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第11章　數的開方
11．1　平方根與立方根
1．平方根
【學習目標】
知識與技能
了解一個數的平方根、算術平方根及開平方的意義，會用根號表示一個數的平方根、算術平方根．能用計算器求一個數的平方根．
過程與方法
了解開方與乘方是互逆運算，會利用這個互逆運算關系求某些非負數的算術平方根．
情感、態度與價值觀
通過學習，體驗數學知識來源于實踐，是由于生活或生產的需要而產生、發展的．
【重點難點】
重點
平方根、算術平方根的概念．
難點
有關平方根、算術平方根的運算的區別與聯系．
【學習過程】
一、創設情境，導入新課
宇宙飛船的飛行速度大于第一宇宙速度v1，而小于第二宇宙速度v2，v1，v2滿足v＝gR，v＝2gR，要求v1與v2就要用到平方根的概念．
二、探究新知
1．用平方運算求平方根
思考
什么是平方根？我們是根據什么求25的平方根的？
歸納：
弄清楚“誰”是“誰”的平方根，且正數有 個平方根，它們互為 ，負數 平方根．
2．算術平方根
歸納：
正數a的正的平方根叫做a的 ，記作 ，正數a的平方根記作±，0的平方根是 ，0的算術平方根是 .用數學符號±表示平方根，用表示算術平方根．
3．利用計算器求算術平方根
三、隨堂練習，鞏固新知
1．求下列各式的值：
(1)；(2)－；(3)±；(4).
【答案】
2．求下列各數的算術平方根：
(1)；(2)(－100)2；(3)(±)2.
【答案】
四、典例精析，拓展新知
【例】
三角形的三邊長為a，b，c且＋|b－3|＝0，c為偶數，求△ABC的周長．
【分析】
表示a－2的算術平方根，故a－2≥0，即≥0，而|b－3|≥0，利用非負數和為0，則分別為0，求出a、b，再由三邊關系求解．
【答案】
【歸納總結】
表示a的算術平方根，具有雙重非負性，非負數和為0，則各非負數為0.
五、運用新知識，深化理解
1．3a－2的平方根是它的本身，b＋1的算術平方根是它本身，則a＝________，b＝________．
2. 的平方根是________．
3．m＝＋＋1，則m＋n＝________．
【答案】
4．求下列各式的值：
(1)()2；(2)；(3)()2；(4)；(5).
【答案】
【學習說明】
從跟蹤練習中，查漏補缺、并注意審題準確．如先轉化為4，再求4的平方根．
六、學習總結
1．平方根、算術平方根的概念、表示方法和讀法．
2．(1)正數的平方根有兩個，它們互為相反數；
(2)0的平方根只有一個，為0；
(3)負數沒有平方根．
3．0既是0的平方根，也是0的算術平方根．
4．開平方的概念．
2．立方根
【學習目標】
知識與技能
1．了解立方根和開立方的概念，會用根號表示一個數的立方根．
2．能用立方運算求某些數的立方根．
過程與方法
通過積極參與，培養獨立思考的能力，提高數學表達和運算能力．
情感、態度與價值觀
在活動中，不斷培養合作交流的良好習慣．
【重點難點】
重點
立方根的概念與性質．
難點
區分立方根與平方根
【學習過程】
一、創設情境，導入新課
電熱水器是常用電器，像一般家庭常用的是容積50 L的．如果要生產這種容積為50 L的圓柱形熱水器，使它的高等于底面直徑的2倍，這種容器的底面直徑應取多少？
解：設容積的底面直徑為x dm，則
π·()2·2x＝50
可得，x3＝≈31.84
什么數的立方會等于31.84呢？再設問：要制作一種容積為27 m3的正方體形狀的包裝箱，這種包裝箱的邊長應該是多少？
二、探究新知
1．立方根的概念
解決問題：
設這種包裝箱的邊長為x m，則x3＝27，
這就是求一個數，使它的立方等于27.
因為33＝27，
所以x＝3.
即這種包裝箱的邊長應為3 m.
歸納：如果一個數的立方等于a，那么這個數是a的立方根．
【例】
根據立方根的意義，求下列各數的立方根：，－64，－，1，－1
歸納：正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是 .
2．用數學符號表示立方根
歸納：注意立方根定義及用表示一個數的立方根，可設問中a取什么數？
3．用計算器求一個數的立方根．
歸納：注意操作的程序與精確度的要求．
三、隨堂練習，鞏固新知
求下列各數的立方根：
(1)；(2)－1；(3)0；(4)1；(5)；(6)－2.
【答案】
四、典例精析，拓展新知
求下列各式的值：
(1)；(2)；(3)；
(4)；(5)±；(6)；
(7)－＋－.
【學習說明】
通過以上求值能熟練運用與求平方根與立方根，進一步區分平方根與立方根．
五、運用新知，深化理解
1．－64的立方根是________．
2．3＝－5成立嗎？________．
3．(x＋1)3＝－64的解是________．
4．立方根是本身的數有________．
5．3的立方根是________．
6．一個正方體的體積是0.512 m3，則它的邊長是________m.
【答案】第11章　數的開方
11．1　平方根與立方根
1．平方根
【學習目標】
知識與技能
了解一個數的平方根、算術平方根及開平方的意義，會用根號表示一個數的平方根、算術平方根．能用計算器求一個數的平方根．
過程與方法
了解開方與乘方是互逆運算，會利用這個互逆運算關系求某些非負數的算術平方根．
情感、態度與價值觀
通過學習，體驗數學知識來源于實踐，是由于生活或生產的需要而產生、發展的．
【重點難點】
重點
平方根、算術平方根的概念．
難點
有關平方根、算術平方根的運算的區別與聯系．
【學習過程】
一、創設情境，導入新課
宇宙飛船的飛行速度大于第一宇宙速度v1，而小于第二宇宙速度v2，v1，v2滿足v＝gR，v＝2gR，要求v1與v2就要用到平方根的概念．
二、探究新知
1．用平方運算求平方根
思考
什么是平方根？我們是根據什么求25的平方根的？
歸納：
弄清楚“誰”是“誰”的平方根，且正數有兩個平方根，它們互為相反數，負數沒有平方根．
2．算術平方根
歸納：
正數a的正的平方根叫做a的算術平方根，記作 ，正數a的平方根記作±，0的平方根是0，0的算術平方根是0.用數學符號±表示平方根，用表示算術平方根．
3．利用計算器求算術平方根
三、隨堂練習，鞏固新知
1．求下列各式的值：
(1)；(2)－；(3)±；(4).
【答案】
(1)表示1.96的算術平方根，
∵1.42＝1.96，∴＝1.4.
(2)－表示49的算術平方根的相反數，
∵72＝49，∴－＝－7.
(3)±表示5的平方根，
∵5＝，(±)2＝，
∴±＝±＝±.
(4)表示(－15)2＝225的算術平方根，
∵152＝225，∴＝15.
2．求下列各數的算術平方根：
(1)；(2)(－100)2；(3)(±)2.
【答案】
(1)∵()2＝，
∴的算術平方根是，即＝.
(2)∵(－100)2＝1002，∴的算術平方根是100，
即＝100.
(3)∵±表示25的平方根，(±5)2＝25，
∴25的平方根是±5.
∴(±)2＝(±5)2＝25，
∵52＝25，∴(±)2的算術平方根是5，
即＝5.
四、典例精析，拓展新知
【例】
三角形的三邊長為a，b，c且＋|b－3|＝0，c為偶數，求△ABC的周長．
【分析】
表示a－2的算術平方根，故a－2≥0，即≥0，而|b－3|≥0，利用非負數和為0，則分別為0，求出a、b，再由三邊關系求解．
【答案】
△ABC的周長為7或9.
【歸納總結】
表示a的算術平方根，具有雙重非負性，非負數和為0，則各非負數為0.
五、運用新知識，深化理解
1．3a－2的平方根是它的本身，b＋1的算術平方根是它本身，則a＝________，b＝________．
2. 的平方根是________．
3．m＝＋＋1，則m＋n＝________．
【答案】
1.　－1或0　 2.±2 3．4
4．求下列各式的值：
(1)()2；(2)；(3)()2；(4)；(5).
【答案】
(1)()2＝64；(2)＝；(3)()2＝7.2；
(4)＝＝4；(5)＝＝.
【學習說明】
從跟蹤練習中，查漏補缺、并注意審題準確．如先轉化為4，再求4的平方根．
六、學習總結
1．平方根、算術平方根的概念、表示方法和讀法．
2．(1)正數的平方根有兩個，它們互為相反數；
(2)0的平方根只有一個，為0；
(3)負數沒有平方根．
3．0既是0的平方根，也是0的算術平方根．
4．開平方的概念．
2．立方根
【學習目標】
知識與技能
1．了解立方根和開立方的概念，會用根號表示一個數的立方根．
2．能用立方運算求某些數的立方根．
過程與方法
通過積極參與，培養獨立思考的能力，提高數學表達和運算能力．
情感、態度與價值觀
在活動中，不斷培養合作交流的良好習慣．
【重點難點】
重點
立方根的概念與性質．
難點
區分立方根與平方根
【學習過程】
一、創設情境，導入新課
電熱水器是常用電器，像一般家庭常用的是容積50 L的．如果要生產這種容積為50 L的圓柱形熱水器，使它的高等于底面直徑的2倍，這種容器的底面直徑應取多少？
解：設容積的底面直徑為x dm，則
π·()2·2x＝50
可得，x3＝≈31.84
什么數的立方會等于31.84呢？再設問：要制作一種容積為27 m3的正方體形狀的包裝箱，這種包裝箱的邊長應該是多少？
二、探究新知
1．立方根的概念
解決問題：
設這種包裝箱的邊長為x m，則x3＝27，
這就是求一個數，使它的立方等于27.
因為33＝27，
所以x＝3.
即這種包裝箱的邊長應為3 m.
歸納：如果一個數的立方等于a，那么這個數是a的立方根．
【例】
根據立方根的意義，求下列各數的立方根：，－64，－，1，－1
解：∵＝，∴＝.
∵(－4)3＝－64，∴＝－4，
∵＝－，∴＝－.
∵13＝1，∴＝1.
∵(－1)3＝－1，∴＝－1.
歸納：正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是0.
2．用數學符號表示立方根
歸納：注意立方根定義及用表示一個數的立方根，可設問中a取什么數？
3．用計算器求一個數的立方根．
歸納：注意操作的程序與精確度的要求．
三、隨堂練習，鞏固新知
求下列各數的立方根：
(1)；(2)－1；(3)0；(4)1；(5)；(6)－2.
【答案】
(1)∵()3＝，∴＝.
(2)∵(－1)3＝－1，∴＝－1.
(3)∵03＝0，∴＝0.
(4)∵13＝1，∴＝1.
(5)∵＝27，又∵33＝27，∴＝3
即的立方根為3.
(6)∵(－)3＝－2＝－，∴＝－.
四、典例精析，拓展新知
求下列各式的值：
(1)；(2)；(3)；
(4)；(5)±；(6)；
(7)－＋－.
解：　(1)4；(2)－3；(3)；(4)－；(5)±8；
(6)8；(7)－.
【學習說明】
通過以上求值能熟練運用與求平方根與立方根，進一步區分平方根與立方根．
五、運用新知，深化理解
1．－64的立方根是________．
2．3＝－5成立嗎？________．
3．(x＋1)3＝－64的解是________．
4．立方根是本身的數有________．
5．3的立方根是________．
6．一個正方體的體積是0.512 m3，則它的邊長是________m.
【答案】
1．4；2.－5；3.x＝－5；4.0、±1；5.；6.0.8.

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