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3.1 函數的概念及其表示
——高一數學人教A版（2019）
必修第一冊課前導學
一、新知自學
1.函數的概念：一般地，設A，B是 ，如果對于集合A中的 一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有 的數y和它對應，那么就稱 為從集合A到集合B的一個函數，記作 ，.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的 ；與x的值相對應的y值叫做 ，函數值的集合 叫做函數的值域.
2.一般區間的表示：設a，b是兩個實數，而且，則
集合 名稱 符號 數軸表示
閉區間
開區間
區間
區間
特殊區間的表示：
區間 數軸表示
3.相同函數：如果兩個函數的 相同，并且 完全一致，即相同的自變量對應的 也相同，那么這兩個函數是同一個函數.
4.函數的表示法
（1）解析法：用 表示兩個變量之間的對應關系.
（2）列表法：列出 來表示兩個變量之間的對應關系.
（3）圖象法：用 表示兩個變量之間的對應關系.
5.分段函數：已知函數，，如果 在不同的取值范圍內，函數有著不同的 ，則稱這樣的函數為分段函數.
二、問題思考
1.如何判斷兩個函數和是不是同一函數？
2.求函數值域時有哪些常用方法呢？
3.如何理解分段函數？
三、練習檢測
1.函數的定義域為( ).
A. B. C. D.
2.如圖所示的函數的解析式為( ).
A.
B.
C.
D.
3.給出以下4個函數：
①；②；③；④.
其中值域為，且的函數的個數是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.若函數的定義域與值域相同，則__________.
5.設若，則__________.
【答案及解析】
一、新知自學
1.非空的實數集 任意 唯一確定 定義域 函數值
2. 半開半閉 半開半閉
3.定義域 對應關系 函數值
4.數學表達式 表格 圖象
5.自變量x 對應關系
二、問題思考
1.（1）先看定義域，若定義域不同，則兩函數不同；
（2）再看對應關系，若對應關系不同，則不是同一函數；
（3）若對應關系相同，且定義域也相同，則是同一函數.
2.（1）觀察法：對于一些比較簡單的函數，可根據其解析式的結構特征通過直接觀察得到值域.
（2）圖象法：畫出函數的圖象，利用函數圖象的“最高點”和“最低點”直觀得到函數的值域.
（3）配方法：此方法是求“二次函數”值域的基本方法，即把函數式通過配方轉化成能直接看出其值域的方法.
（4）分離常數法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉化為“反比例函數”的形式，便于求值域.
（5）換元法：對于一些無理函數，通過換元把它們轉化為我們熟悉的函數，間接求出原函數的值域，注意換元后新元的取值范圍.
3.（1）分段函數是一個函數，而不是幾個函數.
（2）處理分段函數的求值問題時，一定要明確自變量的取值屬于哪一個區間.
（3）分段函數的定義域是各段“定義域”的并集，其值域是各段“值域”的并集.
（4）分段函數的圖象應分段來作，特別注意各段的自變量在區間端點處的取值情況.
三、練習檢測
1.答案：C
解析：由得.
2.答案：B
解析：將，代入檢驗即可.
3.答案：B
解析：①③滿足要求.
4.答案：2
解析：由，得的定義域為.因為，所以，解得.
5.答案：4
解析：由得，于是.

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