資源簡介

12．5　因式分解
【學習目標】
知識與技能
能區分整式的乘法與因式分解，會根據因式分解的意義來判定一個等式從左到右的變形是否為因式分解；會運用提公因式法分解因式．
1．了解用公式法分解因式的意義及其與整式的乘法之間的關系．
2．會用公式法(直接用公式不超過兩次)進行因式分解(指數是正整數)．
過程與方法
通過與算術中的因數分解相比較，滲透類比的數學思想方法；通過與多項式的乘法相比較，發展逆向思維能力．
通過了解用公式法分解因式的意義及其與整式的乘法之間的關系，從中體會事物之間可以相互轉化的辯證思想．
情感、態度與價值觀
通過因式分解在簡化計算中的作用，培養“用數學”的意識，增強求知欲和學好數學的自信心．
培養獨立思考，勇于探索的精神和實事求是的科學態度．
【重點難點】
重點
因式分解的概念與提公因式法．
用公式法分解因式．
難點
理解因式分解與整式乘法的相互關系及靈活運用提公因式法進行分解因式．
對公式的結構特征做出具體分析，掌握公式法的特點，靈活運用公式法分解因式．
【學習過程】
一、創設情境，導入新課
填空：(1)m(a＋b＋c)＝________；
(2)(a＋b)(a－b)＝________；
(3)(a＋b)2＝________．
【嘗試與探索】
(1)ma＋mb＋mc＝(　　　)(　　　)；
(2)a2－b2＝(　　　)(　　　)；
(3)a2＋2ab＋b2＝(　　　)2.
第一組特點：左邊是整式×整式，右邊是多項式→整式乘法，第二組特點：左邊是多項式，右邊是整式×整式→因式分解，導入新課．
二、探究新知
請將下列多項式寫成幾個整式乘積的形式．
(1)x2＋x；
(2)a2－1；
(3)5x(a－2)＋4x(2－a)；
(4)x2－9y2；
(5)16x2－24x＋9.
【分析】
　(1)中有公因式x，(2)直接套用平方差公式；(3)中將第二項變形為－4x(a－2)．這兩個可以利用提公因式法分解；(4)變形為：(x)2－(3y)2再用平方差公式；(5)先轉化為(4x)2－2×4x×3＋32用完全平方公式分解．
【答案】
歸納：將一個多項式化成幾個整式積的形式，叫做因式分解．強調“整式”，如－＝(＋)(－)不是因式分解；因式分解方法有提公因式法與公式法．強調公因式的系數是各項系數的最大公因數；字母取相同的字母，指數取最低的；用公式時先變形為完全符合公式的特征，再套用．
三、隨堂練習，鞏固新知
1．多項式24x2y－(4xy2＋28x3y3)的公因式為(　　)
A．xy　　　　　B．4xy
C．168x3y3 D．4x3y3
【答案】
2．因式分解：(1)a2－24a＋144；(2)4a2b2＋4ab＋1.
【答案】
四、典例精析，拓展新知
【例】
將下列多項式因式分解．
(1)x5－16x；
(2)(a－1)＋b2(1－a)；
(3)x2y2＋xy3＋y4；
(4)4x2－y2－z2＋2yz.
【分析】
(1)先提公因式x，再用平方差公式；
(2)先變形為(a－1)－b2(a－1)，再提公因式(a－1)，再用平方差公式；
(3)先提取y2后再用完全平方式；
(4)先將后三項提出一個符號，是完全平方公式，再與前項構造平方差公式．
【答案】
【學習說明】
1．因式分解時遵循“一提(公因式)”“二套(公式)”“三查(是否分解徹底)”
2．公因式符號不同時，先變號．
(a－b)2＝(b－a)2(a－b)3＝－(b－a)3.
3．多項式有兩項時，符號相反考慮平方差，有三項時，考慮完全平方公式，有四項時可考慮適當組合，再因式分解．
五、運用新知，深化理解
將下列各多項式因式分解：
(1)m2(x－y)＋n2(y－x)；
(2)a2－b2＋3a－3b；
(3)x2y－2x2－y＋2；
(4)(x2＋y2)2－4x2y2.
【答案】
【學習說明】
提公因式法與公式法往往交叉使用，注意分解徹底，不能使用中括號．12．5　因式分解
【學習目標】
知識與技能
能區分整式的乘法與因式分解，會根據因式分解的意義來判定一個等式從左到右的變形是否為因式分解；會運用提公因式法分解因式．
1．了解用公式法分解因式的意義及其與整式的乘法之間的關系．
2．會用公式法(直接用公式不超過兩次)進行因式分解(指數是正整數)．
過程與方法
通過與算術中的因數分解相比較，滲透類比的數學思想方法；通過與多項式的乘法相比較，發展逆向思維能力．
通過了解用公式法分解因式的意義及其與整式的乘法之間的關系，從中體會事物之間可以相互轉化的辯證思想．
情感、態度與價值觀
通過因式分解在簡化計算中的作用，培養“用數學”的意識，增強求知欲和學好數學的自信心．
培養獨立思考，勇于探索的精神和實事求是的科學態度．
【重點難點】
重點
因式分解的概念與提公因式法．
用公式法分解因式．
難點
理解因式分解與整式乘法的相互關系及靈活運用提公因式法進行分解因式．
對公式的結構特征做出具體分析，掌握公式法的特點，靈活運用公式法分解因式．
【學習過程】
一、創設情境，導入新課
填空：(1)m(a＋b＋c)＝________；
(2)(a＋b)(a－b)＝________；
(3)(a＋b)2＝________．
解：(1)ma＋mb＋mc.(2)a2－b2.(3)a2＋2ab＋b2.
【嘗試與探索】
(1)ma＋mb＋mc＝(　　　)(　　　)；
(2)a2－b2＝(　　　)(　　　)；
(3)a2＋2ab＋b2＝(　　　)2.
解：(1)m　a＋b＋c.(2)a＋b　a－b.(3)a＋b.
第一組特點：左邊是整式×整式，右邊是多項式→整式乘法，第二組特點：左邊是多項式，右邊是整式×整式→因式分解，導入新課．
二、探究新知
請將下列多項式寫成幾個整式乘積的形式．
(1)x2＋x；
(2)a2－1；
(3)5x(a－2)＋4x(2－a)；
(4)x2－9y2；
(5)16x2－24x＋9.
【分析】
　(1)中有公因式x，(2)直接套用平方差公式；(3)中將第二項變形為－4x(a－2)．這兩個可以利用提公因式法分解；(4)變形為：(x)2－(3y)2再用平方差公式；(5)先轉化為(4x)2－2×4x×3＋32用完全平方公式分解．
【答案】
(1)x(x＋1)；(2)(a－1)(a＋1)；
(3)x(a－2)；(4)(x＋3y)(x－3y)；
(5)(4x－3)2.
歸納：將一個多項式化成幾個整式積的形式，叫做因式分解．強調“整式”，如－＝(＋)(－)不是因式分解；因式分解方法有提公因式法與公式法．強調公因式的系數是各項系數的最大公因數；字母取相同的字母，指數取最低的；用公式時先變形為完全符合公式的特征，再套用．
三、隨堂練習，鞏固新知
1．多項式24x2y－(4xy2＋28x3y3)的公因式為(　　)
A．xy　　　　　B．4xy
C．168x3y3 D．4x3y3
【答案】B
2．因式分解：(1)a2－24a＋144；(2)4a2b2＋4ab＋1.
【答案】
(1)a2－24a＋144＝(a－12)2；
(2)4a2b2＋4ab＋1＝(2ab＋1)2.
四、典例精析，拓展新知
【例】
將下列多項式因式分解．
(1)x5－16x；
(2)(a－1)＋b2(1－a)；
(3)x2y2＋xy3＋y4；
(4)4x2－y2－z2＋2yz.
【分析】
(1)先提公因式x，再用平方差公式；
(2)先變形為(a－1)－b2(a－1)，再提公因式(a－1)，再用平方差公式；
(3)先提取y2后再用完全平方式；
(4)先將后三項提出一個符號，是完全平方公式，再與前項構造平方差公式．
【答案】
(1)x(x2＋4)(x＋2)(x－2)；
(2)(a－1)(1＋b)(1－b)；
(3)y2(x＋y)2；
(4)(2x＋y－z)(2x－y＋z)．
【學習說明】
1．因式分解時遵循“一提(公因式)”“二套(公式)”“三查(是否分解徹底)”
2．公因式符號不同時，先變號．
(a－b)2＝(b－a)2(a－b)3＝－(b－a)3.
3．多項式有兩項時，符號相反考慮平方差，有三項時，考慮完全平方公式，有四項時可考慮適當組合，再因式分解．
五、運用新知，深化理解
將下列各多項式因式分解：
(1)m2(x－y)＋n2(y－x)；
(2)a2－b2＋3a－3b；
(3)x2y－2x2－y＋2；
(4)(x2＋y2)2－4x2y2.
【答案】
(1)(x＋y)(m＋n)(m－n)；
(2)(a－b)(a＋b＋3)；(3)(y－2)(x＋1)(x－1)；
(4)(x＋y)2(x－y)2.
【學習說明】
提公因式法與公式法往往交叉使用，注意分解徹底，不能使用中括號．

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