資源簡介

第一章 集合
知識梳理
知識點一：集合及其運算
1．集合的有關概念
(1) 集合的概念：一般地，研究對象統稱為元素，一些元素組成的總體叫集合．
(2)集合元素的特征：
①確定性：設A是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則x或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立．
② 互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體（對象），因此，同一集合中不應重復出現同一元素．
③無序性：集合中的元素的次序無先后之分．如：由1，2，3組成的集合，也可以寫成由1，3，2組成一個集合，它們都表示同一個集合．
(3)元素與集合的關系：
① 如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作aA
②如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作
(4)常見數集和數學符號
數集 自然數集 正整數集 整數集 有理數集 實數集
符號 或
2．集合的表示方法
(1) 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來．
(2)描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號{}內．具體方法：在大括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．
3．集合之間的關系
(1) 子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合A為B的子集．記作：，讀作：A包含于B（或B包含A）．
圖示：
（2）相等集合：如果兩個集合所含的元素完全相同（），那么我們稱這兩個集合相等．記作：，讀作：A等于B．
圖示：
(3) 真子集：若集合，存在元素，則稱集合A是集合B的真子集，記作：AB（或BA），
讀作：A真包含于B（或B真包含A）
(4) 空集：不含有任何元素的集合稱為空集，記作：，規定：空集是任何集合的子集．
重要結論：一般地，一個集合元素若為n個，則其子集數為2n個，其真子集數為2n-1個，非空真子集數有2n-2個.
4．集合的運算
(1) 并集：一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作：A∪B讀作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}，Venn圖表示：
(2) 交集：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集；記作：A∩B，讀作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn圖表示：
(3) 補集
全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U．
補集：對于全集U的一個子集A，由全集U中所有不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作：，即補集的Venn圖表示：
知識點二：充要條件
1．充要條件
(1) 充分條件、必要條件
若，稱是的充分條件，是的必要條件．
(2) 充要條件
如果既有，又有，就記作，這時是的充分必要條件，稱是的充要條件．
(3)命題“若，則”，其條件p與結論q之間的邏輯關系共有：
①若，但，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件；
②若，但，則是的必要不充分條件，是的充分不必要條件；
③若，且，即，則、互為充要條件；
④若，且，則是的既不充分也不必要條件．
2．子集與推出的關系
若p：x∈A，q：x∈B，
(1)若AB，則是的充分條件，是的必要條件；
(2)若A是B的真子集，則是的充分不必要條件；
(3)若A=B，則、互為充要條件；
(4)若A不是B的子集且B不是A的子集，則是的既不充分也不必要條件．
考點講解
考點一 集合的概念及表示方法
1．已知M是由1，2，3三個元素構成的集合，則集合M可表示為（ ）
A．{x|x=1} B．{x|x=2} C．{1，2} D．{1，2，3}
【答案】D
【解析】由于集合是由三個元素構成，所以，故選：D.
2．下列說法中，正確的個數是（ ）
①的近似值的全體構成一個集合
②自然數集N中最小的元素是0
③在整數集Z中，若，則
④一個集合中不可以有兩個相同的元素
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】①的近似值的全體沒有確定性，不能構成集合，錯誤；
②自然數集N中最小的元素是0，正確；
③在整數集Z中，若，則，整數的相反數還是整數，正確，
④一個集合中不可以有兩個相同的元素，根據集合的定義知正確，
故選：C．
3．方程組的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由方程組，解得：，集合應是點集，正確的形式是，故選：D.
4． 已知集合，則有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】集合．對于不對．對于對；對于不對；
對于不對．故選：．
5．給出下列6個關系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正確命題的個數為（ ）
A．4 B．2 C．3 D．5
【答案】A
【解析】為無理數，有理數和無理數統稱為實數，所以，所以①正確；是無理數，所以，所以②錯誤；不是正整數，所以，所以③正確；，所以④正確；是無理數，所以，所以⑤正確；，所以⑥錯誤，故選:A.
6．設集合，若，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】B
【解析】因為，，所以，解得，所以1，故選：B.
7．集合，用列舉法可以表示為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因為，可得，所以，故選：C.
考點二 集合的關系及運算
8．已知集合，，則的子集的個數為（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．8個
【答案】C
【解析】集合，因為，所以，集合中共兩個元素，
故子集有，，，共個，故選：C.
9．已知集合，則集合的真子集的個數為（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】A
【解析】由題意得：，其真子集有：，，，，，，，共7個，故選：A．
10．集合的子集個數為 ．
【答案】32
【解析】由題意得，則A的子集個數為，故答案為：32.
11．已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，所以．故選：A
12．設全集U是實數集R，，都是U的子集（如圖所示），則陰影部分所表示的集合為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】題圖中陰影部分表示集合，故選：B.
13．已知集合，，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因為，又，所以當時，，要使，則，即，故選：A．
14．設集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，所以，
，故選：C.
15．設全集，若，，則集合（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因為全集，由，得，又，所以．故選：D．
16．已知集合，，或．
(1)若，求實數m的取值范圍；
(2)若，求實數m的取值范圍．
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1）∵，∴．在數軸上標出集合A，B，如圖1所示，則由圖1可知，解得．∴實數m的取值范圍為．
（2）∵，∴．
當，即，即時，滿足．
當，即時，在數軸上標出集合B，C，
若，則有兩種情況，如圖2、圖3所示．
由圖2可知，解得，又，
∴無解；由圖3可知，解得．
綜上，實數m的取值范圍是．
考點三 充要條件
17．已知集合，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】因為,所以“” “”，但“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A.
18．“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】當時，成立，而當時，如時，，所以當時，不一定成立，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A.
19．已知，，則是的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分不必要條件
【答案】A
【解析】由，可得出，由，得不出，所以是的充分而不必要條件，故選：A.
20．若，則“”是“且”的 條件．
【答案】必要不充分
【解析】時，成立，是必要的，時，有，即時不一定有且．不充分，因此應是必要不充分條件，故答案為：必要不充分．
21．若“”是“”的充分不必要條件，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意，“”是“”的充分不必要條件，故，故，故選：B.
22．已知，，且是的必要不充分條件，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解析】∵，是的必要不充分條件，所以由能推出，而由推不出，，，故選B.
23．已知都是的必要條件，是的充分條件，是的充分條件，則是的 條件，是的 條件.
【答案】充要；必要
【解析】由題意得，，所以，所以，又因為，所以是的充要條件；，不能得到，所以p是的必要條件，故答案為：充要；必要．
24．已知，，且是的必要不充分條件，則實數的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】因為，，且是的必要不充分條件，所以是的真子集，且不是空集，所以或，解得，
所以實數的取值范圍是，故答案為:．
25．已知，.
（1）是否存在實數，使是的充要條件？若存在，求出的取值范圍，若不存在，請說明理由；
（2）是否存在實數，使是的必要條件？若存在，求出的取值范圍，若不存在，請說明理由．
【答案】（1）不存在實數，使是的充要條件（2）當實數時，是的必要條件
【解析】解：（1），要使是的充要條件，則，即 此方程組無解，則不存在實數，使是的充要條件；
要使是的必要條件，則，當時，，解得； 當時，，解得，要使，則有，解得，所以，綜上可得，當實數時，是的必要條件．
鞏固練習
一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題3 分，共 30分）
1．以下五個寫法中：①；② ；③；④ ；⑤；正確的個數有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】B
【解析】對于①：是集合與集合的關系，應該是，①不對；
對于②：空集是任何集合的子集，，②對；
對于③：是一個集合，是集合與集合的關系，，③不對；
對于④：根據集合的無序性可知，④對；
對于⑤：是空集，表示沒有任何元素，應該是，⑤不對；
正確的是：②④．
故選：B．
2．已知集合，集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，所以，，所以，所以，，，所以B選項正確，其它選項錯誤，故選：B.
3．已知集合，若，則的取值可以是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】解因為，所以，所以或，故選：B.
4．“0A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】“0“”成立時，“0所以“05．若以集合的四個元素為邊長構成一個四邊形，則這個四邊形可能是（ ）
A．矩形 B．平行四邊形
C．梯形 D．菱形
【解析】由題意，集合的四個元素為邊長構成一個四邊形，根據集合中元素的互異性，可得四個元素互不相等，以四個元素為邊長構成一個四邊形，結合選項，只能為梯形，故選：C.
6．已知，若集合，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】當時，集合，，可得，滿足充分性，若，則或，不滿足必要性，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A.
7．已知全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，又全集，所以，故選：B.
8．已知集合A={1，2，3，4，5}，集合B={1，2}，若集合C滿足：，則集合C的個數為（ ）
A．6個 B．7個 C．8個 D．9個
【答案】B
【解析】根據，集合可寫成如下形式：
所以滿足條件的集合C的個數為7個，選項B正確，故選：B.
9．設集合.，那么“且”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】當且成立時，根據集合的交集定義可知：，當成立時，根據集合的交集定義可知：且，故“且”是“”的充分必要條件，故選：C.
二、填空題（本大題共8小題，每小題3 分，共 24分）
10．設集合，，那么_ .
【答案】
【解析】因為，，所以，故答案為：．
11．用列舉法表示 ．
【答案】
【解析】解：因為且，所以或或或，解得或或或，所以對應的分別為、、、，即；故答案為：.
12．已知集合，，則集合B中元素的個數為 ．
【答案】6
【解析】因為，，，所以時，；時，或，時，或3或4.，所以集合B中元素的個數為6，故答案為：6.
13．已知x為實數，則“x2=1“是“x=1”的 條件.
【答案】必要不充分
【解析】或，則可以推出，但不能推出，故“x2=1“是“x=1”的必要不充分條件，故答案為：必要不充分．
14．“”是“且”的 條件.
【答案】必要不充分
【解析】因為當、時，滿足，不滿足且，所以“”不能證明“且”，即“”不是“且”的充分條件，即，即，則，，“且”可以證明“”，即“”是“且”的必要條件，綜上所述，“”是“且”的必要不充分條件，故答案為：必要不充分.
15．設p：一元二次方程有實數根，，則p是q的___________條件．
【答案】充要
【解析】由題可知：一元二次方程有實數根，則，若，則一元二次方程有實數根，所以p是q的充要條件，故答案為：充要.
16．國慶期間，高一某班31名學生去電影院觀看了《長津湖》《我和我的父輩》《峰爆》這三部電影.其中有15人觀看了《長津湖》，有14人觀看了《我和我的父輩》，有11人觀看了《峰爆》，沒有人同時觀看這三部電影，則僅觀看了其中一部電影的共有 人.
【答案】22
【解析】由題意得，觀看兩部電影的人數是15+14+11-31=9，故僅觀看了其中一部電影的人數是31-9=22.
故答案為：22．
17．已知，且q是p的必要不充分條件，則實數m的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】∵“q是p的必要不充分條件”的等價命題是：是的充分不必要條件，設．是的充分不必要條件，所以．
（兩個等號不能同時取到），．故答案為：.
三、解答題（本題共6小題，共46分，解答時應寫出文字說明、證明過程或者演算步驟.）
18．（6分）已知集合，集合．
（1）當時，求；
（2）若，求實數的取值范圍.
【答案】（1）；（2）；
【解析】解：（1）當時，，則；
（2）由知，解得.
19．（6分）已知命題或，命題或，若是的充分非必要條件，求實數的取值范圍.
【答案】
【解析】解：因為是的充分非必要條件，所以是的真子集．
當，即時，，解得，又因為，所以；
當時，，顯然是的真子集．
綜上，實數的取值范圍是．故答案為：.
20．（8分）已知集合，，若，求實數的取值范圍.
【答案】
【解析】解：因為，所以或．又且，
所以，解得,所以實數的取值范圍是．
21．（8分）已知集合，．
（1）求；
【答案】（1）；（2）；或
【解析】解：（1）∵ ， ，∴．
22．（8分）已知集合.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1）由，得，所以.
當時，，所以.
（2）由，得.當時，，得.
當時， ，得.
綜上，的取值范圍為.

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