資源簡(jiǎn)介

1.1.1　集　合
第1課時(shí)　集合與元素
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.通過實(shí)例了解集合與元素的含義,利用集合的基本屬性解決一些簡(jiǎn)單的問題,能判斷元素與集合的關(guān)系.2.識(shí)記常見數(shù)集的表示符號(hào).
導(dǎo)語
問一下同學(xué)們,大家最喜歡上什么課 (嗯,有同學(xué)說體育課)在體育課上,體育老師常說的一句話就是“集合”,這個(gè)時(shí)候,同學(xué)們從四面八方集合到一起,而這個(gè)集合是一個(gè)動(dòng)詞,在我們數(shù)學(xué)課上,也有一個(gè)名詞“集合”,比如在小學(xué)和初中,我們學(xué)習(xí)過自然數(shù)的集合,同一平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合等,為了進(jìn)一步了解集合的有關(guān)知識(shí),請(qǐng)同學(xué)們觀察下面的幾個(gè)例子.
一、元素與集合的概念
問題1　看下面的幾個(gè)例子,觀察并討論它們有什么共同特點(diǎn)
(1)1~10之間的所有偶數(shù);
(2)某中學(xué)今年入學(xué)的全體高一學(xué)生;
(3)所有正方形;
(4)到直線l的距離等于定長(zhǎng)d的所有點(diǎn);
(5)方程x2-3x＋2＝0的所有實(shí)數(shù)根;
(6)地球上的四大洋.
提示　以上例子中指的都是“所有的”,即把某種研究對(duì)象放在一起,研究對(duì)象可以是數(shù)、點(diǎn)、代數(shù)式,也可以是現(xiàn)實(shí)生活中各種各樣的事物或人等.
知識(shí)梳理
在數(shù)學(xué)語言中,把一些對(duì)象放在一起考慮時(shí),就說這些對(duì)象組成了一個(gè)集合或集,這些對(duì)象中的每一個(gè),都叫作這個(gè)集合的一個(gè)元素.
二、元素與集合之間的關(guān)系
問題2　如果體育老師說“男同學(xué)打籃球,女同學(xué)跳繩”,你去打籃球嗎
提示　打籃球的人可以組成一個(gè)集合,男生是該集合的元素,女生不是該集合的元素,所以是男生就去打籃球,是女生就不去打籃球.
知識(shí)梳理
1.元素與集合之間的關(guān)系
關(guān)系 概念 記法 讀法
屬于 若S是一個(gè)集合,a是S的一個(gè)元素 a∈S a屬于S
不屬于 若a不是集合S的元素 a S(或a S,aS) a不屬于S
2.常用數(shù)集及記法
名稱 自然數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實(shí)數(shù)集
記法 N Z Q R
注意點(diǎn):
(1)元素與集合之間是屬于或不屬于關(guān)系,注意符號(hào)的書寫.
(2)通常用R＋表示全體正實(shí)數(shù)組成的集合;類似的有R-,Z＋,N＋,Q-,….
(3)0屬于自然數(shù)集.
例1　(1)(多選)已知不超過5的實(shí)數(shù)組成的集合為M,a＝,則 (　　)
A.a∈M B.a＋1 M
C.∈M D.a2 M
答案　ACD
解析　∵a＝<2＋2＝4<5,
∴a∈M,a＋1<4＋1＝5,
∴a＋1∈M,
∵-<5,
∴∈M,
∵a2＝()2＝5＋2>5,
∴a2 M.
(2)下列結(jié)論中,不正確的是 (　　)
A.若a∈N,則-a N
B.若a∈Z,則a2∈Z
C.若a∈Q,則|a|∈Q
D.若a∈R,則a3∈R
答案　A
解析　對(duì)于A,當(dāng)a＝0時(shí),顯然不成立.
反思感悟　判斷元素和集合關(guān)系的方法
(1)直接法:判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可.
(2)推理法:判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)用符號(hào)“∈”或“ ”填空:
0　　N;-3　　N;0.5　　Z;　　Z;　　Q;π　　R.
答案　∈　 　 　 　∈　∈
(2)已知集合A中元素x滿足2x＋a>0,a∈R,若1 A,2∈A,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為　　　.
答案　-4解析　因?yàn)? A,2∈A,
所以即-4三、集合的基本屬性
問題3　問題1中的幾個(gè)例子都能構(gòu)成集合嗎 它們的元素分別是什么
提示　(1)都能構(gòu)成集合.(2)①2,4,6,8,10;②該中學(xué)今年入學(xué)的每一位高一學(xué)生;③正方形;④到直線l的距離等于定長(zhǎng)d的點(diǎn);⑤1,2;⑥太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋.
知識(shí)梳理
1.互異性:同一集合中的元素是互不相同的.
2.確定性:集合中的元素是確定的.亦即給定一個(gè)集合,任何一個(gè)元素屬于或不屬于這個(gè)集合是確定的.
3.無序性:集合中的元素沒有順序.
注意點(diǎn):集合中的元素必須確定,不能是模棱兩可的,任何兩個(gè)元素都不能相同,且與順序無關(guān).
例2　(1)下列對(duì)象中不能構(gòu)成一個(gè)集合的是 (　　)
A.某校比較出名的教師
B.方程x-2＝0的根
C.不小于3的自然數(shù)
D.所有銳角三角形
答案　A
解析　對(duì)于A,比較出名的標(biāo)準(zhǔn)不清,故不能構(gòu)成集合;
對(duì)于B,x-2＝0 x＝2,方程的根確定,可以構(gòu)成集合;
對(duì)于C,不小于3的自然數(shù)可以構(gòu)成集合;
對(duì)于D,所有銳角三角形內(nèi)角和確定且各角范圍確定,可以構(gòu)成集合.
(2)設(shè)集合S中含有三個(gè)元素1,a-1,a2,若4∈S,則a＝　　　　.
答案　-2或5
解析　∵4∈S,則有
①a-1＝4,∴a＝5,此時(shí)a2＝25,符合題意;
②a2＝4,∴a＝±2.
當(dāng)a＝2時(shí),a-1＝1,
∴a-1與1相同,不符合題意,
當(dāng)a＝-2時(shí),a-1＝-3,符合題意.
綜上有a＝-2或5.
反思感悟　(1)判斷一組對(duì)象能組成集合的條件
①能找到一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn),使得對(duì)于任何一個(gè)對(duì)象,都能確定它是不是給定集合的元素;
②任何兩個(gè)對(duì)象都是不同的;
③對(duì)元素出現(xiàn)的順序沒有要求.
(2)已知集合求參數(shù)時(shí),需檢驗(yàn)集合中元素的互異性.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)下列說法中正確的是 (　　)
A.與定點(diǎn)A,B等距離的點(diǎn)不能組成集合
B.由“title”中的字母組成的集合中元素的個(gè)數(shù)為5
C.一個(gè)集合中有三個(gè)元素a,b,c,其中a,b,c是△ABC的三邊長(zhǎng),則△ABC不可能是等腰三角形
D.高中學(xué)生中的游泳能手能組成集合
答案　C
解析　A不正確,與定點(diǎn)A,B等距離的點(diǎn)在AB的垂直平分線上,能組成集合;B不正確,由“title”中的字母組成的集合元素有t,i,l,e,共4個(gè);C正確,一個(gè)集合中有三個(gè)元素a,b,c,故a,b,c互異,故不可能構(gòu)成等腰三角形;D不正確,游泳能手沒有確定的標(biāo)準(zhǔn),故不能組成集合.
(2)設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),集合A中含有0,b,三個(gè)元素,集合B中含有1,a,a＋b三個(gè)元素,若集合A與集合B的元素完全相同,則a＋2b＝　　　　.
答案　1
解析　由題意知a＋b＝0,所以＝-1,所以b＝1,a＝-1,所以a＋2b＝1.
四、集合的分類
問題4　20以內(nèi)的素?cái)?shù)組成集合S,S有多少個(gè)元素
提示　20以內(nèi)有2,3,5,7,11,13,17,19,共8個(gè)素?cái)?shù),所以集合S有8個(gè)元素.
問題5　銳角三角形組成集合M,M有多少個(gè)元素
提示　銳角三角形有無數(shù)個(gè),所以集合M有無數(shù)個(gè)元素.
知識(shí)梳理
1.有限集:元素個(gè)數(shù)有限的集合叫有限集(或有窮集).
2.無限集:元素?zé)o限多的集合叫無限集(或無窮集).
3.空集:沒有元素的集合叫空集,記作 .空集也是有限集.
例3　下列集合哪些是空集 哪些是有限集 哪些是無限集
(1)一元二次方程x2-2x-3＝0的全體實(shí)數(shù)根組成的集合;
(2)滿足條件x＋y＝1的所有實(shí)數(shù)組(x,y)組成的集合;
(3)滿足條件x-1>0和2x＋3<0的實(shí)數(shù)x組成的集合;
(4)我國(guó)的少數(shù)民族組成的集合.
解　(3)是空集.(1)(4)是有限集.(2)是無限集.
反思感悟　判斷集合是有限集、無限集或空集,關(guān)鍵是理解集合的含義,并求出元素,由元素的個(gè)數(shù)即可判斷.
跟蹤訓(xùn)練3　若由一元二次方程x2-ax＋a＋3＝0的實(shí)數(shù)根組成的集合是空集,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解　依題意,一元二次方程x2-ax＋a＋3＝0無實(shí)根,則Δ＝a2-4(a＋3)<0,
即a2-4a-12<0,解得-21.知識(shí)清單:
(1)元素與集合的概念.
(2)元素與集合的關(guān)系.
(3)集合的基本屬性.
(4)常用數(shù)集的記法.
(5)集合的分類.
2.方法歸納:直接法、推理法.
3.常見誤區(qū):自然數(shù)集中容易遺忘0這個(gè)元素.集合中忽略互異性的判斷.
1.(多選)下列對(duì)象能構(gòu)成集合的有 (　　)
A.接近于1的所有正整數(shù)
B.小于0的實(shí)數(shù)
C.(2 024,1)與(1,2 024)
D.未來世界的高科技產(chǎn)品
答案　BC
解析　A中接近于1的所有正整數(shù)標(biāo)準(zhǔn)不明確,故不能組成集合;B中小于0的實(shí)數(shù)是一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn),能組成集合;C中(2 024,1)與(1,2 024)是兩個(gè)不同的點(diǎn),是確定的,能組成集合;D中未來世界的高科技產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)不明確,不能組成一個(gè)集合.
2.集合M是由大于-2且小于1的實(shí)數(shù)構(gòu)成的,則下列關(guān)系正確的是 (　　)
A.∈M B.0 M
C.1∈M D.-∈M
答案　D
解析　>1,故A錯(cuò);
-2<0<1,故B錯(cuò);
1 M,故C錯(cuò);
-2<-<1,故D正確.
3.設(shè)A為所有亞洲國(guó)家組成的集合,則中國(guó)　　A,美國(guó)　　A,印度　　A,英國(guó)　　A.(用符號(hào)“∈”或“ ”填空)
答案　∈　 　∈　
4.已知集合A中含有兩個(gè)元素1,a,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　;若a2∈A,則a＝　　　　.
答案　a≠1　0或-1
解析　∵A中元素不能相同,∴a≠1,
若a2∈A,∴a2＝1或a2＝a,
解得a＝-1或1或0,又a≠1,故a＝0或-1.

展開更多......

收起↑