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高考試題中排列組合與二項式定理問題的類型與解法
大家知道，排列組合及二項式定理問題是近幾年高考的熱點問題之一，每年高考試卷中必有一個五分小題，有時在大題中也會涉及到排列組合的問題。從題型上，以選擇題或填空題為主，難度系數為低檔（或中檔）。縱觀近幾年高考試題，歸結起來排列組合與項式定理問題主要包括：①排列組合的綜合問題；②二項定理及運用；③排列組合與概率的綜合問題等幾種類型。各種類型問題結構上具有一定的特征，解答方法也有一定的規律可尋。那么在實際解答排列組合及二項式定理問題時，到底應該如何抓住問題的結構特征，快捷，準確地給予解答呢？下面通過典型例題的詳細解析，來回答這個問題。
【典例1】解答下列問題：
1、 在如圖的44方格表中選4個方格，要求每 11 21 31 40
行和每列均恰有一個方格被選中，則共有 種選 12 22 33 42
法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的 13 22 33 43
四個數之和的最大值是 。 15 24 34 44
2、有五名志愿者參加社區服務，共服務星期六，星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務，則恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數為（ ）(2023全國高考甲卷理）
A 120 B 60 C 40 D 30
3、甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀兩種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有一種相
同的選法共有（ ）（2023全國高考乙卷理）
A 30種 B 60種 C 120種 D 240鐘
4、某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課程中選修2門或3門課，且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有 種（用數字作答）（2023全國高考新高考I）
5、某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層抽樣方法作抽樣調查，擬從
初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400和200名學生，則不同的抽樣結果共有（ ）（2013全國高考新高考II）
A B C D
6、甲乙丙丁戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有（ ）（2022全國高考新高考II卷）
A 12種 B 24種 C 36種 D 48種
7、將5名北京東奧會志愿者分配到花樣滑冰，短道速滑，冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）（2021全國高考乙卷）
A 60種 B 120種 C 240種 D 480種
『思考問題1』
（1）【典例1】是排列組合的綜合問題，解決這類問題的基本方法是：① “分析”，就是找出問題中的條件和結論，弄清楚哪些是元素，哪些是位置；②“分辨”，是辨別問題中哪些是排列，哪些是組合，對哪些元素的位置有特別的限制；③“分類”，是對復雜問題中的元素分成互相排斥的幾類，再逐類解答；④“分步”，是把問題化成幾個互相聯系的步驟，每一步都是簡單的排列或組合問題，再逐步加以解答；
（2）排列的主要特征是元素與元素之間同順序有關；組合的主要特征是元素與元素之間同順序無關；
（3）在實際解答問題時，分辨它是排列還是組合的簡便方法就是看元素與元素之間同順序是否有關；
（4）在實際解答問題時，排列與組合往往會同時出現，面對解答既有排列又有組合的問題時，處理的基本方法是先組合后排列。
［練習1］解答下列問題：
1、6名同學到甲，乙，丙三個場館做志愿者，每名同學只去一個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（ ）（2020全國高考新高考I理）
A 120種 B 90種 C 60種 D 30種
2、安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由一人完成，則不同的安排方式共有（ ）（2020全國高考新高考II理）
A 12種 B 18種 C 24種 D 36種
【典例2】解答下列問題：
1、 二項式的展開式中系數的最大值是 （2024全國高考甲卷）
2、二項式的展開式中x的系數為（ ）（成都市高2021級高三一診）
A 1 B 3 C 5 D 15
3、展開式中常數項是 （成都市高2020級高三一診）
4、（1- ）的展開式中的系數為 （用數字作答）（2022全國高考新高考I卷）
5、展開式中項的系數為 （用數字作答）（2022成都市高三一診）
6、的展開式中的系數為（ ）（2022成都市高三二診）
A -160 B 160 C -80 D 80
『思考問題2』
（1）【問題2】是求二項展開式中某項的系數的問題，解決這類問題的基本方法是：①運用二項展開式的通項公式求出該二項展開式的通項公式；②根據所求項的系數確定所在的項；③由確定的項，代入二項展開式的通項公式求出相應的系數；
（2）解答求二項展開式中某項的系數的問題時，應該注意二項系數與二項展開式中某項的系數具有不同的含義：在二項式的展開式中是第k+1項，求k+1項的系數數，是項除字母以外的系數，其中是該項的二項系數，它與a，b無關。
［練習2］解答下列問題：
1、（x+ ）的展開式中的系數為（ ）（2020全國高考新課標I）
A 5 B 10 C 15 D 20
2、的展開式中常數項是 （用數字作答）（2020全國高考新課標III）
3、的展開式中的系數是 （用數字作答）
【典例3】解答下列問題：
1、（理）編號為1，2，3，4，5，6的六個小球，不放回地抽取3次，記m表示前兩個球號碼的平均數，記n表示前三個球號碼的平均數，則m于n差的絕對值不超過0。5的概率是
。
（文）甲，乙，丙，丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（ ）（2024全國高考甲卷）
A B C D
2、甲，乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有1，3，5，7，乙的卡片上分別標有2，4，6，8，兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人從各自持有的卡片中隨機選取一張，丙比較所選卡片上數字的大小，數字大的人得1分，數字小的人得0發，然后各自棄置此輪所選的卡片，（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）。則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為 （2024全國高考新高考I）
3、（理）現有四種不同的顏色要對如圖形中的五個部分進行著色，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率為（ ）
A B C D
（文）現有兩種不同的顏色要對如圖形中的三個部分進行著色，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率為（ ）（成都市高2021級高三二診）
A B C D
4、 （理）有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球俱樂部或乒乓球
俱樂部，若已知某人報足球俱樂部，則其報乒乓球俱樂部的概率為（ ）
A 0.8 B 0.4 C 0.2 D 0.1
（文）某校文藝部有4名學生，其中高一，高二年級各2名，從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（ ）（2023全國高考甲卷）
A B C D
5、在信道內傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立，發送0時，收到1的概率為（0<<1），收到0的概率為1-；發送1時，收到0的概率為（0<<1），收到1的概率為1-。考慮兩種方案：單次傳輸和三次傳輸，單次傳輸是指每個信號只發送1次，三次傳輸是指每個信號重復發送3次。收到的信號需要譯碼，譯碼規則如下：單次傳輸時，收到信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現次數多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）（2023全國高考新高考II）
A 采用單次傳輸方案，若依次發送1，0，1，則依次收到1，0，1，的概率為（1-）（1-）B 采用三次傳輸方案，若發送1，則依次收到1，0，1，的概率為（1-）C 采用三次傳輸方案，若發送1，則譯碼為1的概率為（1-）+（1-） D 當0<<0.5時，若發送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率
6、（理）甲和乙兩位同學準備在體育課上進行一場乒乓球比賽，假設甲對乙每局獲勝的概率為，比賽采取三局兩勝制（當一方獲得兩局勝利時，該方獲勝，比賽結束），則甲獲勝的概率為（ ）（成都市高2020級高三二診）
A B C D
（文）某同學計劃2023年高考結束后，在A，B，C，D，E五所大學中隨機選兩所去參觀，則A大學恰好被選中的概率為（ ）
A B C D
7、（理）世界大學生運動會（簡稱大運會）由國際大學生體育聯合會主辦，每兩年舉辦一屆，是規模僅次于奧運會的世界綜合性運動會，第31屆大運會將于2023年7月28日在成都召開，為辦好本屆大運會，組委會精心招募了一批志愿者，現準備將甲，乙等6名志愿者安排進“東安湖體育公園”，“鳳凰山體育公園”，“四川省體育館”工作，每個地方安排兩人且每人只能在一個場館工作，若每位志愿者被分配到各個場館的可能性相同，則甲，乙兩人被安排在同一個場館的概率為（ ）
A B C D
（文）世界大學生運動會（簡稱大運會）由國際大學生體育聯合會主辦，每兩年舉辦一屆，是規模僅次于奧運會的世界綜合性運動會，第31屆大運會將于2023年7月28日在成都召開，為辦好本屆大運會，組委會精心招募了一批志愿者，現準備將甲，乙兩名志愿者安排進“東安湖體育公園”，“鳳凰山體育公園”，“四川省體育館”工作，每人只能在一個場館工作，若每位志愿者被分配到各個場館的可能性相同，則甲，乙兩人被安排在同一個場館的概率為（ ）
A B C D
8、某棋手與甲，乙，丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結果相互獨立，已知該棋手與甲，乙，丙比賽獲勝的概率分別為，，，且>>>0，記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（ ） （2022全國高考乙卷）
A p與該棋手和甲，乙，丙的比賽次序無關 B 該棋手在第二盤與甲比賽，p最大
C 該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D 該棋手在第二盤與丙比賽，p最大
9、一個路口的紅綠燈，紅燈的時間為30秒，黃燈的時間為5秒，綠燈的時間為40秒，當你到達路口時，看見不是紅燈的概率是 （成都市2019級高三零診）
10、（理）已知某籃球運動員每次罰球命中的概率為0.4，該運動員進行罰球練習（每次罰球互不影響），則在罰球命中兩次時，罰球次數恰為4次的概率是（ ）
A B C D
（文）從1，2，3，4，5中隨機抽取三個數，則這三個數能成為一個三角形三邊長的概率為（ ）（成都市2019級一診）
A B C D
11、（理）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（ ）
A B C D
（文）將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（ ）（2021全國高考甲卷）
A 0.3 B 0.5 C 0.6 D 0.8
12、有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取一個球，甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”則（ ）（2021全國高考新高考I）
A 甲與丙相互獨立 B 甲與丁相互獨立 C 乙與丙相互獨立 D 丙與丁相互獨立
『思考問題3』
（1）【典例3】是排列組合與概率的綜合問題，解答這類問題需要理解排列，組合和概率的定義，掌握計算排列數，組合數和概率的基本方法；
（2）解答排列組合與概率的綜合問題的基本方法是：①分辨問題涉及概率的類型；②運用排列數（或組合數）的計算公式求出問題事件發生的總數和包含某事件的發生數；③利用求相關概率的計算公式求出相應的概率。
［練習3］解答下列問題：
1、以網絡公司為某貧困山區培養了100名“鄉土直播員”，以幫助宣傳該山區文化和銷售該山區的農副產品，從而帶領山區人民早日脫貧致富，該公司將這100名“鄉土直播員”中每
天直播時間不少于5小時的評為“網紅鄉土直播員”，其余的評為“鄉土直播達人”，根據
實際評選結果得到了下面22列聯表： 網紅鄉土直播員 鄉土直播達人 合計
（1）根據列聯表判斷是否有95%的把握認 男 10 40 50
為“網紅鄉土直播員”與性別有關？ 女 20 30 50
（2）（理）在“網紅鄉土直播員”按分層 合計 30 70 100
抽樣方法抽取6人，在這6人中選2人作為“鄉土直播推廣大使”，設被選中的2名“鄉土直播推廣大使”中男性人數為，求的分布列和期望。
（文）在“網紅鄉土直播員”按分層抽樣方法抽取6人，在這6人中選2人作為“鄉土直播推廣大使”，設被選中的2名“鄉土直播推廣大使”，求這倆人中恰有一男一女的概率（2021成都市高三一診）
附：
（其中n=a+b+c+d）
2、袋子中有5個大小質地完全相同的球，其中3個紅球和2個白球，從中不放回地依次隨機摸出兩個球，則摸出的兩個球顏色相同的概率為（ ）（成都市2021高三二診）
A B C D
高考試題中排列組合及二項式定理問題的類型與解法
大家知道，排列組合及二項式定理問題是近幾年高考的熱點問題之一，每年高考試卷中必有一個五分小題，有時在大題中也會涉及到排列組合的問題。從題型上，以選擇題或填空題為主，難度系數為低檔（或中檔）。縱觀近幾年高考試題，歸結起來排列組合及二項式定理問題主要包括：①二項定理應用的問題；②排列組合的綜合問題；③排列組合與概率的綜合問題等幾種類型。各種類型問題結構上具有一定的特征，解答方法也有一定的規律可尋。那么在實際解答排列組合及二項式定理問題時，到底應該如何抓住問題的結構特征，快捷，準確地給予解答呢？下面通過典型例題的詳細解析，來回答這個問題。
【典例1】解答下列問題：
1、 在如圖的44方格表中選4個方格，要求每 11 21 31 40
行和每列均恰有一個方格被選中，則共有 種選 12 22 33 42
法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的 13 22 33 43
四個數之和的最大值是 。 15 24 34 44
【解析】
【考點】①分步計算原理及運用；②排列定義與性質；③排列數計算公式及運用。
【解題思路】根據排列的性質，運用分步計算原理和排列數計算公式，結合問題條件就可求出共有的選法種數，從而求出選中方格中的四個數之和的最大值。
【詳細解答】選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，共有的選法種數為4321=24（種），選中方格中的四個數分別為15，43，33，21時，15+43+33+21=112為最大值，選中方格中的四個數之和的最大值是112。
2、有五名志愿者參加社區服務，共服務星期六，星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務，則恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數為（ ）(2023全國高考甲卷）
A 120 B 60 C 40 D 30
【解析】
【考點】①分步計算原理及運用；②組合定義與性質；③組合數計算公式及運用。
【解題思路】根據組合的性質，運用分步計算原理和組合數計算公式，求出則恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數就可得出選項。
【詳細解答】第一天從五人任選兩人參加星期六服務的選擇種數為==10（種），
第二天參加星期天服務的選擇種數為=6（種），恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數為106=60（種）， B正確，選B。
3、甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀兩種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有一種相
同的選法共有（ ）（2023全國高考乙卷）
A 30種 B 60種 C 120種 D 240鐘
【解析】
【考點】①組合定義與性質；②乘法原理及運用；③組合數計算公式記運用。
【解題思路】根據組合的性質，運用乘法原理和組合數計算公式，結合問題條件求出這
兩人選讀的課外讀物中恰有一種相同的選法總數就可得出選項。
【詳細解答】兩人選讀同一種課外讀物的選法為種，甲從剩余的五種讀物選一種
的選法為種，乙從剩余的四種讀物選一種的選法為種，這兩人選讀的課外讀物中恰有一種相同的選法共有=654=120（種）， C正確，選C。
4、某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課程中選修2門或3門課，且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有 種（用數字作答）（2023全國高考新高考I）
【解析】
【考點】①組合定義與性質；②乘法原理及運用；③加法原理及運用；④組合數計算公式記運用。
【解題思路】根據組合的性質，運用加法原理，乘法原理和組合數計算公式，結合問題條件就可求出不同的選課方案總數。
【詳細解答】若選修2門，從4門不同體育選修1門的選法為種，從4門不同的藝術選修1門的選法為種，從8門不同的課程中選修2門，且每類選修課至少選修1門的不同選法為=44=16（種）；若選修3門，有兩種可能，其一選修2門體育課，1門藝術課，其二選修1門體育課，2門藝術課，從4門不同的體育選修2門的選法為種，從4門不同的藝術選修1門的選法為種，從4門不同的體育選修1門的選法為種，從4門不同的藝術課選修2門的選法為種，從8門不同的課程中選修3門，且每類選修課至少選修1門的不同選法為+=64+46=48（種），從8門不同的課程中選修2門或3門課，且每類選修課至少選修1門的不同的選課方案共有16+48=64（種），
5、某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層抽樣方法作抽樣調查，擬從
初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400和200名學生，則不同的抽樣結果共有（ ）（2013全國高考新高考II）
A B C D
【解析】
【考點】①分層抽樣定義與性質；②分層抽樣的基本方法；③組合定義與性質； ④乘法原理及運用；⑤組合數計算公式記運用。
【解題思路】根據分層抽樣和組合的性質，運用分層抽樣的基本方法，乘法原理和組合數計算公式，結合問題條件求出不同的抽樣結果的總數就可得出選項。
【詳細解答】抽取60名學生中，初中部人數為60400/400+200=40（人），高中部人數為60200/400+200=20（人），不同的抽樣結果總數為 ， D正確，選D。
6、甲乙丙丁戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有（ ）（2022全國高考新高考II卷）
A 12種 B 24種 C 36種 D 48種
【解析】
【考點】①排列定義與性質；②排列數計算公式及運用。
【解答思路】根據排列的性質，運用排列數計算公式，結合問題條件求出甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式的種數，就可得出選項。
【詳細解答】甲乙丙丁戊5名同學站成一排，且甲不站在兩端，丙和丁相鄰，不同排列方式有=226=24（種），B正確，選B。
7、將5名北京東奧會志愿者分配到花樣滑冰，短道速滑，冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）（2021全國高考乙卷）
A 60種 B 120種 C 240種 D 480種
【解析】
【考點】①排列定義與性質；②排列數計算公式及運用；③組合定義與性質；④組合數計算公式及運用。
【解答思路】根據排列和組合的性質，運用排列數和組合數的計算計算公式，結合問題條件求出共有不同的分配方案數就可得出選項。
【詳細解答】5名北京東奧會志愿者分配到花樣滑冰，短道速滑，冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，共有不同的分配方案數為=4321=1024=240（種），C正確，選C。
『思考問題1』
（1）【典例1】是排列組合的綜合問題，解決這類問題的基本方法是：① “分析”，就是找出問題中的條件和結論，弄清楚哪些是元素，哪些是位置；②“分辨”，是辨別問題中哪些是排列，哪些是組合，對哪些元素的位置有特別的限制；③“分類”，是對復雜問題中的元素分成互相排斥的幾類，再逐類解答；④“分步”，是把問題化成幾個互相聯系的步驟，每一步都是簡單的排列或組合問題，再逐步加以解答；
（2）排列的主要特征是元素與元素之間同順序有關；組合的主要特征是元素與元素之間同順序無關；
（3）在實際解答問題時，分辨它是排列還是組合的簡便方法就是看元素與元素之間同順序是否有關；
（4）在實際解答問題時，排列與組合往往會同時出現，面對解答既有排列又有組合的問題時，處理的基本方法是先組合后排列。
［練習1］解答下列問題：
1、6名同學到甲，乙，丙三個場館做志愿者，每名同學只去一個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（ ）（2020全國高考新高考I理）
A 120種 B 90種 C 60種 D 30種（答案：C）
2、安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由一人完成，則不同的安排方式共有（ ）（2020全國高考新高考II理）（答案：D）
A 12種 B 18種 C 24種 D 36種
【典例2】解答下列問題：
1、二項式的展開式中系數的最大值是 （2024全國高考甲卷）
解析】
【考點】①二項式定理及運用；②二項式展開式通項公式及運用。
【解題思路】根據二項式定理，運用二項式展開式通項公式，結合問題條件就可求出二項式
的展開式中系數的最大值。
【詳細解答】設二項式的展開式中系數的最大值為第r+1項，=，
①，②，聯立①②解得：r,
r=8，二項式的展開式中系數的最大值為第9項，=45=5。
2、二項式的展開式中x的系數為（ ）（成都市高2021級高三一診）
A 1 B 3 C 5 D 15
【解析】
【考點】①二項式定理及運用；②二項式展開式通項公式及運用。
【解題思路】根據二項式定理，運用二項式展開式通項公式，結合問題條件求出展開式中x的系數就可得出選項。
【詳細解答】==，由5-r=1解得r=4，二項式設集合的展開式中x的系數為=35=15，D正確，選D。
3、展開式中常數項是 （成都市高2020級高三一診）
【解析】
【考點】①二項式定理及運用；②二項式展開式通項公式及運用。
【解題思路】根據二項式定理，運用二項式展開式通項公式，結合問題條件就可求出展開式中的常數項。
【詳細解答】==，由6-=0解得：r=4，展開式中常數項是.=1615=240。
4、（1- ）的展開式中的系數為 （用數字作答）（2022全國高考新高考I卷）
【解析】
【考點】①二項式定理及運用；②二項式展開式通項公式及運用。
【解題思路】根據二項式定理，運用二項式展開式通項公式，結合問題條件就可求出展開式
中項的系數。
【詳細解答】=，（1- ）的展開式中的系數應該是的與兩項系數的和，==28，==56，（1- ）的展開式中的系數=28-56=-28。
5、展開式中項的系數為 （用數字作答）（2022成都市高三一診）
【解析】
【考點】①二項式定理及運用；②二項式展開式通項公式及運用。
【解題思路】根據二項式定理，運用二項式展開式通項公式，結合問題條件就可求出展開式中項的系數。
【詳細解答】==，由5-2r=3解得：r=1，展開式中項的系數為-.=-516=-80。
6、的展開式中的系數為（ ）（2022成都市高三二診）
A -160 B 160 C -80 D 80
【解析】
【考點】①二項式定理及運用；②二項式展開式通項公式及運用。
【解題思路】根據二項式定理，運用二項式展開式的通項公式求出的展開式中的系數就可得出選項。
【詳細解答】==，由6-r=3解得r=3，的展開式中的系數為=-820=-160, A正確，選A。
『思考問題2』
（1）【問題2】是求二項展開式中某項的系數的問題，解決這類問題的基本方法是：①運用二項展開式的通項公式求出該二項展開式的通項公式；②根據所求項的系數確定所在的項；③由確定的項，代入二項展開式的通項公式求出相應的系數；
（2）解答求二項展開式中某項的系數的問題時，應該注意二項系數與二項展開式中某項的系數具有不同的含義：在二項式的展開式中是第k+1項，求k+1項的系數數，是項除字母以外的系數，其中是該項的二項系數，它與a，b無關。
［練習2］解答下列問題：
1、（x+ ）的展開式中的系數為（ ）（2020全國高考新課標I）（答案：C）
A 5 B 10 C 15 D 20
2、的展開式中常數項是 （用數字作答）（2020全國高考新課標III）（答案：的展開式中常數項是240.）
3、的展開式中的系數是 （用數字作答）（答案：的展開式中的系數是-35.）
【典例3】解答下列問題：
1、（理）編號為1，2，3，4，5，6的六個小球，不放回地抽取3次，記m表示前兩個球號碼的平均數，記n表示前三個球號碼的平均數，則m與n差的絕對值不超過0。5的概率是
。
（文）甲，乙，丙，丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（ ）（2024全國高考甲卷）
A B C D
【解析】
【考點】①組合定義與性質；②排列定義與性質；③隨機事件定義與性質；④求隨機事件概率的基本方法。
【解題思路】（理）根據組合和隨機事件的性質，運用求隨機事件概率的基本方法，結合問題條件就可求出m與n差的絕對值不超過0。5的概率。（文）根據排列和隨機事件的性質，運用求隨機事件概率的基本方法，結合問題條件求出丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率就可得出選項。
【詳細解答】（理）設抽出的3張卡片分別為a，b，c，m與n差的絕對值不超過0。5的事件為A， 從6張卡片中隨機抽取3張的基本事件有=6 5 4=120，m= ，n= ，|m-n|=|-|=||0.5，|a+b-2c|3，-3a+b-2c3，
當c=1或c=6時，a，b的取值均勻2種可能，當c=2或c=5時，a，b的取值均有10種可能，
當c=3或c=4時，a，b的取值均有16可能，m與n差的絕對值不超過0。5的基本事件有4+20+32
=56，p（A）==，即m與n差的絕對值不超過0。5的概率是。
（文）設丙不在排頭，且甲或乙在排尾的事件為B，甲，乙，丙，丁四人排成一列的基本事件有4 3 21=24，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的基本事件有2 2 2=8，p（B）==，B正確，選B。
2、甲，乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有1，3，5，7，乙的卡片上分別標有2，4，6，8，兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人從各自持有的卡片中隨機選取一張，丙比較所選卡片上數字的大小，數字大的人得1分，數字小的人得0發，然后各自棄置此輪所選的卡片，（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）。則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為 （2024全國高考新高考I）
【解析】
【考點】①互斥事件定義與性質；②相互獨立事件定義與性質；③互斥事件概率定義與性質；④求互斥事件概率的基本方法；⑤相互獨立事件概率定義與性質；⑥求相互獨立事件(或互斥事件)概率的基本方法。
【解題思路】根據互斥事件，相互獨立事件，互斥事件概率和相互獨立事件概率的性質，運用求互斥事件概率和相互獨立事件概率的基本方法，結合問題條件就可求出四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率。
【詳細解答】設四輪比賽后，甲的總得分不小于2的事件為A，當甲選取標有數字1的卡片時，甲只能得0分；當甲選取標有數字3的卡片時，甲得0分的概率為，甲得1分的概率為，當甲選取標有數字5的卡片時，甲得0分的概率為，甲得1分的概率為，當甲選取標有數字7的卡片時，甲得0分的概率為，甲得1分的概率為，p（A）=
+++=，即四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為。
3、（理）現有四種不同的顏色要對如圖形中的五個部分進行著色，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率為（ ）
A B C D
（文）現有兩種不同的顏色要對如圖形中的三個部分進行著色，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率為（ ）（成都市高2021級高三二診）
A B C D
【解析】
【考點】①隨機事件定義與性質；②組合定義與性質；③排列定義與性質；④求隨機事件概率的基本方法。
【解題思路】（理）根據事件事件，組合和排列的性質，運用求隨機事件概率的基本方法，結合問題條件求出其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率就可得出選項。（文）根據隨機事件的性質，運用求隨機事件概率的基本方法，結合問題條件求出其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率就可得出選項。
【詳細解答】（理）設其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的事件為A， 用四種不同的顏色對如圖形中的五個部分進行著色的方法共有44444=1024種，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的著色的方法有43232=144種，p（A）==，C正確，選C。（文）設其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的事件為A， 用兩種不同的顏色對如圖形中的三個部分進行著色的方法共有222=8種，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的著色的方法有211=2種，p（A）==，A正確，選A。
4、（理）有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球俱樂部或乒乓球俱樂部，若已知某人報足球俱樂部，則其報乒乓球俱樂部的概率為（ ）
A 0.8 B 0.4 C 0.2 D 0.1
（文）某校文藝部有4名學生，其中高一，高二年級各2名，從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（ ）（2023全國高考甲卷）
A B C D
【解析】
【考點】①并集定義與性質；②交集定義與性質；③條件概率定義與性質；④求條件概率的基本方法；⑤隨機事件定義與性質；⑥隨機事件概率定義與性質；⑦求隨機事件概率基本方法。
【解題思路】（理）根據并集和交集的性質，結合問題條件求出既報足球俱樂部又報乒乓球俱樂部的人數，運用條件概率的性質和求條件概率的基本方法，求出某人既報足球俱樂部，又報乒乓球俱樂部的概率就可得出選項。（文）根據隨機事件和隨機事件概率的性質，運用求隨機事件概率的基本方法，結合問題條件求出從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，這2名學生來自不同年級的概率就可得出選項。
【詳細解答】（理）設某人報足球俱樂部的事件A，報乒乓球俱樂部的事件為B，既報足球俱樂部，又報乒乓球俱樂部的事件為A|BA+B-AB=AB,AB=A+B-AB=50+60-70=40，p（AB）==，p(A)==，p(A|B)===0.8，A正確，選A。（文）
設高一年級的兩名學生分別為，，高二年級的兩名學生分別為，，從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，這2名學生來自不同年級的事件為C，從這4名學生中隨機選2名的基本事件有，，，，，共6個，這2名學生來自不同年級的基本事件有，，，共4個，p(C)==，D
正確，選D。
5、在信道內傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立，發送0時，收到1的概率為（0<<1），收到0的概率為1-；發送1時，收到0的概率為（0<<1），收到1的概率為1-。考慮兩種方案：單次傳輸和三次傳輸，單次傳輸是指每個信號只發送1次，三次傳輸是指每個信號重復發送3次。收到的信號需要譯碼，譯碼規則如下：單次傳輸時，收到信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現次數多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）（2023全國高考新高考II）
A 采用單次傳輸方案，若依次發送1，0，1，則依次收到1，0，1，的概率為（1-）（1-）B 采用三次傳輸方案，若發送1，則依次收到1，0，1，的概率為（1-）C 采用三次傳輸方案，若發送1，則譯碼為1的概率為（1-）+（1-） D 當0<<0.5時，若發送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率
【解析】
【考點】①互斥事件定義與性質；②相互獨立事件定義與性質；③互斥事件概率定義與性質；④求互斥事件概率的基本方法；⑤相互獨立事件概率定義與性質；⑥求相互獨立事件概率的基本方法。
【解題思路】根據互斥，相互獨立事件，互斥事件概率和相互獨立事件概率的性質，運用求互斥事件概率和相互獨立事件概率的基本方法，結合問題條件求出相應事件的概率，從而對各選項的正確與錯誤進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對A，采用單次傳輸方案，若依次發送1，0，1，則依次收到1，0，1，的概率為（1-）（1-）（1-）=（1-）（1-），A正確；對B，采用三次傳輸方案，若發送1，則依次收到1，0，1，的概率為（1-）（1-）=（1-），B正確；對C，采用三次傳輸方案，若發送1，則譯碼為1的概率為（1-）（1-）+（1-）（1-）+（1-）（1-）+（1-）（1-）（1-）=3（1-）+（1-），
C錯誤；對D，當0<<0.5時，若發送0，采用三次傳輸方案譯碼為0的概率為3（1-）+（1-），若發送0，采用單次傳輸方案譯碼為0的概率為（1-），3（1-）+（1-）-（1-）=（1-）[3（1-）+（1-）-1]=（1-）（3-3+1-2+-1）
=（1-）（1-2）>0，當0<<0.5時，若發送0，采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率，D正確，綜上所述，A，B，D正確，選ABD。
6、（理）甲和乙兩位同學準備在體育課上進行一場乒乓球比賽，假設甲對乙每局獲勝的概率為，比賽采取三局兩勝制（當一方獲得兩局勝利時，該方獲勝，比賽結束），則甲獲勝的概率為（ ）（成都市高2020級高三二診）
A B C D
（文）某同學計劃2023年高考結束后，在A，B，C，D，E五所大學中隨機選兩所去參觀，則A大學恰好被選中的概率為（ ）
A B C D
【解析】
【考點】①互斥事件定義與性質；②相互獨立事件定義與性質；③求互斥事件概率的基本方法；④求相互獨立事件概率的基本方法；⑤隨機事件定義與性質；⑥求隨機事件概率的基本方法。
【解題思路】（理）根據互斥事件和相互獨立事件的性質，運用求互斥事件概率和相互獨立事件概率的基本方法，求出甲獲勝的概率就可得出選項。（文）根據隨機事件的性質，運用求隨機事件概率的基本方法，求出A大學恰好被選中的概率就可得出選項。
【詳細解答】（理）設在一局比賽中甲獲勝的事件為A，甲失敗的事件為，這場比賽中甲獲勝的事件為B， 這場比賽中甲獲勝的可能是甲第一，第二局獲勝，或甲第一，第三局獲勝，或甲第二，第三局獲勝，p（B）=++=++=，B正確，選B。
（文）設A大學恰好被選中的事件為F，在A，B，C，D，E五所大學中隨機選兩所的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10個，A大學恰好被選中的基本事件有AB，AC，AD，AE共4個，p（F）==，B正確，選B。
7、（理）世界大學生運動會（簡稱大運會）由國際大學生體育聯合會主辦，每兩年舉辦一屆，是規模僅次于奧運會的世界綜合性運動會，第31屆大運會將于2023年7月28日在成都召開，為辦好本屆大運會，組委會精心招募了一批志愿者，現準備將甲，乙等6名志愿者安排進“東安湖體育公園”，“鳳凰山體育公園”，“四川省體育館”工作，每個地方安排兩人且每人只能在一個場館工作，若每位志愿者被分配到各個場館的可能性相同，則甲，乙兩人被安排在同一個場館的概率為（ ）
A B C D
（文）世界大學生運動會（簡稱大運會）由國際大學生體育聯合會主辦，每兩年舉辦一屆，是規模僅次于奧運會的世界綜合性運動會，第31屆大運會將于2023年7月28日在成都召開，為辦好本屆大運會，組委會精心招募了一批志愿者，現準備將甲，乙兩名志愿者安排進“東安湖體育公園”，“鳳凰山體育公園”，“四川省體育館”工作，每人只能在一個場館工作，若每位志愿者被分配到各個場館的可能性相同，則甲，乙兩人被安排在同一個場館的概率為（ ）（成都市高2020級高三三診）
A B C D
【解析】
【考點】①組合數計算公式及運用；②排列數計算公式及運用；③隨機事件概率定義與性質；④求隨機事件概率的基本方法。
【解題思路】（理）根據隨機事件概率性質，運用組合數，排列數計算公式和求隨機事件概率的基本方法，求出甲，乙兩人被安排在同一個場館的概率就可得出選項。（文）根據隨機事件概率性質，運用求隨機事件概率的基本方法，求出甲，乙兩人被安排在同一個場館的概率就可得出選項。
【詳細解答】（理）設甲，乙兩人被安排在同一個場館的事件為A，將6人平均分成三組，再安排到三個場館的基本事件為n===90，甲，乙兩人被安排在同一個場館的基本事件為m===18，p（A）==，C正確，選C。
（文）設甲，乙兩人被安排在同一個場館的事件為A，甲安排到三個場館分別為，，，乙安排到三個場館分別為，，，將甲，乙兩人安排到三個場館的基本事件為，，，，，，，，共9個，甲，乙兩人被安排在同一個場館的基本事件為，，共3個，p（A）==，C正確，選C。
8、某棋手與甲，乙，丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結果相互獨立，已知該棋手與甲，乙，
丙比賽獲勝的概率分別為，，，且>>>0，記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（ ） （2022全國高考乙卷）
A p與該棋手和甲，乙，丙的比賽次序無關 B 該棋手在第二盤與甲比賽，p最大
C 該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D 該棋手在第二盤與丙比賽，p最大
【解析】
【考點】①相互獨立事件定義與性質；②求相互獨立事件同時發生概率的基本方法。
【解答思路】根據相互獨立事件的性質，運用求相互獨立事件同時發生概率的基本方法，結合問題條件分別求出該棋手在第二盤與甲比賽，第二盤與乙比賽，第二盤與丙比賽的概率，就可得出選項。
【詳細解答】設該棋手第二盤與甲比賽的事件為A，該棋手第二盤與乙比賽的事件為B，該棋手第二盤與丙比賽的事件為C，各盤比賽結果相互獨立，該棋手與甲，乙，丙比賽獲勝的概率分別為，，，且>>>0，p（A）=+，p（B）=+，p（C）=+， p（C）- p（A）=+--=（-）>0，
p（C）- p（B）=+--=（-）>0，p（B）- p（A）=+
--=(-)>0， p（C）> p（B）> p（A），D正確，選D。
9、一個路口的紅綠燈，紅燈的時間為30秒，黃燈的時間為5秒，綠燈的時間為40秒，當你到達路口時，看見不是紅燈的概率是 （成都市2019級高三零診）
【解析】
【考點】①隨機事件概率大于與性質；②求隨機事件概率的基本方法。
【解題思路】根據隨機事件概率的性質，運用求隨機事件概率的基本方法，結合問題條件就可求出看見不是紅燈的概率。
【詳細解答】設到達路口時，看見不是紅燈的事件為A，事件發生總數為30+5+40=75（秒），包含事件A的發生數為5+40=45（秒），p（A）==，即到達路口時，看見不是紅燈的概率是。
10、（理）已知某籃球運動員每次罰球命中的概率為0.4，該運動員進行罰球練習（每次罰球互不影響），則在罰球命中兩次時，罰球次數恰為4次的概率是（ ）
A B C D
（文）從1，2，3，4，5中隨機抽取三個數，則這三個數能成為一個三角形三邊長的概率為（ ）（成都市2019級一診）
A B C D
【解析】
【考點】①相互獨立事件定義與性質；②相互獨立事件概率定義與性質；③求相互獨立事件概率的基本方法。
【解題思路】（理）根據相互獨立事件和相互獨立事件概率的性質，運用求相互獨立事件概率的基本方法求出罰球命中兩次時，罰球次數恰為4次的概率就可得出選項。（文）根據隨機事件和隨機事件概率的性質，運用求隨機事件概率的基本方法和三角形三邊關系定理，求出從1，2，3，4，5中隨機抽取三個數，這三個數能成為一個三角形三邊長的概率就可得出選項。
【詳細解答】（理）設罰球命中兩次時，罰球次數恰為4次的事件為A，該運動員每次罰球命中的概率為0.4，罰球命中兩次時，罰球次數恰為4次，表明該運動員在前3次罰球命中了一次且第四次罰球命中，p（A）==3=，C正確，選C。（文）設從1，2，3，4，5中隨機抽取三個數，這三個數能成為一個三角形三邊長的的事件為A，從1，2，3，4，5中隨機抽取三個數的基本事件有：123，124，125，134，135，145，234，235，245，345共10個，這三個數能成為一個三角形三邊長的基本事件有：234，245，345共3個， p（A）=，C正確，選C。
11、（理）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（ ）
A B C D
（文）將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（ ）（2021全國高考甲卷）
A 0.3 B 0.5 C 0.6 D 0.8
【解析】
【考點】①排列的定義與性質；②排列數計算公式及運用；③古典概率的定義與性質；④求古典概率的基本方法。
【解答思路】（理）根據排列的性質和排列數計算公式，結合問題條件分別求出4個1和2個0隨機排成一行和4個1和2個0隨機排成一行，2個0不相鄰的排列數，運用古典概率的性質和求古典概率基本方法求出將4個1和2個0隨機排成一行，2個0不相鄰的概率就可得出選項。（文）根據排列的性質和排列的基本方法，結合問題條件排出將3個1和2個0排成一行的所有可能的排列，分別求出排列總數與3個1和2個0排成一行的排列中2個0不相鄰的排列數，運用古典概率的性質和求古典概率基本方法求出將3個1和2個0隨機排成一行，2個0不相鄰的概率就可得出選項。
【詳細解答】（理）設將4個1和2個0隨機排成一行，2個0不相鄰的事件為A，將4個1和2個0隨機排成一行的排列數為=654321=720，將4個1和2個0隨機排成一行，且2個0不相鄰的排列數為=43211021=480，p（A）=
=，C正確，選C。（文）設將3個1和2個0隨機排成一行，2個0不相鄰的事件為
A，將3個1和2個0隨機排成一行有：11100，00111，10011，11001，01011，01101，01110，10101，10110，11010共10個，將3個1和2個0隨機排成一行，2個0不相鄰的排列有：01011，01101，01110，10101，10110，11010共6個， p（A）==0.6，C正確，選C。
12、有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取一個球，甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”則（ ）（2021全國高考新高考I）
A 甲與丙相互獨立 B 甲與丁相互獨立 C 乙與丙相互獨立 D 丙與丁相互獨立
【解析】
【考點】①相互獨立事件定義與性質；②判斷兩個事件是否是相互獨立事件的基本方法。
【解答思路】根據相互獨立事件的性質，運用判斷兩個事件是否是相互獨立事件的基本方法分別對各選項的兩個事件是否是相互獨立事件進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，第一次取出的球的數字至少是2，也就是說丙事件中第一次取出的球的數字不能是1，甲事件與丙事件兩個事件不可能同時發生，且至少有一個發生，即甲與丙相互獨立，A正確，選A。
『思考問題3』
（1）【典例3】是排列組合與概率的綜合問題，解答這類問題需要理解排列，組合和概率的定義，掌握計算排列數，組合數和概率的基本方法；
（2）解答排列組合與概率的綜合問題的基本方法是：①分辨問題涉及概率的類型；②運用排列數（或組合數）的計算公式求出問題事件發生的總數和包含某事件的發生數；③利用求相關概率的計算公式求出相應的概率。
［練習3］解答下列問題：
1、以網絡公司為某貧困山區培養了100名“鄉土直播員”，以幫助宣傳該山區文化和銷售該山區的農副產品，從而帶領山區人民早日脫貧致富，該公司將這100名“鄉土直播員”中每
天直播時間不少于5小時的評為“網紅鄉土直播員”，其余的評為“鄉土直播達人”，根據
實際評選結果得到了下面22列聯表： 網紅鄉土直播員 鄉土直播達人 合計
（1）根據列聯表判斷是否有95%的把握認 男 10 40 50
為“網紅鄉土直播員”與性別有關？ 女 20 30 50
（2）（理）在“網紅鄉土直播員”按分層 合計 30 70 100
抽樣方法抽取6人，在這6人中選2人作為“鄉土直播推廣大使”，設被選中的2名“鄉土直播推廣大使”中男性人數為，求的分布列和期望。
（文）在“網紅鄉土直播員”按分層抽樣方法抽取6人，在這6人中選2人作為“鄉土直播推廣大使”，設被選中的2名“鄉土直播推廣大使”，求這倆人中恰有一男一女的概率（2021成都市高三一診）
附：
（其中n=a+b+c+d）
（答案：（1）有95%的把握認為“網紅鄉土直播員”與性別有關；
（2）（理）隨機變量的分布列如表所示， 0 1 2
隨機變量的數學期望為。 p
（文）被選中的2名“鄉土直播推廣大使”中恰有一男一女的概率為。）
2、袋子中有5個大小質地完全相同的球，其中3個紅球和2個白球，從中不放回地依次隨機摸出兩個球，則摸出的兩個球顏色相同的概率為（ ）（成都市2021高三二診）（答案：B）
A B C D

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