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比賽中的推理（六上）
這一講我們學習的主要內容是與比賽有關的邏輯推理問題.這些問題有各種不同的形式： 有分析對陣情況的，有計算各隊積分的，有利用積分排名的，甚至還有討論進球數、失球數 的.不同類型的問題我們應該用不同的方法來處理.
在邏輯推理中，特別有用的方法是畫示意圖或表格，這種方法相信大家并不陌生，用它 來分析比賽問題，能夠讓我們對比賽的情況更為直觀明了。
1、比賽分類：
(1)淘汰賽：每場比賽踢掉一支球隊，只取第一名.
(2)單循環賽：n 支球隊，每兩隊比賽1場，總共比賽 場.
(3)雙循環比賽：n 支球隊，每兩球比賽2場總共比賽 場。
2、畫圖列表分析法在邏輯推理問題中的應用。
3、與比賽積分有關的推理問題.兩種常見的計分法：
(1)2分制計分法：“每場比賽勝者得2分，負者得0分，平局各得1分”.這種情況下 每場比賽無論結果如何，雙方總得分都是2分，因此所有選手的總分就等于“比賽場數 ×2”.
(2)3分制計分法：“每場比賽勝者得3分，負者得0分，平局各的1分”.這種情況下 總分就是“勝負場數×3+平局場數×2”,或者寫成“比賽場數×3-平局場數”。
4、極端思想與整體思想在邏輯推理問題中的應用。
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1.需要熟記一些與比賽相關的最基本常識性內容；
2.常見賽制還有小組賽，每小組內即為循環賽， 一般是小組前幾名出線，晉級淘汰賽，在 世界杯等重大賽事中很常見；
3.所有球隊的進球總和與失球總和相等，即凈勝球之和永遠為0: 4.涉及比分的題目可能需要從個體和整體兩方面來思考；
5.要能綜合運用之前的各種邏輯推理方法，包括列表法、畫圖法、假設法、排除法、矛盾 分析法、極端思想等：
6.一些題目的關鍵是轉化條件，如幾人猜東西這種類型的題目。
連線對陣圖
1、編號為1，2，3，4，5，6的同學進行圍棋比賽，每2個人都要賽1盤．現在編號為1，2，3，4，5的同學已經賽過的盤數和他們的編號數相等．請問：編號為6的同學賽了幾盤？
【答案】
3盤
【解析】
5號已經賽過5盤，說明他和其他5個人都已經賽過了．而1號只賽了一盤，所以1號這一盤是同5號賽的，他同其他四個人都沒有賽過（如圖1所示）．
再看4號．他賽過4盤，而且4號同1號沒有賽過．所以同4號賽過的同學是除1號以外的4個人．21世紀教育網
而2號只賽過兩盤，所以2號只同5號、4號賽過（如圖2所示）．
3號賽過3盤，而且他同1號、2號沒有賽過，那么同3號賽過的就是4號、5號和6號（如圖3所示）．
于是我們知道同6號賽過的有3號、4號和5號．他賽了3盤．
用類似數獨的方法求解問題
2、A，B，C，D，E，F六個國家的足球隊進行單循環比賽（即每隊都與其他隊賽一場），每天同時在3個場地各進行一場比賽，已知第一天B對D，第二天C對E，第三天D對F，第四天B對C．請問：第五天與A隊比賽的是哪支隊伍？
【答案】
B隊
【解析】
題目的條件比較多，如何才能看清楚呢？我們可以用表格來表示．
如圖1，第二列從上到下依次表示A在5天中分別遇到的對手，第三列表示B在5天中遇到的對手，依此類推．
下面我們來分析這個表格的特點：很明顯每行的六個字母應該是互不相同的，每列的六個字母也是互不相同的．那么利用這個特點，我們就可以逐漸填出其中的空格了．
首先可以確定（2，D）處應填A．這是因為第2行已經有E和C，第4列已經有D、B和F，所以這一個格不能填這些字母，只能填A．由于第二天A與D比賽，那么對應地（2，A）處也應填D（如圖2）．
此時第二行中已經填出了四個字母，那么余下的兩個字母也很容易填出．第五列中也填出了四個字母，而（4，D）處又不能填C，因此只能填E，如圖3所示．
（4，D）處已經填上了E，那么（4，E）處就應該填D．此時第四行中已經填出了四個字母，那么余下的兩個字母也就確定了．我們用類似的方法把整個表格填出來，得到圖4．
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因此，第五天與A比賽的球隊是B．
3、墨莫在紙上寫下了10組數據：14073，63136，29402，35862，84271，79588，42936，98174，50811，07145，卡莉婭看到說她的游戲編號也是一個五位數碼，恰好每一組數據與她的游戲編號都只有一個數位上的數字相同，這個編號是多少？
【答案】
09876
【解析】
各組數如下表所示，從左數的第1-5位各數的最高頻數分別為1、2、3、3、2．設編號為，每位分別有~個與編號一致，則，，，，，且．易知，且、中至少有一個為3．
當時，，②⑧⑩其它位均錯，故，，
這樣，矛盾．
這樣，，由此易得，，，，．①④⑤⑧⑨的第一、二、五位均錯，，，故，．這樣，⑩只能是首位正確，即．
綜上，編號為09876．
4、小王和小李酷愛打牌，而且推理能力都很強：一天，他們和華教授圍著桌子打牌，華教授給他們出了道推理題．華教授從桌子上抽取了如下l8張撲克牌：
紅桃A，Q，4； 黑桃J，8，4，2，7，3，5； 草花K，Q，9，4，6，10； 方塊A，9．
華教授從這18張牌中挑出一張牌來，并把這張牌的點數告訴小王，把這張牌的花色告訴小李．然后，華教授問小王和小李：“你們能從已知的點數或花色中推斷出這張牌是什么牌嗎？”小王：“我不知道這張牌．”小李：“我知道你不知道這張牌．”小王：“現在我知道這張牌了．”小李：“我也知道了．”那么這張牌是什么？
【答案】
方塊9
【解析】
設小王、小李的四句話按順序分別為①、②、③、④．由①可知牌的點數不能只出現一次，剩紅桃A，Q，4；黑桃4；草花Q，9，4；方塊A，9．
由②可知花色中不能含點數只出現一次的牌，排除黑桃、草花，剩紅桃A，Q，4；方塊A，9．
由③可知點數不是A，否則此時小王仍無法知道，剩紅桃Q，4；方塊9．
由④可知花色不是紅桃，否則此時小李仍無法知道，即只可能為方塊9．
與場次數、積分排名相關問題
5、甲、乙、丙、丁四名同學進行象棋比賽，每兩人都比賽一場，規定勝者得2分，平局各得1分，輸者得0分．請問：
（1）一共有多少場比賽？
（2）四個人最后得分的總和是多少？
（3）如果最后結果甲得第一，乙、丙并列第二，丁是最后一名，那么乙得了多少分？
【答案】
（1）6場（2）12分（3）3分
【解析】
（1）從四個人中選出兩人，有種方法．每兩人之間比賽一場，那么一共就有6場比賽．
（2）如果一場比賽分出了勝負，那么比賽雙方一共得了2分；如果平局，雙方也得了2分，因此每場比賽兩人都得了2分．一共6場比賽，那么四個人最后得分的總和就是．
（3）四個人得分之和是12，甲得分最高，丁得分最低，而乙、丙得分相同．
如果乙、丙得分是4分，則甲得分超過4分，這三人的得分之和已經超過12分，與題意矛盾．因此乙、丙得分最多是3分．
如果乙、丙得分是2分，則丁最多得了1分，而甲至少得了分．但是連勝3場也只能得6分，不可能達到7分，因此乙、丙得分至少是3分．
綜合以上討論，可知乙、丙得分就是3分．
6、四支足球隊進行單循環比賽，即每兩隊之間都比賽一場．每場比賽勝者得3分，負者得0分，平局各得1分．比賽結束后，各隊的總得分恰好是4個連續的自然數．問：輸給第一名的隊的總分是多少？
【答案】
4分
【解析】
如果比賽分出勝負，那么雙方得分之和就是3分；如果平局，雙方得分之和就是2分．
4支隊之間要進行場比賽，那么總分就要在12分和18分之間．各隊的總得分就是6場比賽的總得分，因此四支球隊的總分也要在12分和18分之間．
由題意，四支球隊的得分是4個連續的自然數．而四個連續自然數的和可能是：，，，，…… 在12分和18分之間的只有14和18，因此這四支球隊的得分可能是2分、3分、4分、5分，或者3分、4分、5分、6分．這兩種情況都可能出現嗎？
如果是3分、4分、5分、6分，總分是18分，那么每場比賽都分出了勝負，但這是不可能的，大家自己想想這是為什么？
如果是2分、3分、4分、5分，那么第一名得5分，只能是1勝2平；第二名得4分，只能是1勝1平1負；第三名得3分，可能是1勝2負，也可能是3平；第四名得2分，只能是2平1負．其中只有第三名的比賽結果有兩種情況．
綜合考慮第一名、第二名、第四名的勝負情況：他們一共有2勝5平2負．由于總勝場數與總負場數相同，所以第三名只能是3平．第三名沒有平局，容易畫出四支隊之間的比賽勝負關系，如圖所示．
因此輸給了第一名的只有第二名，他得了4分．
7、有甲、乙、丙、丁四支球隊參加的足球循環賽，每兩隊都要賽一場，勝者得3分，負者得0分，如果踢平，兩隊各得1分．現在甲、乙和丙分別得7分、1分和6分．已知甲和乙踢平，那么丁得多少分？
【答案】
3
【解析】
每隊比了3場，易知甲、乙分別只有1場平局，丙無平局，故丁無平局．各隊總分為，故丁得分．
與得失球數相關內容
8、（龍校四年級春季）2015年亞洲杯足球賽小組賽中國隊被分在B組，同組四支球隊舉行單循環比賽，下表給出小組賽結束之后比賽結果：
（1）請將表格內空缺處補充完整；
（2）根據此表格有人猜測中國隊對朝鮮隊的比分可能是2:0，你認為有可能嗎？為什么？
【答案】
（1）如下表（2）不可能
【解析】
（1）每隊勝平負場次和為3場，故烏茲別克斯坦勝2場，朝鮮勝、平均為0場．由于烏、沙、朝均無平局，故中國也無平局，勝3場．這樣，所有隊的勝場和與負場和均為6場，因此沙特1勝2負．此外，所有球隊總進球數與總失球數相等，因此中國進球數為個．
（2）不可能，中國總凈勝球為個且3戰全勝，故每場只能凈勝1球，因此不可能出現．
9、A，B，C，D四個足球隊進行循環比賽．賽了若干場后，A，B，C三隊的比賽情況如圖：
問：D賽了幾場？D賽的幾場的比分各是多少？
【答案】
3場；比分分別是0:1輸給A，3:4輸給B，5:3贏了C
【解析】
由分析可知，A隊0:0平B，1:0勝C，1:0勝D．
B隊1勝1平，進4球失3球．由于它與A的比賽是0:0，所以它贏的那場比賽是4:3．
C隊2負，進3球失6球．由于它與A的比賽是0:1，所以它輸的另一場比賽是3:5．
B贏的那場比賽與C輸的另一場比賽比分不相同，因此它們沒有踢過，只能是B隊4:3贏D，C隊3:5輸給D．
這樣，D一共比賽了3場，比分分別是0:1輸給A，3:4輸給B，5:3贏了C．
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其它問題
10、A，B，C，D，E五位同學分別從不同的途徑打聽到五年級數學競賽獲得第一名的那位同學的情況：
A打聽到的：姓李，是女同學，13歲，東城區；
B打聽到的：姓張，是男同學，11歲，海淀區；
C打聽到的：姓陳，是女同學，13歲，東城區；
D打聽到的：姓黃，是男同學，11歲，西城區；
E打聽到的：姓張，是男同學，12歲，東城區．
實際上第一名同學的情況在上面都出現過，而且這五位同學的消息都僅有一項正確，那么第一名的同學應該是哪個區的，今年多少歲呢？
【答案】
海淀區，12歲
【解析】
由分析可知，對于第一名同學的姓名、性別、年齡、城區，分別有1項、2項、1項、1項是正確的．
先來看性別，有2項消息正確，那么第一名是女同學；
再來看年齡，2個人說是13歲，2個人說是11歲，只有1個人說是12歲，由于只有1項消息正確，則第一名是12歲；
再看城區，3人說東城區，1人說海淀區，1人說西城區，那么第一名在海淀區或者西城區；
類似地，可以分析出第一名同學姓李，或姓陳，或姓黃．
綜合考慮第一名同學的姓名與城區，就很容易判斷出唯一的答案：姓黃，是女同學，12歲，海淀區．
11、老師在A、B、C每個人頭頂上帶一個帽子，每個帽子上都有一個大于0的自然數，A、B、C每個人可以看見別人帽子上的數，但是看不見自己帽子上的數．老師對他們說：“3個數可以組成一個加法算式．”老師問A：“你知道你的數嗎？”A說：“不知道．”老師問B：“現在你知道你的數嗎？”B說：“我還是不知道．”老師又問C：“現在你知道你的數嗎？”C說：“剛才我不知道，現在知道了，是2000．”則A、B各是多少？
【答案】
800；1200
【解析】
設A、B、C帽子上的自然數分別為a、b、c，則．開始誰也無法判斷，故a、b、c兩兩不等．在C看來，c可能為a、b之差或，且通過A、B對話可排除其中某種情況，從而求出c．若a、b之差為c，易知C不可能排除這一情況，即C無法推出c的值，因此，即，．
這樣，C需從A、B對話排除c為a、b之差這種情況，即當或時，A或B已經可推出自己帽子上的數．顯然在的情況下，故A必無法推出，因此B可推出自己的數．當時，若，則B可判斷出b只能為，否則當時，A已經可以判斷a的值．即滿足題目要求，解得．
1、五個國家足球隊A、B、C、D、E進行單循環比賽，每天進行兩場比賽，一隊輪空．已知第一天比賽的是A與D，C輪空；第二天A與B比賽，E輪空；第三天A與E比賽；第四天A與C比賽；B與C的比賽在B與D的比賽之前進行．那么C與E在哪一天比賽？
【答案】
第五天
【解析】
列表分析，用*表示輪空．
2、有A、B、C、D四支足球隊進行單循環比賽，每兩隊都比賽一場．比賽規定：勝一場得2分，平局各得1分，負一場得0分．全部比賽結束后，A、B兩隊的總分并列第一名，C隊第二名，D隊第三名，C隊最多得多少分？
【答案】
3
【解析】
四隊總分為分，A、B分數高于C，故C至多分，且易知四隊分別4、4、3、1分即符合要求，因此C最多得3分．
3、（金帆四年級春季）甲、乙、丙、丁與小強五位同學一起比賽象棋，每兩人都要比賽一盤．到現在為止，甲已經賽了4盤，乙賽了3盤，丙賽了2盤，丁賽了1盤．問：小強已經賽了幾盤？分別與誰賽過？
【答案】
2；甲，乙
【解析】
用5個點代表5人，實線代表兩人比過，虛線則為沒比過．甲與每人都比過，這樣丁只與甲比過，乙未與丁比，與另三人比過，進而丙只與甲、乙比過．最終得小強與甲、乙比過2盤．
4、A、B、C、D四個隊舉行足球循環賽(即每兩個隊都要賽一場)，勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分．已知:
(1)比賽結束后四個隊的得分都是奇數；
(2)A隊總分第一；
(3)B隊恰有兩場平局，并且其中一場是與C隊平局．那么，D隊得多少分？
【答案】
3
【解析】
B隊得分是奇數，并且恰有兩場平局，所以B隊是平2場勝1場，得5分．A隊總分第1，并且沒有勝B隊，只能是勝2場平1場(與B隊平)，得7分．因為C隊與B隊平局，負于A隊，得分是奇數，所以只能得1分，即他要輸給D．D隊負于A、B隊，勝C隊，得3分．
5、（龍校四年級春季）2014年巴西世界杯足球賽小組賽結束后，東道主巴西所在的A組比賽結果如下所示：
（1）請將表格內空缺處補充完整
（2）根據此表有人猜測克羅地亞對喀麥隆的比分可能是1:0，你認為有可能嗎？為什么？
【答案】
（1）見下表（2）不可能
【解析】
（1）每隊勝平負場次和為3場，故喀麥隆勝、平均為0場，且其它隊均戰勝喀麥隆，勝場至少為1場，這樣克羅地亞1勝0平，進而巴西的平局只能是和墨西哥產生，墨西哥1平0負．所有隊總勝場與總負場相等，故巴西2勝0負．此外，所有球隊總進球數與總失球數相等，因此巴西進球數為個．
（2）不可能，克羅地亞負于巴西與墨西哥，至少凈負2球．由于其凈勝球為0，故勝朝鮮至少勝2球，1:0不可能出現．
6、甲、乙、丙三名選手參加馬拉松比賽．起跑后甲處在第一的位置，在整個比賽過程中，甲的位置共發生了7次變化．比賽結束時甲是第__________名。（注：整個比賽過程中沒有出現三人跑在同一位置的情形．）
【答案】
第二名
【解析】
很難一下看出甲的名次，讓我們先從甲的名次變化中找找規律．
當甲的名次第一次發生變化時，他只能由第一變成第二；21世紀教育網
當甲的名次再一次發生變化時，他將變成第一或者第三；
當甲的名次再一次發生變化時，他只能變回第二；
……
我們發現一個規律：如果甲的名次發生奇數次變化，結果就是第二名；而如果發生偶數次變化，甲最后就是第一名或者第三名．
由于甲的名次變化了7次，是個奇數，于是甲最后是第二名．
1、A、B、C、D四支球隊進行足球比賽，每兩隊都要比賽一場．已知A、B、C三隊的成績分別是：A隊2勝1負，B隊2勝1平，C隊1勝2負．那么D隊的成績是________勝．
【答案】
0
【解析】
D顯然有1平．共賽了場，A、B、C共勝5場，再加上1場平局，已經達到6場，因此D沒有獲勝．
2、6名同學進行象棋比賽，每兩人都比賽一場，比賽規定勝者得2分，平局各得1分，輸者得0分．那么6個人最后得分的總和是_______分．
【答案】
30
【解析】
無論賽果如何，每場共產生2分．6個人共賽了場，因此總分為分．
3、六個人參加乒乓球比賽，每兩人之間都要比賽一場，勝者得2分，負者得0分，沒有平局．比賽結束時發現，有兩人并列第二名，兩人并列第五名．那么第一名得了_______分．
【答案】
10
【解析】
每場共產生2分，6個人共賽了場，總分為分．第一名最多為分，假設第一名沒全勝，則所有人總分至多為，矛盾，因此第一名全勝，得到10分．
4、足球甲A聯賽共有12個足球俱樂部參加，實行主客場雙循環賽制，即任何兩隊分別在主場和客場各比賽一場，勝一場得3分，平一場各得1分，負一場得0分，在聯賽結束后按積分的高低排出名次．那么，在積分榜上第一名與第二名的積分差距最多可達_______分．
【答案】
46
【解析】
每隊比場．極端情況是第一名全勝，其它隊之間均打平，此時第一名與第二名的積分差距為分．
5、A、B、C、D四個足球隊進行單循環比賽，賽了若干場后，A、B、C三隊的比賽情況如下：
那么，D賽了________場．
【答案】
2
【解析】
A、B比滿3場，即D與A、B均比過，且C的2場分別是和A、B賽的，即C、D未賽．綜上，D只與A、B賽過，即比了2場．
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