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高考試題中復數問題的類型與解法
大家知道，復數問題是近幾年高考的熱點問題之一，基本每卷必有一個五分小題。從題型來看是，屬于選擇題或填空題，難度系數都比較低。縱觀近幾年高考試題，復數問題歸結起來主要包括：①復數概念問題；②復數運算問題；③復數幾何意義問題；④給定一定的條件，求參數的值（或潛在范圍）的問題等幾種類型。各種類型結構上具有一定的特征，解答方法也各不相同。那么在解答復數問題時，如何抓住問題的特征，快捷，準確地解答問題呢？下面通過典型例題的詳細解析來回答這個問題。
【典例1】解答下列問題：
1、 （理）設Z=5+i，則i（Z+）=( )
A 10i B 2i C 10 D -2
（文）設Z=i，則Z。=（ ）(2024全國高考甲卷)
A -i B 1 C - 1 D 2
2、若=1+i，則Z=（ ）（2024全國高考新高考I）
A -1-i B -1+ i C 1-i D 1+i
3、 已知Z=-1-i，則|Z|=（ ）（2024全國高考新高考II）
A 0 B 1 C D 2
4、復數Z= （i為虛數單位），則|Z|= （成都市高2021級高三零診）
5、已知復數Z= （i為虛數單位），則Z的虛部為（ ）（成都市高2021級高三一診）
A -1 B 1 C -i D i
6、 設復數z=(i為虛數單位)，則|z|=（ ）（成都市高2021級高三二診）
A B C 1 D
7、若復數（a+i）（1-ai）=2，則a=（ ）（2023全國高考甲卷理）
A -1 B 0 C 1 D 2
8、（理）設Z=，則=（ ）
A 1-2i B 1+ 2i C 2-i D 2+i
（文）|2++2|=（ ）（2023全國高考乙卷）
A 1 B 2 C D 5
9、滿足（1+i）Z= 3+i（i為虛數單位）的復數Z=（ ）（成都市高2020級高三一診）
A 2-i B 2+i C 1+2i D 1-2i
10、復數z=2i++(i為虛數單位)，則|z|的值為 。
11、（理）若Z=-1+i，則=（ ）
A -1+ i B -1-i C -+i D --i
（文）若Z=-1+i，則|Zi+3|=（ ）（2022全國高考甲卷）
A 4 B 4 C 2 D 2
12、（理）已知Z=1-2i，且Z+a+b=0，其中a，b為實數，則（ ）
A a=1，b=-2 B a=-1，b=2 C a=1，b=2 D a=-1，b=-2
（文）設（1+2i）a+b=2i，其中a，b為實數，則（ ）（2022全國高考乙卷）
A a=1，b=-1 B a=1，b=1 C a=-1，b=1 D a=-1，b=-1
13、若i（1-Z）=1，則Z+=（ ）（2022全國高考新高考I卷）
A -2 B -1 C 1 D 2
14、已知Z=3+2i，則Z=（ ）（2021全國高考甲卷）
A -1- i B -1+i C +i D -i
15、（理）設2（Z+）+3（Z-）=4+6i，則Z=（ ）
A 1-2 i B 1+2i C 1+i D 1-i
（文）設iZ=4+3i，則Z=（ ）（2021全國高考乙卷）
A -3-4 i B -3+4i C 3-4i D 3+4i
16、復數Z=（i為虛數單位），則Z的共軛復數是（ ）（成都市2021高三一診）
A -2-i B -2+i C 2-i D 2+i
『思考問題1』
（1）【典例1】是與復數基本概念相關的問題，復數的基本概念主要包括：①復數的定義；②復數實部，虛部的定義；③復數的分類；④復數相等的充分必要條件；⑤復數的模；⑥共軛復數定義與性質等問題。解答這類問題的基本方法：①根據復數基本概念，運用復數運算法則和基本方法通過運算；②得到復數的代數表示式；③求出問題結果。
（2）處理有關復數基本概念的問題，注意應用復數標準的代數表示式，如果復數不是標準的代數表示式，則應根據復數的性質，運用復數運算法則和基本方法通過運算把復數化成標準的代數表示式，然后根據復數基本概念得出結果。
〔練習1〕解答下列問題：
1、已知i為虛數單位，則復數Z=(1+i) (2-i)的虛部為（ ）（成都市2021高三二診）
A -i B i C -1 D 1
2、已知復數Z=（i為虛數單位），則|Z|=（ ）（成都市2021高三三診）
A 1 B C 2 D
3、（理）若Z=1+i，則|-2Z|=（ ）
A 0 B 1 C D 2
（文）已知復數Z滿足（Z-1）i=1+i，則Z=（ ）（2020全國高考新課標I）
A -2-i B -2+i C 2-i D 2+i
4、（理）設復數，滿足||=||=2，+=+i，則|-|= 。
（文）=（ ）（2020全國高考新課標II）
A -4 B 4 C -4i D 4i
5、（理）復數的虛部是（ ）
A - B - C D
（文）若（1+i）=1-i，則Z=（ ）（2020全國高考新課標III）
A 1-i B 1+i C -i D i
6、復數z=（i為虛數單位）的虛部是（ ）（成都市2020高三零診）
A B - C i D -i
7、若復數與=-3-i（i為虛數單位）在復平面內對應的點關于實軸對稱，則=（ ）（成都市2020高三一診）
A -3-i B -3+i C 3+i D 3-i
8、復數Z滿足Z（1+i）=2(i為虛數單位)，則Z的虛部為（ ）（成都市2020高三二診）
A i B -i C -1 D 1
9、已知復數Z=（i為虛數單位），則|Z|=（ ）（成都市2020高三三診）
A 1 B C 2 D
10、復數Z=（2+i）（1+i）的共軛復數為（ ）（成都市2019高三三診）
A 3-3i B 3+3i C 1+3i D 1-3i
11、已知復數Z=2+i，則Z. =（ ）（2019全國高考北京）
A B C 3 D 5
12、設復數Z滿足i（Z+1）=-3+2i(i是虛數單位),則Z的實部是 。（2019全國高考江蘇）
13、復數Z=-i（1+2i）的共軛復數為（ ）（2018成都市高三零診）
A 2+i B 2-i C -2+i D -2-i
14、（理）若復數Z=（其中a R，i為虛數單位）的虛部為-1，則a= ；
（文）復數Z=（i為虛數單位）的虛部為 （2017成都市高三一珍）。
15、（理）設有下列四個命題：：若復數Z滿足R，則ZR；：若復數Z滿足R，則ZR；：若復數，滿足R，則=；：若復數ZR，則R。其中的真命題為（ ）
A ， B ， C ， D ，
（文）下列各式的運算結果為純虛數的是（ ）（2017全國高考新課標I卷）
A i B （1-i） C D i(1+i)
16、設復數Z滿足（1+i）Z=2i，則|Z|=（ ）（2017全國高考新課標III理）
A B C D 2
17、已知復數Z=（1+i）（1+2i），其中i是虛數單位，則Z的模是 （2017全國高考江蘇卷）
18、i是虛數單位，復數z滿足（1+i）z=2，則z的實部為 ；
19、若（1+i）+（2-3i）=a+bi（a，b∈R，i是虛數單位），則a，b的值分別等于（ ）
A 3， -2 B 3，2 C 3，-3 D -1，4
20、若復數Z滿足：（3-4i）Z=|4+3i|，則Z的虛部為（）
A -4 B - C 4 D
21、若=（+m+1）+（+m-4）i（m∈R），=3-2i，則“m=1”是“=”的（ ）
A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件
22、已知aR，復數=2+ai，=1-2i，若為純虛數，則復數的虛部為（ ）
A 1 B i C D 0
23、如果復數是實數，則實數m等于（ ）
A -1 B 1 C - D
24、 設a、bR，且b≠0，若復數是實數，則（ ）
A =3 B =3 C =9 D =9
25、設是復數，=-i（其中表示的共軛復數），已知的實部是-1，則的虛部為 。
26、復數的虛部為 ；
27、復數Z=a+bi，a，bR，且b≠0，若-4bZ是實數，則有序實數對（a，b）可以是
，（寫出一個有序實數對即可）
28、若復數（1+bi）(2+i)是純虛數（i是虛數單位，b是實數），則b=（ ）
A -2 B - C D 2
【典例2】解答下列問題：
1、=（ ）（2023全國高考甲卷文）
A -1 B 1 C 1-i D 1+i
2、已知Z=，則Z-=（ ）（2023全國高考新高考I）
A -i B i C 0 D 1
3、（2+2i）（1-2i）=（ ）（2022全國高考新高考II卷）
A -2+4i B -2-4i C 6+2i D 6-2i
4、已知Z=2-i，則Z(+i)=（ ）（2021全國高考新高考I）
A 6-2i B 4-2i C 6+2i D 4+2i
5、=（ ）（2020全國高考新高考I）
A 1 B -1 C i D -i
6、若Z（1+i）=2i，則Z=（ ）（2019全國高考新課標III）
A -1-i B -1+i C 1-i D 1+i
7、（理）=（ ）
A 1+2i B 1-2i C 2+i D 2-i
（文）（1+i）（2+i）=（ ）（2017全國高考新課標II卷）
A 1-i B 1+3i C 3+i D 3+3i
8、設i為虛數單位，則復數等于（ ）（2016全國高考四川卷）
A 0 B 2 C 2i D 2+2i
『思考問題2』
（1）【典例2】是復數運算的問題，解答這類問題需要理解復數運算的定義，掌握復數運算的法則和基本方法；
（2）復數乘法法則類似于多項式與多項式的乘法法則，除法法則實質上就是分母實數化，即分子，分母同乘以分母的共軛復數，類似于分母有理化的法則。在具體進行復數運算時應該注意兩點：①出現時必須用-1代替；②復數實數化類似分母有理化，但又有一定的區別；
（3）復數問題實數化是解決復數問題的基本方法之一，其理論依據是復數相等的充分必要條件和共軛復數的性質；運用復數的實數化還可以解答求復數方程的實數解，求復平面上動點的軌跡問題。
〔練習2〕按要求解答下列問題：
1、設（1+i）x=1+yi，其中x，y是實數，則|x+yi|等于（ ）（2016全國高考新課標II卷）
A 1 B C D 2
2、若z=1+2i，則等于（ ）（2016全國高考新課標III卷）
A 1 B -1 C i D -i
3、+ = （2016全國高考北京卷）
4、若復數z滿足2z+=3-2i，其中i為虛數單位，則z等于（ ）（2016全國高考山東卷）
A 1+2i B 1-2i C -1+2 i D -1 -2i
5、若z=4+3i，則等于（ ）（2016全國高考新課標III卷）
A 1 B -1 C + i D - i
6、（理）設復數Z滿足=i，則|Z|=（ ）
A 1 B C D 2
（文）已知復數Z滿足（Z-1）i=i+1，則Z=（ ）（2016全國高考新課標I卷）
A -2-i B -2+i C 2-i D 2+i
7、若復數滿足=i，其中i為虛數單位，則Z=（ ）
A 1-i B 1+i C -1-i D -1+i
8、= ；
9、+ = ；
10、設復數Z滿足=i，則Z=（ ）
A -2+i B -2-i C 2-i D 2+i
11、= ；
12、復數等于（ ）
A 4i B -4i C 2i D -2i
13、已知復數=1-i，. =1+i，則復數= ；
14、i是虛數單位，= 。
【典例3】解答下列問題：
1、若復數Z滿足（Z+1）i=-1-i，則Z在復平面內對應的點位于（ ）（成都市高2021級高三三診）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
2、在復平面內（1+3i）（3-i）對應的點位于（ ）（2023全國高考新高考II）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
3、復數在復平面內對應的點所在的象限為（ ）（2021全國高考新高考I）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
4、復數z=（i為虛數單位）在復平面內對應的點位于（ ）（成都市2021高三零診）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
5、復數z= （i是虛數單位）在復平面內對應的點位于（ ）（成都市2019高三一診）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
6、（理）設復數Z滿足|Z-i|=1,Z在復平面內對應的點為（x，y），則（ ）
A + =1 B + =1 C + =1 D + =1
（文）設Z=，則|Z|=（ ）（2019全國高考新課標I）
A 2 B C D 1
7、（理）設Z=-3+2i，則在復平面內其對應的點位于（ ）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
（文）設Z=i（2+i），則=（ ）（2019全國高考新課標II）
A 1+2i B -1+2i C 1-2i D -1-2i
8、復數Z=在復平面內對應的點位于（ ）（2018成都市高三一診）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
『思考問題3』
（1）【典例3】是復數在復平面內對應點的坐標問題，解答這類問題需要理解：①復數z= a+bi（a，bR）C與復平面內的點是一一對應的，從而復數的幾何問題可以轉化為平面直角坐標系內點的坐標問題；②復數z= a+bi（a，bR）C與復平面內所有以原點為起點的向量組成的集合是一一對應的，所以復數的幾何問題也可以轉化為平面向量的問題；
（2）運用復數在復平面內對應點的坐標解答相關問題的基本方法是：①分辨清楚問題是與復平面內的點相關，還是與復平面內的向量相關；②結合相應的圖形，從圖形上去尋找突破口，使問題得到解答。
〔練習3〕解答下列問題：
1、若復數=a+i（a R），=1-i，且為純虛數，則在復平面內所對應的點位于（ ）（2017成都市高三二診）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
2、如圖所示，平行四邊形OABC，頂點O， y B
A，C分別表示0，3+2i，-2+4i，試求：
（1），所表示的復數； C A
（2）對角線所表示的復數；
（3）B點對應的復數。 O x
3、設i是虛數單位，則復數在復平面內所對應的點位于（ ）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
4、復數Z= （i是虛數單位）在復平面內對應的點所在的象限為（）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
5、在復平面內，復數對應的點的坐標為 ；
6、若i為虛數單位，圖中復平面內點Z表示復數z， y 2 ----------|E
則表示復數是（ ） F|---------1 ---------|-------| Z
A E B F C G D H | | |
7、在復平面內，復數Z=i(1+2i)對應的點位于（ ） -3 -2 -1 0 1 2| 3 x
G |--------1 ----------|H
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
8、在復平面內，復數Z=sin2+icos2對應的點位于（ ）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
9、在復平面內，復數Z= 對應的點位于（ ）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
【典例4】按要求解答下列問題：
1、復數Z=（a+i）（2+i）是純虛數（i為虛數單位），則實數a的值為 （成都市高2020級高三三珍）
2、（理）已知復數Z= ，aR，若Z為純虛數，則a= ；
（文）已知復數Z= ，則|Z|= ；（成都市2019高三二診）
3、若復數（1-i）（a+i）在復平面內對應的點在第二象限，則實數a的取值范圍是（ ）（2017全國高考北京卷）
A （- ，1） B （- ，-1） C （1，+ ） D （-1，,+ ）
『思考問題4』
（1）【典例4】是已知復數滿足某個條件，求其中的參數（實數）的值（或取值范圍）的問題，解答這類問題需要先通過復數的運算，再結合復數的基本概念，得到關于參數的方程（或方程組）或不等式（或不等式組），然后求解方程（或方程組）或不等式（或不等式組）就可求出參數的值（或取值范圍）；
（2）兩個復數相等的充充分必要條件是：①實部與實部相等；②虛部與虛部相等；
（3）一個復數是實數的充分必要條件是虛部等于零；一個復數是虛數的充分必要條件是虛部不等于零；一個復數是純虛數的充分必要條件條件是實部等于零，虛部不等于零。
〔練習4〕解答下列問題：
1、已知Z=（m+3）+（m-1）i在復平面內對應的點在第四象限，則實數m的取值范圍是（ ）（2016全國高考新課標II卷）
A （-3，1） B （-1，3） C （1，+ ） D （- ，-3）
2、若a為實數，且=3+i，則a=（ ）（2016全國高考天津卷）
A -4 B -3 C 3 D 4
3、（理）若a為實數，且（2+ai）(a-2i)=-4i，則a=（ ）
A -1 B 0 C 1 D 2
（文）若a為實數，且=3+i，則a=（ ）（2016全國高考新課標II卷）
A -4 B -3 C 3 D 4
4、已知=2i，其中i是虛數單位，那么實數= ；
5、若復數（-3a+2）+(a-1)i是純虛數，則實數a的值為（ ）
A 1 B 2 C 1或2 D - 1
6、設a是實數，且是實數，則a=（ ）
A B 1 C D 2
7、若a為實數，，則a等于（ ）
A B - C 2 D - 2
8、設aR，且i為正實數，則a=（ ）
A 2 B 1 C 0 D -1
9、若復數（1+bi）(2+i)是純虛數（i是虛數單位，b是實數），則b=（ ）
A -2 B - C D 2
高考試題中復數問題的類型與解法
大家知道，復數問題是近幾年高考的熱點問題之一，基本每卷必有一個五分小題。從題型來看是，屬于選擇題或填空題，難度系數都比較低。縱觀近幾年高考試題，復數問題歸結起來主要包括：①復數概念問題；②復數運算問題；③復數幾何意義問題；④給定一定的條件，求參數的值（或潛在范圍）的問題等幾種類型。各種類型結構上具有一定的特征，解答方法也各不相同。那么在解答復數問題時，如何抓住問題的特征，快捷，準確地解答問題呢？下面通過典型例題的詳細解析來回答這個問題。
【典例1】解答下列問題：
1、（理）設Z=5+i，則i（Z+）=( )
A 10i B 2i C 10 D -2
（文）設Z=i，則Z。=（ ）(2024全國高考甲卷)
A -i B 1 C - 1 D 2
【解析】
【考點】①復數定義與性質；②共軛復數定義與性質；③復數運算法則和基本方法。
【解題思路】（理）根據復數和共軛復數的性質，運用復數運算法則和運算的基本方法，結合問題條件通過運算求出i（Z+）就可得出選項。（文）根據復數和共軛復數的性質，運用復數運算法則和運算的基本方法，結合問題條件通過運算求出Z。就可得出選項。
【詳細解答】（理） Z=5+i，=5-i， i（Z+）= i（5+i+5-i）=10i，A正確，選A。（文）Z=i，=-i， Z。=i。（-i）=-2=2，D正確，選D。
2、若=1+i，則Z=（ ）（2024全國高考新高考I）
A -1-i B -1+ i C 1-i D 1+i
解析】
【考點】①復數定義與性質；②復數運算法則和運算的基本方法。
【解題思路】根據復數的性質，運用復數運算法則和運算的基本方法，結合問題條件得到關于a，b的方程組，求解方程組求出a，b的值，從而得到復數Z的代數表示式，就可得出選項。
【詳細解答】設Z=a+bi（a，bR），===1+i，
=1①，=1②，聯立①②解得：a=1，b=-1，Z=1-I，C正確，選C。
3、已知Z=-1-i，則|Z|=（ ）（2024全國高考新高考II）
A 0 B 1 C D 2
【解析】
【考點】①復數定義與性質；②復數模的定義與性質；③求復數模的基本方法。
【解題思路】根據復數和復數模的性質，運用求復數模的基本方法，結合問題條件求出|Z|的值就可得出選項。
【詳細解答】 Z=-1-i，|Z|==，C正確，選C。
3、復數Z= （i為虛數單位），則|Z|= （成都市高2021級高三零診）
【解析】
【考點】①復數定義與性質；②復數運算法則和運算的基本方法；③復數模的定義與性質。
【解題思路】根據復數的性質，運用復數運算法則和運算的基本方法，結合問題條件得到復數Z的代數表示式，利用復數模的性質就可求出|Z|的值。
【詳細解答】 Z== = =-1-i， |Z|==。
5、已知復數Z= （i為虛數單位），則Z的虛部為（ ）（成都市高2021級高三一診）
A -1 B 1 C -i D i
【解析】
【考點】①復數定義與性質；②復數代數表示的基本方法；③復數運算法則和基本方法。
【解題思路】根據復數的性質和復數的代收表示方法，運用復數運算法則和基本方法，結合問題條件求出復數Z的代數表示式，從而求出復數Z虛部的值就可得出選項。
【詳細解答】 Z=====-i，Z的虛部為-1，A正確，選A。
6、設復數z=(i為虛數單位)，則|z|=（ ）（成都市高2021級高三二診）
A B C 1 D
【解析】
【考點】①復數定義與性質；②復數的運算法則和基本方法。
【解題思路】根據復數的性質，運用復數運算法則和基本方法，通過運算得到復數z的代數表示式，從而求出|z|的值就可得出選項。
【詳細解答】z===-i，|z|== ，B正確，選B。
7、若復數（a+i）（1-ai）=2，則a=（ ）（2023全國高考甲卷理）
A -1 B 0 C 1 D 2
【解析】
【考點】①復數定義與性質；②兩個復數相等定義與性質；③復數運算法則和基本方法。
【解題思路】根據復數和兩個復數相等的性質，運用復數運算法則和運算的基本方法，結合問題條件得到關于a的方程組，求解方程組求出a的值就可得出選項。
【詳細解答】 （a+i）（1-ai）=a-i+i-a=2a+（1-）i=2， 2a= 2①,1-=0②，聯立①②解得：a=1，C正確，選C。
8、（理）設Z=，則=（ ）
A 1-2i B 1+ 2i C 2-i D 2+i
（文）|2++2|=（ ）（2023全國高考乙卷）
A 1 B 2 C D 5
【解析】
【考點】①復數定義與性質；②共軛復數定義與性質；③復數運算法則和基本方法；④復數模定義與性質；⑤求復數模的基本方法。
【解題思路】（理）根據復數和共軛復數的性質，運用復數運算法則和運算的基本方法，結合問題條件通過運算求出復數Z，從而求出共軛復數就可得出選項。（文）根據復數的性質，運用復數運算法則和運算的基本方法，結合問題條件通過運算求出復數2++2的代數表示式，利用復數模的性質和求復數模的基本方法，求出|2++2|就可得出選項。
【詳細解答】（理） Z===1-2i，=1+2i，B正確，選B。（文）
2++2=2-1-2i=1-2i，|2++2|=|1-2i|==，C正確，選C。
9、滿足（1+i）Z= 3+i（i為虛數單位）的復數Z=（ ）（成都市高2020級高三一診）
A 2-i B 2+i C 1+2i D 1-2i
【解析】
【考點】①復數定義與性質；②復數代數表示的基本方法；③復數運算法則和基本方法。
【解題思路】根據復數的性質和復數的代收表示方法，運用復數運算法則和基本方法，結合問題條件得到關于a，b的方程組，求解方程組求出a，b的值，從而得到復數Z的代數表示式就可得出選項。
【詳細解答】設 Z=a+bi（a，b R），（1+i）Z= （a-b）+（a+b）i=3+i a-b=3①，a+b=1②，聯立①②解得：a=2，b=-1，Z=2-i，A正確，選A。
10、復數z=2i++(i為虛數單位)，則|z|的值為 （成都市高2020級高三二診）
【解析】
【考點】①復數定義與性質；②復數的運算法則和基本方法。
【解題思路】根據復數的性質，運用復數運算法則和基本方法，通過運算得到復數z的代數表示式，就可求出|z|的值。
【詳細解答】z=2i++=2i-1-i=-1+i，|z|== 。
11、（理）若Z=-1+i，則=（ ）
A -1+ i B -1-i C -+i D --i
（文）若Z=-1+i，則|Zi+3|=（ ）（2022全國高考甲卷）
A 4 B 4 C 2 D 2
【解析】
【考點】①復數定義與性質；②共軛復數定義與性質；③復數運算法則和基本方法；④復數模定義與性質；⑤求復數模的基本方法。
【解題思路】（理）根據復數和共軛復數的性質，運用復數運算法則和運算的基本方法，結合問題條件通過運算求出就可得出選項。（文）根據復數和共軛復數的性質，運用復數運算法則和運算的基本方法，結合問題條件通過運算求出Zi+3，利用復數模的性質和求復數模的基本方法，求出|Zi+3|就可得出選項。
【詳細解答】（理） Z=-1+i，=-1-i，=
== -+i，C正確，選C。（文） Z=1+i，=1-i， |Zi+3|=|2-2i|= = 2，D正確，選D。
12、（理）已知Z=1-2i，且Z+a+b=0，其中a，b為實數，則（ ）
A a=1，b=-2 B a=-1，b=2 C a=1，b=2 D a=-1，b=-2
（文）設（1+2i）a+b=2i，其中a，b為實數，則（ ）（2022全國高考乙卷）
A a=1，b=-1 B a=1，b=1 C a=-1，b=1 D a=-1，b=-1
【解析】
【考點】①復數定義與性質；②共軛復數定義與性質；③復數運算法則和基本方法；④兩個復數相等的充分必要條件及運用。
【解題思路】（理）根據復數和共軛復數的性質，運用復數運算法則和運算的基本方法，結合問題條件得到關于a，b的方程組，求解方程組求出a，b的值就可得出選項。（文）根據復數的性質，運用復數運算法則和運算的基本方法，結合問題條件得到關于a，b的方程組，求解方程組求出a，b的值就可得出選項。
【詳細解答】（理） Z=1-2i，=1+2i，Z+a+b=1-2i+a（1+2i）+b=1+a+b+(2a-2)i=0，
1+a+b=0①，2a-2=0②，聯立①②解得：a=1，b=-2，A正確，選A。（文）（1+2i）a+b=a+b+2ai=2i，a+b=0①，2a=2②，聯立①②解得：a=1，b=-1，A正確，選A。
13、若i（1-Z）=1，則Z+=（ ）（2022全國高考新高考I卷）
A -2 B -1 C 1 D 2
【解析】
【考點】①復數定義與性質；②共軛復數定義與性質；③復數運算法則和基本方法；④兩個復數相等的充分必要條件及運用。
【解題思路】根據復數的性質，運用復數運算法則和運算的基本方法，得到算得到關于a，b的方程組，求解方程組求出a，b的值，從而求出復數Z的代數表示式，運用共軛復數的性質得到的代數表示式，求出Z+的值就可得出選項。
【詳細解答】設Z=a+bi， i（1-Z）=b+(1-a)i=1，b=1①，1-a=0②，聯立①②解得：a=1，b=1，Z=1+i，=1-i， Z+=1+i+1-i=2，D正確，選D。
14、已知Z=3+2i，則Z=（ ）（2021全國高考甲卷）
A -1- i B -1+i C +i D -i
【解析】
【考點】①復數的定義與性質；②復數運算的法則；③復數運算的基本方法。
【解題思路】根據復數的性質，運用復數運算法則和運算的基本方法，得到算得到關于a，b的方程組，求解方程組求出a，b的值，從而求出復數Z的代數表示式就可得出選項。
【詳細解答】設Z=a+bi，Z=（-2i）（a+bi）=-2ai-2b=2b-2ai=3+2i，2b=3①，
-2a=2②，聯立①②解得：a=-1，b=，Z=-1+i，B正確，選B。
15、（理）設2（Z+）+3（Z-）=4+6i，則Z=（ ）
A 1-2 i B 1+2i C 1+i D 1-i
（文）設iZ=4+3i，則Z=（ ）（2021全國高考乙卷）
A -3-4 i B -3+4i C 3-4i D 3+4i
【解析】
【考點】①復數的定義與性質；②共軛復數定義與性質；③復數運算的法則；④復數運算的基本方法。
【解題思路】（理）根據復數和共軛復數的性質，運用復數運算法則和運算的基本方法，得到關于a，b的方程組，求解方程組求出a，b的值，從而求出復數Z的代數表示式就可得出選項。（文）根據復數的性質，運用復數運算法則和運算的基本方法，得到關于a，b的方程組，求解方程組求出a，b的值，從而求出復數Z的代數表示式就可得出選項。
【詳細解答】（理）設Z=a+bi，則= a-bi，2（Z+）+3（Z-）=5Z-=4a+6bi=4+6i，4a=4①，6b=6②，聯立①②解得：a=1，b=1，Z=1+i，C正確，選C。（文）設Z=a+bi， iZ=-b+ai=4+3i，-b=4①，a=3②，聯立①②解得：a=3，b=-4，Z=3-4i，C正確，選C。
16、復數Z=（i為虛數單位），則Z的共軛復數是（ ）（成都市2021高三一診）
A -2-i B -2+i C 2-i D 2+i
【解析】
【考點】①復數的定義與性質；②復數代數表示的基本方法；③復數運算的基本方法；④共軛復數的定義與性質。
【解題思路】根據復數的性質和復數運算的基本方法，得到復數Z的代數表示式，運用共軛復數的性質求出復數Z的共軛復數就可得出選項。
【詳細解答】 Z== =2-i，=2+i，D正確，選D。
『思考問題1』
（1）【典例1】是與復數基本概念相關的問題，復數的基本概念主要包括：①復數的定義；②復數實部，虛部的定義；③復數的分類；④復數相等的充分必要條件；⑤復數的模；⑥共軛復數定義與性質等問題。解答這類問題的基本方法：①根據復數基本概念，運用復數運算法則和基本方法通過運算；②得到復數的代數表示式；③求出問題結果。
（2）處理有關復數基本概念的問題，注意應用復數標準的代數表示式，如果復數不是標準的代數表示式，則應根據復數的性質，運用復數運算法則和基本方法通過運算把復數化成標準的代數表示式，然后根據復數基本概念得出結果。
〔練習1〕解答下列問題：
1、已知i為虛數單位，則復數Z=(1+i) (2-i)的虛部為（ ）（成都市2021高三二診）
A -i B i C -1 D 1 （答案：D）
2、已知復數Z=（i為虛數單位），則|Z|=（ ）（成都市2021高三三診）（答案：D）
A 1 B C 2 D
3、（理）若Z=1+i，則|-2Z|=（ ）（答案：D）
A 0 B 1 C D 2
（文）已知復數Z滿足（Z-1）i=1+i，則Z=（ ）（2020全國高考新課標I）（答案：C）
A -2-i B -2+i C 2-i D 2+i
4、（理）設復數，滿足||=||=2，+=+i，則|-|= 。（答案：|-|=2。）
（文）=（ ）（2020全國高考新課標II）（答案：A）
A -4 B 4 C -4i D 4i
5、（理）復數的虛部是（ ）（答案：D）
A - B - C D
（文）若（1+i）=1-i，則Z=（ ）（2020全國高考新課標III）（答案：D）
A 1-i B 1+i C -i D i
6、復數z=（i為虛數單位）的虛部是（ ）（成都市2020高三零診）（答案：A）
A B - C i D -i
7、若復數與=-3-i（i為虛數單位）在復平面內對應的點關于實軸對稱，則=（ ）（成都市2020高三一診）（答案：B）
A -3-i B -3+i C 3+i D 3-i
8、復數Z滿足Z（1+i）=2(i為虛數單位)，則Z的虛部為（ ）（成都市2020高三二診）
A i B -i C -1 D 1 （答案：C）
9、已知復數Z=（i為虛數單位），則|Z|=（ ）（成都市2020高三三診）（答案：D）
A 1 B C 2 D
10、復數Z=（2+i）（1+i）的共軛復數為（ ）（成都市2019高三三診）（答案：D）
A 3-3i B 3+3i C 1+3i D 1-3i
11、已知復數Z=2+i，則Z. =（ ）（2019全國高考北京）（答案：D）
A B C 3 D 5
12、設復數Z滿足i（Z+1）=-3+2i(i是虛數單位),則Z的實部是 。（2019全國高考江蘇）(答案：Z的實部是1。)
13、復數Z=-i（1+2i）的共軛復數為（ ）（2018成都市高三零診）（答案：D）
A 2+i B 2-i C -2+i D -2-i
14、（理）若復數Z=（其中a R，i為虛數單位）的虛部為-1，則a= ；（答案： a=-2。）
（文）復數Z=（i為虛數單位）的虛部為 （2017成都市高三一珍）。（答案：復數Z的虛部為1。）
15、（理）設有下列四個命題：：若復數Z滿足R，則ZR；：若復數Z滿足R，則ZR；：若復數，滿足R，則=；：若復數ZR，則R。其中的真命題為（ ）（答案：A）
A ， B ， C ， D ，
（文）下列各式的運算結果為純虛數的是（ ）（2017全國高考新課標I卷）（答案：C）
A i B （1-i） C D i(1+i)
16、設復數Z滿足（1+i）Z=2i，則|Z|=（ ）（2017全國高考新課標III理）（答案：C）
A B C D 2
17、已知復數Z=（1+i）（1+2i），其中i是虛數單位，則Z的模是 （2017全國高考江蘇卷）(答案：|Z|=。)
18、i是虛數單位，復數z滿足（1+i）z=2，則z的實部為 ；（答案：復數Z的實部為1。）
19、若（1+i）+（2-3i）=a+bi（a，b∈R，i是虛數單位），則a，b的值分別等于（ ）（答案：A）
A 3， -2 B 3，2 C 3，-3 D -1，4
20、若復數Z滿足：（3-4i）Z=|4+3i|，則Z的虛部為（）（答案：D）
A -4 B - C 4 D
21、若=（+m+1）+（+m-4）i（m∈R），=3-2i，則“m=1”是“=”的（ ）（答案：A）
A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件
22、已知aR，復數=2+ai，=1-2i，若為純虛數，則復數的虛部為（ ）（答案：A）
A 1 B i C D 0
23、如果復數是實數，則實數m等于（ ）（答案：A）
A -1 B 1 C - D
24、 設a、bR，且b≠0，若復數是實數，則（ ）（答案：A）
A =3 B =3 C =9 D =9
25、設是復數，=-i（其中表示的共軛復數），已知的實部是-1，則的虛部為 ；（答案：的虛部為-1）
26、復數的虛部為 ；（答案：復數的虛部為2）
27、復數Z=a+bi，a，bR，且b≠0，若-4bZ是實數，則有序實數對（a，b）可以是
，（寫出一個有序實數對即可）（答案：有序實數對（a，b）可以是（1，2））
28、若復數（1+bi）(2+i)是純虛數（i是虛數單位，b是實數），則b=（ ）（答案：D）
A -2 B - C D 2
【典例2】解答下列問題：
1、=（ ）（2023全國高考甲卷文）
A -1 B 1 C 1-i D 1+i
【解析】
【考點】①復數定義與性質；②復數運算法則和基本方法。
【解題思路】根據復數的性質，運用復數運算法則和運算的基本方法，結合問題條件求出原式的結果，就可得出選項。
【詳細解答】 ===1-i， C正確，選C。
2、已知Z=，則Z-=（ ）（2023全國高考新高考I）
A -i B i C 0 D 1
【解析】
【考點】①復數定義與性質；②共軛復數定義與性質；③復數運算法則和基本方法。
【解題思路】根據復數和共軛復數的性質，運用復數運算法則和基本方法，通過運算求出Z-就可得出選項。
【詳細解答】Z=====-i，Z-=-i-i
=-i，A正確，選A。
3、（2+2i）（1-2i）=（ ）（2022全國高考新高考II卷）
A -2+4i B -2-4i C 6+2i D 6-2i
【解析】
【考點】①復數定義與性質；②復數運算法則；③復數運算的基本方法。
【解題思路】根據復數的性質，運用復數運算法則和基本方法，通過運算求出（2+2i）（1-2i）就可得出選項。
【詳細解答】（2+2i）（1-2i）=2-4i+2i-4= 6-2i，D正確，選D。
4、已知Z=2-i，則Z(+i)=（ ）（2021全國高考新高考I）
A 6-2i B 4-2i C 6+2i D 4+2i
【解析】
【考點】①復數定義與性質；②共軛復數定義與性質；③復數運算法則；④復數運算的基本方法。
【解題思路】根據復數和共軛復數的性質，運用復數運算法則和基本方法，通過運算求出Z(+i)就考得出選項。
【詳細解答】 Z=2-i, =2+i, Z(+i)=（2-i）（2+i+i）=（2-i）（2+2i）=4+4i-2i-2
=6+2i, C正確，選C。
5、=（ ）（2020全國高考新高考I）
A 1 B -1 C i D -i
【解析】
【考點】①復數定義與性質；②復數運算法則；③復數運算的基本方法。
【解題思路】根據復數的性質，運用復數運算法則和基本方法，通過運算求出就可得出選項。
【詳細解答】==== -i，D正確，選D。
6、若Z（1+i）=2i，則Z=（ ）（2019全國高考新課標III）
A -1-i B -1+i C 1-i D 1+i
【解析】
【考點】①復數定義與性質；②復數運算法則；③復數運算的基本方法。
【解題思路】設Z=a+bi,根據復數的性質，運用復數運算法則和基本方法，得到關于a，b的方程組，求解方程組求出a，b的值，從而得到復數Z的代數表示式就可得出選項。
【詳細解答】設Z=a+bi, （1+i）Z=（1+i）（a+bi）=a+bi+i+b=（a-b）+(1+b)i=2i，
a-b=0，1+b=2，a=b=1，Z=1+i，D正確，選D。
7、（理）=（ ）
A 1+2i B 1-2i C 2+i D 2-i
（文）（1+i）（2+i）=（ ）（2017全國高考新課標II卷）
A 1-i B 1+3i C 3+i D 3+3i
【解析】
【考點】①復數定義與性質；②復數運算法則；③復數運算的基本方法。
【解題思路】（理）根據復數的性質，運用復數運算法則和基本方法，求出復數的代數表示式就可得出選項；（2）根據復數的性質，運用復數運算法則和基本方法，求出復數（1+i）（2+i）的代數表示式就可得出選項。
【詳細解答】（理）===2-i，D正確，選D；（文）
（1+i）（2+i）=2+i+2i+=1+3i，B正確，選B。
8、設i為虛數單位，則復數等于（ ）（2016全國高考四川卷）
A 0 B 2 C 2i D 2+2i
【解析】
【考點】①復數定義與性質；②復數運算法則；③復數運算的基本方法。
【解題思路】根據復數的性質，運用復數運算法則和基本方法，得到復數的代數表示式就可得出選項。
【詳細解答】=1+2i+=2i，C正確，選C。
『思考問題2』
（1）【典例2】是復數運算的問題，解答這類問題需要理解復數運算的定義，掌握復數運算的法則和基本方法；
（2）復數乘法法則類似于多項式與多項式的乘法法則，除法法則實質上就是分母實數化，即分子，分母同乘以分母的共軛復數，類似于分母有理化的法則。在具體進行復數運算時應該注意兩點：①出現時必須用-1代替；②復數實數化類似分母有理化，但又有一定的區別；
（3）復數問題實數化是解決復數問題的基本方法之一，其理論依據是復數相等的充分必要條件和共軛復數的性質；運用復數的實數化還可以解答求復數方程的實數解，求復平面上動點的軌跡問題。
〔練習2〕按要求解答下列問題：
1、設（1+i）x=1+yi，其中x，y是實數，則|x+yi|等于（ ）（2016全國高考新課標II卷）
A 1 B C D 2 （答案：B）
2、若z=1+2i，則等于（ ）（2016全國高考新課標III卷）（答案：C）
A 1 B -1 C i D -i
3、+ = （2016全國高考北京卷）（答案：+ =-1+i。）
4、若復數z滿足2z+=3-2i，其中i為虛數單位，則z等于（ ）（2016全國高考山東卷）
A 1+2i B 1-2i C -1+2 i D -1 -2i （答案：B）
5、若z=4+3i，則等于（ ）（2016全國高考新課標III卷）（答案：D）
A 1 B -1 C + i D - i
6、（理）設復數Z滿足=i，則|Z|=（ ）（答案：A）
A 1 B C D 2
（文）已知復數Z滿足（Z-1）i=i+1，則Z=（ ）（2016全國高考新課標I卷）（答案：C）
A -2-i B -2+i C 2-i D 2+i
7、若復數滿足=i，其中i為虛數單位，則Z=（ ）（答案：A）
A 1-i B 1+i C -1-i D -1+i
8、= ；（答案：=i）
9、+ = ；（答案：+ =+i）
10、設復數Z滿足=i，則Z=（ ）（答案：C）
A -2+i B -2-i C 2-i D 2+i
11、= ；（答案：=-i）
12、復數等于（ ）（答案：C）
A 4i B -4i C 2i D -2i
13、已知復數=1-i，. =1+i，則復數= ；（答案：=i）
14、i是虛數單位，= ；（答案：=1+2i）
【典例3】解答下列問題：
1、若復數Z滿足（Z+1）i=-1-i，則Z在復平面內對應的點位于（ ）（成都市高2021級高三三診）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
【解析】
【考點】①復數定義與性質；②復數運算法則和基本方法；③復數的幾何意義及運用。
【解題思路】根據復數的性質，運用復數運算法則和基本方法，結合問題條件得到復數Z的代數表示式，利用復數的幾何意義求出復數Z在復平面內對應的點所在的象限就可得出選項。
【詳細解答】設 Z=a+bi（a，bR），（Z+1）i= a+ai+2i+=-b+ （a+1)i=-1-i，-b=-1①，a+1=-1②，聯立①②解得：a=-2，b=1，Z=-2+i，復數Z在復平面內對應的點位于第二象限，B正確，選B。
2、在復平面內（1+3i）（3-i）對應的點位于（ ）（2023全國高考新高考II）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
【解析】
【考點】①復數定義與性質；②復數運算法則；③復數運算的基本方法；④復數在復平面坐標定義與性質；⑤確定復數在復平面坐標的基本方法。
【解題思路】根據復數的性質，運用復數運算法則和基本方法，得到復數Z的代數表示式，利用復數在復平面坐標的性質和確定復數在復平面內坐標的基本方法得到復數Z的坐標就可得出選項。
【詳細解答】 z=（1+3i）（3-i）=3-i+9i-3=6+8i，在復平面內（1+3i）（3-i）對應的點（6，8）位于第一象限，A正確，選A。
3、復數在復平面內對應的點所在的象限為（ ）（2021全國高考新高考I）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
【解析】
【考點】①復數運算法則；②復數運算的基本方法；③復數在復平面坐標定義與性質；④確定復數在復平面內對應點所在象限的基本方法。
【解題思路】根據復數運算法則和基本方法通過運算，得到復數的代數表示式，運用復數坐標的性質和確定復數在復平面內的對應點所在象限的基本方法，確定復數在復平面內對應的點所在的象限就可得出選項。
【詳細解答】 z= ====+i，復數Z的坐標為（，），即復數在復平面內對應的點在第一象限，A正確，選A。
4、復數z=（i為虛數單位）在復平面內對應的點位于（ ）（成都市2021高三零診）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
【解析】
【考點】①復數運算的法則與基本方法；②復數的定義與代數表示法；③復平面的定義與性質；④確定復數在復平面內對應點坐標的基本方法。
【解題思路】根據復數運算的法則與基本方法，結合問題條件把復數Z化為代數表示式，運用復平面的性質和確定復數在復平面內對應點坐標的基本方法得到復數Z在復平面內的坐標就可得出選項。
【詳細解答】 z== = = =- + i，復數z在復平面內的坐標為（- ， ），即復數z=（i為虛數單位）在復平面內對應的點位于第二象限，B正確，選B。
5、復數z= （i是虛數單位）在復平面內對應的點位于（ ）（成都市2019高三一診）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
【解析】
【考點】①復數定義與性質；②復數運算法則；③復數運算的基本方法；④復數在復平面坐標定義與性質；⑤確定復數在復平面坐標的基本方法。
【解題思路】根據復數的性質，運用復數運算法則和基本方法，得到復數Z的代數表示式，利用復數在復平面坐標的性質和確定復數在復平面內坐標的基本方法得到復數Z的坐標就可得出選項。
【詳細解答】 z= = =1-2i， z=（1，-2），即復數z在復平面內對應的點位于第四象限，D正確，選D。
6、（理）設復數Z滿足|Z-i|=1,Z在復平面內對應的點為（x，y），則（ ）
A + =1 B + =1 C + =1 D + =1
（文）設Z=，則|Z|=（ ）（2019全國高考新課標I）
A 2 B C D 1
【解析】
【考點】①復數定義與性質；②復數運算法則；③復數運算的基本方法；④復數在復平面坐標定義與性質；⑤確定復數在復平面坐標的基本方法；⑥復數模定義與性質。
【解題思路】（理）設Z=x+yi，根據復數和復數模的性質，運用復數運算法則和基本方法，求出|Z-i|，結合問題條件得到關于x，y的等式就可得出選項；（2）根據復數的性質，運用復數運算法則和方法，關于a，b的方程組，求解方程組求出a，b的值，得到復數Z的代數表示式，利用復數模的性質求出|Z|就可得出選項。
【詳細解答】（理）由題意設Z=x+yi， |z-i|=|x+（y-1）i|= =1，
=1，C正確，選C；（文） Z== = = - i，
|Z|==，C正確，選C。
7、（理）設Z=-3+2i，則在復平面內其對應的點位于（ ）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
（文）設Z=i（2+i），則=（ ）（2019全國高考新課標II）
A 1+2i B -1+2i C 1-2i D -1-2i
【解析】
【考點】①復數定義與性質；②共軛復數定義與性質；③復數運算法則；④復數運算的基本方法；⑤復數在復平面坐標定義與性質；⑥確定復數在復平面坐標的基本方法。
【解題思路】（理）根據復數在復平面坐標定義與性質，運用確定復數在復平面的坐標的基本方法求出復數Z的坐標就可得出選項。（文）根據復數和共軛復數的性質，運用復數運算法則和基本方法，得到復數Z的代數表示式，從而求出共軛復數的代數表示式就可得出選項。
【詳細解答】（理）Z=-3+2i，復數Z在復平面內對應的坐標為（-3，2），即復數Z在復平面內對應的點位于第二象限，B正確，選B；（文）Z= i（2+i）=2i+=-1+2i，
=-1-2i，D正確，選D。
8、復數Z=在復平面內對應的點位于（ ）（2018成都市高三一診）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
【解析】
【考點】①復數定義與性質；②復數運算法則；③復數運算的基本方法；④復數在復平面坐標定義與性質；⑤確定復數在復平面坐標的基本方法。
【解題思路】根據復數的性質，運用復數運算法則和基本方法，得到復數Z的代數表示式，利用復數在復平面坐標的性質和確定復數在復平面內坐標的基本方法得到復數Z的坐標就可得出選項。
【詳細解答】 z===1-i，復數Z在復平面內的坐標為（1，-1），即復數z在復平面內對應的點位于第四象限，D正確，選D。
『思考問題3』
（1）【典例3】是復數在復平面內對應點的坐標問題，解答這類問題需要理解：①復數z= a+bi（a，bR）C與復平面內的點是一一對應的，從而復數的幾何問題可以轉化為平面直角坐標系內點的坐標問題；②復數z= a+bi（a，bR）C與復平面內所有以原點為起點的向量組成的集合是一一對應的，所以復數的幾何問題也可以轉化為平面向量的問題；
（2）運用復數在復平面內對應點的坐標解答相關問題的基本方法是：①分辨清楚問題是與復平面內的點相關，還是與復平面內的向量相關；②結合相應的圖形，從圖形上去尋找突破口，使問題得到解答。
〔練習3〕解答下列問題：
1、若復數=a+i（a R），=1-i，且為純虛數，則在復平面內所對應的點位于（ ）（2017成都市高三二診）（答案：A）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
2、如圖所示，平行四邊形OABC，頂點O， y
A，C分別表示0，3+2i，-2+4i，試求： B
（1），所表示的復數； C A
（2）對角線所表示的復數；
（3）B點對應的復數。 0 x
（答案：（1），所表示的復數為Z=-3-2i；（2）對角線所表示的復數為Z=5-2i；
（3）B點對應的復數為Z=1+6i。）
3、設i是虛數單位，則復數在復平面內所對應的點位于（ ）（答案：B）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
4、復數Z= （i是虛數單位）在復平面內對應的點所在的象限為（）（答案：D）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
5、在復平面內，復數對應的點的坐標為 ；（答案：復數對應的點的坐標為（-1，1）） y
6、若i為虛數單位，圖中復平面內點Z表示復數z， 2 ----------|E
則表示復數是（ ）（答案：D） F|---------1 ---------|-------| Z
A E B F C G D H | | |
7、在復平面內，復數Z=i(1+2i)對應的點位于（ ） -3 -2 -1 0 1 2| 3 x
（答案：B） G |--------1 ----------|H
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
8、在復平面內，復數Z=sin2+icos2對應的點位于（ ）（答案：D）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
9、在復平面內，復數Z= 對應的點位于（ ）（答案：D）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
【典例4】按要求解答下列問題：
1、復數Z=（a+i）（2+i）是純虛數（i為虛數單位），則實數a的值為 （成都市高2020級高三三珍）
【解析】
【考點】①復數定義與性質；②復數運算法則和基本方法。
【解題思路】根據復數的性質，運用復數運算法則和基本方法，結合問題條件得到復數Z的代數表示式，從而得到關于a的方程，求解方程就可求出實數a的值。
【詳細解答】 Z=Z=（a+i）（2+i）= a+ai+2i+= (2a-1)+(a+2)i是純虛數，2a-1=0，且a+20a=。
2、（理）已知復數Z= ，aR，若Z為純虛數，則a= ；
（文）已知復數Z= ，則|Z|= ；（成都市2019高三二診）
【解析】
【考點】①復數定義與性質；②復數運算法則；③復數運算的基本方法；④復數模定義與性質。
【解題思路】（理）根據復數的性質，運用復數運算法則和基本方法，得到關于a的方程，求解方程就可求出a的值。（文）根據復數的性質，運用復數運算法則和基本方法，得到復數Z的代數表示式，利用復數模的性質就可求出|Z|。
【詳細解答】（理） Z= ===為純虛數，a+1=0，即 a=-1。（文） Z= = =2-i，|Z|==。
3、若復數（1-i）（a+i）在復平面內對應的點在第二象限，則實數a的取值范圍是（ ）（2017全國高考北京卷）
A （- ，1） B （- ，-1） C （1，+ ） D （-1，,+ ）
【解析】
【考點】①復數定義與性質；②復數運算法則；③復數運算的基本方法；④復數在復平面對應點坐標定義與性質；⑤求解一元一次不等式組的基本方法。
【解題思路】根據復數的性質，運用復數運算法則和基本方法，得到復數（1-i）（a+i）的代數表示式，利用復數在復平面對應點坐標的性質和求解一元一次不等式組的基本方法，得到關于a的一元一次不等式組，求解一元一次不等式組就可求出實數a的取值范圍。
【詳細解答】Z=（1-i）（a+i）=a+i-ai-=（a+1）-(a-1)i，復數Z的坐標為（a+1，1- a），復數Z在復平面內對應的點在第二象限，a+1<0且1-a>0，即 a<-1，B正確，選B。
『思考問題4』
（1）【典例4】是已知復數滿足某個條件，求其中的參數（實數）的值（或取值范圍）的問題，解答這類問題需要先通過復數的運算，再結合復數的基本概念，得到關于參數的方程（或方程組）或不等式（或不等式組），然后求解方程（或方程組）或不等式（或不等式組）就可求出參數的值（或取值范圍）；
（2）兩個復數相等的充充分必要條件是：①實部與實部相等；②虛部與虛部相等；
（3）一個復數是實數的充分必要條件是虛部等于零；一個復數是虛數的充分必要條件是虛部不等于零；一個復數是純虛數的充分必要條件條件是實部等于零，虛部不等于零。
〔練習4〕解答下列問題：
1、已知Z=（m+3）+（m-1）i在復平面內對應的點在第四象限，則實數m的取值范圍是（ ）（2016全國高考新課標II卷）（答案：A）
A （-3，1） B （-1，3） C （1，+ ） D （- ，-3）
2、若a為實數，且=3+i，則a=（ ）（2016全國高考天津卷）（答案：D）
A -4 B -3 C 3 D 4
3、（理）若a為實數，且（2+ai）(a-2i)=-4i，則a=（ ）（答案：B）
A -1 B 0 C 1 D 2
（文）若a為實數，且=3+i，則a=（ ）（2016全國高考新課標II卷）（答案：D）
A -4 B -3 C 3 D 4
4、已知=2i，其中i是虛數單位，那么實數= ；（答案：實數=1）
5、若復數（-3a+2）+(a-1)i是純虛數，則實數a的值為（ ）（答案：B）
A 1 B 2 C 1或2 D - 1
6、設a是實數，且是實數，則a=（ ）（答案：B）
A B 1 C D 2
7、若a為實數，，則a等于（ ）（答案：B）
A B - C 2 D - 2
8、設aR，且i為正實數，則a=（ ）（答案：D）
A 2 B 1 C 0 D -1
9、若復數（1+bi）(2+i)是純虛數（i是虛數單位，b是實數），則b=（ ）（答案：D）
A -2 B - C D 2

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