資源簡介

第一章 勾股定理
3 勾股定理的應用
【學習目標】
（1）通過自主探索合作更好地理解勾股定理以及直角三角形的判別條件。
（2）解決勾股定理在現實生活中的簡單運用。
（3）能通過觀察圖形，培養學生動手能力、分析推理能力以及小組合作能力，讓學生在探索中體驗發現的樂趣。
【學習策略】
“螞蟻怎么走最近”是一個生動有趣的問題，讓學生充滿了探究的欲望，這個問題體現了二、三維圖形的轉化，對發展學生的空間觀念很有好處．在教學過程中教師應通過情景創設，激發興趣，鼓勵引導學生經歷探索過程，得出結論，從而發展學生的數學應用能力，提高學生解決實際問題的能力．
【學習過程】
一.復習回顧
前幾節課我們學習了勾股定理，你還記得它有什么作用嗎？
例如：欲登12米高的建筑物，為安全需要，需使梯子底端離建筑物5米，至少需多長的梯子？
二.新課學習：
1、勾股定理：直角三角形兩直角邊的 等于 。如果用a,b和c表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2 + b2= c2
2、勾股定理逆定理：如果三角形三邊長a,b，c滿足 那么這個三角形是直角三角形。
3、判斷題(1).如果三角形的三邊長分別為a,b,c，則　a2 + b2= c2　　（　）
(2)如果直角三角形的三邊長分別為a,b,c，則a2 + b2= c2（　）
（3）由于0.3，0.4，0.5不是勾股數，所以以0.3，0.4，0.5為邊長的三角形不是直角三角形　（　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4、填空:
(1)在△ABC中, ∠C=90°，c=25,b=15,則a=＿＿＿＿.
(2)三角形的三個內角之比為：１：２：３，則此三角形是＿＿＿．若此三角形的三邊長分別為a,b,c,則它們的關系是＿＿＿＿．
（3）三條線段 m,n,p滿足m2-n2=p2，以這三條線段為邊組成的三角形為（ ）。
應用：
螞蟻怎么走最近
出示問題：有一個圓柱，它的高等于12厘米，底面周長等于18厘米．在圓行柱的底面A點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點處的食物，需要爬行的的最短路程是多少？(π的值取3)．
（1）同學們可自己做一個圓柱，嘗試從A點到B點沿圓柱的側面畫出幾條路線，你覺得哪條路線最短呢？（小組討論）
（2）如圖，將圓柱側面剪開展開成一個長方形，從A點到B 點的最短路線是什么 你畫對了嗎
（3）螞蟻從A點出發，想吃到B點上的食物，它沿圓柱側面爬行的最短路程是多少
例 這是一個滑梯示意圖若將滑道AC水平放平剛好與AB一樣長，已知滑梯的高度=3M，CD=1M,試求滑道AC的長。
三.嘗試應用：
1.如圖，一架2.5米長的梯子AB，斜靠在一豎直的墻AC上，這時梯足B到墻底端C的距離為0.7米，如果梯子的頂端下滑0.4米，則梯足將向外移（　　）
A．0.6米 B．0.7米 C．0.8米 D．0.9米
2．在一棵樹的10米高的B處有兩只猴子為搶吃池塘邊水果，一只猴子爬下樹跑到A處（離樹20米）的池塘邊．另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經過的距離相等，則這棵樹高　　米．
3．如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為7寸、5寸和3寸，A和B是這個臺階的兩個相對端點，A點上有一只螞蟻想到B點去吃可口的食物，則它所走的最短路線長度是　　寸．
四.自主總結：
這節課我們利用勾股定理和它的逆定理解決了生活中的幾個實際問題.我們從中可以發現用數學知識解決這些實際問題，更為重要的是將它們轉化成數學模型.
五.達標測試
一．選擇題（共4小題）
1．如圖，小紅從A地向北偏東30°，方向走100米到B地，再從B地向西走200米到C地，這時小紅距A地（　　）
A．150米 B．100米 C．100米 D．50米
2．如圖，學校教學樓旁有一塊矩形花鋪，有極少數同學為了避開拐角走“捷徑”，在花鋪內走出了一條“路”．他們僅僅少走了（　　）步路（假設2步為1米），卻踩傷了花草．
A．6 B．5 C．4 D．3
3．如圖，點A的正方體左側面的中心，點B是正方體的一個頂點，正方體的棱長為2，一螞蟻從點A沿其表面爬到點B的最短路程是（　　）
A．3 B． C． D．4
填空題
4．如圖，Rt△ABC的兩直角邊分別為1，2，以Rt△ABC的斜邊AC為一直角邊，另一直角邊為1畫第二個△ACD；在以△ACD的斜邊AD為一直角邊，另一直角邊長為1畫第三個△ADE；…，依此類推，第n個直角三角形的斜邊長是　　．
5．如圖，有一塊田地的形狀和尺寸如圖所示，則它的面積為　　．
三．解答題（共3小題）
6．小強家有一塊三角形菜地，量得兩邊長分別為40m，50m，第三邊上的高為30m．請你幫小強計算這塊菜地的面積．（結果保留根號）
7．如圖，一個長方體形的木柜放在墻角處（與墻面和地面均沒有縫隙），有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C1處．
（1）請你畫出螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑；
（2）當AB=4，BC=4，CC1=5時，求螞蟻爬過的最短路徑的長；
（3）求點B1到最短路徑的距離．
例題答案
例 解：設滑道AC的長度為x，則AB的長度為x米，AE的長度為（x-1）米。
在Rt△ACE中，由勾股定理得： ，
即
解得x=5
故滑道AC的長度為5米。
三.嘗試應用答案
1.C解析：在直角三角形ABC中，首先根據勾股定理求得AC=2.4，
則A′C=2.4﹣0.4=2，
在直角三角形A′B′C中，根據勾股定理求得B′C=1.5，
所以B′B=1.5﹣0.7=0.8，
故選C．
2.15m 解析：如圖，設樹的高度為x米，因兩只猴子所經過的距離相等都為30米．
由勾股定理得：x2+202=[30﹣（x﹣10）]2，解得x=15m．
故這棵樹高15m．
3.25 解析：將臺階展開矩形，線段AB恰好是直角三角形的斜邊，兩直角邊長分別為24寸，7寸，
由勾股定理得AB==25寸．
達標測試答案：
一．選擇題（共4小題）
1．【解析】根據題意畫出圖形，再根據勾股定理解答即可．
解：在Rt△DAB中，因為∠DAB=30°，AB=100，所以DB=50，
勾股定理得，DA=50，
在Rt△DCA中，因為BC=200，DB=50，所以DC=150，
因為DA=50，所以勾股定理得，AC=100．
故選B．
【點評】此題主要考查學生對方向角及勾股定理在實際生活中的運用．
　2．【解析】在圖示的直角三角形中，根據勾股定理可求出斜邊的距離，再求出兩直角邊的長進行比較即可．
解：根據勾股定理得，斜邊的長：=5（米），少走：3+4﹣5=2（米），
因為兩步為1米，所以少走了2×2=4步．故選C．
【點評】本題考查正確運用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學好數學的關鍵．
3.【解析】將正方體的左側面與前面展開，構成一個長方形，用勾股定理求出距離即可．
解：如圖，AB==．故選C．
【點評】此題求最短路徑，我們將平面展開，組成一個直角三角形，利用勾股定理求出斜邊就可以了．
二．填空題（共3小題）
4．【解析】根據題中所給的直角三角形的邊長求出斜邊長，找出規律即可解答．
解：第1個直角三角形的斜邊長是=；
第2個直角三角形的斜邊長是==；
…依次可得第n個直角三角形的斜邊長的被開方數比第（n﹣1）個直角三角形的斜邊長的被開方數大1；
故第n個直角三角形的斜邊長是．
故答案為：．
【點評】本題是一道找規律的題目，要求學生通過觀察，解析、歸納發現其中的規律，并應用發現的規律解決問題．　
　
5．【解析】先連接AB，求出AB的長，再判斷出△ABC的形狀即可解答．
解：作輔助線：連接AB，
因為△ABD是直角三角形，所以AB===5，
因為52+122=132，所以△ABC是直角三角形，
則要求的面積即是兩個直角三角形的面積差，
即×12×5﹣×3×4=30﹣6=24．
【點評】巧妙構造輔助線，問題即迎刃而解．綜合運用勾股定理及其逆定理．
三．解答題（共3小題）
6．【解析】要求面積，則要構成直角三角形，根據題意可畫出草圖．此題需分兩種情況討論：
（1）若∠ACB為鈍角時，作BD⊥AC交AC的延長線于D；
（2）若∠ACB為銳角時，作BD⊥AC交AC于D；兩種情況下，分別利用勾股定理解直角三角形可求出△ABC的高，則面積可求．
解：分兩種情況：
（1）如圖（1），當∠ACB為鈍角時，
因為BD是高，所以∠ADB=90度．
在Rt△BCD中，BC=40，BD=30，
所以．（1分）
在Rt△ABD中，AB=50，所以．（1分）
所以AC=AD﹣CD=40﹣10，
所以S△ABC=AC BD=（40﹣10）×30=（600﹣150）m2．（1分）
（2）如圖（2），當∠ACB為銳角時，
因為BD是高，
所以∠ADB=∠BDC=90°，
在Rt△ABD中，AB=50，BD=30，
所以．
同理，（1分）
所以AC=AD+CD=（40+10），（1分）
所以S△ABC=AC BD=（40+10）×30=（600+150）m2，（1分）
綜上所述：S△ABC=（600）m2．
【點評】構建直角三角形是解題的關鍵，此題主要用到勾股定理解題．
7.【解析】根據題意，先將長方體展開，再根據兩點之間線段最短．
解：（1）如圖，
木柜的表面展開圖是矩形ABC'1D1或ACC1A1．
故螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑有如圖的AC'1或AC1；
（2）螞蟻沿著木柜表面矩形ABC'1D1爬過的路徑AC'1的長是．
螞蟻沿著木柜表面矩形矩形AB1C1D爬過的路徑AC1的長=，
螞蟻沿著木柜表面ACC1A1爬過的路徑AC1的長是．
l1＞l2，故最短路徑的長是．
（3）作B1E⊥AC1于E，
因為∠C1EB1=∠C1A1A，∠A1C1A是公共角，
所以△AA1C1∽△B1EC1，
即=，
則 為所求．
　
　

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