資源簡介

第 02 講 三角恒等變換
目錄
01 考情透視·目標導航..........................................................................................................................2
02 知識導圖·思維引航..........................................................................................................................3
03 考點突破·題型探究..........................................................................................................................4
知識點 1：兩角和與差的正余弦與正切 ....................................................................................................................4
知識點 2：二倍角公式 ................................................................................................................................................4
知識點 3：降次（冪）公式 ........................................................................................................................................5
知識點 4：半角公式 ....................................................................................................................................................5
知識點 4：輔助角公式 ................................................................................................................................................6
解題方法總結 ...............................................................................................................................................................7
題型一：兩角和與差公式的證明 ...............................................................................................................................8
題型二：兩角和與差的三角函數公式 .....................................................................................................................12
題型三：兩角和與差的三角函數公式的逆用與變形 .............................................................................................14
題型四：利用角的拆分求值 .....................................................................................................................................16
題型五：給角求值 .....................................................................................................................................................18
題型六：給值求值 .....................................................................................................................................................20
題型七：給值求角 .....................................................................................................................................................22
題型八：正切恒等式及求非特殊角 .........................................................................................................................25
題型九：三角恒等變換的綜合應用 .........................................................................................................................27
題型十：輔助角公式的高級應用 .............................................................................................................................30
題型十一：積化和差、和差化積公式 .....................................................................................................................32
04 真題練習·命題洞見........................................................................................................................35
05 課本典例·高考素材........................................................................................................................36
06 易錯分析·答題模板........................................................................................................................39
易錯點：不會應用輔助角公式 .................................................................................................................................39
答題模板：三角關系式的化簡求值 .........................................................................................................................40
考點要求 考題統計 考情分析
三角恒等變換位于三角函數與數學變換
2024年 I卷第 4題，5分 的結合點上，高考會側重綜合推理能力和運
（1）基本公式 2024年 II卷第 13題，5分 算能力的考查，體現三角恒等變換的工具性
（2）三角恒等變換 2024年甲卷第 8題，5分 作用，以及會有一些它們在數學中的應用．
求值 2023年 II卷第 7題，5分 這就需要同學熟練運用公式，進一步提
（3）輔助角公式 2023年 I卷 II卷第 8題，5分 高運用聯系轉化的觀點去處理問題的自覺
2022年 II卷第 6題，5分 性，體會一般與特殊的思想、換元的思想、
2021年甲卷第 11題，5分 方程的思想等數學思想在三角恒等變換中的
作用．
復習目標：
（1）會推導兩角差的余弦公式
（2）會用兩角差的余弦公式推導出兩角差的正弦、正切公式
（3）掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并會簡單應用
（4）能運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式推導二倍角的正弦、余弦、正切公式，并進行簡單的恒等
變換
知識點 1：兩角和與差的正余弦與正切
① sin( ) sin cos cos sin ；
② cos( ) cos cos sin sin ；
③ tan( ) tan tan ；
1 tan tan
tan11° + tan19°
【診斷自測】 ° .tan11 tan19° -1
3 1
【答案】- / - 3
3 3
tan11° + tan19° tan11° + tan19° 3
【解析】
° ° - - tan(11
°
° ° +19
° ) - tan 30° - .
tan11 tan19 -1 1- tan11 tan19 3
3
故答案為：-
3
知識點 2：二倍角公式
① sin 2 2sin cos ；
② cos 2 cos2 - sin2 2cos2 -1 1- 2sin2 ；
③ tan 2 2 tan ；
1- tan2
π 3 5π
【診斷自測】已知 sin - ÷ - ，則 cos + 2 ÷的值為（12 5 6 ）è è
24 24 7
A． B．- C 7． D．-
25 25 25 25
【答案】D
cos 5π 2 cos é2 5π ù 2 5π 【解析】 + ÷ ê +6 ÷
2cos + ÷ -1
è ú è 12 è 12
2sin2 π -

÷ -1
9 72 -1 -
25 ，è12 25
故選：D．
知識點 3：降次（冪）公式
sin cos 1 sin 2 ;sin2 1- cos 2 ;cos2 1+ cos 2 ;
2 2 2
2
【診斷自測】已知函數 f x 2sin x cos x + 2 3 cos x - 3 ．
(1)求 f x 的最小正周期和單調區間；
10 π π
(2)
π
若 f ， ,
13 4 2 ÷
，求 cos 2 + ÷的值．
è è 6
2
【解析】（1）因為 f x 2sin x cos x + 2 3 cos x - 3 sin 2x + 3 cos 2x 2sin 2x
π
+ ÷，
è 3
f x 2π可得 的最小正周期T π；
2
2kπ π π令 - 2x + 2kπ
π 5π
+ ,k Z ，解得 kπ - x kπ
π
+ ,k Z；
2 3 2 12 12
令 2kπ
π
+ 2x π+ 2kπ 3π+ ,k Z ，解得 kπ
π
+ x kπ 7π+ , k Z；
2 3 2 12 12
所以 f x é的單調遞增區間為 êkπ
5π
- ,kπ π+ ùú ,k Z
é π 7π ù
，單調遞減區間為 êkπ + ,kπ + ú ,k Z . 12 12 12 12
（2）因為 f 2sin π 10 π 5 2 + ，即 sin 2 + ，
è 3 ÷ ÷ 13 è 3 13
π , π 2 π 5π , 4π + 且 ÷，則4 2 3 6 3 ÷
，
è è
可得 cos 2 π+ π - 1- sin2 2 + 12 ÷ ÷ - ，
è 3 è 3 13
cos 2 π cos é 2 π π ù cos 2 π π π π 5 -12 3所以 + ÷ ê + ÷ - ú +

÷cos + sin
2 +
6 3 6 3 6 3 ÷
sin .
è è è è 6 26
知識點 4：半角公式
sin 1- cos ;cos 1+ cos ;
2 2 2 2
tan sin 1- cos .
2 1+ cos sin a
【診斷自測】（2024·高三·河北·期末）已知 tan
q 2 sinq sinq ，則 - 的值為 ．
2 1- cosq 1+ cosq
3
【答案】-
2
q
sinq sinq 2sin cos
q 2sin q cos q
2 2 2 2
【解析】（法一） - -1- cosq 1+ cosq 1- cos
2 q - sin2 q 1+ cos2 q - sin2 q
è 2 2 ÷ 2 2 ÷ è
2sin q cos q 2sin q cos q cos q sin q
2 2 - 2 2 2 2 1 q- - tan
2sin2 q 2cos2 q sin q cos q tan q 2
2 2 2 2 2
1
- 2 3 -
2 2 ．
q
tan q
2 tan
（法二）因為 2，所以 tanq 2
2 2 4
- ，
2 1 q- tan2 1- 4 3
2
sinq sinq 2sinq cosq 2sinq cosq 2sinq cosq 2cosq 2
則 - 1- cosq 1+ cosq 1- cosq 1+ cosq 1- cos2 q sin2 q sinq tanq
2 3 3 - ÷ - ．
è 4 2
3
故答案為：- ．
2
知識點 4：輔助角公式
asin + bcos a2 + b2 sin( + ) （其中 sin b a b ，cos ，tan ）．
a2 + b2 a2 + b2 a
【診斷自測】當 x 時， f x 2sinx +cosx 取最小值，求 sin 的值 .
2 5 2
【答案】- / - 5
5 5
f x 2sinx cosx 2 1 【解析】由 + 5 sinx + cosx ÷ 5 sin x +q ，
è 5 5
其中 sinq 5 2 5 ， cosq ，
5 5
又當 x 時， f x 取最小值，
π則 +q 2kπ - ,k Ζ，且 f 5 sin +q - 5 ，
2
sin sin 2kπ π 2 5所以 - -q

2 ÷
-cosq -
è 5
2 5
故答案為：- ．
5
解題方法總結
1、兩角和與差正切公式變形
tan tan tan( )(1 tan tan )；
tan tan 1 tan + tan tan - tan - -1．
tan( + ) tan( - )
2、降冪公式與升冪公式
sin 2 1- cos 2 ；cos2 1+ cos 2 ；sin cos 1 sin 2 ；
2 2 2
1+ cos 2 2cos2 ；1- cos 2 2sin 2 ；1+ sin 2 (sin + cos )2 ；1- sin 2 (sin - cos )2 ．
3、其他常用變式
2 2 2
sin 2 2sin cos 2 tan cos 2 cos - sin 1- tan tan sin 1- cos 2 ； ； ．sin + cos2 1+ tan2 sin 2 + cos2 1+ tan2 2 1+ cos sin
4 1、拆分角問題：① =2 ； =( + )- ；② - ( - )；③ [( + ) + ( - )]；
2 2
④ 1 [( + ) - ( - )] ；⑤ + - ( - )．
2 4 2 4

注意：特殊的角也看成已知角，如 - ( - ) ．
4 4
5、和化積公式
sinα + sinβ 2sin + cos -
2 2
sinα - sinβ 2cos + sin -
2 2
cosα cosβ 2cos + cos - +
2 2
cosα - cosβ -2sin + sin -
2 2
6、積化和公式
sinα cosβ 1 ésin + + sin - ù
2
cosα cosβ 1 é cos + + cos - ù2
sinα sinβ 1 é cos - - cos + ù2
題型一：兩角和與差公式的證明
【典例 1-1】閱讀下面材料：根據兩角和與差的正弦公式，有
sin + sin cos + cos sin ①，
sin - sin cos - cos sin ②，
由① +②得 sin + + sin - 2sin cos ③．
令 + A， - B
A + B A - B A + B A - B
，則 ， ，代入③得 sinA + sinB 2sin cos ．
2 2 2 2
(1)利用上述結論，試求 sin15° + sin75°的值；
(2)類比上述推證方法，根據兩角和與差的余弦公式，證明： cosA - cosB -2sin
A + B sin A - B ．
2 2
【解析】（1） sin15 sin75 2sin 15° + 75° cos15° - 75° 6° + ° ；
2 2 2
（2）證明：根據兩角和與差的余弦公式，有
cos + cos cos - sin sin ①，
cos - cos cos + sin sin ②，
由① - ②得 cos + - cos - -2sin sin ③．
令 + A， - B
A + B A - B A + B A - B，則 ， ，代入③得 cosA - cosB -2sin sin ．
2 2 2 2
【典例 1-2】如圖，設單位圓與 x 軸的正半軸相交于點Q(1,0)，當 2k + (k Z) 時，以 x 軸非負半軸
為始邊作角 ， ，它們的終邊分別與單位圓相交于點P1(cos ,sin )，Q1(cos ,sin ) ．
（1）敘述并利用上圖證明兩角差的余弦公式；
（2）利用兩角差的余弦公式與誘導公式．證明： sin( - ) sin cos - cos sin ．
2 2
（附：平面上任意兩點P1 x1, y1 ，P2 x2 , y2 間的距離公式P1P2 x2 - x1 + y2 - y1 )
【解析】（1）兩角差的余弦公式為： cos( - ) cos cos + sin sin .
證明：作角 - 的終邊與單位圓相交于點P(cos( - ),sin( - )).
連接Q1P1,QP ，
若把扇形OQP繞著點O旋轉 角，則點Q, P 分別與點Q1, P1 重合.
根據圓的旋轉對稱性可知，Q P 與Q 1P1 重合，
從而Q P Q P ，所以QP Q1P1 1 1 .
根據兩點間的距離公式，得
[cos( - ) -1]2 + sin2 ( - ) (cos - cos )2 + (sin - sin )2
化簡得 cos( - ) cos cos + sin sin .
當 2k + (k Z)時，容易證明上式仍然成立.

（2）證明：由誘導公式可知， sin - -cos + - ÷ .
è 2
cos cos é 而 + - ÷ ê +
- ù cos
2 2 ÷ ú
+ ÷cos + sin + ÷sin
è è è 2 è 2
-sin cos + cos sin ，
故 sin( - ) - -sin cos + cos sin sin cos - cos sin .
即證結論.
【方法技巧】
推證兩角和與差公式就是要用這兩個單角的三角函數表示和差角的三角公式，通過余弦定理或向量數
量積建立它們之間的關系，這就是證明的思路．
【變式 1-1】如圖，在平面直角坐標系中，以原點為圓心，單位長度為半徑的圓上有兩點P(cos ,sin ) ，
Q(cos ,sin ) .
uuur uuur
（1）請分別利用向量OP 與OQ 的數量積的定義式和坐標式，證明： cos( - ) cos cos + sin sin .
（2）已知（1）中的公式對任意的 ， 都成立(不用證)，請用該公式計算 cos15°的值，并證明：
sin( + ) sin cos + cos sin .
【解析】（1）證明：根據兩個向量的數量積公式可得
uuur uuur
OP OQ cos cos + sin sin ，
再根據兩個數量積的定義
uuur uuur uuur uuur
OP OQ OP OQ cos - cos - sin - ，
\cos( - ) cos cos + sin sin .
2 ° °（ ）由（1）可得 cos15 cos 45 - 30°
cos45° cos30° + sin 45° sin 30°
2 3 2 1 6 + 2
+ .
2 2 2 2 4
sin( + ) cos é - ( + )ù
ê 2 ú
cos é ùê - ÷ - ú cos

-

÷cos + sin

- ÷sin
è 2 è 2 è 2
sin cos + cos sin ，即證.
【變式 1-2】在推導很多三角恒等變換公式時，我們可以利用平面向量的有關知識來研究，在一定程度上
可以簡化推理過程．如我們就可以利用平面向量來推導兩角差的余弦公式：
cos( - ) cos cos + sin sin ．
具體過程如下：如圖，在平面直角坐標系 xOy 內作單位圓O，以Ox 為始邊作角 , ．它們的終邊與單位
圓O的交點分別為 A, B．
uuur uuur uuur uuur
則OA (cos ,sin ),OB (cos ,sin )，由向量數量積的坐標表示，有OA OB cos cos + sin sin ．
uuur uuur uuuv uuuv uuuv uuuv
設OA,OB的夾角為q ，則OA OB | OA OB∣cosq cosq cos cos + sin sin ，另一方面，由圖（1）可
知， 2k + +q ；
由圖（2）可知 2k + -q ，于是 - 2k q ,k Z ．
所以cos( - ) cosq ，也有 cos( - ) cos cos + sin sin ；
所以，對于任意角 , 有： cos( - ) cos cos + sin sin C - ．
此公式給出了任意角 , 的正弦、余弦值與其差角 - 的余弦值之間的關系，稱為差角的余弦公式，簡
記作C - ．有了公式C - 以后，我們只要知道 cos , cos ,sin ,sin 的值，就可以求得 cos( - )的值了．
閱讀以上材料，利用圖（3）單位圓及相關數據（圖中M 是 AB 的中點），采取類似方法（用其他方法解答
正確同等給分）解決下列問題：
uuur 1 uuuur
（1）判斷OC uuuur OM| OM | 是否正確？（不需要證明）
sin sin 2sin + cos - （2）證明： + ．
2 2
r 1 r uuur
【解析】（1）因為對于非零向量 n, r n
r uuuur uuur
| n | 是 n方向上的單位向量，又 | OC | 1且OM 與OC 共線，
uuur 1 uuuur
所以OC uuuur OM| OM | 正確；
（2）因為M 為 AB 的中點，則OM ^ AB，
uuuur uuur
| OM | | OA | cos - cos - 從而在△OAM 中， ，
2 2
uuuuuuruuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuvuuuv uuuuv
OC uu1uuv OM + + 又 ，OC cos ,sin ,OM ÷è 2 2
又Q M 是 AB 的中點
uuuur
OM cos + cos , sin + sin
uuuur
\ OM cos - ，\
è 2 2 ÷ 2
sin + 1 sin + sin
所以 2 - ÷è 2 ，化簡得， sin + sin 2sin
+ cos -
cos ．2 2
2
結論得證.
題型二：兩角和與差的三角函數公式
【典例 2-1】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知 sin sin
π π π +
cos sin
6 ÷
- ，則 tan 2α +
3 ÷ 4 ÷

è è è
（ ）
A． 2 - 3 B． -2 - 3 C． 2 + 3 D．-2 + 3
【答案】B
3
【解析】由題意 sin2 1+ sin cos 3 cos2 1- sin cos 3，即 cos 2 1 sin 2 ，
2 2 2 2 2 2
tan 2
π
+ tan 23 +1
即 tan 2 3 ，所以 tan 2
π
+ 4 3 +1÷ π -2 - 3 .è 4 1- tan 2 tan 1- 3 -2
4
故選：B.
π
【典例 2-2】（2024·浙江·三模）若 sin - + cos - 2 2sin - 4 ÷sin ，則（ ）è
A． tan - -1 B． tan - 1
C． tan + -1 D． tan + 1
【答案】C
【解析】因為 sin - + cos - 2 2sin π- sin ，
è 4 ÷
所以 sin cos - cos sin + cos cos + sin sin 2 2 sin cos
π
- cos sin π ÷sin ，
è 4 4
即 sin cos - cos sin + cos cos + sin sin 2sin sin - 2cos sin ，
即 sin cos + cos cos sin sin - cos sin ，
兩邊同除 cos cos 可得 tan +1 tan tan - tan ，
所以 tan tan + tan + -11- tan tan .
故選：C
【方法技巧】
兩角和與差的三角函數公式可看作是誘導公式的推廣，可用 α，β 的三角函數表示 的三角函數，
在使用兩角和與差的三角函數公式時，特別要注意角與角之間的關系，完成統一角和角與角轉換的目的．
1
【變式 2-1】（多選題）下列選項中，值為 2 的是（ ）
A． 2cos2 15° B． sin 27° cos 3° + cos 27° sin 3°
tan 22.5°
C． 2sin15°sin 75° D．
1- tan2 22.5°
【答案】BCD
A 2cos2 15 1 cos30 1 3【解析】選項 ： ° + ° + ，故選項 A 不符合題意；
2
選項 B： sin 27°cos3° + cos 27°sin 3
1
° sin 30° ，故選項 B 符合題意；
2
1
選項 C： 2sin15sin 75° 2sin15°cos15° sin 30° ，故選項 C 符合題意；
2
選項 D
tan 22.5° 1 2 tan 22.5° 1 1
： 2 tan 45° 1 tan 22.5 ，故選項 C 符合題意.- ° 2 1- tan2 22.5° 2 2
故選：BCD.
π
【變式 2-2】（多選題）已知0 < < < ，且 tan , tan 是方程
2 21x
2 -10x +1 0的兩根，下列選項中正確
的是（ ）
sin +
A． tan + 1 6 B．
2 cos - 11
C． tan - 4 - D． + 2 π
11 4
【答案】AD
π
【解析】 tan , tan 是方程 21x2 -10x +1 0的兩根，又0 < < < ，2
解得 tan
1
, tan 1 ，
7 3
1 1
+
tan + tan + tan 1 7 3 ，A 選項正確；
1- tan tan 1 1 1- 2
7 3
sin + sin cos + cos sin tan + tan 5

cos - cos cos + sin sin 1+ tan tan 11，B 選項錯誤；
1 1
-
tan - tan - tan 2 7 31 1 - ，C 選項錯誤；1+ tan tan 1+ 11
7 3
0 < < π< ， tan + 1 ，則0 π< + < ，有0 < + 2 < π，
2 2 2
1 1
tan + + tan
+
tan + 2 tan é + + ù 2 31 1 1，1- tan + tan 1-
2 3
+ 2 π ，D 選項正確.
4
故選：AD.
題型三：兩角和與差的三角函數公式的逆用與變形
【典例 3-1】（2024·高三·陜西商洛·期中）已知 ， 滿足 1+ tan 1- tan 2，則 - ．
π
【答案】- + kπ k Z
4
【解析】因為 1+ tan 1- tan 1+ tan - tan - tan tan 2，
tan - tan
即 tan - tan 1+ tan tan ，整理得 -1，即 tan - -11+ tan tan ，
所以
π
- - + kπ k Z ．
4
π
故答案為：- + kπ k Z ．
4
【典例 3-2】計算： tan 73° - tan193° - 3 tan 73° tan13° ＝ .
【答案】 3
° ° ° ° ° °
【解析】由題意 tan 73 - tan13 - 3 tan 73 tan13 tan 73 -13 1+ tan 73° tan13° - 3 tan 73° tan13° 3 ．
故答案為： 3．
【方法技巧】
運用兩角和與差的三角函數公式時，不但要熟練、準確，而且要熟悉公式的逆用及變形．公式的逆用
和變形應用更能開拓思路，增強從正向思維向逆向思維轉化的能力．
【變式 3-1】 cos + 30° cos + sin + 30° sin ．
3 1
【答案】 / 3
2 2
【解析】因為 cos + 30° cos + sin + 30° sin cos é + 30° - ù cos30°
3
，
2
3
故答案為： .
2
3
【變式 3-2】（2024·江西·模擬預測）已知 cos + ， cos cos 2 ，則 cos 2 - 2 .
5 5
23
【答案】 - 25
【解析】因為 cos + cos cos 3 2- sin sin ， cos cos ，
5 5
所以 sin sin
1
- ，
5
所以 cos - cos cos + sin sin 1 ，
5
所以 cos 2 - 2 cos2 23- 2cos2 - -1 - .
25
23
故答案為： - 25 .
【變式 3-3】已知 , ,g
π
0, ÷ ,sin + sing sin , cos + cosg cos ，則 - .
è 2
π
【答案】-
3
【解析】由 sin + sing sin , cos + cosg cos ，
可得 sing sin - sin , cosg cos - cos ，
兩式平方相加，可得：1 (sin - sin )2 + (cos - cos )2 2 - 2(sin sin + cos cos ) 2 - 2cos( - )，
即cos(
1
- ) ，
2
又由g
0, π ÷，可得 sing sin - sin > 0，所以 sin > sin ，所以 >
è 2
因為 ,
π
0, ÷，且cos( - )
1 π
，所以 - - .
è 2 2 3
π
故答案為：- .
3
【變式 3-4】設 cos + cos
7 1
2022 2022， sin - sin ，則 sin + + cos + ．
5 5
【答案】1
【解析】由 cos + cos
7
cos2 + cos2 + 2cos cos 49 (1) ，
5 25
sin - sin 1 sin2 + sin2 - 2sin sin 1 (2)，
5 25
(1) + (2) ，得 2 + 2cos + 2 cos + 0，
sin2 + 1- cos2所以 + 1，
故 sin2022 + + cos2022 + 1．
故答案為：1
題型四：利用角的拆分求值
π 1 5π
【典例 4-1】（2024·遼寧·模擬預測）已知 sin + ÷ ，則 sin 2 + ÷ .
è 6 4 è 6
7
【答案】 / 0.875
8
sin π 1【解析】因為 + ÷ ，則
è 6 4
sin 2 5π sin é 2 π π ù π π 1 7 + ÷ + + cos
2
6 ê 3 ÷ 2 ú
2 + ÷ 1- 2sin3
+ ÷ 1- .
è è è è 6 8 8
7
故答案為： .
8
5 10 +
【典例 4-2】已知 ， 均為銳角， sin - ÷ ， sin - + ÷ ，則 cos 的值為（ ）
è 2 5 è 2 10 2
A 2 B 2 2 2．- ． C． D．-
2 2 10 10
【答案】B
0 π ,0 π ( π , π) π π【解析】因為 ， 均為銳角，即 < < < < ，所以 - - ，- + (- , )，
2 2 2 4 2 2 4 2
sin - 5又 ÷ ， sin

- +
10 ，
è 2 ÷ 5 è 2 10
cos - 1- ( 5 )2 2 5 cos - + 10 3 10所以 ÷ ， ÷ 1- ( )
2 ，
è 2 5 5 è 2 10 10
所以 cos
+ cos[( - ) ( + - + )] cos( - )cos(- + ) - sin( - )sin( - + )
2 2 2 2 2 2 2
2 5 3 10 5 10 2
- ，
5 10 5 10 2
故選：B.
【方法技巧】
常 用 的 拆 角 、 配 角 技 巧 ： 2 ( + ) + ( - ) ； ( + ) - ( - ) + ；
+ - - ( + 2 ) - ( + ) ； - ( - g ) + (g - ) ； 15° 45° - 30° ； + - -
2 2 4 2 4 ֏
等．
π 4 π
【變式 4-1】（2024·山東·模擬預測）已知 cos - - cos ，則 sin 2 + （ ）
è 3 ÷ 5 6 ÷
è
7 7 24 24A． B．- C． D．-
25 25 25 25
【答案】B
cos π- - cos 4 cos cos π【解析】由 ÷ + sin sin
π
- cos 4 cos cos π - sin sin π 4 -
è 3 5 3 3 5 3 3 5
cos π 4 +

÷ - ，
è 3 5
所以 cos

2
2π π 7
+ 2
3 ÷
2cos + ÷ -1 ，
è è 3 25
sin 2 π é π π ù π 2π所以 + ÷ cos ê -

2 +

÷ú cos - 2
7
6 2 6 3 ÷
-cos 2 + 3 ÷
- .
è è è è 25
故選：B
π
【變式 4-2 3 3】已知 sinq + cosq 1，則 cos + 2q ÷ （3 ）2 2 è
1 1
A 3 3． B．- C． D．-
3 3 3 3
【答案】C
3 3
【解析】因為 sinq + cosq 1，
2 2
3 1
所以 3 sinq + cosq ÷÷ 1，
è 2 2
所以 sin q
π
+
3
，
è 6 ÷ 3
又 cos
π
+ 2q

÷ 1- 2sin
2 π
+q

3 ÷
，
è è 6
所以 cos
π 1
+ 2q ÷ ，
è 3 3
故選：C.
【變式 4-3】若 α 為銳角，且 sin
π 3
- ÷ ，則 cos2α＝（　　）
è 4 5
24 24 7
A．- B 7． C．- D．
25 25 25 25
【答案】A
π π π π
【解析】∵ a (0, )，∴ -

2 4
- , ÷，
è 4 4
sin π 3
1 2
又 -

÷
π
, ÷÷ ，∴ - (
π , π)，
è 4 5 è 2 2 4 6 4
∴ cos( π) 1 (3)2 4- - ，
4 5 5
∴ sin(2
π
- ) 2sin( π- ) cos( π) 3 4 24- 2 ，
2 4 4 5 5 25
則 cos 2 sin(
π
- 2 ) -sin(2 π- ) 24 - ．
2 2 25
故選：A．
題型五：給角求值
2sin18o 3cos2 9o - sin2 9o -1
【典例 5-1】（2024·重慶·模擬預測）式子 化簡的結果為（ ）
cos 6o + 3 sin 6o
A 1． B．1 C． 2sin 9o2 D． 2
【答案】B
2sin18o 3cos2 9o - sin2 9o - cos2 9o - sin2 9o
【解析】原式
2sin 6o + 30o
2sin18o 2cos2 9o - 2sin2 9o 2sin18o cos18o sin 36o
o o 1.2sin 36 sin 36 sin 36o
故選：B.
sin 40° °
【典例 5-2 sin80】計算： 2 o o （ ）cos 40 + cos 60
A 2
1
．- B．- C 2． D
1
．
2 2 2 2
【答案】C
3 ° 2 1 ° 2
sin 40° sin80° sin（60° - 20°） sin（60° + 20° （ cos 20 ）-（ sin 20 ））
【解析】因為
°
2 2
cos 40 + cos 60° cos 40° 1 3+ - 2sin2 20°
2 2
3 cos2 20° 1- sin2 20° 3 - sin2 20° 1
4 4 4 23 ，所以原式
（2 - sin2 20° 3） （2 - sin2 20°） 2 2
4 4
故選：C
【方法技巧】
（1）給角求值問題求解的關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系，借助角之間的聯系尋找轉
化方法．
（2）給角求值問題的一般步驟
①化簡條件式子或待求式子；
②觀察條件與所求之間的聯系，從函數名稱及角入手；
③將已知條件代入所求式子，化簡求值．
1- 3 tan10°
【變式 5-1】求值： （ ）
1- cos 20°
A．1 B． 2 C． 3 D． 2 2
【答案】D
1 3 sin10°-
【解析】原式 cos10° cos10° - 3 sin10°
2sin2 10° 2 sin10°cos10°
2cos 10° + 60° 2 2 cos 70° 2 2 cos 90° - 20° 2 2 sin 20°
2 2
2 sin 20° sin 20° sin 20° ，sin 20°
2
故選：D.
【變式 5-2】（2024·廣東汕頭·二模）若l sin160o + tan 20o 3 ，則實數l 的值為（ ）
A． 4 B． 4 3 C． 2 3 D 4 3．
3
【答案】A
3 - tan 20o 3 cos 20o - sin 20o 2 sin 60o cos 20o - cos 60o sin 20o
【解析】由已知可得l sin 180o - 20o sin 20o cos 20o 1 sin 40o
2
4sin 40o
4 .
sin 40o
故選：A.
5-3 sin110
ocos250o
【變式 】 2 o 2 o 的值為（ ）cos 25 - sin 155
1
A．- B 1 3 3． 2 C． D． -2 2 2
【答案】A
1 sin140o 1 sin40o
【解析】原式 -sin70ocos70o - 2 12 o 2 o o -
2
o -
.
cos 25 - sin 25 cos50 sin40 2
故選：A
題型六：給值求值
π 1 7
【典例 6-1】（2024·廣西南寧·一模）已知0 < < < < π,cos - ,sin + ，則 tan ．
2 3 9
2
【答案】
4
π 3π
【解析】由題意， sin 1- cos2 2 2 ，且 < + < ，故2 2 cos + - 1- sin
2 4 2+ - .
3 9
故 sin sin + - sin + cos - cos + sin
7 1 4 2 2 2 1
9
-
3 ÷
-
è
- ÷÷ .
è 9 3 3
1
1 2 2 3 2
故 cos 1- tan
32
， .
3 2 2 4
3
2
故答案為：
4
π 1 3
【典例 6-2】（2024·高三·吉林長春·開學考試）已知0 < < < ，cos + ，sin - ，則
2 5 5
tan tan .
3
【答案】 / 0.6
5
ì
- > 0
π
【解析】由0 < <
π
< ，所以 í- < - < 0 0 <
π
- < ，
2 2 2
π
0 < < 2
3 2 4 sin - 3 tan - tan 3
所以 cos - 1- ÷ ，所以 tan - ①
è 5 5 cos - 4
，即1 ，+ tan tan 4
cos +
因為 cos + 1 ， sin 3 cos cos - sin sin 1 - ，所以
5 5 sin - sin cos - cos sin 3 ，
1- tan tan 1
即 ②，聯立①②得 tan tan
3

tan tan 3 .- 5
3
故答案為： .
5
【方法技巧】
給值求值：給出某些角的三角函數式的值，求另外一些角的三角函數值，解題關鍵在于“變角”，使
其角相同或具有某種關系，解題的基本方法是：①將待求式用已知三角函數表示；②將已知條件轉化而推
出結論，其中“湊角法”是解此類問題的常用技巧，解題時首先要分析已知條件和結論中各種角之間的相
互關系，并根據這些關系來選擇公式．
【變式 6-1】（2024·全國·模擬預測）已知 sin 2sin + , 2sin - cos + 2 0，則 tan + ．
1
【答案】 / 0.5
2
【解析】Qsin sin é + - ù 2sin + ，\sin + cos - cos + sin 2sin + ，
化簡得 sin + cos + sin ,\ tan + sin ，
cos - 2 cos - 2
又 2sin - cos + 2
sin 1
0,\
cos 2 2 ，故
tan + 1 ．
- 2
1
故答案為： 2
3 5 q
【變式 6-2】（2024·高三·浙江紹興·期末）若 sinq ， < q < 3 ，則 tan + 2cos
q
．
5 2 2 2
3 10 / 15 - 10【答案】 -
5 5
3 5
【解析】因為 sinq ， < q < 3 ，
5 2
所以 cosq 1 sin2 q 1 9 4 - - - - - ，
25 5
5
因為 < q < 3
2
5 q 3
所以 < < ，
4 2 2
1 4- 1 4+
所以 cos q 1+ cosq 5 10 ， sin q 1- cosq 3 10 - - - - - 5 - ，
2 2 2 10 2 2 2 10
sin q
所以 tan
q
2q 3，2 cos
2
q
所以 tan + 2cos q 10 3 - ，
2 2 5
10
故答案為：3-
5
π 2
【變式 6-3】（2024·山西臨汾·模擬預測）已知 為銳角，且 sin - ÷ + 3sin ，則
è 6 3
cos 2
π
+ ÷ ．
è 6
3 + 4 5
【答案】
18
sin π 1 3 3 1 π 【解析】因為 -6 ÷
+ 3sin cos - sin + 3sin sin + cos sin +2 2 2 2 6 ÷
，
è è
即 sin
π 2 2
+ ÷ < ，
è 6 3 2
π π , 2π 且 為銳角，則 +
6 ÷
，
è 6 3
π π可知 + ,
π
÷，則 cos


π
+ 1- sin2 π 5
6 è 6 4 6 ÷
+ ÷ ，
è è 6 3
π π 1 π π π 4 5
可得 cos 2 + ÷ 2cos
2
6
+
6 ÷
-1 ,sin 2 +9 6 ÷
2sin + ÷cos + ÷ ，
è è è è 6 è 6 9
cos 2 π 所以 + ÷ cos
é2 π π ù 3+ - cos 2 π 1 π 3 + 4 5ê ÷ ú +
+ sin 2 + .
è 6 è 6 6 2 è 6
÷ ÷
2 è 6 18
3 + 4 5
故答案為： .
18
題型七：給值求角
π π π π
【典例 7-1】（2024·貴州六盤水·模擬預測）設
é , ù é ùê ú ， ê , ú，且 sin + cos 2 cos ，則 4 2 4 2
- .
π
【答案】
4

【解析】因為sin +cos 2
2
sin
2
+ cos π π π÷÷ 2 sin sin +cos cos ÷ 2 cos -

，
è 2 2
÷
è 4 4 è 4
π
所以 2 cos - ÷ 2 cos
π
，即 cos
4
- ÷ cos
è è 4
é π π π又 ê ,
ù é
ú ， ê ,
πù π- é π ù，所以 0, ，
4 2 4 2ú 4 ê 4 ú
π π π π π
則可得 - ，則 , 故 - .
4 4 2 4 4
π
故答案為： .
4
sin sin π+ + + sin 2π 【典例 7-2】已知 為銳角，且 ÷ + ÷ 3 ，則 .
è 3 è 3

【答案】 / 60°
3
【解析】因為 sin
π
+ ÷ sin cos
π
+ cos sin π 1 sin 3+ cos ，
è 3 3 3 2 2
sin 2π 2π +

÷ sin cos + cos sin
2π 1
- sin 3+ cos ，
è 3 3 3 2 2
又 sin + sin


π
+ + sin ÷
2π
+
3 3 ÷
3 ，
è è
π 3
所以 sin + 3cos 3 1 sin 3 ，所以 + cos 3 ，即 sin + ，
2 2 2 è 3 ÷ 2
因為0
π
< < π α π 5π π 2π π，所以 < + < + .
2 3 3 6
，所以 ，所以
3 3 3
π
故答案為： .
3
【方法技巧】
給值求角：解此類問題的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函數值，再確定“所求角”的范
圍，最后借助三角函數圖像、誘導公式求角．
7-1 cos 2 7 sin 3 3【變式 】已知 ， 均為銳角， ， ，則 cos 2 ，2 - .
7 14
1 π
【答案】
7 3
【解析】因為 cos 2 7 ，
7
所以 cos 2 2cos2 -1
1
，
7
又因 ， 均為銳角，所以 , 0,
π
÷，則 2 0, π ，
è 2
2 0, π 2 π π- - , sin 2 1 cos2 2 4 3所以 ÷ ，所以 ，2 2 2 ÷ -
，
è è 7
sin 3 3又因 ，所以 cos
13
1- sin2 ，
14 14
則 sin 2 - sin 2 cos - cos 2 sin 4 3 13 1 3 3 3 - ，
7 14 7 14 2
π
所以 2 - .
3
1 π
故答案為： ； .
7 3
3 4【變式 7-2】若 < < < < ，且
4 2 cos +
2
- ， sin 2 ，則 - .
10 5
3
【答案】
4

【解析】因為 < < ，所以 < 2 < 2 ，
4 2
sin 2 4 > 0，所以 < 2 <
，所以 < < ，
5 2 4 2

所以 - < - < - ， <
3
<
2 4 ，2
5
所以 < - < ，
2 4

因為 < 2 < ， sin 2
4 3
，則 cos 2 - ，
2 5 5
5
< + < 2 ，
4 cos +
2
- ，所以 sin + 7 2 -
10 10
所以 sin - sin é + - 2 ù sin + cos 2 - cos + sin 2
7 2 3
- -
2 4 2
÷ - - ÷÷ ，10 è 5 è 10 5 2
- 3 所以 .
4
3
故答案為： .
4
【變式 7-3】已知 tan - 1 ， tan 1 - ， , 0, π ，則 2 - 的值是（ ）2 7
π π 3π
A．- B． C D
3π
． ． -
4 4 4 4
【答案】D
【解析】因為 tan 1- ， tan 1 - < 0 ， , 0, π ，
2 7
1 1
-
則 tan tan é
1
- + ù
2 7 0,11 1 ，1- - 3
2 ֏ 7
π , π 可知 ÷ ， 0,
π
÷，則 2 - -π,0 ，
è 2 è 4
1
2 tan 2 3 3
又因為 tan 2 2 2 > 01- tan 4 ，
1- 1 ÷
è 3
3 1
- - ÷
可得 tan 2 tan 2 - tan - 4 è 7 1
1+ tan 2 tan 1 3
，
+
1
-

4 ֏ 7
3π
所以 2 - - .
4
故選：D.
é π 3π ù π π【變式 7-4】設 ê ， ú，
é ù
ê ， ú ，且 sin + cos 2cos ，則（2 4 4 2 ）
π π π πA． + B． - C． + D． - -
4 4 2 4
【答案】B
π
【解析】因為 sin + cos 2sin + ÷ 2cos ，所以 sin
π+ π ÷ cos sin
- ．
è 4 4 ÷ è è 2
é π , 3π ù é π , π ù π é3π因為 ê ú， ê ú ，所以 + ê , π
ù , π - é0, π ù ，
2 4 4 2 4 4 ú 2 ê 4 ú
π π所以 + + - π ，則
π
- ．
4 2 4
故選：B.
題型八：正切恒等式及求非特殊角
【典例 8-1】（2024·陜西商洛·高三陜西省山陽中學校聯考期中）已知 ， 滿足 1 + tan 1 - tan 2 ，
則 - ______．
π
【答案】- + kπ k Z
4
【解析】∵ 1 + tan 1 - tan 1 + tan - tan - tan tan 2 ，
即 tan - tan 1+ tan tan ，
tan - tan
∴ -1 tan - - 11+ tan tan ，即 ，
∴
π
- - + kπ k Z ．
4
π
故答案為：- + kπ k Z .
4
【典例 8-2】（2024·江蘇南通·高三校考期中）在VABC中，若 tan A + tan B + 2 2 tan A tan B ，則
tan2C _________.
【答案】-2 2
tan A B tan A + tan B【解析】因為 + tan π - C - tan C ，
1- tan A tan B
所以， tan A + tan B tan C tan A tan B - 1 ，
由題意可得 2 tan AtanB-1 tan A+tanB tanC tan AtanB-1 ，
若 tan Atan B 1，則 tan A+ tanB 0，不妨設A為銳角，則 tanB -tan A<0，
則 tan A tan B - tan2 A < 0，不合乎題意，
所以， tan Atan B 1 2tanC，故 tan C 2 ，因此， tan 2C 2 -2 2 .1- tan C
故答案為：-2 2 .
【方法技巧】
正切恒等式：當 A + B + C k 時， tan A + tan B + tan C tan A tan B tan C ．
證明：因為 tan(A B) tan A tan B ， tan C tan (A B)，所以 tan A tan B tan C(1 tan A tan B)
1 tan A tan B
故 tan A + tan B + tan C tan A tan B tan C ．
【變式 8-1】（2024·山東·高三濟寧市育才中學校考開學考試）若角 的終邊經過點 P sin 70°, cos 70° ，且
tan + tan 2 + m tan tan 2 3 ，則實數 m ___________.
【答案】 3
【解析】因為角 的終邊經過點 P sin 70°, cos 70° ，
tan cos 70° cos(90° - 20°) sin 20°所以 tan 20°sin 70° sin(90° - 20°) cos 20°
因為sin70° > 0，cos70° > 0，
所以角 是第一象限的角，
所以 20° + k 360°,k Z，
不妨取k 0，則 20°，
所以 tan + tan2 +mtan tan2
tan20°+ tan40°+mtan20° tan40°
tan 2 0 ° + 4 0 ° 1 - tan 2 0 ° tan 4 0 ° + m tan 2 0 ° tan 40 °
tan 60° 1 - tan 20° tan 40° + m tan 20° tan 40°
3 1-tan20° tan40° +mtan20° tan40°，
所以 3 1-tan20° tan40° +mtan20° tan40° 3，
所以 (m - 3 ) tan 20° tan 40° 0 ，
所以m 3，
故答案為： 3
【變式 8-2】（山西省臨汾市 2023-2024 學年高三 11 月期中數學試題）已知 0, π ， + + g π ，且
2sin + tan + tang 2sin tan tang ，則 （ ）
π π π 2π
A． B． C． D．
6 4 3 3
【答案】C
【解析】2sin + tan + tang 2sin tan tang ，
2sin sin sin g 2sin sin sin g即 + + cos cosg cos cosg ，
sin cosg + sin g cos 2sin sin sin g 故 -1
cos cosg cos cosg ÷
，
è
sin + g 2sin sin sin g - cos cosg 所以
cos cosg
，
è cos cosg
÷

所以 sin + g -2sin cos + g ，
因為 + + g π ， sin + g sin , cos + g -cos ，
所以 sin 2sin cos ，
因為 0, π ，所以 sin 0 ，
cos 1 π故 ，解得 .
2 3
故選：C
題型九：三角恒等變換的綜合應用
a 2
【典例 9-1】在VABC 中 ,cos B 9 b 5 .16 ， ， c 3
(1)求 a；
(2)求 sin A ；
(3)求 cos(B - 2A) .
a 2
【解析】（1）在VABC 中 ,cos B 9 ，b 516 ， ，c 3
設 a 2k ，則 c 3k ， k > 0，
9k 2 + 4k 2cos B - 25 9\ ，
2 3k 2k 16
解得 k 2，
\a 2k 4；
（2）由（1）得 a 4， c 9 5 7 6， sin B 1- ( )2 ，
16 16
4 5
a b
由正弦定理得 ，即 sin A 5 7 ，
sin A sin B
16
7
解得 sin A .
4
π
（3）Qa < b， sin A 7 2 < sin π ，\ A是銳角，且 A < ，
4 2 4 4
\sin 2A 2sin Acos A 2 7 1- ( 7 )2 3 7 ，
4 4 8
cos 2A 1- (3 7 )2 1 ，
8 8
\cos(B - 2A) cos B cos 2A + sin Bsin 2A
9 1 5 7 3 7 57
+ .
16 8 16 8 64
【典例 9-2】（2024·天津·二模）在VABC 中，角A ， B ，C 所對的邊分別為 a，b ，c，已知b 4 ，
a 3c ， cosA 3 - .
3
(1)求 sinC 的值；
(2)求c的值；
(3)求 sin(2A + C) 的值.
【解析】（1）因為 A (0, π)，所以 sinA 1- cos2 A 6 ，又 a 3c ，
3
3c c
a c
所以由正弦定理可得： ，即 6 sin C ，解得 sin C 6 sin A sin C 9
3
2 2 2 2 2
（2）因為b 4 ， a 3c cosA b + c - a 16 + c - 9c 3， - ，
2bc 8c 3
化簡可得：3c2 - 3c - 6 0，解得 c 3 (負值舍去)，
（3）因為 sin2A 2sinAcosA 2 2 - ， cos2A 2cos2 A
1
-1 - ，
3 3
因為 c < a C 5 3， 為銳角，可得 cosC 1- sin2C ，
9
2 2 5 3 1 6 11 6
所以 sin(2A + C) sin 2AcosC + cos 2Asin C - + (- ) -
3 9 3 9 27
【方法技巧】
（1）進行三角恒等變換要抓住：變角、變函數名稱、變結構，尤其是角之間的關系；注意公式的逆
用和變形使用．
（2）形如 y asin x + bcos x 化為 y a2 + b2 sin(x + )，可進一步研究函數的周期性、單調性、最值
與對稱性．
【變式 9-1】（2023·陜西咸陽·校考二模）已知函數 f x 2 co sx s in x - co sx + 1, x R
(1)求函數 f x 的對稱軸和對稱中心；
x éπ 3π(2)當 ùê , ú，求函數 f x 8 4 的值域．
【解析】（1）因為 f x 2cosx sinx - cosx +1 2sin x cos x - 2cos2 x π-1 sin 2x - cos 2x 2 sin 2x - ÷，
è 4
2x π kπ π令 - + ,k Z
kπ 3π
，解得 x + ,k Z；
4 2 2 8
令 2x
π
- kπ,k Z x kπ π，解得 + ,k Z；
4 2 8
kπ 3π
所以函數 f x 的對稱軸為 x + ,k Z
kπ π
，對稱中心
2 8
+ ,0÷ ,k Z .
è 2 8
2 x é
π,3πù（ ）因為 ê ú，則 2x
π 5π
- é0, ù，
8 4 4 ê 4 ú
當 2x
π π x 3π- ，即 時，函數 f x 取到最大值 2；4 2 8
3π
當 2 x
π 5π
- ，即 x 時，函數 f x 4 4 取到最小值 - 1 ；4
所以函數 f x 的值域為 é -1, 2ù .
3
【變式 9-2】（2023·上海松江·高三上海市松江二中校考階段練習）已知 f x cosx 3sinx - cosx + .2
(1)求 f x 在 0 , 上的單調遞減區間；
2 π
(2)若 f , ,
5π
5 3 6 ÷，求sin2 的值.è
1 f x 3 sin x cos x - cos 2 x 3 3+ sin 2 x 1 + cos 2 x 3- + sin π 【解析】（ ） 2 x + + 1，2 2 2 2 ÷è 6
π
由 + 2kπ 2x
π 3π π 5π
- + 2kπ,k Z ，解得 + kπ x + kπ,k Z，
2 6 2 3 6
又Q x 0 , π ，
π 5π
\函數 f x 在 0, π é ù上的單調遞減區間為 ê , 3 6 ú
.

（2）由（1）知 f x π sin 2x - 6 ÷ +1，è
2
又Q f ,\sin 2
π 3
-
5 6 ÷
- ，
è 5
Q π 5π π π 3π ,3 6 ÷
,\2 -
6
,
2 2 ÷，è è
\cos 2
π
- ÷ - 1-sin
2
2
π 4- ÷ - ，
è 6 è 6 5
sin2 sin é 2 π ù sin 2 π cos π cos 2 π π\ ê - ÷ + ú -

6 6 6 ÷
+ - sin
è è 6
÷
è 6 6
3 3 4 1 -3 3 - 4 - + - ÷ .5 2 è 5 2 10
題型十：輔助角公式的高級應用
【典例 10-1】已知 f x cos x + + 2sin x tan 的最大值為 3，則 .
2
【答案】-1
【解析】 f x cos x + + 2sin x cos x cos + sin x 2 - sin ，
由輔助角公式可得 f x 的最大值 2 - sin 2 + cos2 3，
化簡得5 - 4sin 9，即 sin -1，解得 2kπ
π
- , k Z，
2
所以， tan

tan k -

÷ tan

2 4
- ÷ -1 k Z .
è è 4
故答案為：-1.
【典例 10-2】設 A, B,C 是一個三角形的三個內角，則 cosA 3sinB + 4sinC 的最小值為 .
125 3
【答案】-
108
【解析】 cosA 3sinB + 4sinC cosA é3sinB + 4sin π - A - B ù cosA 3sinB + 4sin Acos B + 4cos Asin B
cosA é 3+ 4cos A sin B + 4sin Acos B ù ，
令3+ 4cos A a,b 4sin A，
所以 cosA 3sinB + 4sinC cosA asinB + bcos B a2 + b2 cos Asin q + B ，
要想 cosA 3sinB + 4sinC 有最小值，顯然A 為鈍角，即 cos A < 0，
于是有 a2 + b2 cos Asin q + B a2 + b2 cos A，
設 f A cos A 9 + 24cos A +16cos2 A +16sin2 A cos A 25 + 24cos A ，
因為 cos A < 0，
所以 f A - 25cos2 A + 24cos3 A
令 cos A t -1 < t < 0 2 3，即 f t 25t + 24t , -1< t < 0 f t 50t + 72t 2 2t 25 + 36t ，
當-1 < t
25
< - 時， f t > 0，函數 f t 單調遞增，
36
25
當- < t < 0時， f t < 0，函數 f t 單調遞減，
36
25 2
因此當 t - 時，函數 f t f 25 25 25有最大值 - ，
36 ֏ 36 362 3
f A 25
2 25 125 3
所以 的最小值為- - ，
362 3 108
此時 cos A
25 π
- < A 3π< ， a 3 + 4cos A 2 ,b 671 ，
36 2 4 9 9
即存在 tanq
671
>1,q π π , ÷，顯然存在 B ，使得B
π
+q ，
2 è 4 2 2
即 cosA 3sinB + 4sinC 125 3的最小值為- ，
108
125 3
故答案為：-
108
【方法技巧】
（ 1 ） asin b a b+ bcos a2 + b2 sin( + ) （ 其 中 sin ，cos ，tan ，
a2 + b2 a2 + b2 a
< ）．
2
2 2
（2）msin ωxcosωx + ncos2 ωx m + n sin(2wx + ) n+ ， tanf n ．
2 2 m
π
【變式 10-1】（2024·高三·內蒙古赤峰·開學考試）已知 , 0, ÷，若P sin sin2 + cos cos ，則
è 2
P 的最大值為 ．
5
【答案】
4
【解析】將P sin sin2 + cos cos 視為 的函數，故P sin2 2 + cos2 sin( + )，其中
tan cos 1 π
sin 2 2sin ，
0, ÷，
è 2
π
所以當 + 時 sin( + )的最大值為 1，
2
5 5 5
設 t sin2 2 + cos2 -4cos4 + 5cos2 ，當 cos2 時， t 取得最大值 ，所以 P 的最大值為 .8 4 4
5
故答案為：
4
【變式 10-2】 y cos( + ) + cos - cos -1的取值范圍是 ．
【答案】[-4,
1]
2
【解析】 y cos cos - sin sin + cos - cos -1 (cos +1)cos - (sin )sin - (cos +1)
(cos +1)2 + sin2 sin( + ) - (cos +1) 2 + 2cos sin( + ) - (cos +1)
由 sin( + ) [-1,1]，得 - 2 + 2cos - (cos +1) y 2 + 2cos - (cos +1) ，
令 t 1+ cos ，則 t [0, 2]，則 - 2t - t2 y 2t - t2 ，
y 2t t2 (t 2 )2 1所以 - - - + + -4 ，當且僅當 t 2 ，即 cos 1時取等號，2 2
2 1 1 2 1
且 y 2t - t2 -(t - )2 + ，當且僅當 t ，即 cos - 時取等號，
2 2 2 2 2
所以 y 的取值范圍為[-4,
1] .
2
故答案為：[-4,
1]
2
題型十一：積化和差、和差化積公式
【典例 11-1】 cosα cosβ
1
,sinα sinβ 1 ，則 tan
α β
.
3 2 2
2
【答案】 3
1 1
【解析】由 cosα cosβ ,sinα sinβ 得
3 2

cos α β α β

÷÷ cos
α β α β 1 sin α β α β 1 ÷ sin ,
è 2 2 2 2 ÷ è 3 2 2 6

sin α β α β α β α β 1 α β α β 1 ÷÷ sin ÷÷ cos sin ,
è 2 2 è 2 2 2 2 2 4
- α β 2
由于 sin 0，故兩式相除可得 tan
2 2 3
2
故答案為： 3
【典例 11-2】若 sin x + sin 3x + sin 5x a， cos x + cos3x + cos5x b ，則 tan 3x 結果用 a，b 表示.
a
【答案】
b
【解析】由和差化積公式得： sin 5x + sin x 2sin
x + 5x cos 5x - x 2sin 3x cos 2x，
2 2
cos5x + cos x 2cos x + 5x cos 5x - x 2cos3x cos 2x，
2 2
sin x + sin 3x + sin 5x 2sin 3x cos 2x + sin 3x sin 3x 2cos 2x +1 ，
cos x + cos3x + cos5x 2cos3x cos 2x + cos3x cos3x 2cos 2x +1 ，
sin x + sin 3x + sin 5x sin 3x 2cos 2x +1
故 tan 3xcos x + cos3x + cos5x cos3x 2cos 2x ，+1
a
故 tan 3x .
b
a
故答案為： .
b
【方法技巧】
三角函數式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯系(和、差、倍、互余、互補等)．
【變式 11-1】設 cos + cos
7 1
， sin - sin ，則 tan( - ) ．
5 5
7
【答案】
24
【解析】 cos
- + 7
+ cos 2cos cos ，
2 2 5
2 tan -
sin sin 2cos + - 1 tan
- 1
- sin tan -
7
2
2 2 5 2 7 1 tan -
2 ．
-
24
2 ֏
7
故答案為： .
24
【變式 11-2 + 6】已知 tan( ) , tan tan 13 ,則 cos( - )的值為 .
2 2 7
2
【答案】 3
1
tan tan sin sin
[cos( - ) - cos( + )]
2 13【解析】 ，
cos cos 1 (cos( - ) + cos( + )] 7
2
所以 cos( - )
10
- cos( + ) ，
3
1- tan2 + 1 6- ( )2
cos( 1+ ) 2
2 - ，
1+ tan2 + 6 5
2 1+ ( )
2
2
所以 cos( - )
10
- ( 1 2- ) ．
3 5 3
2
故答案為： 3 ．
cos x cos y sin x sin y 1【變式 11-3】若 - ， sin 2x - sin 2y
2
，則 sin x - y ．
2 3
2
【答案】 3
【解析】Q cos x cos y - sin x sin y
1
，\cos x + y 1
2 2
Q sin 2x 2- sin 2y ，
3
\sin (x + y) + (x - y) - sin (x y) 2 2+ - (x - y) ，即 2cos(x + y)sin(x - y) ，
3 3
2 1\ sin(x y) 2- ，\sin x - y 2
2 3 3
2
故答案為： 3
【變式 11-4】（2024·安徽阜陽·一模）已知 sin + sin a,cos + cos b ab 0 ，則 cos - ，
sin + .
2 2 2ab
【答案】 a + b - 2
2 a2 + b2
【解析】由 sin + sin a 可得 sin + sin 2 a2 ，即 sin2 + sin2 + 2sin sin a2 ，
由 cos + cos b 可得 cos + cos 2 b2 ，即 cos2 + cos2 + 2cos cos b2 ，
兩式相加可得 2 + 2 sin sin + cos cos a2 + b2 ，
2 2
即 2 + 2cos - a2 + b2 cos a + b - 2，解得 - ；
2
sin sin sin + - + - + + - 因為 + ÷ + sin - ÷ 2sin cos a ，
è 2 2 è 2 2 2 2
cos + - + - + cos cos +

÷ + cos

-

÷
è 2 2 è 2 2
2cos + cos - b ，
2 2
+ 2sin
+ cos -
所以 tan 2 2
a
+ - ，2 2cos cos b
2 2
2sin + cos + 2tan + 2 a
所以 sin + 2 2 2 b
2ab

sin2 +
2 2 2 ．
+ cos2 + tan2 + +1 a a + b
2 2 2 ÷ +1è b
a2 + b2 - 2 2ab
故答案為： ；
2 a2 + b2
.
cos π
1．（2024 年高考全國甲卷數學（理）真題）已知 3，則 tan + （ ）
cos - sin è 4 ÷
A． 2 3 +1 B． 2 3 -1 C 3． D．1- 3
2
【答案】B
cos
【解析】因為 3 ，
cos - sin
1 3
所以 3 ， ，
1- tan tan 1- 3
tan tan +1所以 + ÷ 2 3 -1
è 4 1- tan
，

故選：B.
2．（2024 年新課標全國Ⅰ卷數學真題）已知 cos( + ) m, tan tan 2，則 cos( - ) （ ）
m
A．-3m B．- C m． D．3m
3 3
【答案】A
【解析】因為 cos + m，所以 cos cos - sin sin m，
而 tan tan 2，所以 sin sin 2cos cos ，
故 cos cos - 2cos cos m即 cos cos -m，
從而 sin sin -2m ，故 cos - -3m，
故選：A.
1 1
3．（2023 年新課標全國Ⅰ卷數學真題）已知 sin - ,cos sin ，則 cos 2 + 2 （ ）．
3 6
7 1 1 7
A． B． C．- D．-
9 9 9 9
【答案】B
1
【解析】因為 sin( - ) sin cos - cos sin ，而 cos sin
1
，因此 sin cos
1
，
3 6 2
則 sin( + ) sin cos + cos sin
2
，
3
所以 cos(2 + 2 ) cos 2( + ) 1- 2sin2 ( + ) 1 2 (
2
- )2 1 .
3 9
故選：B

4．（2023 1+ 5年新課標全國Ⅱ卷數學真題）已知 為銳角， cos ，則 sin （ ）．
4 2
A 3- 5 B -1+ 5 C 3- 5 D -1+ 5． ． ． ．
8 8 4 4
【答案】D
1+ 5
【解析】因為 cos 1- 2sin2 ，而 為銳角，
2 4

解得： sin 3- 5
2
5 -1 5 -1
．2 8 16 4
故選：D．
1．在DABC 中，已知 tan A, tan B 是 x 的方程 x2 + p(x +1) +1 0的兩個實根，求C .
【解析】Q tan A, tan B是 x 的方程 x2 + p(x +1) +1 0，
即 x2 + px + p +1 0 的兩個實根.
\ tan A + tan B - p, tan A tan B p +1，
\ tan C tan[ - (A + B)] tan A + tan B - p - tan(A + B) - - -1
1- tan A tan B 1 .- ( p +1)
3
由于0 < C < ,\C .
4
2．你能利用所給圖形，證明下列兩個等式嗎？
1 (sin sin ) sin + cos - + ；
2 2 2
1 (cos cos ) cos + cos - + .
2 2 2
1
【解析】證明：線段 AB 的中點 M 的坐標為 (cos + cos ),
1 (sin + sin ) ÷ .過點 M 作 MM2 2 1
垂直于 x 軸，
è
交 x 軸于M
1 1 - -
1 ，如圖，則 MOM1 ( - ) + ( + ) .在RtVOMA中，OM OAcos cos .2 2 2 2
在RtVOM1M 中，OM
+ -
1 OM cos MOM1 cos cos .2 2
M M OM sin + - 1 MOM1 sin cos2 2
1
于是有 (cos + cos ) cos
+ cos - 1， (sin + sin ) sin
+ cos - .
2 2 2 2 2 2
2π
3．是否存在銳角 ， ，使得① + 2 ；② tan tan 2 - 3 同時成立？若存在，求出 ， 的
3 2
值；若不存在，請說明理由.
π
【解析】存在.由①得 + ，
2 3
tan

+ tan
∴ tan + 2 ÷ 3 ，è 2 1- tan tan
2

將②代入上式得 tan + tan 3- 3 ，
2
因此， tan

， tan
2
是方程 x - 3 - 3 x + 2 - 3 0的兩根，解得 x1 1， x2 2 - 3 .2
tan 1 π π當 時，∵ 0 < < ，∴ 0 < < ，
2 2 2 4

此時 不存在，故 tan 2 - 3 ， tan 1，
2
2 tan
所以 tan 2
3
，
1 - tan2 3
2
∵ ， 均為銳角，
∴
π π ， .
6 4
4．（1）求函數 f (x)

sin + 4x

÷ + sin

4x -

÷ 的最小正周期和單調遞增區間；
è 3 è 6
（2）求函數 f (x) a sin x + b cos x a2 + b2 0 的最大值和最小值.
【解析】（1） f (x) sin

4x

+ ÷ + sin
é 4x ù sin 4x ê + ÷ - + ÷ - cos
4x +
è 3 ÷ è 3 2 ú è 3 è 3
2 2 sin 4x + - ÷ 2 sin 4x + ÷ ，最小正周期為
è 3 4 è 12 4 2
；

由- + 2k 4x + + 2k , k Z k 7 k 5 ，得 - x + , k Z ，∴單調遞增區間為
2 12 2 2 48 2 48
ék 7 k 5 ù
ê - , + ú ,k Z . 2 48 2 48
（2） f (x) a sin x + b cos x a2 + b2 sin(x + )，其中 cos
a
,sin b ，\ f (x)
a2 + b2
的最大值為
a2 + b2
a2 + b2 ，最小值為- a2 + b2 .
5．觀察以下各等式：
sin2 300 + cos2 600 + sin 300 cos 600 3 sin2 200 + cos2 500 + sin 200， cos500
3

4 4
sin2 150 + cos2 450 3+ sin150 cos 450 ，
4
分析上述各式的共同特點，猜想出反映一般規律的等式，并對等式的正確性作出證明．
【解析】本試題主要是考查了合情推理的運用，根據已知的關系式觀察發現了角的關系，然后將特殊問題
一般化 思想，是一種歸納推理的運用．并運用二倍角公式加以證明猜想的正確性．
證明：
sin2 + cos2 ( + 300 ) + sin cos( + 300 )
1- cos 2 1+ cos(600 + 2 ) 3
+ + sin cos 1- sin2
2 2 2 2
1 1 - cos 2 1+ cos 2 3- sin 2 3+ sin 2 1- cos 2 3-
2 4 4 4 4 4
6 f ( ) sin x．設 a + cosx , x {n | n 2k,k N+} .利用三角變換，估計 f ( ) 在 x 2,4,6時的取值情況，進而
猜想 x 取一般值時 f ( ) 的取值范圍.
【解析】當 x 2時， f ( ) sin2 + cos2 1；
2
當 x 4時， f ( ) sin4 + cos4 sin2 + cos2 - 2sin2 cos2 1 1- sin2 2 1，此時有 f ( ) 1；2 2
x 6 f ( ) sin6 + cos6 sin2 3當 時， + cos2 - 3sin2 cos2 sin2 + cos2 1 3- sin2 2 ，此時有4
1 f ( ) 1，由此猜想，當 x 2k, k N 1+ 時， k -1 f ( ) 1 .4 2
易錯點：不會應用輔助角公式
易錯分析：不能真正的理解輔助角公式，不明白角 的三 角函數意義.
【易錯題 1】若函數 y sinx + acosx的最大值為 5 ，則實數a ．
【答案】 2

【解析】 y sinx + acosx
1
a2 +1 sin x
a
+ cos x ÷
è a2 +1 a2 +1
1 a
a2 +1sin(x + )（其中 cos ,sin
a2
）
+1 a2 +1
所以當 sin(x + ) 1時， y sinx + acosx取得最大值 a2 +1，
因為函數 y sinx + acosx的最大值為 5 ，
所以 a2 +1 5 ，解得 a 2 .
故答案為： 2
【易錯題 2】已知 sin + 3cos 10 ，則 sin .
10 1
【答案】 / 10
10 10
【解析】由輔助角公式得 sin + 3cos 10 sin + ，
cos 10其中 ,sin 3 10 ，
10 10
又 sin + 3cos 10 ，故 10 sin + 10 ，
即 sin + 1，
π則 + + 2kπ,k Z，
2
故 sin sin
π 2kπ cos 10 - +2 ÷
， k Z .
è 10
10
故答案為：
10
答題模板：三角關系式的化簡求值
1、模板解決思路
對于要化簡求值的三角函數關系式，首先要化簡，盡可能化成最簡的形式，然后結合已知條件和待求
問題進一步求值.
2、模板解決步驟
第一步：對已知條件中的三角函數式進行化簡.
第二步：將待化簡的三角函數式向第一步的化簡結果進行轉化.
第三步：求出最后的結果.
【典型例題 1】化簡 2cos8 + 2 - 2 sin8 +1 ．
【答案】 2sin 4
【解析】原式 4cos2 4 - 2 1+ 2sin 4cos 4
2 | cos 4 | -2 | sin 4 + cos 4 |，
因為 4
3
< < ，
2
所以cos4 < 0,sin 4 + cos4 < 0．
所以原式 -2cos 4 + 2(sin 4 + cos 4) 2sin 4．
故答案為： 2sin 4
cos40° + sin50° 1+ 3tan10° sin20° - sin40°
【典型例題 2】化簡求值： +
° ° cos20° °
=
sin70 1+ cos40 - cos40
【答案】 2 - 3
cos40° + sin50° 1+ 3tan10° sin20° - sin40°
【解析】 +
sin70° 1+ cos40° cos20
° - cos40°
cos40° sin50° 3 sin10
° + cos10°
+ ° -2cos30° sin10°
cos10 +
2sin70° cos 20° 2sin 30° sin10°
cos40° 2sin 40
° cos 40°
+ °
cos10
° cos30
-
2 cos2 20° sin 30°
cos40° +1
- 3= 2 - 3
2 cos2 20°
故答案為： 2 - 3第 02 講 三角恒等變換
目錄
01 考情透視·目標導航..........................................................................................................................2
02 知識導圖·思維引航..........................................................................................................................3
03 考點突破·題型探究..........................................................................................................................4
知識點 1：兩角和與差的正余弦與正切 ....................................................................................................................4
知識點 2：二倍角公式 ................................................................................................................................................4
知識點 3：降次（冪）公式 ........................................................................................................................................5
知識點 4：半角公式 ....................................................................................................................................................5
知識點 4：輔助角公式 ................................................................................................................................................5
解題方法總結 ...............................................................................................................................................................5
題型一：兩角和與差公式的證明 ...............................................................................................................................7
題型二：兩角和與差的三角函數公式 .......................................................................................................................9
題型三：兩角和與差的三角函數公式的逆用與變形 .............................................................................................10
題型四：利用角的拆分求值 .....................................................................................................................................11
題型五：給角求值 .....................................................................................................................................................11
題型六：給值求值 .....................................................................................................................................................12
題型七：給值求角 .....................................................................................................................................................13
題型八：正切恒等式及求非特殊角 .........................................................................................................................14
題型九：三角恒等變換的綜合應用 .........................................................................................................................14
題型十：輔助角公式的高級應用 .............................................................................................................................16
題型十一：積化和差、和差化積公式 .....................................................................................................................16
04 真題練習·命題洞見........................................................................................................................17
05 課本典例·高考素材........................................................................................................................17
06 易錯分析·答題模板........................................................................................................................19
易錯點：不會應用輔助角公式 .................................................................................................................................19
答題模板：三角關系式的化簡求值 .........................................................................................................................19
考點要求 考題統計 考情分析
三角恒等變換位于三角函數與數學變換
2024年 I卷第 4題，5分 的結合點上，高考會側重綜合推理能力和運
（1）基本公式 2024年 II卷第 13題，5分 算能力的考查，體現三角恒等變換的工具性
（2）三角恒等變換 2024年甲卷第 8題，5分 作用，以及會有一些它們在數學中的應用．
求值 2023年 II卷第 7題，5分 這就需要同學熟練運用公式，進一步提
（3）輔助角公式 2023年 I卷 II卷第 8題，5分 高運用聯系轉化的觀點去處理問題的自覺
2022年 II卷第 6題，5分 性，體會一般與特殊的思想、換元的思想、
2021年甲卷第 11題，5分 方程的思想等數學思想在三角恒等變換中的
作用．
復習目標：
（1）會推導兩角差的余弦公式
（2）會用兩角差的余弦公式推導出兩角差的正弦、正切公式
（3）掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并會簡單應用
（4）能運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式推導二倍角的正弦、余弦、正切公式，并進行簡單的恒等
變換
知識點 1：兩角和與差的正余弦與正切
① sin( ) sin cos cos sin ；
② cos( ) cos cos sin sin ；
③ tan( ) tan tan ；
1 tan tan
tan11° + tan19°
【診斷自測】 ° ° .tan11 tan19 -1
知識點 2：二倍角公式
① sin 2 2sin cos ；
② cos 2 cos2 - sin2 2cos2 -1 1- 2sin2 ；
③ tan 2 2 tan 2 ；1- tan
sin π - 3 5π 【診斷自測】已知 ÷ - ，則 cos + 2 的值為（ ）
è12 5 è 6 ÷

24 24 7
A 7． B．- C． D．-
25 25 25 25
知識點 3：降次（冪）公式
sin cos 1 sin 2 ;sin2 1- cos 2 ;cos2 1+ cos 2 ;
2 2 2
2
【診斷自測】已知函數 f x 2sin x cos x + 2 3 cos x - 3 ．
(1)求 f x 的最小正周期和單調區間；
(2)若 f 10 π ， ,
π
÷，求 cos

2
π
+
6 ÷的值．13 è 4 2 è
知識點 4：半角公式
sin 1- cos ;cos 1+ cos ;
2 2 2 2
tan sin 1- cos .
2 1+ cos sin a
q sinq sinq
【診斷自測】（2024·高三·河北·期末）已知 tan 2，則 - 的值為 ．
2 1- cosq 1+ cosq
知識點 4：輔助角公式
asin + bcos a2 + b2 sin( + ) （其中 sin b ，cos a ，tan b ）．
a2 + b2 a2 + b2 a
【診斷自測】當 x 時， f x 2sinx +cosx 取最小值，求 sin 的值 .
解題方法總結
1、兩角和與差正切公式變形
tan tan tan( )(1 tan tan )；
tan tan 1 tan + tan tan - tan - -1．
tan( + ) tan( - )
2、降冪公式與升冪公式
sin 2 1- cos 2 cos2 1+ cos 2 ； ；sin cos 1 sin 2 ；
2 2 2
1+ cos 2 2cos2 ；1- cos 2 2sin 2 ；1+ sin 2 (sin + cos )2 ；1- sin 2 (sin - cos )2 ．
3、其他常用變式
2
sin 2 2sin cos 2 tan cos 2 cos - sin
2 1- tan2 tan sin 1- cos 2 2 ； ； ．sin + cos 1+ tan2 sin 2 + cos2 1+ tan2 2 1+ cos sin
4 、拆分角問題：① =2 ； =( + )- ；② - ( - )；③ 1 [( + ) + ( - )]；
2 2
④ 1 [( + ) - ( - )] ；⑤ + - ( - )．
2 4 2 4

注意：特殊的角也看成已知角，如 - ( - ) ．
4 4
5、和化積公式
sinα + sinβ + 2sin cos -
2 2
sinα - sinβ 2cos + sin -
2 2
cosα + - + cosβ 2cos cos
2 2
cosα - cosβ -2sin + sin -
2 2
6、積化和公式
sinα cosβ 1 é sin + + sin - ù2
cosα cosβ 1 é cos + + cos - ù2
sinα 1 sinβ é cos - - cos + ù2
題型一：兩角和與差公式的證明
【典例 1-1】閱讀下面材料：根據兩角和與差的正弦公式，有
sin + sin cos + cos sin ①，
sin - sin cos - cos sin ②，
由① +②得 sin + + sin - 2sin cos ③．
令 + A - B
A + B A - B A + B A - B
， ，則 ， ，代入③得 sinA + sinB 2sin cos ．
2 2 2 2
(1)利用上述結論，試求 sin15° + sin75°的值；
A + B A - B
(2)類比上述推證方法，根據兩角和與差的余弦公式，證明： cosA - cosB -2sin sin ．
2 2
【典例 1-2】如圖，設單位圓與 x 軸的正半軸相交于點Q(1,0)，當 2k + (k Z) 時，以 x 軸非負半軸
為始邊作角 ， ，它們的終邊分別與單位圓相交于點P1(cos ,sin )，Q1(cos ,sin ) ．
（1）敘述并利用上圖證明兩角差的余弦公式；
（2）利用兩角差的余弦公式與誘導公式．證明： sin( - ) sin cos - cos sin ．
（附：平面上任意兩點P1 x1, y1 ，P2 x2 , y2 間的距離公式P1P2 x2 - x1
2 + y2 - y
2
1 )
【方法技巧】
推證兩角和與差公式就是要用這兩個單角的三角函數表示和差角的三角公式，通過余弦定理或向量數
量積建立它們之間的關系，這就是證明的思路．
【變式 1-1】如圖，在平面直角坐標系中，以原點為圓心，單位長度為半徑的圓上有兩點P(cos ,sin ) ，
Q(cos ,sin ) .
uuur uuur
（1）請分別利用向量OP 與OQ 的數量積的定義式和坐標式，證明： cos( - ) cos cos + sin sin .
（2）已知（1）中的公式對任意的 ， 都成立(不用證)，請用該公式計算 cos15°的值，并證明：
sin( + ) sin cos + cos sin .
【變式 1-2】在推導很多三角恒等變換公式時，我們可以利用平面向量的有關知識來研究，在一定程度上
可以簡化推理過程．如我們就可以利用平面向量來推導兩角差的余弦公式：
cos( - ) cos cos + sin sin ．
具體過程如下：如圖，在平面直角坐標系 xOy 內作單位圓O，以Ox 為始邊作角 , ．它們的終邊與單位
圓O的交點分別為 A, B．
uuur uuur uuur uuur
則OA (cos ,sin ),OB (cos ,sin )，由向量數量積的坐標表示，有OA OB cos cos + sin sin ．
uuur uuur uuuv uuuv uuuv uuuv
設OA,OB的夾角為q ，則OA OB | OA OB∣cosq cosq cos cos + sin sin ，另一方面，由圖（1）可
知， 2k + +q ；
由圖（2）可知 2k + -q ，于是 - 2k q ,k Z ．
所以cos( - ) cosq ，也有 cos( - ) cos cos + sin sin ；
所以，對于任意角 , 有： cos( - ) cos cos + sin sin C - ．
此公式給出了任意角 , 的正弦、余弦值與其差角 - 的余弦值之間的關系，稱為差角的余弦公式，簡
記作C - ．有了公式C - 以后，我們只要知道 cos , cos ,sin ,sin 的值，就可以求得 cos( - )的值了．
閱讀以上材料，利用圖（3）單位圓及相關數據（圖中M 是 AB 的中點），采取類似方法（用其他方法解答
正確同等給分）解決下列問題：
uuur uuuur
（1）判斷OC uu
1uur OM
| OM | 是否正確？（不需要證明）
（2）證明： sin + sin 2sin
+ cos - ．
2 2
題型二：兩角和與差的三角函數公式
π π π
【典例 2-1】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知 sin sin + ÷ cos sin6
-
3 ÷
，則 tan 2α + ÷
è è è 4
（ ）
A． 2 - 3 B． -2 - 3 C． 2 + 3 D．-2 + 3
【典例 2-2】（2024·浙江·三模）若 sin - + cos - 2 2sin π - ÷sin ，則（4 ）è
A． tan - -1 B． tan - 1
C． tan + -1 D． tan + 1
【方法技巧】
兩角和與差的三角函數公式可看作是誘導公式的推廣，可用 α，β 的三角函數表示 的三角函數，
在使用兩角和與差的三角函數公式時，特別要注意角與角之間的關系，完成統一角和角與角轉換的目的．
1
【變式 2-1】（多選題）下列選項中，值為 2 的是（ ）
A． 2cos2 15° B． sin 27° cos 3° + cos 27° sin 3°
tan 22.5°
C． 2sin15°sin 75° D．
1- tan2 22.5°
【變式 2-2】（多選題）已知0
π
< < < ，且 tan , tan 是方程
2 21x
2 -10x +1 0的兩根，下列選項中正確
的是（ ）
1 sin +
A． tan 6 + B．
2 cos - 11
C． tan - 4 - D． + 2 π
11 4
題型三：兩角和與差的三角函數公式的逆用與變形
【典例 3-1】（2024·高三·陜西商洛·期中）已知 ， 滿足 1+ tan 1- tan 2，則 - ．
【典例 3-2】計算： tan 73° - tan193° - 3 tan 73° tan13° ＝ .
【方法技巧】
運用兩角和與差的三角函數公式時，不但要熟練、準確，而且要熟悉公式的逆用及變形．公式的逆用
和變形應用更能開拓思路，增強從正向思維向逆向思維轉化的能力．
【變式 3-1 cos + 30°】 cos + sin + 30° sin ．
【變式 3-2】（2024·江西·模擬預測）已知 cos + 3 ， cos cos 2 ，則 cos 2 - 2 .
5 5

【變式 3-3】已知 , ,g 0,
π
÷ ,sin + sing sin , cos + cosg cos ，則 - .
è 2
【變式 3-4】設 cos + cos
7
sin - sin 1 sin2022， ，則 + + cos2022 + ．
5 5
題型四：利用角的拆分求值
π 1 5π
【典例 4-1】（2024·遼寧·模擬預測）已知 sin + ÷ ，則 sin 2 + ÷ .
è 6 4 è 6
【典例 4-2】已知 ， 5 10
+
均為銳角， sin -

÷ ， sin

- +

÷ ，則 cos 的值為（ ）
è 2 5 è 2 10 2
A 2 B 2 2．- ． C． D 2．-
2 2 10 10
【方法技巧】
常 用 的 拆 角 、 配 角 技 巧 ： 2 ( + ) + ( - ) ； ( + ) - ( - ) + ；
+ - - ( + 2 ) - ( + ) ； - ( - g ) + (g - ) ； 15° 45° - 30° ； + - -
2 2 4 2 è 4 ÷
等．
π 4 π
【變式 4-1】（2024·山東·模擬預測）已知 cos - ÷ - cos ，則 sin 2 + ÷ （ ）
è 3 5 è 6
7 7- 24 24A． B． C． D．-
25 25 25 25
3 3 π
【變式 4-2】已知 sinq + cosq 1，則 cos + 2q ÷ （ ）
2 2 è 3
3 3 1 1A． B．- C． D．-
3 3 3 3
sin π 3【變式 4-3】若 α 為銳角，且 - ÷ ，則 cos2α＝（　　）
è 4 5
24 24 7
A．- B． C．- D 7．
25 25 25 25
題型五：給角求值
2sin18o 3cos2 9o - sin2 9o -1
【典例 5-1】（2024·重慶·模擬預測）式子 化簡的結果為（ ）
cos 6o + 3 sin 6o
A 1． o2 B．1 C． 2sin 9 D． 2
sin 40° sin80°
【典例 5-2】計算： 2 o o （ ）cos 40 + cos 60
A 2
1 2 1
．- B．- C． D．
2 2 2 2
【方法技巧】
（1）給角求值問題求解的關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系，借助角之間的聯系尋找轉
化方法．
（2）給角求值問題的一般步驟
①化簡條件式子或待求式子；
②觀察條件與所求之間的聯系，從函數名稱及角入手；
③將已知條件代入所求式子，化簡求值．
1- 3 tan10°
【變式 5-1】求值： （ ）
1- cos 20°
A．1 B． 2 C． 3 D． 2 2
【變式 5-2】（2024·廣東汕頭·二模）若l sin160o + tan 20o 3 ，則實數l 的值為（ ）
A． 4 B． 4 3 C． 2 3 D 4 3．
3
o
5-3 sin110 cos250
o
【變式 】 2 o 的值為（ ）cos 25 - sin2155o
1
A - B 1 3． ． 2 C． D
3
． -
2 2 2
題型六：給值求值
π 1 7
【典例 6-1】（2024·廣西南寧·一模）已知0 < < < < π,cos - ,sin + ，則 tan ．
2 3 9
π 1 3
【典例 6-2】（2024·高三·吉林長春·開學考試）已知0 < < < ，cos + ，sin - ，則
2 5 5
tan tan .
【方法技巧】
給值求值：給出某些角的三角函數式的值，求另外一些角的三角函數值，解題關鍵在于“變角”，使
其角相同或具有某種關系，解題的基本方法是：①將待求式用已知三角函數表示；②將已知條件轉化而推
出結論，其中“湊角法”是解此類問題的常用技巧，解題時首先要分析已知條件和結論中各種角之間的相
互關系，并根據這些關系來選擇公式．
【變式 6-1】（2024·全國·模擬預測）已知 sin 2sin + , 2sin - cos + 2 0，則 tan + ．
sinq 3 5 q q【變式 6-2】（2024·高三·浙江紹興·期末）若 ， < q < 3 ，則 tan + 2cos ．
5 2 2 2
π 2
【變式 6-3】（2024·山西臨汾·模擬預測）已知 為銳角，且 sin - ÷ + 3sin ，則
è 6 3
cos 2 π+ ÷ ．
è 6
題型七：給值求角
é π π ù éπ πù
【典例 7-1】（2024·貴州六盤水·模擬預測）設 ê , ú ， ê , ú，且 sin + cos 2 cos ，則 4 2 4 2
- .
π
【典例 7-2】已知 為銳角，且 sin + sin + ÷ + sin
2π
+ ÷ 3 ，則 .
è 3 è 3
【方法技巧】
給值求角：解此類問題的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函數值，再確定“所求角”的范
圍，最后借助三角函數圖像、誘導公式求角．
【變式 7-1】已知 2 7， 均為銳角， cos ， sin 3 3 ，則 cos 2 ，2 - .
7 14
3 4
【變式 7-2】若 < < < < ，且 cos + 2 - ， sin 2 ，則 - .4 2 10 5
1 1
【變式 7-3】已知 tan - ， tan - ， , 0, π ，則 2 - 的值是（
2 7 ）
π π 3π
A - B C D 3π． ． ． ． -
4 4 4 4
é π 3π ù é π π ù
【變式 7-4】設 ê ， ú， ê ， ú ，且 sin + cos 2cos ，則（2 4 4 2 ）
π π π πA． + B． - C． + D． - -
4 4 2 4
題型八：正切恒等式及求非特殊角
【典例 8-1】（2024·陜西商洛·高三陜西省山陽中學校聯考期中）已知 ， 滿足 1 + tan 1 - tan 2 ，
則 - ______．
【典例 8-2】（2024·江蘇南通·高三校考期中）在VABC中，若 tan A + tan B + 2 2 tan A tan B ，則
tan2C _________.
【方法技巧】
正切恒等式：當 A + B + C k 時， tan A + tan B + tan C tan A tan B tan C ．
證明：因為 tan(A B) tan A tan B ， tan C tan (A B)，所以 tan A tan B tan C(1 tan A tan B)
1 tan A tan B
故 tan A + tan B + tan C tan A tan B tan C ．
【變式 8-1】（2024·山東·高三濟寧市育才中學校考開學考試）若角 的終邊經過點 P sin 70°, cos 70° ，且
tan + tan 2 + m tan tan 2 3 ，則實數 m ___________.
【變式 8-2】（山西省臨汾市 2023-2024 學年高三 11 月期中數學試題）已知 0, π ， + + g π ，且
2sin + tan + tang 2sin tan tang ，則 （ ）
π π π 2π
A． B． C． D．
6 4 3 3
題型九：三角恒等變換的綜合應用
9 a 2
【典例 9-1】在VABC 中 ,cos B b 5 .16 ， ， c 3
(1)求 a；
(2)求 sin A ；
(3)求 cos(B - 2A) .
【典例 9-2】（2024·天津·二模）在VABC 中，角A ， B ，C 所對的邊分別為 a，b ，c，已知b 4 ，
a 3c ， cosA 3 - .
3
(1)求 sinC 的值；
(2)求c的值；
(3)求 sin(2A + C) 的值.
【方法技巧】
（1）進行三角恒等變換要抓住：變角、變函數名稱、變結構，尤其是角之間的關系；注意公式的逆
用和變形使用．
（2）形如 y asin x + bcos x 化為 y a2 + b2 sin(x + )，可進一步研究函數的周期性、單調性、最值
與對稱性．
【變式 9-1】（2023·陜西咸陽·校考二模）已知函數 f x 2 co sx s in x - co sx + 1, x R
(1)求函數 f x 的對稱軸和對稱中心；
x éπ,3π(2) ù當 ê8 4 ú，求函數
f x 的值域．

3
【變式 9-2】（2023·上海松江·高三上海市松江二中校考階段練習）已知 f x cosx 3sinx - cosx + .2
(1)求 f x 在 0 , 上的單調遞減區間；
f 2 , π , 5π(2)若 5 3 6 ÷，求sin2 的值.è
題型十：輔助角公式的高級應用
【典例 10-1】已知 f x cos x + + 2sin x 的最大值為 3，則 tan .
2
【典例 10-2】設 A, B,C 是一個三角形的三個內角，則 cosA 3sinB + 4sinC 的最小值為 .
【方法技巧】
asin bcos a2 b2 sin( ) sin b cos a tan b（ 1 ） + + + （ 其 中 ， ， ，
a2 + b2 a2 + b2 a
< ）．
2
2 2
（2）msin ωxcosωx + ncos2 ωx m + n sin(2wx n+ ) + ， tanf n ．
2 2 m
, 0, π 【變式 10-1】（2024·高三·內蒙古赤峰·開學考試）已知 ÷，若P sin sin2 + cos cos ，則
è 2
P 的最大值為 ．
【變式 10-2】 y cos( + ) + cos - cos -1的取值范圍是 ．
題型十一：積化和差、和差化積公式
1
【典例 11-1】 cosα cosβ ,sinα sinβ
1 α β
，則 tan .
3 2 2
【典例 11-2】若 sin x + sin 3x + sin 5x a， cos x + cos3x + cos5x b ，則 tan 3x 結果用 a，b 表示.
【方法技巧】
三角函數式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯系(和、差、倍、互余、互補等)．
7
【變式 11-1】設 cos + cos ， sin - sin
1
，則 tan( - ) ．
5 5
11-2 tan( + ) 6 , tan tan 13【變式 】已知 ,則 cos( - )的值為 .
2 2 7
【變式 11-3】若 cos x cos y sin x sin y
1
- ， sin 2x - sin 2y
2
，則 sin x - y ．
2 3
【變式 11-4】（2024·安徽阜陽·一模）已知 sin + sin a,cos + cos b ab 0 ，則 cos - ，
sin + .
cos tan π 3 + 1．（2024 年高考全國甲卷數學（理）真題）已知 ，則
cos - sin 4 ÷
（ ）
è
A． 2 3 +1 B． 2 3 -1 C 3． D．1- 3
2
2．（2024 年新課標全國Ⅰ卷數學真題）已知 cos( + ) m, tan tan 2，則 cos( - ) （ ）
m
A．-3m B．- C m． D．3m
3 3
1 1
3．（2023 年新課標全國Ⅰ卷數學真題）已知 sin - ,cos sin ，則 cos 2 + 2 （ ）．
3 6
7 1 1 7
A． B． C．- D．-
9 9 9 9
4 2023 cos 1+ 5

．（ 年新課標全國Ⅱ卷數學真題）已知 為銳角， ，則 sin （2 ）．4
A 3- 5 B -1+ 5 C 3- 5 D -1+ 5． ． ． ．
8 8 4 4
1．在DABC 中，已知 tan A, tan B 是 x 的方程 x2 + p(x +1) +1 0的兩個實根，求C .
2．你能利用所給圖形，證明下列兩個等式嗎？
1 (sin sin ) sin + cos - + ；
2 2 2
1 (cos + cos ) cos + cos - .
2 2 2
2π
3．是否存在銳角 ， ，使得① + 2 ；② tan tan 2 - 3 同時成立？若存在，求出 ， 的
3 2
值；若不存在，請說明理由.
f (x) sin + 4x + sin 4x - 4．（1）求函數 ÷ ÷ 的最小正周期和單調遞增區間；
è 3 è 6
2 f (x) a sin x + b cos x a2 + b2（ ）求函數 0 的最大值和最小值.
5．觀察以下各等式：
sin2 300 3+ cos2 600 + sin 300 cos 600 sin2 200， + cos2 500 + sin 200 cos500
3

4 4
sin2 150 + cos2 450 + sin150 cos 450 3 ，
4
分析上述各式的共同特點，猜想出反映一般規律的等式，并對等式的正確性作出證明．
6．設 f ( ) sin x a + cosx , x {n | n 2k,k N+} .利用三角變換，估計 f ( ) 在 x 2,4,6時的取值情況，進而
猜想 x 取一般值時 f ( ) 的取值范圍.
易錯點：不會應用輔助角公式
易錯分析：不能真正的理解輔助角公式，不明白角 的三 角函數意義.
【易錯題 1】若函數 y sinx + acosx的最大值為 5 ，則實數a ．
【易錯題 2】已知 sin + 3cos 10 ，則 sin .
答題模板：三角關系式的化簡求值
1、模板解決思路
對于要化簡求值的三角函數關系式，首先要化簡，盡可能化成最簡的形式，然后結合已知條件和待求
問題進一步求值.
2、模板解決步驟
第一步：對已知條件中的三角函數式進行化簡.
第二步：將待化簡的三角函數式向第一步的化簡結果進行轉化.
第三步：求出最后的結果.
【典型例題 1】化簡 2cos8 + 2 - 2 sin8 +1 ．
cos40° + sin50° 1+ 3tan10° ° °
【典型例題 2】化簡求值： + sin20 - sin40° = ．
sin70° 1+ cos40° cos20 - cos40
°

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