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23.3相似三角形
——九年級數學華東師大版（2012）上冊課前導學
一、知識詳解
相似三角形的判定
1.在相似多邊形中，最簡單的就是相似 形．
在與中，如果，，，
且．即三個角分別相等，三條邊成比例．我們就說與相似，記作 ，相似比為 ．相似用符號“ ”表示，讀作“相似于”．
2.平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形 .
3.三邊 的兩個三角形相似．
符號語言表示：
如圖，在和中，
∵ ，
∴．
4.兩邊 且夾角 的兩個三角形相似；
符號語言表示：
如圖，在和中，
∵ ，，
∴ ．
相似三角形的性質
5.如圖， ，相似比為k，和分別是和的高，求證．
證明：∵ ，
∴ ．
又和都是直角三角形，
∴ ．
∴
由此可得：相似三角形對應高的比等于 ．
6.證明相似三角形對應中線的比、對應角平分線的比也等于相似比k．于是得：角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于 ．
7.相似三角形的面積之比與相似比有什么關系？
證明：若，相似比為k，和分別是和的對應高．
．
二、題目速練
1.如圖,,若,,則GF的長為( )
A.2 B.3 C.4 D.1.5
2.如圖,在矩形ABCD中,E、F分別是DC、BC邊上的點,且,則下列結論正確的是( )
A. B.
C. D.
3.如圖所示,給出下列條件:①;②;③；④.其中能夠判定的個數為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.如圖，，，BD相交于點E，，，，則BD的長為( )
A. B.4 C. D.6
5.已知，且相似比為，若中BC邊上的中線，則中EF邊上的中線________.
6.如圖，已知，且，是的平分線，交DE于點G，交BC于點F，則___________.
7.如圖,AE平分,D為AE上一點,.
(1)求證：；
(2)若D為AE中點,,求CD的長.
8.某校社會實踐小組為了測量古塔的高度，在地面上C處垂直于地面豎立了高度為2米的標桿CD，這時地面上的點E、標桿的頂端點D、古塔的塔尖點B正好在同一直線上，測得米.將標桿向后平移到點G處，這時地面上的點F、標桿的頂端點H、古塔的塔尖點B正好在同一直線上（點F，點G，點E，點C與古塔底處的點A在同一直線上），這時測得米，米，請你根據以上數據，計算古塔的高度AB（結果精確到0.1米）.
9.下表是小明進行數學學科項目化學習時候的記錄表，填寫活動報告的部分內容.
項目主題：測量河流的寬度.
項目探究：河流寬度不能直接測量，需要借助一些工具，比如：小鏡子，標桿，皮尺，自制的直角三角形模板…，各組確定方案后，選擇測量工具，畫出測量示意圖，并進行實地測量，得到具體數據，從而計算出河流的寬度.
項目成果：下面是小明進行交流展示的部分測量方案及測量數據：
題目 測量河流寬度
目標示意圖
測量數據 ，，
請你參與這個項目學習，并完成下列任務
（1）任務一：請你借助小明的測量數據，計算河流的寬度；
（2）任務二：請你寫出這個方案中求河流的寬度時用的數學知識______（定出一條即可）；
（3）任務三：請你再設計一個與小明不同的測量方案，并畫圖簡要說明一下。
答案及解析
一、知識詳解
1.三角；；；
2.相似
3.成比例
4.成比例；相等
5.；；相似比
6.相似比
7.
二、題目速練
1.答案：B
解析：∵,
∴,
∴,即點G為DB的中點,
∵,點G為DB的中點,
∴,
故選：B.
2.答案：C
解析：四邊形ABCD是矩形,,又,
即;
,
.
故選:C.
3.答案：C
解析：有三個.
①,再加上為公共角,可以根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似來判定;
②,再加上為公共角,可以根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似來判定;
③中不是已知的比例線段的夾角,不正確
④可以根據兩組對應邊的比相等且相應的夾角相等的兩個三角形相似來判定;
故選:C.
4.答案：C
解析：，，，即，，.故選C.
5.答案：6
解析：由相似三角形對應中線的比等于相似比可得，即，.
6.答案：1
解析：，
，
，，
是的平分線，
，.
7.答案：(1)證明見解析
(2)CD的長為2
解析：(1)證明∵AE平分,
∴,
在與中,
∵,
,
∴；
(2)∵D為AE中點,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴CD的長為2.
8.答案：68.7米
解析：根據題意得，，，，.，，，解得米，，米.答：古塔的高度AB約為68.7米.
9.答案：（1）
（2）相似三角形對應邊成比例
（3）見解析
解析：（1）由題知，
.
，
又，，，
解得：.
答：河流的寬度為.
（2）由題意得：相似三角形的對應邊成比例（答案不唯一，合理即可）；
（3）（答案不唯一，合理即可）.在河對岸找一個參照物A，站在A的正對面B的位置，沿著河岸向東走一段距離，到達C處，在C處堅立一竹竿，然后繼續向東行走到D處，使得，再沿著與河岸垂直的位置行走，當走到與AC共線時停下，位置記為E，這時的長度即表示河流的寬度.

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