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第17講 第八章 立體幾何初步 章末題型大總結
一、數學思想方法
1、函數與方程的思想
1．（2023上·全國·高三階段練習）在長方體中，，，若線段上存在一點，使得，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】若線段上存在一點，使得，如下圖示：
則，令，則，
設且，有，則，，
所以，整理得，
故在上有零點，而且對稱軸為，開口向上，
所以，只需，則，即的取值范圍是.
故選：D
2．（2023·全國·模擬預測）已知正方體的外接球表面積為12，點E在線段上運動，若恒成立，則實數λ的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由正方體的性質知：其外接球半徑為，則，則，
過點E作AD的垂線，垂足為H，連接DE，
則，又，
∴．又，
∴當時，取得最小值11，故，
故選：D．
3．（2022下·山西運城·高三統考階段練習）如圖，在三棱錐中，平面平行于對棱，截面面積的最大值是 .
【答案】
【詳解】由題設，面，又面，面面，
所以，同理可證，故，
又面，又面，面面，
所以，同理可證，故，
故為平行四邊形，又，即，則為矩形，
若，則，又，
所以，，又面積為，
所以，故當時.
故答案為：.
2、數形結合思想
1．（2023上·上海青浦·高二上海市青浦高級中學校考期末）在棱長為1的正方體中，P為底面ABCD內（包括邊界）的動點，滿足直線與直線所成角的大小為，則線段掃過的面積的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由題意得：正方體中，易得，
要使直線與直線所成角的大小為，
只需與直線所成角的大小為，
所以繞以夾角旋轉為錐體的一部分，如圖所示：
所以,即，
所以點的軌跡是以為圓心，為半徑的四分之一圓，
故線段掃過的面積的大小為.
故選：A.
2．（2023上·浙江溫州·高二校聯考期中）在正方體中，棱長為2，平面經過點，且滿足直線與平面所成角為，過點作平面的垂線，垂足為，則長度的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】由題意，面，連接，
因為與平面所成角為，所以，過作，
如圖：

因為，所以，
所以點的軌跡為以為圓心，半徑為1的圓，如圖：

所以，
所以，
在中，由題意，，
所以
所以，
所以長度的取值范圍為.
故選：A
3．（2023上·上海浦東新·高二上海市進才中學校考期中）如圖是一座山的示意圖，山呈圓錐形，圓錐的底面半徑為10公里，母線長為40公里，母線一點，且公里，為了發展旅游業，要建設一條最短的從繞山一周到的觀光鐵路，則這段鐵路的長度為 公里.

【答案】50
【詳解】
如圖，將圓錐沿剪開，
則圓錐的母線即扇形的半徑，
圓錐底面圓的周長即扇形的弧長為，
所以圓心角，即.
又，，
所以，.
所以，這段鐵路的長度為公里.
故答案為：50.
3、轉化與化歸思想
1．（2023上·浙江·高二校聯考階段練習）正方體的棱長為1，M是面內一動點，且，N是棱上一動點，則周長的最小值為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【詳解】點M在線段上運動，即動線段在內運動，
動線段在內運動，動線段在內運動，
以為基準，將和翻折使其與共面，如圖所示：
其中翻折至，翻折至，
的周長等于,最小值等于
在四邊形，，
由余弦定理可求得，
所以，
故的周長最小值等于，
故選：B.
2．（2023上·四川南充·高二儀隴中學校考階段練習）在直三棱柱中分別為的中點，沿棱柱的表面從到兩點的最短路徑的長度為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題意得直三棱柱底面為等腰直角三角形．
①若把面和面展開在同一個平面內，則線段在直角三角形中，

由勾股定理得；
②若把面和面展開在同一個平面內，則線段在直角三角形中，

此時.
③若把面和面展開在同一個平面內，設的中點為，

在直角三角形中，由勾股定理得．
④若把面和面展開在同一個面內，

過作與行的直線，過作與平行的直線，
所作兩直線交于點，則在直角三角形中，
由勾股定理得．
由于，
可得從到兩點的最短路徑的長度為,
故選：B
3．（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，在正三棱錐中，底面邊長為a，側棱長為，點E，F分別為AC，AD上的動點，求截面周長的最小值和這時點E，F的位置．

【答案】見詳解
【詳解】
如圖所示展開三棱錐得五邊形，連接分別交于點，
則此時的周長最小為，
由題意易知，則，
且，
所以，
由，
故在分別為線段上的靠近C、D的一個四等分點時，
截面周長最小，最小值為.
4、分類與整合的思想
1．（多選）（2023上·湖南長沙·高二校考期中）如圖，兩條異面直線a，b所成的角為，在直線a，b上分別取點A，O和點C，B，使，.已知，，，則線段OC的長為（ ）

A．6 B．8 C． D．
【答案】AC
【詳解】依題意，，
平方得.
因為a，b所成的角為，或.
當時，，，
代入數據可得，
所以，，所以；
當時，，，
代入數據可得，
所以，，所以.
綜上所述，或，即OC的長為6或.
故選：AC.
2．（多選）（2023上·廣東湛江·高三統考階段練習）如圖，有一個正四面體形狀的木塊，其棱長為.現準備將該木塊鋸開，則下列關于截面的說法中正確的是（ ）

A．過棱的截面中，截面面積的最小值為
B．若過棱的截面與棱（不含端點）交于點，則
C．若該木塊的截面為平行四邊形，則該截面面積的最大值為
D．與該木塊各個頂點的距離都相等的截面有7個
【答案】ACD
【詳解】設截面與棱的交點為，
對于A項，如圖1，過棱的截面為，易知當為棱的中點時，,且，平面，故平面，
取的中點，連接，則，
又平面，，即是異面直線的公垂線，，
故此時的面積取得最小值，最小值為，正確；

對于B項，易知，故結合A項，可設，
在中，由余弦定理，
所以，即，B錯誤；
對于C項，如圖2，當截面為平行四邊形時，，，
由正四面體的性質可知，故，從而平行四邊形為長方形.
設，則，所以長方形的面積，
當且僅當時，等號成立，正確；

對于D項，與該木塊各個頂點的距離都相等的截面分為兩類.第一類：平行于正四面體的一個面，且到頂點和到底面距離相等，這樣的截面有4個.
第二類：平行于正四面體的兩條對棱，且到兩條棱距離相等，這樣的截面有3個.
故與該木塊各個頂點的距離都相等的截面共有7個，D正確.
故選：ACD
3．（多選）（2023下·四川成都·高一成都七中校考期末）四棱錐的四個側面都是腰長為，底邊長為2的等腰三角形，則該四棱錐的高為（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【詳解】滿足要求的四棱錐有如下三種情形.
（1）
如圖，四條側棱長均為，則四棱錐為正四棱錐，連接交于點，連接，
則平面，是四棱錐的高，
則，，
所以，
四棱錐的高為；
（2）
如圖，有兩條側棱長為，
作平面，記，，是四棱錐的高，
于是，，
且.
解得，.
四棱錐的高為；
（3）
如圖，三條側棱（、、）長為，一條側棱，
，，
設與交于點.記.
由等腰三角形三線合一可得：,
平面，平面，，
則平面，
因為平面，所以平面平面，
過O作，因為平面平面,
所以平面，是四棱錐的高，
則有，，.
因為，
于是，.
將前面的結果代入上式，
解得或.
顯然，故.
，
在中，
由余弦定理得,
，
，
四棱錐的高為.
故選：ACD.
二、重點題型精講
題型01空間幾何體的結構、表面積與體積
【典例1】（2024上·遼寧·高三校聯考期末）已知某圓錐的軸截面是等腰直角三角形，則該圓錐的側面積與表面積的比值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由題意可得軸截面是等腰直角三角形，設該圓錐的底面圓的半徑為，則其母線長為，從而該圓錐的側面積.
表面積，
故.
故選：A.

【典例2】（2024·全國·模擬預測）在正三棱臺中，，，側棱與底面ABC所成角的正切值為．若該三棱臺存在內切球，則此正三棱臺的體積為 ．
【答案】
【詳解】如圖，取BC和的中點分別為P，Q，
上、下底面的中心分別為，，
設，內切球半徑為r，因為，棱臺的高為2r，
所以，
，同理．
因為內切球與平面相切，切點在上，
所以①，
在等腰梯形中，②，
由①②得．
在梯形中，③，
由②③得，代入得，則棱臺的高，
所以棱臺的體積為．
故答案為：.

【典例3】（2024·全國·模擬預測）如圖，該“四角反棱柱”是由兩個相互平行且全等的正方形經過旋轉、連接而成，其側面均為等邊三角形，則該“四角反棱柱”外接球的表面積與側面面積的比為 ．
【答案】
【詳解】
如圖，由題意可知旋轉角度為，設上、下正四邊形的中心分別為，，連接，
則的中點O即為外接球的球心，其中點B為所在棱的中點，OA即該幾何體外接球的半徑，
設棱長為4a，則側面積為，
，，，過點B作于點C，
則，，
易得四邊形為矩形，即，，
則，即該“四角反棱柱”外接球的半徑．
外接球表面積為，
該“四角反棱柱”外接球的表面積與側面面積的比為．
故答案為：.
【變式1】（多選）（2024上·甘肅武威·高三統考期末）如圖，在邊長為的正方形中剪掉四個陰影部分的等腰三角形，其中為正方形對角線的交點，，將其余部分折疊圍成一個封閉的正四棱錐，若該正四棱錐的內切球半徑為，則該正四棱錐的表面積可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【詳解】
設翻折前，則翻折后，斜高，
該四棱錐的高，
則.
該四棱錐的表面積.
因為該正四棱錐的內切球半徑為，所以，即，
則，解得或或（舍）
故或.
故選：BC.
【變式2】（2024上·山東濟南·高三統考期末）在正四棱錐中，，則該棱錐的體積為 ．
【答案】
【詳解】在平面上的投影是，因為是正四棱錐，
所以是正方形對角線的交點，連結，
，，
所以，于是.
故答案為：.
【變式3】（2024上·上海長寧·高二上海市民辦新虹橋中學校考期末）已知中，，將繞所在的直線旋轉一周，則所得旋轉體的表面積是 ．
【答案】
【詳解】因為，所以，
所以旋轉體是底面半徑為，高為，母線長為的圓錐，
所以表面積為，
故答案為：.
題型02空間幾何體與內切球問題
【典例1】（2024上·遼寧·高三校聯考期末）以半徑為的球為內切球的圓錐中，體積最小值時，圓錐底面半徑滿足（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】設圓錐的高為，如圖，為圓錐的軸截面，
則，解得，
故圓錐的體積，
當，即時，，
所以圓錐體積最小值時，圓錐底面半徑滿足.
故選：D.
【典例2】（2024上·河南周口·高三項城市第一高級中學校聯考期末）正三棱錐的內切球的半徑為，外接球的半徑為. 若，則的最小值為 .
【答案】3
【詳解】設正三棱錐的高為h，設E為的中點，O為底面中心，O在上，
，則，側面上高為，
則正三棱錐的表面積為，
則正三棱錐的體積為，
即，故，
又，則，則，
故，
令，則，
則
，
當且僅當，即，時取等號，
故的最小值為3，
故答案為：3
【典例3】（2023上·江蘇·高三江蘇省白蒲高級中學校聯考階段練習）如圖，若圓臺的上、下底面半徑分別為且，則此圓臺的內切球(與圓臺的上、下底面及側面都相切的球叫圓臺的內切球)的表面積為 .
【答案】
【詳解】
設圓臺上、下底面圓心分別為，則圓臺內切球的球心O一定在的中點處,
設球O與母線切于M點,所以,所以 (R為球O的半徑),
所以與全等, 所以,同理，
所以， ，所以，
所以圓臺的內切球半徑，內切球的表面積為.
故答案為：.
【變式1】（2024·全國·模擬預測）已知球是底面半徑為4、高為的圓錐的內切球，若球內有一個內接正三棱柱，則當該正三棱柱的側面積最大時，正三棱柱的體積為 ．
【答案】
【詳解】圓錐與球的軸截面如圖所示，為圓錐的頂點，為圓錐的底面直徑，D，E為切點，連接，，
則，，且過點，設球的半徑為，
由題意可得，故，即，
整理得，得．
設正三棱柱的底面邊長為，正三棱柱的高為，則，即，
正三棱柱的側面積，當且僅當，且，即時取等號，
此時該正三棱柱的側面積最大，故此時正三棱柱的體積．
故答案為：
【變式2】（2023上·四川·高二校聯考階段練習）已知在直三棱柱中存在內切球，若，則該三棱柱外接球的表面積為 .
【答案】
【詳解】由已知是直角三角形，，的內切圓半徑為，
直三棱柱中存在內切球，則其高為，
分別取的中點，連接，則也是該直三棱柱的高，的中點是其外接球球心，
，
所以外接球的表面積為．
故答案為：．
【變式3】（2023上·江蘇·高三期末）與圓臺的上、下底面及側面都相切的球，稱為圓臺的內切球.若圓臺的上、下底面半徑分別為，且，則它的內切球的體積的最大值為 .
【答案】
【詳解】如圖，畫出截面圖，

可得，則，
記內切球的半徑為R，可知，
過B作，垂足為G，
則，，
所以，解得，即，
當且僅當時，等號成立，
所以它的內切球的體積的最大值為.
故答案為：.
題型03空間幾何體與外接球問題
【典例1】（2024上·重慶·高二重慶巴蜀中學校考期末）正四面體的外接球與內切球的半徑比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】如圖，設正四面體的外接球球心為，為的中心，則平面，
外接球半徑為，內切球半徑為，設棱長為，
在中，由正弦定理得，所以，
所以，由，
即解得（負值舍去）；
由等體積法得到，所以，
所以.
故選：C.
【典例2】（2024上·廣東深圳·高三統考期末）已知菱形的邊長為2，且，將沿直線翻折為，記的中點為，當的面積最大時，三棱錐的外接球表面積為 .
【答案】
【詳解】根據題意可知，如下圖所示：
當的面積最大時，即取得最大值，
可得，
由對稱性可知，可得；
又因為為的中點，所以，
又，由勾股定理可知棱兩兩垂直，
所以三棱錐的外接球半徑為，
可得該外接球的表面積，
故答案為：.
【典例3】（2024·陜西渭南·統考一模）在三棱錐中，底面為等腰三角形，，且，平面平面，點為三棱錐外接球上一動點，且點到平面的距離的最大值為，則球的表面積為 ．
【答案】
【詳解】取的中點，連接，因為底面為等腰三角形，，所以，所以，
又因為平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，
又因為，平面，所以平面，
因為三角形為等腰三角形，，則，設，則，
設等腰三角形外接圓的圓心為，半徑為，球的半徑為，
連接，則三點共線，由平面得平面，
由正弦定理得，故，則，
連接，則，由平面，且三角形外接圓的圓心為，可得，
因為平面，所以，又平面，平面，故平面，
所以點到平面的距離等于點到平面的距離，
又因為點到平面的距離的最大值為，所以，解得，所以，球的表面積為.
故答案為：.
【變式1】（多選）（2024上·江蘇·高三統考期末）在四棱錐中，平面，，，四棱錐的外接球為球O，則（ ）
A．⊥ B．
C． D．點O不可能在平面內
【答案】AC
【詳解】A選項，四棱錐的外接球為為頂點的球，
而四點共面，故這四點必共圓，
又，故為直徑，⊥，A正確：
B選項，由A可知，四點共圓，
又，為直徑，
若四邊形為正方形，此時，，B錯誤；
C選項，因為平面，所以球心到兩點的距離相等，
即球心在的垂直平分線上，
故到平面距離為到平面距離的一半，
故，C正確；
D選項，當四邊形為正方形時，連接，相交于點，
則⊥平面，
結合球心在的垂直平分線上，此時為中點，
點O在平面上，D錯誤.
故選：AC.
【變式2】（2024·全國·模擬預測）正多面體被古希臘哲學家柏拉圖認為是構成宇宙的基本元素，也是科學、藝術、哲學靈感的源泉之一．如圖，該幾何體是一個棱長為2的正八面體，則此正八面體的體積為 ，平面截此正八面體的外接球所得截面的面積為 ．

【答案】
【詳解】如圖，取的中點，連接，取的中點，連接．

由棱長為2，可得正八面體上半部分的斜高為，高為，
則正八面體的體積為．
此正八面體的外接球的球心為，半徑為，到平面的距離等于到平面的距離，
在中，過作的垂線，垂足為，則平面．
由，得，平面截正八面體的外接球所得截面是圓，
其半徑，所以所得截面的面積為．
故答案為：；.
【變式3】（2024·廣東肇慶·統考模擬預測）在四面體中，，若，則四面體體積的最大值是 ，它的外接球表面積的最小值為 .
【答案】
【詳解】由余弦定理可得,
故，所以，
當且僅當時取等號，故，
故面積的最大值為，
，
由于，所以點在以為直徑的球上（不包括平面），故當平面平面時，此時最大為半徑，
故，
由正弦定理可得：，為外接圓的半徑，
設四面體外接球半徑為,則,其中分別為球心和外接圓的圓心，故當時，此時最小，
故外接球的表面積為,
故答案為：,
題型04平行、垂直的證明
【典例1】（2024·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，，，四邊形是菱形，，是棱上的動點.證明：平面.
【答案】證明見解析
【詳解】
因為四邊形是菱形，所以.
因為，，平面，且，所以平面.
因為平面，所以.
因為，所以，即.
因為，平面，且，所以平面.
【典例2】（2024上·山東菏澤·高三山東省鄄城縣第一中學校考階段練習）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，分別為棱，的中點．

(1)證明：平面平面；
(2)利用題中條件能否得出平面？若不能，試添加一個適當的條件后證明平面．
【答案】(1)證明見解析
(2)不能得出平面，添加條件，證明見解析
【詳解】（1）因為，，為棱的中點
所以，，
所以四邊形是平行四邊形，所以．
因為平面，平面，且，所以平面，
因為分別是，的中點，所以，
又平面，平面，且，所以平面，
因為平面，平面，，平面，
所以平面平面．
（2）利用題中條件不能得出平面，
添加條件，
證明如下：
因為，，，平面，
所以平面．
【典例3】（2024上·上海長寧·高二上海市民辦新虹橋中學校考期末）如圖，已知正四棱柱，
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【詳解】（1）因為正四棱柱，所以平面，
且四邊形為正方形，所以，
又因為平面，所以，
因為，且平面，所以平面.
（2）因為，，所以四邊形為平行四邊形，
所以，又因為平面，平面，
所以平面，
因為，，所以四邊形為平行四邊形，
所以，又因為平面，平面，
所以平面，
又因為，且平面，所以平面平面.
【變式1】（2024·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點為的中點.證明：平面平面.

【答案】證明見解析
【詳解】因為平面，平面，則，
取中點，連接，

因為，，，
則，且，可知四邊形為平行四邊形，
又因為，，可知四邊形為正方形，
則，⊥，
所以為等腰直角三角形，
故，，即，
又，平面，可得平面，
因為平面，所以平面⊥平面.
【變式2】（2024上·北京·高二統考學業考試）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，E為的中點.
(1)求證：平面；
(2)求證：平面.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【詳解】（1）因為平面，平面，所以，
又平面為菱形，所以，
又平面，
所以平面；
（2）E為PD的中點，設AC與BD交于點O，連接OE，
則，又平面，平面，
所以平面.
【變式3】（2024·全國·高二專題練習）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，分別是，的中點．求證：

(1)平面；
(2)．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【詳解】（1）四棱錐的底面是矩形，
，平面，平面，
，又，、平面，
平面；
（2）由（1）知平面，
同理可得，平面，
，分別是，的中點，
，平面，
又平面，.
題型05定義法求線面角
【典例1】（2024上·上海·高二上海交大附中校考期末）在如圖所示的圓錐中，是頂點，是底面的圓心，、是圓周上兩點，且，．
(1)若圓錐側面積為，求圓錐的體積；
(2)設圓錐的高為2，是線段上一點，且滿足，求直線與平面所成角的正切值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設圓錐底面半徑為，母線長為，，
則側面積，解得，
于是圓錐的高，
圓錐的體積．
（2）中，，，則點是線段中點，
取中點，連接，，
則，又，則，
由直線平面，平面，得，
結合，且，平面，
所以平面，
因此直線是在平面內的射影，
從而是直線與平面所成的角，
∵，∴，
又，得，
即直線與平面所成的角的正切值為
【典例2】（2024上·廣東深圳·高三統考期末）如圖，在三棱臺中，平面平面，且，.
(1)證明：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）過點作的垂線，垂足為，連接，
平面平面，平面平面，
平面，平面，
平面，，
不妨設，，
在直角三角形中，，
，
，平面，
平面，，
在三棱臺中，，
；

（2），

直線與平面所成角等于直線與平面所成角，設為，
由（1）得平面，
平面，
平面平面，
過點作的垂線，垂足為，連接，
則平面，
，
在中，，
由（1）得平面，
平面，
，
在中，，
由，得，
，
直線與平面所成角的正弦值為.
【變式1】（2024·全國·高三專題練習）如圖，在三棱柱中，所有的棱長都相等，側棱底面，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】
【詳解】取的中點O，連接，，易得.

因為側棱底面，側棱側棱，
所以側棱底面，底面，所以.
因為，，平面，故平面，
所以所求直線與平面所成的角為.
由平面，平面可得.
因為所有的棱長都相等，不妨假設棱長為2，則，，，
則.
所以直線與平面所成的角的正弦值為.
【變式2】（2024上·重慶·高二統考期末）在如圖所示的四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，點E，F分別在棱AB，PC上，且滿足，．
(1)證明：平面PAD；
(2)若平面底面ABCD，和為正三角形，求直線EF與底面ABCD所成角的正切值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）在中過點F作并交PD于點G，

則，由得，
由得，
是平行四邊形，，
是平行四邊形，，而平面PAD，平面PAD，
平面PAD；
（2）在平面PCD中過點F作于點O，連接OE，
若平面底面ABCD，由平面底面ABCD，平面，
底面ABCD，
即為直線EF與底面ABCD所成角，設，
則，在，
由題意知底面ABCD是菱形，，
取EB的中點M，連接CM，則四邊形為平行四邊形，有，
在中，，由余弦定理，
得，故，
在，，
∴直線EF與底面ABCD所成角的正切值．

題型06等體積法求線面角
【典例1】（2024·全國·模擬預測）如圖，在多面體中，四邊形為矩形，，，，，，，，是的中點，為上一點（不是的中點）．
(1)求證：；
(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)．
【詳解】（1）取的中點，連接．
因為是的中點，所以．
又因為矩形中，，所以．
所以四點共面．
又因為，
所以．又為的中點，所以，
為上一點（不是的中點），則與相交，
又，平面，
所以平面．
因為平面，所以．
（2）由，求得點到平面的距離為
．
設直線與平面所成角為，
則．
【典例2】（2023上·重慶·高二重慶八中校考階段練習）如圖，直三棱柱體積為，為的中點，的面積為.
(1)求到平面的距離；
(2)若，平面平面，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設點到平面的距離為，
又為的中點，則，
則，解得.
（2）過在平面內作交于，如圖，
因為平面平面，為交線，
所以平面，
過在平面內作交于，
在直三棱柱中平面平面，為交線，
所以平面，
因為過平面外一點有且只有一條直線與平面垂直，
所以重合，又分別在上，
所以與重合，即平面，
又平面，所以，
設，則，
所以，
所以，
解得，
所以，解得，
在中，，
因為互相平分，所以，到平面的距離相等，
即，
設直線與平面所成角為，
則.
【變式1】（2023上·江蘇·高三校聯考階段練習）如圖，在正六邊形中，將沿直線翻折至，使得二面角的大小為，為的中點，在線段上，平面．
(1)記五棱錐的體積為，四面體的體積為，求；
(2)求與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)10
(2)．
【詳解】（1）設正六邊形棱長為，延長交延長線于，連接．
設點到平面的距離為，
．
因為面，面，面面，
所以，
所以，所以為中點
所以，
所以．
（2）不妨設，設到平面的距離為，
因為，
所以，
由于二面角的大小為，且，
過作平面，則點到平面的距離，，
又，
故，
因為，，
由于，
故
所以，，
所以，
，
即與平面所成角的正弦值為．
【變式2】（2023·陜西·校聯考模擬預測）三棱柱中，為中點，．

(1)證明：平面；
(2)求與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）由題意可知：，且為矩形，
則，
可得，且均為銳角，
則，即，
又因為，，平面，
所以平面，
由平面，則，
由題意可得，，平面，
所以平面，
由平面，可得，
且∥，則，
又因為，，平面，
所以平面.
（2）連接，由題意可得：，

因為平面，平面，可得，
又因為，，，平面，
則平面，可知點到平面的距離為，
設點到平面的距離為，
由可得：，解得，
所以與平面所成角的正弦值為.
題型07定義法，三垂線法求二面角
【典例1】（2022上·河南·高二寶豐縣第一高級中學校聯考開學考試）如圖，在長方體中，為的中點，則二面角的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】如圖，在長方體中，平面，平面，平面，所以，且，所以即為二面角的平面角，又，易得.
故選：B.
【典例2】（2022上·湖南懷化·高二校考階段練習）如圖，在正方體中，
(1)求異面直線與所成的角的大小；
(2)求二面角的大小.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）在正方體中，連接，
由于，所以是異面直線與所成的角，
由于三角形是等邊三角形，所以，
所以異面直線與所成的角的大小為.
（2）在正方體中，，
所以是二面角的平面角，
根據正方體的性質可知，
所以二面角的大小為.
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）如圖，三棱錐 中，已知 平面 .則二面角的正弦值為_____.
【答案】
【詳解】
取BC的中點D，連結PD，AD，因為，所以，
因為平面ABC，平面ABC，所以，
因為平面PAD，平面PAD，，所以平面PAD，
因為平面PAD，所以，
所以即為二面角的平面角，
因為，所以，，
即二面角的正弦值是.
故答案為：.
【典例4】（2023·高一課時練習）已知正方體的棱長為1．
(1)求異面直線與AC所成角的大小；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）連，
因為，，所以四邊形是平行四邊形，所以，
因為四邊形是正方形，所以，
所以，即異面直線與AC所成角的大小為.
（2）
設與交于，連，
因為四邊形是正方形，所以，
因為平面，平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，因為平面，所以，
所以就是二面角的平面角.
因為正方體的棱長為1，所以，，
，
所以，
所以二面角的余弦值為.
【變式1】（2022·高二課時練習）將邊長為a的正三角形ABC，沿BC邊上的高線AD將△ABC折起．C點變為點，若折起后B與兩點間的距離為，則二面角的大小為 ．
【答案】/
【詳解】折疊過程中．，，所以是二面角的平面角，
又，是等邊三角形，，
故答案為：．
【變式2】（2019·云南·高三云南師大附中校考階段練習）如圖,楔形幾何體由一個三棱柱截去部分后所得,底面側面,,楔面是邊長為2的正三角形,點在側面的射影是矩形的中心,點在上,且
（1）證明：平面；
（2）求楔面與側面所成二面角的余弦值.
【答案】（1）見解析；（2）.
【詳解】解：（1）證明：如圖,連接交于,連接,.
則是的中點,.
因為平面,所以平面平面,
又平面平面,
所以平面平面,
根據題意,四邊形和是全等的直角梯形,
三角形和是全等的等腰直角三角形,
所以,.
在直角三角形中,,
所以,,,
于是,,
所以,.
因為平面,,
所以平面.
（2如圖,取的中點,連接,.
即為楔面與側面所成二面角的平面角.
在直角三角形中,,,
所以,
所以楔面與側面所成二面角的余弦值為.
【變式3】（2023·全國·高一專題練習）已知如圖邊長為的正方形外有一點且平面，，二面角的大小的正切值______．
【答案】
【詳解】設，連接，
平面，平面，，，
四邊形為正方形，，
，平面，平面，
又平面，，是二面角的平面角，
由，得：.
故答案為：.
【變式4】（2023·上海·模擬預測）直四棱柱，，，，，

(1)求證：；
(2)若四棱柱體積為36，求二面角大小的正切值
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）由題意得，，
平面，平面，
平面，平面
而，平面平面，
又平面平面
（2）四棱柱體積，
得，得，
過點作，垂足為，連接，
由平面，得（三垂線定理），
故即為二面角的平面角，
，得，
故

題型08面積投影法求二面角
【典例1】（2023·全國·高二假期作業）如圖與所在平面垂直，且，，則二面角的余弦值為_______.
【答案】
【詳解】過 A作的延長線于E， 連結 DE，
∵平面平面，平面平面，
∴ 平面
∴ E點即為點A在平面內的射影，
∴ 為在平面內的射影，
設，則，
∴由余弦定理可得，∴，
∴ ，
又，∴ ，
設二面角為，∴ .
而二面角與互補，
∴二面角 的余弦值為.
故答案為：
【典例2】（2023秋·高二課時練習）的邊在平面內，在內的射影是，設的面積為S，它和平面所成的一個二面角的大小為（為銳角），則的面積是__________．
【答案】
【詳解】如圖所示，作交于點，連接，
因為A在內的射影是，所以平面，
又，所以，
又，平面，
所以平面，
因為平面，所以，
所以即為平面ABC和平面所成的二面角的平面角，即，
則，
則.
故答案為：.

【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知長方體的底面是邊長為1的正方形，側棱，過作平面分別交棱，于，，則四邊形面積的最小值為________.
【答案】
【詳解】法一：根據題意作圖，如圖①所示，
過點F作FH⊥BD1交BD1于H，設FH＝h.由題意得BD1＝2.
因為長方體對面平行，
所以截面BFD1E為平行四邊形，則，
當h取最小值時四邊形BFD1E的面積最小.
易知h的最小值為直線CC1與直線BD1間的距離.
易知當F為CC1的中點時，h取得最小值，hmin＝，.
故四邊形BFD1E面積的最小值為.
法二(射影面積法)：設平面BFD1E與底面ABCD的交線為l. 如圖②，
過D1作D1H⊥l交l于H.連接DH，則∠D1HD為二面角D1 l D的平面角，設為θ.
根據射影面積公式,得,
則當cos θ最大時，最小.當cos θ最大時，分析易知DH最長.又DH最長為DB＝，所以cos θ最大值為，因為，所以四邊形BFD1E面積的最小值為.
故答案為：
題型09等體積法求點面距離
【典例1】（2024上·河北·高三雄縣第一高級中學校聯考期末）已知正方體的棱長為為線段上的動點，則點到平面距離的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【詳解】由題意得，
設點到平面的距離為，則由等體積轉化法為，
當與重合時，最大，最大為，
此時最小，為.
故選：B.
【典例2】（2024上·上海·高二上海師大附中校考期末）在直三棱柱中，，則點到平面的距離為 .
【答案】
【詳解】因為，所以，又三棱柱為直棱柱，所以平面，又平面，
所以平面平面，又平面平面 平面，所以平面，
易得,
在△中由余弦定理：得，故，
于是，
由棱柱性質得，平面，平面，所以平面，點到平面的距離即點到平面的距離，設為d
因為，所以,解得
故答案為：
【典例3】（2023·陜西商洛·統考一模）如圖，在三棱柱中，平面，是等邊三角形，且為棱的中點.
(1)證明：平面；
(2)若，求點到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）由三棱柱的性質可知，
因為平面，所以平面，
因為平面，所以，
因為為的中點，且是等邊三角形，所以，
因為、平面，且，所以平面；
（2）因為，所以，
則的面積，
作，垂足為，有平面，
所以，又因為、平面，，
所以平面，
因為是等邊三角形，所以，
則，
因為平面，、平面，
所以，，則，
故的面積，
設點到平面的距離為，
則三棱錐的體積，
因為，所以，所以.
【變式1】（2024上·全國·高三階段練習）在直三棱柱中，所有棱長均為1，則點到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】取的中點，連接，
因為為等邊三角形，則，
又因為平面，且平面，則，
且，平面，可得平面，
由題意可知：，
設點到平面的距離為，
因為，即，
解得，
所以點到平面的距離為.
故選：A.
【變式2】（2021下·內蒙古赤峰·高一統考期末）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，底面，，，，分別是，，的中點．
(1)求證：平面；
(2)求點到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：如圖取中點，連接，，
因為為中點，所以，且，
又因為四邊形為菱形，且為中點，
所以，且，
所以，且，所以四邊形為平行四邊形，
所以，
因為平面，平面，
所以平面；
（2）設到平面的距離為，
因為，平面，平面，所以平面，
易得，，所以，
所以，
所以，所以，
所以到平面的距離為．
【變式3】（2023·四川甘孜·統考一模）如圖，平面，.
(1)求證：平面；
(2)求點到平面的距離；
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）由平面平面，則平面，
由平面平面，則平面，
而平面，故平面平面，
又平面，則平面；
（2）因為平面，所以面，
又面，，，
因為，所以，
又平面，平面，
又平面，，
在直角三角形中，，
所以，
，又，
設點到平面的距離為，
，，
所以點到平面的距離為.第17講 第八章 立體幾何初步 章末題型大總結
一、數學思想方法
1、函數與方程的思想
1．（2023上·全國·高三階段練習）在長方體中，，，若線段上存在一點，使得，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·模擬預測）已知正方體的外接球表面積為12，點E在線段上運動，若恒成立，則實數λ的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022下·山西運城·高三統考階段練習）如圖，在三棱錐中，平面平行于對棱，截面面積的最大值是 .
2、數形結合思想
1．（2023上·上海青浦·高二上海市青浦高級中學校考期末）在棱長為1的正方體中，P為底面ABCD內（包括邊界）的動點，滿足直線與直線所成角的大小為，則線段掃過的面積的大小為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·浙江溫州·高二校聯考期中）在正方體中，棱長為2，平面經過點，且滿足直線與平面所成角為，過點作平面的垂線，垂足為，則長度的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023上·上海浦東新·高二上海市進才中學校考期中）如圖是一座山的示意圖，山呈圓錐形，圓錐的底面半徑為10公里，母線長為40公里，母線一點，且公里，為了發展旅游業，要建設一條最短的從繞山一周到的觀光鐵路，則這段鐵路的長度為 公里.

3、轉化與化歸思想
1．（2023上·浙江·高二校聯考階段練習）正方體的棱長為1，M是面內一動點，且，N是棱上一動點，則周長的最小值為（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2023上·四川南充·高二儀隴中學校考階段練習）在直三棱柱中分別為的中點，沿棱柱的表面從到兩點的最短路徑的長度為（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，在正三棱錐中，底面邊長為a，側棱長為，點E，F分別為AC，AD上的動點，求截面周長的最小值和這時點E，F的位置．

4、分類與整合的思想
1．（多選）（2023上·湖南長沙·高二校考期中）如圖，兩條異面直線a，b所成的角為，在直線a，b上分別取點A，O和點C，B，使，.已知，，，則線段OC的長為（ ）

A．6 B．8 C． D．
2．（多選）（2023上·廣東湛江·高三統考階段練習）如圖，有一個正四面體形狀的木塊，其棱長為.現準備將該木塊鋸開，則下列關于截面的說法中正確的是（ ）

A．過棱的截面中，截面面積的最小值為
B．若過棱的截面與棱（不含端點）交于點，則
C．若該木塊的截面為平行四邊形，則該截面面積的最大值為
D．與該木塊各個頂點的距離都相等的截面有7個
3．（多選）（2023下·四川成都·高一成都七中校考期末）四棱錐的四個側面都是腰長為，底邊長為2的等腰三角形，則該四棱錐的高為（ ）
A． B． C． D．
二、重點題型精講
題型01空間幾何體的結構、表面積與體積
【典例1】（2024上·遼寧·高三校聯考期末）已知某圓錐的軸截面是等腰直角三角形，則該圓錐的側面積與表面積的比值是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·全國·模擬預測）在正三棱臺中，，，側棱與底面ABC所成角的正切值為．若該三棱臺存在內切球，則此正三棱臺的體積為 ．
【典例3】（2024·全國·模擬預測）如圖，該“四角反棱柱”是由兩個相互平行且全等的正方形經過旋轉、連接而成，其側面均為等邊三角形，則該“四角反棱柱”外接球的表面積與側面面積的比為 ．
【變式1】（多選）（2024上·甘肅武威·高三統考期末）如圖，在邊長為的正方形中剪掉四個陰影部分的等腰三角形，其中為正方形對角線的交點，，將其余部分折疊圍成一個封閉的正四棱錐，若該正四棱錐的內切球半徑為，則該正四棱錐的表面積可能為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2024上·山東濟南·高三統考期末）在正四棱錐中，，則該棱錐的體積為 ．
【變式3】（2024上·上海長寧·高二上海市民辦新虹橋中學校考期末）已知中，，將繞所在的直線旋轉一周，則所得旋轉體的表面積是 ．
題型02空間幾何體與內切球問題
【典例1】（2024上·遼寧·高三校聯考期末）以半徑為的球為內切球的圓錐中，體積最小值時，圓錐底面半徑滿足（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2024上·河南周口·高三項城市第一高級中學校聯考期末）正三棱錐的內切球的半徑為，外接球的半徑為. 若，則的最小值為 .
【典例3】（2023上·江蘇·高三江蘇省白蒲高級中學校聯考階段練習）如圖，若圓臺的上、下底面半徑分別為且，則此圓臺的內切球(與圓臺的上、下底面及側面都相切的球叫圓臺的內切球)的表面積為 .
【變式1】（2024·全國·模擬預測）已知球是底面半徑為4、高為的圓錐的內切球，若球內有一個內接正三棱柱，則當該正三棱柱的側面積最大時，正三棱柱的體積為 ．
【變式2】（2023上·四川·高二校聯考階段練習）已知在直三棱柱中存在內切球，若，則該三棱柱外接球的表面積為 .
【變式3】（2023上·江蘇·高三期末）與圓臺的上、下底面及側面都相切的球，稱為圓臺的內切球.若圓臺的上、下底面半徑分別為，且，則它的內切球的體積的最大值為 .
題型03空間幾何體與外接球問題
【典例1】（2024上·重慶·高二重慶巴蜀中學校考期末）正四面體的外接球與內切球的半徑比為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024上·廣東深圳·高三統考期末）已知菱形的邊長為2，且，將沿直線翻折為，記的中點為，當的面積最大時，三棱錐的外接球表面積為 .
【典例3】（2024·陜西渭南·統考一模）在三棱錐中，底面為等腰三角形，，且，平面平面，點為三棱錐外接球上一動點，且點到平面的距離的最大值為，則球的表面積為 ．
【變式1】（多選）（2024上·江蘇·高三統考期末）在四棱錐中，平面，，，四棱錐的外接球為球O，則（ ）
A．⊥ B．
C． D．點O不可能在平面內
【變式2】（2024·全國·模擬預測）正多面體被古希臘哲學家柏拉圖認為是構成宇宙的基本元素，也是科學、藝術、哲學靈感的源泉之一．如圖，該幾何體是一個棱長為2的正八面體，則此正八面體的體積為 ，平面截此正八面體的外接球所得截面的面積為 ．

【變式3】（2024·廣東肇慶·統考模擬預測）在四面體中，，若，則四面體體積的最大值是 ，它的外接球表面積的最小值為 .
題型04平行、垂直的證明
【典例1】（2024·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，，，四邊形是菱形，，是棱上的動點.證明：平面.
【典例2】（2024上·山東菏澤·高三山東省鄄城縣第一中學校考階段練習）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，分別為棱，的中點．

(1)證明：平面平面；
(2)利用題中條件能否得出平面？若不能，試添加一個適當的條件后證明平面．
【典例3】（2024上·上海長寧·高二上海市民辦新虹橋中學校考期末）如圖，已知正四棱柱，
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面
【變式1】（2024·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點為的中點.證明：平面平面.

【變式2】（2024上·北京·高二統考學業考試）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，E為的中點.
(1)求證：平面；
(2)求證：平面.
【變式3】（2024·全國·高二專題練習）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，分別是，的中點．求證：

(1)平面；
(2)．
題型05定義法求線面角
【典例1】（2024上·上海·高二上海交大附中校考期末）在如圖所示的圓錐中，是頂點，是底面的圓心，、是圓周上兩點，且，．
(1)若圓錐側面積為，求圓錐的體積；
(2)設圓錐的高為2，是線段上一點，且滿足，求直線與平面所成角的正切值．
【典例2】（2024上·廣東深圳·高三統考期末）如圖，在三棱臺中，平面平面，且，.
(1)證明：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【變式1】（2024·全國·高三專題練習）如圖，在三棱柱中，所有的棱長都相等，側棱底面，求直線與平面所成角的正弦值.

【變式2】（2024上·重慶·高二統考期末）在如圖所示的四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，點E，F分別在棱AB，PC上，且滿足，．
(1)證明：平面PAD；
(2)若平面底面ABCD，和為正三角形，求直線EF與底面ABCD所成角的正切值．
題型06等體積法求線面角
【典例1】（2024·全國·模擬預測）如圖，在多面體中，四邊形為矩形，，，，，，，，是的中點，為上一點（不是的中點）．
(1)求證：；
(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．
【典例2】（2023上·重慶·高二重慶八中校考階段練習）如圖，直三棱柱體積為，為的中點，的面積為.
(1)求到平面的距離；
(2)若，平面平面，求直線與平面所成角的正弦值.
【變式1】（2023上·江蘇·高三校聯考階段練習）如圖，在正六邊形中，將沿直線翻折至，使得二面角的大小為，為的中點，在線段上，平面．
(1)記五棱錐的體積為，四面體的體積為，求；
(2)求與平面所成角的正弦值．
【變式2】（2023·陜西·校聯考模擬預測）三棱柱中，為中點，．

(1)證明：平面；
(2)求與平面所成角的正弦值．
題型07定義法，三垂線法求二面角
【典例1】（2022上·河南·高二寶豐縣第一高級中學校聯考開學考試）如圖，在長方體中，為的中點，則二面角的大小為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2022上·湖南懷化·高二校考階段練習）如圖，在正方體中，
(1)求異面直線與所成的角的大小；
(2)求二面角的大小.
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）如圖，三棱錐 中，已知 平面 .則二面角的正弦值為_____.
【典例4】（2023·高一課時練習）已知正方體的棱長為1．
(1)求異面直線與AC所成角的大小；
(2)求二面角的余弦值．
【變式1】（2022·高二課時練習）將邊長為a的正三角形ABC，沿BC邊上的高線AD將△ABC折起．C點變為點，若折起后B與兩點間的距離為，則二面角的大小為 ．
【變式2】（2019·云南·高三云南師大附中校考階段練習）如圖,楔形幾何體由一個三棱柱截去部分后所得,底面側面,,楔面是邊長為2的正三角形,點在側面的射影是矩形的中心,點在上,且
（1）證明：平面；
（2）求楔面與側面所成二面角的余弦值.
【變式3】（2023·全國·高一專題練習）已知如圖邊長為的正方形外有一點且平面，，二面角的大小的正切值______．
【變式4】（2023·上海·模擬預測）直四棱柱，，，，，

(1)求證：；
(2)若四棱柱體積為36，求二面角大小的正切值

題型08面積投影法求二面角
【典例1】（2023·全國·高二假期作業）如圖與所在平面垂直，且，，則二面角的余弦值為_______.
【典例2】（2023秋·高二課時練習）的邊在平面內，在內的射影是，設的面積為S，它和平面所成的一個二面角的大小為（為銳角），則的面積是__________．
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知長方體的底面是邊長為1的正方形，側棱，過作平面分別交棱，于，，則四邊形面積的最小值為________.
題型09等體積法求點面距離
【典例1】（2024上·河北·高三雄縣第一高級中學校聯考期末）已知正方體的棱長為為線段上的動點，則點到平面距離的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【典例2】（2024上·上海·高二上海師大附中校考期末）在直三棱柱中，，則點到平面的距離為 .
【典例3】（2023·陜西商洛·統考一模）如圖，在三棱柱中，平面，是等邊三角形，且為棱的中點.
(1)證明：平面；
(2)若，求點到平面的距離.
【變式1】（2024上·全國·高三階段練習）在直三棱柱中，所有棱長均為1，則點到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2021下·內蒙古赤峰·高一統考期末）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，底面，，，，分別是，，的中點．
(1)求證：平面；
(2)求點到平面的距離．
【變式3】（2023·四川甘孜·統考一模）如圖，平面，.
(1)求證：平面；
(2)求點到平面的距離；

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