資源簡介

拔高點突破 05 函數與導數背景下的新定義壓軸解答題　
目錄
01 方法技巧與總結 ..............................................................................................................................2
02 題型歸納與總結 ..............................................................................................................................2
題型一：曲率與曲率半徑問題 ............................................................................................................2
題型二：曼哈頓距離與折線距離 ......................................................................................................13
題型三：雙曲正余弦函數問題 ..........................................................................................................16
題型四：凹凸函數 ..............................................................................................................................20
題型五：二元函數問題 ......................................................................................................................26
題型六：切線函數新定義 ..................................................................................................................29
題型七：非典型新定義函數 ..............................................................................................................37
題型八：拐點、好點 、不動點、S 點..............................................................................................46
題型九：各類函數新概念 ..................................................................................................................50
03 過關測試 .........................................................................................................................................55
1、函數與導數新定義問題主要分兩類：一是概念新定義型，主要是以函數新概念為背景，通常考查
考生對函數新概念的理解，涉及函數的三要素的理解；二是性質新定義型，主要是以函數新性質為背景，
重點考查考生靈活應用函數性質的能力，涉及函數的各種相關性質的拓展延伸．
2、設 P x1, y1 ,Q x2 , y2 為平面上兩點，則定義 x2 - x1 + y2 - y1 為“折線距離”“直角距離”或“曼哈
頓距離”，記作 d (P,Q) = x2 - x1 + y2 - y1 ．
結論 1：設點 P x0 , y0 為直線 l : Ax + By + C = 0 外一定點，Q為直線 l 上的動點，則
Ax + By + C
d (P,Q) = 0 0min max{| A |,| B |}
結論 2：設點 P 為直線 Ax + By + C1 = 0 上的動點，點Q為直線 Ax + By + C2 = 0 上的動點，則
C - C
d (P,Q) = 1 2min ．max{| A |,| B |}
題型一：曲率與曲率半徑問題
【典例 1-1】（2024·浙江溫州·二模）如圖，對于曲線Γ ，存在圓C 滿足如下條件：
①圓C 與曲線Γ 有公共點A ，且圓心在曲線Γ 凹的一側；
②圓C 與曲線Γ 在點A 處有相同的切線；
③曲線 Γ 的導函數在點 A 處的導數（即曲線 Γ 的二階導數）等于圓 C 在點 A 處的二階導數（已知圓
r 2
x - a 2 + y - b 2 = r2 在點 A x0 , y0 處的二階導數等于 ）；b - y0
3
則稱圓C 為曲線Γ 在A 點處的曲率圓，其半徑 r 稱為曲率半徑．
(1)求拋物線 y = x2 在原點的曲率圓的方程；
1
(2)求曲線 y = x 的曲率半徑的最小值；
(3)若曲線 y = ex 在 x x1 x21, e 和 x2 , e x1 x2 處有相同的曲率半徑，求證： x1 + x2 < -ln2．
【解析】（1）
2 2
記 f x = x ，設拋物線 y = x2 在原點的曲率圓的方程為 x2 + y - b = b2 ，其中b 為曲率半徑．
則 f x = 2x， f x = 2，
b2 1 r 2 1
故 2 = f 0 = = 3 b ， 2 = ，即
b = ，
b - 0 b3 2
y = x2 x2 y 1
2
1
所以拋物線 在原點的曲率圓的方程為 + - 2 ÷
= ；
è 4
（2）設曲線 y = f x 在 x0 , y0 的曲率半徑為 r ．則
ì
f x
x0 - a
0 = -
y0 - b
法一： í 2 ，
f x r=
0 b - y
3
0
2 r 2
由 x0 - a
2 + y - b 20 = r2知， é f x0 ù +1 = ，y 20 - b
3
2é f x ù +1 2所以 0 r = ，
f x0
3
ì 2 1 ü2
1 í
-
x2 ÷
+1
故曲線 y = x 在點
x0 , y0 處的曲率半徑 è 0 r = ，
2
x30
3
1
4 +1÷ 3 2 2 1
2 x 1 1 - 1
所以 r = è 0 2 3 3 2 32 = 4
x0 + x2 ÷
2 ，則 r = 2 x0 + 2 ÷ 2 ，
2 è 0 è x0
x30
3
則 r 1
1 2 2 1 2
= x2 + ÷ 2 ，當且僅當 x0 = x2 ，即 x0 = 1時取等號，2 0 2è x0 0
1
故 r 2 ，曲線 y = x 在點
1,1 處的曲率半徑 r = 2 ．
ì 1 x0 - a
- = -
x
2
0 y0 - b a + bx20 - 2x0
法二： í 2 ， = r2 r ，4 = x0 +1
x
3
0 b - y 30
ì 2
y x0 × r
3
0 - b = - 1 4 4
23 x2r 2 x 2 2 0 × r
3 r 3
所以 í 2 ，而 = 0 - a + y0 - b = 2 + 2 ，
r 3 23 23 × x2
x - a = - 00 1

23 x0
2 2 3
-
r 3 = 2 3 x2 1 1 1 2所以 20 + ，解方程可得x2 ÷ r = x0 +
，
è 2 ÷0 2 è x0
3
2 1 則 r = x2 1
2 1 2
0 + 2 ÷ 2，當且僅當 x0 = x2 ，即 x0 = 1時取等號，4 è x0 0
1
故 r 2 ，曲線 y = 在點 1,1 x 處的曲率半徑 r = 2 ．
3
2x
（3）法一：函數 y = ex 的圖象在 x, ex 處的曲率半徑 e +1 2r = ，
ex
2 4 2
故 x - xr 3 = e3 + e 3 ，
4 2 2
由題意知： x
2 4 2
1 - x1 x2 - xe3 + e 3 = e3 + e 3 2
x x
令 t 3 1 3 2 ，1 = e , t2 = e
則有 t 2
1 1
1 + = t
2 +
t 21 t
，
2
2 2 1 1 t1 - t2
所以 t1 - t2 = - ，即 t1 - t2 t1 + t2 = ，故 t1t2 t1 + t2 =1t t ． 2 1 t1t2
因為 x1 x2 ，所以 t1 t2 ，
3
所以1 = t1t2 t1 + t2 > t1t2 × 2 t1t2 = 2 t t 2 = 2ex1 +x2 ，1 2
所以 x1 + x2 < -ln2．
3
x 2x 2
法二：函數 y = ex 的圖象在 x, e 處的曲率半徑 e +1 r = ，
ex
3e2x +1有 r 2 = 2x = e4x + 3e2x + 3+ e-2xe
2x 1 1
令 t 1 2x2 2 21 = e , t2 = e ，則有 t1 + 3t1 + 3+ = t2 + 3t2 + 3+t t ， 1 2
則 t1 - t2 t
1
1 + t2 + 3 - ÷ = 0，故 t1 + t2 + 3
1
- = 0
t t ， è t1t2 1 2
因為 x1 x2 ，所以 t1 t2 ，
1 1
所以有0 = t1 + t2 + 3- > 2 tt t 1
t2 + 3 - t t ，1 2 1 2
令 t
1
= t t 3 2 21 2 ，則 2t + 3- 2 < 0 ，即0 > 2t + 3t -1 = (t +1) 2t -1 ， t
t 1 ex +x t t t 1故 < ，所以 1 2 = 1 2 = < ，即 x1 + x2 2 2
< -ln2；
3
2x 2
法三：函數 y = ex x的圖象在 x, e 處的曲率半徑 e +1 r = ．
ex
2 4 x 2故 xr 3 = e3 + e3
4 2 4 4 x 2 2 x 2 2x x - - x
設 g x e3 e3 ，則 g x = e3 - e 3 = e 3 2e2x= + -1 ，3 3 3
x - , 1- ln2 g x < 0 x 1所以當 ÷時 ，當 - ln2,+

2 2 ÷
時 g x > 0，
è è
所以 g x - , 1- ln2 1 在 ÷上單調遞減，在 - ln2,+ ÷上單調遞增，
è 2 è 2
故有 x
1
1 < - ln2 < x2 ，2
x , ln2 x , 1所以 1 - - 2 - - ln2

，
è 2 ÷
要證 x1 + x2 < -ln2，即證 x1 < -ln2- x2 ，
即證 g x2 = g x1 > g -ln2 - x2 將 x1 + x2 < -ln2 ，
1
下證：當 x - ln2,+ ÷時，有 g x > g -ln2 - x ，
è 2
設函數G x = g x - g -ln2 - x x 1（其中 > - ln2），
2
2 x 1 4- - x
則G

x = g x 2+ g -ln2 - x = 2e2x -1 e3 - 2 3
3 ÷ ×e
3 > 0，
è
故G x 1 單調遞增，G x > G - ln2÷ = 0 ，
è 2
故 g x2 > g -ln2 - x2 ，所以 x1 + x2 < -ln2．
3
2x 2
法四：函數 y = ex x的圖象在 x, e 處的曲率半徑 e +1 r = ，
ex
2x 3e +1有 r 2 = 2x = e4x + 3e2x + 3+ e-2x ，e
h x = e4x + 3e2x設 + 3 + e-2x ．
則有 h x = 4e4x
2
+ 6e2x - 2e-2x = 2e-2x e2x +1 2e2x -1 ，
x 1- , - ln2 1 所以當 ÷時 h x < 0，當 x - ln2,+ ÷時 h x > 0，
è 2 è 2
故 h x 1 1 在 - ,- ln 2÷ 上單調遞減，在 - ln 2,+ ÷ 上單調遞增．
è 2 è 2
x 1故有 1 < - ln2 < x2 ，2
所以 x1,-ln2 x
, 1- - - ln2 2 2 ÷
，
è
要證 x1 + x2 < -ln2，即證 x1 < -ln2- x2 ，
即證 h x2 = h x1 > h -ln2 - x2 ．將 x1 + x2 < -ln2，
下證：當 x
1- ln2,+ ÷時，有 h x > h -ln2 - x ，
è 2
設函數H x = h x - h -ln2 - x x 1（其中 > - ln2），
2
H x = h x + h -ln2 - x = 2e2x -1 2 1 1+ e-2x 1則 + e-4x ÷ > 0，
è 2 4
故H x H x H 1單調遞增，故 > - ln2

÷ = 0 ，
è 2
故 h x2 > h -ln2 - x2 ，所以 x1 + x2 < -ln2．
【典例 1-2】有一種速度叫“中國速度”，“中國速度”正在刷新世界對中國高鐵的認知．由于地形等原因，在
修建高鐵、公路、橋隧等基建中，我們常用曲線的曲率（Curvature）來刻畫路線彎曲度．如圖所示的光滑
曲線C 上的曲線段 AB，設其弧長為Ds，曲線C 在 A，B 兩點處的切線分別為 lA , lB ，記 lA , lB 的夾角為
Δq f (x)
Δq Δq é0, p ù K Δq= K (x) = lim = ÷，定義 為曲線段 AB 的平均曲率，定義 Δx 0 Δs 3 為曲線
è ê 2 ú Δs 1+ f (x) 2 2
C : y = f (x)在其上一點 A(x, y) 處的曲率．（其中 f (x) 為 f (x) 的導函數，f (x )為 f (x) 的導函數）
(1)若 f (x) = sin(2x)，求K
p
4 ÷
；
è
π
(2)記圓 x2 + y2 = 2025上圓心角為 的圓弧的平均曲率為 a．
3
①求 a的值；
②設函數 g(x) = ln(x + 45a) - xex-1，若方程 g(x) = m(m > 0) 有兩個不相等的實數根 x1, x2 ，證明：
x2 - x1 <1
(5e - 2)m
- ，其中 e為自然對數的底數， e = 2.71828L．
3e - 3
【解析】（1） f (x) = sin(2x), f (x) = 2cos(2x), f (x) = -4sin(2x)，
所以 f
π
÷ = 2cos
π π
= 0, f '' ÷ = -4sin
π
= -4，
è 4 2 è 4 2
f '' π
π K 4
÷
= è
-4
÷ 3 =因此 è 4 3
= 4
ì 2 ì π ü ü2 1+ 0
.
2
í1+ í f ÷
è 4
π π
（2）①由圓的性質知圓 x2 + y2 = 2025上圓心角為 的圓弧的弧長為DS = × R .
3 3
弧的兩端點處的切線對應的夾角Δq
π
= ，
3
Δq
K 1 1 1所以該圓弧的平均曲率 = = = = a
1
=
ΔS R 45 ，也即 .2025 45
1
②由于 a = ，故 g x = ln x +1 - xex-1, x -1, + ，
45
又 g(0) = 0， g x
1
= - x +1 ex-1, g x 1= - 2 - x + 2 ex-1 < 0x +1 x +1 ，
所以 g (x) 在 -1, + g 0 1 1上單調遞減，而 = - > 0, g 1 1= - 2 3= - < 0 .
e 2 2
因此必存在唯一的 x0 (0,1) 使得 g (x0) = 0且 g (x) 在 -1, x0 上為正，在 x0 ,+ 為負，即 g(x)在 -1, x0 上
單調遞增，在 x0 ,+ 上單調遞減，
1
而 g(0) = 0
1
，又 g ÷ = ln
3 1 ln 3 1- > - > 0 Q2 e 3
9 3 1 3 27
> e > , ln > e3 < e < ，
è 2 2 2 e 2 3 è 4 2 3 2 8
÷

g(1) = ln 2 -1 < 0，
1
所以$t

,1÷使得 g(t) = 0，即 g(x)的圖象與 x 軸有且僅有兩個交點 (0,0), (t,0)，易得 g(x)在 (0,0)處的切
è 2
l :y 1 1 x e -1線方程為 0 = - = x ，
è e ÷ e
在 (t , 0) 處的切線方程為 l :y =
1
t - t +1 et-1

t +1 ÷
x - t ，
è
下面證明兩切線 l0 , lt 的圖象不在 g(x)的圖象的下方:
令 h x = g x 1- - t +1 et-1

÷ x - t = g(x) - g (t)(x - t)，則 h (x) = g (x) - g (t) .
è t +1
因為 h (x) = g (x) < 0 ，所以 h (x)在 (-1, + )單調遞減，而 h (t) = 0 ，
所以 h (t) 在 (-1, t) 上為正，在 (t, + )為負，即 h(x) 在 (-1, t) 上單調遞增，在 (t, + )單調遞減，
因此 h(x) h(t) = g(t) - 0
1
= 0 ，即 g x - t +1 et-1

÷ x - t ，
è t +1
即 g(x)的圖象恒在其圖象上的點 (t , 0) 處的切線的下方(當且僅當 x = t 時重合) .
同理可證(將 t視為 0 即可)， g x 1 1- ÷ x
è e
設直線 y = m(m > 0) 與兩切線 l0 , l1交點的橫坐標分別為 X 0 , X t ，
X me0 = , X
m
= + t
則易得 e -1 t 1 t-1 且 X- t +1 e 0 < x1 < x2 < X t ，
t +1
t 1 ,1 1 t-1 3 2 3 3因為

2 ÷
，故 - t +1 e - , - ÷ t +1 2 3 2 e
- ,0÷，
è è è 2
X m m 2mt = 1 + t < 3 + t <1-所以 - t +1 et-1 - 3 ，
t +1 2
2m me 5e - 2 m
因此 x2 - x1 < X t - X 0 <1- - =1- .3 e -1 3e - 3
【變式 1-1】定義：若 h (x)是 h(x) 的導數，h (x)是 h (x)的導數，則曲線 y = h(x)在點 (x, h(x))處的曲率
h (x)
K = 3
2 ；已知函數 f (x) = e
x sin π + x ÷ ， g(x) = x + (2a -1)cos x,

a
1
<
÷，曲線
y = g(x) 在點
1+ h (x) 2 è 2 è 2
(0, g(0)) 2處的曲率為 ；
4
(1)求實數 a 的值；
é π ù
(2)對任意 x ê- ,0ú , mf (x) g (x)恒成立，求實數 m 的取值范圍； 2
(3)設方程 f (x) = g (x) 在區間 2nπ
π
+ , 2nπ π+ *÷ n N 內的根為 x1, x2 , , xn，…比較 xn+1與 xn + 2π 的大小，
è 3 2
并證明．
【解析】（1）由已知 g (x) = - 2a -1 sin x +1, g (x) = - 2a -1 cos x，
2a -1 2
所以 3 = 4 ，解得 a = 0（ a =1舍去）， 1+12 2
所以 a = 0；
π
（2 x x）由（1）得 g(x) = x - cos x， f (x) = e sin + x ÷ = e cos x，
è 2
則 g x =1+ sin x，
é π ù
對任意的 x xê- ,0ú，mf x - g x 0，即2 me cos x - sin x -1 0恒成立，
p
令 x = - ，則m ×0 +1-1 = 0 0，不等式恒成立，
2
x π當
ù sin x +1
- ,0ú 時， cos x > 0，原不等式化為m ，è 2 ex cos x
h x sin x +1令 = x , x
π
- ,0
ù
ú ，e cos x è 2
cos x e
x cos x - ex cos x - sin x sin x +1
則 h x

=
2ex cos x
1- sin x cos x - cos x + sin x 1- cos x 1+ sin x
= x 2 = x 2 0，e cos x e cos x
所以 h x π在區間 - ,0
ù
ú單調遞增，所以 h x = h 0 =1è 2 max ，
所以m 1，
綜上所述，實數 m 的取值范圍為 1, + ；
（3） xn+1 > xn + 2p，證明如下：
由已知方程 f x = g x 可化為 ex cos x - sin x -1 = 0，
令j x = ex cos x - sin x -1，則j x = ex cos x - sin x - cos x ，

因為 x 2nπ
π
+ , 2nπ π+ ÷，所以 cos x < sin x, cos x > 0，
è 3 2
所以j x < 0，所以j x 在區間 2nπ
π π
+ , 2nπ + ÷ n N* 上單調遞減，
è 3 2
2nπ π+ 2nπ π+
故j 2nπ
π e 3 cos 2nπ π sin 2nπ π 1 3+ ÷ = + - +

÷ ÷ -1 = e 3 - -1
è 3 è 3 è 3 2 2
1 2π π+ 3 1 3
e 3 - -1 > 22 3+1 - -1 > 0，
2 2 2 2
j 2nπ
π
+ = -2 < 0，
è 2 ÷
x 2nπ π所以存在唯一 0 + , 2nπ
π
+
3 2 ÷
，使得j x0 = 0，
è
x 又 n 2nπ
π
+ , 2nπ π+ x - 2π ÷， n+1 2nπ
π
+ , 2nπ π+ ，
è 3 2 è 3 2 ÷
則j xn+1 - 2π = exn+1 -2π cos xn+1 - 2π - sin xn+1 - 2π -1
= exn+1 -2π cos xn+1 - sin xn+1 -1
= exn+1 -2π cos x - exn+1n+1 cos xn+1
= exn+1 -2π - exn+1 cos xn+1 < 0 = j xn
由j x 單調遞減可得 xn+1 - 2p > xn ，
所以 xn+1 > xn + 2p .
【變式 1-2】（2024·湖北黃岡·二模）第二十五屆中國國際高新技術成果交易會（簡稱“高交會”）在深圳
閉幕.會展展出了國產全球首架電動垂直起降載人飛碟.觀察它的外觀造型，我們會被其優美的曲線折服.現
代產品外觀特別講究線條感，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度.考察如圖所示的光滑曲線C : y = f x 上
的曲線段 AB ，其弧長為Ds，當動點從A 沿曲線段 AB 運動到 B 點時，A 點的切線 lA 也隨著轉動到 B 點的
切線 lB ，記這兩條切線之間的夾角為Dq （它等于 lB 的傾斜角與 lA 的傾斜角之差）.顯然，當弧長固定時，
Δq
夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當夾角固定時，弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義K = 為
Δs
曲線段 AB 的平均曲率；顯然當 B 越接近A ，即Ds越小， K 就越能精確刻畫曲線C 在點A 處的彎曲程度，
K lim Δq
y
= =
因此定義 Δ 0 Δs 3 （若極限存在）為曲線C 在點A 處的曲率.（其中 y ， y 分別表示 1+ y 2 2
y = f x 在點A 處的一階 二階導數）
(1)已知拋物線 x2 = 2 py( p > 0) 的焦點到準線的距離為 3，則在該拋物線上點 3, y 處的曲率是多少？
x - x
(2)若函數 g x 1 1
e + e
= x - ，不等式 g ÷ g 2 - coswx 對于 x R 恒成立，求w的取值范圍；2 +1 2 è 2
(3) A f x = 2x2若動點 的切線沿曲線 -8運動至點B xn , f xn 處的切線，點 B 的切線與 x 軸的交點為
x ,0 n N*n+1 .若 x1 = 4，bn = xn - 2，Tn 是數列 bn 的前n項和，證明Tn < 3 .
【解析】（1）Q拋物線 x2 = 2 py( p > 0) 的焦點到準線的距離為 3，\ p = 3，
1 2 1 1
即拋物線方程為 x2 = 6y ，即 f x = y = x ，則 f x = x ， f x = ，
6 3 3
1 1
3 3 2
又拋物線在點 3, y K = = =處的曲率，則 3 ，
1 1+ ×32
2 2 2 12
÷
è 9
2
即在該拋物線上點 3, y 處的曲率為 ；
12
x
2 Q g x 1 1 2 1 1 1（ ） - = - x - = x - = - = -g x ，2 +1 2 2 +1 2 2 2x +1
\ g x 在R 上為奇函數，又 g x 在R 上為減函數.
x
g e + e
- x x - x
\ ÷ g 2 - coswx 對于 x R e + e恒成立等價于 coswx 2 - 對于 x R 恒成立.
è 2 2
又因為兩個函數都是偶函數，
p x = coswx q x 2 e
x + e- x
記 ， = - ，則曲線 p x 恒在曲線 q x 上方，
2
x
p x = -wsinwx q x e - e
- x
， = - ，又因為 p 0 = q 0 =1，
2
p 0 q 0
所以在 x = 0處三角函數 p x 的曲率不大于曲線 q x 的曲率，即 3 3 ，
é 1+ p
2 0 ù 2 é 1+ q
2 0 2 ù
x - x
又因為 p x = -w2coswx q x e + e， = - ，
2
p 0 = -w2， q 0 = -1，所以w 2 1，解得：-1 w 1，
因此，w的取值范圍為 -1,1 ；
（3）由題可得 f x = 4x，
所以曲線 y = f x 在點 xn , f xn 處的切線方程是 y - f xn = f xn x - xn ，
y - 2x 2即 n -8 = 4xn x - xn ，
令 y = 0 ，得- x 2n - 4 = 2xn x 2n+1 - xn ，即 xn + 4 = 2xn xn+1，
顯然 xn 0 ，\ x
x 2
n+1 =
n +
2 x ，n
x xn 2= + xn 2 xn + 2
2 x - 2 2
由 n+1 2 x ，知 xn+1 + 2

= + + 2 = ，同理 x - 2 = n ，
n 2 x n+1n 2xn 2xn
2
xn+1 + 2 xn + 2 x= n+1
+ 2 xn + 2
故 ÷ ，從而 lg = 2lg ，xn+1 - 2 è xn - 2 xn+1 - 2 xn - 2
設 lg
xn + 2 = an ，即 ax - 2 n+1
= 2an，所以數列 an 是等比數列，
n
a n-1 n-1 x1 + 2 n-1 xn + 2 n-1 xn + 2 2
n-1
故 n = 2 a1 = 2 lg = 2 lg3，即 lg = 2 lg3，從而 = 3x1 - 2 xn - 2 xn - 2
，
2 2n-13 +1 b x 2 4所以 x = ，\n n = n - = 2n-1 > 0，2n-13 -1 3 -1
n-1
bn+1 3
2 -1 1 1 1 1
= n =b 2 2n-1
<
2n-1

21-1
= ，
n 3 -1 3 +1 3 3 3
當 n =1時，顯然T1 = b1 = 2 < 3；
1 2 n-1
當 n >1時，bn < b <
1 b < 1
3 n-1 3 ÷ n-2 ÷
b1，
è è 3
é n
b 1- 1
ù
T b 1 1
n-1 1 ê ÷ ú n
\ n = 1 + b2 +L+ bn < b1 + b1 +L+
è 3
3 3 ÷
b ê ú 1 1
è = 1 = 3 - 3 × ÷ < 3
，
1- è 3
3
綜上，Tn < 3 n N* .
題型二：曼哈頓距離與折線距離
【典例 2-1】（2024·甘肅蘭州·一模）定義：如果在平面直角坐標系中，點 A，B 的坐標分別為 x1, y1 ，
x2, y 2 ，那么稱d (A, B) = x1 - x2 + y1 - y2 為 A，B 兩點間的曼哈頓距離．
(1)已知點 N1， N2 分別在直線 x - 2y = 0， 2x - y = 0上，點M 0,2 與點 N1， N2 的曼哈頓距離分別為
d M , N1 ， d M , N2 ，求 d M , N1 和 d M , N2 的最小值；
(2) 2已知點 N 是直線 x + k y + 2k +1 = 0 k > 0 上的動點，點M 0,2 與點 N 的曼哈頓距離 d M , N 的最小值
記為 f k ，求 f k 的最大值；
(3)已知點M ek , kek ，點 N (m,n) （k，m， n R ，e 是自然對數的底），當 k 1時， d M , N 的最大值為
f m, n ，求 f m, n 的最小值．
ì 3
- x + 2, x < 0
2
【解析】（1） d M , N1 = x + y - 2 = x
1
+ x 2 1- = í x + 2,0 x < 4，2 2
3
x - 2, x 4 2
則 d M , N1 2，即 d M , N1 的最小值為 2；
ì2 - 3x, x < 0
d M , N2 = x + y - 2 = x + 2x - 2 =

í2 - x,0 x <1，

3x - 2, x 1
則 d M , N2 1，即 d M , N2 的最小值為1.
（2）當 k 2 1時， d M , N = x + y - 2 ，
點 x, y 2為直線 x + k y + 2k +1 = 0 k > 0 上一動點，
則當 k 2 1時 d M , N x x 2 1= + + + + 2 x x 2 1 + + + + 2 2 1 + + 2 ，k 2 k k 2 k 2 k 2 k k 2 k k 2
f k 2 1即 = + + 2 ；
k k 2
2 x 2 1當 k < 1時， d M , N = x + 2 + + + 2 x + x + 2k +1+ 2k 2 2k 2 + 2k +1 ，k k k 2
f k = 2k 2即 + 2k +1 ；
ì 2 1
+ + 2 , k 1
所以 f k = í k k
2 2 1
，又當 k 1時， + + 2 5，
k k
2
2k
2 + 2k +1 ,0 < k <1
當0 < k <1時， 2k 2 + 2k +1 < 5，
所以 f k 的最大值為5 .
（3）令 x = ek ，則 kek = x ln x ， 0 < x e ，
d M , N = ek - m + kek - n = max x + x ln x - m - n , x - x ln x - m + n ，
令 g x = x + x ln x,0 < x e，則 g x = 2 + ln x > 0 e-2在區間 , eù 內成立，
g x e-2 1 -2則 在區間 , eù 內單調遞增，則- 2 = g e g x g e = 2e，e
令 h x = x - x ln x,0 < x e ，則 h x = - ln x < 0 在區間 1,e 內成立，
則 h x 在區間 1,e 內單調遞減，則0 = h e h x g 1 =1，
f m,n max ì 1所以 = í - 2 - m - n , 2e - m - n ,
ü
-m + n , 1- m + n
e
，

ì
2e - 1
ü
-
f m,n max
e2 ֏ 1- 0 1
所以 í ,2 2
= e + ，
2e
2

m n e 1 1 1當 + = - 且-
2e2 2e2
< n < e - 時，取最小值，
2
f m, n 1的最小值 e +
2e2
【典例 2-2】（2024·高三·廣西防城港·階段練習）若設M a,n = ax -1 + ax - 2 + ×××+ ax - n 為曼哈頓擴張距
離，它由n個絕對值之和組成，其中n為正整數.如：
M 2,6 = 2x -1 + 2x - 2 + 2x - 3 + 2x - 4 + 2x - 5 + 2x - 6
(1)若M 1,2 5，求 x 的取值范圍；
(2)若M 3,2 m 對一切實數 x 恒成立，設 a > 0，b > 0，且 a2 + b2 = m +1，求 2a + b 的最大值.
【解析】（1）依題意，M 1,2 = x -1 + x - 2 5，
當 x <1時，1- x + 2 - x 5，解得 x -1，于是-1 x<1，
當1 x 2時， x -1+ 2 - x =1 5，于是1 x 2，
當 x > 2時， x -1+ x - 2 5，解得 x 4，于是 2 < x 4 ，
所以 x 的取值范圍是 x | -1 x 4 .
（2）M 3,2 = 3x -1 + 3x - 2 m對一切實數 x 恒成立，
而 3x -1 + 3x - 2 3x -1- 3x + 2 =1，當且僅當 (3x -1)(3x - 2) 0
1 2
，即 x 時取等號，
3 3
則m 1 2 2 2 2 2 ，因此 a2 + b2 2 ，當且僅當m =1時取等號，根據柯西不等式得 a + b 2 +1 2a + b ，
2a + b 2 10 0 2a b 10 a 2b 2 10則 ，解得 < + ，當且僅當 = = 時等號成立，
5
m 1,a 2b 2 10所以當 = = = 時， 2a + b 取得最大值 10 .
5
【變式 2-1】（2024·高三·北京·期中）“曼哈頓幾何”也叫“出租車幾何”，是在 19 世紀由赫爾曼·閔可夫斯基
提出來的．如圖是抽象的城市路網，其中線段 AB 是歐式空間中定義的兩點最短距離，但在城市路網中，
我們只能走有路的地方，不能“穿墻”而過，所以在“曼哈頓幾何”中，這兩點最短距離用 d A, B 表示，又稱
“曼哈頓距離”，即 d A, B = AC + CB ，因此“曼哈頓兩點間距離公式”：若 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，則
d A, B = x2 - x1 + y2 - y1
(1)①點 A 3,5 ，B 2, -1 ，求 d A, B 的值．
②求圓心在原點，半徑為 1 的“曼哈頓單位圓”方程．
(2)已知點B 1,0 ，直線 2x - y + 2 = 0，求 B 點到直線的“曼哈頓距離”最小值；
(3)設三維空間 4 個點為 Ai = xi , yi , zi ， i =1,2,3,4，且 xi ， yi ， zi 0,1 ．設其中所有兩點“曼哈頓距離”的
平均值即 d ，求 d 最大值，并列舉最值成立時的一組坐標．
【解析】（1）① d A, B = 3- 2 + 5 +1 = 7；
②設“曼哈頓單位圓”上點的坐標為 x, y ，則 x - 0 + y - 0 =1，即 x + y =1 .
（2）設直線 2x - y + 2 = 0上任意一點坐標為C x1, 2x1 + 2 ，則 d C, B = x1 -1 + 2x1 + 2 ，
當 x1 < -1時， d C, B = -3x1 -1，此時 d C, B > 2 ；
當-1 x1 1時， d C, B = x1 + 3，此時 d C, B 2；
當 x1 >1時， d C, B = 3x1 +1，此時 d C, B > 4 ，
綜上所述， d C, B 的最小值為 2.
（3）
如圖， A B C D - E F G H 為正方體，邊長為 1，則 Ai 對應正方體的八個頂點，
當四個點在同一個面上時，
d 1+ 2 +1+1+ 2 +1 4（i）例如： A , B ,C , D ，此時 = = ；
6 3
d 2 + 3 +1+1+ 3 + 2（ii）例如： A , E ,G ,C ，此時 = = 2；6
當四個點不在同一個平面時，
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2
（iii）例如： A ,C , H , D ，此時 d = = 2；6
2 + 2 +1+1+1+ 2 5
（iiii）例如： A , B , E , D ，此時 d = = ；6 3
d 1+1+ 2 + 2 + 3 +1 5（iiiii）例如： A , B , E , H ，此時 = = ；6 3
1+ 2 + 2 + 3+1+ 2 11
（iiiiii）例如： A , B , E ,G ，此時 d = = ；6 6
綜上所述， d 的最大值為 2，例如： A1 0,0,0 ， A2 1,0,1 ， A3 1,1,0 ， A4 0,1,1 .
題型三：雙曲正余弦函數問題
x - x
【典例 3-1】（2024·高三·江蘇蘇州· e + e開學考試）定義：雙曲余弦函數 cosh x = ，雙曲正弦函數
2
x - x
sinh x e - e= ．
2
(1)求函數 y = cosh 2x + sinh x 的最小值；
(2)若函數 f x = log9 é cosh 2x - a sinh x ù 在R 上的最小值為 -1，求正實數 a的值；
sinh x 1
(3)求證：對任意實數 k ，關于 x 的方程 = kx +cosh x 2 總有實根．
2x -2x x
1 y cosh 2x sinh x e + e e - e
- x
【解析】（ ）依題意有 = + = +
2 2
1 2
= ex 1- e- x + ex - e- x +1，2 2
1 1 1 1 2
令 t = ex - e- x ，則 y = t 2 + t +1
7
=
2 2 2
t + ÷ + .
è 2 8
因為 t = ex - e- x 在 R 上單調遞增，
當 x 趨近于- 時， t趨近于- ，當 x 趨近于+ 時， t趨近于+ ，
所以 t R ，所以當 t
1
= - ex -1+ 17時，即 = 時，
2 4
函數 y = cosh 2x + sinh x 7有最小值 ．
8
（2）函數 f x = log9 é cosh 2x - a sinh x ù 在R 上的最小值為 -1，
即函數 y = cosh 2x - a sinh x 1有最小值 ．
9
e2x + e-2x a ex - e- x 因為 y = cosh 2x - a sinh x = -
2 2
1 2 a
= ex - e- x -2 2 e
x - e- x +1
x - x y 1 a 1 a
2 a2
令 t = e - e ，則 = t 2 - t +1 = t - - +1，
2 2 2 è 2 ÷ 8
1 a2 1 8
因為最小值為 ，所以- +1 = ，解得 a = ± ，
9 8 9 3
a 8所以正實數 的值為 ．
3
sinh x
（3）證明：令 p x = cosh x ，定義域為R ，
x
p x e - e
- x e2x -1 2
則 =
ex - x
= 2x =1- 2x ，+ e e +1 e +1
-2x -2x
又 p -x e -1 1- e= -2x = -2x = - p x ，所以（p x）是奇函數，e +1 1+e
因為 y = e2x 是R 上的增函數，
所以 p x =1 2- 2x 在R 上單調遞增，且當 x 趨近于+ 時， p x 趨近于 1，e +1
所以函數（p x）在R 上的值域為（-1,1），
1 1
直線 y = kx + 過定點（0, ），
2 2
1
如圖所示：無論 k 取任何實數，直線 y = kx + 與函數 p x 的圖象都有交點，
2
sinh x 1
即對任意實數 k ，關于 x 的方程 = kx +cosh x 2 總有實根．
【典例 3-2】（2024·高三·福建寧德·期末）固定項鏈的兩端，在重力的作用下項鏈所形成的曲線是懸鏈
x x
-
線.1691 c c年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程 y c(e + e )= ，其中 c為參數.當 c =1時，就是雙曲余弦函數
2
x - x x - x
cosh x e + e e - e= ，類似地我們可以定義雙曲正弦函數 sinh x = .它們與正、余弦函數有許多類似的性質.
2 2
(1)類比正弦函數的二倍角公式，請寫出雙曲正弦函數的一個正確的結論: sinh 2x = _____________.（只寫出
即可，不要求證明）；
(2)"x [-1,1]，不等式 cosh 2x + mcosh x 0 恒成立，求實數m 的取值范圍；
π 3π
(3)若 x [ , ]，試比較 cosh(sin x)與 sinh(cos x)的大小關系，并證明你的結論.
4 2
e2x - e-2x (ex - e- x )(ex - x
【解析】（1） sinh 2x + e )= = = 2sinh x cosh x .
2 2
e2x + e-2x ex + e- x
（2）依題意，"x [-1,1]，不等式 cosh 2x + mcosh x 0 + m × 0 ，
2 2
函數u = ex 在[-1,1]上單調遞增，u [e-1
1
,e] x - x，令 t = e + e = u + ，
u
顯然函數 t = u
1
+ 在[e-1,1]上單調遞減，在[1,e]上單調遞增， t [2,e-1 + e]，
u
2
又 e2x + e-2x = (ex + e- x )2 - 2 = t 2 - 2，于是"x [-1,1]， cosh 2x mcosh x 0 t - 2 mt+ + 0，
2 2
因此"t [2,e-1 + e]，m
2 2
- t，顯然函數 y = - t 在[2,e-1 + e]上單調遞減，
t t
當 t = 2時， ymax = -1，從而m -1，
所以實數m 的取值范圍是m -1 .
π 3π
（3）"x [ , ]， cosh(sin x) > sinh(cos x) .
4 2
π 3π esin x + e-sin x ecos x - e-cos x
依題意， x [ , ]， cosh(sin x) - sinh(cos x) = -
4 2 2 2
1
= (esin x - ecos x + e-sin x + e-cos x )，
2
x [π , 5π當 ]時， x
π
- [0, π]， sin x - cos x = 2 sin(x
π
- ) 0，即 sin x cos x，
4 4 4 4
于是 esin x - ecos x 0，而 e-sin x + e-cos x > 0，因此 cosh(sin x) - sinh(cos x) > 0，
x (5π , 3π當 ]時， cos x 0，則-cos x cos x， ecos x4 2 e
-cos x ，
即 ecos x - e-cos x 0，而 esin x + e-sin x > 0，因此 cosh(sin x) - sinh(cos x) > 0，
于是"x [
π , 3π]， cosh(sin x) - sinh(cos x) > 0，所以 cosh(sin x) > sinh(cos x) .
4 2
【變式 3-1】（2024·上海寶山·模擬預測）在數學中，雙曲函數是與三角函數類似的函數，最基本的雙曲函
ex - e- x x - x
數是雙曲正弦函數與雙曲余弦函數，其中雙曲正弦： sinh x = ，雙曲余弦函數： cosh x e + e= ，
2 2
（ e是自然對數的底數）.
（1）解方程： cosh x = 2；
（2）寫出雙曲正弦與兩角和的正弦公式類似的展開式： sinh x + y = ________，并證明；
5
（3）無窮數列 an ， a1 = a 2， an+1 = 2an -1，是否存在實數 a，使得 a2021 = ？若存在，求出 a的值，若不4
存在，說明理由.
2
【解析】（1）由題意得： ex + e- x = 4 ，即 ex - 4ex +1 = 0，解得： x = ln 2 ± 3 ；
（2） sinh x + y = sinh x cosh y + cosh x sinh y
ex+ y - e- x- y
左邊= sinh x + y = ，
2
ex - e- x e y + e- y ex + e- x y - y
右邊= sinh x cosh y cosh x sinh y e - e+ = +
2 2 2 2
ex+ y + ex- y - e y-x - e- x- y ex+ y + e y-x - ex- y - e- x- y ex+ y - e- x- y
= + = ，
4 4 2
∴左邊等于右邊，即 sinh x + y = sinh x cosh y + cosh x sinh y 成立
（3）當 a1 = a -1,1 時，存在q 0,p ，使得 cosq = a，
n-1
由數學歸納法證明： an = cos 2 q ，證明如下：
ⅰ）當 n =1時， a1 = a = cos 21-1q = cosq 成立，
ⅱ k -1）假設 n = k 時， ak = cos 2 q ，則 ak +1 = 2a2k -1 = 2cos2 2k -1q -1 = cos 2 2k -1q = cos 2kq 成立.
n-1
綜上： an = cos 2 q .
∴ a1 = a -1,1 ，有 an -1,1
5
，即 a2021 .4
x - x
當 a1 = a - ,-1 1,+ 時，由 a >1 cosh x e + e1 ，函數 = 的值域為 1, + ，對于任意大于 1 的實2
數 a1 ，存在不為 0 的實數m ，使得 cosh m = a1 ，類比余弦二倍角公式，猜測 cosh 2x = 2cosh
2 x -1.
證明如下：
ex + e- x
2
e2x + 2 + e-2x 2x -2x2cosh2 x 1 2 1 1 e + e- = ÷ - = - = = cosh 2x .
è 2 2 2
類比 a1 -1,1 2時的數學歸納法，由 a1 = cosh m ，易證 a2 = 2cosh m -1 = cosh 2m ，
a 23 = cosh 2 m ，…， an = cosh 2n-1m ，…，
t -t
a = cosh 22020∴若 2021 m 5= ，設 t = 22020 m，則 cosh t e + e 5 t 1= = ，解得：4 e = 2或 2 ，即 t = ± ln 2，2 4
ln 2 em + e-m 1 1 1-
∴m = ± ，于是 a = cosh m = = 22020 + 2 2020 .22020 1 2 2 ÷è
1 1 1-
綜上：存在實數 a = ± 22020 + 2 2020
5
÷ 使得 a2 2021
= 成立.
è 4
題型四：凹凸函數
【典例 4-1】（2024·江蘇蘇州·模擬預測）定義：函數 f x 的導函數為 f x ，我們稱函數 f x 的導函
數f (x ) x 2 x為函數 f x 的二階導函數.已知 p x = e x + 3 ， q x = e + ax + 2 .
（1）求函數 p x 的二階導函數；
（2）已知定義在 R 上的函數 g x 滿足：對任意 R ， g x > 0恒成立. P 為曲線 y = g x 上的任意一點.求證：
除點 P 外，曲線 y = g x 上每一點都在點 P 處切線的上方；
（3）試給出一個實數 a的值，使得曲線 y = p x 與曲線 y = q x 有且僅有一條公切線，并證明你的結論.
x 2
【解析】（1）∵ p x = e x + 3 ∴ p x = ex x2， + 2x + 3 ，
∴ p x = ex x2 + 4x + 5 .
（2）設P x0 , g x0 ，則曲線 y = g x 在點 P 處的切線方程為 y = g x0 x - x0 + g x0 ，
設G x = g x - ég x0 x - x0 + g x0 ù ，則G x = g x - g x0 ，G x = g x > 0，
∴ G x 在 - ,+ 上遞增，又G x0 = g x0 - g x0 = 0，
∴ 當 x < x0 時，G x < 0 x > x G ：當 0時， x > 0，
∴ G x 在 - , x0 遞減，在 x0 , + 遞增，
∴ "x R ， x x0，G x > G x0 = 0，
∴ g x > g x0 x - x0 + g x0 ，
∴除點 P 外，曲線 y = g x 上每一點都在點 P 處切線的上方.
（3）給出 a = 2，此時 q x = ex + 2x + 2，
∵ p x = ex x2 + 2x + 3 ，∴ p 0 = 3，又 p 0 = 3，
∴曲線 y = p x 在 x = 0如的切線為 y = 3x + 3，
∵ q x = ex + 2，∴ q 0 = 3，又 q 0 = 3，
∴曲線 y = q x 在 x = 0處的切線為 y = 3x + 3，
∴兩曲線有一條公切線 y = 3x + 3 .
下面證明它們只有這一條公切線.
①先證明"x R ， p x q x ，當且僅當 x = 0時取等號.
設 h x = p x - q x ，則 h x = p x - q x ，
∴ h x = ex x + 2 2 0，當且僅當 x = -2時取等號，
∴ h x 在 - ,+ 上遞增，又 h 0 = p 0 - q 0 = 0，
∴當 x < 0 時， h x < 0；當 x > 0時， h x > 0，
∴ h x 在 - ,0 遞減，在 0, + 遞增.
∴ "x R ， h x h 0 = 0，當且僅當 x = 0時取等號，
∴ "x R ， p x q x ，當且僅當 x = 0時取等號；
②再證明它們沒有其它公切線.
若它們還有一條公切線 y = t x ，它與曲線 y = p x 切于點 x1, p x1 ，
與曲線 y = q x 切于點 x2 ,q x2 ，顯然 x1 x2 ， p x1 = t x1 ， q x2 = t x2 .
∵ q x = ex > 0，由（2）知"x R ， q x t x ，當且僅當 x = x2時取等號，
∵ x1 x2 ∴ q x1 > t x1 = p x1 ，
又由①與 p x1 q x1 矛盾，故它們只有這一條公切線.
綜上，當 a = 2時，曲線 y = p x 與曲線 y = q x 有且僅有一條公切線.．
【典例 4-2】記 f x = f x ， f x 為 f x 的導函數．若對"x D， f x > 0，則稱函數 y = f x 為
1
D “ ” f x = ex - x3上的 凸函數 ．已知函數 - ax2 -1， a R ．
3
（1）若函數 f x 為R 上的凸函數，求 a的取值范圍；
（2）若函數 y = f x - x 在 1,+ 上有極值，求 a的取值范圍．
【解析】（1）Q f x = ex - x2 - 2ax ，
若函數 f x x為R 上的凸函數，則 f x = e - 2x - 2a > 0，即 2a < ex - 2x，
令 y = ex - 2x ， y = ex - 2，則當 x = ln 2時， y = 0，
\當 x - , ln 2 時， y < 0；當 x ln 2, + 時， y > 0；
\當 x - , ln 2 時， y = ex - 2x 單調遞減；當 x ln 2,+ 時， y = ex - 2x 單調遞增，
\ y ln 2min = e - 2ln 2 = 2 - 2ln 2，\2a < 2 - 2ln 2，解得： a <1- ln 2，
\a 的取值范圍為 - ,1- ln 2 .
（2）Q y = f x - x = ex 1- x3 - ax2 - x -1，\ y = ex - x2 - 2ax -1，
3
Q y = f x - x在 1,+ 上有極值，\ g x = ex - x2 - 2ax -1在 1,+ 有變號零點，
g x = ex - 2x - 2a，令m x = ex - 2x - 2a ，則m x = ex - 2，
Q x >1，\m x > 0，\m x 在 1,+ 上單調遞增，
\ g x = m x > m 1 = e - 2 - 2a ；
e - 2
①當 e - 2a - 2 0，即 a > 時， g x 0，\ g x 在 1,+ 上單調遞增，
2
\ g x > g 1 = e - 2 - 2a 0．即 g x > 0，
\ g x = ex - x2 - 2ax -1在 1,+ 無零點，不合題意；
a e - 2②當 e - 2a - 2 < 0，即 > 時，則$x0 1, + ，使得m x = 0，2 0
當 x 1, x0 時，，m x < m x0 = 0，\ g x 單調遞減，
又 g 1 = e - 2 - 2a < 0，當 x 1, x0 時， g x < 0，\ g x 在 x 1, x0 上無零點；
當 x x0 , + 時，m x > m x0 = 0，\ g x 單調遞增，
又 x + 時， g x + ，
\ g x 在 x 1, + 上有零點，且在零點左右兩側 g x 符號相反，即該零點為 g x 的變號零點，
\ y = f x - x在 1,+ 上有極值；
e - 2
綜上所述： a的取值范圍為 ,+ ÷ .
è 2
【變式 4-1】設 g x 為 g x 的導函數，若 g x 是定義域為 D 的增函數，則稱 g x 為 D 上的“凹函數”，
已知函數 f x = xex + ax2 + a 為 R 上的凹函數．
(1)求 a 的取值范圍；
h x ex 1(2)設函數 = - x2 - x -1，證明：當 x > 0時， h x > 0 ，當 x < 0 時， h x < 0．
2
(3)證明： f x 1> x3 45+ x2 + x 1+ ．
2 44 44
x
【解析】（1）解 f x = x +1 e + 2ax ，設 f x 為 f x 的導函數，
則 f x = x + 2 ex + 2a．
設m x = f x ，則m x = x + 3 ex ．
當 x < -3時，m x < 0 ；當 x > -3 時，m x > 0．
所以m x 在 - , -3 上是減函數，在 -3, + 上增函數．
所以m x 1= - + 2amin e3 ．
1
因為 f x 為 R 上的凹函數，所以- 3 + 2a 0 ，e
1 é 1
解得 a 3 ，故 a 的取值范圍是 ê , + 2e 2e3 ÷
．

（2）證明 h x = ex - x -1， h x ''的導函數 h x = ex -1．
若 x > 0，則 h x > 0 ，若 x < 0 ，則 h x < 0，
所以 h x 在 - ,0 上單調遞減，在 0, + 上單調遞增，
所以 h x 的最小值為 h 0 = 0，則h x 0， h x 為增函數．
又 h 0 = 0，所以當 x > 0時， h x > 0 ，當 x < 0 時， h x < 0．
1
（3）證明：由（2）知 xh x = xex - x3 - x2 - x 0，
2
xex 1即 x3 + x2 + x，
2
f x = xex + ax2 1+ a x3所以 + a +1 x2 + x + a．
2
由（1）知， a
1
3 ，因為 2.7 < e < 2.8，2e
a 1 1 1所以 > = > ，
2 2.83 43.904 44
1
所以 x3 a 1 1 1+ +1 x2 + x + a > x3 + +1

÷ x
2 + x + ，
2 2 è 44 44
f x 1 x3 45故 > + x2 1+ x + ．
2 44 44
【變式 4-2】（2024·上海普陀·一模）若函數 y = f x x D 同時滿足下列兩個條件，則稱 y = f x 在
D上具有性質M ．
① y = f x 在 D上的導數 f x 存在；
② y = f x 在 D上的導數 f x 存在，且 f x > 0（其中 f x = é f x ù ）恒成立．
1
(1)判斷函數 y = lg 在區間 0, + 上是否具有性質M ？并說明理由．
x
(2)設 a b 3 2
b
、 均為實常數，若奇函數 g x = 2x + ax + 在 x =1處取得極值，是否存在實數 c，使得
x
y = g x 在區間 c,+ 上具有性質M ？若存在，求出 c的取值范圍；若不存在，請說明理由．
1+ ln x +1
(3)設 k Z k且 k > 0，對于任意的 x 0, + ，不等式 > 成立，求 k 的最大值．
x x +1
1
【解析】（1）令 y = f x = lg ， x 0, + ，
x
f x 1 1= 1
則 1 × -è x2 ÷
= -
x ln10 ， x 0, + ln10 ，
x

f x 1 1= - x ln10 ÷ =
， x 0, + ，
è x2 ln10
當 x 0, + 時， f x 1= 2 > 0恒成立，x ln10
∴函數 y = lg
1
在區間 0, + 上具有性質M ；
x
（2）∵ g x = 2x3 + ax2 b+ ，
x
∴ g x = 6x2 b+ 2ax -
x2
，
∵ g x 在 x =1處取得極值，且 g x 為奇函數，
∴ g x 在 x=- 1處也取得極值，
ìg 1 = 6 + 2a - b = 0 ìa = 0
∴ í
g -1 = 6 - 2a - b = 0
，解得 í ，
b = 6
g x 2x3 6 6∴ = + g x = 6x2 - = 6x2 - 6x-2， 2 ，x x
當 x > 0時，令 g x > 0，解得 x >1；令 g x < 0，解得0 < x <1；
故 g x 在 0,1 單調遞減，在 1, + 單調遞增，滿足 g x 在 x =1處取得極值，
g x 12x 12x-3 12x 12∴ = + = + 3 ，x
當 x 0, + g x 12x 12時， = + 3 > 0 恒成立，x
∴存在實數 c 0, + ，使 g x > 0在區間 c, + 上恒成立，
∴存在實數 c，使得 y = g x 在區間 c, + 上具有性質M ， c的取值范圍是 0, + ；
（3）∵ x 0, + ，
1+ ln x +1 k x +1∴ > k < é1+ ln x +1 ù ，
x x +1 x
x +1 é1+ ln x +1 ù令F x = ，
x
x - ln x +1 -1則F x = 2 ，x
令G x = x - ln x +1 -1，
則G x 1 x=1- = ，
x +1 x +1
當 x 0, + 時，G x > 0，G x 在區間 0, + 上單調遞增，
又∵ G 2 =1- ln 3 < 0，G 3 = 2 - ln 4 > 0，
∴存在 x0 2,3 ，使G x0 = x0 - ln x0 +1 -1 = 0，
∴當 x 0, x0 時，G x < 0，F x < 0，F x 在區間 0, x0 上單調遞減，
當 x x0 ,+ 時，G x > 0，F x > 0，F x 在區間 x0 ,+ 上單調遞增，
∴當 x 0, + 時，F x
x +1 é1+ ln x +1 ù
的最小值為F x0 = 0 0 ，x0
由G x0 = x0 - ln x0 +1 -1 = 0，有 ln x0 +1 = x0 -1，
x0 +1 é1+ x0 -1 ù∴ F x0 = = x0 +1，x0
∵ x0 2,3 ，∴ F x0 3,4 ，
x +1 é 1+ ln x +1 ù又∵ k < = F x 恒成立，
x
∴ k < F x0 ，
∵ k Z 且 k > 0，
∴ k 的最大值為3 .
題型五：二元函數問題
【典例 5-1】（2024·高三·湖南·階段練習）設A 是有序實數對構成的非空集， B 是實數集，如果對于集合A
中的任意一個有序實數對 x, y ，按照某種確定的關系 f ，在 B 中都有唯一確定的數 z 和它對應，那么就稱
f : A B為從集合A 到集合 B 的一個二元函數，記作 z = f x, y , x, y A，其中A 稱為二元函數 f 的定
義域.
r r r r r r(1)已知 f x, y = x2 + y2 ,a = x1, y1 ,b = x2 , y2 ，若 f a =1, f b = 2, x1x2 + y1 y2 =1，求 f a + b ;
u x , y x, y D, D A,h 0 ar(2)非零向量 = 0 0 ，若對任意的 > ，記 = x, y ，都有 f a
r < f ar + hu ，則稱 f
D u x+ y x- y在 上沿 方向單調遞增.已知 f x, y = e + e , x R, y R .請問 f 在 x, y ∣x, y R 上沿向量 1,1 方向
單調遞增嗎？為什么？
(3)設二元函數 f 的定義域為 D，如果存在實數M 滿足：
①" x, y D ，都有 f x, y M ，
②$ x0 , y0 D，使得 f x0 , y0 = M .
那么，我們稱M 是二元函數 f 的最小值.求
f x, y = y + sin2x 1 + - y ÷cos2x, x, y
ì
í x, y∣ , x 1 R, y 2üy 的最大值. è 2
r r r
【解析】（1）由已知有 f ar r= a =1, f b b 2,ar= = ×b =1，
r r
則 f a + b r r r r r r= a + b = a2 + 2a ×b + b 2 = 7 ；
（2） x, y R,h > 0,a
r
= x, y ,u = 1,1 ，
\ar + hu = x + h, y + h , x + y + 2h > x + y ，
x+ y x- y
又Q f x, y = e + e ，
r
\ f a + hu - f ar = ex+h+ y+h + ex+h- y-h - ex+ y - ex- y = ex+ y+2h - ex+ y > 0，
故 f 在 x, y∣ x, y R 上沿向量 1,1 方向單調遞增；
（3）由題意可類似的知道 f x, y 的最大值的含義，
f x, y y sin2x 1= + + - y

÷cos
2x
è y
1
= y2sin2x + 2ysinxcosx + cos2x 1= (ysinx + cosx)2y y
y2 +1 1
= sin2 x +j ，其中 tanj = y ，y
（或者直接使用柯西不等式，
(ysinx + cosx)2 y2 +1 sin2x + cos2x y sinx，當且僅當 = 時取等號.）
1 cosx
故 f x, y 1 y + ，當 x +j = kπ π+ ,k Zy 時取等號，（或當 tanx = y 時取等號），2
1
又 y 2
1
，根據對勾函數單調性易知當 y = 或 2 時，函數 f x, y 5取最大值為 .
2 2 2
【典例 5-2】（2024·江蘇鹽城·模擬預測）根據多元微分求條件極值理論，要求二元函數 z = f (x, y)在約束
條件 g(x, y) 的可能極值點，首先構造出一個拉格朗日輔助函數 L(x, y,l) = f (x, y) + lg(x, y)，其中l 為拉格
朗日系數．分別對 L(x, y,l) 中的 x, y, λ部分求導，并使之為 0，得到三個方程組，如下：
ìLx (x, y,l) = fx (x, y) + lgx (x, y) = 0

íLy (x, y,l) = f y (x, y) + lg y (x, y) = 0，解此方程組，得出解 (x, y)，就是二元函數 z = f (x, y)在約束條件

Ll (x, y,l) = g(x, y) = 0
g(x, y) 的可能極值點． x, y 的值代入到 f (x, y)中即為極值．
補充說明：【例】求函數 f (x, y) = x2 + xy + y2關于變量 x 的導數．即：將變量 y 當做常數，即：
fx (x, y) = 2x + y ，下標加上 x ，代表對自變量 x 進行求導．即拉格朗日乘數法方程組之中的 Lx , Ly , Ll 表示
分別對 x, y, λ進行求導．
(1)求函數 f (x, y) = x2 y2 + 2xy + xy2關于變量 y 的導數并求當 x =1處的導數值．
(2)利用拉格朗日乘數法求：設實數 x, y 滿足 g(x, y) = 4x2 + y2 + xy -1 = 0 ，求 f (x, y) = 2x + y 的最大值．
(3)①若 x, y, z為實數，且 x + y + z =1 2 2 2
1
，證明： x + y + z ．
3
1 1
②設 a > b > c > 0 2 2，求 2a + + -10ac + 25cab a(a b) 的最小值．-
【解析】（1）函數 f (x, y) = x2 y2 + 2xy + xy2，對變量 y 求導得： f y (x, y) = 2x
2 y + 2x + 2xy，
當 x =1時， f y (1, y) = 4y + 2 .
（2）令 L(x, y,l) = 2x + y + l(4x2 + y2 + xy -1) ，
ì ì
x 10 x 10 = - =
L (x, y,l) 2 8lx l y 0 10 10ì x = + + =

則 íLy (x, y,l) =1+ 2l y + lx 0
10= 10，解得 íy = - 或 íy = ，
5 5
Ll (x, y,l) = 4x
2 + y2 + xy -1 = 0
l
10 10
= l = -
5 5
f (x, y) g(x, y) = 0 ( 10 , 10 ) ( 10 , 10于是函數 在約束條件 的可能極值點是 - - ， )，
10 5 10 5
10
當 x = - , y 10 10 10 2 10= - 時，函數 f (x, y)的一個極值為函數 f (- , - ) = - ，
10 5 10 5 5
x 10 , y 10當 = = 時，函數 f (x, y) f ( 10 , 10 ) 2 10的一個極值為函數 = ，
10 5 10 5 5
4
方程 4x2 + y2 + xy -1 = 0視為關于 x 的方程： 4x2 + yx + y2 -1 = 0 D = y2，則 1 -16(y
2 -1) 0，解得 | y | ，
15
視為關于 y 的方程： y2
2
+ xy + 4x2 -1 = 0 2 2，則D2 = x - 4(4x -1) 0，解得 | x | ，15
2 10 2 10
因此函數 z = f (x, y)對應的圖形是封閉的，而 > - ，
5 5
所以 f (x, y) 2 10的最大值為 .
5
（3）①由 x + y + z =1， x, y, z R
1 1
，設 x = + l1, y = + l , z
1
2 = - (l1 + l2 ),l1,l2 R ，3 3 3
則 x2 y2 z2 (
1 1 1 1 1
+ + = + l 21) + ( + l )
2 + [ - (l + l )]2 = + l 2 + l 2 + (l + l )2 ，
3 3 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3
當且僅當l1 = l2 = 0時取等號，
x2 1所以 + y2 + z2 .
3
1 1 (a - b) + b
②當 a > b > c > 0時， 2a2 + + -10ac + 25c2 = a2 + + (a - 5c)2ab a(a - b) ab(a - b)
a2 1 a2 1 4
ìa = 5c
+ + = a2 + 2 a2 4× = 4
b(a - b) b + a - b a22 a2 ，當且僅當( ) í
b = a - b時取等號，
2 a = 2
2 1 1
所以5c = 2b = a = 2 時， 2a + + -10ac + 25c
2
ab a(a b) 取得最小值 4.-
【變式 5-1】（2024·全國·模擬預測）已知變量 x，y，z，當 x，y 在某范圍 D 內任取一組確定的值時，若變
量 z 按照一定的規律 f，總有唯一確定的 x，y 與之對應，則稱變量 z 為變量 x，y 的二元函數，記作
z = f x, y ．已知二元函數 f x, y = 2x 1+ y 0 y ．
(1)若 xy > 0，求 f x, y × f 1 1 , ÷的最小值．
è x y
(2)對任意實數 x，不等式 f x,a + f x, 2a a 恒成立，求實數 a 的取值范圍．
1
【解析】（1）依題意得 f x, y × f ,
1 2x 1 2= + × + y 2÷ = 2xy + + 5．
è x y è y
÷ ÷
è x xy
∵ xy > 0，∴ 2xy
2
+ + 5 2 2xy 2× + 5 = 9，
xy xy
2
當且僅當 2xy = ，即 xy = 1時 f x, y 1 1× f ,xy ÷取得最小值為 9．è x y
（2） f x,a + f x, 2a 1 1= 2x + + 2x + 2x 1 2x 1 1+ - + = ．
a 2a a ÷ ÷è è 2a 2a
∵ f x,a + f x, 2a a 恒成立，∴ a 1 ，
2a
a 1當 a < 0時， 恒成立．
2a
1 1 2
當 a > 0時， a 等價于0 < a ，解得
2a 0 < a
．
2a 2
2 ù
綜上，實數 a 的取值范圍是 - ,0 U 0, ú．
è 2
題型六：切線函數新定義
【典例 6-1】若兩個函數 y = f x 與 y = g x 在 x = x0處有相同的切線，則稱這兩個函數相切，切點為
x0 , f x0 .
(1)判斷函數 y = sin x 與 y = x 是否相切；
y 1 y = ax2 + bx a 0 t,1 y 1(2)設反比例函數 = x 與二次函數 相切，切點為 ÷ .求證：函數 =
2
x 與 y = ax + bx 恰è t
有兩個公共點；
(3)若 0 < a < 1，指數函數 y = a x 與對數函數 y =loga x相切，求實數 a的值；
(4)設（3）的結果為 a0，求證：當0 < a < a x0 時，指數函數 y = a 與對數函數 y =loga x的圖象有三個公共點.
【解析】（1）對于函數 y = sin x ，求導得 y = cos x，則 y x=0 =1，且 y x=0 = 0，
所以，曲線 y = sin x 在 x = 0處的切線方程為 y = x ，
因此，函數 y = sin x 與 y = x 相切.
1
（2 2）反比例函數 y = 與二次函數 y = ax + bx a 0 在 x = tx 處有相同的切線，
1 1
對函數 y = y = - 2x 求導得 2 ，對函數
y = ax + bx a 0 求導得 y = 2ax + b ，
x
ì1 = at 2 + bt t 2b
所以 í 1 ，可得3at
3 + 2bt 2 = 0，因為 t 0，則 t = - ，
- 2 = 2at + b
3a
t
1 2 2 2
代入 = at 2 + bt 3a 4b 2b 2b可得- = - = - ，所以，
t 27a
2 = 4b3，
2b 9a 3a 9a
1 2 2b
此時令 = ax + bx得 ax3 + bx2 -1 = 0，它的一個解為 x1 = t = - ，x 3a
2b 2 1 2b2
所以，方程 ax3 + bx2 -1 = 0可化為 x + ÷ ax + bx - ÷ = 0，
è 3a è 3 9a
2b b
解得 x2 = - ， x3 = ，3a 3a
t
所以，方程 ax3 + bx2 -1 = 0的三個解為 x1 = x2 = t ， x3 = - ，2
y 1即函數 = y = ax2 + bx a 0 t,1 t 2- , - .x 與函數 的兩個公共點分別為 t ÷、 è è 2 t ÷
（3）設指數函數 y = a x 與對數函數 y =loga x在 x = x0處有相同的切線，
1
對函數 y = a x 求導得 y = a x ln a ，對函數 y =loga x求導得 y = ，x ln a
ìa x0 = log x
a 0
由題意可得 í x 1 ，令 a
x 10 ln a = = t
a ln a x ln a ，0 =
x0 ln a
0
ìa x0 = log x ìx t
a 0 0
= loga ÷
è ln a
方程組 ía x 1 等價于 ，0 ln a =
í
x
1
0 ln a
x0 = t ln a
因此即 log
t 1
a = ，
è ln a ÷ t ln a
1 1 1 t 1
而 = loga e = log t

a e ，所以 logt ln a t a ÷
= log e t ，
è ln a a
t 1 t
1
t
t
即 = e t ，得 ln a = 1 ，所以， 1 ①，則 1 e ，②
ln a e t a = ee
t x0 = =t ln a t 2
1 1 1
e t t t
t t2 ln e e1 1 ln
將①②代入 a x0 = log x 得 ee t ÷ ln x
2 2
= 0 t t ta 0 e =
÷
=
÷ ln a t
，化簡得 t ，
è 1 1
e t e t
1
所以， t = ln e t - ln t 2 1= - ln t 2 ，
t
因為 0 < a < 1，則函數 y = a x 為嚴格減函數，則 t = a x0 ln a < 0 ，
t 1 1故 = - 2ln -t ，即 t - + 2ln -t = 0 ，
t t
構造函數 f t 1= t - + 2ln -t ，其中 t < 0，
t
2
則 f t =1 1 2+ + = 2 1
1
+ ÷ 0且 f t 不恒為零，t t è t
1
所以，函數 f t = t - + 2ln -t 在 - ,0 上為增函數，且 f -1 = 0，
t
t 1故方程 - + 2ln -t = 0 的唯一解為 t = -1，
t
1
t
t
因此， 1 ， e 1 .
a = ee t = e-e x0 = 2 =t e
（4）證明：設函數 g x = a x - loga x ，其中0 < a < e-e 且 x > 0，
1- x ×a
x × ln a 2
求導得 g x = a x ln a 1 - = ，
x ln a -x ln a
令 h x =1- xa x × ln a 2 ，則 h x = -a x ln a 2 × 1+ x ln a ，
令 h x = 0 1可得 x = - = - loga e，ln a
由 h x < 0可得0 < x < - loga e，由 h x > 0可得 x > - loga e ，
所以，函數 h x 在 0, - loga e 上為減函數，在 - loga e, + 上為增函數，
所以， h x ln a= h - loga e =1+min .e
-e h x 1 ln a因為0 < a < e ，則 = + < 0min ，e
因為 h 0 =1 > 0，所以，函數 h x 在 0, - loga e 內有一個零點，
在 - loga e, + 內取 x =1，則 h 1 =1- a ln a 2 ，
令j a = a ln a 2 ，其中0 < a < e-e ，則j a = ln a ln a + 2 ，
因為0 < a < e-e ，則 ln a < -e，則 ln a + 2 < -e + 2 < 0，所以，j a = ln a ln a + 2 > 0，
j a 0,e-e所以， 在 上單調遞增，且j a < j e-e = e2-e <1，所以， h 1 =1- a ln a 2 > 0，
所以，函數 h x 在 - loga e, + 內也存在一個零點，
所以，函數 g x 在 0, + 內共有兩個零點，不妨設為x1、x2，且 x1 < x2，
當0 < x < x1 或 x > x2 時， g x > 0；當 x1 < x < x2 時， g x < 0，
所以，函數 g x 有一個極大值 g x1 和一個極小值 g x2 ，
下面證明 g x1 > 0， g x2 < 0，
設函數 y = a x 與直線 y = x 的交點為 x3 , x3 ，
x x
所以， x 為函數 y = a x - x 的一個零點，所以， a 3 = x ，則 x = log x ，所以 a 33 3 3 a 3 = loga x3，
所以， x x3 也為函數 g x = a - loga x 的一個零點，
x ln x
所以， a 3 = x3， x3 = log 3a x3 = ，ln a
1
當0 < a < e-e 時，函數 y = a x 為減函數，則函數 y = a x - x
1
也為減函數，且 a e < ，
e
1 1
因為 a e 1- < 0 = a x3 - x ，所以， x < ，
e 3 3 e
1- x3a
x3 × ln a 2 1- ln x 2
所以， g x = = 3 < 0，所以， x3 x1, x3 2 ，且 g xx ln a x ln a 3
= 0，
- 3 - 3
所以， g x1 > 0， g x2 < 0，
因為 g 1 = a > 0 = g x3 且 x3 <1，
所以，函數 g x 在 x3 ,1 內有一個零點，也是 x3 ,+ 上的唯一零點，
a
同理 g a = a -1 < 0 = g x x3 ，且 x3 = a 3 > a ，
所以，函數 g x 在 a, x3 內有一個零點，也是 0, x3 內的唯一零點，
x
綜上所述，當0 < a < e-e 時，函數 g x = a - loga x 共有三個零點.
【典例 6-2】對給定的在定義域內連續且存在導函數的函數 f x ，若對在 f x 定義域內的給定常數 a，存
*
在數列 an 滿足 a1在 f x 的定義域內且 a1 > a ，且對"n 2,n N , y = f x 在區間 a, an-1 的圖象上有且
僅有在 x = an 一個點處的切線平行于 a, f a 和 an-1, f an-1 的連線，則稱數列 an 為函數 f x 的“ a關
聯切線伴隨數列”.
(1)若函數 f x = x2 ，證明："a R, f x 都存在“ a關聯切線伴隨數列”；
(2)若函數 g x = x -1 3，數列 an 為函數 g x 的“1 關聯切線伴隨數列”，且 a1 = 3 +1，求 an 的通項公
式；
(3)若函數 h x = mx3 + 6sinx ，數列 bn 為函數 h x 的“b 關聯切線伴隨數列”，記數列 bn 的前 n項和為 Sn ，
證明：當m 1,b 0時， Sn + bn n -1 b + 2b1 .
【解析】（1）因為 f x = x2 ，則 f x = 2x，
f a f an-1 - f a a
2
n-1 - a
由題意可得： n = = = aa - a a - a n-1
+ a，
n-1 n-1
則2an = an-1 + a ，即 2 an - a = an-1 - a ，且 a1 - a > 0，
可知數列 an - a 為以 a1 - a 1為首項， 2 為公比的等比數列，
顯然這樣的數列對于給定的 a1 > a 是存在的，
所以"a R, f x 都存在“ a關聯切線伴隨數列”.
（2）因為 g x = x -1 3，則 g x = 3 x -1 2 ，
g an-1 - g 1 a
3
設 g a = = n-1 -1 n = a -1
2 2
，即3 a -1 = a -1 2 ，
an-1 -1 an-1 -1
n-1 n n-1
由題意可知： an >1，則 an -1 > 0，
可得 3 an -1 = an-1 -1 ，且 a1 -1 = 3 0，
可知數列 an -1 為以 a1 -1 = 3 3為首項， 為公比的等比數列，3
n-1
3 1 n- n
可得 an -1 = 3 ÷÷ = 3
2 ，所以數列通項公式為 1- 2 .
è 3
an = 3 +1
（3）先證明b + bn < 2bn+1，
h b - h b
設函數 s x = h x n - x, x b,b ，
bn - b
n
s b s b s x hh x bn - h b 則 n = ， = - ，則 s bb - b n+1 = 0，n
定義 h x 的導函數為 h x ,h x 的導函數為 h x ，
則 h x = 6mx - 6sinx, h x = 6m - 6cosx 6 - 6cosx 0, h x h 0 = 0，
且 s x = h x ， s x = h x ，
令w x = s bn+1 + x - s bn+1 - x x 0 ，則w x = s bn+1 + x + s bn+1 - x ，
w x = s bn+1 + x + s bn+1 - x , w x = s bn+1 + x - s bn+1 - x ，
因為w x = s bn+1 + x + s bn+1 - x 0，
可知w x 在 0, + 內單調遞增，則w x w 0 = 0，
同理得w x w 0 = 0，w x w 0 = 0，
故 s bn+1 + x > s bn+1 - x (x > 0) ，
又 h x h 0 = 0, s x s 0 = 0, s x 在 0, + 內單調遞增，
在 b,bn+1 有 s x < 0, bn+1,bn 有 s x > 0
因此取 x = bn - bn+1，有 s b = s bn > s 2bn+1 - bn ，
又 s x 在 b,bn+1 單調遞減，在 bn+1,bn 單調遞增，
故b + bn < 2bn+1，
當 n =1時， Sn + bn = 2b1 ，符合題意；
當 n 2時，b + b1 < 2b2 ,b + b2 < 2b3 , × × ×,b + bn-1 < 2bn，
累加可得 n -1 b + b1 + b2 + ×××+ bn-1 < 2b2 + 2b3 + ×××+ 2bn ，
整理得 n -1 b + b1 < b2 + b3 + ×××+ +bn-1 + 2bn ，
所以 n -1 b + 2b1 < b1 + b2 + b3 + ×××+ +bn-1 + 2bn = Sn + bn ；
綜上所述： Sn + bn n -1 b + 2b1 .
【變式 6-1】（2024·廣西·二模）定義：若函數 f x 圖象上恰好存在相異的兩點P,Q 滿足曲線 y = f x
在 P 和Q處的切線重合，則稱P,Q 為曲線 y = f x 的“雙重切點”，直線 PQ為曲線 y = f x 的“雙重切線”.
y x 5 1(1)直線 = - 2是否為曲線 f x = x - 2x + 2lnx的“雙重切線”，請說明理由；
2 2
ì ex+1, x 0,

(2)已知函數 g x = í 4 求曲線 y = g x 的“雙重切線”的方程；
6 - , x > 0, x
(3)已知函數 h x = cosx，直線 PQ為曲線 y = h x 的“雙重切線”，記直線 PQ的斜率所有可能的取值為
k 15k1, k2 ,L,kn ，若 k1 > k2 > ki i = 3,4,5,L, n 1，證明： 【解析】（1）不是，理由如下：
由已知 f (x) = x 2
2
- + ，由 f (x) = x
2
- 2 + =1解得 x1 =1， x2 =2，x x
f (1) 3 3又 = - ， f (2) = 2ln 2 - 2 ，不妨設切點為P(1,- ) ，Q(2, 2 ln 2 - 2)，
2 2
3 5
在點 P 處的切線的方程為 y + = x -1，即 y = x - ，
2 2
在點Q的切線方程為 y - 2ln 2 + 2 = x - 2，即 y = x - 4 + 2ln 2
5
與直線 y = x - 不重合，
2
所以直線 y = x
5
- 不是曲線 f x 1= x2 - 2x + 2lnx的“雙重切線”．
2 2
ìex+1, x 0
g (x) = 4（2）由題意 í 4 ，函數 y = ex+1(x 0)和 y = (x > 0) 都是單調函數，
2 , x > 0 x
2
x
則可設切點為P(x1, y1),Q(x2 , y2 ) ，且 x1 0 < x2 ，
所以在點 P 處的切線的方程為 y - ex1 +1 = ex1 +1(x - x1)，
4 4
在點Q的切線方程為 y - (6 - ) = (x - x )x2 x
2 2 ，
2
ìex1 +1 4 = 2 x2 1
所以 í 4 4 ，消去
x2得 x
(x1 +1)e 1 +1(x1 -1) - 4e2 + 6 = 0， ex1 +1(1- x
1
) = 6 - -
x2 x2
1
設 t(x) = ex+1
(x+1)
(x -1) - 4e2 + 6（ x 0 ），
1
則 x+1 (x 1
1
+ ） (x+1) 1 (x+1)
t (x) = xe - 2e2 = e2 [xe2 - 2] < 0，所以 t(x)是減函數，
又 t(-1) = 0，所以 t(x) = 0在 x 0 時只有一解 x=- 1，
1
所以方程 x +1 (x +1)e 1 (x -1) - 4e2 1 + 6 = 0的解是 x1 = -1，從而 x1 2 =2，
在點 P(-1,1)處切線方程為 y -1 = x +1，即 y = x + 2 ，
在點Q(2, 4)處的切線方程為 y - 4 = x - 2，即 y = x + 2 ，
所以“雙重切線”方程為 y = x + 2 ；
（3）證明：設 k1對應的切點為 (x1, cos x1), (x 1 , cos x1 )， x1 < x 1 ， k2 對應的切點為 (x 2 , cos x2 ), (x2 .cos x 2 )，
x 2 < x2 ，
由于 (cos x) = -sin x，所以 k = -sin x = -sin x 1 1 1 ， k2 = -sin x = -sin x 2 ，
π
由余弦函數的周期性，只要考慮-π < x2 < x1 < - 的情形，又由余弦函數的圖象，只需考慮2 x

1 + x1 = π，
x2 + x 2 = 3π情形，
k cos x

1 - cos x cos(π - x ) - cos x -2cos x cos x - cos x cos(3π - x ) - cos x -2cos x則 = 1 = 1 1 = 1 ， k = 2 2 = 2 2 21 2 = ，
x 1 - x (π - x1) - x1 π - 2x1 1 x - x (3π - x2 ) - x2 3π - 2x2 2 2
π
其中-π < x2 < x1 < - ，2
3π
k cos x - x
所以 1 = 1 × 2
2
，
k2 cos x π2 - x
2 1
k -2cos x= 1 = -sin x k -2cos x= 2又 1 1， 2 = -sin xπ - 2x1 3π - 2x
2 ，
2
即 cos x
π 3π
1 = ( - x1)sin x1， cos x2 = ( - x2 )sin x2 ，2 2
π π- < x < - 時， sin x < 0， cos x < 0，
2
F (x) cos x π π
2
= + x - -π < x < - F (x ) = 0 F (x) -sin x - cos
2 x 1 1 1 cos
2 x
令 （ ），則 ， = + = - + = - < 0，
sin x 2 2 1 sin2 x sin2 x sin2 x
F (x) π 5π 5π π 5π在 (-π,- )上單調遞減，又F (- ) = 3 - - < 0，所以-π < x < - ，
2 6 6 2 1 6
π x x 5π
cos x
所以- < 2 <
1
1 < - ，此時-1 < cos x2 < cos x1 < 0，則0 < <16 cos x
，
2
3π
k cos x - x
3π x 3π2 - 2 - (-π)
所以 1 = 1
15
× 2 2 2
k cos x π
< < = ．
2 2 - x π x π ( 5π1 - 1 - - )
8
2 2 2 6
【變式 6-2】（2024·高三·貴州貴陽·開學考試）牛頓迭代法是牛頓在 17 世紀提出的一種在實數域和復
數域上近似求解方程的方法．比如，我們可以先猜想某個方程 f x = 0的其中一個根 r 在 x = x0的附近，如
圖所示，然后在點 x0 , f x0 處作 f x 的切線，切線與 x 軸交點的橫坐標就是x1，用x1代替 x0 重復上面的
過程得到x r2；一直繼續下去，得到 x0 ，x1，x2，……， xn ．從圖形上我們可以看到x1較 x0 接近 ，x2較
x 接近 r1 ，等等．顯然，它們會越來越逼近 r ．于是，求 r 近似解的過程轉化為求 xn ，若設精度為e ，則
把首次滿足 xn - xn-1 < e 的 xn 稱為 r 的近似解．
f x = x3已知函數 + a - 2 x + a， a R ．
(1)當 a =1時，試用牛頓迭代法求方程 f x = 0滿足精度e = 0.5的近似解（取 x0 = -1，且結果保留小數點
后第二位）；
(2)若 f x - x3 + x2lnx 0，求 a的取值范圍．
3
【解析】（1）當 a =1時， f x = x - x +1，則 f x = 3x2 -1，
曲線 f x 在 x0 = -1處的切線為 y -1 = 2 x +1 x1 = -1.5，且 x1 - x0 0.5
f x x 1.5 y 7 23 x 3 31曲線 在 1 = - 處的切線為 + = + x = - ，且 x - x < 0.58 4 2 ÷ 2è 23 2 1
故，用牛頓迭代法求方程 f x = 0滿足精度e = 0.5的近似解為-1.35．
a - 2
（2）由 x > 0，得 f x - x3 + x2lnx 0 lnx a+ + 2 0，x x
設 g x lnx a - 2 a= + + ，
x x2
1 a - 2 2a x
2 + 2 - a x - 2a x + 2 x - ag x 則 = - 2 - 3 =x x x x3 = x3
∴當 a 0時， g x > 0， g x 單調遞增，由于 x 0 時， g x - ，不合題意；
當 a > 0時，則有 x 0, a ， g x < 0， g x 單調遞減， x a,+ ， g x > 0， g x 單調遞增，
a - 2 a a -1 1
即 g x g a = lna + + 2 = lna + ，即 f x 0 lna +1- 0a a a a
易知 g a 單調遞增，且 g 1 = 0，故 f x 0 g a g 1 a 1.
題型七：非典型新定義函數
【典例 7-1】（2024·湖南長沙·二模）極值的廣義定義如下：如果一個函數在一點的一個鄰域（包含該點
的開區間）內處處都有確定的值，而以該點處的值為最大（小），這函數在該點處的值就是一個極大（小）
值.
y = f x x + Dx f x0 + Dx - f x 對于函數 ，設自變量 x 從 x0 變化到 0 ，當Dx > 0， lim 0 是一個確定的值，
Dx 0 Dx
則稱函數 y = f x f x在點 x 處右可導；當Dx < 0， lim 0 + Dx - f x0 0 是一個確定的值，則稱函數
Dx 0 Dx
y = f x 在點 x0 處左可導.當函數 y = f x 在點 x0 處既右可導也左可導且導數值相等，則稱函數 y = f x
在點 x0 處可導.
(1)請舉出一個例子，說明該函數在某點處不可導，但是該點是該函數的極值點；
2
(2)已知函數 f x = x2eax +1 - x3 sin x - ex2 .
（ⅰ）求函數 g 2x = eax +1 - x sin x - e在 x = 0處的切線方程；
（ⅱ）若 x = 0為 f x 的極小值點，求 a 的取值范圍.
【解析】（1） y = x ， x = 0為該函數的極值點，
f 0 + Dx - f 0 Dx - 0
當Dx > 0， lim lim lim Dx= = =1，
Dx 0 Dx Dx 0 Dx Dx 0 Dx
f 0 + Dx - f 0 Dx - 0Dx < 0 lim lim -Dx當 ， = = lim = -1，
Dx 0 Dx Dx 0 Dx Dx 0 Dx
則該函數在 x = 0處的左導數為 -1，右導數為 1，
所以該函數在 x = 0處不可導.
（2）（ⅰ）根據題意， g(0) = 0，則切點 0,0 ，
2又 g x = 2axeax +1 - sin x - x cos x，則 k = g (0) = 0，
所以切線方程為 y = 0 ；
（ⅱ） f
2 2
x = x2eax +1 - x3 sin x - ex2 = x2 eax +1 - x sin x - e ，
因為當 x 0時， x2 > 0，故 f x 與 g x 同號，
ax2g x = e +1 - x sin x - e，先考察 g x 的性質，
由于 g x 為偶函數，只需分析其在 0, + 上的性質即可，
2g x = 2axeax +1 - sin x - x cos x， g 0 = 0,，
2
設m x = 2axeax +1 - sin x - x cos x, x 0,+ ，
則m x 2= 2a + 4a2x2 eax +1 - 2cos x + x sin x ，m 0 = 2ae - 2，
則必有m 0 = 2ae - 2 1≥0 ，即 a .
e
1
①否則，若m 0 = 2ae - 2 < 0，即 a < ，
e
則必存在一個區間 0, m ，使得m x < 0 ，
則 g x 在 0, m 單調遞減，又 g 0 = 0，
則 g x 在區間 0, m 內小于 0，則 g x 在 0, m 單調遞減，
又 g 0 = 0，故 g x 在區間 0, m 內小于 0，
故 f x 在區間 0, m 內小于 0，
則 x = 0不可能為 f x 的極小值點.
a 1
1 2
②當 x +1時，
e g x
2
= eax +1 - x sin x - e≥ ee - x sin x - e，
1 1x2
2
+1 2x x +1
令 h x = ee - x sin x - e ， h x = ee - sin x - x cos x ，e
2x 1 x2 +1
令 s x = ee - sin x - x cos x ，
e
1 x2 +1
則 s x 2 4= 2 + e
è e e2
x ÷e - 2cos x + x sin x，

y 2 4
1 x22 +1
易知 = + 2 x ÷ee 在區間 0, + 上單調遞增，è e e
對 y = -2cos x + x sin x ， y = 2sin x + sin x + x cos x = 3sin x + x cos x，
則 y = 3sin x + x cos x 0,
π
在區間 ÷上大于 0，
è 2
故 y = -2cos x + x sin x
π
在區間 0, 2 ÷上單調遞增.è
s x 2 4= + x2
1 x2 +1
故 2 ÷ee - 2cos x + x sin x
0, π 在區間
e e 2 ÷
上單調遞增.
è è
又 s 0 = 0，故 s x 0，
故 h x
π
在區間 0, 2 ÷上單調遞增，è
又 h 0 = 0，故h x 0，故 h x 0, π 在區間 2 ÷上單調遞增，è
又 h 0 = 0，故 h x > 0 ， x 0, π 2 ÷ ，è
則 g x 2= eax +1 - x sin x - e≥ h x > 0， x 0,
π
÷ ，
è 2
x π 故當 0, ÷ 時， f x > 0，
è 2
x π由偶函數知 - ,0

÷時， f x > 0，
è 2
故 x = 0為 f x 的極小值點，
1
所以 a 的取值范圍為 a .
e
【典例 7-2】（2024·高三·重慶·期中）若函數 f x 在定義域內存在兩個不同的數 x1, x2 ，同時滿足
f x1 = f x2 ，且 f x 在點 x1, f x1 , x2 , f x2 處的切線斜率相同，則稱 f x 為“切合函數”
(1) f x = x3證明： - 2x 為“切合函數”；
(2) g x = xlnx - x2若 + ax 為“切合函數”，并設滿足條件的兩個數為 x1, x2 ．
1
（ⅰ）求證： x1x2 < ；4
2 3
（ⅱ）求證： a +1 x1x2 - x1x2 < ．4
【解析】（1）假設存在兩個不同的數 x1, x2 ，滿足題意，
易知 f x = 3x2 - 2，由題意可得
f x1 = f x2 ，
3 3
即 x1 - 2x1 = x2 - 2x2 ，
x3 - 2x - x3 - 2x = 0 x3 - x3 - 2 x - x = 0 x - x x2 + x x + x21 1 2 2 ， 1 2 1 2 ， 1 2 1 1 2 2 - 2 x1 - x2 = 0，
x1 - x 22 x1 + x x 21 2 + x2 - 2 = 0，
又 x1 x2 ，
2 2
所以 x1 + x1x2 + x2 - 2 = 0 .
因為 f x1 = f x 2 22 ，即3x1 - 2 = 3x2 - 2，
x2 2化簡可得 1 = x2 ，又 x1 x2 ，
所以 x1 = -x2，
2 2
代入 x1 + x1x2 + x2 - 2 = 0，
可得 x1 = - 2, x2 = 2 或 x1 = 2, x2 = - 2 ，
3
所以 f x = x - 2x 為“切合函數”.
（2）由題意知 g x = lnx - 2x + a +1，
因為 g x = xlnx - x2 + ax 為“切合函數”，
故存在不同的數 x1, x2 (不妨設0 < x1 < x2 )使得
ìg x1 = g x2
í
g x1 = g x
，
2
ìx 2 2
í 1
lnx1 - x1 + ax1 = x2lnx2 - x2 + ax2
即 ，
lnx1 - 2x1 + a +1 = lnx2 - 2x2 + a +1
ìa x= 1lnx1 - x2lnx2 + x2 + x1 1 x2 - x1
整理得 í1 x x ， 2 -= 1 2
2 lnx2 - lnx1
x - x
ⅰ 2 1（ ）先證 > x xlnx - lnx 1 2 ，2 1
x2 - x1
即 > lnxx x 2
- lnx1，
1 2
x2 x x- 1 > ln 2 ，
x1 x2 x1
t x令 = 2 ，則由0 < x < x ，知 t > 1，
x 1 21
x2 x x要證 - 1 > ln 2
1
，只需證 t - > 2ln t ，
x1 x2 x1 t
2ln t t 1即 - + < 0，
t
1
設m t = 2ln t - t + t >1 ，
t
2
易知m t 2 1 - t -1 = -1- = < 0，
t t 2 t 2
故m t 在 1,+ 單調遞減，所以m t < m 1 = 0，
x2 - x1
故有 > x xlnx2 - lnx
1 2 ，
1
1
由上面的 2 式知 x1x2 < ,2
所以 x1x
1
2 < . 4
2 x2 - x2 1 1 （ⅱ）由上面的 得 = ，
lnx2 - lnx1
a x1lnx= 1 - x2lnx2 x x lnx - x lnx x + x + 2 + x = 1 1 2 2 + 2 1x - x 12 1 x2 - x1 1
x1lnx1 - x2lnx2 x2 + x1 x lnx= + = 1 1 - x2lnx2 x+ 2 + x1 lnx2 - lnx1
x2 - x1 2 x2 - x1 x2 - x1 2 x2 - x1
lnx2 - lnx1
2 x1lnx1 - x2lnx2 + x2 + x1 lnx2 - lnx= 1 x1ln x1x2 - x2ln x1x2 =
2 x2 - x1 2 x2 - x1
ln x1x = - 2 ，
2
1
又 x1x2 < ，4
所以 a > ln 2且 x1x2 = e
-2a
，
a +1 2故要證 x1x2 - x1x
3
2 < ，4
a +1 2 e-2a - e-a 3只需證 < ，
4
3
即 e2a +ea - a +1 2 > 0 a > ln 2 ，
4
h(a) 3= e2a設 +ea - a +1 2 ，
4
則即證 h(a) > 0 a > ln 2
h (a) 3= 2e2a +ea - 2 a +1 = 3 e2a +ea - 2 a +1 ，
4 2
k(a) 3= e2a a設 +e - 2 a +1 ，
2
則 k (a) = 3e2a +ea - 2= 3ea - 2 ea +1 > 0，
即 k(a)也就是h (a)在 ln 2,+ 單調遞增，
h (a) > h (ln 2) 3= e2ln 2 + eln 2 - 2 ln 2 +1
2
3
= 4 + 2 - 2ln 2 - 2 = 2 3- ln 2 > 0，
2
所以 h(a) 在 ln 2,+ 單調遞增，
3 2ln 2 ln 2 2 2
所以 h(a) > h(ln 2) = e + e - ln 2 +1 = 5 -
4 ln 2+1 ，
因為1 < ln 2+1 < 2，
2
所以1< ln 2+1 < 4，
所以5 - ln 2+1 2 > 0，
所以原不等式成立.
【變式 7-1】（2024·上海·模擬預測）已知函數 y = f x , x D ，如果存在常數M ，對任意滿足
n
x1 < x2 i=2
恒成立，則稱函數 y = f x , x D 是“絕對差有界函數”
f x ln x , x 1(1)函數 = 是“絕對差有界函數”，求常數M 的取值范圍；
x e
(2)對于函數 y = f x , x a,b ，存在常數 k ，對任意的 x1, x2 a,b ，有 f x1 - f x2 k x1 - x2 恒成立，
求證：函數 y = f x , x a,b 為“絕對差有界函數”
ì
x cos
π ,0 < x 1
(3)判斷函數 f x = í 2x 是不是“絕對差有界函數”？說明理由
0, x = 0
Q f (x) ln x 1 1- ln x【解析】（1） = , x ，\ f ' x =
x e x2
\ f x 1- ln x= = 0，\x = e2 ，x
é1 ù
即當 x ê ,eú， f (x) 單調遞增；當 x e, + ， f (x) 單調遞減. e
n
所以 f xi - f xi-1 = f xn - f xn-1 + f xn-1 - f xn-2 +L+ f x2 - f x0 ,
i=2
f (x) 單調遞增時， f xn - f xn-1 > 0，
f (x) 單調遞減時， f xn - f xn-1 < 0 .
且當 x 無限趨向于正無窮大時， f x 無限趨向于 0，
n
所以 f x f x 1 2i - i-1 = f e - f ÷ + f (e) = + e .
i=2 è e e
所以M
2
+ e ·
e
n n
（2） f xi - f xi-1 k xi - xi-1 = k b - a 成立，則可取M = k b - a ，
i=2 i=2
所以函數 y = f x , x a,b 為“絕對差有界函數”
0 1 1 L 1（3） < < < < <1, n N* ，
2n 2n -1 2
1 cos 2nπ 1 2n -1 π0 cos 1 cos 2nπ L cos π 1 cos 2π則有 = - + - + + - ，
2n 2 2n -1 2 2n 2 2 2 2
n
1 1 1 1 1 1 L 1 1 L 1 L 1 1 1 1> + + + + + + + + + + = + + +L+ +L
i=2 i 2 4 4 1842438 16424136 2 2 2
4個 8個
所以對任意常數M > 0，只要n足夠大，就有區間 0,1 的一個劃分
1 1 1 n0 < < M ，i=2
ì
x cos
π ,0 < x 1
所以函數 f x = í 2x 不是 0,1 的“絕對差有界函數”.
0, x = 0
【變式 7-2】（2024·上海·三模）設函數 y = f x 的定義域為 D，對于區間 I = a,b I D ，當且僅當函
數 y = f x 滿足以下①②兩個性質中的任意一個時，則稱區間 I 是 y = f x 的一個“美好區間”．
性質①：對于任意 x0 I ，都有 f (x0 ) I ；性質②：對于任意 x0 I ，都有 f (x0 ) I ．
(1)已知 f x = -x2 + 2x， x R ．分別判斷區間 0,2 和區間 1,3 是否為函數 y = f x 的“美好區間”，并說
明理由；
(2)已知 f (x)
1
= x3 - x2 - 3x +12(x R)且m > 0，若區間 0, m 是函數 y = f x 的一個“美好區間”，求實數
3
m 的取值范圍；
(3)已知函數 y = f x 的定義域為R ，其圖像是一條連續不斷的曲線，且對于任意 a < b ，都有
f a - f b > b - a．求證：函數 y = f x 存在“美好區間”，且存在 x0 R ，使得 x0 不屬于函數 y = f x 的
任意一個“美好區間”．
【解析】（1）區間 0,2 和區間 1,3 都是函數 y = f x 的“美好區間”，理由如下：
由 f x = -x2 + 2x = -(x -1)2 +1，
當 x 0,2 時， f (x) 0,1 0,2 ，所以區間 0,2 是函數 y = f x 的“美好區間”
當 x 1,3 時， f (x) 1,2 0,2 ，所以區間 1,3 是函數 y = f x 的“美好區間”
（2）記 I = 0, m ， S = f (x) | x I
若區間 0, m 是函數 y = f x 的一個“美好區間”，則 S I 或 S I I =
由 f (x)
1
= x3 - x2 - 3x +12(x R)，可得 f (x) = x2 - 2x - 3 = (x - 3)(x +1)，
3
所以當 x < -1或 x > 3時， f (x) > 0，則 f (x) 的單調遞增區間為： (- , -1)， (3, + )；
當-1 < x < 3時， f (x) < 0，則 f (x) 的單調遞增區間為： (-1,3)，
且 f (0) =12， f (3) = 3， f (3+ 3 5 ) =12，得到 f (x) 在 0, + 的大致圖像如下：
2
(i)當0 < m < 3時， f (x) 在區間 0, m 上單調遞減，且 f (m) > f (3) = 3，
所以 S = f (m),12 ，則 S I I = ，即對于任意 x0 I ，都有 f (x0 ) I ，滿足性質②,
故當m 0,3 時，區間 0, m 是函數 y = f x 的一個“美好區間”；
(ii) 3 m 3+ 3 5當 ， f (x) 在區間 0,3 上單調遞減，在 3, m 上單調遞增，此時 S = 3,12 ，
2
é ù
所以 f (3) = 3 0, m 3+ 3 5， f (0) =12 0, m ，則當m ê3, ú 時，區間 0, m 不是函數 y = f x 的一個“美
2
好區間”；
(iii) 3+ 3 5當 < m <12 時， f (x) 在區間 0,3 上單調遞減，在 3, m 上單調遞增，且 f (m) >12，此時
2
S = 3, f (m) ，

所以 f (3) = 3 0, m ， f (m) 0,m 3 + 3 5，則當m ,12÷÷時，區間 0, m 不是函數 y = f x 的一個“美好
è 2
區間”；
(iv)當m 12時， f (x) 在區間 0,3 上單調遞減，在 3, m 上單調遞增，且 f (m) >12，此時 S = 3, f (m) ，
因為 f (0) =12 0, m ，則要使區間 0, m 是函數 y = f x 的一個“美好區間”，則 S I ，即 f (m) m，
1 3 2
構造函數 g(m) = f (m) - m = m - m - 4m +12 m 12 ，
3
則 g (m) = m2 - 2m - 4 = (m -1)2 - 5，
由于m 12，所以 g (m) > 0恒成立，則 g(m)在區間 m,+ 上單調遞增，
1 3
所以 g(m)min = g(12) = 12 -12
2 - 4 12 +12 = 396 > 0，則 f (m) > m，不滿足題意，
3
故當m 12時，區間 0, m 不是函數 y = f x 的一個“美好區間”，
綜上，實數m 的取值范圍是 0,3
（3）對于任意區間 I = a,b ，記 S = f (x) | x I ，
因為對于任意 a < b ，都有 f a - f b > b - a，
所以 f (x) 在區間 I 上單調遞減，故 S = f (b), f (a) ，
因為 f a - f b > b - a，即S的長度大于 I 的長度，故 f (x) 不滿足性質①，
所以若 I 為 y = f x 的“美好區間”必滿足性質②，即 S I I = ，
即只需要 f (a) < a或 f (b) > b，
由 f (x) = x 顯然不恒成立，所以存在常數 c使得 f (c) c ，
如果 f (c) < c，取 a = c ，則區間 I = a,b (a < b)滿足性質②；
如果 f (c) > c，取b = c ，則區間 I = a,b (a < b)滿足性質②；
綜上，函數 y = f x 一定存在“美好區間”；
記 g(x) = f (x) - x ，則 g(x)的圖象連續不斷，下證明 g(x)有零點，
由于 f (x) 在R 上單調遞減，則 g(x)在R 上是減函數，記 f (0) = t
若 t = 0，則 x0 = 0是 g(x)的零點；
若 t > 0，則 f (t) < f (0) = t ，記 g(0) > 0， g(t) < 0 ，
由零點存在定理，可知存在 x0 (0, t)，使得 g(x0 ) = 0；
若 t < 0，則 f (t) > f (0) = t ，記 g(0) < 0， g(t) > 0，
由零點存在定理，可知存在 x0 (t,0) ，使得 g(x0 ) = 0；
綜上， g(x)有零點 x0 ，即 f (x0 ) = x0，
因為 f (x) 所有“美好區間” I 都滿足性質②，故 x0 I ，否則 f (x0 ) = x0 I 與性質②矛盾；
即存在 x0 R ，使得 x0 不屬于函數 y = f x 的任意一個“美好區間”，證畢.
題型八：拐點、好點 、不動點、S 點
【典例 8-1】（2024·高三·福建泉州·期中）記 f x 、 g x 分別為函數 f x 、 g x 的導函數．若存在
x0 R ，滿足 f x0 = g x0 且 f x0 = g x0 ，則稱 x0 為函數 f x 與 g x 的一個“S點”．
（1 2）證明：函數 f x = x與 g x = x + 2x - 2不存在“S點”；
（2）若函數 f x = ax2 -1與 g x = ln x存在“S點”，求實數 a的值．
1 f x = x g x = x2【解析】（ ）函數 ， + 2x - 2，則 f x =1， g x = 2x + 2．
ì f x0 = g x0 ìx20 + 2x0 - 2 = xí 0由 f x g x ，可得 í ，此方程組無解， 0 = 0 2x0 + 2 =1
2
因此，函數 f x = x與 g x = x + 2x - 2不存在“S點”；
（2）函數 f x = ax2 -1， g x = ln x，則 f x = 2ax g x 1， = ，
x
2
f x g x ìax0 -1 = ln x ì 0 = 0 0
設 x0 為 f x 與 g x 的“S點”，由 í 可得 í 1 ，
f x0 = g x0 2ax0 =
x0
1 1
可得 ln x0 = - ，解得 -x = e 2 ，此時 a
1 1 e
= 2 = -1 = .2 0 2x0 2e 2
e
因此， a = .
2
【典例 8-2】對于函數 f（x），若存在實數 x0 滿足 f x0 = x0 ，則稱 x0 為函數 f（x）的一個不動點.已知函數
f x = x3 + ax2 + bx + 3，其中 a,b R
(1)當 a = 0時，
（i）求 f（x）的極值點；
（ii）若存在 x0 既是 f（x）的極拔高點突破 05 函數與導數背景下的新定義壓軸解答題　
目錄
01 方法技巧與總結 ..............................................................................................................................2
02 題型歸納與總結 ..............................................................................................................................2
題型一：曲率與曲率半徑問題 ............................................................................................................2
題型二：曼哈頓距離與折線距離 ........................................................................................................5
題型三：雙曲正余弦函數問題 ............................................................................................................6
題型四：凹凸函數 ................................................................................................................................8
題型五：二元函數問題 ........................................................................................................................9
題型六：切線函數新定義 ..................................................................................................................11
題型七：非典型新定義函數 ..............................................................................................................12
題型八：拐點、好點 、不動點、S 點..............................................................................................14
題型九：各類函數新概念 ..................................................................................................................16
03 過關測試 .........................................................................................................................................17
1、函數與導數新定義問題主要分兩類：一是概念新定義型，主要是以函數新概念為背景，通常考查
考生對函數新概念的理解，涉及函數的三要素的理解；二是性質新定義型，主要是以函數新性質為背景，
重點考查考生靈活應用函數性質的能力，涉及函數的各種相關性質的拓展延伸．
2、設 P x1 , y1 ,Q x2 , y2 為平面上兩點，則定義 x2 - x1 + y2 - y1 為“折線距離”“直角距離”或“曼哈
頓距離”，記作 d (P,Q) = x2 - x1 + y2 - y1 ．
結論 1：設點 P x0 , y0 為直線 l : Ax + By + C = 0 外一定點，Q為直線 l 上的動點，則
Ax + By + C
d (P,Q) = 0 0min max{| A |,| B |}
結論 2：設點 P 為直線 Ax + By + C1 = 0 上的動點，點Q為直線 Ax + By + C2 = 0 上的動點，則
C - C
d (P,Q) = 1 2min ．max{| A |,| B |}
題型一：曲率與曲率半徑問題
【典例 1-1】（2024·浙江溫州·二模）如圖，對于曲線 Γ ，存在圓C 滿足如下條件：
①圓C 與曲線 Γ 有公共點A ，且圓心在曲線 Γ 凹的一側；
②圓C 與曲線 Γ 在點A 處有相同的切線；
③曲線 Γ 的導函數在點 A 處的導數（即曲線 Γ 的二階導數）等于圓 C 在點 A 處的二階導數（已知圓
2 2 r
2
x - a + y - b = r2 在點 A x0, y0 處的二階導數等于 ）；b - y 30
則稱圓C 為曲線 Γ 在A 點處的曲率圓，其半徑 r 稱為曲率半徑．
(1)求拋物線 y = x 2 在原點的曲率圓的方程；
1
(2)求曲線 y = 的曲率半徑的最小值；
x
(3) x x若曲線 y = ex 在 x1, e 1 和 x 22 , e x1 x2 處有相同的曲率半徑，求證： x1 + x2 < -ln2 ．
【典例 1-2】有一種速度叫“中國速度”，“中國速度”正在刷新世界對中國高鐵的認知．由于地形等原因，在
修建高鐵、公路、橋隧等基建中，我們常用曲線的曲率（Curvature）來刻畫路線彎曲度．如圖所示的光滑
曲線C 上的曲線段 AB，設其弧長為Ds ，曲線C 在 A，B 兩點處的切線分別為 lA , lB ，記 lA , lB 的夾角為
Δq K (x) lim Δq
f (x)
Δq Δq é0, p ù ê ú ÷ ，定義K =
= =
2 為曲線段
AB 的平均曲率，定義 Δx 0 Δs 3 2 為曲線è Δs 1+ f (x) 2
C : y = f (x)在其上一點 A(x, y)處的曲率．（其中 f (x) 為 f ( x ) 的導函數，f (x )為 f (x) 的導函數）
(1)若 f (x) = sin(2x) K
p
，求 4 ÷
；
è
π
(2)記圓 x2 + y2 = 2025上圓心角為 的圓弧的平均曲率為a．
3
①求a的值；
②設函數 g (x) = ln(x + 45a) - xe x-1，若方程 g(x) = m(m > 0)有兩個不相等的實數根 x1, x2 ，證明：
x x (5e - 2)m2 - 1 <1- ，其中 e 為自然對數的底數， e = 2.71828L．3e - 3
【變式 1-1】定義：若 h (x)是 h(x) 的導數，h (x)是 h (x)的導數，則曲線 y = h(x)在點 (x,h(x))處的曲率
h (x)
K = 3 x
2 ；已知函數 f (x) = e sin
π 1

+ x ÷ ， g(x) = x + (2a -1)cos x, a < ÷，曲線 y = g(x)在點
1+ h (x) 2 è 2 è 2
(0, g(0)) 2處的曲率為 ；
4
(1)求實數 a 的值；
é π ù
(2)對任意 x ê- ,0ú , mf (x) g (x)恒成立，求實數 m 的取值范圍； 2
π π
(3)設方程 f (x) = g (x) 在區間 2nπ + , 2nπ +3 2 ÷ n N
* 內的根為 x1, x2 , , xn，…比較 xn +1 與 xn + 2π 的大小，
è
并證明．
【變式 1-2】（2024·湖北黃岡·二模）第二十五屆中國國際高新技術成果交易會（簡稱“高交會”）在深圳
閉幕.會展展出了國產全球首架電動垂直起降載人飛碟.觀察它的外觀造型，我們會被其優美的曲線折服.現
代產品外觀特別講究線條感，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度.考察如圖所示的光滑曲線C : y = f x 上
的曲線段 AB ，其弧長為Ds ，當動點從A 沿曲線段 AB 運動到 B 點時，A 點的切線 lA 也隨著轉動到 B 點的
切線 lB ，記這兩條切線之間的夾角為Dq （它等于 lB 的傾斜角與 lA 的傾斜角之差）.顯然，當弧長固定時，
Δq
夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當夾角固定時，弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義K = 為
Δs
曲線段 AB 的平均曲率；顯然當 B 越接近 A ，即 Ds 越小， K 就越能精確刻畫曲線C 在點 A 處的彎曲程度，
Δq y K = lim =
因此定義 Δ 0 Δs 3 （若極限存在）為曲線C 在點A 處的曲率.（其中 y ， y 分別表示 1+ y 2 2
y = f x 在點A 處的一階 二階導數）
(1)已知拋物線 x2 = 2 py( p > 0) 的焦點到準線的距離為 3，則在該拋物線上點 3, y 處的曲率是多少？
1 1 ex + e- x
(2)若函數 g x = x - ，不等式 g ÷ g 2 - coswx 對于 x R 恒成立，求w的取值范圍；2 +1 2 è 2
(3) 2若動點A 的切線沿曲線 f x = 2x -8運動至點 B xn , f xn 處的切線，點 B 的切線與 x軸的交點為
x ,0 n N*n+1 .若 x1 = 4，bn = xn - 2，Tn 是數列 bn 的前n項和，證明Tn < 3 .
題型二：曼哈頓距離與折線距離
【典例 2-1】（2024·甘肅蘭州·一模）定義：如果在平面直角坐標系中，點 A，B 的坐標分別為 x1, y1 ，
x 2, y 2 ，那么稱 d ( A, B ) = x1 - x2 + y1 - y 2 為 A，B 兩點間的曼哈頓距離．
(1)已知點 N 1 ， N 2 分別在直線 x - 2y = 0， 2x - y = 0上，點M 0,2 與點 N 1 ， N 2 的曼哈頓距離分別為
d M , N1 ，d M , N2 ，求 d M , N1 和d M , N2 的最小值；
(2) 2已知點 N 是直線 x + k y + 2k +1= 0 k > 0 上的動點，點M 0,2 與點 N 的曼哈頓距離d M , N 的最小值
記為 f k ，求 f k 的最大值；
(3)已知點M ek , kek ，點 N(m,n)（k，m， n R ，e 是自然對數的底），當 k 1時，d M , N 的最大值為
f m, n ，求 f m, n 的最小值．
【典例 2-2】（2024·高三·廣西防城港·階段練習）若設M a,n = ax -1 + ax -2 +×××+ ax -n 為曼哈頓擴張距
離，它由n個絕對值之和組成，其中n為正整數.如：
M 2,6 = 2x -1 + 2x - 2 + 2x -3 + 2x - 4 + 2x -5 + 2x -6
(1)若M 1,2 5，求 x的取值范圍；
(2)若M 3,2 m 對一切實數 x恒成立，設 a > 0，b > 0，且 a2 + b2 = m +1，求 2a + b 的最大值.
【變式 2-1】（2024·高三·北京·期中）“曼哈頓幾何”也叫“出租車幾何”，是在 19 世紀由赫爾曼·閔可夫斯基
提出來的．如圖是抽象的城市路網，其中線段 AB 是歐式空間中定義的兩點最短距離，但在城市路網中，
我們只能走有路的地方，不能“穿墻”而過，所以在“曼哈頓幾何”中，這兩點最短距離用 d A, B 表示，又稱
“曼哈頓距離”，即d A,B = AC + CB ，因此“曼哈頓兩點間距離公式”：若 A x1, y1 ，B x2, y2 ，則
d A, B = x2 - x1 + y2 - y1
(1)①點 A 3,5 ，B 2,-1 ，求 d A, B 的值．
②求圓心在原點，半徑為 1 的“曼哈頓單位圓”方程．
(2)已知點B 1,0 ，直線 2x - y + 2 = 0，求 B 點到直線的“曼哈頓距離”最小值；
(3)設三維空間 4 個點為 Ai = xi , yi , zi ， i =1,2,3,4，且 xi ， yi ， zi 0,1 ．設其中所有兩點“曼哈頓距離”
的平均值即 d ，求 d 最大值，并列舉最值成立時的一組坐標．
題型三：雙曲正余弦函數問題
x - x
【典例 3-1 2024· e + e】（ 高三·江蘇蘇州·開學考試）定義：雙曲余弦函數 cosh x = ，雙曲正弦函數
2
sinh x e
x - e- x
= ．
2
(1)求函數 y = cosh 2x +sinh x 的最小值；
(2)若函數 f x = log9 é cosh 2x - a sinh x ù 在R 上的最小值為-1，求正實數a的值；
sinh x 1
(3)求證：對任意實數 k，關于 x的方程 = kx +cosh x 2 總有實根．
【典例 3-2】（2024·高三·福建寧德·期末）固定項鏈的兩端，在重力的作用下項鏈所形成的曲線是懸鏈
x x
-
線.1691 c c年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程 y c(e + e )= ，其中c為參數.當 c = 1時，就是雙曲余弦函數
2
ex + e-x ex - e- xcosh x = ，類似地我們可以定義雙曲正弦函數 sinh x = .它們與正、余弦函數有許多類似的性質.
2 2
(1)類比正弦函數的二倍角公式，請寫出雙曲正弦函數的一個正確的結論: sinh 2 x = _____________.（只寫出
即可，不要求證明）；
(2)"x [-1,1]，不等式 cosh 2x + m cosh x 0 恒成立，求實數m的取值范圍；
π 3π
(3)若 x [ , ]，試比較cosh(sin x)與 sinh(cos x)的大小關系，并證明你的結論.
4 2
【變式 3-1】（2024·上海寶山·模擬預測）在數學中，雙曲函數是與三角函數類似的函數，最基本的雙曲函
ex - e- x
數是雙曲正弦函數與雙曲余弦函數，其中雙曲正弦： sinh x = ，雙曲余弦函數：
2
ex + e- xcosh x = ，（ e 是自然對數的底數）.
2
（1）解方程：cosh x = 2；
（2）寫出雙曲正弦與兩角和的正弦公式類似的展開式： sinh x + y = ________，并證明；
（3）無窮數列 an ， a1 = a ， an +1 = 2a 2 1
5
n - ，是否存在實數a，使得 a2021 = ？若存在，求出a的值，若不4
存在，說明理由.
題型四：凹凸函數
【典例 4-1】（2024·江蘇蘇州·模擬預測）定義：函數 f x 的導函數為 f x ，我們稱函數 f x 的導函
數f (x )為函數 f x 的二階導函數.已知 p x = ex x2 + 3 ，q x = ex + ax + 2 .
（1）求函數 p x 的二階導函數；
（2）已知定義在 R 上的函數 g x 滿足：對任意 R ， g x > 0恒成立. P 為曲線 y = g x 上的任意一點.求
證：除點 P 外，曲線 y = g x 上每一點都在點 P 處切線的上方；
（3）試給出一個實數a的值，使得曲線 y = p x 與曲線 y = q x 有且僅有一條公切線，并證明你的結論.
【典例 4-2】記 f x = f x ， f x 為 f x 的導函數．若對"x D ， f x > 0，則稱函數 y = f x 為D
“ x
1 3 2
上的 凸函數”．已知函數 f x = e - x - ax -1， a R ．
3
（1）若函數 f x 為R 上的凸函數，求a的取值范圍；
（2）若函數 y = f x - x 在 1,+ 上有極值，求a的取值范圍．
【變式 4-1】設 g x 為 g x 的導函數，若 g x 是定義域為 D 的增函數，則稱 g x 為 D 上的“凹函數”，已
f x = xex + ax2知函數 + a為 R 上的凹函數．
(1)求 a 的取值范圍；
(2)設函數 h x 1= ex - x2 - x -1，證明：當 x > 0時，h x > 0，當 x < 0時，h x < 0．
2
f x 1 x3 45 1(3)證明： > + x2 + x + ．
2 44 44
【變式 4-2】（2024·上海普陀·一模）若函數 y = f x x D 同時滿足下列兩個條件，則稱 y = f x 在D
上具有性質 M ．
① y = f x 在D上的導數 f x 存在；
② y = f x 在D上的導數 f x 存在，且 f x > 0（其中 f x = é f x ù ）恒成立．
(1)判斷函數 y lg
1
= 在區間 0,+ 上是否具有性質 M ？并說明理由．
x
b
(2) 3 2設a、b均為實常數，若奇函數 g x = 2x + ax + 在 x = 1處取得極值，是否存在實數c，使得 y = g x
x
在區間 c,+ 上具有性質 M ？若存在，求出c的取值范圍；若不存在，請說明理由．
(3)設 k Z 且 k > 0，對于任意的 x 0,+ 1+ ln x +1 k，不等式 > 成立，求 k的最大值．
x x +1
題型五：二元函數問題
【典例 5-1】（2024·高三·湖南·階段練習）設A 是有序實數對構成的非空集， B 是實數集，如果對于集合A
中的任意一個有序實數對 x, y ，按照某種確定的關系 f ，在 B 中都有唯一確定的數 z 和它對應，那么就稱
f : A B為從集合A 到集合 B 的一個二元函數，記作 z = f x, y , x, y A，其中A 稱為二元函數 f 的定
義域.
r r r
(1)已知 f x, y = x 2 + y 2 , ar = x1 , y1 ,b = x2 , y2 ，若 f a
r 1, f b 2, x x y y 1 f ar= = 1 2 + 1 2 = ，求 + b ;
(2)非零向量u = x0, y0 ，若對任意的 x, y D, D A,h 0
r r r
> ，記a = x, y ，都有 f a < f a + hu ，則稱 f
在D上沿u方向單調遞增.已知 f x, y = ex+y + ex-y , x R, y R .請問 f 在 x, y∣ x, y R 上沿向量 1,1 方向
單調遞增嗎？為什么？
(3)設二元函數 f 的定義域為D，如果存在實數 M 滿足：
①" x, y D，都有 f x, y M ，
②$ x0 , y 0 D ，使得 f x0 , y0 = M .
那么，我們稱 M 是二元函數 f 的最小值.求
f x, y = y + sin2x 1 y + - cos2x, x, y ì x, y , x R, 1 y 2ü ÷ í ∣ 的最大值.
è y 2
【典例 5-2】（2024·江蘇鹽城·模擬預測）根據多元微分求條件極值理論，要求二元函數 z = f (x, y)在約束
條件 g(x, y)的可能極值點，首先構造出一個拉格朗日輔助函數 L(x, y,l) = f (x, y) + lg(x, y)，其中 l 為拉
格朗日系數．分別對L(x, y,l)中的 x, y, λ部分求導，并使之為 0，得到三個方程組，如下：
ìLx (x, y,l) = fx (x, y) + lgx (x, y) = 0

íLy (x, y,l) = f y (x, y) + lg y (x, y) = 0，解此方程組，得出解 ( x , y ) ，就是二元函數 z = f (x, y)在約束條件

Ll (x, y,l) = g(x, y) = 0
g(x, y)的可能極值點． x, y 的值代入到 f (x, y)中即為極值．
補充說明：【例】求函數 f (x, y) = x2 + xy + y2關于變量 x的導數．即：將變量 y 當做常數，即：
fx (x, y) = 2x + y ，下標加上 x，代表對自變量 x 進行求導．即拉格朗日乘數法方程組之中的 Lx , L y , Ll 表示
分別對 x, y, λ進行求導．
(1)求函數 f (x, y) = x2 y2 + 2xy + xy2關于變量 y 的導數并求當 x = 1處的導數值．
(2)利用拉格朗日乘數法求：設實數 x, y 滿足 g(x, y) = 4x2 + y2 + xy -1 = 0，求 f (x, y) = 2x + y 的最大值．
(3)①若 x, y, z為實數，且 x + y + z =1 2 2，證明： x + y + z2 1 ．
3
2a2 1 1②設 a > b > c > 0 ，求 + + -10ac + 25c2ab a(a b) 的最小值．-
【變式 5-1】（2024·全國·模擬預測）已知變量 x，y，z，當 x，y 在某范圍 D 內任取一組確定的值時，若變
量 z 按照一定的規律 f，總有唯一確定的 x，y 與之對應，則稱變量 z 為變量 x，y 的二元函數，記作
z = f x, y 1．已知二元函數 f x, y = 2x + y 0 y ．
(1)若 xy > 0，求 f x, y × f 1 , 1 ÷的最小值．
è x y
(2)對任意實數 x，不等式 f x,a + f x, 2a a 恒成立，求實數 a 的取值范圍．
題型六：切線函數新定義
【典例 6-1】若兩個函數 y = f x 與 y = g x 在 x = x0處有相同的切線，則稱這兩個函數相切，切點為
x0, f x0 .
(1)判斷函數 y = sin x 與 y = x 是否相切；
1 2 1 1(2)設反比例函數 y = 與二次函數 y = ax +bx a 0 相切，切點為 t, ÷ .求證：函數 y = 與 y = ax2 + bx 恰有x è t x
兩個公共點；
(3)若 0 < a < 1，指數函數 y = a x 與對數函數 y = loga x相切，求實數a的值；
(4)設（3）的結果為 a0，求證：當0 < a < a0 時，指數函數 y = a x 與對數函數 y = loga x的圖象有三個公共點.
【典例 6-2】對給定的在定義域內連續且存在導函數的函數 f x ，若對在 f x 定義域內的給定常數a，存
在數列 an 滿足 a1 在 f x 的定義域內且 a1 > a ，且對"n 2,n N*, y = f x 在區間 a, an-1 的圖象上有且
僅有在 x = an 一個點處的切線平行于 a, f a 和 an-1, f an-1 的連線，則稱數列 an 為函數 f x 的“a關
聯切線伴隨數列”.
(1)若函數 f x = x2 ，證明："a R, f x 都存在“a關聯切線伴隨數列”；
(2)若函數 g x = x -1 3，數列 an 為函數 g x 的“1 關聯切線伴隨數列”，且 a1 = 3 +1，求 an 的通項公
式；
(3)若函數h x = mx3 + 6sinx，數列 bn 為函數h x 的“b關聯切線伴隨數列”，記數列 bn 的前n項和為 Sn ，
證明：當m 1,b 0時， Sn +bn n-1 b+ 2b1 .
【變式 6-1】（2024·廣西·二模）定義：若函數 f x 圖象上恰好存在相異的兩點P,Q 滿足曲線 y = f x
在 P 和Q處的切線重合，則稱P,Q 為曲線 y = f x 的“雙重切點”，直線 PQ 為曲線 y = f x 的“雙重切線”.
y x 5 1(1)直線 = - 2是否為曲線 f x = x - 2x + 2lnx的“雙重切線”，請說明理由；
2 2
ì ex+1, x 0,
(2)已知函數 g x = í 4 求曲線 y = g x 的“雙重切線”的方程；
6 - , x > 0, x
(3)已知函數h x = cosx，直線 PQ 為曲線 y = h x 的“雙重切線”，記直線 PQ 的斜率所有可能的取值為
k 15
k1, k2 ,L,kn ，若 k1 > k2 > ki i = 3,4,5,L,n 1，證明： 【變式 6-2】（2024·高三·貴州貴陽·開學考試）牛頓迭代法是牛頓在 17 世紀提出的一種在實數域和復
數域上近似求解方程的方法．比如，我們可以先猜想某個方程 f x = 0的其中一個根 r 在 x = x0的附近，如
圖所示，然后在點 x0 , f x0 處作 f x 的切線，切線與 x軸交點的橫坐標就是x1，用x1代替 x0 重復上面的
過程得到x2；一直繼續下去，得到 x0 ，x1，x2，……， xn．從圖形上我們可以看到x1較 x0 接近 r ，x2較x1
接近 r ，等等．顯然，它們會越來越逼近 r ．于是，求 r 近似解的過程轉化為求 xn，若設精度為e，則把首
次滿足 xn - xn-1 < e 的 xn稱為 r 的近似解．
已知函數 f x = x3 + a - 2 x + a， a R ．
(1)當 a = 1時，試用牛頓迭代法求方程 f x = 0滿足精度e = 0.5 的近似解（取 x0 = -1，且結果保留小數點
后第二位）；
(2)若 f x - x3 + x2lnx 0，求a的取值范圍．
題型七：非典型新定義函數
【典例 7-1】（2024·湖南長沙·二模）極值的廣義定義如下：如果一個函數在一點的一個鄰域（包含該點
的開區間）內處處都有確定的值，而以該點處的值為最大（小），這函數在該點處的值就是一個極大（小）
值.
y = f x x x f x0 + Dx - f x對于函數 ，設自變量 x x 從 0 變化到 0 + D ，當Dx > 0， lim 0 是一個確定的值，
Dx 0 Dx
則稱函數 y = f x f x + Dx - f x 在點 x0 處右可導；當Dx < 0， lim 0 0 是一個確定的值，則稱函數
Dx 0 Dx
y = f x 在點 x0 處左可導.當函數 y = f x 在點 x0 處既右可導也左可導且導數值相等，則稱函數 y = f x 在
點 x0 處可導.
(1)請舉出一個例子，說明該函數在某點處不可導，但是該點是該函數的極值點；
2
(2)已知函數 f x = x2eax +1 - x3 sin x - ex2 .
ax2（ⅰ）求函數 g x = e +1 - x sin x - e在 x = 0處的切線方程；
（ⅱ）若 x = 0為 f x 的極小值點，求 a 的取值范圍.
【典例 7-2】（2024·高三·重慶·期中）若函數 f x 在定義域內存在兩個不同的數 x1, x2 ，同時滿足
f x1 = f x2 ，且 f x 在點 x1, f x1 , x2 , f x2 處的切線斜率相同，則稱 f x 為“切合函數”
(1)證明： f x = x3 -2x為“切合函數”；
(2)若 g x = xlnx - x2 + ax為“切合函數”，并設滿足條件的兩個數為 x1, x2 ．
1
（ⅰ）求證： x1x2 < ；4
3
（ⅱ）求證： a +1 2 x1x2 - x1x2 < ．4
【變式 7-1】（2024·上海·模擬預測）已知函數 y = f x , x D，如果存在常數 M ，對任意滿足
n
x1 < x2 i=2
恒成立，則稱函數 y = f x , x D是“絕對差有界函數”
ln x
(1)函數 f x = , x 1 是“絕對差有界函數”，求常數 M 的取值范圍；
x e
(2)對于函數 y = f x , x a,b ，存在常數 k，對任意的 x1, x2 a,b ，有 f x1 - f x2 k x1 - x2 恒成立，
求證：函數 y = f x , x a,b 為“絕對差有界函數”
ì
x cos
π ,0 < x 1
(3)判斷函數 f x = í 2x 是不是“絕對差有界函數”？說明理由
0, x = 0
【變式 7-2】（2024·上海·三模）設函數 y = f x 的定義域為 D，對于區間 I = a,b I D ，當且僅當函
數 y = f x 滿足以下①②兩個性質中的任意一個時，則稱區間 I 是 y = f x 的一個“美好區間”．
性質①：對于任意 x0 I ，都有 f (x0 ) I ；性質②：對于任意 x0 I ，都有 f (x0 ) I ．
(1)已知 f x = -x2 + 2x， x R ．分別判斷區間 0,2 和區間 1,3 是否為函數 y = f x 的“美好區間”，并說
明理由；
f (x) 1(2)已知 = x3 - x2 - 3x +12(x R)且m > 0，若區間 0,m 是函數 y = f x 的一個“美好區間”，求實數
3
m的取值范圍；
(3)已知函數 y = f x 的定義域為R ，其圖像是一條連續不斷的曲線，且對于任意 a < b，都有
f a - f b > b -a．求證：函數 y = f x 存在“美好區間”，且存在 x0 R ，使得 x0 不屬于函數 y = f x 的
任意一個“美好區間”．
題型八：拐點、好點 、不動點、S 點
【典例 8-1】（2024·高三·福建泉州·期中）記 f x 、 g x 分別為函數 f x 、 g x 的導函數．若存在
x0 R ，滿足 f x0 = g x0 且 f x0 = g x0 ，則稱 x0 為函數 f x 與 g x 的一個“S點”．
2
（1）證明：函數 f x = x與 g x = x + 2x -2不存在“S點”；
2
（2）若函數 f x = ax -1與 g x = ln x存在“S點”，求實數a的值．
【典例 8-2】對于函數 f（x），若存在實數 x0 滿足 f x0 = x0 ，則稱 x0 為函數 f（x）的一個不動點.已知函數
f x = x3 + ax2 +bx +3，其中a,b R
(1)當 a = 0時，
（i）求 f（x）的極值點；
（ii）若存在 x0 既是 f（x）的極值點，又是 f（x）的不動點，求 b 的值：
(2)若 f（x）有兩個相異的極值點x1，x2，試問：是否存在 a，b 使得x1，x2均為 f（x）的不動點？證明你
的結論.
【變式 8-1】記 y = f x ， y = g x 分別為函數 y = f x ， y = g x 的導函數．若存在 x0 R ，滿足
f x0 = g x0 且 f x0 = g x0 ，則稱 x0 為函數 y = f x 與 y = g x 的一個“好點”．
(1)判斷函數 f x = x 2與 g x = x - x +1是否存在“好點”，若存在，求出“好點”；若不存在，請說明珵由；
(2)若函數 f x = ax 3 - 1與 g x = ln x存在“好點”，求實數a的值；
x
(3) 2已知函數 f x = -x + a， g x be= ，若存在實數 a > 0，使函數 y = f x 與 y = g x 在區間 2,+ 內
x
存在“好點”，求實數b的取值范圍．
【變式 8-2】給出定義：設 f x 是函數 y = f x 的導函數， f x 是函數 f x 的導函數，若方程
f x = 0有實數解 x = x0，則稱 x0, f x0 為函數 y = f x 的“拐點”.經研究發現所有的三次函數
f x = ax3 +bx2 + cx + d a 0 都有“拐點”，且該“拐點”也是函數 y = f x 圖象的對稱中心.
(1)若函數 f x = x3 +3x2 -9x -1，求函數 f x 圖象的對稱中心；
(2)已知函數 g x = 2mx3 + é6ln mx -15
18 5
ù x
2 + x - 2 +1，其中m > 0 .m m
（ⅰ）求 g x 的拐點；
（ⅱ）若 g x1 + g x2 = 2 0 < x1 < x
1
2 ，求證：0 < x1 < < x2 .m
【變式 8-3】（2024·河南·三模）設函數 f x 的導函數為 f x , f x 的導函數為 f x , f x 的導函數
為 f x .若 f x0 = 0，且 f x0 0，則 x0, f x0 為曲線 y = f x 的拐點.
(1)判斷曲線 y = x6 是否有拐點，并說明理由；

(2)已知函數 f x = ax5 -5x3 2 2，若 , f ÷÷÷÷為曲線 y = f x 的一個拐點，求 f x 的單調區間與極值.
è 2 è 2
題型九：各類函數新概念
【典例 9-1】定義：函數m x ，n x 的定義域的交集為 D， A D ，若對任意的 x0 A ，都存在 x1, x2 D ，
使得x1， x0 ，x2成等比數列，m x1 ，n x0 ，m x2 成等差數列，那么我們稱m x ，n x 為一對“ K 函
a x
數”，已知函數 f x = x - ln ， g x = ax， a > 0．
4 a
（Ⅰ）求函數 f x 的單調區間；
（Ⅱ）求證： f x a 4 - a ；4
4
（Ⅲ）若 A = 1,+ ，對任意的 a S ， f x ， g x 為一對“ K 函數”，求證： S é1,e ．（ e 為自然對數的
底數）
【典例 9-2】（2024·山東·模擬預測）如果 h(x) 是定義在區間 D 上的函數，且同時滿足：① h (x)h(x) > 0 ；
2
② h (x)與 h(x) x的單調性相同，則稱函數 h(x) 在區間 D 上是“鏈式函數”.已知函數 f (x) = ex - - x -1，
2
2
g(x) = 1 x- - cos x .
2
（1）判斷函數 f ( x ) 與 g(x)在 (0, + )上是否是“鏈式函數”，并說明理由；
4 sin x
（2）求證：當 x > 0時， e x + cos x - 2 > 3 + cos x .
【變式 9-1】（2024·上海奉賢·一模）若函數 y = f (x) 滿足：對任意的實數 s ， t (0,+ )，有
f (s + t) > f (s) + f (t)恒成立，則稱函數 y = f (x) 為 “ S 增函數” ．
(1)求證：函數 y = sin x 不是“ S 增函數”；
(2)若函數 y = 2x-1 - x - a是“ S 增函數”，求實數a的取值范圍；
(3)設 g x = ex ln 1+ x ，若曲線 y = g(x)在 x = x0處的切線方程為 y = x ，求 x0 的值，并證明函數 y = g(x)
是“ S 增函數”．
【變式 9-2】（2024·高三·陜西安康·期末）已知函數 f x = 6ln x -3 x2 +12ax a R .
(1)若 f x 在其定義域內是增函數，求a的取值范圍；
(2)定義：若 f x 在其定義域內單調遞增，且 f x + g x 在其定義域內也單調遞增，則稱 g x 為 f x 的
“協同增函數”.
已知函數 g x = 4x3 -18ax2 +12 2- a x，若 g x 是 f x 的“協同增函數”，求a的取值范圍.
1．（2024·湖北·二模）記 A = l x l x = kx + m,k,m R ，若 l0 x A，滿足：對任意 l x A，均有
max | f (x) - l(x) | max | f (x) - l (x) |
x [a ,b ] x [a ,b ] 0 ，則稱 l0 x 為函數 f x 在 x a,b 上“最接近”直線．已知函數
g x = 2lnx - x2 +3，x r, s ．
(1)若 g r = g s = 0，證明：對任意 l x A，max g x - l x 1；
1+ x 2 + g x
(2)若 r = 1， s = 2 ，證明： g x 在 x 1,2 上的“ 0最接近”直線為： l 00 x = 2ln2 - 3 x - ÷ + ，
è 2 2
其中 x 1,2 20 且為二次方程2x + 2ln2-3 x - 2 = 0的根．
2．（2024·高三·浙江寧波·期末）在幾何學常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫曲線的彎
曲程度．考察如圖所示的光滑曲線 C： y = f x 上的曲線段 AB ，其弧長為Ds ，當動點從 A 沿曲線段 AB
運動到 B 點時，A 點的切線 lA 也隨著轉動到 B 點的切線 lB ，記這兩條切線之間的夾角為Dq （它等于 lB 的
傾斜角與 lA 的傾斜角之差）．顯然，當弧長固定時，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當夾角固定時，
Δq
弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義K = 為曲線段 AB 的平均曲率；顯然當 B 越接近 A，即Ds 越Δs
K lim Δq
y
= =
小，K 就越能精確刻畫曲線 C 在點 A 處的彎曲程度，因此定義 Δs 0 Δs 3 （若極限存在）為 1+ y 2 2
曲線 C 在點 A 處的曲率．（其中 y＇，y＇＇分別表示 y = f x 在點 A 處的一階、二階導數）
(1)求單位圓上圓心角為 60°的圓弧的平均曲率；
2 1
(2) x求橢圓 + y2 =1在 3, ÷處的曲率；4 è 2
2 2 y
(3)定義j y = 3 為曲線 y = f x 的“柯西曲率”．已知在曲線 f x = x ln x - 2x 上存在兩點 1+ y
P x1, f x1 和Q x2 , f x2 ，且 P，Q 處的“柯西曲率”相同，求 3 x 31 + x2 的取值范圍．
3．（2024·高三·遼寧·期中）用數學的眼光看世界就能發現很多數學之“美”．現代建筑講究線條感，曲
線之美讓人稱奇．衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：若 f x 是 f x 的導函數，
f (x)
f x 是 f x 的導函數，則曲線 y = f x K =在點 x, f x 處的曲率 3 ．1+ f (x) 2 2
(1)求曲線 f x = lnx + x在 1,1 處的曲率K1的平方；
(2)求余弦曲線h x = cosx(x R)曲率 K 2 的最大值；
4．已知定義在R 上的函數 f x 的導函數為 f x ，若 f x 1對任意 x R 恒成立，則稱函數 f x 為“線
性控制函數”.
(1)判斷函數 f x = sinx和 g x = ex是否為“線性控制函數”，并說明理由；
(2)若函數 f x 為“線性控制函數”，且 f x 在R 上嚴格增，設 A B 為函數 f x 圖像上互異的兩點，設直線
AB 的斜率為 k，判斷命題“ 0 < k 1”的真假，并說明理由；
(3)若函數 f x 為“線性控制函數”，且 f x 是以T(T > 0)為周期的周期函數，證明：對任意 x1, x2 都有
f x1 - f x2 T .
5．（2024·上海徐匯·二模）已知常數 k為非零整數，若函數 y = f x ， x 0,1 滿足：對任意 x1, x2 0,1 ，
f x1 - f x2 x1 +1
k - x2 +1
k
，則稱函數 y = f x 為 L k 函數.
(1)函數 y = 2x， x 0,1 是否為L 2 函數﹖請說明理由；
(2)若 y = f x 為 L 1 函數，圖像在 x 0,1 是一條連續的曲線， f 0 = 0， f 1 1= ，且 f x 在區間
2
0,1 上僅存在一個極值點，分別記 f x fmax 、 x y = f x f x - f xmin 為函數 的最大、小值，求 max min
的取值范圍；
(3)若 a > 0， f x = 0.05x2 + 0.1x + a ln x +1 ，且 y = f x 為 L -1 函數， g x = f x ，對任意 x, y 0,1 ，
恒有 g x - g y M ，記 M 的最小值為M a ，求a的取值范圍及M a 關于a的表達式.
6．（2024·上海奉賢·二模）設函數 y = f x 的定義域是 R，它的導數是 f x ．若存在常數m (m R)，
使得 f x + m = - f x 對一切 x恒成立，那么稱函數 y = f x 具有性質 P m ．
(1)求證：函數 y = ex 不具有性質 P m ；
(2)判別函數 y = sin x 是否具有性質 P m ．若具有求出m的取值集合；若不具有請說明理由．
k
7．（2024·河北石家莊·一模）已知函數 f x = 2x - - k +1 ln x， k > 0 .
x
(1)當 k = 1時，過坐標原點O 作曲線 y = f x 的切線，求切線方程；
(2)設定義在 I 上的函數 y = h x 在點 P(x0 ,y0 ) 處的切線方程為 y = l x ，對任意 x x0，若
h x - l x x - x0 > 0在 I 上恒成立，則稱點 P 為函數 y = h x 的“好點”，求函數 y = f x 在 0,+ 上所
有“好點”的橫坐標（結果用 k表示）.
8．對于定義在 D 上的函數 f x ，其導函數為 f x ．若存在 k D ，使得 f k = f k ，且 x = k 是函數
f x 的極值點，則稱函數 f x 為“極致 k 函數”．
(1)設函數 f x = x + a tan x π x π，其中- < < ， a R ．
2 2
①若 f x 是單調函數，求實數 a 的取值范圍；
②證明：函數 f x 不是“極致 0 函數”．
(2)對任意m R，證明：函數 g x = xsin x + mcos x - m是“極致 0 函數”．
9．曲線的曲率定義如下：若 f '(x)是 f ( x ) 的導函數， f "(x)是 f '(x)的導函數，則曲線 y = f (x) 在點
K | f "(x) |(x, f (x)) = 3 . x處的曲率 已知函數 f x = e cos x 2 ，
g x = acos x + x a < 0 ，曲線 y = g(x)在
1+ [ f '(x)] 2
點 (0, g(0)) 2處的曲率為 ．
4
（1）求實數a的值；
2 x
π
é- ,0ù（ ）對任意的 ê ú， tf x - g x 02 恒成立，求實數 t 的取值范圍；
π π
（3）設方程 f x = g x 在區間 2nπ + , 2nπ + ÷（ n N+ ）內的根從小到大依次為 x , x3 2 1 2 ,L , xn ,L，求證：è
xn+1 - xn > 2p ．
10．（2024·湖南永州·三模）曲線的曲率定義如下：若 f (x) 是 f ( x ) 的導函數，令j (x) = f (x) ，則曲線
j (x) 2
y = f (x) 在點 x, f x 處的曲率 K = x3 ．已知函數 f (x) = + x(a > 0) ， g(x) = (x +1)ln(x +1)，
(1+ f (x) 2 )2 a
且 f ( x ) 在點 (0, f (0)) 2處的曲率K = ．
4
（1）求a的值，并證明：當 x > 0時， f (x) > g(x)；
b ln(n +1)
n
（2）若 n = ，且Tn = b1 × b2 × b3 L bn (n N
* ) ，求證： 1-
n +1 (n + 2)Tn < e
2 ．
x
11．（2024·江蘇淮安·三模）定義可導函數 y = f (x) 在 x 處的彈性函數為 f (x) × ，其中 f (x) 為 f ( x )f (x)
的導函數．在區間 D 上，若函數 f ( x ) 的彈性函數值大于 1，則稱 f ( x ) 在區間 D 上具有彈性，相應的區間
D 也稱作 f ( x ) 的彈性區間．
（1）若 r( x) = e x - x + 1，求 r(x) 的彈性函數及彈性函數的零點；
（2）對于函數 f (x) = (x - 1)e x + ln x - tx （其中 e 為自然對數的底數）
（ⅰ）當 t = 0時，求 f ( x ) 的彈性區間 D；
（ⅱ）若 f ( x) > 1在（i）中的區間 D 上恒成立，求實數 t 的取值范圍．
1+ ln x
12．（2024·江蘇南通·模擬預測）已知函數 f x = .
x
（1）求函數 f x 的圖象在 x=e（ e 為自然對數的底數）處的切線方程；
（2）若對任意的 x D ，均有m x n x ，則稱m x 為n x 在區間D上的下界函數，n x 為m x 在區
間D上的上界函數.
x
①若 g x e= ，求證： g x 為 f x 在 0,+ 上的上界函數；
x +1
②若 g x k= ， g x 為 f x 在 1,+ 上的下界函數，求實數 k的取值范圍.
x +1
13．（2024·高三·全國·課后作業）設 f(x)是定義在區間(1，+∞)上的函數，其導函數為 f ' x .如果存在實
數 a 和函數 h(x)，其中 h(x)對任意的 x∈(1，+∞)都有 h(x)>0，使得 f ' x =h(x)(x2-ax+1)，則稱函數 f(x)具有
性質 P(a).
f (x) ln x b + 2(1)設函數 = + (x >1)，其中 b 為實數.
x +1
①求證：函數 f(x)具有性質 P(a).②求函數 f(x)的單調區間.
(2)已知函數 g(x)具有性質 P(2)，給定 x1，x2∈(1，+∞)，x1a = mx1 + (1- m)x2 , b = (1- m)x2 + mx2 ，且a >1,b >1.若 g(a ) - g(b ) < g x1 - g x2 ，求實數 m 的取值范
圍
14．（2024·甘肅·二模）已知函數 f (x) = ex
ax
+ -1（ a R 且a為常數）．
x +1
（1）當 a = -1時，討論函數 f ( x ) 在 (-1,+ )的單調性；
（2）設 y = t(x)可求導數，且它的導函數 t ' (x) 仍可求導數，則 t ' (x) 再次求導所得函數稱為原函數 y = t(x)
的二階函數，記為 t '' (x) ，利用二階導函數可以判斷一個函數的凹凸性．一個二階可導的函數在區間[a,b]上
是凸函數的充要條件是這個函數在 (a , b)的二階導函數非負．
若 g(x) = (x +1)[ f (x) +1] (a
1
+ - 4 )x
2
在 (- ,-1)不是凸函數，求a的取值范圍．
2e
15．已知函數 f (x) = x2 - (a + 2)x + a ln x ，其中實數 a > 0．
(1)討論函數 f x 的單調性；
(2)設定義在D上的函數 y = h x 在點P x0,h x0 處的切線的方程為 y = g x ，當 x x0時，若
h(x) - g(x)
> 0
x - x 在D內恒成立，則稱 P 為
y = h x 的“類對稱點”當 a = 4時，試問 y = f x 是否存在“類對稱
0
點”？若存在，請至少求出一個“類對稱點”的橫坐標；若不存在，請說明理由.
16．曲率是曲線的重要性質，表征了曲線的“彎曲程度”，曲線曲率解釋為曲線某點切線方向對弧長的轉動
f x
K =
率，設曲線C : y = f x 具有連續轉動的切線，在點 x, f x 處的曲率 32 ，其中 f x 為é
ê1+ f x ù
2
ú
f x 2的導函數， f x 為 f x 的導函數，已知 f x = x ln x a- x3 3- x2 ．
3 2
(1) a = 0時，求 f x 在極值點處的曲率；
(2) a > 0時， f x 是否存在極值點，如存在，求出其極值點處的曲率；
(3) g x = 2xex - 4ex + a2x2 a 1 ， 0, ÷ ，當 f x ， g x 曲率均為 0 時，自變量最小值分別為 x1，x2，求證：è e
x1 > e2．
ex2
17．用數學的眼光看世界就能發現很多數學之“美”.現代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇，衡量曲線彎
曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：若 f x 是 f x 的導函數， f x 是 f x 的導函數，則
f x
曲線 y = f x 在點 x, f x K =處的曲率 3 .1+ é f x 2ù 2
(1)求曲線 f x = ln x + x在 1,1 處的曲率K1的平方；
(2)求余弦曲線h x = cos x x R 曲率 K 2 的最大值；
(3)余弦曲線h x = cos x x R x，若 g x = e h x + xh x g x é π , π，判斷 在區間 ê-
ù
上零點的個數，并寫
2 2 ú
出證明過程.
18 3 2．對于三次函數 f x = ax +bx + cx + d a 0 ．定義：① f x 的導數為 f x ， f x 的導數為 f x ，
若方程 f x = 0有實數解 x0 ，則稱點 x0, f x0 為函數 y = f x 的“拐點”；②設 x0 為常數，若定義在R 上
的函數 y = f x 對于定義域內的一切實數 x，都有 f x0 + x + f x0 - x = 2 f x0 恒成立，則函數 y = f x
的圖象關于點 x0, f x0 對稱．
(1)已知 f x = x3 -3x2 + 2x + 2，求函數 f x 的“拐點” A 的坐標；
(2)檢驗（1）中的函數 f x 的圖象是否關于“拐點” A 對稱.
19．一般地，設函數 f ( x ) 在區間[a，b]上連續，用分點 a = x0 < x1 成n個小區間．每個小區間長度為Δx Δx = xi - xi-1 ．在每個小區間 xi-1, xi 上任取一點xi i =1,2,L,n 作和
n n
式 Sn = f xi Δx = f xi xi - xi-1 ．如果Δx 無限接近于 0（亦即 n + ）時，上述和式 Sn 無限趨于常
i=1 i=1
b
數S，那么稱該常數S為函數 f ( x ) 在區間[a，b]上的定積分，記為 S = ò f (x)dx．當 f (x) 0時，定積分a
b
ò f (x)dx 的幾何意義表示由曲線 y = f (x) ，兩條直線 x = a, x = b與 x軸所圍成的曲邊梯形的面積．如下圖a
所示：
b
b
如果函數 f ( x ) 是區間[a，b]上的連續函數，并且F (x) = f (x)，那么 ò f (x)dx = F (x) = F (b) - F (a).a
a
2
(1)求 ò ex + 2x dx ；
1
(2)設函數 f (x) = ln(x +1), g (x) = x × f (x)(x 0)．
①若 f (x) mg(x)恒成立，求實數m的取值范圍；
n n
②數列 an 滿足a1 =1,an = g an-1 ，利用定積分的幾何意義，證明： ai < ln n < ai ．
i=2 i=1
20．若函數 f x 在 a,b 上有定義，且對于任意不同的 x1, x2 a,b ，都有 f x1 - f x2 < l x1 - x2 ，則稱
f x 為 a,b 上的“ l 類函數”.
2
(1)若 f x x= + x，判斷 f x 是否為 1,2 上的“2 類函數”；
2
2
(2)若 f x = a x x-1 ex - - x ln x ，為 1,2 上的“2 類函數”，求實數 a 的取值范圍.
2
21 3 2．對于三次函數 f x = ax +bx + cx + d a 0 ．定義：① f x 的導數為 f x ， f x 的導數為 f x ，
若方程 f x = 0有實數解 x0 ，則稱點 x0, f x0 為函數 y = f x 的“拐點”；②設 x0 為常數，若定義在R 上
的函數 y = f x 對于定義域內的一切實數 x，都有 f x0 + x + f x0 - x = 2 f x0 恒成立，則函數 y = f x
的圖象關于點 x0, f x0 對稱．
(1)已知 f x = x3 -3x2 + 2x + 2，求函數 f x 的“拐點” A 的坐標；
(2)檢驗（1）中的函數 f x 的圖象是否關于“拐點” A 對稱；
(3)對于任意的三次函數 f x = ax3 +bx2 + cx + d a 0 寫出一個有關“拐點”的結論（不必證明）．
22．一般地，設函數 f x 在區間 a,b 上連續，用分點 a = x0 < x1 n個小區間，每個小區間長度為Δx Δx = xi - xi-1 ，在每個小區間 xi-1, xi 上任取一點xi i =1,2,L,n ，作和
n n
式 Sn = f xi Dx = f xi xi - xi-1 ．如果Dx 無限接近于 0（亦即 n + ）時，上述和式 Sn 無限趨近于
i=1 i=1
b
常數S，那么稱該常數S為函數 f x 在區間 a,b 上的定積分，記為 S = ò f (x)dx．當 f x 0時，定積分a
b
ò f x dx 的幾何意義表示由曲線 y = f x ，兩直線 x = a, x = b與 x軸所圍成的曲邊梯形的面積．如果 f x
a
b
b
是區間 a,b 上的連續函數，并且F x = f x ，那么 ò f x dx = F x = F b - F a a ．
a
2
(1)求 ò ex + x dx ；1
(2)設函數 f x = ln x +1 , g x = xf x x 0 ．
①若 f x mg x 恒成立，求實數m的取值范圍；
n n
②數列 an 滿足a1 = 1,an = g an-1 ，利用定積分幾何意義，證明： ai < ln n < ai ．
i=2 i=1
23．已知函數 f x = ex - ax2(a > 0)．
(1)若 x 0,+ 時，函數 f x 有 2 個不同的零點，求a的取值范圍；
(2)已知 f x 為函數 f x 的導函數， f x 在R 上有極小值 0，對于某點P x0 , f x0 ， f x 在 P 點的切
線方程為 y = g x ，若對于"x R ，都有 x - x0 × é f x - g x ù 0 ，則稱 P 為好點．
①求a的值；
②求所有的好點．
24．記 f x = f x ， f x 為 f x 的導函數.若對"x D ， f x > 0，則稱函數 y = f x 為 D 上的“凸
1
函數”.已知函數 f x = ex - x3 - ax2 -1， a R .
3
(1)若函數 f x 為R 上的凸函數，求 a 的取值范圍；
(2)若函數 y = f x 在 1,+ 上有極值，求 a 的取值范圍.
25．已知函數 f x ln x 1= - ax2 + a -1 x a R, a 0 .
2
(1)當 a < -1時，求函數 f x 的單調遞增區間；
(2)記函數F x 的圖象為曲線C ，設點 A x1, y1 、B x2, y2 是曲線C 上兩個不同點，如果曲線C 上存在
M x 0, y x + x0 ，使得：① x 1 20 = ；②曲線C 在點 M 處的切線平行于直線 AB ，則稱函數F x 存在“中值2
相依切線”.試問：函數 f x 是否存在中值相依切線，說明理由.

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