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第04講 基本不等式及其應(yīng)用
(
考綱導(dǎo)向
小
)
考點(diǎn)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1) 基本不等式求最值 (2) 基本不等式綜合運(yùn)用 2024年Ⅱ卷，5分 2024年北京卷，5分 2021年乙卷，5 分 2021年I卷，5分 2020年甲卷，5分 （1）本講為高考命題熱點(diǎn)，題型以選擇題為主； （2）重點(diǎn)是運(yùn)用基本不等式求最值及其成立條件，主要考查利用對(duì)勾型湊配法，“1”的代換來(lái)運(yùn)用基本不等式，常與圓錐曲線、一元二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)結(jié)合. （3） 理解、掌握基本不等式及其推論，會(huì)使用應(yīng)用條件：“一正，二定，三相等”，能正確處理常數(shù)“1”求最值，能用拼湊等思想合理使用基本不等式求最值，能熟練掌握基本不等式的應(yīng)用，應(yīng)用于函數(shù)和解析幾何的求解過(guò)程中求最值
(
考試要求
小
)
1、了解基本不等式的推導(dǎo)過(guò)程；
2、會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題；
3、理解基本不等式在實(shí)際過(guò)程中的應(yīng)用.
(
考點(diǎn)突破考綱解讀
)
(
考點(diǎn)梳理
小
)
知識(shí)點(diǎn)1:基本不等式
1、基本不等式：
，即幾何平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)；
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；
2、幾個(gè)重要基本不等式變式：
（同號(hào)）
（3）利用基本不等式求最值
1）積定和最小：若已知，由可得當(dāng)時(shí)，有最小值.
2）和定積最大：若已知，由可得時(shí)，有最大值.
【重要結(jié)論】
1、
2、
3、基本不等式應(yīng)用條件：“一正、二定、三相等”
知識(shí)點(diǎn)2:對(duì)勾型湊配法
由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知：
將所給函數(shù)往對(duì)勾型函數(shù)上配湊，利用求出最值.
知識(shí)點(diǎn)3:“1”的代換
（1）基礎(chǔ)型
適用類型：1）已知，求的最小值
2）已知，求的最小值
解題方法：（1）把要求式子乘以1，用所給式子代換
（2）用不等式（同號(hào)）求解
（2）有和有積無(wú)常數(shù)型
適用類型：已知且，求的最小值
解題方法：對(duì)所給有和有積無(wú)常數(shù)型式子同除，得到“1”的等式，再利用基礎(chǔ)代換型“1”的代換解題步驟求解.
（3）有和有積有常數(shù)型
適用類型：1）已知且，求的最小值
2）已知且，求的取值范圍
解題方法：
類型1）、利用不等式，將條件等式轉(zhuǎn)換為關(guān)于的一元二次不等式，進(jìn)而求解.
類型2）、利用基本不等式，將條件等式轉(zhuǎn)換為關(guān)于的不等式，進(jìn)而求解.
（4）分母和定型
適用類型：觀察分式的分母，兩分式的分母之和為定值.
解題方法：1）將兩式分母相加得到和為定值的等式；
2）將等式化成為和1 的等式，再用“1”的代換求最值.
（5）分離型
適用類型：觀察分式，分式的分子分母都含.
解題方法：1）將分子中的式子，配湊出分母的形式，約分分離；
2）將含的一次項(xiàng)湊出分母的形式，利用均值不等式求解.
（6）單分母構(gòu)造型
適用類型：對(duì)，求用“1”的代換的模型進(jìn)行單個(gè)分母的變換的題型; 如已知且，求的最小值.
解題步驟：1）將等式湊出分母相加的形式；
2）將等式化成和為1 的等式，再用“1”的代換求最值.
（7）雙分母構(gòu)造型
適用類型：對(duì)，求用“1”的代換的模型進(jìn)行兩個(gè)分母的變換的題型；如已知且，求的最小值.
解題方法：1）將等式變形湊出兩個(gè)分母相加的形式；
2）將等式化成和為1 的等式，再用“1”的代換求最值.
（8）換元構(gòu)造型
適用類型：如已知且，則的最小值.
解題方法：1）換元令分母1為，分母2為；
2）根據(jù)所給等式得到和的關(guān)系，再用“1”的代換求最值.
(
題型展示
小
)
題型一:對(duì)勾型湊配法
【例1】已知函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，有（ ）
A.最大值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最小值
【答案】B
【解析】
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；故答案為B.
【變式1】函數(shù)的最小值是（ ）
A. 2 B.5 C.6 D.7
【答案】D
【解析】
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；故答案為D.
題型二:“1”的代換
【例2】已知且，則的最小值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
；
對(duì)乘以1，并用“1”的代換得：；故答案為A.
【變式2】已知且，則的最小值是（ ）
A. B. 8 C. 9 D. 10
【答案】C
【解析】
；
對(duì)乘以1，并用“1”的代換得：；故答案為C.
題型三:基本不等式綜合運(yùn)用
【例3】已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【解析】
由題意，，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．答案為C．
【變式3】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若的面積為8，則的焦距的最小值為（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【解析】
雙曲線的漸近線方程是
直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)
不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限
聯(lián)立，解得，則
聯(lián)立，解得，則
，面積為：
其焦距為（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)）
的焦距的最小值：；答案為B.
(
考場(chǎng)演練
)
【題1】（2024·北京）已知，是函數(shù)的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【題型】單調(diào)性和基本不等式
【解析】
由題意不妨設(shè)，函數(shù)是增函數(shù)， ，即，
對(duì)選項(xiàng)AB：由基本不等式可得，即，
是增函數(shù)，，故B正確，A錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)C：取特殊值，令，則，
可得，即，故C錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)D：例如，則，可得，即，故D錯(cuò)誤；答案為B.
【題2】（2021·全國(guó)乙卷）下列函數(shù)中最小值為4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【題型】基本不等式使用條件
【解析】
對(duì)A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，A不符合題意；
對(duì)B，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，等號(hào)取不到，其最小值不為，B不符合題意；
對(duì)C，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，C符合題意；
對(duì)D，，函數(shù)定義域?yàn)椋遥绠?dāng)，，D不符合題意．答案為C．
【題3】（2021·全國(guó)新Ⅰ卷）已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【題型】基本不等式與橢圓
【解析】
由題意，，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．答案為C．
【題4】（2020·全國(guó)）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若的面積為8，則的焦距的最小值為（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【題型】基本不等式與雙曲線
【解析】
雙曲線的漸近線方程是
直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)
不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限
聯(lián)立，解得，則
聯(lián)立，解得，則
，面積為：
其焦距為（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)）
的焦距的最小值：；答案為B.
【題5】（2015·四川）如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最大值為（ ）
A．16 B．18 C．25 D．
【答案】B
【題型】基本不等式與二次函數(shù)
【解析】
時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為.
當(dāng)時(shí)，即..由且得.
當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，可得 即 .由且得，故應(yīng)舍去.
要使得取得最大值，應(yīng)有.，則最大值為18.選B.
【題6】（2015·陜西）設(shè)，若，，，則下列關(guān)系式中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【題型】基本不等式與對(duì)數(shù)函數(shù)
【解析】
，，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，， ，
，故選C．
【題7】（2015·湖南）若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【題型】基本不等式
【解析】
，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），則的最小值為，故選C.
【題8】（2015·福建）若直線過(guò)點(diǎn)，則的最小值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【題型】基本不等式
【解析】
直線過(guò)點(diǎn)，．則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故答案為C．
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第04講 基本不等式及其應(yīng)用
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考綱導(dǎo)向
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考點(diǎn)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1) 基本不等式求最值 (2) 基本不等式綜合運(yùn)用 2024年Ⅱ卷，5分 2024年北京卷，5分 2021年乙卷，5 分 2021年I卷，5分 2020年甲卷，5分 （1）本講為高考命題熱點(diǎn)，題型以選擇題為主； （2）重點(diǎn)是運(yùn)用基本不等式求最值及其成立條件，主要考查利用對(duì)勾型湊配法，“1”的代換來(lái)運(yùn)用基本不等式，常與圓錐曲線、一元二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)結(jié)合. （3） 理解、掌握基本不等式及其推論，會(huì)使用應(yīng)用條件：“一正，二定，三相等”，能正確處理常數(shù)“1”求最值，能用拼湊等思想合理使用基本不等式求最值，能熟練掌握基本不等式的應(yīng)用，應(yīng)用于函數(shù)和解析幾何的求解過(guò)程中求最值
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考試要求
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1、了解基本不等式的推導(dǎo)過(guò)程；
2、會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題；
3、理解基本不等式在實(shí)際過(guò)程中的應(yīng)用.
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考點(diǎn)突破考綱解讀
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考點(diǎn)梳理
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知識(shí)點(diǎn)1:基本不等式
1、基本不等式：
，即 ；
，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立；
2、幾個(gè)重要基本不等式變式：
（同號(hào)）
（3）利用基本不等式求最值
1）積定和最小：若已知，由可得當(dāng)時(shí)，有最小值 .
2）和定積最大：若已知，由可得時(shí)，有最大值 .
【重要結(jié)論】
1、
2、
3、基本不等式應(yīng)用條件：“ ”
知識(shí)點(diǎn)2:對(duì)勾型湊配法
由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知：
將所給函數(shù)往對(duì)勾型函數(shù)上配湊，利用求出最值.
知識(shí)點(diǎn)3:“1”的代換
（1）基礎(chǔ)型
適用類型：1）已知，求的最小值
2）已知，求的最小值
解題方法：（1）把要求式子乘以1，用所給式子代換
（2）用不等式（同號(hào)）求解
（2）有和有積無(wú)常數(shù)型
適用類型：已知且，求的最小值
解題方法：對(duì)所給有和有積無(wú)常數(shù)型式子同除 ，得到“1”的等式，再利用基礎(chǔ)代換型“1”的代換解題步驟求解.
（3）有和有積有常數(shù)型
適用類型：1）已知且，求的最小值
2）已知且，求的取值范圍
解題方法：
類型1）、利用不等式，將條件等式轉(zhuǎn)換為關(guān)于的一元二次不等式，進(jìn)而求解.
類型2）、利用基本不等式，將條件等式轉(zhuǎn)換為關(guān)于的不等式，進(jìn)而求解.
（4）分母和定型
適用類型：觀察分式的分母，兩分式的分母之和為定值.
解題方法：1）將兩式分母相加得到和為定值的等式；
2）將等式化成為和1 的等式，再用“1”的代換求最值.
（5）分離型
適用類型：觀察分式，分式的分子分母都含.
解題方法：1）將分子中的式子，配湊出分母的形式，約分分離；
2）將含的一次項(xiàng)湊出分母的形式，利用均值不等式求解.
（6）單分母構(gòu)造型
適用類型：對(duì)，求用“1”的代換的模型進(jìn)行單個(gè)分母的變換的題型; 如已知且，求的最小值.
解題步驟：1）將等式湊出分母相加的形式；
2）將等式化成和為1 的等式，再用“1”的代換求最值.
（7）雙分母構(gòu)造型
適用類型：對(duì)，求用“1”的代換的模型進(jìn)行兩個(gè)分母的變換的題型；如已知且，求的最小值.
解題方法：1）將等式變形湊出兩個(gè)分母相加的形式；
2）將等式化成和為1 的等式，再用“1”的代換求最值.
（8）換元構(gòu)造型
適用類型：如已知且，則的最小值.
解題方法：1）換元令分母1為，分母2為；
2）根據(jù)所給等式得到和的關(guān)系，再用“1”的代換求最值.
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題型一:對(duì)勾型湊配法
【例1】已知函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，有（ ）
A.最大值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最小值
【變式1】函數(shù)的最小值是（ ）
A. 2 B.5 C.6 D.7
題型二:“1”的代換
【例2】已知且，則的最小值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【變式2】已知且，則的最小值是（ ）
A. B. 8 C. 9 D. 10
題型三:基本不等式綜合運(yùn)用
【例3】已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【變式3】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若的面積為8，則的焦距的最小值為（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
(
考場(chǎng)演練
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【題1】（2024·北京）已知，是函數(shù)的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．
【題2】（2021·全國(guó)乙卷）下列函數(shù)中最小值為4的是（ ）
A． B．
C． D．
【題3】（2021·全國(guó)新Ⅰ卷）已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【題4】（2020·全國(guó)）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若的面積為8，則的焦距的最小值為（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【題5】（2015·四川）如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最大值為（ ）
A．16 B．18 C．25 D．
【題6】（2015·陜西）設(shè)，若，，，則下列關(guān)系式中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【題7】（2015·湖南）若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為
A． B．2 C． D．4
【題8】（2015·福建）若直線過(guò)點(diǎn)，則的最小值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
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