資源簡介

幾何畫板迭代全解
目 錄
迭代的基本概念以及迭代的基本操作
迭代的概念
迭代在代數、幾何中的應用
畫正多邊形
數列的圖像、前n項和與積
迭代與分形幾何
Sierpinski 三角形
Sierpinski 地毯
搖曳的Pythagorean Tree畢達哥拉斯樹
分形樹
KOCH 曲線
KOCH Snowflake柯克雪花
數學之美
H迭代
蜂巢
其它分形欣賞
函數迭代：函數映射，M集，朱麗亞集
迭代法求方程解
MIRA
Henon-Attractor
Mandelbrot集合
Julia Sets集合
牛頓迭代法
下期預告
第一章：迭代的概念和操作
迭代是幾何畫板中一個很有趣的功能，它相當于程序設計的遞歸算法。通俗的講就是用自身的結構來描述自身。最典型的例子就是對階乘運算可看作一下的定義： 。遞歸算法的特點是書寫簡單，容易理解，但是運算消耗內存較大。我們先來了解下面這幾個最基本的概念。
迭代：按一定的迭代規則，從原象到初象的反復映射過程。
原象：產生迭代序列的初始對象，通常稱為“種子”。
初象：原象經過一系列變換操作而得到的象。與原象是相對概念。
更具體一點，在代數學中，如計算數列1，3，5，7，9......的第n項。我們知道，所以迭代的規則就是后一項等于前一項加2。以1作為原像，3作為初像，迭代一次后得到5，再迭代一次得到7，如此下去得到以下數值序列7 , 9，11, 13, 15......如圖1.1所示。
圖 1.1
圖 1.2
在幾何學中，迭代使一組對象產生一組新的對象。圖1.2中A、B、C、D、E、F、G，各點相距1cm，那么怎么由A點和B點得到其它各點呢？我們可以發現其中的規律就是從左到右，每一個點相當于前面一個點向右平移了1cm。所以我們以A點作為原像，B點作為初像，迭代一次得到B點，二次為C點，以此類推。
所以，迭代像就是迭代操作產生的象的序列，而迭代深度是指迭代的次數。那么下面我們通過例子來進一步地了解迭代以及相關的概念。
幾何畫板中迭代的控制方式分為兩種，一種是沒有參數的迭代，另一種是帶參數的迭代，我們稱為深度迭代。兩者沒有本質的不同，但前者需要手動改變迭代的深度，后者可通過修改參數的值來改變迭代深度。我們先通過畫圓的正n邊形這個例子來看一下它們的區別。
【例1】畫圓的內接正7邊形。
【分析】由正7邊形的特征，我們知道，每一個點都相當于前面的點逆時針旋轉，抓住這個規律，我們可以用迭代功能來解決。
【步驟】
新建圓O，在圓O上任取一點A。
雙擊圓心O作為旋轉中心。選中A點，單擊菜單【變換】【縮放】，旋轉參數選為選擇固定角度，然后在框中輸入360/7，得到B點。連接線段AB。
第 2 步
第 3 步
選擇A點，單擊【變換】【迭代】，點擊B點作為初像。屏幕上顯示出迭代的像是正7邊形的4條邊（因為系統默認非深度迭代的迭代次數是3次）。
單擊迭代框的【顯示】按鈕，選擇【增加迭代】。（或者按鍵盤的‘＋’或‘－’）。增加三次迭代后，我們可以看到一個完整的正7邊形。此時的迭代次數為6次，正7邊形制作完成。
第 4 步
第 5 步
單擊迭代框的【顯示】按鈕【最終迭代】，得到的圖像僅是最后一條邊。
點擊迭代框【結構】按鈕，我們可以設置創建的對象，選擇“僅沒有點的對象”則迭代的像只有正多邊形的各條邊，而沒有頂點，反之則有。
選擇迭代像，我們可以修改他們的屬性，比如顏色和粗細等，但是細心的你會發現，線段的迭代像是不能夠度量其長度的，當然也就不能取中點之類的操作。迭代的點是不能夠度量他們的橫縱坐標，但是我們可以得到迭代的終點，方法是選擇迭代的點，然后單擊【變換】【終點】，可以發現最后的那個點變成實點了，這個功能在函數映射里面會用到。
上述方法在增加后減少迭代次數時比較麻煩，而且迭代規則限定了，即每次都是旋轉同樣的角度。迭代次數和迭代規則能不能用帶參數來控制呢？可以的，這就是深度迭代。
【例2】畫圓的任意n邊形
【步驟】
新建圓O并在圓上任取一點A。雙擊圓心O作為旋轉中心。
新建參數n＝7，計算,注意這時要帶單位‘度’。
選擇A點，單擊菜單【變換】【旋轉】，出現旋轉對話框，單擊計算結果‘’作為標記角度，得到B點。連接線段AB。
第 3 步
第 4 步
順次選擇點A和參數n，按住“shift”鍵不放，單擊【變換】【深度迭代I】，出現迭代對話框。單擊B點作為初像，屏幕上顯示出完整的正7邊形。按【迭代】完成操作。
如何改變參數n呢？有兩種方法，第一種是雙擊參數n，然后在對話框中輸入值。第二種是單擊參數n，按鍵盤的‘＋’、‘－’，系統默認變化量為1。右鍵單擊可以修改變化量的大小。
注意：迭代時，作為迭代深度的參數n一定要在最后面選擇，這是系統的規定。
上面講的都是迭代在幾何方面的應用，下面我們來看看用迭代在畫數列圖像和數列求和方面的應用。
【例3】求數列 (n=1,2......)的圖前8項，并在平面上畫出散點。
【分析】由數列的表達式可知，是直線y=1+0.5x上面的點。我們要產生兩個數列，一個是作為橫坐標的數列1，2，3......，一個是作為縱坐標的滿足上述通項公式的數列。
【步驟】
新建函數y=1+0.5x。
新建參數a=1,計算a+1,a+1-1,f(a),f(a+1)。
（計算a+1-1是為了得到f(a)對應的橫坐標a。因為迭代次數為0的時候，f(a)=1.5,a的值在迭代數據表中是不會顯示出來的。）
新建參數n＝7作為迭代深度。
選擇a和n，做深度迭代,原像是a,初像是a＋1。
右鍵點擊數據表，選擇‘繪制表中記錄’，設置x列變量為(a+1)-1，y列為f(a)。坐標系為直角坐標系。
第 5 步
第 6 步
點擊繪圖，得到散點。這些點是可以度量的。但是當參數n改變的時候，這些點不與數據表同步，所以是不會改變的。
【例4】求數列1，3，5，7，9(n=1,2......)的前n項和。
【分析】公差為d，假設前n項和為，，在平面上描出（n, ）。
【步驟】
新建參數x=1,計算x＋1。
新建參數a=1,d=2。分別表示數列首項和公差。
新建參數s=1,計算s+a+x*d
選擇x,x+1,s, s+a+x*d,和n做深度迭代。繪制數據表，x列為x＋1，y列為s＋a+x*d。
第 4 步
第 4 步
與此同理那么等比數列的制作也是一樣的。下面我們來看看通項公式不知道的數列怎么畫出其圖像。
【例4】畫出菲波拉契數列。
【分析】數列的前提條件是，因為；所以原像是，初像是。
【步驟】
新建參數f1=0,f2=1,計算f1＋f2,把計算結果的標簽改為f3。
新建參數a=1,計算a+1,。計算（a+1）+1(因為迭代0次的時候f3＝2，而，所以下標應該是3，而a=1,故計算a+1+1)
新建參數n=8
依次選擇f1,f2,a1,a1+1,n,做深度迭代。
第 5 步
第 6 步
繪制表中數據，x列為，y列為。
畫點（0,1）,(1,1)兩點，作為數列的前兩項。從圖像可以看出，數列前面增長的很緩慢，但是到了后面就非常的驚人了。
【小結】
在開始下一章“迭代與分行”之前，先復習一下深度迭代的過程是：
順次選擇原像和參數n。（注意順序）
按住shift不放，單擊菜單【變換】【深度迭代】（出現對話框后可以松開shift鍵）。
依次選取初像。（注意順序）。
添加映射的方法是按鍵盤‘Ctrl＋A’。
第二章：迭代與分形幾何
分形的特點是，整體與部分之間存在某種自相似性，整體具有多種層次結構。分形圖片具有無可爭議的美學感召力，特別是對于從事分形研究的科學家來說。欣賞分形之美當然也要求具有一定的科學文化知識，但相對而言，分形美是通俗易懂的。分形就在我們身邊，我們身體中的血液循環管道系統、肺臟氣管分岔過程、大腦皮層、消化道 小腸絨毛等等都是分形，參天大樹、連綿的山脈、奔涌的河水、漂浮的云朵等等，也都是分 形。人們對這些東西太熟悉了，當然熟悉不等于真正理解。分形的確貼近人們的生活，因而由分形而來的分形藝術也并不遙遠，普通人也能體驗分形之美。
因為分形幾何的迭代的原像一般不止一個，而且均為多映射迭代，為了敘述的方便，我們先作以下兩個約定。
用(A,B,C)表示有順序的兩點A、B和C。
表示A映射到D，B映射到D，C映射到F,然后添加映射A映射到G，B映射到H，C映射到I,如此類推。
【Sierpinski三角形】
波蘭著名數學家謝爾賓斯基在1915-1916年期間，為實變函數理論構造了幾個典型的例子， 這些怪物常稱作“謝氏地毯”、“謝氏三角”、“謝氏海綿”、“謝氏墓垛”。如今，幾乎任何一本講分形的書都要提到這些例子。它們不但有趣，而且有助于形象地理解分形。
著名的Sierpinski三角形，它是很有代表性的線性分形，具有嚴格的自相似特點。不斷連接等邊三角形的中點，挖去中間新的小三角形進行分割---隨著分割不斷進行Sierpinski三角形總面積趨于零，總長度趨于無窮。Sierpinski三角形在力學上也有實用價值，Sierpinski三角形結構節省材料，強度高，例如埃菲爾鐵塔的結構與它就很相似。
【步驟】
在平面上任意畫一個三角形ABC，取三邊中點為D、E、F，連接DEF。
新建參數n＝3
順次選擇B,C,A三點和參數n，作深度迭代,。
添加新的映射, 。
第 3 步
第 4 步
繼續添加映射。
改變參數n可觀察圖形變化。
第 5 步
第 6 步
【Sierpinski地毯】
和Sierpinski地毯相似，只是步驟多了一些。取正方形將其 9 等分，得到 9 個小正方形，舍去中央的小正方形，保留周圍 8 個小正方形。然后對每個小正方形再 9 等分，并同樣舍去中央正方形。按此規則不斷細分與舍去，直至無窮。謝爾賓斯基地毯的極限圖形面積趨于零，小正方形個數與其邊的線段數目趨于無窮多，它是一個線集，圖形具有嚴格的自相似性。
【步驟】
平面上任取線段AB，以線段AB構造正方形ABCD。
以A為縮放中心，B、D縮放為1/3,得到E、F；以D為縮放中心，A、C縮放為1/3得到G、H。同理得到I、J、K、L。連接各點，將正方形九等分；
并填充中間的正方形MNOP，度量MNOP的面積，選擇改度量結果和填充的正方形，單擊【顯示】【顏色】【參數】，單擊確定。則該MNOP的顏色隨它的面積變化而變化。
第 2 步
第 3 步
新建參數n＝4，順次選擇A、B兩點和參數n，作深度迭代，（A，B）（G，P）；（P，O）；（O，J）；（F，M）；（M，N）；（N，K）；（A，E）；（E，L）；（L，B）。注意迭代中點的對應，當迭代框遮住圖像的時候可用鼠標選中拖動開。單擊迭代，隱藏不必要的點。
如果我們制作任意三角形的Sierpinski三角形和任意四邊形的Sierpinski地毯（即三角形和四邊形的頂點都是自由點），然后按照多面體的側面數將他們復制。利用畫板合并點的功能，將它們“粘貼”到三棱錐和正方體的各個側面上，（如下圖）可以制作空間的Sierpinski三角形和地毯。是不是很漂亮呢？
【搖曳的Pythagorean Tree(畢達哥拉斯樹)】
畢達哥拉斯學派發現勾股定理(西方叫做畢達哥拉斯定理)聞名于世，又由此導致不可通約量的發現。1988年，勞威爾通過數值研究發現畢達哥拉斯樹花是一迭代函數系的J集。
【步驟】
在屏幕上以任取兩點A和B，作正方形ABCD，以CD為直徑作圓O，取半圓弧，在該弧上任取一點E，連接CE，DE。隱藏不必要的對象。
填充四邊形ABCD，度量ABCD的面積。選擇四邊形和度量結果，單擊【顯示】【顏色】【參數】。則四邊形的顏色會隨它的面積變化而變化。
新建參數n＝4，選擇A、B和n，作深度迭代，。
第2 步
第 3 步
選擇E點，單擊【編輯】【操作類按鈕】【動畫】，E點變動，很漂亮的效果。當E點在的中點時，整個樹顯出對稱美。
【分形樹】
【分析】和畢達哥拉斯樹類似，樹枝按一定的規律生長。
【過程】
在垂直方向上畫線段AB，在AB左上區域任取一點C。
度量CB，BA的長度，計算CB/BA；度量的大小。
雙擊C點作為旋轉中心，旋轉角度為，旋轉B得到點E；繼續以CB/BA為縮放比例，E點縮為F點；雙擊線段CB作為標記鏡面，得到F點關于線段CB的對稱點G。連接GC，FC。
雙擊線段AB作為標記鏡面，得到C、F、G關于線段AB的對稱點D、H、I，連接BD、HD、ID。
第 3 步
第4 步
新建參數n=3。順次選擇A、B、C三點和參數n，作深度迭代，(A,B,C) (B,C,G),(B,C,F),(B,D,H),(B,D,I)。
移動C點的位置，改變樹枝的形狀。
【KOCH 曲線】
瑞典數學家柯赫于1904年構造了如今稱之為“柯赫曲線”(Koch curve)的幾何對象，這一年 他一共發表了兩篇論文描述這種曲線，他畫出了此曲線的圖形，給出了生成步驟。它的構造過程如下：取一條長度為L的直線段，與構造三分康托爾點集那樣先將它三等分，然后保留兩側的兩段，將中間的一段改成夾角為的兩個等長的直線，每段長度均為L/3，這是n=1的第一次操作。類似地，第二次操作是將上次所得的四段邊長為L/3的線段都進行三等分，現在每段長度為L/9，并將它們中間的一段改成夾角為的兩個長度為L/9的直線。如果將上述操作一直進行下去，最終得到一條具有自相似結構的曲線，稱為三次科赫曲線。
【步驟】
畫線段AB，以A為縮放中心，B縮短為1/3,得到C點；同理以B為縮放中心，A縮短為1/3，得到D點。以C點為旋轉中心，D點順時針旋轉60度，得到E點。
隱藏線段AB，連接線段AC、CE、ED、DB。
新建參數n＝3，順次選擇A、B兩點和n，作深度迭代。(A,B) (A,C),(C,E),(E,D),(D,B)。（如下圖所示）
單擊迭代框的“顯示”按鈕，選擇“顯示最終迭代”。隱藏線段AC、CE、ED、DB（如下圖所示）。
改變參數n，觀察圖形變化。
【KOCH雪花】
因為它酷似雪花，所以叫“雪花曲線”(snowflake curve)，也很像海岸線。柯赫曲線的生成過程很簡單，以一個三角形作為源多邊形，即初始元，將三角形的每一邊做三等分，舍去中間的1/3，然后按科赫曲線的規則產生生成元。從源多邊形開始，第一步形成一個六角星形，第二步將六角星形的12條邊然后按科赫曲線的生成規則進行同樣的操作得48條邊星形，如圖4-5，以后依此進行同樣得操作，直至無窮，生成稱為科赫雪花的圖形。在極限的情況下，科赫雪花的上的折線演變成為曲線。由于科赫曲線生成中的每一步操作都會使折線的長度增加，所以在極限的情況下，科赫雪花邊的總長度將趨于無窮。
柯赫曲線是很復雜的，首先它有許多折點，到處都是“尖端”，用數學的語言講，曲線雖然 連續，但處處不可微，即沒有切線。
【步驟】
在平面上取AB做一個KOCH曲線，然后在A的左端任取一點G，在B的右邊任取一點F，分別在AG和BF上做KOCH雪花，注意三個迭代深度都必須為n。
以B點為旋轉中心，A順時針旋轉60度得到H點。選擇G，H兩點，單擊【編輯】【合并點】，則G點與H點合并。同理，再合并H、F兩點。KOCH雪花完成了。
【數學之美】
【 步驟】
任取兩點A、B，并作正方形ABCD。
在AB上任取一點E,連接BE，度量線段BE的長度并計算BE/AB。
雙擊A點作為縮放中心，選擇D點，單擊【變換】【縮放】以計算結果‘AE/AB’為比例縮放，得到點F；同理以D點為中心，縮放C點得到點G；以C點為縮放中心，縮放B點得到點H。連接正方形EFGH。
新建參數n＝5，順次選擇A、B兩點，和參數n，按下shift鍵不放，作深度迭代， 。如下圖所示：
選擇E點，點擊【編輯】【操作類按鈕】【動畫】。E點變動，產生夢幻般的效果。
【H迭代】
【步驟】
在水平直線上取兩點A和B，連接AB。以A點為旋轉中心，B點順時針旋轉90度，得到C點，再取AC中點D。
以D為旋轉中心，C點順時針旋轉90度得到E點，取DE中點F。以D為旋轉中心，F點再旋轉180度得到G點。連接FG。
同理再畫出H、I兩點。以AB為標記鏡面，得到F、G、H、I關于AB的對稱點J、K、L、M，連接線段JK，LM。（如下圖所示）
隱藏不必要的點，新建參數n＝4。順次選擇A、B兩點、參數n，作深度迭代，.
單擊迭代，隱藏各點的標簽。
【蜂巢】
蜜蜂地巢你觀察過沒有？是什么形狀呢？聰明的蜜蜂選擇了正六邊形，因為這樣可以填充整個空間，而且正六邊形是最省材料的一中結構。從蜂巢中我們也可以發現許多自相似的結構。由三條邊迭代就可以得到蜂巢了，不信？請看。
【步驟】
屏幕上任取線段AB，以B為旋轉中心，A點順時針旋轉120度得到點C，A點逆時針旋轉120度得到點D。
新建參數n＝5。選擇A、B和參數n，作深度迭代，。
單擊迭代，得到蜂巢的圖像。
上面的迭代只是分形幾何的一部分，由于篇幅所限，下面給出其余一些分形幾何的圖片，以供欣賞：


第三章：函數迭代
【多項式求根】
【分析】多項式求根的迭代式是。
【步驟】
新建參數a=-0.1,b=-0.1,c=1,d=2,e=-1，n＝5。
新建函數，畫出它的圖像。
在圖像上任取一點A，度量A的橫坐標。
計算；計算。
依次選擇，單擊【圖表】【繪制點】。得到點B。
度量B的橫坐標。
選中點A，和參數n，按住Shift鍵，單擊【變換】菜單【深度迭代】，彈出迭代對話框，單擊點B。結果如圖1所示。
圖 1
圖 2
選擇迭代像，單擊【變換】菜單【終點】，得到迭代的終點C，度量C點的橫坐標。
觀察表格可知，顯示方程的一個近似根是0.42。
拖動A點，改變它的位置。觀察表格可知道方程的另外一個近似根是3.41。如圖2所示。
【MIRA】
【步驟】
在平面上取一點A，度量A的橫坐標和縱坐標。
新建參數a＝0.4，b=0，99875。（b取得盡量接近1）
新建函數。
計算f()＋b,f(f()＋b)-。注意這里用的是函數嵌套。順次選擇這兩個結果，單擊【圖表】【繪制（x，y）】。得到點B。
順次選擇點B和三個計算結果：f()＋b,f(f()＋b)-，。單擊菜單【顯示】【顏色】【參數】，單擊確定。發現B點的顏色變了，其實B點已經隱藏起來，看到的是同一位置上的另外一個點B’。
新建參數n＝1500，選擇A點和參數n作深度迭代。
【Henon Map（埃農映射）】
【步驟】
在平面上取一點A，度量A的橫坐標和縱坐標。
新建參數a=1.2,b=0.4
計算。順次選擇這兩個計算結果，點擊【圖表】【繪制(x,y)】，得到點B。
選擇點B，并依次選擇和，單擊菜單【顯示】【顏色】【參數】，出現顏色參數對話框，單擊確定。得到點B’。
新建參數n＝1500,選擇點A和參數n，作深度迭代，。
因為M集和朱麗亞集其實是復數平面迭代，我們先來復習一下復平面的一些知識。
若 Zk= xk+ iyk , ( = p+iq
則 xk＋1＝xk2－yk2 ＋p，yk＋1＝2xkyk ＋q，聰明的你應該知道怎么表示復平面上的點的平方了吧。
好了，那么什么是Julia集和Mandelbrot集合，他們之間的區別是什么呢？
考慮 Zk+1=Zk2+(，給定復數初值Z0,( ，得到無窮復數序列{Zk}
Julia集：固定(，J( ={Z0(序列{Zk}有界}
Mandelbrot集：固定Z0，MZ＝{( (序列{Zk}有界}
【 Mandelbrot 集合 】
【步驟】
在平面上以原點為中心，建立一個矩形ABCD作為觀察區域。
在線段AD上取一點E，點擊【編輯】【操作類按鈕】【動畫】，使得E點能夠在AD上運動。
作E點關于Y軸的對稱點E ’,然后連接EE ’。在EE ’上取一點G，度量。
在平面上取一點F，度量 。計算，順次選擇這兩個度量結果，單擊【圖表】【繪制（x ,y）】。得到點H。
新建參數n＝100，選擇點F和參數n，作深度迭代，。
選擇迭代像，單擊【變換】【終點】，得到迭代終點I。度量I的橫、縱坐標，并計算，選擇這三個結果和點G（注意是點G），單擊【顯示】【顏色】【參數】，得到G’。
選中G’，單擊【作圖】【軌跡】。隱藏線段EE’,選擇剛才的軌跡，按右鍵，單擊‘追蹤軌跡’。
把F點移至原點。點擊動畫按鈕，則可以得到M集，適當調整窗口大小。
【Julia Sets朱麗亞集】

【步驟】
在平面上以原點為中心，建立一個矩形ABCD作為觀察區域。
在線段AD上取一點E，點擊【編輯】【操作類按鈕】【動畫】，使得E點能夠在AD上運動。
作E點關于Y軸的對稱點E ’,然后連接EE ’。在EE ’上取一點G，度量。
在平面上取一點F，度量 。計算，順次選擇這兩個度量結果，單擊【圖表】【繪制（x ,y）】。得到點H。
新建參數n＝100，選擇點F和參數n，作深度迭代，。
選擇迭代像，單擊【變換】【終點】，得到迭代終點I。度量I的橫、縱坐標，并計算，選擇這三個結果和點F（注意是點F），單擊【顯示】【顏色】【參數】，得到F’。
選中F’，單擊【作圖】【軌跡】。隱藏線段EE’,選擇剛才的軌跡，按右鍵追蹤軌跡。
點擊動畫按鈕，則可以得到Julia集，調整窗口大小。
【牛頓迭代法】
【步驟】
在平面上以原點為中心，建立一個矩形ABCD作為觀察區域。
在線段AD上取一點E，點擊【編輯】【操作類按鈕】【動畫】，使得E點能夠在AD上運動。
作E點關于Y軸的對稱點E ’,然后連接EE ’。在EE ’上取一點G，度量。
在平面上取一點F，度量 。計算，順次選擇這兩個度量結果，單擊【圖表】【繪制（x ,y）】。得到點H。
新建參數n＝100，選擇點F和參數n，作深度迭代，。
選擇迭代像，單擊【變換】【終點】，得到迭代終點I。度量I的橫、縱坐標，并計算，選擇這三個結果和點G（注意是點G），單擊【顯示】【顏色】【參數】，得到G’。
選中G’，單擊【作圖】【軌跡】。隱藏線段EE’,選擇剛才的軌跡，按右鍵追蹤軌跡。
把F點移至原點。點擊動畫按鈕，則可以得到M集，調整窗口大小
下期精彩預告：
國外同行Paul Kunkel在September 29, 2003制作了Perspective Tools。同樣地，國內的霍焰制作了hot_fire立體幾何制作平臺。兩個工具包在制作立體幾何圖形非常地方便。而且富有立體感。文章主要介紹兩個工具包的使用。初級內容為空間直角坐標系的建立，點線面和簡單空間幾何體的繪制。高級內容為空間曲線的繪制，包括旋正弦線，轉拋物面，雙曲面，橢球面，球體等的繪制。
棱錐
球
圓柱
錐
長方體
四棱臺
馬鞍面 1
橢圓雙曲面
旋轉雙曲面
李薩如曲線
正弦曲線
正弦波
球 1
球 2
球 3
球 3
球 4
球 5

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