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概率5分小題問題的類型與解法
概率與排列組合問題是近幾年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，可以這樣毫不夸張地說，只要是高考（或高三診斷考試）試卷，就必然會(huì)涉及到概念與組合的問題。從題型上看可能是選擇題（或判斷題），但也可能參透到統(tǒng)計(jì)與概率的大題之中，這里主要探導(dǎo)概念與排列組合5分小題的問題；難度系數(shù)一般為低（或中）檔。縱觀近幾年高考（或高三診斷考試）試題，歸結(jié)起來，概率與組合5分小題問題主要包括：①事件與事件的關(guān)系問題；②隨機(jī)事件的概率；③古典概率；④幾何概率；⑤概率綜合問題等幾種類型。各種類型問題的結(jié)構(gòu)具有某些特征，解答方法也有一定的規(guī)律可尋。那么在實(shí)際解答概率與排列組合5分小題問題時(shí)，到底應(yīng)該如何抓住問題的結(jié)構(gòu)特征，快捷，準(zhǔn)確地予以解答呢？下面通過近幾年高考（或高三診斷考試）試題的詳細(xì)解析來回答這個(gè)問題。
【典例1】解答下列問題：
1、有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取一個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，
丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”
則（ ）（2021全國高考新高考I）
A 甲與丙相互獨(dú)立 B 甲與丁相互獨(dú)立 C 乙與丙相互獨(dú)立 D 丙與丁相互獨(dú)立
2、從1，2，3，------，7這7個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，其中：①恰有一個(gè)是偶數(shù)和恰有一個(gè)是奇數(shù)；②至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù)；③至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)；④至少有一個(gè)是奇數(shù)和至少有一個(gè)是偶數(shù)。上述事件中，是對(duì)立事件的是（ ）
『思考問題1
（1）【典例1】是事件與事件之間的關(guān)系問題，解答這類問題需要理解事件，互斥事件和對(duì)立事件的定義，了解事件與事件之間的包含關(guān)系，相等關(guān)系，并事件（或和事件），交事件（或積事件），互斥事件，對(duì)立事件的意義，尤其要注意互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別和聯(lián)系；
（2）互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系是：①聯(lián)系：都是不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，對(duì)立事件是互斥事件的一種特殊情況；②區(qū)別：兩個(gè)互斥事件可以都不發(fā)生，但兩個(gè)對(duì)立事件必須有一個(gè)發(fā)生。
【典例2】解答下列問題：
1、（理）編號(hào)為1，2，3，4，5，6的六個(gè)小球，不放回地抽取3次，記m表示前兩個(gè)球號(hào)碼的平均數(shù)，記n表示前三個(gè)球號(hào)碼的平均數(shù)，則m于n差的絕對(duì)值不超過0。5的概率是
。
（文）甲，乙，丙，丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（ ）（2024全國高考甲卷）
A B C D
2、甲，乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有2，4，6，8，兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人從各自持有的卡片中隨機(jī)選取一張，丙比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0發(fā)，然后各自棄置此輪所選的卡片，（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）。則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為 （2024全國高考新高考I）
3、（理）現(xiàn)有四種不同的顏色要對(duì)如圖形中的五個(gè)部分進(jìn)行著色，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率為（ ）
A B C D
（文）現(xiàn)有兩種不同的顏色要對(duì)如圖形中的三個(gè)部分進(jìn)行著色，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率為（ ）（成都市高2021級(jí)高三二診）
A B C D
4、（理）有50人報(bào)名足球俱樂部，60人報(bào)名乒乓球俱樂部，70人報(bào)名足球俱樂部或乒乓球俱樂部，若已知某人報(bào)足球俱樂部，則其報(bào)乒乓球俱樂部的概率為（ ）
A 0.8 B 0.4 C 0.2 D 0.1
（文）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一，高二年級(jí)各2名，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率為（ ）（2023全國高考甲卷）
A B C D
5、在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立，發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為（0<<1），收到0的概率為1-；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為（0<<1），收到1的概率為1-。考慮兩種方案：單次傳輸和三次傳輸，單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次。收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時(shí)，收到信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）（2023全國高考新高考II）
A 采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1，的概率為（1-）（1-）B 采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1，的概率為（1-）C 采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為（1-）+（1-） D 當(dāng)0<<0.5時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率
6、（理）甲和乙兩位同學(xué)準(zhǔn)備在體育課上進(jìn)行一場乒乓球比賽，假設(shè)甲對(duì)乙每局獲勝的概率為，比賽采取三局兩勝制（當(dāng)一方獲得兩局勝利時(shí)，該方獲勝，比賽結(jié)束），則甲獲勝的概率為（ ）（成都市高2020級(jí)高三二診）
A B C D
（文）某同學(xué)計(jì)劃2023年高考結(jié)束后，在A，B，C，D，E五所大學(xué)中隨機(jī)選兩所去參觀，則A大學(xué)恰好被選中的概率為（ ）
A B C D
7、（理）世界大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)（簡稱大運(yùn)會(huì)）由國際大學(xué)生體育聯(lián)合會(huì)主辦，每兩年舉辦一屆，是規(guī)模僅次于奧運(yùn)會(huì)的世界綜合性運(yùn)動(dòng)會(huì)，第31屆大運(yùn)會(huì)將于2023年7月28日在成都召開，為辦好本屆大運(yùn)會(huì)，組委會(huì)精心招募了一批志愿者，現(xiàn)準(zhǔn)備將甲，乙等6名志愿者安排進(jìn)“東安湖體育公園”，“鳳凰山體育公園”，“四川省體育館”工作，每個(gè)地方安排兩人且每人只能在一個(gè)場館工作，若每位志愿者被分配到各個(gè)場館的可能性相同，則甲，乙兩人被安排在同一個(gè)場館的概率為（ ）
A B C D
（文）世界大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)（簡稱大運(yùn)會(huì)）由國際大學(xué)生體育聯(lián)合會(huì)主辦，每兩年舉辦一屆，是規(guī)模僅次于奧運(yùn)會(huì)的世界綜合性運(yùn)動(dòng)會(huì)，第31屆大運(yùn)會(huì)將于2023年7月28日在成都召開，為辦好本屆大運(yùn)會(huì)，組委會(huì)精心招募了一批志愿者，現(xiàn)準(zhǔn)備將甲，乙兩名志愿者安排進(jìn)“東安湖體育公園”，“鳳凰山體育公園”，“四川省體育館”工作，每人只能在一個(gè)場館工作，若每位志愿者被分配到各個(gè)場館的可能性相同，則甲，乙兩人被安排在同一個(gè)場館的概率為（ ）
A B C D
8、某棋手與甲，乙，丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立，已知該棋手與甲，乙，丙比賽獲勝的概率分別為，，，且>>>0，記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（ ） （2022全國高考乙卷）
A p與該棋手和甲，乙，丙的比賽次序無關(guān) B 該棋手在第二盤與甲比賽，p最大
C 該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D 該棋手在第二盤與丙比賽，p最大
『思考問題2
（1）【典例2】是隨機(jī)事件概率的計(jì)算問題，解答這類問題需要理解隨機(jī)事件概率的定義，掌握隨機(jī)事件概率的計(jì)算公式與基本方法；
（2）隨機(jī)事件概率計(jì)算的基本方法是：①求出試驗(yàn)發(fā)生的總數(shù)（或一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)結(jié)果的總數(shù)）n；②確定某個(gè)事件在試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)（或在一次試驗(yàn)中某事件包含的結(jié)果數(shù)11m；③運(yùn)用公式：P（A）=求出該事件發(fā)生的概率。
［練習(xí)2］解答下列問題：
1、一個(gè)路口的紅綠燈，紅燈的時(shí)間為30秒，黃燈的時(shí)間為5秒，綠燈的時(shí)間為40秒，當(dāng)你到達(dá)路口時(shí)，看見不是紅燈的概率是 （成都市2019級(jí)高三零診）
2、（理）已知某籃球運(yùn)動(dòng)員每次罰球命中的概率為0.4，該運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行罰球練習(xí)（每次罰球互不影響），則在罰球命中兩次時(shí)，罰球次數(shù)恰為4次的概率是（ ）
A B C D
（文）從1，2，3，4，5中隨機(jī)抽取三個(gè)數(shù)，則這三個(gè)數(shù)能成為一個(gè)三角形三邊長的概率為（ ）（成都市2019級(jí)一診）
A B C D
3、袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中3個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出兩個(gè)球，則摸出的兩個(gè)球顏色相同的概率為（ ）（成都市2021高三二診）
A B C D
【典例3】解答下列問題：
1、 某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，則
1， 乙兩位參賽同學(xué)抽取到不同主題的概率為（ ）（2023全國高考乙卷文）
A B C D
2、（理）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這四個(gè)點(diǎn)在同一平面上的概率為 。
（文）從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（ ）（2022全國高考甲卷）
A B C D
3、從甲，乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲，乙都入選的概率為 （2022
全國高考乙卷）
『思考問題3』
（1）【典例3】是古典概率的計(jì)算問題，解答這類問題需要理解基本事件，古典概率的定義，掌握確定一個(gè)事件所含基本事件個(gè)數(shù)和判斷一個(gè)概率模型是不是古典概率的基本方法；
（2）基本事件具有的特征是：①任何兩個(gè)基本事件是互斥的，②任何事件（不可能事件除外）都可以表示成幾個(gè)基本事件的和；
（3）古典概率具有的特征是：①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)，②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等；
（4）求古典概率的基本方法是：①求出試驗(yàn)發(fā)生的總數(shù)（或一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)結(jié)果的總數(shù)）n；②確定某個(gè)事件在試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)（或在一次試驗(yàn)中某事件包含的結(jié)果數(shù)） m；③運(yùn)用公式：P（A）=求出該事件發(fā)生的概率。
［練習(xí)3］解答下列問題：
1、從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（ ）（2022全國高考新高考I卷）
A B C D
2、（理）將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（ ）
A B C D
（文）將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（ ）（2021全國高考甲卷）
A 0.3 B 0.5 C 0.6 D 0.8
【典例4】解答下列問題：
1、七巧板又稱七巧圖，智慧版，是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，據(jù)清代陸以潛《冷蘆雜識(shí)》說“宋黃伯思宴幾圖，以方幾七，長段相參，衍為二十五體，變?yōu)榱嗣鲊?yán)甄蝶幾圖，則又變通其制，以勾股之形，作三角相錯(cuò)形，如蝶翅，其式三，其制六，其數(shù)十有三，其變化之式，凡一百有余，近又有七巧圖，其式五，其數(shù)七，其變化之式多至千余，體物肖形，隨手變換，蓋游戲之具，足以排悶破寂，故世俗皆喜為之。”如圖是一個(gè)用七巧板拼成的三角形（其中①②兩塊全等的小型等腰直角三角形，③為一塊中型等腰直角三角形，④⑤為兩塊全等的大型等腰直角三角形，⑥為一塊正方形，⑦為一塊平行四邊形），現(xiàn)從該三角形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為（ ）（成都市高2021級(jí)高三零診）
A B C D
2、設(shè)O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，在區(qū)域{（x，y）|1+4}隨機(jī)取一點(diǎn)，記該點(diǎn)
為A，則直線OA的傾斜角不大于的概率為（ ）（2023全國高考乙卷）
A B C D
3、在區(qū)間（-2，4）內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，使得-5.+4<0成立的概率為（ ）（成都市2019級(jí)二診）
A B C D
4、在區(qū)間（0，）隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)小于的概率為（ ）（2021全國高考乙卷文）
A B C D
5、如圖所示的矩形長為5，寬為2，在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆，數(shù)
得落在陰影部分的黃豆數(shù)為138顆，則我們可以估計(jì)出陰影部分的面積
為（ ）
A B C 10 D 不能估計(jì)
6、由不等式組 x0，確定的平面區(qū)域?yàn)椋刹坏仁浇M x+y1確定的平面區(qū)域?yàn)椋?y0， x+y-2，若在中隨機(jī)取
y-x-20，一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在內(nèi)的概率為 。
7、在正方形中隨機(jī)撒一把豆子，求豆子落在正方形內(nèi)切圓上的概率；
8、假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上6.30—7.30之間把報(bào)紙送到你家，你父親離開家去工作的時(shí)間在早上7.00—8.00之間，問你父親在離開家前能得到報(bào)紙（稱為事件A）的概率是多少？
『思考問題4』
（1）【典例4】是求幾何概率的問題，解答這類問題需要理解幾何概率的定義，注意幾何概率的特點(diǎn)，掌握幾何概率計(jì)算的基本方法；
（2）求幾何概率的基本方法是：①求出整體幾何的度量（長度，面積或體積）；②求出某事件包含幾何的度量（長度，面積或體積）； ③運(yùn)用公式：P（A）= 求出該事件的幾何概率。
［練習(xí)4］解答下列問題：
1、已知正三棱錐S—ABC的底面邊長為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得＜的概率是（ ）
A B C D
2、一只蜜蜂在一個(gè)棱長為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個(gè)表面的距離均大于1，則稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為（ ）
A B C D
概率與排列組合5分小題問題的類型與解法
概率與排列組合問題是近幾年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，可以這樣毫不夸張地說，只要是高考（或高三診斷考試）試卷，就必然會(huì)涉及到概念與組合的問題。從題型上看可能是選擇題（或判斷題），但也可能參透到統(tǒng)計(jì)與概率的大題之中，這里主要探導(dǎo)概念與排列組合5分小題的問題；難度系數(shù)一般為低（或中）檔。縱觀近幾年高考（或高三診斷考試）試題，歸結(jié)起來，概率與組合5分小題問題主要包括：①事件與事件的關(guān)系問題；②隨機(jī)事件的概率；③古典概率；④幾何概率；⑤概率綜合問題等幾種類型。各種類型問題的結(jié)構(gòu)具有某些特征，解答方法也有一定的規(guī)律可尋。那么在實(shí)際解答概率與排列組合5分小題問題時(shí)，到底應(yīng)該如何抓住問題的結(jié)構(gòu)特征，快捷，準(zhǔn)確地予以解答呢？下面通過近幾年高考（或高三診斷考試）試題的詳細(xì)解析來回答這個(gè)問題。
【典例1】解答下列問題：
1、有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取一個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，
丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”
則（ ）（2021全國高考新高考I）
A 甲與丙相互獨(dú)立 B 甲與丁相互獨(dú)立 C 乙與丙相互獨(dú)立 D 丙與丁相互獨(dú)立
【解析】
【考點(diǎn)】①相互獨(dú)立事件定義與性質(zhì)；②判斷兩個(gè)事件是否是相互獨(dú)立事件的基本方法。
【解答思路】根據(jù)相互獨(dú)立事件的性質(zhì)，運(yùn)用判斷兩個(gè)事件是否是相互獨(dú)立事件的基本方法分別對(duì)各選項(xiàng)的兩個(gè)事件是否是相互獨(dú)立事件進(jìn)行判斷就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，第一次取出的球的數(shù)字至少是2，也就是說丙事件中第一次取出的球的數(shù)字不能是1，甲事件與丙事件兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，且至少有一個(gè)發(fā)生，即甲與丙相互獨(dú)立，A正確，選A。
2、從1，2，3，------，7這7個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，其中：①恰有一個(gè)是偶數(shù)和恰有一個(gè)是奇數(shù)；②至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù)；③至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)；④至少有一個(gè)是奇數(shù)和至少有一個(gè)是偶數(shù)。上述事件中，是對(duì)立事件的是（ ）
A ① B ②④ C ③ D ①③
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①事件的定義與性質(zhì)；②對(duì)立事件的定義與性質(zhì)；③判斷對(duì)立事件的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用對(duì)立事件的性質(zhì)對(duì)各問題中涉及的兩個(gè)事件分別進(jìn)行判斷就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】對(duì)①，任取的兩個(gè)數(shù)中恰有一個(gè)是偶數(shù)，那么另一個(gè)就是奇數(shù)，同時(shí)任取的兩個(gè)數(shù)中恰有一個(gè)是奇數(shù)，那么另一個(gè)就是偶數(shù)，兩個(gè)事件有可能同時(shí)發(fā)生，不是對(duì)立事件；對(duì)②，任取的兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)奇數(shù)，也有可能兩個(gè)都是奇數(shù)，兩個(gè)事件有可能同時(shí)發(fā)生，不是對(duì)立事件；對(duì)③，任取的兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)奇數(shù)，也有可能兩個(gè)都是奇數(shù)，但不可能兩個(gè)都是偶數(shù)，兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，且有一個(gè)必定發(fā)生，是對(duì)立事件；對(duì)④，任取的兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)奇數(shù)，包含恰有一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)的事件，任取的兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)偶數(shù)，包含恰有一個(gè)偶數(shù)和一個(gè)奇數(shù)的事件，不是對(duì)立事件，
C正確，選C。
『思考問題1
（1）【典例1】是事件與事件之間的關(guān)系問題，解答這類問題需要理解事件，互斥事件和對(duì)立事件的定義，了解事件與事件之間的包含關(guān)系，相等關(guān)系，并事件（或和事件），交事件（或積事件），互斥事件，對(duì)立事件的意義，尤其要注意互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別和聯(lián)系；
（2）互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系是：①聯(lián)系：都是不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，對(duì)立事件是互斥事件的一種特殊情況；②區(qū)別：兩個(gè)互斥事件可以都不發(fā)生，但兩個(gè)對(duì)立事件必須有一個(gè)發(fā)生。
【典例2】解答下列問題：
1、（理）編號(hào)為1，2，3，4，5，6的六個(gè)小球，不放回地抽取3次，記m表示前兩個(gè)球號(hào)碼的平均數(shù)，記n表示前三個(gè)球號(hào)碼的平均數(shù)，則m與n差的絕對(duì)值不超過0。5的概率是
。
（文）甲，乙，丙，丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（ ）（2024全國高考甲卷）
A B C D
【解析】
【考點(diǎn)】①組合定義與性質(zhì)；②排列定義與性質(zhì)；③隨機(jī)事件定義與性質(zhì)；④求隨機(jī)事件概率的基本方法。
【解題思路】（理）根據(jù)組合和隨機(jī)事件的性質(zhì)，運(yùn)用求隨機(jī)事件概率的基本方法，結(jié)合問題條件就可求出m與n差的絕對(duì)值不超過0。5的概率。（文）根據(jù)排列和隨機(jī)事件的性質(zhì)，運(yùn)用求隨機(jī)事件概率的基本方法，結(jié)合問題條件求出丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】（理）設(shè)抽出的3張卡片分別為a，b，c，m與n差的絕對(duì)值不超過0。5的事件為A， 從6張卡片中隨機(jī)抽取3張的基本事件有=6 5 4=120，m= ，n= ，|m-n|=|-|=||0.5，|a+b-2c|3，-3a+b-2c3，
當(dāng)c=1或c=6時(shí)，a，b的取值均勻2種可能，當(dāng)c=2或c=5時(shí)，a，b的取值均有10種可能，
當(dāng)c=3或c=4時(shí)，a，b的取值均有16可能，m與n差的絕對(duì)值不超過0。5的基本事件有4+20+32
=56，p（A）==，即m與n差的絕對(duì)值不超過0。5的概率是。
（文）設(shè)丙不在排頭，且甲或乙在排尾的事件為B，甲，乙，丙，丁四人排成一列的基本事件有4 3 21=24，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的基本事件有2 2 2=8，p（B）==，B正確，選B。
2、甲，乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有2，4，6，8，兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人從各自持有的卡片中隨機(jī)選取一張，丙比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0發(fā)，然后各自棄置此輪所選的卡片，（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）。則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為 （2024全國高考新高考I）
【解析】
【考點(diǎn)】①互斥事件定義與性質(zhì)；②相互獨(dú)立事件定義與性質(zhì)；③互斥事件概率定義與性質(zhì)；④求互斥事件概率的基本方法；⑤相互獨(dú)立事件概率定義與性質(zhì)；⑥求相互獨(dú)立事件(或互斥事件)概率的基本方法。
【解題思路】根據(jù)互斥事件，相互獨(dú)立事件，互斥事件概率和相互獨(dú)立事件概率的性質(zhì)，運(yùn)
用求互斥事件概率和相互獨(dú)立事件概率的基本方法，結(jié)合問題條件就可求出四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率。
【詳細(xì)解答】設(shè)四輪比賽后，甲的總得分不小于2的事件為A，當(dāng)甲選取標(biāo)有數(shù)字1的卡片時(shí)，甲只能得0分；當(dāng)甲選取標(biāo)有數(shù)字3的卡片時(shí)，甲得0分的概率為，甲得1分的概率為，當(dāng)甲選取標(biāo)有數(shù)字5的卡片時(shí)，甲得0分的概率為，甲得1分的概率為，當(dāng)甲選取標(biāo)有數(shù)字7的卡片時(shí)，甲得0分的概率為，甲得1分的概率為，p（A）=
+++=，即四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為。
3、（理）現(xiàn)有四種不同的顏色要對(duì)如圖形中的五個(gè)部分進(jìn)行著色，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率為（ ）
A B C D
（文）現(xiàn)有兩種不同的顏色要對(duì)如圖形中的三個(gè)部分進(jìn)行著色，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率為（ ）（成都市高2021級(jí)高三二診）
A B C D
【解析】
【考點(diǎn)】①隨機(jī)事件定義與性質(zhì)；②組合定義與性質(zhì)；③排列定義與性質(zhì)；④求隨機(jī)事件概率的基本方法。
【解題思路】（理）根據(jù)事件事件，組合和排列的性質(zhì)，運(yùn)用求隨機(jī)事件概率的基本方法，結(jié)合問題條件求出其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率就可得出選項(xiàng)。（文）根據(jù)隨機(jī)事件的性質(zhì)，運(yùn)用求隨機(jī)事件概率的基本方法，結(jié)合問題條件求出其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】（理）設(shè)其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的事件為A， 用四種不同的顏色對(duì)如圖形中的五個(gè)部分進(jìn)行著色的方法共有44444=1024種，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的著色的方法有43232=144種，p（A）==，C正確，選C。（文）設(shè)其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的事件為A， 用兩種不同的顏色對(duì)如圖形中的三個(gè)部分進(jìn)行著色的方法共有222=8種，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的著色的方法有211=2種，p（A）==，A正確，選A。
4、（理）有50人報(bào)名足球俱樂部，60人報(bào)名乒乓球俱樂部，70人報(bào)名足球俱樂部或乒乓球俱樂部，若已知某人報(bào)足球俱樂部，則其報(bào)乒乓球俱樂部的概率為（ ）
A 0.8 B 0.4 C 0.2 D 0.1
（文）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一，高二年級(jí)各2名，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率為（ ）（2023全國高考甲卷）
A B C D
【解析】
【考點(diǎn)】①并集定義與性質(zhì)；②交集定義與性質(zhì)；③條件概率定義與性質(zhì)；④求條件概率的
基本方法；⑤隨機(jī)事件定義與性質(zhì)；⑥隨機(jī)事件概率定義與性質(zhì)；⑦求隨機(jī)事件概率基本方法。
【解題思路】（理）根據(jù)并集和交集的性質(zhì)，結(jié)合問題條件求出既報(bào)足球俱樂部又報(bào)乒乓球俱樂部的人數(shù)，運(yùn)用條件概率的性質(zhì)和求條件概率的基本方法，求出某人既報(bào)足球俱樂部，又報(bào)乒乓球俱樂部的概率就可得出選項(xiàng)。（文）根據(jù)隨機(jī)事件和隨機(jī)事件概率的性質(zhì)，運(yùn)用求隨機(jī)事件概率的基本方法，結(jié)合問題條件求出從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】（理）設(shè)某人報(bào)足球俱樂部的事件A，報(bào)乒乓球俱樂部的事件為B，既報(bào)足球俱樂部，又報(bào)乒乓球俱樂部的事件為A|BA+B-AB=AB,AB=A+B-AB=50+60-70=40，p（AB）==，p(A)==，p(A|B)===0.8，A正確，選A。（文）
設(shè)高一年級(jí)的兩名學(xué)生分別為，，高二年級(jí)的兩名學(xué)生分別為，，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的事件為C，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名的基本事件有，，，，，共6個(gè)，這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的基本事件有，，，共4個(gè)，p(C)==，D
正確，選D。
5、在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立，發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為（0<<1），收到0的概率為1-；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為（0<<1），收到1的概率為1-。考慮兩種方案：單次傳輸和三次傳輸，單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次。收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時(shí)，收到信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）（2023全國高考新高考II）
A 采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1，的概率為（1-）（1-）B 采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1，的概率為（1-）C 采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為（1-）+（1-） D 當(dāng)0<<0.5時(shí)，
若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率
【解析】
【考點(diǎn)】①互斥事件定義與性質(zhì)；②相互獨(dú)立事件定義與性質(zhì)；③互斥事件概率定義與性質(zhì)；④求互斥事件概率的基本方法；⑤相互獨(dú)立事件概率定義與性質(zhì)；⑥求相互獨(dú)立事件概率的基本方法。
【解題思路】根據(jù)互斥，相互獨(dú)立事件，互斥事件概率和相互獨(dú)立事件概率的性質(zhì)，運(yùn)用求互斥事件概率和相互獨(dú)立事件概率的基本方法，結(jié)合問題條件求出相應(yīng)事件的概率，從而對(duì)各選項(xiàng)的正確與錯(cuò)誤進(jìn)行判斷就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】對(duì)A，采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1，的概率為（1-）（1-）（1-）=（1-）（1-），A正確；對(duì)B，采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1，的概率為（1-）（1-）=（1-），B正確；對(duì)C，采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為（1-）（1-）+（1-）（1-）+（1-）（1-）+（1-）（1-）（1-）=3（1-）+（1-），
C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)0<<0.5時(shí)，若發(fā)送0，采用三次傳輸方案譯碼為0的概率為3（1-）+（1-），若發(fā)送0，采用單次傳輸方案譯碼為0的概率為（1-），3（1-）+（1-）-（1-）=（1-）[3（1-）+（1-）-1]=（1-）（3-3+1-2+-1）
=（1-）（1-2）>0，當(dāng)0<<0.5時(shí)，若發(fā)送0，采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率，D正確，綜上所述，A，B，D正確，選ABD。
6、（理）甲和乙兩位同學(xué)準(zhǔn)備在體育課上進(jìn)行一場乒乓球比賽，假設(shè)甲對(duì)乙每局獲勝的概率為，比賽采取三局兩勝制（當(dāng)一方獲得兩局勝利時(shí)，該方獲勝，比賽結(jié)束），則甲獲勝的概率為（ ）（成都市高2020級(jí)高三二診）
A B C D
（文）某同學(xué)計(jì)劃2023年高考結(jié)束后，在A，B，C，D，E五所大學(xué)中隨機(jī)選兩所去參觀，則A大學(xué)恰好被選中的概率為（ ）
A B C D
【解析】
【考點(diǎn)】①互斥事件定義與性質(zhì)；②相互獨(dú)立事件定義與性質(zhì)；③求互斥事件概率的基本方法；④求相互獨(dú)立事件概率的基本方法；⑤隨機(jī)事件定義與性質(zhì)；⑥求隨機(jī)事件概率的基本方法。
【解題思路】（理）根據(jù)互斥事件和相互獨(dú)立事件的性質(zhì)，運(yùn)用求互斥事件概率和相互獨(dú)立事件概率的基本方法，求出甲獲勝的概率就可得出選項(xiàng)。（文）根據(jù)隨機(jī)事件的性質(zhì)，運(yùn)用求隨機(jī)事件概率的基本方法，求出A大學(xué)恰好被選中的概率就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】（理）設(shè)在一局比賽中甲獲勝的事件為A，甲失敗的事件為，這場比賽中甲獲勝的事件為B， 這場比賽中甲獲勝的可能是甲第一，第二局獲勝，或甲第一，第三局獲勝，或甲第二，第三局獲勝，p（B）=++=++=，B正確，選B。
（文）設(shè)A大學(xué)恰好被選中的事件為F，在A，B，C，D，E五所大學(xué)中隨機(jī)選兩所的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10個(gè)，A大學(xué)恰好被選中的基本事件有AB，AC，AD，AE共4個(gè)，p（F）==，B正確，選B。
7、（理）世界大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)（簡稱大運(yùn)會(huì)）由國際大學(xué)生體育聯(lián)合會(huì)主辦，每兩年舉辦一屆，是規(guī)模僅次于奧運(yùn)會(huì)的世界綜合性運(yùn)動(dòng)會(huì)，第31屆大運(yùn)會(huì)將于2023年7月28日在成都召開，為辦好本屆大運(yùn)會(huì)，組委會(huì)精心招募了一批志愿者，現(xiàn)準(zhǔn)備將甲，乙等6名志愿者安排進(jìn)“東安湖體育公園”，“鳳凰山體育公園”，“四川省體育館”工作，每個(gè)地方安排兩人且每人只能在一個(gè)場館工作，若每位志愿者被分配到各個(gè)場館的可能性相同，則甲，乙兩人被安排在同一個(gè)場館的概率為（ ）
A B C D
（文）世界大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)（簡稱大運(yùn)會(huì)）由國際大學(xué)生體育聯(lián)合會(huì)主辦，每兩年舉辦一屆，是規(guī)模僅次于奧運(yùn)會(huì)的世界綜合性運(yùn)動(dòng)會(huì)，第31屆大運(yùn)會(huì)將于2023年7月28日在成都召開，為辦好本屆大運(yùn)會(huì)，組委會(huì)精心招募了一批志愿者，現(xiàn)準(zhǔn)備將甲，乙兩名志愿者安排進(jìn)“東安湖體育公園”，“鳳凰山體育公園”，“四川省體育館”工作，每人只能在一個(gè)場館工作，若每位志愿者被分配到各個(gè)場館的可能性相同，則甲，乙兩人被安排在同一個(gè)場館的概率為（ ）
A B C D
【解析】
【考點(diǎn)】①組合數(shù)計(jì)算公式及運(yùn)用；②排列數(shù)計(jì)算公式及運(yùn)用；③隨機(jī)事件概率定義與性質(zhì)；④求隨機(jī)事件概率的基本方法。
【解題思路】（理）根據(jù)隨機(jī)事件概率性質(zhì)，運(yùn)用組合數(shù)，排列數(shù)計(jì)算公式和求隨機(jī)事件概率的基本方法，求出甲，乙兩人被安排在同一個(gè)場館的概率就可得出選項(xiàng)。（文）根據(jù)隨機(jī)事件概率性質(zhì)，運(yùn)用求隨機(jī)事件概率的基本方法，求出甲，乙兩人被安排在同一個(gè)場館的概率就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】（理）設(shè)甲，乙兩人被安排在同一個(gè)場館的事件為A，將6人平均分成三組，再安排到三個(gè)場館的基本事件為n===90，甲，乙兩人被安排在同一個(gè)場館的基本事件為m===18，p（A）==，C正確，選C。
（文）設(shè)甲，乙兩人被安排在同一個(gè)場館的事件為A，甲安排到三個(gè)場館分別為，，，乙安排到三個(gè)場館分別為，，，將甲，乙兩人安排到三個(gè)場館的基本事件為，，，，，，，，共9個(gè)，甲，乙兩人被安排在同一個(gè)場館的基本事件為，，共3個(gè)，p（A）==，C正確，選C。
8、某棋手與甲，乙，丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立，已知該棋手與甲，乙，丙比賽獲勝的概率分別為，，，且>>>0，記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（ ） （2022全國高考乙卷）
A p與該棋手和甲，乙，丙的比賽次序無關(guān) B 該棋手在第二盤與甲比賽，p最大
C 該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D 該棋手在第二盤與丙比賽，p最大
【解析】
【考點(diǎn)】①相互獨(dú)立事件定義與性質(zhì)；②求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生概率的基本方法。
【解答思路】根據(jù)相互獨(dú)立事件的性質(zhì)，運(yùn)用求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生概率的基本方法，結(jié)合問題條件分別求出該棋手在第二盤與甲比賽，第二盤與乙比賽，第二盤與丙比賽的概率，就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】設(shè)該棋手第二盤與甲比賽的事件為A，該棋手第二盤與乙比賽的事件為B，該棋手第二盤與丙比賽的事件為C，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立，該棋手與甲，乙，丙比賽獲勝的概率分別為，，，且>>>0，p（A）=+，p（B）=+，p（C）=+， p（C）- p（A）=+--=（-）>0，
p（C）- p（B）=+--=（-）>0，p（B）- p（A）=+
--=(-)>0， p（C）> p（B）> p（A），D正確，選D。
『思考問題2
（1）【典例2】是隨機(jī)事件概率的計(jì)算問題，解答這類問題需要理解隨機(jī)事件概率的定義，掌握隨機(jī)事件概率的計(jì)算公式與基本方法；
（2）隨機(jī)事件概率計(jì)算的基本方法是：①求出試驗(yàn)發(fā)生的總數(shù)（或一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)結(jié)果的總數(shù)）n；②確定某個(gè)事件在試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)（或在一次試驗(yàn)中某事件包含的結(jié)果數(shù)11m；③運(yùn)用公式：P（A）=求出該事件發(fā)生的概率。
［練習(xí)2］解答下列問題：
1、一個(gè)路口的紅綠燈，紅燈的時(shí)間為30秒，黃燈的時(shí)間為5秒，綠燈的時(shí)間為40秒，當(dāng)你到達(dá)路口時(shí)，看見不是紅燈的概率是 （成都市2019級(jí)高三零診）（答案：到達(dá)路口時(shí)，看見不是紅燈的概率是。）
2、（理）已知某籃球運(yùn)動(dòng)員每次罰球命中的概率為0.4，該運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行罰球練習(xí)（每次罰球互不影響），則在罰球命中兩次時(shí)，罰球次數(shù)恰為4次的概率是（ ）（答案：C）
A B C D
（文）從1，2，3，4，5中隨機(jī)抽取三個(gè)數(shù)，則這三個(gè)數(shù)能成為一個(gè)三角形三邊長的概率為（ ）（成都市2019級(jí)一診）（答案：C）
A B C D
3、袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中3個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出兩個(gè)球，則摸出的兩個(gè)球顏色相同的概率為（ ）（成都市2021高三二診）（答案：B）
A B C D
【典例3】解答下列問題：
1、 某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，則
甲，乙兩位參賽同學(xué)抽取到不同主題的概率為（ ）（2023全國高考乙卷）
A B C D
【解析】
【考點(diǎn)】①古典概型定義與性質(zhì)；②求古典概率的基本方法。
【解題思路】根據(jù)古典概型的性質(zhì)，運(yùn)用求古典概率的基本方法，結(jié)合問題條件求出甲，乙兩位參賽同學(xué)抽取到不同主題的概率就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】設(shè)甲，乙兩位參賽同學(xué)抽取到不同主題的事件為A，甲，乙兩位參賽同學(xué)各自從6個(gè)主題選取一個(gè)主題的不同選法有66=36種，甲，乙兩位參賽同學(xué)抽取到不同主題
的不同選法有65=30種，p（A）==， A正確，選A。
2、（理）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這四個(gè)點(diǎn)在同一平面上的概率為 。
（文）從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（ ）（2022全國高考甲卷）
A B C D
【解析】
【考點(diǎn)】①正方體定義與性質(zhì)；②組合數(shù)計(jì)算公式及運(yùn)用；③古典概率定義與性質(zhì)；④求古典概率的基本方法。
【解答思路】（理）根據(jù)正方體和古典概率的性質(zhì)，運(yùn)用組合數(shù)計(jì)算公式和求古典概率的基本方法，結(jié)合問題條件就可求出從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，這四個(gè)點(diǎn)在同一平面上的概率。（文）根據(jù)古典概率的性質(zhì)，運(yùn)用求古典概率的基本方法，結(jié)合問題條件求出從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，抽到的2張卡片的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】（理）設(shè)從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，這四個(gè)點(diǎn)在同一平面上的事件為A，從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)的基本事件為==70（個(gè)），這四個(gè)點(diǎn)在同一平面上的基本事件為12個(gè)，P（A）==，即從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，這四個(gè)點(diǎn)在同一平面上的概率為。（文）設(shè)從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，抽到的2張卡片的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的事件為A，從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張的基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15個(gè)，抽到的2張卡片的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的基本事件有：（1，4），（2，4），（2，6），（3，4），（4，5），（4，6）共6個(gè)，p（A）==，C正確，選C。
3、從甲，乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲，乙都入選的概率為 （2022全國高考乙卷）
【解析】
【考點(diǎn)】①組合定義與性質(zhì)；②組合數(shù)計(jì)算公式及運(yùn)用；③古典概率定義與性質(zhì)；④求古典概率的基本方法。
【解答思路】（理）根據(jù)組合的性質(zhì)和組合數(shù)計(jì)算公式，結(jié)合問題條件分別求出從甲，乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名和選出的3名同學(xué)中包含甲，乙兩同學(xué)的組合數(shù)，運(yùn)用古典概率的性質(zhì)和求古典概率基本方法求出從甲，乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，甲，乙都入選的概率，就可得出選項(xiàng)。（文）設(shè)5名同學(xué)分別為，，，，，根據(jù)古典概率的性質(zhì)，運(yùn)用求古典概率的基本方法，結(jié)合問題條件求出從甲，乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，甲，乙都入選的概率，就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】（理）設(shè)從甲，乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，甲，乙都入選的事件為A， 從甲，乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作的基本事件為=
=10，從甲，乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，甲，乙都入選的基本事件為
=3，p（A）=。（文）設(shè)從甲，乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，甲，乙都入選的事件為B，5名同學(xué)分別為，，，，，從甲，乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作的基本事件有：，，，，
，，，，，共10個(gè)，從甲，乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，甲，乙都入選的基本事件有：，，共3個(gè)，p（B）=。
『思考問題3』
（1）【典例3】是古典概率的計(jì)算問題，解答這類問題需要理解基本事件，古典概率的定義，掌握確定一個(gè)事件所含基本事件個(gè)數(shù)和判斷一個(gè)概率模型是不是古典概率的基本方法；
（2）基本事件具有的特征是：①任何兩個(gè)基本事件是互斥的，②任何事件（不可能事件除外）都可以表示成幾個(gè)基本事件的和；
（3）古典概率具有的特征是：①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)，②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等；
（4）求古典概率的基本方法是：①求出試驗(yàn)發(fā)生的總數(shù)（或一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)結(jié)果的總數(shù)）n；②確定某個(gè)事件在試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)（或在一次試驗(yàn)中某事件包含的結(jié)果數(shù)） m；③運(yùn)用公式：P（A）=求出該事件發(fā)生的概率。
［練習(xí)3］解答下列問題：
1、從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（ ）（2022全國高考新高考I卷）（答案：D）
A B C D
2、（理）將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（ ）（答案：C）
A B C D
（文）將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（ ）（2021全國高考甲卷）
A 0.3 B 0.5 C 0.6 D 0.8 （答案：C）
【典例4】解答下列問題：
1、七巧板又稱七巧圖，智慧版，是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，據(jù)清代陸以潛《冷蘆雜識(shí)》說“宋黃伯思宴幾圖，以方幾七，長段相參，衍為二十五體，變?yōu)榱嗣鲊?yán)甄蝶幾圖，則又變通其制，以勾股之形，作三角相錯(cuò)形，如蝶翅，其式三，其制六，其數(shù)十有三，其變化之式，凡一百有余，近又有七巧圖，其式五，其數(shù)七，其變化之式多至千余，體物肖形，隨手變換，蓋游戲之具，足以排悶破寂，故世俗皆喜為之。”如圖是一個(gè)用七巧板拼成的三角形（其中①②兩塊全等的小型等腰直角三角形，③為一塊中型等腰直角三角形，④⑤為兩塊全等的大型等腰直角三角形，⑥為一塊正方形，⑦為一塊平行四邊形），現(xiàn)從該三角形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為（ ）（成都市高2021級(jí)高三零診）
A B C D
【解析】
【考點(diǎn)】①正方形定義與性質(zhì)；②等腰直角三角形定義與性質(zhì)；③平行四邊形定義與性質(zhì)；④幾何概率定義與性質(zhì)；⑤求幾何概率的基本方法。
【解題思路】如圖，根據(jù)正方形，等腰直角三角形和平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合問題條件分別求出邊陰影部分和三角形的面積，運(yùn)用幾何概率的性質(zhì)和求幾何概率的基本方法求出從該三角形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率，就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】設(shè)從該三角形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的事件為A，如圖，小型等腰直角三角形的直角邊長為1，=11+21=+1=，
=222=8，p（A）===，B正確，選B。
2、設(shè)O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，在區(qū)域{（x，y）|1+4}隨機(jī)取一點(diǎn)，記該點(diǎn)
為A，則直線OA的傾斜角不大于的概率為（ ）（2023全國高考乙卷）
A B C D
【解析】
【考點(diǎn)】①幾何概型定義與性質(zhì)；②求幾何概率的基本方法。
【解題思路】根據(jù)幾何概型的性質(zhì)，運(yùn)用求幾何概率的基本方法，結(jié)合問題條件求出直線OA的傾斜角不大于的概率就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】設(shè)直線OA傾斜角不大于的事件為B，區(qū)域{（x，y）|1+4}表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為2和1之間的圓環(huán)，直線OA的傾斜角不大于包括第一，第三象限的兩個(gè)部分，p（B）=2/2=， C正確，選C。
3、在區(qū)間（-2，4）內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，使得-5.+4<0成立的概率為（ ）（成都市2019級(jí)二診）
A B C D
【解析】
【考點(diǎn)】①指數(shù)定義與性質(zhì)；②數(shù)學(xué)換元法及運(yùn)用；③求解一元二次不等式的基本方法；④幾何概率定義與性質(zhì)；④求幾何概率的基本方法。
【解題思路】根據(jù)指數(shù)的性質(zhì)和數(shù)學(xué)換元法，得到關(guān)于t的一元二次不等式，運(yùn)用求解一元二次不等式的基本方法求出t的取值范圍，從而得到x的取值范圍，利用幾何概率的性質(zhì)和求幾何概率的基本方法求出在區(qū)間（-2，4）內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，使得-5.+4<0成立的概率就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】設(shè)在區(qū)間（-2，4）內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，使得-5.+4<0成立的事件為A，t=，t（0,+ ）, -5.+4<0, -5t+4<0, 14、在區(qū)間（0，）隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)小于的概率為（）（2021全國高考乙卷文）
A B C D
【解析】
【考點(diǎn)】①幾何概率定義與性質(zhì)；②求幾何概率的基本方法。
【解答思路】根據(jù)幾何概率的性質(zhì)，運(yùn)用求幾何概率的基本方法，結(jié)合問題條件求出在區(qū)間（0，）隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，取到的數(shù)小于的概率就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】設(shè)在區(qū)間（0，）隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，取到的數(shù)小于的事件為A，區(qū)間（0，）的長度為個(gè)單位長度，取到的數(shù)小于的長度為個(gè)單位長度，p（A）==，B正確，選B。
5、如圖所示的矩形長為5，寬為2，在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆，數(shù)
得落在陰影部分的黃豆數(shù)為138顆，則我們可以估計(jì)出陰影部分的面積
為（ ）
A B C 10 D 不能估計(jì)
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①幾何概率的定義與性質(zhì)；②求幾何概率的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用幾何概率的性質(zhì)和基本求法，結(jié)合問題條件求出黃豆落在陰影部分的概率，從而得出陰影部分的面積就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】設(shè)黃豆落在陰影部分的事件為A，在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆，數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)為138顆，p（A）==，=52=10， p（A）=，
=10=，A正確，選A。
6、由不等式組 x0，確定的平面區(qū)域?yàn)椋刹坏仁浇M x+y1確定的平面區(qū)域?yàn)椋?y0， x+y-2，若在中隨機(jī)取
y-x-20，一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在內(nèi)的概率為 。
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①幾何概率的定義與性質(zhì)；②求幾何概率的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用幾何概率性質(zhì)和基本求法，結(jié)合問題條件就可求出該點(diǎn)恰好在內(nèi)的概率。
【詳細(xì)解答】設(shè)該點(diǎn)恰好在內(nèi)的事件為A，作出平面 y
區(qū)域?yàn)椋矫鎱^(qū)域?yàn)槿鐖D所示， = 2 2
=2，= - =2-=， 0 x
p（A）===。
7、在正方形中隨機(jī)撒一把豆子，求豆子落在正方形內(nèi)切圓上的概率；
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①幾何概率的定義與性質(zhì)；②求幾何概率的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用幾何概率的性質(zhì)和基本求法，結(jié)合問題條件就可求出豆子落在正方形內(nèi)切圓上的概率。
【詳細(xì)解答】設(shè)豆子落正方形內(nèi)切圓上的事件為A，正方形的邊長為1，=11=1，
==，p（A）==。
8、假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上6.30—7.30之間把報(bào)紙送到你家，你父親離開家去工作的時(shí)間在早上7.00—8.00之間，問你父親在離開家前能得到報(bào)紙（稱為事件A）的概率是多少？
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①幾何概率的定義與性質(zhì)；②求幾何概率的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用幾何概率的性質(zhì)和基本求法，結(jié)合問題條件就可求出父親在離開家前能得到報(bào)紙的概率。
【詳細(xì)解答】根據(jù)題意作出圖像如圖所示，圖中 y
陰影部分的區(qū)域父親在離開家前能得到報(bào)紙，空白 7.30
部分區(qū)域父親在離開家前不能得到報(bào)紙，p（A） 7.00
=，即父親在離開家前能得到報(bào)紙的概率是。 7.00 7.30 8.00 x
『思考問題4』
（1）【典例4】是求幾何概率的問題，解答這類問題需要理解幾何概率的定義，注意幾何概率的特點(diǎn)，掌握幾何概率計(jì)算的基本方法；
（2）求幾何概率的基本方法是：①求出整體幾何的度量（長度，面積或體積）；②求出某事件包含幾何的度量（長度，面積或體積）； ③運(yùn)用公式：P（A）= 求出該事件的幾何概率。
［練習(xí)4］解答下列問題：
1、已知正三棱錐S—ABC的底面邊長為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得＜的概率是（ ）（答案：D）
A B C D
2、一只蜜蜂在一個(gè)棱長為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個(gè)表面的距離均大于1，則稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為（ ）
A B C D （答案：C）

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