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第15講 8.6.3平面與平面垂直（第2課時(shí) 平面與平面垂直的性質(zhì)定理）
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
①掌握面面垂直的性質(zhì)定理，并能利用面面垂直的性質(zhì)定理證明一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。 1.空間中平面與平面的垂直關(guān)系是“空間直線、平面的垂直”中的又一個(gè)重點(diǎn)，是繼直線、平面的平行關(guān)系，直線與平面的垂直關(guān)系之后的遷移與拓展，是“類比”與“轉(zhuǎn)化”思想的又一重要體現(xiàn).本節(jié)內(nèi)容包括二面角和兩個(gè)平面互相垂直的定義、判定與性質(zhì)，這一節(jié)的學(xué)習(xí)對(duì)理順“空間直線、平面的垂直”的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系、提高學(xué)生的綜合能力起著十分重要的作用.
知識(shí)點(diǎn)01： 平面與平面垂直的性質(zhì)定理
（1）定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直．
(2)符號(hào)（圖形）語(yǔ)言：，， .
(3)應(yīng)用：①面面垂直線面垂直 ②作平面的垂線.
【即學(xué)即練1】（2023·廣東·校聯(lián)考二模）如圖，在四面體中，，平面平面為線段的中點(diǎn)，則下列判斷錯(cuò)誤的是（ ）

A． B．平面
C． D．平面
【答案】C
【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br/>所以平面，即B項(xiàng)正確；
因?yàn)槠矫妫裕碅正確；
因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，
所以，同理可得平面，即D正確；
因?yàn)槠矫妫矫妫裕?br/>平面，若，則平面，
顯然不重合，故C錯(cuò)誤.
故選：C
題型01 平面與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用
【典例1】（2024·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）在三棱錐中，分別為的中點(diǎn)，且.
(1)證明：平面；
(2)若平面平面，證明：.
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析.
【詳解】（1）證明:因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）證明：因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，，
又平面平面
平面平面，
所以平面
又平面.
所以.
【典例2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，和都垂直于平面，且，是的中點(diǎn)

(1)證明：直線//平面；
(2)若平面平面，證明：直線平面.
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，
因?yàn)椋怪泵妫裕?br/>因?yàn)椋郧遥?br/>所以為平行四邊形，
所以，面，面，
所以面．
（2）如圖，過(guò)作于，
平面平面，且兩平面的交線為,平面,
平面，
由平面，．
平面，平面，，
又平面，
平面．
.
【典例3】（2023上·江西·高三鷹潭一中校聯(lián)考期中）如圖1，山形圖是兩個(gè)全等的直角梯形和的組合圖，將直角梯形沿底邊翻折，得到圖2所示的幾何體.已知，,點(diǎn)在線段上，且在幾何體中，解決下面問(wèn)題.
(1)證明：平面；
(2)若平面平面，證明：.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【詳解】（1）連接與相交于,連接，
由于，且,
所以,
又,所以,
平面,平面,所以平面，

（2）過(guò)作交于，由于平面平面，且兩平面交線為，平面，
所以平面，平面,故，
又四邊形為直角梯形，故,
是平面內(nèi)的兩相交直線，所以平面，
平面，故.

【變式1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在幾何體中，矩形所在平面與平面互相垂直，且，，．求證：平面；
【答案】證明見解析
【詳解】在矩形中，，
又平面平面，平面平面=，
平面，所以平面，
又平面，所以，
在矩形中，，
又，所以，
所以，
又，平面，
所以平面.
【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，，，平面平面.求證：面；

【答案】證明見解析
【詳解】取的中點(diǎn)，連接，，

因?yàn)椋?br/>所以四邊形為平行四邊形，則，
又，所以，則，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫?br/>所以平面，又平面，
所以，
又，即，且，平面，
所以平面.
【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，三棱錐中，，均為等邊三角形，，O為AB中點(diǎn)，點(diǎn)D在AC上，滿足，且面面ABC．證明：面POD．

【答案】證明見解析
【詳解】證明：由條件、為等邊三角形，為的中點(diǎn)，
則，，，
由余弦定理得
從而在中，，
得為直角三角形，且，
又面面，面面，且，面，
則由面面垂直的性質(zhì)定理可得面
由面,所以
因此由，，，平面，
所以平面，
即面POD.
題型02 平面圖形折疊后的垂直問(wèn)題
【典例1】（2023上·浙江杭州·高二校考階段練習(xí)）已知菱形的邊長(zhǎng)為2，.將菱形沿對(duì)角線AC折疊成大小為60°的二面角.設(shè)E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為三棱錐表面上動(dòng)點(diǎn)，且總滿足，則點(diǎn)F軌跡的長(zhǎng)度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)榱庑蔚倪呴L(zhǎng)為2，，
所以，均為等邊三角形，
故⊥，⊥，且，
為二面角的平面角，則，
故為等邊三角形，，
又，平面，
所以⊥平面，
又E為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，
連接，則，且，
因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫?br/>同理得平面，
因?yàn)椋矫妫?br/>故平面平面，
所以⊥平面，
故點(diǎn)F軌跡為（除外），
故點(diǎn)F軌跡的長(zhǎng)度為.

故選：A
【典例2】（2022上·四川巴中·高二四川省通江中學(xué)校考期中）如圖，直角梯形中，，，為上的點(diǎn)，且，，將沿折疊到點(diǎn)，使.

(1)求證：平面平面；
(2)求四棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，，

又，∴，∵，∴，
又∵，∴，
又，平面，∴平面，
平面，則，
∵，為中點(diǎn)，，
而與不平行，平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面；
（2）由（1）知，平面，在直角梯形中，過(guò)作，垂足為，
則為矩形，∵，，，
，在中，，得到的距離，
則四邊形的面積，
在中，，求得，則為等邊三角形，
可得，即.
∴.
【典例3】（2023上·江西宜春·高二校考開學(xué)考試）如圖①梯形中，，，，且，將梯形沿折疊得到圖②，使平面平面，與相交于，點(diǎn)在上，且，是的中點(diǎn)，過(guò)三點(diǎn)的平面交于．

(1)證明：是的中點(diǎn)；
(2)是上一點(diǎn)，己知二面角為，求的值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）在圖①中過(guò)C作，則，，
圖②中，，
又∵，∴，∴，∴且．
∴，∴，
在中，，，
∴，又平面ACD，平面ACD，
∴平面ACD，平面平面，
∴，∴，
又是的中點(diǎn)，∴是的中點(diǎn)；

（2）如圖， 過(guò)作交BE于H，過(guò)作于點(diǎn)，連結(jié)，
且，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br/>所以平面，平面，所以，
因?yàn)槠矫妫裕?br/>因?yàn)椋矫妫云矫妫?br/>平面，所以，
則為二面角的平面角，∴，
設(shè)，∴，
又，∴，
在中，，,
由得，即，∴，
∴．

【變式1】（多選）（2023上·四川達(dá)州·高二達(dá)州市第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，正方形 的邊長(zhǎng)為 2 ，現(xiàn)將正方形沿其對(duì)角線進(jìn)行折疊，使其成為一個(gè)空間四邊形，在空間四邊形中，下列結(jié)論中正確的是 （ ）
A．兩點(diǎn)間的距離滿足
B．
C．對(duì)應(yīng)三棱錐 的體積的最大值為
D．當(dāng)二面角 為時(shí)，
【答案】AB
【詳解】如圖所示，取 的中點(diǎn)，連接
對(duì)于，在正方形中，，將正方形沿其對(duì)角線進(jìn)行折疊，
易得 兩點(diǎn)間的距離滿足，故A正確；
對(duì)于, ，ON,OD含于面BOD
平面，又平面，
,故B 正確；
對(duì)于 ，當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的體積的最大，
最大為 ，故C 錯(cuò)誤;
對(duì)于,因?yàn)椋?br/>所以為二面角 的平面角，
則當(dāng)時(shí)，三角形為等邊三角形，
則,故錯(cuò)誤，
故選：AB.
【變式2】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）如圖，已知中，是邊上的高，以為折痕折疊，使為直角.求證：平面平面，平面平面.

【答案】證明見解析
【詳解】因?yàn)椋矫妫?br/>所以平面；
因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?br/>已知為直角，所以，
又，，平面，
因此平面，
因?yàn)槠矫鍭BD，所以平面平面.
【變式3】（2023上·四川成都·高三成都七中校考開學(xué)考試）已知矩形ABCD中，，，M，N分別為AD，BC中點(diǎn)，O為對(duì)角線AC，BD交點(diǎn)，如圖1所示．現(xiàn)將和剪去，并將剩下的部分按如下方式折疊：沿MN將折疊，并使OA與OB重合，OC與OD重合，連接MN，得到由平面OAM，OBN，ODM，OCN圍成的無(wú)蓋幾何體，如圖2所示．

(1)求證：MN⊥平面；
(2)求此多面體體積V的最大值．
【答案】(1)證明見解析
(2)1
【詳解】（1）
在圖2中，取的中點(diǎn)E，連，
因?yàn)椋珽為的中點(diǎn)，所以，同理得，，
因?yàn)椋矫妫云矫妫?br/>因?yàn)槠矫妫裕?br/>因?yàn)椋矫妫云矫妫?br/>因?yàn)槠矫妫裕?br/>因?yàn)椋矫妫云矫妫?br/>（2）根據(jù)圖形的對(duì)稱性可知，，
因?yàn)榈拿娣e為，為定值，
所以當(dāng)點(diǎn)M到平面OCN的距離最大值時(shí)，三棱錐體積最大，
此時(shí)平面OMC⊥平面ONC，點(diǎn)M到平面OCN的距離等于點(diǎn)M到OC的距離，等于，
所以此多面體體積V的最大值為．
題型03直線與平面垂直、平面與平面垂直的綜合應(yīng)用
【典例1】（2024上·上海·高二上海市復(fù)旦中學(xué)校考期末）如圖，已知四棱錐的底面為直角梯形，，，，．

(1)證明：與平面不垂直；
(2)證明：平面平面；
(3)如果，二面角等于，求二面角的大小．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【詳解】（1）若平面，
則，
由已知，
得，
這與矛盾，所以與平面不垂直．
（2）取、的中點(diǎn)、，連接、、，
由，，得，
，
為直角梯形的中位線，
，又，
平面，
由平面，得，又且梯形兩腰、必交，
平面,
又平面，
平面平面,
（3）由（2）及二面角的定義知為二面角的平面角,
作于，連，
由于平面,平面,故,
,平面,故平面
平面,所以
故為二面角的平面角,
即，
由已知，得，
又．
，
． ，
故二面角的大小為．

【典例2】（2024上·上海長(zhǎng)寧·高二上海市民辦新虹橋中學(xué)校考期末）如圖，平行四邊形中，，將沿翻折，得到四面體．
(1)若，作出二面角的平面角，說(shuō)明作圖理由并求其大小；
(2)若，求點(diǎn)到平面的距離．
【答案】(1)二面角的平面角見解析，
(2)
【詳解】（1）如圖所示：
取點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，則即為所求的二面角的平面角，理由如下：
由題意，
又因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危裕?br/>又因?yàn)椋裕?br/>又點(diǎn)為的中點(diǎn)，
所以由三線合一可知，
又面面，
所以即為所求的二面角的平面角，
而，所以，同理，
而，
所以在中，由余弦定理有，即.
（2）
由題意，，
由余弦定理有，
解得，
所以，即，
所以由題意有，，
又因?yàn)椋?br/>所以，即，
又面，
所以面，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以，即，
所以，
不妨設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
因?yàn)椋?br/>所以，解得，即點(diǎn)到平面的距離為.
【典例3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，平行六面體的底面是菱形，且．試用盡可能多的方法解決以下兩問(wèn)：

(1)若，記面為，面為，求二面角的平面角的余弦值；
(2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，能使平面？
【答案】(1)
(2)1
【詳解】（1）連接、設(shè)和交于，連接，作，垂足為，作，垂足為，連接．

四邊形是菱形，
，又，．
又，，
△△，，
，，
又，，平面
平面，
又平面，．
是二面角的平面角．
方法一：∵，可得，，
又．
因?yàn)槠矫妫势矫嫫矫妫?br/>而平面平面，平面，
故平面，而平面，故，
而，平面，故平面，
而平面，故，
∴．
又，∴，
∴．
方法二：在中，．
由余弦定理知，
又，∴，
∴，即．
∴是中點(diǎn)，．
方法三：∵，，
∴，
即．
∴，
∴，
，．
∴，故．
（2）當(dāng)時(shí)，能使平面．
方法一 ：由前知平面，∴．
當(dāng)時(shí)，平行六面體的六個(gè)面是全等的菱形．
同的證法可得，
而平面，故平面．
方法二 ：∵，∴．
由題設(shè)可知三棱錐是正三棱錐，設(shè)與相交于．

∵，且，∴．
又是正三角形的邊上的高和中線，
∴點(diǎn)是正三角形的中心．
∴平面，即平面．
方法三 ：如圖，沿面補(bǔ)一個(gè)全等的平行六面體．

∴．若平面，則平面．
∴．令．
由余弦定理可知，．
又，則，
即．
∴，解得或（舍）．
由此可知當(dāng)時(shí)，平面．
方法四：如圖，若平面，則與成的角．過(guò)作交的延長(zhǎng)線于，則．四邊形為平行四邊形．設(shè)，，則．
∵，∴．
∴，．
在Rt中，，即，
∴，解得或（舍去）．
由此可知當(dāng)時(shí)，平面．

【變式1】（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）如圖1，在直角梯形ABCD中，，，，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn).將沿BE折起到如圖2中的位置，得到四棱錐.
(1)證明：；
(2)當(dāng)平面平面時(shí)，求三棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）
在圖1中，連接,
∵，，E是AD的中點(diǎn)，
所以四邊形是正方形，∴,
∴在圖2中，，，
又，、平面，
∴平面.
又，且，∴四邊形是平行四邊形，
∴，∴平面，
又∵平面，∴；
（2）∵平面平面，平面平面，
，平面，
∴平面，
又∵，，
∴.
【變式2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，平面是的一條斜線，是在平面內(nèi)的射影，為斜線和平面所成的角．設(shè)，過(guò)作的垂線，連結(jié)，則，且即為二面角的平面角（銳二面角），設(shè)．
請(qǐng)推導(dǎo)關(guān)于的等式關(guān)系（1）；關(guān)于的等式關(guān)系（2）．并用上述兩結(jié)論求解下題：
設(shè)和所在的兩個(gè)平面互相垂直，且，求二面角的正弦值的大小．
【答案】關(guān)系（1）：；關(guān)系（2）：；.
【詳解】關(guān)系（1）：；關(guān)系（2）：；
下面給出證明：
在題干的左圖中，因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以，
又，，平面,
所以平面，且平面，
所以，所以，
又因?yàn)椋?br/>故關(guān)系（1）：；
同理可得：，
故關(guān)系（2）：；
如下圖，過(guò)作延長(zhǎng)線于，連結(jié)，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫?br/>所以平面，
設(shè)二面角的平面角中的銳角為，
因?yàn)椋?br/>所以與全等，
所以且，所以，
又因?yàn)椋?br/>所以，
設(shè)二面角的平面角中的銳角為，
由兩個(gè)重要關(guān)系，可得，，
利用同角的三角關(guān)系可得：，
所以，
由于為銳角，因此，
即二面角的平面角的正弦值為．
【變式3】（2024·四川遂寧·統(tǒng)考一模）如圖，在三棱柱中，直線平面，平面平面.

(1)求證：；
(2)若，在棱上是否存在一點(diǎn)，使得四棱錐的體積為？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見講解；
(2)當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，四棱錐的體積為，理由見詳解.
【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，

因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫?br/>所以平面，又因?yàn)槠矫妫裕?br/>又因?yàn)槠矫妫矫妫裕?br/>又平面，所以平面，
又平面，所以.
（2）當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，四棱錐的體積為，理由如下：

過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，
因?yàn)槠矫妫矫妫裕?br/>又，所以，
由（1）可知，，
所以，即，所以，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
則，
所以，即到平面的距離為，
在三棱柱中，，
由（1）可知，平面，所以平面，
又，所以，
又，平面，平面，
所以平面，
所以到平面的距離為，即，
故為中點(diǎn)，所以為中點(diǎn)時(shí)，四棱錐的體積為.
題型04空間垂直的轉(zhuǎn)化
【典例1】（2023·北京海淀·統(tǒng)考二模）已知正方形ABCD所在平面與正方形CDEF所在平面互相垂直，且，P是對(duì)角線CE的中點(diǎn)，Q是對(duì)角線BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)之間距離的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【詳解】取邊的中點(diǎn)為,連接 , P是CE的中點(diǎn)，則,
由于,平面平面,平面平面，平面, 故平面,平面, 故,
在直角三角形中， , ,
要使最小，則最小，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)最小，故的最小值為,所以，、
故選：C
【典例2】（2023上·江蘇南京·高二南京市秦淮中學(xué)校考期末）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)到直線的距離的最小值為 ．

【答案】
【詳解】解：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，，所以，
又平面，平面，所以平面，
所以直線上任一點(diǎn)到平面的距離即為兩條異面直線與的距離，
過(guò)點(diǎn)作，
因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫妫云矫妫?br/>過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，
取，連接，則四邊形是矩形，可得平面，
在直角中，由，所以，
故點(diǎn)到直線的距離的最小值為．
故答案為：．

【典例3】（2023上·黑龍江雞西·高二密山市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）兩個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和各與對(duì)方所在平面垂直，、分別是對(duì)角線、上的點(diǎn)，且.

(1)求證：平面；
(2)設(shè)，，求與的函數(shù)關(guān)系式；
(3)求、兩點(diǎn)間的最短距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接、，
因?yàn)椋裕?br/>由已知可得，，，
所以，，，
所以，，
所以，，
又，所以，
因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以，平面，
同理可得，平面，
因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以，平面平面，
因?yàn)槠矫妫灾本€平面.

（2）由（1）可知，，，
所以，，
所以，，
同理可得，，
又平面平面，平面平面，
，平面，
所以，平面，
因?yàn)槠矫妫裕?br/>因?yàn)椋裕?br/>所以，是直角三角形，
所以，
，
即；
（3）由，且，
所以當(dāng)，即、分別為線段、中點(diǎn)時(shí)，
有最小值，
、兩點(diǎn)間的最短距離為.
【變式1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，是兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，給出下列說(shuō)法：
①若，且，則；
②若，且，則且；
③若，，則．其中正確的是 ．
【答案】①②
【詳解】對(duì)于①，因?yàn)閮蓚€(gè)平行平面中的一個(gè)平面與已知平面垂直，則另一個(gè)平面也與這個(gè)平面垂直，故①正確；
對(duì)于②，如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直，故②正確；
對(duì)于③，可能，故③錯(cuò)誤.
故答案為：①②.
【變式2】（2023上·河南南陽(yáng)·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）正方體棱長(zhǎng)為2，為底面的中心，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)且，則最小值是 .
【答案】/
【詳解】連接如圖所示線段，其中為中點(diǎn)，
由正方體棱長(zhǎng)為2，
則，則，
，有，
故，又，且、平面，
，故平面，
又平面，故，
又平面，平面，
故，又、平面，，
故平面，又為中點(diǎn)，故，
故平面，故平面，
故，連接點(diǎn)與中點(diǎn)，
則有、、、，
又，
故與全等，則有，
故，
即，即點(diǎn)在線段上，
故當(dāng)時(shí)，有最小值，
此時(shí)有，
即，
即最小值為.
故答案為：.
【變式3】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知，在與的交線上取線段，且AC，BD分別在平面和平面內(nèi)，它們都垂直于交線AB，并且，，求CD的長(zhǎng).
【答案】13
【詳解】如圖，
連接BC.因?yàn)椋本€AB是兩個(gè)互相垂直的平面和的交線，
所以.因?yàn)椋?
所以是直角三角形.
在中，.
在中，.
所以CD長(zhǎng)為13.
A夯實(shí)基礎(chǔ) B能力提升
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2024上·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知直線a、b與平面、，下列命題正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
【答案】C
【分析】由線面位置關(guān)系的判定，分析選項(xiàng)中結(jié)論是否正確.
【詳解】A選項(xiàng)，缺條件，結(jié)論不成立；
B選項(xiàng)，直線與直線可能平行可能異面，結(jié)論不成立；
C選項(xiàng)，由直線與平面垂直的定義可知，結(jié)論正確
D選項(xiàng)，直線可能與平行，可能在內(nèi)，也可能與相交，不一定滿足垂直，結(jié)論不成立.
故選：C
2．（2023下·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知在長(zhǎng)方體中，在平面上任取一點(diǎn)，作于，則（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．以上都有可能
【答案】A
【分析】易知平面，由面面垂直的性質(zhì)可得結(jié)論.
【詳解】
平面，，即平面，平面，
又平面平面，平面平面，
平面.
故選：A.
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】C
【分析】AB選項(xiàng)，可以舉出反例，C選項(xiàng)，可以通過(guò)面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行證明；D選項(xiàng)可以證明出.
【詳解】如圖，滿足，但不垂直，A錯(cuò)誤；
若，則或異面，或相交，B錯(cuò)誤；
因?yàn)椋瑒t或，又因?yàn)椋裕珻正確；
因?yàn)椋裕?br/>又因?yàn)椋O(shè)，則，所以
則，D錯(cuò)誤.
故選：C
4．（2023下·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知矩形中，，，是的中點(diǎn)，沿直線將△翻折成△，則三棱錐的體積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】當(dāng)平面平面，此時(shí)點(diǎn)到平面的距離取得最大值，取的中點(diǎn)，得到，證得平面，得到三棱錐的高為，結(jié)合體積公式，即可求解.
【詳解】如圖所示，要使得三棱錐的體積取得最大值，
當(dāng)平面平面，此時(shí)點(diǎn)到平面的距離取得最大值，
取的中點(diǎn)，因?yàn)椋傻茫?br/>因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫妫云矫妫?br/>在直角中，可得，即三棱錐的高為，
又由三角形的面積為，
所以三棱錐的體積的最大值.
故選：B.

5．（2023·廣東·校聯(lián)考二模）如圖，在四面體中，，平面平面為線段的中點(diǎn)，則下列判斷錯(cuò)誤的是（ ）

A． B．平面
C． D．平面
【答案】C
【分析】利用面面垂直的性質(zhì)可判定線面垂直，從而得出線線垂直，即可判定A、B、D三項(xiàng)正確.
【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br/>所以平面，即B項(xiàng)正確；
因?yàn)槠矫妫裕碅正確；
因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，
所以，同理可得平面，即D正確；
因?yàn)槠矫妫矫妫裕?br/>平面，若，則平面，
顯然不重合，故C錯(cuò)誤.
故選：C
6．（2023上·遼寧大連·高二校考階段練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形中， ，、分別是線段、上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，且，現(xiàn)將沿直線折起至，使平面平面，當(dāng)從滑動(dòng)到A的過(guò)程中，的大小變化是（ ）

A．由小變大 B．由大變小 C．先變小后變大 D．大小不變
【答案】D
【分析】不妨設(shè)，根據(jù)面面垂直可得平面，進(jìn)而可得，可求，在中，利用余弦定理運(yùn)算求解.
【詳解】不妨設(shè)，則，
可得，
連接，
因?yàn)椋瑒t，即，
平面平面，平面平面，平面，
可得平面，
且平面，所以，
可得，
在中，，
且，則，所以的大小不變.
故選：D.

7．（2023下·廣東梅州·高一統(tǒng)考期末）如圖，三棱臺(tái)中，底面是邊長(zhǎng)為6的正三角形，且，平面平面，則棱（ ）

A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】取中點(diǎn)分別為，連接,過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，從而在直角梯形求解即可.
【詳解】
如圖，取中點(diǎn)分別為，連接,
過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，
因?yàn)椋裕?br/>且,所以,
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br/>面,
所以平面，又因?yàn)槠矫妫裕?br/>又因?yàn)樵谌馀_(tái)中，，
所以四邊形為直角梯形，
因?yàn)?,
所以，
所以在直角三角形中，,
故選: A.
8．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，將正方形ABCD沿對(duì)角線AC折疊后，平面平面DAC，則二面角的余弦值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，作出二面角的平面角，再在直角三角形中計(jì)算作答.
【詳解】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，取AC的中點(diǎn)O，連接BO，則，過(guò)O作AD的平行線OE交CD于E，連接BE，如圖，

因?yàn)槠矫嫫矫鍰AC，平面平面，平面，
則平面DAC，而平面DAC，于是，
又，平面BOE，則平面BOE，
而平面BOE，即有，
因此為二面角的平面角，顯然，，
有，即為直角三角形，有，則，
所以.
故選：C
二、多選題
9．（2023下·全國(guó)·高一專題練習(xí)）關(guān)于三個(gè)不同平面、、與直線，下面命題中的真命題是( )
A．若，則內(nèi)一定存在直線平行于
B．若與不垂直，則內(nèi)一定不存在直線垂直于
C．若，，，則
D．若，則內(nèi)所有直線都垂直于
【答案】ABC
【分析】設(shè)，則內(nèi)所有平行于的直線都平行，據(jù)此可判斷AD；采用假設(shè)法可判斷B；通過(guò)面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)、線面平行的判斷定理和性質(zhì)可證明C為真命題.
【詳解】對(duì)于A，假設(shè)，則內(nèi)所有平行于的直線都平行，故A為真命題；
對(duì)于B，假設(shè)內(nèi)存在直線垂直于，則，與題設(shè)矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，故B為真命題；
對(duì)于C，設(shè)，，設(shè)m是α內(nèi)，n是β內(nèi)不同于l的直線，且m⊥a，n⊥b，
∵，，∴m⊥γ，n⊥γ，∴m∥n，
∵mα，nα，∴n∥α，∵nβ，α∩β＝l，∴n∥l，∴l(xiāng)⊥γ，故C為真命題；
對(duì)于D，假設(shè)，a，但aβ，故D為假命題．
故選：ABC．
10．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考一模）已知a，b為空間中兩條不同直線，，為空間中兩個(gè)不同的平面，則下列命題一定成立的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】ABD
【分析】利用面面平行的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)，面面垂直的性質(zhì)即可求解.
【詳解】對(duì)于A，由，，得，又因?yàn)椋裕蔄正確；
對(duì)于B，由，，得，因?yàn)椋?，故B正確；
對(duì)于C，由，，，得與異面或平行，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由，，得或，又因?yàn)椋裕蔇正確；
故選：ABD.
三、填空題
11．（2023下·江蘇連云港·高二連云港高中校考階段練習(xí)）如圖，已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，則二面角的正切值等于 ．
【答案】－2
【分析】在平面ABC內(nèi)，過(guò)作，可證得平面，AH⊥平面BCD，過(guò)作，可得平面，則，故為二面角的平面角的補(bǔ)角，設(shè)，求出，即可得出答案.
【詳解】在平面ABC內(nèi)，過(guò)作，垂足為，連接DH，
由題意，，平面，∴平面，
∵和所在的平面互相垂直，且平面平面，∴AH⊥平面BCD，
過(guò)作，垂足為，連接AR，
∵平面，平面，∴，
∵，平面，
∴平面，又平面，∴，
故為二面角的平面角的補(bǔ)角．
設(shè)，則由題設(shè)知，，
在中，，
，
故二面角的正切值為－2．
故答案為：－2．
12．（2023·寧夏銀川·六盤山高級(jí)中學(xué)校考一模）如圖，矩形中，，為邊的中點(diǎn)，將沿直線翻折至的位置．若為線段的中點(diǎn)，在翻折過(guò)程中（平面），給出以下結(jié)論：
①存在，使；
②三棱錐體積最大值為；
③直線平面．
則其中正確結(jié)論的序號(hào)為 ．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）
【答案】②③
【分析】①假設(shè)存在，根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)得到，再說(shuō)明與不垂直，與矛盾，即可得到假設(shè)不成立；②根據(jù)題意得到當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐體積最大，然后求體積即可；③證明平面∥平面，再利用面面平行的性質(zhì)即可得到∥平面.
【詳解】
取中點(diǎn)，連接，，
①假設(shè)存在，
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，所以，
又為中點(diǎn)，所以，
因?yàn)椋矫妫云矫妫?br/>因?yàn)槠矫妫裕?br/>因?yàn)椋瑸橹悬c(diǎn)，
所以與不垂直，與矛盾，故假設(shè)不成立，故①錯(cuò)誤；
②當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐體積最大，
因?yàn)椋矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫?br/>所以平面，，此時(shí)，
所以三棱錐體積最大值為，故②正確；
③取中點(diǎn)，連接，，
因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)闉榫匦危覟榈闹悬c(diǎn)，所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
因?yàn)槠矫妫矫妫浴纹矫妫?br/>因?yàn)椋矫妫云矫妗纹矫妫?br/>因?yàn)槠矫妫浴纹矫妫盛壅_.
故答案為：②③.
四、解答題
13．（2023上·上海·高二階段練習(xí)）已知四邊形為直角梯形，，，為等腰直角三角形，平面⊥平面，E為的中點(diǎn)，，．

(1)求證：平面；
(2)求證：⊥平面；
(3)求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)F，連，
因?yàn)镋為的中點(diǎn)，
所以且，
又，，
所以且，
故四邊形為平行四邊形，
∴，
∵平面，平面，
∴平面；

（2）證明：由題意：，．
∵，
∴⊥，
又平面⊥平面，平面平面，平面，
∴⊥平面，
∵平面，
∴PD⊥AB，
∵為等腰直角三角形，
∴⊥，
∵，平面，
∴⊥平面；
（3）∵為等腰直角三角形，，
∴，
∵⊥平面，平面，
∴⊥，
又，故，
由（2）得，⊥平面，又為的中點(diǎn)，
所以.
14．（2023上·上海·高二專題練習(xí)）如圖所示的幾何體中，四邊形為正方形，.
(1)求證：平面；
(2)若，平面平面.若為中點(diǎn)，求證：.
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析.
【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅螢檎叫危裕?br/>又平面，平面，
所以平面.
（2）若，則為等邊三角形，如圖，
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br/>，平面，
所以平面.
又平面，所以.
又，，平面，
所以平面.
又平面，
所以.
B能力提升
1．（2023上·四川成都·高三成都七中校考期中）如圖，平面四邊形中，，將其沿對(duì)角線折成四面體，使平面平面，四面體的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的體積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，由題意可知，，所以，由于平面平面，
所以平面，所以,，所以，
在中，，
所以四面體的外接球的球心為，半徑為，
所以該球的體積.
故選：B
2．（2023上·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對(duì)立體幾何問(wèn)題有著深入的研究，從其中的一些數(shù)學(xué)用語(yǔ)可見．譬如“塹堵”指底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，“陽(yáng)馬”指底面是矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，“鱉臑”指四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐．現(xiàn)有一如圖所示的“塹堵”，其中，若，則到平面的距離為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
取中點(diǎn)，連結(jié)，
根據(jù)題意，平面，平面，
所以平面平面，
因?yàn)椋裕?br/>又平面平面，平面
所以平面，且
由題意可知，
，
則，即為直角三角形，
，
設(shè)到平面的距離為，且，
即，
.
故選：B
3．（2023上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，P、Q是直線上的點(diǎn)，平面，五面體的各頂點(diǎn)均在球O球面上，四邊形為邊長(zhǎng)為2的正方形，且，均為正三角形，則當(dāng)球O半徑取得最小值時(shí)，五面體的體積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】設(shè)E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，為等邊的中心，
當(dāng)球心與正方形中心重合時(shí)，球半徑取得最小值，此時(shí)，
因?yàn)椋裕矗?br/>如圖，過(guò)、分別作平面的垂面，交直線于R，S兩點(diǎn)，
由題意可知，直線在平面內(nèi)的投影為直線，
所以四邊形是矩形.
則，，
所以五面體的體積為 .
故選：B.

4．（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）如圖，在三棱柱中，直線平面，平面平面.

(1)求證：；
(2)若，在棱上是否存在一點(diǎn)，使得四棱錐的體積為？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見講解；
(2)當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，四棱錐的體積為，理由見詳解.
【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，

因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫?br/>所以平面，又因?yàn)槠矫妫裕?br/>又因?yàn)槠矫妫矫妫裕?br/>又平面，所以平面，
又平面，所以.
（2）當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，四棱錐的體積為，理由如下：

過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，
因?yàn)槠矫妫矫妫裕?br/>又，所以，
由（1）可知，，
所以，即，所以，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
則，
所以，即到平面的距離為，
在三棱柱中，，
由（1）可知，平面，所以平面，
又，所以，
又，平面，平面，
所以平面，
所以到平面的距離為，即，
故為中點(diǎn)，所以為中點(diǎn)時(shí)，四棱錐的體積為.
5．（2023上·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖①，在中，分別為的中點(diǎn)，以為折痕，將折起，使點(diǎn)到的位置，且，如圖②.
(1)設(shè)平面平面，證明：平面；
(2)若是棱上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），過(guò)三點(diǎn)作該四棱錐的截面與平面所成的銳二面角的正切值為，求該截面將四棱錐分成上下兩部分的體積之比.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：如圖，連接，
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，
所以，
所以分別為以為斜邊的直角三角形，
即，又，平面平面，
所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫?br/>所以平面.
（2）如圖，過(guò)作，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，
連接，因?yàn)椋詾榈闹悬c(diǎn)，所以，
連接，因?yàn)椋?br/>所以，又平面平面，
所以平面，連接，
則是截面與平面所成二面角的平面角，
即.
在中，，所以，
又在中，由余弦定理可得
，
所以在中，，
所以，所以，所以
因?yàn)椋?br/>所以，即為中點(diǎn).
又是中點(diǎn)，所以是的重心，
所以，
所以，
所以，
又，
所以，
所以.第15講 8.6.3平面與平面垂直（第2課時(shí) 平面與平面垂直的性質(zhì)定理）
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
①掌握面面垂直的性質(zhì)定理，并能利用面面垂直的性質(zhì)定理證明一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。 1.空間中平面與平面的垂直關(guān)系是“空間直線、平面的垂直”中的又一個(gè)重點(diǎn)，是繼直線、平面的平行關(guān)系，直線與平面的垂直關(guān)系之后的遷移與拓展，是“類比”與“轉(zhuǎn)化”思想的又一重要體現(xiàn).本節(jié)內(nèi)容包括二面角和兩個(gè)平面互相垂直的定義、判定與性質(zhì)，這一節(jié)的學(xué)習(xí)對(duì)理順“空間直線、平面的垂直”的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系、提高學(xué)生的綜合能力起著十分重要的作用.
知識(shí)點(diǎn)01： 平面與平面垂直的性質(zhì)定理
（1）定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直．
(2)符號(hào)（圖形）語(yǔ)言：，， .
(3)應(yīng)用：①面面垂直線面垂直 ②作平面的垂線.
【即學(xué)即練1】（2023·廣東·校聯(lián)考二模）如圖，在四面體中，，平面平面為線段的中點(diǎn)，則下列判斷錯(cuò)誤的是（ ）

A． B．平面
C． D．平面
【答案】C
【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br/>所以平面，即B項(xiàng)正確；
因?yàn)槠矫妫裕碅正確；
因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，
所以，同理可得平面，即D正確；
因?yàn)槠矫妫矫妫裕?br/>平面，若，則平面，
顯然不重合，故C錯(cuò)誤.
故選：C
題型01 平面與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用
【典例1】（2024·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）在三棱錐中，分別為的中點(diǎn)，且.
(1)證明：平面；
(2)若平面平面，證明：.
【典例2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，和都垂直于平面，且，是的中點(diǎn)

(1)證明：直線//平面；
(2)若平面平面，證明：直線平面.
【典例3】（2023上·江西·高三鷹潭一中校聯(lián)考期中）如圖1，山形圖是兩個(gè)全等的直角梯形和的組合圖，將直角梯形沿底邊翻折，得到圖2所示的幾何體.已知，,點(diǎn)在線段上，且在幾何體中，解決下面問(wèn)題.
(1)證明：平面；
(2)若平面平面，證明：.

【變式1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在幾何體中，矩形所在平面與平面互相垂直，且，，．求證：平面；
【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，，，平面平面.求證：面；

【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，三棱錐中，，均為等邊三角形，，O為AB中點(diǎn)，點(diǎn)D在AC上，滿足，且面面ABC．證明：面POD．

題型02 平面圖形折疊后的垂直問(wèn)題
【典例1】（2023上·浙江杭州·高二校考階段練習(xí)）已知菱形的邊長(zhǎng)為2，.將菱形沿對(duì)角線AC折疊成大小為60°的二面角.設(shè)E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為三棱錐表面上動(dòng)點(diǎn)，且總滿足，則點(diǎn)F軌跡的長(zhǎng)度為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2022上·四川巴中·高二四川省通江中學(xué)校考期中）如圖，直角梯形中，，，為上的點(diǎn)，且，，將沿折疊到點(diǎn)，使.

(1)求證：平面平面；
(2)求四棱錐的體積.
【典例3】（2023上·江西宜春·高二校考開學(xué)考試）如圖①梯形中，，，，且，將梯形沿折疊得到圖②，使平面平面，與相交于，點(diǎn)在上，且，是的中點(diǎn)，過(guò)三點(diǎn)的平面交于．

(1)證明：是的中點(diǎn)；
(2)是上一點(diǎn)，己知二面角為，求的值．
【變式1】（多選）（2023上·四川達(dá)州·高二達(dá)州市第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，正方形 的邊長(zhǎng)為 2 ，現(xiàn)將正方形沿其對(duì)角線進(jìn)行折疊，使其成為一個(gè)空間四邊形，在空間四邊形中，下列結(jié)論中正確的是 （ ）
A．兩點(diǎn)間的距離滿足
B．
C．對(duì)應(yīng)三棱錐 的體積的最大值為
D．當(dāng)二面角 為時(shí)，
【變式2】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）如圖，已知中，是邊上的高，以為折痕折疊，使為直角.求證：平面平面，平面平面.

【變式3】（2023上·四川成都·高三成都七中校考開學(xué)考試）已知矩形ABCD中，，，M，N分別為AD，BC中點(diǎn)，O為對(duì)角線AC，BD交點(diǎn)，如圖1所示．現(xiàn)將和剪去，并將剩下的部分按如下方式折疊：沿MN將折疊，并使OA與OB重合，OC與OD重合，連接MN，得到由平面OAM，OBN，ODM，OCN圍成的無(wú)蓋幾何體，如圖2所示．

(1)求證：MN⊥平面；
(2)求此多面體體積V的最大值．
題型03直線與平面垂直、平面與平面垂直的綜合應(yīng)用
【典例1】（2024上·上海·高二上海市復(fù)旦中學(xué)校考期末）如圖，已知四棱錐的底面為直角梯形，，，，．

(1)證明：與平面不垂直；
(2)證明：平面平面；
(3)如果，二面角等于，求二面角的大小．
【典例2】（2024上·上海長(zhǎng)寧·高二上海市民辦新虹橋中學(xué)校考期末）如圖，平行四邊形中，，將沿翻折，得到四面體．
(1)若，作出二面角的平面角，說(shuō)明作圖理由并求其大小；
(2)若，求點(diǎn)到平面的距離．
【典例3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，平行六面體的底面是菱形，且．試用盡可能多的方法解決以下兩問(wèn)：

(1)若，記面為，面為，求二面角的平面角的余弦值；
(2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，能使平面？
【變式1】（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）如圖1，在直角梯形ABCD中，，，，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn).將沿BE折起到如圖2中的位置，得到四棱錐.
(1)證明：；
(2)當(dāng)平面平面時(shí)，求三棱錐的體積.
【變式2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，平面是的一條斜線，是在平面內(nèi)的射影，為斜線和平面所成的角．設(shè)，過(guò)作的垂線，連結(jié)，則，且即為二面角的平面角（銳二面角），設(shè)．
請(qǐng)推導(dǎo)關(guān)于的等式關(guān)系（1）；關(guān)于的等式關(guān)系（2）．并用上述兩結(jié)論求解下題：
設(shè)和所在的兩個(gè)平面互相垂直，且，求二面角的正弦值的大小．
【變式3】（2024·四川遂寧·統(tǒng)考一模）如圖，在三棱柱中，直線平面，平面平面.

(1)求證：；
(2)若，在棱上是否存在一點(diǎn)，使得四棱錐的體積為？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
題型04空間垂直的轉(zhuǎn)化
【典例1】（2023·北京海淀·統(tǒng)考二模）已知正方形ABCD所在平面與正方形CDEF所在平面互相垂直，且，P是對(duì)角線CE的中點(diǎn)，Q是對(duì)角線BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)之間距離的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．
【典例2】（2023上·江蘇南京·高二南京市秦淮中學(xué)校考期末）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)到直線的距離的最小值為 ．


【典例3】（2023上·黑龍江雞西·高二密山市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）兩個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和各與對(duì)方所在平面垂直，、分別是對(duì)角線、上的點(diǎn)，且.

(1)求證：平面；
(2)設(shè)，，求與的函數(shù)關(guān)系式；
(3)求、兩點(diǎn)間的最短距離.
【變式1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，是兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，給出下列說(shuō)法：
①若，且，則；
②若，且，則且；
③若，，則．其中正確的是 ．
【變式2】（2023上·河南南陽(yáng)·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）正方體棱長(zhǎng)為2，為底面的中心，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)且，則最小值是 .
【變式3】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知，在與的交線上取線段，且AC，BD分別在平面和平面內(nèi)，它們都垂直于交線AB，并且，，求CD的長(zhǎng).
A夯實(shí)基礎(chǔ) B能力提升
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2024上·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知直線a、b與平面、，下列命題正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
2．（2023下·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知在長(zhǎng)方體中，在平面上任取一點(diǎn)，作于，則（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．以上都有可能
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
4．（2023下·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知矩形中，，，是的中點(diǎn)，沿直線將△翻折成△，則三棱錐的體積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·廣東·校聯(lián)考二模）如圖，在四面體中，，平面平面為線段的中點(diǎn)，則下列判斷錯(cuò)誤的是（ ）

A． B．平面
C． D．平面
6．（2023上·遼寧大連·高二校考階段練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形中， ，、分別是線段、上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，且，現(xiàn)將沿直線折起至，使平面平面，當(dāng)從滑動(dòng)到A的過(guò)程中，的大小變化是（ ）

A．由小變大 B．由大變小 C．先變小后變大 D．大小不變
7．（2023下·廣東梅州·高一統(tǒng)考期末）如圖，三棱臺(tái)中，底面是邊長(zhǎng)為6的正三角形，且，平面平面，則棱（ ）

A． B． C．3 D．
8．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，將正方形ABCD沿對(duì)角線AC折疊后，平面平面DAC，則二面角的余弦值為（ ）

二、多選題
9．（2023下·全國(guó)·高一專題練習(xí)）關(guān)于三個(gè)不同平面、、與直線，下面命題中的真命題是( )
A．若，則內(nèi)一定存在直線平行于
B．若與不垂直，則內(nèi)一定不存在直線垂直于
C．若，，，則
D．若，則內(nèi)所有直線都垂直于
10．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考一模）已知a，b為空間中兩條不同直線，，為空間中兩個(gè)不同的平面，則下列命題一定成立的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
三、填空題
11．（2023下·江蘇連云港·高二連云港高中校考階段練習(xí)）如圖，已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，則二面角的正切值等于 ．
12．（2023·寧夏銀川·六盤山高級(jí)中學(xué)校考一模）如圖，矩形中，，為邊的中點(diǎn)，將沿直線翻折至的位置．若為線段的中點(diǎn)，在翻折過(guò)程中（平面），給出以下結(jié)論：
①存在，使；
②三棱錐體積最大值為；
③直線平面．
則其中正確結(jié)論的序號(hào)為 ．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）
四、解答題
13．（2023上·上海·高二階段練習(xí)）已知四邊形為直角梯形，，，為等腰直角三角形，平面⊥平面，E為的中點(diǎn)，，．

(1)求證：平面；
(2)求證：⊥平面；
(3)求三棱錐的體積．
14．（2023上·上海·高二專題練習(xí)）如圖所示的幾何體中，四邊形為正方形，.
(1)求證：平面；
(2)若，平面平面.若為中點(diǎn)，求證：.
B能力提升
1．（2023上·四川成都·高三成都七中校考期中）如圖，平面四邊形中，，將其沿對(duì)角線折成四面體，使平面平面，四面體的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的體積為（ ）

A． B． C． D．
2．（2023上·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對(duì)立體幾何問(wèn)題有著深入的研究，從其中的一些數(shù)學(xué)用語(yǔ)可見．譬如“塹堵”指底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，“陽(yáng)馬”指底面是矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，“鱉臑”指四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐．現(xiàn)有一如圖所示的“塹堵”，其中，若，則到平面的距離為（ ）

A． B． C． D．
3．（2023上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，P、Q是直線上的點(diǎn)，平面，五面體的各頂點(diǎn)均在球O球面上，四邊形為邊長(zhǎng)為2的正方形，且，均為正三角形，則當(dāng)球O半徑取得最小值時(shí)，五面體的體積為（ ）

A． B． C． D．
4．（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）如圖，在三棱柱中，直線平面，平面平面.

(1)求證：；
(2)若，在棱上是否存在一點(diǎn)，使得四棱錐的體積為？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
5．（2023上·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖①，在中，分別為的中點(diǎn)，以為折痕，將折起，使點(diǎn)到的位置，且，如圖②.
(1)設(shè)平面平面，證明：平面；
(2)若是棱上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），過(guò)三點(diǎn)作該四棱錐的截面與平面所成的銳二面角的正切值為，求該截面將四棱錐分成上下兩部分的體積之比.

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