資源簡(jiǎn)介

4.6 實(shí)數(shù)
知識(shí)點(diǎn)一 實(shí)數(shù)
◆概念：有理數(shù)與無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)．
◆分類：
實(shí)數(shù)按定義分類：
ì ì整數(shù)ü 有限小數(shù)或
有理數(shù)í
實(shí)數(shù)í 分?jǐn)?shù) 無(wú)限循環(huán)小數(shù)

無(wú)理數(shù) 無(wú)限不循環(huán)小數(shù)
按正負(fù)分類：
ì ì正有理數(shù)
正實(shí)數(shù)í
正無(wú)理數(shù)

實(shí)數(shù)í0

ì負(fù)有理數(shù)負(fù)實(shí)數(shù)
í 負(fù)無(wú)理數(shù)
知識(shí)點(diǎn)二 實(shí)數(shù)比較大小
◆實(shí)數(shù)與數(shù)軸：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)．
◆實(shí)數(shù)比較大小：在數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)，右邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大．
（1）作差法
（2）作商法
（3）乘方法：把含相同根號(hào)的兩個(gè)無(wú)理數(shù)同時(shí)乘方，比較乘方后兩個(gè)數(shù)的大小，同時(shí)考慮符號(hào)，從而
確定兩個(gè)無(wú)理數(shù)的大小．
（4）比較被開(kāi)方數(shù)：若 a>b>0，則 a > b ， 3 a > 3 b ．
1 1
（5）倒數(shù)法：設(shè) a>0，b>0，若 > ，則 aa b
（6）數(shù)軸法：如果兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上，左邊的點(diǎn)表示的數(shù)小于右邊的點(diǎn)表示的數(shù)．
（7）放縮法：如果 a>c，c>b，那么 a>b．
知識(shí)點(diǎn)三 實(shí)數(shù)的運(yùn)算
（1）有理數(shù)的運(yùn)算法則可以推廣到實(shí)數(shù)中．
（2）有理數(shù)的運(yùn)算律可以推廣到實(shí)數(shù)中．
◆加法交換律：a+b=b+a
◆加法結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）
◆乘法交換律：一般地，有理數(shù)乘法中，兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等．即 ab=ba
◆乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積相等．即（ab）c=a
（bc）．
◆乘法分配律：一般地，一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，在把積相
加．即 a（b+c）=ab+ac．
（3）做實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，應(yīng)注意以下運(yùn)算順序：
①先乘方、開(kāi)方，再乘除，最后加減；
②同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；
③如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)，中括號(hào)，大括號(hào)依次進(jìn)行．
題型一 辨析題
解題技巧提煉
要熟練掌握實(shí)數(shù)的定義
1. （2024 春 濱城區(qū)期末）下列說(shuō)法正確的是 (　　 )
A 1 1．若 a > b ，則 < B． 64 的平方根是 ±8
a b
C．無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù) D．若 a < 0 ， -1 < b < 0，則 ab > ab2
【分析】利用實(shí)數(shù)的相關(guān)概念及平方根的定義逐項(xiàng)判斷即可．
【解答】解：若 a = 1，b = -1， a b 1 1> ，而 > ，則 A不符合題意；
a b
64 = 8，其平方根為 ± 8 = ±2 2 ，則 B 不符合題意；
無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)，則C 不符合題意；
若 a < 0 ， -1 < b < 0，那么 ab > 0， ab2 < 0 ，故 ab > ab2 ，則 D 符合題意；
故選： D ．
2. （2024 春 河?xùn)|區(qū)校級(jí)月考）下列說(shuō)法中，不正確的有 (　　 )
①任何數(shù)都有算術(shù)平方根；
②一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù)；
③ a2 的算術(shù)平方根一定是 a；
④算術(shù)平方根不可能是負(fù)數(shù)．
A．1 個(gè) B．2 個(gè) C．3 個(gè) D．4 個(gè)
【分析】如果 x2 = a(a…0) ，則 x 是 a的平方根．若 a > 0，則它有兩個(gè)平方根，我們把正的平方根叫 a的算
術(shù)平方根；若 a = 0，則它有一個(gè)平方根，即 0 的平方根是 0，0 的算術(shù)平方根也是 0，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．①②③④
分別根據(jù)平方根和算術(shù)平方根的概念即可判斷．
【解答】解：根據(jù)平方根概念可知：
①負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根，故錯(cuò)誤；
②反例：0 的算術(shù)平方根是 0，故錯(cuò)誤；
③當(dāng) a < 0 時(shí)， a2 的算術(shù)平方根是 -a，故錯(cuò)誤；
④算術(shù)平方根不可能是負(fù)數(shù)，故正確．
所以不正確的有①②③共 3 個(gè)．
故選：C ．
3. （2024 春 禹城市月考）下列結(jié)論正確的是 (　　 )
A．同旁內(nèi)角互補(bǔ)
B． 81 的平方根是 ±9
C．平方根等于它本身的數(shù)是 1 和 0
D． a2 +1一定是正數(shù)
【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角的性質(zhì)，平方根的定義，算術(shù)平方根的意義逐一分析判斷即可．
【解答】解： A、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，故此選項(xiàng)不符合題意；
B 、 81 = 9，9 的平方根是 ±3，即 81 的平方根是 ±3，故此選項(xiàng)不符合題意；
C 、平方根等于它本身的數(shù)是 0，1 的平方根是 ±1，故此選項(xiàng)不符合題意；
D 、Qa2 +1 > 0，
\ a2 +1 > 0 ，
即 a2 +1一定是正數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；
故選： D ．
4. （2024 春 寧津縣校級(jí)期中）以下四個(gè)說(shuō)法：①負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根；②一個(gè)正數(shù)一定有兩個(gè)平方根；③平
方根等于它本身的數(shù)是 0 和 1；④一個(gè)數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)．其中正確的說(shuō)法有 (　　 )
A．0 個(gè) B．1 個(gè) C．2 個(gè) D．3 個(gè)
【分析】根據(jù)平方根、立方根的定義解答即可．
【解答】解：①負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，故①正確；
②一個(gè)正數(shù)一定有兩個(gè)平方根，故②正確；
③平方根等于它本身的數(shù)是 0，故③錯(cuò)誤；
④0 的立方根是 0，故④錯(cuò)誤；
故選：C ．
5. （2024 春 安丘市月考）下列說(shuō)法中，①任意一個(gè)數(shù)都有兩個(gè)平方根．② 81 的平方根是 ±3．③ -125
5 1
的立方根是 ±5 ．④ 是一個(gè)分?jǐn)?shù)．⑤ 是一個(gè)無(wú)理數(shù)．其中正確的有 (　　 )個(gè)．
2 p
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根據(jù)平方根、立方根的意義，無(wú)理數(shù)的意義，可得答案．
【解答】解：①負(fù)數(shù)沒(méi)有個(gè)平方根，故①不符合題意；
② 81 的平方根是 ±3，故②符合題意；
③ -125的立方根是 -5 ，故③不符合題意；
5
④ 是一個(gè)無(wú)理數(shù)，故④不符合題意；
2
1
⑤ 是一個(gè)無(wú)理數(shù)，故⑤符合題意；
p
故選： A．
題型二 實(shí)數(shù)的分類
解題技巧提煉
按定義分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，按正負(fù)性質(zhì)分正實(shí)數(shù)、0、負(fù)實(shí)數(shù)
1. （2024 春 陽(yáng)谷縣期中）在實(shí)數(shù)：3.14， 3 2 ， 2.1231223 (1和 3 之間的 2 逐次加 1 個(gè)）， 8 ，4，
p 22
， 中，無(wú)理數(shù)有 (　　 )
3 7
A．2 個(gè) B．3 個(gè) C．4 個(gè) D．5 個(gè)
【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義，即無(wú)理數(shù)也稱為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，不能寫作兩整數(shù)之比．若將它寫成小數(shù)形
式，小數(shù)點(diǎn)之后的數(shù)字有無(wú)限多個(gè)，并且不會(huì)循環(huán)依次判斷即可．
【解答】解：3.14 是有限小數(shù)，是有理數(shù)；
3 2 是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，是無(wú)理數(shù)；
2.1231223 (1和 3 之間的 2 逐次加 1 個(gè)），是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，是無(wú)理數(shù)；
8 是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，是無(wú)理數(shù)；
4 是整數(shù)，是有理數(shù)；
p
是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，是無(wú)理數(shù)；
3
22
是分?jǐn)?shù)，是有理數(shù)，
7
綜上所述：無(wú)理數(shù)共有 4 個(gè)．
故選：C ．
2. （2024 春 樂(lè)陵市校級(jí)月考）將下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合里．
3 512 ，p ，3.1415926， -0.456， 3.030030003 （每?jī)蓚€(gè) 3 之間依次多 1 個(gè) 0) ，0 5， ， 3 9 ， (-7)2 ，
11
0.1 ．
有理數(shù)集合：{ 　 　 }；
無(wú)理數(shù)集合：{ 　 　 }；
正實(shí)數(shù)集合：{ 　 　 }；
整數(shù)集合：{ 　　 }．
【分析】首先實(shí)數(shù)可以分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)稱之為無(wú)理數(shù)，除了無(wú)限不循環(huán)小數(shù)以外的
數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)；正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)；正實(shí)數(shù)是大于 0 的所有實(shí)數(shù)，由此即可求解．
5
【解答】解：根據(jù)定義知：有理數(shù)有： 3 512 ，3.1415926， -0.456，0， ， (-7)2 ；
11
無(wú)理數(shù)有：p ，3.030030003 ， - 3 9 ， 0.1 ；
正實(shí)數(shù)有： 3 512 ，p ，3.1415926，3.030030003 5 ， ， (-7)2 ， 0.1 ；
11
整數(shù)有： 3 512 ，0， (-7)2 ；
故答案為： 3 512 ，3.1415926， -0.456 5，0， ， (-7)2 ；p ，3.030030003 ， - 3 9 ， 0.1 ； 3 512 ，p ，
11
3.1415926，3.030030003 5 ， ， (-7)2 ， 0.1 ； 3 512 ，0， (-7)2 ；
11
3. （2024 春 沾化區(qū)期末）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合里．（填序號(hào)）
p
① - ，②0，③ -(-32 )，④ 0.1010010001 （兩個(gè) 1 之間的 0 逐漸增加），⑤ -3.2 22 1，⑥ ，⑦ - | - |．
3 7 3
整數(shù)集合：{ 　 　 }；
負(fù)分?jǐn)?shù)集合：{ 　 　 }；
正有理數(shù)集合：{ 　　 }；
無(wú)理數(shù)集合：{ 　　 }．
【分析】利用實(shí)數(shù)的分類逐一判斷各個(gè)數(shù)即可．
【解答】解：整數(shù)集合：②③．
負(fù)分?jǐn)?shù)集合：⑤⑦．
正有理數(shù)集合：③⑥．
無(wú)理數(shù)集合：①④．
故答案為：②③；⑤⑦；③⑥；①④．
4. （2024 春 沂水縣校級(jí)月考）把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合中．
3
， 9 ，p ，3.14， - 3 27 ，0， -5.12345 ， - 3 ．
5
（1）有理數(shù)集合：{ 　 　 }；
（2）無(wú)理數(shù)集合：{ 　 　 }；
（3）正實(shí)數(shù)集合：{ 　 　 }．
【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的意義，即可解答；
（2）根據(jù)無(wú)理數(shù)的意義，即可解答；
（3）根據(jù)正實(shí)數(shù)的意義，即可解答．
【解答】解：（1）有理數(shù)集合：{3 ， 9 ，3.14， - 3 27 ， 0 }；
5
（2）無(wú)理數(shù)集合：{p ， -5.12345 ， - 3 }；
（3 3）正實(shí)數(shù)集合：{ ， 9 ，p ，3.14 }；
5
3
故答案為：（1） ， 9 ，3.14， - 3 27 ，0；
5
（2）p ， -5.12345 ， - 3 ；
3 3（ ） ， 9 ，p ，3.14．
5
題型三 實(shí)數(shù)的相反數(shù)
解題技巧提煉
兩數(shù)相加為 0，兩數(shù)互為相反數(shù)
1. （2024 春 曲阜市期末）下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的組是 (　　 )
A． -2 與 (-2)2 B 1． -2 和 3 -8 C． - 與 2 D． | -2 |和 2
2
【分析】根據(jù)相反數(shù)的概念及性質(zhì)逐項(xiàng)分析得出答案即可．
【解答】解： A、 -2 與 (-2)2 = 2，符合相反數(shù)的定義，故選項(xiàng)正確；
B 、 -2 與 3 -8 = -2不互為相反數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C 1、 - 與 2 不互為相反數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
2
D 、 | -2 |= 2，2 與 2 不互為相反數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選： A．
2. （2024 嵐山區(qū)一模） 5 的相反數(shù)是 (　　 )
A． 5 B． -5 C． - 5 D．5
【分析】直接利用相反數(shù)的定義得出答案．
【解答】解： 5 的相反數(shù)是 - 5 ．
故選：C ．
3. （2024 春 歷城區(qū)期末）實(shí)數(shù) 2 的相反數(shù)是 (　　 )
A． 2 B．2 C 2． - 2 D．
2
【分析】在實(shí)數(shù) 2 的前邊加上“ - ”，求出實(shí)數(shù) 2 的相反數(shù)即可．
【解答】解：實(shí)數(shù) 2 的相反數(shù)是 - 2 ．
故選：C ．
4. （2024 蘭山區(qū)校級(jí)模擬）實(shí)數(shù) 2023 的相反數(shù)是 (　　 )
A． -2023 B 1 C 1． - ． D．2023
2023 2023
【分析】根據(jù)相反數(shù)的意義即可解答．
【解答】解：實(shí)數(shù) 2023 的相反數(shù)是 -2023，
故選： A．
5. （2024 鄄城縣一模） 3 64 的相反數(shù)是 (　　 )
A．4 B． -4 C．2 D． -2
【分析】先根據(jù)立方根的定義求出 64 的立方根，然后再求其相反數(shù)即可．
【解答】解： 3 64 = 4 ，4 的相反數(shù)是 -4 ，
\ 3 64 的相反數(shù)是 -4 ，
故選： B ．
6. （2022 秋 市北區(qū)校級(jí)月考）如圖，將 1、 2 、 3 、 6 按下列方式排列，若規(guī)定 (m,n) 表示第m 排
從左向右數(shù)第 n個(gè)數(shù)，則 (20,9)表示的數(shù)的相反數(shù)是 　　．
【分析】從題中數(shù)據(jù)的排列規(guī)律得到第 n排有 n個(gè)數(shù)，再計(jì)算出前面 19 排數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，而數(shù)據(jù)的排列為 4
個(gè)一循環(huán)，從而確定 (20,9)所表示的數(shù)為 3 ，即可求出答案．
【解答】解：從題中數(shù)據(jù)的排列規(guī)律得到第 n排有 n個(gè)數(shù)，數(shù)據(jù)的排列為 4 個(gè)一循環(huán)，
Q19 1 2 3 4 19 (1+19)排共有數(shù)字的個(gè)數(shù)為 + + + + 5 + +19 = = 190，
2
而190 + 9 = 4 49 + 3，
\(20,9) 所表示的數(shù)為 3 ，
\ 3 的相反數(shù)為 - 3 ．
故答案為： - 3 ．
題型四 實(shí)數(shù)的倒數(shù)
解題技巧提煉
兩數(shù)相乘為 1，兩數(shù)互為倒數(shù)
1. （2024 東昌府區(qū)模擬）已知實(shí)數(shù) a =| -2024 | ，則實(shí)數(shù) a的倒數(shù)為 (　　 )
A．2024 B 1． C． -2024 D 1． -
2024 2024
【分析】先將絕對(duì)值化簡(jiǎn)，再求倒數(shù)即可．
【解答】解： a =| -2024 |= 2024 ，2024 1的倒數(shù)為 ，
2024
故選： B ．
2. （2024 春 單縣期中） - 2 的倒數(shù)是 (　　 )
A 2 B 2． - ． - C． 2 D 2．
2 2
2
【分析】根據(jù)倒數(shù)定義可知， - 2 的倒數(shù)是 - ．
2
2
【解答】解： - 2 的倒數(shù)是 - ．
2
故選： B ．
題型五 實(shí)數(shù)的絕對(duì)值
解題技巧提煉
正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0 的絕對(duì)值是 0
1. （2024 膠州市一模） - 2 的絕對(duì)值是 (　　 )
A 2． B． - 2 C 2． 2 D． -
2 2
【分析】根據(jù)絕對(duì)值是數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，可得答案．
【解答】解： - 2 的絕對(duì)值是 2 ，
故選：C ．
2. （2024 槐蔭區(qū)三模）實(shí)數(shù) -3的絕對(duì)值是 (　　 )
A 3 B 1． - ． C．3 D 1． -
3 3
【分析】直接利用絕對(duì)值的定義得出答案．
【解答】解：實(shí)數(shù) -3的絕對(duì)值是：3．
故選：C ．
3. （2024 春 東港區(qū)月考） 3 - 5 的絕對(duì)值等于　　．
【分析】根據(jù)差的絕對(duì)值是大數(shù)減小數(shù)， 可得答案 ．
【解答】解： | 3 - 5 |= 5 - 3 ，
故答案為： 5 - 3 ．
題型六 在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)
解題技巧提煉
數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)
1. （2024 春 慶云縣期末）如圖，長(zhǎng)方形 ABCD 中， AB = 3， AD = 1， AB 在數(shù)軸上，若以點(diǎn) A為圓心，
AC 的長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸于點(diǎn) M ，則點(diǎn) M 表示的數(shù)為 (　　 )
A． 10 -1 B． 5 -1 C．2 D． 5
【分析】根據(jù)勾股定理，可得 AC 的長(zhǎng)，根據(jù)圓的性質(zhì)，可得答案．
【解答】解：由勾股定理，得
AC = AB2 + BC 2 = 10 ，
AM = AC = 10 ，
M 點(diǎn)的坐標(biāo)是 10 -1，
故選： A．
2. （2024 春 惠民縣期末）如圖，已知數(shù)軸上的點(diǎn) A， B 分別表示數(shù) - 2 ， 2 ，則下列各數(shù)中是無(wú)理數(shù)
且對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在線段 AB 上的是 (　　 )
A．0 B． 2 -1 C． 3 -9 D．p
【分析】先估算 2,- 2 的大小，再確定線段 AB 上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)的取值范圍，然后對(duì)各個(gè)選項(xiàng)的數(shù)所對(duì)應(yīng)
的點(diǎn)的位置進(jìn)行判斷，從而得到答案即可．
【解答】解：Q 1 < 2 < 2，
\ -2 < - 2 < -1，
\線段 AB 上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是小于 2 且大于 - 2 ，
A．Q - 2 < 0 < 2 ，\0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在線段 AB 上，但 0 是有理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；
B ．Q 1 < 2 < 2，\ 0 < 2 -1 < 1，是無(wú)理數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；
C ．Q 3 -9 = -3,-3 < - 2 ，\-3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在線段 BA 的延長(zhǎng)線上，故此選項(xiàng)不符合題意；
D ．Q p > 2 ，\p 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在線段 AB 的延長(zhǎng)線上，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選： B ．
3. （2024 春 蒙陰縣期末）如圖，面積為 7 的正方形 ABCD 的頂點(diǎn) A在數(shù)軸上，且點(diǎn) A表示的數(shù)為 1，若
點(diǎn) E 在數(shù)軸上，（點(diǎn) E 在點(diǎn) A的右側(cè)）且 AB = AE ，則點(diǎn) E 所表示的數(shù)為 (　　 )
A．1+ 7 B． 2 + 7 C．3 + 7 D． 4 + 7
【分析】根據(jù)正方形面積公式求出邊長(zhǎng)，表示點(diǎn) E 即可．
【解答】解：Q正方形 ABCD 的面積為 7，
\ AB2 = 7 ，
\ AB = 7 ，
\ AE = AB = 7 ，
Q點(diǎn) A表示的數(shù)為 1，
\點(diǎn) E 表示的數(shù)為1+ 7 ．
故選： A．
4. （2024 滕州市校級(jí)模擬）如圖所示：數(shù)軸上點(diǎn) A所表示的數(shù)為 a，則 a的值是 (　　 )
A． 5 +1 B． - 5 +1 C． 5 D． 5 -1
【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)和相關(guān)線段的長(zhǎng)，利用勾股定理求出斜邊的長(zhǎng)，即知表示 -1的點(diǎn)和 A之間的
線段的長(zhǎng)，進(jìn)而可推出 a的值．
【解答】解：圖中直角三角形的兩直角邊為 1，2，
\斜邊長(zhǎng)為 12 + 22 = 5 ，
那么 -1和 A之間的距離為 5 ，
那么 a的值是： 5 -1，
故選： D ．
5. （2023 秋 高青縣期末）如圖，面積為 5 的正方形 ABCD 的頂點(diǎn) A在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為 1，若點(diǎn) E
在數(shù)軸上，（點(diǎn) E 在點(diǎn) A的右側(cè)）且 AB = AE ，則 E 點(diǎn)所表示的數(shù)為 (　　 )
A． 5 B．1 2 + 5+ 5 C． D． 5 + 2
2
【分析】根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)是面積的算術(shù)平方根得 AD = AE = 5 ，結(jié)合 A點(diǎn)所表示的數(shù)及 AE 間距離可得
點(diǎn) E 所表示的數(shù)．
【解答】解：Q正方形 ABCD 的面積為 5，且 AD = AE ，
\ AD = AE = 5 ，
Q點(diǎn) A表示的數(shù)是 1，且點(diǎn) E 在點(diǎn) A右側(cè)，
\點(diǎn) E 表示的數(shù)為1+ 5 ．
故選： B ．
題型七 利用數(shù)軸比較實(shí)數(shù)大小
解題技巧提煉
實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的大小為左小右大
1. （2024 濟(jì)南模擬）已知實(shí)數(shù) a，b 在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列判斷正確的是 (　　 )
A． a + b > 0 B． ab > 0 C． (-a) + b < 0 D． | b |<| a |
【分析】根據(jù)數(shù)軸的相關(guān)知識(shí)，絕對(duì)值、相反數(shù)等基礎(chǔ)內(nèi)容，逐一驗(yàn)證即可．
【解答】解： A．由數(shù)軸可知： -3 < a < -2 ， 0 < b < 1，可得 -3 < a + b < -1 < 0 ，故 A選項(xiàng)不符合題意．
B ．由數(shù)軸可知： -3 < a < -2 ， 0 < b < 1，可得 ab < 0，故 B 選項(xiàng)不符合題意．
C ．由數(shù)軸可知： -3 < a < -2 ， 0 < b < 1，可得 2 < -a < 3，可得 0 < 2 < (-a) + b < 4 ，故 C 選項(xiàng)不符合題
意．
D ．由數(shù)軸可知： -3 < a < -2 ， 0 < b < 1，可得 2 <| a |< 3， 0 <| b |< 1，即 | b |<| a | ，故 D 選項(xiàng)符合題意．
故選： D ．
2. （2024 槐蔭區(qū)三模）實(shí)數(shù)m ， n在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是 (　　 )
A．mn > 0 B．m > -n C． | m |>| n | D．m +1 > n +1
【分析】根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)的大小關(guān)系、實(shí)數(shù)的乘法法則、絕對(duì)值的定義、不等式的性質(zhì)解決此
題．
【解答】解： A．由圖可知， -1 < m < 0 < 2 < n < 3，得mn < 0，那么 A錯(cuò)誤，故 A不符合題意．
B ．由圖可知， -1 < m < 0 < 2 < n < 3，得m > -n ，那么 B 正確，故 B 符合題意．
C ．由圖可知， -1 < m < 0 < 2 < n < 3，得 | m |<| n |，那么C 錯(cuò)誤，故C 不符合題意．
D ．由圖可知， -1 < m < 0 < 2 < n < 3，得 n +1 > m +1，那么 D 錯(cuò)誤，故 D 不符合題意．
故選： B ．
3. （2024 兗州區(qū)二模）實(shí)數(shù) a，b 在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是 (　　 )
A． a < -2 B．b < 1 C． -a > b D． a > b
【分析】利用數(shù)軸與實(shí)數(shù)的關(guān)系，及正負(fù)數(shù)在數(shù)軸上的表示求解．
【解答】解：根據(jù)圖形可以得到：
-2 < a < 0 < 1 < b < 2；
所以： A、 B 、 D 都是錯(cuò)誤的；
故選：C ．
4. （2024 濟(jì)南三模）實(shí)數(shù) a，b 在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是 (　　 )
A． a > b B． -a < b C． | a |>| b | D． a + b > 0
【分析】直接利用數(shù)軸上 a，b 的位置進(jìn)行比較得出答案．
【解答】解：如圖所示： A、 a < b ，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B 、 -a > b ，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C 、 | a |>| b | ，正確；
D 、 a + b < 0，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：C ．
5. （2024 春 河?xùn)|區(qū)期末）如圖，數(shù)軸上表示 0，1， 3 的點(diǎn)分別為 A， B ，C ，點(diǎn) B 到點(diǎn)C 的距離與點(diǎn)
B 到點(diǎn) D 的距離相等，則點(diǎn) D 所表示的數(shù)為 (　　 )
A． 3 -1 B． 2 -1 C． 2 - 3 D． 2 + 3
【分析】根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離列出方程求解即可．
【解答】解：Q點(diǎn) B 到點(diǎn)C 的距離與點(diǎn) B 到點(diǎn) D 的距離相等，
\ 1- x = 3 -1，
\ x = 2 - 3 ，
\點(diǎn) D 所表示的數(shù)為 2 - 3 ．
故選：C ．
6. （2024 菏澤一模）實(shí)數(shù) a、b 在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列式子不成立的是 (　　 )
A． a < b B． | a |>| b | C． a + b < 0 D a． > 0
b
【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置可得 -2 < a < -1 < 0 < b < 1，據(jù)此逐一判斷式子符號(hào)即可得到答案．
【解答】解：由數(shù)軸可知， -2 < a < -1 < 0 < b < 1，
\ | a |>| b |,a + b a< 0, < 0，
b
\四個(gè)選項(xiàng)中只有 D 選項(xiàng)符合題意，
故選： D ．
7. （2024 濰城區(qū)一模）實(shí)數(shù) a，b 在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列判斷正確的是 (　　 )
A． ab 1 1> 0 B． > C． | a |=| b | D． a-2 < b-2
a b
【分析】根據(jù)圖示，可得 -2 < a < -1， 0 < b < 1，據(jù)此逐項(xiàng)判斷即可．
【解答】解：根據(jù)圖示，可得 -2 < a < -1， 0 < b < 1，
Qa < 0，b > 0 ，
\ab < 0，
\選項(xiàng) A不符合題意；
Qa < 0，b > 0 ，
1 0 1\ < ， > 0，
a b
1 1
\ < ，
a b
\選項(xiàng) B 不符合題意；
Q-2 < a < -1， 0 < b < 1，
\1 <| a |< 2 ， 0 <| b |< 1，
\| a |>| b |，
\選項(xiàng)C 不符合題意；
Q-2 < a < -1， 0 < b < 1，
\1 < a2 < 4 ， 0 < b2 < 1，
\a2 > b2 ，
\a-2 < b-2 ，
\選項(xiàng) D 符合題意．
故選： D ．
8. （2024 鄄城縣三模）實(shí)數(shù) a，b 在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是 (　　 )
A． a + b > 0 B． ab > 0 C． | a |>| b | D． a +1 > b +1
【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法法則判斷 A選項(xiàng)；根據(jù)有理數(shù)的乘法法則判斷 B 選項(xiàng)；根據(jù)絕對(duì)值的定義判斷C
選項(xiàng)；根據(jù)不等式的基本性質(zhì)判斷 D 選項(xiàng)．
【解答】解：
A選項(xiàng)，Qa < 0，b > 0 ， | a |>| b | ，
\a + b < 0，故該選項(xiàng)不符合題意；
B 選項(xiàng)，Qa < 0，b > 0 ，
\ab < 0，故該選項(xiàng)不符合題意；
C 選項(xiàng)， | a |>| b | ，故該選項(xiàng)符合題意；
D 選項(xiàng)，Qa < b，
\a +1 > b +1，故該選項(xiàng)不符合題意；
故選：C ．
9. （2024 陽(yáng)信縣一模）實(shí)數(shù) a，b 在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，下列結(jié)論正確的是 (　　 )
A． a > -2 B． a + b > 0 C． | a |<| b | D．b - a > 0
【分析】由數(shù)軸可知， -3 < a < -2 ，1 < b < 2，由此逐一判斷各選項(xiàng)即可．
【解答】解：由數(shù)軸可知， -3 < a < -2 ，1 < b < 2，
A、Q-3 < a < -2，\a < -2，故選項(xiàng) A不符合題意；
B 、Q-3 < a < -2，1 < b < 2，\a + b < 0，故選項(xiàng) B 不符合題意；
C 、Q-3 < a < -2，1 < b < 2，\3 >| a |> 2， 2 >| b |> 1，\| a |>| b |，故選項(xiàng)C 不符合題意；
D 、Q-3 < a < -2，1 < b < 2，\2 < -a < 3 ，\3 < b - a < 5，\b - a > 0，故選項(xiàng) D 符合題意；
故選： D ．
10. （2024 濟(jì)南模擬）實(shí)數(shù) a，b ， c 在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是 (　　 )
A．b - c > 0 B． ac > 0 C．b + c < 0 D． ab < 1
【分析】根據(jù)數(shù)軸可知： -3 < a < -2 < b < -1 < 0 < c < 1，由此逐一判斷各選項(xiàng)即可．
【解答】解：由數(shù)軸可知： -3 < a < -2 < b < -1 < 0 < c < 1，
A、Q-2 < b < -1， 0 < c < 1，\b - c < 0，故選項(xiàng) A不符合題意；
B 、Q-3 < a < -2， 0 < c < 1，\ac < 0 ，故選項(xiàng) B 不符合題意；
C 、Q-2 < b < -1， 0 < c < 1，\b + c < 0 ，故選項(xiàng)C 符合題意；
D 、Q-3 < a < -2 < b < -1，\ab > 1，故選項(xiàng) D 不符合題意；
故選：C ．
題型八 比較實(shí)數(shù)大小
解題技巧提煉
一般可以用做差法比較實(shí)數(shù)大小
1. （2024 春 齊河縣校級(jí)月考）已知 M = 5 + 2 ， N = 5 - 2 ，則 M 與 N 的關(guān)系為 (　　 )
A．相等 B．絕對(duì)值相等 C．互為相反數(shù) D．互為倒數(shù)
【分析】根據(jù)互為倒數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．
【解答】解： MN = ( 5 + 2)( 5 - 2) = 5 - 4 = 1，
\M 與 N 的關(guān)系為互為倒數(shù)．
故選： D ．
2. （2024 1春 寧津縣校級(jí)月考）已知 0 < a < 1，則 a ， a2 ， 之間的大小關(guān)系為 (　　 )
a
A 1 1 1 1． > a2 > a B． a > > a2 C． a2 > a > D． > a > a2
a a a a
1
【分析】根據(jù) 0 < a < 1，可知 a > a， a2 < a < 1， > 1，即可得出結(jié)果．
a
【解答】解：Q0 < a < 1，
\ a > a， a2 < a < 1 1， > 1，
a
1
\a2 < a < ，
a
故選： D ．
3. （2024 春 濱城區(qū)期末）比較大小（填 > 、< 或 = 號(hào)）．
（1） 2 3 　　4；
（2 5 -1） 　　1；
2
（3）4 　　 3 50 ．
【分析】（1）利用平方法進(jìn)行比較大小即可；（2）利用比差法進(jìn)行比較大小即可；（3）利用立方法進(jìn)行
比較大小即可．
【解答】解：（1）Q (2 3)2 = 12,42 = 16 ，12 < 16 ，
\ 2 3 < 4；
2 Q 5 -1 1 5 - 3 5 - 9（ ） - = = < 0 ，
2 2 2
5 -1
\ < 1；
2
（3）Q 43 = 64,( 3 50)3 = 50,64 > 50 ，
\4 > 3 50 ．
故答案為：（1）< ；（2）< ；（3） > ．
4. （2024 河?xùn)|區(qū)二模）比較大小：3 2 　　4．
【分析】求出3 2 = 18 ， 4 = 16 ，再進(jìn)行比較即可．
【解答】解：3 2 = 32 2 = 18 ， 4 = 16 ，
Q 18 > 16 ，
\3 2 > 4．
故答案為： > ．
5. （2024 春 梁山縣期末）比較大小：3 5 　　5 3 ．（填“ > ”或“< ” )
【分析】先把根號(hào)前面的 3 和 5 移到根號(hào)內(nèi)變成 9 和 25，然后進(jìn)行計(jì)算，再比較被開(kāi)方數(shù)的大小即可．
【解答】解：3 5 = 9 5 = 45,5 3 = 25 3 = 75 ，
Q45 < 75，
\ 45 < 75 ，即3 5 < 5 3 ，
故答案為：< ．
題型九 猜測(cè)數(shù)軸上的實(shí)數(shù)
解題技巧提煉
數(shù)軸上可以表示實(shí)數(shù)
1. （2024 春 德城區(qū)校級(jí)月考）把無(wú)理數(shù) 24 ， 11， 7 ， 5 表示在數(shù)軸上，在這四個(gè)無(wú)理數(shù)中，被
墨跡（如圖所示）覆蓋住的無(wú)理數(shù)是 　　．
【分析】估算無(wú)理數(shù)的大小即可得出答案．
【解答】解：Q4 < 5 < 9，
\ 2 < 5 < 3，不符合題意；
Q4 < 7 < 9 ，
\ 2 < 7 < 3，不符合題意；
Q9 < 11 < 16 ，
\ 3 < 11 < 4 ，符合題意；
Q16 < 24 < 25，
\ 4 < 24 < 5，不符合題意；
故答案為： 11．
2. （2024 春 樂(lè)陵市校級(jí)月考）如圖，將數(shù) - 5, 7, 13 表示在數(shù)軸上，其中能被墨跡覆蓋的數(shù)
是　　．
【分析】根據(jù)數(shù)軸確定出被覆蓋的數(shù)的范圍，再根據(jù)無(wú)理數(shù)的大小確定出答案即可．
【解答】解：由圖可知，1 <被覆蓋的數(shù)< 3 ，
Q- 5 、 7 、 13 只有 7 在此范圍內(nèi)，
\被墨跡覆蓋的數(shù)是 7 ．
故答案為： 7
題型十 實(shí)數(shù)的新定義
解題技巧提煉
根據(jù)給出的定義進(jìn)行運(yùn)算
ìa(a…b) ìb(a…b)1. （2024 春 樂(lè)陵市期末）對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù) a， b 定義兩種運(yùn)算： a b = í ， a b = ，
b(a < b)
í
a(a < b)
并且定義運(yùn)算順序仍然是先做括號(hào)內(nèi)的，例如 (-2) 3 = 3 ， (-2) 3 = -2 ， [(-2) 3] 2 = 2，那么
( 5 2) 3 27 的值為 (　　 )
A．2 B． 5 C．3 D．3 5
【分析】直接利用已知運(yùn)算公式，結(jié)合運(yùn)算規(guī)律計(jì)算得出答案．
【解答】解：由題意可得： ( 5 2) 3 27
= 5 3
= 5 ．
故選： B ．
ì x - y (x…y)
2. （2024 春 萊蕪區(qū)校級(jí)月考）對(duì)于任意的正數(shù) x 、 y 的新定義運(yùn)算 為： x y í ，計(jì)算
x + y (x < y)
(18 12) + (27 32)的結(jié)果為 (　　 )
A． 7 2 B． 3 C． 7 2 - 3 D． 7 2 + 3
【分析】先根據(jù)新定義運(yùn)算，將原式轉(zhuǎn)化成二次根式加減運(yùn)算，再根據(jù)二次根式加減運(yùn)算法則計(jì)算即可．
【解答】解： (18 12) + (27 32)
= 18 - 12 + 27 + 32
= 3 2 - 2 3 + 3 3 + 4 2
= 7 2 + 3 ．
故選： D ．
ì m - n(m…n)
3. （2024 春 岱岳區(qū)期中）對(duì)于任意兩個(gè)正數(shù)m 、 n，定義運(yùn)算※為：m ※ n = í ，計(jì)算 (8
m + n(m < n)
※3) (3※8) 的結(jié)果為 (　　 )
A． -3 B． -5 C．5 D． -3或 5
【分析】直接利用運(yùn)算規(guī)律，進(jìn)而代入得出答案．
【解答】解：由題意可得：
(8※3) (3※8)
= ( 8 - 3) ( 3 + 8)
= 8 - 3
= 5 ．
故選：C ．
4. （2024 春 高密市期中）定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù) a和 b ，都有 a※ b = 3 a + ab - b -1，例如 8※
4 = 3 8 + 8 4 - 4 -1 = 29．若 (-64)※ x 的值是非負(fù)數(shù)，則 x 的取值范圍為 　　．
【分析】根據(jù) a※ b = 3 a + ab - b -1，可得 (-64)※ x = 3 -64 - 64x - x -1，再根據(jù) (-64)※ x 的值是非負(fù)數(shù)，
可得 3 -64 - 64x - x -1…0，據(jù)此求出 x 的取值范圍即可．
【解答】解：Qa ※b = 3 a + ab - b -1，
\(-64) ※ x = 3 -64 - 64x - x -1，
Q(-64) ※ x 的值是非負(fù)數(shù)，
\ 3 -64 - 64x - x -1…0，
\-4 - 64x - x -1…0 ，
解得 x 1- ．
13
1
故答案為： x - ．
13
5. （2024 春 東港區(qū)校級(jí)月考）閱讀理解題：定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于 -1，記為 i2 = -1，這個(gè)數(shù) i 叫
做虛數(shù)單位，把形如 a + bi(a ， b 為實(shí)數(shù)）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中 a叫這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部， b 叫做這個(gè)復(fù)數(shù)
的虛部，它的加，減，乘法運(yùn)算與整式的加，減，乘法運(yùn)算類似，例如計(jì)算：
(3 - i) + (4 + 3i) = (3 + 4) + (-1+ 3)i = 7 + 2i(1- i) (2 + i) = 1 2 + i - 2 i - i2 = 2 + i - 2i +1 = 3 - i
根據(jù)以上信息，完成下列問(wèn)題
（1）填空： i3 =　　， i4 = 　　；
（2）計(jì)算： (1- 2i) (4 - 5i) ；
（3）計(jì)算： i + i2 + i3 + i4 +L+ i2023 ．
【分析】（1）利用題中的新定義計(jì)算即可求出值；
（2）原式利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，以及題中的新定義計(jì)算即可求出值；
（3）原式利用題中的新定義計(jì)算即可求出值．
【解答】解：（1） i3 = i2i = -i ， i4 = (i2 )2 = (-1)2 = 1，
故答案為： -i ，1；
（2） (1- 2i) (4 - 5i)
= 1 4 -1 5i - 4 2i +10i2
= 4 - 5i - 8i -10
= -6 -13i ；
（3） i + i2 + i3 + i4 +L + i2023
= i -1- i +1+L + i -1- i
= -1．
6. （2023 秋 萊西市期末）小明在學(xué)習(xí)了正方體的展開(kāi)圖后，明白了很多幾何體都能展開(kāi)成平面圖形．于
是他在家用剪刀剪開(kāi)了一個(gè)長(zhǎng)方體紙盒，可是一不小心多剪開(kāi)了一條棱，把紙盒剪成了兩部分，如圖
1、圖 2 所示．請(qǐng)根據(jù)你所學(xué)的知識(shí)，回答下列問(wèn)題：
觀察判斷：
小明共剪開(kāi)了 　 　條棱；
動(dòng)手操作：
現(xiàn)在小明想將剪斷的圖 2 重新粘貼到圖 1 上去，而且經(jīng)過(guò)折疊以后，仍然可以還原成一個(gè)長(zhǎng)方體紙盒（如
圖3) ，請(qǐng)你幫助小明在圖 1 中補(bǔ)全圖形；
解決問(wèn)題：
經(jīng)過(guò)測(cè)量，小明發(fā)現(xiàn)這個(gè)紙盒的底面是一個(gè)正方形，其邊長(zhǎng)是長(zhǎng)方體的高的 5 倍，并且紙盒所有棱長(zhǎng)的和
是880cm，求這個(gè)紙盒的體積．
附加題（本題供學(xué)有余力的學(xué)生嘗試解答，不作為考試內(nèi)容）
若 A、 B 、C 為數(shù)軸上三點(diǎn)，若點(diǎn)C 到 A的距離是點(diǎn)C 到 B 的距離 2 倍，我們就稱點(diǎn)C 是【 A， B 】的好
點(diǎn)．例如，如圖 1，點(diǎn) A表示的數(shù)為 -1，點(diǎn) B 表示的數(shù)為 2．表示 1 的點(diǎn)C 到點(diǎn) A的距離是 2，到點(diǎn) B 的
距離是 1，那么點(diǎn)C 是【 A， B 】的好點(diǎn)；又如，表示 0 的點(diǎn) D 到點(diǎn) A的距離是 1，到點(diǎn) B 的距離是 2，那
么點(diǎn) D 就不是【 A， B 】的好點(diǎn)，但點(diǎn) D 是【 B ， A】的好點(diǎn)．
知識(shí)運(yùn)用：如圖 2， M 、 N 為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn) M 所表示的數(shù)為 -2 ，點(diǎn) N 所表示的數(shù)為 4．
（1）數(shù) 　　所表示的點(diǎn)是【 M ， N 】的好點(diǎn)；
（2）如圖 3， A、 B 為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn) A所表示的數(shù)為 -20，點(diǎn) B 所表示的數(shù)為 40．現(xiàn)有一只電子螞蟻 P
從點(diǎn) B 出發(fā)，以 2 個(gè)單位每秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn) A停止．當(dāng) t 為何值時(shí)， P 、 A和 B 中恰有一個(gè)點(diǎn)
為其余兩點(diǎn)的好點(diǎn)？
【分析】觀察判斷：觀察圖形得小明共剪了 8 條棱．
動(dòng)手操作：正確拼接即可．
解決問(wèn)題：設(shè)高為 acm，則長(zhǎng)與寬相等為5acm，由長(zhǎng)方體紙盒所有棱長(zhǎng)的和是880cm，列方程計(jì)算即可．
附加題
（1）設(shè)點(diǎn) H 是【 M ， N 】的好點(diǎn)， HM = 2HN ，又 HM + HN = MN = 4 - (-2) = 6，再計(jì)算即可．
（2）分四種情況： P 是【 A， B 】好點(diǎn)， P 是【 B ， A】好點(diǎn)， B 是【 P ， A】好點(diǎn)， A是【 P ， B 】
好點(diǎn)，再列方程計(jì)算即可．
【解答】解：觀察判斷：
小明共剪了 8 條棱，
故答案為：8．
動(dòng)手操作：
如圖，共四種情況：
解決問(wèn)題：
Q長(zhǎng)方體紙盒的底面是一個(gè)正方形，
\設(shè)高為 acm，則長(zhǎng)與寬相等為5acm，
Q長(zhǎng)方體紙盒所有棱長(zhǎng)的和是880cm，
\4(a + 5a + 5a) = 880，
\a = 20 ，
答：這個(gè)長(zhǎng)方體紙盒的體積為 20 100 100 = 200000（立方厘米）．
附加題
（1）設(shè)點(diǎn) H 是【 M ， N 】的好點(diǎn)，
\ HM = 2HN ，
當(dāng) H 在 M 、 N 之間時(shí)，
\ HM + HN = MN = 4 - (-2) = 6 ，
\2HN + HN = 6，
\ HN = 2，
\ H 表示的數(shù)為 4 - 2 = 2，
當(dāng) H 在 N 右邊時(shí)，
設(shè) H 表示的數(shù)為 h，
\h - (-2) = 2(h - 4)，
\h = 10 ，
故答案為：2 或 10．
（2）當(dāng) P 是【 A， B 】好點(diǎn)時(shí)，
即 PA = 2PB ，
\60 - 2t = 2 2t ，
\t = 10．
當(dāng) P 是【 B ， A】好點(diǎn)時(shí)，
即 PB = 2PA，
\2t = 2(60 - 2t) ，
\t = 20 ．
當(dāng) B 是【 A， P 】好點(diǎn)時(shí)，
即 BA = 2BP ，
\60 = 2 2t ，
\t = 15．
當(dāng) A是【 B ， P 】好點(diǎn)時(shí)，
即 AB = 2AP ，
\60 = 2(60 - 2t) ，
\t = 15．
綜上所述，當(dāng) t = 10秒或 20 秒或 15 秒時(shí)， P 、 A和 B 中恰有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的好點(diǎn)．
題型十一 數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)
解題技巧提煉
用代數(shù)式表示點(diǎn)的坐標(biāo)
1. （2024 春 仙桃校級(jí)月考）如圖，數(shù)軸上點(diǎn) A表示的數(shù)為 8，點(diǎn) B 位于點(diǎn) A左側(cè)，且 AB = 22 ．
（1）寫出數(shù)軸上點(diǎn) B 表示的數(shù) 　　．
（2） | 5 - 3 |表示 5 與 3 之差的絕對(duì)值，實(shí)際上也可理解為 5 與 3 兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)的兩點(diǎn)之間的距離．如
| x - 3 | 的幾何意義是數(shù)軸上表示實(shí)數(shù) x 的點(diǎn)與表示實(shí)數(shù) 3 的點(diǎn)之間的距離．試探索：
①若 | x - 8 |= 3 ，則 x =　　；
②求 | x +14 | + | x - 8 |的最小值？以及此時(shí) x 的取值范圍是？
（3）動(dòng)點(diǎn) P 從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒 4 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t(t > 0)秒．求當(dāng)
t 為多少秒時(shí)， A， P 兩點(diǎn)之間的距離為 2．
【分析】（1）根據(jù)題意直接計(jì)算即可；
（2）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，利用數(shù)軸即可得到結(jié)果；
（3）根據(jù)題意， AP = 2 ，易得此時(shí) P 點(diǎn)表示的數(shù)為 6 或 10，此時(shí) P 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離為 4t ，列方程求解即
可．
【解答】解：（1）點(diǎn) B 表示的數(shù)為：8 - 22 = -14 ，
故答案為： -14．
（2）①根據(jù) | x - 8 | 的幾何意義，可得 x = 8 ± 3，解得： x = 5 或 11；
故答案為：5 或 11；
②根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義， | x +14 | + | x - 8 |的最小值為 22，
此時(shí) x 的取值范圍是： -14 x 8．
（3）因?yàn)?A， P 兩點(diǎn)之間的距離為 2，所以 P 點(diǎn)表示的數(shù)為 6 或 10；
根據(jù)題意列方程得： 4t = 6或 10，
解得 t = 1.5 或 2.5；
因此，當(dāng) t 為 1.5 秒或 2.5 秒時(shí)， A， P 兩點(diǎn)之間的距離為 2．
2. （2022 秋 通川區(qū)期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn) M ， N 對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為 -6 和 8，數(shù)軸上一條線段 AB 從點(diǎn) M
出發(fā)（剛開(kāi)始點(diǎn) A與點(diǎn) M 重合），以每秒 1 個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸在 M ， N 之間往返運(yùn)動(dòng)（點(diǎn) B 到達(dá)
點(diǎn) N 立刻返回），線段 AB = 2 ，設(shè)線段 AB 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒．
（1）如圖 1，當(dāng) t = 2 時(shí)，求出點(diǎn) A對(duì)應(yīng)的有理數(shù)和點(diǎn) B 與點(diǎn) N 之間的距離；
（2）如圖 2，當(dāng)線段 AB 從點(diǎn) M 出發(fā)時(shí)，在數(shù)軸上的線段CD從點(diǎn) N 出發(fā) (D 在C 點(diǎn)的右側(cè)，剛開(kāi)始點(diǎn) D 與
點(diǎn) N 重合），以每秒 2 個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸在 N ， M 之間往返運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)C 到達(dá)點(diǎn) M 立刻返回），CD = 4，
點(diǎn) P 為線段 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段CD的中點(diǎn)．
①當(dāng) P 點(diǎn)第一次到達(dá)原點(diǎn)O之前，若點(diǎn) P 、點(diǎn)Q到數(shù)軸原點(diǎn)的距離恰好相等，求 t 的值；
②我們把數(shù)軸上的整數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)稱為“整點(diǎn)”，當(dāng) P ，Q兩點(diǎn)第一次在整點(diǎn)處重合時(shí)，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)C 對(duì)
應(yīng)的數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)起始點(diǎn)求出點(diǎn) A和點(diǎn) B 對(duì)應(yīng)的數(shù)，進(jìn)而可得答案；
（2）①分別用含 t 的代數(shù)式表示出點(diǎn) P 和點(diǎn)Q，再分情況列方程即可；
②當(dāng) 0 < t 5 時(shí)，點(diǎn) P 與點(diǎn)Q重合時(shí)不在整點(diǎn)處；當(dāng)5 < t 10 時(shí)，由題意得 -5 + t = -4 + 2(t - 5) ，解方程可得
答案．
【解答】解：（1）點(diǎn) A起始點(diǎn)在 -6 處，當(dāng) t = 2 時(shí)，
Q-6 +1 2 = -4，
\點(diǎn) A對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為 -4 ，點(diǎn) B 起始點(diǎn)在 -4 處，當(dāng) t = 2 時(shí)，
Q-4 +1 2 = -2，
\點(diǎn) B 對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為 -2 ，
\點(diǎn) B 與點(diǎn) N 之間的距離為 10；
（2）①點(diǎn) P 起始點(diǎn)在 -5 處，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒時(shí)，
Q0 < t 5，
\此時(shí)點(diǎn) P 一直往右運(yùn)動(dòng)，
\點(diǎn) P 對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為 -5 + t ，
點(diǎn)Q起始點(diǎn)在 6 處，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒時(shí)，
Q0 < t 5，
\此時(shí)點(diǎn)Q一直往左運(yùn)動(dòng)，
\點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為 6 - 2t ，
Q點(diǎn) P 、點(diǎn)Q到數(shù)軸原點(diǎn)的距離相等，
\當(dāng)原點(diǎn)是 PQ中點(diǎn)時(shí)， -5 + t + 6 - 2t = 0，
解得 t = 1，
當(dāng) P 、Q重合時(shí)， -5 + t = 6 - 2t ，
解得 t 11= ．
3
11
綜上， t 的值是 1 或 ；
3
②當(dāng) 0 < t 5 時(shí)，由①可得點(diǎn) P 與點(diǎn)Q重合時(shí)不在整點(diǎn)處；
當(dāng)5 < t 10 時(shí)，由題意得 -5 + t = -4 + 2(t - 5) ，
解得 t = 9 ，
此時(shí)，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)是有理數(shù)為 4，故點(diǎn)C 對(duì)應(yīng)是有理數(shù)為 2．
3. （2022 秋 章貢區(qū)期末）已知數(shù)軸上兩點(diǎn) A、 B 對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為 -24，12．
（1） A、 B 兩點(diǎn)間的距離為 　 　．
（2）如圖①，如果點(diǎn) P 沿線段 AB 自點(diǎn) A向點(diǎn) B 以每秒 2 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q沿線段 BA 自
點(diǎn) B 向點(diǎn) A以每秒 4 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒．
①運(yùn)動(dòng) t 秒時(shí)，點(diǎn) P 對(duì)應(yīng)的數(shù)為 　　，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)為 　　；（用含 t 的代數(shù)式表示）
②當(dāng) P 、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，點(diǎn) P 在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)是 　　；
③求 P 、Q相距 6 個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)的 t 值；
（3）如圖②，若點(diǎn) D 在數(shù)軸上，點(diǎn) M 在數(shù)軸上方，且 AD = MD = DC = 5 ， MDC = 90° ，現(xiàn)點(diǎn) M 繞著點(diǎn)
D 以每秒轉(zhuǎn)15°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（一周后停止），同時(shí)點(diǎn) N 沿射線 BA 自點(diǎn) B 向點(diǎn) A運(yùn)動(dòng)．當(dāng) M 、 N 兩
點(diǎn)相遇時(shí)，直接寫出點(diǎn) N 的運(yùn)動(dòng)速度．
【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸直接計(jì)算即可；
（2）①根據(jù)運(yùn)動(dòng)規(guī)律直接用代數(shù)式表示即可；
②根據(jù)相遇時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在同一位置列方程求出時(shí)間，進(jìn)而求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可；
③分點(diǎn) P 在點(diǎn)Q左右兩側(cè)兩種情況，列方程計(jì)算即可；
（3）根據(jù) M 和 N 在點(diǎn) A和點(diǎn)C 兩種情況相遇，先算出時(shí)間再計(jì)算出速度即可．
【解答】解：（1）由數(shù)軸知， A、 B 兩點(diǎn)間的距離為12 - (-24) = 36，
故答案為：36；
（2）①由題知點(diǎn) P 對(duì)應(yīng)的數(shù)為 -24 + 2t ，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)為12 - 4t ，
故答案為： -24 + 2t ，12 - 4t ；
②當(dāng) P 、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)， -24 + 2t = 12 - 4t ，
解得 t = 6 ，
即點(diǎn) P 在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)是 -24 + 2 6 = -12，
故答案為： -12；
③由題意， P 在Q左側(cè)時(shí)，得 2t + 4t + 6 = 36，
解得 t = 5，
P 在Q右側(cè)時(shí)， 2t + 4t - 6 = 36 ，
解得 t = 7 ，
\ P 、Q相距 6 個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)的 t 值為 5 秒或 7 秒；
（3）①當(dāng) M ， N 在C 點(diǎn)相遇時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間是：90° 15° = 6(s) ， N 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)距離為：36 - 5 - 5 = 26，
13
\此時(shí) N 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為： 26 6 = 單位長(zhǎng)度 / 秒，
3
②當(dāng) M ， N 在 A點(diǎn)相遇時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間是： 270° 15° = 18(s) ， N 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)距離為：36，
\此時(shí) N 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為：36 18 = 2 單位長(zhǎng)度 / 秒，
13
綜上，點(diǎn) N 的運(yùn)動(dòng)速度為 單位長(zhǎng)度 / 秒或 2 單位長(zhǎng)度 / 秒．
3
4. （2023 九龍坡區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，點(diǎn) M ， N 在數(shù)軸上分別位于原點(diǎn)O的左右兩邊，點(diǎn) M 表示的數(shù)是
a，點(diǎn) N 表示的數(shù)是b ，且 a，b 滿足 (a + 4)2 + | b - 8 |= 0 ．點(diǎn) A、 B 、C 是線段ON 的四等分點(diǎn)，分別
以線段OA、 AB 、 BC 為邊向數(shù)軸的上方作正方形OAED ，正方形 ABFE ，正方形 BCGF ．
（1）直接寫出 a，b 的值： a = 　　，b = 　　；
（2）如圖 1，若動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) M 出發(fā)以每秒 3 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線 M - O - D - G運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從
點(diǎn) N 出發(fā)以每秒 2 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線 N - C - G - D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) P 到達(dá)點(diǎn)G 時(shí) P ，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)
動(dòng)，設(shè)點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t ，求線段 PQ = 1時(shí) t 的值；
（3）如圖 2，若動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) M 出發(fā)以每秒 4 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向數(shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) P 到達(dá)點(diǎn)O時(shí)立
即以每秒 2 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線O - D - G - D 運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) P 到達(dá)點(diǎn)O的同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn) N 出發(fā)以每秒 2
個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q首次到達(dá)點(diǎn)C 后立即以每秒 3 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在點(diǎn)C 和
點(diǎn)O之間往返運(yùn)動(dòng)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)Q作直線 l 垂直O(jiān)N ，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，直線 l 與線段 DG 的交點(diǎn)為 H ．當(dāng)點(diǎn) P 第
二次到達(dá)點(diǎn) D 時(shí) P ，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t ，直接寫出線段 PH = 2時(shí) t 的值．
【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得解；
（2）根據(jù)相遇前和相遇后 PQ = 1，列方程求解即可；
（3）根據(jù)點(diǎn)Q到達(dá)O點(diǎn)前和返回后，點(diǎn) P 在QH 的左右兩側(cè)，根據(jù) PH = 2找出等量關(guān)系列出方程求解即
可．
【解答】解：（1）Q(a + 4)2 + | b - 8 |= 0，且 (a + 4)2…0 ， | b - 8 |…0 ，
\a + 4 = 0 ，b - 8 = 0，
\a = -4，b = 8，
故答案為： -4 ，8；
（2）Qa = -4，b = 8．\M 表示的數(shù)是 -4 ， N 表示的數(shù)是 8，
\ON = 8，
Q點(diǎn) A、 B 、C 是線段ON 的四等分點(diǎn)，
\ OA = AB = BC 1= 8 = 2 ，
4
又四邊形OAED ， ABFE ， BCGF 是正方形，
\OD = DE = EF = FG = 2 ，
若 P ，Q相遇前 PQ = 1，則有，3t +1+ 2t = 4 +10 + 2，
解得， t = 3；
若 P ，Q相遇后 PQ = 1，則有3t -1+ 2t = 4 +10 + 2，
解得， t 17= ，
5
PQ 1 t 17綜上，線段 = 時(shí)， = 或 t = 3，
5
（3）點(diǎn)Q從C 到O運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 6 3 = 2（秒 )，
點(diǎn) P 從點(diǎn) M 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)G 所需時(shí)間為： 4 4 + 8 2 = 5（秒 )，從點(diǎn)G 到點(diǎn) D 所需時(shí)間為 6 2 = 3（秒 )，
則點(diǎn) P 第二次到達(dá)點(diǎn) D 所需時(shí)間為5 + 3 = 8（秒 )，
故點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為8 -1 = 7（秒 )，
①當(dāng)點(diǎn)Q向O運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) P 在QH 左側(cè)時(shí)，則有 4 + 2(t -1) + 2 + 3(t - 2) + 2 = 4 + 2 + 6 + 2．
14
解得， t = ；
5
②當(dāng)點(diǎn)Q向O運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) P 在QH 右側(cè)時(shí)，則有 2(t -1) - 2 + 3(t - 2) = 8，
18
解得， t = ；
5
③當(dāng)點(diǎn)Q從O向C 運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) P 在QH 右側(cè)時(shí)，則有3(t - 4) + 2 + 2(t - 5) = 6 ，
26
解得， t = ，
5
④當(dāng)點(diǎn)Q從O向C 運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) P 在QH 左側(cè)時(shí)，則有 2(t - 5) - 2 = 3(t - 4) - 6，
解得， t = 6 ，
綜上，線段 PH 2 14 18 26= 時(shí) t 的值為 ， ， 或 6．
5 5 5
5. （2023 秋 順德區(qū)校級(jí)月考）如圖，在數(shù)軸上有兩個(gè)長(zhǎng)方形 ABCD 和 EFGH ，這兩個(gè)長(zhǎng)方形的寬都是 2
個(gè)單位長(zhǎng)度，長(zhǎng)方形 ABCD 的長(zhǎng) AD 是 4 個(gè)單位長(zhǎng)度，長(zhǎng)方形 EFGH 的長(zhǎng) EH 是 8 個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn) E
在數(shù)軸上表示的數(shù)是m ，且 E 、 D 兩點(diǎn)之間的距離為 n個(gè)單位長(zhǎng)度．若 | m - 5 | +(n -13)2 = 0，回答下
列問(wèn)題．
（1）填空：點(diǎn) H 在數(shù)軸上表示的數(shù)是 　 　；點(diǎn) A在數(shù)軸上表示的數(shù)是 　　；
（2）若線段 AD 的中點(diǎn)為 M EH N EN 1，線段 上一點(diǎn) ， = EH ，點(diǎn) M 以每秒 4 個(gè)單位的速度向右勻速運(yùn)
4
動(dòng)，點(diǎn) N 以每秒 3 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度同時(shí)向左勻速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)幾秒后，有OM = ON ；
（3）若長(zhǎng)方形 ABCD 以每秒 4 個(gè)單位的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，長(zhǎng)方形 EFGH 固定不動(dòng)，當(dāng)兩個(gè)長(zhǎng)方形重疊部
分的面積為 6 時(shí)，求長(zhǎng)方形 ABCD 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出m ， n的值，由數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離即可求得兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有理數(shù)；
（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 x 秒，首先可求得兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)，分兩種情況：當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)，由相遇問(wèn)題知識(shí)即可解
決；當(dāng)兩點(diǎn)分別在原點(diǎn)O的兩側(cè)時(shí)，則這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，其和為 0，可求得 x 的值；
（3）分兩種情況： AB 邊在長(zhǎng)方形 EFGH 的邊 EF 的左邊且距離 EF1個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)；CD邊在長(zhǎng)方形 EFGH
的邊GH 的右邊且距離GH1個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)；無(wú)論哪種情況均可求得長(zhǎng)方形 ABCD 運(yùn)動(dòng)的距離，則可求得運(yùn)
動(dòng)的時(shí)間．
【解答】解：（1）Q| m - 5 | +(n -13)2 = 0 ，
\m = 5， n = 13，
QEH = 8，則點(diǎn) H 對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為：5 + 8 = 13；
由于點(diǎn) E 在數(shù)軸上表示的數(shù)是 5．且 E 、 D 兩點(diǎn)之間的距離為 13 個(gè)單位長(zhǎng)度， AD = 4 ，
則 AE = 13 + 4 = 17 ，
所以點(diǎn) A表示的數(shù)為：5 -17 = -12 ，
故答案為：13， -12；
（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 x 秒，
因 EN 1= EH 1 1= 8 = 2 ， AM = AD = 2， 則 點(diǎn) M 、 N 對(duì) 應(yīng) 的 數(shù) 為 -12 + 2 = -10、 5 + 2 = 7 ，
4 4 2
MN = 7 - (-10) = 17 ，
由題意知，它們運(yùn)動(dòng) x 秒后 M 、 N 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為： -10 + 4x 、 7 - 3x ，
當(dāng)OM = ON 時(shí)有兩種情況：
17
若 M 、 N 兩點(diǎn)相遇，則兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離之和為 17，即 4x + 3x = 17 ，解得 x = ；
7
若 M 、 N 兩點(diǎn)在原點(diǎn)的兩側(cè)，則它們對(duì)應(yīng)的數(shù)互為相反數(shù)，即 -10 + 4x + 7 - 3x = 0 ，
解得： x = 3；
OM ON x 17綜上，當(dāng) = 時(shí)， 的值為 或 3；
7
（3）當(dāng) AB 邊在長(zhǎng)方形 EFGH 的邊 EF 的左邊且距離 EF 為 1 個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，即 AE = 1時(shí)，如圖 1 所示；則
ED = 4 -1 = 3 ，重疊部分面積為3 2 = 6；
此時(shí)長(zhǎng)方形 ABCD 的運(yùn)動(dòng)距離為：13 + 3 = 16，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：16 4 = 4 （秒 )；
當(dāng)CD邊在長(zhǎng)方形 EFGH 的邊GH 的右邊且距離GH1個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，即 HD = 1時(shí)； AH = 4 -1 = 3，重疊部
分面積為3 2 = 6；
此時(shí)長(zhǎng)方形 ABCD 的運(yùn)動(dòng)距離為：13 + 8 +1 = 22 ，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為： 22 4 = 5.5 （秒 )；
綜上，長(zhǎng)方形 ABCD 的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 4 秒或 5.5 秒．
題型十二 找規(guī)律
解題技巧提煉
通過(guò)題目找到一定的規(guī)律做題
1. 2024 1 1 1 1 1 1（ 春 兗 州 區(qū) 月 考 ） 觀 察 下 列 各 式 ： ① + 2 + = 1+ - = 1 ； ②1 22 1 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 50 1+ 2 + 2 = 1+ - = 1 ；③ 1+ 2 + 2 = 1+ - = 1 ．根據(jù)上面三個(gè)等式，猜想 + 的結(jié)2 3 2 3 6 3 4 3 4 12 49 64
果為 (　　 )
A 11． B 1 1 1．1 C．1 D．1
7 8 56 64
1 1 1 1 50 1
【分析】利用題中的等式可得規(guī)律為： 1+ 2 + 2 = 1+ - ，將 + 變形后，符合規(guī)律，根n (n +1) n n +1 49 64
據(jù)規(guī)律可得結(jié)果，然后進(jìn)行加減運(yùn)算即可．
1 1 1 1
【解答】解：根據(jù)題意，第 n個(gè)等式為 1+ 2 + 2 = 1+ - ，n (n +1) n n +1
50 1 1 1 1 1 1\ + = + + = 1+ 2 + 2 = 1
1 1 57 1
+ - = = 1 ．
49 64 49 64 7 8 7 8 56 56
故選：C ．
2. （2023 1秋 曲阜市期末）若實(shí)數(shù) x -1，則我們把 - 稱為 x 的“和 1 負(fù)倒數(shù)”，如 2 的“和 1 負(fù)倒
x +1
1
數(shù)”為 - ， -3 1 2的“和 1 負(fù)倒數(shù)”為 ，若 x1 = ， x2 是 x1 的“和 1 負(fù)倒數(shù)”， x3 是 x2 的“和 1 負(fù)3 2 3
倒數(shù)”， ，依此類推，則 x2024 = 　　．
【分析】根據(jù)和 1 負(fù)倒數(shù)的定義分別計(jì)算出 x1 ， x2 ， x3 ， x4 L，則得到從 x1 開(kāi)始每 3 個(gè)值就循環(huán)，據(jù)此求
解可得．
【解答】解：Q x 21 = ，3
x 1 3 x 1 5 1 2\ 2 = - 2 = - ， 3 = - = - ， x4 = - = ，1+ 5 1 3- 2 1 5- 3
3 5 2
，
\此數(shù)列每 3 個(gè)數(shù)為一周期循環(huán)，
Q2024 3 = 674L2，
3
\ x2024 = x2 = - ，5
3
故答案為： - ．
5
3. （ 2022 寧 波 自 主 招 生 ） 對(duì) 于 絕 對(duì) 值 均 小 于 1 的 實(shí) 數(shù) x1 ， x2 ， xn ，
| x1 | + | x2 | + + | xn |=| x1 + x2+ + xn | +2022，則正整數(shù) n的最小值為 　 　．
【分析】根據(jù) | xi |< 1(i = 1，2，3， ， n) ，可得 | x1 | + | x2 | + + | xn |< n，所以 n >| x1 + x2 + + xn | +2022，
即可求出正整數(shù) n的最小值．
【解答】解：設(shè) x1， x2 ， xn中正數(shù)的和為 p ，負(fù)數(shù)和為 -q( p > 0,q > 0)，
則 p + q =丨 p - q 丨 +2022 ，
①當(dāng) p…q 時(shí)， q = 1011，所以負(fù)數(shù)至少有 1012 個(gè)，
將 q = 1011代入得， p -1011 = 丨 p -1011丨， p…1011，
所以正數(shù)至少有 1012 個(gè)，
所以 n…1012 +1012 = 2024 ，
即 n至少為 2024 個(gè)，
②當(dāng) p < q 時(shí)，與①同理，
綜上， n最小值為 2024．
故答案為：2024．
4. （2022 春 漳平市期末）如圖所示為一個(gè)按某種規(guī)律排列的數(shù)陣：
第 1 行1 2
第 2 行 3 2 5 6
第 3 行 7 8 3 10 11 12
第 4 行 13 14 15 4 17 18 19 20

根據(jù)數(shù)陣的規(guī)律，第 8 行倒數(shù)第二個(gè)數(shù)是 　　．
【分析】觀察該列數(shù)，找到規(guī)律，再求解．
【解答】解：第 1 行最后一個(gè)為： 1 2 = 2 ；
第 2 行最后一個(gè)為： 2 3 = 6 ；
第 3 行最后一個(gè)為： 3 4 = 12 ；
第 4 行最后一個(gè)為： 4 5 20 ；
；
第 8 行最后一個(gè)為： 8 9 ，
\第 8 行倒數(shù)第二個(gè)數(shù)是： 71，
故答案為： 71．
5. （2024 春 慶云縣期末）【問(wèn)題情境】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，陳老師出示了一組題，閱讀下列解題過(guò)程，探求
規(guī)律：
1 3 1 1 5 4 2- = = ； 1- = = ； 1 7 9 3- = = ；L ×
4 4 2 9 9 3 16 16 4
1 3 1 5 1 7 17【實(shí)踐探究】計(jì)算式子 - - - L 1- 的值為 (　　 )
4 9 16 81
A 6 1．1 B． C．0 D．
7 9
【分析】根據(jù)題干中的算式總結(jié)規(guī)律后列式計(jì)算即可．
1 2 3 7 8
【解答】解：原式 =
2 3 4 8 9
1
= ，
9
故選： D ．
6. （2024 春 槐蔭區(qū)期中）定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于 -1，記為 i2 = -1，這個(gè)數(shù) i 叫做虛數(shù)單位．那么
i1 = i ， i2 = -1， i3 = -i ， i4 = 1， i5 = i ， i6 = -1， ，那么 i2024 = (　　 )
A． -1 B．1 C． -i D． i
【分析】先根據(jù)題意歸納出 in 結(jié)果的規(guī)律，再運(yùn)用該規(guī)律進(jìn)行求解．
【解答】解：Qi1 = i ， i2 = -1， i3 = -i ， i4 = 1， i5 = i ， i6 = -1，L，
\in 的結(jié)果按 i ， -1， -i ，1 這四個(gè)數(shù)循環(huán)的規(guī)律出現(xiàn)，
Q2024 4 = 506，
\i2024 = 1，
故選： B ．
題型十三 實(shí)數(shù)的運(yùn)算
解題技巧提煉
先算乘方和開(kāi)方，再算乘除，最后算加減
1. （2024 蓬萊區(qū)一模）計(jì)算： | 3 - 2 | (3 - p )0 + 3 -8 = 　　．
【分析】先根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)去掉絕對(duì)值符號(hào)，再根據(jù)零指數(shù)冪和立方根的定義計(jì)算乘方和開(kāi)方，最后算
加減即可．
【解答】解：原式 = (2 - 3) 1+ (-2)
= 2 - 3 - 2
= 2 - 2 - 3
= - 3 ，
故答案為： - 3 ．
2. （2024 淄博模擬）1- 16 =　　．
【分析】先根據(jù)數(shù)的開(kāi)方法則計(jì)算出 16 的值，再進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：1- 16 = 1- 4 = -3．
故答案為： -3．
3. （2024 2 即墨區(qū)一模）計(jì)算： | 3 - 2 | + 6 = 　 　．
2
【分析】直接利用絕對(duì)值的性質(zhì)以及二次根式的乘法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：原式 = 2 - 3 + 3
= 2．
故答案為：2．
4. （2024 德城區(qū)校級(jí)模擬）若 x 、 y 為實(shí)數(shù)，且 | x + 2 | + y - 3 = 0，則 (x + y)2021 的值為 　 　．
【分析】直接利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出 x ， y 的值，再利用有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．
【解答】解：Q | x + 2 | + y - 3 = 0，
\ x + 2 = 0 ， y - 3 = 0，
解得： x = -2 ， y = 3，
\(x + y)2021 = (-2 + 3)2021 = 1．
故答案為：1．
5. （2024 春 莘縣期末）實(shí)數(shù) a，b 在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)： (a - b)2 - 3 (b -1)3 = 　　．
【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置判斷出 a - b的正負(fù)，原式利用二次根式及立方根性質(zhì)化簡(jiǎn)，去括號(hào)合并即可
得到結(jié)果．
【解答】解：根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置得： a < 0 < b，
\a - b < 0，
則原式 =| a - b | -(b -1)
= b - a - b +1
= -a +1．
故答案為： -a +1．
6. （2024 春 東港區(qū)校級(jí)期中）實(shí)數(shù) a，b 在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn) (a -1)2 - (a - b)2 + b的結(jié)
果是 　 　．
【分析】利用數(shù)軸得出 a -1 < 0， a - b < 0 ，進(jìn)而利用算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡(jiǎn)求出即可．
【解答】解：由數(shù)軸可得： a -1 < 0， a - b < 0 ，
則原式 = 1- a + a - b + b = 1．
故答案為：1．
7. （2024 春 微山縣校級(jí)月考）計(jì)算： 3 -8+ | -2 |= 　 　．
【分析】原式第一項(xiàng)利用立方根定義計(jì)算，第二項(xiàng)利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，即可得到結(jié)果．
【解答】解：原式 = -2 + 2
= 0．
故答案為：0．
8. （2024 9 3春 嘉祥縣期末）計(jì)算： + 3 -27+ | - 3 |= 　 　．
4 2
【分析】先計(jì)算算術(shù)平方根、立方根、絕對(duì)值，再計(jì)算加減即可得出答案．
9 3 3
【解答】解： + 3 -27+ | - 3 |= + (-3) + 3 3- = 0 ，
4 2 2 2
故答案為：0．
9. （2024 春 陽(yáng)信縣月考）已知 a，b 互為相反數(shù)， c ， d 互為倒數(shù)，則式子 (a2 - b2 )ab - cd =　　．
【分析】利用相反數(shù)，倒數(shù)的定義求出 a + b與 cd 的值，原式變形后代入計(jì)算即可求出值．
【解答】解：根據(jù)題意得： a + b = 0， cd = 1，
原式 = (a + b)(a - b)ab - cd = 0 -1 = -1，
故答案為： -1
10. 2024 1 0.04 3 27 1（ 春 惠民縣期末）計(jì)算：（ ） + - ；
25
（2）3 3- | 3 - 2 |．
【分析】（1）原式利用算術(shù)平方根、立方根定義計(jì)算即可求出值；
（2）原式利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，合并同類二次根式即可得到結(jié)果．
1
【解答】解：（1）原式 = 0.2 + 3 - = 3；
5
（2）原式 = 3 3 - (2 - 3) = 3 3 - 2 + 3 = 4 3 - 2 ．
11. （2024 春 周村區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算
（1） (-2ab2c + 3abc2 ) ( 1- abc)
2
（2） (-a2 )(-a)5 (-a)4
（3） -12022 - (-2)-2 - 32 (3.14 - p )0
【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；
（2）原式根據(jù)同底數(shù)冪乘除法法則進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；
（3）原式先計(jì)算乘方，再計(jì)算除法，最后進(jìn)行加減運(yùn)算即可得到答案．
【解答】解：（1） (-2ab2c + 3abc2 ) 1 (- abc)
2
= -2ab2c ( 1 - abc) 1+ 3abc2 (- abc)
2 2
= 4b - 6c；
（2） (-a2 )(-a)5 (-a)4
= a2+5-4
= a3 ；
（3） -12022 - (-2)-2 - 32 (3.14 - p )0
= -1 1- - 9 1
4
1 1= - - - 9
4
10 1= - ．
4
12. （ 2024 春 兗 州 區(qū) 月 考 ） 實(shí) 數(shù) a， b ， c 在 數(shù) 軸 上 對(duì) 應(yīng) 的 點(diǎn) 的 位 置 如 圖 所 示 ， 化 簡(jiǎn)
(b - c)2 - | a + b | - 3 b3 + (c - a)2 ．
【分析】直接利用數(shù)軸得出各式的符號(hào)，進(jìn)而化簡(jiǎn)得出答案．
【解答】解：由數(shù)軸可知： c < b < 0 < a ，
\b - c > 0 ，b3 < 0 ，
Q| c |>| a |>| b |，
\a + b > 0 ， c - a < 0 ，
\ (b - c)2 - | a + b | - 3 b3 + (c - a)2 =| b - c | -(a + b) - b+ | c - a |
= b - c - a - b - b + a - c
= -b - 2c ．
13. （2023 秋 威海期末）（1）計(jì)算： ( 3)2 - 3 -64 - 32 + 42 ；
（2）如圖，在數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)表示為實(shí)數(shù) a，b ，化簡(jiǎn)： a2 + | a + b | - (b - a)2 ．
【分析】（1）按照實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算順序運(yùn)算即可；
（2）根據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)化簡(jiǎn)絕對(duì)值并進(jìn)行整式運(yùn)算即可．
【解答】解：（1） ( 3)2 - 3 -64 - 32 + 42
= 3 - (-4) - 5
= 3 + 4 - 5
= 2；
（2）由圖知：b < 0 < a， | b |>| a | ，
\a + b < 0，b - a < 0 ，
a2 + | a + b | - (b - a)2
=| a | + | a + b | - | b - a |
= a - (a + b) + (b - a)
= a - a - b + b - a
= -a ．
14. （2024 春 泗水縣期末）已知實(shí)數(shù) a、 b 、 c 、 d 、 m ，若 a、 b 互為相反數(shù)， c 、 d 互為倒數(shù)， m 的
2 a + b + m
2 +1
絕對(duì)值是 ，求 的平方根．
cd
【分析】根據(jù)相反數(shù)，倒數(shù)，以及絕對(duì)值的意義求出 a + b， cd 及m 的值，代入計(jì)算即可求出平方根．
【解答】解：根據(jù)題意得： a + b = 0， cd = 1，m = 2或 -2 ，
當(dāng)m = ±2時(shí)，原式 = 5 ，
5 的平方根為 ± 5 ．
15. （2024 春 歷城區(qū)校級(jí)月考） 3 -27 + (-3)2 - 3 -1．
【分析】原式第一、三項(xiàng)利用立方根定義化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)利用平方根定義化簡(jiǎn)，計(jì)算即可得到結(jié)果．
【解答】解：原式 = -3 + 3 - (-1) = -3 + 3 +1 = 1．4.6 實(shí)數(shù)
知識(shí)點(diǎn)一 實(shí)數(shù)
◆概念：有理數(shù)與無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)．
◆分類：
實(shí)數(shù)按定義分類：
ì ì整數(shù)ü 有限小數(shù)或
有理數(shù)í
實(shí)數(shù)í 分?jǐn)?shù) 無(wú)限循環(huán)小數(shù)

無(wú)理數(shù) 無(wú)限不循環(huán)小數(shù)
按正負(fù)分類：
ì ì正有理數(shù)
正實(shí)數(shù)í
正無(wú)理數(shù)

實(shí)數(shù)í0

ì負(fù)有理數(shù)負(fù)實(shí)數(shù)
í 負(fù)無(wú)理數(shù)
知識(shí)點(diǎn)二 實(shí)數(shù)比較大小
◆實(shí)數(shù)與數(shù)軸：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)．
◆實(shí)數(shù)比較大小：在數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)，右邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大．
（1）作差法
（2）作商法
（3）乘方法：把含相同根號(hào)的兩個(gè)無(wú)理數(shù)同時(shí)乘方，比較乘方后兩個(gè)數(shù)的大小，同時(shí)考慮符號(hào)，從而
確定兩個(gè)無(wú)理數(shù)的大小．
（4）比較被開(kāi)方數(shù)：若 a>b>0，則 a > b ， 3 a > 3 b ．
1 1
（5）倒數(shù)法：設(shè) a>0，b>0，若 > ，則 aa b
（6）數(shù)軸法：如果兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上，左邊的點(diǎn)表示的數(shù)小于右邊的點(diǎn)表示的數(shù)．
（7）放縮法：如果 a>c，c>b，那么 a>b．
知識(shí)點(diǎn)三 實(shí)數(shù)的運(yùn)算
（1）有理數(shù)的運(yùn)算法則可以推廣到實(shí)數(shù)中．
（2）有理數(shù)的運(yùn)算律可以推廣到實(shí)數(shù)中．
◆加法交換律：a+b=b+a
◆加法結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）
◆乘法交換律：一般地，有理數(shù)乘法中，兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等．即 ab=ba
◆乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積相等．即（ab）c=a
（bc）．
◆乘法分配律：一般地，一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，在把積相
加．即 a（b+c）=ab+ac．
（3）做實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，應(yīng)注意以下運(yùn)算順序：
①先乘方、開(kāi)方，再乘除，最后加減；
②同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；
③如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)，中括號(hào)，大括號(hào)依次進(jìn)行．
題型一 辨析題
解題技巧提煉
要熟練掌握實(shí)數(shù)的定義
1. （2024 春 濱城區(qū)期末）下列說(shuō)法正確的是 (　　 )
A 1 1．若 a > b ，則 < B． 64 的平方根是 ±8
a b
C．無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù) D．若 a < 0 ， -1 < b < 0，則 ab > ab2
2. （2024 春 河?xùn)|區(qū)校級(jí)月考）下列說(shuō)法中，不正確的有 (　　 )
①任何數(shù)都有算術(shù)平方根；
②一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù)；
③ a2 的算術(shù)平方根一定是 a；
④算術(shù)平方根不可能是負(fù)數(shù)．
A．1 個(gè) B．2 個(gè) C．3 個(gè) D．4 個(gè)
3. （2024 春 禹城市月考）下列結(jié)論正確的是 (　　 )
A．同旁內(nèi)角互補(bǔ)
B． 81 的平方根是 ±9
C．平方根等于它本身的數(shù)是 1 和 0
D． a2 +1一定是正數(shù)
4. （2024 春 寧津縣校級(jí)期中）以下四個(gè)說(shuō)法：①負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根；②一個(gè)正數(shù)一定有兩個(gè)平方根；③平
方根等于它本身的數(shù)是 0 和 1；④一個(gè)數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)．其中正確的說(shuō)法有 (　　 )
A．0 個(gè) B．1 個(gè) C．2 個(gè) D．3 個(gè)
5. （2024 春 安丘市月考）下列說(shuō)法中，①任意一個(gè)數(shù)都有兩個(gè)平方根．② 81 的平方根是 ±3．③ -125
5 1
的立方根是 ±5 ．④ 是一個(gè)分?jǐn)?shù)．⑤ 是一個(gè)無(wú)理數(shù)．其中正確的有 (　　 )個(gè)．
2 p
A．2 B．3 C．4 D．5
題型二 實(shí)數(shù)的分類
解題技巧提煉
按定義分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，按正負(fù)性質(zhì)分正實(shí)數(shù)、0、負(fù)實(shí)數(shù)
1. （2024 春 陽(yáng)谷縣期中）在實(shí)數(shù)：3.14， 3 2 ， 2.1231223 (1和 3 之間的 2 逐次加 1 個(gè)）， 8 ，4，
p 22
， 中，無(wú)理數(shù)有 (　　 )
3 7
A．2 個(gè) B．3 個(gè) C．4 個(gè) D．5 個(gè)
2. （2024 春 樂(lè)陵市校級(jí)月考）將下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合里．
3 512 ，p ，3.1415926， -0.456， 3.030030003 5 （每?jī)蓚€(gè) 3 之間依次多 1 個(gè) 0) ，0， ， 3 9 ， (-7)2 ，
11
0.1 ．
有理數(shù)集合：{ 　 　 }；
無(wú)理數(shù)集合：{ 　 　 }；
正實(shí)數(shù)集合：{ 　 　 }；
整數(shù)集合：{ 　　 }．
3. （2024 春 沾化區(qū)期末）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合里．（填序號(hào)）
p
① - ，②0，③ -(-32 )，④ 0.1010010001 22 1 （兩個(gè) 1 之間的 0 逐漸增加），⑤ -3.2 ，⑥ ，⑦ - | - |．
3 7 3
整數(shù)集合：{ 　 　 }；
負(fù)分?jǐn)?shù)集合：{ 　 　 }；
正有理數(shù)集合：{ 　　 }；
無(wú)理數(shù)集合：{ 　　 }．
4. （2024 春 沂水縣校級(jí)月考）把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合中．
3
， 9 ，p ，3.14， - 3 27 ，0， -5.12345 ， - 3 ．
5
（1）有理數(shù)集合：{ 　 　 }；
（2）無(wú)理數(shù)集合：{ 　 　 }；
（3）正實(shí)數(shù)集合：{ 　 　 }．
題型三 實(shí)數(shù)的相反數(shù)
解題技巧提煉
兩數(shù)相加為 0，兩數(shù)互為相反數(shù)
1. （2024 春 曲阜市期末）下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的組是 (　　 )
A 1． -2 與 (-2)2 B． -2 和 3 -8 C． - 與 2 D． | -2 |和 2
2
2. （2024 嵐山區(qū)一模） 5 的相反數(shù)是 (　　 )
A． 5 B． -5 C． - 5 D．5
3. （2024 春 歷城區(qū)期末）實(shí)數(shù) 2 的相反數(shù)是 (　　 )
A． 2 B．2 C 2． - 2 D．
2
4. （2024 蘭山區(qū)校級(jí)模擬）實(shí)數(shù) 2023 的相反數(shù)是 (　　 )
A 2023 B 1 1． - ． - C． D．2023
2023 2023
5. （2024 鄄城縣一模） 3 64 的相反數(shù)是 (　　 )
A．4 B． -4 C．2 D． -2
6. （2022 秋 市北區(qū)校級(jí)月考）如圖，將 1、 2 、 3 、 6 按下列方式排列，若規(guī)定 (m,n) 表示第m 排
從左向右數(shù)第 n個(gè)數(shù)，則 (20,9)表示的數(shù)的相反數(shù)是 　　．
題型四 實(shí)數(shù)的倒數(shù)
解題技巧提煉
兩數(shù)相乘為 1，兩數(shù)互為倒數(shù)
1. （2024 東昌府區(qū)模擬）已知實(shí)數(shù) a =| -2024 | ，則實(shí)數(shù) a的倒數(shù)為 (　　 )
A．2024 B 1 C 1． ． -2024 D． -
2024 2024
2. （2024 春 單縣期中） - 2 的倒數(shù)是 (　　 )
A 2 2． - 2 B． - C． 2 D．
2 2
題型五 實(shí)數(shù)的絕對(duì)值
解題技巧提煉
正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0 的絕對(duì)值是 0
1. （2024 膠州市一模） - 2 的絕對(duì)值是 (　　 )
A 2 2． B． - 2 C． 2 D． -
2 2
2. （2024 槐蔭區(qū)三模）實(shí)數(shù) -3的絕對(duì)值是 (　　 )
A 3 B 1． - ． C．3 D 1． -
3 3
3. （2024 春 東港區(qū)月考） 3 - 5 的絕對(duì)值等于　　．
題型六 在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)
解題技巧提煉
數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)
1. （2024 春 慶云縣期末）如圖，長(zhǎng)方形 ABCD 中， AB = 3， AD = 1， AB 在數(shù)軸上，若以點(diǎn) A為圓心，
AC 的長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸于點(diǎn) M ，則點(diǎn) M 表示的數(shù)為 (　　 )
A． 10 -1 B． 5 -1 C．2 D． 5
2. （2024 春 惠民縣期末）如圖，已知數(shù)軸上的點(diǎn) A， B 分別表示數(shù) - 2 ， 2 ，則下列各數(shù)中是無(wú)理數(shù)
且對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在線段 AB 上的是 (　　 )
A．0 B． 2 -1 C． 3 -9 D．p
3. （2024 春 蒙陰縣期末）如圖，面積為 7 的正方形 ABCD 的頂點(diǎn) A在數(shù)軸上，且點(diǎn) A表示的數(shù)為 1，若
點(diǎn) E 在數(shù)軸上，（點(diǎn) E 在點(diǎn) A的右側(cè)）且 AB = AE ，則點(diǎn) E 所表示的數(shù)為 (　　 )
A．1+ 7 B． 2 + 7 C．3 + 7 D． 4 + 7
4. （2024 滕州市校級(jí)模擬）如圖所示：數(shù)軸上點(diǎn) A所表示的數(shù)為 a，則 a的值是 (　　 )
A． 5 +1 B． - 5 +1 C． 5 D． 5 -1
5. （2023 秋 高青縣期末）如圖，面積為 5 的正方形 ABCD 的頂點(diǎn) A在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為 1，若點(diǎn) E
在數(shù)軸上，（點(diǎn) E 在點(diǎn) A的右側(cè)）且 AB = AE ，則 E 點(diǎn)所表示的數(shù)為 (　　 )
A． 5 B．1+ 5 C 2 + 5． D． 5 + 2
2
題型七 利用數(shù)軸比較實(shí)數(shù)大小
解題技巧提煉
實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的大小為左小右大
1. （2024 濟(jì)南模擬）已知實(shí)數(shù) a，b 在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列判斷正確的是 (　　 )
A． a + b > 0 B． ab > 0 C． (-a) + b < 0 D． | b |<| a |
2. （2024 槐蔭區(qū)三模）實(shí)數(shù)m ， n在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是 (　　 )
A．mn > 0 B．m > -n C． | m |>| n | D．m +1 > n +1
3. （2024 兗州區(qū)二模）實(shí)數(shù) a，b 在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是 (　　 )
A． a < -2 B．b < 1 C． -a > b D． a > b
4. （2024 濟(jì)南三模）實(shí)數(shù) a，b 在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是 (　　 )
A． a > b B． -a < b C． | a |>| b | D． a + b > 0
5. （2024 春 河?xùn)|區(qū)期末）如圖，數(shù)軸上表示 0，1， 3 的點(diǎn)分別為 A， B ，C ，點(diǎn) B 到點(diǎn)C 的距離與點(diǎn) B
到點(diǎn) D 的距離相等，則點(diǎn) D 所表示的數(shù)為 (　　 )
A． 3 -1 B． 2 -1 C． 2 - 3 D． 2 + 3
6. （2024 菏澤一模）實(shí)數(shù) a、b 在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列式子不成立的是 (　　 )
A． a < b B． | a |>| b | C． a + b < 0 D a． > 0
b
7. （2024 濰城區(qū)一模）實(shí)數(shù) a，b 在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列判斷正確的是 (　　 )
A 1 1． ab > 0 B． > C． | a |=| b | D． a-2 < b-2
a b
8. （2024 鄄城縣三模）實(shí)數(shù) a，b 在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是 (　　 )
A． a + b > 0 B． ab > 0 C． | a |>| b | D． a +1 > b +1
9. （2024 陽(yáng)信縣一模）實(shí)數(shù) a，b 在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，下列結(jié)論正確的是 (　　 )
A． a > -2 B． a + b > 0 C． | a |<| b | D．b - a > 0
10. （2024 濟(jì)南模擬）實(shí)數(shù) a，b ， c 在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是 (　　 )
A．b - c > 0 B． ac > 0 C．b + c < 0 D． ab < 1
題型八 比較實(shí)數(shù)大小
解題技巧提煉
一般可以用做差法比較實(shí)數(shù)大小
1. （2024 春 齊河縣校級(jí)月考）已知 M = 5 + 2 ， N = 5 - 2 ，則 M 與 N 的關(guān)系為 (　　 )
A．相等 B．絕對(duì)值相等 C．互為相反數(shù) D．互為倒數(shù)
2. （2024 1春 寧津縣校級(jí)月考）已知 0 < a < 1，則 a ， a2 ， 之間的大小關(guān)系為 (　　 )
a
A 1 a2 a B a 1 a2 C a2 a 1 1． > > ． > > ． > > D． > a > a2
a a a a
3. （2024 春 濱城區(qū)期末）比較大小（填 > 、< 或 = 號(hào)）．
（1） 2 3 　　4；
5 -1
（2） 　　1；
2
（3）4 　　 3 50 ．
4. （2024 河?xùn)|區(qū)二模）比較大小：3 2 　　4．
5. （2024 春 梁山縣期末）比較大小：3 5 　　5 3 ．（填“ > ”或“< ” )
題型九 猜測(cè)數(shù)軸上的實(shí)數(shù)
解題技巧提煉
數(shù)軸上可以表示實(shí)數(shù)
1. （2024 春 德城區(qū)校級(jí)月考）把無(wú)理數(shù) 24 ， 11， 7 ， 5 表示在數(shù)軸上，在這四個(gè)無(wú)理數(shù)中，被
墨跡（如圖所示）覆蓋住的無(wú)理數(shù)是 　　．
2. （2024 春 樂(lè)陵市校級(jí)月考）如圖，將數(shù) - 5, 7, 13 表示在數(shù)軸上，其中能被墨跡覆蓋的數(shù)
是　　．
題型十 實(shí)數(shù)的新定義
解題技巧提煉
根據(jù)給出的定義進(jìn)行運(yùn)算
a(a…b) b(a…b)
1. （2024 ì ì春 樂(lè)陵市期末）對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù) a， b 定義兩種運(yùn)算： a b = í ， a b = ，
b(a < b)
í
a(a < b)
并且定義運(yùn)算順序仍然是先做括號(hào)內(nèi)的，例如 (-2) 3 = 3 ， (-2) 3 = -2 ， [(-2) 3] 2 = 2，那么
( 5 2) 3 27 的值為 (　　 )
A．2 B． 5 C．3 D．3 5
ì x - y (x…y)2. （2024 春 萊蕪區(qū)校級(jí)月考）對(duì)于任意的正數(shù) x 、 y 的新定義運(yùn)算 為： x y í ，計(jì)算
x + y (x < y)
(18 12) + (27 32)的結(jié)果為 (　　 )
A． 7 2 B． 3 C． 7 2 - 3 D． 7 2 + 3
ì m - n(m…n)
3. （2024 春 岱岳區(qū)期中）對(duì)于任意兩個(gè)正數(shù)m 、 n，定義運(yùn)算※為：m ※ n = í ，計(jì)算 (8
m + n(m < n)
※3) (3※8) 的結(jié)果為 (　　 )
A． -3 B． -5 C．5 D． -3或 5
4. （2024 春 高密市期中）定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù) a和 b ，都有 a※ b = 3 a + ab - b -1，例如 8※
4 = 3 8 + 8 4 - 4 -1 = 29．若 (-64)※ x 的值是非負(fù)數(shù)，則 x 的取值范圍為 　　．
5. （2024 春 東港區(qū)校級(jí)月考）閱讀理解題：定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于 -1，記為 i2 = -1，這個(gè)數(shù) i 叫
做虛數(shù)單位，把形如 a + bi(a ， b 為實(shí)數(shù)）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中 a叫這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部， b 叫做這個(gè)復(fù)數(shù)
的虛部，它的加，減，乘法運(yùn)算與整式的加，減，乘法運(yùn)算類似，例如計(jì)算：
(3 - i) + (4 + 3i) = (3 + 4) + (-1+ 3)i = 7 + 2i(1- i) (2 + i) = 1 2 + i - 2 i - i2 = 2 + i - 2i +1 = 3 - i
根據(jù)以上信息，完成下列問(wèn)題
（1）填空： i3 =　　， i4 = 　　；
（2）計(jì)算： (1- 2i) (4 - 5i) ；
（3）計(jì)算： i + i2 + i3 + i4 +L+ i2023 ．
6. （2023 秋 萊西市期末）小明在學(xué)習(xí)了正方體的展開(kāi)圖后，明白了很多幾何體都能展開(kāi)成平面圖形．于
是他在家用剪刀剪開(kāi)了一個(gè)長(zhǎng)方體紙盒，可是一不小心多剪開(kāi)了一條棱，把紙盒剪成了兩部分，如圖
1、圖 2 所示．請(qǐng)根據(jù)你所學(xué)的知識(shí)，回答下列問(wèn)題：
觀察判斷：
小明共剪開(kāi)了 　 　條棱；
動(dòng)手操作：
現(xiàn)在小明想將剪斷的圖 2 重新粘貼到圖 1 上去，而且經(jīng)過(guò)折疊以后，仍然可以還原成一個(gè)長(zhǎng)方體紙盒（如
圖3) ，請(qǐng)你幫助小明在圖 1 中補(bǔ)全圖形；
解決問(wèn)題：
經(jīng)過(guò)測(cè)量，小明發(fā)現(xiàn)這個(gè)紙盒的底面是一個(gè)正方形，其邊長(zhǎng)是長(zhǎng)方體的高的 5 倍，并且紙盒所有棱長(zhǎng)的和
是880cm，求這個(gè)紙盒的體積．
附加題（本題供學(xué)有余力的學(xué)生嘗試解答，不作為考試內(nèi)容）
若 A、 B 、C 為數(shù)軸上三點(diǎn)，若點(diǎn)C 到 A的距離是點(diǎn)C 到 B 的距離 2 倍，我們就稱點(diǎn)C 是【 A， B 】的好
點(diǎn)．例如，如圖 1，點(diǎn) A表示的數(shù)為 -1，點(diǎn) B 表示的數(shù)為 2．表示 1 的點(diǎn)C 到點(diǎn) A的距離是 2，到點(diǎn) B 的
距離是 1，那么點(diǎn)C 是【 A， B 】的好點(diǎn)；又如，表示 0 的點(diǎn) D 到點(diǎn) A的距離是 1，到點(diǎn) B 的距離是 2，那
么點(diǎn) D 就不是【 A， B 】的好點(diǎn)，但點(diǎn) D 是【 B ， A】的好點(diǎn)．
知識(shí)運(yùn)用：如圖 2， M 、 N 為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn) M 所表示的數(shù)為 -2 ，點(diǎn) N 所表示的數(shù)為 4．
（1）數(shù) 　　所表示的點(diǎn)是【 M ， N 】的好點(diǎn)；
（2）如圖 3， A、 B 為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn) A所表示的數(shù)為 -20，點(diǎn) B 所表示的數(shù)為 40．現(xiàn)有一只電子螞蟻 P
從點(diǎn) B 出發(fā)，以 2 個(gè)單位每秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn) A停止．當(dāng) t 為何值時(shí)， P 、 A和 B 中恰有一個(gè)點(diǎn)
為其余兩點(diǎn)的好點(diǎn)？
題型十一 數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)
解題技巧提煉
用代數(shù)式表示點(diǎn)的坐標(biāo)
1. （2024 春 仙桃校級(jí)月考）如圖，數(shù)軸上點(diǎn) A表示的數(shù)為 8，點(diǎn) B 位于點(diǎn) A左側(cè)，且 AB = 22 ．
（1）寫出數(shù)軸上點(diǎn) B 表示的數(shù) 　　．
（2） | 5 - 3 |表示 5 與 3 之差的絕對(duì)值，實(shí)際上也可理解為 5 與 3 兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)的兩點(diǎn)之間的距離．如
| x - 3 | 的幾何意義是數(shù)軸上表示實(shí)數(shù) x 的點(diǎn)與表示實(shí)數(shù) 3 的點(diǎn)之間的距離．試探索：
①若 | x - 8 |= 3 ，則 x =　　；
②求 | x +14 | + | x - 8 |的最小值？以及此時(shí) x 的取值范圍是？
（3）動(dòng)點(diǎn) P 從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒 4 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t(t > 0)秒．求當(dāng)
t 為多少秒時(shí)， A， P 兩點(diǎn)之間的距離為 2．
2. （2022 秋 通川區(qū)期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn) M ， N 對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為 -6 和 8，數(shù)軸上一條線段 AB 從點(diǎn) M
出發(fā)（剛開(kāi)始點(diǎn) A與點(diǎn) M 重合），以每秒 1 個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸在 M ， N 之間往返運(yùn)動(dòng)（點(diǎn) B 到達(dá)
點(diǎn) N 立刻返回），線段 AB = 2 ，設(shè)線段 AB 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒．
（1）如圖 1，當(dāng) t = 2 時(shí)，求出點(diǎn) A對(duì)應(yīng)的有理數(shù)和點(diǎn) B 與點(diǎn) N 之間的距離；
（2）如圖 2，當(dāng)線段 AB 從點(diǎn) M 出發(fā)時(shí)，在數(shù)軸上的線段CD從點(diǎn) N 出發(fā) (D 在C 點(diǎn)的右側(cè)，剛開(kāi)始點(diǎn) D 與
點(diǎn) N 重合），以每秒 2 個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸在 N ， M 之間往返運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)C 到達(dá)點(diǎn) M 立刻返回），CD = 4，
點(diǎn) P 為線段 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段CD的中點(diǎn)．
①當(dāng) P 點(diǎn)第一次到達(dá)原點(diǎn)O之前，若點(diǎn) P 、點(diǎn)Q到數(shù)軸原點(diǎn)的距離恰好相等，求 t 的值；
②我們把數(shù)軸上的整數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)稱為“整點(diǎn)”，當(dāng) P ，Q兩點(diǎn)第一次在整點(diǎn)處重合時(shí)，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)C 對(duì)
應(yīng)的數(shù)．
3. （2022 秋 章貢區(qū)期末）已知數(shù)軸上兩點(diǎn) A、 B 對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為 -24，12．
（1） A、 B 兩點(diǎn)間的距離為 　 　．
（2）如圖①，如果點(diǎn) P 沿線段 AB 自點(diǎn) A向點(diǎn) B 以每秒 2 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q沿線段 BA 自
點(diǎn) B 向點(diǎn) A以每秒 4 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒．
①運(yùn)動(dòng) t 秒時(shí)，點(diǎn) P 對(duì)應(yīng)的數(shù)為 　　，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)為 　　；（用含 t 的代數(shù)式表示）
②當(dāng) P 、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，點(diǎn) P 在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)是 　　；
③求 P 、Q相距 6 個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)的 t 值；
（3）如圖②，若點(diǎn) D 在數(shù)軸上，點(diǎn) M 在數(shù)軸上方，且 AD = MD = DC = 5 ， MDC = 90° ，現(xiàn)點(diǎn) M 繞著點(diǎn)
D 以每秒轉(zhuǎn)15°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（一周后停止），同時(shí)點(diǎn) N 沿射線 BA 自點(diǎn) B 向點(diǎn) A運(yùn)動(dòng)．當(dāng) M 、 N 兩
點(diǎn)相遇時(shí)，直接寫出點(diǎn) N 的運(yùn)動(dòng)速度．
4. （2023 九龍坡區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，點(diǎn) M ， N 在數(shù)軸上分別位于原點(diǎn)O的左右兩邊，點(diǎn) M 表示的數(shù)是
a，點(diǎn) N 表示的數(shù)是b ，且 a，b 滿足 (a + 4)2 + | b - 8 |= 0 ．點(diǎn) A、 B 、C 是線段ON 的四等分點(diǎn)，分別
以線段OA、 AB 、 BC 為邊向數(shù)軸的上方作正方形OAED ，正方形 ABFE ，正方形 BCGF ．
（1）直接寫出 a，b 的值： a = 　　，b = 　　；
（2）如圖 1，若動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) M 出發(fā)以每秒 3 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線 M - O - D - G運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從
點(diǎn) N 出發(fā)以每秒 2 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線 N - C - G - D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) P 到達(dá)點(diǎn)G 時(shí) P ，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)
動(dòng)，設(shè)點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t ，求線段 PQ = 1時(shí) t 的值；
（3）如圖 2，若動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) M 出發(fā)以每秒 4 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向數(shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) P 到達(dá)點(diǎn)O時(shí)立
即以每秒 2 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線O - D - G - D 運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) P 到達(dá)點(diǎn)O的同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn) N 出發(fā)以每秒 2
個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q首次到達(dá)點(diǎn)C 后立即以每秒 3 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在點(diǎn)C 和
點(diǎn)O之間往返運(yùn)動(dòng)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)Q作直線 l 垂直O(jiān)N ，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，直線 l 與線段 DG 的交點(diǎn)為 H ．當(dāng)點(diǎn) P 第
二次到達(dá)點(diǎn) D 時(shí) P ，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t ，直接寫出線段 PH = 2時(shí) t 的值．
5. （2023 秋 順德區(qū)校級(jí)月考）如圖，在數(shù)軸上有兩個(gè)長(zhǎng)方形 ABCD 和 EFGH ，這兩個(gè)長(zhǎng)方形的寬都是 2
個(gè)單位長(zhǎng)度，長(zhǎng)方形 ABCD 的長(zhǎng) AD 是 4 個(gè)單位長(zhǎng)度，長(zhǎng)方形 EFGH 的長(zhǎng) EH 是 8 個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn) E
在數(shù)軸上表示的數(shù)是m ，且 E 、 D 兩點(diǎn)之間的距離為 n個(gè)單位長(zhǎng)度．若 | m - 5 | +(n -13)2 = 0，回答下
列問(wèn)題．
（1）填空：點(diǎn) H 在數(shù)軸上表示的數(shù)是 　 　；點(diǎn) A在數(shù)軸上表示的數(shù)是 　　；
（2）若線段 AD 1的中點(diǎn)為 M ，線段 EH 上一點(diǎn) N ， EN = EH ，點(diǎn) M 以每秒 4 個(gè)單位的速度向右勻速運(yùn)
4
動(dòng)，點(diǎn) N 以每秒 3 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度同時(shí)向左勻速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)幾秒后，有OM = ON ；
（3）若長(zhǎng)方形 ABCD 以每秒 4 個(gè)單位的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，長(zhǎng)方形 EFGH 固定不動(dòng)，當(dāng)兩個(gè)長(zhǎng)方形重疊部
分的面積為 6 時(shí)，求長(zhǎng)方形 ABCD 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
題型十二 找規(guī)律
解題技巧提煉
通過(guò)題目找到一定的規(guī)律做題
1. （ 2024 1 1 1 1 1春 兗 州 區(qū) 月 考 ） 觀 察 下 列 各 式 ： ① 1+ 2 + 2 = 1+ - = 1 ； ②1 2 1 2 2
1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 50 1+ 2 + 2 = + - = ；③ 1+ 2 + 2 = 1+ - = 1 ．根據(jù)上面三個(gè)等式，猜想 + 的結(jié)2 3 2 3 6 3 4 3 4 12 49 64
果為 (　　 )
A．11 B．11 C 1．1 D．1 1
7 8 56 64
2. （2023 1秋 曲阜市期末）若實(shí)數(shù) x -1，則我們把 - 稱為 x 的“和 1 負(fù)倒數(shù)”，如 2 的“和 1 負(fù)倒
x +1
1 3 1 1 2數(shù)”為 - ， - 的“和 負(fù)倒數(shù)”為 ，若 x1 = ， x2 是 x3 2 3 1
的“和 1 負(fù)倒數(shù)”， x3 是 x2 的“和 1 負(fù)
倒數(shù)”， ，依此類推，則 x2024 = 　　．
3. （ 2022 寧 波 自 主 招 生 ） 對(duì) 于 絕 對(duì) 值 均 小 于 1 的 實(shí) 數(shù) x1 ， x2 ， xn ，
| x1 | + | x2 | + + | xn |=| x1 + x2+ + xn | +2022，則正整數(shù) n的最小值為 　 　．
4. （2022 春 漳平市期末）如圖所示為一個(gè)按某種規(guī)律排列的數(shù)陣：
第 1 行1 2
第 2 行 3 2 5 6
第 3 行 7 8 3 10 11 12
第 4 行 13 14 15 4 17 18 19 20

根據(jù)數(shù)陣的規(guī)律，第 8 行倒數(shù)第二個(gè)數(shù)是 　　．
5. （2024 春 慶云縣期末）【問(wèn)題情境】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，陳老師出示了一組題，閱讀下列解題過(guò)程，探求
規(guī)律：
1 3 1 1 5 4 2 7 9 3- = = ； 1- = = ； 1- = = ；L ×
4 4 2 9 9 3 16 16 4
3 5
【實(shí)踐探究】計(jì)算式子 1- 1- 1 7- L 1 17- 的值為 (　　 )
4 9 16 81
A．1 B 6 C 1． ．0 D．
7 9
6. （2024 春 槐蔭區(qū)期中）定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于 -1，記為 i2 = -1，這個(gè)數(shù) i 叫做虛數(shù)單位．那么
i1 = i ， i2 = -1， i3 = -i ， i4 = 1， i5 = i ， i6 = -1， ，那么 i2024 = (　　 )
A． -1 B．1 C． -i D． i
題型十三 實(shí)數(shù)的運(yùn)算
解題技巧提煉
先算乘方和開(kāi)方，再算乘除，最后算加減
1. （2024 蓬萊區(qū)一模）計(jì)算： | 3 - 2 | (3 - p )0 + 3 -8 = 　　．
2. （2024 淄博模擬）1- 16 =　　．
3. （2024 2 即墨區(qū)一模）計(jì)算： | 3 - 2 | + 6 = 　 　．
2
4. （2024 德城區(qū)校級(jí)模擬）若 x 、 y 為實(shí)數(shù)，且 | x + 2 | + y - 3 = 0，則 (x + y)2021 的值為 　 　．
5. （2024 春 莘縣期末）實(shí)數(shù) a，b 在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)： (a - b)2 - 3 (b -1)3 = 　　．
6. （2024 春 東港區(qū)校級(jí)期中）實(shí)數(shù) a，b 在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn) (a -1)2 - (a - b)2 + b的結(jié)
果是 　 　．
7. （2024 春 微山縣校級(jí)月考）計(jì)算： 3 -8+ | -2 |= 　 　．
8. （2024 9 3春 嘉祥縣期末）計(jì)算： + 3 -27+ | - 3 |= 　 　．
4 2
9. （2024 春 陽(yáng)信縣月考）已知 a，b 互為相反數(shù)， c ， d 互為倒數(shù)，則式子 (a2 - b2 )ab - cd =　　．
10. （2024 1 0.04 3 27 1春 惠民縣期末）計(jì)算：（ ） + - ；
25
（2）3 3- | 3 - 2 |．
11. （2024 春 周村區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算
（1） (-2ab2c 1+ 3abc2 ) (- abc)
2
（2） (-a2 )(-a)5 (-a)4
（3） -12022 - (-2)-2 - 32 (3.14 - p )0
12. （ 2024 春 兗 州 區(qū) 月 考 ） 實(shí) 數(shù) a， b ， c 在 數(shù) 軸 上 對(duì) 應(yīng) 的 點(diǎn) 的 位 置 如 圖 所 示 ， 化 簡(jiǎn)
(b - c)2 - | a + b | - 3 b3 + (c - a)2 ．
13. （2023 秋 威海期末）（1）計(jì)算： ( 3)2 - 3 -64 - 32 + 42 ；
（2）如圖，在數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)表示為實(shí)數(shù) a，b ，化簡(jiǎn)： a2 + | a + b | - (b - a)2 ．
14. （2024 春 泗水縣期末）已知實(shí)數(shù) a、 b 、 c 、 d 、 m ，若 a、 b 互為相反數(shù)， c 、 d 互為倒數(shù)， m 的
a + b + m22 +1絕對(duì)值是 ，求 的平方根．
cd
15. （2024 春 歷城區(qū)校級(jí)月考） 3 -27 + (-3)2 - 3 -1．

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