資源簡介

第13講 8.6.2直線與平面垂直的性質定理 （第2課時）
課程標準 學習目標
①掌握直線與平面垂直的性質定理。 ②會用性質定理證明相關問題。 本節主要內容是在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系的基礎上，抽象出空間直線與平而垂直的定義:通過直觀感知、操作確認，歸納出直線與平面垂直的判定定理與性質定理:能運用直線與平面垂直的定義、判定定理和性質定理證明一些空間位置關系的簡單命題教學重點是通過直觀感知、操作確認，歸納出直線與平面垂直的判定定理、性質定理的過程，其核心是理解判定定理、性質定理的條件由內容所反映的數學思想是轉化與化歸思想，體現在不同語言之間的轉化，把線面垂首問題轉化為線線垂直問題
知識點01：直線與平面垂直的性質定理(定義)
（1）定義轉化性質：如果一條直線與平面垂直，那么直線垂直于平面內所有直線.
（2）符合語言：，.
（3）圖形語言：
（4）定理應用：線面垂直線線垂直.
【即學即練1】（2024·全國·高二專題練習）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，分別是，的中點．求證：

(1)平面；
(2)．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【詳解】（1）四棱錐的底面是矩形，
，平面，平面，
，又，、平面，
平面；
（2）由（1）知平面，
同理可得，平面，
，分別是，的中點，
，平面，
又平面，.
知識點02：直線與平面垂直的性質定理
（1）性質定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行.
（2）符合語言：，
（3）圖形語言：
（4）定理應用：垂直與平行的轉換
①線面垂直線線平行
②作平行線
【即學即練2】（2023上·上海·高二專題練習）如圖，平面平面，，，垂足分別為，，直線平面，.求證：.
【答案】證明見解析
【詳解】如圖：
∵，，∴.
同理.
∵，，平面，∴平面.
又∵，，∴.
∵，，，平面，
∴平面.
∴.
知識點03：點面距、線面距、面面距
（1）點到平面的距離
過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離.
①圖形語言：
如圖，線段的長度就是點到平面的距離.
②點面距的范圍：.
③常用方法：等體積法
【即學即練3】（2024上·河北·高三雄縣第一高級中學校聯考期末）已知正方體的棱長為為線段上的動點，則點到平面距離的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【詳解】由題意得，
設點到平面的距離為，則由等體積轉化法為，
當與重合時，最大，最大為，
此時最小，為.
故選：B.
（2）直線到平面的距離
一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離.
①圖形語言：
線段的長度就是直線到平面的距離.
②當直線與平面相交或時，直線到平面的距離為0.
（3）平面到平面的距離
如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離.
①圖形語言：
線段的長度就是平面到平面的距離
(2)當平與平相交時，平面到平面的距離是0.
題型01 直線與平面垂直的定義轉化為性質
【典例1】（2024下·高一課時練習）如圖，在三棱錐P－ABC中，底面ABC，，D，E分別是AB，PB的中點．
(1)求證：平面PAC；
(2)求證：
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析.
【詳解】（1）∵點D、E分別是棱AB、PB的中點，
∴，
又∵平面，平面；
∴平面．
（2）∵底面，底面，
∴，
∵，，平面，
∴平面，
又∵平面，
∴．
【典例2】（2024·廣東·高三學業考試）在三棱柱中，，，點是的中點.
（1）求證：平面；
（2）若側面為菱形，求證：.
【答案】（1）證明見解析，（2）證明見解析
【詳解】（1）證明：連接，交于點，連接，
因為四邊形為矩形，所以為，的中點，
因為點是的中點，
所以，
因為平面，平面，
所以平面；
（2）證明：連接，
因為四邊形為菱形，所以，
因為，，,
所以平面，
因為平面，
所以，
因為，
所以平面，
因為平面，
所以
【典例3】（2024上·廣東·高三統考學業考試）如圖，四棱錐的底面為正方形，為的中點.

(1)證明：平面；
(2)若平面，證明：.
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析.
【詳解】（1）設與交于點，連接，
因為底面是正方形，所以為的中點，
又因為為的中點，所以，
因為平面，平面，
所以平面.

（2）因為底面是正方形，所以，
又因為平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，
因為平面，所以.
【變式1】（2024·全國·高三專題練習）如圖，在三棱柱中，，．證明：
【答案】證明見解析
【詳解】取的中點，連接，，
，，，，
又，平面，
平面，
又因為平面，
.
【變式2】（2024·全國·高三專題練習）如圖，四棱錐中，四邊形ABCD為梯形，，，，，，M，N分別是PD，PB的中點．

(1)求證：直線平面；
(2)求證：．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【詳解】（1）連接，
因為M，N分別是PD，PB的中點，所以，
又平面，平面，
所以直線平面；
（2）因為，
所以，所以，
因為，，
所以，所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以，
又，所以．

【變式3】（2024·全國·高三專題練習）如圖；在直三棱柱中，，，，點D為AB的中點．

(1)求證；
【答案】(1)證明見解析
【詳解】（1）在中，
因為，，，
所以，
所以為直角三角形，即，
又因為在直三棱柱中，平面，且平面，
所以，
又，平面，
所以平面，
又因為平面，
所以．
題型02 直線與平面垂直的性質定理的運用
【典例1】（2024·全國·高二專題練習）如圖，正方體中，與異面直線、都垂直相交．

求證：.
【答案】證明見詳解.
【詳解】連接，，，，
因為在正方體中，平面，平面，
所以，
又，，平面，平面，
所以平面，因此；
同理可證：，
又，平面，平面，
所以平面；
因為與異面直線、都垂直相交，
即，，
又在正方體中，與平行且相等，
所以四邊形為平行四邊形，因此，
所以，
因為，平面，平面，
所以平面；
因此.

【典例2】（2023·全國·高三專題練習）如圖，已知正方體的棱長為2． ，分別為與上的點，且，．
求證：；
【答案】證明見解析
【詳解】證明：如圖，連接，．
∵平面，平面，
∴．
∵四邊形是正方形，
∴，
又∵，平面，
∴平面．
又∵平面，
∴．同理可得，
又∵，平面，
∴平面．
∵，，
∴四邊形為平行四邊形，
∴．
∵，
∴．
又∵，，平面，
∴平面．
∴．
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）如圖（1），在梯形中，且，線段上有一點E，滿足，，現將，分別沿，折起，使，，得到如圖（2）所示的幾何體，求證：
【答案】證明見解析
【詳解】證明：在中，，
所以，，
在中，，，，
由余弦定理得，
所以，所以，
同理可得，在中，，且，
在中，，所以，
因為，，平面，所以平面，
在中，，
在中，，則，
因為，平面，所以平面，
所以.
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.
【答案】證明見解析
【詳解】因為AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，所以AE⊥AB，
又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因為AD＝AP，E是PD的中點，所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
所以AE⊥平面PCD.
因為MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
又因為MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
所以MN⊥平面PCD，
所以AE∥MN.
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）在四棱錐P ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，AE⊥PD于點E，l⊥平面PCD．求證：l∥AE．
【答案】證明見解析
【詳解】證明：因為PA⊥平面ABCD，
CD 平面ABCD，
所以PA⊥CD．
又四邊形ABCD是矩形，所以CD⊥AD．
因為PA∩AD＝A，PA 平面PAD，AD 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD．
又AE 平面PAD，所以AE⊥DC．
因為AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD 平面PCD，CD 平面PCD，
所以AE⊥平面PCD．
因為l⊥平面PCD，
所以l∥AE．
【變式3】（2023·高一課時練習）如圖，已知正方體A1C．
(1)求證：A1C⊥B1D1；
(2)M，N分別為B1D1與C1D上的點，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求證：MN∥A1C．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【詳解】（1）如下圖，連接A1C1．
因為CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1 平面A1B1C1D1，
所以CC1⊥B1D1．因為四邊形A1B1C1D1是正方形，
所以A1C1⊥B1D1．又因為CC1∩A1C1＝C1，
所以B1D1⊥平面A1C1C．又因為A1C 平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C．
（2）如上圖，連接B1A，AD1．因為B1C1= AD，B1C1∥ AD
所以四邊形ADC1B1為平行四邊形，所以C1D∥AB1，因為MN⊥C1D，所以MN⊥AB1．
又因為MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，所以MN⊥平面AB1D1．由（1）知A1C⊥B1D1．
同理可得A1C⊥AB1．又因為AB1∩B1D1＝B1，所以A1C⊥平面AB1D1．所以A1C∥MN．
故答案為：A1C⊥B1D1；MN∥A1C.
題型03 點到平面的距離
【典例1】（2024·全國·高三專題練習）在正三棱柱中，若，，則點A到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】在正三棱柱中，若，，
所以，
由勾股定理可得，
在等腰三角形中，底邊上的高長為，
所以等腰三角形的面積為，
設點A到平面的距離為，
，
故選：B
【典例2】（2024上·全國·高三階段練習）在直三棱柱中，所有棱長均為1，則點到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】取的中點，連接，
因為為等邊三角形，則，
又因為平面，且平面，則，
且，平面，可得平面，
由題意可知：，
設點到平面的距離為，
因為，即，
解得，
所以點到平面的距離為.
故選：A.
【典例3】（2024上·上海·高二上海市建平中學校考期末）如圖所示，正四面體的棱長為1，則點到平面的距離為 .
【答案】
【詳解】設是底面的中心，則平面，又因為平面，所以，
正四面體的棱長為1，則，
,
故答案為：.
【典例4】（2024·全國·高三專題練習）如圖，在直三棱柱中，，，，M為的中點.
(1)證明：平面；
(2)求點A到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）
連接交于點，連接，
則有為的中點，M為的中點，
所以，
且平面，平面，
所以平面.
（2）連接,因為，所以,
又因為平面，平面，
所以，,所以平面,
又因為平面,所以,
又，所以是等腰直角三角形，
,
所以,
,
設點A到平面的距離為，
因為,所以,
所以.
【變式1】（2024·上海·高二專題練習）在三棱錐中，兩兩垂直，，則點到平面的距離等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【詳解】設點到平面的距離為，
∵兩兩垂直，且，
∴，，
∴，
又，，，平面，
所以平面，
∵，即
∴，
∴，即點到平面的距離為，
故選：D
【變式2】（2024·全國·高三專題練習）已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點，PC=4，點P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么點P到平面ABC的距離為 .
【答案】
【詳解】設在平面內的射影為，則平面，
由于平面，所以，
過作，垂足分別為，
由于，所以四邊形是矩形.
由于平面，所以平面，
平面，所以；同理可證得.
所以，，
，即到平面的距離是.
故答案為：
【變式3】（2024上·云南曲靖·高三校聯考階段練習）在棱長為1的正方體中，點到平面的距離為 .
【答案】/
【詳解】解：如圖，設點到平面的距離為，
，
又，
在中，，
所以是邊長為的等邊三角形，
則，
，即，
解得：，所以點到平面的距離為.
故答案為：.
【變式4】（2024·全國·高三專題練習）如圖,在四棱錐中,底面ABCD為正方形,底面ABCD,,E為線段PB的中點,F為線段BC的中點．
(1)證明:平面PBC;
(2)求點P到平面AEF的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)．
【詳解】（1）證明:因為底面ABCD,平面ABCD,所以．
因為ABCD為正方形,所以,
因為,平面PAB,平面PAB,所以平面PAB,
因為平面PAB,所以,
因為,E為線段PB的中點,所以,
又因為,平面PBC,平面PBC,所以平面PBC.
（2）由F是BC的中點．所以,
因為底面ABCD,平面ABCD,
所以,因為E為線段PB的中點,
所以,
由(1)知平面PBC,平面PBC,
所以,所以,
所以,
因為,所以,
由(1)知平面PAB,所以平面PAB,
設點P到平面AEF的距離為h,
則有,
解得,所以點P到平面AEF的距離為．
題型04 線面距，面面距
【典例1】（2023上·北京·高二北京市第三十五中學校考期中）正方體的棱長為a，則棱到面的距離為（ ）
A． B．a C． D．
【答案】C
【詳解】如圖，連接，它們交于點，正方形中，
又平面，平面，所以，
平面，所以平面，
所以的長即為棱到面的距離，而，
所以所求距離為．
故選：C．
【典例2】（2024·全國·高三專題練習）如圖，三棱錐中，，均為等邊三角形，，O為AB中點，點D在AC上，滿足，且面面ABC．
(1)證明：面POD；
(2)若點E為PB中點，問：直線AC上是否存在點F，使得面POD，若存在，求出FC的長及EF到面POD的距離；若不存在，說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)見解析
【詳解】（1）由條件、為等邊三角形，為的中點，
則，，，
由余弦定理得
從而在中，，
得為直角三角形，且，
又面面，面面，且，面,
則由面面垂直的性質定理可得面
由面，
因此由，，，面，即面POD.
（2）存在AC上的點F，使得面
點E為PB中點，取的中點，可得，再在面內作交于點，該點即為滿足題意的點（如圖）．
下面證明面面
由于，面，面，則面，
，面，面，則面，
面，面，，
則由面面平行的判定定理可得面面，面，因此面POD
又由于，從而可得，，，
由（1）可知，面，則面，即為面與面間的距離，也即到面的距離．
綜上：存在上的點，使得面，，
到面的距離為．
【典例3】（2023·全國·高一專題練習）在長方體中，有一過且與平面平行的平面，棱，，則平面與平面的距離是 ．
【答案】
【詳解】因為平面平面，平面，所以到平面的距離即為平面與平面間的距離，易知平面，從而點A到平面的距離即為所求的距離．
如圖，過點A作于點．
因為平面，平面
所以平面平面，
又平面平面=
所以平面，則即為所求．
在中，，，則，
因為，所以．
故平面與平面的距離為．
故答案為：
【典例4】（2023·河南·校聯考二模）如圖所示，正六棱柱的底面邊長為1，高為.

(1)證明：平面平面；
(2)求平面與平面間的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）在正六棱柱中，
因為底面為正六邊形，所以，
因為平面，平面，所以平面.
因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，
因為平面，平面，所以平面，
又，所以平面平面.
（2）平面與平面間的距離等價于點到平面的距離，設為.
連接，則四面體的體積.
因為，
，，
所以，從而，
所以，
所以，即平面與平面間的距離為.

【變式1】（2023·全國·高三專題練習）如圖，為菱形外一點，平面，，為棱的中點.若，求到平面的距離.

【答案】
【詳解】因為平面，不在平面內，所以平面，
則到平面的距離即為點到平面的距離，
設點到平面的距離為，
因為，，
平面,，四邊形為菱形，
所以，解得，
即到平面的距離為.
【變式2】（2023上·上海楊浦·高二上海市楊浦高級中學校考期中）如圖,為菱形外一點,平面,,為棱的中點.
(1)求證:平面;
(2)若,求到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）連接,如圖:
因為,四邊形為菱形,
所以,
又為棱的中點,
所以,
因為,
所以,
因為平面,平面,
所以,
又平面,平面,
所以平面.
（2）因為平面,平面,
所以平面,
則到平面的距離即為點到平面的距離,
設點到平面的距離為,
因為,,平面,,四邊形為菱形,
所以,
解得,
即到平面的距離為.
【變式3】（2023·全國·高三專題練習）如圖，棱長為2的正方體ABCD –A1B1C1D1中，E，F分別是棱AA1，CC1的中點，過E作平面，使得//平面BDF.
(1)作出截正方體ABCD - A1B1C1D1所得的截面，寫出作圖過程并說明理由；
(2)求平面與平面的距離.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【詳解】（1）連接，由正方體性質可得，；
又，所以平面平面；
因為//平面，且，所以平面與平面重合，即平面就是截正方體ABCD - A1B1C1D1所得的截面.
（2）由（1）可知平面與平面的距離等于點到平面的距離；
設點到平面的距離為，由題意可得，所以的面積為；的面積為；
由可得，解得.
所以平面與平面的距離為.
【變式4】（2023下·全國·高一專題練習）如圖在直三棱柱中，，，，E是上的一點，且，D、F、G分別是、、的中點，與相交于．
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：由直三棱柱的性質得平面平面，
又，平面平面，平面，
平面，
又平面，
，
，
在和中，，
，即，
又，平面
平面．
（2）解：由題意知，
在中，，
又，，
平面，平面，
平面，
、分別為、的中點，
，又，
，
平面，平面，
平面，
平面，平面，，
平面平面．
平面，平面平面，
平面，
為平行平面與之間的距離，
，
即平面與之間的距離為．
題型05 距離最值問題
【典例1】（2023·河南·校聯考二模）已知四棱錐的底面ABCD是矩形，，，，．若四棱錐的外接球的體積為，則該球上的點到平面PAB的距離的最大值為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【詳解】如圖，在矩形ABCD中，連接對角線AC，BD，記，則點F為矩形ABCD的外接圓圓心，
設，在中，由余弦定理得：
，
即，的外接圓半徑為，
記的外接圓圓心為G，則，取AD的中點E，連接PE，EF，
顯然，，，且P，E，G共線，
因為，，，于是平面PAD，即平面PAD，平面PAD，
有，而平面ABCD，因此平面ABCD，
過G作平面PAD，使，連接FO，
于是，則四邊形EFOG為矩形，有，則平面ABCD，
根據球的性質，得點O為四棱錐外接球的球心，
因為球O的體積為，則，解得，
而，在，，
因此外接圓直徑，
取PB的中點H，連接OH，顯然H為外接圓圓心，則平面PAB，且，
所以四棱錐的外接球上的點到平面PAB的距離的最大值為8．
故選：C
【典例2】（2024·全國·高三專題練習）已知三棱錐，滿足，，兩兩垂直，且，是三棱錐外接球上一動點，求點到平面的距離的最大值.
【答案】
【詳解】
三棱錐滿足，，兩兩垂直，且，則三棱錐外接球就是棱長為的正方體的外接球，
如圖，易得體對角線的中點即為外接球的球心，又，則外接球半徑為，
易得為等邊三角形，設的外接圓圓心為，則，，
則，則點到平面的距離的最大值即為球心到平面的距離加球的半徑，
即，則點到平面的距離的最大值為.
【變式1】（2023下·福建龍巖·高一校聯考期中）已知正六棱錐的側棱長為，底面邊長為2，點為正六棱錐外接球上一點，則三棱錐體積的最大值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題意可得正六棱錐的高為，
設正六棱錐的外接球的球心到底面的距離為，
設外接球半徑為，則， ，
解得，
設外接球的球心為，則即為正六邊形的中心，連接，
過作交于，過作交于，

因為底面，底面，所以，
又，平面，所以平面，
因為平面，所以，
又，平面，所以平面，即為球心到平面的距離，
因為，，
所以在中由等面積法可得，解得，
因此點到平面的最大距離為，
因為，所以三棱錐體積的最大值為，
故選：B
【變式2】（2024上·上海黃浦·高二統考期末）已知為空間五個點，若兩兩垂直，且，，則點到平面的距離的最大值為 ．
【答案】
【詳解】由于，故點在以為球心，半徑為的球面上，
設到平面的距離為，則由等體積法可得,
而,所以,
故，
因此點到平面的距離的最大值為，
故答案為：
A夯實基礎 B能力提升
A夯實基礎
一、單選題
1．（2023下·海南海口·高一海南中學校考期末）已知，是兩條直線，，是兩個平面，下列說法正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
【答案】D
【詳解】A選項，若，，則可能含于，A選項錯誤；
B選項，若，，則可能含于，B選項錯誤；
C選項，若，，則可能異面，C選項錯誤；
D選項，若，，由線面垂直的性質定理可知，D選項正確.
故選：D.
2．（2023下·高一課時練習）若直線平面，直線，則（ ）
A． B．可能和平行
C．和相交 D．和不相交
【答案】A
【分析】由直線與平面垂直的定義直接判斷.
【詳解】由直線與平面垂直的定義可知，若直線平面，直線，則.
故選：A.
3．（2023下·江蘇鹽城·高一校聯考期中）在三棱錐P－ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC是邊長為4的正三角形，PC＝4，M是AB邊上的一動點，則PM的最小值為（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
【答案】B
【分析】根據線面垂直得出PC⊥CM，利用勾股定理及正三角形的性質可得答案.
【詳解】如圖，連接CM，因為PC⊥平面ABC，平面ABC，所以PC⊥CM，
因為PC＝4，所以，
要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，當CM⊥AB時CM有最小值，
此時有，所以PM的最小值為.
故選：B.
4．（2023·全國·高一專題練習）如圖所示，AB是圓O的直徑，C是異于A，B兩點的圓周上的任意一點，PA垂直于圓O所在的平面，則△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的個數是（ ）

A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】D
【分析】利用線面垂直的性質可得直角三角形，再利用線面垂直的判定得出BC⊥平面PAC，從而得到直角三角形的個數.
【詳解】∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC．
∴△ABC為直角三角形．
又PA⊥⊙O所在平面，AC，AB，BC都在⊙O所在平面內，
∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∴△PAC、△PAB是直角三角形，
又PA∩AC＝A，平面PAC,∴BC⊥平面PAC．
∵PC 平面PAC，∴BC⊥PC，∴△PBC是直角三角形，
從而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC均為直角三角形．
故選：D.
5．（2023上·遼寧·高二本溪高中校聯考期中）已知直四棱柱，，，側棱，，分別是與的中點，點在平面上的射影是的重心，則點到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據直棱柱的性質及射影的性質可知，即，且，可得，所以.
【詳解】如圖所示，
設的中點為，連接，，，
則且，
所以且，
所以四邊形為平行四邊形，
由已知四棱柱為直四棱柱，
得底面，
平面，
所以，即，
所以為直角三角形，
又點在平面上的射影是的重心，
得，
則，
則，所以，
所以點到平面的距離，
故選：D.
6．（2023·全國·高一專題練習）三棱錐的側棱上分別有E，F，G，且，則三棱錐的體積與三棱錐的體積之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】設的面積為，設的面積為，
則，，又，
，
∴ ，
過點作平面，過點作平面，
則，∴ 與相似，
又，∴ ，
∵ ，，
∴ ，
∴ 三棱錐的體積與三棱錐的體積之比是.
故選：A.

7．（2023上·上海普陀·高二曹楊二中校考期中）若正三棱臺的側面與底面所成的銳二面角的大小為，則側棱與底面所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
如圖將正三棱柱延長側棱補形成正三棱錐，取的中點，
連接，取點，使得，連接，
在正三棱錐中，，，
在中，為的中點，則，同理可得，
因為為側面與底面的交線，所以為銳二面角的平面角，則，
由正中，易知為其中心，則在正三棱錐中，平面，
因為平面，所以，在中，，則，
設，在正中，易知，
因為平面，所以，在中，，解得，
則，
因為為側棱與底面的交點，且平面，
所以側棱與底面所成角的正弦值為.
故選：A.
8．（2023上·湖北宜昌·高二校聯考階段練習）在棱長為的正方體中，，分別為棱，的中點， 則點到平面的距離為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據，利用等體積法結合棱錐的體積公式即可得解.
【詳解】因為，分別為棱，的中點，
所以且，
因為平面，所以平面，
又平面，所以，
設點到平面的距離為，
，
，則，
由，得，解得，
所以點到平面的距離為.
故選：D.
二、多選題
9．（2023·全國·高三專題練習）已知，是兩個不同的平面，m，n，l是三條不同的直線，則下列命題中正確的是（ ）
A．若，，，則 B．若，，則
C．若，，，則 D．若，，，則
【答案】BC
【詳解】選項A：若，，，
則或相交或互為異面直線.判斷錯誤；
選項B：若，，則.判斷正確；
選項C：設平面，，又，則
設平面，，又，則，
則，又，，則，
又，，則，則.判斷正確；
選項D：若，，，則的位置關系為相交，
當且僅當時.判斷錯誤.
故選：BC
10．（2024上·江西宜春·高三江西省銅鼓中學校考階段練習）如圖，在邊長為2的正方體中，為邊的中點，下列結論正確的有（ ）

A．與所成角的余弦值為
B．過A，，三點的正方體的截面面積為9
C．當在線段上運動時，三棱錐的體積恒為定值
D．若為正方體表面上的一個動點，，分別為的三等分點，則的最小值為
【答案】AC
【詳解】正方體易得，取中點，連接．由于是中點，因此，所以，所以是與所成角或其補角，
由已知中，，，
，A正確；
取中點，連接，同理可證（由得），因此是過A，，三點的正方體的截面，它是等腰梯形，
，，，面積為，B錯；

由于，平面，平面，所以平面，從而到平面的距離為定值，所以三棱錐的體積為定值，
當與重合時，，C正確；

設是點關于平面的對稱點，則，又，
顯然，，
又，所以，
，，
顯然當是線段與平面的交點時，取得最小值，D錯．

故選：AC．
三、填空題
11．（2024上·天津寧河·高二統考期末）在棱長為1的正方體中，為線段的中點，則點到直線的距離 ．
【答案】/
【詳解】正方體中，平面，平面，則，
又因為，
所以到直線的距離為.
故答案為：.

12．（2024上·廣東深圳·高三深圳市高級中學校考期末）如圖， 在圓臺 中，，點C是底面圓周上異于A、B的一點，, 點D是的中點， 為平面與平面的交線， 則交線與平面所成角的大小為 ．
【答案】/
【詳解】因為，D分別是，BC的中點，所以，
所以平面，平面，所以平面，
平面，平面平面，
所以，，所以，
所以直線l與平面所成角即直線與平面所成角，
因為為直徑，所以，因為，即，
又因為平面，
平面，所以，平面，
所以平面，過點作交于點，
因為平面，所以，，
，平面，所以平面，
所以為交線l與平面所成角，
因為，，
.
所以，結合圖知.
故答案為：.
13．（2024上·廣東·高二學業考試）如圖，四棱錐 的底面是邊長為1的正方形，側棱底面，且，E是側棱上的動點.

(1)求四棱錐的體積;
(2)如果E是的中點，求證: 平面;
(3)是否不論點E在側棱的任何位置，都有 證明你的結論.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)是，證明見解析
（3）根據線面垂直的判定定理進行證明即可.
【詳解】（1）∵底面，
∴為此四棱錐底面上的高.
四棱錐的體積為；

（2）證明:如圖,連接交于O,連接，
∵四邊形是正方形,∴.
又∵,∴.
又∵平面，平面，
∴平面.
（3）不論點E在側棱PA的任何位置,都有，
∵四邊形是正方形,∴。
∵底面,平面，
∴，
又∵平面，
∴平面，又因為平面，
所以.
14．（2024·全國·高三專題練習）如圖， 已知正方體， 點為棱的中點.

(1)證明：平面.
(2)證明：.
(3)在圖中作出平面截正方體所得的截面圖形 (如需用到其它點， 需用字母標記 并說明位置)， 并說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)圖形見解析，證明見解析.
【詳解】（1）證明：連接，交于點，連接，
因為是正方形，所以為的中點，又為棱的中點，
所以，平面，平面，
所以平面，
（2）證明：在正方體中，平面，平面，所以，
又，，平面，
所以平面，
又平面，
所以.
（3）解：如圖取的中點，連接、，則為平面截正方體所得的截面，
證明：取的中點，連接、，因為為棱的中點
所以且，且，
所以且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，
又且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，
所以，即、、、四點共面，即為平面截正方體所得的截面；
B能力提升
1．（2024上·遼寧·高二遼寧實驗中學校聯考期末）是平面內的一條直線，是平面的一條斜線，且在平面內的射影為.若與的夾角為，與的夾角為，則與平面所成角的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】不妨設直線相交于點，
在直線上取異于的點，過作⊥于點，
過做⊥于點，連接，
由題意知：，，，
且是直線與平面所成角，
∵，，
∴，又，，
∴平面，平面，∴，
∴在Rt中，，
在Rt中，，
∴，
由題意可知，
∴在Rt中，，即，
又，∴.
∴與平面所成角的大小為.
故選：C.

2．（2024上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學校校聯考期末）過正四棱錐的高的中點作平行于底面的截面，若四棱錐與四棱臺的表面積之比為，則直線與底面所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
依題意過正四棱錐的高的中點作平行于底面的截面，
則，，，分別為，，，的中點，
設正方形的邊長為，，
所以正方形的面積為，正方形的面積為，
正四棱錐的側面積為，
四棱臺的側面積為，
所以正四棱錐的表面積為，
四棱臺的表面積為，
所以，
解得，
由平面，所以為直線與底面所成角，
所以，又，，
所以.
故選：.
3．（2024上·廣東深圳·高三統考期末）如圖，在三棱臺中，平面平面，且，.
(1)證明：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）過點作的垂線，垂足為，連接，
平面平面，平面平面，
平面，平面，
平面，，
不妨設，，
在直角三角形中，，
，
，平面，
平面，，
在三棱臺中，，
；

（2）幾何法
，

直線與平面所成角等于直線與平面所成角，設為，
由（1）得平面，
平面，
平面平面，
過點作的垂線，垂足為，連接，
則平面，
，
在中，，
由（1）得平面，
平面，
，
在中，，
由，得，
，
直線與平面所成角的正弦值為.
4．（2024·廣東廣州·廣東實驗中學校考模擬預測）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側面是正三角形，側面底面是中點．
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）是正三角形，是中點，所以，
因為是正方形，所以，
又因為側面底面，平面平面，
平面，所以平面，平面，所以，
因為平面平面，所以平面．
（2）設的中點分別為，根據對稱性知，故，
設，則，
因為側面底面，平面平面側面，
所以平面，
在中，因為，所以，
所以，
設點到平面的距離為，則，
因為，所以，
設直線與平面所成角為，則，
故直線與平面所成角的正弦值為．第13講 8.6.2直線與平面垂直的性質定理 （第2課時）
課程標準 學習目標
①掌握直線與平面垂直的性質定理。 ②會用性質定理證明相關問題。 本節主要內容是在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系的基礎上，抽象出空間直線與平而垂直的定義:通過直觀感知、操作確認，歸納出直線與平面垂直的判定定理與性質定理:能運用直線與平面垂直的定義、判定定理和性質定理證明一些空間位置關系的簡單命題教學重點是通過直觀感知、操作確認，歸納出直線與平面垂直的判定定理、性質定理的過程，其核心是理解判定定理、性質定理的條件由內容所反映的數學思想是轉化與化歸思想，體現在不同語言之間的轉化，把線面垂首問題轉化為線線垂直問題
知識點01：直線與平面垂直的性質定理(定義)
（1）定義轉化性質：如果一條直線與平面垂直，那么直線垂直于平面內所有直線.
（2）符合語言：，.
（3）圖形語言：
（4）定理應用：線面垂直線線垂直.
【即學即練1】（2024·全國·高二專題練習）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，分別是，的中點．求證：

(1)平面；
(2)．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【詳解】（1）四棱錐的底面是矩形，
，平面，平面，
，又，、平面，
平面；
（2）由（1）知平面，
同理可得，平面，
，分別是，的中點，
，平面，
又平面，.
知識點02：直線與平面垂直的性質定理
（1）性質定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行.
（2）符合語言：，
（3）圖形語言：
（4）定理應用：垂直與平行的轉換
①線面垂直線線平行
②作平行線
【即學即練2】（2023上·上海·高二專題練習）如圖，平面平面，，，垂足分別為，，直線平面，.求證：.
【答案】證明見解析
【詳解】如圖：
∵，，∴.
同理.
∵，，平面，∴平面.
又∵，，∴.
∵，，，平面，
∴平面.
∴.
知識點03：點面距、線面距、面面距
（1）點到平面的距離
過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離.
①圖形語言：
如圖，線段的長度就是點到平面的距離.
②點面距的范圍：.
③常用方法：等體積法
【即學即練3】（2024上·河北·高三雄縣第一高級中學校聯考期末）已知正方體的棱長為為線段上的動點，則點到平面距離的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【詳解】由題意得，
設點到平面的距離為，則由等體積轉化法為，
當與重合時，最大，最大為，
此時最小，為.
故選：B.
（2）直線到平面的距離
一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離.
①圖形語言：
線段的長度就是直線到平面的距離.
②當直線與平面相交或時，直線到平面的距離為0.
（3）平面到平面的距離
如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離.
①圖形語言：
線段的長度就是平面到平面的距離
(2)當平與平相交時，平面到平面的距離是0.
題型01 直線與平面垂直的定義轉化為性質
【典例1】（2024下·高一課時練習）如圖，在三棱錐P－ABC中，底面ABC，，D，E分別是AB，PB的中點．
(1)求證：平面PAC；
(2)求證：
【典例2】（2024·廣東·高三學業考試）在三棱柱中，，，點是的中點.
（1）求證：平面；
（2）若側面為菱形，求證：.
【典例3】（2024上·廣東·高三統考學業考試）如圖，四棱錐的底面為正方形，為的中點.

(1)證明：平面；
(2)若平面，證明：.
【變式1】（2024·全國·高三專題練習）如圖，在三棱柱中，，．證明：
【變式2】（2024·全國·高三專題練習）如圖，四棱錐中，四邊形ABCD為梯形，，，，，，M，N分別是PD，PB的中點．

(1)求證：直線平面；
(2)求證：．
【變式3】（2024·全國·高三專題練習）如圖；在直三棱柱中，，，，點D為AB的中點．

(1)求證；
題型02 直線與平面垂直的性質定理的運用
【典例1】（2024·全國·高二專題練習）如圖，正方體中，與異面直線、都垂直相交．

求證：.
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）如圖，已知正方體的棱長為2． ，分別為與上的點，且，．
求證：；
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）如圖（1），在梯形中，且，線段上有一點E，滿足，，現將，分別沿，折起，使，，得到如圖（2）所示的幾何體，求證：
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）在四棱錐P ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，AE⊥PD于點E，l⊥平面PCD．求證：l∥AE．
【變式3】（2023·高一課時練習）如圖，已知正方體A1C．
(1)求證：A1C⊥B1D1；
(2)M，N分別為B1D1與C1D上的點，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求證：MN∥A1C．
題型03 點到平面的距離
【典例1】（2024·全國·高三專題練習）在正三棱柱中，若，，則點A到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024上·全國·高三階段練習）在直三棱柱中，所有棱長均為1，則點到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2024上·上海·高二上海市建平中學校考期末）如圖所示，正四面體的棱長為1，則點到平面的距離為 .
【典例4】（2024·全國·高三專題練習）如圖，在直三棱柱中，，，，M為的中點.
(1)證明：平面；
(2)求點A到平面的距離.
【變式1】（2024·上海·高二專題練習）在三棱錐中，兩兩垂直，，則點到平面的距離等于（ ）
A．1 B． C． D．
【變式2】（2024·全國·高三專題練習）已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點，PC=4，點P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么點P到平面ABC的距離為 .
【變式3】（2024上·云南曲靖·高三校聯考階段練習）在棱長為1的正方體中，點到平面的距離為 .
【變式4】（2024·全國·高三專題練習）如圖,在四棱錐中,底面ABCD為正方形,底面ABCD,,E為線段PB的中點,F為線段BC的中點．
(1)證明:平面PBC;
(2)求點P到平面AEF的距離．
題型04 線面距，面面距
【典例1】（2023上·北京·高二北京市第三十五中學校考期中）正方體的棱長為a，則棱到面的距離為（ ）
A． B．a C． D．
【典例2】（2024·全國·高三專題練習）如圖，三棱錐中，，均為等邊三角形，，O為AB中點，點D在AC上，滿足，且面面ABC．
(1)證明：面POD；
(2)若點E為PB中點，問：直線AC上是否存在點F，使得面POD，若存在，求出FC的長及EF到面POD的距離；若不存在，說明理由．
【典例3】（2023·全國·高一專題練習）在長方體中，有一過且與平面平行的平面，棱，，則平面與平面的距離是 ．
【典例4】（2023·河南·校聯考二模）如圖所示，正六棱柱的底面邊長為1，高為.

(1)證明：平面平面；
(2)求平面與平面間的距離.
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）如圖，為菱形外一點，平面，，為棱的中點.若，求到平面的距離.

【變式2】（2023上·上海楊浦·高二上海市楊浦高級中學校考期中）如圖,為菱形外一點,平面,,為棱的中點.
(1)求證:平面;
(2)若,求到平面的距離.
【變式3】（2023·全國·高三專題練習）如圖，棱長為2的正方體ABCD –A1B1C1D1中，E，F分別是棱AA1，CC1的中點，過E作平面，使得//平面BDF.
(1)作出截正方體ABCD - A1B1C1D1所得的截面，寫出作圖過程并說明理由；
(2)求平面與平面的距離.
【變式4】（2023下·全國·高一專題練習）如圖在直三棱柱中，，，，E是上的一點，且，D、F、G分別是、、的中點，與相交于．
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面的距離．
題型05 距離最值問題
【典例1】（2023·河南·校聯考二模）已知四棱錐的底面ABCD是矩形，，，，．若四棱錐的外接球的體積為，則該球上的點到平面PAB的距離的最大值為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【典例2】（2024·全國·高三專題練習）已知三棱錐，滿足，，兩兩垂直，且，是三棱錐外接球上一動點，求點到平面的距離的最大值.
【變式1】（2023下·福建龍巖·高一校聯考期中）已知正六棱錐的側棱長為，底面邊長為2，點為正六棱錐外接球上一點，則三棱錐體積的最大值為（ ）

A． B． C． D．
【變式2】（2024上·上海黃浦·高二統考期末）已知為空間五個點，若兩兩垂直，且，，則點到平面的距離的最大值為 ．
A夯實基礎 B能力提升
A夯實基礎
一、單選題
1．（2023下·海南海口·高一海南中學校考期末）已知，是兩條直線，，是兩個平面，下列說法正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
2．（2023下·高一課時練習）若直線平面，直線，則（ ）
A． B．可能和平行
C．和相交 D．和不相交
3．（2023下·江蘇鹽城·高一校聯考期中）在三棱錐P－ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC是邊長為4的正三角形，PC＝4，M是AB邊上的一動點，則PM的最小值為（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
4．（2023·全國·高一專題練習）如圖所示，AB是圓O的直徑，C是異于A，B兩點的圓周上的任意一點，PA垂直于圓O所在的平面，則△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的個數是（ ）

A．1 B．2
C．3 D．4
5．（2023上·遼寧·高二本溪高中校聯考期中）已知直四棱柱，，，側棱，，分別是與的中點，點在平面上的射影是的重心，則點到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全國·高一專題練習）三棱錐的側棱上分別有E，F，G，且，則三棱錐的體積與三棱錐的體積之比是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·上海普陀·高二曹楊二中校考期中）若正三棱臺的側面與底面所成的銳二面角的大小為，則側棱與底面所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023上·湖北宜昌·高二校聯考階段練習）在棱長為的正方體中，，分別為棱，的中點， 則點到平面的距離為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
9．（2023·全國·高三專題練習）已知，是兩個不同的平面，m，n，l是三條不同的直線，則下列命題中正確的是（ ）
A．若，，，則 B．若，，則
C．若，，，則 D．若，，，則
10．（2024上·江西宜春·高三江西省銅鼓中學校考階段練習）如圖，在邊長為2的正方體中，為邊的中點，下列結論正確的有（ ）

A．與所成角的余弦值為
B．過A，，三點的正方體的截面面積為9
C．當在線段上運動時，三棱錐的體積恒為定值
D．若為正方體表面上的一個動點，，分別為的三等分點，則的最小值為
三、填空題
11．（2024上·天津寧河·高二統考期末）在棱長為1的正方體中，為線段的中點，則點到直線的距離 ．
12．（2024上·廣東深圳·高三深圳市高級中學校考期末）如圖， 在圓臺 中，，點C是底面圓周上異于A、B的一點，, 點D是的中點， 為平面與平面的交線， 則交線與平面所成角的大小為 ．
13．（2024上·廣東·高二學業考試）如圖，四棱錐 的底面是邊長為1的正方形，側棱底面，且，E是側棱上的動點.

(1)求四棱錐的體積;
(2)如果E是的中點，求證: 平面;
(3)是否不論點E在側棱的任何位置，都有 證明你的結論.
14．（2024·全國·高三專題練習）如圖， 已知正方體， 點為棱的中點.

(1)證明：平面.
(2)證明：.
(3)在圖中作出平面截正方體所得的截面圖形 (如需用到其它點， 需用字母標記 并說明位置)， 并說明理由.
B能力提升
1．（2024上·遼寧·高二遼寧實驗中學校聯考期末）是平面內的一條直線，是平面的一條斜線，且在平面內的射影為.若與的夾角為，與的夾角為，則與平面所成角的大小為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學校校聯考期末）過正四棱錐的高的中點作平行于底面的截面，若四棱錐與四棱臺的表面積之比為，則直線與底面所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·廣東深圳·高三統考期末）如圖，在三棱臺中，平面平面，且，.
(1)證明：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.

4．（2024·廣東廣州·廣東實驗中學校考模擬預測）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側面是正三角形，側面底面是中點．
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．

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