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22.2一元二次方程的解法
——九年級數學華東師大版（2012）上冊課前導學
一、知識詳解
直接開平方法和因式分解法
1.平方根的概念：若，則稱為的平方根，表示為__________.
一元二次方程的解是______________.（注：根據平方根的概念可知，是1的平方根），這種由平方根概念直接求出一元二次方程解的方法，叫做直接開平方法.
2.當一元二次方程的一邊為 ，而另一邊易于分解為兩個 的乘積時，我們就可以采用分解因式法解一元二次方程．
3.分解因式法解一元二次方程的根據是：若，則或 ．如：若，那么或者 ．這就是說，求一元二次方程的解，就相當于求一次方程或的解．
說明：如果，那么或，“或”是“二者中至少有一個成立”的意思，包括兩種情況，二者同時成立；二者有一個成立．“且”是“二者同時成立”的意思．
4.用因式分解法解一元二次方程的關鍵是：
（1）通過移項，將方程右邊化為零；
（2）將方程左邊分解成兩個 次因式之積；
（3）分別令每個因式等于零，得到兩個一元一次方程；
（4）分別解這兩個 ，求得方程的解．
配方法
1.配方法解一元二次方程的思路是：將方程轉化為 的形式，它的一邊是一個 ，另一邊是一個 ，當n 時，兩邊同時 轉化為 方程，便可求出它的根．
2.用配方法解方程：
解：可以把常數項移到方程的右邊，得
① ，
兩邊同時加上62（一次項系數12一半的平方），得
② ，
即
③ ．
兩邊開平方，得
④ ，
即
⑤ ．
所以
⑥ ．
3.我們通過配成 的方法，得到了一元二次方程的根，這種解一元二次方程的方法稱為配方法．
4.配方法的關鍵是正確配方，要正確配方就必須熟悉完全平方式的特征．配方法的步驟如下：
（1）化 —— 化二次項系數為 ；
（2）移 —— 移項，方程左邊為二次項和 ，右邊為常數項
（3）配 —— 配方，方程兩邊都加上 一半的平方，使方程變形為．
（4）開 —— 用 解方程．
公式法、一元二次方程根的判別式
1.用配方法解方程
解：移項，得 ，
二次項系數化為1，得 ，
配方 ，
方程左邊寫成平方式 ，
， 0，有以下三種情況：
（1）當時， ； ．
（2）當時， ．
（3）當時，方程根的情況為 ．
2.由上可知，一元二次方程的根由方程的系數a、b、c而定，因此：
（1）式子叫做方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）根的 ，通常用字母 “” 表示．
當 0時，方程 實數根；
當 0時，方程 實數根；
當 0時，方程 實數根．
（2）解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式，時，將a、b、c代入式子 就得到方程的根．這個式子叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
3.用公式法求解一元二次方程，它的一般步驟是：
（1）把方程化為 ，進而確定a，b，c的值．(注意符號)
（2）求出 的值．(先判別方程是否有根)
（3）在的前提下，把a，b，c的值代入求根公式，求出 的值，最后寫出方程的根．
一元二次方程的根與系數的關系
1.如果方程有兩個實數根，那么 ， ．
2.重要結論
(1)若一元一次方程的兩根為,則_____,______.
(2)以實數為兩根的二次項系數為1的一元二次方程是_______________________
二、題目速練
1.用配方法解一元二次方程時,此方程可變形為( )
A. B. C. D.
2.在下列方程中,有兩個互為相反數的根的方程是( )
A. B. C. D.
3.若是關于x的一元二次方程，則m的值是( )
A.2 B. C.0 D.2或
4.用因式分解法解方程，下列方法中正確的是( )
A.，或
B.，或
C.，或
D.，
5.關于x的一元二次方程的根的情況是( )
A.有兩個不相等的實數根 B.有兩個相等的實數根
C.只有一個實數根 D.沒有實數根
6.已知關于x的一元二次方程的一個根是-1,則另一個根是( )
A.1 B.-1 C. D.
7.一元二次方程的解是______.
8.一元二次方程的根的判別式的值是______.
9.解下列方程：
(1)；
(2)；
(3).
10.解方程：
(1)(配方法)；
(2)(公式法).
11.已知關于x的一元二次方程.
(1)求證：方程總有兩個不相等的實數根；
(2)若方程的兩個實數根分別為,,且,求m的值.
答案及解析
一、知識詳解
直接開平方法和因式分解法
1.；
2.0；一次因式
3.；
4.（2）一；（4）一元一次方程
配方法
1.；完全平方式；常數；；開平方；一元一次
2.①；② ；③ ；④ ；
⑤或；⑥ 、
3.完全平方式
4.（1）1；（2）一次項；（3）一次項系數；（4）直接開平方法
公式法、一元二次方程根的判別式
1.；；；；>；
（1），；（2）；（3）方程沒有實數根.
2.（1）判別式，>，有兩個不相等的，＝，有兩個相等的，＜，沒有；
（2）
3.（1）一般形式；（2）；（3）
一元二次方程的根與系數的關系
1.；
2.；；
二、題目速練
1.答案：A
解析：,
∴,
∴,
∴.
故選：A.
2.答案：B
解析：A.,解得：,只有一個根,故該選項不正確,不符合題意；
B.,解得：,,故該選項正確,符合題意；
C.,沒有實數根,故該選項不正確,不符合題意；
D.,解得：,,故該選項不正確,不符合題意；
故選：B.
3.答案：D
解析：是關于x的一元二次方程，
，即，
或，
故選：D.
4.答案：A
解析：用因式分解法時，方程的右邊為0，才可以達到化為兩個一次方程的目的.
因此第二、第三個不對，
第四個漏了一個一次方程，應該是，.
所以第一個正確.
故選：A.
5.答案：A
解析：∵,
∴,
所以原方程有兩個不相等的實數根,
故選：A.
6.答案：C
解析：設方程的另一根為,
根據根與系數的關系可得：,
解得.
故選C.
7.答案：,/,
解析：
∴或,
解得：,,
故答案為：,.
8.答案：5
解析：
.
故答案為5.
9.答案：(1),
(2)
(3),
解析：(1)
,
解得：,.
(2)
,
,
解得：.
(3)
,
,
或,
解得：,.
10.答案：(1),
(2),
解析：(1),
,
,
,
,
,；
(2),
,,,
,
,
,.
11.答案：(1)證明見解析
(2)
解析：(1),
∵,
∴,
該方程總有兩個不相等的實數根；
(2)方程的兩個實數根,,
由根與系數關系可知,,,
∵,
∴,
∴,
解得：,,
∴,即.

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