資源簡介

第11講 8.6.1 直線與直線垂直
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
①借助長方體，了解空間中直線與直線垂直的關(guān)系。 ②.理解并掌握異面直線所成的角，會求任意兩條直線所成的角。 1、本節(jié)內(nèi)容包含異面直線所成的角的定義，以及直線與直線垂直教材以正方體為載體，讓學(xué)生直觀認(rèn)識空間直線的位置關(guān)系和異面直線所成的角的定義通過平移來研究異面直線所成的角是研究空間圖形的一種基本思路，即把空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題 2.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，為學(xué)生后面學(xué)習(xí)空間直線、平面的垂直關(guān)系打下基礎(chǔ)，同時(shí)更好地提升學(xué)生直觀想象和邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)
知識點(diǎn)01：異面直線所成角的概念
已知兩條異面直線，，經(jīng)過空間任一點(diǎn)分別作直線，，我們把直線與所成的
角叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）
知識點(diǎn)02：異面直線所成角的范圍
由異面直線所成角的定義得，異面直線所成的角是銳角或直角，即.
注意：①異面直線所成角的大小不能是，若兩條直線所成角是，則這兩條直線平行，不可能異面.②空間兩直線所成的角的范圍是.
知識點(diǎn)3：兩條異面直線垂直的定義
如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直.直線與直線垂直，
記作.
注意：兩條直線垂直，既包括相交垂直，也包括異面垂直.
知識點(diǎn)04：異面直線所成的角的求解步驟
①構(gòu)造：根據(jù)異面直線的定義，用平移法（常利用三角形中位線、平行四邊形的性質(zhì))作出異面直線所成的角.
②證明：證明作出的角就是要求的角
③計(jì)算：求角度（常利用三角形的有關(guān)知識）
④結(jié)論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角就
是所求異面直線所成的角.
【即學(xué)即練1】（2024上·上海·高二專題練習(xí)）已知空間四邊形，連接和，且，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則異面直線和所成的角的余弦值是 ．
【答案】
【詳解】
如圖，取中點(diǎn)，連接，，
∵，分別為，中點(diǎn)，
∴，且，
∴異面直線和所成角為或其補(bǔ)角，
在等邊和等邊中，，
∴在中，由余弦定理，有
，
∴異面直線和所成的角的余弦值為.
故答案為：.
題型01 判斷兩直線是否為異面直線
【典例1】（2024上·上海·高二專題練習(xí)）如圖，在正方體中，M、N分別為棱、的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：①直線AM與是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與是異面直線；④直線AM與是異面直線．其中正確的結(jié)論為（ ）
A．③④ B．①② C．①③ D．②④
【答案】A
【詳解】∵A、M、三點(diǎn)共面，且在平面，但平面，，
∴直線AM與是異面直線，故①錯(cuò)誤；
因?yàn)槠矫妫矫妫矫妫?br/>所以直線AM與BN也是異面直線，故②錯(cuò)誤；
因?yàn)槠矫妫矫妫矫妫?br/>所以直線BN與是異面直線，故③正確；
因?yàn)槠矫妫矫妫矫妫?br/>所以直線AM與是異面直線，故④正確．
故選：A．
【典例2】（2024上·北京海淀·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知E，F(xiàn)分別為三棱錐的棱的中點(diǎn)，則直線與的位置關(guān)系是 （填“平行”，“異面”，“相交”）．
【答案】異面
【詳解】假設(shè)直線共面，平面，
由，則平面，
同理，平面，故共面，
這與是三棱錐矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，故直線異面.
故答案為：異面.
【典例3】（2023上·北京海淀·高二北京交通大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖所示，在正方體中，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線中，始終與直線異面的是 .
①②③④
【答案】②
【詳解】由正方體的性質(zhì)易知當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，
而，所以共面，則、在平面上，故①不符題意；
因?yàn)椋垂裁妫字矫妫矫妫?，，
故與異面，故②符合題意；
當(dāng)重合時(shí)，易知，則四邊形是平行四邊形，
則此時(shí)，故③不符合題意；
當(dāng)重合時(shí)，顯然，相交，故④不符合題意.
故答案為：②
【變式1】（2023上·黑龍江·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在正方體中，與平行的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】根據(jù)題意可知：、與相交，與平行，與異面，
故ABD錯(cuò)誤，C正確.
故選：C.
【變式2】（2024上·上海長寧·高二上海市民辦新虹橋中學(xué)校考期末）在正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則直線與直線的位置關(guān)系是 ．
【答案】異面
【詳解】如圖所示：
由題意在正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則直線與直線的位置關(guān)系是異面，理由如下：
若直線與直線共面，則四點(diǎn)共面，
而三點(diǎn)唯一確定平面，
但平面，產(chǎn)生矛盾，故假設(shè)不成立，
綜上所述，直線與直線的位置關(guān)系是異面.
故答案為：異面.
【變式3】（2023上·上海·高二校考期中）在正方體中的12條棱所在直線中，與直線是異面直線的共有 條.
【答案】6
【詳解】在正方體中的12條棱所在直線中，
與直線相交的棱所在直線有，共6條，
其余6條棱所在直線與直線是異面直線，

所以與直線是異面直線的共有6條.
故答案為：6
題型02 求異面直線所成的角
【典例1】（2024上·重慶·高二重慶八中校考期末）在正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】如圖所示，取中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，
則，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
所以或其補(bǔ)角是異面直線與所成角，
設(shè)正方體棱長為2，則，
在等腰中，是中點(diǎn)，所以，
所以，
即異面直線與所成角的正弦值為.
故選：C
【典例2】（2024上·河北邯鄲·高三磁縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，已知圓柱的底面半徑和母線長均為1，分別為上、下底面圓周上的點(diǎn)，若異面直線所成的角為，則（ ）
A．1 B． C．1或2 D．2或
【答案】D
【詳解】如圖，過點(diǎn)作平面于點(diǎn)，則是母線，
連接底面，，
則四邊形是平行四邊形，，
與所成的角就是或其補(bǔ)角．
當(dāng)時(shí)，是等邊三角形，，
在中，；
當(dāng)時(shí)，在中，，
在中，．
綜上，或.
故選：D．
【典例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知在矩形和矩形中，，，且二面角為，則異面直線與所成角的正弦值為 ．
【答案】
【詳解】連接，，，取中點(diǎn)，連接，，
∵四邊形，為矩形，∴，，
平面平面，平面，平面，
∴即為二面角的平面角，∴，
又，，∴，∴為等邊三角形，∴；
∵，分別為，中點(diǎn)，∴，，
∴（或其補(bǔ)角）即為異面直線與所成角，
∵，∴，
∴，
所以異面直線與所成角的正弦值為．
故答案為：．
【變式1】（2024上·重慶·高二重慶巴蜀中學(xué)校考期末）在長方體中，，則異面直線的夾角余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】連接，,根據(jù)正方體,得到
所以異面直線的夾角為的夾角,
又,,所以,,
則,
則異面直線的夾角的余弦值為.

故選：B
【變式2】（2024上·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期末）如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】連接，
因?yàn)椋运倪呅问瞧叫兴倪呅危?br/>所以，所以異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，
又因?yàn)榍宜睦庵鶠榈酌媸钦叫蔚闹彼睦庵?br/>所以，
所以，
故選：A.
【變式3】（2024上·上海徐匯·高二統(tǒng)考期末）如圖，在正四棱柱中，底面是正方形，且，，經(jīng)過頂點(diǎn)A和各作一個(gè)平面與平面平行，前者與平面交于，后者與平面交于，則異面直線與所成角的余弦值為 .
【答案】
【詳解】設(shè)平面平面，因?yàn)槠矫妫裕?br/>又因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫妫?br/>所以，，
因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫妫?br/>同理可證，異面直線與所成的角即所成的
在正四棱柱中，底面是正方形，且，
，，
，
所以異面直線與所成的角的余弦值為.
故答案為：.
題型03證明異面直線垂直
【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）四面體ABCD中，對棱，E，F(xiàn)，G，H是它們所在棱的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是矩形．
【答案】證明見解析
【詳解】如圖，EF，HG分別是和的中位線，
∴，所以，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，又EH是的中位線，∴，
故是異面直線AD與BC所成的角或其補(bǔ)角，∵，∴，∴，因此四邊形EFGH是矩形．
【典例2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，EF=．求證：AD⊥BC．
【答案】證明見解析
【詳解】證明：如圖所示，取BD的中點(diǎn)H，連接EH，F(xiàn)H．
因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，且AD=2，
所以EH∥AD，EH=1．同理FH∥BC，F(xiàn)H=1．
所以∠EHF(或其補(bǔ)角)是異面直線AD，BC所成的角．
因?yàn)镋F=，所以EH2+FH2=EF2，
所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜邊，
所以∠EHF=90°，即AD與BC所成的角是90°，
所以AD⊥BC．
【變式1】（2023下·全國·高一專題練習(xí)）空間四邊形，，，分別是，，的中點(diǎn)，，，.求證：.
【答案】證明見解析
【詳解】∵點(diǎn)G，E分別是CD，BC的中點(diǎn)，∴GEBD，同理GFAC.∴∠FGE或∠FGE的補(bǔ)角是異面直線AC與BD所成的角．
在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，滿足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即異面直線AC與BD所成的角是90°.
∴AC⊥BD.
【變式2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，DC的中點(diǎn)，F(xiàn)G＝2，GE＝，EF＝3.求證：AC⊥BD.
【答案】證明見解析
【詳解】∵點(diǎn)G，E分別是CD，BC的中點(diǎn)，∴GEBD，同理GFAC.∴∠FGE或∠FGE的補(bǔ)角是異面直線AC與BD所成的角．
在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，滿足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即異面直線AC與BD所成的角是90°.∴AC⊥BD.
題型04異面直線公垂線問題
【典例1】（2023上·四川成都·高二成都七中校考階段練習(xí)）如圖，兩條異面直線所成的角為，在直線上分別取點(diǎn)和點(diǎn)，使，且（稱為異面直線的公垂線）．已知，，，則公垂線 ．

【答案】或
【詳解】如圖構(gòu)造一直三棱錐，使，則由題有： .
在中，由余弦定理，可得，
則；

如圖構(gòu)造一直三棱錐，使，則由題有： .
在中，由余弦定理，可得，
則.

故答案為：或.
【典例2】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）（1）已知正方體的棱長為a，則異面直線與AD公垂線是 ．
（2）已知正方體的棱長為a，則異面直線與距離是 ．
（3）已知正方體的棱長為a，則異面直線與公垂線是 ．
（4）已知正方體的棱長為a，則異面直線與距離是 ．
【答案】 / / /
【詳解】解：由正方體的性質(zhì)可知，，
是異面直線與的公垂線，
因?yàn)椋允钱惷嬷本€與的公垂線，
所以異面直線與的距離等于；
，平面，
面，，
是異面直線與的公垂線，
如圖取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，
連接交于點(diǎn)，連接、、、、、、、，
由正方體的性質(zhì)可知是正方體的中心，即為的中點(diǎn)，且平面，
又平面，所以，
又，所以，所以為異面直線與的公垂線，，
所以異面直線與距離為；
故答案為：；；；；
【變式1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，兩條異面直線a，b所成的角為，在直線a，b上分別取點(diǎn)和點(diǎn)A，F(xiàn)，使，且（稱為異面直線a，b的公垂線）．已知，，，則公垂線 ．
【答案】
【詳解】解：因?yàn)楫惷嬷本€a，b所成的角為，
則與得夾角為或，則，
由，
得，
即，
所以，
即公垂線.
故答案為：.
【變式2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a，點(diǎn)M、N分別是邊AB、CD的中點(diǎn).求證：MN為AB和CD的公垂線.
【答案】證明見解析
【詳解】設(shè)，，，
則，且、、三向量兩兩夾角均為60°，
，
，
則MN⊥AB，同理可證MN⊥CD，
故MN為AB與CD的公垂線.
題型04根據(jù)異面直線所成角求參數(shù)
【典例1】（2024上·四川內(nèi)江·高二統(tǒng)考期末）如圖，空間四邊形的對角線，，，分別為，的中點(diǎn)，并且異面直線與所成的角為，則（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【詳解】取的中點(diǎn)，連接，，如圖，
則，，
（或其補(bǔ)角）即異面直線與所成的角，
，，，
.
故選：C.
【典例2】（2023上·廣西南寧·高二南寧三中校聯(lián)考期中）如圖，由矩形與矩形構(gòu)成的二面角為直二面角，為中點(diǎn)，若與所成角為，且，則（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【詳解】取的中點(diǎn)，連接，如圖，
矩形中，為中點(diǎn)，則，即四邊形是平行四邊形，
有，因此是直線與所成的角或其補(bǔ)角，
顯然，則是二面角的平面角，有，
即有，而平面，于是平面，平面，
則，由，得，令，則，
在中，由余弦定理得，
解得，所以.
故選：D
【典例3】（2023·上海青浦·統(tǒng)考一模）已知四棱錐，底面為正方形，邊長為，平面．
(1)求證：平面；
(2)若直線與所成的角大小為，求的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)．
【詳解】（1） 平面，平面，
，
又底面為正方形，則
且，平面，
平面．
（2）平面，
，為銳角，
又 ，
為直線與所成的角，
，在中，，
，
在中，，，于是．
【變式1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正四面體中，為中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)異面直線與所成角的正弦值最小時(shí)，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】如圖，作，則.
為中點(diǎn)，是的中位線，則，
則是異面直線與所成的角.
當(dāng)與在平面里的投影重合時(shí)，最小，
設(shè)平面，易知為等邊的重心，連接
并延長，交于點(diǎn)，作交于點(diǎn).
.
設(shè)正四面體的棱長為，則，
.
在中，為重心，.
又，則
在中，設(shè)，
，
.
故選：C.
【變式2】（多選）（2023上·山東德州·高二校考階段練習(xí)）已知，分別是三棱錐的棱，的中點(diǎn)，且，.若異面直線與所成角的大小為，則線段EF的長可能為（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】BD
【詳解】
取中點(diǎn)，連接，，
因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，，，
所以，，，，
所以異面直線與所成角與直線和所成角相等，即或，
當(dāng)時(shí)，根據(jù)余弦定理得，，解得；
當(dāng)時(shí)，根據(jù)余弦定理得，，解得.
故答案為：BD.
題型05與已知直線成角的直線條數(shù)問題
【典例1】（2023上·上海奉賢·高二校聯(lián)考期中）若兩異面直線所成的角為，過空間內(nèi)一點(diǎn)作與直線所成角均為的直線，則所作直線的條數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【詳解】在空間取一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)分別作，
設(shè)直線確定平面，當(dāng)直線滿足它的射影在所成角的平分線上時(shí)，
與所成的角等于與所成的角，
因?yàn)橹本€，所成的角為，得所成銳角等于，
所以當(dāng)射影在所成銳角的平分線上時(shí)，
與所成角的范圍是.
這種情況下，過點(diǎn)有兩條直線與所成的角都是，
當(dāng)?shù)纳溆霸谒赦g角的平分線上時(shí)，
與所成角的范圍是.
這種情況下，過點(diǎn)有兩條直線與所成的角都是，
綜上所述，過空間任意一點(diǎn)可作與，所成的角都是的直線有4條.
故選：D.
【典例2】（2024上·上海·高二專題練習(xí)）異面直線a，b成80°角，點(diǎn)P是a，b外的一個(gè)定點(diǎn)，若過P點(diǎn)有且僅有n條直線與a，b所成的角相等且等于45°，則n＝ ．
【答案】2
【詳解】解：如圖：
先將異面直線a，b平移到點(diǎn)P，則∠BPE＝80°，∠EPD＝100°，
而∠BPE的角平分線與a和b的所成角為40°，
而∠EPD的角平分線與a和b的所成角為50°，
因?yàn)?5°＞40°，45°＜50°，
所以直線與a，b所成角相等且等于45°有且只有兩條，
且直線在面PBE的射影為∠BPE的角平分線，
故答案為：2．
【典例3】（2023上·上海·高二上海交大附中校考期末）已知異面直線、所成角為，過空間定點(diǎn)與、成角的直線共有3條，則的大小是 .
【答案】
【詳解】解：分別將直線平移得到，使得經(jīng)過點(diǎn)，如圖所示，
設(shè)所成角的角平分線為，過點(diǎn)垂直于所在平面的直線為，
因?yàn)楫惷嬷本€、所成角為，所以直線所成角為，
所以，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)且直線在直線所在平面，垂直于直線時(shí)，直線與直線所成角相等，為時(shí)，成角為，即；
當(dāng)直線在直線平面內(nèi)時(shí)，若直線繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，此時(shí)直線與直線所成角相等，且所成角從變化到，再從變化到，此時(shí)滿足條件的直線有兩條，
所以，，解得.
所以，過空間定點(diǎn)與、成角的直線共有3條時(shí)，.
故答案為：
【變式1】（2023上·安徽·高二合肥一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知兩條異面直線a，b所成角為，若過空間內(nèi)一定點(diǎn)的直線l和a，b所成角均為，則這樣的直線l有（ ）
A．2條 B．3條 C．4條 D．5條
【答案】C
【詳解】如圖：

通過平移過點(diǎn)P作a∥BD，b∥CE，由題意，,,
而的角平分線與a和b的所成角為，
的角平分線與a和b的所成角為，
因?yàn)椋灾本€l和a，b所成角均為的直線有4條，
其中直線l在平面BPE的射影為的角平分線時(shí)存在2條直線滿足條件，
當(dāng)直線l在平面EPD的射影為的角平分線時(shí)存在2條滿足條件，故共4條.
故選：C.
【變式2】（2023下·上海·高二專題練習(xí)）正方體中，過作直線，若直線與平面中的直線所成角的最小值為，且直線與直線所成角為，則滿足條件的直線的條數(shù)為 .
【答案】2
【詳解】設(shè)立方體的棱長為1，過作直線，
若直線與平面中的直線所成角的最小值為，
即與平面所成角為，
為軸的圓錐母線（母線與成）是直線的運(yùn)動(dòng)軌跡，
連接，由題意得，直線與直線所成角為，
直線與直線所成角為.
此時(shí)為軸的圓錐母線（母線與成）是直線的運(yùn)動(dòng)軌跡，
兩個(gè)圓錐相交得到兩條交線.
故答案為：2
【變式3】（2023·上海·高二專題練習(xí)）已知異面直線所成角為，過空間一點(diǎn)有且僅有條直線與所成角都是，則的取值范圍是 .
【答案】
【詳解】將直線平移交于點(diǎn)，設(shè)平移后的直線為，
過點(diǎn)作及其外角的角平分線，則；
在方向，要使過空間一點(diǎn)的直線，且與所成角都是的直線有兩條，則；
在方向，要使過空間一點(diǎn)的直線，且與所成角都是的直線不存在，則；
綜上所述：.
故答案為：.
A夯實(shí)基礎(chǔ) B能力提升
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2012·北京·統(tǒng)考一模）若空間三條直線a，b，c滿足a⊥b，bc，則直線a與c（　　）
A．一定平行 B．一定垂直
C．一定是異面直線 D．一定相交
【答案】B
【分析】根據(jù)空間中直線的位置關(guān)系分析判斷.
【詳解】∵a⊥b，bc，∴a⊥c.
故選：B.
2．（2019上·山西朔州·高二階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，D為的中點(diǎn)，，則異面直線與所成的角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取的中點(diǎn)E，連接，易得（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成的角，進(jìn)而求其大小即可.
【詳解】如圖，取的中點(diǎn)E，連接，則，則（或其補(bǔ)角）即為異面直線與所成的角.
由條件知：，則，
故選：C.
3．（2017上·陜西西安·高一西安中學(xué)校考期末）在正方體中，異面直線與所成的角為（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，求異面直線所成角，找到平行線，轉(zhuǎn)化成平面角，即可求解.
【詳解】由題意，作正方體，如下圖所示：

連接，，
∴異面直線與即所成的角為.
由題可得為等邊三角形，.
∴異面直線與所成的角為60°.
故選：C.
4．（2014·全國·高三專題練習(xí)）如圖是某個(gè)正方體的平面展開圖，，是兩條側(cè)面對角線，則在該正方體中，與
A．互相平行 B．異面且互相垂直 C．異面且夾角為 D．相交且夾角為
【答案】D
【分析】先將平面展開圖還原成正方體，再判斷求解.
【詳解】
將平面展開圖還原成正方體如圖所示，則B，C兩點(diǎn)重合，所以與相交，連接，則為正三角形，所以與的夾角為.
故選D.
5．（2019上·青海西寧·高二西寧四中階段練習(xí)）設(shè)P是直線外一定點(diǎn)，過點(diǎn)P且與成30°角的異面直線(　　)
A．有無數(shù)條 B．有兩條 C．至多有兩條 D．有一條
【答案】A
【分析】利用模型圓錐即可得到答案.
【詳解】過點(diǎn)P且與成30°角的異面直線有無數(shù)條，并且異面直線在以P為頂點(diǎn)的圓錐的側(cè)面上.
故選A
6．（2023下·陜西安康·高二統(tǒng)考期末）在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，則直線與直線所成角的正切值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取的中點(diǎn)，直線與直線所成的角為，在中求其正切值即可.
【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，則且
故直線與直線所成的角為.
因?yàn)槊妫妫裕?br/>設(shè)，，則.

故選：A
7．（2023下·遼寧·高一校聯(lián)考期末）在直三棱柱中，，，為四邊形的中心，則異面直線與夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】如圖，延長至點(diǎn)，使，延長至點(diǎn)，使，連接，，
易證，則異面直線與的夾角為，過作，垂足為，
交于，
連接，，，由余弦定理得，
，所以，，
易得，所以.

故選：C
8．（2023下·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知空間四邊形ABCD的四條邊及對角線的長均為1，M N分別是BC與AD的中點(diǎn)，設(shè)AM和CN所成角為，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義，借助平行關(guān)系作出平行直線，從而找到異面直線所成角（或補(bǔ)角）即可求解三角形得出答案.
【詳解】提示：如圖，連接MD，設(shè)O為MD的中點(diǎn)，連接ON OC，則且.
所以為異面直線AM與CN所成的角（或補(bǔ)角）.
由題意，可得，
所以，，
.
在中，由余弦定理，可得：，即.
故選A.
二、多選題
9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示是正四面體的平面展開圖,分別為的中點(diǎn),在這個(gè)正四面體中,下列命題正確的是
A．與平行 B．與為異面直線
C．與成60°角 D．與垂直
【答案】BCD
【分析】首先由平面展開圖還原幾何體，在幾何體中判斷線與線的位置關(guān)系，直接判斷選項(xiàng)，再根據(jù)線面垂直判斷線線的位置關(guān)系.
【詳解】如圖,把平面展開圖還原成正四面體,知與為異面直線,A不正確；
與為異面直線，B正確；
,，而，,
與成60°角，C正確；
連接，，
平面,
,
又
與垂直,
D正確.
故選：BCD
10．（2023下·山東菏澤·高一山東省鄄城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，將△ABM沿直線AM翻折成△AB1M，連接B1D，N為B1D的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列說法正確的是（ ）．

A．存在某個(gè)位置，使得CN⊥AB1；
B．翻折過程中，CN的長是定值；
C．若AB＝BM，則AM⊥B1D；
D．若AB＝BM＝1；當(dāng)三棱錐B1－AMD的體積最大時(shí)；三棱錐B1－AMD的外接球的表面積是4π．
【答案】BD
【詳解】對于A，取AD的中點(diǎn)為E，連接CE交MD于點(diǎn)F，如圖1，

則，如果CN⊥AB1，則EN⊥CN，
由于AB1⊥MB1，則EN⊥NF，由于三線NE，NF，NC共面且共點(diǎn)，
故這是不可能的，故不正確；
對于B，如圖1，由∠NEC＝∠MAB1，
且，AM＝EC，∴在△CEN中，由余弦定理得：
，也是定值，
故NC是定值，故B正確；
對于C，如圖2

取AM中點(diǎn)為O，∵AB＝BM．即AB1＝B1M．則AM⊥B1O，
若AM⊥B1D，由于，且平面，
∴AM⊥平面，平面，∴OD⊥AM，則AD＝MD，
由于，故AM⊥B1D不成立，故不正確，
對于D，根據(jù)題意知，只有當(dāng)平面B1AM⊥平面AMD時(shí)，
三棱錐B1—AMD的體積最大，取AD的中點(diǎn)為E，
連接OE，B1E，ME，如圖2，
∵AB＝BM＝1，則AB1＝B1M＝1，且AB1⊥B1M，平面平面AMD＝AM
∴B1O⊥AM，平面B1AM，∴B1O⊥平面AMD，平面AMD．∴B1O⊥O E，
則，，，從而，
易知，∴AD的中點(diǎn)E就是三棱錐B1－AMD的外接球的球心，球的半徑為1，表面積是，故D正確；
故選：BD．
三、填空題
11．（2023下·全國·高一專題練習(xí)）已知兩異面直線a，b所成的角為17°，過空間一點(diǎn)P作直線l，使得l與a，b的夾角均為9°，那么這樣的直線l有 條．
【答案】2
【分析】結(jié)合異面直線成角作出圖形分析即可求出結(jié)果.
【詳解】可將a，b通過平移相交于點(diǎn)P，如圖所示，
則，則的角平分線與直線a，b所成的角均為，的角平分線與直線a，b所成的角均為，因?yàn)椋耘c直線a，b所成的角均為9°的直線l有且只有2條（直線），
故答案為：2.
12．（2023·全國·高一專題練面過正方體的頂點(diǎn)平面平面，平面，則所成角的正弦值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)已知條件畫出圖形，再利用異面直線所成角的定義及解三角形即可求解.
【詳解】由題意可知，延長與平面交于點(diǎn)，延長與平面交于點(diǎn)，連接，即平面所在平面為平面，如圖所示
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫郑?br/>所以.
同理可證,
所以所成角的大小與所成角的大小相等，
在正方體中，，
所以是等邊三角形，
所以所成角就是,
所以所成角的正弦值為.
故答案為：.
四、解答題
13．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在空間四邊形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，若EF＝，求異面直線AD，BC所成角的大小.
【答案】60°
【詳解】
如圖，取AC的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G.
因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別是AB，CD，AC的中點(diǎn)，
所以GF∥AD，且GF＝AD，EG∥BC，且EG＝BC，
則∠EGF或其補(bǔ)角就是異面直線AD，BC所成的角.
因?yàn)锳D＝BC＝2，所以EG＝GF＝1.
單獨(dú)看△GEF的平面圖，可得
在等腰△GEF中，過點(diǎn)G作GH⊥EF于點(diǎn)H，
在Rt△GHE中，EG＝1，EH＝EF＝，則sin∠EGH＝，
所以∠EGH＝60°，則∠EGF＝2∠EGH＝120°.
所以異面直線AD，BC所成的角為∠EGF的補(bǔ)角，即異面直線AD，BC所成的角為60°.
14．（2023上·上海寶山·高二校考階段練習(xí)）在直三棱柱中，，，，、分別為棱、的中點(diǎn)．
(1)求異面直線與所成角的正切值；
(2)求三棱錐的全面積.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）
連接，因?yàn)椤⒎謩e為棱、的中點(diǎn)，
故為的中位線，故，
故異面直線與所成角的大小即為,
因?yàn)椋?br/>故，，
則，
，
則，
即，
即異面直線與所成角的正切值為；
（2）連接、、，
因?yàn)椤ⅲ?br/>、平面，
所以平面，又平面,
故，又，
故，
又，，
則，
，
，
，
故三棱錐的全面積.
B能力提升
1．（2023·高二單元測試）如圖，在正三棱柱中，若，則與所成角的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】在正三棱柱中，向量不共面，，，
令，則，而，，
于是得，
因此，，
所以與所成角的大小為.
故選：B
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】在正方體中，，所以異面直線與所成角為，
設(shè)正方體邊長為，則由為棱的中點(diǎn)，可得，所以，
則.故選C.

3．（多選）（2023下·全國·高一專題練習(xí)）在三棱錐中，，，則（ ）
A．
B．三棱錐的體積為
C．三棱錐外接球半徑為
D．異面直線與所成角的余弦值為
【答案】ABD
【詳解】將三棱錐補(bǔ)形為長方體如下：其中，，
所以，，
連接，
因?yàn)椋?br/>所以，，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又四邊形為正方形，所以，
所以，A對；
長方體的體積，
三棱錐的體積，三棱錐的體積，三棱錐的體積，
三棱錐的體積，
所以三棱錐的體積，B對，
為長方體的外接球的直徑，，
所以長方體的外接球的半徑為，長方體的外接球也是三棱錐外接球，
所以三棱錐外接球的半徑為；C錯(cuò)；
連接，交于，
因?yàn)椋詾楫惷嬷本€與所成的角（或其補(bǔ)角），
由已知，，,
所以，
所以異面直線與所成角的余弦值為，D對，
故選：ABD.
4．（多選）（2023下·廣東深圳·高一深圳市龍華中學(xué)校考期中）（多選）如圖，在四面體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，截面是正方形，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．截面PQMN
C． D．異面直線與所成的角為
【答案】ABD
【詳解】解：因?yàn)榻孛媸钦叫?，所以，
又平面，平面
所以平面
又平面,平面平面
所以
因?yàn)榻孛妫孛妫?br/>所以截面，故B正確
同理可證
因?yàn)椋裕蔄正確
又
所以異面直線與所成的角為，故D正確
和 不一定相等，故C錯(cuò)誤
故選：ABD
5．（2023下·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知圓錐的正視圖是正三角形，是底面圓的直徑，點(diǎn)在上，且，則異面直線與所成角的余弦值為 ．
【答案】
【詳解】如圖，
取的中點(diǎn)，劣弧的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、，
易知，,，則異面直線與所成的角是或其補(bǔ)角.
連接，，，易得，不妨設(shè)，則，，，
，
則，
在中，
故異面直線與所成角的余弦值為.
故答案為：.第11講 8.6.1 直線與直線垂直
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
①借助長方體，了解空間中直線與直線垂直的關(guān)系。 ②.理解并掌握異面直線所成的角，會求任意兩條直線所成的角。 1、本節(jié)內(nèi)容包含異面直線所成的角的定義，以及直線與直線垂直教材以正方體為載體，讓學(xué)生直觀認(rèn)識空間直線的位置關(guān)系和異面直線所成的角的定義通過平移來研究異面直線所成的角是研究空間圖形的一種基本思路，即把空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題 2.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，為學(xué)生后面學(xué)習(xí)空間直線、平面的垂直關(guān)系打下基礎(chǔ)，同時(shí)更好地提升學(xué)生直觀想象和邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)
知識點(diǎn)01：異面直線所成角的概念
已知兩條異面直線，，經(jīng)過空間任一點(diǎn)分別作直線，，我們把直線與所成的
角叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）
知識點(diǎn)02：異面直線所成角的范圍
由異面直線所成角的定義得，異面直線所成的角是銳角或直角，即.
注意：①異面直線所成角的大小不能是，若兩條直線所成角是，則這兩條直線平行，不可能異面.②空間兩直線所成的角的范圍是.
知識點(diǎn)3：兩條異面直線垂直的定義
如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直.直線與直線垂直，
記作.
注意：兩條直線垂直，既包括相交垂直，也包括異面垂直.
知識點(diǎn)04：異面直線所成的角的求解步驟
①構(gòu)造：根據(jù)異面直線的定義，用平移法（常利用三角形中位線、平行四邊形的性質(zhì))作出異面直線所成的角.
②證明：證明作出的角就是要求的角
③計(jì)算：求角度（常利用三角形的有關(guān)知識）
④結(jié)論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角就
是所求異面直線所成的角.
【即學(xué)即練1】（2024上·上海·高二專題練習(xí)）已知空間四邊形，連接和，且，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則異面直線和所成的角的余弦值是 ．
【答案】
【詳解】
如圖，取中點(diǎn)，連接，，
∵，分別為，中點(diǎn)，
∴，且，
∴異面直線和所成角為或其補(bǔ)角，
在等邊和等邊中，，
∴在中，由余弦定理，有
，
∴異面直線和所成的角的余弦值為.
故答案為：.
題型01 判斷兩直線是否為異面直線
【典例1】（2024上·上海·高二專題練習(xí)）如圖，在正方體中，M、N分別為棱、的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：①直線AM與是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與是異面直線；④直線AM與是異面直線．其中正確的結(jié)論為（ ）
A．③④ B．①② C．①③ D．②④
【典例2】（2024上·北京海淀·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知E，F(xiàn)分別為三棱錐的棱的中點(diǎn)，則直線與的位置關(guān)系是 （填“平行”，“異面”，“相交”）．
【典例3】（2023上·北京海淀·高二北京交通大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖所示，在正方體中，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線中，始終與直線異面的是 .
①②③④
【變式1】（2023上·黑龍江·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在正方體中，與平行的是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2024上·上海長寧·高二上海市民辦新虹橋中學(xué)校考期末）在正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則直線與直線的位置關(guān)系是 ．
【變式3】（2023上·上海·高二校考期中）在正方體中的12條棱所在直線中，與直線是異面直線的共有 條.
題型02 求異面直線所成的角
【典例1】（2024上·重慶·高二重慶八中校考期末）在正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024上·河北邯鄲·高三磁縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，已知圓柱的底面半徑和母線長均為1，分別為上、下底面圓周上的點(diǎn)，若異面直線所成的角為，則（ ）
A．1 B． C．1或2 D．2或
【典例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知在矩形和矩形中，，，且二面角為，則異面直線與所成角的正弦值為 ．
【變式1】（2024上·重慶·高二重慶巴蜀中學(xué)校考期末）在長方體中，，則異面直線的夾角余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2024上·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期末）如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（2024上·上海徐匯·高二統(tǒng)考期末）如圖，在正四棱柱中，底面是正方形，且，，經(jīng)過頂點(diǎn)A和各作一個(gè)平面與平面平行，前者與平面交于，后者與平面交于，則異面直線與所成角的余弦值為 .
題型03證明異面直線垂直
【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）四面體ABCD中，對棱，E，F(xiàn)，G，H是它們所在棱的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是矩形．
【典例2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，EF=．求證：AD⊥BC．
【變式1】（2023下·全國·高一專題練習(xí)）空間四邊形，，，分別是，，的中點(diǎn)，，，.求證：.
【變式2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，DC的中點(diǎn)，F(xiàn)G＝2，GE＝，EF＝3.求證：AC⊥BD.
題型04異面直線公垂線問題
【典例1】（2023上·四川成都·高二成都七中校考階段練習(xí)）如圖，兩條異面直線所成的角為，在直線上分別取點(diǎn)和點(diǎn)，使，且（稱為異面直線的公垂線）．已知，，，則公垂線 ．

【典例2】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）（1）已知正方體的棱長為a，則異面直線與AD公垂線是 ．
（2）已知正方體的棱長為a，則異面直線與距離是 ．
（3）已知正方體的棱長為a，則異面直線與公垂線是 ．
（4）已知正方體的棱長為a，則異面直線與距離是 ．
【變式1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，兩條異面直線a，b所成的角為，在直線a，b上分別取點(diǎn)和點(diǎn)A，F(xiàn)，使，且（稱為異面直線a，b的公垂線）．已知，，，則公垂線 ．
【變式2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a，點(diǎn)M、N分別是邊AB、CD的中點(diǎn).求證：MN為AB和CD的公垂線.
題型04根據(jù)異面直線所成角求參數(shù)
【典例1】（2024上·四川內(nèi)江·高二統(tǒng)考期末）如圖，空間四邊形的對角線，，，分別為，的中點(diǎn)，并且異面直線與所成的角為，則（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【典例2】（2023上·廣西南寧·高二南寧三中校聯(lián)考期中）如圖，由矩形與矩形構(gòu)成的二面角為直二面角，為中點(diǎn)，若與所成角為，且，則（ ）
A．1 B．2 C． D．
【典例3】（2023·上海青浦·統(tǒng)考一模）已知四棱錐，底面為正方形，邊長為，平面．
(1)求證：平面；
(2)若直線與所成的角大小為，求的長．
【變式1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正四面體中，為中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)異面直線與所成角的正弦值最小時(shí)，（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（多選）（2023上·山東德州·高二校考階段練習(xí)）已知，分別是三棱錐的棱，的中點(diǎn)，且，.若異面直線與所成角的大小為，則線段EF的長可能為（ ）
A． B． C．5 D．
題型05與已知直線成角的直線條數(shù)問題
【典例1】（2023上·上海奉賢·高二校聯(lián)考期中）若兩異面直線所成的角為，過空間內(nèi)一點(diǎn)作與直線所成角均為的直線，則所作直線的條數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例2】（2024上·上海·高二專題練習(xí)）異面直線a，b成80°角，點(diǎn)P是a，b外的一個(gè)定點(diǎn)，若過P點(diǎn)有且僅有n條直線與a，b所成的角相等且等于45°，則n＝ ．
【典例3】（2023上·上海·高二上海交大附中校考期末）已知異面直線、所成角為，過空間定點(diǎn)與、成角的直線共有3條，則的大小是 .
【變式1】（2023上·安徽·高二合肥一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知兩條異面直線a，b所成角為，若過空間內(nèi)一定點(diǎn)的直線l和a，b所成角均為，則這樣的直線l有（ ）
A．2條 B．3條 C．4條 D．5條
【變式2】（2023下·上海·高二專題練習(xí)）正方體中，過作直線，若直線與平面中的直線所成角的最小值為，且直線與直線所成角為，則滿足條件的直線的條數(shù)為 .
【變式3】（2023·上海·高二專題練習(xí)）已知異面直線所成角為，過空間一點(diǎn)有且僅有條直線與所成角都是，則的取值范圍是 .
A夯實(shí)基礎(chǔ) B能力提升
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2012·北京·統(tǒng)考一模）若空間三條直線a，b，c滿足a⊥b，bc，則直線a與c（　　）
A．一定平行 B．一定垂直
C．一定是異面直線 D．一定相交
2．（2019上·山西朔州·高二階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，D為的中點(diǎn)，，則異面直線與所成的角為（ ）
A． B． C． D．
3．（2017上·陜西西安·高一西安中學(xué)校考期末）在正方體中，異面直線與所成的角為（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．（2014·全國·高三專題練習(xí)）如圖是某個(gè)正方體的平面展開圖，，是兩條側(cè)面對角線，則在該正方體中，與
A．互相平行 B．異面且互相垂直 C．異面且夾角為 D．相交且夾角為
5．（2019上·青海西寧·高二西寧四中階段練習(xí)）設(shè)P是直線外一定點(diǎn)，過點(diǎn)P且與成30°角的異面直線(　　)
A．有無數(shù)條 B．有兩條 C．至多有兩條 D．有一條
6．（2023下·陜西安康·高二統(tǒng)考期末）在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，則直線與直線所成角的正切值為（ ）
A． B． C． D．
7．（2023下·遼寧·高一校聯(lián)考期末）在直三棱柱中，，，為四邊形的中心，則異面直線與夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
8．（2023下·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知空間四邊形ABCD的四條邊及對角線的長均為1，M N分別是BC與AD的中點(diǎn)，設(shè)AM和CN所成角為，則的值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示是正四面體的平面展開圖,分別為的中點(diǎn),在這個(gè)正四面體中,下列命題正確的是
A．與平行 B．與為異面直線
C．與成60°角 D．與垂直
10．（2023下·山東菏澤·高一山東省鄄城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，將△ABM沿直線AM翻折成△AB1M，連接B1D，N為B1D的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列說法正確的是（ ）．

A．存在某個(gè)位置，使得CN⊥AB1；
B．翻折過程中，CN的長是定值；
C．若AB＝BM，則AM⊥B1D；
D．若AB＝BM＝1；當(dāng)三棱錐B1－AMD的體積最大時(shí)；三棱錐B1－AMD的外接球的表面積是4π．
三、填空題
11．（2023下·全國·高一專題練習(xí)）已知兩異面直線a，b所成的角為17°，過空間一點(diǎn)P作直線l，使得l與a，b的夾角均為9°，那么這樣的直線l有 條．
12．（2023·全國·高一專題練面過正方體的頂點(diǎn)平面平面，平面，則所成角的正弦值為 .
四、解答題
13．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在空間四邊形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，若EF＝，求異面直線AD，BC所成角的大小.
14．（2023上·上海寶山·高二校考階段練習(xí)）在直三棱柱中，，，，、分別為棱、的中點(diǎn)．
(1)求異面直線與所成角的正切值；
(2)求三棱錐的全面積.
B能力提升
1．（2023·高二單元測試）如圖，在正三棱柱中，若，則與所成角的大小為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為
A． B． C． D．
3．（多選）（2023下·全國·高一專題練習(xí)）在三棱錐中，，，則（ ）
A．
B．三棱錐的體積為
C．三棱錐外接球半徑為
D．異面直線與所成角的余弦值為
4．（多選）（2023下·廣東深圳·高一深圳市龍華中學(xué)校考期中）（多選）如圖，在四面體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，截面是正方形，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．截面PQMN
C． D．異面直線與所成的角為
5．（2023下·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知圓錐的正視圖是正三角形，是底面圓的直徑，點(diǎn)在上，且，則異面直線與所成角的余弦值為 ．

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