資源簡介

第 02 講 常用邏輯用語
目錄
01 考情透視·目標導航 ........................................................................................................................2
02 知識導圖·思維引航 ........................................................................................................................3
03 考點突破·題型探究 ........................................................................................................................4
知識點 1：充分條件、必要條件、充要條件 ............................................................................................................4
知識點 2：全稱量詞與存在量詞 ................................................................................................................................4
知識點 3：含有一個量詞的命題的否定 ....................................................................................................................5
解題方法總結 ...............................................................................................................................................................5
題型一：充分條件與必要條件的判斷 .......................................................................................................................6
題型二：根據充分必要條件求參數的取值范圍 .......................................................................................................6
題型三：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假 .......................................................................................................7
題型四：根據命題的真假求參數的取值范圍 ...........................................................................................................8
題型五：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定 .......................................................................................................8
04 真題練習·命題洞見 .........................................................................................................................9
05 課本典例·高考素材 .......................................................................................................................10
06 易錯分析·答題模板 .......................................................................................................................11
易錯點：混淆充分條件與必要條件 .........................................................................................................................11
答題模板：充分條件與必要條件的判斷 .................................................................................................................11
考點要求 考題統計 考情分析
從近幾年高考命題來看，常用邏輯用語
沒有單獨命題考查，偶爾以已知條件的形式
2024年新高考 II卷第 2題，5分
（1）必要條件、充分條件、 出現在其他考點的題目中．重點關注如下兩
2023年新高考 I卷第 7題，5分
充要條件； 點：
2023年天津卷第 2題，5分
（2）全稱量詞與存在量詞； （1）集合與充分必要條件相結合問題的
2023年全國甲卷第 7題，5分
（3）全稱量詞命題與存在量 解題方法；
2022年天津卷第 2題，5分
詞命題的否定． （2）全稱命題與存在命題的否定和以全
2021年全國甲卷第 7題，5分
稱命題與存在命題為條件，求參數的范圍問
題．
復習目標：
1、理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；
2、理解判定定理與充分條件的關系、性質定理與必要條件的關系；
3、理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確對兩種命題進行否定．
知識點 1：充分條件、必要條件、充要條件
1、定義
如果命題“若 p ，則 q ”為真（記作 p q ），則 p 是 q的充分條件；同時 q是 p 的必要條件．
2、從邏輯推理關系上看
（1）若 p q 且 q p ，則 p 是 q的充分不必要條件；
（2）若 p q 且 q p ，則 p 是 q的必要不充分條件；
（3）若 p q 且 q p ，則 p 是 q的的充要條件（也說 p 和 q等價）；
（4）若 p q 且 q p ，則 p 不是 q的充分條件，也不是 q的必要條件．
對充分和必要條件的理解和判斷，要搞清楚其定義的實質： p q ，則 p 是 q的充分條件，同時 q是
p 的必要條件．所謂“充分”是指只要 p 成立， q就成立；所謂“必要”是指要使得 p 成立，必須要 q成立
（即如果 q不成立，則 p 肯定不成立）．
【診斷自測】（2024·北京西城·二模）已知 a R , b R ．則“ ab >1”是“ a2 + b2 > 2 ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
知識點 2：全稱量詞與存在量詞
（1）全稱量詞與全稱量詞命題．短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號
“ " ”表示．含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題．全稱量詞命題“對 M 中的任意一個 x ，有 p(x)成立”可
用符號簡記為“ "x M , p(x) ”，讀作“對任意 x 屬于 M ，有 p(x)成立”．
（2）存在量詞與存在量詞命題．短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符
號“ $ ”表示．含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題．存在量詞命題“存在 M 中的一個 x0 ，使 p(x0 )成立”
可用符號簡記為“ $x0 M , P(x0 ) ”，讀作“存在 M 中元素 x0 ，使 p(x0 )成立”（存在量詞命題也叫存在性命
題）．
【診斷自測】下列命題中的假命題是( )
A．$x R , log2 x < 0 B．$x R , cos x =1
C．"x R , x2 > 0 D．"x R ,2x > 0
知識點 3：含有一個量詞的命題的否定
（1）全稱量詞命題 p : "x M , p(x) 的否定 p 為$x0 M ， p(x0 )．
（2）存在量詞命題 p : $x0 M , p(x0 ) 的否定 p 為"x M , p(x) ．
【診斷自測】（2024·全國·模擬預測）已知命題 p : "x Z, x2 0，則 p 為（ ）
A．$x Z, x2 0 B．$x Z, x2 0
C．$x Z, x2 < 0 D．$x Z, x2 < 0
解題方法總結
1、從集合與集合之間的關系上看
設 A = x | p(x) , B = x | q(x) ．
（1）若 A B ，則 p 是 q的充分條件（ p q ）， q是 p 的必要條件；若 A bB ，則 p 是 q的充分不必
要條件， q是 p 的必要不充分條件，即 p q 且 q p ；
簡記：“小 大”．
（2）若 B A，則 p 是 q的必要條件， q是 p 的充分條件；
（3）若 A = B，則 p 與 q互為充要條件．
2、常見的一些詞語和它的否定詞如下表
原詞語 等于 大于 小于 是 都是 任意 至多 至多
(=) (>) (<) （所有） 有一個 有一個
否定詞語 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 某個 至少有 一個都
( ) ( ) ( ) 兩個 沒有
（1）要判定一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合 M 中的每一個元素 x 證明其成立，要判斷
全稱量詞命題為假命題，只要能舉出集合 M 中的一個 x 0 ，使得其不成立即可．
（2）要判斷一個存在量詞命題為真命題，只要在限定集合 M 中能找到一個 x0 使之成立即可，否則這
個存在量詞命題就是假命題．
題型一：充分條件與必要條件的判斷
【典例 1-1】（2024·浙江寧波·二模）已知平面a , b ,g ,a b = l ，則“ l ^ g ”是“a ^ g 且 b ^ g ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【典例 1-2】（2024·湖南·二模）已知實數a > b > 0，則下列選項可作為 a - b <1的充分條件的是（ ）
1 1 1
A． a - b =1 B． - =b a 2
C． 2a - 2b =1 D． log2a - log2b =1
【方法技巧】
1、要明確推出的含義，是 p 成立 q一定成立才能叫推出而不是有可能成立．
2、充分必要條件在面對集合問題時，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合．
r r r r r r
【變式 1-1】（2024·遼寧沈陽·二模）已知向量 a = 2,4 ,b = 3,-1 ，則“ k = 2 ”是“ a + kb ^ a - kb ”
的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不
必要條件
a b
【變式 1-2】（2024·福建福州·模擬預測）設 a，b R ，則“ ab < 0 ”是“ + = 0a b ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式 1-3】（多選題）已知 p 是 r 的充分而不必要條件，q 是 r 的充分條件，s 是 r 的必要條件，q 是 s 的必
要條件，下列命題正確的是（ ）
A．r 是 q 的充分條件 B．p 是 q 的充分條件
C．r 是 q 的必要而不充分條件 D．r 是 s 的充分而不必要條件
題型二：根據充分必要條件求參數的取值范圍
【典例 2-1】設 x R ， a < b ，若“ a x b ”是“ x2 + x - 2 0 ”的充要條件，則b - a的值為（ ）
A． 0 B．-3 C．3 D． 2
【典例 2-2】給出如下三個條件：①充要②充分不必要③必要不充分.請從中選擇補充到下面橫線上.
已知集合P = x -1 x 5 ， S = x 2 - m x 3 + 2m ，存在實數m 使得“ x P ”是“ x S ”的 條件.
【方法技巧】
1、集合中推出一定是小集合推出大集合，注意包含關系．
2、把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關于參
數的不等式求解.在充分必要條件求解參數取值范圍時，要注意端點能否能取到，容易出錯．
【變式 2-1】已知命題 p :“方程 ax2 + 2x +1 = 0至少有一個負實根”，若 p 為真命題的一個必要不充分條件為
a m +1，則實數m 的取值范圍是 ．
A ìx x + 2 0ü2-2 = < B = x x2 - 2ax + a2【變式 】已知集合 í ， -1 < 0 ，若“ x A ”是“ x B ”的必要非充分
x - 4
條件，則實數 a 的取值范圍是 ．
【變式 2-3】已知命題 p : 4 - x 6, q : x a -1，若 p 是q的充要條件，則a = ．
題型三：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假
【典例 3-1】下列正確命題的個數為（ ）
① "x R ， x2 + 2 > 0 ；② "x N, x4 1；③ $x Z, x3 < 1；④ $x Q, x2 = 3．
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例 3-2】（2024·高三·北京通州·期中）下列命題中的假命題是（ ）
x
1 1A．"x R ， ÷ > 0 B．$x R， x 2è 2 > x
C．"x R ， 2|x| >1 D．$x R， tan x > 1
【方法技巧】
1、全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷既要理解漢字意思，又要使用數學結論．
2、全稱量詞命題和存在量詞命題的真假性判斷相對簡單，注重細節即可．
【變式 3-1】下列命題中，既是存在量詞命題又是真命題的是（ ）
A．$x R,1+ sinx < 0
B．每個等腰三角形都有內切圓
C．"x R, x2 + 2x -1
D．存在一個正整數，它既是偶數又是質數
【變式 3-2】（2024·廣東東莞·三模）已知全集U 和它的兩個非空子集A ， B 的關系如圖所示，則下列命
題正確的是（ ）
A．$x A， x B B．"x A， x B
C．$x B， x A D．"x B ， x A
【變式 3-3】（2024·福建廈門·模擬預測）已知集合 M，N 滿足M N ，則（ ）
A．"x M ， x N B．"x M ， x N
C．$x M ， x N D．$x M ， x N
題型四：根據命題的真假求參數的取值范圍
【典例 4-1】（2024·全國·模擬預測）已知命題“對于"x 0, + ， ex > ax +1”為真命題，寫出符合條件
的 a的一個值： ．
é π π ù
【典例 4-2】（2024·高三·湖北武漢·期末）若命題“"x0 ê , ú ， tan 2x0 + 2 m ”是假命題，則實數m 8 6
的取值范圍是 ．
【方法技巧】
1、在解決求參數的取值范圍問題上，可以先令兩個命題都為真命題，若哪個是假命題，去求真命題
的補集即可．
2、全稱量詞命題和存在量詞命題的求參數問題，要注意端點是否可以取到．
【變式 4-1】若命題“ "x R ， a +1 x2 + x +1 0”是真命題，則實數 a 的取值范圍為 ．
【變式 4-2】（2024·遼寧·三模）若“ $x 0, + ，使 x2 - ax + 4 < 0”是假命題，則實數 a的取值范圍
為 .
2
【變式 4-3】（2024·遼寧·模擬預測）命題 p ：存在m -1,1 ，使得函數 f x = x - 2mx在區間 a,+
內單調，若 p 的否定為真命題，則 a的取值范圍是 .
題型五：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
【典例 5-1】（2024·內蒙古赤峰·一模）命題“ "x R ，$n N * ， n > x2 ”的否定形式是（ ）
A．"x R ，"n N * ， n x2 B．$x R，$n N * ， n < x2
C．$x R，"n N * ， n x2 D．$x R，"n N * ， n < x2
【典例 5-2】（2024·陜西商洛·三模）命題“對任意的 x R, x3 - x2 +1 0 ”的否定是（ ）
A．不存在 x R, x3 - x2 +1 0 B．存在 x R, x3 - x2 +1 0
C．存在 x R, x3 - x2 +1 < 0 D．對任意的 x R, x3 - x2 +1 > 0
【方法技巧】
含量詞命題的否定，一是改寫量詞，二是否定結論.
【變式 5-1】（2024·四川成都·模擬預測）命題$x -1,1 , x + x < 0的否定是（ ）
A．$x -1,1 , x + x 0
B．"x -1,1 , x + x 0
C．"x - ,-1 1,+ , x + x 0
D．"x - ,-1 1,+ , x + x < 0
π
5-2 p : $q 0, cosq sinq【變式 】已知命題 ÷ ， sinq cosq 則（ ）
è 4
π
A． p : $q sinq 0, ÷ ， cosq > sinq4
cosq
，且 p 是真命題
è
B． p : "q
π
sinq 0, ÷， cosq > sinq cosq ，且 p 是假命題
è 4
π
C． p : $q 0, ÷ ， cosq sinq > sinq cosq ，且 p 是假命題
è 4
π
D sinq． p : "q 0, ÷， cosq > sinq cosq ，且 p 是真命題
è 4
【變式 5-3】（2024·貴州遵義·一模）已知命題 p : "x >1， ln x
1 1
> - ，則 p3 為（ ）3 3x
A．"x >1， ln x
1 1 1 1
- 3 B．$x 1， ln x < -3 3x 3 3x3
1 1 1 1
C．$x 1， ln x - 3 D．$x >1， ln x -3 3x 3 3x3
r r
1．（2024 年高考全國甲卷數學（理）真題）已知向量a = x +1, x ,b = x,2 ，則（ ）
r r r r
A．“ x = -3”是“ a ^ b ”的必要條件 B．“ x = -3”是“ a / /b ”的必要條件
r r r r
C．“ x = 0 ”是“ a ^ b ”的充分條件 D．“ x = -1+ 3 ”是“ a / /b ”的充分條件
2．（2024 年新課標全國Ⅱ卷數學真題）已知命題 p："x R ， | x +1|>1；命題 q：$x > 0 ， x3 = x ，則
（ ）
A．p 和 q 都是真命題 B． p 和 q 都是真命題
C．p 和 q 都是真命題 D． p 和 q 都是真命題
3．（2022 年新高考天津數學高考真題）“ x 為整數”是“ 2x +1為整數”的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
4．（2022 年新高考浙江數學高考真題）設 x R ，則“ sin x =1”是“ cos x = 0 ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不
必要條件
1．設集合 A = {x | x滿足條件 p}，B = {x | x滿足條件 q} .
（1）如果 A B ，那么 p 是 q 的什么條件？
（2）如果B A，那么 p 是 q 的什么條件？
（3）如果 A = B ，那么 p 是 q 的什么條件？
試舉例說明.
2．在下列各題中,判斷 p 是 q 的什么條件(請用“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分又
不必要條件”回答):
(1)p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等邊三角形;
(2)在一元二次方程中， p : ax2 + bx + c = 0有實數根， q : b2 - 4ac…0 ;
(3) p : a P Q, q : a P ;
(4) p : a P Q, q : a P ;
(5) p : x > y, q : x2 > y2 .
3．設 a,b,c 分別是VABC 的三條邊,且 a b c .我們知道,如果VABC 為直角三角形,那么 a2 + b2 = c2 (勾股定
理).反過來,如果 a2 + b2 = c2 ,那么VABC 為直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知, VABC 為直角三角形的
充要條件是 a2 + b2 = c2 .請利用邊長 a,b,c 分別給出VABC 為銳角三角形和鈍角三角形的一個充要條件,并證
明.
4．寫出下列命題的否定,并判斷它們的真假：
(1)"a R ，一元二次方程 x2 - ax -1 = 0有實根；
(2)每個正方形都是平行四邊形；
(3) $m N , m2 +1 N ；
(4)存在一個四邊形 ABCD，其內角和不等于360o .
易錯點：混淆充分條件與必要條件
易錯分析： 對于條件 p，q，如果 p q ，則 p 是 q的充分條件， q是 p 的必要條件，如果 p q ，
則 p 是 q的充要條件．解題時最容易出錯的就是混淆充分性與必要性，因此在解決這類問題時，一定要分
清條件和結論，根據充分必要條件的定義，選擇合適的方法作出準確的判斷，常借助反例說明．
答題模板：充分條件與必要條件的判斷
1、模板解決思路
解決充分與必要條件問題時，首先是確定條件和結論，然后通過條件和結論的互推確定它們之間的關
系．
2、模板解決步驟
第一步：確定題中的條件 p 和結論q．
第二步：判斷“ p q ”的真假．
第三步：判斷“ q p ”的真假．
第四步：得出結論．
【易錯題 1】（2024·江西·模擬預測）“ 0 < a < 1，0 < b <1”是“方程ax2 =1-by2表示的曲線為橢圓”的
（ ）
A．充要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
【易錯題 2】（2024·高三·貴州貴陽·階段練習）二次函數 f (x) = ax2 + 2x -1在區間 (- ,1)上單調遞增
的一個充分不必要條件為（ ）
1
A． a >1 B． a < -2 C．- < a < 0 D． 0 < a < 1
2第 02 講 常用邏輯用語
目錄
01 考情透視·目標導航 ........................................................................................................................2
02 知識導圖·思維引航 ........................................................................................................................3
03 考點突破·題型探究 ........................................................................................................................4
知識點 1：充分條件、必要條件、充要條件 ............................................................................................................4
知識點 2：全稱量詞與存在量詞 ................................................................................................................................4
知識點 3：含有一個量詞的命題的否定 ....................................................................................................................5
解題方法總結 ...............................................................................................................................................................5
題型一：充分條件與必要條件的判斷 .......................................................................................................................6
題型二：根據充分必要條件求參數的取值范圍 .......................................................................................................8
題型三：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假 .......................................................................................................9
題型四：根據命題的真假求參數的取值范圍 .........................................................................................................11
題型五：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定 .....................................................................................................13
04 真題練習·命題洞見 .......................................................................................................................15
05 課本典例·高考素材 .......................................................................................................................16
06 易錯分析·答題模板 .......................................................................................................................19
易錯點：混淆充分條件與必要條件 .........................................................................................................................19
答題模板：充分條件與必要條件的判斷 .................................................................................................................19
考點要求 考題統計 考情分析
從近幾年高考命題來看，常用邏輯用語
沒有單獨命題考查，偶爾以已知條件的形式
2024年新高考 II卷第 2題，5分
（1）必要條件、充分條件、 出現在其他考點的題目中．重點關注如下兩
2023年新高考 I卷第 7題，5分
充要條件； 點：
2023年天津卷第 2題，5分
（2）全稱量詞與存在量詞； （1）集合與充分必要條件相結合問題的
2023年全國甲卷第 7題，5分
（3）全稱量詞命題與存在量 解題方法；
2022年天津卷第 2題，5分
詞命題的否定． （2）全稱命題與存在命題的否定和以全
2021年全國甲卷第 7題，5分
稱命題與存在命題為條件，求參數的范圍問
題．
復習目標：
1、理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；
2、理解判定定理與充分條件的關系、性質定理與必要條件的關系；
3、理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確對兩種命題進行否定．
知識點 1：充分條件、必要條件、充要條件
1、定義
如果命題“若 p ，則 q ”為真（記作 p q ），則 p 是 q的充分條件；同時 q是 p 的必要條件．
2、從邏輯推理關系上看
（1）若 p q 且 q p ，則 p 是 q的充分不必要條件；
（2）若 p q 且 q p ，則 p 是 q的必要不充分條件；
（3）若 p q 且 q p ，則 p 是 q的的充要條件（也說 p 和 q等價）；
（4）若 p q 且 q p ，則 p 不是 q的充分條件，也不是 q的必要條件．
對充分和必要條件的理解和判斷，要搞清楚其定義的實質： p q ，則 p 是 q的充分條件，同時 q是
p 的必要條件．所謂“充分”是指只要 p 成立， q就成立；所謂“必要”是指要使得 p 成立，必須要 q成立
（即如果 q不成立，則 p 肯定不成立）．
【診斷自測】（2024·北京西城·二模）已知 a R , b R ．則“ ab >1”是“ a2 + b2 > 2 ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】當 ab >1時，則 a2 + b2 2ab > 2，當且僅當 a = b時取等，所以充分性成立，
取 a = -4,b =1，滿足a2 + b2 > 2，但 ab <1，故必要性不成立，
所以“ ab >1”是“ a2 + b2 > 2 ”的充分不必要條件.
故選：A.
知識點 2：全稱量詞與存在量詞
（1）全稱量詞與全稱量詞命題．短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號
“ " ”表示．含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題．全稱量詞命題“對 M 中的任意一個 x ，有 p(x)成立”可
用符號簡記為“ "x M , p(x) ”，讀作“對任意 x 屬于 M ，有 p(x)成立”．
（2）存在量詞與存在量詞命題．短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符
號“ $ ”表示．含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題．存在量詞命題“存在 M 中的一個 x0 ，使 p(x0 )成立”
可用符號簡記為“ $x0 M , P(x0 ) ”，讀作“存在 M 中元素 x0 ，使 p(x0 )成立”（存在量詞命題也叫存在性命
題）．
【診斷自測】下列命題中的假命題是( )
A．$x R , log2 x < 0 B．$x R , cos x =1
C．"x R , x2 > 0 D．"x R ,2x > 0
【答案】C
1
【解析】因為 log2 = -1,cos 0 =1,0
2 = 0，所以選項 A、B 均為真命題，選項 C 為假命題；
2
因為 y = 2x 在 R 上的值域可知 2x > 0，所以 D 為真命題；
故選：C
知識點 3：含有一個量詞的命題的否定
（1）全稱量詞命題 p : "x M , p(x) 的否定 p 為$x0 M ， p(x0 )．
（2）存在量詞命題 p : $x0 M , p(x0 ) 的否定 p 為"x M , p(x) ．
【診斷自測】（2024·全國·模擬預測）已知命題 p : "x Z, x2 0，則 p 為（ ）
A．$x Z, x2 0 B．$x Z, x2 0
C．$x Z, x2 < 0 D．$x Z, x2 < 0
【答案】C
【解析】由題意，全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，可得：
命題 p : "x Z, x2 0的否定為： p 為$x Z, x2 < 0．
故選：C．
解題方法總結
1、從集合與集合之間的關系上看
設 A = x | p(x) , B = x | q(x) ．
（1）若 A B ，則 p 是 q的充分條件（ p q ）， q是 p 的必要條件；若 A bB ，則 p 是 q的充分不必
要條件， q是 p 的必要不充分條件，即 p q 且 q p ；
簡記：“小 大”．
（2）若 B A，則 p 是 q的必要條件， q是 p 的充分條件；
（3）若 A = B，則 p 與 q互為充要條件．
2、常見的一些詞語和它的否定詞如下表
原詞語 等于 大于 小于 是 都是 任意 至多 至多
(=) (>) (<) （所有） 有一個 有一個
否定詞語 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 某個 至少有 一個都
( ) ( ) ( ) 兩個 沒有
（1）要判定一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合 M 中的每一個元素 x 證明其成立，要判斷
全稱量詞命題為假命題，只要能舉出集合 M 中的一個 x 0 ，使得其不成立即可．
（2）要判斷一個存在量詞命題為真命題，只要在限定集合 M 中能找到一個 x0 使之成立即可，否則這
個存在量詞命題就是假命題．
題型一：充分條件與必要條件的判斷
【典例 1-1】（2024·浙江寧波·二模）已知平面a , b ,g ,a b = l ，則“ l ^ g ”是“a ^ g 且 b ^ g ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】由于a I b = l ，所以 l a , l b ，
若 l ^ g ，則a ^ g ， b ^ g ，故充分性成立，
若a ^ g ， b ^ g ，設a I g = m ， b I g = n ，
則存在直線 a g ,使得 a ^ m，所以 a ^ a ，由于 l a ，故 a ^ l ，
同理存在直線b g ,使得b ^ n，所以b ^ b ，由于 l b ，故b ^ l ，
由于 a,b不平行，所以 a,b是平面g 內兩條相交直線，所以 l ^ g ，故必要性成立，
故選：C
【典例 1-2】（2024·湖南·二模）已知實數a > b > 0，則下列選項可作為 a - b <1的充分條件的是（ ）
1 1 1
A． a - b =1 B． - =b a 2
C． 2a - 2b =1 D． log2a - log2b =1
【答案】C
【解析】取 a = 4，b =1，滿足 a - b =1，但是推不出 a - b <1，故排除 A；
取 a = 2，b =1
1 1 1
，滿足 - = ，但是推不出 a - b <1，故排除 B；
b a 2
取 a = 4，b = 2 ，滿足 log2a - log2b =1，但是推不出 a - b <1，故排除 D；
由 2a - 2b =1，a > b > 0，可推出 2a = 2b +1 < 2b+1，即 a < b +1，即 a - b <1，故充分性成立.
故選：C.
【方法技巧】
1、要明確推出的含義，是 p 成立 q一定成立才能叫推出而不是有可能成立．
2、充分必要條件在面對集合問題時，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合．
r r r r r r
【變式 1-1】（2024·遼寧沈陽·二模）已知向量 a = 2,4 ,b = 3,-1 ，則“ k = 2 ”是“ a + kb ^ a - kb ”
的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不
必要條件
【答案】A
r r r r r r r r
【解析】當 a + kb ^ a - kb 時， a + kb × a - kb = 0 r 2 r2 2，即a - k b = 0，
故 22 + 42 - k 2 é 3
2 + -1 2 ù = 0，解得 k = ± 2 .
r r r r
故“ k = 2 ”是“ a + kb ^ a - kb ”的充分不必要條件.
故選：A
a b
【變式 1-2】（2024·福建福州·模擬預測）設 a，b R ，則“ ab < 0 ”是“ + = 0a b ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
ìa > 0 ìa < 0 a b
【解析】當 ab < 0 時， íb 0 或 íb 0 ，則
+ = 0
a b ，即充分性成立； < >
a b
當 + = 0
b b
a b 時，
= - > 0
a a ，則 ab < 0 ，即必要性成立；
a b
綜上可知，“ ab < 0 ”是“ + = 0a b ”的充要條件.
故選：C.
【變式 1-3】（多選題）已知 p 是 r 的充分而不必要條件，q 是 r 的充分條件，s 是 r 的必要條件，q 是 s 的必
要條件，下列命題正確的是（ ）
A．r 是 q 的充分條件 B．p 是 q 的充分條件
C．r 是 q 的必要而不充分條件 D．r 是 s 的充分而不必要條件
【答案】AB
【解析】由已知得 p r ， q r ， r s， s q，所以 r q且 q r ，故 A 正確，C 不正確； p q ，
B 正確； r s且 s r ，D 不正確．
故選:AB．
題型二：根據充分必要條件求參數的取值范圍
【典例 2-1】設 x R ， a < b ，若“ a x b ”是“ x2 + x - 2 0 ”的充要條件，則b - a的值為（ ）
A． 0 B．-3 C．3 D． 2
【答案】C
【解析】解不等式 x2 + x - 2 0可得-2 x 1，由題意可知 a = -2 ，b =1，因此，b - a = 3 .
故選：C.
【典例 2-2】給出如下三個條件：①充要②充分不必要③必要不充分.請從中選擇補充到下面橫線上.
已知集合P = x -1 x 5 ， S = x 2 - m x 3 + 2m ，存在實數m 使得“ x P ”是“ x S ”的 條件.
【答案】②，③
【解析】①“ x P ”是“ x S ”的充要條件，則 2 - m = -1，3+ 2m = 5，此方程無解，故不存在實數m ，則
不符合題意；
②“ x P ”是“ x S ”的充分不必要條件時， 2 - m -1，3+ 2m 5， 2 - m 3 + 2m ；解得m 3，符合題意；
③“ x P 1”是“ x S ”的必要不充分條件時，當 S = ， 2 - m > 3 + 2m，得m < 3 ；
當 S ，需滿足 2 - m 3 + 2m ， 2 - m -1，3
1
+ 2m 5，解集為- m 1；
3
1 1
綜上所述，實數m 的取值范圍- m < .
3 3
故答案為：②，③.
【方法技巧】
1、集合中推出一定是小集合推出大集合，注意包含關系．
2、把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關于參
數的不等式求解.在充分必要條件求解參數取值范圍時，要注意端點能否能取到，容易出錯．
【變式 2-1】已知命題 p :“方程 ax2 + 2x +1 = 0至少有一個負實根”，若 p 為真命題的一個必要不充分條件為
a m +1，則實數m 的取值范圍是 ．
【答案】m > 0
【解析】若命題 p :“方程 ax2 + 2x +1 = 0至少有一個負實根”為真命題，
a = 0時， 2x +1 = 0, x
1
= - ，符合題意；
2
當 a<0時，D = 4 - 4a > 0，且 x1 + x
2 1
2 = - > 0, x1x2 = < 0，a a
則此時方程 ax2 + 2x +1 = 0有一個正根和一個負根，符合題意；
當 a > 0時，由D = 4 - 4a = 0，解得 a =1，
2
此時方程為 x2 + 2x +1 = x +1 = 0, x = -1符合題意；
由D = 4 - 4a > 0
2 1
解得 0 < a < 1，此時 x1 + x2 = - < 0, x1x2 = > 0，a a
則此時方程 ax2 + 2x +1 = 0有兩個負根，符合題意.
綜上所述， p 為真命題時， a的取值范圍是 - ,1 .
若 p 為真命題的一個必要不充分條件為 a m +1，
則m +1 >1,m > 0 .
故答案為：m > 0
ì
【變式 2-2】已知集合 A = íx
x + 2
< 0ü ，B = x x2 - 2ax + a2 -1 < 0 ，若“ x A ”是“ x B ”的必要非充分
x - 4
條件，則實數 a 的取值范圍是 ．
【答案】 a | -1 a 3
ì x + 2 ü 2 2
【解析】由題意可得 A = íx < 0 = x -2 < x < 4 ，B = x x - 2ax + a -1 < 0 = x | a -1 < x < a +1 ，
x - 4
若“ x A ”是“ x B ”的必要非充分條件，則集合 B 是集合 A 的真子集，
ìa -1 -2
則 ía ，且等號不能同時成立，解得
-1 a 3，
+1 4
所以實數 a 的取值范圍是 a | -1 a 3 .
故答案為： a | -1 a 3 .
【變式 2-3】已知命題 p : 4 - x 6, q : x a -1，若 p 是q的充要條件，則a = ．
【答案】-1
【解析】由題意得， p : 4 - x 6，得 x -2，
設 A = x x -2 ，B = x x a -1 ，由 p 是q的充要條件，得 A = B ，
即 a -1 = -2，得 a = -1．
故答案為：-1
題型三：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假
【典例 3-1】下列正確命題的個數為（ ）
① "x R ， x2 + 2 > 0 ；② "x N, x4 1；③ $x Z, x3 < 1；④ $x Q, x2 = 3．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】"x R ， x2 + 2 2 > 0，①正確；當 x = 0時， x4 = 0 <1，②錯誤；
當 x = 0時， x3 = 0 <1，③正確；由于 (± 3)2 = 3，而- 3, 3 都是無理數，④錯誤，
所以正確命題的個數為 2.
故選：B
【典例 3-2】（2024·高三·北京通州·期中）下列命題中的假命題是（ ）
1 xA "x R
1
． ， ÷ > 0 B．$x R， 2
è 2 x > x
C．"x R ， 2|x| >1 D．$x R， tan x > 1
【答案】C
x
【解析】對于 A，因為指數函數的值域為 0, + ，所以"x R 1 ， ÷ > 0，A 對；
è 2
1
x 1
1
對于 B，當 = 2時，
4 x
2 1 1 1= ÷ = > ，B 對；
è 4 2 4
對于 C，當 x = 0時， 2|x| = 20 =1，C 錯；
π π
對于 D，當 x = 3 時， tan x = tan = 3 >1，D 對.3
故選：C.
【方法技巧】
1、全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷既要理解漢字意思，又要使用數學結論．
2、全稱量詞命題和存在量詞命題的真假性判斷相對簡單，注重細節即可．
【變式 3-1】下列命題中，既是存在量詞命題又是真命題的是（ ）
A．$x R,1+ sinx < 0
B．每個等腰三角形都有內切圓
C．"x R, x2 + 2x -1
D．存在一個正整數，它既是偶數又是質數
【答案】D
【解析】B 與 C 均為全稱量詞命題，A 與 D 均為存在量詞命題，BC 錯誤；
因為"x R,1+ sinx 0，則“ $x R,1+ sinx < 0 ”是假命題，A 錯誤；
正整數 2 既是偶數又是質數，則“存在一個正整數，它既是偶數又是質數”是真命題，D 正確.
故選：D
【變式 3-2】（2024·廣東東莞·三模）已知全集U 和它的兩個非空子集A ， B 的關系如圖所示，則下列命
題正確的是（ ）
A．$x A， x B B．"x A， x B
C．$x B， x A D．"x B ， x A
【答案】B
【解析】由圖可知B A，且A ， B 非空，
則根據子集的定義可得：
對于A ，$x A， x B 不正確，
對于B，"x A， x B正確，
對于C ，$x B， x A不正確，
對于D ，"x B ， x A不正確，
故選：B．
【變式 3-3】（2024·福建廈門·模擬預測）已知集合 M，N 滿足M N ，則（ ）
A．"x M ， x N B．"x M ， x N
C．$x M ， x N D．$x M ， x N
【答案】C
【解析】對于 A，取M = {1,2}, N = {1}，滿足M N ，而 2 M , 2 N ，A 錯誤；
對于 B，取M = {1,2}, N = {1}，滿足M N ，而1 M ,1 N ，B 錯誤；
對于 C，根據集合交集的定義可知$x M ， x N，故 C 正確，
對于 D，取M = {1}, N = {1,2}，滿足M N ，但$x M ， x N 不成立，D 錯誤，
故選：C
題型四：根據命題的真假求參數的取值范圍
【典例 4-1】（2024·全國·模擬預測）已知命題“對于"x 0, + ， ex > ax +1”為真命題，寫出符合條件
的 a的一個值： ．
【答案】 -1（答案不唯一）
【解析】對于"x 0, + ， ex >1，
當 a<0時，對于"x 0, + ， ax +1<1，則 a可取任意負數，如 -1；
故答案為： -1 .
é π π ù
【典例 4-2】（2024·高三·湖北武漢·期末）若命題“"x0 ê ,8 6 ú
， tan 2x0 + 2 m ”是假命題，則實數m

的取值范圍是 ．
【答案】 3, +
x é π【解析】若命題“" 0 ê ,
π ù
ú ， tan 2x0 + 2 m ”是真命題，可得 tan 2x0 + 2 m 8 6 min 即可；
易知 y tan 2x 2 x
é π , π= + ù0 在 0 ê 上單調遞增， 8 6 ú
所以 tan 2x0 + 2 = tan

2
π
÷ + 2 = 3min ，可得m 3；è 8
又因為該命題是假命題，所以可得m > 3，
即實數m 的取值范圍是 3, + .
故答案為： 3, +
【方法技巧】
1、在解決求參數的取值范圍問題上，可以先令兩個命題都為真命題，若哪個是假命題，去求真命題
的補集即可．
2、全稱量詞命題和存在量詞命題的求參數問題，要注意端點是否可以取到．
【變式 4-1】若命題“ "x R ， a +1 x2 + x +1 0”是真命題，則實數 a 的取值范圍為 ．
3
【答案】 a -
4
【解析】因為命題“ "x R ， a +1 x2 + x +1 0”是真命題，
當 a +1 = 0，即 a = -1時，不等式為 x +1 0，顯然不滿足題意，；
ì a +1 > 0
當 a +1 0 ，即 a -1時，所以 í ，解得 a
3
-
1- 4 a +1 0 ． 4
3
故答案為： a - ．
4
【變式 4-2】（2024·遼寧·三模）若“ $x 0, + ，使 x2 - ax + 4 < 0”是假命題，則實數 a的取值范圍
為 .
【答案】 - , 4
【解析】因為“ $x 0, + ，使 x2 - ax + 4 < 0”是假命題，
所以“"x 0, + ， x2 - ax + 4 0”為真命題，
4
其等價于 a x + 在 0, + 上恒成立，
x
又因為對勾函數 f x = x 4+ 在 (0, 2]上單調遞減，在[2,+ )上單調遞增，
x
所以 f x = f 2 = 4min ，
所以 a 4，即實數 a的取值范圍為 - , 4 .
故答案為： - , 4 .
2
【變式 4-3】（2024·遼寧·模擬預測）命題 p ：存在m -1,1 ，使得函數 f x = x - 2mx在區間 a,+
內單調，若 p 的否定為真命題，則 a的取值范圍是 .
【答案】 - , -1
【解析】命題 p 的否定為：任意m -1,1 ，使得函數 f (x) = x2 - 2mx在區間[a,+ )內不單調，
由函數 f (x) = x2 - 2mx在 - ,m 上單調遞減，在 m,+ 上單調遞增，
則 a < m ，而m -1,1 ，
得 a < -1，
故答案為： - , -1
題型五：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
【典例 5-1】（2024·內蒙古赤峰·一模）命題“ "x R ，$n N * ， n > x2 ”的否定形式是（ ）
A．"x R ，"n N * ， n x2 B．$x R，$n N * ， n < x2
C．$x R，"n N * ， n x2 D．$x R，"n N * ， n < x2
【答案】C
【解析】由全稱量詞命題與存在量詞命題的否定可知：命題“"x R ，$n N * ， n > x2 ”的否定形式是
“ $x R，"n N * ， n x2 ”.
故選：C
【典例 5-2】（2024·陜西商洛·三模）命題“對任意的 x R, x3 - x2 +1 0 ”的否定是（ ）
A．不存在 x R, x3 - x2 +1 0 B．存在 x R, x3 - x2 +1 0
C．存在 x R, x3 - x2 +1 < 0 D．對任意的 x R, x3 - x2 +1 > 0
【答案】C
【解析】“對任意的 x R, x3 - x2 +1 0 ”的否定是：存在 x R, x3 - x2 +1 < 0 .
故選：C．
【方法技巧】
含量詞命題的否定，一是改寫量詞，二是否定結論.
【變式 5-1】（2024·四川成都·模擬預測）命題$x -1,1 , x + x < 0的否定是（ ）
A．$x -1,1 , x + x 0
B．"x -1,1 , x + x 0
C．"x - ,-1 1,+ , x + x 0
D．"x - ,-1 1,+ , x + x < 0
【答案】B
【解析】因為命題$x -1,1 , x + x < 0，
則其否定為"x -1,1 , x + x 0 .
故選:B
5-2 p :
π
$q 0, cosq sinq sinq cosq【變式 】已知命題 ÷ ， 則（4 ）è
π
p : $q 0, A． ÷ ， cosq sinq > sinq cosq ，且 p 是真命題
è 4
p : "q 0, π B sinq． ÷， cosq > sinq cosq ，且 p 是假命題
è 4
C． p : $q

0,
π
÷ ， cosq sinq > sinq cosq ，且 p 是假命題
è 4
D． p :
π
"q 0, cosq sinq cosq ÷， > sinq ，且 p 是真命題
è 4
【答案】D

【解析】由 p : $q 0,
π
， (cosq )sinq÷ (sinq )cosq ，
è 4
則 p : "q
π
0, ， (cosq )sinq ÷ > (sinq )cosq ，
è 4
由q

0,
π
4 ÷
，則有0 < sinq < cosq <1，
è
(cosq )sinq (sinq )cosq 等價于 sinq ln cosq cosq ln sinq
ln cosq ln sinq
等價于 ，
cosq sinq
f x ln x令 = 0 < x <1 ，則 f x 1- ln x= 2 ，x x
則0 < x <1時， f x > 0恒成立，
故 f x 在 0,1 上單調遞增，
又0 < sinq < cosq <1，
ln cosq ln sinq
故 > ，
cosq sinq
即 (cosq )sinq > (sinq )cosq ，
故原命題錯誤，則 p 是真命題.
故選：D.
1 1
【變式 5-3】（2024·貴州遵義·一模）已知命題 p : "x >1， ln x > - ，則 p3 為（3 3x ）
1 1
A．"x >1， ln x - 3 B．$x 1， ln x
1 1
< -
3 3x 3 3x3
x 1 ln x 1 1 1 1C．$ ， - D．$x >1， ln x -
3 3x3 3 3x3
【答案】D
【解析】由命題 p : "x >1， ln x
1 1
> - 3 可知，3 3x
p 為$x >1， ln x
1 1
- ，故 D 正確；ABC 錯誤；
3 3x3
故選：D
r r
1．（2024 年高考全國甲卷數學（理）真題）已知向量a = x +1, x ,b = x,2 ，則（ ）
r r r r
A．“ x = -3”是“ a ^ b ”的必要條件 B．“ x = -3”是“ a / /b ”的必要條件
r r r r
C．“ x = 0 ”是“ a ^ b ”的充分條件 D．“ x = -1+ 3 ”是“ a / /b ”的充分條件
【答案】C
r r r r
【解析】對 A，當 a ^ b時，則a ×b = 0，
所以 x × (x +1) + 2x = 0，解得 x = 0或-3，即必要性不成立，故 A 錯誤；
r r r r
對 C，當 x = 0時， a = 1,0 ,b = 0,2 ，故a ×b = 0，
r r
所以 a ^ b，即充分性成立，故 C 正確；
r r
對 B，當 a / /b時，則 2(x +1) = x2 ，解得 x =1± 3 ，即必要性不成立，故 B 錯誤；
r r
對 D，當 x = -1+ 3 時，不滿足 2(x +1) = x2 ，所以 a / /b不成立，即充分性不立，故 D 錯誤.
故選：C.
2．（2024 年新課標全國Ⅱ卷數學真題）已知命題 p："x R ， | x +1|>1；命題 q：$x > 0 ， x3 = x ，則
（ ）
A．p 和 q 都是真命題 B． p 和 q 都是真命題
C．p 和 q 都是真命題 D． p 和 q 都是真命題
【答案】B
【解析】對于 p 而言，取 x=- 1，則有 x +1 = 0 <1，故 p 是假命題， p 是真命題，
對于q而言，取 x =1，則有 x3 =13 =1 = x ，故q是真命題， q 是假命題，
綜上， p 和q都是真命題.
故選：B.
3．（2022 年新高考天津數學高考真題）“ x 為整數”是“ 2x +1為整數”的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】由 x 為整數能推出 2x +1為整數，故“ x 為整數”是“ 2x +1為整數”的充分條件，
1
由 x = , 2x +1為整數不能推出 x 為整數，故“ x 為整數”是“ 2x +1為整數”的不必要條件，
2
綜上所述，“ x 為整數”是“ 2x +1為整數”的充分不必要條件，
故選：A.
4．（2022 年新高考浙江數學高考真題）設 x R ，則“ sin x =1”是“ cos x = 0 ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不
必要條件
【答案】A
【解析】因為 sin2 x + cos2 x =1可得：
當 sin x =1時， cos x = 0，充分性成立；
當 cos x = 0時， sin x = ±1，必要性不成立；
所以當 x R ， sin x =1是 cos x = 0的充分不必要條件.
故選：A.
1．設集合 A = {x | x滿足條件 p}，B = {x | x滿足條件 q} .
（1）如果 A B ，那么 p 是 q 的什么條件？
（2）如果B A，那么 p 是 q 的什么條件？
（3）如果 A = B ，那么 p 是 q 的什么條件？
試舉例說明.
【解析】（1）若 A B ，則有 x A x B ，即每個使 p 成立的元素也使 q 成立，
即 p q ，所以 p 是 q 的充分條件.如 A = {x | x > 1}，B = {x | x > 0}，
A B ， x >1是 x > 0的充分條件.
（2）若B A，則有 x B x A，即每個使 q 成立的元素也使 p 成立，
即 q p ，所以 p 是 q 的必要條件.如 A = {x | x > 0}，B = {x | x >1}，則B A，
x > 0是 x >1的必要條件.
（3）若 A = B ，則 A B ，B A，所以 p 是 q 的充要條件.如 A = B = {x | x > 1}，
x >1是 x >1的充要條件.
2．在下列各題中,判斷 p 是 q 的什么條件(請用“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分又
不必要條件”回答):
(1)p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等邊三角形;
(2)在一元二次方程中， p : ax2 + bx + c = 0有實數根， q : b2 - 4ac…0 ;
(3) p : a P Q, q : a P ;
(4) p : a P Q, q : a P ;
(5) p : x > y, q : x2 > y2 .
【解析】(1)因為等腰三角形是特殊的等邊三角形,
故 p 是 q 的必要不充分條件.
(2) 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0有實數根則判別式D = b2 - 4ac…0 .
故 p 是 q 的充要條件.
(3)因為 a P Q ,故 a P 且 a Q；當 a P 時 a Q不一定成立.
故 p 是 q 的充分不必要條件.
(4) 因為 a P Q ,故 a P 或 a Q ,所以 a P 不一定成立；
當 a P 時 a P Q 一定成立.
故 p 是 q 的必要不充分條件.
(5) 當 x =1, y = -2 時,滿足 x > y 但 x2 > y2 不成立.
當 x = -2, y =1時,滿足 x2 > y2 但 x > y 不成立.
故 p 是 q 的既不充分又不必要條件.
3．設 a,b,c 分別是VABC 的三條邊,且 a b c .我們知道,如果VABC 為直角三角形,那么 a2 + b2 = c2 (勾股定
理).反過來,如果 a2 + b2 = c2 ,那么VABC 為直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知, VABC 為直角三角形的
充要條件是 a2 + b2 = c2 .請利用邊長 a,b,c 分別給出VABC 為銳角三角形和鈍角三角形的一個充要條件,并證
明.
【解析】解:(1)設 a,b,c 分別是VABC 的三條邊,且 a b c , VABC 為銳角三角形的充要條件是a2 +b2 > c2 .
證明如下:必要性:在VABC 中, C 是銳角,作 AD ^ BC ,D 為垂足,如圖(1).
顯然 AB2 = AD2 + DB2 = AC 2 - CD2 + (CB - CD)2 = AC 2 - CD2 + CB2 + CD2 - 2CB ×CD
= AC 2 + CB2 - 2CB ×CD < AC 2 + CB2 ,即 c2 < a2 + b2 .
充分性:在VABC 中, a2 +b2 > c2 ,\ C 不是直角.
假設 C 為鈍角,如圖(2).作 AD ^ BC ,交 BC 延長線于點 D.
則 AB2 = AD2 + BD2 = AC 2 - CD2 + (BC + CD)2 = AC 2 - CD2 + BC 2 + CD2 + 2BC ×CD
= AC 2 + BC 2 + 2BC ×CD > AC 2 + BC 2 .
即 c2 > b2 + a2 ,與“ a2 +b2 > c2 ”矛盾.
故 C 為銳角,即VABC 為銳角三角形.
(2)設 a,b,c 分別是VABC 的三條邊,且 a b c , VABC 為鈍角三角形的充要條件是 a2 + b2 < c2 .
證明如下:必要性:在VABC 中, C 為鈍角,如圖(2),顯然:
AB2 = AD2 + BD2 = AC 2 - CD2 + (CD + CB)2 = AC 2 - CD2 + CD2 + CB2 + 2CD ×CB
= AC 2 + CB2 + 2CD ×CB > AC 2 + CB2 .即 a2 + b2 < c2 .
充分性:在VABC 中, a2 + b2 < c2 ,
\ C 不是直角,假設 C 為銳角,如圖(1),
則 AB2 = AD2 + DB2 = AC 2 - CD2 + (CB - CD)2
= AC 2 - CD2 + CB2 + CD2 - 2CD ×CB = AC 2 + CB2 - 2CD ×CB < AC 2 + CB2 .即a2 +b2 > c2 ,這與“ a2 + b2 < c2 ”矛
盾,從而 C 必為鈍角,即VABC 為鈍角三角形.
4．寫出下列命題的否定,并判斷它們的真假：
(1)"a R ，一元二次方程 x2 - ax -1 = 0有實根；
(2)每個正方形都是平行四邊形；
(3) $m N , m2 +1 N ；
(4)存在一個四邊形 ABCD，其內角和不等于360o .
【解析】(1) $a R ,一元二次方程 x2 - ax -1 = 0沒有實根,假命題，因為D=a2 + 4 > 0，方程恒有根；
(2)存在一個正方形不是平行四邊形,假命題，因為任何正方形都是平行四邊形；
(3)"m N , m2 +1 N ，假命題，因為m = 0 N 時， 02 +1 =1 N ；
(4)任意四邊形 ABCD,其內角和等于360o ,真命題.
易錯點：混淆充分條件與必要條件
易錯分析： 對于條件 p，q，如果 p q ，則 p 是 q的充分條件， q是 p 的必要條件，如果 p q ，
則 p 是 q的充要條件．解題時最容易出錯的就是混淆充分性與必要性，因此在解決這類問題時，一定要分
清條件和結論，根據充分必要條件的定義，選擇合適的方法作出準確的判斷，常借助反例說明．
答題模板：充分條件與必要條件的判斷
1、模板解決思路
解決充分與必要條件問題時，首先是確定條件和結論，然后通過條件和結論的互推確定它們之間的關
系．
2、模板解決步驟
第一步：確定題中的條件 p 和結論q．
第二步：判斷“ p q ”的真假．
第三步：判斷“ q p ”的真假．
第四步：得出結論．
【易錯題 1】（2024·江西·模擬預測）“ 0 < a < 1，0 < b <1”是“方程ax2 =1-by2表示的曲線為橢圓”的
（ ）
A．充要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【解析】
[解法一]
方程ax2 =1-by2即方程 ax2 + by2 =1，表示橢圓的充分必要條件是 a > 0,b > 0, a b ,
顯然“ 0 < a < 1，0 < b <1”是“ a > 0,b > 0, a b ”既不充分也不必要條件，
故“ 0 < a < 1，0 < b <1”是“方程ax2 =1-by2表示的曲線為橢圓”的既不充分也不必要條件，
[解法二]
a 1當 = b = 時，滿足“ 0 < a < 1，0 < b <1”，此時題中方程可化為： x2 + y2 = 4 ,表示的曲線是圓而不是橢
4
x2 y2
+
a =1,b = 4 “ 0 < a < 1 0 < b <1” 12 1 2
=1
圓，當 時，不滿足 ， ，只是題中方程可化為： ,表示中心在原點，

è 2 ÷
1
半長軸為 1，半短軸為 的橢圓，
2
故：“ 0 < a < 1，0 < b <1”是“方程ax2 =1-by2表示的曲線為橢圓”的既不充分也不必要條件，
故選：D
【易錯題 2】（2024·高三·貴州貴陽·階段練習）二次函數 f (x) = ax2 + 2x -1在區間 (- ,1)上單調遞增
的一個充分不必要條件為（ ）
1
A． a >1 B． a < -2 C．- < a < 0 D． 0 < a < 1
2
【答案】C
【解析】因為二次函數 f (x) = ax2 + 2x -1在區間 (- ,1)上單調遞增，
ìa < 0,

所以 í 1 解得-1 a < 0．因為只有 C 是其真子集，
- 1, a
故選：C

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