，所以 1 = y2
x1y2 = x2 y1，C 錯誤；
uuur 1 uuur uuur 1 ur uur ur uurOC OA OB x e y e x e x1 + x ur y + y uur對于 D， = + = + + 2 1 22 2 1 1 1 2 2 1 + y2 e2 = e1 + e2 ，2 2
x + x y + y
所以線段 AB 中點C 的廣義坐標為 1 2 1 2 , ÷，D 正確
è 2 2
故選：D
【典例 2-2】（2024·吉林長春·模擬預測）互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角坐標系，但如果
平面坐標系中兩條坐標軸不垂直，則這樣的坐標系稱為“斜坐標系”．如圖，在斜坐標系中，過點 P 作兩坐
標軸的平行線，其在 x 軸和 y 軸上的截距 a，b 分別作為點 P 的 x 坐標和 y 坐標，記 P a,b ，則在 x 軸正方
向和 y 軸正方向的夾角為q 的斜坐標系中，下列選項錯誤的是（ ）
A．當q = 60°時 A 1,2 與B 3,4 距離為 2 3
B．點 A 1,2 關于原點的對稱點為 A -1, -2
r r
C．向量 a = x1, y1 與 b = x2 , y2 平行的充要條件是 y1x2 = y2x1
D．點 A 1,2 到直線 x + y -1= 0的距離為 2
【答案】D
ur uur
【解析】設 x 軸正方向的單位向量為 e1 ， y 軸正方向的單位向量為 e2 ，
ur uur ur uur
對于 A 1 1選項：由已知得 e1,e2 = 60°，所以 e1 × e2 = 1 1 =2 2 .
uuur ur uur uuur ur uur
由 A 1,2 , B 3,4 及斜坐標的定義可知OA = e1 + 2e2 ,OB = 3e1 + 4e2 ，
uuur uuur uuur ur uur ur uur 2 ur2 ur uur uurAB OB OA 2 e e 2 e e 2= - = 1 + 2 = 1 + 2 = 2 e1 + 2e1 ×e2 + e2 = 2 1+1+1 = 2 3，
故 A 選項正確；
uuur ur uur
對于 B 選項：根據“斜坐標系”的定義可知：點 A 1,2 ，則OA = e1 + 2e2 ，設 A 1,2 關于原點的對稱點為
uuur uuur ur uur ur uur
A x, y ，則OA ' = -OA = -e1 - 2e2 = xe1 + ye2 ，
ur uur ì x = -1
由于 e1,e2 不共線，所以 í
y = -2
，
故 B 選項正確；
r ur uur r ur uur
對于 C 選項： a = x1e1 + y1e2 ,b = x2 e1 + y2 e2 ，
r r r
若 a是零向量，則 a//b 成立，同時 x1 = y1 = 0，所以 x1y2 = x2 y1成立，
r r
此時 a//b x1 y2 = x2 y1 ；
r r r r r ur uur ur uur ìx2 = x1
若 a是非零向量，則 a//b 存在非零常數 ，使b = a x2 e1 + y2 e2 = x1e1 + y1e2 í
y1 = y2
r r
x2 y1 = x1 y2 y1x2 = y2x1 ，所以 a//b x1 y2 = x2 y1 .
故 C 選項正確；
uuur ur uur
對于 D 選項：設直線 x + y -1= 0上的動點為P x, y ,OP = xe1 + ye2 ，
因為 x + y -1= 0，所以 x + y =1，
uuur ur uuur uur
設OC = e1,OD = e2 ，則點P x, y 在直線CD 上，
所以直線 x + y -1= 0過點C 1,0 , D 0,1 ，
uuur ur uur uuur uuur uuur uur
因為OA = e1 + 2e2 ，則 AC = OC - OA = 2 e2 = 2 ，
uuur uuur uuur ur uur ur uur 2
AD = OD - OA = e1 + e2 = e1 + e2 = 3 ，
uuur uuur uuur uuur uuur
由于 OC = OD =1, OC,OD = 60°，所以 CD =1 .
uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur uuur
所以 AD + CD = AC ，所以 AD ^ CD ，
uuur
所以點 A 到直線 x + y -1= 0的距離為 AD = 3 ，
故 D 選項錯誤.
故選：D
p ur uur
【變式 2-1】如圖所示，設 Ox，Oy 是平面內相交成q q ÷角的兩條數軸， e1,e2 分別是與 x，y 軸正方向è 2
uuuur ur uur
同向的單位向量，則稱平面坐標系 xOy 為q 斜坐標系，若OM = xe1 + ye2 ，則把有序數對 x, y 叫做向量
uuuur uuuur
p ar
1 3 r
OM 的斜坐標，記為OM = x, y ．在q = 的斜坐標系中， = , ÷÷ ,b =4 2 2 3, -1 ﹒則下列結論中，錯è
誤的是（ ）
r r 1 3 r
① a - b = - 3, +1÷÷；② a
r
=1 r r r；③ a ^ b ；④ b 在 a上的投影為- 2
è 2 2
A．②③ B．②④ C．③④ D．②③④
【答案】D
r r 1 ur 3 uur ur uur①. a b ( e e ) ( 3e e ) (1
ur uur
【解析】對于 - = 1 + 2 - 1 - 2 = - 3)e1 + (
3 +1)e
2 2 2 2 2
，
r r 1 3
所以 a - b = - 3, +1 ，故①正確；
è 2 2 ÷
÷

r 1 ur 3 uur 1 ur2 1 3 ur uur uur
對于②. a ( e e )2 e 2 e e 3
2 3 p 6
= 1 + 2 = 1 + 1 × 2 + e2 = 1+ cos = 1+ >1 ，故②錯誤；2 2 4 2 2 4 2 4 4
r r ur uur ur uur uur uur
對于③. a ×b = (1 e 31 + e2 ) × ( 3e1 - e )
3 3
2 = - + e2 ×e
2
2 = 0 + 0，故③錯誤；2 2 2 2 2
2
r r r r
對于④. b 在 a上的投影為 ar×b = 2r > 0 ，故④錯誤.
a a
故選：D
π ur uur
【變式 2-2】如圖，設Ox Oy q q ， 是平面內夾角為 ÷的兩條數軸， e ， e 分別是與 x 軸、 y1 2 軸正方向è 2
uuur ur uur
同向的單位向量.若向量OA = xe1 + ye2 ，則有序數對 x, y 叫做點A 在坐標系Oxy 中的坐標.在該坐標系下，
A x1, y1 ，B x2 , y2 ，C x3 , y3 為不共線的三點，下列結論錯誤的是（ ）
x + x y + y x + x + x y + y + y
A．線段 AB 中點的坐標為 1 2 ，1 2 ÷ B． ABC
1 2 3
重心的坐標為 ，
1 2 3
è 2 2 ÷ è 3 3
C．A ， B 兩點的距離為 x - x 21 2 + y1 - y2 2 D．若 x1y2 = x2 y1，則O，A ， B 三點共線
【答案】C
uuur ur uur uuur ur uur uuur ur uur
【解析】根據題意，OA = x1e1 + y1e2 ，OB = x2 e1 + y2 e2 ，OC = x3 e1 + y3 e2 ，
uuuur uuur uuur ur uur ur uur ur uur
對于 A，設 AB 的中點為M OM
1 (OA OB) 1 (x e y e x x1 + x2 y1 + y，則 = + = + + 22 2 1 1 1 2 2
e1 + y2 e2 ) = e2 1
+ e
2 2 ，
x + x y + y
故線段 AB 中點的坐標為 1 2 , 1 2 ÷，故 A 正確．
è 2 2
uuur uuur uuur uuur 2 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur
對于 B，設 ABC 重心為G ，則OG = OA + AG = OA + (AB + AC) = OA + (AB + AC)3 2 3
uuur 1 uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur urOA (OB OA OC OA) (OA OB OC) x1 + x2 + x3 e y1 + y + y
uur
= + - + - = + + = + 2 3 e
3 3 3 1 3 2 ，
x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3
故 ABC 重心的坐標為 , ÷，故 B 正確；
è 3 3
uuur uuur uuur ur uur ur uur ur uur對于 C， AB = OB - OA = x2 e1 + y2 e2 - x1e1 + y1e2 = x2 - x1 e1 + y2 - y1 e2 ，
uuur ur uur 2
所以 AB = é x2 - x ù1 e1 + y2 - y e1 2
2 ur2 2 uur2 ur uur= x2 - x1 e1 + y2 - y1 e2 +2 x2 - x1 y2 - y1 e1 ×e2
2 ur 2 uur 2 ur uur= x2 - x1 e1 + y - y
2
2 1 e2 +2 x2 - x1 y2 - y1 e1 × e2 cosq
= x - x 2 121 2 + y1 - y
2 2
2 1 +2 x1 - x2 y1 - y2 1 1 cosq
= x1 - x
2
2 + y1 - y2
2 +2 x1 - x2 y1 - y2 cosq
即該坐標系中 A x1, y1 ，B x2 , y2 兩點間的距離為：
x1 - x2
2 + y1 - y2
2 +2 x1 - x2 y1 - y2 cosq ，故 C 錯誤；
uuur ur uur uuur ur uur
對于 D，OA = x1e1 + y1e2 ，OB = x2 e1 + y2 e2 ，
uuur uuur
若 x1 y2 = x2 y1 = 0，易得OA//OB ，則O、A 、 B 三點共線，
x1 y1 uuur uuur
若 x1 y2 = x2 y1 0，變形可得 = = t t 0 x y ，所以OA = tOB ，2 2
uuur uuur
所以OA//OB ，所以O、A 、 B 三點共線，
綜合可得：若 x1y2 = x2 y1，則O，A ， B 三點共線，故 D 正確．
故選：C．
題型三：向量新定義之新概念
【典例 3-1】（多選題）（2024·山東濰坊·三模）定義平面向量的一種運算“ Q ”如下：對任意的兩個向量
r r r r
a = x1, y1 ， b = x2 , y2 ，令 aQb = x1 y2 - x2 y1, x1x2 + y1 y2 ，下面說法一定正確的是（ ）
r r r r
A．對任意的 R ，有 a Qb = aQb
r r r r r r r
B．存在唯一確定的向量 e使得對于任意向量 a，都有 aQe = eQa = a 成立
r r r r r r r r
C．若 a與b 垂直，則 aQb Qc 與 aQ bQc 共線
r r r r r rD．若 a與b 共線，則 aQb Qc 與 aQ r rbQc 的模相等
【答案】AD
r r
【解析】設向量 a = x1, y1 ， b = x2 , y2 ，對于 A，對任意的 R ，有
r r a Qb = x1, y1 Q x2 , y2 = x1 y2 - x2 y1, x1x2 + y1 y2
r r
= x1y2 - x2 y1, x1x2 + y1 y2 = aQb ，故 A 正確；
r r r r r r r
對于 B，假設存在唯一確定的向量 e = x0 , y0 使得對于任意向量 a，都有 aQe = eQa = a 成立，即
x1y0 - x0 y1, x1x0 + y1 y0 = x0 y1 - x1y0 , x0x1 + y0 y1 = x1, y1 恒成立，即方程組
ìx1y0 - x0 y1 = x0 y1 - x1 y0 = x1
í ，對任意 x , yx x y y y 1 1恒成立，而此方程組無解，故 B 不正確； 1 0 + 1 0 = 1
r r r
對于 C，若 a與b 垂直，則 x1x2 + y1 y2 = 0，設 c = x3 , y3 ，則
r raQb rQc = x1 y2 - x2 y1,0 Q x3 , y3 = x1 y2 y3 - x2 y1 y3 , x1 y2x3 - x2 y1x3 ，
r r r
aQ bQc = x1, y1 Q x2 y3 - x3 y2 , x2x3 + y2 y3
= x1x2x3 + x1y2 y3 - y1x2 y3 + y1x3 y2 , x1x2 y3 - x1 y2x3 + y1x2x3 + y1 y2 y3
= x1y2 y3 - y1x2 y3 , -x1y2x3 + y1x2x3 m x1y2 y3 - y1x2 y3 , x1 y2x3 - y1x2x3 ，其中m R ，故 C 不正確；
r r r
對于 D，若 a與b 共線，則 x1y2 - x2 y1=0，設 c = x3 , y3 ，
r raQb rQc= 0, x1x2 + y1 y2 Q x3 , y3 = -x1x2x3 - y1 y2x3 , x1x2 y3 + y1 y2 y3 ，
r r raQ bQc = x1x2x3 + x1y2 y3 - y1x2 y3 + y1 y2x3 , x1x2 y3 - x1 y2x3 + y1x2x3 + y1 y2 y3
r r r r r r
= x1x2x3 + y1 y2x3 , x1x2 y3 + y1 y2 y3 ，所以 aQb Qc 與 aQ bQc 的模相等，故 D 正確.
故選：AD.
uuuur uuuur
【典例 3-2】（多選題）設 A1、A2、A3、A4 是平面直角坐標系中相異的四點，若 A1A3 = A1A2 ( R) ，
uuuur uuur 1 1
A A = m A A (m R) ，且 + = 21 4 1 ，則稱 A , A2 m 3 4 調和分割
A1, A2 ，已知平面上的點 C，D 調和分割點 A，B，
則下面說法正確的是（ ）
A．A、B、C、D 四點共線
B．D 可能是線段 AB 的中點
C．C、D 可能同時在線段 AB 上
D．C、D 不可能同時在線段 AB 的延長線上
【答案】AD
uuuur uuuur uuuur uuur
【解析】∵ A1A3 = A1A2 ( R) ， A1A4 = m A1A2 (m R)
∴ A1A3 //A1A2 ， A1A4 //A1A2
∴ A1、 A2、 A3 、 A4 四點共線
∵平面上的點 C，D 調和分割點 A，B
∴A、B、C、D 四點共線，故 A 正確；
由題意可設 A 0,0 、B 1,0 、C c,0 、D d ,0 ，則 c,0 = 1,0 ， d ,0 = m 1,0 .
∴ = c，m = d
1 1
∵ + = 2 m
1 1
∴ + = 2
c d
1 1 1
對于 B，若 D 是線段 AB 的中點，則 d = ，代入到 + = 2，c不存在，故 B 錯誤；
2 c d
1 1
對于 C，若 C、D 同時在線段 AB 上，則0 c 1，0 d 1，代入到 + = 2，可得 c = d =1，此時 C、D
c d
重合，與題意不符，故 C 錯誤；
1 1 1 1
對于 D，若 C、D 同時在線段 AB 的延長線上，則 c >1，d >1，所以 + < 2，與 + = 2矛盾，故 C、
c d c d
D 不可能同時在線段 AB 的延長線上，故 D 正確.
故選：AD.
ìar
r r
r r r r ×b ,a
r
與b不共線,
【變式 3-1】設 a,b 為平面內的任意兩個向量，定義一種向量運算“ ”： a b = í r r 對于同
a
r
- b , ar與b共線.
ar
r r
一平面內的向量 ,b ,cr, d ，給出下列結論：
r r r r rar b ar r① a b = b a ；② = b R ；
r r r r r ra b c a c b cr r r r r③ + = + ；④若 e 是單位向量，則 a e a +1．
以上所有正確結論的序號是 ．
【答案】①④
r r r r r r
【解析】對于①，當 a與b 不共線時， ar b ar b b ar r= × = × = b a ；
r r r r r r r r r
當 ar與b 共線時， a b = a - b = b - a = b a ，①正確.
r r r r r r r r r r
對于②，當 a與b 共線時， a b = a - b ， a b = a - b ，
r r r r
所以 a b 與 a b 不一定相等，②錯誤.
ar
r r r r r r r r r
對于③，當 ，b ， c共線時， a + b cr ar b cr= + - ， a c + b cr ar cr b cr = - + - ，
r r
所以 a + b cr r 與 ar cr + b cr 不一定相等，③錯誤.
r r r r r r r r r
對于④，當 ar與 e不共線時，記 a,e = q ，則 a e = a ×e = a cosq < a ；
r r r r r r r r
當 ar與 e共線時， a e = a - e a + e = a +1，④正確.
故答案為：①④
r r r r
r r
a ×b
【變式 3-2】（2024·河北邯鄲·二模）對任意兩個非零的平面向量 a 和b ，定義：a b = r 2 r 2 ，a + b
r r r r
a eb a ×b= r r r r r rr r r2 ．若平面向量 a,b滿足 a > b > 0 ì
n
，且 a b 和a e b都在集合 í | n Z,0 < n 4
ü
中，則
b 4
r r r r
a b + a e b = （ ）
3 7 5
A．1 B． C．1 或 D．1 或
2 4 4
【答案】D
ìn
【解析】因為 í | n Z,0 n 4
ü ì1 1 3 < = í , , ,1
ü
，
4 4 2 4
r r r r r 2 r 2 r r
設向量 a 和b 的夾角為q ，因為 a > b > 0，所以 a + b > 2 a b ，
r r r r
r r ar ×b a b cosq a
r b cosq
a b r = cosq得到 = r r 2 = r r 2 r ，
+ b a 2 + b 2 a × b 2
q 0, π cosq 1又 ，所以 ，
2 2
r r ìn r r
又 a b 在集合 í | n Z,0 < n 4
ü cosq 1
中，所以 > ，即 cosq
1 1
> ，得到 a b = ，
4 2 4 2 4
r r r r
ar
r ar ×b a × b cosq a r r
又因為 eb = r 2 = r 2 = r cosq > cosq
1
>
2 ，所以 a eb
3
= 或1，
b b b 4
r r r r 5
所以a b + a e b = 1或 ，4
故選：D.
uuur uuur
【變式 3-3】（多選題）（2024·高三·山東青島·期末）已知對任意平面向量 AB = x, y ，把 AB 繞其起點沿逆時
uuur
針方向旋轉q 角得到向量 AP = xcosq - ysinq , xsinq + ycosq ，叫做把點 B 繞點 A 沿逆時針方向旋轉q 角得
uuur uuur uuur
到點 P .已知平面內點 A 2,1 ，點B 2 + t,1- t ， AB = 2 2 ， AB ×OA > 0 ，點 B 繞點 A 沿逆時針方向旋轉
π
角得到點 P ，則（ ）
3
uuur uuur
A． BP = 2 2 B． AB = -2,2
C． B 的坐標為 4, -1 D． P 的坐標為 3 + 3, 3
【答案】ACD
uuur
【解析】由題意可知點 A 2,1 ，點B 2 + t,1- t ，故 AB = t,-t ，
uuur
因為 AB = 2 2 ，故 t 2 + (-t)2 = 8,\t 2 = 4 ，
uuur uuur
又 AB ×OA > 0 ，即 t, -t × (2,1) > 0,\2t - t > 0,\t > 0，故 t = 2，
uuur
所以 AB = 2,-2 ，B 4, -1 ，故 B 錯誤，C 正確；
π
因為點 B 繞點 A 沿逆時針方向旋轉 角得到點 P ，
3
uuur
所以 AP =

2cos
π 2sin π+ , 2sin π - 2cos π ÷ = (1+ 3, 3 -1) ，
è 3 3 3 3
則由 (1+ 3, 3 -1) + (2,1) = (3 + 3, 3) ,可得點 P 坐標為 (3 + 3, 3)，故 D 正確；
uuur uuur
故BP = ( 3 -1, 3 +1)，則 BP = ( 3 -1)2 + ( 3 +1)2 = 2 2 ，A 正確，
故選：ACD
題型四：向量新定義之新運算
【典例 4-1】（多選題）在實數集R 中，我們定義的大小關系“＞”為全體實數排了一個“序”．類似實數排序
的定義，我們定義“點序”，記為“ ”：已知M x1, y1 ， N x2 , y2 ，M N ，當且僅當“ x1 > x2 ”或“ x1 = x2且
y1 > y2 ”．定義兩點的“ ”與“ ”運算：M N = x1 + x2，y1 + y2 ，M N = x1x2 + y1 y2 ．則下列說法正確
的是（ ）
A．若P 2025，2024 ，Q 2024，2025 ，則P Q
B．若P 2025，2024 ，Q x，y ，P Q，則 x 2025且 y 2024
C．若P Q，則對任意的點 T，都有P T Q T
D．若P Q，則對任意的點 T，都有P T > Q T
【答案】AC
【解析】選項 A：因為P 2025,2024 ，Q 2024,2025 ，所以 xP > xQ，
故由定義可知P Q，故 A 正確；
選項 B：根據定義可知，當 x = 2025時，有 y < 2024，
當 x < 2025時，y 與 2024 之間沒有大小關系，故 B 錯誤；
選項 C：設P x1, y1 ，Q x2 , y2 ，T x3 , y3 ，則由P Q可得，“ x1 > x2 ”或“ x1 = x2且 y1 > y2 ”，
由定義得P T = x1 + x3 , y1 + y3 ，Q T = x2 + x3 , y2 + y3 ，
當 x1 > x2 時， x1 + x3 > x2 + x3，所以P T Q T ；
當 x1 = x2時，有 y1 > y2 ，此時 x1 + x3 = x2 + x3，且 y1 + y3 > y2 + y3，所以P T Q T ，故 C 正確；
選項 D：設P x1, y1 ，Q x2 , y2 ，取T 0,0 ，
則有P T = x1 0 + y1 0 = 0，Q T = x2 0 + y2 0 = 0，
顯然P T > Q T 不成立，故 D 錯誤．
故選：AC
r r r r r r
【典例 4-2】定義空間兩個向量的一種運算 a b = a × b sin a,b ，則關于空間向量上述運算的以下結論中
恒成立的有（ ）
A． r r r ra b = a b
r r r r r r
B． a b c = a b c
C． r r r r r r ra + b c = a c + b c
r r r r
D．若 a = x1, y1 ， b = x2 , y2 ，則 a b = x1 y2 - x2 y1
【答案】D
r r r r r r
【解析】A． ( a) b = a b sin < a,b >，
r r r r r r r r r r r r
> 0時，< a,b >=< a,b >， ( a) b = a b sin < a,b >= (a b)，
r r r r
= 0時， a b = 0, a b = 0，成立，
r r r r r r r r r r
< 0 時，< a,b >= p - < a,b > ， sin < a,b >= sin(p - < a,b >) = sin < a,b >
r r r r r r r r
( a) b = - a b sin < a,b >= - (a b)，
綜上，A 不恒成立；
r r r r r
B． a b 是一個實數， a b c 無意義，B 不成立；
r r r r r
C．若 a = (0,1),b = (1,0)， c = (1,1) ，則 a + b = (1,1) ，
r r r r r r r r r
< a + b,c >= 0， a + b c = a + b c sin 0 = 2 2 0 = 0，
r r r r
< a,c p>= ,< b,c p>= ，
4 4
r ra c + r rb c =1 2 sin p +1 2 sin p = 2 ，4 4
r r r r r r ra + b c a c + b c ，C 錯誤；
r r r r
D．若 a = x1, y1 ， b = x2 , y 2 22 ，則 a = x1 + y1 ， b = x22 + y22 ，
r r
cos a,b x x + y y< >= 1 2 1 2
x2 y2 x2 y2 ，1 + 1 2 + 2
r r r r
2 (x x + y y )2 x y - x ysin < a,b >= 1- cos < a,b > = 1- 1 2 1 2 1 2 2 1
(x2 2
=
1 + y1 )(x
2 2 ，2 2 2 2
2 + y2 ) (x1 + y1 )(x2 + y2 )
r r r r r r
所以 a b = a b sin < a,b >= x1 y2 - x2 y1 ，成立．
故選：D．
【變式 4-1】設向量m
r
= a,b ，向量 nr = c,d v v，規定兩向量 m，n 之間的一個運算“ Θ ”的結果為向量mΘ n
a b r v v r r= - , ad + bc -1÷）， 若已知向量 q = 1,2 ，且向量 pΘ q 與向量u = 1,-2 共線又與向量 v = 1,1 垂直，
è c d
ur
則向量 p 的坐標為（ ）
1
A．（ ,
1 1 1
） B．（ , ）
2 4 4 2
1
C．（- ,
1 1 1
） D．（- , ）
2 4 4 2
【答案】B
ur
【解析】解析：設 p = x, y v，依題意得： pΘ qv = x
y
- , 2x + y -1
2 ֏
ì -2x + y = 2x + y -1 ìx
1
=

由題意可得 4í y ，解得x í - + 2x + y -1 = 0 2 y
1
=
2
ur 1 1
故 p =

,4 2 ֏
故選：B．
r r r r r r r r
【變式 4-2】設向量 a 與b 的夾角為q ，定義 a b = asinq + bcosq .已知向量 a 為單位向量， b = 2 ，
r r r r
a - b =1，則 a b =（ ）
A 2 B C 10． ． 2 ． D． 2 3
2 2
【答案】C
r r r 2 r r r2
【解析】由題意得 a - b = a - 2a ×b + b = 12 - 2 1 2cosq + ( 2)2 =1，
2
解得 cosq = ，
2
2
又q 0, π 2 2，所以 sinq = 1- 2 ÷÷ = ，è 2
r r 2 r 2 ra b a b 1
r 2 r r 1 r2
所以 = + = a + a ×b + b = 1 1 1 2 10+ + = .2 2 2 2 2 2 2
故選：C
r r r r r r r r r r
【變式 4-3】設向量 a與b 的夾角為q ，定義 a b = a sinq - b cosq ，已知 a = 2 ， b = a - b =1，則
r r
a b =（ ）
A 2． B． 2 C
3
． D． 3
2 2
【答案】A
r r r r r r r r r r
Q a = 2 b = a - b =1 2 2【解析】 ， ，\ a - b = a + 2a ×b + b =1，
r r r r 2
得 a ×b = a b cosq = -1 cosq = - ， Qq 0, π ，
2
2
r r 2 r 2 r
\sinq 1 2 2= - - ÷ = ，\a b = a + b ÷
è 2 2 2 2
1 r 2 r r 1 r2
= a 1 1 2+ a ×b + b = 2 -1+ = .
2 2 2 2 2
故選：A
r r r
【變式 4-4】定義向量一種運算“ ”如下：對任意的 a = (m, n)，b = ( p, q)，令 ar b = mq - np ，下面錯誤
的是（ ）
r r r rA．若 a與b 共線，則 a b = 0
B (ar
r r r r r
． b)2 + (a ×b)2 =| a |2 × | b |2
r r
C r r．對任意的 R ，有 ( a) b = (a b)
r r rD． a b = b ar
【答案】D
r r
【解析】對于 A，因為若 a與b 共線，則mq = np，
r
所以 ar b = mq - np = 0 ，故 A 正確；
r r r
對于 B， a b = mq np ar- ， ×b = mp + nq，
r r r(a b)2 r 2 2+ (a ×b)2 = mq - np + mp + nq = mq 2 + np 2 - 2mnqp + mp 2 + nq 2 + 2mnqp，
r
= m2 q2 + p2 + n2 q2 + p2 = m2 + n2 q2 + p2 = ar |2 × b |2 ，故 B 正確；
r r
對于 C r，因為 ( a) b = mq - np = (ar b)，故 C 正確；
r r r r
對于 D，因為 a b = mq - np ，b a = pn - qm，不相等，故 D 錯誤；
故選：D.
r r r
r r r r a sin a,b ur r
【變式 4-5】對任意量給非零向量 a，b ，定義新運算： a b = r ．已知非零向量m ， n滿足
b
ur r ur r ur r r ur ur r
m > 3 n q π π ，且向量m ， n的夾角 , ÷，若 4 m n 和 4 n m 都是整數，則m n的值可能是（ ）
è 4 2
A．2 B．3 C
17
．4 D．
4
【答案】B
r r
r ur n sinq
n k
ur r n 1
【解析】由題意可得 m = ur = k Z ．因為 m > 3 n > 0，所以0 < ur < ．
m 4 m 3
r
π π 2 n
因為q , ÷，所以 < sinq <1，所以0 < ur sinq
1
< k 1，即0 < < ，
è 4 2 2 m 3 4 3
解得0 < k
4
< ．因為 k Z，所以 k =1，
3
r ur
r ur n sinq m
所以 n m = ur
1
= ，則 r = 4sinq ，
m 4 n
r ur
n 1 1 3 ur r m sinq
則 ur
9
= < ，得 < sinq <1，故m n = r = 4sin2 q
m 4sinq 3 4 n
, 4 ,
è 4 ÷
符合該條件的是 3，
故選：B
題型五：向量新定義之新性質
*
【典例 5-1】我們稱 n n N 元有序實數組 x1, x2 ,L, xn 為 n維向量， x1 + x2 +L+ xn 為該向量的范數.已
r
知 n
r
維向量 a = x1, x2 ,L, xn ，其中 xi -1,0,1 i =1,2,Ln ，記范數為奇數的 a 的個數為 An ，則 A3 = ；
A2n = （用含 n的式子表示， n N* ）.
32n -1
【答案】 14
2
【解析】當n = 3時，范數為奇數，則 xi = 0 的個數為偶數，即 0的個數為 0、 2，
A = C0 ×23 + C2 × 23-2根據乘法原理和加法原理得到 3 3 3 =14 .
r
在 2n維向量 a = x1, x2 ,L, x2n 中，范數為奇數，則 xi = 0 的個數為奇數，
即 0的個數為1、3、5、L、 2n -1，
1 2n-1 3
根據乘法原理和加法原理得到 A2n = C2n × 2 + C2n ×2
2n-3 +L+ C2n-12n ×2，
32n = 2 +1 2n = C0 ×22n + C1 × 22n-1 +L+ C2n-1 2n2n 2n 2n ×2 + C2n ，
1 = 2 -1 2n = C02n × 22n - C1 2n-1 2n-1 2n2n × 2 +L- C2n × 2 + C2n ，
兩式相減得到 A = 3
2n -1
2n 2 .
2n
故答案為：14 3 -1； .
2
ur ur ur r
ur r
a × b r r
【典例 5-2】對任意兩個非零的平面向量a 和 b ，定義a o b = r r
r r r
．若平面向量 a 、b 滿足 a b > 0， a
b × b
r π r r r r ìn ü r r r r
與b 的夾角q 0, ÷，且a o b 和b o a 都在集合 í n Z4 中，則 a ob + b o a =（ ）．è 2
3 5
A． B． 2 C． D．3
2 2
【答案】B
ìn ü ì r r r
【解析】首先觀察集合 í n Z = í×××,-1,
1 ,0, 1 ,1, 3- , 2, × × ×ü r ，從而分析a o b 和b o a 的范圍如下：
2 2 2 2
r r r r
q 0, π 2
r r b ×a b r r b
因為 ÷，所以， < cosq <1，而b o a = r r = r cosq ，且 a b > 0，可得0 < r cosq <1，
è 4 2 a ×a a a
r r
r b b
b o ar ìn n Zü r cosq 1 r 1又因為 í ，所以， = ，從而 = ，
2 a 2 a 2cosq
r r r r
r
a
a ob ar ×b= r = r cosq = 2cos2所以， q ，
b ×b b
1 2 r r r r ìn ü
又因為 < cos q <1，所以
2 1< a ob < 2
．且 a ob也在集合 í n Z 中，
2
r r 3 r r r r
故有 a ob = ，因此， a ob + b o a
3 1
= + = 2 .
2 2 2
故選：B.
ur uur uur uur uur uur
【變式 5-1】（2024·浙江紹興·模擬預測）定義兩個向量組 X = x1, x2 , x3 ,Y = y1, y2 , y3 的運算
ur uur uur uur uur uur ur uur ur ur uur uur uur uur uur ur uur ur
X ×Y = x1 × y1 + x2 × y2 + x3 × y3 ，設 e1,e2 ,e3 為單位向量，向量組 X = x1, x2 , x3 ,Y = y1, y2 , y3 分別為 e1,e2 ,e3
的一個排列，則 X ×Y 的最小值為 ．
3
【答案】- / -1.5
2
ur uur ur
【解析】當 xi = yi = ei 且 i =1,2,3時， X ×Y = 3；
ur uur ur uur uur uur uur ur uur ur ur ur
當 x
2
1 = y1 = e1 且 x2 y2 、 x3 y3 時，則 X ×Y = e + 2e ×e 1- 2 = -1，當且僅當 áe2 ,e3 = p1 2 3 時等號成立；
uur uur uur ur uur uur uur uur uur ur ur uur uur uur
同理 x2 = y2 = e2 且 x1 y1 、 x3 y3 或 x3 = y3 = e3 且 x1 y1 、 x2 y2 時， X ×Y 的最小值也為 -1；
ur uur ur uur uur ur ur ur uur ur ur ur ur ur ur ur ur
當 xi yi ,i = 1,2,3時，則 X ×Y = e1 ×e2 + e2 ×e3 + e1 ×e3 = e2 × e1 + e3 + e1 ×e3 e1 ×e3 - | e1 + e3 |，
ur ur 2 ur ur ur ur ur ur 2
由 e1 + e3 = 2 + 2e1 × e3 ，設 t = e
t - 2
1 + e3 ,0 t 2，則 e1 ×e3 = ，2
ur ur ur ur 1 2
所以 e1 ×e3 - | e1 + e3 |= t - t -1
3
- ，當 t =1時等號成立.
2 2
3
綜上， X ×Y 的最小值為- ．
2
3
故答案為：- .
2
【變式 5-2】我們知道，在平面內取定單位正交基底建立坐標系后，任意一個平面向量，都可以用二元有
序實數對 a1, a2 表示．平面向量又稱為二維向量．一般地，n 元有序實數組 a1, a2 , L, an 稱為 n 維向量，
它是二維向量的推廣．類似二維向量，對于 n 維向量，也可定義兩個向量的數量積、向量的長度（模）等：
r r r r
設 a = a1, a2 , L, an ， b = b1, b2 , L, bn ，則 a × b = a1, a2 , L, an × b1, b2 , L, bn = a1b1 + a2b2 +L+ anbn ；
r
a = a2 + a2 2
r r
1 2 +L+an ．已知向量 a = a1, a2 , L, an 滿足 an =n ，向量b = b1, b2 , L, bn 滿足bn =2n ．
r r
(1)求 a × b的值；
r a r
(2)若 c = c , c , L, c c =ln n+11 2 n ，其中 n a ，當 n 2且 n N
* 時，證明： c n> ．
n 2n + 4
r r 2 n
【解析】（1）依題， a = 1, 2, L, n ，b = 2, 2 , L, 2 ，
ar
r
×b =1 2 + 2 22則 + 3 23 +L+ n -1 ×2n-1 + n × 2n ①
2ar
r
×b =1 22 + 2 23 + 3 24 +L+ n -1 ×2n + n × 2n+1 ②
r r
①－②，得- a ×b = 2 + 22 + 23 +L+ 2n - n × 2n+1
r r 2 1- 2n 即- a ×b = - n ×2n+1 = - n -1 × 2n+1 - 2
1- 2
ar
r
所以 ×b = n -1 ×2n+1 + 2 .
r n +1 1
（2）因為 c = c1, c2 , L, cn ， cn = ln ÷ = ln 1+ ，
è n è n ÷
所以 cr = ln2 1 1 1 1+ + ln
2 1+ 2
1÷ 2 ÷
+L+ ln 1+ ÷ ，
è è è n
1 1
先證： ln 1+ ÷ > ， * ，
è n n +1
n N
設 f x = ln x +1 x- ， x > 0，則 f x
1 1 x
= - 2 = > 0
x +1 x +1 x +1 x +1 2 ，
所以 f x 在 0, + 1 上單調遞增，即當 n N* 時， f ÷ > f 0 = 0，
è n
1
1 n 1 1
即 ln 1+ - = ln 1+ - > 0 ，
è n ÷ ÷ 1 1+ è n n +1
n
ln 1 1故 1+ ÷ > ， n N* .
è n n +1
1 1 1 1
因為 > = - n +1 2 n +1 n + 2 n +1 n + 2 ，
所以 ln
2 1 1+ + ln2 1 1 1 1 1 1 ÷ +

÷ +L+ ln
2
1+

÷ > 2 + +L+è 1 è 2 è n 2 32 n +1 2
1 1 1 1 L 1 1 1 1 n > - ÷ + - ÷ + + - ÷ = - = ，
è 2 3 è 3 4 è n +1 n + 2 2 n + 2 2n + 4
cr n\ > .
2n + 4
r n
綜上可得，當 n 2且 n N* 時， c > .
2n + 4
r r r
【變式 5-3】設向量 a = x1, y1 ，b = x r2 , y2 ，當 x1 x2，且 y1 > y2 時，則記作 a b ；當 x1 < x2，且
y y ar
r
1 2 時，則記作 = b ，有下面四個結論：
r r
①若 a = 2,4 r，b = 3,5 ar，則 = b ；
r
② r mar
r
若 a b 且 b ，則m ；
r r r r r
③若 ar b ，則對于任意向量 c
r
，都有 a + c b + c ；
r r r
④ ar若 = b ，則對于任意向量 c r r r，都有 a ×c b ×c ；
其中所有正確結論的序號為（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①④
【答案】C
r r ì2 < 3 r r
【解析】對于①：若 a = 2,4 ，b = 3,5 ，則 í4 5，所以 a = b ，故①正確；
r r r
對于② r：取 a = 1,1 ,b = -1,-1 , m = -1, = 2，滿足 a b ，
r r
則ma
r
= -1, -1 , b = -2, -2 mar，滿足 b ，但m < ，故②錯誤；
③ ar
r
對于 ：若 b ，則 x1 x2，且 y1 > y2 ，
r r
設 c = x0 , y
r r
0 ，則 a + c = x1 + x0 , y1 + y0 ,b + c
r
= x2 + x0 , y2 + y0 ，
ìx1 + x0 x2 + x0 r
可知 í ，所以 ar + cr b + cry y y y ，故③正確； 1 + 0 > 2 + 0
r r
對于④：取 a = -2, -2 ,b r= c = r-1,-1 ，可知 ar b ，
r r r ra ×c = 4,b ×c = 2 ar
r r r
但 ，即 ×c > b ×c ，故④錯誤；
故選：C.
題型六：復數新定義
r
【典例 6-1】已知平面直角坐標系 xOy 中向量的旋轉和復數有關，對于任意向量 x = a,b ，對應復數
r
z = a + bi ，向量 x 逆時針旋轉一個角度q ，得到復數 z = a + bi cosq + isinq = acosq -
ur
bsinq + i asinq + bcosq ，于是對應向量 x = a cosq - bsinq ,a sinq + b cosq ．這就是向量的旋轉公式．已
知正三角形 ABC 的兩個頂點坐標是 A 1, 4 , B 3, 2 ，根據此公式，求得點C 的坐標是 ．（任寫一個即可）
【答案】 (2 + 3,3+ 3) （答案不唯一）
uuur uuur
【解析】設點C 的坐標為 x0 , y0 ，點 A 1, 4 , B 3, 2 ，則 AB = 2, -2 , AC = x0 -1, y0 - 4 ，
uuur
從而 AB 對應的復數為 z = 2 - 2i ，
uuur uuur uuur
若 AC 由 AB 逆時針旋轉60°得到， AC 對應的復數為 z = 2 - 2i cos60° + isin60° = 3 +1+ 3 -1 i，
uuur
因此 AC = x0 -1, y0 - 4 = 3 +1, 3 -1 ，解得 x0 = 2 + 3, y0 = 3+ 3 ，
則C 的坐標是 2 + 3,3+ 3 ；
uuur uuur uuur
若 AC 由 AB 逆時針旋轉300°得到， AC 對應的復數為 z = 2 - 2i cos300° + isin300° =1- 3 - (1+ 3)i ，
uuur
因此 AC = (x0 -1, y0 - 4) = (1- 3, -1- 3) ，解得 x0 = 2 - 3, y0 = 3- 3 ，
則點C 的坐標是 2 - 3,3 - 3 ．
故答案為： (2 + 3,3+ 3) （或 (2 - 3,3 - 3)）
【典例 6-2】（2024· 浙江·模擬預測）已知平面直角坐標系 xOy 中向量的旋轉和復數有關，對于任意向量 x
=(a，b)，對應復數 z=a+ib，向量 x 逆時針旋轉一個角度q ，得到復數
z ' = (a + ib)(cosq + i sinq ) = a cosq - bsinq + i(a sinq + b cosq )，于是對應向量

x ' = (a cosq - bsinq ,a sinq + b cosq ) .這就是向量的旋轉公式.根據此公式，已知正三角形 ABC 的兩個頂點坐
標是 A(1，2)，B(3，4)，則 C 的坐標是 .(任寫一個即可)
【答案】 (2 - 3,3 + 3) (答案不唯一)

【解析】不妨設C 的坐標為 (x0 , y0 )，且 AC 是 AB 逆時針旋轉60
o 得到，

因為 A(1，2)，B(3，4)，所以 AB = (2, 2)， AC = (x ，0 -1, y0 - 2)

從而 AB 對應的復數為 z = 2 + 2i ，

AC 對應的復數為 z
' = (2 + 2i)(cos 60o + i sin 60o ) =1- 3 + (1+ 3)i ，

所以 AC = (x0 -1, y0 - 2) = (1- 3,1+ 3) ，解得 x0 = 2 - 3 ， y0 = 3 + 3 ，
故 C 的坐標是 (2 - 3,3 + 3) .
故答案為： (2 - 3,3 + 3) .
【變式 6-1】（多選題）（2024·河北滄州·一模）在復數城內，大小成為了沒有意義的量，那么我們能否賦予
它一個定義呢，在實數域內，我們通常用絕對值來描述大小，而復數域中也相應的有復數的模長來代替絕
對值，于是，我們只需定義復數的正負即可，我們規定復數的“長度”即為模長，規定在復平面 x 軸上方的
復數為正，在 x 軸下方的復數為負，在 x 軸上的復數即為實數大?。按笮　庇梅?“長度”表示，我們用
[z]來表示復數的“大小”，例如：[1+ 2i] = 5 ，[1- 2i] = - 5 ，[1] = 1，[-3] = -3，[-1- 2i] = - 5 ，則下列
說法正確的是（ ）
A．[z] =1在復平面內表示一個圓
B．若 z C，則方程[z]2 = -1無解
C．若 z1, z2 為虛數，且 z1 = z2 ，則 z1 + z2 = 0
D．復平面內，復數 z 對應的點在直線 y = -x + 4上，則 | [z] |最小值為 2 2
【答案】BCD
【解析】根據已知條件[z] =1表示模長為1，在復平面位于 x 軸上方的復數，
所以并不是一個圓，A 錯誤；
若 z C，則方程[z]為一個實數，所以[z]2 = -1無解，B 正確；
若 z1, z2 為虛數，且 z1 = z2 ，設 z1 = bi ，則 z2 = -bi， z1 = b， z2 = -b，
所以 z1 + z2 = 0，C 正確；
復數 z 對應的點在直線 y = -x + 4上，則 | [z] |最小值為：
4
點O 0,0 到直線 y = -x + 4的距離，所以 | [z] |最小值為： = 2 2 ，D 正確.
2
故選：BCD
【變式 6-2】（多選題）（2024·全國·三模）一般地，對于復數 z = a + bi （i 為虛數單位，a，b R ），在平面
uuur
直角坐標系中，設 z = OZ = r r 0 ，經過點Z 的終邊的對應角為q ，則根據三角函數的定義可知
a = r cosq ，b = r sinq ，因此 z = r cosq + i sinq ，我們稱此種形式為復數的三角形式，r 稱為復數 z 的模，
q 稱為復數 z 的輻角.為使所研究的問題有唯一的結果，我們規定，適合0 q < 2π 的輻角q 的值叫做輻角的
主值.已知復數 z 滿足 z -1 r ， r 0,1 ，Re z 為 z 的實部，q 為 z 的輻角的主值，則（ ）
A． z - 2024i 的最大值為 r + 2025
B． z - 2024i 的最小值為 2025 - r
C． cosq 1- r 2
Re 1 1D． ÷ 1- r
2
è z Re z
【答案】ABD
【解析】因為 z -1 r ， r 0,1 ， 復數 z 在復平面的對應的點為Z ,
所以點 Z 在以 1,0 為圓心、以 r 為半徑的圓上或圓內.
對于選項 A，B，由復數的幾何意義可得 z - 2024i 表示點 Z 與 0, 2024 的距離，
又點 0, 2024 到點 1,0 的距離為 2025 ，
所以 z - 2024i 的最大值為 r + 2025 ，A 正確，
z - 2024i 的最小值為 2025 - r ，B 正確，
對于 C，過點O作以C 1,0 為圓心， r 為半徑的圓的切線，設切點為 A, B，
設 AOC = q0 ，則0 q q0 或 2π -q0 q < 2π，
所以 cosq cosq0，所以 cosq 1- r 2 ，所以 C 錯誤.
對于 D，設 z = x
1 x 1
+ yi x, y R ，有Re ÷ = 2 2 = ×cos2 q （其中q 是 z 的輻角的主值），è z x + y x
Re 1 12 = cos2 1 2 1 2由于 cosq 1- r ，所以 ÷ q 1- r = 1- rè z x x Re z ，所以 D 正確.
故選：ABD.
【變式 6-3】現定義“ n維形態復數 zn ”： zn = cos nq + i sin nq ，其中 i為虛數單位， n N* ，q 0 .
π
(1)當q = 時，證明：“2 維形態復數”與“1 維形態復數”之間存在平方關系；
4
π
(2)若“2 維形態復數”與“3 維形態復數”相等，求 sin q + ÷的值；
è 4
(3)若正整數m ， n m >1, n > 2 2，滿足 zm = z1 ， z qn = zm ，證明：存在有理數 ，使得m = q ×n +1- 2q .
π π π
【解析】（1）當q = 時, z = cos n + i sin n ,
4 n 4 4
π π 2 π π
則 z1 = cos + i sin = 1+ i , z2 = cos + i sin = i .4 4 2 2 2
2
é 2 ù 1
因為 z21 = ê 1+ i ú = 1+ 2i + i2 = i = z2 ，
2 2
故“2 維形態復數”與“1 維形態復數”之間存在平方關系.
（2）因為“2 維形態復數”與“3 維形態復數”相等,
所以 cos 2q + i sin 2q = cos3q + i sin 3q ,
ìcos 2q = cos3q
因此 í
sin 2q
，
= sin 3q
解 cos 2q = cos3q ，得3q = 2q + 2kπ k Z 或3q + 2q = 2kπ k Z ,
解 sin 2q = sin 3q ，得3q = 2q + 2kπ k Z 或3q + 2q = 2kπ + π k Z ,
由于兩個方程同時成立,故只能有3q = 2q + 2kπ k Z ,即q = 2kπ k Z .
sin q π+ = sin π π 2所以 ÷ 2kπ + ÷ = sin = .
è 4 è 4 4 2
（3）由 zm = z1 ，得 cos mq + i sin mq = cosq + i sinq ,由(2)同理可得mq = q + 2k1π k1 Z ,
即 m -1 q = 2k1π k1 Z .
2k π
因為m > 1,所以q = 1 k
m -1 1
Z .
因為 z 2n = zm = z
2
1 ,
2
由(1)知 z2 = z1 ,所以 zn = z2 .
由(2)同理可得 nq = 2q + 2k2π k2 Z ,即 n - 2 q = 2k2π k2 Z .
2k π
因為 n > 2 ,所以q = 2 k2 Z ,n - 2
2k π 2k
所以 1 = 2
π k , k Z ,
m -1 n - 2 1 2
m -1 k
又因為q 0 , 1所以 k1k2 0 ,所以 = k , k Z n - 2 k 1 2 ,2
m k= 1即 n - 2 1
k1 2k+ = ×n +1- 1 k1,k2 Z k ，2 k2 k2
k1
所以存在有理數 q = k ,使得
m = q ×n +1- 2q .
2
c z
【變式 6-4】若定義一種運算： a,b é ù é ùê ú = ac + bd .已知 z 為復數，且 2, z ê ú = 6 - 4i4 . d
(1)求復數 z ；
é1ù ésin xù
(2)設 t, x為實數，若 t + cos x, i ê2ú - 1,1 ê i ú為純虛數，求 t 的最大值.
【解析】（1）設復數 z = a + bi(a , b R ， i是虛數單位），則 z = a - bi ，
z
因為 2, z é ùê ú = 4z + 2z = 4(a - bi) + 2(a + bi) = 6a - 2bi = 6 - 4i ，
4
解得 a =1，b = 2 ，
可得 z = 1+ 2i ．
1 sin x
（2） t + cos x, i é ù é ùê ú - 1,1 ê ú = t + cos x + 2i - sin x - i=t + cos x - sin x + i，
2 i
由題意可得 t + cos x - sin x 0
π
= t = sin x - cos x = 2 sin x - 4 ÷
，
è
sin 當 x
π
- ÷ =1時， t 取最大值4 2è
r r
1．（多選題）（2024·河南·模擬預測）設向量 a = x1, y1 ，b = x2 , y2 ，當且僅當 x1 x2，且 y1 > y2 時，則
r r r r
稱 a b；當且僅當 x1 < x2，且 y1 y2 時，則稱 a = b，則下列結論正確的有（ ）
r r r r
A．若 a b且ma b，則m
r r
B．若 a = 2022,2024 r r，b = 2023,2025 ，則 a = b
r r r
C．若 a b，則對于任意向量 c，都有
r r r ra + c b + c
r r r r r r r
D．若 a = b，則對于任意向量 c，都有 a ×c≤b ×c
【答案】BC
r r r r r
【解析】對于 A，取 a = 1,1 ，b = -1, -1 ，滿足 a b，取m = -1， = 2，則-a = -1, -1 ，
r r r
2b = -2, -2 ，滿足ma b，但m < ，A 錯誤；
r r
對于 B，因為 2022 < 2023， 2024≤ 2025，根據新定義可知， a = b，B 正確；
r r r r r
對于 C，設向量 a = x1, y1 ，b = x2 , y2 ， c = x0 , y0 ，由 a b，得 x1 x2，且 y1 > y2 ，則 x1 + x0 ≥ x2 + x0 ，
r r r r
且 y1 + y0 > y2 + y0 ，所以 a + c b + c ，C 正確；
r r r r r r r r r r r r r對于 D，根據 a = b，取向量 a = -2, -2 ，b = -1,-1 ， c = -1, -1 ，則 a ×c = 4，b ×c = 2， a × c > b × c ，D
錯誤.
故選：BC.
ur uur
2．（多選題）（2024·江蘇鹽城·一模）定義平面斜坐標系 xOy ，記 xOy = q ， e1 ， e2 分別為 x 軸、y 軸正方
uuur ur uur uuur
向上的單位向量，若平面上任意一點 P 的坐標滿足：OP = xe1 + ye2 ，則記向量OP 的坐標為 x, y ，給出
下列四個命題，正確的選項是（ ）
uuur uuur uuur uuur
A．若OP = x1, y1 ，OQ = x2 , y2 ，則OP + OQ = x1 + x2 , y1 + y2
uuur uuur uuur uuur
B．若OP = x1, y1 ，OQ = x2 , y2 ，則OP ×OQ = x1x2 + y1 y2
C．若P x1, y1 ，Q x2 , y2 ，則 PQ = x 22 - x1 + y - y
2
2 1
D．若q = 60°，以 O 為圓心、半徑為 1 的圓的斜坐標方程為 x2 + y2 + xy -1 = 0
【答案】AD
uuur uuur uuur uuur ur uur ur uur
【解析】對于 A，OP = x1, y1 ，OQ = x2 , y2 ，則OP + OQ = x1e1 + y1e2 + x2 e1 + y2 e2 ，
ur uur
= x1 + x2 e1 + y1 + y2 e2 = x1 + x2 , y1 + y2 ，A 正確；
uuur uuur uuur uuur ur uur ur uur
對于 B，OP = x1, y1 ，OQ = x2 , y2 ，則OP ×OQ = x1e1 + y1e2 × x2 e1 + y2 e2 ，
ur uur ur uur uuur uuur
= x1x2 + y1 y2 + x1y2 + x2 y1 e1 ×e2 ，顯然 e1 ×e2 0 ，則OP ×OQ x1x2 + y1y2，B 錯誤；
uuur uuur uuur uuur
對于 C，OP = x1, y1 ，OQ = x2 , y2 ，由選項 A 同理得OQ - OP = x2 - x1, y2 - y1 ，
uuur uuur ur uur
即 PQ = x2 - x1, y2 - y1 ，PQ = x2 - x1 e1 + y2 - y1 e2 ，
PQ = x2 - x1
2 + y2 - y
2
1 + 2 x2 - x1 y2 - y1 cosq ，C 錯誤；
對于 D，設以 O 為圓心、半徑為 1 的圓上任意一點為P x, y ，
ur uur 2 ur uur
由 OP =1，得 xe1 + ye2 =1，于是 x2 + y2 + 2xye1 ×e2 -1 = 0，
ur uur
由q = 60 1°，得 e1 ×e2 = ，即 x2 + y2 + xy -1 = 0，D 正確.2
故選：AD
ur uur
3．（多選題）（2024·山西臨汾·二模）設Ox ，Oy 是平面內相交成 60°角的兩條數軸， e x1,e2 分別是與 軸、
uuur ur uur
y uuur軸正方向同向的單位向量.若OP = xe1 + ye2 ，則把有序實數對 (x, y)叫做向量OP 在斜坐標系 Oxy 中的坐標，
uuur
記作OP = (x, y) .則下列說法正確的是（ ）
uuur uuur
A．若OP = (2,1)，則 | OP |= 7
uuur uuur
B．若 AB = (2,1), BC
1
= -1, -

÷ ，則 A，B，C 三點共線
è 2
uuur uuur uuur uuur
C．若OP1 = (3, 2),OP2 = (2,-3)，則OP1 ^ OP2
uuur uuur uuur
D．若OA = (2,0),OB = (0,3),OC = (4,1)，則四邊形 OACB 7 3的面積為
2
【答案】ABD
uuur ur uur
【解析】對于 A，由題意得OP = 2e1 + e2 ，
uuur2 ur uur 2 ur2 ur uur uur2 ur 2 ur uur uur 2 1故OP = 2e1 + e2 = 4e1 + 4e1 ×e2 + e2 = 4 e1 + 4 e1 × e2 cos 60° + e2 = 4 + 4 1 1 +1 = 7，2
uuur
故 | OP |= 7 .正確；
uuur ur uur uuur ur 1 uur uuur uuur
對于 B，由題意得 AB = 2e1 + e2 , BC = -e1 - e2 2
，所以 AB = -2BC ，所以 A，B，C 三點共線.正確；
uuur ur uur uuur ur uur
對于 C，由題意得OP1 = 3e1 + 2e2 ,OP1 = 2e1 - 3e2 ，
uuur uuur ur uur ur uur ur2 ur uur uur2所以OP1 ×OP1 = 3e 1 51 + 2e2 2e1 - 3e2 = 6e1 - 5e1 ×e2 - 6e2 = 6 - 5 1 1 - 6 = - 0，2 2
uuur uuur
故OP1 與OP2 不垂直，錯誤；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur ur
對于 D，因為OA = (2,0),OB = (0,3),OC = (4,1)，所以 AC = (2,1), BC = (4,-2) OA = 2e1 ，
uuur ur 2 uuur uur 2 uuur uuur
所以 OA = 2e1 = 2, OB = 3e AC = OP = 72 = 3， ，
uuur ur uur 2 ur2 ur uur uur2BC = 4e1 - 2e2 = 16e1 -16e1 ×e2 + 4e2 = 16 -8 + 4 = 2 3 ，
uuur ur uur 2 ur2 ur uur uur2
OC = 4e1 + e2 = 16e1 + 8e1 ×e2 + e2 = 16 + 4 +1 = 21，所以OB2 + BC 2 = OC 2 ，
即OB ^ BC
1
，所以 S OBC = 3 2 3 = 3 3，在 OAC 中，由余弦定理知，2
2 2 2
cos OAC OA + AC - OC 4 + 7 - 21 5 = = = - 4 + 7 - 21 3，所以 sin OAC = 1- cos2 OAC = = ，
2OA × AC 2 2 7 2 7 2 2 7 2 7
S 1 1 3 3所以 OAC = OA AC sin OAC = 2 7 = ，2 2 2 7 2
所以四邊形 OACB 3 7 3的面積為 S OBC + S OAC = 3 3 + = .正確.2 2
故選：ABD
r r r r r r
4．（多選題）（2024·湖北·二模）定義空間兩個非零向量的一種運算： a b = a × b ×sináa,b ，則關于空間
向量上述運算的以下結論中恒成立的有（ ）
r r r r r r r rA． a b = a b B． a b=b a
r r r r r r r r
C．若 a b = 0，則 a ^ b D． a b a × b
【答案】BD
r r r r r r r r r r r r【解析】對于 A， a b = a × b ×sináa,b ， a b = a × b ×siná a,b ，
r r r r
若 a,b不共線,且 為負數，則 a b r r r r r r r r r r= a × b ×sináa,b < 0，而 a b = a × b ×siná a,b > 0，
r r r r此時 a b a b，故 A 錯誤；
r r r r r r r r r r r r
對于 B，由定義知 a b = a × b ×sináa,b ，b a = b × a ×sináa,b ，故 B 正確；
r r r r r r
對于 C，若 a b = 0，則 sináa,b = 0 ， a,b共線，故 C 錯誤；
r r r r r r r r
對于 D，由定義知 a b = a × b ×sináa,b ，又 áa,b 0, π ，
r r r r r r r r r r
故 a b = a × b ×sináa,b a × b ，當且僅當 sináa,b =1時，等號成立，故 D 正確．
故選：BD
r r r r r r r r
5．（多選題）定義： a，b 兩個向量的叉乘 a b = a × b ×sin a,b ，則以下說法正確的是（ ）
A ar
r r
．若 b = 0，則 ar P b
ar r r rB． b = a b
uuur uuur
C．若四邊形 ABCD 為平行四邊形，則它的面積等于 AB AD
r r r r ar
r
D．若 a b = 3 ， a ×b =1，則 + b 的最小值為 7
【答案】AC
r r r r
【解析】對于 A， a b a
r r
= × b ×sin a,b = 0，
ar
r r r
若 ，b 至少有一個為零向量，則滿足 a / /b ；
r r r r r r
若 a，b 均不為零向量，則 sináar,b = 0 r，即 a，b 同向或反向，即 a∥b ，故 A 正確，
r r r r
對于 B， (a b) = | ar | × | b | ×sináar,b ，
( ar
r r r
) b =| ar | × | b | r×siná a,b ，
r r r r r
若 λ 0，則 ( ar) b = | ar | × | b | ×sin ará ,b ，此時 (ar b) r= ( a) b ；
r r r r r r 0 ( a) b | a | | b | sin a,b (ar
r r
若 < ， = - × × á ，此時 b) ( ar) b ，故 B 錯誤；
對于 C，若四邊形 ABCD為平行四邊形，
uuur uuur uuur uuur uuur
則它的面積等于 | AB | × | AD | ×sináAB, AD ，即 AB AD ，故 C 正確；
r
D ar b | ar
r r r
對于 ， = | × | b | ×sináa,b = 3 ，
ar
r r r r r
×b =| ar | × | b | cos ar× á ,b =1 r r，兩式平方后相加得 (| a | × | b |)2 = 4，即 | a | × | b |= 2，
| ar
r r r
b | ar2 2ar b b 2 | ar
r r
又 + = + × + = |2 + | b |2 2 2 | ar+ | × | b | +2 = 6 ，
r
當且僅當 | ar |=| b |= 2 時等號成立，
r r
故 | a + b |的最小值為 6 ，故 D 錯誤，
故選：AC
r r
6．（多選題）在平面直角坐標系 xOy 內，設兩個向量 a = x1, y1 ，b = x2 , y2 ，定義運算：
r r
a b = x1y2 - x2 y1，下列說法正確的是（ ）
r r r r r r r r
A． a b = 0是 a∥b的充要條件 B． a b = b a
r r r r r r r 1 uuur uuurC． a b + c = a b + a c D．若點O，A ， B 不共線，則 OAB的面積 S = OA OB2
【答案】ACD
【解析】
r r r r
a b = x1y2 - x2 y1 = 0，而 a∥b x1 y2 - x2 y1 = 0，故A 對；
r r r r
a b = x1y2 - x2 y1，b a = x2 y1 - x1 y2 ，故B錯；
r r r r
設 c = x3 , y3 ，則 a b + c = x1 y2 + y3 - x2 + x3 y1
r r r r
= x1y2 - x2 y1 + x1 y3 - x3 y1 = a b + a c ，故C 對；
r uuur uuur
對于選項D ：如圖BH 是邊OA上的高，設 A(x1, y1)，B(x2 , y2 ) ， a 是與OA垂直的單位向量， OA = t
r uuur
r 1 a ×OB r uuur
則 a = (-y
t 1
, x1)，BH = r = a ×OB ，a
即BH
y
= - 1 x x+ 12 y
1 1
2 ， S = × BH × t = x1 y2 - x yt t 2 2 2 1
，
uuur r uuur r 1 uuur uuur 1
設OA = a，OB = b，則 S = OA OB = x1 y2 2 2
- x2 y1 ，所以D 對.
故選： ACD .
r r r r
7．（多選題）（多選）在三維空間中， a b叫做向量 a與b 的外積，它是一個向量，且滿足下列兩個條件：
r r r① a ^ a b r r r r r r r r r r r r r，b ^ a b ，且 a，b ， a b三個向量構成右手系（如圖所示）；② a b = a b sin a,b .在
正方體 ABCD - A1B1C1D1 中，已知其表面積為 S，下列結論正確的有（ ）
uuuur uuur uuuur uuur
AB AC AD DB uuur uuur uuur uuurA． 1 = 1 B． AB AD = AD AB
uuur uuur uuuur uuuur uuuur
C． S = 6 BC AC D． A1C1 A1D 與 BD1 共線
【答案】ACD
【解析】設正方體的棱長為 a，如圖.
uuur uuur
對于 A，連接B
p 2
1C ，因為VAB1C 為等邊三角形，故 AB1 AC = 2a 2a sin = 3a ，3
連接 B1D1，因為BD // B1D1，BD = B1D1 ， AB1D1為等邊三角形，
uuuur uuur uuuur uuuur
所以 AD DB
2p
1 = AD1 D
2
1B1 = 2a 2a sin = 3a ，故 A 正確；3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
對于 B，根據定義， AB AD = AA1 ， AD AB = -AA1 ，故 B 錯誤；
uuur uuur
對于 C，6 BC AC = 6 a 2a 2 = 6a2 = S ，故 C 正確；
2
對于 D，因為 A1C1 ^ B1D1，而D1D ^平面 A1B1C1D1，所以D1D ^ A1C1
B1D1 DD1 = D1 ，則 A1C1 ^ 平面 BB1D1D，又BD1 平面 BB1D1D，所以 A1C1 ^ BD1，
又 A1D ^ AD1， AB ^ A1D， AD1 AB = A，所以 A1D ^平面 ABD1，
uuuur uuuur uuuur
所以 BD1 ^ A1D ，結合外積的定義可知 A1C1 A1D 與 BD1 共線，故 D 正確.
故選：ACD.
p ur uur
8．（多選題）如圖所示設Ox Oy q ， 是平面內相交成 q

÷角的兩條數軸， e1 ， e2 分別是與 x，y 軸正方è 2
uuuur ur uur
向同向的單位向量，則稱平面坐標系 xOy 為q 反射坐標系，若OM = xe1 + ye2 ，則把有序數對 x, y 叫做向
uuuur uuuur 2 r r
量OM 的反射坐標，記為OM = x, y ．在q = p 的反射坐標系中， a = 1,2 ，b = 2,-1 ．則下列結論中，3
錯誤的是（ ）
r r r
A． a - b = -1,3 B． a = 3
r r r r
C 3 7
r
． a ^ b D． a在b 上的投影向量為- b
14
【答案】AB
ur uur 2p 1
【解析】由題意 e1 ×e2 = cos = - ，3 2
r r ur uur ur uur ur uur
a - b = e1 + 2e2 - (2e1 - e2 ) = -e1 + 3e2 = (-1,3)，A 正確；
r 2 ur uur ur2 ur uur uur2 r
a = (e1 + 2e2 )
2 = e1 + 4e1 ×e2 + 4e
1
2 =1+ 4 (- ) + 4 1 = 3， a = 3 ，B 正確；2
r r ur uur ur uur ur2 ur uur uur
a ×b = (e1 + 2e2 ) × (2e1 - e2 ) = 2e1 + 3e1 ×e2 - 2e2 = 2 + 3 (
1
- ) - 2 3= - 0，C 錯誤；
2 2
r 2 ur uur ur2 ur uur uur2 r
b = (2e - e 2 11 2 ) = 4e1 - 4e1 ×e2 + e2 = 4 - 4 (- ) +1 = 7， b = 7 ，2
3
r r r r r ra ×b b - 2 b 3 ra在b 上的投影向量為 r × r = × = - b ，D 錯；
b b 7 7 14
故選：AB．
r r r
r r r r a sin a，b ur r ur r
9．（多選題）對任意兩個非零向量 a,b ，定義新運算： a b = r .已知非零向量m, n滿足 m > 3 n 且
b
ur r
q p , p
ur r r ur ur r
向量m, n的夾角 ÷ ，若 4 m n 和 4 n m 都是整數，則4 2 m n的值可能是（ ）è
5
A．2 B． C．3 D．4
2
【答案】BC
r
r ur n sinq rk
【解析】由題意可得 n m = ur = k Z ，因為 m > 3 n > 0 0 |unr | 1， ，所以 < < ，
m 4 | m | 3
r
q p , p 2 | n |因為 ÷，所以 < sinq <1，所以0 < ur sinq
1
< ，
è 4 2 2 | m | 3
0 k 1 0 4即 < < ，解得 < k < ，因為 k Z，所以 k =1，
4 3 3
r r ur
ur r n sinq
ur 1
n 1 ur r
= = ur = m n | m |rsinq所以m n ，則 ，故 = = 4sin2 q ，
m 4 m 4sinq | n |
r
因為q
p p 2 | n | 1 , ÷，所以 < sinq <1，因為 0 < ur < ，
è 4 2 2 | m | 3
0 1 1 3所以 < < ，所以 < sinq 1
9 2 9< ，所以 < sin q <1，則 < 4sin2 q < 4,
4sinq 3 4 16 4
ur r
m n 9 即 , 4÷ .
è 4
故選：BC.
10．如圖，在平面斜坐標系 xOy 中， xOy = q ，平面上任意一點 P 關于斜坐標系的斜坐標這樣定義：若
uuur ur uur ur uur uuur
OP = xe1 + ye2 （其中 e ,e 分別是 x y1 2 軸， 軸正方向的單位向量），則 P 點的斜坐標為 (x, y)，且向量OP 的
斜坐標為 (x, y) .給出以下結論，其中所有正確的結論的序號是
uuur
①若q = 60°， P (2, -1) ，則 OP = 3 ；
uuur uuur
②若P(x1, y1),Q(x2 , y2 ) ，則OP + OQ = (x1 + x2 , y1 + y2 ) ；
uuur
③若P x, y , R，則 OP = ( x, y)；
uuur uuur uuur uuur
④若OP = (x1, y1),OQ = (x2 , y2 ) ，則OP ×OQ = x1x2 + y1 y2.
【答案】①②③
uuur ur uur
【解析】對于①：∵q = 60°，P 2, -1 ，即OP = 2e1 - e2 ，
uuur ur uur 2 ur2 ur uur uur2∴ OP = 2e1 - e2 = 4e1 - 4e1 ×e2 + e2
= 4 +1- 4 1 1 cos 60° = 3 ，故①正確；
uuur ur uur uuur ur uur
對于②：∵ P x1, y1 ，Q x2 , y2 ，即OP = x1e1 + y1e2 ，OQ = x2 e1 + y2 e2 ，
uuur uuur ur uur ur uur ur uur
∴ OP + OQ = x1e1 + y1e2 + x2 e1 + y2 e2 = x1 + x2 e1 + y1 + y2 e2 ，
uuur uuur
∴ OP + OQ = x1 + x2 , y1 + y2 ，故②正確；
uuur ur uur
對于③：∵ P x, y ， R ，OP = xe1 + ye2 ，
uuur ur uur ur uur
∴ OP = xe1 + ye2 = xe1 + ye2 ，
uuur
∴ OP = x, y ，故③正確；
uuur uuur ur uur ur uur對于④：OP ×OQ = x1e1 + y1e2 × x2 e1 + y2 e2
ur2 uur2 ur uur= x1x2 e1 + y1 y2 e2 + x1 y2 + y1x2 e1 ×e2
= x1x2 + y1 y2 + x1 y2 + y1x2 cosq ，故④錯誤.
故答案為：①②③
r r r r r r r
11．（2024·河南·模擬預測）向量 a,b的夾角為q ，定義運算“ ”: a b =| a || b | sinq ，若 a = ( 3,1) ，
r r r
b = (- 3,1)，則 a b 的值為 .
【答案】 2 3
r r r r
【解析】由 a = ( 3,1) ，b = (- 3,1)，得 a ×b = 3 - 3 +1 1 = -2，
r r ar
r
r r ×b 1 r r
| a |= (- 3)2 +12 = 2,| b |= ( 3)2 +12 = 2 ， cosna,bn= r r = - ，na,bn 0, π a b 2 ，
r r 3 r r 3
則 sináa,b = ，所以 a b = 2 2 = 2 3 .
2 2
故答案為： 2 3
12．我們把由平面內夾角成60°的兩條數軸Ox ，Oy構成的坐標系，稱為“@未來坐標系”，如圖所示，
ur uur uuur ur uur uuur
e1,e2 分別為Ox,Oy 正方向上的單位向量，若向量OP = xe1 + ye2 ，則把實數對 x, y 叫做向量OP 的“@未來
uuur r r r r
坐標”，記OP = x, y ，已知 x1, y1 ， x2 , y2 分別為向量 a ，b 的“@未來坐標”，若向量 a ，b 的“@未來
坐標”分別為 1,2 ， 2,1 r r，則向量 a ，b 的夾角的余弦值為 .
13
【答案】
14
ur uur ur uur 1 1 r ur uur r ur uur
【解析】依題意 e1 ×e2 = e1 × e2 cos 60° =1 1 = ， a = e1 + 2e2 ，b = 2e1 + e2 2 2
，
r r ur uur所以 a ×b = e1 + 2e2
ur uur
× 2e1 + e2
ur2 uur2 ur uur 13
= 2e1 + 2e2 + 5e1 ×e2 = ，2
r ur uur ur uur 2 ur2 uur2 uura = e1 + 2e e r2 = 1 + 2e2 = e1 + 4e2 + 4e1 ×e2 = 7 ，
r ur uur ur uur 2 ur2 uur2 ur uurb = e1 + 2e2 = 2e1 + e2 = 4e1 + e2 + 4e1 ×e2 = 7 ，
13
r r r
r
所以 cos a,b a ×b 13
r r 13
= r r = 2 = ，即向量 a ，b 的夾角的余弦值為 .a b 7 7 14 14
13
故答案為：
14
uuur
13．已知對任意平面向量 AB = x, y ，把 B 繞其起點沿逆時針方向旋轉q 得到向量
uuur
AP = x cosq - y sinq , x cosq + y sinq 叫做把點 B 繞點 A 沿逆時針方向旋轉q 得到點 P.已知平面內點 A 2,1 ，
點B 2 + 2,1- 2 π r uuur uuur，把點 B 繞點 A 沿逆時針 后得到點 P，向量4 a 為向量PB在向量PA上的投影向量，則
r
a = .
【答案】 2 - 2 / - 2 + 2
uuur
【解析】因為 A 2,1 ，B 2 + 2,1- 2 ，所以 AB = ( 2, - 2)，
uuur
AP π= ( 2 cos - (- 2)sin π , 2 cos π + (- 2)sin π) = (2,0) ，
4 4 4 4
所以 P 點坐標為 (4,1)，
uuur uuur
所以PB = 2 - 2,- 2 ，PA = -2,0
uuur uuur uuur
r PB
所以 a = uu
×urPA × uPuAur 4 - 2 2 (-2,0)= × = 2 - 2 .
PA PA 2 2
故答案為： 2 - 2 .
r r r r r r14．定義平面非零向量之間的一種運算“*”，記 a * b = a cosq + b sinq （其中q 是非零向量 a，b 的夾角）．若
ur uur ur uur 1 ur uure1 ， e2 均為單位向量，且 e1 ×e2 = ，則 e1 * 3e2 = ．2
13
【答案】
2
ur uur ur uur ur uur
【解析】Qe1 ×e2 = e1 × e2 ×cosq
1 1 π
= ，且 e = e =1，\cosq = ，又q 0, π ，則q = ；
2 1 2 2 3
ur uure1 * 3e2
ur uur
= e1 cos 60° + 3e2 sin 60°
1 ur 3 uur
= e
2 1
+ e
2 2
1 ur uur 2= e1 + 3e2 2
1 1 1= + 6 + 9
2 2
13
= ，
2
13
故答案為：
2
r r r r r r r r r r
15．定義 a*b是向量 a 和b 的“向量積”，其長度為 | a *b |=| a || b | sinq ，其中q 為向量 a 和b 的夾角．若
r r r r r r
a = 2,0 ， a - b = 1, - 3 ，則 | a *(a + b) | = ．
【答案】 2 3
r r r r r r
【解析】Qa = 2,0 ， a - b = 1, - 3 ,\b = 1, 3 ,進而 a + b = 3, 3 ,
r r rr r r a × a + b r r r
cos a,a b r r r 6 3+ = = = sin a, a 1,所以 + b =
a a + b 2 2 3 2 2
r r r r r r r r
由“向量積”的定義可知: | a *(a + b) |= a b sin a,a b
1
+ = 2 2 3 = 2 3
2
故答案為: 2 3
uuur
uuur16．已知對任意平面向量 AB = x, y ，把 AB 繞其起點沿逆時針方向旋轉q 角得到向量
uuur
AP = x cosq - y sinq , x sinq + y cosq ，叫做把點 B 繞點 A 沿逆時針方向旋轉q 角得到點 P.已知平面內點
A 3 - 3,2 3

÷ ，B
3 p
2
4 - 3,3 + 2 3 ÷，把點 B 繞點 A 沿順時針方向旋轉 后得到點 P，則點 P 的坐標
è è 2 3
為 .
2, 3 【答案】 ÷ .
è 2
uuur
【解析】由題意得 AB = 4,3 p 5π，把點 B 繞點 A 沿順時針方向旋轉 （即按逆時針方向旋轉
3 3
）后得到點 P，
uuur
AP 4cos 5p 5p

則 = - 3sin ,4sin
5p 3cos 5p+ 3 3 3 3 3÷ = 2 + , - 2 3 ÷÷，又 A - , 2 3 ÷÷，設P(x, y) ，è 3 3 3 3 è 2 2 è 2
ì
x 3 3

- - ÷÷ = 2
3 3
+
è 2 2 3 則 í ，解得 x = 2， y = ，即點 P 的坐標為 2,
3
.
3 2 è 2
÷

y - 2 3 = - 2 3 2

故答案為： 2,
3
2 ÷
.
è
17．（多選題）在復數域內，大小成為了沒有意義的量，那么我們能否賦予它一個定義呢，在實數域內，
我們通常用絕對值來描述大小，而復數域中也相應的有復數的模長來代替絕對值，于是，我們只需定義復
數的正負即可，我們規定復數的“長度”即為模長，規定在復平面 x 軸上方的復數為正，在 x 軸下方的復數
為負，在 x 軸上的復數即為實數大小.“大小”用符號+“長度”表示，我們用 z 來表示復數的“大小”，例如：
1+ 2i = 5, 1- 2i = - 5, 1 =1, -3 = -3, -1- 2i = - 5 ，則下列說法正確的是（ ）
A． z = 1在復平面內表示一個圓
B．若 z C，則方程[z]2 = -1無解
C．若 z1, z2 為虛數，且 z1 = z2 ，則 z1 + z2 = 0
D．復數 z 滿足 z - i =1，則 z 的取值范圍為 é 2, 2ù
【答案】BCD
【解析】A：根據已知條件 z = 1表示模長為 1，在復平面位于 x 軸上方的復數，所以并不是一個圓，故 A
錯誤；
B：若 z C，則方程[z]為一個實數，所以[z]2 = -1無解，故 B 正確；
C：若 z1, z2 為虛數，且 z1 = z2 ，設 z1 = bi ，則 z2 = -bi，
所以 z1 = b, z2 = -b，所以 z1 + z2 = 0，故 C 正確；
D：設 z = a + bi ，
根據復數的新定義有 z - i = éa + b -1 iù =1，
所以 a2 + b -1 2 =1，且1 b 2，
所以 a2 =1- b -1 2 ，
所以 z 是 a2 + b2 = 1- b -1 2 + b2 = 2b ，
所以 2b é 2,2ù ，故 D 正確；
故選：BCD.
18．（多選題）（2024·山西·模擬預測）數系的擴充是數學發展的一個重要內容，1843 年，數學家哈密頓發
現了四元數．四元數的產生是建立在復數的基礎上的，和復數相似，四元數是實數加上三個虛數單位 i， j
和 k，而且它們有如下關系： i2 = j2 = k2 = -1,i0 = j0 = k0 =1,ij = k, ji = -k, jk = i, kj = -i, ki = j, ik = - j．四元數
一般可表示為 a + bi + cj+ dk ，其中 a,b,c,d 為實數．定義兩個四元數：
a = a1 + b1i + c1 j+ d1k, b = a2 + b2i + c2 j+ d2k ，那么這兩個四元數之間的乘法定義如下：
ab = a1a2 - b1b2 - c1c2 - d1d2 + a1b2 + b1a2 + c1d2 - d1c2 i + a1c2 + c1a2 + d1b2 - b1d2 j+ a1d2 + d1a2 + b1c2 - c1b2 k ．
關于四元數，下列說法正確的是（ ）
A． ijk = -1
B aa = a2 + b2 + c2 2． 1 1 1 + d1
C．ab = ba
D．若a =1+ i + j+ k，且ab = 4，則 b =1- i - j- k
【答案】AD
【解析】對于 A：因為 ij = k ，所以 ijk = k2 = -1，故 A 正確；
對于 B：設a = a1 + b1i + c1 j+ d1k(a,b,c,d R)，由兩個四元數之間的乘法定義得，
aa = (a1 + b1i + c1 j+ d1k)(a1 + b1i + c1 j+ d1k)
= a1a1 - b1b1 - c1c1 - d1d1 + a1b1 + b1a1 + c1d1 - d1c1 i + a1c1 + c1a1 + d1b1 - b1d1 j+ a1d1 + d1a1 + b1c1 - c1b1 k
= a 2 - b 2 - c 2 21 1 1 - d1 + 2a1b1i + 2a1c1 j+ 2a1d1k ，故 B 錯誤；
對于 C：設a = a1 + b1i + c1 j+ d1k, b = a2 + b2i + c2 j+ d2k(a,b,c,d R)，
則
ab = a1a2 - b1b2 - c1c2 - d1d2 + a1b2 + b1a2 + c1d2 - d1c2 i + a1c2 + c1a2 + d1b2 - b1d2 j+ a1d2 + d1a2 + b1c2 - c1b2 k
ba = a1a2 - b1b2 - c1c2 - d1d2 + a2b1 + b2a1 + c2d1 - d2c1 i + a2c1 + c2a1 + d2b1 - b2d1 j+ a2d1 + d2a1 + b2c1 - c2b1 k
當 c2d1 = d2c1, d2b1 = b2d1,b2c1 = c2b1，有ab = ba ，
所以ab 與 ba 不一定相等，故 C 錯誤；
對于 D：設 b = a + bi + cj+ dk(a,b,c,d R)，
因為ab = a - b - c - d + b + a + d - c i + c + a + b - d j+ (d + a + c - b)k = 4，
ìa - b - c - d = 4 ìa =1

b + a + d - c = 0 b = -1
所以 í
c + a b d 0
，解得
+ - = í c = -1
，
d + a + c - b = 0 d = -1
所以 b =1- i - j- k ，故 D 正確，
故選：AD．
19．（多選題）（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）定義復數的大小關系：已知復數 z1 = a1 + b1i ， z2 = a2 + b2i ， a1，
a2，b1，b2 R．若 a1 > a2 或（ a1 = a2 且b1 > b2 ）,稱 z1 > z2．若 a1 = a2 且b1 = b2 ,稱z1 = z2．共余情形均為
2

z1 < z
3 +1
2 ．復數 u，v，w 分別滿足：u2 + u +1 = 0， v = ÷÷ ， w +1 =1，則（ ）
è 2
A．u < w < v B．u = v = w C． v > u = w D．w < u < v
【答案】ACD
【解析】設復數u = a + bi a,b R ，若b = 0，因為 a R ，則 a2 + a +1 = 0 無解，
所以 a,b R,b 0，將u = a + bi代入u2 + u +1 = 0，可得，
a2 - b2 + 2abi + a + bi 2 2+1 = 0，即 a - b + a +1+ 2a +1 bi = 0，
ìa 1= -
ìa2 - b2 + a +1 = 0 2 1 3
所以 í 2a ，解得+1 b = 0 í ，所以u = - ± i ， 3
b = ±
2 2
2
2
3 +1 v 4 + 2 3 1 3又因為 = ÷÷ = = + ，
è 2 4 2
設w = x + yi x, y R ，所以 w +1 = (x +1)2 + y2 =1，
所以 (x +1)2 + y2 =1，
所以復數w = x + yi 對應的點在以 (-1,0) 為圓心，1為半徑的圓上，
所以-2 x 0, -1 y 1，從而v最大，故 B 錯誤；
1
若 x = - y 3 1 3，2 = ±
，則w = - ± i，
2 2 2
1 3 1 3 1 3 1 3
所以當u = - + i ，w = - + i或u = - - i，w = - - i
2 2 2 2 2 2 2 2
時u = w，則 v > u = w，C 正確；
1
若- < x 0，此時u < w，則u < w < v，A 正確；
2
若 x
1
< - ，此時u > w，則 v > u > w，D 正確；
2
故選：ACD.
20．對于任意的復數 z = x + yi(x, y R)，定義運算 P(z) = x2[cos(yπ) + isin(yπ)]．
(1)集合 A = {w | w = P(z) ， | z | 1，Rez， Imz 均為整數}，試用列舉法寫出集合A ；
(2)若 z = 2 + yi(y R) ，P(z)為純虛數，求 | z |的最小值；
(3)直線 l : y = x - 9上是否存在整點 (x, y)（坐標 x ， y 均為整數的點），使復數 z = x + yi經運算 P 后，P(z)對
應的點也在直線 l上？若存在，求出所有的點；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）由題意得 x2 + y2 1，且 x ， y Z ，
ìx =1 ìx = -1 ìx = 0 ìx = 0 ìx = 0
所以 í íy 0，或 íy 0 ，或 y = 0，或 íy 1，或 = = = -
í
y =1
，
所以 z =1，或 z = -1，或 z = 0，或 z = -i ，或 z = i ，
所以 P(z) = P(1) = cos0 + isin 0 = 1，或 P(z) = P(-1) = cos0 + isin 0 = 1，
或 P(z) = P(0) = 0 ，或 P(z) = P(-i) = 0，或 P(z) = P(i) = 0，
所以 A = {0,1}；
（2）若 z = 2 + yi(y R) ，則 P(z) = 4[cos(yπ) + isin(yπ)]
ìcos yπ = 0
若P(z)
π 1
為純虛數，則 í ，所以 yπ = + kπ, k Zsin yπ ，得
y = k + ,k Z ，
0 2 2
所以 | z | 1= 22 + y2 = (k + )2 + 4,k Z，
2
所以當 k = 0或 -1時， | z | 17min = ．2
（3）P(z)對應點坐標為 (x2 cos(yπ), x2 sin(yπ))，
ìy = x - 9
2 2
由題意 íx sin yπ = x cos yπ - 9，得 x2 sin(xπ - 9π) = x2 cos(xπ - 9π) - 9

x, y Z
所以 x2 sin xπ = x2 cos xπ + 9，而 x Z，
①當 x = 2k ， k Z時，得 x2 + 9 = 0不成立；
②當 x = 2k +1， k Z時，得x 2 - 9 = 0，所以 x = ±3成立，
ìx = 3 ìx = -3
此時 íy = -6或 í y
，
= -12
故滿足條件的整點為 (3,-6)和 (-3,-12) ．
21．（2024·河南鄭州·三模）復數除了代數形式 a + bi之外，還有兩種形式，分別是三角形式和指數形式，
著名的歐拉公式 eiq = cosq + isinq 體現了兩種形式之間的聯系．利用復數的三角形式進行乘法運算，我們可
iθ
以定義旋轉變換．根據 a + bi e = a + bi cosq + isinq = acosq - bsinq + asinq + bcosq i，我們定義：在
直角坐標系內，將任一點繞原點逆時針方向旋轉q 的變換稱為旋轉角是q 的旋轉變換．設點 A a,b 經過旋
a = acosq - bsinq ,
轉角是q 的旋轉變換下得到的點為 A a ,b ì，且旋轉變換的表達式為 íb asinq bcosq . 曲線的旋轉變換也 = +
1
如此，比如將“對勾”函數 y = x +
π
圖象上每一點繞原點逆時針旋轉 8 后就得到雙曲線：x
y2 x2
- =1
2 2 +1 2 2 -1 ．
(1)求點 -1, - 3 π在旋轉角是 的旋轉變化下得到的點的坐標；4
(2)求曲線 xy =1
π
在旋轉角是 的旋轉變化下所得到的曲線方程；
4
(3)等邊 ABC 中，B -1, -1 , A,C 在曲線 xy =1上，求 ABC 的面積．
ìx cos π π = - + 3sin , 4 4
【解析】（1）由題可設所求點的坐標為 x, y ，由 í
y = -sin π π- 3cos ,
4 4
6 - 2 6 + 2
得所求點的坐標為 ,-2 2 ÷÷
．
è
π
（2）設曲線 xy =1上任意一點 x, y 在旋轉角是 的旋轉變換下所得點坐標為 x , y ．
4
ì ì
x = xcos
π π 2
- ysin , x = x - y ,
4 4 2
則 í 即 í
y xsin π ycos π= + ,
4 4 y
2
= x + y , 2
2
得 y - x 2 = 2xy = 2，
y2 x2
所求曲線方程為 - =1．
2 2
（3）由題點B -1, -1 π在旋轉角是 的旋轉變換下所得的點為B 0, - 2 ．
4
π
設 A,C 在旋轉角是 的旋轉變換下所得的點分別為 A 和C ．
4
設曲線 xy =1
π
在旋轉角是 的旋轉變換下所得曲線為M ，
4
2 2
則M y x方程為 - =1．
2 2
則B 是曲線M 的下頂點．
由題， A B C 為等邊三角形， A B C 的面積即為 ABC 的面積．
設 ABC 的邊長為 t(t > 0)，由雙曲線的對稱性：
t 3
當 A 和C 同在曲線M 的下支時，則 A - , - t - 2 ÷÷，
è 2 2
代入M 的方程得 t 無解．
t 3
當 A 和C 同在曲線M 的上支時，則 A - , t - 2 ÷÷，
è 2 2
代入M 的方程得 t = 2 6.△ABC 的面積為6 3 ．
綜上所述， ABC 的面積為6 3 ．
22 *．（2024·河南·模擬預測）從數據組W : (1, 2,3,L, n) 中取出 k k N , k n 個不同的數構成一個新數據組
P： (x1, x2 ,L, xk )．若"a W，$xi , x j P ， i, j {1,2,L, k}，使得 a = xi + mx j ， , m -1,0,1 ，則稱數
據組P為數據組W的一個 k 維基本數據庫.
(1)判斷數據組P： 1,4 是否為數據組W： 1,2,3,4,5 的一個 2 維基本數據庫；
(2)判斷數據組P： 2,3,4 是否為數據組W： 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的一個 3 維基本數據庫.
(3)若數據組P是數據組W的一個 k 維基本數據庫，求證： k 2 + k n .
【解析】（1）因為1 =1 1+ 0 4,2 =1 1+1 1,3 = -1 1+1 4,4 = 0 1+1 4,5 =1 1+1 4，
所以數據組P： 1,4 是數據組W： 1,2,3,4,5 的一個 2 維基本數據庫；
（2）因為等式9 = 2 + m 2,9 = 2 + m 3,9 = 3+ m 3,9 = 2 + m 4，
9 = 3 + m 4,9 = 4 + m 4，對于 , m -1,0,1 均不可能成立，
所以數據組P： 2,3,4 不是數據組W： 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的一個 3 維基本數據庫；
（3）不妨設 x1 < x2 形如1× xi +1× xi i 1,2,3,L, k 的正整數共有 k 個；
形如1× xi +1× x j i, j 1,2,3,L, k , i j C2的正整數至多有 k 個；
-1 × x 2形如 i +1× x j i, j 1,2,3,L, k 的正整數至多有Ck 個；
又數據組W : (1, 2,3,L, n) 含 n 個不同的正整數，數據組P是數據組W的一個 k 維基本數據庫，
故 k + k + C2k + C
2
k n，化簡得 k 2 + k n .
a1 b1
r a
÷ r b ÷ r r r r
23．（2024· · 2 2全國 模擬預測）設有 n維向量 a = ÷ ，b =
÷，稱 éa,b ù = a b + a b + ×××+ a b 為向量 a和
× × × ÷ ×××÷ 1 1 2 2 n n b

è a
÷
n èb
÷
n
r
的內積，當 éa
r,b ù r r = 0，稱向量 a和b 正交．設 Sn 為全體由 -1和 1 構成的 n元數組對應的向量的集合．
1
r 2÷
(1)若 a = ÷
r r r
3 ÷，寫出一個向量b ，使得
é a,b ù = 0．
÷
è 4
r r r r
(2)令B = x, y x, y Sn ．若m B ，證明：m + n為偶數．
r r
(3)若 n = 4， f 4 是從 S4 中選出向量的個數的最大值，且選出的向量均滿足 é a,b ù = 0，猜測 f 4 的值，
并給出一個實例．
1
r 1 ÷
【解析】（1）由定義，只需滿足b + 2b + 3b + 4b = 0，不妨取b = ÷1 2 3 4 1÷（答案不唯一）．-

è 0
÷

x1 y1
r x ÷ r y ÷ r r
（2）對于 m B ， i =1 2，2， × × × ， n，存在 x = ÷， x -1,1 ， y = 2 ÷， y -1,1 ，使得 x, y = m ．× × × ÷ i ××× ÷ i

è x
÷ ÷
n è yn
ì1, x = y n
當 xi = y x
i i
i時， i yi =1；當 xi yi 時， xi yi = -1．令 i = í ， k = ．
0, xi y
i
i i=1
n
所以 xr, yr = xi yi = k - n - k = 2k - n ．
i=1
所以m + n = 2k - n + n = 2k 為偶數．
（3）當 n = 4時，可猜測互相正交的 4 維向量最多有 4 個，即 f 4 = 4．
1 -1 -1 1
r 1÷ r 1 ÷ ÷ ÷
不妨取 a = ÷ ， a = ÷
r -1a r
-1
1 2 ， 3 = ÷ a = ÷ 1÷ -1÷ 1 ÷， 4 1÷，-
1÷ 1 ÷ 1 ÷ 1 ÷è è è è
ar ,ar則有 1 2 = 0， a
r
1,a
r
3 = 0
r r r r r r r r
， a1,a4 = 0， a2 ,a3 = 0 ， a2 ,a4 = 0， a3 , a4 = 0 ．
-1 1 1
r r 1 ÷ -1
÷ 1 ÷
若存在a5，使 a1,a
r
5 = 0
r
，則 a = ÷ 或 ÷ ÷5 1 ÷ 1 ÷或 -1÷．
1÷ ÷ ÷è - è -1 è -1
-1
r ÷
當 a =
1 ÷ ar ,ar5 = -4 1 ÷ 時， 4 5 ；
÷
è -1
1
r ÷
當 a =
-1÷ r r
5 1 ÷ 時，
a2 ,a5 = -4 ；

è -1
÷

1
r ÷
當 a =
1 ÷ ar r5 1÷ 時， 3 , a5 = -4，-
1֏ -
故找不到第 5 個向量與已知的 4 個向量互相正交．

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