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第05講 一元二次不等式及其他常見不等式
(
考綱導向
小
)
考點要求 考題統計 考情分析
(1) 一元二次等式解法 (2) 一元二次不等式恒成立問題 2024年I卷，5分 2024年上海卷，5分 2023年I卷，5分 2020年甲全國卷，5 分 2019年全國卷，5 分 2019年天津卷，5分 （1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題、填空題為主，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大. （2）重點是一元二次方程的解法，主要考查二次函數圖象、一元二次方程根的個數、一元二次不等式的解法以及一元二次方程不等式恒成立求參數范圍問題，常與集合、三角函數、對數函數、指數函數結合.
(
考試要求
小
)
1、會從實際情景中抽象出一元二次不等式；
2、結合二次函數圖象，會判斷一元二次方程的根的個數，以及解一元二次不等式；
3、了解簡單的分式、絕對不等式的解法。
(
考點突破考綱解讀
)
(
考點梳理
小
)
知識點1:解一元二次不等式
1、二次函數與一元二次方程，不等式的解的對應關系:
判別式
二次函數的圖象
方程的根 有兩個不相等的實數根 有兩個相等的實數根 沒有實數根
不等式的解集 或 R
2、解一元二次不等式的步驟：
（1）將二次項系數化為正數；
（2）解相應的一元二次方程；
（3）根據一元二次方程的根，結合不等號的方向畫圖；
（4）寫出不等式的解集．
【易錯提醒】
①未將二次項系數化正，對應錯標準形式；
②解方程出錯；
③結果未按要求寫成集合形式．
3、含參數的一元二次不等式
對含參數的不等式，一般要對參數進行分類討論，常見的分類方法有以下3種：
（1）根據二次項系數為正、負及零進行分類；
（2）根據判別式與0的關系判斷根的個數進行分類；
（3）有兩個根時，根據兩根的大小進行分類.
知識點2:分式不等式與整式不等式解法
1、；與同號（異號）
2、
知識點3:絕對值不等式解法
1、
2、
(
題型展示
小
)
題型一:解一元二次不等式
【例1】不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
，答案為D.
【變式1】不等式的解集為 ．（用區間表示）
【答案】
【解析】
(1) 將二次項系數化為正數：
(2) 解相應的一元二次方程：；
(3) 根據一元二次方程的根，結合不等號的方向畫圖：開口向上，小于0取中間；
(4) 寫出不等式的解集：．
題型二:一元二次不等式恒成立求參數范圍
【例2】（多選）對，不等式恒成立，則實數的取值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
（1）分析開口方向：
對，不等式恒成立，開口向下，則；
（2）恒成立問題轉換為比較最值，分析最值：
開口向下有最大值，當時取得，；答案為ABC.
【變式2】已知函數，若對于，恒成立，則實數的取值范圍為 ．
【答案】D
【解析】
（1）移項化簡不等式：對于恒成立；
（2）求出對稱軸：
（3）分析區間內單調性，求出最值：
1）若，開口向上，在上遞增，當時有最大值，
2）若，開口向上，在上遞減，當時有最大值，
3）若，符合
綜上可得，答案為
題型三:已知參數范圍的恒成立問題
【例3】若不等式，當時恒成立，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】判別式求根法，換參數法
方法1 判別式求根法
（1）求出，判斷根的個數：
有兩個根；
（2）試求出根：
（3）畫出圖象判斷范圍：
結合圖象可得的取值范圍為，答案為D.
方法2 換參數法
要求誰的范圍就把誰看作參數；
（1）題中要求的范圍，把看作參數，看作變量：
（2）看成的一次函數，分類討論求最值：
1）當時，有最小值或，則；
2）當時，，不符合；
3）當時，有最小值或，則；
故的取值范圍為，答案為D.
【變式3】若不等式，當時恒成立，則的取值范圍為 .
【答案】
【解析】
（1）要求的誰的范圍把誰看作參數；把看作參數，把看作變量，
（2）看成的一次函數，分類討論求最值：
1）當時，有最小值或，則；
2）當時，，不符合；
3）當時，有最小值或，則；
故的取值范圍為.
(
考場演練
)
【題1】（2024·全國新Ⅰ卷）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【題型】集合與不等式
【解析】
，且，；故答案為A.
【題2】（2024·上海）已知則不等式的解集為 ．
【答案】
【題型】解一元二次不等式
【解析】
或，
故不等式的解集為，答案為：.
【題3】（2023·全國新Ⅰ卷）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【題型】集合與一元二次不等式
【解析】直接求解法、選項代入法
方法1 直接求解法
，而，
．答案為C．
方法2 選項代入法
，將代入不等式，只有使不等式成立，
．答案為C．
【題4】（2020·全國）已知集合則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【題型】集合與一元二次不等式
【解析】直接求解法、選項代入法
方法1 直接求解法
由解得，
，又，，答案為D.
方法2 選項代入法
，將代入不等式，只有使不等式成立，
，答案為D.
【題5】（2019·全國）設集合，則（ ）
A．(-∞，1) B．(-2，1) C．(-3，-1) D．(3，+∞)
【答案】A
【題型】集合與一元二次不等式
【解析】直接求解法
由解得或，
，又，，答案為A.
【題6】（2019·天津） 設，使不等式成立的的取值范圍為 .
【答案】
【題型】解一元二次不等式
【解析】
，故的取值范圍是．
【題7】（2018·全國）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【題型】一元二次不等式與集合補集
【解析】
解不等式得， ，
，答案為B.
【題8】（2017·天津）已知函數設，若關于x的不等式在R上恒成立，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【題型】不等式恒成立問題
【解析】參變分離法
分類討論去掉絕對值，再把分離出來，求函數最值。將轉化為去解決不等式為(*)，
當時，(*)式即為，，
又（時取等號），
（時取等號），，
當時，(*)式為，，又（當時取等號），
（當時取等號），，則 ．答案為A．
【題9】（2015·江蘇）不等式的解集為 .
【答案】
【題型】指數型函數式大小比較
【解析】
先把底數化為相同的形式： 又是一個遞增函數；
，答案為.
【題10】（2015·廣東）不等式的解集為 ．
【答案】
【題型】一元二次不等式
【解析】
由得：，答案為 ．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第05講 一元二次不等式及其他常見不等式
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考綱導向
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考點要求 考題統計 考情分析
(1) 一元二次等式解法 (2) 一元二次不等式恒成立問題 2024年I卷，5分 2024年上海卷，5分 2023年I卷，5分 2020年甲全國卷，5 分 2019年全國卷，5 分 2019年天津卷，5分 （1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題、填空題為主，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大. （2）重點是一元二次方程的解法，主要考查二次函數圖象、一元二次方程根的個數、一元二次不等式的解法以及一元二次方程不等式恒成立求參數范圍問題，常與集合、三角函數、對數函數、指數函數結合.
(
考試要求
小
)
1、會從實際情景中抽象出一元二次不等式；
2、結合二次函數圖象，會判斷一元二次方程的根的個數，以及解一元二次不等式；
3、了解簡單的分式、絕對不等式的解法。
(
考點突破考綱解讀
)
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考點梳理
小
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知識點1:解一元二次不等式
1、二次函數與一元二次方程，不等式的解的對應關系:
判別式
二次函數的圖象
方程的根 有 實數根 有 實數根 實數根
不等式的解集 ， R
2、解一元二次不等式的步驟：
（1）將二次項系數化為正數；
（2）解相應的一元二次方程；
（3）根據一元二次方程的根，結合不等號的方向畫圖；
（4）寫出不等式的解集．
【易錯提醒】
①未將二次項系數化正，對應錯標準形式；
②解方程出錯；
③結果未按要求寫成集合形式．
3、含參數的一元二次不等式
對含參數的不等式，一般要對參數進行分類討論，常見的分類方法有以下3種：
（1）根據二次項系數為 進行分類；
（2）根據判別式與0的關系判斷根的個數進行分類；
（3）有兩個根時，根據兩根的大小進行分類.
知識點2:分式不等式與整式不等式解法
1、；與同號（異號）
2、
知識點3:絕對值不等式解法
1、
2、
(
題型展示
小
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題型一:解一元二次不等式
【例1】不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【變式1】不等式的解集為 ．（用區間表示）
題型二:一元二次不等式恒成立求參數范圍
【例2】（多選）對，不等式恒成立，則實數的取值可以是（ ）
A. B. C. D.
【變式2】已知函數，若對于，恒成立，則實數的取值范圍為 ．
題型三:已知參數范圍的恒成立問題
【例3】若不等式，當時恒成立，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【變式3】若不等式，當時恒成立，則的取值范圍為 .
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考場演練
)
【題1】（2024·全國新Ⅰ卷）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【題2】（2024·上海）已知則不等式的解集為 ．
【題3】（2023·全國新Ⅰ卷）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【題4】（2020·全國）已知集合則（ ）
A． B． C． D．
【題5】（2019·全國）設集合，則（ ）
A．(-∞，1) B．(-2，1) C．(-3，-1) D．(3，+∞)
【題6】（2019·天津） 設，使不等式成立的的取值范圍為 .
【題7】（2018·全國）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【題8】（2017·天津）已知函數設，若關于x的不等式在R上恒成立，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題9】（2015·江蘇）不等式的解集為 .
【題10】（2015·廣東）不等式的解集為 ．
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