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/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數(shù)學
專題2.5.有理數(shù)的乘方
1. 理解并掌握有理數(shù)的乘方，冪，底數(shù)，指數(shù)的概念及意義；
2. 會求有理數(shù)的正整數(shù)指數(shù)冪；
3. 熟練掌握有理數(shù)混合運算（含乘方）順序和法則；
4. 理解科學記數(shù)法的的概念；會用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)；能將用科學記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù)；
5. 感受發(fā)現(xiàn)問題的過程中體會到從特殊到一般的思考方法，從而增進學好數(shù)學的自信心；體會科學記數(shù)法帶來的優(yōu)越性，感受數(shù)學中化繁為簡的思想方法。
模塊1：知識梳理 2
模塊2：核心考點 2
考點1、有理數(shù)乘方的概念 2
考點2、有理數(shù)乘方的運算 3
考點3、乘方運算的符號規(guī)律 4
考點4、有理數(shù)乘方的逆運算（簡算） 5
考點5、偶次方的非負性的運用 7
考點6、有理數(shù)乘方的實際應用 9
考點7、有理數(shù)乘方的新定義問題 11
考點8、用科學記數(shù)法表示大于1的數(shù) 14
考點9、用科學記數(shù)法表示大于1的數(shù)（含計算） 16
考點10、將用科學記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù) 18
模塊3：能力培優(yōu) 20
1. 有理數(shù)的乘方
乘方的概念：一般地，個相同的乘數(shù)相乘，即，記作，讀作“的次方”；
在中，叫做底數(shù)，叫做指數(shù)；當看作的次方的結果時，讀作的次冪。
求個相同因數(shù)的積的運算叫做乘方，乘方的結果叫做冪。
注意：①乘方運算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表沒有；
②乘方運算，代表的是多個相同乘數(shù)相乘，要與乘法運算區(qū)分開來；
③在運算時要注意看清楚底數(shù)和指數(shù)到底是誰；
④帶分數(shù)的乘方運算，一定要先化成假分數(shù)后再運算。
2．整數(shù)指數(shù)冪的符號規(guī)律：
1）負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)，即“奇負偶正”；
2）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；3）0的任何正整數(shù)次冪都是0。
注意：除0以外的任何數(shù)的“0次冪”結果為1。
3.科學記數(shù)法：把一個大于的數(shù)表示成的形式（其中，是正整數(shù)）．
注意：用科學記數(shù)法表示一個位整數(shù)，其中的指數(shù)是，的指數(shù)比整數(shù)的位數(shù)少．
考點1、有理數(shù)乘方的概念
【解題方法】求n個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪，即：。
在中，叫做底數(shù)， n叫做指數(shù)。
例1．（23-24七年級上·安徽安慶·期末）下列說法正確的是（　　）
A．的底數(shù)是 B．表示5個2相加 C．與意義相同 D．的底數(shù)是2
【答案】D
【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘方．根據(jù)乘方的意義，進行判斷即可．
【詳解】解：A、的底數(shù)是2，∴此選項的說法錯誤，故不符合題意；
B、表示5個2相乘，∴此選項的說法錯誤，故不符合題意；
C、表示3個相乘，表示3個3相乘的相反數(shù)，∴它們表示的意義不同，故不符合題意；
D、的底數(shù)是2，∴此選項的說法正確，故此選項符合題意，故選：D．
變式1．（23-24七年級上·陜西西安·階段練習）在中，底數(shù)是 ，指數(shù)是 ，冪是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查有理數(shù)的乘方，中，叫做底數(shù)，叫做指數(shù)，乘方的結果叫做冪．
【詳解】在中，底數(shù)是，指數(shù)是，冪是．故答案為：；；
變式2．（23-24七年級上·山西臨汾·期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查有理數(shù)的運算，分別根據(jù)乘方和乘法的意義求解．找到變化規(guī)律是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，，∴．故選：B．
考點2、有理數(shù)乘方的運算
【解題方法】有理數(shù)乘方的運算：（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；（2）負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0；（4）有理數(shù)的乘方運算與有理數(shù)的加減乘除運算一樣，首先應確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值。
例1．（2023春·上海靜安·七年級校考期中）下列各式中，正確的是 ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方法則逐項判斷即可得．
【詳解】解：A、，則此項錯誤，不符合題意；
B、，則此項錯誤，不符合題意；C、，則此項錯誤，不符合題意；
D、，則此項正確，符合題意；故選：D．
【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握運算法則是解題關鍵．
變式1．（23-24七年級·黑龍江哈爾濱·階段練習）下列計算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘方計算，熟知有理數(shù)的乘方計算法則是解題的關鍵．
【詳解】解：A、，原式計算錯誤，不符合題意；
B、，原式計算錯誤，不符合題意；
C、，原式計算錯誤，不符合題意；
D、，原式計算正確，符合題意；故選：D．
變式2．（2023春·浙江衢州·七年級校考階段練習）已知在，，，這4個數(shù)中，最大的數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先把各數(shù)進行計算，再根據(jù)有理數(shù)大小比較的法則進行比較即可．
【詳解】解：，，，，
∵，∴這四個數(shù)中，最大的數(shù)是．故選：B．
【點睛】本題考查了有理數(shù)乘方，熟練掌握有理數(shù)乘方運算及比較大小法則是解題關鍵．
考點3、乘方運算的符號規(guī)律
【解題方法】乘方的符號規(guī)律：
1）負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)，即“奇負偶正”；
2）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；3）0的任何正整數(shù)次冪都是0。
例1．（23-24七年級上·河南信陽·期中）在，，，0中，非負數(shù)有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】A
【分析】本題考查有理數(shù)乘方中的符號問題，判斷每個數(shù)的正負號即可求解．
【詳解】解：∵，，，
∴，，，0中，只有0是非負數(shù)．故選：A．
變式1．（2023·廣西·七年級校考階段練習）已知為正整數(shù)，計算的結果是（　　）
A．1 B．-1 C．0 D．2
【答案】D
【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方運算法則進行計算即可．
【詳解】解：，故選：D．
【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握有理數(shù)的乘方運算法則以及乘方的符號規(guī)律是解本題的關鍵．
變式2．（2023·廣東·七年級期中）若非零數(shù)a，b互為相反數(shù)，下列四組數(shù)中，互為相反數(shù)的個數(shù)為（ ）
①與；②與；③與；④與
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義逐一解答．
【詳解】解：a，b互為相反數(shù)，則，即與不互為相反數(shù)；
a，b互為相反數(shù)，則，故，即與互為相反數(shù)：
a，b互為相反數(shù)，則，，即與互為相反數(shù)，與不互為相反數(shù)，
則互為相反數(shù)的有②③故選：C．
【點睛】本題考查相反數(shù)的意義，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵．
變式3．（22-23七年級上·安徽蕪湖·期末）若是負數(shù)，則下列各式正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)乘方的定義即可依次判斷．
【詳解】解：A、是負數(shù)，則，不符合題意；
B、是負數(shù)，則，不符合題意；C、是負數(shù)，則，不符合題意；
D、，不符合題意；故選：D．
【點睛】本題主要考查了有理數(shù)乘方，解題的關鍵是熟知乘方的運算法則．
考點4、有理數(shù)乘方的逆運算（簡算）
【解題方法】性質：
例1．（22-23七年級上·福建三明·期中）（1）計算下面兩組算式：
①與； ②與；
（2）根據(jù)以上計算結果想開去：等于什么 （直接寫出結果）
（3）猜想與驗證：當為正整數(shù)時，等于什么 請你利用乘方的意義說明理由．
（4）利用上述結論，求的值．
【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）；（3）；理由見解析；（4）
【分析】（1）前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，據(jù)此即可計算求值；
（2）根據(jù)（1）的結果即可得到答案；
（3）根據(jù)乘方的意義寫成n個數(shù)相乘，利用交換律轉化為和的乘積即可證明猜想；
（4）利用乘方的逆運算進行計算即可得到答案．
【詳解】解：（1）①，
；
②，
；
（2）；
（3），理由如下：
；
（4）
．
【點睛】本題考查了有理數(shù)乘法法則，乘方的意義，以及對師資普遍規(guī)律的猜想和驗證，熟練運用乘方運算以及逆運算來簡便運算是解題關鍵．
變式1．（2023七年級上·江蘇·專題練習）計算：（ ）
A． B．1 C．0 D．2023
【答案】B
【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方的逆運算法則計算即可得．
【詳解】解：原式．故選：B．
【點睛】本題考查了有理數(shù)乘方的逆運算，熟練掌握有理數(shù)乘方的逆運算法則是解題關鍵．
變式2．（23-24七年級上·河北石家莊·期中）若，則的值可以表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，乘方的逆運算，等式的性質等知識點，根據(jù)有理數(shù)乘方的運算法則即可得解，熟練掌握有理數(shù)的乘方的意義是解題關鍵．
【詳解】∵∴∴∴，故選：D．
變式3．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考一模）定義運算：若，則，例如，則．運用以上定義，計算：（ ）
A． B．2 C．1 D．4
【答案】A
【分析】先根據(jù)乘方確定，根據(jù)新定義求出，然后代入計算即可．
【詳解】解：∵，∴
∴，，．故選：A．
【點睛】本題考查新定義對數(shù)函數(shù)運算、乘方的逆運算等知識點，仔細閱讀題目中的定義，找出新定義運算的實質是乘方的逆運算是解答本題的關鍵．
考點5、偶次方的非負性的運用
例1．（23-24七年級上·廣東韶關·階段練習）若，則 ， ．
【答案】 /
【分析】本題考查了絕對值的非負性及乘方運算的符號規(guī)律，根據(jù)絕對值的非負性及乘方的非負性即可求解，熟練掌握絕對值的非負性及乘方運算的符號規(guī)律是解題的關鍵．
【詳解】解：依題意得：，即：，
，即：，
故答案為：，2．
例2．（23-24七年級上·河南鄭州·階段練習）為有理數(shù)，下列說法中正確的是（　　）
A．是正數(shù) B．是正數(shù) C．是負數(shù) D．的值不小于
【答案】B
【分析】此題考查非負數(shù)的性質，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)，，解題的關鍵是掌握偶次方的非負性．
【詳解】解：、當時，，此選項說法錯誤，不符合題意；
、∵，∴，即是正數(shù)，此選項說法正確，符合題意；
、當時，，此選項說法錯誤，不符合題意；
、∵，則，∴，的值不大于，此選項說法錯誤，不符合題意；
故選：．
變式1．（22-23七年級上·云南昆明·期中）若，則 ．
【答案】0
【分析】本題考查了絕對值非負數(shù)，平方數(shù)非負數(shù)的性質，根據(jù)幾個非負數(shù)的和等于0，則每一個算式都等于0列式是解題的關鍵；根據(jù)非負數(shù)的性質列式求出a、b的值，然后再把a、b代入求值即可．
【詳解】解：，，，，，
．故答案為：0
變式2．（23-24七年級·上海寶山·期中）若，那么 ．
【答案】
【分析】本題考查了平方與絕對值的非負性，有理數(shù)的乘方．解題的關鍵在于正確的求解．由解出的值，代入求解即可．
【詳解】解：由題意知解得
∴故答案為：．
考點6、有理數(shù)乘方的實際應用
【解題方法】此類題型的難點在于分析問題，建立乘方的數(shù)學模型。基本步驟為：首先從特殊情形入手，逐步分析、歸納，找出變化規(guī)律；然后根據(jù)規(guī)律寫出乘方數(shù)學模型；最后根據(jù)題干要求計算結果。
例1．（23-24七年級上·江蘇泰州·階段練習）有一種細菌，經過1分鐘分裂成2個，再過1分鐘，又發(fā)生了分裂，變成4個．把這樣一個細菌放在瓶子里繁殖，直至瓶子被細菌充滿為止，用了1小時，如果開始時，就在瓶子里放入這樣的細菌16個，那么細菌充滿瓶子所需要的時間為（ ）
A．44分鐘 B．56分鐘 C．半小時 D．1小時
【答案】B
【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法的應用，列出等式是解此題的關鍵．先計算出裝滿一瓶的細菌，個，設將16個這種細菌放入同樣的培養(yǎng)瓶中經過分鐘就能分裂至滿一瓶，則，再根據(jù)1小時分，求解即可．
【詳解】解：一個細菌1分鐘分裂成2個，2分鐘分裂成4個，分鐘分裂成個，一個細菌經過1小時的繁殖能使瓶子充滿，
設將16個這種細菌放入同樣的培養(yǎng)瓶中經過分鐘就能分裂至滿一瓶．
，，
小時分，，故選：B
例2．（23-24七年級上·河南鄭州·階段練習）你喜歡吃拉面嗎？拉面館的師傅，用一根很粗的面條，把兩頭捏合在一起拉伸，再拉伸，反復幾次，如草圖所示．這樣捏合到第8次后可拉出 根細面條．
【答案】256
【分析】此題考查了有理數(shù)乘方的應用，熟練掌握乘方的意義是解本題的關鍵．根據(jù)題意列出算式，計算即可得到結果．
【詳解】解：∵第1次后可拉出2根，第2次后可拉出根，第3次后可拉出根，…
∴第8次后可拉出根，，故答案為：256．
例3．（23-24七年級·山東淄博·期中）在日常生活中，我們用十進制來表示數(shù)，如．計算機中采用的二進制，即只需要0和1兩個數(shù)字就可以表示數(shù)，如二進制中的，可以表示十進制中的10，那么二進制中的表示十進制中的 ．
【答案】
【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．根據(jù)十進制中的數(shù)與二進制中的數(shù)的相互轉化的方法進行計算，即可解答．
【詳解】解：；故答案為：．
變式1．（2024·四川達州·三模）在我國古書《易經》中有“上古結繩而治”的記載，它指“結繩記事”或“結繩記數(shù)”．如圖，一遠古牧人在從右到左依次排列的繩子上打結，滿6進1，用來記錄他所放牧的羊的只數(shù)，由圖可知，他所放牧的羊的只數(shù)是（ ）
A．1234 B．310 C．60 D．10
【答案】B
【分析】本題考查了有理數(shù)的運算，根據(jù)計數(shù)規(guī)則可知，從右邊第1位的計數(shù)單位為，右邊第2位的計數(shù)單位為，右邊第3位的計數(shù)單位為，右邊第4位的計數(shù)單位為，……，依此類推，可求出結果．
【詳解】解：根據(jù)題意得：（只），
答：他所放牧的羊的只數(shù)是310只．故選：B．
變式2．（22-23七年級·浙江溫州·期中）小明的文檔中有一個如圖1的實驗中學，他想在這個文檔中用1000個這種，設計出一幅如圖2樣式的圖案．他使用“復制粘貼”（用鼠標選中，右鍵點擊“復制”，然后在本文檔中“粘貼” 的方式完成，則他需要使用“復制粘貼”的次數(shù)至少為（　　）
A．9次 B．10次 C．11次 D．12次
【答案】B
【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，理解題意是解題的關鍵．根據(jù)復制粘貼呈2倍的速度增加，所以求2的冪運算．
【詳解】解：，，故選：B
變式3．（23-24七年級上·遼寧丹東·期中）一根1米長的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第7次后截去的木棒長為（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【分析】本題主要考查有理數(shù)的乘方．根據(jù)有理數(shù)的乘方解決此題．
【詳解】解：第一次截去一半，剩余的木棒的長度為；
第二次截去剩下部分的一半，剩余的木棒的長度為；
第三次截去剩下部分的一半，剩余的木棒的長度為；
以此類推，截完第七次，剩余的木棒的長度為．
∴截完第7次后，截去的木棒總長度為（米）．故選：A．
變式4．（2023·河南南陽·統(tǒng)考一模）觀察下列等式：，，，，，，…，根據(jù)其中的規(guī)律可得的結果的個位數(shù)字是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得尾數(shù)，，，的規(guī)律是4個數(shù)一循環(huán)，則的結果的個位數(shù)字與的個位數(shù)字相同，即可求解．
【詳解】解：∵，，，，，，…，
∴尾數(shù)，，，的規(guī)律是4個數(shù)一循環(huán)，
∵，∴的個位數(shù)字是，
又∵，∴的結果的個位數(shù)字與的個位數(shù)字相同，
∴的結果的個位數(shù)字是．故選：A．
【點睛】本題考查數(shù)的尾數(shù)特征，能夠通過所給數(shù)的特點，確定尾數(shù)的循環(huán)規(guī)律是解題的關鍵．
考點7、有理數(shù)乘方的新定義問題
【解題方法】“新定義”型問題是指在問題中定義了初中數(shù)學中沒有學過的一些概念、新運算、新符號，要求學生讀懂題意并結合已有知識進行理解，而后根據(jù)新定義進行運算、推理、遷移的一種題型.它一般分為三種類型：（1）定義新運算；（2）定義初、高中知識銜接“新知識”;（3）定義新概念.這類試題考查考生對“新定義”的理解和認識，以及靈活運用知識的能力，解題時需要將“新定義”的知識與已學知識聯(lián)系起來，利用已有的知識經驗來解決問題.
例1．（23-24七年級·黑龍江綏化·階段練習）用“※”定義一種新運算，規(guī)定，如，
(1)求的值；(2)求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算，新定義下的運算，解題的關鍵是掌握新定義的運算法則．
（1）根據(jù)新定義計算即可；
（2）根據(jù)新定義的運算法則求解即可．
【詳解】（1）解：；
（2），
．
例2．（23-24七年級上·云南昆明·期中）【概念學習】
規(guī)定：若求若干個相同的有理數(shù)均不等于的除法運算叫做除方，如，，我們把記作，讀作“的圈次方”，記作，讀作“的圈次方”．一般的，我們把記作，讀作“的圈次方”．
【初步探究】
（1）直接寫出計算結果________， ________，________．
【深入思考】我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算
（2）試一試：仿照上面的算式，將下列運算結果直接寫成冪的形式：
________， ________，________．
（3）想一想：將一個非零有理數(shù)的圈次方寫成冪的形式是________．
【答案】（1），，；（2）,,;（3）
【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方；
（1）根據(jù)的圈次方的定義進行計算即可求解；
（2）根據(jù)的圈次方的定義進行計算即可求解；
（3）根據(jù)（2）的結論即可求解．
【詳解】解：（1）；
；
；
故答案為：，，．
（2），
；
故答案為：,,；
（3）由題意，根據(jù)（2）中規(guī)律可得，
故答案為：．
變式1．（2023·湖南·七年級校考期中）定義一種運算符號“★”：，如：，那么的結果是_______．
【答案】8
【分析】根據(jù)運算律，先算括號內，再算括號外即可
【詳解】解：故答案為
【點睛】此題考查了有理數(shù)的混合運算、新定義，解決本題的關鍵是會用新定義解答問題
變式2．（2023·廣東·七年級校考期中）定義一種對正整數(shù)n的“F運算”：①當n為奇數(shù)時，結果為3n＋5；②當n為偶數(shù)時，結果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運算重復進行．例如，取n＝26，則：
若n＝449，則第2020次“F運算”的結果是______．
【答案】1
【分析】根據(jù)題意計算前幾次結果，找到規(guī)律即可求解．
【詳解】解：第一次：，第二次：
∵其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)，∴∴第二次運算：，
第三次：∵∴計算結果為
第五次：，第六次：，∵∴，計算結果為，……
依次為與的循環(huán)，當計算次數(shù)為奇數(shù)時，結果為8；當計算次數(shù)為偶數(shù)時，結果為1，
∴第2020次“F運算”的結果是1．故答案為：1．
【點睛】本題考查了新定義運算，有理數(shù)的混合運算，找到規(guī)律是解題的關鍵．
變式3．（2023秋·湖南常德·七年級統(tǒng)考期末）已知，記作，已知，記作，已知，記作，那么：（1）______；
（2）( )．
【答案】
【分析】根據(jù)乘方的性質，求解即可．
【詳解】解：∵，∴，
∵，∴，設，則，故答案為：，
【點睛】此題考查了乘方的運算，解題的關鍵是理解題意，熟練掌握乘方運算規(guī)則．
考點8、用科學記數(shù)法表示大于1的數(shù)
【解題方法】科學記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．
注意：①科學記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n；②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學記數(shù)法表示，實質上絕對值大于10的負數(shù)同樣可用此法表示，只是前面多一個負號；③將計數(shù)單位改寫為具體的數(shù)，再根據(jù)科學計數(shù)法表示即可。如：1萬=10000；1億=100000000。
例1．（2024·遼寧·二模）我國的嫦娥四號探測器成功在月球背面著陸，標志著我國已經成功開始對月球背面的研究，填補了國際空白．月球距離地球的平均距離為千米，數(shù)據(jù)用科學記數(shù)法表示為( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了科學記數(shù)法，熟悉掌握科學記數(shù)法是解題的關鍵．
根據(jù)科學記數(shù)法的表示方法進行化簡即可．
【詳解】解：，故選：B．
例2．（2024·浙江杭州·二模）2024年春節(jié)假期期間，“人從眾”的火熱場面在浙江各大景點持續(xù)“上演”．統(tǒng)計表明，春節(jié)假期期間，浙江省累計接待游客3032.6萬人次，按可比口徑較上年增長25.3%．將數(shù)據(jù)3032.6萬用科學記數(shù)法表示為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)．科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值大于等于10時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值小于1時，n是負數(shù)．
【詳解】解：數(shù)據(jù)3032.6萬用科學記數(shù)法表示為．故選：D．
變式1．（2024·湖南長沙·二模）中科院國家天文臺基于我國郭守敬望遠鏡和美國巡天的觀測數(shù)據(jù)，精確測量了距離銀河系中心1.6萬光年至8.1萬光年范圍內的恒星運動速度，并估算出銀河系的“體重”約為8050億個太陽質量．其中數(shù)據(jù)“8050億”用科學記數(shù)法可表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查用科學記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)，將“8050億”寫成的形式即可，其中，n的值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．
【詳解】解：“8050億”，故選D．
變式2．（2024·山西忻州·三模）祖沖之是世界上第一位將圓周率計算到小數(shù)點后第7位的數(shù)學家，截至2024年3月14日，人類已經將圓周率計算到小數(shù)點后約105萬億位．從最初的小數(shù)點后幾位，到如今的小數(shù)點后105萬億位，每一次精度的提升都代表著人類計算能力的巨大進步．數(shù)據(jù)105萬億用科學記數(shù)法表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了科學記數(shù)法，科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原來的數(shù)，變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值時，是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值時，是負數(shù)，確定與的值是解題的關鍵．
【詳解】解：105萬億，故選：B．
考點9、用科學記數(shù)法表示大于1的數(shù)（含計算）
【解題方法】此類問題需先計算出所需科學記數(shù)法表示的原始數(shù)據(jù)，再根據(jù)考點1中的方法求解即可。
例1．（23-24七年級上·山西·期中）獻禮新中國成立周年的影片《我和我的祖國》，不僅彰顯了中華民族的文化自信，也激發(fā)了觀眾強烈的愛國情懷與觀影熱情．據(jù)某網站統(tǒng)計，國慶期間，此部電影票房收入約億元，平均每張票約元，估計觀影人次約為（用科學記數(shù)法表示）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把一個數(shù)表示成的形式，其中，n是整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學記數(shù)法，根據(jù)科學記數(shù)法的要求即可解答.
【詳解】∵22億元= ，∴，故選：B.
【點睛】此題考查科學記數(shù)法，注意n的值的確定方法，當原數(shù)大于10時，n等于原數(shù)的整數(shù)數(shù)位減1，此題正確列式計算是難點.
例2．（2024·河南漯河·二模）生物學指出：生態(tài)系統(tǒng)中，每輸入一個營養(yǎng)級的能量，大約只有的能量能夠流動到下一個營養(yǎng)級，在這條生物鏈中（表示第n個營養(yǎng)級，，2，，5），要使獲得50千焦的能量，那么需要．提供的能量用科學記數(shù)法表示約為（ ）
A．千焦 B．千焦 C．千焦 D．千焦
【答案】B
【分析】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律，科學記數(shù)法，根據(jù)的能量能夠流動到下一個營養(yǎng)級可知：要使獲得50千焦的能量，那么需要需要提供千焦的能量，以此類推，設需要需要提供千焦的能量，然后用科學記數(shù)法表示即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，需要提供千焦的能量，需要提供千焦的能量，需要提供千焦的能量，需要提供千焦的能量，∴，故選：B．
變式1．（23-24七年級上·山東菏澤·期中）中國是嚴重缺水的國家之一，人均淡水資源為世界人均量的四分之一，所以我們?yōu)橹袊?jié)水，為世界節(jié)水．一紙杯水大約0.25升，若每人每天浪費一紙杯水，那么100萬人每天浪費的水（單位：升），用科學記數(shù)法表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)每一紙杯水大約0.25升，若每人每天浪費一紙杯水，那么100萬人每天浪費的水為升，再根據(jù)科學記數(shù)法表示絕對值較大的數(shù)的方法表示出250000．
本題主要考查了用科學記數(shù)法表示絕對值較大的數(shù)，科學記數(shù)法形式：，其中，n為正整數(shù)，的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1，按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n．
【詳解】∵，∴．故選：C．
變式2．（23-24七年級上·廣東·期中）一粒米微不足道，平時總會在飯桌上毫不經意地掉下幾粒，甚至有些挑食的同學會把整碗米飯倒掉．針對這種浪費糧食現(xiàn)象，老師組織同學們進行了實際測算，稱得500粒大米約重10克．現(xiàn)在請你來計算：(1)一粒大米重約多少克？(2)按14億人口，每年365天，每人每天三餐計算，若每人每餐節(jié)約一粒大米，一年大約能節(jié)約大米多少千克？（用科學記數(shù)法表示）；(3)若我們把一年節(jié)約的大米賣成錢，按4元/千克計算，可賣得人民幣多少元？（用科學記數(shù)法表示）；(4)經過以上計算，你有何感想和建議？
【答案】(1)0.02克(2)千克(3)元(4)答案不唯一，見解析
【分析】（1）用50粒大米的總重量除以50 ，即可求解；（2）根據(jù)題意，列出算式求解即可；
（3）根據(jù)題意，列出算式求解即可；（4）根據(jù)實際情況進行分析，言之有理即可．
【詳解】（1）解：（克），
答：粒大米重約克；
（2）解：（千克），
答：一年大約能節(jié)約大米千克；
（3）解：（元），
答：賣得人民幣元．
（4）解：一粒米雖然微不足道，但是我們一年節(jié)約下來的錢數(shù)大得驚人．所以提倡節(jié)約，杜絕浪費﹐我們要行動起來．（合理即可）
【點睛】本題主要考查了用有理數(shù)的混合運算，科學記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)，解題的關鍵是掌握用科學記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)的方法：將原數(shù)化為的形式，其中，n為整數(shù)，n的值等于把原數(shù)變?yōu)閍時小數(shù)點移動的位數(shù)．
考點10、將用科學記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù)
【解題方法】解題的關鍵是掌握將科學記數(shù)法還原的法則：將科學記數(shù)法表示的數(shù)，“還原”成通常表示的數(shù)就是把a的小數(shù)點向右移動n位所得到的數(shù)．
例1．（2024·河北邢臺·模擬預測）若一個整數(shù)用科學記數(shù)法表示為，則原數(shù)中“0”的個數(shù)為（ ）
A．7 B．8 C．10 D．11
【答案】B
【分析】本題主要考查了科學記數(shù)法的表示形式，其中，n為整數(shù).確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.確定a的值以及n的值是解題的關鍵．
先確定出原數(shù)中整數(shù)位數(shù)，然后再確定其中0的個數(shù)即可．
【詳解】解：，原數(shù)中“0”的個數(shù)為8，故選：B．
例2．（2024·河北邯鄲·二模）月球到地球近地點的距離約為千米，則是（ ）
A．4位數(shù) B．5位數(shù) C．6位數(shù) D．7位數(shù)
【答案】C
【分析】本題考查用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為，其中，n可以用整數(shù)位數(shù)減去1來確定．用科學記數(shù)法表示數(shù)，一定要注意a的形式，以及指數(shù)n的確定方法．根據(jù)科學記數(shù)法的表示方法，將變成原數(shù)，然后進行求解即可．
【詳解】解：∵變成原數(shù)為，∴是6位數(shù)．故選：C．
變式1．（2024·山東泰安·二模）2024年某市計劃重點工程建設項目投資總額為整數(shù)用科學記數(shù)法表示為，則原數(shù)中0的個數(shù)為（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本題考查用科學記數(shù)法表示絕對值較大的數(shù)，一般形式為，其中，n可以用整數(shù)位數(shù)減去1來確定．用科學記數(shù)法表示數(shù)，一定要注意a的形式，以及指數(shù)n的確定方法．根據(jù)科學記算法將恢復原數(shù)，然后得出答案即可．
【詳解】解：，即原數(shù)中0的個數(shù)為5個．故選：C．
變式2．（2024·河北邯鄲·模擬預測）是人工智能研究實驗室推出的一種由人工智能技術驅動的自然語言處理工具，其技術底座有著多達個模型參數(shù)．數(shù)據(jù)“”的位數(shù)為（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【分析】本題考查了科學記數(shù)法；
根據(jù)科學記數(shù)法把數(shù)據(jù)還原，然后可得答案．
【詳解】解：∵，∴數(shù)據(jù)“”的位數(shù)為12，故選：B．
全卷共25題 測試時間：70分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2024年浙江省嘉興市中考三模數(shù)學試題）2023年嘉興市生產總值（GDP）7062.45億元，用科學記數(shù)法表示7062.45億，正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查科學記數(shù)法，根據(jù)科學記數(shù)法的表示方法求解即可．科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．解題關鍵是正確確定a的值以及n的值．
【詳解】用科學記數(shù)法表示7062.45億為．
故選：A．
2．（2024·廣東深圳·三模）2024年5月3日，嫦娥六號探測器準確進入“地月轉移”軌道，由此開啟世界首次“月背挖寶”之旅．該探測器近地點高度約200千米，遠地點高度約38萬千米．數(shù)據(jù)38萬用科學記數(shù)法可以表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查科學記數(shù)法表示較大的數(shù)，熟練掌握其定義是解題的關鍵．將一個數(shù)表示成的形式，其中，為整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學記數(shù)法，據(jù)此即可求得答案．
【詳解】解：38萬，
故選：C
3．（23-24七年級上·河南鄭州·期末）一張紙的厚度大約為，如圖，將其對折、壓平，稱作第1次操作，再將其對折、壓平，稱作第2次操作…假設這張紙足夠大，每一次也能壓得足夠平整，如此重復，則第10次操作后的厚度最接近于（ ）
A．數(shù)學課本的厚度 B．姚明的身高 C．一層樓房的高度 D．一支中性筆的長度
【答案】D
【分析】本題考查數(shù)字變化的規(guī)律，依次求出每次操作后紙張的厚度，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
【詳解】解：由題知，
第1次操作后的厚度為：；第2次操作后的厚度為：；
第3次操作后的厚度為：；，所以第次操作后的厚度為：；
當時，，
所以第10次操作后的厚度最接近于一支中性筆的長度．故選：D．
4．（23-24七年級·上海黃浦·期中）下列計算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了有理數(shù)的運算，解題的關鍵是掌握有理數(shù)的相關運算法則．根據(jù)有理數(shù)得到加法法則、有理數(shù)的乘法和有理數(shù)的乘方，逐一判斷即可．
【詳解】解：A、，故選項A不符合題意；
B、，故選項B不符合題意；
C、，故選項C不符合題意；
D、，故選項D符合題意；故選：D．
5．（2023·安徽合肥·校考模擬預測）式子與的正確判斷是（ ）
A．當為偶數(shù)時，這兩個式子互為相反數(shù) B．這兩個式子是相等的
C．當為奇數(shù)時，它們互為相反數(shù) D．為偶數(shù)時它們相等
【答案】A
【分析】分類討論的奇偶性，結合乘方的意義化簡即可．
【詳解】解：當為偶數(shù)時，，即此時這兩個式子互為相反數(shù)，
當為奇數(shù)時，，即此時這兩個式子相等．故選A．
【點睛】本題考查有理數(shù)的乘方，相反數(shù)的定義．熟練掌握乘方的意義并利用分類討論的思想是解題關鍵．
6．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考二模）在算式中的“”里填入一個運算符號，使得它的結果最小（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)有理數(shù)的運算法則，逐項代入計算并比較即可．
【詳解】解：A、；B、；
C、；D、；
∵，∴結果最小的運算為C選項，故選：C．
【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算，掌握有理數(shù)混合運算法則是解題關鍵．
7．（2023·廣東東莞·七年級期中），由此你能算出（ ）
A．6 B．8 C． D．十分麻煩
【答案】B
【分析】先把原式變形為，從而得到，即可求解．
【詳解】解：＝1×8＝8故選：B．
【點睛】本題主要考查了有理數(shù)乘方運算，掌握有理數(shù)乘方的意義是解題的關鍵．
8．（2023·福建廈門·七年級校考期中）七年級某班的學生共有49人，軍訓時排列成的方陣，做了一個游戲，起初全體學生站立，教官每次任意點n個不同學號的學生，被點到的學生，站立的蹲下，蹲下的站立，且學生都正確完成指令同一名學生可以多次被點，則m次點名后，（n，m為正整數(shù)）下列說法正確的是（ ）
A．當n為偶數(shù)時，無論m何值，蹲下的學生人數(shù)不可能為奇數(shù)個
B．當n為偶數(shù)時，無論m何值，對下的學生人數(shù)不可能為偶數(shù)個
C．當n為奇數(shù)時，無論m何值，蹲下的學生人數(shù)不可能為偶數(shù)個
D．當n為奇數(shù)時，無論m何值，蹲下的學生人數(shù)不可能為奇數(shù)個
【答案】A
【分析】假設站立記為“”，則蹲下為“”，開始時49個“”，其乘積為“”，每次改變其中的個數(shù)，當為偶數(shù)時，每次的改變其中個數(shù)，都不改變上一次的符號，則m次點名后，乘積仍然是“”，故最后出現(xiàn)的“”的個數(shù)為偶數(shù)，即蹲下的人數(shù)為偶數(shù)；即可獲解．
【詳解】解：假設站立記為“”，則蹲下為“”，開始時49個“”，其乘積為“”．
每次改變其中的個數(shù)，經過m次點名，
①當為偶數(shù)時，若有偶數(shù)個“”偶數(shù)個“”，變?yōu)榕紨?shù)個“”偶數(shù)個“”，其積的符號不變；
若有奇數(shù)個“”奇數(shù)個“”，變?yōu)槠鏀?shù)個“”奇數(shù)個“”，其積的符號不變；
故當為偶數(shù)時，每次改變其中的個數(shù)，其積的符號不變，那么m次點名后，乘積仍然是“”，
故最后出現(xiàn)的“”的個數(shù)為偶數(shù)，即蹲下的人數(shù)為偶數(shù)；
②當為奇數(shù)時，若有偶數(shù)個“”奇數(shù)個“”，變?yōu)榕紨?shù)個“”奇數(shù)個“”，其積的符號改變；
若有奇數(shù)個“”偶數(shù)個“”，變?yōu)槠鏀?shù)個“”偶數(shù)個“”，其積的符號改變；
故當為奇數(shù)時，每次改變其中的個數(shù)，其積的符號改變，那么m次點名后，
若為偶數(shù)，乘積仍然是“”，故最后出現(xiàn)的“”的個數(shù)為偶數(shù)，即蹲下的人數(shù)為偶數(shù)；
若為奇數(shù)，乘積最后是“”，故最后出現(xiàn)的“”的個數(shù)為奇數(shù)，即蹲下的人數(shù)為奇數(shù)；
綜上所述，選項A正確，選項B、C、D均錯誤；故選：A．
【點睛】此題考查了正負數(shù)的意義、有理數(shù)乘法中積的符號的判斷，熟練掌握有理數(shù)乘法中符號法則與分類討論的思想方法是解答此題的關鍵．
9．（2023·廣東東莞·九年級校考期中）某公園將免費開放一天，早晨6時30分有2人進公園，第一個30min內有4人進去并出來1人，第二個30min內進去8人并出來2人，第三個30min內進去16人并出來3人，第四個30min內進去32人并出來4人，······按照這種規(guī)律進行下去，到上午11時30分公園內的人數(shù)是（ ）
A． B．4039 C．8124 D．16304
【答案】B
【分析】由每個30分鐘進去的人數(shù)可構成一列數(shù)，利用觀察法求出這一列數(shù)的規(guī)律，由于從早晨6時30分到上午Il時30分共有10個30分鐘，故求這一列數(shù)的前11個數(shù)的和，即可得上午11時30分公園內的人數(shù)．
【詳解】解：根據(jù)題意知：早晨6時30分有2人進公園，則，
第一個30min內有4人進去并出來1人，則，
第二個30min內進去8人并出來2人，則，
第三個30min內進去16人并出來3人，則，
第四個30min內進去32人并出來4人，則，……
∴第十個30min（即上午11時30分）內進去的人和出來的人數(shù)可表示為，
∴到上午11時30分公園內的人數(shù)為：
設，
∴，，
∴，
∴，，
∴
．故選：B．
【點睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，有理數(shù)的混合運算，運用了歸納推理、轉化的解題方法．解題時要善于將實際問題轉化為數(shù)學問題，運用數(shù)學知識解決問題．解題的關鍵是歸納出題干所給式子的規(guī)律．
10．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·七年級統(tǒng)考期末）觀察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38 =6561，…，根據(jù)上述算式中的規(guī)律，221+311的末位數(shù)字是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】D
【分析】通過觀察發(fā)現(xiàn)：的個位數(shù)字是2，4，8，6四個一循環(huán)，所以根據(jù)，得出的個位數(shù)字與的個位數(shù)字相同；以3為底的冪的末位數(shù)字是3，9，7，1依次循環(huán)的．即可知的個位數(shù)字，從而得到221+311的末位數(shù)字．
【詳解】解：由題意可知，，，，，，，，，，
即末位數(shù)字是每4個算式是一個周期，末位分別為2，4，8，6，
，的末位數(shù)字與的末位數(shù)字相同，為2；
由題意可知，，，，，，，
以3為底的冪的末位數(shù)字是3，9，7，1依次循環(huán)的，，
所以的個位數(shù)字是7，所以的個位數(shù)字是9，故選：D．
【點睛】本題考查的是尾數(shù)特征，規(guī)律型：數(shù)字的變化類，根據(jù)題意找出數(shù)字循環(huán)的規(guī)律是解答此題關鍵．
11．（23-24七年級上·貴州六盤水·期末）如圖，將面積為1的長方形紙片分割成8個部分，部分①的面積是原長方形紙片面積的一半，部分②的面積是部分①面積的一半，部分③的面積是部分②面積的一半，依次類推，陰影部分的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查圖形的變化類，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．根據(jù)題意和圖形，可以得到陰影部分的面積．
【詳解】解：由圖可得，陰影部分的面積是，故選：C．
12．（2022·四川成都·七年級校考階段練習）若a，b為有理數(shù)，下列判斷正確的個數(shù)是（ ）
（1）總是正數(shù)；（2）總是正數(shù)；（3）的最大值為5；（4）的最大值是3．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)絕對值，偶次方的非負性進行判斷即可.
【詳解】∵，∴>0，即總是正數(shù)，(1)正確；
∵， ，∴當即a=0時，，故是正數(shù)；
當時，則，即，故是正數(shù)；故（2）正確；
的最小值為5，故（3）錯誤；的最大值是2，故（4）錯誤．故選：B.
【點睛】此題考查絕對值的性質，偶次方的性質，最大值及最小值的確定是難點.
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
13．（2024年上海市中考數(shù)學試題）科學家研發(fā)了一種新的藍光唱片，一張藍光唱片的容量約為，一張普通唱片的容量約為25，則藍光唱片的容量是普通唱片的 倍．（用科學記數(shù)法表示）
【答案】
【分析】本題考查科學記數(shù)法，按照定義，用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為，其中，為整數(shù)，按要求表示即可得到答案，確定與的值是解決問題的關鍵．
【詳解】解：藍光唱片的容量是普通唱片的倍，故答案為：．
14．（2024·江蘇南京·一模）計算的結果是 ．
【答案】
【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方運算，先計算，同時根據(jù)乘方意義把改寫成，然后利用乘法結合律計算即可．
【詳解】解：原式，故答案為：．
15．（2023·廣東廣州·七年級統(tǒng)考期末）在中，底數(shù)是______，指數(shù)是______.計算：______.
【答案】 3 4
【分析】根據(jù)冪的定義：形如中a是底數(shù)，n是指數(shù)，及乘方計算法則計算解答．
【詳解】解：中，底數(shù)是3，指數(shù)是4，，故答案為：3，4，．
【點睛】此題考查了冪的定義，有理數(shù)的乘方計算法則，熟記定義及計算法則是解題的關鍵．
16．（23-24七年級上·江蘇連云港·階段練習）如下是張小琴同學的一張測試卷，她的得分應是 ．
姓名：張小琴 得分： 填空（每小題25分，共100分） ①的底數(shù)是；②的立方是；③若，則；④若，則．
【答案】25
【分析】本題考查了冪的定義，有理數(shù)的乘方運算，絕對值的非負性，解題的關鍵是掌握這些基礎知識點．
【詳解】解：①的底數(shù)是2，故錯誤；②的立方是，故錯誤；
③∵，∴，，∴，，∴，故正確；
④若，則，故錯誤；則小琴同學的得分是．故答案為：25．
17．（23-24七年級上·廣東揭陽·期末）計算：
【答案】0
【分析】本題考查了有理數(shù)的加法運算，有理數(shù)的乘方，根據(jù)有理數(shù)的乘方找到規(guī)律，計算即可．
【詳解】解：原式，故答案為：0．
18．（23-24七年級上·浙江金華·階段練習）紅紅有5張寫著以下數(shù)字的卡片，請你按要求抽出卡片，完成下列各問題：
(1)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字乘積最大，最大值是________
(2)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字相除的商最小，最小值是________
(3)從中取出除0以外的其他4張卡片，將這4個數(shù)字進行加、減、乘、除或乘方等混合運算，使運算結果為24（注：每個數(shù)字只能用一次，請寫出兩種符合要求的運算式子：
________________________________ ________________________________
【答案】(1)6(2)(3)；
【分析】此題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．()根據(jù)題意列出算式，找出積最大值即可；()根據(jù)題意列出算式，找出商最小值即可；()利用“點”游戲規(guī)則列出算式即可．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，故最大值為；
（2）解：，故最小值為；
（3）解：根據(jù)題意得：；，
即符合題意的式子為：；．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（23-24七年級上·四川南充·階段練習）計算：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)．
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)
【分析】（）利用有理數(shù)加減法則計算即可；（）利用有理數(shù)乘除法則計算即可；；
（）先算乘方，再算乘法，最后算加減即可；（）先算乘法，最后算加減即可；
（）先計算乘方和化簡絕對值，再計算除法，最后計算加減法；
本題考查了有理數(shù)的混合運算，解題的關鍵是熟練掌握有理數(shù)的混合運算順序和運算法則及其運算律．
【詳解】（1）解：原式，
；
（2）解：原式，
；
（3）解：原式，
，
；
（4）解：原式，
，
；
（5）解：原式，
，
．
20．（22-23七年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知第一個正方體紙盒的棱長為，第二個正方體紙盒的體積比第一個正方體紙盒的體積大．
(1)求第二個正方體紙盒的棱長；(2)第二個正方體紙盒的表面積比第一個正方體紙盒的表面積多多少？
【答案】(1)第二個正方體紙盒的棱長為
(2)第二個正方體紙盒的表面積比第一個正方體紙盒的表面積多
【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘方運算的應用，解題的關鍵熟練掌握正方體的體積公式和表面積公式．
（1）先求出第一個正方體的體積，再求出第二個正方體的體積，得出其棱長即可；
（2）根據(jù)正方體的表面積公式列出算式進行計算即可．
【詳解】（1）解：第一個正方體紙盒的體積為：，
第二個正方體紙盒的體積為：，
∵，∴第二個正方體紙盒的棱長為；
（2）解：，
答：第二個正方體紙盒的表面積比第一個正方體紙盒的表面積多．
21．（23-24七年級上·福建福州·階段練習）生活中常用的十進制是用這十個數(shù)字來表示數(shù)，滿十進一，例：；
計算機常用二進制來表示字符代碼，它是用0和1兩個數(shù)來表示數(shù)，滿二進一，
例：二進制數(shù)10010轉化為十進制數(shù)：；
其他進制也有類似的算法…
(1)【發(fā)現(xiàn)】根據(jù)以上信息，將二進制數(shù)“10110”轉化為十進制數(shù)是________；
(2)【遷移】按照上面的格式將八進制數(shù)“4372”轉化為十進制數(shù)；
(3)【應用】在我國遠古時期，人們通過在繩子上打結來記錄數(shù)量，即“結繩計數(shù)”，如圖所示是遠古時期一位母親記錄孩子出生后的天數(shù)，在從右向左依次排列的不同繩子上打結，滿五進一，根據(jù)圖示，求孩子已經出生的天數(shù)．
【答案】(1)(2)(3)42天
【分析】本題考查了有理數(shù)乘方的應用；（1）根據(jù)題目信息直接進行計算即可；
（2）根據(jù)二進制轉十進制的方法列式計算即可；
（3）根據(jù)滿五進一可知，類似于五進制數(shù)，然后仿照二進制轉十進制的方法列式計算即可．
【詳解】（1）解：將二進制數(shù)“10110”轉化為十進制數(shù)是，
故答案為：；
（2）將八進制數(shù)“4372”轉化為十進制數(shù)；
（3）因為從右向左繩結的數(shù)量依次為2，3，1，
所以孩子已經出生的天數(shù)為天．
22．（2023·江蘇·七年級專題練習）閱讀計算：
閱讀下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4…
回答下列三個問題：(1)驗證：（4×0.25）100＝　　；4100×0.25100＝　　．
(2)通過上述驗證，歸納得出：（ ）n＝　　；（ ）n＝　　．
(3)請應用上述性質計算：（﹣0.125）2015×22014×42014．
【答案】(1)1，1；(2)ab，anbn，abc，anbncn；(3)﹣0.125
【分析】（1）先算括號內的，再算乘方；先乘方，再算乘法．
（2）根據(jù)有理數(shù)乘方的定義求出即可；
（3）根據(jù)根據(jù)閱讀材料可得（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125），再計算，即可得出答案．
(1)解：（4×0.25）100＝1100＝1；4100×0.25100＝1， 故答案為：1，1．
(2)解：（ab）n＝anbn，（abc）n＝anbncn，
故答案為：ab，anbn，abc，anbncn．
(3)解：原式＝（﹣0.125）2014×22014×42014×（﹣0.125）＝（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125）
＝（﹣1）2014×（﹣0.125）＝1×（﹣0.125）＝﹣0.125
【點睛】本題考查了有理數(shù)乘方的應用，主要考查學生的計算能力，理解閱讀材料是解題的關鍵．
23．（2024·山東·七年級校考期中）利用圖1的二維碼可以進行身份識別，某校建立了一個身份識別系統(tǒng)，圖2是某個學生的識別圖條，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，將第一行數(shù)字從左到右一次記為，那么可以轉換為該生所在班級序號，其序號為，（規(guī)定）如圖2第一行數(shù)字從左到右依次為0，1，0，1，序號為，表示該生為5班的學生．
(1)圖3中所來示學生所在班級序號是_____________．
(2)我校兩校區(qū)七年級共有18個班，班級編號從1至18，問是否能用該系統(tǒng)全部識別？若能，請說明原因，并在圖4的第一行表示出班級編號為18的班級．若不能，請你運用數(shù)字“”、“”，結合“+”、“”、“×”、“÷”或乘方運算（每個數(shù)字和符號使用次數(shù)不限）對該系統(tǒng)規(guī)則進行改編，并求出改編后的新系統(tǒng)規(guī)則可表示的班級編號范圍．
【答案】(1)(2)不能，理由見解析，改編規(guī)則見解析，范圍為至
【分析】（1）根據(jù)規(guī)定了運算法則進行計算即可求解；
（2）根據(jù)有理數(shù)的混合運算進行計算，得出最大的班級變號為，則不能被全部被識別，改編為：改編為：規(guī)定，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，加入第二行第一個小正方形，根據(jù)有理數(shù)的混合運算進行計算可得知新系統(tǒng)規(guī)則可表示的班級編號范圍．
【詳解】（1）解：圖3中，第一行數(shù)字從左到右依次為1，0，0，1，則序號為，
故答案為：；
（2）不能，∵，
∴不能用該系統(tǒng)全部識別；
∵最多只能表示個數(shù)字，要表示大于的數(shù)字，則需加一位，
改編為：規(guī)定，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，加入第二行第一個小正方形，
規(guī)則不變，序號改為：，
如圖2，第一行數(shù)字從左到右依次為0，1，0，1，第二行第1個數(shù)字為1，
序號為，
第一行數(shù)字從左到右依次為0，0，1，0，第二行第1個數(shù)字為1，
序號為，
當?shù)谝恍袛?shù)字從左到右依次為1，1，1，1，第二行第1個數(shù)字為1，
序號最大，為，
∴改編后的新系統(tǒng)規(guī)則可表示的班級編號范圍為至．
【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算的應用，掌握有理數(shù)的運算法則是解題的關鍵．
24．（2023秋·江西宜春·七年級統(tǒng)考期末）類比乘方運算，我們規(guī)定：求n個相同有理數(shù)（均不為0）的商的運算叫做除方．例如，記作，讀作“2的引4次商”；一般地，把（，，且為整數(shù)）記作，讀作“a的引n次商”．
(1)直接寫出計算結果：______，______；
(2)歸納：負數(shù)的引正奇數(shù)次商是______數(shù)，負數(shù)的引正偶數(shù)次商是______數(shù)（填“正或負”）；
(3)計算：．
【答案】(1)4，；(2)負，正；(3)76．
【分析】（1）利用除方的定義解答即可；
（2）先根據(jù)定義求得，再根據(jù)負數(shù)的乘方即可解答；
（3）利用題干中給的除方定義以及有理數(shù)的混合運算法則解答即可．
【詳解】（1）解：，
，故答案為∶4，；
（2）解：∵當，且
∴當n為奇數(shù)時，有為奇數(shù)，即，
當n為偶數(shù)時，有為偶數(shù)，即，
∴負數(shù)的引正奇數(shù)次商是負數(shù)，負數(shù)的引正偶數(shù)次商是正數(shù)，故答案為：負，正；
（3）解：．
【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算、乘方以及新定義．本題是閱讀型題目，理解題干中的定義與法則并熟練應用是解題的關鍵．
25．（2023·浙江紹興·七年級校聯(lián)考階段練習）我們常用的數(shù)是十進制數(shù)，計算機程序使用的是二進制數(shù)（只有數(shù)碼0和，它們兩者之間可以互相換算，如將，換算成十進制數(shù)為：
；；
兩個二進制數(shù)可以相加減，相加減時，將對應數(shù)位上的數(shù)相加減．與十進制中的“逢十進一”、“退一還十”相類似，應用“逢二進一”、“退一還二”的運算法則，如：；，用豎式運算如右側所示．．
(1)按此方式，將二進制換算成十進制數(shù)的結果是　 　．(2)計算：　 　（結果仍用二進制數(shù)表示）；　 　（結果用十進制數(shù)表示）．
【答案】(1)9 (2)；35
【分析】（1）根據(jù)例子可知：若二進制的數(shù)有位，那么換成十進制，等于每一個數(shù)位上的數(shù)乘以2的方，再相加即可；（2）關于二進制之間的運算，利用“逢二進一”、“退一還二”的運算法則計算即可．
【詳解】（1）解：；故答案為：9；
（2）解：
，
．故答案為：；35．
【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算．關鍵是能根據(jù)范例，達到舉一反三的目的．
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專題2.5.有理數(shù)的乘方
1. 理解并掌握有理數(shù)的乘方，冪，底數(shù)，指數(shù)的概念及意義；
2. 會求有理數(shù)的正整數(shù)指數(shù)冪；
3. 熟練掌握有理數(shù)混合運算（含乘方）順序和法則；
4. 理解科學記數(shù)法的的概念；會用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)；能將用科學記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù)；
5. 感受發(fā)現(xiàn)問題的過程中體會到從特殊到一般的思考方法，從而增進學好數(shù)學的自信心；體會科學記數(shù)法帶來的優(yōu)越性，感受數(shù)學中化繁為簡的思想方法。
模塊1：知識梳理 2
模塊2：核心考點 2
考點1、有理數(shù)乘方的概念 2
考點2、有理數(shù)乘方的運算 3
考點3、乘方運算的符號規(guī)律 4
考點4、有理數(shù)乘方的逆運算（簡算） 5
考點5、偶次方的非負性的運用 7
考點6、有理數(shù)乘方的實際應用 9
考點7、有理數(shù)乘方的新定義問題 11
考點8、用科學記數(shù)法表示大于1的數(shù) 14
考點9、用科學記數(shù)法表示大于1的數(shù)（含計算） 16
考點10、將用科學記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù) 18
模塊3：能力培優(yōu) 20
1. 有理數(shù)的乘方
乘方的概念：一般地，個相同的乘數(shù)相乘，即，記作，讀作“的次方”；
在中，叫做底數(shù)，叫做指數(shù)；當看作的次方的結果時，讀作的次冪。
求個相同因數(shù)的積的運算叫做乘方，乘方的結果叫做冪。
注意：①乘方運算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表沒有；
②乘方運算，代表的是多個相同乘數(shù)相乘，要與乘法運算區(qū)分開來；
③在運算時要注意看清楚底數(shù)和指數(shù)到底是誰；
④帶分數(shù)的乘方運算，一定要先化成假分數(shù)后再運算。
2．整數(shù)指數(shù)冪的符號規(guī)律：
1）負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)，即“奇負偶正”；
2）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；3）0的任何正整數(shù)次冪都是0。
注意：除0以外的任何數(shù)的“0次冪”結果為1。
3.科學記數(shù)法：把一個大于的數(shù)表示成的形式（其中，是正整數(shù)）．
注意：用科學記數(shù)法表示一個位整數(shù)，其中的指數(shù)是，的指數(shù)比整數(shù)的位數(shù)少．
考點1、有理數(shù)乘方的概念
【解題方法】求n個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪，
即：；在中，叫做底數(shù)， n叫做指數(shù)。
例1．（23-24七年級上·安徽安慶·期末）下列說法正確的是（　　）
A．的底數(shù)是 B．表示5個2相加 C．與意義相同 D．的底數(shù)是2
變式1．（23-24七年級上·陜西西安·階段練習）在中，底數(shù)是 ，指數(shù)是 ，冪是 ．
變式2．（23-24七年級上·山西臨汾·期末）（ ）
A． B． C． D．
考點2、有理數(shù)乘方的運算
【解題方法】有理數(shù)乘方的運算：（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；（2）負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0；（4）有理數(shù)的乘方運算與有理數(shù)的加減乘除運算一樣，首先應確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值。
例1．（2023春·上海靜安·七年級校考期中）下列各式中，正確的是 ）
A． B． C． D．
變式1．（23-24七年級·黑龍江哈爾濱·階段練習）下列計算正確的是（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2023春·浙江衢州·七年級校考階段練習）已知在，，，這4個數(shù)中，最大的數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
考點3、乘方運算的符號規(guī)律
【解題方法】乘方的符號規(guī)律：
1）負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)，即“奇負偶正”；
2）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；3）0的任何正整數(shù)次冪都是0。
例1．（23-24七年級上·河南信陽·期中）在，，，0中，非負數(shù)有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
變式1．（2023·廣西·七年級校考階段練習）已知為正整數(shù)，計算的結果是（　　）
A．1 B．-1 C．0 D．2
變式2．（2023·廣東·七年級期中）若非零數(shù)a，b互為相反數(shù)，下列四組數(shù)中，互為相反數(shù)的個數(shù)為（ ）
①與；②與；③與；④與
A．0 B．1 C．2 D．3
變式3．（22-23七年級上·安徽蕪湖·期末）若是負數(shù)，則下列各式正確的是（ ）
A． B． C． D．
考點4、有理數(shù)乘方的逆運算（簡算）
【解題方法】性質：
例1．（22-23七年級上·福建三明·期中）（1）計算下面兩組算式：
①與； ②與；
（2）根據(jù)以上計算結果想開去：等于什么 （直接寫出結果）
（3）猜想與驗證：當為正整數(shù)時，等于什么 請你利用乘方的意義說明理由．
（4）利用上述結論，求的值．
變式1．（2023七年級上·江蘇·專題練習）計算：（ ）
A． B．1 C．0 D．2023
變式2．（23-24七年級上·河北石家莊·期中）若，則的值可以表示為（ ）
A． B． C． D．
變式3．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考一模）定義運算：若，則，例如，則．運用以上定義，計算：（ ）
A． B．2 C．1 D．4
考點5、偶次方的非負性的運用
例1．（23-24七年級上·廣東韶關·階段練習）若，則 ， ．
例2．（23-24七年級上·河南鄭州·階段練習）為有理數(shù)，下列說法中正確的是（　　）
A．是正數(shù) B．是正數(shù) C．是負數(shù) D．的值不小于
變式1．（22-23七年級上·云南昆明·期中）若，則 ．
變式2．（23-24七年級·上海寶山·期中）若，那么 ．
考點6、有理數(shù)乘方的實際應用
【解題方法】此類題型的難點在于分析問題，建立乘方的數(shù)學模型。基本步驟為：首先從特殊情形入手，逐步分析、歸納，找出變化規(guī)律；然后根據(jù)規(guī)律寫出乘方數(shù)學模型；最后根據(jù)題干要求計算結果。
例1．（23-24七年級上·江蘇泰州·階段練習）有一種細菌，經過1分鐘分裂成2個，再過1分鐘，又發(fā)生了分裂，變成4個．把這樣一個細菌放在瓶子里繁殖，直至瓶子被細菌充滿為止，用了1小時，如果開始時，就在瓶子里放入這樣的細菌16個，那么細菌充滿瓶子所需要的時間為（ ）
A．44分鐘 B．56分鐘 C．半小時 D．1小時
例2．（23-24七年級上·河南鄭州·階段練習）你喜歡吃拉面嗎？拉面館的師傅，用一根很粗的面條，把兩頭捏合在一起拉伸，再拉伸，反復幾次，如草圖所示．這樣捏合到第8次后可拉出 根細面條．
例3．（23-24七年級·山東淄博·期中）在日常生活中，我們用十進制來表示數(shù)，如．計算機中采用的二進制，即只需要0和1兩個數(shù)字就可以表示數(shù)，如二進制中的，可以表示十進制中的10，那么二進制中的表示十進制中的 ．
變式1．（2024·四川達州·三模）在我國古書《易經》中有“上古結繩而治”的記載，它指“結繩記事”或“結繩記數(shù)”．如圖，一遠古牧人在從右到左依次排列的繩子上打結，滿6進1，用來記錄他所放牧的羊的只數(shù)，由圖可知，他所放牧的羊的只數(shù)是（ ）
A．1234 B．310 C．60 D．10
變式2．（22-23七年級·浙江溫州·期中）小明的文檔中有一個如圖1的實驗中學，他想在這個文檔中用1000個這種，設計出一幅如圖2樣式的圖案．他使用“復制粘貼”（用鼠標選中，右鍵點擊“復制”，然后在本文檔中“粘貼” 的方式完成，則他需要使用“復制粘貼”的次數(shù)至少為（　　）
A．9次 B．10次 C．11次 D．12次
變式3．（23-24七年級上·遼寧丹東·期中）一根1米長的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第7次后截去的木棒長為（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
變式4．（2023·河南南陽·統(tǒng)考一模）觀察下列等式：，，，，，，…，根據(jù)其中的規(guī)律可得的結果的個位數(shù)字是（ ）
A． B． C． D．
考點7、有理數(shù)乘方的新定義問題
【解題方法】“新定義”型問題是指在問題中定義了初中數(shù)學中沒有學過的一些概念、新運算、新符號，要求學生讀懂題意并結合已有知識進行理解，而后根據(jù)新定義進行運算、推理、遷移的一種題型.它一般分為三種類型：（1）定義新運算；（2）定義初、高中知識銜接“新知識”;（3）定義新概念.這類試題考查考生對“新定義”的理解和認識，以及靈活運用知識的能力，解題時需要將“新定義”的知識與已學知識聯(lián)系起來，利用已有的知識經驗來解決問題.
例1．（23-24七年級·黑龍江綏化·階段練習）用“※”定義一種新運算，規(guī)定，如，
(1)求的值；(2)求的值．
例2．（23-24七年級上·云南昆明·期中）【概念學習】
規(guī)定：若求若干個相同的有理數(shù)均不等于的除法運算叫做除方，如，，我們把記作，讀作“的圈次方”，記作，讀作“的圈次方”．一般的，我們把記作，讀作“的圈次方”．
【初步探究】
（1）直接寫出計算結果________， ________，________．
【深入思考】我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算
（2）試一試：仿照上面的算式，將下列運算結果直接寫成冪的形式：
________， ________，________．
（3）想一想：將一個非零有理數(shù)的圈次方寫成冪的形式是________．
變式1．（2023·湖南·七年級校考期中）定義一種運算符號“★”：，如：，那么的結果是_______．
變式2．（2023·廣東·七年級校考期中）定義一種對正整數(shù)n的“F運算”：①當n為奇數(shù)時，結果為3n＋5；②當n為偶數(shù)時，結果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運算重復進行．例如，取n＝26，則：
若n＝449，則第2020次“F運算”的結果是______．
變式3．（2023秋·湖南常德·七年級統(tǒng)考期末）已知，記作，已知，記作，已知，記作，那么：（1）______；
（2）( )．
考點8、用科學記數(shù)法表示大于1的數(shù)
【解題方法】科學記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．
注意：①科學記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n；②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學記數(shù)法表示，實質上絕對值大于10的負數(shù)同樣可用此法表示，只是前面多一個負號；③將計數(shù)單位改寫為具體的數(shù)，再根據(jù)科學計數(shù)法表示即可。如：1萬=10000；1億=100000000。
例1．（2024·遼寧·二模）我國的嫦娥四號探測器成功在月球背面著陸，標志著我國已經成功開始對月球背面的研究，填補了國際空白．月球距離地球的平均距離為千米，數(shù)據(jù)用科學記數(shù)法表示為( )
A． B． C． D．
例2．（2024·浙江杭州·二模）2024年春節(jié)假期期間，“人從眾”的火熱場面在浙江各大景點持續(xù)“上演”．統(tǒng)計表明，春節(jié)假期期間，浙江省累計接待游客3032.6萬人次，按可比口徑較上年增長25.3%．將數(shù)據(jù)3032.6萬用科學記數(shù)法表示為（　　）
A． B． C． D．
變式1．（2024·湖南長沙·二模）中科院國家天文臺基于我國郭守敬望遠鏡和美國巡天的觀測數(shù)據(jù)，精確測量了距離銀河系中心1.6萬光年至8.1萬光年范圍內的恒星運動速度，并估算出銀河系的“體重”約為8050億個太陽質量．其中數(shù)據(jù)“8050億”用科學記數(shù)法可表示為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2024·山西忻州·三模）祖沖之是世界上第一位將圓周率計算到小數(shù)點后第7位的數(shù)學家，截至2024年3月14日，人類已經將圓周率計算到小數(shù)點后約105萬億位．從最初的小數(shù)點后幾位，到如今的小數(shù)點后105萬億位，每一次精度的提升都代表著人類計算能力的巨大進步．數(shù)據(jù)105萬億用科學記數(shù)法表示為（ ）
A． B． C． D．
考點9、用科學記數(shù)法表示大于1的數(shù)（含計算）
【解題方法】此類問題需先計算出所需科學記數(shù)法表示的原始數(shù)據(jù)，再根據(jù)考點1中的方法求解即可。
例1．（23-24七年級上·山西·期中）獻禮新中國成立周年的影片《我和我的祖國》，不僅彰顯了中華民族的文化自信，也激發(fā)了觀眾強烈的愛國情懷與觀影熱情．據(jù)某網站統(tǒng)計，國慶期間，此部電影票房收入約億元，平均每張票約元，估計觀影人次約為（用科學記數(shù)法表示）（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·河南漯河·二模）生物學指出：生態(tài)系統(tǒng)中，每輸入一個營養(yǎng)級的能量，大約只有的能量能夠流動到下一個營養(yǎng)級，在這條生物鏈中（表示第n個營養(yǎng)級，，2，，5），要使獲得50千焦的能量，那么需要．提供的能量用科學記數(shù)法表示約為（ ）
A．千焦 B．千焦 C．千焦 D．千焦
變式1．（23-24七年級上·山東菏澤·期中）中國是嚴重缺水的國家之一，人均淡水資源為世界人均量的四分之一，所以我們?yōu)橹袊?jié)水，為世界節(jié)水．一紙杯水大約0.25升，若每人每天浪費一紙杯水，那么100萬人每天浪費的水（單位：升），用科學記數(shù)法表示為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（23-24七年級上·廣東·期中）一粒米微不足道，平時總會在飯桌上毫不經意地掉下幾粒，甚至有些挑食的同學會把整碗米飯倒掉．針對這種浪費糧食現(xiàn)象，老師組織同學們進行了實際測算，稱得500粒大米約重10克．現(xiàn)在請你來計算：(1)一粒大米重約多少克？(2)按14億人口，每年365天，每人每天三餐計算，若每人每餐節(jié)約一粒大米，一年大約能節(jié)約大米多少千克？（用科學記數(shù)法表示）；(3)若我們把一年節(jié)約的大米賣成錢，按4元/千克計算，可賣得人民幣多少元？（用科學記數(shù)法表示）；(4)經過以上計算，你有何感想和建議？
考點10、將用科學記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù)
【解題方法】解題的關鍵是掌握將科學記數(shù)法還原的法則：將科學記數(shù)法表示的數(shù)，“還原”成通常表示的數(shù)就是把a的小數(shù)點向右移動n位所得到的數(shù)．
例1．（2024·河北邢臺·模擬預測）若一個整數(shù)用科學記數(shù)法表示為，則原數(shù)中“0”的個數(shù)為（ ）
A．7 B．8 C．10 D．11
例2．（2024·河北邯鄲·二模）月球到地球近地點的距離約為千米，則是（ ）
A．4位數(shù) B．5位數(shù) C．6位數(shù) D．7位數(shù)
變式1．（2024·山東泰安·二模）2024年某市計劃重點工程建設項目投資總額為整數(shù)用科學記數(shù)法表示為，則原數(shù)中0的個數(shù)為（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
變式2．（2024·河北邯鄲·模擬預測）是人工智能研究實驗室推出的一種由人工智能技術驅動的自然語言處理工具，其技術底座有著多達個模型參數(shù)．數(shù)據(jù)“”的位數(shù)為（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
全卷共25題 測試時間：70分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2024年浙江省嘉興市中考三模數(shù)學試題）2023年嘉興市生產總值（GDP）7062.45億元，用科學記數(shù)法表示7062.45億，正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·廣東深圳·三模）2024年5月3日，嫦娥六號探測器準確進入“地月轉移”軌道，由此開啟世界首次“月背挖寶”之旅．該探測器近地點高度約200千米，遠地點高度約38萬千米．數(shù)據(jù)38萬用科學記數(shù)法可以表示為（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年級上·河南鄭州·期末）一張紙的厚度大約為，如圖，將其對折、壓平，稱作第1次操作，再將其對折、壓平，稱作第2次操作…假設這張紙足夠大，每一次也能壓得足夠平整，如此重復，則第10次操作后的厚度最接近于（ ）
A．數(shù)學課本的厚度 B．姚明的身高 C．一層樓房的高度 D．一支中性筆的長度
4．（23-24七年級·上海黃浦·期中）下列計算正確的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·安徽合肥·校考模擬預測）式子與的正確判斷是（ ）
A．當為偶數(shù)時，這兩個式子互為相反數(shù) B．這兩個式子是相等的
C．當為奇數(shù)時，它們互為相反數(shù) D．為偶數(shù)時它們相等
6．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考二模）在算式中的“”里填入一個運算符號，使得它的結果最小（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·廣東東莞·七年級期中），由此你能算出（ ）
A．6 B．8 C． D．十分麻煩
8．（2023·福建廈門·七年級校考期中）七年級某班的學生共有49人，軍訓時排列成的方陣，做了一個游戲，起初全體學生站立，教官每次任意點n個不同學號的學生，被點到的學生，站立的蹲下，蹲下的站立，且學生都正確完成指令同一名學生可以多次被點，則m次點名后，（n，m為正整數(shù)）下列說法正確的是（ ）
A．當n為偶數(shù)時，無論m何值，蹲下的學生人數(shù)不可能為奇數(shù)個
B．當n為偶數(shù)時，無論m何值，對下的學生人數(shù)不可能為偶數(shù)個
C．當n為奇數(shù)時，無論m何值，蹲下的學生人數(shù)不可能為偶數(shù)個
D．當n為奇數(shù)時，無論m何值，蹲下的學生人數(shù)不可能為奇數(shù)個
9．（2023·廣東東莞·九年級校考期中）某公園將免費開放一天，早晨6時30分有2人進公園，第一個30min內有4人進去并出來1人，第二個30min內進去8人并出來2人，第三個30min內進去16人并出來3人，第四個30min內進去32人并出來4人，······按照這種規(guī)律進行下去，到上午11時30分公園內的人數(shù)是（ ）
A． B．4039 C．8124 D．16304
10．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·七年級統(tǒng)考期末）觀察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38 =6561，…，根據(jù)上述算式中的規(guī)律，221+311的末位數(shù)字是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
11．（23-24七年級上·貴州六盤水·期末）如圖，將面積為1的長方形紙片分割成8個部分，部分①的面積是原長方形紙片面積的一半，部分②的面積是部分①面積的一半，部分③的面積是部分②面積的一半，依次類推，陰影部分的面積為（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·四川成都·七年級校考階段練習）若a，b為有理數(shù)，下列判斷正確的個數(shù)是（ ）
（1）總是正數(shù)；（2）總是正數(shù)；（3）的最大值為5；（4）的最大值是3．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
13．（2024年上海市中考數(shù)學試題）科學家研發(fā)了一種新的藍光唱片，一張藍光唱片的容量約為，一張普通唱片的容量約為25，則藍光唱片的容量是普通唱片的 倍．（用科學記數(shù)法表示）
14．（2024·江蘇南京·一模）計算的結果是 ．
15．（2023·廣東廣州·七年級統(tǒng)考期末）在中，底數(shù)是______，指數(shù)是______.計算：______.
16．（23-24七年級上·江蘇連云港·階段練習）如下是張小琴同學的一張測試卷，她的得分應是 ．
姓名：張小琴 得分： 填空（每小題25分，共100分） ①的底數(shù)是；②的立方是；③若，則；④若，則．
17．（23-24七年級上·廣東揭陽·期末）計算：
18．（23-24七年級上·浙江金華·階段練習）紅紅有5張寫著以下數(shù)字的卡片，請你按要求抽出卡片，完成下列各問題：
(1)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字乘積最大，最大值是________
(2)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字相除的商最小，最小值是________
(3)從中取出除0以外的其他4張卡片，將這4個數(shù)字進行加、減、乘、除或乘方等混合運算，使運算結果為24（注：每個數(shù)字只能用一次，請寫出兩種符合要求的運算式子：
________________________________ ________________________________
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（23-24七年級上·四川南充·階段練習）計算：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)．
20．（22-23七年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知第一個正方體紙盒的棱長為，第二個正方體紙盒的體積比第一個正方體紙盒的體積大．
(1)求第二個正方體紙盒的棱長；(2)第二個正方體紙盒的表面積比第一個正方體紙盒的表面積多多少？
21．（23-24七年級上·福建福州·階段練習）生活中常用的十進制是用這十個數(shù)字來表示數(shù)，滿十進一，例：；
計算機常用二進制來表示字符代碼，它是用0和1兩個數(shù)來表示數(shù)，滿二進一，
例：二進制數(shù)10010轉化為十進制數(shù)：；
其他進制也有類似的算法…
(1)【發(fā)現(xiàn)】根據(jù)以上信息，將二進制數(shù)“10110”轉化為十進制數(shù)是________；
(2)【遷移】按照上面的格式將八進制數(shù)“4372”轉化為十進制數(shù)；
(3)【應用】在我國遠古時期，人們通過在繩子上打結來記錄數(shù)量，即“結繩計數(shù)”，如圖所示是遠古時期一位母親記錄孩子出生后的天數(shù)，在從右向左依次排列的不同繩子上打結，滿五進一，根據(jù)圖示，求孩子已經出生的天數(shù)．
22．（2023·江蘇·七年級專題練習）閱讀計算：
閱讀下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4…
回答下列三個問題：(1)驗證：（4×0.25）100＝　　；4100×0.25100＝　　．
(2)通過上述驗證，歸納得出：（ ）n＝　　；（ ）n＝　　．
(3)請應用上述性質計算：（﹣0.125）2015×22014×42014．
23．（2024·山東·七年級校考期中）利用圖1的二維碼可以進行身份識別，某校建立了一個身份識別系統(tǒng)，圖2是某個學生的識別圖條，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，將第一行數(shù)字從左到右一次記為，那么可以轉換為該生所在班級序號，其序號為，（規(guī)定）如圖2第一行數(shù)字從左到右依次為0，1，0，1，序號為，表示該生為5班的學生．
(1)圖3中所來示學生所在班級序號是_____________．
(2)我校兩校區(qū)七年級共有18個班，班級編號從1至18，問是否能用該系統(tǒng)全部識別？若能，請說明原因，并在圖4的第一行表示出班級編號為18的班級．若不能，請你運用數(shù)字“”、“”，結合“+”、“”、“×”、“÷”或乘方運算（每個數(shù)字和符號使用次數(shù)不限）對該系統(tǒng)規(guī)則進行改編，并求出改編后的新系統(tǒng)規(guī)則可表示的班級編號范圍．
24．（2023秋·江西宜春·七年級統(tǒng)考期末）類比乘方運算，我們規(guī)定：求n個相同有理數(shù)（均不為0）的商的運算叫做除方．例如，記作，讀作“2的引4次商”；一般地，把（，，且為整數(shù)）記作，讀作“a的引n次商”．
(1)直接寫出計算結果：______，______；
(2)歸納：負數(shù)的引正奇數(shù)次商是______數(shù)，負數(shù)的引正偶數(shù)次商是______數(shù)（填“正或負”）；
(3)計算：．
25．（2023·浙江紹興·七年級校聯(lián)考階段練習）我們常用的數(shù)是十進制數(shù)，計算機程序使用的是二進制數(shù)（只有數(shù)碼0和，它們兩者之間可以互相換算，如將，換算成十進制數(shù)為：
；；
兩個二進制數(shù)可以相加減，相加減時，將對應數(shù)位上的數(shù)相加減．與十進制中的“逢十進一”、“退一還十”相類似，應用“逢二進一”、“退一還二”的運算法則，如：；，用豎式運算如右側所示．．
(1)按此方式，將二進制換算成十進制數(shù)的結果是　 　．(2)計算：　 　（結果仍用二進制數(shù)表示）；　 　（結果用十進制數(shù)表示）．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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