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平面向量5分小題問題的類型與解法
平面向量問題是近幾年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，可以這樣毫不夸張地說，只要是高考（或高三診斷考試）試卷，就必然會(huì)涉及到平面向量問題。從題型上看，可能是選擇題（或填空題），也可能參透到大題，這里主要探導(dǎo)平面向量5分小題的問題；難度系數(shù)為低（或中）檔，但有時(shí)也會(huì)是高檔?？v觀近幾年高考（或高三診斷考試）試題，歸結(jié)起來，平面向量5分小題問題主要包括：①平面向量幾何運(yùn)算；②平面向量坐標(biāo)運(yùn)算；③平面向量數(shù)量積等幾種類型。各種類型問題結(jié)構(gòu)上具有一定的特征，解答方法也有一定的規(guī)律可尋。那么在實(shí)際解答平面向量5分小題問題時(shí)，到底應(yīng)該如何抓住問題的結(jié)構(gòu)特征，快捷，準(zhǔn)確地給予解答呢？下面通過近幾年高考（或高三診斷考試）試題的詳細(xì)解析，來回答這個(gè)問題。
【典例1】解答下列問題：
1、已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，M，N分別是AB，AD上的點(diǎn)（均不與端點(diǎn)重合），記AMN，CMN的面積分別為，，若=|.|.|.|，則的取值范圍是（ ）（成都市高2021級(jí)高三三診）
A [，） B [-1，） C [，） D [-1，）
2、（理）在ABC中，已知=2，AC=3BC，sinBDC=3sinBAC，當(dāng).-||取得最小值時(shí)，ABC的面積為（ ）
A B C D
（文）在ABC中，已知=2，AC=3BC=3，sinBDC=3sinBAC，則ABC的面積為（ ）（成都市高2020級(jí)高三二診）
A B C D
3、在ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD=2DA，記=m，=n，則=（ ）（2022全國(guó)高考新高考I卷）
A 3m-2n B -2m+3n C 3m+2n D 2m+3n
『思考問題1』
（1）【典例1】是向量幾何運(yùn)算的問題，解答這類問題需要掌握向量幾何運(yùn)算的法則和運(yùn)算的基本方法，能夠靈活運(yùn)用平行四邊形法則和三角形法則，一般來說，兩個(gè)向量具有公共的始點(diǎn)時(shí)，選用平行四邊形法則；兩個(gè)向量如果一個(gè)向量的始點(diǎn)與另一個(gè)向量的終點(diǎn)重合時(shí)，選用三角形法則；
（2）用兩個(gè)不共線的已知向量來表示其他向量是用向量解題的基本要領(lǐng)，在實(shí)際解答問題時(shí)，應(yīng)該盡可能地把相關(guān)向量轉(zhuǎn)化到同一平行四邊形 或 同一三角形中去；
（3）注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用，在實(shí)際解答問題時(shí)，經(jīng)常運(yùn)用向量共線的充分必要條件和平面向量基本定理建立方程（或方程組），再通過解方程（或方程組）達(dá)到解答問題的目的。
［練習(xí)1］解答下列問題：
1、已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則.的取值范圍是（ ）（2020全國(guó)高考新高考I）
A （-2，6） B （-6，2） C （-2，4） D （-4，6）
【典例2】解答下列問題：
1、已知向量=（，2），=（1，1），若|+|=|-|，則實(shí)數(shù)的值為（ ）（成都市高2021級(jí)高三三診）
A -2 B 2 C - D
2、已知，是兩個(gè)非零向量，設(shè)=，=，給出定義：經(jīng)過的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B分別作所在直線的垂線，垂足分別為，，則稱向量為在上的投影向量，已知=（1，0），=（，1），則向量在上的投影向量為（ ）（成都市高2020級(jí)高三三珍）
A （，） B （1，） C （，） D （，）
3、已知向量=（1，m），=（n，4），其中m，nR，若=2，則m+n的值為 （成都市2020級(jí)高三零診）
4、已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)（cos，sin），（cos，-sin），（cos(+)，sin(+)），A（1，0），則（ ）（2021全國(guó)高考新高考I）
A ||=|| B ||=|| C.=. D .=.
『思考問題2』
（1）【典例2】是向量坐標(biāo)運(yùn)算的問題，解答這類問題需要理解平面向量坐標(biāo)的定義，掌握向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則和基本方法；
（2）向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要包括：①向量坐標(biāo)的加法運(yùn)算；②向量坐標(biāo)的減法運(yùn)算，③向量坐標(biāo)的數(shù)乘運(yùn)算；這三種運(yùn)算都可以直接運(yùn)用運(yùn)算法則進(jìn)行，同時(shí)注意坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算律的靈活運(yùn)用，對(duì)于綜合性問題解答時(shí)注重方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用。
［練習(xí)2］解答下列問題：
1、ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若向量=（a，-cosA），=（cosC，b-c），且.=0，則角A的大小為（ ）（2020成都市高三零診）
A B C D
2、設(shè)向量=（x，x-1），=（2，-1），若+2與共線，則實(shí)數(shù)x的值為（ ）（2020成都市高三三診）
A B - C 10 D -11
【典例3】解答下列問題：
1、 已知向量=（x+1，x）, =(x，2)，則（ ）（2024全國(guó)高考甲卷）
A “x=-3”是“⊥的必要條件 B “x=-3”是“//的必要條件
C “x=0”是“⊥的充分條件 D “x=-1+”是“//的充分條件
2、 已知向量=（0，1）, =(2，x)，⊥（-4），則x=( )(2024全國(guó)高考新高考I)
A -2 B -1 C 1 D 2
3、已知向量，滿足：||=1，|+2|=2，且（-2）⊥，則||=（ ）(2024全國(guó)
高考新高考II)
A B C D 1
4、已知向量=（-1，），=（2，0），則cos<，>=（ ）（成都市高2021級(jí)高三一診）
A B C - D -
5、（理）已知向量，是平面內(nèi)的一組基向量，O為內(nèi)的定點(diǎn)，對(duì)于內(nèi)任意一點(diǎn)P，當(dāng)=x+y時(shí)，稱有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）為點(diǎn)P的廣義坐標(biāo)，若點(diǎn)A，B（均不與O重合）的廣義坐標(biāo)分別為（，），B（，），則“⊥”是“+=0”的（ ）（成都市高2021級(jí)高三二診）
A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件
（文）已知向量，是平面內(nèi)的一組基向量，O為內(nèi)的定點(diǎn)，對(duì)于內(nèi)任意一點(diǎn)P，當(dāng)=x+y時(shí)，稱有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）為點(diǎn)P的廣義坐標(biāo)，若點(diǎn)A，B（均不與O重合）的廣義坐標(biāo)分別為（，），B（，），則“//”是“=”的（ ）
A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件
6、（理）向量||=||=1，||=且++=0，則cos<-，->=（ ）
A - B - C D
（文）已知向量=（3，1），=（2，2），則cos<+，->=（ ）（2023全國(guó)高考甲卷）
A B C D
7、（理）已知O的半徑為1，直線PA于O相切于點(diǎn)A，直線PB與O相交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若|PO|=，則.的最大值為（ ）
A B C 1+ D 2+
（文）正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，E是AB的中點(diǎn)，則.=（ ）（2023全國(guó)高考乙卷）
A B 3 C 2 D 5
8、已知向量=（1，1），=（1，-1），若（+）（+u），則（ ）（2023全國(guó)高考新高考I）
A +u=1 B +u=-1 C u=1 D u=-1
9、已知向量，滿足|-|=，|+|=|2-|，則||= （2023全國(guó)高考新高考II）
10、（理）已知向量，，滿足.=0，||= ||=1，（-）.（-）=，則|-|的最大值為（ ）
A B 1+ C D 2
（文）已知平面向量，，滿足||=||=|-|=1，.=.=1，則||= （成都市高2020級(jí)高三一診）
11、（理）設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且||=1，||=3，則（2+）. = 。
（文）已知向量=（m，3），=（1，m+1），若，則m= （2022全國(guó)高考甲卷）
12、（理）已知向量，滿足||=1，||=，|-2|=3，則.=（ ）
A -2 B - 1 C 1 D 2
（文）已知向量=（2，1），=（-2，4），則|-|=（ ）（2022全國(guó)高考乙卷）
A 2 B 3 C 4 D 5
『思考問題3』
（1）【典例3】是向量數(shù)量積的問題，解答這類問題需要理解平面向量數(shù)量積的定義，掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，運(yùn)算的法則和基本方法；平面向量數(shù)量積包括：①平面向量數(shù)量積的幾何運(yùn)算；②平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)；
（2）平面向量數(shù)量積幾何運(yùn)算的基本方法是：①若已知向量的模和夾角，則直接運(yùn)用公式.=||||cos〈，〉計(jì)算；②運(yùn)用向量數(shù)量積的幾何意義求解；
（3）已知向量=，=，求向量數(shù)量積直接運(yùn)用公式.=求解；
已知向量=，求向量的模一般運(yùn)用公式.=||=+，||=求解，尤其是求幾個(gè)向量的和或差的模時(shí)需要靈活運(yùn)用公式；
（4）求與的夾角常用公式cos= 求解，基本方法是：①求出.及||||或得出它們之間的關(guān)系，②根據(jù)三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)得出結(jié)果(注意兩向量夾角的取值范圍。
［練習(xí)3］解答下列問題：
1、已知向量=（3，4），=（1，0），=+t，若<，>=<，>，則實(shí)數(shù)t=（）（2022全國(guó)高考新高考II卷）
A -6 B - 5 C 5 D 6
2、已知向量，滿足=（1，1）， +2=（3，-1），則向量與的夾角為 （成都市2019級(jí)高三一診）
3、已知RtABC中，C=，BC=2，D為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則. = （成都市2019級(jí)高三二診）
4、在ABC中，已知A=，C=，AC=2，則向量在方向上的投影為（ ）
A 2 B 2 C D -
5、已知向量=（3，1），=（1，0），=+k，，則k= （2021全國(guó)高甲卷）
6、已知向量=（1，3），=（3，4），若（-），則= （2021全國(guó)高考乙卷）
7、已知向量++=0，||=1，||=||=2，.+.+.= （2021全國(guó)高考高考II）
8、已知向量，滿足=（1，1）， +2=（3，-1），則向量與的夾角為 （2021
成都市高三一診）
9、已知RtABC中，C=，BC=2，D為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則. = （2021成都市高三二診）
10、已知向量，滿足||=5，||=6，.=-6，則cos<，+>=（ ）（2020全國(guó)高考新課標(biāo)III）
A - B - C D
11、（理）設(shè)，為單位向量，且|+|=1，則|-|= 。
（文）設(shè)=（1，-1），=（m+1，2m-4），若，則m= （2020全國(guó)高考新課標(biāo)I）
12、（理）已知單位向量，的夾角為，若k-與垂直，則k= 。
（文）已知單位向量，的夾角為，則在下列向量中，與垂直的是（ ）（2020全國(guó)高考新課標(biāo)II）
A +2 B 2+ C -2 D 2-
13、（理）若向量，滿足| |=2，（ +2）. =6，則在方向上的投影為（ ）
A 1 B C - D -1
（文）若向量，滿足| |=2，||=1，（ +2）. =6，則cos<，>=（ ）（2020成都市高三一診）
A B C - D -
14、在ABC中，已知AB=AC，D為BC邊中點(diǎn)，點(diǎn)O在直線AD上，且. =3，則BC邊的長(zhǎng)度為（ ）（2020成都市高三二診）
A B 2 C 2 D 6
平面向量5分小題問題的類型與解法
平面向量問題是近幾年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，可以這樣毫不夸張地說，只要是高考（或高三診斷考試）試卷，就必然會(huì)涉及到平面向量問題。從題型上看，可能是選擇題（或填空題），也可能參透到大題，這里主要探導(dǎo)平面向量5分小題的問題；難度系數(shù)為低（或中）檔，但有時(shí)也會(huì)是高檔。縱觀近幾年高考（或高三診斷考試）試題，歸結(jié)起來，平面向量5分小題問題主要包括：①平面向量幾何運(yùn)算；②平面向量坐標(biāo)運(yùn)算；③平面向量數(shù)量積等幾種類型。各種類型問題結(jié)構(gòu)上具有一定的特征，解答方法也有一定的規(guī)律可尋。那么在實(shí)際解答平面向量5分小題問題時(shí)，到底應(yīng)該如何抓住問題的結(jié)構(gòu)特征，快捷，準(zhǔn)確地給予解答呢？下面通過近幾年高考（或高三診斷考試）試題的詳細(xì)解析，來回答這個(gè)問題。
【典例1】解答下列問題：
1、已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，M，N分別是AB，AD上的點(diǎn)（均不與端點(diǎn)重合），記AMN，CMN的面積分別為，，若=|.|.|.|，則的取值范圍是（ ）(成都市高2021級(jí)高三三診)
A [，） B [-1，） C [，） D [-1，）
【解析】
【考點(diǎn)】①正方形定義與性質(zhì)；②平面向量定義與性質(zhì)；③向量數(shù)量積定義與性質(zhì)；④向量幾何運(yùn)算法則和基本方法；⑤基本不等式及運(yùn)用。
【解題思路】根據(jù)正方形，平面向量和平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，運(yùn)用向量幾何運(yùn)算的法則與基本方法和基本不等式，結(jié)合問題條件求出的取值范圍就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，M，N分 D C
別是AB，AD上的點(diǎn)（均不與端點(diǎn)重合），=+ N
=t+（0=|.|.|.|=|（t+）.|.|（ --u）.|=tu=（1-t）（1-u），t+u+tu=1，2-2≤t+u<1，-1≤=1-（t+u）-tu=（t+u）<1，的取值范圍是[-1，），D正確，選D。
2、（理）在ABC中，已知=2，AC=3BC，sinBDC=3sinBAC，當(dāng).-||取得最小值時(shí)，ABC的面積為（ ）
A B C D
（文）在ABC中，已知=2，AC=3BC=3，sinBDC=3sinBAC，則ABC的面積為（ ）（成都市高2020級(jí)高三二診）
A B C D
【解析】
【考點(diǎn)】①三角形正弦定理及運(yùn)用；②三角形余弦定理及運(yùn)用；③向量數(shù)量積定義與性質(zhì)；④三角形面積公式及運(yùn)用。
【解題思路】（理）設(shè)ABC的三邊分別為a，b，c，根據(jù)三角形正弦定理和三角形余弦定理，結(jié)合問題條件得到關(guān)于a，b，c的等式，從而得到a，b關(guān)于c的表示式，運(yùn)用向量數(shù)量積的性質(zhì)，求出當(dāng).-||取得最小值時(shí)c的值，從而求出a，b，sinC的值，利用三角形面積公式求出ABC的面積就可得出選項(xiàng)。
（文）設(shè)ABC的三邊分別為a，b，c，根據(jù)三角形正弦定理和三角形余弦定理，結(jié)合問題條件得到關(guān)于a，b，c的等式，從而得到a，b關(guān)于c的表示式，運(yùn)用向量數(shù)量積的性質(zhì)，求出當(dāng).-||取得最小值時(shí)c的值，從而求出a，b，sinC的值，利用三角形面積公式求出ABC的面積就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】（理）如圖，設(shè)ABC的三邊分別為a，b， A
c，sinBDC=sinBDA=3sinBAC， c b D
=，BD==， B a C
=2，cosBDA=-cosBDC，AD=b，CD=b，=-，AC=3BC，=，=， .-||=abcosC-c=ab
-c=-c，當(dāng)且僅當(dāng)c=時(shí)，.-||取得最小值，a=，b=，cosC
= ，sinC=，= absinC==，當(dāng).-||取得最小值時(shí)，ABC的面積為 ，D正確，選D。 A
（文）如圖，設(shè)ABC的三邊分別為a，b，c， c b D
sinBDC=sinBDA=3sinBAC， B a C
=，BD==， =2，AC=3BC=3，AD=b=2，CD=b=1，a=1，cosC==，c=，cosC= ，sinC=，= absinC=13=，ABC的面積為 ，D正確，選D。
3、在ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD=2DA，記=m，=n，則=（ ）（2022全國(guó)高考新高考I卷）
A 3m-2n B -2m+3n C 3m+2n D 2m+3n
【解析】
【考點(diǎn)】①平面向量定義與性質(zhì)；②平面向量基本定理及運(yùn)用；③向量幾何運(yùn)算的法則和基本方法。
【解答思路】根據(jù)平面向量的性質(zhì)，運(yùn)用平面向量基本定理，幾何運(yùn)算法則和基本方法，求出關(guān)于m，n的表示式，就可得出選項(xiàng)。 C
【詳細(xì)解答】如圖，在ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，
BD=2DA，=m，=n，=-=n-m，
=2=2 n-2m，=+=n+2n-2m A D B
=3n-2m，B正確，選B。
『思考問題1』
（1）【典例1】是向量幾何運(yùn)算的問題，解答這類問題需要掌握向量幾何運(yùn)算的法則和運(yùn)算的基本方法，能夠靈活運(yùn)用平行四邊形法則和三角形法則，一般來說，兩個(gè)向量具有公共的始點(diǎn)時(shí)，選用平行四邊形法則；兩個(gè)向量如果一個(gè)向量的始點(diǎn)與另一個(gè)向量的終點(diǎn)重合時(shí)，選用三角形法則；
（2）用兩個(gè)不共線的已知向量來表示其他向量是用向量解題的基本要領(lǐng)，在實(shí)際解答問題時(shí)，應(yīng)該盡可能地把相關(guān)向量轉(zhuǎn)化到同一平行四邊形 或 同一三角形中去；
（3）注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用，在實(shí)際解答問題時(shí)，經(jīng)常運(yùn)用向量共線的充分必要條件和平面向量基本定理建立方程（或方程組），再通過解方程（或方程組）達(dá)到解答問題的目的。
［練習(xí)1］解答下列問題：
1、已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則.的取值范圍是（ ）（2020全國(guó)高考新高考I）（答案：A）
A （-2，6） B （-6，2） C （-2，4） D （-4，6）
【典例2】解答下列問題：
1、已知向量=（，2），=（1，1），若|+|=|-|，則實(shí)數(shù)的值為（ ）（成都市高2021級(jí)高三三診）
A -2 B 2 C - D
【解析】
【考點(diǎn)】①平面向量定義與性質(zhì)；②平面向量數(shù)量積定義與性質(zhì)；③平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則和基本方法。
【解題思路】根據(jù)平面向量和平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，運(yùn)用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則和基本方法，結(jié)合問題條件得到關(guān)于的方程，求解方程求出的值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】向量=（，2），=（,2，1），|+|=|-|，.=+2=0，即=-2，A正確，選A。
2、已知，是兩個(gè)非零向量，設(shè)=，=，給出定義：經(jīng)過的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B分別作所在直線的垂線，垂足分別為，，則稱向量為在上的投影向量，已知=（1，0），=（，1），則向量在上的投影向量為（ ）（成都市高2020級(jí)高三三珍）
A （，） B （1，） C （，） D （，）
【解析】
【考點(diǎn)】①平面向量坐標(biāo)定義與性質(zhì)；②平面向量數(shù)量積定義與性質(zhì)；③平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則和基本方法。
【解題思路】根據(jù)平面向量坐標(biāo)和平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，運(yùn)用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則和基本方法，結(jié)合問題條件求出向量在上的投影向量的坐標(biāo)就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】=（1，0），=（，1），.=||||cos<，>=+0=，
||==2，||cos<，>==，向量的單位向量為（，1）
=（，），向量在上的投影向量的坐標(biāo)為（，）=（，），D正確，選D。
3、已知向量=（1，m），=（n，4），其中m，nR，若=2，則m+n的值為 （成都市2020級(jí)高三零診）
【解析】
【考點(diǎn)】①向量坐標(biāo)定義與性質(zhì)；②向量坐標(biāo)運(yùn)算法則和基本方法。
【解題思路】根據(jù)向量坐標(biāo)的性質(zhì)，運(yùn)用向量坐標(biāo)運(yùn)算法則和基本方法，結(jié)合問題條件得到關(guān)于m，n的方程組，求解方程組求出m，n的值，就可求出m+n的值。
【詳細(xì)解答】=（1，m），=（n，4），=2，n=2①，2m=4②，聯(lián)立①②解得：m=2，n=2，m+n=2+2=4。
4、已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)（cos，sin），（cos，-sin），（cos(+)，sin(+)），A（1，0），則（ ）（2021全國(guó)高考新高考I）
A ||=|| B ||=|| C.=. D .=.
【解析】
【考點(diǎn)】①向量坐標(biāo)定義與性質(zhì)；②向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則和基本方法；③向量數(shù)量積的定義與性質(zhì)；④向量模定義與性質(zhì)。
【解答思路】根據(jù)向量坐標(biāo)，向量模和向量數(shù)量積的性質(zhì)，運(yùn)用向量坐標(biāo)運(yùn)算法則與基本方法，結(jié)合問題條件分別對(duì)各選項(xiàng)的正確與錯(cuò)誤進(jìn)行判斷就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】點(diǎn)（cos，sin），（cos，-sin），（cos(+)，sin(+)），A（1，0），=（cos，sin），=（cos，-sin），=（cos(+)，sin(+)），=（1，0），=（cos-1，sin），=（cos-1，-sin），||=
=1，||==1，==，||
==，.= cos(+)+0= cos(+)，.
= cos. cos- sin. sin= cos(+)，.= cos+0= cos，.= cos
. cos(+)-sin. sin(+)=cos(++)=cos(+2)， ||=||=1，A正確，選A。
『思考問題2』
（1）【典例2】是向量坐標(biāo)運(yùn)算的問題，解答這類問題需要理解平面向量坐標(biāo)的定義，掌握向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則和基本方法；
（2）向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要包括：①向量坐標(biāo)的加法運(yùn)算；②向量坐標(biāo)的減法運(yùn)算，③向量坐標(biāo)的數(shù)乘運(yùn)算；這三種運(yùn)算都可以直接運(yùn)用運(yùn)算法則進(jìn)行，同時(shí)注意坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算律的靈活運(yùn)用，對(duì)于綜合性問題解答時(shí)注重方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用。
［練習(xí)2］解答下列問題：
1、ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若向量=（a，-cosA），=（cosC，b-c），且.=0，則角A的大小為（ ）（2020成都市高三零診）（答案：A）
A B C D
2、設(shè)向量=（x，x-1），=（2，-1），若+2與共線，則實(shí)數(shù)x的值為（ ）（2020成都市高三三診）（答案：B）
A B - C 10 D -11
【典例3】解答下列問題：
1、 已知向量=（x+1，x）, =(x，2)，則（ ）（2024全國(guó)高考甲卷）
A “x=-3”是“⊥的必要條件 B “x=-3”是“//的必要條件
C “x=0”是“⊥的充分條件 D “x=-1+”是“//的充分條件
【解析】
【考點(diǎn)】①平面向量定義與性質(zhì)；②平面向量數(shù)量積定義與性質(zhì)；③向量共線的充分必要條件及運(yùn)用；④充分條件，必要條件和充分必要條件定義與性質(zhì)；⑤判斷充分條件，必要條件和充分必要條件的基本方法。
【解答思路】根據(jù)平面向量，平面向量數(shù)量積和充分條件，必要條件與充分必要條件的性質(zhì)，運(yùn)用共線向量充分必要條件與判斷充分條件，必要條件和充分必要條件的基本方法，對(duì)各選項(xiàng)結(jié)論的正確與錯(cuò)誤進(jìn)行判斷就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】對(duì)A，⊥，=x(x+1)+2x=+3x=x(x+3)=0，x=0，或x=-3，“x=-3”不是“⊥的必要條件 ，A錯(cuò)誤；對(duì)B，//， 2(x+1)-x，x =-+2x+2=-2x-2=0，x=1+，或x=1-，“x=-3”不是“//的必要條件 ，B錯(cuò)誤；對(duì)C, 當(dāng)x=0時(shí)。=x(x+1)+2x=+3x=0+0=0，⊥，“x=0”是“⊥的充分條件,C正確；對(duì)D，
當(dāng)x=-1+時(shí)。2(x+1)-x，x=2（-1++1）-（-1+）（-1+）=2-1+2-3=4-4
=4（-1）0，//不成立，“x=-1+”不是“//的充分條件，綜上所述，C正確，
選C。
4、已知向量=（-1，），=（2，0），則cos<，>=（ ）（成都市高2021級(jí)高三一診）
A B C - D -
【解析】
【考點(diǎn)】①平面向量定義與性質(zhì)；②平面向量數(shù)量積定義與性質(zhì)；③平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則和基本方法。
【解題思路】根據(jù)平面向量和平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，運(yùn)用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則和基本方法，結(jié)合問題條件求出cos<，>的值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】向量=（-1，），=（2，0），.=-2+0=-2，||==2， ||=
=2，.=||||cos<，>，cos<，>===- ，C正確，選C。
5、（理）已知向量，是平面內(nèi)的一組基向量，O為內(nèi)的定點(diǎn)，對(duì)于內(nèi)任意一點(diǎn)P，當(dāng)=x+y時(shí)，稱有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）為點(diǎn)P的廣義坐標(biāo)，若點(diǎn)A，B（均不與O重合）的廣義坐標(biāo)分別為（，），B（，），則“⊥”是“+=0”的（ ）（成都市高2021級(jí)高三二診）
A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件
（文）9、已知向量，是平面內(nèi)的一組基向量，O為內(nèi)的定點(diǎn)，對(duì)于內(nèi)任意一點(diǎn)P，當(dāng)=x+y時(shí)，稱有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）為點(diǎn)P的廣義坐標(biāo)，若點(diǎn)A，B（均不與O重合）的廣義坐標(biāo)分別為（，），B（，），則“//”是“=”的（ ）
A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件
【解析】
【考點(diǎn)】①平面內(nèi)點(diǎn)廣義坐標(biāo)定義與性質(zhì)；②平面向量數(shù)量積定義與性質(zhì)；③平面向量共線的充分必要條件及運(yùn)用；④充分條件，必要條件和充分必要條件定義與性質(zhì)；⑤判斷充分條件，必要條件和充分必要條件的基本方法。
【解題思路】根據(jù)平面內(nèi)點(diǎn)廣義坐標(biāo)，平面向量數(shù)量積與充分條件，必要條件和充分必要條件的性質(zhì)，運(yùn)用判斷充分條件，必要條件和充分必要條件的基本方法，結(jié)合問題條件得到⊥”是“+=0”的結(jié)果就可得出選項(xiàng)。 （文） 根據(jù)平面內(nèi)點(diǎn)廣義坐標(biāo)，與充分條件，必要條件和充分必要條件的性質(zhì)，運(yùn)用平面向量共線的充分必要條件與判斷充分條件，必要條件和充分必要條件的基本方法，結(jié)合問題條件得到//”是“=”的結(jié)果就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】點(diǎn)A，B（均不與O重合）的廣義坐標(biāo)分別為（，），B（，），
=+，=+，若⊥，當(dāng)且僅當(dāng)⊥時(shí)，才能推出+=0，否則不能推出+=0，“⊥”不是“+
=0”的充分條件；若+，當(dāng)且僅當(dāng)⊥時(shí)，才能推出⊥，否則不能推出⊥，“⊥”不是“+=0”的必要條件，綜上所述，“⊥”既不是“+=0”的充分條件，也不是“+=0”的必要條件，
D正確，選D。
（文）點(diǎn)A，B（均不與O重合）的廣義坐標(biāo)分別為（，），B（，），
=+，=+，若//，則存在實(shí)數(shù)t，使=t成立，+=t+t，（-t）+（-t）=0，=t，=t，=t.=，“//”是“=”的充分條件；若=，則=t.（t為實(shí)數(shù)），=t，=t，=+=t+t
=t，//，“//”是“==0”的必要條件，綜上所述，“//”是“==0”的充分必要條件，C正確，選C。
6、（理）向量||=||=1，||=且++=0，則cos<-，->=（ ）
A - B - C D
（文）已知向量=（3，1），=（2，2），則cos<+，->=（ ）（2023全國(guó)高考甲卷）
A B C D
【解析】
【考點(diǎn)】①平面向量定義與性質(zhì)；②平面向量數(shù)量積定義與性質(zhì)；③平面向量幾何運(yùn)算的法則和基本求法；④平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則和基本求法。
【解題思路】（理）根據(jù)平面向量和平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，結(jié)合問題條件得到向量與向量垂直，向量與向量成角余弦值為-，向量與向量成角的余弦值為-，從而求出（-）（-），|-|，|-|的值，運(yùn)用平面向量數(shù)量積幾何運(yùn)算的基本方法求出cos<-，->就可得出選項(xiàng)。（文）根據(jù)平面向量和平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，運(yùn)用向量坐標(biāo)運(yùn)算法則和基本方法，結(jié)合問題條件求出向量+，-，（+）.（-），|+|，|-|，從而求出cos<+，->的值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】（理）設(shè)向量與向量的夾角為，向量與向量的夾角為，向量||=||
=1，||=，++=0，=-（+），2=1+2.+1，.=0，向量與向量垂直，同理可得cos=cos=-,（-）（-）=0-.-.+2=4，|-|
==，|-|==,cos<-，->
===， D正確，選D。（文）），=（2，2），向量+
=（5，3），-=（1，-1），（+）.（-）=5-3=2，|+|==，|-|==，cos<+，->===， B正
確，選B。
7、（理）已知O的半徑為1，直線PA于O相切于點(diǎn)A，直線PB與O相交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若|PO|=，則.的最大值為（ ）
A B C 1+ D 2+
（文）正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，E是AB的中點(diǎn)，則.=（ ）（2023全國(guó)高考乙卷）
A B 3 C 2 D 5
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①圓定義與性質(zhì)；②直角三角形定義與性質(zhì)； ③正方形定義與性質(zhì)；④平面向量數(shù)量積定義與性質(zhì)；⑤平面向量幾何運(yùn)算法則與基本方法；⑥求三角函數(shù)最值的基本方法。
【解題思路】（理）根據(jù)圓，直角三角形和平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，結(jié)合問題條件得到.的三角函數(shù)表示式，運(yùn)用求三角函數(shù)最值的基本方法，求出.的最大值就可得出選項(xiàng)。（文）根據(jù)正方形和平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，運(yùn)用平面向量幾何運(yùn)算的法則與基本方法，結(jié)合問題條件求出.的值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】（理）如圖，連接PO，OA，設(shè)BPO=（0≤≤），|OA|=1，|PO|=，直線PA于O相切于點(diǎn)A，|PA|= =1，|PD|=cos，APO=AOP=，①當(dāng)點(diǎn)A，D位于PO的異側(cè)時(shí)，.=|PA||PD|cos(+)=cos（cos- sin）= cos- cossin=- sin2+ cos+=- sin(2-)+，當(dāng)且僅當(dāng)2-=-，即=0時(shí)，.=-（-）+=+=1為最大值；
②當(dāng)點(diǎn)A，D位于PO的同側(cè)時(shí)，.=|PA||PD|cos(-)=cos（cos
+sin）= cos+cossin= sin2+ cos+=sin(2+)+，當(dāng)且僅當(dāng)2+=，即=/8時(shí)，.=-1+=為最大值，＞1，.的最大值為， A正確，選A。（文）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，E是AB的中點(diǎn)，= +=+，=+=-+，
.=（+）（-+）=||-||=4-1=3，B正確，選B。
8、已知向量=（1，1），=（1，-1），若（+）（+u），則（ ）（2023全國(guó)高考新高考I）
A +u=1 B +u=-1 C u=1 D u=-1
【解析】
【考點(diǎn)】①平面向量定義與性質(zhì)；②向量數(shù)量積定義與性質(zhì)；③平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則和基本方法。
【解答思路】根據(jù)平面向量和平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，運(yùn)用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則和基本方法，結(jié)合問題條件得到關(guān)于，u的等式，從而求出+u（或u）的值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】向量=（1，1），=（1，-1），+=（1+，1-），+u=（1+u，1-u），（+）（+u），（1+）（1+u）+（1-）（1-u）=1+u++u+1-u-+u
=2+2u=0，即 u=-1，D正確，選D。
9、已知向量，滿足|-|=，|+|=|2-|，則||= （2023全國(guó)高考新高考II）
【解析】
【考點(diǎn)】①平面向量定義與性質(zhì)；②向量數(shù)量積定義與性質(zhì)；③平面向量幾何運(yùn)算的法則和基本方法。
【解答思路】根據(jù)平面向量和平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，運(yùn)用平面向量幾何運(yùn)算的法則和基本方法，結(jié)合問題條件得到關(guān)于||的等式，從而就可求出||的值。
【詳細(xì)解答】向量，滿足|-|=，||-2.+||=3，2.=||+||-3，
|+|=||+2.+||=2||+2||-3，|2-|=4||-4.+||=4||-2
||-2||+6+||=2||-||+6，|+|=|2-|，2||+2||-3=2||-||+6，
3||=9，||=。
10、（理）已知向量，，滿足.=0，||= ||=1，（-）.（-）=，則|-|的最大值為（ ）
A B 1+ C D 2
（文）已知平面向量，，滿足||=||=|-|=1，.=.=1，則||= （成都市高2020級(jí)高三一診）
【解析】
【考點(diǎn)】①平面向量定義與性質(zhì)；②平面向量數(shù)量積定義與性質(zhì)；③平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則和基本方法；④圓定義與性質(zhì)；⑤求圓上一點(diǎn)到定點(diǎn)距離最值的基本方法。
【解題思路】（理）設(shè)=（1，0），=（0，1），=（x，y），根據(jù)平面向量和平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，運(yùn)用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則和基本方法得到關(guān)于x，y的等式，從而得到向量的終點(diǎn)在圓+=1上，問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)（1，0）到點(diǎn)（x，y）距離的最大值，利用圓的性質(zhì)和求圓上一點(diǎn)到定點(diǎn)距離最值的基本方法求出|-|的最大值就可得出選項(xiàng)。
（文）如圖，設(shè)=（，），=（-，），=（x，y），根據(jù)平面向
量和平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，運(yùn)用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則和基本方法得到關(guān)于x，y的方程組，求解方程組求出x，y的值，從而得到向量的坐標(biāo)，利用求向量摸的基本方法就可求出||的值。
【詳細(xì)解答】（理）向量，，滿足.=0，||= ||=1，（-）.（-）=，設(shè)=（1，0）， =（0，1），=（x，y），-=（x-1，y），-=（x，y-1）（-）.（-）=x(x-1)+y(y-1)=+-x-y=，+=1，向量的終點(diǎn)在圓+=1上，點(diǎn)（1，0）到圓心的距離為=，|-|的最大值為1+c， B正確，選B。
（文）向量，，滿足||=||=|-|=1， y
如圖，設(shè)=（，），=（-，），
=（x，y），.=x+y=1①，.=- x - 0
+y=1②，聯(lián)立①②解得：x=0，y=，向量的坐標(biāo)為（0，），||=。
11、（理）設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且||=1，||=3，則（2+）. = 。
（文）已知向量=（m，3），=（1，m+1），若，則m= （2022全國(guó)高考甲卷）
【解析】
【考點(diǎn)】①平面向量定義與性質(zhì)；②向量數(shù)量積定義與性質(zhì)；③平面向量數(shù)量積幾何運(yùn)算的法則和基本方法；④平面向量坐標(biāo)定義與性質(zhì)；⑤向量坐標(biāo)運(yùn)算法則和基本方法。
【解答思路】（理）根據(jù)平面向量和平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，運(yùn)用平面向量數(shù)量積幾何運(yùn)算的法則和基本方法，結(jié)合問題條件就可求出（2+）. 的值。（文）根據(jù)平面向量和平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，運(yùn)用平面向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算的法則和基本方法，結(jié)合問題條件得到關(guān)于m的方程，求解方程就可求出m的值。
【詳細(xì)解答】（理）向量，的夾角的余弦值為，||=1，||=3， （2+）. =2
.+.=213+9=2+9=11。（文）向量=（m，3），=（1，m+1），， .=m+3m+3=4m+3=0，m=-。
12、（理）已知向量，滿足||=1，||=，|-2|=3，則.=（ ）
A -2 B - 1 C 1 D 2
（文）已知向量=（2，1），=（-2，4），則|-|=（ ）（2022全國(guó)高考乙卷）
A 2 B 3 C 4 D 5
【解析】
【考點(diǎn)】①平面向量定義與性質(zhì)；②向量數(shù)量積定義與性質(zhì)；③平面向量數(shù)量積幾何運(yùn)算的法則和基本方法；④平面向量坐標(biāo)定義與性質(zhì)；⑤向量坐標(biāo)運(yùn)算法則和基本方法。
【解答思路】（理）根據(jù)平面向量和平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，運(yùn)用平面向量數(shù)量積幾何運(yùn)算的法則和基本方法，結(jié)合問題條件就可求出. 的值就可得出選項(xiàng)。（文）根據(jù)平面向量和平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，運(yùn)用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則和基本方法，結(jié)合問題條件就可求出|-|的值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】（理）向量，滿足||=1，||=，|-2|=3，|-2|=||-4.+4
||=13-4.=9，即.=1，C正確，選C。（文）向量=（2，1），=（-2，4），|-|=||-2.+||=5-2（-4+4）+20=25，即|-|=5，D正確，選D.
『思考問題3』
（1）【典例3】是向量數(shù)量積的問題，解答這類問題需要理解平面向量數(shù)量積的定義，掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，運(yùn)算的法則和基本方法；平面向量數(shù)量積包括：①平面向量數(shù)量積的幾何運(yùn)算；②平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)；
（2）平面向量數(shù)量積幾何運(yùn)算的基本方法是：①若已知向量的模和夾角，則直接運(yùn)用公式.=||||cos〈，〉計(jì)算；②運(yùn)用向量數(shù)量積的幾何意義求解；
（3）已知向量=，=，求向量數(shù)量積直接運(yùn)用公式.=求解；
已知向量=，求向量的模一般運(yùn)用公式.=||=+，||=求解，尤其是求幾個(gè)向量的和或差的模時(shí)需要靈活運(yùn)用公式；
（5）求與的夾角常用公式cos= 求解，基本方法是：①求出.及||||或得出它們之間的關(guān)系，②根據(jù)三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)得出結(jié)果(注意兩向量夾角的取值范圍。
［練習(xí)3］解答下列問題：
1、已知向量=（3，4），=（1，0），=+t，若<，>=<，>，則實(shí)數(shù)t=（）（2022全國(guó)高考新高考II卷）（答案：C）
A -6 B - 5 C 5 D 6
2、已知向量，滿足=（1，1）， +2=（3，-1），則向量與的夾角為 （成都市2019級(jí)高三一診）(答案：向量與的夾角為。)
3、已知RtABC中，C=，BC=2，D為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則. = （成都市2019級(jí)高三二診）（答案：. =4.）
4、在ABC中，已知A=，C=，AC=2，則向量在方向上的投影為（ ）（答案：C）
A 2 B 2 C D -
5、已知向量=（3，1），=（1，0），=+k，，則k= （2021全國(guó)高甲卷）（答案：k=-。）
6、已知向量=（1，3），=（3，4），若（-），則= （2021全國(guó)高考乙卷）（答案：=。）
7、已知向量++=0，||=1，||=||=2，.+.+.= （2021全國(guó)高考高考II）（答案：.+.+.=-。）
8、已知向量，滿足=（1，1）， +2=（3，-1），則向量與的夾角為 （2021
成都市高三一診）（答案：向量與的夾角為。）
9、已知RtABC中，C=，BC=2，D為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則. = （2021成都市高三二診）（答案：. =4。）
10、已知向量，滿足||=5，||=6，.=-6，則cos<，+>=（ ）（2020全國(guó)高考新課標(biāo)III）（答案：D）
A - B - C D
11、（理）設(shè)，為單位向量，且|+|=1，則|-|= 。（答案：|-|=。）
（文）設(shè)=（1，-1），=（m+1，2m-4），若，則m= （2020全國(guó)高考新課標(biāo)I）（答案：m=5。）
12、（理）已知單位向量，的夾角為，若k-與垂直，則k= 。（答案：k=。）
（文）已知單位向量，的夾角為，則在下列向量中，與垂直的是（ ）（2020全國(guó)高考新課標(biāo)II） （答案：D）
A +2 B 2+ C -2 D 2-
13、（理）若向量，滿足| |=2，（ +2）. =6，則在方向上的投影為（ ）（答案：B）
A 1 B C - D -1
（文）若向量，滿足| |=2，||=1，（ +2）. =6，則cos<，>=（ ）（2020成都市高三一診）（答案：B）
A B C - D -
14、在ABC中，已知AB=AC，D為BC邊中點(diǎn)，點(diǎn)O在直線AD上，且. =3，則BC邊的長(zhǎng)度為（ ）（2020成都市高三二診）（答案：A）
A B 2 C 2 D 6

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