資源簡介

第 02 講 函數的性質：單調性、奇偶性、周期性、對稱性、最值
目錄
01 考情透視·目標導航 ................................................................................................................................................2
02 知識導圖·思維引航 ................................................................................................................................................3
03 考點突破·題型探究 ................................................................................................................................................4
知識點 1：函數的單調性 ............................................................................................................................................4
知識點 2：函數的最值 ................................................................................................................................................5
知識點 3：函數的奇偶性 ............................................................................................................................................5
知識點 4：函數的周期性 ............................................................................................................................................6
知識點 5：函數的對稱性 ............................................................................................................................................7
解題方法總結 ...............................................................................................................................................................7
題型一：單調性的定義及判斷 .................................................................................................................................10
題型二：復合函數單調性的判斷 .............................................................................................................................12
題型三：分段函數的單調性 .....................................................................................................................................14
題型四：利用函數單調性求函數最值 .....................................................................................................................16
題型五：利用函數單調性求參數的范圍 .................................................................................................................19
題型六：利用函數的單調性比較函數值大小 .........................................................................................................22
題型七：函數的奇偶性的判斷與證明 .....................................................................................................................24
題型八：已知函數的奇偶性求參數 .........................................................................................................................28
題型九：已知函數的奇偶性求表達式、求值 .........................................................................................................30
題型十：奇函數的中值模型 .....................................................................................................................................31
題型十一：利用單調性與奇偶性求解函數不等式 .................................................................................................36
題型十二：函數對稱性的應用 .................................................................................................................................38
題型十三：函數周期性的應用 .................................................................................................................................42
題型十四：對稱性與周期性的綜合應用 .................................................................................................................44
題型十五：類周期與倍增函數 .................................................................................................................................49
題型十六：抽象函數的單調性、奇偶性、周期性、對稱性 .................................................................................52
04 真題練習·命題洞見 ..............................................................................................................................................57
05 課本典例·高考素材 ..............................................................................................................................................60
06 易錯分析·答題模板 ..............................................................................................................................................63
易錯點：判斷函數的奇偶性忽視定義域 .................................................................................................................63
答題模板：判斷函數的奇偶性 .................................................................................................................................63
考點要求 考題統計 考情分析
2024年 II卷第 8題，5分
2024年 I卷第 6題，5分 從近幾年高考命題來看，本節是高
（1）函數的單調性 2024年天津卷第 4題，5分 考的一個重點，函數的單調性、奇偶
（2）函數的奇偶性 2023年 I卷第 4、11題，10分 性、對稱性、周期性是高考的必考內
（3）函數的對稱性 2023年甲卷第 13題，5分 容，重點關注周期性、對稱性、奇偶性
（4）函數的周期性 2022年 II卷第 8題，5分 結合在一起，與函數圖像、函數零點和
2022年 I卷第 12題，5分 不等式相結合進行考查．
2021年 II卷第 8題，5分
復習目標：
（1）借助函數圖像，會用符號語言表達函數的單調性、最大值、最小值，理解它們的作用和實際意義．
（2）結合具體函數，了解奇偶性的概念和幾何意義．
（3）結合三角函數，了解周期性的概念和幾何意義．
（4）會依據函數的性質進行簡單的應用．
知識點 1：函數的單調性
（1）單調函數的定義
一般地，設函數 f (x) 的定義域為 A，區間 D A：
如果對于 D 內的任意兩個自變量的值 x1 ， x2 當 x1 < x2 時，都有 f (x1) < f (x2 )，那么就說 f (x) 在區間
D 上是增函數．
如果對于 D 內的任意兩個自變量的值 x1 ， x2 ，當 x1 < x2 時，都有 f (x1) < f (x2 )，那么就說 f (x) 在區
間 D 上是減函數．
①屬于定義域 A內某個區間上；
②任意兩個自變量 x1 ， x2 且 x1 < x2 ；
③都有 f (x1) < f (x2 )或 f (x1) > f (x2 )；
④圖象特征：在單調區間上增函數的圖象從左向右是上升的，減函數的圖象從左向右是下降的．
（2）單調性與單調區間
①單調區間的定義：如果函數 f (x) 在區間 D 上是增函數或減函數，那么就說函數 f (x) 在區間 D 上具
有單調性， D 稱為函數 f (x) 的單調區間．
②函數的單調性是函數在某個區間上的性質．
（3）復合函數的單調性
復合函數的單調性遵從“同增異減”，即在對應的取值區間上，外層函數是增（減）函數，內層函數是
增（減）函數，復合函數是增函數；外層函數是增（減）函數，內層函數是減（增）函數，復合函數是減
函數.
【診斷自測】（2024·高三·上海楊浦·期中）已知函數 y = f x ， x R .若 f 1 < f 2 成立，則下列論
斷中正確的是（ ）
A．函數 f x 在 - , + 上一定是增函數；
B．函數 f x 在 - , + 上一定不是增函數；
C．函數 f x 在 - , + 上可能是減函數；
D．函數 f x 在 - , + 上不可能是減函數.
【答案】D
【解析】因為函數 y = f x ， x R 且 f 1 < f 2 成立，
則函數 f x 在 - , + 上不可能是減函數，可能是增函數，也可能不是增函數，
如 f x = x2 ，滿足 f 1 < f 2 ，但是 f x 在 - , + 上不具有單調性，
故 D 正確，A、B、C 錯誤.
故選：D
知識點 2：函數的最值
一般地，設函數 y = f x 的定義域為 D，如果存在實數 M 滿足
① "x D ，都有 f x M ；② $x0 D，使得 f x0 = M ，則 M 是函數 y = f x 的最大值；
① "x D ，都有 f x M ；② $x0 D，使得 f x0 = M ，則 M 是函數 y = f x 的最小值.
1
【診斷自測】（2024·高三·北京·開學考試）函數 y = -1+ x(x 3) 的最小值為 .
x -1
5
【答案】
2
【解析】設 t = x -1, t 2，
1 1
則 y = -1+ x = t + ，
x -1 t
1
又函數 y = t + 在 1, + 上單調遞增，
t
所以當 t = 2，即 x = 3時，
函數 y = t
1 1 5
+ 有最小值 2 + = ，
t 2 2
5
故答案為： .
2
知識點 3：函數的奇偶性
函數奇偶性的定義及圖象特點
奇偶性 定義 圖象特點
如果對于函數 f (x) 的定義域內任意一個 x ，都有
偶函數 關于 y 軸對稱
f (-x) = f (x) ，那么函數 f (x) 就叫做偶函數
如果對于函數 f (x) 的定義域內任意一個 x ，都有
奇函數 關于原點對稱
f (-x) =- f (x)，那么函數 f (x) 就叫做奇函數
【診斷自測】（2024·高三·河北唐山·期末）函數 f x 為奇函數， g x 為偶函數，在公共定義域內，下
列結論一定正確的是（ ）
A． f x + g x 為奇函數 B． f x + g x 為偶函數
C． f x g x 為奇函數 D． f x g x 為偶函數
【答案】C
【解析】令F1(x) = f (x) + g(x) ，則F1(-x) = f (-x) + g(-x) = - f (x) + g(x) -F1(x) ,且F1 -x F1 x ，
\ F1(x) 既不是奇函數，也不是偶函數，故 A、B 錯誤；
令F2 (x) = f (x)g(x)，則F2 (-x) = f (-x)g(-x) = - f (x)g(x) = -F2 (x) ,且F2 -x F2 x ，
\ F2 (x)是奇函數，不是偶函數，故 C 正確、D 錯誤；
故選：C
知識點 4：函數的周期性
（1）周期函數：
對于函數 y = f (x) ，如果存在一個非零常數T ，使得當 x 取定義域內的任何值時，都有
f (x + T）= f (x) ，那么就稱函數 y = f (x) 為周期函數，稱T 為這個函數的周期.
（2）最小正周期：
如果在周期函數 f (x) 的所有周期中存在一個最小的正數，那么稱這個最小整數叫做 f (x) 的最小正周
期.
1
【診斷自測】若偶函數 f (x) 對任意 x R 都有 f (x + 3) = - ，且當 x [-3, -2]時， f (x) = 4xf (x) ，則
f 113 = ．
1
【答案】 /0.125
8
1
【解析】由題設 f (x + 6) = - = f (x)f (x + 3) ，即偶函數
f (x) 的周期為 6，
所以 f (113) = f (6 17 +1) = f (1) = f ( 2 3)
1 1
- + = - =
f ( 2) 8 .-
1
故答案為：
8
知識點 5：函數的對稱性
(1)若函數 y = f (x + a) 為偶函數，則函數 y = f (x) 關于 x = a對稱．
(2)若函數 y = f (x + a) 為奇函數，則函數 y = f (x) 關于點 (a，0) 對稱．
(3)若 f (x) = f (2a - x)，則函數 f (x) 關于 x = a對稱．
(4)若 f (x)＋f (2a - x) = 2b，則函數 f (x) 關于點 (a，b) 對稱．
【診斷自測】若函數 y＝g（x）的圖象與 y＝ln x 的圖象關于直線 x＝2 對稱，則 g（x）＝ ．
【答案】ln （4－x）
【解析】在函數 y＝g（x）的圖象上任取一點（x，y），則點（x，y）關于直線 x＝2 對稱的點為（4－x，y），
且點（4－x，y）在函數 y＝ln x 的圖象上，所以 y＝ln （4－x）,
即 g x = ln 4 - x ,
故答案為： ln 4 - x
解題方法總結
1、單調性技巧
（1）證明函數單調性的步驟
①取值：設 x1 ， x2 是 f (x) 定義域內一個區間上的任意兩個量，且 x1 < x2 ；
②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；
③定號：判斷差的正負或商與1的大小關系；
④得出結論．
（2）函數單調性的判斷方法
①定義法：根據增函數、減函數的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結論”進行判斷．
②圖象法：就是畫出函數的圖象，根據圖象的上升或下降趨勢，判斷函數的單調性．
③直接法：就是對我們所熟悉的函數，如一次函數、二次函數、反比例函數等，直接寫出它們的單調
區間．
（3）記住幾條常用的結論：
①若 f (x) 是增函數，則 - f (x) 為減函數；若 f (x) 是減函數，則 - f (x) 為增函數；
②若 f (x) 和 g(x) 均為增(或減)函數，則在 f (x) 和 g(x) 的公共定義域上 f (x) + g(x)為增(或減)函數；
③若 f (x) > 0 且 f (x) 1為增函數，則函數 f (x) 為增函數， 為減函數；
f (x)
④若 f (x) > 0 且 f (x) 1為減函數，則函數 f (x) 為減函數， 為增函數．
f (x)
2、奇偶性技巧
(1)函數具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱.
(2)奇偶函數的圖象特征.
函數 f (x) 是偶函數 函數 f (x) 的圖象關于 y 軸對稱；
函數 f (x) 是奇函數 函數 f (x) 的圖象關于原點中心對稱.
(3)若奇函數 y = f (x) 在 x = 0 處有意義，則有 f (0) = 0；
偶函數 y = f (x) 必滿足 f (x) = f (| x |) .
(4)偶函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區間上單調性相反；奇函數在其定義域內關于原點對稱的
兩個區間上單調性相同.
(5)若函數 f (x) 的定義域關于原點對稱，則函數 f (x) 能表示成一個偶函數與一個奇函數的和的形式.記
g(x) 1 [ f (x) f ( x)] h(x) 1= + - ， = [ f (x) - f (-x)] ，則 f (x) = g(x) + h(x) .
2 2
(6)運算函數的奇偶性規律：運算函數是指兩個（或多個）函數式通過加、減、乘、除四則運算所得的
函數，如 f (x) + g(x), f (x) - g(x), f (x) g(x), f (x) g(x) .
對于運算函數有如下結論：奇 ± 奇=奇；偶 ± 偶=偶；奇 ± 偶=非奇非偶；
奇 ( ) 奇=偶；奇 ( ) 偶=奇；偶 ( ) 偶=偶.
(7)復合函數 y = f [g(x)]的奇偶性原來：內偶則偶，兩奇為奇.
(8)常見奇偶性函數模型
x x
奇函數：①函數 f (x) m(a +1= x )( x 0
a -1
)或函數 f (x) = m(
a -1 a x
) ．
+1
②函數 f (x) = ±(a x - a- x ) ．
f (x) log x + m log (1 2m③函數 = a = a + ) 或函數 f (x) = log
x - m log (1 2m= - )
x - m x - m a x + m a x + m
④函數 f (x) = loga ( x
2 +1 + x) 或函數 f (x) = log 2a ( x +1 - x)．
2m
注意：關于①式，可以寫成函數 f (x) = m + x (x 0)
2m
或函數 f (x) = m - (m R)．
a -1 a x +1
偶函數：①函數 f (x) = ±(a x + a- x )．
f (x) log (amx 1) mx②函數 = a + - ．2
③函數 f (| x |) 類型的一切函數．
④常數函數
3、周期性技巧
函數式滿足關系（x R） 周期
f (x + T ) = f (x) T
f (x + T ) = - f (x) 2T
f (x + T ) 1 1= ; f (x + T ) = - 2T
f (x) f (x)
f (x + T ) = f (x - T ) 2T
f (x + T ) = - f (x - T ) 4T
ì f (a + x) = f (a - x)
í 2(b - a)
f (b + x) = f (b - x)
ì f (a + x) = f (a - x)
í 2a
f (x)為偶函數
ì f (a + x) = - f (a - x)
í 2(b - a)
f (b + x) = - f (b - x)
ì f (a + x) = - f (a - x)
í 2a
f (x)為奇函數
ì f (a + x) = f (a - x)
í 4(b - a)
f (b + x) = - f (b - x)
ì f (a + x) = f (a - x)
í 4a
f (x)為奇函數
ì f (a + x) = - f (a - x)
í 4a
f (x)為偶函數
4、函數的的對稱性與周期性的關系
（1）若函數 y = f (x) 有兩條對稱軸 x = a， x = b(a < b)，則函數 f (x) 是周期函數，且T = 2(b - a) ；
（2）若函數 y = f (x) 的圖象有兩個對稱中心 (a,c), (b,c)(a < b) ，則函數 y = f (x) 是周期函數，且
T = 2(b - a) ；
（3）若函數 y = f (x) 有一條對稱軸 x = a和一個對稱中心 (b,0)(a < b)，則函數 y = f (x) 是周期函數，
且T = 4(b - a) .
5、對稱性技巧
（1）若函數 y = f (x) 關于直線 x = a對稱，則 f (a + x) = f (a - x) ．
（2）若函數 y = f (x) 關于點 (a，b) 對稱，則 f (a + x) + f (a - x) = 2b ．
（3）函數 y = f (a + x) 與 y = f (a - x) 關于 y 軸對稱，函數 y = f (a + x) 與 y = - f (a - x) 關于原點對稱．
題型一：單調性的定義及判斷
【典例 1-1】（2024·陜西榆林·一模）已知函數 f x 在 0, + 上單調遞增，則對實數 a > 0,b > 0，
“ a > b ”是“ f a > f b ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】因為函數 f x 在 0, + 上單調遞增，且 a > 0,b > 0，
由增函數的定義可知，當 a > b時，有 f a > f b ，
充分性成立；當 f a > f b 時，若 a = b，由函數定義可知矛盾，
若 a < b ，由函數單調性的定義可知矛盾，則 a > b，必要性成立.
即對實數 a > 0,b > 0，“ a > b ”是“ f a > f b ”的充要條件.
故選：C
【典例 1-2】（2024·安徽蚌埠·模擬預測）下列函數中，滿足“對任意的 x1, x2 (0,+ )，使得
f x1 - f x2 < 0 ”成立的是（
x x ）1 - 2
A． f (x) = -x2 - 2x +1
1
B． f (x) = x -
x
C． f (x) = x +1
D． f (x) = log2 (2x) +1
【答案】A
f x - f x
【解析】根據題意，“ 1 2對任意的 x1, x2 (0,+ )，使得 < 0 ”，則函數 f (x) 在 (0, + )上為減函數.x1 - x2
對于選項 A， f (x) = -x2 - 2x +1，為二次函數，其對稱軸為 x＝－1，在 (0, + )上遞減，符合題意；
1
對于選項 B， f (x) = x - ，其導數 f (x) = 1 1+ ，所以 f (x)2 在 (0, + )x 上遞增，不符合題意；x
對于選項 C， f (x) = x +1為一次函數，所以 f (x) 在 (0, + )上遞增，不符合題意；
對于選項 D，由復合函數單調性“同增異減”知， f (x) = log2 (2x) +1在 (0, + )上單調遞增，不符合題意.
故選：A.
【方法技巧】
函數單調性的判斷方法
①定義法：根據增函數、減函數的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結論”進行判斷．
②圖象法：就是畫出函數的圖象，根據圖象的上升或下降趨勢，判斷函數的單調性．
③直接法：就是對我們所熟悉的函數，如一次函數、二次函數、反比例函數等，直接寫出它們的單調
區間．
b
【變式 1-1 2】三叉戟是希臘神話中海神波塞冬的武器，而函數 f x = ax + 的圖象恰如其形，因而得名三
x
2 b
叉戟函數，因為牛頓最早研究了這個函數的圖象，所以也稱它為牛頓三叉戟.已知函數 f x = ax + 的圖
x
象經過點 2,8 ，且 f -2 = 0 .
(1)求函數 f x 的解析式；
(2)用定義法證明： f x 在 - ,0 上單調遞減.
ì
4a
b
+ = 8
2
【解析】（1）由題意可知 í b ， 4a - = 0
2
解得 a =1，b = 8，
2 8
故 f x = x + （ x 0）.
x
（2）證明："x1， x2 - ,0 ，且 x1 < x2，則
f x 2 8 2 8 2 8 81 - f x2 = x1 + - x2 + ÷ = x1 - x22 + -x1 è x2 x1 x2
= x - x 8 x - xx x + + 2 1 1 2 1 2 x1x2
= é 8 ùx1 - x2 ê x1 + x2 - x x ú 1 2
x
= 1
- x2 × éx1x2 x1 + xx x 2 -8 ù .1 2
由x ， x2 - ,01 且 x1 < x2，
得 x1x2 > 0， x1 - x2 < 0， x1 + x2 < 0，
x1 - x2
所以 < 0， x1x2 x1 + x2 -8 < 0x ，1x2
x1 - x2
所以 × é x1x2 x1 + x2 -8x x ù > 0 ，1 2
則 f x1 - f x2 > 0，即 f x1 > f x2 .
故 f x 在 - ,0 上單調遞減.
【變式 1-2】（2024·高三·上海·期中）由方程 x x + y y =1確定函數 y = f x ，則 y = f x 在 - ,
上是（ ）
A．增函數 B．減函數 C．奇函數 D．偶函數
【答案】B
【解析】當 x 0 且 y 0時， x2 + y2 =1，
當 x > 0且 y < 0 時， x2 - y2 =1，
當 x < 0 且 y > 0時， y2 - x2 =1，
當 x < 0 且 y < 0 時，無意義，
如圖：
結合圖象可知， y = f x 在 - , 上是減函數.
故選：B
題型二：復合函數單調性的判斷
2
【典例 2-1】函數 f (x) = (
1)x -2x-8的單調遞增區間是（
2 ）
A． - ,1 B． - , -2 C． 4, + D． 1, +
【答案】A
2
【解析】函數 f (x) = (
1)x -2x-8的定義域為 R，函數u = x2 - 2x -8在 (- ,1)上單調遞減，在 (1, + )單調遞增，2
y (1而函數 = )u 在 R 上單調遞減，因此函數 f (x) 在 (- ,1)上單調遞增，在 (1, + )單調遞減，
2
2
所以函數 f (x) = (
1)x -2x-8的單調遞增區間是 (- ,1) .
2
故選：A
【典例 2-2】（2024·高三·浙江紹興·期末）函數 y = ln x2 - 2x 的單調遞減區間是（ ）
A． - ,1 B． 1, + C． - ,0 D． 2, +
【答案】C
【解析】由 y = ln x2 - 2x ，
\ x2 - 2x > 0，解得 x < 0 或 x > 2，
所以函數 y = ln x2 - 2x 的定義域為 - ,0 U 2, + ，
令u = x2 - 2x，則函數u = x2 - 2x在 - ,0 上單調遞減，在 2, + 上單調遞增，
而函數 y = ln u 在 0, + 上為增函數，
2
由復合函數單調性可得 y = ln x - 2x 的單調遞減區間為 - ,0 .
故選：C.
【方法技巧】
討論復合函數 y = f [g(x)]的單調性時要注意：既要把握復合過程，又要掌握基本函數的單調性．一般
需要先求定義域，再把復雜的函數正確地分解為兩個簡單的初等函數的復合，然后分別判斷它們的單調性，
再用復合法則，復合法則如下：
1、若u = g(x)， y = f (u ) 在所討論的區間上都是增函數或都是減函數，則 y = f [g(x)]為增函數；
2、若u = g(x)， y = f (u ) 在所討論的區間上一個是增函數，另一個是減函數，則 y = f [g(x)]為減函
數．列表如下：
u = g(x) y = f (u ) y = f [g(x)]
增 增 增
增 減 減
減 增 減
減 減 增
復合函數單調性可簡記為“同增異減”，即內外函數的單性相同時遞增；單性相異時遞減．
【變式 2-1】（2024
π
·高三·甘肅·開學考試）函數 f x = 2 cos - 3x ÷ 的單調遞減區間是（ ）
è 4
é π 2kπ π 2kπ ù é π 2kπ 5π 2kπ ù
A． ê- + , + k Z B． + , + k Z 4 3 12 3 ú ê12 3 12 3 ú
é π 2kπ , π 2kπ ù é π 2kπ π 2kπC． ê- + +
ù
12 3 12 3 ú
k Z D． ê + , + ú k Z 12 3 4 3
【答案】D
【解析】 f x = 2 cos π - 3x

÷ = 2 cos

3x
π
- ÷ ，
è 4 è 4
由題意 y = cos
π
3x - ÷ 單調遞減，且 cos

3x
π
- ÷ 0，
è 4 è 4
則 2kπ 3x
π π π 2kπ π 2kπ
- + 2kπ, k Z，解得 + x + ， k Z ，
4 2 12 3 4 3
所以 f x é π 2kπ , π 2kπ ù的單調遞減區間是 ê + + ú k Z . 12 3 4 3
故選：D.
1
【變式 2-2】函數 f x = 2 的單調遞減區間是（ ）x -8x +15
A． - ,3 B． 3,4 C． 5,+ D． 4, +
【答案】C
1
【解析】由 f x = 2 可得 x2 -8x +15 > 0，x -8x +15
解得 x < 3或 x > 5，
由 y = x2 -8x +15圖象的對稱軸為 x = 4，
則 y = x2 -8x +15在[4,+ )上單調遞增，
故 f x
1
=
2 的單調遞減區間為 5,+ ，x -8x +15
故選：C
題型三：分段函數的單調性
ì-x2 + 2ax, x 1
【典例 3-1】（2024·陜西商洛·一模）已知函數 f (x) = í 是定義在R 上的增函數，則 a的
(3 - a)x + 2, x >1
取值范圍是（ ）
A． 1,3 B． 1,2 C． 2,3 D． 0,3
【答案】B
ì-x2 + 2ax, x 1
【解析】因為 f (x) = í 是定義在R 上的增函數，
(3 - a)x + 2, x >1
ì 2a
- 1
-2
所以 í3- a > 0 ，解得1 a 2 .

-1+ 2a 3 - a + 2

故選：B
ì(a - 2)x + 4a - 6, x 1 f (x ) - f (x )
【典例 3-2】已知函數 f x = í x 滿足對于任意的x x (x x ) 1 2 > 0
a + 2, x >1 1
， 2 1 2 都有 x1 - x
成
2
立，則實數 a的取值范圍是（ ）
1, 3ù 2, 5 ù é3 ,2 1, 5 ùA．
è 2ú
B． C． ÷ D．
è 2ú ê 2 è 2 ú
【答案】B
f (x ) - f (x )
【解析】根據題意，對于任意的 x1, x2 (x1 x2 )
1 2
都有 > 0x - x 成立1 2
ì(a - 2)x + 4a - 6, x 1則函數 f x = í x Ra 2, x 1 在 上是增函數 + >
ìa - 2 > 0

∴ a >1 a
5 ù
í ，解得 2,
è 2 ú
，

(a - 2) 1+ 4a - 6 a
1 + 2
故選：B．
【方法技巧】
ìs(x), x m
函數 f (x) = í ，在R 上為增函數，則：
t(x), x > m
① s(x)在 (- ,m]上單調遞增；② t(x) 在 (m,+ ) 上單調遞增；③ s(m) t(m)．
ìs(x), x m
函數 f (x) = í ，在R 上為減函數，則：
t(x), x > m
① s(x)在 (- ,m]上單調遞減；② t(x) 在 (m,+ ) 上單調遞減；③ s(m) t(m)．
ìax +1- a,0 x 1 f x - f x
【變式 3-1】已知函數 f x = í 2 ，若"x1, x2 0, 2 , x x
2 1
x -ax ，都有 > 0成立， 2 ,1 < x 2
1 2 x2 - x1
則 a的取值范圍為（ ）
A． 0,2 B． - ,1 C． 0,1 D． 0, +
【答案】C
f x2 - f x1
【解析】因為對于"x1, x2 0, 2 , x1 x2 ，都有 > 0成立，所以函數 f x 是增函數，x2 - x1
則函數 y = ax +1- a 0 x 1 x2和 y = 2 -ax (1 < x 2) 均為增函數，且有1 21-a ，
ìa > 0
a
即 í 1 ，解得0 < a 1.
2
21-a 1
故選：C.
ì 2a - 3 x + 2, x 1
【變式 3-2】已知函數 f x = ía 是 R 上的減函數，則 a的取值范圍是（ ）
, x >1 x
0 a 3 1 a 3A． < < B． <
2 2
3 3
C．0 < a D．1< a <
2 2
【答案】B
ì 2a - 3 x + 2, x 1
【解析】由于函數 f x = ía 是定義在 R 上的減函數，
, x >1 x
所以，函數 y = 2a - 3 x + 2 在區間 - ,1 上為減函數，
函數 y
a
= 在區間 1, + 上為減函數，且有1× 2a - 3 + 2 a ，
x
ì2a - 3 < 0
a > 0 1 a 3即 í ，解得 < .
2
2a -1 a
é 3
因此，實數 a的取值范圍是 ê1, ÷ . 2
故選：B.
題型四：利用函數單調性求函數最值
π
【典例 4-1】（2024 é ù·全國·模擬預測）設 x ê0, 2 ú ，則函數 y = sin x + cos x 的最大值為 ．
3
【答案】 24
é π ù
【解析】設 y = sin x + cos x ， x ê0, ú ，兩邊平方得 y22 =sinx+cosx+2 sinxcosx．
設 t = sin x + cos x ，兩邊平方得 t 2 = sin2 x + 2sin x cos x + cos2 x =1+ 2sin x cos x，
2
則 sin x cos x t -1= ，
2
0 x π π x π 3π由于 ， + ，則 t = sin x + cos x = 2 sin

x
π
+ ，
2 4 4 4 4 ÷ 1 t 2
，
è
y2 t 2 t
2 -1
又由于 = + 在區間[1, 2]上單調遞增，
2
所以當 t = 2 時, y2 的最大值為 2 2 ，
é 1 3
則 y = sin x + cos x 在區間 ê0,
π ù
ú上的最大值為2 2 4
．
(2 2) = 2
3
故答案為： 24
【典例 4-2】若函數 f x = x2 - 2x + x - a a > 0 在 0,2 上的最小值為 1，則正實數 a的值為 .
13
【答案】
4
2 ì x
2 - x - a, x a
【解析】由題可得 f x = x - 2x + x - a = í ,
x
2 - 3x + a, x < a
因為函數 f x = x2 - 2x + x - a a > 0 在 0,2 上的最小值為 1，
0 a 1當 < 時，在 0,2 上， f x é 1在 ê0,
1 ù ù
2ú 單調遞減，
, 2
2 è 2 ú
單調遞增，
f x = f 1 1 7所以 min 2 ÷ = -1- a =1，解得 a = （舍）；è 4 4
1 3
當 < a 時，在 0,2 上 f x 在 0,a 單調遞減， a,2 單調遞增，
2 2
所以 f x = f a = a2 - 2a =1min ，解得a =1± 2 （舍）；
3 3
當 a
3
> 時，在 0,2 上， f x é ù ù在
2 ê
0,
2 ú
單調遞減， , 2 單調遞增，
è 2 ú
所以 f x f 3 9 9= = - + a =1 13min ÷ ，解得 a = .è 2 4 2 4
13
故答案為：
4
【方法技巧】
利用函數單調性求函數最值時應先判斷函數的單調性，再求最值．常用到下面的結論：
1、如果函數 y = f ( x) 在區間 (a，b]上是增函數，在區間[b，c)上是減函數，則函數 y = f (x)(x a ，c)
在 x=b處有最大值 f (b) ．
2、如果函數 y = f ( x) 在區間 (a，b]上是減函數，在區間[b，c) 上是增函數，則函數 y = f (x)(x a ，c)
在 x=b處有最小值 f (b) ．
3、若函數 y = f ( x) 在[a，b]上是嚴格單調函數，則函數 y = f ( x) 在[a，b]上一定有最大、最小值．
4、若函數 y = f ( x) 在區間[a，b]上是單調遞增，則 y = f ( x) 的最大值是 f (b) ，最小值是 f (a)．
5、若函數 y = f ( x) 在區間[a，b]上是單調遞減，則 y = f ( x) 的最大值是 f (a)，最小值是 f (b) ．
2 é3 ù
【變式 4-1】（2024 y 2x - 3x + 5·上海嘉定·一模）函數 = 在 x ê ,3ú 上的最大值和最小值的乘積為 x -1 2
【答案】40 2 +10 /10+ 40 2
é3 ù 1
【解析】令 t = x -1
é
， x = t +1，∵ x ê ,3ú ，∴ t ê ,2
ù
2 2 ú
，

y 2(t +1)
2 - 3(t +1) + 5 2t 2 + t + 4
∴ = = = 2 t
2
+ ÷ +1，t t è t
令 g t = 2 t
2
+ +1, t é1÷ , 2
ù
，
è t ê 2 ú
é1 ù
由對勾函數的性質可知，函數 g t 在 ê , 2ú 上為減函數，在 é 2, 2ù 上為增函數， 2
g 1 ∵ ÷ =10, g 2 = 4 2 +1, g 2 = 7，
è 2
∴ g t =10, g tmax = 4 2 +1min
2 é3 ù
∴函數 y 2x - 3x + 5= 在 x ê ,3ú 上的最大值和最小值分別為2 10, 4 2 +1，x -1
2
∴ y 2x - 3x + 5函數 = 在 x
é3 ê ,3
ù
2 ú
上的最大值和最小值的乘積為40 2 +10．
x -1
故答案為：40 2 +10．
2
【變式 4-2】若函數 y = x - mx + 2 在 0,1 的最大值為 2，則 m 的取值范圍是 .
【答案】 1,5
【解析】設 f x = x2 - mx + 2， x 0,1 ， y = g x = f x ，
因為函數 y = g x 在 0,1 的最大值為 2， g 0 = 2，
所以 g 1 = 3- m 2，解得：m 1,5 ，
當m 1,2 時，函數 f x = x2 - mx + 2在 0,1 上先遞減再遞增，
2
而 f 0 = 2, f 1 = 3 - m 1,2 , f m = 2 m- 1, 7 ù ，
è 2 ÷ 4 è 4 ú
所以， f x > 0，且 fmax = f 0 = 2，即函數 y = g x 在 0,1 的最大值為 2，符合題意；
當m 2,5 時，函數 f x = x2 - mx + 2在 0,1 上遞減，所以 f x 3 - m, 2 ，
而 3- m 2，所以函數 y = g x 在 0,1 的最大值為 2，符合題意，
綜上，m 1,5 ．
故答案為： 1,5
題型五：利用函數單調性求參數的范圍
【典例 5-1】（2024·全國·模擬預測）若函數 f (x) = 4 | x - a | +3在區間[1, + ) 上不單調，則 a 的取值范圍
是（ ）
A．[1, + ) B． (1, + )
C． (- ,1) D． (- ,1]
【答案】B
【解析】因為函數 f (x) = 4 | x - a | +3在 (- ,a)上單調遞減，在 (a,+ ) 上單調遞增．
又函數 f x 在區間[1, + ) 上不單調，所以 a >1，
故選：B．
1
【典例 5-2】（2024·廣東佛山·二模）已知 0 < a < 1且 a ，若函數 f (x) = 2loga x - log2a x 在 (0, + )上單2
調遞減，則實數 a 的取值范圍為（ ）
(1 , 1) 1 1 1 1 1 1A． B． (0, ) C． ( , ) U ( ,1) D． (0, ) U ( ,1)
4 2 4 4 2 2 4 2
【答案】D
f (x) 2 ln x ln x 2ln 2a - ln a【解析】依題意， = - = × ln x
ln 4a
= × ln x
ln a ln 2a ln a × (ln 2a) ln a ，× (ln 2a)
顯然函數 y = ln x 在 (0, + )上單調遞增，而函數 f (x) 在 (0, + )上單調遞減，
ln 4a ìln a < 0
因此 < 0
1
ln a (ln 2a) ，而0 < a < 2a < 4a，則 ln 4a < 0
1
或 íln 2a 0，解得
0 < a < 或 < a <1，
× > 4 2
所以實數 a 的取值范圍為 (0,
1) U (1 ,1) .
4 2
故選：D
【方法技巧】
若已知函數的單調性，求參數 a 的取值范圍問題，可利用函數單調性，先列出關于參數 a 的不等式，
利用下面的結論求解．
1、若 a > f ( x) 在[m，n]上恒成立 a > f (x)在[m，n]上的最大值．
2、若 a < f ( x) 在[m，n]上恒成立 a < f (x) 在[m，n]上的最小值．
【變式 5-1】若 f x 1= - x3 1+ x2 + 2x +1是區間 m -1, m + 4 上的單調函數，則實數m 的取值范圍是（ ）
3 2
A．m -5 B．m 3
C．m -5或m 3 D．-5 m 3
【答案】C
2
【解析】由題意， f x = -x + x + 2 = - x - 2 x +1 ，
令 f x > 0，解得-1 < x < 2，令 f x < 0，解得 x < -1或 x > 2，
所以 f x 在 -1,2 上單調遞減，在 - , -1 ， 2, + 上單調遞減，
1 3 1 2
若函數 f x = - x + x + 2x +1在區間 m -1, m + 4 上單調，
3 2
ìm -1 -1
則m + 4 -1或m -1 2 或 ím 4 2 ，解得
m -5或m 3或m ，
+
即m -5或m 3 .
故選：C.
【變式 5-2】（2024·全國·模擬預測）函數 f x = loga x x - a -1 在 1,2 上單調遞增，則實數 a 的取值范
圍是（ ）
A． 2, + B． 0,1 2,+ C． 4,+ D． 0,1 4,+
【答案】C
【解析】令u = x x - a -1，則 y = loga u ．
當 a >1時， y = loga u 在 0, + 上單調遞增，
則由復合函數的單調性可知u = x x - a -1在 1,2 上單調遞增，
且u = x x - a -1 > 0 在 1,2 上恒成立，
所以umin = 1- a -1 > 0，解得 a > 2或 a < 0（舍去）．
所以u = x x - a -1 = x a - x -1 = -x2 + ax -1在 1,2 上單調遞增，
a
則 2，解得 a 4．
2
當 0 < a < 1時， y = loga u 在 0, + 上單調遞減，
則由復合函數的單調性可知u = x x - a -1在 1,2 上單調遞減，
且u = x x - a -1 > 0 在 1,2 上恒成立，
所以umin = 2 2 - a -1 > 0 a
3
，解得 < 或 a
5
> （舍去）．
2 2
所以u = x x - a -1 = x x - a -1 = x2 - ax -1在 1,2 上單調遞減，
a
則 2，解得 a 4，與 0 < a < 1矛盾．
2
綜上所述， a 4, + .
故選：C．
【變式 5-3】（2024 3 2·全國·模擬預測）已知函數 f (x) = loga x - ax + x - 2a (a > 0且 a 1)在區間 (1, + )
上單調遞減，則 a的取值范圍是（ ）
2ù é2
A． 0, ú B． ê ,1÷ C． (1, 2] D．[2,+ )è 3 3
【答案】A
【解析】設函數 g x = x3 - ax2 + x - 2a，則 g x = 3x2 - 2ax +1．
①若 0 < a < 1，則 y = loga x 在定義域上單調遞減．
f x = log x3又 a - ax2 + x - 2a 在區間 1, + 上單調遞減，所以 g x 在區間 1, + 上單調遞增，故
g x 0對任意的 x 1,+ 恒成立．
又 g 1 = 4 - 2a 0，所以對任意的 x 1, + , g x 0顯然成立．
又因為 g x > 0對任意 x 1,+ 恒成立，所以 g 1 = 2 - 3a 20，故0 < a ．
3
②若 a >1，則 y = loga x 在定義域上單調遞增．
f x = log 3 2又 a x - ax + x - 2a 在區間 1, + 上單調遞減，所以 g x 在區間 1, + 上單調遞減，故
g x 0對任意的 x 1,+ 恒成立．
因為拋物線 y = 3x2 - 2ax +1的開口向上，所以 g x 0不可能對任意的 x 1,+ 恒成立．

所以 a的取值范圍為 0,
2ù
ú ．è 3
故選：A．
【變式 5-4】若函數 f x = log 1 -x2 + 6x - 5 在區間 3m - 2, m + 2 內單調遞增，則實數 m 的取值范圍為
2
（ ）
é5 ,+ é5 ,3ù é5 ,2ù é5 A． ê ÷ B． ê ú C． ê ú D． ê , 2 3 ÷ 3 3 3
【答案】D
【解析】由已知得-x2 + 6x - 5 > 0 ，解之得 x 1,5 ，即 f x 的定義域為 1,5 ，
又 f x 在區間 3m - 2, m + 2 內單調遞增，根據復合函數的單調性，
ì3m - 2 3 5
可得： í m < 2
3m - 2 < m
，解得 ．
+ 2 5 3
故選：D
題型六：利用函數的單調性比較函數值大小
6-1 2024 f (x) = ln x2 1【典例 】（ ·寧夏銀川·一模）若 +1 - ，設 a = f (-3),b = f (ln 2),c = f| x | 2
0.3 ，則 a，
b，c 的大小關系為（ ）
A． c > a > b B．b > c > a C． a > b > c D． a > c > b
【答案】D
2 1
【解析】由題意知 x - ,0 0,+ ，由 f -x = ln é ù -x +1 - = f x -x ，
所以 f x 為偶函數，圖象關于 y 軸對稱，
當 x > 0時，由復合函數的單調性法則知 f x 隨 x 的增大而增大，
1即 x 0, + ， f (x) = ln x2 +1 - | x | 單調遞增，
因為 a = f -3 = f 3 ，b = f (ln 2),c = f 20.3 ，
且1 = 20 < 20.3 < 21 = 2，0 < ln 2 < ln e =1，
所以 ln 2 < 20.3 0.3< 3，所以 f ln 2 < f 2 < f -3 ，
即b c > b .
故選：D
【典例 6-2】（2024·寧夏石嘴山·三模）若定義在R 上的偶函數 f x 在 0, + 上單調遞增，則
f ln 3 1 -2 2 ÷
, f - 3 ÷
, f e 的大小關系為（ ）
è è
f ln 3 1 3 1A． ÷ > f - ÷ > f e-2 f B ln > f e-2 ．2 3 ÷ > f - ÷è è è 2 è 3
f 1 3 1 3C． -

3 ÷
> f ln > f2 ÷ e
-2 D f - > f e-2． ÷ > f ln ÷
è è è 3 è 2
【答案】A
【解析】因為 f x 是定義在R 上偶函數，所以 f 1- = f 1 ÷ ÷，
è 3 è 3
1
1 3 1 3 -2 1 1 3
因為 e3 27< 3 ÷ = ，則 < ln ，所以0 < e = 2 < < ln ，
è 8 2 3 2 e 3 2
因為 f x 在 0, + 上單調遞增，所以 f ln
3 > f 1 ÷ ÷ > f e-2 ，
è 2 è 3
f 3 1 -2即 ln ÷ > f - ÷ > f e2 ，è è 3
故選：A．
【方法技巧】
1、比較函數值大小，應將自變量轉化到同一個單調區間內，然后利用函數單調性解決.
1
【變式 6-1】（2024·高三·河北滄州·期中）已知函數 f x = x ，記e + e- x

a = f -log5 2 ,b = f
3 ,c 1= f - ，則（ ）
è 3
÷÷ 2 ÷ è
A． c > b > a B． c > a > b
C． a > c > b D．b > a > c
【答案】C
f x R, f x 1【解析】函數 的定義域為 - = - x x = f x ，所以函數 f x 為偶函數，e + e
當 x 0, + 時，設 g x = ex + e- x g x ex e- x ex 1，則 = - = - x 0 ，故 g x 在 0, + 上單調遞增且恒為正e
數，
1
則函數 f x = 在 0, + 上單調遞減，又函數 f x 為偶函數，故 f x 1= 在 - ,0g(x) g(x) 上單調遞增，
1 1 1 1 1
又 -log52 = log5 > log5 = - ,
3 1
= ，即 0 > -log5 2 > - > -2 5 2 2
，于是
3 f -log5 2 > f (
1
- ) > f ( 3 )，
3 3 2 3
即 a > c > b .
故選:C.
1
【變式 6-2】函數 f x = x3 + 2x - cos x, a = f lg3

,b = f ln
1
÷ ,c = f 23 ÷ ，則 a,b,c的大小關系為（2 ）è è
A． a > b > c B．b > c > a
C．b > a > c D． c > a > b
【答案】D
2
【解析】由題意知 f x = 3x + 2 + sin x > 0，易知 f x 在R 上單調遞增．
0 lg1 lg3 lg10 1, ln 1
1
因為 = < < = < ln1 = 0,23 > 20 =1，
2
1 1
所以 23 lg3 ln 1> > ，所以 f 23 ÷ > f lg3
1
> f ln

÷，
2 è è 2
即 c > a > b .
故選：D.
【變式 6-3】（2024·四川·模擬預測）若定義在R 上的偶函數 f x 在 0, + 上單調遞增，則
f ln 2 1 ÷ , f ÷ , f e-2 的大小關系為（3 3 ）è è
2 1
A f ln > f > f e-2 B f ln 2 > f e-2 1 ． ．3 ÷ 3 ÷ ÷ > f ÷è è è 3 è 3
f 1C > f ． ÷ ln
2 f e-2 f 1 f e-2 f ln 2> D． > >
è 3 3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ è è è
【答案】A
【解析】因為 f x 2 2 3 是定義在R 上偶函數，所以 f ln 3 ÷ = f -ln ÷ = f ln3 2 ÷，è è è
1
1
3 1 3
因為 e3 3< = 27 ÷ ，所以0 < e
-2 < < ln ，
2 è 8 3 2
因為 f x 0, + f ln 2 f 1> 在 上單調遞增，所以 > f e-2 ，
è 3 ÷ 3 ÷

è
故選：A.
題型七：函數的奇偶性的判斷與證明
【典例 7-1】設函數 f x , g x 的定義域為R ，且 f x 是奇函數， g x 是偶函數，則下列結論中正確的
是（ ）
A． f x g x 是偶函數 B． f x g x 是奇函數
C． f x g x 是奇函數 D． f x g x 是奇函數
【答案】C
【解析】易知選項 ABCD 中的函數定義域即為R ；
因為 f x 是奇函數， g x 是偶函數，所以 f -x = - f x , g -x = g x ，
對于 A， f -x g -x = - f x g x ，故 f x g x 是奇函數，即 A 錯誤；
對于 B， f -x g -x = - f x g x = f x g x ，故 f x g x 是偶函數，即 B 錯誤；
對于 C， f -x g -x = - f x g x ，故 f x g x 是奇函數，即 C 正確；
對于 D， f -x g -x = - f x g x = f x g x ，故 f x g x 是偶函數，即 D 錯誤；
故選：C.
【典例 7-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數 f (x) = 4log x24 + a - x - 3的圖象經過點M (-1,1)，則函
數 y = f (x) 的奇偶性為（ ）
A．奇函數 B．偶函數 C．非奇非偶函數 D．既是奇函數又是偶函數
【答案】A
【解析】 f (-1) = 4log4 ( 1+ a +1) - 3 =1，整理得 log4 ( 1+ a +1) =1，即a = 8，
則 f (x) = 4log x2 + 8 - x - 3， x24 + 8 - x >| x | -x．
當 x > 0時， | x | -x = x - x = 0；當 x < 0 時， | x | -x = -x - x = -2x > 0，
即 x2 + 8 - x > 0 對一切實數都成立，即函數 f (x) 的定義域為R ．
f ( x) 4log x2 8 x 3 8 - = 4 + + - = 4log4 ÷ - 3
è x2 + 8 - x
3
= 4log 42 - 4log x2 + 8 2- x - 3 = -4log4 x + 8 - x + 3 = - f (x)4 4 ，
即函數 f (x) 為奇函數．
故選：A．
【方法技巧】
函數單調性與奇偶性結合時，注意函數單調性和奇偶性的定義，以及奇偶函數圖像的對稱性.
x - x
7-1 2024 f x 2 + 2= g x = ln 1+ 9x2【變式 】（多選題）（ ·重慶·模擬預測）函數 ， - 3x ，那么3
（ ）
A． f x + g x 是偶函數 B． f x gg x 是奇函數
g x
C． f x 是奇函數 D．
g f x 是奇函數
【答案】BC
- x x x - x
【解析】因為 f (-x) 2 + 2= = f (x) f x 2 + 2，所以 = 為偶函數，
3 3
因為 g(-x) + g(x) = ln 1+ 9x2 + 3x +ln 1+ 9x2 - 3x = ln 1+ 9x2 + 3x 1+ 9x2 - 3x = ln1 = 0，
即 g(-x) = -g(x)，所以 g x = ln 1+ 9x2 - 3x 為奇函數，
所以 f x + g x 為非奇非偶函數，A 錯誤；
f -x gg -x = -[ f x gg x ]，所以 f x × g x 為奇函數，B 正確；
g -x -g x g x g x
= = -
f ，所以-x f x f x f x 是奇函數，C 正確；
令H x = g f x ，H -x = g f -x = g f x = H x ，H x 為偶函數，D 錯誤.
故選：BC．
【變式 7-2】利用圖象判斷下列函數的奇偶性：
ì-x2 + 2x +1, x > 0
(1) f (x) = í
x
2 + 2x -1, x < 0
ì x2 + x, x < 0,
(2) f (x) = í
x
2 - x，x > 0
1
(3) y = ( ) x ；
2
(4) y = log2(x +1) ；
(5) y = x2 - 2 x -1.
【解析】（1）函數 f (x) 的定義域為 (- ,0) U (0, + )，
ì-x2 + 2x +1，x > 0
對于函數 f (x) = í 2 ，
x + 2x -1，x < 0
當 x > 0, f (x) = -x2 + 2x +1，為二次函數，是一條拋物線，開口向下，對稱軸為 x =1，
當 x < 0, f (x) = x2 + 2x -1，為二次函數，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為 x=- 1，
ì-x2 + 2x +1，x > 0
畫出函數 f (x) = í 2 的圖象，如圖所示，
x + 2x -1，x < 0
函數圖象關于原點對稱，所以函數 f (x) 為奇函數；
（2）函數 f (x) 的定義域為 (- ,0) U (0, + )，
ìx2 + x，x < 0
對于函數 f (x) = íx2
，
- x，x > 0
1
當 x < 0, f (x) = x2 + x，為二次函數，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為 x = - ，
2
1
當 x > 0, f (x) = x2 - x，為二次函數，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為 x = ，
2
ìx2 + x，x < 0
畫出函數 f (x) = í 2 的圖象，如圖所示，
x - x，x > 0
函數圖象關于 y 軸對稱，故 f (x) 為偶函數；
1 1
（3）先作出 y = ( )x x的圖象，保留 y = ( ) 圖象中 x≥0 的部分，
2 2
y (1 x再作出 = ) 的圖象中 x>0 部分關于 y 軸的對稱部分，
2
y (1即得 = ) x 的圖象，如圖實線部分．
2
1
由圖知 y = ( ) x 的圖象關于 y 軸對稱，所以該函數為偶函數.
2
（4）將函數 y = log2 x 的圖象向左平移一個單位長度，再將 x 軸下方的部分沿 x 軸翻折上去，
即可得到函數 y = log2(x +1) 的圖象，如圖，
由圖知 y = log2(x +1) 的圖象既不關于 y 軸對稱，也不關于 x 軸對稱，
所以該函數為非奇非偶函數；
2 ìx
2 - 2x -1, x 0
（5）函數 y = f (x) = x - 2 x -1 = í 2 ，
x + 2x -1, x < 0
當 x 0, f (x) = x2 - 2x -1，為二次函數，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為 x =1，
當 x < 0, f (x) = x2 + 2x -1，為二次函數，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為 x=- 1，
ìx2 - 2x -1，x 0
畫出函數 f (x) = í 2 的圖象，如圖，
x + 2x -1，x < 0
y = x2由圖知 - 2 x -1的圖象關于 y 軸對稱，所以該函數為偶函數.
題型八：已知函數的奇偶性求參數
ì2x -1, x > 0
【典例 8-1】已知函數 f (x) = log2 x2 + a - x 是奇函數，則a = ，若 g(x) = í 則
f (x), x 0
g g -1 = .
【答案】 1 2
2
【解析】由 f (x) = log 22 x + a - x ，得 x + a - x > 0 ，
則 a > 0，所以函數 f x 的定義域為 R ，
所以 f 0 = log2 a = 0，解得 a =1，
所以 f (x) = log2 x2 +1 - x ，
此時 f (-x) + f (x) = lg[( x2 +1 - x)( x2 +1 + x)] = lg1 = 0，
2
所以 f (x) = log2 x +1 - x 為奇函數，
g -1 = f -1 = log2 -1 2 +1 - -1 = log2 2 +1 > 0 ，
所以 g g -1 = 2log2 2+1 -1 = 2 .
故答案為：1； 2 .
x
【典例 8-2】已知函數 f x 9 - a= xx 的圖象關于原點對稱， g x = lg 10 +1 + bx是偶函數，則 a + b = .3
1
【答案】 2
9x - a
【解析】函數 f (x) = x 的圖象關于原點對稱，則函數 f (x) 是奇函數，3
Q函數的定義域為 R ，
0
\ f 0 = 0 f 0 9 - a，即 = 0 = 1- a = 0，3
則 a =1，
Qg(x) = lg(10x +1) + bx是偶函數，
\ g(-x) = g(x)，
即 lg(10-x +1) - bx = lg(10x +1) + bx，
lg 1+10
x
即 x - lg(10
x +1) = 2bx ，
10
即 lg(10x +1) - lg10x - lg(10x +1) = 2bx，
1
則 -x = 2bx， 2b = -1，得b = - ，
2
則 a + b 1
1 1
= - =
2 2 ，
1
故答案為： 2
【方法技巧】
利用函數的奇偶性的定義轉化為 f (- x ) = ± f ( x ) ，建立方程，使問題得到解決，但是在解決選擇題、
填空題時還顯得比較麻煩，為了使解題更快，可采用特殊值法求解.
x
【變式 8-1】（2024 g x k - 2·高三·湖北武漢·期末）函數 = x k < 0 為奇函數，則實數 k 的取值1+ k ×2
為 .
【答案】 -1
x
【解析】因為 g x k - 2= x 為定義域上的奇函數，所以 g x +g -x = 0，1+ k ×2
k - 2x k - 2- x
即 + = 0，整理化簡有： (k 2 -1)(22x
1+ k ×2x - x
+1) = 0恒成立，
1+ k ×2
所以 k 2 -1 = 0，得 k = ±1，又因為 k < 0，所以 k = -1，
x x
且當 k = -1時， g x k - 2 2 +1= = ，其定義域為{x | x 0}x x ，關于原點對稱，故 k = -1滿足題意.1+ k ×2 2 -1
故答案為： -1
【變式 8-2】已知函數 f x = log3 9x + m - x 的圖象關于 y 軸對稱，則m = ．
【答案】1
2x
【解析】因為 f x = log 32x3 + m - log 3x3 = log 3 + m3 x = log x3 3 + m ×3- x ，3
且 f (-x) = f (x)，即3- x + m ×3x = 3x + m ×3- x ，
有m(3x - 3- x ) = 3x - 3- x ，
所以m =1．
故答案為：1.
【變式 8-3】已知函數 f (x)
2
= x 定義域為R ， g(x) = x( f (x) + a) ，若 g(x)為偶函數，則實數 a的值2 +1
為 ．
【答案】 -1
【解析】由題設， g(-x) = g(x)，即-x[ f (-x) + a] = x[ f (x) + a]，
2x ax 2x所以- - x - = x + ax，整理得 2x(a +1) = 0恒成立，則 a = -1 .2 +1 2 +1
故答案為： -1
題型九：已知函數的奇偶性求表達式、求值
【典例 9-1】已知函數 f x ， g x 分別是定義在R 上的偶函數和奇函數，且 f x + g x = x2 - x +1，則
g 3 的值是 .
【答案】-3
【解析】因為 f x + g x = x2 - x +1 ① f -x + g -x = x2，所以 + x +1
由函數 f (x) ， g(x)分別是定義在R 上的偶函數和奇函數，則 f (x) = f (-x), g(x) = -g(-x)
所以 f x - g x = x2 + x +1 ②
則①-②可得： 2g x = -2x，所以 g x = -x
則 g 3 = -3．
故答案為：-3．
ìx2 - 3- x , x < 0,
【典例 9-2】（2024·廣東湛江·二模）已知奇函數 f x = í g x = 則 g x +1, x > 0,
．
【答案】-x2 + 3x -1
2 - - x
【解析】當 x > 0時，-x < 0， f x = g x +1 = - f -x = - é -x - 3 ù = -x
2 + 3x，
則 g x = -x2 + 3x -1．
故答案為：-x2 + 3x -1.
【方法技巧】
抓住奇偶性討論函數在各個分區間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關于 f ( x ) 的方程，從而可得
f ( x ) 的解析式.
x
【變式 9-1】若定義在 R 上的偶函數 f x 和奇函數 g x 滿足 f x + g x = e ，則 g x 的解析式為
g x = .
ex - e- x
【答案】
2
【解析】由題意得： f -x + g -x =e-x ，即 f x - g x = e-x ①， f x + g x = ex ②，②-①得：
x -x
2g x = ex - e- x ，解得： g x e -e= .
2
ex - e- x
故答案為：
2
【變式 9-2】已知函數 f x 對一切實數 x 都滿足 f x + f -x = 0 ，且當 x < 0 時， f x = 2x2 - x +1，則
f x = ．
ì-2x2 - x -1, x > 0

【答案】 í0, x = 0
2
2x - x +1, x < 0
【解析】函數 f x 對一切實數 x 都滿足 f x + f -x = 0，
所以 f 0 = 0，
設 x > 0，則-x < 0， f (-x) = 2x2 + x +1 ，
又因為 f x + f -x = 0，即 f x = - f -x ，
所以 f (x) = -2x2 - x -1
ì-2x2 - x -1, x > 0
所以 f (x) =

í0, x = 0 .

2x
2 - x +1, x < 0
ì-2x2 - x -1, x > 0

故答案為： í0, x = 0 ．
2x2 - x +1, x < 0
題型十：奇函數的中值模型
6
【典例 10-1】函數 f (x) = x + lg x2 +1 + x 在區間[-m,m]內的最大值為 M，最小值為 N，其中m > 0，e +1
則M + N = ．
【答案】6
x
f (x) 6 lg( x2 1 x) 3 3(e -1)【解析】由題意可知， = x + + + = - x + lg( x
2 +1 + x)，
e +1 e +1
g(x) 3(e
x -1)
設 = - + lg( x2 +1 + x)， g(x)的定義域為[-m,m]，
ex +1
- x x
所以 g(-x)
3(e -1)
= - - x + lg( x
2 +1 - x) 3(e -1)= -[- 2x + lg( x +1 + x)] = -g(x)，e +1 e +1
所以 g(x)為奇函數，所以 g(x)max + g(x)min = 0，
所以 f (x)max + f (x)min = M + N = g(x)max + 3 + g(x)min + 3 = 6.
故答案為：6.
10-2 f (x) = ax3【典例 】對于函數 + bx x + c （其中 a,b R,c Z ），選取 a,b,c的一組值計算 f (2), f (-2)，
所得出的正確結果一定不可能是（ ）
A．4 和 6 B．3 和 1 C．2 和 4 D．1 和 2
【答案】D
3
【解析】構造函數 g(x) = ax + bx x ，
因為 g(-x) = - ax3 + bx x = -g x ，
所以 g x 是奇函數，
所以 f (2) + f (-2) = g(2) + g(-2) + 2c = 2c ，
c f (2) + f (-2)所以 = ，
2
又因為 c Z，所以 f (2) + f (-2) 能被 2 整除，
故選：D
【方法技巧】
已知 f (x) =奇函數 +M ， x [-a , a ]，則
（1） f (-x) + f (x) = 2M
（2） f (x)max + f (x)min = 2M
1 1
【變式 10-1】（2024·廣西·一模） f x 是定義在 R 上的函數， f x + ÷ + 為奇函數，則
è 2 2
f 2023 + f -2022 =（ ）
1
A 1．－1 B．- C． 2 D．12
【答案】A
1 1
【解析】 f x 是定義在 R 上的函數， f x + 2 ÷ + 為奇函數，則è 2
f x 1- + 1 é 1 1 ù 1 1 ÷ + = - f
x + + f
2 2 ê 2 ÷ 2 ú
-x + ÷ + f2
x + ÷ = -1.
è è è è 2
∴ f 2023 + f -2022 f 4045 1 f 4045 1= + ÷ + - +

÷ = -1 .
è 2 2 è 2 2
故選：A
【變式 10-2】設函數 f (x) = ax3 + bsin x + c ln x + x2 +1 + 3的最大值為 5，則 f (x) 的最小值為（ ）
A．-5 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】根據題意，設 g(x) = ax3 + bsin x + c ln x + x2 +1 ，利用定義法判斷函數的奇偶性，得出 g(x)是
奇函數，結合條件得出 g(x)的最大值和最小值，從而得出 f (x) 的最小值.由題可知，
f (x) = ax3 + bsin x + c ln x + x2 +1 + 3，
g(x) = ax3設 + bsin x + c ln x + x2 +1 ，其定義域為 R ，
又 g(-x) = a(-x)3 + bsin -x + c ln(-x + (-x)2 +1) ，
即 g -x = -ax3 - bsin x + c ln(-x + x2 +1)，
g -x + g x = c ln x + x2由于 +1 + c ln -x + x2 +1
= c ln x + x2 +1 -x + x2 +1 = c ln x2 +1- x2 = c ln1 = 0，
即 g -x + g x = 0，所以 g(x)是奇函數，
而 f x = g x + 3，
由題可知，函數 f (x) 的最大值為 5，
則函數 g(x)的最大值為：5-3=2，
由于 g(x)是奇函數，得 g(x)的最小值為-2，
所以 f (x) 的最小值為：-2+3=1.
故選：B.
【變式 10-3 f x = ax7 + bx3 + x2】已知函數 + cx - 2023，且 f 10 = 6，則 f -10 = ．
【答案】-3852
f x = ax7 + bx3 + x2 7【解析】由 + cx - 2023，得 ax + bx3 + cx = f x - x2 + 2023，
h x = ax7構建函數 + bx3 + cx = f x - x2 + 2023，定義域為R ，
則 h -x = a -x 7 + b -x 3 + c -x = - ax7 + bx3 + cx = -h x ，即 h x 是奇函數，
于是 h -10 = -h 10 ，所以 f -10 - -10 2 + 2023 = - é f 10 -10
2 + 2023ù ，
可得 f -10 = - f 10 - 3846，
又 f 10 = 6，因此 f -10 = -3852．
故答案為：-3852
f x 2【變式 10-4】設 = x + a 為奇函數，若 g x = f x + sinx + a在 x -m,m (m > 0)的最大值為 3，則e +1
g x 在 x -m,m (m > 0)的最小值為 .
【答案】-5
【解析】 f x 的定義域為R 且為奇函數，
所以 f x f 2 2+ -x = x + a + - x + a = 0，e +1 e +1
2 + 2ex
x + 2a = 2 + 2a = 0,a = -1，e +1
f x 2 2所以 = x -1， g x = x -1+ sinx -1，e +1 e +1
設 h x = g x +1 = f x + sin x ，
則 h -x = f -x + sin -x = - f x - sin x = -h x ，所以 h x 是奇函數，
依題意可知， h x 在 x -m,m (m > 0)的最大值為3+1 = 4，
所以 h x 在 x -m,m (m > 0)的最小值為-4，
所以 g x = h x -1在 x -m,m (m > 0)的最小值為-4 -1 = -5 .
故答案為：-5
2
【變式 10-5】（2024·高三·安徽·期中）函數 f x = x - 6x sin x - 3 + x + a x 0,6 的最大值為 M ，
最小值為m ，若M + m = 8，則a = ．
【答案】1
【解析】 f x = (x2 - 6x)sin(x - 3) + x + a = [(x - 3)2 - 9]sin(x - 3) + (x - 3) + a + 3，
設 x - 3 = t [-3,3]，則 y = (t 2 - 9)sin t + t + a + 3，
記 g(t) = y - (a + 3) = (t 2 - 9)sin t + t ，
因為 g(-t) = -(t 2 - 9)sin t - t = -g(t)，
所以 g(t)是在[-3,3]上的奇函數，最大值為M - (a + 3)，最小值為m - (a + 3) ，
所以M - (3+ a) + m - (3+ a) = 0，
又因為M + m = 8，
所以 a =1，
故答案為：1．
【變式 10-6】（2024·高三·河南周口·開學考試）已知定義在R 上的函數 f x 滿足
2
"x, y R, f x + y = f x + f y - 2024 g x x 2024 - x，若函數 = 的最大值和最小值分別為M ,m，
2024 + x2
+ f x
則M + m = ．
【答案】4048
【解析】令 x = y = 0 ，得 f 0 = 2024 ，令 y = -x，則 f 0 = f x + f -x - 2024，
所以 f -x - 2024 = - é f x - 2024ù ，令 h x = f x - 2024，
所以 h(-x) = -h(x)， h x 為奇函數， f x = h x + 2024 ．
G x x 2024 - x
2
令 = 2 + h x ，2024 + x
2
G x x 2024 - x h x [ x 2024 - x
2
則 - = - + - = - + h x ] = -G x ，
2024 + x2 2024 + x2
即G x 為奇函數，所以G(x)max + G(x)min = 0．
x 2024 - x2
而 g x = 2 + h x + 2024 = G x + 2024，2024 + x
所以M + m = G(x)max + 2024 + G(x)min + 2024 = 4048．
故答案為：4048
ax2 + a + ln x2 +1 + x
【變式 10-7】函數 f x 4= + ，若 f x 最大值為M ，最小值為 N ， a 1,3 ，則
x2 +1 a
M + N 的取值范圍是 .
【答案】 8,10
Q ax
2 + a + ln x2 +1 + x 4 4 ln x2 +1 + x【解析】 f x = 2 + = a + + ，x +1 a a x2 +1
ln x2 +1 + x
令 g x = ， g x 定義域為 R 關于原點對稱，
x2 +1
1
∴ ln x2 +1 - x ln x2 +1 + x ln x2 +1+x g -x ，= 2 = = - = -g x x +1 x2 +1 x2 +1
∴ g x 為奇函數，∴ g x + g x = 0max min ，
∴ f x + f x = M + N = 2 a
4
+
max min ，è a ÷
Q a 1,3 4，由對勾函數的單調性可知 h a = a + 在 1,2 上單調遞減，在 2,4 上單調遞增，
a
∴ h a = h 2 = 4min ， h 1 = 5,h 3
13
= ， h a = hmax 1 = 5，3
∴ h a 4,5 ，
4
∴ M + N = 2 a + ÷ 8,10 ，
è a
故答案為： 8,10 .
題型十一：利用單調性與奇偶性求解函數不等式
【典例 11-1】已知函數 f (x) 是定義在 R 上的偶函數，且在區間[0, + ) 上單調遞增. 若實數 a滿足
f (log2 a) + f (log1 a) 2 f (1)， 則 a的最小值是（ ）
2
3
A． B．1 C 1． 2 D．22
【答案】C
【解析】由題設， f (x) 在 (- ,0)上遞減，由偶函數知： f (log 1 a) = f (- log2 a) = f (log2 a)，
2
∴ f (log2 a) + f (log1 a) = 2 f (log2 a) 2 f (1) ，即 f (log2 a) f (1)，2
∴ | log2 a | 1
1
，則-1 log2 a 1，得 a 2 .2
1
故 a的最小值是 2 .
故選：C
【典例 11-2】（2024·安徽安慶·三模）已知函數 f x = ax x 的圖象經過點 2,8 ，則關于 x 的不等式
9 f x + f 4 - x2 < 0的解集為（ ）
A． - , -4 U 1,+ B． -4,1
C． - , -1 4, + D． -1,4
【答案】C
【解析】由題意知 f 2 = 4a = 8，解得 a = 2，所以 f x = 2x x ，其在R 上單調遞增，
又因為 f -x = -2x -x = -2x x = - f x ，所以函數 f x 為奇函數，9 f x = f 3x ，
所以不等式9 f x + f 4 - x2 < 0可化為 f 3x < - f 4 - x2 = f x2 - 4 ，
于是3x < x2 - 4，即 x2 - 3x - 4 > 0，解得 x > 4或 x < -1.
故選：C．
【方法技巧】
求解函數不等式時，由條件去掉“ f ”，從而轉化為自變量的大小關系，記得考慮函數的定義域．
【變式 11-1】（2024 x - x·湖南永州·三模）已知函數 f x = e - e + sinx - x + 2，其中 e是自然對數的底數.若

f log 1t ÷ + f 3 > 4，則實數 t的取值范圍是（ ）
è 2
0, 1 1 A． ÷ B． ,+ ÷ C． 0,8 D． 8,+ è 8 è 8
【答案】C
【解析】Q f (x) = ex + e- x + cos x -1 2 ex ×e- x + cos x -1 =1+ cos x 0，
\ f (x)在R 上單調遞增.
令 g(x) = f (x) - 2，\ g(x)在R 上單調遞增， f (x) = g(x) + 2.
因為 g(-x) = e- x - ex + sin -x + x = -g(x)，所以 g(x)為奇函數，
則 f (log 1 t) + f (3) > 4

化為 g log 1 t ÷ + 2 + g(3) + 2 > 4,
2 è 2
所以 g(log 1 t) > -g(3) g(log 1 t) > g(-3) log 1 t > -3，解得0 < t < 8，
2 2 2
\t 0,8 .
故選：C
【變式 11-2】設函數 f x = sin x + ex - e- x + 2，則滿足 f (x) + f (3- 2x) < 4的 x 的取值范圍是（ ）
A． (3, + ) B． (1, + ) C． ( - ,3) D． ( - ,1)
【答案】A
g x = f x - 2 = sin x + ex - e- x【解析】設 , x R ，則 g -x = -sin x + e- x - ex = -g(x) ，
故 g(x)是奇函數．
又 g x = cos x + ex + e- x cos x + 2 ex ×e- x = cos x + 2 > 0，(等號成立的條件是 x = 0 )，
所以 g(x)是 R 上的增函數，則 f (x) + f (3 - 2x) < 4 f (x) - 2 < - f (3 - 2x) + 2，
而 g(2x - 3) = -g(3- 2x) = - f (3- 2x) + 2，
因此有 g(x) < g(2x - 3) ，從而 x < 2x - 3，解得 x > 3，
故選：A.
【變式 11-3 f x = ex-2 - e2-x】已知函數 + x，則不等式 f 3- x + f 6 - 2x 4的解集是
5
【答案】[ ,+ )
3
【解析】令 t = x - 2，則 x = t + 2，故 f (t + 2) = et - e-t + t + 2，
令 g(t) = f (t + 2) - 2，則 g(-t) = e-t - et - t = -g(t)，故 g(t)為奇函數，且 g(t) = et - e-t + t 在定義域上單調遞
增，
由 f (3 - x) - 2 + f (6 - 2x) - 2 0等價于 g(1- x) + g(4 - 2x) 0，
所以 g(4 - 2x) -g(1- x) = g(x -1)
5
，故 4 - 2x x -1，可得 x ，
3
[5故不等式解集為 ,+ ) .
3
5
故答案為：[ ,+ )
3
ì x3 , x 0
【變式 11-4】（2024·天津河北·二模）已知函數 f x = í 3 ，若 f 3a -1 8 f a ，則實數 a的取
-x , x < 0
值范圍是 .
1
【答案】 (- , ] [1, + )
5
【解析】由題意得函數 f x 為偶函數，且當 x < 0 時函數單調遞減，當 x 0 時函數單調遞增．
原不等式可化為 f 3a -1 f 2a ，
∴ 3a -1 2a ，
兩邊平方整理得5a2 - 6a +1 0，
1
解得 a 或 a 1．
5
1
∴實數 a的取值范圍是 (- , ] [1, + )．
5
1
故答案為： (- , ] [1, + )．
5
題型十二：函數對稱性的應用
3 2
【典例 12-1】已知函數 g x = x - 9x + 29x - 30， g m = -12， g n =18，則m + n = ．
【答案】6
【解析】設函數 f x 圖象的對稱中心為 a,b ，則有 2b = f x + f (2a - x) ，
即 2b = x3 - 9x2 + 29x - 30 + (2a - x)3 - 9(2a - x)2 + 29(2a - x) - 30，
整理得 2b = (6a -18)x2 - (12a2 - 36a)x + 8a3 - 36a2 + 58a - 60，比較系數可得 a = 3,b = 3，
因此函數 f x 圖象的對稱中心為 3,3 ，又 f m = -12， f n =18，且 f m + f n = 6，
則點 m, f m 和點 n, f n 關于 3,3 對稱，所以m + n = 2 3 = 6 .
故答案為：6
【典例 12-2】（2024·河南·模擬預測）已知函數 f x 的定義域為 R，若 g x =1- f 2x -1 為奇函數，且
直線 2m +1 x + 1- m × y + 3m = 0與 f x 的圖象恰有 5 個公共點 x1, y1 ， x2, y 2 ， x3 , y3 ， x4 , y4 ，
5
x5 , y5 ，則 xi - yi = .
i=1
【答案】-10
【解析】 g x =1- f 2x -1 為奇函數，則有 g x + g -x = 0，
即1- f 2x -1 +1- f -2x -1 = 0 ，可得 f 2x -1 + f -2x -1 = 2，
2x -1+ -2x -1
= -1，所以函數 f x 的圖象關于點 -1,1 對稱.
2
直線 2m +1 x + 1- m × y + 3m = 0，即 2x - y + 3 m + x + y = 0，
ì2x - y + 3 = 0 ìx = -1
由 íx y 0 ，解得 íy 1 ，所以直線過定點
-1,1 ，
+ = =
即直線 2m +1 x + 1- m × y + 3m = 0關于點 -1,1 對稱.
直線 2m +1 x + 1- m × y + 3m = 0與 f x 的圖象恰有 5 個公共點 x1, y1 ， x2 , y2 ， x3 , y3 ， x4 , y4 ，
x5 , y5 ，
5 5 5
則有 xi = 5 -1 = -5， yi = 5 1 = 5， xi - yi = -10 .
i=1 i=1 i=1
故答案為：-10
【方法技巧】
(1)若 f (x) = f (2a - x)，則函數 f (x) 關于 x = a 對稱．
(2)若 f (x)＋f (2a - x) = 2b，則函數 f (x) 關于點 (a，b) 對稱．
12-1 f x = ax3 b b 【變式 】已知所有的三次函數 + bx2 + cx + d a 0 的圖象都有對稱中心 - ， f -

，
è 3a 3a ÷÷è
f x x3 3x2 f 1 f 2 f 3 L f 4045 若函數 = - + ，則 + + + + = .
è 2023 ÷ è 2023 ÷ è 2023 ÷ è 2023 ÷
【答案】8090
【解析】Q f x = -x3 + 3x2 ，
b
則 a = -1,b = 3,\- =1, f 1 = 2，
3a
即函數 y = f x 的圖象的對稱中心為 1,2 ，
則 f x + f 2 - x = 4 ，
f 1 f 2 f 3 L f 4044 f 4045 故 2023 ÷
+ + + + +
è è 2023 ÷ ÷ ÷ ÷ è 2023 è 2023 è 2023
é f 1 f 4045 ù é 2 4044 ù é 2022 2024 ù 2023= + ê è 2023 ÷ è 2023 ÷ ú
+ ê f + f +L+ f + f + f
è 2023
÷ 2023 ÷ú ê 2023 ÷ ÷ ÷ è è è 2023
ú
è 2023
= 4 2022 + 2 = 8090 .
故答案為：8090.
【變式 12-2】若函數 y = f (x -1)的圖象與函數 y = ln x +1的圖象關于直線 y = x 對稱，則 f (x) = ．
【答案】 e2x
【解析】由于 y = ln x +1，解得 x = e2 y-2 ，故它的反函數為 y = e2x-2 .
再由函數 y = f (x -1)的圖像與 y = ln x +1的圖像關于直線 y = x 對稱，
可得 y = f (x -1)是函數 y = ln x +1 2x-2的反函數，故 f x -1 = e ，
所以 f x = e2x ．
f x = e2x故答案為 ．
f (x) 3x + 2017【變式 12-3】已知 = ，函數 g(x)對任意 x R 有 g(2018 - 2x) = 3- g(2x - 2013) 成立，
2x - 5
m
y = f (x) 與 y = g(x) 的圖象有m 個交點為 (x1, y1) ， (x2 , y2 ) …， (xm , ym )，則 (xi + yi ) =（ ）
i=1
A． 2013m B． 2015m C． 2017m D． 4m
【答案】D
3x + 2017 3 2032 5 3
【解析】化簡 f x = = + ，所以 f x 的圖象關于 , ÷ 對稱，2x - 5 2 2x - 5 è 2 2
由 g 2018 - 2x = 3- g 2x - 2013 可得 g 5 - t = 3- g t ，
y = g x 5 , 3 可得 的圖象也關于 2 2 ÷對稱，è
因此 y = f x 與 y = g x 的圖象的m 個交點為 x1, y1 ， x2 , y2 …， xm , ym ，
5 3
也關于 , ÷對稱，所以 x1 + xm = x + x2 2 2 m-2
= x3 + xm-3 = ... = 5， y1 + ym = y2 + ym-2 = y3 + ym-3 = ... = 3，設
è
x1 + x2 + ...xm-1 + xm = M ，
則 xm + xm-1 + ...x2 + x1 = M ，兩式相加可 x1 + xm + x2 + xm-2 + ...+ x
5
m-1 + x2 + xm + x1 = 2M = 5m, M = m，2
同理可得
3 my1 + y2 + ...+ ym-1 + ym = m ， xi + yi = x1 + x2 + ...+ x + y 3 5m 1 + y2 + ...+ ym = m + m = 4m .2 i=1 2 2
故選：D.
【變式 12-4 2】已知函數 f x x R 滿足： f x +1 是偶函數，若函數 y = x - 2x - 3 與函數 y = f x 圖象
的交點為 x1, y1 ， x2, y 2 ，L， xm , ym ，則橫坐標之和 x1 + x2 +L+ xm =（ ）
A．0 B．m C． 2m D． 4m
【答案】B
【解析】由 f x +1 2是偶函數，知函數 f x 的圖象關于直線 x =1對稱，函數 y = x - 2x - 3 = x -1 2 - 4 ，
其圖象也關于直線 x =1對稱，
所以函數 y = x2 - 2x - 3 與函數 y = f x 圖象的交點也關于直線 x =1對稱，當m 為偶數時，其和為
2 m = m；當m 為奇數時，其和為 2 m -1 +1 = m .
2 2
故選：B.
【變式 12-5】（多選題）（2024·高三·黑龍江雞西·開學考試）對于定義在R 上的函數 f x ，下述結論
正確的是（ ）
A．若 f x +1 = f x -1 ，則 f x 的圖象關于直線 x =1對稱
B．若 f x 是奇函數，則 f x -1 的圖象關于點 A(1,0)對稱
C．函數 y = f 1+ x 與函數 y = f 1- x 的圖象關于直線 x =1對稱
D．若函數 f x -1 的圖象關于直線 x =1對稱，則 f x 為偶函數
【答案】BD
【解析】對 A，對 x R ，有 f x +1 = f x -1 ，
令 x +1替換 x ，得 f x + 2 = f x ，可得函數 f x 是周期為 2 的周期函數，
則 y = f x 的圖象對稱性不確定，即 A 錯誤；
對 B，Q f x 是奇函數，\ f x 的圖象關于原點成中心對稱，
而 y = f x -1 的圖象是將 y = f x 的圖象向右平移一個單位，
y = f x -1 的圖象關于點 A(1,0)對稱，故 B 正確；
對 C，函數 y = f 1+ x 是由 y = f x 的圖象向左平移一個單位得到；
函數 y = f 1- x 的圖象是由 y = f -x 的圖象向右平移一個單位得，
而 y = f x 與 y = f -x 的圖象關于 y 軸對稱，
所以函數 y = f 1+ x 與函數 y = f 1- x 的圖象關于 y 軸對稱，故 C 錯誤；
對于 D，若函數 f x -1 的圖象關于直線 x =1對稱，
則將其向左平移 1 個單位得到 f x ，則對稱軸也向左平移 1 單位，
則 f x 關于 y 軸對稱，即 f x 為偶函數，故 D 正確.
故選：BD.
題型十三：函數周期性的應用
【典例 13-1】（2024·陜西渭南·模擬預測）已知定義在 R 上的函數 f x 滿足 f x + 3 = - f x ，
g x = f x -1為奇函數，則 f 198 = （ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】因為 f x + 3 = - f x ，
所以 f x + 6 = - f x + 3 = f x ，
所以 f x 的周期為 6.
又因為 g x = f x -1為奇函數，
所以 g x + g -x = 0，即 f x -1+ f -x -1 = 0，即 f x + f -x = 2，
令 x = 0，則 2 f 0 = 2，即 f 0 =1.
所以 f 198 = f 6 33 + 0 = f 0 =1，
故選：C.
【典例 13-2】（ 2024·山東青島·一模） "x R ， f (x) + f (x + 3) =1- f (x) f (x + 3)， f (-1) = 0，則
f (2024)的值為（ ）
A．2 B．1 C．0 D．－1
【答案】B
【解析】由題意知"x R ， f (x) + f (x + 3) =1- f (x) f (x + 3)， f (-1) = 0，
令 x=- 1，則 f (-1) + f (2) =1- f (-1) f (2),\ f (2) =1
顯然 f (x) = -1時，-1+ f (x + 3) =1+ f (x + 3)不成立，故 f (x) -1，
1 1- f (x)-
故 f (x 3)
1- f (x)
+ = f (x + 6) = 1+ f (x)，則 1 f (x) = f (x)1+ f (x) ，1 -+
1+ f (x)
即 6 為函數 f (x) 的周期，
則 f (2024) = f (337 6 + 2) = f (2) =1，
故選：B
【方法技巧】
(1)求解與函數的周期有關的問題，應根據周期定義，從而求出函數的周期．
(2)利用函數的周期性，可以解決區間上的求值、求零點個數、求解析式等問題．
【變式 13-1】已知函數 f x 滿足 f
1+ f x
x + 2 = x R
1 f ， fx 2
1
= ，則 f 2004 等于
- 2
【答案】3
【解析】根據函數解析式，求得函數的周期，利用函數周期性即可求得函數值.
1+ f x
1 +
1+ f x + 2 1- f xf x 1+ 4 = f é x + 2 + 2ù = = = -1- f x + 2 1+ f x1 f x-
1- f x
f x 1+ 8 = f é x + 4 + 4ù = - = f xf x + 4
則 f x 是以 8 為周期的周期函數.
1
1+ f 2
1+
所以 f 2004 = f 250 8 + 4 = f 4 = f 2 + 2 = = 21 = 3 .1- f 2 1-
2
故答案為：3 .
【變式 13-2】（2024·廣東廣州·二模）已知函數 f x 的定義域為 R，且
f 1+ x + f 1- x = f x , f 0 = 2，則 f 20 + f 24 = （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】由題意可知：函數 f x 的定義域為 R，
因為 f 1+ x + f 1- x = f x ，則 f 1- x + f 1+ x = f -x ，
可得 f x =f -x ，所以 f x 為偶函數，
由 f 1+ x + f 1- x = f x 可得 f 2 + x + f -x = f x +1 ，
即 f 2 + x + f x = f x +1 ，整理得 f 2 + x + f 1- x = 0 ，
可得 f 3+ x + f -x = f 3 + x + f x = 0，
則 f 6 + x + f 3 + x = 0，可得 f 6 + x = f x ，
所以 6 為 f x 的周期，
由 f 1+ x + f 1- x = f x , f 0 = 2，
令 x = 0，可得 f 1 + f 1 = f 0 = 2，可得 f 1 =1；
令 x =1，可得 f 2 + f 0 = f 1 =1，可得 f 2 = -1；
所以 f 20 + f 24 = f 2 + f 0 = -1+ 2 =1．
故選：A．
【變式 13-3】（2024·陜西西安·二模）已知定義域為R 的函數 f (x) 滿足 f (x + 2) = - f (x) ，且當 0 < x < 2時，
f (x) = 3x - ln x，則 f (211) = .
【答案】-3
【解析】由已知可得 f x + 2 + f x = 0，所以 f x + 4 + f x + 2 = 0，
所以 f x + 4 = f x ，即T = 4是函數 f x 的一個周期，
1
所以 f 211 = f 3 = - f 1 = - 3 - ln1 = -3 .
故答案為：-3
題型十四：對稱性與周期性的綜合應用
【典例 14-1】（多選題）（2024·江西贛州·二模）函數 f x 及其導函數 g x 的定義域均為 R， f x +1
和 g 2x -1 都是奇函數，則（ ）
A． g x 的圖象關于直線 x=- 1對稱 B． f x 的圖象關于點 1,0 對稱
2024
C． g x 是周期函數 D． g i = 2024
i=1
【答案】BC
【解析】對于 A，因為 g 2x -1 是奇函數，所以 g -2x -1 = -g 2x -1 ，
則有 g -x -1 = -g x -1 ， g x 的圖象關于點 -1,0 對稱，故 A 錯誤；
對于 B， f x +1 是奇函數，其圖象關于原點對稱，
f x +1 向右平移 1 個單位后可得 f x ，所以 f x 的圖象關于點 1,0 對稱，故 B 正確；
對于 C，因為 f x +1 是奇函數，所以 f -x +1 = - f x +1 ，
所以- f -x +1 = - f x +1 ，所以 f -x +1 = f x +1 ，
所以 g -x +1 = g x +1 ，所以 g -x + 2 = g x ①，
因為 g -x -1 = -g x -1 ，所以 g x = -g -x - 2 ②，
由①②可得： g -x + 2 = -g -x - 2 ，所以 g x = -g x - 4 ，
所以 g x + 4 = -g x ， g x + 8 = -g x + 4 = g x ，
所以8是函數 g x 的一個周期函數，所以 g x 是周期函數，故 C 正確；
對于 D，因為 g x + 4 = -g x ，所以 g 1 = -g 5 ，
g 2 = -g 6 ， g 3 = -g 7 ， g 4 = -g 8 ，
所以 g 1 + g 2 + g 3 + g 4 + g 5 + g 6 + g 7 + g 8 = 0，
2024
而 g i = 253é g 1 + g 2 + g 3 + g 4 + g 5 + g 6 + g 7 + g 8 ù = 0，故 D 錯誤.
i=1
故選：BC.
【典例 14-2】（2024·高三·遼寧營口·期末）設函數 f x 的定義域為 R， f x +1 - 3為奇函數，
f x + 2 為偶函數，當 x 1,2 時， f x = ax2 + b．若 f -1 + f 0 1 2023 = ，則 f 2 ÷ = （ ）è
37 11 5
A．- B C
2
． ． D．
12 12 6 3
【答案】B
【解析】 f x +1 - 3為奇函數， f -x +1 + f x +1 = 6 ，所以 f x 關于 1,3 對稱，所以
f x = 6 - f 2 - x ①，且 f 1 = 3，
又 f x + 2 為偶函數， f -x + 2 = f x + 2 ，則 f x 關于 x = 2對稱，所以 f x = f 4 - x ②，
由①②可得 f 4 - x = 6 - f 2 - x ，即 f x = 6 - f x + 2 ，所以 f x + 2 = 6 - f x + 4 ，
于是可得 f x = f x + 4 ，所以 f x 的周期T = 4，
則 f x = 6 - f 2 - x = 6 - f 2 + x = f -x ，所以 f x 為偶函數
則 f -1 + f 0 = f 1 + f 0 =1，所以 f 0 = -2，所以 f 2 = 6 - f 0 = 8
ì 5
ì f 1 = a + b = 3 a = 3 5 4
所以 í 2f 2 4a b 8，解得 í 4 ，所以當
x 1,2 時， f x = x +
= + = b = 3 3
3
f 2023 f 1012 1 f 1 f 1 6 f 3 6 61 11所以 ÷ = - ÷ = - = = - = - = .
è 2 è 2 è 2 ÷ ÷ ÷ è 2 è 2 12 12
故選：B.
【方法技巧】
（1）若函數 y = f (x) 有兩條對稱軸 x = a ， x = b(a < b)，則函數 f (x) 是周期函數，且T = 2(b - a) ；
（2）若函數 y = f (x) 的圖象有兩個對稱中心 (a, c), (b, c)(a < b) ，則函數 y = f (x) 是周期函數，且
T = 2(b - a) ；
（3）若函數 y = f (x) 有一條對稱軸 x = a 和一個對稱中心 (b,0)(a < b)，則函數 y = f (x) 是周期函數，
且T = 4(b - a) .
【變式 14-1】（多選題）定義在R 上的函數 f x 與 g x 的導函數分別為 f x 和 g x ，若
g x - f 3- x = 2 ， f x = g x -1 ，且 g -x + 2 = -g x + 2 ，則下列說法中一定正確的是（ ）
A． g x + 2 為偶函數 B． f x + 2 為奇函數
2024
C．函數 f x 是周期函數 D． g(k) = 0
k =1
【答案】BCD
【解析】對 A：由 g -x + 2 = -g x + 2 ，故 g x + 2 為奇函數，
若 g x + 2 為偶函數，則 g x = 0，與條件不符，故 A 錯誤；
對 B：由 g x - f 3- x = 2 ，則 g x + f 3 - x = 0，
又 f x = g x -1 ，即 f x +1 = g x = - f 3- x ，
即 f x + 2 = - f 2 - x ，又 f x + 2 定義在R 上，
故 f x + 2 為奇函數，故 B 正確；
對 C：由 g -x + 2 = -g x + 2 ， f x = g x -1 ， g x - f 3- x = 2 ，
所以 f x = g x -1 +b，則 f -x + 3 = g -x + 2 + b = -g x + 2 + b，
所以 g x - f 3- x = g x + g x + 2 - b = 2， g x + g x + 2 = b + 2，
所以 g x + 2 + g x + 4 = b + 2，所以 g x + 4 = g x ，
則函數 g x 是周期函數 4的周期函數，函數 f x 是周期函數 4的周期函數，故 C 正確；
對 D：由 g x 是周期函數 4的周期函數，
由 g -x + 2 = -g x + 2 ，令 x = 0，則 g 2 = -g 2 ，即 g 2 = 0，
令 x =1，則 g 1 = -g 3 ，即 g 1 + g 3 = 0，
由 g x + f 3 - x = 0， f -x + 3 = g -x + 2 ，
則 g x = -g -x + 2 ，則 g x 關于 1,0 對稱，則 g x 關于 x =1對稱，
又 g x + 2 為奇函數，即 g x 關于 2,0 中心對稱，
故 g x 關于 x = 3對稱，則 g 4 = g 2 = 0，
2024
則 g(k) = 506 é g 1 + g 2 + g 3 + g 4 ù = 506 0 = 0，故 D 正確.
k =1
故選：BCD.
【變式 14-2】（多選題）（2024·湖北·模擬預測）設定義在R 上的函數 f x 與 g x 的導函數分別為
f x 和 g x .若 f x + 4 = g -x + 2， g x + 2 = f x ，且 f x + 2 為奇函數，則下列說法正確的是
（ ）
A．函數 f x 的圖象關于直線 x =1對稱 B． g 2023 + g 2025 = -2
2023 2023
C． f k = 0 D． g k = 0
k =1 k =1
【答案】AC
【解析】對于選項 A：因為 g x = f x - 2 ，則 g x = f x - 2 + a ，
可得 g 4 - x = f 2 - x + a，
又因為 f x - g 4 - x = 2，可得 f x = f 2 - x + a + 2 .
令 x =1，可得 f 1 = f 1 + a + 2，解得 a = -2 ，
可得 f x = f 2 - x ，所以函數 f x 的圖象關于直線 x =1對稱，A 正確；
對于選項 C：因為 f x + 2 為奇函數，
可知 y = f x 的圖象關于點 2,0 對稱，且 f 2 + x + f 2 - x = 0，
令 x = 0，可得 2 f 2 = 0，即 f 2 = 0 ；
令 x =1，可得 f 1 + f 3 = 0；
令 x =1，可得 f 4 + f 0 = 0；
由函數 f x 的圖象關于直線 x =1對稱，可得 f 0 = 0；
所以 f 4 = 0 ，
又因為 f x + 2 = - f -x + 2 = - f x ，則 f x = - f x + 2 = f x + 4 ，
可知函數 f x 的周期T = 4，
2023
所以 f k = 505 é f 1 + f 2 + f 3 + f 4 ù + f 1 + f 2 + f 3 = 0 ，故 C 正確；
k =1
對于選項 B：由 AC 可知 g x = f x - 2 - 2 = f x + 2 - 2 = - f x - 2，
可得 g 2023 = f 2021 - 2 = f 1 - 2， g 2025 = f 2023 - 2 = f 3 - 2 ，
所以 g 2023 + g 2025 = f 1 - 2 + f 3 - 2 = -4，故 B 錯誤；
2023 2023 2023
對于選項 D：可得 g k = é- f k - 2 ù = - f k - 2 2023 = -4046 ，故 D 錯誤.
k =1 k =1 k =1
故選：AC.
【變式 14-3】（多選題）（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x ， g x 的定義域均為R ，其導函數分別
為 f x ， g x ．若 f 3- x + 2 = g x ， f x = g x +1 ，且 g 2 - x + g x = 0，則（ ）
A．函數 g x + 2 為偶函數 B．函數 f x 的圖像關于點 2,2 對稱
2024 2024
C． g n = 0 D． f n = -4048
i=1 i=1
【答案】ACD
【解析】因為 f x = g x +1 ，所以 f x + a = g x +1 + b a,b R ．
又因為 f 3- x + 2 = g x ，所以 f x + 2 = g 3- x ．
于是可得 g 3- x - 2 + a = g x +1 + b ，令 x =1，則 g 3-1 - 2 + a = g 1+1 + b ，所以 a - 2 = b．
所以 g 3- x = g x +1 ，即函數 g x 的圖像關于直線 x = 2對稱，即 g -x = g x + 4 ．
因為 g 2 - x + g x = 0，所以函數 g x 的圖像關于點 1,0 對稱，即 g 2 + x + g -x = 0 ，所以
g x + 2 = -g x + 4 ，即 g x = -g x + 2 ，于是 g x = g x + 4 ，所以函數 g x 是周期為 4 的周期函數．
因為函數 g x 的圖像關于直線 x = 2對稱，所以 g x + 2 的圖像關于 y 軸對稱，所以 g x + 2 為偶函數，所
以 A 選項正確．
將 g x 的圖像作關于 y 軸對稱的圖像可得到 y = g -x 的圖像，再向右平移 3 個單位長度，可得到
y = g é- x - 3 ù = g 3 - x 的圖像，再將所得圖像向下平移 2 個單位長度，即可得到 g 3- x - 2 = f x 的圖
像，因此函數 f x 也是周期為 4 的函數．又 g x 的圖像關于點 1,0 對稱，所以 f x 的圖像關于點
2, -2 對稱，所以 B 選項不正確．
因為 g 2 - x + g x = 0，令 x =1，得 g 1 + g 1 = 0，即 g 1 = 0，所以 g 1 = g 3 = 0；令 x = 0，得
2024
g 2 + g 0 = 0，所以 g 2 + g 4 = 0 ，所以 g 1 + g 2 + g 3 + g 4 = 0，所以 g n = 0 ，所以 C 選項
i=1
正確．
因為 f x = g 3 - x - 2 ，所以 f 0 = g 3 - 2 = -2， f 2 = g 1 - 2 = -2， f 1 = g 2 - 2，
f 3 = g 0 - 2 ， f 4 = f 0 = -2，
則有 f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = g 2 - 2 + -2 + g 0 - 2 + -2 = -8，
2024
可得 f n = -4048，所以 D 選項正確．
i=1
故選：ACD．
【變式 14-4】（多選題）（2024·福建寧德·三模）若定義在R 上的函數 f (x) 滿足
f (xy第 02 講 函數的性質：單調性、奇偶性、周期性、對稱性、最值
目錄
01 考情透視·目標導航 ................................................................................................................................................2
02 知識導圖·思維引航 ................................................................................................................................................3
03 考點突破·題型探究 ................................................................................................................................................4
知識點 1：函數的單調性 ............................................................................................................................................4
知識點 2：函數的最值 ................................................................................................................................................5
知識點 3：函數的奇偶性 ............................................................................................................................................5
知識點 4：函數的周期性 ............................................................................................................................................5
知識點 5：函數的對稱性 ............................................................................................................................................6
解題方法總結 ...............................................................................................................................................................6
題型一：單調性的定義及判斷 ...................................................................................................................................9
題型二：復合函數單調性的判斷 .............................................................................................................................10
題型三：分段函數的單調性 .....................................................................................................................................11
題型四：利用函數單調性求函數最值 .....................................................................................................................12
題型五：利用函數單調性求參數的范圍 .................................................................................................................12
題型六：利用函數的單調性比較函數值大小 .........................................................................................................13
題型七：函數的奇偶性的判斷與證明 .....................................................................................................................14
題型八：已知函數的奇偶性求參數 .........................................................................................................................15
題型九：已知函數的奇偶性求表達式、求值 .........................................................................................................16
題型十：奇函數的中值模型 .....................................................................................................................................16
題型十一：利用單調性與奇偶性求解函數不等式 .................................................................................................17
題型十二：函數對稱性的應用 .................................................................................................................................18
題型十三：函數周期性的應用 .................................................................................................................................19
題型十四：對稱性與周期性的綜合應用 .................................................................................................................20
題型十五：類周期與倍增函數 .................................................................................................................................21
題型十六：抽象函數的單調性、奇偶性、周期性、對稱性 .................................................................................22
04 真題練習·命題洞見 ..............................................................................................................................................23
05 課本典例·高考素材 ..............................................................................................................................................24
06 易錯分析·答題模板 ..............................................................................................................................................25
易錯點：判斷函數的奇偶性忽視定義域 .................................................................................................................25
答題模板：判斷函數的奇偶性 .................................................................................................................................25
考點要求 考題統計 考情分析
2024年 II卷第 8題，5分
2024年 I卷第 6題，5分 從近幾年高考命題來看，本節是高
（1）函數的單調性 2024年天津卷第 4題，5分 考的一個重點，函數的單調性、奇偶
（2）函數的奇偶性 2023年 I卷第 4、11題，10分 性、對稱性、周期性是高考的必考內
（3）函數的對稱性 2023年甲卷第 13題，5分 容，重點關注周期性、對稱性、奇偶性
（4）函數的周期性 2022年 II卷第 8題，5分 結合在一起，與函數圖像、函數零點和
2022年 I卷第 12題，5分 不等式相結合進行考查．
2021年 II卷第 8題，5分
復習目標：
（1）借助函數圖像，會用符號語言表達函數的單調性、最大值、最小值，理解它們的作用和實際意義．
（2）結合具體函數，了解奇偶性的概念和幾何意義．
（3）結合三角函數，了解周期性的概念和幾何意義．
（4）會依據函數的性質進行簡單的應用．
知識點 1：函數的單調性
（1）單調函數的定義
一般地，設函數 f (x) 的定義域為 A，區間 D A：
如果對于 D 內的任意兩個自變量的值 x1 ， x2 當 x1 < x2 時，都有 f (x1) < f (x2 )，那么就說 f (x) 在區間
D 上是增函數．
如果對于 D 內的任意兩個自變量的值 x1 ， x2 ，當 x1 < x2 時，都有 f (x1) < f (x2 )，那么就說 f (x) 在區
間 D 上是減函數．
①屬于定義域 A內某個區間上；
②任意兩個自變量 x1 ， x2 且 x1 < x2 ；
③都有 f (x1) < f (x2 )或 f (x1) > f (x2 )；
④圖象特征：在單調區間上增函數的圖象從左向右是上升的，減函數的圖象從左向右是下降的．
（2）單調性與單調區間
①單調區間的定義：如果函數 f (x) 在區間 D 上是增函數或減函數，那么就說函數 f (x) 在區間 D 上具
有單調性， D 稱為函數 f (x) 的單調區間．
②函數的單調性是函數在某個區間上的性質．
（3）復合函數的單調性
復合函數的單調性遵從“同增異減”，即在對應的取值區間上，外層函數是增（減）函數，內層函數是
增（減）函數，復合函數是增函數；外層函數是增（減）函數，內層函數是減（增）函數，復合函數是減
函數.
【診斷自測】（2024·高三·上海楊浦·期中）已知函數 y = f x ， x R .若 f 1 < f 2 成立，則下列論
斷中正確的是（ ）
A．函數 f x 在 - , + 上一定是增函數；
B．函數 f x 在 - , + 上一定不是增函數；
C．函數 f x 在 - , + 上可能是減函數；
D．函數 f x 在 - , + 上不可能是減函數.
知識點 2：函數的最值
一般地，設函數 y = f x 的定義域為 D，如果存在實數 M 滿足
① "x D ，都有 f x M ；② $x0 D，使得 f x0 = M ，則 M 是函數 y = f x 的最大值；
① "x D ，都有 f x M ；② $x0 D，使得 f x0 = M ，則 M 是函數 y = f x 的最小值.
1
【診斷自測】（2024·高三·北京·開學考試）函數 y = -1+ x(x 3) 的最小值為 .
x -1
知識點 3：函數的奇偶性
函數奇偶性的定義及圖象特點
奇偶性 定義 圖象特點
如果對于函數 f (x) 的定義域內任意一個 x ，都有
偶函數 關于 y 軸對稱
f (-x) = f (x) ，那么函數 f (x) 就叫做偶函數
如果對于函數 f (x) 的定義域內任意一個 x ，都有
奇函數 關于原點對稱
f (-x) =- f (x)，那么函數 f (x) 就叫做奇函數
【診斷自測】（2024·高三·河北唐山·期末）函數 f x 為奇函數， g x 為偶函數，在公共定義域內，下
列結論一定正確的是（ ）
A． f x + g x 為奇函數 B． f x + g x 為偶函數
C． f x g x 為奇函數 D． f x g x 為偶函數
知識點 4：函數的周期性
（1）周期函數：
對于函數 y = f (x) ，如果存在一個非零常數T ，使得當 x 取定義域內的任何值時，都有
f (x + T）= f (x) ，那么就稱函數 y = f (x) 為周期函數，稱T 為這個函數的周期.
（2）最小正周期：
如果在周期函數 f (x) 的所有周期中存在一個最小的正數，那么稱這個最小整數叫做 f (x) 的最小正周
期.
f (x 3) 1【診斷自測】若偶函數 f (x) 對任意 x R 都有 + = - x [-3, -2] f (x) = 4xf (x) ，且當 時， ，則
f 113 = ．
知識點 5：函數的對稱性
(1)若函數 y = f (x + a) 為偶函數，則函數 y = f (x) 關于 x = a對稱．
(2)若函數 y = f (x + a) 為奇函數，則函數 y = f (x) 關于點 (a，0) 對稱．
(3)若 f (x) = f (2a - x)，則函數 f (x) 關于 x = a對稱．
(4)若 f (x)＋f (2a - x) = 2b，則函數 f (x) 關于點 (a，b) 對稱．
【診斷自測】若函數 y＝g（x）的圖象與 y＝ln x 的圖象關于直線 x＝2 對稱，則 g（x）＝ ．
解題方法總結
1、單調性技巧
（1）證明函數單調性的步驟
①取值：設 x1 ， x2 是 f (x) 定義域內一個區間上的任意兩個量，且 x1 < x2 ；
②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；
③定號：判斷差的正負或商與1的大小關系；
④得出結論．
（2）函數單調性的判斷方法
①定義法：根據增函數、減函數的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結論”進行判斷．
②圖象法：就是畫出函數的圖象，根據圖象的上升或下降趨勢，判斷函數的單調性．
③直接法：就是對我們所熟悉的函數，如一次函數、二次函數、反比例函數等，直接寫出它們的單調
區間．
（3）記住幾條常用的結論：
①若 f (x) 是增函數，則 - f (x) 為減函數；若 f (x) 是減函數，則 - f (x) 為增函數；
②若 f (x) 和 g(x) 均為增(或減)函數，則在 f (x) 和 g(x) 的公共定義域上 f (x) + g(x)為增(或減)函數；
③若 f (x) 1> 0 且 f (x) 為增函數，則函數 f (x) 為增函數， 為減函數；
f (x)
④若 f (x) > 0 且 f (x) 1為減函數，則函數 f (x) 為減函數， 為增函數．
f (x)
2、奇偶性技巧
(1)函數具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱.
(2)奇偶函數的圖象特征.
函數 f (x) 是偶函數 函數 f (x) 的圖象關于 y 軸對稱；
函數 f (x) 是奇函數 函數 f (x) 的圖象關于原點中心對稱.
(3)若奇函數 y = f (x) 在 x = 0 處有意義，則有 f (0) = 0；
偶函數 y = f (x) 必滿足 f (x) = f (| x |) .
(4)偶函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區間上單調性相反；奇函數在其定義域內關于原點對稱的
兩個區間上單調性相同.
(5)若函數 f (x) 的定義域關于原點對稱，則函數 f (x) 能表示成一個偶函數與一個奇函數的和的形式.記
g(x) 1= [ f (x) + f (-x)]， h(x) 1= [ f (x) - f (-x)] ，則 f (x) = g(x) + h(x) .
2 2
(6)運算函數的奇偶性規律：運算函數是指兩個（或多個）函數式通過加、減、乘、除四則運算所得的
函數，如 f (x) + g(x), f (x) - g(x), f (x) g(x), f (x) g(x) .
對于運算函數有如下結論：奇 ± 奇=奇；偶 ± 偶=偶；奇 ± 偶=非奇非偶；
奇 ( ) 奇=偶；奇 ( ) 偶=奇；偶 ( ) 偶=偶.
(7)復合函數 y = f [g(x)]的奇偶性原來：內偶則偶，兩奇為奇.
(8)常見奇偶性函數模型
a x +1 a x -1
奇函數：①函數 f (x) = m( )( x 0)或函數 f (x) = m( ) ．
a x -1 a x +1
②函數 f (x) = ±(a x - a- x ) ．
x + m 2m x - m 2m
③函數 f (x) = loga = loga (1+ ) 或函數 f (x) = log = log (1- )x - m x - m a x + m a x + m
④函數 f (x) = loga ( x
2 +1 + x) 或函數 f (x) = log ( x2a +1 - x)．
2m 2m
注意：關于①式，可以寫成函數 f (x) = m + x (x 0) 或函數 f (x) = m - x (m R)．a -1 a +1
偶函數：①函數 f (x) = ±(a x + a- x )．
②函數 f (x) = log (amxa +1)
mx
- ．
2
③函數 f (| x |) 類型的一切函數．
④常數函數
3、周期性技巧
函數式滿足關系（x R） 周期
f (x + T ) = f (x) T
f (x + T ) = - f (x) 2T
f (x 1 1+ T ) = ; f (x + T ) = - 2T
f (x) f (x)
f (x + T ) = f (x - T ) 2T
f (x + T ) = - f (x - T ) 4T
ì f (a + x) = f (a - x)
í 2(b - a)
f (b + x) = f (b - x)
ì f (a + x) = f (a - x)
í 2a
f (x)為偶函數
ì f (a + x) = - f (a - x)
í 2(b - a)
f (b + x) = - f (b - x)
ì f (a + x) = - f (a - x)
í 2a
f (x)為奇函數
ì f (a + x) = f (a - x)
í 4(b - a)
f (b + x) = - f (b - x)
ì f (a + x) = f (a - x)
í 4a
f (x)為奇函數
ì f (a + x) = - f (a - x)
í 4a
f (x)為偶函數
4、函數的的對稱性與周期性的關系
（1）若函數 y = f (x) 有兩條對稱軸 x = a， x = b(a < b)，則函數 f (x) 是周期函數，且T = 2(b - a) ；
（2）若函數 y = f (x) 的圖象有兩個對稱中心 (a,c), (b,c)(a < b) ，則函數 y = f (x) 是周期函數，且
T = 2(b - a) ；
（3）若函數 y = f (x) 有一條對稱軸 x = a和一個對稱中心 (b,0)(a < b)，則函數 y = f (x) 是周期函數，
且T = 4(b - a) .
5、對稱性技巧
（1）若函數 y = f (x) 關于直線 x = a對稱，則 f (a + x) = f (a - x) ．
（2）若函數 y = f (x) 關于點 (a，b) 對稱，則 f (a + x) + f (a - x) = 2b ．
（3）函數 y = f (a + x) 與 y = f (a - x) 關于 y 軸對稱，函數 y = f (a + x) 與 y = - f (a - x) 關于原點對稱．
題型一：單調性的定義及判斷
【典例 1-1】（2024·陜西榆林·一模）已知函數 f x 在 0, + 上單調遞增，則對實數 a > 0,b > 0，
“ a > b ”是“ f a > f b ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【典例 1-2】（2024·安徽蚌埠·模擬預測）下列函數中，滿足“對任意的 x1, x2 (0,+ )，使得
f x1 - f x2 < 0 ”成立的是（
x x ）1 - 2
A． f (x) = -x2 - 2x +1
B． f (x)
1
= x -
x
C． f (x) = x +1
D． f (x) = log2 (2x) +1
【方法技巧】
函數單調性的判斷方法
①定義法：根據增函數、減函數的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結論”進行判斷．
②圖象法：就是畫出函數的圖象，根據圖象的上升或下降趨勢，判斷函數的單調性．
③直接法：就是對我們所熟悉的函數，如一次函數、二次函數、反比例函數等，直接寫出它們的單調
區間．
f x ax2 b【變式 1-1】三叉戟是希臘神話中海神波塞冬的武器，而函數 = + 的圖象恰如其形，因而得名三
x
2 b
叉戟函數，因為牛頓最早研究了這個函數的圖象，所以也稱它為牛頓三叉戟.已知函數 f x = ax + 的圖
x
象經過點 2,8 ，且 f -2 = 0 .
(1)求函數 f x 的解析式；
(2)用定義法證明： f x 在 - ,0 上單調遞減.
【變式 1-2】（2024·高三·上海·期中）由方程 x x + y y =1確定函數 y = f x ，則 y = f x 在 - ,
上是（ ）
A．增函數 B．減函數 C．奇函數 D．偶函數
題型二：復合函數單調性的判斷
1 2
2-1 f (x) = ( )x -2x-8【典例 】函數 的單調遞增區間是（
2 ）
A． - ,1 B． - , -2 C． 4, + D． 1, +
【典例 2-2】（2024 2·高三·浙江紹興·期末）函數 y = ln x - 2x 的單調遞減區間是（ ）
A． - ,1 B． 1, + C． - ,0 D． 2, +
【方法技巧】
討論復合函數 y = f [g(x)]的單調性時要注意：既要把握復合過程，又要掌握基本函數的單調性．一般
需要先求定義域，再把復雜的函數正確地分解為兩個簡單的初等函數的復合，然后分別判斷它們的單調性，
再用復合法則，復合法則如下：
1、若u = g(x)， y = f (u ) 在所討論的區間上都是增函數或都是減函數，則 y = f [g(x)]為增函數；
2、若u = g(x)， y = f (u ) 在所討論的區間上一個是增函數，另一個是減函數，則 y = f [g(x)]為減函
數．列表如下：
u = g(x) y = f (u ) y = f [g(x)]
增 增 增
增 減 減
減 增 減
減 減 增
復合函數單調性可簡記為“同增異減”，即內外函數的單性相同時遞增；單性相異時遞減．
【變式 2-1
π
】（2024·高三·甘肅·開學考試）函數 f x = 2 cos - 3x ÷ 的單調遞減區間是（ ）
è 4
é π 2kπ , π 2kπ ù k Z é π 2kπ 5π 2kπA． ê- + + ú B． ê + , +
ù
ú k Z 4 3 12 3 12 3 12 3
é π 2kπ
C． ê- + ,
π 2kπ ù é π 2kπ π 2kπ+ ùú k Z D． ê + , + ú k Z 12 3 12 3 12 3 4 3
1
【變式 2-2】函數 f x = 2 的單調遞減區間是（ ）x -8x +15
A． - ,3 B． 3,4 C． 5,+ D． 4, +
題型三：分段函數的單調性
ì-x2 + 2ax, x 1
【典例 3-1】（2024·陜西商洛·一模）已知函數 f (x) = í 是定義在R 上的增函數，則 a的
(3 - a)x + 2, x >1
取值范圍是（ ）
A． 1,3 B． 1,2 C． 2,3 D． 0,3
ì(a - 2)x + 4a - 6, x 1 f (x1) - f (x2 )
【典例 3-2】已知函數 f x = ía x 2, x 1 滿足對于任意的x1， x2 (x+ > 1 x2 ) 都有
> 0
x1 - x
成
2
立，則實數 a的取值范圍是（ ）
1, 3ù 5 ù é3 5 ùA． ú B． 2,è 2 è 2ú
C．
ê
, 2÷ D．2
1,
è 2 ú
【方法技巧】
ìs(x), x m
函數 f (x) = í ，在R 上為增函數，則：
t(x), x > m
① s(x)在 (- ,m]上單調遞增；② t(x) 在 (m,+ ) 上單調遞增；③ s(m) t(m)．
ìs(x), x m
函數 f (x) = í ，在R 上為減函數，則：
t(x), x > m
① s(x)在 (- ,m]上單調遞減；② t(x) 在 (m,+ ) 上單調遞減；③ s(m) t(m)．
ì ax +1- a,0 x 1 f x - f x
【變式 3-1】已知函數 f x = í 2 ，若"x1, x 0, 2 , x x
2 1
2 1 2 ，都有 > 0x -ax 成立， 2 ,1 < x 2 x2 - x1
則 a的取值范圍為（ ）
A． 0,2 B． - ,1 C． 0,1 D． 0, +
ì 2a - 3 x + 2, x 1

【變式 3-2】已知函數 f x = ía 是 R 上的減函數，則 a的取值范圍是（ ）
, x >1 x
0 a 3 1 a 3A． < < B． <
2 2
C．0
3 3
< a D．1< a <
2 2
題型四：利用函數單調性求函數最值
π
【典例 4-1】（2024 é ù·全國·模擬預測）設 x ê0, 2 ú ，則函數 y = sin x + cos x 的最大值為 ．
【典例 4-2】若函數 f x = x2 - 2x + x - a a > 0 在 0,2 上的最小值為 1，則正實數 a的值為 .
【方法技巧】
利用函數單調性求函數最值時應先判斷函數的單調性，再求最值．常用到下面的結論：
1、如果函數 y = f ( x) 在區間 (a，b]上是增函數，在區間[b，c)上是減函數，則函數 y = f (x)(x a ，c)
在 x=b處有最大值 f (b) ．
2、如果函數 y = f ( x) 在區間 (a，b]上是減函數，在區間[b，c) 上是增函數，則函數 y = f (x)(x a ，c)
在 x=b處有最小值 f (b) ．
3、若函數 y = f ( x) 在[a，b]上是嚴格單調函數，則函數 y = f ( x) 在[a，b]上一定有最大、最小值．
4、若函數 y = f ( x) 在區間[a，b]上是單調遞增，則 y = f ( x) 的最大值是 f (b) ，最小值是 f (a)．
5、若函數 y = f ( x) 在區間[a，b]上是單調遞減，則 y = f ( x) 的最大值是 f (a)，最小值是 f (b) ．
2 é3 ù
【變式 4-1】（2024 y 2x - 3x + 5·上海嘉定·一模）函數 = 在 x ê ,3ú 上的最大值和最小值的乘積為 x -1 2
【變式 4-2】若函數 y = x2 - mx + 2 在 0,1 的最大值為 2，則 m 的取值范圍是 .
題型五：利用函數單調性求參數的范圍
【典例 5-1】（2024·全國·模擬預測）若函數 f (x) = 4 | x - a | +3在區間[1, + ) 上不單調，則 a 的取值范圍
是（ ）
A．[1, + ) B． (1, + )
C． (- ,1) D． (- ,1]
1
【典例 5-2】（2024·廣東佛山·二模）已知 0 < a < 1且 a ，若函數 f (x) = 2loga x - log2a x 在 (0, + )上單2
調遞減，則實數 a 的取值范圍為（ ）
(1 , 1) 1 1 1A． B． (0, ) C． ( , ) U (
1 ,1) D． (0,
1) U (1 ,1)
4 2 4 4 2 2 4 2
【方法技巧】
若已知函數的單調性，求參數 a 的取值范圍問題，可利用函數單調性，先列出關于參數 a 的不等式，
利用下面的結論求解．
1、若 a > f ( x) 在[m，n]上恒成立 a > f (x)在[m，n]上的最大值．
2、若 a < f ( x) 在[m，n]上恒成立 a < f (x) 在[m，n]上的最小值．
1 1
【變式 5-1 3 2】若 f x = - x + x + 2x +1是區間 m -1, m + 4 上的單調函數，則實數m 的取值范圍是（ ）
3 2
A．m -5 B．m 3
C．m -5或m 3 D．-5 m 3
【變式 5-2】（2024·全國·模擬預測）函數 f x = loga x x - a -1 在 1,2 上單調遞增，則實數 a 的取值范
圍是（ ）
A． 2, + B． 0,1 2,+ C． 4,+ D． 0,1 4,+
【變式 5-3 3 2】（2024·全國·模擬預測）已知函數 f (x) = loga x - ax + x - 2a (a > 0且 a 1)在區間 (1, + )
上單調遞減，則 a的取值范圍是（ ）

A． 0,
2ù é2
ú B． ê ,1

÷ C． (1, 2] D．[2,+ )
è 3 3
2
【變式 5-4】若函數 f x = log 1 -x + 6x - 5 在區間 3m - 2, m + 2 內單調遞增，則實數 m 的取值范圍為
2
（ ）
é5 , é5 ,3ù é5 ,2ù é5A． ê +

3 ÷
B． C．
ê 3 ú ê3 ú
D． ê , 23 ÷
題型六：利用函數的單調性比較函數值大小
【典例 6-1】（2024·寧夏銀川·一模）若 f (x) = ln x2 1+1 - ，設 a = f (-3),b = f (ln 2),c = f| x | 2
0.3 ，則 a，
b，c 的大小關系為（ ）
A． c > a > b B．b > c > a C． a > b > c D． a > c > b
【典例 6-2】（2024·寧夏石嘴山·三模）若定義在R 上的偶函數 f x 在 0, + 上單調遞增，則
f ln 3 ÷ , f
1- , f e
-2
的大小關系為（
2 3 ÷ ）è è
f ln 3 1 -2 3 -2 1 A． 2 ÷
> f - ÷ > f e B． f ln ÷ > f e > f -3 2 3 ÷è è è è
f 1 3- > f ln > f e-2 f 1- > f e-2 f ln 3> C． 3 ÷ D．2 ÷ 3 ÷ 2 ÷è è è è
【方法技巧】
1、比較函數值大小，應將自變量轉化到同一個單調區間內，然后利用函數單調性解決.
1
【變式 6-1】（2024·高三·河北滄州·期中）已知函數 f x = x ，記e + e- x

a = f -log5 2 ,b
3 1
= f 3 ÷÷
,c = f - 2 ÷
，則（ ）
è è
A． c > b > a B． c > a > b
C． a > c > b D．b > a > c
1
【變式 6-2】函數 f x 1= x3 + 2x - cos x, a = f lg3 ,b = f ln ,c = f2 ÷ 2
3 ÷ ，則 a,b,c的大小關系為（ ）
è è
A． a > b > c B．b > c > a
C．b > a > c D． c > a > b
【變式 6-3】（2024·四川·模擬預測）若定義在R 上的偶函數 f x 在 0, + 上單調遞增，則
f ln 2 1 -2 3 ÷
, f ÷ , f e 的大小關系為（3 ）è è
f ln 2 f 1 -2 2A -2
1
． ÷ > ÷ > f e B． f ln ÷ > f e > f ÷
è 3 è 3 è 3 è 3
f 1 f ln 2 1 2C． ÷ > ÷ > f e-2 D f > f e-2． ÷ > f 3 3 3 ln 3 ÷è è è è
題型七：函數的奇偶性的判斷與證明
【典例 7-1】設函數 f x , g x 的定義域為R ，且 f x 是奇函數， g x 是偶函數，則下列結論中正確的
是（ ）
A． f x g x 是偶函數 B． f x g x 是奇函數
C． f x g x 是奇函數 D． f x g x 是奇函數
2
【典例 7-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數 f (x) = 4log4 x + a - x - 3的圖象經過點M (-1,1)，則函
數 y = f (x) 的奇偶性為（ ）
A．奇函數 B．偶函數 C．非奇非偶函數 D．既是奇函數又是偶函數
【方法技巧】
函數單調性與奇偶性結合時，注意函數單調性和奇偶性的定義，以及奇偶函數圖像的對稱性.
x - x
【變式 7-1 2 + 2 2】（多選題）（2024·重慶·模擬預測）函數 f x = ， g x = ln 1+ 9x - 3x ，那么3
（ ）
A． f x + g x 是偶函數 B． f x gg x 是奇函數
g x
C． g f x f x 是奇函數 D． 是奇函數
【變式 7-2】利用圖象判斷下列函數的奇偶性：
ì-x2 + 2x +1, x > 0
(1) f (x) = í x2 + 2x -1, x < 0
ì x2 + x, x < 0,
(2) f (x) = í 2
x - x，x > 0
1
(3) y = ( ) x ；
2
(4) y = log2(x +1) ；
(5) y = x2 - 2 x -1.
題型八：已知函數的奇偶性求參數
ì2x2 -1, x > 0
【典例 8-1】已知函數 f (x) = log2 x + a - x 是奇函數，則a = ，若 g(x) = í 則
f (x), x 0
g g -1 = .
x
【典例 8-2 9 - a x】已知函數 f x = x 的圖象關于原點對稱， g x = lg 10 +1 + bx是偶函數，則 a + b = .3
【方法技巧】
利用函數的奇偶性的定義轉化為 f (- x ) = ± f ( x ) ，建立方程，使問題得到解決，但是在解決選擇題、
填空題時還顯得比較麻煩，為了使解題更快，可采用特殊值法求解.
8-1 2024 g x k - 2
x
【變式 】（ ·高三·湖北武漢·期末）函數 = x k < 0 為奇函數，則實數 k 的取值1+ k ×2
為 .
【變式 8-2】已知函數 f x = log x3 9 + m - x 的圖象關于 y 軸對稱，則m = ．
2
【變式 8-3】已知函數 f (x) = x 定義域為R ， g(x) = x( f (x) + a) ，若 g(x)為偶函數，則實數 a的值2 +1
為 ．
題型九：已知函數的奇偶性求表達式、求值
2
【典例 9-1】已知函數 f x ， g x 分別是定義在R 上的偶函數和奇函數，且 f x + g x = x - x +1，則
g 3 的值是 .
ìx2 - 3- x , x < 0,
【典例 9-2】（2024·廣東湛江·二模）已知奇函數 f x = í g x = 則 g x +1, x > 0,
．
【方法技巧】
抓住奇偶性討論函數在各個分區間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關于 f ( x ) 的方程，從而可得
f ( x ) 的解析式.
x
【變式 9-1】若定義在 R 上的偶函數 f x 和奇函數 g x 滿足 f x + g x = e ，則 g x 的解析式為
g x = .
【變式 9-2】已知函數 f x 對一切實數 x 都滿足 f x + f -x = 0 2，且當 x < 0 時， f x = 2x - x +1，則
f x = ．
題型十：奇函數的中值模型
6
【典例 10-1】函數 f (x) = x + lg x2 +1 + x 在區間[-m,m]內的最大值為 M，最小值為 N，其中m > 0，e +1
則M + N = ．
【典例 10-2】對于函數 f (x) = ax3 + bx x + c （其中 a,b R,c Z ），選取 a,b,c的一組值計算 f (2), f (-2)，
所得出的正確結果一定不可能是（ ）
A．4 和 6 B．3 和 1 C．2 和 4 D．1 和 2
【方法技巧】
已知 f (x) =奇函數 +M ， x [-a , a ]，則
（1） f (-x) + f (x) = 2M
（2） f (x)max + f (x)min = 2M
1 1
【變式 10-1】（2024·廣西·一模） f x 是定義在 R 上的函數， f x + ÷ + 為奇函數，則
è 2 2
f 2023 + f -2022 =（ ）
1
A．－1 B 1．- C．
2 2
D．1
【變式 10-2】設函數 f (x) = ax3 + bsin x + c ln x + x2 +1 + 3的最大值為 5，則 f (x) 的最小值為（ ）
A．-5 B．1 C．2 D．3
【變式 10-3 7 3 2】已知函數 f x = ax + bx + x + cx - 2023，且 f 10 = 6，則 f -10 = ．
2
【變式 10-4】設 f x = x + a 為奇函數，若 g x = f x + sinx + a在 x -m,m (m > 0)的最大值為 3，則e +1
g x 在 x -m,m (m > 0)的最小值為 .
【變式 10-5】（2024·高三·安徽·期中）函數 f x = x2 - 6x sin x - 3 + x + a x 0,6 的最大值為 M ，
最小值為m ，若M + m = 8，則a = ．
【變式 10-6】（2024·高三·河南周口·開學考試）已知定義在R 上的函數 f x 滿足
2
"x, y R, f x + y = f x + f y - 2024 g x x 2024 - x，若函數 = + f x 的最大值和最小值分別為M ,m，
2024 + x2
則M + m = ．
ax2 + a + ln
【變式 10-7】函數 x2 +1 + x f x 4= + ，若 f x 最大值為M ，最小值為 N ， a 1,3 ，則
x2 +1 a
M + N 的取值范圍是 .
題型十一：利用單調性與奇偶性求解函數不等式
【典例 11-1】已知函數 f (x) 是定義在 R 上的偶函數，且在區間[0, + ) 上單調遞增. 若實數 a滿足
f (log2 a) + f (log1 a) 2 f (1)， 則 a的最小值是（ ）
2
3
A B 1． ．1 C． 2 D．22
【典例 11-2】（2024·安徽安慶·三模）已知函數 f x = ax x 的圖象經過點 2,8 ，則關于 x 的不等式
9 f x + f 4 - x2 < 0的解集為（ ）
A． - , -4 U 1,+ B． -4,1
C． - , -1 4, + D． -1,4
【方法技巧】
求解函數不等式時，由條件去掉“ f ”，從而轉化為自變量的大小關系，記得考慮函數的定義域．
【變式 11-1】（2024 x - x·湖南永州·三模）已知函數 f x = e - e + sinx - x + 2，其中 e是自然對數的底數.若

f log 1t ÷ + f 3 > 4，則實數 t的取值范圍是（ ）
è 2
1 1
A． 0, ÷ B． ,+

÷ C． 0,8 D． 8,+ è 8 è 8
11-2 f x = sin x + ex【變式 】設函數 - e- x + 2，則滿足 f (x) + f (3- 2x) < 4的 x 的取值范圍是（ ）
A． (3, + ) B． (1, + ) C． ( - ,3) D． ( - ,1)
11-3 f x = ex-2 2-x【變式 】已知函數 - e + x，則不等式 f 3- x + f 6 - 2x 4的解集是
ì x3 , x 0
【變式 11-4】（2024·天津河北·二模）已知函數 f x = í 3 ，若 f 3a -1 8 f a ，則實數 a的取
-x , x < 0
值范圍是 .
題型十二：函數對稱性的應用
12-1 g x = x3 2【典例 】已知函數 - 9x + 29x - 30， g m = -12， g n =18，則m + n = ．
【典例 12-2】（2024·河南·模擬預測）已知函數 f x 的定義域為 R，若 g x =1- f 2x -1 為奇函數，且
直線 2m +1 x + 1- m × y + 3m = 0與 f x 的圖象恰有 5 個公共點 x1, y1 ， x2, y 2 ， x3 , y3 ， x4 , y4 ，
5
x5 , y5 ，則 xi - yi = .
i=1
【方法技巧】
(1)若 f (x) = f (2a - x)，則函數 f (x) 關于 x = a 對稱．
(2)若 f (x)＋f (2a - x) = 2b，則函數 f (x) 關于點 (a，b) 對稱．
【變式 12-1 3 2】已知所有的三次函數 f x = ax + bx + cx + d a 0 b f b - - 的圖象都有對稱中心 ，3a 3a ÷÷，è è
若函數 f x = -x3 3x2 f 1 2 3 4045+ ，則 + f
+ f +L+ f = .
è 2023 ÷ è 2023 ÷ ÷ è 2023 è 2023 ÷
【變式 12-2】若函數 y = f (x -1)的圖象與函數 y = ln x +1的圖象關于直線 y = x 對稱，則 f (x) = ．
f (x) 3x + 2017【變式 12-3】已知 = ，函數 g(x)對任意 x R 有 g(2018 - 2x) = 3- g(2x - 2013) 成立，
2x - 5
m
y = f (x) 與 y = g(x) 的圖象有m 個交點為 (x1, y1) ， (x2 , y2 ) …， (xm , ym )，則 (xi + yi ) =（ ）
i=1
A． 2013m B． 2015m C． 2017m D． 4m
【變式 12-4】已知函數 f x x R 滿足： f x +1 是偶函數，若函數 y = x2 - 2x - 3 與函數 y = f x 圖象
的交點為 x1, y1 ， x2, y 2 ，L， xm , ym ，則橫坐標之和 x1 + x2 +L+ xm =（ ）
A．0 B．m C． 2m D． 4m
【變式 12-5】（多選題）（2024·高三·黑龍江雞西·開學考試）對于定義在R 上的函數 f x ，下述結論
正確的是（ ）
A．若 f x +1 = f x -1 ，則 f x 的圖象關于直線 x =1對稱
B．若 f x 是奇函數，則 f x -1 的圖象關于點 A(1,0)對稱
C．函數 y = f 1+ x 與函數 y = f 1- x 的圖象關于直線 x =1對稱
D．若函數 f x -1 的圖象關于直線 x =1對稱，則 f x 為偶函數
題型十三：函數周期性的應用
【典例 13-1】（2024·陜西渭南·模擬預測）已知定義在 R 上的函數 f x 滿足 f x + 3 = - f x ，
g x = f x -1為奇函數，則 f 198 = （ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
【典例 13-2】（ 2024·山東青島·一模） "x R ， f (x) + f (x + 3) =1- f (x) f (x + 3)， f (-1) = 0，則
f (2024)的值為（ ）
A．2 B．1 C．0 D．－1
【方法技巧】
(1)求解與函數的周期有關的問題，應根據周期定義，從而求出函數的周期．
(2)利用函數的周期性，可以解決區間上的求值、求零點個數、求解析式等問題．
1+ f x
【變式 13-1】已知函數 f x 滿足 f x + 2 =
x R ， f 2 1=1 f x ，則 f 2004 等于 - 2
【變式 13-2】（2024·廣東廣州·二模）已知函數 f x 的定義域為 R，且
f 1+ x + f 1- x = f x , f 0 = 2，則 f 20 + f 24 = （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式 13-3】（2024·陜西西安·二模）已知定義域為R 的函數 f (x) 滿足 f (x + 2) = - f (x) ，且當 0 < x < 2時，
f (x) = 3x - ln x，則 f (211) = .
題型十四：對稱性與周期性的綜合應用
【典例 14-1】（多選題）（2024·江西贛州·二模）函數 f x 及其導函數 g x 的定義域均為 R， f x +1
和 g 2x -1 都是奇函數，則（ ）
A． g x 的圖象關于直線 x=- 1對稱 B． f x 的圖象關于點 1,0 對稱
2024
C． g x 是周期函數 D． g i = 2024
i=1
【典例 14-2】（2024·高三·遼寧營口·期末）設函數 f x 的定義域為 R， f x +1 - 3為奇函數，
f x + 2 為偶函數，當 x 1,2 時， f x = ax2 + b．若 f -1 + f 0 1 f 2023 = ，則 = （ ）
è 2
÷

37 11 5
A．- B． C． D
2
．
12 12 6 3
【方法技巧】
（1）若函數 y = f (x) 有兩條對稱軸 x = a ， x = b(a < b)，則函數 f (x) 是周期函數，且T = 2(b - a) ；
（2）若函數 y = f (x) 的圖象有兩個對稱中心 (a, c), (b, c)(a < b) ，則函數 y = f (x) 是周期函數，且
T = 2(b - a) ；
（3）若函數 y = f (x) 有一條對稱軸 x = a 和一個對稱中心 (b,0)(a < b)，則函數 y = f (x) 是周期函數，
且T = 4(b - a) .
【變式 14-1】（多選題）定義在R 上的函數 f x 與 g x 的導函數分別為 f x 和 g x ，若
g x - f 3- x = 2 ， f x = g x -1 ，且 g -x + 2 = -g x + 2 ，則下列說法中一定正確的是（ ）
A． g x + 2 為偶函數 B． f x + 2 為奇函數
2024
C．函數 f x 是周期函數 D． g(k) = 0
k =1
【變式 14-2】（多選題）（2024·湖北·模擬預測）設定義在R 上的函數 f x 與 g x 的導函數分別為
f x 和 g x .若 f x + 4 = g -x + 2， g x + 2 = f x ，且 f x + 2 為奇函數，則下列說法正確的是
（ ）
A．函數 f x 的圖象關于直線 x =1對稱 B． g 2023 + g 2025 = -2
2023 2023
C． f k = 0 D． g k = 0
k =1 k =1
【變式 14-3】（多選題）（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x ， g x 的定義域均為R ，其導函數分別
為 f x ， g x ．若 f 3- x + 2 = g x ， f x = g x +1 ，且 g 2 - x + g x = 0，則（ ）
A．函數 g x + 2 為偶函數 B．函數 f x 的圖像關于點 2,2 對稱
2024 2024
C． g n = 0 D． f n = -4048
i=1 i=1
【變式 14-4】（多選題）（2024·福建寧德·三模）若定義在R 上的函數 f (x) 滿足
f (xy) = f (x) f (y) + f (x) + f (y)，且值域為[-1, + ) ，則以下結論正確的是（ ）
A． f (0) = -1 B． f (-1) = 0
C． f (x) 為偶函數 D． f (x) 的圖象關于 (1,0)中心對稱
題型十五：類周期與倍增函數
【典例 15-1】已知函數 f x 的定義域為 R ,且滿足 f x +1 = -2 f x ,當 x 0,1 時, f x = x 1- x .則函數
在 y = 4 f x - 3區間 0,5 上的零點個數為（ ）
A． 2 B．3 C． 4 D．5
【典例 15-2】設函數 f x 的定義域為 R ，滿足3 f x = f x +1 ，且當 x 0,1 時， f x = x2 - x,若對任
意 x - ,a ，都有 f x 54 - ，則實數 a的取值范圍是（ ）
25
12- , ù 13ùA． ú B．5
- , ú C． - , 2 D． - ,3 è è 5
【方法技巧】
1、類周期函數
若 y = f ( x) 滿足： f (x + m) = kf (x)或 f (x) = kf (x - m) ，則 y = f ( x) 橫坐標每增加 m 個單位，則函數值
擴大 k倍．此函數稱為周期為 m 的類周期函數．
2、倍增函數
x
若函數 y = f ( x) 滿足 f (mx) = kf (x) 或 f (x) = kf ( )，則 y = f ( x) 橫坐標每擴大 m 倍，則函數值擴大 k
m
倍．此函數稱為倍增函數．
【變式 15-1】設函數 y = f (x) 的定義域為 R，滿足 f (x +1) = 2f (x)，且當 x (0,1]時， f (x) = x(x -1) .若對
任意 x (- ,m] 3，都有 f (x) > - ，則 m 的取值范圍是 .
4
【變式 15-2】（2024·上海·二模）已知函數 f x 是定義在 1, + 上的函數，且
ì1- 2x - 3 ,1 x < 2
f x = í ，則函數 y = 2xf x - 30.5 f 0.5x , x 2 在區間 1,2016 上的零點個數為 .
題型十六：抽象函數的單調性、奇偶性、周期性、對稱性
【典例 16-1】已知定義在 0, + 上的函數 f x 對任意正數 x, y 都有 f xy = f x + f y ，當 x >1時，
f x > 0，
(1)求 f 1 的值；
(2)證明：用定義證明函數 f x 在 0, + 上是增函數；
【典例 16-2】（2024·山西臨汾·三模）已知函數 f x 的定義域為R ，且 f x + y + f x - y = f x f y ，
f 1 =1，則 f 2024 = ．
【方法技巧】
抽象函數的模特函數通常如下：
(1)若 f (x + y) = f (x) + f ( y) ，則 f (x) = xf (1) (正比例函數)
(2)若 f (x + y) = f (x) f ( y) ，則 f ( x ) = [ f (1)] x (指數函數)
(3)若 f (xy) = f (x) + f (y)，則 f (x) = log b x (對數函數)
(4)若 f (xy) = f (x) f (y) ，則 f ( x ) = x a (冪函數)
(5)若 f (x + y) = f (x) + f (y) + m ，則 f (x) = xf (1) - m (一次函數)
【變式 16-1】（多選題）（2024·遼寧·二模）已知定義城為 R 的函數 f x ．滿足
f x + y = f x f y - f 1- x f 1- y ，且 f 0 0 ， f -1 = 0，則（ ）
A． f 1 = 0 B． f x 是偶函數
2024
2 2C． é f x ù + é f 1+ x ù = 1 D． f i = -1
i
x + y
【變式 16-2】（多選題）（2024·廣西賀州·一模）已知函數 f (x) 的定義域為 (-1,1), f (x) + f (y) = f ÷，
è1+ xy
且當 x (0,1) 時， f (x) > 0 ，則下列說法正確的是（ ）
A． f x 是奇函數
B． f x 為增函數
C．若實數 a 滿足不等式 f (2a) + f (a -1)
1
> 0 , + ，則 a 的取值范圍為 ÷
è 3
1 1 1
D． f ÷ - f ÷ > f ÷
è 2 è 3 è 6
【變式 16-3】定義在 R 上的連續函數 f (x)、g(x)滿足對任意 x、y R ， f (x + y) = f (x)g(y) + f (y) × g(x)，
g(x + y) = f (x) f (y) + g(x)g(y), g(2x) = 2[g(x)]2 -1.
(1)證明： g(x) > f (x) ；
(2)請判斷 f (x)、g(x)的奇偶性；
(3)若對于任意 x R ，不等式 g(2x) mg(x) - 6恒成立，求出 m 的最大值.
【變式 16-4】（2024·河南南陽·模擬預測）定義在正實數集上的函數 f x 滿足下列條件：
①存在常數 a 0 < a <1 ，使得 f (a) =1；②對任意實數m ，當 x > 0時，恒有 f (xm ) = mf (x)．
(1)求證：對于任意正實數 x 、 y ， f (xy) = f (x) + f (y) ；
(2)證明： f (x) 在 (0, + )上是單調減函數；
(3) 2若不等式 f loga 4 - x + 2 - f log (4 - x)8a 3恒成立，求實數 a的取值范圍．
ì-x2 - 2ax - a, x < 0
1．（2024 年新課標全國Ⅰ卷數學真題）已知函數為 f (x) = í x ，在 R 上單調遞增，則 a 取
e + ln(x +1), x 0
值的范圍是（ ）
A． (- ,0] B．[-1,0] C．[-1,1] D．[0, + )
2．（多選題）（2022 年新高考全國 I 卷數學真題）已知函數 f (x) 及其導函數 f (x) 的定義域均為R ，記
g(x) f (x) f 3= - 2x ，若 ÷， g(2 + x) 均為偶函數，則（ ）
è 2
f (0) = 0 g 1 A． B． - ÷ = 0 C． f (-1) = f (4) D． g(-1) = g(2)
è 2
3．（2024 年上海夏季高考數學真題）已知函數 f (x) 的定義域為 R，定義集合
M = x0 x0 R , x - , x0 , f x < f x0 ，在使得M = -1,1 的所有 f x 中，下列成立的是（ ）
A．存在 f x 是偶函數 B．存在 f x 在 x = 2處取最大值
C．存在 f x 是嚴格增函數 D．存在 f x 在 x=- 1處取到極小值
4．（多選題）（2023 2 2年新課標全國Ⅰ卷數學真題）已知函數 f x 的定義域為R ， f xy = y f x + x f y ，
則（ ）．
A． f 0 = 0 B． f 1 = 0
C． f x 是偶函數 D． x = 0為 f x 的極小值點
1．已知函數 f x = x2 - 2x， g(x) = x2 - 2x x 2,4 .
（1）求 f x 、 g x 的單調區間；
（2）求 f x 、 g x 的最小值.
9
2．（1）根據函數單調性的定義證明函數 y = x + 在區間[3, + )上單調遞增.
x
（2）討論函數 y = x
9
+ 在區間 (0, + )上的單調性.
x
k
（3）討論函數 y = x + (k > 0) 在區間 (0, + )上的單調性.
x
3．設函數 y = f (x) 的定義域為 I，區間D I ，記Dx = x1 - x2 ,Dy = f x1 - f x2 .證明：
（1）函數 y = f (x)
Dy
在區間 D 上單調遞增的充要條件是："x1，x2 D, x1 x2 ，都有 > 0 ；Dx
（2）函數 y = f (x)
Dy
在區間 D 上單調遞減的充要條件是："x1，x2 D, x1 x2 ，都有 < 0 .Dx
4．已知函數 f x 是定義在 R 上的奇函數，當 x 0 時， f x = x 1+ x ，畫出函數 f x 的圖像，并求出
f x 的解析式．
5．我們知道，函數 y = f (x) 的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數 y = f (x) 為奇函數，有
同學發現可以將其推廣為：函數 y = f (x) 的圖象關于點P(a,b) 成中心對稱圖形的充要條件是函數
y = f (x + a) - b為奇函數.
（1）求函數 f (x) = x3 - 3x2圖象的對稱中心；
（2）類比上述推廣結論，寫出“函數 y = f (x) 的圖象關于 y 軸成軸對稱圖形的充要條件是函數 y = f (x) 為
偶函數”的一個推廣結論.
易錯點：判斷函數的奇偶性忽視定義域
易錯分析： 函數具有奇偶性的必要條件是定義域一定要關于原點對稱。如果定義域不關于原點對稱，
一定是非奇非偶函數.
答題模板：判斷函數的奇偶性
1、模板解決思路
奇、偶函數定義域的特點：因為 f (x) 和 f (-x) 需同時有意義，所以奇、偶函數的定義域一定關于原
點對稱．這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，因此要先考慮定義域．
2、模板解決步驟
第一步：求函數的定義域；
第二步：判斷其定義域是否關于原點對稱；
第三步：若是，則驗證 f (x) 與 f (-x) 的關系；若不是，則非奇非偶函數；
第四步：得出結論．
1 f x 4 - x
2
【易錯題 】函數 = 是 函數（填“奇”、“偶”、“既奇又偶”或“非奇非偶”）.
-x
【易錯題 2】下列函數中，是偶函數的有 （填序號）.
（1） f x = x3 ；（2） f x = x +1；（3） f x 1=
x2
；
（4） f x = x 1+ 5 f x = x2；（ ） ， x -1,2 ；（6） f x = x2 -1 .x
x + 3 - 3
【易錯題 3】函數 y = 的奇偶性為 .
4 - x2

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