資源簡介

1.3 探索三角形全等的條件
知識點一 三角形的穩定性
◆三角形的穩定性：三角形具有穩定性.
知識點二 全等三角形的概念
◆全等三角形的概念：能夠完全重合的三角形（長得完全一樣的三角形）
◆全等三角形的表示方法：
①△ABC≌△DEF（讀作：三角形 ABC 全等于三角形 DEF）
②頂點需要一一對應（即長得一樣的在描述中至于同等地位）
③從書寫中，我們根據一一對應的關系，可得：
a.點 A 與點 D 為對應頂點，點 B 與點 E 為對應頂點，點 C 與點 F 為對應頂點；
b.∠A 與∠D 為對應角，∠B 與∠E 為對應角，∠C 與∠F 為對應角；
c.AB 與 DE 為對應邊，AC 與 DF 為對應邊，BC 與 EF 為對應邊。
【注】找對應角對應邊的方法：
①圖形特征法；
②字母順序確定法
知識點三 全等三角形的性質
◆全等三角形的概念：
①對應邊、對應角相等
②周長、面積相等
③對應邊上的中線、角平分線、高相等
【注】
①平移、翻折、旋轉都是全等變換；
②縮放不是全等變換
知識點四 全等三角形的判斷
◆全等三角形的判定定理：
①SSS
②SAS
③ASA
④AAS
⑤HL 斜邊和直角邊分別相等的兩直角三角形全等（簡寫為 HL）．
題型一 三角形具有穩定性
解題技巧提煉
三角形具有穩定性．
1. （2023 秋 五蓮縣期中）如圖，工人師傅砌門時，常用木條 EF 固定門框 ABCD ，使其不變形，這種做
法的根據是 (　　 )
A．兩點之間線段最短 B．矩形的對稱性
C．矩形的四個角都是直角 D．三角形的穩定性
2. （2023 秋 梁山縣期中）人字梯中間一般會設計一“拉桿”，這樣做的道理是 (　　 )
A．兩點之間，線段最短 B．垂線段最短
C．兩直線平行，內錯角相等 D．三角形具有穩定性
3. （2023 秋 嵐山區期末）如圖，墻上置物架的底側一般會各設計一根斜桿，與水平和豎直方向的支架構
成三角形，這是利用三角形的 (　　 )
A．全等性 B．對稱性 C．穩定性 D．美觀性
4. （2024 春 青州市校級月考）如圖，一扇窗戶打開后，用窗鉤 AB 可將其固定，這里所運用的幾何原理
是 (　　 )
A．三角形的穩定性 B．兩點之間線段最短
C．兩點確定一條直線 D．垂線段最短
5. （2024 沂源縣二模）杜師傅在做完門框后，為防止門框變形常常需釘兩根斜拉的木條，這樣做的數學
原理是 　 　．
題型二 利用全等三角形的性質求度數
解題技巧提煉
全等三角形的對應角相等．
1. （2024 張店區二模）如圖所示的兩個三角形全等，則 E 的度數為 (　　 )
A．80° B． 70° C． 60° D．50°
2. （2024春 長清區期中）如圖，DABC @ DBAD，如果 CAB = 35° ， CBD = 30° ，那么 DAB 度數是 (　　 )
A． 60° B． 65° C． 75° D．85°
3. （2023 秋 定陶區期末）如圖，已知 DABC @ DDBE ，點 D 恰好在 AC 的延長線上， DBE = 20° ，
BDE = 41° ．則 BCD 的度數是 (　　 )
A． 60° B． 62° C． 61° D． 63°
4. （2023 秋 金鄉縣期末）已知圖中的兩個三角形全等，則 1等于 (　　 )
A．50° B．58° C． 60° D． 72°
5. （2023 秋 嘉祥縣期末）如圖，DABC @ DDBE ， C = 45° ， D = 35°， ABD = 40° ，則 ABE 的度
數是 (　　 )
A． 60° B． 65° C． 70° D． 75°
6. （2023 秋 海陽市期末）三個全等三角形按如圖所示擺放，則 1+ 2 + 3 = ( 　　 )
A．160° B．180° C． 200° D． 240°
7. （2023 秋 費縣期末）如圖，DABC @ DDEC ，點 E 在線段 AB 上， B = 75°，則 ACD 的度數為 (　　 )
A． 20° B． 25° C．30° D． 40°
8. （2023 秋 成武縣期末）如圖所示， AB = AC ， AD = AE ， BAC = DAE ， 1 = 25°， 2 = 30°，則
3 = 　　．
題型三 利用全等三角形的性質求長度
解題技巧提煉
全等三角形的對應邊、周長、面積相等．
1. （2024 春 濟南期中）如圖，點 B 、C 、 D 在同一直線上，若DABC @ DCDE ， DE = 4 ， BD = 13，則
AB 等于 (　　 )
A．7 B．8 C．9 D．10
2. （2023 秋 夏津縣期末）如圖，點 B 、C 、 D 在同一直線上，若DABC @ DCDE ， AB = 9， BD = 13，
則 DE 等于 (　　 )
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
3. （2023 秋 寧津縣期末）如圖，DACE @ DDBF ， AD = 8， BC = 2，則 AC = ( 　　 )
A．2 B．8 C．5 D．3
4. （2023 秋 長汀縣期中）如圖，DABC @ DDEC ， B 、C 、 D 在同一直線上，且CE = 5， AC = 7 ，則 BD
長 (　　 )
A．12 B．7 C．2 D．14
5. 如圖，DABC @ DDCB ，若 AC = 7 ， BE = 5，則 DE 的長為 (　　 )
A．2 B．3 C．4 D．5
6. （2023 秋 定陶區校級月考）如圖， DEFG @ DNMH ， E ， H ，G ， N 在同一條直線上， EF 和 NM ，
FG 和 MH 是對應邊，若 EH = 1.1cm ， NH = 3.3cm ，則線段 HG 的長為 (　　 )
A．1.1cm B． 2.2cm C．3.3cm D． 4.4cm
題型四 判定三角形全等
解題技巧提煉
全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
1. （2023 秋 鄒平市期末）如圖， AB = AC ，若要使DABE @ DACD，則添加的一個條件不能是 (　　 )
A． B = C B． BE = CD C． BD = CE D． ADC = AEB
2. （2023 秋 任城區期末）如圖，在 DABC 和 DDEC 中，已知 AB = DE ， B = E ，添加一個條件，不
能判定DABC @ DDEC 的是 (　　 )
A． ECB = DCA B． BC = EC C． A = D D． AC = DC
3. （2024 春 市中區校級期中）如圖，已知 1 = 2 ，要說明 DABD @ DACD ，還需從下列條件中選一個，
錯誤的選法是 (　　 )
A． ADB = ADC B． B = C C． DB = DC D． AB = AC
4. （2024 春 天橋區期中）如圖：OB = OD，添加下列條件 (　　 )不能保證DAOB @ DCOD．
A．OA = OC B． AB = CD C． A = C D． B = D
5. （2023 秋 無棣縣期末）如圖，點 E ， F 在 BC 上， BE = CF ， BED = AFC ，添加一個條件，不能
完全證明DABF @ DDCE 的是 (　　 )
A． B = C B． A = D C． AF = DE D． AB = DC
6. （2023 秋 濱城區期末）如圖，若 AB = AC ，則添加下列一個條件后，仍無法判定DABE @ DACD的是 (　　 )
A． B = C B． AE = AD C． BE = CD D． AEB = ADC
7. （2023 秋 曲阜市期末）如圖， AB 平分 DAC ，增加下列一個條件，不能判定DABC @ DABD的是 (　　 )
A． CBA = DBA B． BC = BD C． AC = AD D． C = D
題型五 全等三角形的綜合題
解題技巧提煉
利用三角形的全等的性質和判定做題．
1. （2023 秋 臨沭縣期末）如圖，在 DABC 中， AB = AC ， B = 40° ， D 為線段 BC 上一動點（不與點
B 、點 C 重合），連接 AD ，作 ADE = 40° ， DE 交線段 AC 于點 E ．以下四個結論：①
CDE = BAD；②當 D 為 BC 中點時， DE ^ AC ；③若 AD = DE ，則 BD = CE ；④當 DADE 為等腰
三角形時， EDC = 30°．其中正確的結論有 　 　 .（填寫正確結論的序號）
2. （2023 秋 高青縣期末）添加輔助線是很多同學感覺比較困難的事情．如圖 1，在 RtDABC中，
ABC 90 BD E ABC BE BA E C DE 2 = °， 是高， 是 D 外一點， = ， = ，若 = BD ， AD = 16 ，
5
BD = 20，求DBDE 的面積．同學們可以先思考一下 ，小穎思考后認為可以這樣添加輔助線：在 BD
上截取 BF = DE ，（如圖 2) ．同學們，根據小穎的提示，聰明的你可以求得 DBDE 的面積
為 　 　．
3. （2024 春 即墨區期中）如圖，點 B 、 E 在 AF 上，已知DABC @ DFED， A和 F 是對應角，CB 和 DE
是對應邊．
（1）再寫出其他的一組對應邊和一組對應角；
（2）判斷 AC 與 DF 的位置關系，并說明理由；
（3）若 AF = 8 ， BE = 2，求 AB 的長．
4. （ 2024 春 乳山市 期末） 如圖 ，在 DABC 中， AC = AB ， AD ^ BC ，過 點 C 作 CE / / AB ，
BCE = 50°，連接 ED并延長 ED交 AB 于點 F ．
（1）求 CAD ；
（2）證明：DCDE @ DBDF ；
（3）求證： AC = AF + CE ．
5. （2024 高青縣校級一模）如圖，點 E 在 CD上， BC 與 AE 交于點 F ， AB = CB ， BE = BD ，
1 = 2 ．
（1）求證：DABE @ DCBD；
（2）證明： 1 = 3．
6. （2024 春 鄆城縣期中）如圖， DE ^ AB于 E ， DF ^ AC 于 F ，若 BD = CD 、 BE = CF ，
（1）求證： AD 平分 BAC ；
（2）已知 AC = 20 ， BE = 4，求 AB 的長．
7. （2024 高青縣校級模擬）如圖， BAD = CAE = 90°， AB = AD， AE = AC ， AF ^ CB ，垂足為
F ．
（1）求證：DABC @ DADE ；
（2）求 FAE 的度數；
（3）求證：CD = 2BF + DE ．
8. （2023 秋 濰城區期末）如圖，DABC 是等腰三角形， AB = AC ，點 D 在邊 BC 上運動（與 B ，C 不重
合），點 E 、 F 分別在邊 AB ， AC 上，且始終有 DB = DE ， DC = DF ，連接 BF ，CE ，設 BF 與CE
交于點G ．
（1）求證： BF = CE ；
（2）若 BAC = 50°，隨著點 D 的運動， EGF 的大小是否為定值？如果是定值，請求出 EGF 的度數；
如果不是定值，請說明理由．
題型六 全等三角形的動點問題
解題技巧提煉
動點問題最重要的就是用利用動點表示線段長．
1. （2024 春 墾利區期末）如圖， AE 與 BD相交于點C ， AC = EC ， BC = DC ， AB = 6cm ，點 P 從點 A
出發，沿 A B A 方向以3cm / s 的速度運動，點Q從點 D 出發，沿 D E 方向以1cm / s 的速度運動，
P ，Q兩點同時出發．當點 P 到達點 A時， P ，Q兩點同時停止運動．設點 P 的運動時間為 t s ．
（1）求證： AB / /DE ；
（2）連接 PQ，當線段 PQ經過點C 時，求 t 的值．
2. （2023 秋 鐵鋒區期末）綜合與實踐：
已知：如圖，在DABC 中， AB = AC = 12厘米， BC = 9 厘米，點 D 為 AB 的中點．
（1）如果點 P 在線段 BC 上以 3 厘米 / 秒的速度由 B 點向C 點運動，同時，點Q在線段CA 上由C 點向 A點
運動，運動的時間 t 秒．
①若點Q的運動速度與點 P 的運動速度相等， t = 1時， DBPD 與 DCQP是否全等 　 　（填“是”或“否
)；
②若點Q的運動速度與點 P 的運動速度不相等，當 DBPD 與 DCQP全等時，請直接寫出點Q的運動速度為
　　．
（2）若點Q以（1）②中的運動速度從點C 出發，點 P 以原來的運動速度從點 B 同時出發，都逆時針沿DABC
三邊運動，則經過多長時間，點 P 與點Q第一次在DABC 的哪條邊上相遇？此時相遇點距離 B 點的路程是
多少？
3. 如圖，已知正方形 ABCD 的邊長為10cm，點 E 在 AB 邊上， BE = 6cm ．
（1）如果點 P 在線段 BC 上以 4cm / s 的速度由 B 點向C 點運動，同時，點Q在線段CD上由C 點向 D 點運
動．
①若點Q的運動速度與點 P 的運動速度相等，經過 1 秒后，DBPE 與DCQP是否全等．請說明理由．
②若點Q的運動速度與點 P 的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使DBPE 與DCQP全等？
（2）若點Q以②中的運動速度從點C 出發，點 P 以原來的運動速度從點 B 同時出發，都逆時針沿正方形
ABCD 四邊運動，求經過多長時間點 P 與點Q第一次在正方形 ABCD 邊上的何處相遇？相遇點在何處？
4. （2022 春 神木市期末）如圖 1， AE 與 BD相交于點C ． AC = EC ， BC = DC ．
（1）求證： AB / /DE ；
（2）如圖 2，過點C 作 PQ交 AB 于 P ，交 DE 于Q，求證：CP = CQ；
（3）如圖 3，若 AB = 8cm，點 P 從點 A出發，沿 A B A 方向以 3cm / s 的速度運動，點Q從點 D 出發，
沿 D E 方向以1cm / s 的速度運動， P 、Q兩點同時出發．當點 P 到達點 A時， P 、Q兩點同時停止運動，
設點 P 的運動時間為 t(s) ．連接 PQ，當線段 PQ經過點C 時，求出 t 的值．1.3 探索三角形全等的條件
知識點一 三角形的穩定性
◆三角形的穩定性：三角形具有穩定性.
知識點二 全等三角形的概念
◆全等三角形的概念：能夠完全重合的三角形（長得完全一樣的三角形）
◆全等三角形的表示方法：
①△ABC≌△DEF（讀作：三角形 ABC 全等于三角形 DEF）
②頂點需要一一對應（即長得一樣的在描述中至于同等地位）
③從書寫中，我們根據一一對應的關系，可得：
a.點 A 與點 D 為對應頂點，點 B 與點 E 為對應頂點，點 C 與點 F 為對應頂點；
b.∠A 與∠D 為對應角，∠B 與∠E 為對應角，∠C 與∠F 為對應角；
c.AB 與 DE 為對應邊，AC 與 DF 為對應邊，BC 與 EF 為對應邊。
【注】找對應角對應邊的方法：
①圖形特征法；
②字母順序確定法
知識點三 全等三角形的性質
◆全等三角形的概念：
①對應邊、對應角相等
②周長、面積相等
③對應邊上的中線、角平分線、高相等
【注】
①平移、翻折、旋轉都是全等變換；
②縮放不是全等變換
知識點四 全等三角形的判斷
◆全等三角形的判定定理：
①SSS
②SAS
③ASA
④AAS
⑤HL 斜邊和直角邊分別相等的兩直角三角形全等（簡寫為 HL）．
題型一 三角形具有穩定性
解題技巧提煉
三角形具有穩定性．
1. （2023 秋 五蓮縣期中）如圖，工人師傅砌門時，常用木條 EF 固定門框 ABCD ，使其不變形，這種做
法的根據是 (　　 )
A．兩點之間線段最短 B．矩形的對稱性
C．矩形的四個角都是直角 D．三角形的穩定性
【分析】根據三角形的穩定性進行解答即可．
【解答】解：工人蓋房時常用木條 EF 固定矩形門框 ABCD ，使其不變形這種做法的根據是三角形的穩定性，
故選： D ．
2. （2023 秋 梁山縣期中）人字梯中間一般會設計一“拉桿”，這樣做的道理是 (　　 )
A．兩點之間，線段最短 B．垂線段最短
C．兩直線平行，內錯角相等 D．三角形具有穩定性
【分析】根據三角形的穩定性解答即可．
【解答】解：人字梯中間一般會設計一“拉桿”，是為了形成三角形，利用三角形具有穩定性來增加其穩
定性，
故選： D ．
3. （2023 秋 嵐山區期末）如圖，墻上置物架的底側一般會各設計一根斜桿，與水平和豎直方向的支架構
成三角形，這是利用三角形的 (　　 )
A．全等性 B．對稱性 C．穩定性 D．美觀性
【分析】三角形具有穩定性，由此即可得到答案．
【解答】解：墻上置物架的底側一般會各設計一根斜桿，與水平和豎直方向的支架構成三角形，這是利用
三角形的穩定性．
故選：C ．
4. （2024 春 青州市校級月考）如圖，一扇窗戶打開后，用窗鉤 AB 可將其固定，這里所運用的幾何原理
是 (　　 )
A．三角形的穩定性 B．兩點之間線段最短
C．兩點確定一條直線 D．垂線段最短
【分析】根據三角形的穩定性即可解決問題．
【解答】解：根據三角形的穩定性可固定窗戶．
故選： A．
5. （2024 沂源縣二模）杜師傅在做完門框后，為防止門框變形常常需釘兩根斜拉的木條，這樣做的數學
原理是 　 　．
【分析】杜師傅這樣做是為了構成三角形，根據三角形的三邊一旦確定，則形狀大小完全確定，即三角形
的穩定性來解決問題．
【解答】解：杜師傅在做完門框后，為防止門框變形常常需釘兩根斜拉的木條，這樣做就構成了三角形，
利用的數學原理是三角形的穩定性．
故答案為：三角形的穩定性．
題型二 利用全等三角形的性質求度數
解題技巧提煉
全等三角形的對應角相等．
1. （2024 張店區二模）如圖所示的兩個三角形全等，則 E 的度數為 (　　 )
A．80° B． 70° C． 60° D．50°
【分析】根據題意和圖形，可知 E 是邊 DF = n的對角，由第一個三角形可以得到 E = B 的度數，本題
得以解決．
【解答】解：Q圖中的兩個三角形全等，
\ E = B = 180° - 45° - 65° = 70°，
故選： B ．
2. （2024春 長清區期中）如圖，DABC @ DBAD，如果 CAB = 35° ， CBD = 30° ，那么 DAB 度數是 (　　 )
A． 60° B． 65° C． 75° D．85°
【分析】先根據全等三角形的性質得到 DBA = CAB = 35°， DAB = CBA，然后計算出 CBA = 65°，
從而得到 DAB 的度數．
【解答】解：QDABC @ DBAD ，
\ DBA = CAB = 35° ， DAB = CBA，
\ CBA = DAB + CBD = 35° + 30° = 65°，
\ DAB 的度數是 65°．
故選： B ．
3. （2023 秋 定陶區期末）如圖，已知 DABC @ DDBE ，點 D 恰好在 AC 的延長線上， DBE = 20° ，
BDE = 41° ．則 BCD 的度數是 (　　 )
A． 60° B． 62° C． 61° D． 63°
【分析】由全等三角形的對應角相等，得到 ABC = DBE = 20° ， A = BDE = 41° ，由三角形外角的性
質等到 BCD = A + ABC = 61°．
【解答】解：Q ABC @ DDBE ，
\ ABC = DBE = 20°， A = BDE = 41° ，
\ BCD = A + ABC = 61°．
故選：C ．
4. （2023 秋 金鄉縣期末）已知圖中的兩個三角形全等，則 1等于 (　　 )
A．50° B．58° C． 60° D． 72°
【分析】根據已知數據找出對應角，根據全等得出 A = D = 50°， F = C = 72°，根據三角形內角和定
理求出即可．
【解答】解：
QDABC 和DDEF 全等， AC = DF = b， DE = AB = a，
\ 1 = B ， A = D = 50°， F = C = 72°，
\ 1 = 180° - D - F = 58° ，
故選： B ．
5. （2023 秋 嘉祥縣期末）如圖，DABC @ DDBE ， C = 45° ， D = 35°， ABD = 40° ，則 ABE 的度
數是 (　　 )
A． 60° B． 65° C． 70° D． 75°
【分析】根據題意求出 EBD = 100° ，利用角之間的關系計算即可．
【解答】解：QDABC @ DDBE ，
\ E = C = 45° ，
Q D = 35° ，
\ EBD = 180° - D - E = 100° ，
Q ABD = 40°，
\ ABE = DBE - ABD = 60° ，
故選： A．
6. （2023 秋 海陽市期末）三個全等三角形按如圖所示擺放，則 1+ 2 + 3 = ( 　　 )
A．160° B．180° C． 200° D． 240°
【分析】由全等三角形的性質得到 4 = D， 5 = 6，由三角形內角和定理得到 6 + D + BCD = 180°，
因此 4 + 5 + BCD = 180°，由三角形外角的性質推出 1+ 4 + 3 + 5 + 2 + BCD = 360°，即可求出
1+ 2 + 3 = 180°．
【解答】解：由全等三角形的性質得到 4 = D， 5 = 6，
Q 6 + D + BCD = 180° ，
\ 4 + 5 + BCD = 180° ，
Q 1+ 4 + 3 + 5 + 2 + BCD = 360° ，
\ 1+ 2 + 3 = 180° ．
故選： B ．
7. （2023 秋 費縣期末）如圖，DABC @ DDEC ，點 E 在線段 AB 上， B = 75°，則 ACD 的度數為 (　　 )
A． 20° B． 25° C．30° D． 40°
【 分 析 】 由 全 等 三 角 形 的 性 質 可 得 ACB = DCE ， BC = EC ， 可 求 得 BCE = ACD ，
BEC = B = 75°，由三角形的內角和可求得 BCE = 30°，從而得解．
【解答】解：QDABC @ DDEC ，
\ ACB = DCE ， BC = EC ，
\ ACB - ACE = DCE - ACE ，
即 BCE = ACD ，
BEC = B = 75°，
\ BCE = 180° - B - BEC = 30°，
\ ACD = 30°．
故選：C ．
8. （2023 秋 成武縣期末）如圖所示， AB = AC ， AD = AE ， BAC = DAE ， 1 = 25°， 2 = 30°，則
3 = 　　．
【分析】求出 BAD = EAC ，證 DBAD @ DCAE ，推出 2 = ABD = 30°，根據三角形的外角性質求出即
可．
【解答】解：Q BAC = DAE ，
\ BAC - DAC = DAE - DAC ，
\ 1 = EAC ，
在DBAD 和DCAE 中，
ìAB = AC

í BAD = CAE

AD = AE
\DBAD @ DCAE(SAS)，
\ 2 = ABD = 30° ，
Q 1 = 25° ，
\ 3 = 1+ ABD = 25° + 30° = 55° ，
故答案為：55°．
題型三 利用全等三角形的性質求長度
解題技巧提煉
全等三角形的對應邊、周長、面積相等．
1. （2024 春 濟南期中）如圖，點 B 、C 、 D 在同一直線上，若DABC @ DCDE ， DE = 4 ， BD = 13，則
AB 等于 (　　 )
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】由全等三角形的性質推出 AB = CD ， BC = DE = 4 ，求出CD = BD - BC = 13 - 4 = 9，即可得到 AB
的長．
【解答】解：QDABC @ DCDE ，
\ AB = CD， BC = DE = 4 ，
QBD = 13，
\CD = BD - BC = 13 - 4 = 9，
\ AB = CD = 9 ．
故選：C ．
2. （2023 秋 夏津縣期末）如圖，點 B 、C 、 D 在同一直線上，若DABC @ DCDE ， AB = 9， BD = 13，
則 DE 等于 (　　 )
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【分析】根據全等三角形的性質可得 BC = DE ，CD = AB = 9，然后由 BC = BD - CD 求出 BC 的值，即可獲
得答案．
【解答】解：QDABC @ DCDE ， AB = 9， BD = 13，
\ BC = DE ，CD = AB = 9，
Q點 B 、C 、 D 在同一直線上，
\ BC = BD - CD = 13 - 9 = 4，
\ DE = BC = 4 ．
故選：C ．
3. （2023 秋 寧津縣期末）如圖，DACE @ DDBF ， AD = 8， BC = 2，則 AC = ( 　　 )
A．2 B．8 C．5 D．3
1
【分析】根據全等三角形的對應邊相等可得 AC = DB ，再求出 AB = CD = (AD - BC) = 3，那么
2
AC = AB + BC ，代入數值計算即可得解．
【解答】解：QDACE @ DDBF ，
\ AC = DB，
\ AC - BC = DB - BC ，即 AB = CD ，
Q AD = 8， BC = 2，
1
\ AB = (AD 1- BC) = (8 - 2) = 3，
2 2
\ AC = AB + BC = 3 + 2 = 5．
故選：C ．
4. （2023 秋 長汀縣期中）如圖，DABC @ DDEC ， B 、C 、 D 在同一直線上，且CE = 5， AC = 7 ，則 BD
長 (　　 )
A．12 B．7 C．2 D．14
【分析】由全等三角形的性質得到 AC = DC = 7 ，CB = CE = 5，再根據 BD = DC + CB 即可得解．
【解答】解：QDABC @ DDEC ，
\ AC = DC ，CB = CE ，
QCE = 5， AC = 7 ，
\CB = 5， DC = 7，
\ BD = DC + CB = 7 + 5 = 12 ．
故選： A．
5. 如圖，DABC @ DDCB ，若 AC = 7 ， BE = 5，則 DE 的長為 (　　 )
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根據全等三角形的對應邊相等推知 BD = AC = 7 ，然后根據線段的和差即可得到結論．
【解答】解：QDABC @ DDCB，
\ BD = AC = 7 ，
QBE = 5，
\ DE = BD - BE = 2 ，
故選： A．
6. （2023 秋 定陶區校級月考）如圖， DEFG @ DNMH ， E ， H ，G ， N 在同一條直線上， EF 和 NM ，
FG 和 MH 是對應邊，若 EH = 1.1cm ， NH = 3.3cm ，則線段 HG 的長為 (　　 )
A．1.1cm B． 2.2cm C．3.3cm D． 4.4cm
【分析】由全等三角形的對應邊相等得到 EG = NH = 3.3cm ，而 EH = 1.1cm ，即可求出 HG 的值．
【解答】解：QDEFG @ DNMH ，
\ EG = NH = 3.3cm，
QEH = 1.1cm ，
\ HG = EG - EH = 2.2cm ．
故選： B ．
題型四 判定三角形全等
解題技巧提煉
全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
1. （2023 秋 鄒平市期末）如圖， AB = AC ，若要使DABE @ DACD，則添加的一個條件不能是 (　　 )
A． B = C B． BE = CD C． BD = CE D． ADC = AEB
【分析】已知條件 AB = AC ，還有公共角 A，然后再結合選項所給條件和全等三角形的判定定理進行分析
即可．
【解答】解： A、添加 B = C 可利用 ASA定理判定DABE @ DACD，故此選項不合題意；
B 、添加 BE = CD 不能判定DABE @ DACD，故此選項符合題意；
C 、添加 BD = CE 可得 AD = AE ，可利用利用 SAS 定理判定DABE @ DACD，故此選項不合題意；
D 、添加 ADC = AEB 可利用 AAS 定理判定DABE @ DACD，故此選項不合題意；
故選： B ．
2. （2023 秋 任城區期末）如圖，在 DABC 和 DDEC 中，已知 AB = DE ， B = E ，添加一個條件，不
能判定DABC @ DDEC 的是 (　　 )
A． ECB = DCA B． BC = EC C． A = D D． AC = DC
【分析】根據全等三角形的判定方法對各選項進行判斷．
【解答】解：Q AB = DE ， B = E ，
\當添加 ECB = DCA，則 ACB = DCE ，則可根據“ AAS ”判斷DABC @ DDEC ；
當添加 BC = EC ，則可根據“ SAS ”判斷DABC @ DDEC ；
當添加 A = D ，則可根據“ ASA”判斷DABC @ DDEC ．
故選： D ．
3. （2024 春 市中區校級期中）如圖，已知 1 = 2 ，要說明 DABD @ DACD ，還需從下列條件中選一個，
錯誤的選法是 (　　 )
A． ADB = ADC B． B = C C． DB = DC D． AB = AC
【分析】先要確定現有已知在圖形上的位置，結合全等三角形的判定方法對選項逐一驗證，排除錯誤的選
項．本題中C 、 AB = AC 與 1 = 2 、 AD = AD 組成了 SSA 是不能由此判定三角形全等的．
【解答】解： A、加 ADB = ADC ，Q 1 = 2， AD = AD ， ADB = ADC ，\DABD @ DACD(ASA) ，
是正確選法；
B 、加 B = CQ 1 = 2 ， AD = AD ， B = C ，\DABD @ DACD(AAS) ，是正確選法；
C 、加 DB = DC ，滿足 SSA ，不能得出DABD @ DACD ，是錯誤選法；
D 、加 AB = AC ，Q 1 = 2， AD = AD ， AB = AC ，\DABD @ DACD(SAS) ，是正確選法．
故選：C ．
4. （2024 春 天橋區期中）如圖：OB = OD，添加下列條件 (　　 )不能保證DAOB @ DCOD．
A．OA = OC B． AB = CD C． A = C D． B = D
【分析】由全等三角形的判定，即可判斷．
【解答】解： A、OA = OC ，又 AOB = COD ，OB = OD，由 SAS 判定DAOB @ DCOD，故 A不符合題意；
B 、 AB = CD ， AOB ， COD 分別是 AB 和CD的對角，不能判定DAOB @ DCOD，故 B 符合題意；
C 、 A = C ，又 AOB = COD ，OB = OD，由 AAS 判定DAOB @ DCOD，故C 不符合題意；
D 、 B = D ，OB = OD， AOB = COD ，由 ASA判定DAOB @ DCOD，故 D 不符合題意．
故選： B ．
5. （2023 秋 無棣縣期末）如圖，點 E ， F 在 BC 上， BE = CF ， BED = AFC ，添加一個條件，不能
完全證明DABF @ DDCE 的是 (　　 )
A． B = C B． A = D C． AF = DE D． AB = DC
【分析】先根據 BED = AFC 得出 DEC = AFB ，再根據全等三角形的判定定理解答即可．
【解答】解：Q BED = AFC ，
\ DEC = AFB ，
QBE = CF ，
\ BE + EF = CF + EF ，即 BF = CE ，
當 B = C 時，符合 ASA定理，可以判定DABF @ DDCE ，故 A不符合題意；
當 A = D 時，符合 AAS 定理，可以判定DABF @ DDCE ，故 B 不符合題意；
當 AF = DE 時，符合 SAS 定理，可以判定DABF @ DDCE ，故C 不符合題意；
當 AB = DC 時，不符合判定三角形全等的定理，不能判定DABF @ DDCE ，故 D 符合題意．
故選： D ．
6. （2023 秋 濱城區期末）如圖，若 AB = AC ，則添加下列一個條件后，仍無法判定DABE @ DACD的是 (　　 )
A． B = C B． AE = AD C． BE = CD D． AEB = ADC
【分析】根據 ASA即可判斷 A；根據 SAS 即可判斷 B ；根據 SSA 兩三角形不一定全等即可判斷C ；根據 AAS
即可判斷 D ．
【解答】解： A、根據 ASA( A = A， C = B ， AB = AC) 能推出DABE @ DACD，正確，故本選項錯誤；
B 、根據 SAS( A = A， AB = AC ， AE = AD)能推出DABE @ DACD，正確，故本選項錯誤；
C 、兩邊和一角對應相等的兩三角形不一定全等，錯誤，故本選項正確；
D 、根據 AAS( A = A， AB = AC ， AEB = ADC) 能推出DABE @ DACD，正確，故本選項錯誤；
故選：C ．
7. （2023 秋 曲阜市期末）如圖， AB 平分 DAC ，增加下列一個條件，不能判定DABC @ DABD的是 (　　 )
A． CBA = DBA B． BC = BD C． AC = AD D． C = D
【分析】根據角平分線的定義得出 CAB = DAB ，再根據全等三角形的判定定理逐個判斷即可．
【解答】解：Q AB 平分 DAC ，
\ CAB = DAB，
A． CAB = DAB ， AB = AB ， CBA = DBA，符合全等三角形的判定定理 ASA，能推出DABC @ DABD，
故本選項不符合題意；
B ． CAB = DAB ， AB = AB ， BC = BD，不符合全等三角形的判定定理，不能推出DABC @ DABD，故
本選項符合題意；
C ． AC = AD， CAB = DAB ， AB = AB ，符合全等三角形的判定定理 SAS ，能推出DABC @ DABD，故
本選項不符合題意；
D ． C = D ， CAB = DAB ， AB = AB ，符合全等三角形的判定定理 AAS ，能推出 DABC @ DABD，
故本選項不符合題意；
故選： B ．
題型五 全等三角形的綜合題
解題技巧提煉
利用三角形的全等的性質和判定做題．
1. （2023 秋 臨沭縣期末）如圖，在 DABC 中， AB = AC ， B = 40° ， D 為線段 BC 上一動點（不與點
B 、點 C 重合），連接 AD ，作 ADE = 40° ， DE 交線段 AC 于點 E ．以下四個結論：①
CDE = BAD；②當 D 為 BC 中點時， DE ^ AC ；③若 AD = DE ，則 BD = CE ；④當 DADE 為等腰
三角形時， EDC = 30°．其中正確的結論有 　 　 .（填寫正確結論的序號）
【分析】①由三角形外角的性質可得出結論；②由等腰三角形的性質可得出結論；③證明
DABD @ DDCE(AAS) ，得出 AB = DC ；④由等腰三角形的性質可得出結論．
【解答】解：①Q ADC = B + BAD， B = ADE = 40°，
\ BAD = CDE ，
故①正確；
②QD為 BC 中點， AB = AC ，
\ AD ^ BC ，
\ ADC = 90° ，
Q ADE = 40°，
\ CDE = 50° ，
Q C = 40°，
\ DEC = 90° ，
\ DE ^ CE ；
③Q AB = AC ，
\ B = C = 40°，
由①知： DEC = BDA，
Q AD = DE ，
\DABD @ DDCE(AAS)，
\ AB = DC ，
故③正確；
④Q C = 40°，
\ AED > 40°，
\ ADE AED，
QDADE 為等腰三角形，
\ AE = DE 或 AD = DE ，
當 AE = DE 時， DAE = ADE = 40°，
Q BAC = 180° - 40° - 40° = 100°，
\ BAD = CDE = 60° ，
當 AD = DE 時， DAE = DEA = 70°，
\ BAD = CDE = 30° ，
故④不正確．
故答案為：①②③．
2. （2023 秋 高青縣期末）添加輔助線是很多同學感覺比較困難的事情．如圖 1，在 RtDABC中，
ABC 2= 90°， BD是高， E 是 DABC 外一點， BE = BA， E = C ，若 DE = BD ， AD = 16 ，
5
BD = 20，求DBDE 的面積．同學們可以先思考一下 ，小穎思考后認為可以這樣添加輔助線：在 BD
上截取 BF = DE ，（如圖 2) ．同學們，根據小穎的提示，聰明的你可以求得 DBDE 的面積
為 　 　．
【分析】由DABF @ DBDE ，求出 BF ， DF 的長，再由面積公式求得即可．
【解答】解：如圖所示，連接 AF ，
ABD = 180° - BDA - BAD = 90° - BAD ，
C = 180° - ABC - BAD = 90° - BAD，
Q ABD = C ，
Q E = C ，
Q ABD = E ，
在DABF 與DBED 中，
ìAB = BE

í ABF = BED ，

BF = DE
\DABF @ DBED(SAS) ，
\SDABF = SDBDE ，
Q S 1DABD = BD × AD
1
= 20 16 = 160 ，
2 2
QBF 2= 20 = 8，
5
\ DF = BD - BF = 20 - 8 = 12，
S 1\ DAFD = AD × DF
1
= 12 16 = 96 ，
2 2
QSDABF = SDABD - SDAFD ，
\SDBDE = SDABF = 160 - 96 = 64．
故答案為：64．
3. （2024 春 即墨區期中）如圖，點 B 、 E 在 AF 上，已知DABC @ DFED， A和 F 是對應角，CB 和 DE
是對應邊．
（1）再寫出其他的一組對應邊和一組對應角；
（2）判斷 AC 與 DF 的位置關系，并說明理由；
（3）若 AF = 8 ， BE = 2，求 AB 的長．
【分析】（1）根據全等三角形的性質求解即可；
（2）根據全等三角形的性質得到 A = F ，即可判定 AC / /DF ；
（3）根據全等三角形的對應邊相等得到 AB = FE ，進而得出 AE = BF ，根據線段的和差求解即可．
【解答】解：（1）QDABC @ DFED ，
\ ABC 和 DEF 是對應角， C 和 D 是對應角， AC 和 FD是對應邊， AB 和 EF 是對應邊；（答案不唯
一）
（2） AC / /DF ．
理由：因為DABC @ DFED，
所以 A = F ，
所以 AC / /DF ．
（3）因為DABC @ DFED，
所以 AB = FE ，
所以 AB - BE = FE = BE ，即 AE = BF ．
因為 AF = 8 ， BE = 2，
所以 AE + BF = AF - BE = 6 ，
所以 AE = 3，
所以 AB = AE + BE = 5 ．
4. （ 2024 春 乳山市 期末） 如圖 ，在 DABC 中， AC = AB ， AD ^ BC ，過 點 C 作 CE / / AB ，
BCE = 50°，連接 ED并延長 ED交 AB 于點 F ．
（1）求 CAD ；
（2）證明：DCDE @ DBDF ；
（3）求證： AC = AF + CE ．
【分析】（1）根據平行線的性質得到 B = BCE = 50°，根據等腰三角形的性質得到 ACD = B = 50°，
根據三角形的內角和定理即可得到結論；
（2）根據等腰三角形的性質得到CD = BD ，根據平行線的性質得到 E = EFB ， ECD = B ，根據全等
三角形的判定定理即可得到結論；
（3）根據全等三角形的性質即可得到結論．
【解答】（1）解：QCE / / AB ， BCE = 50°，
\ B = BCE = 50° ，
Q AC = AB ，
\ ACD = B = 50°，
Q AD ^ BC ，
\ ADC = 90° ，
\ CAD = 90° - 50° = 40° ；
（2）證明：Q AB = AC ， AD ^ BC ，
\CD = BD ，
QCE / / AB ，
\ E = EFB ， ECD = B ，
在DCDE 與DBDF 中，
ì E = DFB

í ECD = B ，

CD = BD
\DCDE @ DBDF (AAS) ；
（3）證明：QDCDE @ DBDF ，
\CE = BF ，
Q AC = AB = AF + BF ，
\ AC = AF + CE ．
5. （2024 高青縣校級一模）如圖，點 E 在 CD上， BC 與 AE 交于點 F ， AB = CB ， BE = BD ，
1 = 2 ．
（1）求證：DABE @ DCBD；
（2）證明： 1 = 3．
【分析】（1）根據等式的性質得 ABE = CBD ，再利用 SAS 即可證明結論成立；
（2）根據全等三角形的對應角相等得 A = C ，對頂角相等得 AFB = CFE ，利用三角形內角和定理可
得結論．
【解答】證明：（1）Q 1 = 2．
\ ABE = CBD ，
在DABE 和DCBD中，
ìAB = CB

í ABE = CBD ，

BE = BD
\DABE @ DCBD(SAS)；
（2）由第一小問得DABE @ DCBD，
\ A = C ，
Q AFB = CFE ，
\ 1 = 3．
6. （2024 春 鄆城縣期中）如圖， DE ^ AB于 E ， DF ^ AC 于 F ，若 BD = CD 、 BE = CF ，
（1）求證： AD 平分 BAC ；
（2）已知 AC = 20 ， BE = 4，求 AB 的長．
【分析】（1）求出 E = DFC = 90° ，根據全等三角形的判定定理得出 RtDBED @ RtDCFD ，推出
DE = DF ，根據角平分線性質得出即可；
（2）根據全等三角形的性質得出 AE = AF ， BE = CF ，即可求出答案．
【解答】（1）證明：QDE ^ AB ， DF ^ AC ，
\ E = DFC = 90°，
\在RtDBED 和RtDCFD 中，
ìBD = CD
í ，
BE = CF
\RtDBED @ RtDCFD(HL) ，
\ DE = DF ，
QDE ^ AB ， DF ^ AC ，
\ AD平分 BAC ；
（2）解：Q AED = AFD = 90° ， AD = AD ， DE = DF ，
\RtDADE @ RtDADF(HL)
\ AE = AF ，
Q AC = 20，CF = BE = 4，
\ AE = AF = 20 - 4 = 16 ，
\ AB = AE - BE = 16 - 4 = 12 ．
7. （2024 高青縣校級模擬）如圖， BAD = CAE = 90°， AB = AD， AE = AC ， AF ^ CB ，垂足為
F ．
（1）求證：DABC @ DADE ；
（2）求 FAE 的度數；
（3）求證：CD = 2BF + DE ．
【分析】（1）根據題意和題目中的條件可以找出DABC @ DADE 的條件；
（2）根據（1）中的結論和等腰直角三角形的定義可以得到 FAE 的度數；
（3）根據題意和三角形全等的知識，作出合適的輔助線即可證明結論成立．
【解答】證明：（1）Q BAD = CAE = 90° ，
\ BAC + CAD = 90° ， CAD + DAE = 90° ，
\ BAC = DAE ，
在DBAC 和DDAE 中，
ìAB = AD

í BAC = DAE ，

AC = AE
\DBAC @ DDAE(SAS) ；
（2）Q CAE = 90°， AC = AE ，
\ E = 45°，
由（1）知DBAC @ DDAE ，
\ BCA = E = 45°，
Q AF ^ BC ，
\ CFA = 90° ，
\ CAF = 45°，
\ FAE = FAC + CAE = 45° + 90° = 135°；
（3）延長 BF 到G ，使得 FG = FB ，
Q AF ^ BG ，
\ AFG = AFB = 90° ，
在DAFB 和DAFG 中，
ìBF = GF

í AFB = AFG ，

AF = AF
\DAFB @ DAFG(SAS)，
\ AB = AG ， ABF = G，
QDBAC @ DDAE ，
\ AB = AD ， CBA = EDA，CB = ED，
\ AG = AD ， ABF = CDA，
\ G = CDA，
Q GCA = DCA = 45°，
在DCGA和DCDA中，
ì GCA = DCA

í CGA = CDA，

AG = AD
\DCGA @ DCDA(AAS)，
\CG = CD ，
QCG = CB + BF + FG = CB + 2BF = DE + 2BF ，
\CD = 2BF + DE ．
8. （2023 秋 濰城區期末）如圖，DABC 是等腰三角形， AB = AC ，點 D 在邊 BC 上運動（與 B ，C 不重
合），點 E 、 F 分別在邊 AB ， AC 上，且始終有 DB = DE ， DC = DF ，連接 BF ，CE ，設 BF 與CE
交于點G ．
（1）求證： BF = CE ；
（2）若 BAC = 50°，隨著點 D 的運動， EGF 的大小是否為定值？如果是定值，請求出 EGF 的度數；
如果不是定值，請說明理由．
【分析】（1）設 ABC = a ，根據等腰三角形得 ABC = ACB = a ，再根據 DB = DE ， DC = DF ，得
DEB = ABC = a ， DFC = ACB = a ， 進 而 得 BDE = 180° - 2a ， CDF = 180° - 2a ， 則
BDE = CDF ，由此可得 BDF = EDC ，進而可依據“ SAS ”判定 DBDF 和 DEDC 全等，然后根據全
等三角形的性質可得出結論；
（ 2 ） 設 DBF = b ， DCE = q ， 由 （ 1 ） 可 知 DBDF @ DEDC ， 根 據 全 等 三 角 形 的 性 質 得
DEC = DBF = b ， DFB = DCE = q ，再由 AB = AC ， BAC = 50°，得 ABC = ACB = a = 65°，進
而 得 BDE = 180° - 2a = 50°， CDF = 180° - 2a = 50°， EDF = 80° ， 則 BDF = 130°， 由 此 可 得
b +q = 50°， 然 后 由 三 角 形 的 外 角 定 理 得 AEC = 65° +q ， AFB = 65° + b ， 則
AEC + AFB = 130° + b +q = 180°，最后在四邊形 AEGF 中，利用四邊形的內角和等于180° 可求出 EGF
的度數．
【解答】（1）證明：設 ABC = a ，
Q AB = AC ，
\ ABC = ACB = a ，
QDB = DE ， DC = DF ，
\ DEB = ABC = a ， DFC = ACB = a ，
\ BDE = 180° - ( DEB + ABC) = 180° - 2a ， CDF = 180° - ( DFC + ACB) = 180° - 2a ，
\ BDE = CDF ，
\ BDE + EDF = CDF + EDF ，
即 BDF = EDC ，
在DBDF 和DEDC 中，
ìDB = DE

í BDF = EDC ，

DC = DF
\DBDF @ DEDC(SAS)，
\ BF = CE ；
（2）若 BAC = 50°，隨著點 D 的運動， EGF 的大小為定值．
設 DBF = b ， DCE = q ，
由（1）可知：DBDF @ DEDC ，
\ DEC = DBF = b ， DFB = DCE = q ，
Q AB = AC ， BAC = 50°，
ABC 1 1\ = ACB = (180° - BAC) = (180° - 50°) = 65° ，
2 2
即 ABC = ACB = a = 65°，
由（1）可知： BDE = 180° - 2a = 50°， CDF = 180° - 2a = 50°，
\ EDF = 180° - BDE - CDF = 180° - 50° - 50° = 80° ，
\ BDF = BDE + EDF = 50° + 80° = 130° ，
\ DBF + DFB = 180° - BDF = 180° -130° = 50°，
即 b +q = 50°，
Q AEC = ABC + DCE = 65° +q ， AFB = ACB + DBF = 65° + b ，
\ AEC + AFB = 65° +q + 65° + b = 130° + b +q = 180° ，
在四邊形 AEGF 中， AEC + AFB + BAC + EGF = 360°，
\180° + 50° + EGF = 360° ，
\ EGF = 130° ．
即隨著點 D 的運動， EGF = 130°為定值．
題型六 全等三角形的動點問題
解題技巧提煉
動點問題最重要的就是用利用動點表示線段長．
1. （2024 春 墾利區期末）如圖， AE 與 BD相交于點C ， AC = EC ， BC = DC ， AB = 6cm ，點 P 從點 A
出發，沿 A B A 方向以3cm / s 的速度運動，點Q從點 D 出發，沿 D E 方向以1cm / s 的速度運動，
P ，Q兩點同時出發．當點 P 到達點 A時， P ，Q兩點同時停止運動．設點 P 的運動時間為 t s ．
（1）求證： AB / /DE ；
（2）連接 PQ，當線段 PQ經過點C 時，求 t 的值．
【分析】（1）由 SAS 證明DABC @ DEDC(SAS) ，得 A = E ，即可得出結論；
（2）先證 DACP @ DECQ(ASA) ，得 AP = EQ ，再分兩種情況：當 0 t 2時， 3t = 6 - t ；當 2 < t 4時，
12 - 3t = 6 - t ，分別解出 t 即可．
【解答】（1）證明：在DABC 和DEDC 中，
ìAC = EC

í ACB = ECD ，

BC = DC
\DABC @ DEDC(SAS)，
\ A = E ，
\ AB / /DE ；
（2）由（1）得： A = E ， ED = AB = 6cm ，
在DACP和DECQ中，
ì A = E

íAC = CE ，

ACP = ECQ
\DACP @ DECQ(ASA)，
\ AP = EQ，
當 0 t 2時，3t = 6 - t ，
解得： t = 1.5 ；
當 2 < t 4時，12 - 3t = 6 - t ，
解得： t = 3；
綜上所述，當線段 PQ經過點C 時， t 的值為1.5s或3s ．
2. （2023 秋 鐵鋒區期末）綜合與實踐：
已知：如圖，在DABC 中， AB = AC = 12厘米， BC = 9 厘米，點 D 為 AB 的中點．
（1）如果點 P 在線段 BC 上以 3 厘米 / 秒的速度由 B 點向C 點運動，同時，點Q在線段CA 上由C 點向 A點
運動，運動的時間 t 秒．
①若點Q的運動速度與點 P 的運動速度相等， t = 1時， DBPD 與 DCQP是否全等 　 　（填“是”或“否
)；
②若點Q的運動速度與點 P 的運動速度不相等，當 DBPD 與 DCQP全等時，請直接寫出點Q的運動速度為
　　．
（2）若點Q以（1）②中的運動速度從點C 出發，點 P 以原來的運動速度從點 B 同時出發，都逆時針沿DABC
三邊運動，則經過多長時間，點 P 與點Q第一次在DABC 的哪條邊上相遇？此時相遇點距離 B 點的路程是
多少？
【分析】（1）①先求得 BP = CQ = 3 厘米， PC = BD = 6厘米，然后根據等邊對等角求得 B = C ，最后根
據 SAS 即可證明；
②因為VP VQ ，所以 BP CQ ，又 B = C ，要使DBPD 與DCQP全等，只能 BP = CP = 4.5 厘米，根據全
等得出CQ = BD = 6厘米，然后根據運動速度求得運動時間，根據時間和CQ的長即可求得Q的運動速度；
（2）因為VQ > VP ，只能是點Q追上點 P ，即點Q比點 P 多走 AB + AC 的路程，據此列出方程，解這個方
程即可求得．
【解答】解：（1）①Qt = 1，
\ BP = CQ = 3厘米，
Q AB = 12厘米， D 為 AB 中點，
\ BD = 6 厘米，
又QPC = BC - BP = 9 - 3 = 6 （厘米），
\ PC = BD ，
Q AB = AC ，
\ B = C ，
在DBPD 與DCQP中，
ìBP = CQ

í B = C ，

BD = PC
\DBPD @ DCQP(SAS) ；
故答案為：是；
②QVP VQ ，
\ BP CQ ，
又Q B = C ，
要使DBPD @ DCPQ ，只能 BP = CP = 4.5 厘米，
QDBPD @ DCPQ ，
\CQ = BD = 6 厘米．
\點 P t BP 4.5的運動時間 = = = 1.5，
3 3
V CQ 6此時 Q = = = 4（厘米 / 秒）．t 1.5
\當DBPD 與DCQP全等時，點Q的運動速度為 4 厘米 / 秒．
故答案為：4 厘米 / 秒；
（2）因為VQ > VP ，只能是點Q追上點 P ，即點Q比點 P 多走 AB + AC 的路程，
設經過 x 秒后 P 與Q第一次相遇，依題意得 4x = 3x + 2 12 ，
解得 x = 24（秒 )，
此時 P 運動了 24 3 = 72 （厘米），
又QDABC 的周長為 33 厘米，
\72 - 33 2 = 6（厘米），
\經過 24 秒，點 P 與點Q第一次在DABC 的 BC 邊上相遇；此時相遇點距離 B 點的路程是 6 厘米．
3. 如圖，已知正方形 ABCD 的邊長為10cm，點 E 在 AB 邊上， BE = 6cm ．
（1）如果點 P 在線段 BC 上以 4cm / s 的速度由 B 點向C 點運動，同時，點Q在線段CD上由C 點向 D 點運
動．
①若點Q的運動速度與點 P 的運動速度相等，經過 1 秒后，DBPE 與DCQP是否全等．請說明理由．
②若點Q的運動速度與點 P 的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使DBPE 與DCQP全等？
（2）若點Q以②中的運動速度從點C 出發，點 P 以原來的運動速度從點 B 同時出發，都逆時針沿正方形
ABCD 四邊運動，求經過多長時間點 P 與點Q第一次在正方形 ABCD 邊上的何處相遇？相遇點在何處？
【分析】（1）①由“ SAS ”可證DBPE @ DCQP；
②由全等三角形的性質可得 BP = PC ，列出方程可求 t 的值，即可求解；
（2）設經過 x 秒時，點 P 與點Q第一次相遇，由點 P 與點Q的路程差 = 30，列出方程可求解．
【解答】解：（1）①DBPE @ DCQP，理由如下：
經過 1 秒后， BP = 4cm，CQ = 4cm ，
\ BP = CQ ， PC = 6cm，
\ BE = PC ，
在DBPE 和DCQP中，
ìBP = CQ

í B = C = 90°，

BE = PC
\DBPE @ DCQP(SAS)；
②設經過 t 秒后，DPBE @ DPCQ，
當點Q與點 P 速度不相同時， BP = PC ，此時DPBE @ DPCQ，
\4t = 10 - 4t ，
t 5解得 = ，
4
又CQ = BE = 6cm ，
v 6 24\ Q = 5 = (cm / s) ；5
4
（2）設經過 x 秒時，點 P 與點Q第一次相遇，
由題意可得： 4.8x - 4x = 30 ，
75
解得： x = ，
2
75
\點 P 運動的路程 = 4 = 150(cm) ，
2
75
\經過 秒點 P 與點Q第一次相遇，相遇點在點 A處．
2
4. （2022 春 神木市期末）如圖 1， AE 與 BD相交于點C ． AC = EC ， BC = DC ．
（1）求證： AB / /DE ；
（2）如圖 2，過點C 作 PQ交 AB 于 P ，交 DE 于Q，求證：CP = CQ；
（3）如圖 3，若 AB = 8cm，點 P 從點 A出發，沿 A B A 方向以 3cm / s 的速度運動，點Q從點 D 出發，
沿 D E 方向以1cm / s 的速度運動， P 、Q兩點同時出發．當點 P 到達點 A時， P 、Q兩點同時停止運動，
設點 P 的運動時間為 t(s) ．連接 PQ，當線段 PQ經過點C 時，求出 t 的值．
【分析】（1）證明出全等之后得到一組內錯角相等即可求證；
（2）利用（1）平行的結論得到一組角度相等，可以求證三角形全等，即可得到結論；
（3）由（2）可知， DDCQ @ DBCP 始終成立，即 DQ = BP ，分兩種情況，一種是 P 從 A到 B ，另外一種
是 P 從 B 到 A．
【解答】（1）證明：在DABC 與DEDC 中，
ìAC = EC
Q í ACB = ECD ，

BC = DC
\DABC @ DEDC(SAS)，
\ A = E ，
\ AB / /DE ．
（2）證明：Q AB / /DE ，
\ B = D ，
在DDCQ 和DBCP中，
ì B = D

íCD = BC ，

DCQ = BCP
\DDCQ @ DBCP(ASA)，
\CP = CQ ．
（3）解：由（2）可知：當線段 PQ經過點C 時，DDCQ @ DBCP ，
可得 DQ = BP ，
\8 - 3t = t 或3t - 8 = t ，
\t = 2或 4，
\當 t = 2(s) 或 4(s) 時，線段 PQ經過點C ．

展開更多......

收起↑