資源簡介

第 02 講 常用邏輯用語
目錄
01 模擬基礎練 .............................................................................................................................................................2
題型一：充分條件與必要條件的判斷 .......................................................................................................................2
題型二：根據充分必要條件求參數的取值范圍 .......................................................................................................3
題型三：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假 .......................................................................................................5
題型四：根據命題的真假求參數的取值范圍 ...........................................................................................................6
題型五：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定 .......................................................................................................7
02 重難創新練 .............................................................................................................................................................8
03 真題實戰練 ...........................................................................................................................................................16
題型一：充分條件與必要條件的判斷
1．（2024·北京房山·一模）“ 0 < x <1”是“ | x(x -1) |= x(1- x)”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】由 | x(x -1) |= x(1- x)可得： x(x -1) 0，
解得：0 x 1，
所以“ 0 < x <1”能推出“ | x(x -1) |= x(1- x)”，
但“ | x(x -1) |= x(1- x)”推不出“ 0 < x <1”，
所以“ 0 < x <1”是“ | x(x -1) |= x(1- x)”的充分不必要條件.
故選：A.
2．（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知復數 z = a + bi i(a,b R, i 為虛數單位 )的共軛復數為 z ，則“ z 為純虛
數”的充分必要條件為（ ）
A． a2 + b2 0 B． ab = 0
C． a = 0,b 0 D． a 0,b = 0
【答案】D
【解析】因為 z = a + bi i = -b + ai a,b R ，
由 z = -b - ai為純虛數，即-b = 0且-a 0，
即 a 0且b = 0 .
故選：D.
3．（2024·四川·模擬預測）“ ln x -1 < 0 ”的一個必要不充分條件是（ ）
1
A．-1 < x < - B． x > 0
e
3
C．-1 < x < 0 D．1 < x <
2
【答案】B
【解析】 ln x -1 < 0等價于0 < x -1<1，即1 < x < 2，
因為1 < x < 2可以推出 x > 0，而 x > 0不能推出1 < x < 2，所以 x > 0是1 < x < 2的必要不充分條件，其它選
項均不滿足；
所以“ ln x -1 < 0 ”的一個必要不充分條件是 x > 0．
故選：B．
4．若 x， y R ，則“ x > y ”的一個必要不充分條件可以是（ ）
A． 2x- y
x
> 0.5 B． x2 > y2 C． >1y D． 2
x- y > 2
【答案】A
【解析】A： 2x- y > 0.5 = 2-1 x - y > -1 x > y -1，是“ x > y ”的必要不充分條件，故 A 正確；
B x2： > y2 x > y ，是“ x > y ”的既不充分也不必要條件，故 B 錯誤；
x
C： >1
x - y
> 0 y x - y > 0，是“ x > yy y ”的既不充分也不必要條件，故 C 錯誤；
D： 2x- y > 2 x - y >1 x > y +1，是“ x > y ”的充分不必要條件，故 D 錯誤；
故選：A
r r r r r r r
5．（2024·全國·模擬預測）已知向量 a - b = (1- x, 2), a + b = (1+ x,0) ，則“ x = 0 ”是“ (a + b) ^ b ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
r r r r r r
【解析】當 x = 0時，可得 a - b = (1, 2), a + b = (1,0)，可得 a = (1,1),b = (0, -1)，
r r r r r r
則 (a + b) ×b =1 0 + 0 (-1) = 0，所以 (a + b) ^ b ，所以充分性成立；
r r r r r
由向量 a - b = (1- x, 2), a + b = (1+ x,0) ，可得b = (x, -1)，
r r r r r r r r
當 (a + b) ^ b 時，因為 a + b = (1+ x,0) ，所以 (a + b) ×b = (1+ x) x + 0 (-1) = 0，
即 x2 + x = 0，解得 x = 0或 x=- 1，所以必要性不成立，
r r
所以“ x = 0 ” r是“ (a + b) ^ b ”的充分不必要條件．
故選：A．
題型二：根據充分必要條件求參數的取值范圍
6．若 a < x < 3是不等式 log 1 x > -1成立的一個必要不充分條件，則實數 a 的取值范圍是（ ）
2
A． - ,0 B． - ,0 C． 0,2 D． 2,3
【答案】B
【解析】 log 1 x > -1 log 1 x > log 1 2 0 < x < 2，
2 2 2
因為 a < x < 3是 log 1 x > -1成立的必要不充分條件，
2
所以a 0 .
故選：B.
7．（2024·高三·浙江紹興·期末）已知命題 p ：函數 f (x) = 2x3 + x - a 在 1,2 內有零點，則命題 p 成立的一
個必要不充分條件是（ ）
A．3 a <18 B．3 < a <18 C．a < 18 D． a 3
【答案】D
【解析】函數 f (x) = 2x3 + x - a 在R 上單調遞增，由函數 f (x) = 2x3 + x - a 在 1,2 內有零點，
ì f (1) = 3 - a < 0
得 í 3 < a 18 p 3 < a 18
f (2) 18
，解得 ，即命題 成立的充要條件是 ，
= - a 0
顯然3 < a 18成立，不等式3 a <18、3 < a <18、a < 18都不一定成立，
而3 < a 18成立，不等式 a 3恒成立，反之，當 a 3時，3 < a 18不一定成立，
所以命題 p 成立的一個必要不充分條件是 a 3 .
故選：D
8．已知 p : -3 x 1， q : x a （a 為實數）．若 q 的一個充分不必要條件是 p，則實數 a 的取值范圍是 .
【答案】 1, +
【解析】因為 q 的一個充分不必要條件是 p，
所以[-3,1]是 - ,a 的一個真子集，
則 a 1，即實數 a 的取值范圍是 1, + .
故答案為： 1, + .
9．（2024·高三·河南南陽·期中）已知 p ：“ log p3x < 3”，q：“ x - a < 2”，若 是q的必要不充分條件，則實
數 a的取值范圍是 ．
【答案】[2, 25]
【解析】對于 p ，由 log3x < 3可解得0 < x < 27 ，
對于q，由 x - a < 2可解得 a - 2 < x < a + 2，
p q ìa - 2 0因為 是 的必要不充分條件，所以 í 解得 2 a 25a 2 27 ． +
故 a的取值范圍為： 2,25 .
故答案為： 2,25 .
題型三：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假
10．（2024·陜西咸陽·模擬預測）下列命題中，真命題是（ ）
A．“ a > 1,b > 1 ”是“ ab >1”的必要條件
B．"x > 0,ex > 2x
C．"x > 0,2x x2
a
D． a + b = 0的充要條件是 = -1
b
【答案】B
【解析】對于 A，當 a = 2,b = 1時，滿足 ab >1，但不滿足a > 1,b > 1，故“ a > 1,b > 1 ”不是“ ab >1”的必要條
件，故錯誤；
x
B "x > 0, e 對于 ，根據指數函數的性質可得，對于 >1，即 ex x ÷ > 2 ，故正確；
è 2
對于 C，當 x = 3時，2x < x2，故錯誤；
a
對于 D，當 a = b = 0時，滿足 a + b = 0，但 = -1不成立，故錯誤.
b
故選：B.
11．給出下列命題
①"x R, x2 +1 > 0；②"x N, x4 1；③$x Z, x3 <1；④"x Q, x2 2．
其中真命題有（ ）
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
【答案】C
【解析】①中，由不等式 x2 +1> 0恒成立，所以命題"x R, x2 +1 > 0為真命題；
②中，當 x = 0時，此時0 <1，所以命題"x N, x4 1為假命題；
③中，當 x=- 1時，此時 x3 < 1成立，所以命題$x Z, x3 <1為真命題；
④中，由 x2 = 2，可得 x = ± 2 ，所以命題"x Q, x2 2為真命題．
故選：C.
12．下列命題中是真命題的為（ ）
A．$x N，使 4x < -3 B．"x R ， x2 + 2 > 0
C．"x N， 2x > x2 D．$x Z，使3x - 2 = 0
【答案】B
4x 3 x 3【解析】對于 A，由 < - ，得 < - ，所以不存在自然數使 4x < -3成立，所以 A 錯誤，
4
對于 B，因為"x R 時， x2 0 ，所以 x2 + 2 2 > 0，所以 B 正確，
對于 C，當 x = 2時， 2x = x2 = 4，所以 C 錯誤，
2
對于 D，由3x - 2 = 0 ，得 x = Z，所以 D 錯誤，
3
故選：B
13．（2024·河北·模擬預測）命題 p ："x >1， x + 2x - 3 > 0，命題q：$x R， 2x2 - 4x + 3 = 0，則（ ）
A． p 真q真 B． p 假q假 C． p 假q真 D． p 真q假
【答案】D
1
【解析】對于命題 p ：令 t = x > 1，則 y = t + 2t 2 - 3 = 2t 2 + t - 3開口向上，對稱軸為 t = - ，4
且 y |x=1= 0，則 y = 2t 2 + t - 3 > 0，
所以"x >1， x + 2x - 3 > 0，即命題 p 為真命題；
對于命題q：因為D = -4 2 - 4 2 3 = -8 < 0，
所以方程 2x2 - 4x + 3 = 0無解，即命題q為假命題；
故選：D.
題型四：根據命題的真假求參數的取值范圍
4
14．（2024·陜西寶雞·一模）命題“任意 x (1,3)， a x + ”為假命題，則實數 a 的取值范圍是 ．
x
【答案】 (- ,5)
4
【解析】若命題“任意 x (1,3)， a x
4
+ ”為真命題，則 a x +x è x ÷
，
max
設 y = x
4
+ ， x (1,3) x 4 4， + 2 x × = 4，當 x = 2時，等號成立，
x x x
由對勾函數的性質可知，當 x 1,2 時，函數單調遞減，當 x 2,3 單調遞增，
f 1 = 5， f 3 3 4 5 4= + < ，所以 4 x + < 5，
3 x
即a 5，
所以命題“任意 x (1,3)， a x
4
+ ”為假命題，則 a的取值范圍為 - ,5 .
x
故答案為： - ,5
15．若命題“ $x R, mx2 + 2mx + 3 0 ”為假命題，則實數 m 的取值范圍是 ．
【答案】 0,3
【解析】命題“ $x R, mx2 + 2mx + 3 0 ”的否定為：“"x R, mx2 + 2mx + 3 > 0 ”
命題“ $x R, mx2 + 2mx + 3 0 ”為假命題等價于命題“"x R, mx2 + 2mx + 3 > 0 ”為真命題；
當m = 0時，3 > 0，成立；
ìm > 0
當m 0 時，結合一元二次函數的圖象可得： í 2 ，解得0 < m < 3
Δ = 4m -12m 0
，
<
綜上，實數 m 的取值范圍是[0,3) .
故答案為：[0,3) .
16．已知命題 p : $x0 R， x
2
0 + a -1 x0 +1< 0 ，若命題 p 是假命題，則 a的取值范圍為（ ）
A．1 a 3 B．-1 < a < 3
C．-1 a 3 D．0 a 2
【答案】C
2
【解析】根據題意可知，命題 p 的否定為“ "x R ， x + a -1 x +1 0 ”為真命題；
x2即不等式 + a -1 x +1 0對"x R 恒成立，
所以D = a -1 2 - 4 0，解得-1 a 3；
可得 a的取值范圍為-1 a 3 .
故選：C
題型五：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
17．命題“ $x R ，使 x2 + x -1 = 0 ”的否定是（ ）
A．$x R ，使 x2 + x -1 0 B．不存在 x R ，使 x2 + x -1 = 0
C．"x R ，使 x2 + x -1 0 D．"x R ，使 x2 + x -1 0
【答案】D
【解析】命題“ $x R ，使 x2 + x -1 = 0 ”的否定是"x R ，使 x2 + x -1 0 .
故選：D.
18．（2024·全國·模擬預測）命題“"a >1，函數 f x = xa 在 a,+ 上單調遞增”的否定為（ ）
A．$a > 1，函數 f x = xa 在 a,+ 上單調遞減
B．$a > 1 a，函數 f x = x 在 a,+ 上不單調遞增
C．$a 1，函數 f x = xa 在 a,+ 上單調遞減
D $a 1 f x = xa． ，函數 在 a,+ 上不單調遞增
【答案】B
【解析】因為全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，
“"a >1 f x = xa所以命題 ，函數 在 a,+ 上單調遞增”的否定為“ $a > 1，函數 f x = xa 在 a,+ 上不單
調遞增”．
故選：B．
19．命題 p : "x R, x2 Q的否定為（ ）
A．$x R, x2 Q B．$x R, x2 Q
C．"x R, x2 Q D．"x Q, x2 R
【答案】A
【解析】命題 p : "x R, x2 Q的否定為：$x R, x2 Q .
故選：A.
20．命題“"x Z， x2 0 ”的否定是（ ）
A．$x Z， x2 0 B．$x Z， x2 0
C．$x Z， x2 < 0 D．$x Z， x2 < 0
【答案】C
【解析】命題“"x Z， x2 0 ”的否定是“ $x Z， x2 < 0 ”．
故選：C．
1．（2024· 2陜西西安·模擬預測）設函數 f x = ax - 2ax，命題“ $x 2,6 ， f x -2a + 3 ”是假命題，則實
數 a 的取值范圍是（ ）．
3
A． ,+

B． 3, + C． 2, 3+ D． - ,
2 ÷ 2 ÷è è
【答案】A
【解析】因為命題“ $x 2,6 ， f x -2a + 3 ”是假命題，所以"x 2,6 ， f x > -2a + 3恒成立，
則 ax2 - 2ax + 2a - 3 > 0 ，對"x 2,6 恒成立，
h x = ax2令 - 2ax + 2a - 3，則二次函數的對稱軸為直線 x =1，
ìh 2 = 2a - 3 > 0
要使得"x 2,6 ， h x > 0 恒成立，則 í ，解得 a 3> ，
h 6 = 26a - 3 > 0 2
3
所以實數 a 的取值范圍是 ,+ ÷ .
è 2
故選：A.
2．（2024·青海·模擬預測）記數列 an 的前 n 項積為Tn ，設甲： a
ìT ü
n 為等比數列，乙： í
n
n 為等比數列， 2
則（ ）
A．甲是乙的充分不必要條件
B．甲是乙的必要不充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲是乙的既不充分也不必要條件
【答案】D
n-1 n(n-1)
【解析】若 an 為等比數列，設其公比為q，則 an = a1q ，T n 1+2+L+(n-1) n 2 ，n = a1 q = a1 q
Tn+1 (a
n(n+1)
1 n+1 2
T a n(n-1) n+1 ) q
于是 n = ( 1 )n 2 2
a
= = 1 × qn q 1 aq 2 ， 1T × q
n
n a n(n-1) 2 ，當 時， 2 不是常數，2 2 n
2n (
1 )n q 2
2
ìT
此時數列 í n
ü
不是等比數列，則甲不是乙的充分條件；
2n
ìT ü T
若 í n n-1n 為等比數列，令首項為b1，公比為 p ，則
n
n = b1 p ，Tn = 2b1 × (2 p)
n-1
2
，
2
a Tn 2b1 × (2 p)
n-1
于是當n 2時， n = = = 2 p，而 a = T = 2b ，Tn-1 2b1 × (2 p)n-2
1 1 1
當b1 p時， an 不是等比數列，即甲不是乙的必要條件，
所以甲是乙的既不充分也不必要條件.
故選：D
3 2024· · “"x 1,4 ,ex 2．（ 四川 模擬預測）已知命題 - - m 0 ”為真命題，則實數m 的取值范圍為（ ）
x
A． - , e - 2 B ． - ,e4
1 1
- ùú C． e - 2, + D
é
． e4 - ,+ 2 ÷è ê 2
【答案】A
“"x 1,4 , ex 2【解析】因為命題 - - m 0 ”為真命題，所以"x 1,4 ,m ex 2- ．
x x
令 f x = ex 2- , x 1,4 , y = ex 與 y 2= - 在 1,4 上均為增函數，
x x
故 f x 為增函數，當 x =1時， f x 有最小值 e - 2，即m e - 2，
故選：A．
ìx -1, x < 0
4．（2024·北京順義·二模）若函數 f x = í 0, x = 0 ，則“ x1 + x2 > 0 ”是“ f x1 + f x2 > 0 ”的（ ）

x +1, x > 0
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】由題意可知： f x 的定義域為R ，且 f 0 = 0，
若 x > 0，則-x < 0，可知 f x + f -x = x +1 + -x -1 = 0 ，
若 x < 0 ，同理可得 f x + f -x = 0 ，所以 f x 為奇函數，
作出函數 f x 的圖象，如圖所示，
由圖象可知 f x 在R 上單調遞增，
若 x1 + x2 > 0，等價于 x1 > -x2，等價于 f x1 > f -x2 = - f x2 ，等價于 f x1 + f x2 > 0，
所以“ x1 + x2 > 0 ”是“ f x1 + f x2 > 0 ”的充要條件.
故選：C.
5．（2024·上海崇明·二模）已知函數 y = f (x) 的定義域為 D, x1, x2 D ．
命題 p ：若當 f (x1) + f (x2 ) = 0時，都有 x1 + x2 = 0，則函數 y = f (x) 是 D 上的奇函數．
命題q：若當 f (x1) < f (x2 )時，都有 x1< x2 ，則函數 y = f (x) 是 D 上的增函數．
下列說法正確的是（ ）
A．p、q 都是真命題 B．p 是真命題，q 是假命題
C．p 是假命題，q 是真命題 D．p、q 都是假命題
【答案】C
2
p ì-x , x (- ,1) (1, + )【解析】對于命題 ，令函數 f x = í ，
1, x =1
則 f 1 + f -1 = 0，此時1+ (-1) = 0，當函數 y = f x 不是奇函數，
所以命題 p 為假命題，
對于命題q，當 f (x1) < f (x2 )時，都有 x1< x2 ，即 x1< x2 ，不可能 f (x1) f (x2 ) ，
即當 x1< x2 時，可得 f (x1) < f (x2 )，滿足增函數的定義，所以命題q為真命題.
故選：C.
6．（2024·北京豐臺·一模）已知函數 f x = sin 2x +
a π÷，則“ = + kπ k Z ”是“ f x +a 是偶函數，且
è 4 8
f x -a 是奇函數”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】因為 f x = sin 2x +

÷，則 f x +a = sin

2x + 2a

+ ÷ ，
è 4 è 4
f x -a = sin 2x

- 2a +
4 ÷
，
è
若 f x -a k π是奇函數，則-2a + = k1π,k1 Z，解得a = - 1 ,k Z，4 8 2 1
若 f x +a 是偶函數，則 2a + = + k2π, k
k π
2 Z，解得a = + 2 ,k Z，4 2 8 2 2
所以若 f x +a f x -a a kπ是偶函數且 是奇函數，則 = + ,k Z，
8 2
π
所以由a = + kπ k Z 推得出 f x +a 是偶函數，且 f x -a 是奇函數，故充分性成立；
8
由 f x +a π是偶函數，且 f x -a 是奇函數推不出a = + kπ k Z ，故必要性不成立，
8
π
所以“a = + kπ k Z ”是“ f x +a 是偶函數，且 f x -a 是奇函數”的充分不必要條件.
8
故選：A
7．（2024·四川涼山·二模）已知命題“"x R 2， sin π + x + 2cos x + m 0 ”是假命題，則 m 的取值范圍為
（ ）
A． -2, + B． -2, + C． - , -1 D． - , -2
【答案】B
2
【解析】命題“"x R ， sin π + x + 2cos x + m 0 ”是假命題，
則“ $x0 R ， sin
2 π + x + 2cos x + m > 0 ”是真命題，
所以m > -sin2 π + x - 2cos x 有解，
2
所以m > é -sin π + x - 2cos xù min ，
-sin2 π + x - 2cos x = -sin2 x - 2cos x = cos2 x - 2cos x -1 = cos x -1 2又 - 2，
因為 cos x -1,1 ，所以 é -sin
2 π + x - 2cos xù = -2min ，
即m > -2 .
故選：B.
8．（2024·全國·模擬預測）命題 p : 0 < a <1，命題 q：函數 f x = loga 6 - ax a > 0,a 1 在 - ,3 上單調，
則 p 是q的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】設 t = 6 - ax，則 f x = loga 6 - ax a > 0,a 1 可化為 y = logat ．
充分性：當 0 < a < 1時，函數 y = logat 在 - ,3 上單調遞減， t = 6 - ax在 - ,3 上單調遞減，且 t > 0，所以
f x = loga 6 - ax a > 0,a 1 在 - ,3 上單調遞增，因此充分性成立．
必要性：當 0 < a < 1時， y = logat 在 - ,3 上單調遞減， t = 6 - ax在 - ,3 上單調遞減，且 t > 0，所以
f x = loga 6 - ax a > 0,a 1 在 - ,3 上單調遞增；
當 a >1時， y = logat 在 - ,3 上單調遞增， t = 6 - ax在 - ,3 上單調遞減，且 t = 6 - ax > 0在 - ,3 上恒
成立，所以6 - 3a 0，則1< a 2，此時函數 f x = loga 6 - ax a > 0, a 1 在 - ,3 上單調遞減．
綜上可知，當函數 f x = loga 6 - ax a > 0,a 1 在 - ,3 上單調時， 0 < a < 1或1 < a 2，因此必要性不成
立．所以 p 是q的充分不必要條件．
故選：A．
9．（多選題）（2024·廣東梅州·一模）已知直線m ，n和平面a ，b ，且n a，則下列條件中， p 是q的
充分不必要條件的是（ ）
A． p : m∥a ， q : m∥n B． p : m ^ a ， q : m ^ n
C． p :a ∥b ， q : n∥b D． p : n ^ b ， q :a ^ b
【答案】BCD
【解析】A：若m∥a ，n a，則直線m ，n可能平行或異面，所以 p 不能推出q，故 A 錯誤；
B：若 p : m ^ a ，則直線 m 垂直于平面a 的每一條直線，又n a，所以 q : m ^ n成立，
但若 q : m ^ n成立，根據線面垂直的判定，還需在平面a 找一條與 n 相交的直線，且 m 不在平面a 內，故 q
不能推出 p，故 B 正確；
C：若 p :a ∥b ，且n a，由面面平行的性質可知， q : n∥b 成立；反之，由線面平行的判定可知當
q : n∥b ，不能推出 p :a ∥b ，故 C 正確；
D：若 p : n ^ b ，且n a，由面面垂直的判定定理可知 q :a ^ b 成立；反之，若 q :a ^ b ，且n a，則直
線 n 與平面b 可能成任意角度，故 D 正確.
故選：BCD.
10．（多選題）（2024·云南楚雄·模擬預測）下列命題為真命題的是（ ）
1 1
A．"x R ， x + 2 B．"x R ， 1
x x2 +1
C．$x R ， ln(| x | +1) = 0 D．$x R ， x2 + x +1 0
【答案】BC
【解析】對 A，當 x = 0時， x
1
+ 無意義，故 A 錯誤；
x
1
對 B，易得"x R ， x2 +1 1，則 x2 +1 1，可得 12 ，故 B 正確；x +1
對 C，當 x = 0時， ln(| x | +1) = 0成立，故 C 正確；
對 D，D =1- 4 = -3 < 0，可得 x2 + x +1 > 0，故 D 錯誤.
故選：BC
11．（多選題）（2024·高三· *江蘇鹽城·期中）在VABC 中，若 A = nB n N ，則（ ）
A．對任意的n 2，都有 sin A < nsin B
B．對任意的n 2，都有 tan A < n tan B
C．存在n，使 sin A > nsin B 成立
D．存在n，使 tan A > n tan B成立
【答案】AD
【解析】在VABC A 3B n 3 B π中，當 = 時， = ，取 = ，則 A π= tan A =1
12 4
， ，
tan B tan(π π) 3 -1= - = = 2 - 3 ，3tan B = 3(2 - 3)，則 tan A > 3tan B，B 錯，D 對；
3 4 1+ 3
ì0 < A < π ì0 < nB < π

顯然 í0 < B < π

，即 í0 < B < π ，則0 < B
π
< ，
0 < C < π
n +1
0 < π - B - nB < π
令 f (x) = sin nx - nsin x，0 < x
π
< ,n 2 ， f (x) = n cos nx - ncos x = n(cos nx - cos x) < 0，
n +1
π
因此函數 f (x) 在 0, ÷上單調遞減，則 f (x) < f (0) = 0，即 sin nB < nsin B，從而 sin A < nsin B ，A 對，C
è n +1
錯.
故選：AD
12．（2024·上海普陀·二模）設等比數列 an 的公比為 q(n 1, n N) ，則“12a2， a4， 2a3成等差數列”的一
個充分非必要條件是 .
【答案】 q = 3（或 q = -2 ,答案不唯一）
【解析】12a2， a4， 2a3成等差數列，
則 2a4 =12a2 + 2a ，即 q23 = 6 + q，解得 q = 3或 q = -2 ，
故“12a2， a4， 2a3成等差數列”的一個充分非必要條件是 q = 3（或 q = -2) ．
故答案為： q = 3（或 q = -2 ,答案不唯一）
13．（2024·全國·模擬預測）“函數 y = tanx的圖象關于 x0 ,0 中心對稱”是“ sin2x0 = 0 ”的 條件．
【答案】充分必要
【解析】函數 y = tanx
kπ
圖象的對稱中心為 ,0

÷ ,k Z，
è 2
kπ
所以由“函數 y=tanx 的圖象關于(x0,0)中心對稱”等價于“ x0 = ,k Z ”．2
因為 sin2x0 = 0 等價于 2x0 = kπ,k Z x
kπ
，即 0 = ,k Z ．2
所以“函數 y = tanx的圖象關于 x0 ,0 中心對稱”是“ sin2x0 = 0 ”的是充分必要條件．
故答案為：充分必要
14．（2024·上海長寧·一模）若“存在 x > 0，使得 x2 + ax +1< 0 ”是假命題，則實數 a的取值范圍 .
【答案】 -2, +
【解析】由題意可得：“任意 x > 0，使得 x2 + ax +1 0 ”是真命題，
1
注意到 x > 0，整理得 x + -ax ，
1
原題意等價于“任意 x > 0，使得 x + -a ”x 是真命題，
x 1 2 x 1
1
因為 + × = 2，當且僅當 x = ，即 x =1時，等號成立，
x x x
所以 2 -a ，解得 a -2，
所以實數 a的取值范圍 -2, + .
故答案為： -2, + .
15．若“ x = a ”是“ sin x + cos x >1”的一個充分條件，則a 的一個可能取值是 .（寫出一個符合要求的答
案即可）
π
【答案】 （答案不唯一）
4
π
sin x cos x 1 2 sin x + >1 sin x π 2【解析】由 + > 可得 ÷ ，則 + > ，è 4 è 4 ÷ 2
所以 2kπ
π
+ < x π 3π π+ < 2kπ + k Z ，解得 2kπ < x < 2kπ + k Z .
4 4 4 2
因為“ x = a ”是“ sin x + cos x >1”的一個充分條件，
π π
所以a 的一個可能取值為 （答案不唯一，a 2kπ,2kπ +4 ÷
k Z 均滿足題意）．
è 2
π
故答案為： （答案不唯一，a 2kπ,2kπ
π
+ ÷ k Z 均滿足題意）.4 è 2
ì 1 ü
16．（2024·安徽·模擬預測）已知集合 A = íx∣- x 2 ，集合B = x∣x2 - 2mx - 3m2 0 ，全集為R .
2
(1)若m =1，求 R AI R B；
(2)若“ x A ”是“ x B ”的必要不充分條件，求實數m 的取值范圍.
【解析】（1）由題知：當m =1時，
B = x∣x2 - 2x - 3 0 = x∣-1 x 3 ，
ì 1 ü
又 A = íx∣- x 22
\ A B = x∣-1 x 3 ，
\ R A R B = R A B = {x∣x < -1或 x > 3}.
（2）若“ x A ”是“ x B ”的必要不充分條件，則 B A ，
B = x∣x2 - 2mx - 3m2 0 = x∣ x + m x - 3m 0 ，
①當m = 0時，集合B = 0 ，滿足題意；
②當m < 0時，集合B = x∣3m x -m ，
ì 1 ì 1
\
3m -

m -
m 1 1í 2 í 6 ，則 - ，又m = - 時，B =
ì
íx
1 x 1- ü∣ 符合 B A ，
6 6 2 6 -m 2 m -2
\ 1可得- m < 0；
6
③當m > 0時，集合B = x∣- m x 3m ，
ì ì 1
-m
1
- m
\ 2 1 1 ì 1 3í 2 í ，則m ，又m = 時，B = íx∣- x
ü
符合 B A ，
3m 2 m 2 2 2 2 2
3
\可得0 < m
1
.
2
ì 1 1
綜上，實數m 的取值范圍為 ím∣- m
ü
.
6 2


17．（2024·上海普陀· x - x一模）設函數 y = f x 的表達式為 f x = ae + e .
(1)求證：“ a =1”是“函數 y = f x 為偶函數”的充要條件；
(2)若 a =1，且 f m + 2 f 2m - 3 ，求實數m 的取值范圍.
【解析】（1）函數 f x = aex + e- x 的定義域為 R， e x - e- x 不恒為 0，
函數 y = f x 為偶函數 "x R, f (-x) - f (x) = 0
"x R, ae- x + ex - (aex + e- x ) = 0 "x R,(1- a)(ex - e- x ) = 0 a =1，
所以“ a =1”是“函數 y = f x 為偶函數”的充要條件.
（2）當 a =1時， f (x) = ex + e- x ，求導得 f (x) = ex - e- x ，函數 f (x) 在 R 上單調遞增，
當 x > 0時， f (x) > f (0) = 0 ，即函數 f (x) = ex + e- x 在[0, + ) 單調遞增，又 f (x) 是偶函數，
因此 f (m + 2) f (2m - 3) f (| m + 2 |) f (| 2m - 3 |) | m + 2 | | 2m - 3 |，
即 (m - 5)(3m -1) 0，解得m
1
或m 5，
3
1
所以實數m 的取值范圍是m 或m 5 .
3
1．（2022 年新高考北京數學高考真題）設 an 是公差不為 0 的無窮等差數列，則“ an 為遞增數列”是“存
在正整數 N0 ，當 n > N0 時， an > 0”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】設等差數列 an 的公差為d ，則 d 0，記 x 為不超過 x 的最大整數.
若 an 為單調遞增數列，則 d > 0，
若 a1 0，則當n 2時， an > a1 0；若 a1 < 0，則 an = a1 + n -1 d ，
a
由 an = a1 + n -1 d > 0
a
可得 n >1- 1 é，取 N 1 ù0 = ê1- ú +1，則當 n > N0 時， an > 0，d d
所以，“ an 是遞增數列” “存在正整數 N0 ，當 n > N0 時， an > 0”；
若存在正整數 N0 ，當 n > N0 時， an > 0，取 k N* 且 k > N0 ， ak > 0 ，
假設 d < 0 ，令 a = a + n - k d < 0 n k ak k a可得 > - ，且 - kn k > k ，d d
é ak ù
當 n > êk - ú +1時， an < 0，與題設矛盾，假設不成立，則 d > 0，即數列 an 是遞增數列. d
所以，“ an 是遞增數列” “存在正整數 N0 ，當 n > N0 時， an > 0”.
所以，“ an 是遞增數列”是“存在正整數 N0 ，當 n > N0 時， an > 0”的充分必要條件.
故選：C.
2．（2024 年天津高考數學真題）設 a,b R ，則“ a3 = b3 ”是“3a = 3b ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】根據立方的性質和指數函數的性質， a3 = b3和3a = 3b 都當且僅當 a = b，所以二者互為充要條件.
故選：C.
r r r r r r r r r r
3．（2024 年北京高考數學真題）設 a，b 是向量，則“ a + b · a - b = 0 ”是“ a = -b或a = b ”的（ ）．
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
ar rb ar r r r r
r
【解析】因為 + × - b = a2 - b 2 = 0 r 2 r2，可得 a = b ，即 a = b ，
r r
可知 a + b × ar r- b r= 0 r等價于 a = b ，
r r r r r r r
若a = b或a = -b，可得 a = b ，即 ar + b × ar
r
- b = 0，可知必要性成立；
若 r r r r rar b ar b 0 ar r r+ × - = ，即 = b ，無法得出a = b或a = -b，
r r r r r r r r
例如 a = 1,0 ,b = 0,1 ，滿足 a = b ，但 a b且 a -b，可知充分性不成立；
r r r r r r r r
綜上所述，“ a + b × a - b = 0 ”是“ a b且 a -b ”的必要不充分條件.
故選：B.
4．（2022 年新高考天津數學高考真題）“ x 為整數”是“ 2x +1為整數”的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】由 x 為整數能推出 2x +1為整數，故“ x 為整數”是“ 2x +1為整數”的充分條件，
1
由 x = , 2x +1為整數不能推出 x 為整數，故“ x 為整數”是“ 2x +1為整數”的不必要條件，
2
綜上所述，“ x 為整數”是“ 2x +1為整數”的充分不必要條件，
故選：A.
5．（2022 年新高考浙江數學高考真題）設 x R ，則“ sin x =1”是“ cos x = 0 ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必
要條件
【答案】A
【解析】因為 sin2 x + cos2 x =1可得：
當 sin x =1時， cos x = 0，充分性成立；
當 cos x = 0時， sin x = ±1，必要性不成立；
所以當 x R ， sin x =1是 cos x = 0的充分不必要條件.
故選：A.
6．（2022 年新高考北京數學高考真題）設 an 是公差不為 0 的無窮等差數列，則“ an 為遞增數列”是“存
在正整數 N0 ，當 n > N0 時， an > 0”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】設等差數列 an 的公差為d ，則 d 0，記 x 為不超過 x 的最大整數.
若 an 為單調遞增數列，則 d > 0，
若 a1 0，則當n 2時， an > a1 0；若 a1 < 0，則 an = a1 + n -1 d ，
a é a ù
由 an = a 1 11 + n -1 d > 0可得 n >1- ，取 N0 = ê1- ú +1，則當 n > N0 時， an > 0，d d
所以，“ an 是遞增數列” “存在正整數 N0 ，當 n > N0 時， an > 0”；
若存在正整數 N0 ，當 n > N0 時， an > 0，取 k N* 且 k > N0 ， ak > 0 ，
假設 d < 0 ，令 an = ak + n - k d < 0 n
a a
可得 > k - k ，且 k - k > k ，
d d
n a> ék - k ù當 ê ú +1時， an < 0，與題設矛盾，假設不成立，則 d > 0，即數列 an 是遞增數列. d
所以，“ an 是遞增數列” “存在正整數 N0 ，當 n > N0 時， an > 0”.
所以，“ an 是遞增數列”是“存在正整數 N0 ，當 n > N0 時， an > 0”的充分必要條件.
故選：C.
7．（2021 年天津高考數學試題）已知 a R ，則“ a > 6 ”是“ a2 > 36 ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】由題意，若 a > 6，則 a2 > 36 ，故充分性成立；
若 a2 > 36 ，則 a > 6或 a < -6 ，推不出 a > 6，故必要性不成立；
所以“ a > 6 ”是“ a2 > 36 ”的充分不必要條件.
故選：A.
8．（2021 年北京市高考數學試題）已知 f (x) 是定義在上[0,1]的函數，那么“函數 f (x) 在[0,1]上單調遞增”是“函
數 f (x) 在[0,1]上的最大值為 f (1) ”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必
要條件
【答案】A
【解析】若函數 f x 在 0,1 上單調遞增，則 f x 在 0,1 上的最大值為 f 1 ，
若 f x 在 0,1 上的最大值為 f 1 ，
1 2
比如 f x = x - 3 ÷ ，è
2
但 f éx = 1 x -

÷ 在 ê0,
1ù é1 ù
ú 為減函數，在 ê ,13 3 3 ú
為增函數，
è
故 f x 在 0,1 上的最大值為 f 1 推不出 f x 在 0,1 上單調遞增，
故“函數 f x 在 0,1 上單調遞增”是“ f x 在 0,1 上的最大值為 f 1 ”的充分不必要條件，
故選：A.
9．（2021 年全國高考甲卷數學（理）試題）等比數列 an 的公比為 q，前 n 項和為 Sn ，設甲： q > 0 ，乙：
Sn 是遞增數列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】B
【解析】由題，當數列為-2,-4,-8,L時，滿足q > 0 ，
但是 Sn 不是遞增數列，所以甲不是乙的充分條件．
若 Sn 是遞增數列，則必有 an > 0成立，若q > 0 不成立，則會出現一正一負的情況，是矛盾的，則q > 0 成
立，所以甲是乙的必要條件．
故選：B．
10．（2020 年山東省高考數學真題）下列命題為真命題的是（ ）
A．1 > 0且3 > 4 B．1> 2或 4 > 5
C．$x R， cos x >1 D．"x R ， x2 0
【答案】D
【解析】A 項：因為 4 > 3，所以1 > 0且3 > 4是假命題，A 錯誤；
B 項：根據1< 2、 4 < 5易知 B 錯誤；
C 項：由余弦函數性質易知 cos x 1，C 錯誤；
D 項： x2 恒大于等于 0 ，D 正確，
故選：D.
11．（2020 年山東省高考數學真題）已知 a R ，若集合M = 1,a ， N = -1,0,1 ，則“ a = 0 ”是“ M N ”
的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】當 a = 0時，集合M = 1,0 ， N = -1,0,1 ，可得M N ，滿足充分性，
若M N ，則 a = 0或 a = -1，不滿足必要性，
所以“ a = 0 ”是“ M N ”的充分不必要條件，
故選：A.
12．（2020 年北京市高考數學試卷）已知a , b R，則“存在 k Z使得a = k + (-1)k b ”是“ sina = sin b ”的
（ ）．
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】(1)當存在 k Z使得a = k + (-1)k b 時，
若 k 為偶數，則 sina = sin k + b = sin b ；
若 k 為奇數，則 sina = sin k - b = sin é k -1 + - b ù = sin - b = sin b ；
(2)當 sina = sin b 時，a = b + 2m 或a + b = + 2m ，m Z a = k + -1 k，即 b k = 2m 或
a = k + -1 k b k = 2m +1 ，
亦即存在 k Z使得a = k + (-1)k b ．
所以，“存在 k Z使得a = k + (-1)k b ”是“ sina = sin b ”的充要條件.
故選：C.
13．（2020 年浙江省高考數學試卷）已知空間中不過同一點的三條直線 m，n，l，則“m，n，l 在同一平面”
是“m，n，l 兩兩相交”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】依題意m, n, l 是空間不過同一點的三條直線，
當m, n, l 在同一平面時，可能m//n//l ，故不能得出m, n, l 兩兩相交.
當m, n, l 兩兩相交時，設m n = A, m l = B,n l = C ，根據公理 2可知m, n確定一個平面a ，而
B m a ,C n a ，根據公理1可知，直線BC 即 l a ，所以m, n, l 在同一平面.
綜上所述，“ m, n, l 在同一平面”是“ m, n, l 兩兩相交”的必要不充分條件.
故選：B
14．（2021 年天津高考數學試題）已知 a R ，則“ a > 6 ”是“ a2 > 36 ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】由題意，若 a > 6，則 a2 > 36 ，故充分性成立；
若 a2 > 36 ，則 a > 6或 a < -6 ，推不出 a > 6，故必要性不成立；
所以“ a > 6 ”是“ a2 > 36 ”的充分不必要條件.
故選：A.第 02 講 常用邏輯用語
目錄
01 模擬基礎練 ......................................................................................................................................2
題型一：充分條件與必要條件的判斷 ................................................................................................2
題型二：根據充分必要條件求參數的取值范圍 ................................................................................2
題型三：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假 ................................................................................3
題型四：根據命題的真假求參數的取值范圍 ....................................................................................3
題型五：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定 ................................................................................3
02 重難創新練 ......................................................................................................................................4
03 真題實戰練 ......................................................................................................................................6
題型一：充分條件與必要條件的判斷
1．（2024·北京房山·一模）“ 0 < x <1”是“ | x(x -1) |= x(1- x)”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知復數 z = a + bi i(a,b R, i 為虛數單位 )的共軛復數為 z ，則“ z 為純虛
數”的充分必要條件為（ ）
A． a2 + b2 0 B． ab = 0
C． a = 0,b 0 D． a 0,b = 0
3．（2024·四川·模擬預測）“ ln x -1 < 0 ”的一個必要不充分條件是（ ）
1
A．-1 < x < - B． x > 0
e
3
C．-1 < x < 0 D．1 < x <
2
4．若 x， y R ，則“ x > y ”的一個必要不充分條件可以是（ ）
A． 2x- y > 0.5 B． x2
x
> y2 C． >1y D． 2
x- y > 2
r r r r r r r
5．（2024·全國·模擬預測）已知向量 a - b = (1- x, 2), a + b = (1+ x,0) ，則“ x = 0 ”是“ (a + b) ^ b ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
題型二：根據充分必要條件求參數的取值范圍
6．若 a < x < 3是不等式 log 1 x > -1成立的一個必要不充分條件，則實數 a 的取值范圍是（ ）
2
A． - ,0 B． - ,0 C． 0,2 D． 2,3
7．（2024·高三·浙江紹興·期末）已知命題 p ：函數 f (x) = 2x3 + x - a 在 1,2 內有零點，則命題 p 成立的一
個必要不充分條件是（ ）
A．3 a <18 B．3 < a <18 C．a < 18 D． a 3
8．已知 p : -3 x 1， q : x a （a 為實數）．若 q 的一個充分不必要條件是 p，則實數 a 的取值范圍是 .
9．（2024·高三·河南南陽·期中）已知 p ：“ log3x < 3”，q：“ x - a < 2”，若 p 是q的必要不充分條件，則實
數 a的取值范圍是 ．
題型三：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假
10．（2024·陜西咸陽·模擬預測）下列命題中，真命題是（ ）
A．“ a > 1,b > 1 ”是“ ab >1”的必要條件
B．"x > 0,ex > 2x
C．"x > 0,2x x2
a
D． a + b = 0的充要條件是 = -1
b
11．給出下列命題
①"x R, x2 +1 > 0；②"x N, x4 1；③$x Z, x3 <1；④"x Q, x2 2．
其中真命題有（ ）
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
12．下列命題中是真命題的為（ ）
A．$x N，使 4x < -3 B．"x R ， x2 + 2 > 0
C．"x N， 2x > x2 D．$x Z，使3x - 2 = 0
13．（2024·河北·模擬預測）命題 p ："x >1， x + 2x - 3 > 0，命題q：$x R， 2x2 - 4x + 3 = 0，則（ ）
A． p 真q真 B． p 假q假 C． p 假q真 D． p 真q假
題型四：根據命題的真假求參數的取值范圍
4
14．（2024·陜西寶雞·一模）命題“任意 x (1,3)， a x + ”為假命題，則實數 a 的取值范圍是 ．
x
15．若命題“ $x R, mx2 + 2mx + 3 0 ”為假命題，則實數 m 的取值范圍是 ．
16．已知命題 p : $x0 R
2
， x0 + a -1 x0 +1< 0 ，若命題 p 是假命題，則 a的取值范圍為（ ）
A．1 a 3 B．-1 < a < 3
C．-1 a 3 D．0 a 2
題型五：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
17．命題“ $x R ，使 x2 + x -1 = 0 ”的否定是（ ）
A．$x R ，使 x2 + x -1 0 B．不存在 x R ，使 x2 + x -1 = 0
C．"x R ，使 x2 + x -1 0 D．"x R ，使 x2 + x -1 0
18．（2024·全國·模擬預測）命題“"a >1 f x = xa，函數 在 a,+ 上單調遞增”的否定為（ ）
A．$a > 1 a，函數 f x = x 在 a,+ 上單調遞減
B．$a > 1，函數 f x = xa 在 a,+ 上不單調遞增
C．$a 1，函數 f x = xa 在 a,+ 上單調遞減
D．$a 1 a，函數 f x = x 在 a,+ 上不單調遞增
19．命題 p : "x R, x2 Q的否定為（ ）
A．$x R, x2 Q B．$x R, x2 Q
C．"x R, x2 Q D．"x Q, x2 R
20．命題“"x Z， x2 0 ”的否定是（ ）
A．$x Z， x2 0 B．$x Z， x2 0
C．$x Z， x2 < 0 D．$x Z， x2 < 0
1．（2024· 2陜西西安·模擬預測）設函數 f x = ax - 2ax，命題“ $x 2,6 ， f x -2a + 3 ”是假命題，則實
數 a 的取值范圍是（ ）．
3
A． ,+

÷ B． 3, + C． 2,
3
+ D． - ,

2 ÷è è 2
ìT ü
2．（2024· n青海·模擬預測）記數列 an 的前 n 項積為Tn ，設甲： an 為等比數列，乙： í n 為等比數列， 2
則（ ）
A．甲是乙的充分不必要條件
B．甲是乙的必要不充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲是乙的既不充分也不必要條件
2
3．（2024·四川·模擬預測）已知命題“"x 1,4 ,ex - - m 0 ”為真命題，則實數m 的取值范圍為（ ）
x
A． - , e - 2 B ． - ,e4
1
- ùú C． e - 2,
1
+ D é 4． êe - ,+

2 ֏ 2
ìx -1, x < 0

4．（2024·北京順義·二模）若函數 f x = í 0, x = 0 ，則“ x1 + x2 > 0 ”是“ f x1 + f x2 > 0 ”的（ ）

x +1, x > 0
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5．（2024·上海崇明·二模）已知函數 y = f (x) 的定義域為 D, x1, x2 D ．
命題 p ：若當 f (x1) + f (x2 ) = 0時，都有 x1 + x2 = 0，則函數 y = f (x) 是 D 上的奇函數．
命題q：若當 f (x1) < f (x2 )時，都有 x1< x2 ，則函數 y = f (x) 是 D 上的增函數．
下列說法正確的是（ ）
A．p、q 都是真命題 B．p 是真命題，q 是假命題
C．p 是假命題，q 是真命題 D．p、q 都是假命題
π
6．（2024·北京豐臺·一模）已知函數 f x = sin 2x + ÷，則“a = + kπ k Z ”是“ f x +a 是偶函數，且
è 4 8
f x -a 是奇函數”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
7．（2024·四川涼山·二模）已知命題“"x R ， sin2 π + x + 2cos x + m 0 ”是假命題，則 m 的取值范圍為
（ ）
A． -2, + B． -2, + C． - , -1 D． - , -2
8．（2024·全國·模擬預測）命題 p : 0 < a <1，命題 q：函數 f x = loga 6 - ax a > 0,a 1 在 - ,3 上單調，
則 p 是q的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
9．（多選題）（2024·廣東梅州·一模）已知直線m ，n和平面a ，b ，且n a，則下列條件中， p 是q的
充分不必要條件的是（ ）
A． p : m∥a ， q : m∥n B． p : m ^ a ， q : m ^ n
C． p :a ∥b ， q : n∥b D． p : n ^ b ， q :a ^ b
10．（多選題）（2024·云南楚雄·模擬預測）下列命題為真命題的是（ ）
1 1
A．"x R ， x + 2 B．"x R ， 1
x x2 +1
C．$x R ， ln(| x | +1) = 0 D．$x R ， x2 + x +1 0
11．（多選題）（2024·高三· *江蘇鹽城·期中）在VABC 中，若 A = nB n N ，則（ ）
A．對任意的n 2，都有 sin A < nsin B
B．對任意的n 2，都有 tan A < n tan B
C．存在n，使 sin A > nsin B 成立
D．存在n，使 tan A > n tan B成立
12．（2024·上海普陀·二模）設等比數列 an 的公比為 q(n 1, n N) ，則“12a2， a4， 2a3成等差數列”的一
個充分非必要條件是 .
13．（2024·全國·模擬預測）“函數 y = tanx的圖象關于 x0 ,0 中心對稱”是“ sin2x0 = 0 ”的 條件．
14．（2024·上海長寧·一模）若“存在 x > 0，使得 x2 + ax +1< 0 ”是假命題，則實數 a的取值范圍 .
15．若“ x = a ”是“ sin x + cos x >1”的一個充分條件，則a 的一個可能取值是 .（寫出一個符合要求的答
案即可）
ì 1 ü
16．（2024·安徽·模擬預測）已知集合 A = íx∣- x 2 ，集合B = x∣x2 - 2mx - 3m2 0 ，全集為R .
2
(1)若m =1，求 R AI R B；
(2)若“ x A ”是“ x B ”的必要不充分條件，求實數m 的取值范圍.
17．（2024·上海普陀·一模）設函數 y = f x x - x的表達式為 f x = ae + e .
(1)求證：“ a =1”是“函數 y = f x 為偶函數”的充要條件；
(2)若 a =1，且 f m + 2 f 2m - 3 ，求實數m 的取值范圍.
1．（2022 年新高考北京數學高考真題）設 an 是公差不為 0 的無窮等差數列，則“ an 為遞增數列”是“存
在正整數 N0 ，當 n > N0 時， an > 0”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2024 年天津高考數學真題）設 a,b R ，則“ a3 = b3 ”是“3a = 3b ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
r r r r r r r r r r
3．（2024 年北京高考數學真題）設 a，b 是向量，則“ a + b · a - b = 0 ”是“ a = -b或a = b ”的（ ）．
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．（2022 年新高考天津數學高考真題）“ x 為整數”是“ 2x +1為整數”的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
5．（2022 年新高考浙江數學高考真題）設 x R ，則“ sin x =1”是“ cos x = 0 ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必
要條件
6．（2022 年新高考北京數學高考真題）設 an 是公差不為 0 的無窮等差數列，則“ an 為遞增數列”是“存
在正整數 N0 ，當 n > N0 時， an > 0”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
7．（2021 年天津高考數學試題）已知 a R ，則“ a > 6 ”是“ a2 > 36 ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
8．（2021 年北京市高考數學試題）已知 f (x) 是定義在上[0,1]的函數，那么“函數 f (x) 在[0,1]上單調遞增”是“函
數 f (x) 在[0,1]上的最大值為 f (1) ”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必
要條件
9．（2021 年全國高考甲卷數學（理）試題）等比數列 an 的公比為 q，前 n 項和為 Sn ，設甲： q > 0 ，乙：
Sn 是遞增數列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
10．（2020 年山東省高考數學真題）下列命題為真命題的是（ ）
A．1 > 0且3 > 4 B．1> 2或 4 > 5
C．$x R， cos x >1 D．"x R ， x2 0
11．（2020 年山東省高考數學真題）已知 a R ，若集合M = 1,a ， N = -1,0,1 ，則“ a = 0 ”是“ M N ”
的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
12．（2020 年北京市高考數學試卷）已知a , b R，則“存在 k Z使得a = k + (-1)k b ”是“ sina = sin b ”的
（ ）．
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
13．（2020 年浙江省高考數學試卷）已知空間中不過同一點的三條直線 m，n，l，則“m，n，l 在同一平面”
是“m，n，l 兩兩相交”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
14．（2021 年天津高考數學試題）已知 a R ，則“ a > 6 ”是“ a2 > 36 ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

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