資源簡(jiǎn)介

第 01 講 三角函數(shù)概念與誘導(dǎo)公式
目錄
01 考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航..........................................................................................................................2
02 知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航..........................................................................................................................3
03 考點(diǎn)突破·題型探究..........................................................................................................................4
知識(shí)點(diǎn) 1：三角函數(shù)基本概念 .............................................................................................................4
知識(shí)點(diǎn) 2：同角三角函數(shù)基本關(guān)系 .....................................................................................................5
知識(shí)點(diǎn) 3：三角函數(shù)誘導(dǎo)公式 .............................................................................................................6
解題方法總結(jié) ........................................................................................................................................6
題型一：終邊相同的角的集合的表示與區(qū)別 ....................................................................................6
題型二：等分角的象限問(wèn)題 ................................................................................................................8
題型三：弧長(zhǎng)與扇形面積公式的計(jì)算 ................................................................................................8
題型四：割圓術(shù)問(wèn)題 ..........................................................................................................................10
題型五：三角函數(shù)的定義 ..................................................................................................................11
題型六：象限符號(hào)與坐標(biāo)軸角的三角函數(shù)值 ..................................................................................12
題型七：弦切互化求值 ......................................................................................................................13
題型八：誘導(dǎo)求值與變形 ..................................................................................................................14
題型九：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 ..........................................................15
04真題練習(xí)·命題洞見(jiàn)........................................................................................................................17
05課本典例·高考素材........................................................................................................................18
06易錯(cuò)分析·答題模板........................................................................................................................19
易錯(cuò)點(diǎn)：不能理解三角函數(shù)的定義 ..................................................................................................19
考點(diǎn)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
高考對(duì)此也經(jīng)常以不同的方式進(jìn)行考
（1）三角函數(shù)基本概念
2023年甲卷第 14題，5分 查，將三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)關(guān)
（2）任意角的三角函數(shù)
2022年浙江卷第 13題，5分 系式和誘導(dǎo)公式綜合起來(lái)考查，且考查得
（3）同角三角函數(shù)的基本關(guān)
2021年甲卷第 8題，5分 較為靈活，需要深人理解概念、熟練運(yùn)用
系
公式．
復(fù)習(xí)目標(biāo)：
（1）了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會(huì)引入弧度制的必要性．
（2）理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 sin2 a + cos2 a sina= 1， = tana ．
cosa
（3）掌握誘導(dǎo)公式，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用．
知識(shí)點(diǎn) 1：三角函數(shù)基本概念
1、角的概念
（1）任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖
形；
②分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角．
（2）所有與角 α 終邊相同的角，連同角 α 在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是 S = = k 360 + a ，k Z ．
（3）象限角：使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，
就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．
（4）象限角的集合表示方法：
2、弧度制
（1）定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做 1 弧度的角，用符號(hào) rad 表示，讀作弧度．正角
的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是 0．
180
（2）角度制和弧度制的互化：180 = rad ，1 = rad ，1rad = ．
180
3 l = a r 1 1（ ）扇形的弧長(zhǎng)公式： ，扇形的面積公式： S = lr = a r 2 ．
2 2
3、任意角的三角函數(shù)
（1）定義：任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn) P(x，y) 時(shí)，則 sina = y ， cosa = x tana y， = (x 0) ．
x
（2）推廣：三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點(diǎn) P P(x，y) 是角 α終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn) P 到原
O r sina y cosa x y點(diǎn) 的距離為 ，則 = ， = ， tana = (x 0)
r r x
三角函數(shù)的性質(zhì)如下表：
第一象 第二象限 第三象 第四象
三角函數(shù) 定義域
限符號(hào) 符號(hào) 限符號(hào) 限符號(hào)
sina R ＋ ＋ － －
cosa R ＋ － － ＋
tana {a |a k + ，k Z} ＋ － ＋ －
2
記憶口訣：三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
4、三角函數(shù)線
如下圖，設(shè)角 α 的終邊與單位圓交于點(diǎn) P，過(guò) P 作 PM⊥x 軸，垂足為 M，過(guò) A（1，0）作單位圓的切
線與 α 的終邊或終邊的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) T．
三角函數(shù)線
有向線段 MP 為正弦線；有向線段 OM 為余弦線；有向線段 AT 為正切線
π
【診斷自測(cè)】在平面直角坐標(biāo)系中，給出下列命題：①小于 的角一定是銳角；②鈍角一定是第二象限的
2
角；③終邊不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 個(gè) B．2 個(gè) C．3 個(gè) D．4 個(gè)
知識(shí)點(diǎn) 2：同角三角函數(shù)基本關(guān)系
1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
（1）平方關(guān)系： sin 2 a + cos2 a = 1．
（2 sina ）商數(shù)關(guān)系： = tana (a + k )；
cosa 2
【診斷自測(cè)】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，角a 的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與 x 軸的非
負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P 3,4 sina + 2cosa，則 =（ ）
cosa - sin a
A．11 B．-10 C．10 D．-11
知識(shí)點(diǎn) 3：三角函數(shù)誘導(dǎo)公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2k + a (k Z ) + a -a -a -a + a
2 2
正弦 sina -sina -sina sina cosa cosa
余弦 cosa -cosa cosa -cosa sina -sina
正切 tana tana - tana - tana
口訣 函數(shù)名不變，符號(hào)看象限 函數(shù)名改變，符號(hào)看象限

【記憶口訣】奇變偶不變，符號(hào)看象限，說(shuō)明：（1）先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作 n ± a ；
2

（2）無(wú)論有多大，一律視為銳角，判斷 n ± a 所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負(fù)；（3）
2
當(dāng) n為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當(dāng) n為偶數(shù)時(shí)，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可．
π 1 5π
【診斷自測(cè)】（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）若 sin a + ÷ = ，則 cos3 4
a + ÷ =（ ）
è è 6
1 1 1
A． B．- C．± D 15．
4 4 4 4
解題方法總結(jié)
1 sin 2 a + cos2 a = 1 a sina、利用 可以實(shí)現(xiàn)角 的正弦、余弦的互化，利用 = tana 可以實(shí)現(xiàn)角a 的弦切
cosa
互化．
2、“ sina + cosa ，sina cosa ，sina - cosa ”方程思想知一求二．
(sina + cosa )2 = sin2 a + cos2 a + 2sina cosa = 1+ sin 2a
(sina - cosa )2 = sin2 a + cos2 a - 2sina cosa = 1- sin 2a
(sina + cosa )2 + (sina - cosa )2 = 2
題型一：終邊相同的角的集合的表示與區(qū)別
【典例 1-1】集合 A = a∣a = -2024 + k 180 ,k Z 中的最大負(fù)角a 為（ ）v
A．-2024 B．-224 C．-44 D．-24
【典例 1-2】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）若角a 的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在 x 軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線
y = 3x上，則角a 的取值集合是（ ）
ì π
A． ía a = 2kπ + , k Z
ü ì
B． ía a = 2kπ
2π
+ ,k Zü
3 3
ìa a = kπ 2π+ ,k Zü ìa a = kπ π+ , k ZüC． í D． í
3 3
【方法技巧】
（1）終邊相同的角的集合的表示與識(shí)別可用列舉歸納法和雙向等差數(shù)列的方法解決．
（2）注意正角、第一象限角和銳角的聯(lián)系與區(qū)別，正角可以是任一象限角，也可以是坐標(biāo)軸角；銳
角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐標(biāo)軸角．
【變式 1-1】如圖，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角a 的集合是（ ）
ìa | 5πA． í + 2kπ a 2k +1 π,k Zü ì 5π B． ía | + kπ a k +1 π,k Zü6 6
ì 7π ü ì π ü
C． ía | - + 2kπ a 2k -1 π,k Z D． ía | - + 2kπ a 2kπ,k Z
6

6
【變式 1-2】用弧度制分別表示每個(gè)圖中頂點(diǎn)在原點(diǎn)、始邊重合于 x 軸的非負(fù)半軸、終邊落在陰影部分內(nèi)
（包括邊界）的角的集合.
【變式 1-3】已知角a 的集合為M = a a = 30 + k 90 ,k Z ，回答下列問(wèn)題：
(1)集合 M 中有幾類終邊不相同的角？
(2)集合 M 中大于－360°且小于 360°的角是哪幾個(gè)？
(3)求集合 M 中的第二象限角 ．
題型二：等分角的象限問(wèn)題
【典例 2-1】已知a 是第二象限角，則（ ）
a a
A． 是第一象限角 B． sin > 0
2 2
C． sin 2a < 0 D． 2a 是第三或第四象限角
a a 2k 【典例 2-2】（2024·高三·湖北黃岡·期中）若角 滿足 ＝ + (k∈Z)，則a 的終邊一定在(　　)
3 6
A．第一象限或第二象限或第三象限
B．第一象限或第二象限或第四象限
C．第一象限或第二象限或 x 軸非正半軸上
D．第一象限或第二象限或 y 軸非正半軸上
【方法技巧】
先從a a的范圍出發(fā)，利用不等式性質(zhì)，具體有：（1）雙向等差數(shù)列法；（2） 的象限分布圖示．
n
【變式 2-1】已知 sina > 0， cos
a
a < 0，則 的終邊在（
3 ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
【變式 2-2】若角 α 是第二象限角，則角 2α 的終邊不可能在(　　)
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
a a a
【變式 2-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知角a 第二象限角，且 cos = cos ，則角 是（
2 2 2 ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
題型三：弧長(zhǎng)與扇形面積公式的計(jì)算
【典例 3-1】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）用一個(gè)圓心角為120 ，面積為3 的扇形OMN （O為圓心）用
成一個(gè)圓錐（點(diǎn)M , N 恰好重合），該圓錐頂點(diǎn)為 P ，底面圓的直徑為 AB ，則 cos APB的值為 ．
【典例 3-2】若扇形的周長(zhǎng)為 18，則扇形面積取得最大值時(shí)，扇形圓心角的弧度數(shù)是 .
【方法技巧】
應(yīng)用弧度制解決問(wèn)題的方法
（1）利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度．
（2）求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題．
（3）在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形．
【變式 3-1】已知扇形的周長(zhǎng)為20cm，則當(dāng)扇形的圓心角a = 扇形面積最大．
【變式 3-2】（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測(cè)）下圖是第 19 屆杭州亞運(yùn)會(huì)的會(huì)徽“潮涌”，可將其視為一扇環(huán)
ABCD．已知 AB = 2π， AD = 3．且該扇環(huán) ABCD的面積為9π，若將該扇環(huán)作為側(cè)面圍成一圓臺(tái)，則該圓
臺(tái)的體積為 .
【變式 3-3】（2024·廣東·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中放置著一個(gè)邊長(zhǎng)為 1 的等邊三角形PAB，
且滿足 PB與 x 軸平行，點(diǎn)A 在 x 軸上.現(xiàn)將三角形PAB沿 x 軸在平面直角坐標(biāo)系 xOy 內(nèi)滾動(dòng)，設(shè)頂點(diǎn)
P x, y 的軌跡方程是 y = f x ，則 f x 的最小正周期為 ； y = f x 在其兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖象與 x 軸
所圍區(qū)域的面積為 .
【變式 3-4】建于明朝的杜氏雕花樓被譽(yù)為“松江最美的一座樓”，該建筑內(nèi)有很多精美的磚雕，磚雕是我
國(guó)古建筑雕刻中很重要的一種藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚墻精致細(xì)膩、氣韻生動(dòng)、極富書卷氣．如圖是一扇環(huán)形磚
雕，可視為扇形 OCD 截去同心扇形 OAB 所得部分，已知 AD=1m AB = π 2π，弧 3 m，弧CD = 3 m，則此扇
環(huán)形磚雕的面積為 m2．
題型四：割圓術(shù)問(wèn)題
【典例 4-1】（2024·貴州銅仁·模擬預(yù)測(cè)）魏晉南北朝時(shí)期，祖沖之利用割圓術(shù)以正 24576 邊形，求出圓周
355
率 π約等于 ，和 π相比，其誤差小于八億分之一，這個(gè)記錄在一千年后才被打破．若已知 π的近似值
113
π 16 - π2
還可以表示成 4sin 52 ，則 4 4 3 的值約為（ ）cos 3.5 + sin 3.5 -
4
1 1
A． -32 B．- C．32 D．
32 32
【典例 4-2】我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)造性的提出了“割圓術(shù)”，劉徽認(rèn)為圓的內(nèi)接正n邊形隨著邊數(shù)n
的無(wú)限增大，圓的內(nèi)接正n邊形的周長(zhǎng)就無(wú)限接近圓的周長(zhǎng)，并由此求得圓周率 π的近似值．如圖當(dāng) n = 6
6r
時(shí)，圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)為6r ，故 π ，即 3．運(yùn)用“割圓術(shù)”的思想，下列估算正確的是（
2r ）
A． n =12 時(shí)， π 12sin15o B． n =12 時(shí)， π 6sin15o
C． n =12 時(shí)， π 12cos15o D． n =12 時(shí)， π 24cos15o
v
【方法技巧】
割圓術(shù)是魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)的方法，用于計(jì)算圓周率。其核心思想是通過(guò)不斷倍增圓內(nèi)接正多
邊形的邊數(shù)，使正多邊形的周長(zhǎng)無(wú)限接近圓的周長(zhǎng)，進(jìn)而求得較為精確的圓周率。這一方法體現(xiàn)了極限思
想，為中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)。具體操作為：從圓內(nèi)接正六邊形開(kāi)始，逐步分割成正十二邊形、
正二十四邊形等，直至邊數(shù)無(wú)法再增，此時(shí)正多邊形的周長(zhǎng)即接近圓周率與直徑的乘積。
【變式 4-1】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)古代魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽用“割圓術(shù)”計(jì)算圓周率，“割之彌細(xì)，
所失彌少，割之，又割，以至于不可割，則與圓周合體無(wú)所失矣”.劉徽從圓內(nèi)接正六邊形逐次分割，一直
分割到圓內(nèi)接正 3072 邊形，用正多邊形的面積逼近圓的面積.利用該方法，由圓內(nèi)接正 n 邊形與圓內(nèi)接正
2n邊形分別計(jì)算出的圓周率的比值為（ ）
A sin 180
o o o o

． ÷ B． cos
180 360 360
n ÷
C． 2sin ÷ D． 2cos
è è n è n ÷ è n
【變式 4-2】在 3 世紀(jì)中期，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌
少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣”.這可視為中國(guó)古代極限觀念的佳作.割圓術(shù)可以
視為將一個(gè)圓內(nèi)接正n邊形等分成n個(gè)等腰三角形（如圖所示），當(dāng)n越大，等腰三角形的面積之和越近似
等于圓的面積.運(yùn)用割圓術(shù)的思想，可得到 sin 5 的近似值為（ ）

A． B． C． D．
72 48 36 18
題型五：三角函數(shù)的定義
【典例 5-1】（2024·江西·二模）已知角a 的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)M ( 2,1)，則cosa =（ ）
A 6 B 3 C D 2． ． ． 2 ．
3 3 2
【典例 5-2】（2024·北京房山·一模）已知角a 的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn) (3, 4)
π
，把角a 的終邊繞原點(diǎn) O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得
2
到角 的終邊，則 sin =（ ）
4 4 3 3
A．- B． C．- D．
5 5 5 5
【方法技巧】
（1）利用三角函數(shù)的定義，已知角 α 終邊上一點(diǎn) P 的坐標(biāo)可求 α 的三角函數(shù)值；已知角 α 的三角函
數(shù)值，也可以求出角 α 終邊的位置．
（2）判斷三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結(jié)合三角函數(shù)值在各象限的符
號(hào)確定所求三角函數(shù)值的符號(hào)，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況．
【變式 5-1】（2024·北京通州·二模）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，角a 的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與 x 軸的非
4 3
負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)P ,- ÷，則 cos π - 2a =（5 5 ）è
9 7
A．-
9
B．- C 7． D．
25 25 25 25
【變式 5-2】已知角a 的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P 1,2sina ，則 sina 的值不可能是（ ）
A 3 B 0 C 3． ． ． - D 1．
2 2 2
【變式 5-3】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，動(dòng)點(diǎn) P 、Q從點(diǎn) A 1,0 出發(fā)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) P 按
π 11π
逆時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn) 弧度，點(diǎn)Q按順時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn) 弧度，則 P 、Q兩點(diǎn)在第1804次相遇時(shí)，點(diǎn)
12 12
P 的坐標(biāo)是（ ）
1 3 1 3
A． ,- ÷÷ B． ,2 2 ÷÷è è 2 2
1 3 1 - 3
C． - , ÷÷ D．2 2
- , ÷÷
è è 2 2
【變式 5-4】（2024·山東濟(jì)南·二模）質(zhì)點(diǎn) P 和Q在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，半徑為 1 的圓O上逆時(shí)針作勻速
圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)出發(fā). P 的角速度大小為 2rad / s ，起點(diǎn)為圓O與 x 軸正半軸的交點(diǎn)；Q的角速度大小為
5rad / s，起點(diǎn)為圓O與射線 y = - 3x x 0 的交點(diǎn).則當(dāng)Q與 P 第 2024 次重合時(shí)， P 的坐標(biāo)為（ ）
cos 2π ,sin 2π cos 5π , sin 5π π π- - A． ÷ B． ÷ C． cos , -sin ÷ D． -cos
π ,sin π ÷
è 9 9 è 9 9 è 9 9 è 9 9
題型六：象限符號(hào)與坐標(biāo)軸角的三角函數(shù)值
【典例 6-1】（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，角a 以O(shè)x 為始邊，終邊在第三象限.則
（ ）
A． sina - cosa tana B． sina - cosa tana
C． sina cosa < tana D． sina cosa > tana
【典例 6-2】若a 是第二象限角，則（ ）
a
A． cos -a > 0 B． tan > 0
2
C． sin π +a > 0 D． cos π -a < 0
【方法技巧】
正弦函數(shù)值在第一、二象限為正，第三、四象限為負(fù)；．
余弦函數(shù)值在第一、四象限為正，第二、三象限為負(fù)；．
正切函數(shù)值在第一、三象限為正，第二、四象限為負(fù)．
q
【變式 6-1】已知 sinq tanq < 0，且 cosq sin q < 0 ，則 為（ ）
2
A．第一或二象限角 B．第二或三象限角 C．第一或三象限角 D．第二或四
象限角
sin a 2cos a 3tan a
6-2 a 2 + 2 - 2【變式 】（多選題）若角 的終邊在第三象限，則 的值可能為（ ）
sin a cos a tan a
2 2 2
A．0 B．2 C．4 D．-4
【變式 6-3】（2024·高三·海南·期末）已知a , 都是第二象限角，則“ sin a - < 0 ”是“ tana < tan ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不
必要條件
題型七：弦切互化求值
【典例 7-1】（2024·高三·福建泉州·期末）已知q 0, π ,sinq = cosq ，則 sinqcosq =（ ）
1
A 1．- 2 B．- C． D．2 2 2
【典例 7-2】已知 sina + cosa = 3cosa tana ，則 cos2 a tana =（ ）
- 3 3 2 2A． B． C．- D．
5 5 5 5
【方法技巧】
（1）若已知角的象限條件，先確定所求三角函數(shù)的符號(hào)，再利用三角形三角函數(shù)定義求未知三角函
數(shù)值．
（2）若無(wú)象限條件，一般“弦化切”．
【變式 7-1】若 tanq = 2，則 sinq cosq - sinq = .
sinq - 2cosq 3
【變式 7-2 2024· · = 2 sin q + cosq】（ 浙江杭州 模擬預(yù)測(cè)）已知 ，則 = ．
sinq + cosq 2sinq + cos3q
7-3 tana = 2 cos π -a + 3sina【變式 】已知 ，則 = .
4cosa - sina
5
【變式 7-4】（多選題）已知 sina - cosa = ，0 a π ，則下列選項(xiàng)中正確的有（ ）
5
A． sina cosa
2
= B．
5 sina cosa
3 5
+ =
5
C． tana
1 5
+ = D． sina 5=
tana 3 5
【變式 7-5】（多選題）已知a 0, π ， sina + cosa 10= ，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
5
A sin2a
3
= - B cosa sina 2 10． ．5 - = 5
C． cos2a
4
= D． tana = -3
5
題型八：誘導(dǎo)求值與變形
cos a 2π 4 sin a π 【典例 8-1】已知 + ÷ = ，則 + ÷ = （3 5 6 ）è è
4 3 3 4
A．- B．- C． D．
5 5 5 5

【典例 8-2】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知a 0,
π
÷ ， sin

a
π 1- ÷ = ，則 cos

a
2π
+ ÷ = （ ）
è 2 è 10 3 è 5
A 2 2 B 2 2
1 1
．- ． C．- D．
3 3 3 3
【方法技巧】
（1 ）誘導(dǎo)公式用于角的變換，凡遇到與 整數(shù)倍角的和差問(wèn)題可用誘導(dǎo)公式，用誘導(dǎo)公式可以把任
2
意角的三角函數(shù)化成銳角三角函數(shù)．
（2）通過(guò)±2 ,± , ± 等誘導(dǎo)變形把所給三角函數(shù)化成所需三角函數(shù)．
2

（3）a ± = ±2 ,± , ± 等可利用誘導(dǎo)公式把a(bǔ) , 的三角函數(shù)化
2
π 4 π
【變式 8-1】（2024·高三·廣東深圳·期中）已知 sin a + ÷ = ，則 cos a -3 5 6 ÷
=（ ）
è è
4 - 3 4 3A．- B． C． D．
5 5 5 5
sin π a 1 π【變式 8-2】若 - ÷ = ，則 cos

+a

等于（
6 3 3 ÷ ）è è
1 1
A 2 2．- B． C．- D．
3 3 3 3
π π π
【變式 8-3】（2024·江西九江·三模）若 2sin a + ÷ = cos a - ÷，則 tan a - ÷ =（3 3 6 ）è è è
A．-4 - 3 B．-4 + 3 C． 4 - 3 D． 4 + 3
題型九：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
sin 5π -a -

÷cos
3π
+a

÷ tan
2 π -a
【典例 9-1】已知 f a = è 2 è 2
cos π
.
-a

÷sin π +a
è 2
(1)化簡(jiǎn) f a ；
(2)若 f a = 2，求sin2a -3sinacosa 的值；
(3)若 f
π π
a + ÷ = 3，求 sin(a - )的值.
è 3 6
【典例 9-2】已知 cos a + 3π + 2sin a + 6π = 0 .
(1)求 tana 的值；
sin2a + 5cos a 3π+ ÷cosa(2)求 è 2 的值.
2 + 2cos2a
【方法技巧】
（1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使
用公式進(jìn)行變形．
（2）注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)符號(hào)的影響．
4
【變式 9-1】已知角a 的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P 3, y ，且 tana = - ．
3
(1)求 sin a+cos a 的值；
sin π -a + 2cos π +a
(2)求 sin 3 3 π -a ÷ - cos π +a
的值．
è 2 è 2 ÷
tan(π a )cos(2π a )sin( π+ - +a )
【變式 9-2】已知 f (a ) = 2
cos(π -a )tan(-a )
(1)化簡(jiǎn) f (a )
(2)若a (0, 2π)，且 f (a ) 3= - ，求a 的值.
2
1
(3)若a 是第三象限角，且 sin(π +a ) = ，求 f (π -a ) 的值.
5
3
【變式 9-3】在單位圓中，銳角a 的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P m, ÷÷ ，連接圓心O和 P 得到射線OP ，將
è 2
π
射線OP O 繞點(diǎn) 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)q 后與單位圓相交于點(diǎn) B ，其中q 0,

÷ .
è 2
4sin3 π a + ÷ + 2sin
2 3π
-a

÷ - 4cos a + π (1)求 è 2 è 2 的值；
2 + 2cos2 5π +a + cos -a
(2)記點(diǎn) B 的橫坐標(biāo)為 f q f q π- 1 ，若 ÷ = ，求 cos q
π
-
5π
6 4 3 ÷
+ cos q - ÷的值.
è è è 6
【變式 9-4】在平面直角坐標(biāo)系中，銳角a ， 均以O(shè)x 為始邊，終邊分別與單位圓交于點(diǎn)A ， B ，已知點(diǎn)
3 5
A 的縱坐標(biāo)為 ，點(diǎn) B 的橫坐標(biāo)為 .
5 13
(1)直接寫出 tana 和 sin 的值，并求 tan(a - )的值；
2sin(π -a ) + sin(π +a )
(2)求 23π 的值；cos( -a ) - cos(3π +a )
2
π
(3)將點(diǎn)A 繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得到點(diǎn)C ，求點(diǎn)C 的坐標(biāo).
4
1．（2023 年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)甲：sin2 a + sin2 =1，乙： sina + cos = 0，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
2．（2022 年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了
計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖， AB 是以 O 為圓心，OA 為半徑的圓弧，C 是 AB 的中點(diǎn)，D 在 AB 上，
2
CD ^ AB ．“會(huì)圓術(shù)”給出 CDAB 的弧長(zhǎng)的近似值 s 的計(jì)算公式： s = AB + ．當(dāng)OA = 2, AOB = 60 時(shí)，OA
s =（ ）
A 11- 3 3 B 11- 4 3 C 9 - 3 3 D 9 - 4 3． ． ． ．
2 2 2 2
3．（2022 年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）設(shè) x R ，則“ sin x = 1”是“ cos x = 0 ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不
必要條件
1．寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并找出集合中適合不等式-720 360 的元素 ：
(1)1303o18 ；
(2) -225o．
2．每人準(zhǔn)備一把扇形的扇子，然后與本小組其他同學(xué)的對(duì)比，從中選出一把展開(kāi)后看上去形狀較為美觀
的扇子，并用計(jì)算工具算出它的面積 S1 .
（1）假設(shè)這把扇子是從一個(gè)圓面中剪下的，而剩余部分的面積為 S2 ，求 S1與 S2 的比值；
（2）要使 S1與 S2 的比值為0.618，則扇子的圓心角應(yīng)為幾度（精確到1 ）？
3．（1）時(shí)間經(jīng)過(guò) 4h（時(shí)），時(shí)針、分針各轉(zhuǎn)了多少度？各等于多少弧度？
（2）有人說(shuō)，鐘的時(shí)針和分針一天內(nèi)會(huì)重合 24 次。你認(rèn)為這種說(shuō)法是否正確？請(qǐng)說(shuō)明理由.
（提示：從午夜零時(shí)算起，假設(shè)分針走了 t min 會(huì)與時(shí)針重合，一天內(nèi)分針和時(shí)針會(huì)重合 n 次，建立 t 關(guān)于
n 的函數(shù)解析式，并畫出其圖象，然后求出每次重合的時(shí)間）
4．已知相互嚙合的兩個(gè)齒輪，大輪有 48 齒，小輪有 20 齒.
（1）當(dāng)大輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)，求小輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角度；
（2）如果大輪的轉(zhuǎn)速為180r / min （轉(zhuǎn)/分），小輪的半徑為10.5cm，那么小輪周上一點(diǎn)每 1s 轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)是
多少？
5 1+ sina 1- sina．化簡(jiǎn) - ，其中a 為第二象限角.
1- sina 1+ sina

6 1 sin4 - cos4
sin2 ．（ ）分別計(jì)算 和 - cos2

的值，你有什么發(fā)現(xiàn)？
3 3 3 3
（2）任取一個(gè)a 的值，分別計(jì)算 sin4 a - cos4 a ,sin2 a - cos2 a ，你又有什么發(fā)現(xiàn)？
（3）證明："x R,sin2 x - cos2 x = sin4 x - cos4 x .
易錯(cuò)點(diǎn)：不能理解三角函數(shù)的定義
易錯(cuò)分析： 利用定義求任意角的三角函數(shù)時(shí)，要根據(jù)條件選擇不同的解法，看所給的條件是終邊與單
位圓的交點(diǎn)還是終邊上的任意一點(diǎn).
4 17
【易錯(cuò)題 1

】（2024·山東青島·一模）已知角q 終邊上有一點(diǎn) P tan π,2sin - π ÷÷，則 cosq 的值為（3 6 ）è è
1
A 1 3 3． 2 B．- C． - D．2 2 2
【易錯(cuò)題 2】（多選題）若角a 的終邊上有一點(diǎn)P(-4,a)，且 sina cosa 3 = ，則 a 的值為（ ）
4
A． 4 3 B． 3 C 4 3．-4 3 D．-
3第 01 講 三角函數(shù)概念與誘導(dǎo)公式
目錄
01 考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航..........................................................................................................................2
02 知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航..........................................................................................................................3
03 考點(diǎn)突破·題型探究..........................................................................................................................4
知識(shí)點(diǎn) 1：三角函數(shù)基本概念 .............................................................................................................4
知識(shí)點(diǎn) 2：同角三角函數(shù)基本關(guān)系 .....................................................................................................5
知識(shí)點(diǎn) 3：三角函數(shù)誘導(dǎo)公式 .............................................................................................................6
解題方法總結(jié) ........................................................................................................................................7
題型一：終邊相同的角的集合的表示與區(qū)別 ....................................................................................7
題型二：等分角的象限問(wèn)題 ................................................................................................................9
題型三：弧長(zhǎng)與扇形面積公式的計(jì)算 ..............................................................................................11
題型四：割圓術(shù)問(wèn)題 ..........................................................................................................................15
題型五：三角函數(shù)的定義 ..................................................................................................................17
題型六：象限符號(hào)與坐標(biāo)軸角的三角函數(shù)值 ..................................................................................20
題型七：弦切互化求值 ......................................................................................................................23
題型八：誘導(dǎo)求值與變形 ..................................................................................................................25
題型九：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 ..........................................................27
04真題練習(xí)·命題洞見(jiàn)........................................................................................................................31
05課本典例·高考素材........................................................................................................................34
06易錯(cuò)分析·答題模板........................................................................................................................36
易錯(cuò)點(diǎn)：不能理解三角函數(shù)的定義 ..................................................................................................36
考點(diǎn)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
高考對(duì)此也經(jīng)常以不同的方式進(jìn)行考
（1）三角函數(shù)基本概念
2023年甲卷第 14題，5分 查，將三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)關(guān)
（2）任意角的三角函數(shù)
2022年浙江卷第 13題，5分 系式和誘導(dǎo)公式綜合起來(lái)考查，且考查得
（3）同角三角函數(shù)的基本關(guān)
2021年甲卷第 8題，5分 較為靈活，需要深人理解概念、熟練運(yùn)用
系
公式．
復(fù)習(xí)目標(biāo)：
（1）了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會(huì)引入弧度制的必要性．
（2）理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 sin2 a + cos2 a sina= 1， = tana ．
cosa
（3）掌握誘導(dǎo)公式，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用．
知識(shí)點(diǎn) 1：三角函數(shù)基本概念
1、角的概念
（1）任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖
形；
②分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角．
（2）所有與角 α 終邊相同的角，連同角 α 在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是 S = = k 360 + a ，k Z ．
（3）象限角：使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，
就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．
（4）象限角的集合表示方法：
2、弧度制
（1）定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做 1 弧度的角，用符號(hào) rad 表示，讀作弧度．正角
的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是 0．
180
（2）角度制和弧度制的互化：180 = rad ，1 = rad ，1rad = ．
180
3 l = a r 1 1（ ）扇形的弧長(zhǎng)公式： ，扇形的面積公式： S = lr = a r 2 ．
2 2
3、任意角的三角函數(shù)
（1）定義：任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn) P(x，y) 時(shí)，則 sina = y ， cosa = x tana y， = (x 0) ．
x
（2）推廣：三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點(diǎn) P P(x，y) 是角 α終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn) P 到原
點(diǎn)O的距離為 r ，則 sina y cosa x= ， = ， tana y= (x 0)
r r x
三角函數(shù)的性質(zhì)如下表：
第一象 第二象限 第三象 第四象
三角函數(shù) 定義域
限符號(hào) 符號(hào) 限符號(hào) 限符號(hào)
sina R ＋ ＋ － －
cosa R ＋ － － ＋
tana {a |a k + ，k Z} ＋ － ＋ －
2
記憶口訣：三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
4、三角函數(shù)線
如下圖，設(shè)角 α 的終邊與單位圓交于點(diǎn) P，過(guò) P 作 PM⊥x 軸，垂足為 M，過(guò) A（1，0）作單位圓的切
線與 α 的終邊或終邊的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) T．
三角函數(shù)線
有向線段 MP 為正弦線；有向線段 OM 為余弦線；有向線段 AT 為正切線
π
【診斷自測(cè)】在平面直角坐標(biāo)系中，給出下列命題：①小于 的角一定是銳角；②鈍角一定是第二象限的
2
角；③終邊不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 個(gè) B．2 個(gè) C．3 個(gè) D．4 個(gè)
【答案】B
π π
【解析】因?yàn)殇J角a (0, )，所以小于 的角不一定是銳角，故①不成立；
2 2
因?yàn)殁g角 (
π , π) π，第二象限角q ( + 2kπ, π + 2kπ)， k Z，所以鈍角一定是第二象限角，故②成立；
2 2
若兩個(gè)角的終邊不重合，則這兩個(gè)角一定不相等，故③成立；
例如a =120 ， = 390 ，但a < ，故④不成立.
故選：B.
知識(shí)點(diǎn) 2：同角三角函數(shù)基本關(guān)系
1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
（1）平方關(guān)系： sin 2 a + cos2 a = 1．
2 sina（ ）商數(shù)關(guān)系： = tana (a + k )；
cosa 2
【診斷自測(cè)】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，角a 的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與 x 軸的非
負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P 3,4 sina + 2cosa，則 =（
cos sin ）a - a
A．11 B．-10 C．10 D．-11
【答案】B
【解析】因?yàn)榻莂 的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合，
且角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P 3,4 ，
4 4 3 3
所以 sina = = ， cosa = = ，
9 +16 5 9 +16 5
4 3
sina + 2cosa + 2
= 5 5所以
cosa - sina 3 4
= -10 .
-
5 5
故選：B.
知識(shí)點(diǎn) 3：三角函數(shù)誘導(dǎo)公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2k + a (k Z ) + a -a -a -a + a
2 2
正弦 sina -sina -sina sina cosa cosa
余弦 cosa -cosa cosa -cosa sina -sina
正切 tana tana - tana - tana
口訣 函數(shù)名不變，符號(hào)看象限 函數(shù)名改變，符號(hào)看象限

【記憶口訣】奇變偶不變，符號(hào)看象限，說(shuō)明：（1）先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作 n ± a ；
2
（2 ）無(wú)論有多大，一律視為銳角，判斷 n ± a 所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負(fù)；（3）
2
當(dāng) n為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當(dāng) n為偶數(shù)時(shí)，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可．
π 1 5π
【診斷自測(cè)】（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）若 sin a + ÷ = ，則 cos a + =（3 4 6 ÷ ）è è
1 1 1
A． B．- C 15．± D．
4 4 4 4
【答案】B
π 1 cos a 5π cos é π π ù πsin(a + ) = + = a + + = -sin a +
1
【解析】由 ，得
3 4 6 ÷ ê 3 ÷ 2 ú ÷
= - .
è è è 3 4
故選：B
解題方法總結(jié)
1、利用 sin 2 a + cos2 a = 1 sina可以實(shí)現(xiàn)角a 的正弦、余弦的互化，利用 = tana 可以實(shí)現(xiàn)角a 的弦切
cosa
互化．
2、“ sina + cosa ，sina cosa ，sina - cosa ”方程思想知一求二．
(sina + cosa )2 = sin2 a + cos2 a + 2sina cosa = 1+ sin 2a
(sina - cosa )2 = sin2 a + cos2 a - 2sina cosa = 1- sin 2a
(sina + cosa )2 + (sina - cosa )2 = 2
題型一：終邊相同的角的集合的表示與區(qū)別
【典例 1-1】集合 A = a∣a = -2024 + k 180 ,k Z 中的最大負(fù)角a 為（ ）v
A．-2024 B．-224 C．-44 D．-24
【答案】C
【解析】因?yàn)?2024 = -44 -11 180 ，
所以集合 A = a∣a = -2024 + k 180 ,k Z 中的最大負(fù)角a 為-44 .
故選：C.
【典例 1-2】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）若角a 的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在 x 軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線
y = 3x上，則角a 的取值集合是（ ）
ìa a = 2kπ π+ , k Zü ìA． í B． ía a = 2kπ
2π
+ ,k Zü
3 3
ì 2π π
C． ía a = kπ + ,k Z
ü ì
D． ía a = kπ + , k Z
ü
3 3


【答案】D
【解析】根據(jù)題意，角
π
的終邊在直線 y = 3x上，a 為第一象限角時(shí)，a = + 2kπ k Z ；
3
a 4π為第三象限角時(shí)，a = + 2kπ k Z ；
3
綜上，角a
ì π
的取值集合是 ía a = + kπ,k Z
ü
.
3
故選：D.
【方法技巧】
（1）終邊相同的角的集合的表示與識(shí)別可用列舉歸納法和雙向等差數(shù)列的方法解決．
（2）注意正角、第一象限角和銳角的聯(lián)系與區(qū)別，正角可以是任一象限角，也可以是坐標(biāo)軸角；銳
角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐標(biāo)軸角．
【變式 1-1】如圖，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角a 的集合是（ ）
ìa | 5πA． í + 2kπ a 2k +1 π,k 5π Zü ì B． ía | + kπ a k +1 π,k Zü
6 6


ì 7π π
C． ía | - + 2kπ a 2k -1 π,k Zü ì D． ía | - + 2kπ a 2kπ,k Zü
6 6
【答案】B
5π
【解析】終邊落在陰影部分的角為 + kπ a (k +1)π ， k Z，
6
ì 5π
即終邊落在陰影部分（包括邊界）的角a 的集合是 ía | + kπ a k +1 π,k Zü ．
6
故選：B．
【變式 1-2】用弧度制分別表示每個(gè)圖中頂點(diǎn)在原點(diǎn)、始邊重合于 x 軸的非負(fù)半軸、終邊落在陰影部分內(nèi)
（包括邊界）的角的集合.
ìa π 2kπ a 5π ü【解析】圖 1：易知 í ∣- + + 2kπ,k Z ；
6 12
ìa 3π 3π圖 2： í ∣- + 2kπ a + 2kπ,k Z
ü
；
4 4
π
圖 3：{a∣ + 2kπ
π 7π
a + 2kπ 或 + 2kπ a
3π
+ 2kπ，k Z}
6 2 6 2
= {a π 2kπ a π π π∣ + + 2kπ 或 + π + 2kπ a + π + 2kπ，k Z}
6 2 6 2
= {a π 2kπ a π 2kπ π∣ + + 或 + 2k +1 π a π + 2k +1 π，k Z}
6 2 6 2
= ìa πí ∣ + kπ a
π
+ kπ, k Zü
6 2
【變式 1-3】已知角a 的集合為M = a a = 30 + k 90 ,k Z ，回答下列問(wèn)題：
(1)集合 M 中有幾類終邊不相同的角？
(2)集合 M 中大于－360°且小于 360°的角是哪幾個(gè)？
(3)求集合 M 中的第二象限角 ．
【解析】（1）集合 M 中的角可以分成四類，即終邊分別與－150°，－60°，30°，120°的終邊相同的角．
（2）令-360 < 30 k 90
13 11
+ < 360 ，得- < k < ，
3 3
又 k Z ，所以終邊不相同的角，所以集合 M 中大于－360°且小于 360°的角共有 8 個(gè)，
分別是:－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°．
（3）集合 M 中的第二象限角與 120°角的終邊相同，
所以 =120 + k 360 ， k Z .
題型二：等分角的象限問(wèn)題
【典例 2-1】已知a 是第二象限角，則（ ）
a a
A． 是第一象限角 B． sin > 0
2 2
C． sin 2a < 0 D． 2a 是第三或第四象限角
【答案】C
【解析】∵ a是第二象限角，

∴ + 2k < a < + 2k ， k Z

，即 + k
a
< < + k ， k Z，
2 4 2 2
a
∴ 是第一象限或第三象限角，故 A 錯(cuò)誤；
2
a a a
由 是第一象限或第三象限角， sin > 0或 sin < 0，故 B 錯(cuò)誤；
2 2 2
∵ a是第二象限角，

∴ + 2k < a < + 2k ， k Z，
2
∴ + 4k < 2a < 2 + 4k ， k Z，
∴ 2a 是第三象限，第四象限角或終邊在 y 軸非正半軸， sin2a < 0，故 C 正確，D 錯(cuò)誤.
故選：C．
2k
【典例 2-2】（2024·高三·湖北黃岡·期中）若角a 滿足a ＝ + (k∈Z)，則a 的終邊一定在(　　)
3 6
A．第一象限或第二象限或第三象限
B．第一象限或第二象限或第四象限
C．第一象限或第二象限或 x 軸非正半軸上
D．第一象限或第二象限或 y 軸非正半軸上
【答案】D
【解析】當(dāng) k

= 0時(shí)，a = ，終邊位于第一象限
6
當(dāng) k 1 a
5
= 時(shí)， = ，終邊位于第二象限
6
3
當(dāng) k = 2時(shí)，a = ，終邊位于 y 軸的非正半軸上
2

當(dāng) k = 3時(shí)，a = 2 + ，終邊位于第一象限
6
綜上可知，則a 的終邊一定在第一象限或第二象限或 y 軸的非正半軸上
故選D
【方法技巧】
a
先從a 的范圍出發(fā)，利用不等式性質(zhì)，具體有：（1）雙向等差數(shù)列法；（2） 的象限分布圖示．
n
a
【變式 2-1】已知 sina > 0， cosa < 0，則 的終邊在（
3 ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
【答案】D
【解析】因?yàn)?sina > 0， cosa < 0，
π
所以a 為第二象限角，即 + 2kπ < a < π + 2kπ,k Z，
2
π 2kπ a π 2kπ
所以 + < < + ,k Z，
6 3 3 3 3
a π , π , 5π , π , 3π 5π 則 的終邊所在象限為 ÷ ÷ , ÷所在象限，3 è 6 3 è 6 è 2 3
a
即 的終邊在第一、二、四象限.
3
故選：D.
【變式 2-2】若角 α 是第二象限角，則角 2α 的終邊不可能在(　　)
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
【答案】A
【解析】∵角 α 是第二象限角，∴k×360°＋90°＜α＜k×360°＋180°，k∈Z.
∴2k×360°＋180°＜2α＜2k×360°＋360°，k∈Z.
∴2α 可能是第三或第四象限角或是終邊在 y 軸的非正半軸上的角，即其終邊不可能在第一、二象限.
故選 A.
a a a
【變式 2-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知角a 第二象限角，且 cos = cos ，則角 是（
2 2 2 ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】A
π
【解析】因?yàn)榻莂 第二象限角，所以 + 2kπ < a < π + 2kπ k Z ，
2
π kπ a π所以 + < < + kπ k Z a ，所以角 是第一象限角或第三象限角．
4 2 2 2
又因?yàn)?cos
a a
= cos a a，即 cos > 0，所以角 是第一象限角，
2 2 2 2
故選：A．
題型三：弧長(zhǎng)與扇形面積公式的計(jì)算
【典例 3-1】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）用一個(gè)圓心角為120 ，面積為3 的扇形OMN （O為圓心）用
成一個(gè)圓錐（點(diǎn)M , N 恰好重合），該圓錐頂點(diǎn)為 P ，底面圓的直徑為 AB ，則 cos APB的值為 ．
7
【答案】
9
【解析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為 l，底面半徑為 r ，
2π
∵扇形的圓心角為
3
S 1 2π l 2 πl(wèi)
2
\ = = = 3π ，解得 l = 3，
扇形 2 3 3
∵扇形的弧長(zhǎng)等于它圍成的圓錐的底面周長(zhǎng)，
2π
\ l = 2πr \r =1，
3
所以圓錐的軸截面VABP中，PA = PB = 3， AB = 2 ，
cos APB PA
2 + PB2 - AB2 18 - 4 7
由余弦定理可得 = = = ，
2PA PB 2 3 3 9
7
故答案為：
9
【典例 3-2】若扇形的周長(zhǎng)為 18，則扇形面積取得最大值時(shí)，扇形圓心角的弧度數(shù)是 .
【答案】2
【解析】設(shè)扇形的半徑為 r ，弧長(zhǎng)為 l，則 l + 2r =18，即 l =18 - 2r ，
1 1
所以扇形面積 S = lr = r(18
9 81
- 2r) = -r 2 + 9r = -(r - )2 + ，
2 2 2 4
9 81 9
所以當(dāng) r = 時(shí)，S取得最大值為 ，此時(shí) l =18 - 2 = 9，
2 4 2
q l 9= = = 2
所以圓心角為 r 9 （弧度）.
2
故答案為：2
【方法技巧】
應(yīng)用弧度制解決問(wèn)題的方法
（1）利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度．
（2）求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題．
（3）在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形．
【變式 3-1】已知扇形的周長(zhǎng)為 20cm ，則當(dāng)扇形的圓心角a = 扇形面積最大．
【答案】 2
【解析】設(shè)扇形的半徑為 r ，弧長(zhǎng)為 l，
由題意， 2r + l = 20 l = 20 - 2r(0 < r <10) ，
S 1 lr 1 2扇形的面積為 = = 20 - 2r r =10r - r
2 2
= - r - 5 2 + 25 0 < r <10 ，所以當(dāng) r = 5時(shí)，
扇形面積取最大值25，此時(shí) l = 20 -10 =10，
所以扇形的圓心角a
l 10
= = = 2時(shí)，扇形面積最大.
r 5
故答案為： 2
【變式 3-2】（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測(cè)）下圖是第 19 屆杭州亞運(yùn)會(huì)的會(huì)徽“潮涌”，可將其視為一扇環(huán)
ABCD．已知 AB = 2π， AD = 3．且該扇環(huán) ABCD的面積為9π，若將該扇環(huán)作為側(cè)面圍成一圓臺(tái)，則該圓
臺(tái)的體積為 .
14 2π
【答案】
3
【解析】如圖，設(shè) AOB = q ，OA = r ，C D = l ，
ì q r = 2π
2π
由題意可知， í1 2 1 ，解得 r = 3，
q = ，
q 3+ r - q r
2 = 9π 3
2 2
則C D
2π
= 6 = 4π ，將該扇面作為側(cè)面圍成一圓臺(tái)，
3
則圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為 1 和 2，
所以其高為 32 - (2 -1)2 = 2 2 ，
1
故該圓臺(tái)的體積為V = (π+4π+ π×4π) 2 2 14 2π = .
3 3
14 2π
故答案為： .
3
【變式 3-3】（2024·廣東·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中放置著一個(gè)邊長(zhǎng)為 1 的等邊三角形PAB，
且滿足 PB與 x 軸平行，點(diǎn)A 在 x 軸上.現(xiàn)將三角形PAB沿 x 軸在平面直角坐標(biāo)系 xOy 內(nèi)滾動(dòng)，設(shè)頂點(diǎn)
P x, y 的軌跡方程是 y = f x ，則 f x 的最小正周期為 ； y = f x 在其兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖象與 x 軸
所圍區(qū)域的面積為 .
【答案】 3 2π 3+
3 4
【解析】設(shè)P( p, 3 ) ，
2
如圖，當(dāng)三角形PAB沿 x 軸在平面直角坐標(biāo)系 xOy 內(nèi)滾動(dòng)時(shí)，
3
開(kāi)始時(shí)， P 先繞A 旋轉(zhuǎn)，當(dāng) B 旋轉(zhuǎn)到B1時(shí)， P 旋轉(zhuǎn)到P1，此時(shí)P1( p +1, )，2
5
然后再以B1為圓心旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后 P 旋轉(zhuǎn)到P2，此時(shí)P2 ( p + ,0) ，2
當(dāng)三角形再旋轉(zhuǎn)時(shí)， P 不旋轉(zhuǎn)，此時(shí)A 旋轉(zhuǎn)到 A2，
當(dāng)三角形再旋轉(zhuǎn)后，必以 A2為圓心旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后 P 旋轉(zhuǎn)到P3，
點(diǎn) P 從開(kāi)始到B2 時(shí)是一個(gè)周期，故 y = f x 的周期為MN = 3，
如圖， xP , xP 為 y = f x 2 4 相鄰兩個(gè)零點(diǎn)，
y = f x 在 éxP , xP ù上的圖像與 x 軸圍成的圖形的面積為：2 4
2 1 2π 3 2π 3 12 + 12 = + .
2 3 4 3 4
2π 3
故答案為：3, + .
3 4
【變式 3-4】建于明朝的杜氏雕花樓被譽(yù)為“松江最美的一座樓”，該建筑內(nèi)有很多精美的磚雕，磚雕是我
國(guó)古建筑雕刻中很重要的一種藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚墻精致細(xì)膩、氣韻生動(dòng)、極富書卷氣．如圖是一扇環(huán)形磚
OCD OAB AD=1m AB = π m CD = 2π雕，可視為扇形 截去同心扇形 所得部分，已知 ，弧 3 ，弧 3 m，則此扇
環(huán)形磚雕的面積為 m2．
π
【答案】
2
C D AB
【解析】設(shè)圓心角為a ，則a = = ，
OD OA
2π π
所以 3 = 3 ，解得OA =1 m，所以O(shè)D = 2m ，
OA +1 OA
1 1
所以此扇環(huán)形磚雕的面積為 C D OD - AB OA
2 2
1 2π
= 2 1 π π- 1 = 2 .
2 3 2 3 2 m
π
故答案為：
2
題型四：割圓術(shù)問(wèn)題
【典例 4-1】（2024·貴州銅仁·模擬預(yù)測(cè)）魏晉南北朝時(shí)期，祖沖之利用割圓術(shù)以正 24576 邊形，求出圓周
π 355率 約等于 ，和 π相比，其誤差小于八億分之一，這個(gè)記錄在一千年后才被打破．若已知 π的近似值
113
π 16 - π2
還可以表示成 4sin 52 ，則 的值約為（ ）
cos4 3.5 + sin4 3.5 - 3
4
1 1
A． -32 B．- C．32 D．
32 32
【答案】C
π 16 - π2
【解析】將 π = 4sin 52 代入 ，
cos4 3.5 + sin4 3.5 - 3
4
π 16 - π2
可得
cos4 3.5 + sin4 3.5 - 3
4
4sin 52 4cos52
=
1+ cos7 2 2 + 1- cos7 3 ÷ ÷ -
è 2 è 2 4
8sin104
= 1 cos2 7 1 -
2 4
8sin104
= 1 (1+ cos14 ) 1 -
4 4
8cos14
= 1 = 32cos14 .
4
故選：C.
【典例 4-2】我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)造性的提出了“割圓術(shù)”，劉徽認(rèn)為圓的內(nèi)接正 n邊形隨著邊數(shù) n
的無(wú)限增大，圓的內(nèi)接正 n邊形的周長(zhǎng)就無(wú)限接近圓的周長(zhǎng)，并由此求得圓周率 π的近似值．如圖當(dāng) n = 6
6r
時(shí)，圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)為6r ，故 π ，即 3．運(yùn)用“割圓術(shù)”的思想，下列估算正確的是（
2r ）
A． n =12 時(shí)， π 12sin15o B． n =12 時(shí)， π 6sin15o
C． n =12 時(shí)， π 12cos15o D． n =12 時(shí)， π 24cos15o
【答案】A
【解析】設(shè)圓的內(nèi)接正十二邊形被分成12個(gè)如圖所示的等腰三角形，其頂角為30o，即 AOB = 30o ，
作OH ^ AB 于點(diǎn)H ，則H 為 AB 的中點(diǎn)，且 AOH =15o，
AH
因?yàn)镺A = OB = r，在Rt△AOH 中， sin AOH = ，即 sin15o
AH
= ，
OA r
所以， AH = r sin15o，則 AB = 2AH = 2r sin15o ，
L 24r sin15o
所以，正十二邊形的周長(zhǎng)為 L =12 2r sin15o = 24r sin15o ，所以， π = =12sin15o .
2r 2r
故選：A.
v
【方法技巧】
割圓術(shù)是魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)的方法，用于計(jì)算圓周率。其核心思想是通過(guò)不斷倍增圓內(nèi)接正多
邊形的邊數(shù)，使正多邊形的周長(zhǎng)無(wú)限接近圓的周長(zhǎng)，進(jìn)而求得較為精確的圓周率。這一方法體現(xiàn)了極限思
想，為中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)。具體操作為：從圓內(nèi)接正六邊形開(kāi)始，逐步分割成正十二邊形、
正二十四邊形等，直至邊數(shù)無(wú)法再增，此時(shí)正多邊形的周長(zhǎng)即接近圓周率與直徑的乘積。
【變式 4-1】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)古代魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽用“割圓術(shù)”計(jì)算圓周率，“割之彌細(xì)，
所失彌少，割之，又割，以至于不可割，則與圓周合體無(wú)所失矣”.劉徽從圓內(nèi)接正六邊形逐次分割，一直
分割到圓內(nèi)接正 3072 邊形，用正多邊形的面積逼近圓的面積.利用該方法，由圓內(nèi)接正 n 邊形與圓內(nèi)接正
2n邊形分別計(jì)算出的圓周率的比值為（ ）
o
A sin 180 B cos 180
o
C 2sin 360
o o

． ÷ ． ÷ ． ÷ D． 2cos
360
n è è n è n è n ÷
【答案】B
o o
n 360 1 360 n
o
360
【解析】對(duì)于正 邊形，其圓心角為 ÷ ，面積為 S1 = n r r sin = r
2 sin
n 2 n ÷ 2 n ÷
，對(duì)于正 2n
è è è
360 o
邊形，其圓心角為 ，
è 2n ÷
1 o o
面積為 S2 = 2n r r sin
360 2 180
2 ÷
= nr sin ÷ ，由此可得，
è 2n è n
n o o or 2 sin 360 nr 2 sin 180 cos 180
S 2 n ÷ ÷ ÷
o
1 = è = è n è n 180o o = cos

S n ÷
.
2 nr 2 sin 180 nr 2 sin 180 è
è n ÷ ÷ è n
故選：B.
【變式 4-2】在 3 世紀(jì)中期，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌
少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣”.這可視為中國(guó)古代極限觀念的佳作.割圓術(shù)可以
視為將一個(gè)圓內(nèi)接正 n邊形等分成 n個(gè)等腰三角形（如圖所示），當(dāng) n越大，等腰三角形的面積之和越近似
等于圓的面積.運(yùn)用割圓術(shù)的思想，可得到 sin 5 的近似值為（ ）

A． B． C． D．
72 48 36 18
【答案】C
2
【解析】在單位圓中作內(nèi)接正三十六邊形，則每個(gè)等腰三角形的頂角為10 ，底邊約為 ，
36

由題意得 sin 5 36 = ，
1 36
故選：C
題型五：三角函數(shù)的定義
【典例 5-1】（2024·江西·二模）已知角a 的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)M ( 2,1)，則cosa =（ ）
A 6． B 3 C 2． ． 2 D．
3 3 2
【答案】A
2
【解析】根據(jù)題意 r = OM = 2 +12 = 3，
由三角函數(shù)的定義得 cosa x 2 6= = = .
r 3 3
故選：A.
【典例 5-2】（2024·北京房山·一模）已知角a 的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn) (3, 4)
π
，把角a 的終邊繞原點(diǎn) O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得
2
到角 的終邊，則 sin =（ ）
4 4 3 3
A．- B． C．- D．
5 5 5 5
【答案】D
【解析】因?yàn)榻莂 的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn) (3, 4) ，
3 3
所以 cosa = = ，
32 + 42 5
π
因?yàn)榘呀莂 的終邊繞原點(diǎn) O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得到角 的終邊，
2
π所以 = a + ，
2
所以 sin = sin

a
π
+ ÷ = cosa
3
= .
è 2 5
故選：D.
【方法技巧】
（1）利用三角函數(shù)的定義，已知角 α 終邊上一點(diǎn) P 的坐標(biāo)可求 α 的三角函數(shù)值；已知角 α 的三角函
數(shù)值，也可以求出角 α 終邊的位置．
（2）判斷三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結(jié)合三角函數(shù)值在各象限的符
號(hào)確定所求三角函數(shù)值的符號(hào)，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況．
【變式 5-1】（2024·北京通州·二模）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，角a 的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與 x 軸的非
4 3
負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)P ,- ÷，則 cos π - 2a =（5 5 ）è
9 7
A．- B．-
9
C 7． D．
25 25 25 25
【答案】B
【解析】由三角函數(shù)的定義可得 sina
3 4
= - ，cosa = ，
5 5
所以 cos π - 2a = -cos 2a = - 2cos2 a -1 16 7= - 2 -1 ÷ = - .
è 25 25
故選：B.
【變式 5-2】已知角a 的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P 1,2sina ，則 sina 的值不可能是（ ）
A 3 B 0 C 3 1． ． ． - D．
2 2 2
【答案】D
2sina
【解析】由定義， sina = ，
1+ 4sin2 a
當(dāng)sina = 0，合題意；
當(dāng) sin
3
a 0 2，化簡(jiǎn)得 sin a = ，由于橫坐標(biāo)1 > 0，角的終邊在一、四象限，
4
3
所以 sina = ± ．
2
故選：D．
【變式 5-3】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，動(dòng)點(diǎn) P 、Q從點(diǎn) A 1,0 出發(fā)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) P 按
π 11π
逆時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn) 弧度，點(diǎn)Q按順時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn) 弧度，則 P 、Q兩點(diǎn)在第1804次相遇時(shí)，點(diǎn)
12 12
P 的坐標(biāo)是（ ）
1 3 1 3
A． ,-2 2 ÷÷
B． , ÷÷
è è 2 2
1 , 3
1 , - 3

C． - 2 2 ÷÷
D． - ÷÷
è è 2 2
【答案】C
π 11π
【解析】相遇時(shí)間為 t =1804 2π + ÷ = 3608秒，
è12 12
π 2π
故 P 轉(zhuǎn)過(guò)的角度為 3608 = 300π + ，
12 3
cos 2π ,sin 2π
1 , 3

故對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為 ÷ ，即 -3 3 2 2 ÷÷
.
è è
故選：C
【變式 5-4】（2024·山東濟(jì)南·二模）質(zhì)點(diǎn) P 和Q在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，半徑為 1 的圓O上逆時(shí)針作勻速
圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)出發(fā). P 的角速度大小為 2rad / s ，起點(diǎn)為圓O與 x 軸正半軸的交點(diǎn)；Q的角速度大小為
5rad / s，起點(diǎn)為圓O與射線 y = - 3x x 0 的交點(diǎn).則當(dāng)Q與 P 第 2024 次重合時(shí)， P 的坐標(biāo)為（ ）
cos 2π ,sin 2π -cos 5π ,-sin 5π πA． ÷ B． ÷ C． cos , -sin
π π π
9 9 9 9 ÷
D． -cos ,sin ÷
è è è 9 9 è 9 9
【答案】B
【解析】設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)重合時(shí)，所用時(shí)間為 t ，則重合點(diǎn)坐標(biāo)為 cos 2t,sin 2t ，
π
由題意可知，兩質(zhì)點(diǎn)起始點(diǎn)相差角度為 ，
3
π
則5t - 2t = 2kπ + k N t 2kπ π，解得 = + k Z ，
3 3 9
k 0 t π
2π 2π
若 = ，則 =

，則重合點(diǎn)坐標(biāo)為 cos ,sin ，
9 ֏ 9 9
7π cos14π ,sin 14π 5π 5π若 k =1，則 t = ，則重合點(diǎn)坐標(biāo)為 ，即 -cos , -sin ，
9 è 9 9 ÷ 9 9 ÷ è
k 2 13π 若 = ，則 t = ，則重合點(diǎn)坐標(biāo)為 cos
26π ,sin 26π cos π÷，即 - ,sin
π
，
9 è 9 9 è 9 9 ÷
Q t 12139π當(dāng) 與 P 第 2024 次重合時(shí)， k = 2023，則 = ，
9
cos 24278π ,sin 24278π cos 5π , sin 5π 則重合點(diǎn)坐標(biāo)為 ，即 - -9 9 ÷ 9 9 ÷
.
è è
故選：B.
題型六：象限符號(hào)與坐標(biāo)軸角的三角函數(shù)值
【典例 6-1】（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，角a 以O(shè)x 為始邊，終邊在第三象限.則
（ ）
A． sina - cosa tana B． sina - cosa tana
C． sina cosa < tana D． sina cosa > tana
【答案】C
【解析】由題意可得sina < 0、 cosa < 0， tana > 0，
對(duì) A：當(dāng) sina 0- 時(shí)， cosa -1，則 sina - cosa 1， tana 0，
此時(shí) sina - cosa > tana ，故 A 錯(cuò)誤；
a 5π對(duì) B：當(dāng) = 時(shí)， sina - cosa = sin
5π 5π
- cos = 0 < tan 5π =1，故 B 錯(cuò)誤；
4 4 4 4
對(duì) C、D： sina cosa cos2 a
sina
= = cos2 a tana ，由-1 < cosa < 0，
cosa
2
故 cos a 0,1 ，則 cos2 a tana < tana ，即 sina cosa < tana ，
故 C 正確，D 錯(cuò)誤.
故選：C.
【典例 6-2】若a 是第二象限角，則（ ）
A． cos -a > 0 B． tan a > 0
2
C． sin π +a > 0 D． cos π -a < 0
【答案】B
【解析】若 α 是第二象限角，則 cos -a = cosa < 0，故 A 錯(cuò)誤；
a a
為第一、三象限角，則 tan > 0，故 B 正確；
2 2
sin π +a = -sina < 0 ，故 C 錯(cuò)誤；
cos π -a = -cosa > 0，故 D 錯(cuò)誤.
故選：B.
【方法技巧】
正弦函數(shù)值在第一、二象限為正，第三、四象限為負(fù)；．
余弦函數(shù)值在第一、四象限為正，第二、三象限為負(fù)；．
正切函數(shù)值在第一、三象限為正，第二、四象限為負(fù)．
q
【變式 6-1】已知 sinq tanq < 0，且 cosq sinq < 0，則 為（
2 ）
A．第一或二象限角 B．第二或三象限角 C．第一或三象限角 D．第二或四
象限角
【答案】C
sinq tanq < 0 sin
2 q
【解析】由 ，得 < 0，則 cosq < 0 且 sinq 0，又 cosq sinq < 0，
cosq
因此 cosq < 0 且 sin
π
q > 0，q 是第二象限角，即 + 2kπ < q < π + 2kπ,k Z，
2
π kπ q π則 + < < + kπ,k
q q
Z，當(dāng) k 為偶數(shù)時(shí)， 是第一象限角，當(dāng) k 為奇數(shù)時(shí)， 是第三象限角，
4 2 2 2 2
q
所以 是第一或三象限角.
2
故選：C
sin a 2cos a 3tan a
【變式 6-2 2 2 2】（多選題）若角a 的終邊在第三象限，則 + -a a a 的值可能為（ ）sin cos tan
2 2 2
A．0 B．2 C．4 D．-4
【答案】BC
【解析】由角a
π π a π
的終邊在第三象限，得-π + 2kπ < a < - + 2kπ,k Z，則- + kπ < < - + kπ,k Z，
2 2 2 4
a
因此 是第二象限角或第四象限角，
2
sin a 2cos a 3tan a
a 2 + 2 - 2當(dāng) 是第二象限角時(shí)， =1- 2 - (-3) = 2，
2 sin a cos a tan a
2 2 2
sin a 2cos a 3tan a
a 2 + 2 - 2當(dāng) 是第四象限角時(shí)， = -1+ 2 - (-3) = 4
2 sin a cos a
.
tan a
2 2 2
故選：BC
【變式 6-3】（2024·高三·海南·期末）已知a , 都是第二象限角，則“ sin a - < 0 ”是“ tana < tan ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不
必要條件
【答案】C
【解析】若 sin a - < 0，則 sina cos - cosa sin < 0即 sina cos < cosa sin ，
而a , 都是第二象限角，故 cos cosa > 0，故 tana < tan ，
故“ sin a - < 0 ”是“ tana < tan ”的充分條件.
若 tana < tan ，因?yàn)閍 , 都是第二象限角，故 cos cosa > 0，
所以 sina cos < cosa sin 即 sin a - < 0，
故“ sin a - < 0 ”是“ tana < tan ”的必要條件，
所以“ sin a - < 0 ”是“ tana < tan ”的充要條件.
故選：C.
題型七：弦切互化求值
【典例 7-1】（2024·高三·福建泉州·期末）已知q 0, π ,sinq = cosq ，則 sinqcosq =（ ）
1
A B - C 1．- 2 ． ． 2 D．2 2
【答案】C
【解析】因?yàn)閝 0, π ,sinq cosq q π = ，則 0, 2 ÷ ，結(jié)合 sin
2q + cos2q =1，
è
2
2
解得 sinq = cosq = ，則 sinqcosq
2 1
= 2 ÷÷
= ，
2 è 2
故選：C.
【典例 7-2】已知 sina + cosa = 3cosa tana ，則 cos2 a tana =（ ）
A．-
3 3 2 2
B． C．- D．
5 5 5 5
【答案】D
【解析】因?yàn)?sina + cosa = 3cosa tana ，
所以 sina + cosa = 3cosa
sina
，
cosa
即 sina cosa + cos2 a = 3cosa sina ，即 cos2 a = 2cosa sina ，
顯然 cosa 0，所以 cosa = 2sina ，則 tana
1
= ，
2
4
又 sin2 a + cos2 a =1 2，所以 cos a = ，
5
cos2 a tana 4 1 2所以 = = .
5 2 5
故選：D
【方法技巧】
（1）若已知角的象限條件，先確定所求三角函數(shù)的符號(hào)，再利用三角形三角函數(shù)定義求未知三角函
數(shù)值．
（2）若無(wú)象限條件，一般“弦化切”．
【變式 7-1】若 tanq = 2，則 sinq cosq - sinq = .
2
【答案】- / -0.4
5
2 2 2
【解析】由已知 sinq cosq - sinq 2 sinq cosq - sin q tanq - tan q 2 - 2 2= sinq cosq - sin q = =
sin2 q + cos2 q tan2
= 2 = - ，q +1 2 +1 5
2
故答案為：- .
5
sinq - 2cosq 3
7-2 2024· · = 2 sin q + cosq【變式 】（ 浙江杭州 模擬預(yù)測(cè)）已知 ，則 = ．
sinq + cosq 2sinq + cos3q
47
【答案】
135
sinq - 2cosq
【解析】由 = 2 可得 sinq = -4cosq ，即 tanq = -4 ；
sinq + cosq
3
sin3q + cosq -4cosq + cosq -64cos3q + cosq -64cos2q +1
所以 = = =
2sinq + cos3q 2 -4cosq + cos3q -8cosq + cos3q -8 + cos2q
-64cos2q + sin2 q + cos2q -63cos2q + sin2 q -63 + tan2 q
= = =
-8 sin2 q + cos2q + cos2q -8sin2 q - 7cos2q -8 tan2 q - 7
2
將 tanq = -4 -63 + tan q -63 +16 47代入計(jì)算可得 2 = = ；-8 tan q - 7 -8 16 - 7 135
sin3q + cosq 47
即 = .
2sinq + cos3q 135
47
故答案為：
135
【變式 7-3 tana = 2 cos π -a + 3sina】已知 ，則 = .
4cosa - sina
5
【答案】
2
【解析】因?yàn)?tana = 2 ，
cos π -a + 3sina - cosa + 3sina
所以 =
4cosa - sina 4cosa - sina
-1+ 3tana
=
4 - tana
-1+ 3 2 5
= =
4 .- 2 2
5
故答案為：
2
5
【變式 7-4】（多選題）已知 sina - cosa = ，0 a π ，則下列選項(xiàng)中正確的有（ ）
5
A． sina cosa
2
= B 3 5．
5 sina + cosa = 5
C． tana
1 5
+ = D sina 5． =
tana 3 5
【答案】AB
【解析】由 sina - cosa 5= ，得 (sina
1
- cosa )2 =1- 2sina cosa = ，
5 5
所以 sina cosa
2
= ，故選項(xiàng) A 正確；
5
sina cosa 2因?yàn)?= ，a [0, π]，所以 sina > 0， cosa > 0，
5
又因?yàn)?(sina + cosa )2
9
=1+ 2sina cosa = 3 5，所以 ，故選項(xiàng) B 正確；
5 sina + cosa = 5
tana 1 sina cosa 1 5因?yàn)?+ = + = = ，故選項(xiàng) C 錯(cuò)誤；
tana cosa sina sina cosa 2
由 sina - cosa 5 3 5 2 5= ， sina + cosa = ，所以 sina = ，故選項(xiàng) D 錯(cuò)誤；
5 5 5
故選：AB
10
【變式 7-5】（多選題）已知a 0, π ， sina + cosa = ，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
5
A sin2a
3
= - B cosa sina 2 10． ．5 - = 5
C． cos2a
4
= D． tana = -3
5
【答案】AD
2 3
【解析】對(duì)于選項(xiàng) A，由 sina cosa 10+ = 兩邊平方得：1+ sin 2a = 5 ，故得 sin2a = - ，即 A 項(xiàng)正確；5 5
3 π
對(duì)于選項(xiàng) B，由 sin2a = 2sina cosa = - < 0，a 0, π 可得：a , π ÷ 故 cosa < sina2 ，5 è
由 (cosa - sina )2
8
= 1- sin 2a = 2 10可得：
5 cosa - sina = -
，故 B 項(xiàng)錯(cuò)誤；
5
對(duì)于選項(xiàng) C， cos 2a = cos2 a - sin2 a = (sina + cosa )(cosa - sina ) 10 ( 2 10= - ) 4= - ，故 C 項(xiàng)錯(cuò)誤；
5 5 5
ì ì
sina + cosa
10 sina 3 10= =
D 5對(duì)于選項(xiàng) ，由 í ,
10
可解得： í ,故得： tana = -3 .故 D 項(xiàng)正確.

cosa sina
2 10 10
- = - cosa = -
5 10
故選：AD.
題型八：誘導(dǎo)求值與變形
cos a 2π 4 π【典例 8-1】已知 +

÷ = ，則 sin
a + ÷ = （ ）
è 3 5 è 6
4 3 3 4
A．- B．- C． D．
5 5 5 5
【答案】A
2π 4 π π π 4 π 4
【解析】由 cos a + 3 ÷
= 可得 cos a + + = -sin a + = sin a + = - ，
è 5 è 6 2 ÷ ÷ ÷ è 6 5 è 6 5
故選：A
a 0, π sin a π 1 cos a 2π 【典例 8-2】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知 ÷ ，2
- ÷ = ，則 + ÷ = （ ）
è è 10 3 è 5
A 2 2
1 1
．- B 2 2． C．- D．
3 3 3 3
【答案】C
cos a 2π cos é a π π ù【解析】 + ÷ = ê - ÷ + ú = -sin
a π- 1= - .
è 5 è 10
÷
2 è 10 3
故選：C
【方法技巧】

（1）誘導(dǎo)公式用于角的變換，凡遇到與 整數(shù)倍角的和差問(wèn)題可用誘導(dǎo)公式，用誘導(dǎo)公式可以把任
2
意角的三角函數(shù)化成銳角三角函數(shù)．

（2）通過(guò)±2 ,± , ± 等誘導(dǎo)變形把所給三角函數(shù)化成所需三角函數(shù)．
2
（3）a ± = ±2 ,± , ± 等可利用誘導(dǎo)公式把a(bǔ) , 的三角函數(shù)化
2
【變式 8-1】（2024·高三·廣東深圳·期中）已知 sin a
π
+
4 π
÷ =

，則 cos a - =（ ）
è 3 5 è 6 ÷

4
A．- B．-
3 4 3
C． D．
5 5 5 5
【答案】C
【解析】因?yàn)?sin a
π
+
4
÷ = ，
è 3 5
π é π π ù π 4
所以 cos a - ÷ = cos ê a + ÷ - ú = sin6 3 2
a + ÷ = .
è è è 3 5
故選：C
【變式 8-2】若 sin
π a 1 cos π - ÷ = ，則 +a

6 ÷
等于（ ）
è 3 è 3
A 2 B 2
1 1
．- ． C．- D．
3 3 3 3
【答案】D
【解析】因?yàn)?sin
π
-a
1
÷ = ，
è 6 3
所以 cos
π a sin é π+ = - π a ù+ = sin π -a 1 3 ÷ ê 2 3 ÷ú 6 ÷
= .
è è è 3
故選：D
π π π
【變式 8-3】（2024·江西九江·三模）若 2sin a + ÷ = cos a - ÷，則 tan a - ÷ =（3 3 6 ）è è è
A．-4 - 3 B．-4 + 3 C． 4 - 3 D． 4 + 3
【答案】C
a π π【解析】令 = - ，則a = + ，
6 6
π
所以由 2sin a + ÷ = cos a
π
-
3 ÷
，
è è 3
得 2sin
π+ cos π= - 2 ÷ 6 ÷
，
è è
即 2cos 3= cos 1+ sin ，
2 2
即 sin = 4 - 3 cos ，得 tan = 4 - 3 ，
所以 tan

a
π
- = tan = 4 - 3，
è 6 ÷
故選：C.
題型九：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
sin a 5π- - cos 3π 2 ÷ +a ÷ tan π -a
è 2 è 2
【典例 9-1】已知 f a = .
cos π -a

÷sin π +a
è 2
(1)化簡(jiǎn) f a ；
(2)若 f a = 2，求 sin2a - 3sinacosa 的值；

(3)若 f a +
π
÷ = 3
π
，求 sin(a - )的值.
è 3 6
2
2 -cosa g sin a
【解析】（1） f -cosa sina tan a cos
2
a a sina= = = = tana
sina (-sina ) -sina cosa
（2）由（1）得 tana = 2 ，
sin22 a - 3sinacosa tan
2a - 3tana 4 - 6 2
所以 sin a - 3sinacosa = 2 2 = 2 = = - .sin a + cos a tan a +1 4 +1 5
π
（3）由（1）得 tan a + ÷ = 3，令a
π
- = q ，則a = q
π
+ ，
è 3 6 6
sin q π+ ÷
tan a π π cosq 1則 + ÷ = tan
è 2
3
q + ÷ = = = - = 3，
è è 2 cos π -sinq tanq q + 2 ÷è
\ tanq 1= - ，又 tanq
sinq 1
= = - ，
3 cosq 3
得 cosq = -3sinq ，代入 sin2 q + cos2 q =1 sinq 10，計(jì)算得： = ± ，
10
當(dāng)q 10為第二象限角時(shí)， sinq = ，即 sin a
π 10-
10 ÷
= ；
è 6 10
當(dāng)q
π 10
為第四象限角時(shí)， sinq 10= - ，即 sin a - = - .
10 6 ֏ 10
【典例 9-2】已知 cos a + 3π + 2sin a + 6π = 0 .
(1)求 tana 的值；
sin2a + 5cos a 3π+ ÷cosa(2)求 è 2 的值.
2 + 2cos2a
【解析】（1）由 cos a + 3π + 2sin a + 6π = 0可得：-cosa + 2sina = 0，
即 tana
1
= ，
2
sin2a 5sinacosa
2 2sin a + 5cos 3π a + ÷cosa sin a + 5sinacosa2 = sin
2a + 5sinacosa 2 + 2
（ ） è 2 2 + 2 2cos2a -1 = =
cos a cos a
2 4cos2a
2 + 2cos2a 4cos a cos2a
tan2a + 5tana 1 5+ 11
= =
4 = 4 24 16
【方法技巧】
（1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使
用公式進(jìn)行變形．
（2）注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)符號(hào)的影響．
4
【變式 9-1】已知角a 的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P 3, y ，且 tana = - ．
3
(1)求 sin a+cos a 的值；
sin π -a + 2cos π +a
(2)求 sin 3 π -a - cos 3 π +a 的值． ÷
è 2 è 2 ÷
【解析】（1）Q tana
y 4
= = - ，\ y = -4，
3 3
\sina 4= - ， cosa
3
= ，則 sina + cosa
1
= -
5 ．5 5
4 10
sina - 2cosa tana - 2 - - 2 -
2 = = = 3 = 3（ ）原式 = -10．
-cosa - sina -1- tana 1 4 1- +
3 3
tan(π +a )cos(2π -a )sin( π +a )
【變式 9-2】已知 f (a ) = 2
cos(π -a )tan(-a )
(1)化簡(jiǎn) f (a )
(2)若a (0, 2π)，且 f (a ) 3= - ，求a 的值.
2
1
(3)若a 是第三象限角，且 sin(π +a ) = ，求 f (π -a ) 的值.
5
f (a ) tana cosa cosa【解析】（1）依題意， = = cosa
-cosa (- tana ) .
3 a (0, 2π) a 5π 7π（2）由（1）知， cosa = - ，而 ，所以 = 或a = .
2 6 6
1 1
（3）由 sin(π +a ) = ，得 sina = - ，
5 5
由a 2 6是第三象限角，得 cosa = - 1- sin2 a = - ，
5
2 6
所以 f (π -a ) = cos(π -a ) = -cosa = .
5
3
【變式 9-3】在單位圓中，銳角a 的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P m, ÷÷ ，連接圓心O和 P 得到射線OP，將
è 2

射線OP繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)q 后與單位圓相交于點(diǎn) B ，其中q 0,
π
.
è 2 ÷
4sin3 a π+ + 2sin2 3π ÷ -a ÷ - 4cos a + π (1)求 è 2 è 2 的值；
2 + 2cos2 5π +a + cos -a
f q f q π- 1 π 5π (2)記點(diǎn) B 的橫坐標(biāo)為 ，若 ÷ = ，求 cos q - ÷ + cos q - ÷的值.
è 6 4 è 3 è 6
1
【解析】（1）由于點(diǎn) P 在單位圓上，且a 是銳角，可得m = ，
2
cosa 1所以 = ，
2
4sin3 a
π
+ ÷ + 2sin
2 3π -a - 4cos a + π
所以 è 2 è 2 ÷
2 + 2cos2 5π +a + cos -a
4cos3a + 2cos2a + 4cosa
= = 2cosa =1；
2 + 2cos2a + cosa
（2）由（1）可知 cosa
1 π
= ，且a 為銳角，可得a = xOP = ，
2 3
根據(jù)三角函數(shù)定義可得： f q = cos q π+ 3 ÷ ，è
π
因?yàn)?f q - ÷ = cos
q π 1 π+
6 6 ÷
= > 0，且q
4
0, ÷，
è è è 2
π π 2π π 15
因此q + , ÷，所以 sin q +6 è 6 3 6 ÷
=
è 4
π 5π é π π ù é π ù
所以 cos q - ÷ + cos
q - = cos q + - + cos q + - π
è 3 6 ÷ ê 6 ÷ ÷ è è 2
ú ê ú
è 6
= sin q π+ - cos π ÷ q +

6 ÷è è 6
15 -1
= .
4
【變式 9-4】在平面直角坐標(biāo)系中，銳角a ， 均以O(shè)x 為始邊，終邊分別與單位圓交于點(diǎn)A ， B ，已知點(diǎn)
3 5
A 的縱坐標(biāo)為 ，點(diǎn) B 的橫坐標(biāo)為 .
5 13
(1)直接寫出 tana 和 sin 的值，并求 tan(a - )的值；
2sin(π -a ) + sin(π +a )
(2)求 2
cos(3π
的值；
-a ) - cos(3π +a )
2
π
(3)將點(diǎn)A 繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得到點(diǎn)C ，求點(diǎn)C 的坐標(biāo).
4
3 5
【解析】（1）由銳角a ， ，得點(diǎn)A ， B 都在第一象限，而點(diǎn)A 的縱坐標(biāo)為 ，點(diǎn) B 的橫坐標(biāo)為 ，
5 13
4 12 3 12 12
則點(diǎn)A 的橫坐標(biāo)為 ，點(diǎn) B 的縱坐標(biāo)為 ，因此 tana = , tan = ,sin = ；
5 13 4 5 13
3 12
tan(a tana - tan
- 33
- ) = = 4 5 = - .
1+ tana tan 1 3 12+ 56
4 5
3 2sin(π -a )
π 3
+ sin( +a )
2 2sina + cosa 2 tana +1
2 +1
（2）由（1）知 tana = ， = = = 4 =10 .
4 cos(3π -a ) - cos(3π +a ) -sina + cosa 1- tana 1 3-
2 4
C π
3 4
（3）依題意，點(diǎn) 在角 +a 的終邊上，且 | OC |=1，由（1）知 sina = , cosa = ，
4 5 5
則點(diǎn)C π的橫坐標(biāo)為 cos( +a ) = cos π cosa - sin π sina 2 (4 3) 2= - = ，
4 4 4 2 5 5 10
點(diǎn)C 的縱坐標(biāo)為 sin(π +a ) = sin π cosa + cos π sina 2 (4 3 7 2= + ) = ，
4 4 4 2 5 5 10
2 7 2
所以點(diǎn)C 的坐標(biāo)為 ( , ) .
10 10
1．（2023 年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)甲：sin2 a + sin2 =1，乙： sina + cos = 0，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】B
2 π【解析】當(dāng)sin a + sin2 =1時(shí)，例如a = , = 0但 sina + cos 0，
2
即sin2 a + sin2 =1推不出 sina + cos = 0；
當(dāng) sina + cos = 0時(shí)， sin2 a + sin2 = (-cos )2 + sin2 =1，
即 sina + cos = 0能推出sin2 a + sin2 =1 .
綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.
故選：B
2．（2022 年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了
計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖， AB 是以 O 為圓心，OA 為半徑的圓弧，C 是 AB 的中點(diǎn)，D 在 AB 上，
2
CD ^ AB ．“會(huì)圓術(shù)”給出 AB 的弧長(zhǎng)的近似值 s 的計(jì)算公式： s = AB
CD
+ ．當(dāng)OA = 2, AOB = 60 時(shí)，
OA
s =（ ）
A 11- 3 3 B 11- 4 3 C 9 - 3 3 D 9 - 4 3． ． ． ．
2 2 2 2
【答案】B
【解析】如圖，連接OC ，
因?yàn)镃 是 AB 的中點(diǎn)，
所以O(shè)C ^ AB，
又CD ^ AB ，所以O(shè),C, D 三點(diǎn)共線，
即OD = OA = OB = 2，
又 AOB = 60 ，
所以 AB = OA = OB = 2，
則OC = 3 ，故CD=2- 3，
2
CD2 2 - 3所以 s = AB 11- 4 3+ = 2 + = .
OA 2 2
故選：B.
3．（2022 年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）設(shè) x R ，則“ sin x = 1”是“ cos x = 0 ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不
必要條件
【答案】A
【解析】因?yàn)?sin2 x + cos2 x =1可得：
當(dāng) sin x = 1時(shí)， cos x = 0，充分性成立；
當(dāng) cos x = 0時(shí)， sin x = ±1，必要性不成立；
所以當(dāng) x R ， sin x = 1是 cos x = 0的充分不必要條件.
故選：A.
1．寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并找出集合中適合不等式-720 360 的元素 ：
(1)1303o18 ；
(2) -225o．
【解析】（1）根據(jù)題意可知1303o18 = 223o18 + 3 360o ，
所以與1303o18 o o終邊相同的角的集合為 | = 223 18 + k 360 ,k Z ，
易知當(dāng) k = 0時(shí)， = 223o18 ；當(dāng) k = -1時(shí)， = -136o42 ；當(dāng) k = -2 時(shí)， = -496o42 ；
所以適合不等式-720 360 的元素 有： 223o18 ，-136o42 ，-496o42 ；
（2 o o）與-225o終邊相同的角的集合為 | = -225 + k 360 , k Z，
易知當(dāng) k = -1時(shí)， = -585o ；當(dāng) k = 0時(shí)， = -225o ；當(dāng) k =1時(shí)， =135o ；
所以適合不等式-720 360 的元素 有：-585o，-225o，135o；
2．每人準(zhǔn)備一把扇形的扇子，然后與本小組其他同學(xué)的對(duì)比，從中選出一把展開(kāi)后看上去形狀較為美觀
的扇子，并用計(jì)算工具算出它的面積 S1 .
（1）假設(shè)這把扇子是從一個(gè)圓面中剪下的，而剩余部分的面積為 S2 ，求 S1與 S2 的比值；
（2）要使 S1與 S2 的比值為0.618，則扇子的圓心角應(yīng)為幾度（精確到1 ）？
1 a R2
【解析】（1）設(shè)半徑為R, S , S a , a 2 , S S R2 ,
S a
1 2 所對(duì)圓心角分別為 ，且 + = 1 + 2 = \
1 = 21 = .S2 R2
2
1
S R
2q
（2）設(shè)扇子的圓心角為q .由 1 = 2 = 0.618，得q = 0.618(2 -q ) ,則
S 1 q 2.40rad 138
.
2 R2 (2 -q )
2
3．（1）時(shí)間經(jīng)過(guò) 4h（時(shí)），時(shí)針、分針各轉(zhuǎn)了多少度？各等于多少弧度？
（2）有人說(shuō)，鐘的時(shí)針和分針一天內(nèi)會(huì)重合 24 次。你認(rèn)為這種說(shuō)法是否正確？請(qǐng)說(shuō)明理由.
（提示：從午夜零時(shí)算起，假設(shè)分針走了 t min 會(huì)與時(shí)針重合，一天內(nèi)分針和時(shí)針會(huì)重合 n 次，建立 t 關(guān)于
n 的函數(shù)解析式，并畫出其圖象，然后求出每次重合的時(shí)間）
【解析】（1）因?yàn)闀r(shí)針按照順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，故形成的角為負(fù)角，
4 360 1440 2 經(jīng)過(guò) 4 小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)了 -30 4 = -120 ，分針轉(zhuǎn)了 - = - ，分別等于- 弧度和-8 弧度；
3
（2）分針每比時(shí)針多走一圈便會(huì)重合一次，設(shè)分針走了 tmin會(huì)和時(shí)針重合，并且是第 n此重合，則：
2 gt 2 - gt = 2 n
60 12 60 ；
\ n 11= t
720 ， n N
* ；
最后一次相遇經(jīng)過(guò)了 24 60 = 1440min ；
\此時(shí) n = 22，即時(shí)針和分針相遇 22 次；
\重合 24 次的說(shuō)法不正確．
4．已知相互嚙合的兩個(gè)齒輪，大輪有 48 齒，小輪有 20 齒.
（1）當(dāng)大輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)，求小輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角度；
（2）如果大輪的轉(zhuǎn)速為180r / min （轉(zhuǎn)/分），小輪的半徑為10.5cm，那么小輪周上一點(diǎn)每 1s 轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)是
多少？
【解析】（1）Q相互嚙合的兩個(gè)齒輪，大輪有 48 齒，小輪有 20 齒，
\當(dāng)大輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)，
大輪轉(zhuǎn)動(dòng)了 48 個(gè)齒，
\ 48 12小輪轉(zhuǎn)動(dòng) = 周，
20 5
12
即 360 = 864 5 ．
12 2 24 = ．
5 5
（2）\當(dāng)大輪的轉(zhuǎn)速為180r / min時(shí)，
12
180 = 432r / min．
5
小輪轉(zhuǎn)速為 432r / min，
\小輪周上一點(diǎn)每1s 432 2 60
72
轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為： = ．
5
Q小輪的半徑為10.5cm，
\ 72 21小輪周上一點(diǎn)每1s轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)為： =151.2 cm．
5 2
5 1+ sina 1- sina．化簡(jiǎn) - ，其中a 為第二象限角.
1- sina 1+ sina
【解析】Q a 為第二象限角,
∴ 1+ sina 1- sina-
1- sina 1+ sina
(1+ sina )2 (1- sina )2
= -
(1- sina )(1+ sina ) (1+ sina )(1- sina )
(1+ sina )2 (1- sina )2
=
cos2
-
a cos2 a
1+ sina 1- sina
= - + = -2 tana
cosa cosa
4 4 2 6 2．（1）分別計(jì)算 sin - cos 和 sin - cos 的值，你有什么發(fā)現(xiàn)？
3 3 3 3
（2）任取一個(gè)a 的值，分別計(jì)算 sin4 a - cos4 a ,sin2 a - cos2 a ，你又有什么發(fā)現(xiàn)？
（3）證明："x R,sin2 x - cos2 x = sin4 x - cos4 x .
【解析】（1）根據(jù)特殊角三角函數(shù)值計(jì)算可知
4
sin4
3 1 4 1
- cos4 =
3 3 2 ÷÷
- 2 ÷
=
è è 2
2 2
sin2

- cos2 3 1 1= - =
3 3 2 ÷÷ è è 2
÷
2
4 4
所以 sin - cos = sin2 - cos2
3 3 3 3

（2）取a =
6
1 4
4
sin4 - cos4 =
3 1
則 - = -
6 6 2 ÷ è 2 ÷
÷
è 2
2
2
2 sin - cos2 1 3 1= -
6 6 2 ÷ ÷
= -
è ÷è 2 2
sin4 所以 - cos4

= sin2 - cos2 .
6 6 6 6
（3）證明:"x R,sin4 x - cos4 x
= sin2 x + cos2 x sin2 x - cos2 x
= sin2 x - cos2 x
所以 sin2 x - cos2 x = sin4 x - cos4 x .
易錯(cuò)點(diǎn)：不能理解三角函數(shù)的定義
易錯(cuò)分析： 利用定義求任意角的三角函數(shù)時(shí)，要根據(jù)條件選擇不同的解法，看所給的條件是終邊與單
位圓的交點(diǎn)還是終邊上的任意一點(diǎn).
4 17
【易錯(cuò)題 1】（2024·山東青島· q

一模）已知角 終邊上有一點(diǎn) P tan π,2sin - π3 6 ÷÷
，則 cosq 的值為（ ）
è è
A 1
1
B 3 3． 2 ．- C． - D．2 2 2
【答案】D
【解析】因?yàn)?tan
4 = tan +

÷ = tan = 33 è 3 3
sin 17- = sin ÷ -2 - +

÷ = sin - + ÷ = -sin


sin 1- ÷ = - = -
è 6 è 6 è 6 è 6 6 2
2sin 11- 即 6 ÷
= -1
è
所以P 3, -1
3 3
所以 cosq = =
( 3)2 + (-1)2 2
故選：D.
3
【易錯(cuò)題 2】（多選題）若角a 的終邊上有一點(diǎn)P(-4,a)，且 sina cosa = ，則 a 的值為（ ）
4
A． 4 3 B． 3 C．-4 3 D 4 3．-
3
【答案】CD
a
【解析】由三角函數(shù)的定義可知， sina = -4 2 + a2 ，
cosa -4=
-4 2 + a2 ，
3 -4a 3
又 sina cosa = ，則 2 = ，
4 -4 + a2 4
4
解得 a = -4 3 或- 3 ，3
故選：CD．

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