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高考試題中統(tǒng)計5分小題問題的類型與解法
統(tǒng)計問題是近幾年高考的熱點內(nèi)容之一。可以這樣毫不夸張地說，只要是高考試卷，就必然涉及統(tǒng)計問題。從題型上看，可能是選擇題（或填空題），也可能是大題，這里主要探導(dǎo)統(tǒng)計的5分小題問題；難度系數(shù)為低（或中）檔。縱觀近幾年高考（或高三診斷考試）試卷，歸結(jié)起來統(tǒng)計問題主要包括：①統(tǒng)計抽樣的基本方法及運用；②統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖及運用；③統(tǒng)計指標計算及運用；④兩個隨機變量之間的相關(guān)關(guān)系及運用；⑤線性回歸方程和獨立性檢驗等幾種類型。各種類型問題結(jié)構(gòu)上具有一定的特征，解答方法也有一定的規(guī)律可尋。那么在實際解答統(tǒng)計5分小題問題時，到底應(yīng)該如何抓住問題的結(jié)構(gòu)特征，快捷，準確的解答問題呢？下面通過近幾年高考（過高三診斷考試）試題的詳細解析來回答這個問題。
【典例1】解答下列問題：
1、普法知識宣傳小組打算從某小區(qū)的2000人中抽取25人進行法律知識培訓，擬采取系統(tǒng)抽樣方式，為此將他們一一編號為1-2000，并對編號由小到大進行分段，假設(shè)從第一個號碼段中隨機抽取的號碼是2，那么從第三個號碼段中抽出的號碼為（ ） （成都市高2021級高三一診）
A 52 B 82 C 162 D 252
2、某區(qū)域有大型城市18個，中型城市12個，小型城市6個，為了解該區(qū)域城市空氣質(zhì)量情況，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取6個城市進行調(diào)查，則應(yīng)抽取的大型城市的個數(shù)為 （成都市2019級高三二診）
3、為了加強全民愛眼意識，提高民簇健康素質(zhì)，1996年，衛(wèi)生部，教育部，團中央等12個部委聯(lián)合發(fā)出通知，將愛眼日活動列為國家節(jié)日之一，并確定每年的6月6日為“全國愛眼日”，某校高二（1）班有40名學生，學號為01到40，線采用隨機數(shù)表法從該班抽取5名學生參加“全國愛眼日”宣傳活動，已知隨機數(shù)表中第六行至第七行的各數(shù)如下：
4、若從隨機數(shù)表第6行第9列的數(shù)開始向右讀，則抽取的第5名學生的學號是（ ）（成都市2021高三零診）
A 17 B 23 C 35 D 37
5、某中學有高中生1500人，初中生1000人，為了解該校學生自主鍛煉的時間，采用分層抽樣的方法從高中學生和初中學生中抽取一個容量為n的樣本，若樣本中高中學生恰有30人則n的值為（ ）（成都市2020高三二診）
A 20 B 50 C 40 D 60
6、下列抽樣方法是簡單隨機抽樣方法的是（ ）
A在某年明信片的銷售活動中，規(guī)定每100萬張為一個開獎組，通過隨機抽取的方式確定號碼的后四位為2700的為三等獎；B某車間包裝一種產(chǎn)品，在自動包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽取一包產(chǎn)品，稱其重量是否合格；C某學校分別從行政人員，教師，后勤人員抽取2人，14人，4人了解對學校機構(gòu)改革的意見；D用抽簽的方法從10件從產(chǎn)品中抽取3件進行質(zhì)量檢驗。
『思考問題1』
（1）【典例1】是統(tǒng)計抽樣基本方法及運用的問題，解答這類問題需要理解簡單隨機抽樣，系統(tǒng)抽樣和分層抽樣的定義，了解簡單隨機抽樣，系統(tǒng)抽樣和分層抽樣的特征與適用范圍，掌握簡單隨機抽樣，系統(tǒng)抽樣和分層抽樣的基本方法；
（2）運用抽簽法必須注意兩個基本條件：①抽簽是否方便，②號簽是否容易攪勻，一般地當總體容量和樣本容量較小時可以采用抽簽法；
（3）運用隨機數(shù)表時，若遇到三位數(shù)或四位數(shù)，可以選擇隨機數(shù)表中某行某列的數(shù)字計起，每三個（或四個）作為一個單位，自左向右選取，有超過總體號碼或重復(fù)號碼舍去；
（4）系統(tǒng)抽樣的特征是：①總體容量較大，②樣本容量較大，③總體中各個個體之間沒有明顯的差異，④每個個體被抽到的可能性相等；
（5）系統(tǒng)抽樣的基本方法是：①將總體中的個體進行統(tǒng)一編號，②把總體平均分成若干個部分（若總體容量不能被樣本容量整除時，可以將總體隨機剔除幾個個體來確定分段間隔），③在第一個部分用簡單隨機抽樣的方法確定開始的個體編號x，④按照每一組的個體數(shù)確定個體之間相隔的距離抽取樣本；
（6）分層抽樣的特征是：①總體容量較大，②總體由幾個個體差異明顯的部分構(gòu)成；
（7）各層樣本單位數(shù)的確定可按公式：某層抽取的樣本數(shù)=樣本數(shù)，通過計算來確定。
［練習1］解答下列問題：
1、某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1，2，------，840隨機編號，則抽取的42人中，編號落在區(qū)間［481，720］的人數(shù)為（ ）
A 11 B 12 C 13 D 14
2、將參加夏令營的600名學生編號為001，002，-------，600，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為50的樣本，且隨機抽得的號碼為003，這600名學生分住在三個營區(qū)，從001到300在第I營區(qū)，從301到495在第II營區(qū)，從496到600在第III營區(qū)，三個營區(qū)被抽中的人數(shù)依次為（ ）
A 26，16，8 B 25，17，8 C 25，16，9 D 24，17，9
【典例2】解答下列問題：
1、“數(shù)九”從每年“冬至”當天開始計算，每九天為一個單位，冬至后的第81天，“數(shù)九”結(jié)束，天氣九變得溫暖起來。如圖，以溫江國家基準氣象站為代表記錄了20232024從“一九”到“九九”成都市的“平均氣溫”和“多年平均氣溫”（單位：），下列說法正確的是（ ）（成都市高2021級高三三診）
A “四九”以后成都市“平均氣溫” 一直上升
B “四九”成都市“平均氣溫”較“多年平均氣溫”低0.1
C “一九” 到“五九” 成都市“平均氣溫” 的方差小于“多年平均氣溫”的方差
D “一九” 到“九九” 成都市“平均氣溫” 的極差小于“多年平均氣溫”的極差
1、全國文明典范城市是以全國文明城市為基礎(chǔ)的文明城市典范，是城市治理“桂冠上的明珠”，為爭創(chuàng)全國文明典范城市，某城市特邀請甲，乙兩組評委分表從公共服務(wù)，文化建設(shè)，社會治理等10個不同維度對城市建設(shè)進行評分，每個維度滿分為10分，現(xiàn)將兩組評委的評分制成如圖所示的莖葉圖，其中莖葉圖中莖部分是得分的個位數(shù)，葉部分是得分的小數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）（成都市高2021級高三零診）
A 甲組評分的平均數(shù)小于乙組評分的平均數(shù) B 甲，乙兩組評分的中位數(shù)不相同
C 甲組評分的極差大于乙組評分的極差 D 甲組評分的眾數(shù)小于乙組評分的眾數(shù)
2、從某小區(qū)隨機抽取100戶居民用戶進行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的月用電量 50—300kw.h之間，適當分組（每組為左閉右開區(qū)間）后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，則直方圖中x的值以及在被調(diào)查的用戶約用電量落在區(qū)間[100,250）內(nèi)的戶數(shù)分布為（ ）（成都市2020級高三零診）
A 0.0046 ，72 B 0.0046，70 C 0.0042 ，72 D 0.0042 ，70
甲 乙
3、分別統(tǒng)計了甲，乙兩位同學16周的各周 6 1 5
課外體育運動時長（單位：h），得到如表所 8 5 3 0 6 3
示的莖葉圖： 7 5 3 2 7 4 6
則下列結(jié)論中錯誤的是（ ）（2022全國高考 6 4 2 1 8 1 2 2 5 6 6 6 6
乙卷文） 4 2 9 0 2 3 8
A 甲同學周課外體育運動時長的樣本中位數(shù)為7.4 10 1 B 乙同學周課外體育運動時長的樣本平均數(shù)大于8 C 甲同學周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.4 D 乙同學周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.6
4、為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：
根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（ ）（2021全國高考甲卷）
A該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%
B該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%
C估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元
D根據(jù)該地有一半以上農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間
5、如圖，是某賽季甲，乙兩名籃球運動員9場比賽 甲 乙
所得分數(shù)的莖葉圖，則下列說法錯誤的是（ ）（20 0 8
20成都市高三零診）A 甲所得分數(shù)的極差為22 B 7 5 1 1 1 2 6 8
乙所得分數(shù)的中位數(shù)為18 C 兩人所得分數(shù)的眾數(shù)相 4 2 2 0 2 0 2 2
等D 甲所得分數(shù)的平均數(shù)低于乙所得分數(shù)的平均數(shù) 3 2 3 1
6、某校隨機抽取100名同學進行“垃圾分類”的問卷測試，測試結(jié)果發(fā)現(xiàn)這100名同學的得分都在[50,
100]內(nèi)，按得分分成5組：[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則這100名同學得分的中位數(shù)為（ ）（2020成都市高三一診）
A 72.5 B 75 C 77.5 D 80
『思考問題2』
（1）【典例2】是統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖及運用的問題，解答這類問題需要理解統(tǒng)計表，莖葉圖和頻率分布直方圖的定義，掌握制作統(tǒng)計表，莖葉圖和頻率分布直方圖的基本作法，注意統(tǒng)計表，莖葉圖和頻率分布直方圖的運用；
（2）莖葉圖的特征是：①莖葉圖能夠看到真實的數(shù)據(jù)，沒有任何信息損失；②莖葉圖便于記錄和表示；③莖葉圖只便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)；④莖葉圖也只方便記錄兩組數(shù)據(jù)；
（3）莖葉圖的基本畫法是：①用兩短豎線把圖分成兩個部分；②兩組數(shù)據(jù)中選一組放左邊，另一組放右邊；③把數(shù)據(jù)的十位數(shù)記在兩短豎線之間；④將數(shù)據(jù)的個位數(shù)分別記在左右兩邊；
（4）解答與頻率分布直方圖相關(guān)問題的關(guān)鍵是讀懂頻率分布直方圖，頻率分布直方圖中的每一個小矩形的面積是指樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)域的頻率，所有小矩形面積的和為1；
（5）作頻率分布直方圖的基本方法是：①求出原始數(shù)據(jù)的極差（最大值與最小值的差）；②確定組數(shù)與組距；③確定各組的起始點與終點；④列出統(tǒng)計數(shù)據(jù)分布表；⑤畫出頻率分布直方圖；
【典例3】解答下列問題：
1、某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：千克）并整理如下表：
畝產(chǎn)量［900，950）［950，1000）［1000，1050）［1050，1100 ）［1100，1150）［1150，
頻數(shù) 6 12 18 30 24 10
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（ ）（2024全國高考新高考II）
A 100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)是1050千克
B 100塊稻田畝產(chǎn)量低于1100千克的稻田所占比例超過80%
C 100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200千克到300千克之間
D 100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900千克到1000千克之間
2、有一組樣本數(shù)據(jù)：，，------，，其中是最小值，是最大值，其平均數(shù)為，方差為，極差為m，中位數(shù)為t，去除其中的最小值和最大值后，余下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，極差為，中位數(shù)為，則下列結(jié)論不一定正確的是（ ）（2023全國高考新高考I）
A ，，， 的平均數(shù)等于，，------，的平均數(shù) B ，，， 的中位數(shù)等于，，------，的中位數(shù) C ，，， 的標準差不小于，，------，的標準差 D ，，， 的極差不大于，，------，的極差
3、下圖為2012年-2021年我國電子信息制造業(yè)企業(yè)和工業(yè)企業(yè)利潤總額增速情況折線圖，根據(jù)該圖，下列結(jié)論正確的是（ ） （成都市高2020級高三一診）
A 2012年-2021年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額逐年遞增 B 2012年-2021年工業(yè)企業(yè)利
潤總額逐年遞增 C 2012年-2017年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額均比上一年實現(xiàn)增長，且其增速快于當年工業(yè)企業(yè)利潤總額增速 D 2012年-2021年工業(yè)企業(yè)利潤總額增速的均值大于遞增信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額增速均值
4、一次數(shù)學考試后，某班級平均分為110分，方差為，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)有兩名同學的成績計算有誤，甲同學成績被誤判為113分，實際得分為118分，乙同學成績被誤判為120分，實際成績?yōu)?15分，更正后重新計算，得到方差為，則與的大小關(guān)系為（ ）（成都市高2020級高三三珍）
A = B > C < D 不能確定
5、（理）若數(shù)據(jù)9，m，6，n，5的平均數(shù)為7，方差為2，則數(shù)據(jù)11，9，2m-1，17，2n-1的平均數(shù)和方差分別為（ ）
A 13，4 B 14，4 C 13，8 D 14，8
（文）若數(shù)據(jù)9，m，6，5的平均數(shù)為7，則數(shù)據(jù)17， 2m-1，11，9的平均數(shù)和方差分別為（ ）（成都市2020級高三零診）
A 13，5 B 14，5 C 13，10 D 14，10
6、某地區(qū)通過公益講座以及普及社區(qū)居民的垃圾分類知識，為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：則（ ）（2022全國高考甲卷）
A講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%
B講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%
C講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差
D 講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差
7、四名同學各擲骰子5次，并各自記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，分別統(tǒng)計四名同學的紀錄結(jié)果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是（ ）（成都市2019級高三一診）
A 平均數(shù)為3，中位數(shù)為2 B 中位數(shù)為3，眾數(shù)為2
C 中位數(shù)為3，方差為2.8 D 平均數(shù)為2，方差為2.4
8、有一組樣本數(shù)據(jù)，，------，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，-------，，其中=+c（i=1，2，-----，n），c為非零常數(shù)，則（ ）（2021全國高考新高考I）
A 兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同 B 兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同
C 兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同 D 兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同
『思考問題3』
（1）【典例3】是統(tǒng)計指標及運用的問題，解答這類問題需要理解平均數(shù)，方差，標準差的定義，掌握求平均數(shù)，方差，標準差的基本求法；
（2）總體估計的常用方法有：①點估計；②區(qū)間估計；
（3）點估計是直接運用樣本指標作為總體指標，常用的樣本指標有：①樣本的平均數(shù)；②樣本的標準差；③樣本的方差；常用的總體指標有：①總體的平均數(shù)；②總體的標準差；③總體的方差；
（4）區(qū)間估計是根據(jù)問題要求可靠程度去確定總體指標取值的區(qū)間，其基本方法是：①由問題要求的可靠程度確定抽樣的平均誤差；②根據(jù)抽樣平均誤差確定抽樣誤差的允許范圍；③根據(jù)抽樣誤差的允許范圍確定總體指標的取值范圍。
［練習3］解答下列問題：
1、下列統(tǒng)計量中，能度量樣本，，------，的離散程度的是（ ）
A 樣本，，------，的標準差 B 樣本，，------，的中位數(shù)
C 樣本，，------，的極差 D 樣本，，------，的平均數(shù)
2、甲乙兩臺機床同時生產(chǎn)一種零件，10天中，兩臺機床每天出的次品數(shù)分別是：，分別表示甲乙
甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4
乙 2 2 1 1 1 2 1 1 0 1
兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，，分別表示甲乙兩組數(shù)據(jù)的方差，則下列選項正確的是（ ）（成都市2021高三一診）
A = ，＞ B ＞，＞ C ＜，＜ D ＞，＜
3、某市環(huán)境保護局公布了該市A，B兩個景區(qū)2014年至2020年各年的全年空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的數(shù)據(jù)，現(xiàn)根據(jù)這些數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的折線圖，則由該折線圖得出的下列結(jié)論中正確的是（ ）（成都市2021高三三診）
A 景區(qū)A這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的極差為98 B 景區(qū)B這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的中位數(shù)為283 C 分別記景區(qū)A，B這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的眾數(shù)為，，則>
D分別記景區(qū)A，B這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的標準差為 ，，則 >
4、（理）在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，，，，且=1，
則下列四種情形中，對應(yīng)樣本的標準差最大的一組是（ ）
A ==0.1，==0.4 B ==0.4，==0.1
C ==0.2，==0.3 D ==0.3，==0.2
（文）設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)，，-------，的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10，10，-------，10的方差為（ ）（2020全國高考新課標III）
A 0.01 B 0.1 C 1 D 10
【典例4】解答下列問題：
1、 對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)（，）（i），得散點圖1；對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)（，
）（i）得散點圖2，表示變量x，y之間的線性相關(guān)系數(shù)，表示變量u，v之間的線性相關(guān)系數(shù)，則下列說法正確的是（ ）（成都市高2021級高三二診）
A 變量x，y呈正相關(guān)，且||<|| B 變量x，y呈負相關(guān)，且||>||
C 變量x，y呈正相關(guān)，且||>|| D 變量x，y呈負相關(guān)，且||<||
2、 如圖，由觀察數(shù)據(jù)（，）（i=1，2，3，4，5，6）的散點圖可知，y與x的關(guān)系可以
用模型y=blnx+a擬合，設(shè)z=lnx，利用最小二乘法求得y關(guān)于z的回歸方程=z+1，已知=，=18，則=（ ）（成都市高2021級高三三診）
A B C 1 D
3、下列命題中錯誤的是（ ）（成都市高2020級高三一診）
A 在回歸分析中，相關(guān)系數(shù)r的絕對值越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強 B 對分類變量X與Y，它們的隨機變量的觀測值k越小，說明“X與Y有關(guān)系”的把握性越大 C 線性回歸直線=x+恒過點（，） D 在回歸分析中，殘差平方越小，模型的擬合效果越好
『思考問題4』
（1）【典例4】是判斷兩個隨機變量相關(guān)關(guān)系和線性回歸方程及運用的問題，解答這類問題需要理解兩個隨機變量相關(guān)和線性回歸方程的定義，掌握判斷兩個隨機變量是否具有相關(guān)關(guān)系和建立線性回歸方程及回歸分析的基本方法；
（2）判斷兩個隨機變量是否相關(guān)的基本方法是：①根據(jù)數(shù)據(jù)作出隨機變量的散點圖，由散點圖進行判斷；②運用相關(guān)系數(shù)的計算公式，通過運算求出相關(guān)系數(shù)的值，根據(jù)相關(guān)系數(shù)值的大小進行判斷；
（3）散點圖法的基本方法是：①根據(jù)兩個變量的一組對應(yīng)值作出散點 圖，②運用散點圖判斷兩個隨機變量是否具有相關(guān)關(guān)系；
（4）相關(guān)系數(shù)法的基本方法是：①根據(jù)兩個變量的一組對應(yīng)值運用公式計算相關(guān)系數(shù)的值，
②根據(jù)計算結(jié)果判斷兩個隨機變量是否具有相關(guān)關(guān)系；
（5）判斷兩個變量是正相關(guān)還是負相關(guān)的常用方法是：①散點圖法，②相關(guān)系數(shù)法，③運用線性回歸方程=x+中的系數(shù)，若 > 0，為正相關(guān)；若 < 0為負相關(guān)。
（6）建立線性回歸方程的基本方法是：①判斷兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系，②運用公式：
=， =- 求出回歸系數(shù)，（也可以用待定系數(shù)法，即根據(jù)回歸直線過樣本點的中心求系數(shù)，），③寫出回歸直線方程；
（6）回歸分析及回歸預(yù)測的基本方法是：①依據(jù)回歸直線方程視為變量y是變量x（或t）的一次函數(shù)，②將變量x（或t）的值代入回歸直線方程求出變量y的值；③得出統(tǒng)計預(yù)測結(jié)果。
［練習4］解答下列問題：
1、某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：）的關(guān)系，在20個不同溫度條件下進行種子發(fā)芽率實驗，由實驗數(shù)據(jù)（，）（i=1，2------，20）得到如下散點圖：由此散點圖，在10至40之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型是（ ）（2020全國高考新課標I）
A y=a+bx B y=a+b C y=a+b D y=a+blnx
2、某實驗室對小白鼠體內(nèi)x，y兩項指標進行 小白鼠體內(nèi)x 120 110 125 130 115
研究，連續(xù)五次實驗所測得的這兩項指標數(shù)據(jù)如 小白鼠體內(nèi)y 92 83 90 96 89
表所示，已知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，利用表中數(shù)據(jù)求得回歸直線方程為=x+，若下一次實驗中x=170，利用該回歸直線方程預(yù)測得=117，則的值為 （成都市2020
高三三診）
【典例5】解答下列問題：
1、在某大學一食品超市，隨機詢問了70名不同性別 女 男 總計
的大學生在購買食物時是否查看營養(yǎng)說明，得到如下 要查看營養(yǎng)說明 15 25 40
的列聯(lián)表：（成都市2019級高三三珍） 不查看營養(yǎng)說明 20 10 30
附：=其中n=a+b+c+d。 總計 35 35 70
P（） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
0.455 0.708 1.323 2.702 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
根據(jù)列聯(lián)表的獨立性檢驗，則下列說法正確的是（ ）
A 在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認為該校大學生在購買食物時要查看營養(yǎng)說明的人數(shù)中男生人數(shù)更多 B在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下，認為該校大學生在購買食物時要查看營養(yǎng)說明的人數(shù)與不查看營養(yǎng)說明的人數(shù)比是 C 在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下，認為性別與是否查看營養(yǎng)說明有關(guān) D 在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下，認為性別與是否查看營養(yǎng)說明有關(guān)
『思考問題5』
（1）【典例5】是獨立性檢驗的問題，解答這類問題需要理解分類變量，獨立性檢驗的定義，了解2x2列聯(lián)表的意義，掌握獨立性檢驗的基本方法；
（2）比較兩個分類變量是否有關(guān)的基本方法是：①計算的值進行判斷，越大兩個分類變量有關(guān)的可能性越大；②計算|ad-bc|的值進行判斷，|ad-bc|越大兩個分類變量有關(guān)的可能性越大；
（3）獨立性檢驗的基本方法是：①根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2x2列聯(lián)表，②運用公式= 計算的觀察值，③比較與臨界值的大小，作出推斷。
【典例6】解答下列問題：
1、為了解推動出口后某收入（單位：萬元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動出口后某收入的樣本均值=21，樣本方差=0.01，已知該種植區(qū)以往的某收入服從正態(tài)分布N（1.8，），假設(shè)推動出口后的某收入Y服從正態(tài)分布N（，），則（ ）（2024全國高考新高考I）（若隨機變量Z服從正態(tài)分布N（1u，），則p(Z＜u+)0.8413)
A p(X＞2)＞0.2 B p(X＞2)＜0.5 C p(X＞2)＞0.5 D p(X＞2)＜0.8
2、隨機變量X服從正態(tài)分布N（2，），若p（22.5）= （2022全國高考新高考II）
『思考問題6』
（1）【典例6】是與正太分布相關(guān)的問題，解答這類問題需要理解正太曲線，正太分布的定義，了解正太曲線的性質(zhì)，掌握正太分布下概率計算的基本方法；
（2）正太曲線的主要性質(zhì)是：①曲線在x軸的上方，且與x軸不相交；②正態(tài)曲線的圖像關(guān)于直線x=u對稱；③曲線在x=u時達到高峰值，由這一點向左，右兩邊延伸時，曲線逐漸降低；
（3）正太變量在（-∞，+∞）內(nèi)取值的概率是1，對于固定的u，來說，隨機變量在（u-，u+）上的取值的概率隨著的減小而增大，即越小，隨機變量X取值落在（u-，u+）的概率越大。
［練習6］解答下列問題：
1、某物理量的測量結(jié)果服從正太分布N（10，），下列結(jié)論中不正確的是（ ）（2021全國高考新高考II）
A 越小，該物理量在一次測量中在（9.9,10.1）的概率越大 B 越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5 C 越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等 D 越小，該物理量在一次測量中落在（9.9,10.2）與落在（10,10.3）的概率相等
高考試題中統(tǒng)計5分小題問題的類型與解法
統(tǒng)計問題是近幾年高考的熱點內(nèi)容之一。可以這樣毫不夸張地說，只要是高考試卷，就必然涉及統(tǒng)計問題。從題型上看，可能是選擇題（或填空題），也可能是大題，這里主要探導(dǎo)統(tǒng)計的5分小題問題；難度系數(shù)為低（或中）檔。縱觀近幾年高考（或高三診斷考試）試卷，歸結(jié)起來統(tǒng)計問題主要包括：①統(tǒng)計抽樣的基本方法及運用；②統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖及運用；③統(tǒng)計指標計算及運用；④兩個隨機變量之間的相關(guān)關(guān)系及運用；⑤線性回歸方程和獨立性檢驗等幾種類型。各種類型問題結(jié)構(gòu)上具有一定的特征，解答方法也有一定的規(guī)律可尋。那么在實際解答統(tǒng)計5分小題問題時，到底應(yīng)該如何抓住問題的結(jié)構(gòu)特征，快捷，準確的解答問題呢？下面通過近幾年高考（過高三診斷考試）試題的詳細解析來回答這個問題。
【典例1】解答下列問題：
1、 普法知識宣傳小組打算從某小區(qū)的2000人中抽取25人進行法律知識培訓，擬采取系統(tǒng)抽
樣方式，為此將他們一一編號為1-2000，并對編號由小到大進行分段，假設(shè)從第一個號碼段中隨機抽取的號碼是2，那么從第三個號碼段中抽出的號碼為（ ） （成都市高2021級高三一診）
A 52 B 82 C 162 D 252
【解析】
【考點】①系統(tǒng)抽樣法定義與性質(zhì)；②系統(tǒng)抽樣法的基本方法。
【解題思路】根據(jù)系統(tǒng)抽樣法的性質(zhì)，運用系統(tǒng)抽樣法的基本方法，結(jié)合問題條件求出從第三個號碼段中抽出的號碼就可得出選項。
【詳細解答】=80，第一個號碼段中隨機抽取的號碼是2， 從第三個號碼段中抽出的號碼為162，C正確，選C。
2、某區(qū)域有大型城市18個，中型城市12個，小型城市6個，為了解該區(qū)域城市空氣質(zhì)量情況，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取6個城市進行調(diào)查，則應(yīng)抽取的大型城市的個數(shù)為 （成都市2019級高三二診）
【解析】
【考點】①分層抽樣方法定義與性質(zhì)；②求分層抽樣方法中每層抽取數(shù)的基本方法。
【解題思路】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，運用求分層抽樣方法中每層抽取數(shù)的基本方法就可求出應(yīng)抽取的大型城市的個數(shù)。
【詳細解答】該區(qū)域有大型城市18個，中型城市12個，小型城市6個，用分層抽樣的方法抽取6個城市， 應(yīng)抽取的大型城市的個數(shù)為6=6=3（個 ）。
3、為了加強全民愛眼意識，提高民簇健康素質(zhì)，1996年，衛(wèi)生部，教育部，團中央等12個部委聯(lián)合發(fā)出通知，將愛眼日活動列為國家節(jié)日之一，并確定每年的6月6日為“全國愛眼日”，某校高二（1）班有40名學生，學號為01到40，現(xiàn)采用隨機數(shù)表法從該班抽取5名學生參加“全國愛眼日”宣傳活動，已知隨機數(shù)表中第六行至第七行的各數(shù)如下：若從第六行
的第十列開始，由左向右依次選取兩個數(shù)字，則抽取到的第五名學生的編號為（ ）
A 20 B 17 C 37 D 23
【解析】
【考點】①隨機數(shù)表定義與性質(zhì)；②運用隨機數(shù)表抽樣的基本方法。
【解題思路】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，運用求分層抽樣方法中每層抽取數(shù)的基本方法就可求出應(yīng)抽取的大型城市的個數(shù)。
【詳細解答】采用隨機數(shù)表法，且從第六行的第十列開始，抽取的5名學生的編號分別為17，37，23，35，20，抽取到的第五名學生的編號為20，A正確，選A。
4、若從隨機數(shù)表第6行第9列的數(shù)開始向右讀，則抽取的第5名學生的學號是（ ）（成都市2021高三零診）
A 17 B 23 C 35 D 37
【解析】
【考點】①隨機數(shù)表法抽樣的定義與性質(zhì)；②隨機數(shù)表法抽樣的基本方法。
【解題思路】根據(jù)隨機數(shù)表法抽樣的性質(zhì)和隨機數(shù)表法抽樣的基本方法，結(jié)合問題條件確定出第5名學生的學號就可得出選項。
【詳細解答】抽樣是從隨機數(shù)表第6行第9列的數(shù)開始向右讀， 第1名學生的學號為39，第2名學生的學號為17，第3名學生的學號為37，第4名學生的學號為23，第5名學生的學號為35，C錯誤，選C。
5、某中學有高中生1500人，初中生1000人，為了解該校學生自主鍛煉的時間，采用分層抽樣的方法從高中學生和初中學生中抽取一個容量為n的樣本，若樣本中高中學生恰有30人，則n的值為（ ）（成都市2020高三二診）
A 20 B 50 C 40 D 60
【解析】
【考點】①樣本容量定義與性質(zhì)；②分層抽樣定義與性質(zhì)；③分層抽樣各層抽樣數(shù)的計算公式及運用；④計算分層抽樣各層抽樣數(shù)的基本方法。
【解題思路】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，運用分層抽樣各層抽樣數(shù)的計算公式，結(jié)合問題條件得到關(guān)于n的方程，求解方程求出樣本容量n的值就可得出選項。
【詳細解答】n=30, n=30=50, B正確，選B。
6、下列抽樣方法是簡單隨機抽樣方法的是（ ）
A在某年明信片的銷售活動中，規(guī)定每100萬張為一個開獎組，通過隨機抽取的方式確定號碼的后四位為2700的為三等獎；B某車間包裝一種產(chǎn)品，在自動包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽取一包產(chǎn)品，稱其重量是否合格；C某學校分別從行政人員，教師，后勤人員抽取2人，14人，4人了解對學校機構(gòu)改革的意見；D用抽簽的方法從10件從產(chǎn)品中抽取3件進行質(zhì)量檢驗。
【解析】
【知識點】①簡單隨機抽樣的定義與性質(zhì)；②簡單隨機抽樣的基本方法。
【解題思路】運用簡單隨機抽樣的性質(zhì)和簡單隨機抽樣的基本方法，對各選項進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對A，在100萬張明信片中，后四位為2700的明信片每一萬張中就有一張，屬于系統(tǒng)抽樣，A不正確；對B，在自動包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽取一包產(chǎn)品，屬于等距抽樣， B不正確；對C，分別從行政人員，教師，后勤人員抽取2人，14人，4人屬于分層抽樣， C不正確；對D，用抽簽的方法從10件從產(chǎn)品中抽取3件符合簡單隨機抽樣的特征， D正確，即選D。
『思考問題1』
（1）【典例1】是統(tǒng)計抽樣基本方法及運用的問題，解答這類問題需要理解簡單隨機抽樣，系統(tǒng)抽樣和分層抽樣的定義，了解簡單隨機抽樣，系統(tǒng)抽樣和分層抽樣的特征與適用范圍，掌握簡單隨機抽樣，系統(tǒng)抽樣和分層抽樣的基本方法；
（2）運用抽簽法必須注意兩個基本條件：①抽簽是否方便，②號簽是否容易攪勻，一般地當總體容量和樣本容量較小時可以采用抽簽法；
（3）運用隨機數(shù)表時，若遇到三位數(shù)或四位數(shù)，可以選擇隨機數(shù)表中某行某列的數(shù)字計起，每三個（或四個）作為一個單位，自左向右選取，有超過總體號碼或重復(fù)號碼舍去；
（4）系統(tǒng)抽樣的特征是：①總體容量較大，②樣本容量較大，③總體中各個個體之間沒有明顯的差異，④每個個體被抽到的可能性相等；
（5）系統(tǒng)抽樣的基本方法是：①將總體中的個體進行統(tǒng)一編號，②把總體平均分成若干個部分（若總體容量不能被樣本容量整除時，可以將總體隨機剔除幾個個體來確定分段間隔），③在第一個部分用簡單隨機抽樣的方法確定開始的個體編號x，④按照每一組的個體數(shù)確定個體之間相隔的距離抽取樣本；
（6）分層抽樣的特征是：①總體容量較大，②總體由幾個個體差異明顯的部分構(gòu)成；
（7）各層樣本單位數(shù)的確定可按公式：某層抽取的樣本數(shù)=樣本數(shù)，通過計算來確定。
［練習1］解答下列問題：
1、某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1，2，------，840隨機編號，則抽取的42人中，編號落在區(qū)間［481，720］的人數(shù)為（ ）（答案：B）
A 11 B 12 C 13 D 14
2、將參加夏令營的600名學生編號為001，002，-------，600，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為50的樣本，且隨機抽得的號碼為003，這600名學生分住在三個營區(qū)，從001到300在第I營區(qū)，從301到495在第II營區(qū)，從496到600在第III營區(qū)，三個營區(qū)被抽中的人數(shù)依次為（ ）（答案：B）
A 26，16，8 B 25，17，8 C 25，16，9 D 24，17，9
【典例2】解答下列問題：
1、“數(shù)九”從每年“冬至”當天開始計算，每九天為一個單位，冬至后的第81天，“數(shù)九”結(jié)束，天氣九變得溫暖起來。如圖，以溫江國家基準氣象站為代表記錄了20232024從“一九”到“九九”成都市的“平均氣溫”和“多年平均氣溫”（單位：），下列說法正確的是（ ）（成都市高2021級高三三診）
A “四九”以后成都市“平均氣溫” 一直上升
B “四九”成都市“平均氣溫”較“多年平均氣溫”低0.1
C “一九” 到“五九” 成都市“平均氣溫” 的方差小于“多年平均氣溫”的方差
D “一九” 到“九九” 成都市“平均氣溫” 的極差小于“多年平均氣溫”的極差
【解析】
【考點】①平均數(shù)定義與性質(zhì)；②方差定義與性質(zhì)；③極差定義與性質(zhì)；④統(tǒng)計直方圖及運
用；⑤求一組數(shù)據(jù)平均數(shù)的基本方法；⑥求一組數(shù)據(jù)方差的基本方法；⑦求一組數(shù)據(jù)極差的基本方法。
【解題思路】根據(jù)平均數(shù)，方差和極差的性質(zhì)，運用統(tǒng)計直方圖和求一組數(shù)列平均數(shù)，方差與極差的基本方法，結(jié)合問題條件對各選項說法的正確與錯誤進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對A，從條件直方圖可知，“八九”的“平均氣溫”比“七九”的“平均氣溫”低，A錯誤；對B，從條件直方圖可知，“四九”的“平均氣溫”比“多年平均氣溫”高0.1，B錯誤；對C，從“一九” 到“五九” 成都市“平均氣溫”的平均數(shù)為==6.96（），成都市“多年平均氣溫”的平均數(shù)為==5.62（），成都市“平均氣溫”的方差為
==3.15536，成都市“多年平均氣溫”的方差數(shù)為==0.1350，>，C錯誤；對D，從“一九” 到“五九” 成都市“平均氣溫”的極差為10.6-5.4=5.2（）， 成都市“多年平均氣溫”的極差為10.7-5.3=5.4（），5.2<5.4，D正確，綜上所述D正確，選D。
2、全國文明典范城市是以全國文明城市為基礎(chǔ)的文明城市典范，是城市治理“桂冠上的明珠”，為爭創(chuàng)全國文明典范城市，某城市特邀請甲，乙兩組評委分表從公共服務(wù)，文化建設(shè)，社會治理等10個不同維度對城市建設(shè)進行評分，每個維度滿分為10分，現(xiàn)將兩組評委的評分制成如圖所示的莖葉圖，其中莖葉圖中莖部分是得分的個位數(shù)，葉部分是得分的小數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）（成都市高2021級高三零診）
A 甲組評分的平均數(shù)小于乙組評分的平均數(shù) B 甲，乙兩組評分的中位數(shù)不相同
C 甲組評分的極差大于乙組評分的極差 D 甲組評分的眾數(shù)小于乙組評分的眾數(shù)
【解析】
【考點】①莖葉圖定義與性質(zhì)；②數(shù)據(jù)平均數(shù)定義與性質(zhì)；③數(shù)據(jù)中位數(shù)定義與性質(zhì)；④數(shù)據(jù)極差定義與性質(zhì)；⑤數(shù)據(jù)眾數(shù)定義與性質(zhì)。
【解答思路】根據(jù)莖葉圖，數(shù)據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，極差和眾數(shù)的性質(zhì)，運用莖葉圖的數(shù)據(jù)分別求出甲組，乙組評分的平均數(shù)，中位數(shù)，極差和眾數(shù)，對各選項結(jié)論的正確與錯誤進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對A，==8.06，
==8.16,8.06<8.16， A正確；
對B， 甲組評委評分的中位數(shù)為=8.05，,乙組評委評分的中位數(shù)為
=8.05，8.05=8.05，B錯誤；對C， 甲組評委評分的極差為8.6-7.5=1.1，,乙組評委評分的極差為9.8-7.5=23，1.1<2.3，C錯誤；對D， 甲組評委評分的眾數(shù)為8.3，,乙組評委評分的眾數(shù)為7.8，8.3>7.8，D錯誤，綜上所述A正確，選A。
3、從某小區(qū)隨機抽取100戶居民用戶進行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的月用電量 50—300kw.h
之間，適當分組（每組為左閉右開區(qū)間）后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，則直方圖中x的值以及在被調(diào)查的用戶約用電量落在區(qū)間[100,250）內(nèi)的戶數(shù)分布為（ ）（成都市2020級高三零診）
A 0.0046 ，72 B 0.0046，70 C 0.0042 ，72 D 0.0042 ，70
【解析】
【考點】①頻率分布直方圖定義與性質(zhì)；②頻率定義與性質(zhì)；③確定某一區(qū)間數(shù)據(jù)的基本方法。
【解答思路】根據(jù)頻率分布直方圖和頻率的性質(zhì)，求出x的值和區(qū)間[100,250）的頻率，從而求出用電量落在區(qū)間[100,250）內(nèi)的戶數(shù)，就可得出選項。
【詳細解答】由頻率分布直方圖可知，50（0.0024+0.0032+0.0038+x+0.0060）=50（0.0154
+x）=1， x=0.02-0.0154=0.0046, 用電量落在區(qū)間[100,250）內(nèi)的頻率為50（0.0038
0.0046+0.0060）=0.72，用電量落在區(qū)間[100,250）內(nèi)的戶數(shù)為1000.72=72（戶），A正確，選A。 甲 乙
4、分別統(tǒng)計了甲，乙兩位同學16周的各周 6 1 5
課外體育運動時長（單位：h），得到如表所 8 5 3 0 6 3
示的莖葉圖： 7 5 3 2 7 4 6
則下列結(jié)論中錯誤的是（ ）（2022全國高考 6 4 2 1 8 1 2 2 5 6 6 6 6
乙卷文） 4 2 9 0 2 3 8
A 甲同學周課外體育運動時長的樣本中位數(shù)為7.4 10 1 B 乙同學周課外體育運動時長的樣本平均數(shù)大于8 C 甲同學周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.4 D 乙同學周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.6
【解析】
【考點】①莖葉圖定義與性質(zhì)；②中位數(shù)定義與求法；③平均數(shù)定義與求法；④統(tǒng)計估計的基本方法。
【解題思路】根據(jù)莖葉圖的性質(zhì)，運用求中位數(shù)和平均數(shù)的基本方法，結(jié)合問題條件分別求出甲同學周課外體育運動時長的樣本中位數(shù)和乙同學周課外體育運動時長的樣本平均數(shù)，利
用統(tǒng)計估計的基本方法，分別估計出甲同學周課外體育運動時長大于8的概率和乙同學周課外體育運動時長大于8的概率就可得出選項。
【詳細解答】甲同學周課外體育運動時長的樣本中位數(shù)為=7.4，乙同學周課外體育運動時長的樣本平均數(shù)為
=8.50625>8，甲同學周課外體育運動時長大于8的概率的估計值為=0.375<0.4，乙同學周課外體育運動時長大于8的概率的估計值為=0.8125>0.8，C結(jié)論不正確，選C。
5、為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：
根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（ ）（2021全國高考甲卷）
A該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%
B該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%
C估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元
D根據(jù)該地有一半以上農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間
【解析】
【考點】①頻率分布直方圖的定義與性質(zhì)；②頻率的定義與基本求法；③統(tǒng)計估計的基本方法；④平均數(shù)計算公式及運用。
【解題思路】根據(jù)樣頻率分布直方圖的性質(zhì)和求頻率的基本方法，結(jié)合問題條件分別求出該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶，低于10.5萬元的農(nóng)戶和介于4.5萬元至8.5萬元之間的農(nóng)戶的頻率，運用計算平均數(shù)的公式求出該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值，利用統(tǒng)計估計的基本方法就可得出選項。
【詳細解答】該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率為（0.02+0.04）1
=0.06，A正確；該地農(nóng)戶家庭年收入低于10.5萬元的農(nóng)戶比率（0.02+0.04+
0.13+0.14+0.202）1=0.90，該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率為1-0.90=0.10，即B正確；該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值為0.02（3+12+13+14）+0.04（4+11）+0.10（5+9+10）+0.146+0.20（7+8）=7.68>6.5，C錯誤，C結(jié)論不正確，選C。
6、如圖，是某賽季甲，乙兩名籃球運動員9場比賽 甲 乙
所得分數(shù)的莖葉圖，則下列說法錯誤的是（ ）（20 0 8
20成都市高三零診）A 甲所得分數(shù)的極差為22 B 7 5 1 1 1 2 6 8
乙所得分數(shù)的中位數(shù)為18 C 兩人所得分數(shù)的眾數(shù)相 4 2 2 0 2 0 2 2
等D 甲所得分數(shù)的平均數(shù)低于乙所得分數(shù)的平均數(shù) 3 2 3 1
【解析】
【考點】①莖葉圖的定義與性質(zhì)；②極差的定義與求法；③中位數(shù)的定義與求法；④眾數(shù)的定義與求法；⑤平均數(shù)的定義與求法。
【解題思路】運用莖葉圖的性質(zhì)，結(jié)合問題條件分別求出甲所得分數(shù)的極差，乙所得分數(shù)的
中位數(shù)，甲，乙所得分數(shù)的眾數(shù)和平均數(shù)就可得出選項。
【詳細解答】甲所得分數(shù)的極差為33-11=22，A正確；乙所得分數(shù)的中位數(shù)為18，B正確；甲，乙所得分數(shù)的眾數(shù)分別為22，22，C正確；甲，乙所得分數(shù)的平均數(shù)分別為= 21.8，
= 17.8，21.8>17.8，>，D錯誤，選D。
『思考問題2』
（1）【典例2】是統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖及運用的問題，解答這類問題需要理解統(tǒng)計表，莖葉圖和頻率分布直方圖的定義，掌握制作統(tǒng)計表，莖葉圖和頻率分布直方圖的基本作法，注意統(tǒng)計表，莖葉圖和頻率分布直方圖的運用；
（2）莖葉圖的特征是：①莖葉圖能夠看到真實的數(shù)據(jù)，沒有任何信息損失；②莖葉圖便于記錄和表示；③莖葉圖只便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)；④莖葉圖也只方便記錄兩組數(shù)據(jù)；
（3）莖葉圖的基本畫法是：①用兩短豎線分成把圖分成兩部分，②兩組數(shù)據(jù)中選一組放左邊，另一組放右邊，③把數(shù)據(jù)的十位數(shù)記在兩短豎線之間，④將數(shù)據(jù)的個位數(shù)分別記在左右兩邊；
（4）解答與頻率分布直方圖相關(guān)問題的關(guān)鍵是讀懂頻率分布直方圖，頻率分布直方圖中的每一個小矩形的面積是指樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)域的頻率，所有小矩形面積的和為1；
（5）作頻率分布直方圖的基本方法是：①求出原始數(shù)據(jù)的極差（最大值與最小值的差）；②確定組數(shù)與組距；③確定各組的起始點與終點；④列出統(tǒng)計數(shù)據(jù)分布表；⑤畫出頻率分布直方圖；
［練習2］解答下列問題：
1、某校隨機抽取100名同學進行“垃圾分類”的問卷測試，測試結(jié)果發(fā)現(xiàn)這100名同學的得分都在[50,100]內(nèi)，按得分分成5組：[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則這100名同學得分的中位數(shù)為（)（2020成都市高三一診）
A 72.5 B 75 C 77.5 D 80
（答案：A）
【典例3】解答下列問題：
1、某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：千克）并整理如下表：
畝產(chǎn)量［900，950）［950，1000）［1000，1050）［1050，1100 ）［1100，1150）［1150，
頻數(shù) 6 12 18 30 24 10
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（ ）（2024全國高考新高考II）
A 100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)是1050千克
B 100塊稻田畝產(chǎn)量低于1100千克的稻田所占比例超過80%
C 100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200千克到300千克之間
D 100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900千克到1000千克之間
【解析】
【考點】①中位數(shù)定義與性質(zhì)；②極差定義與性質(zhì)；③平均數(shù)定義與性質(zhì)；④求一組數(shù)據(jù)，中位數(shù)，極差和平均數(shù)的基本方法。
【解題思路】根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)和極差的性質(zhì)，運用求一組數(shù)據(jù)，中位數(shù)，極差和平均數(shù)的基本方法，結(jié)合問題條件對各選項結(jié)論的正確與錯誤進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對A，6+12+18=36＜50，100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)大于1050，A錯誤；對B， 100塊稻田畝產(chǎn)量低于1100千克的稻田所占比例為 100%=66%
＜80%，B錯誤；對C，100塊稻田畝產(chǎn)量的極差大于1150-950=200，小于1200-900=300，100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200千克到300千克之間，C正確；對D，100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值為（9256+97512+102518+107530+112524+117510）=1067＞1000，
D錯誤，綜上所述，C正確，選C。
2、有一組樣本數(shù)據(jù)：，，------，，其中是最小值，是最大值，其平均數(shù)為，
方差為，極差為m，中位數(shù)為t，去除其中的最小值和最大值后，余下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，極差為，中位數(shù)為，則下列結(jié)論不一定正確的是（ ）（2023全國高考新高考I）
A ，，， 的平均數(shù)等于，，------，的平均數(shù) B ，，， 的中位數(shù)等于，，------，的中位數(shù) C ，，， 的標準差不小于，，------，的標準差 D ，，， 的極差不大于，，------，的極差
【解析】
【考點】①一組數(shù)據(jù)平均數(shù)定義與性質(zhì)；②一組數(shù)據(jù)中位數(shù)定義與性質(zhì)；③一組數(shù)據(jù)標準差定義與性質(zhì)；④一組數(shù)據(jù)極差定義與性質(zhì)。
【解題思路】根據(jù)一組數(shù)據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，標準差和極差的性質(zhì)，結(jié)合問題條件確定出數(shù)據(jù)的平均數(shù)，中位數(shù)，標準差和極差就可得出選項。
【詳細解答】設(shè)：，，------，，分別為1，2，2，2，2，4，對A，，，，
的平均數(shù)為2，，，------，的平均數(shù)為，A錯誤；對B，，，， 的中位數(shù)為=2，，，------，的中位數(shù)為=2，B正確；對C，，，， 的標準差為0，，，------，的標準差為=，C錯誤；對D，，，， 的極差為2-2=0，，，------，的極差為4-1=3，0≤3，D正確，綜上所述B，D正確，選BD。
3、下圖為2012年-2021年我國電子信息制造業(yè)企業(yè)和工業(yè)企業(yè)利潤總額增速情況折線圖，根據(jù)該圖，下列結(jié)論正確的是（ ） （成都市高2020級高三一診）
A 2012年-2021年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額逐年遞增 B 2012年-2021年工業(yè)企業(yè)利
潤總額逐年遞增 C 2012年-2017年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額均比上一年實現(xiàn)增長，且其增速快于當年工業(yè)企業(yè)利潤總額增速 D 2012年-2021年工業(yè)企業(yè)利潤總額增速的均值大于遞增信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額增速均值
【解析】
【考點】①統(tǒng)計折線圖平定義與性質(zhì)；②平均數(shù)定義與性質(zhì)；③求平均數(shù)的基本方法。
【解題思路】根據(jù)統(tǒng)計折線圖和平均數(shù)的性質(zhì)，運用求平均數(shù)的基本方法，結(jié)合問題條件分別求出 2012年-2021年工業(yè)企業(yè)利潤總額增速和電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額增速的均值
，對各選項的正確與錯誤進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】從統(tǒng)計折線圖可以看出，電子信息制造也企業(yè)和工業(yè)企業(yè)都有負的增速， 2012年-2021年電子信息制造業(yè)企業(yè)和工業(yè)企業(yè)利潤總額都不是逐年遞增，A，B錯誤；從統(tǒng)計折線圖可以看出，2012年-2017年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額均比上一年實現(xiàn)增長，且其增速快于當年工業(yè)企業(yè)利潤總額增速， C正確； 2012年-2021年工業(yè)企業(yè)利潤總額增速的均值為=9.34（%），2012年-2021年電子制造業(yè)企業(yè)利潤總額增速的均值為
=14.24（%），9.34%<14.24%，
2012年-2021年工業(yè)企業(yè)利潤總額增速的均值小于遞增信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額增速均
值，D錯誤，C正確，選C。
4、一次數(shù)學考試后，某班級平均分為110分，方差為，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)有兩名同學的成績計算有誤，甲同學成績被誤判為113分，實際得分為118分，乙同學成績被誤判為120分，實際成績?yōu)?15分，更正后重新計算，得到方差為，則與的大小關(guān)系為（ ）（成都市高2020級高三三珍）
A = B > C < D 不能確定
【解析】
【考點】①平均數(shù)定義與性質(zhì)；②方差定義與性質(zhì)；③求一組數(shù)據(jù)平均數(shù)的基本方法；④求一組數(shù)據(jù)方差的基本方法。
【解題思路】根據(jù)平均數(shù)和方差的性質(zhì)，運用求一組數(shù)列平均數(shù)和方差的基本方法，分別求出誤判和實際數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，從而得到與的大小關(guān)系就可得出選項。
【詳細解答】誤判時甲同學比實際少計了5分，乙同學比實際多計了5分，誤判和實際的平均法不變，甲同學誤判分與實際分和平均分的差的平方分別為9和64，,乙同學誤判分與實際分和平均分的差的平方分別為100和25，9+100=109，64+25=89，109-89=20>0， > ，B正確，選B。
5、（理）若數(shù)據(jù)9，m，6，n，5的平均數(shù)為7，方差為2，則數(shù)據(jù)11，9，2m-1，17，2n-1的平均數(shù)和方差分別為（ ）
A 13，4 B 14，4 C 13，8 D 14，8
（文）若數(shù)據(jù)9，m，6，5的平均數(shù)為7，則數(shù)據(jù)17， 2m-1，11，9的平均數(shù)和方差分別為（ ）（成都市2020級高三零診）
A 13，5 B 14，5 C 13，10 D 14，10
【解析】
【考點】①數(shù)據(jù)平均數(shù)定義與性質(zhì)；②數(shù)據(jù)方差定義與性質(zhì)；③求一組數(shù)據(jù)平均數(shù)的基本方法；④求一組數(shù)據(jù)方差的基本方法。
【解題思路】（理）根據(jù)數(shù)據(jù)平均數(shù)和方差的性質(zhì)，運用求一組數(shù)據(jù)平均數(shù)和方程的基本方法，結(jié)合問題條件得到關(guān)于m，n的方程組，求解方程組求出m，n的值，從而求出數(shù)據(jù)11，9，2m-1，17，2n-1的平均數(shù)和方差，就可得出選項。（文）根據(jù)數(shù)據(jù)平均數(shù)和方差的性質(zhì)，運用求一組數(shù)據(jù)平均數(shù)和方程的基本方法，結(jié)合問題條件得到關(guān)于m的方程，求解方程求出m的值，從而求出數(shù)據(jù)17， 2m-1，11，9的平均數(shù)和方差，就可得出選項。
【詳細解答】（理）數(shù)據(jù)9，m，6，n，5的平均數(shù)為7，方差為2， m+n=35-(9+6+5)=15①，+ =10-（4+1+4）=1②，聯(lián)立①②解得：m=8，n=7，11，9，2m-1，17，
2n-1為11，9，15，17，13，數(shù)據(jù)11，9，15，17，13的平均數(shù)為=13，
方差為=8，C正確，選C。
（文）數(shù)據(jù)9，m，6，5的平均數(shù)為7， m=28-(9+6+5)=8， 數(shù)據(jù)17，2m-1，11，9為數(shù)據(jù)17，15，11，9， 數(shù)據(jù)17，15，11，9的平均數(shù)為=13，方差為3、6、某地區(qū)通過公益講座以及普及社區(qū)居民的垃圾分類知識，為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：則（ ）（2022全國高考甲卷）
A講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%
B講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%
C講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差
D 講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差
【解析】
【考點】①隨機變量散點圖定義與性質(zhì)；②中位數(shù)定義與基本求法；③平均數(shù)定義與基本求法；④標準差定義與基本求法；⑤極差定義與基本求法。
【解題思路】根據(jù)隨機變量散點圖的性質(zhì)，運用求中位數(shù)，平均數(shù)，標準差和極差的基本方法，結(jié)合問題條件分別求出講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)，講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)，講座前問卷答題的正確率的標準差與講座后正確率的標準差，講座后問卷答題的正確率的極差與講座前正確率的極差，就可得出選項。
【詳細解答】講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)為=72.5%>70%，A錯誤；講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)為= =89.5
%>85%， B正確，選B。
7、四名同學各擲骰子5次，并各自記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，分別統(tǒng)計四名同學的紀錄結(jié)果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是（ ）（成都市2019級高三一診）
A 平均數(shù)為3，中位數(shù)為2 B 中位數(shù)為3，眾數(shù)為2
C 中位數(shù)為3，方差為2.8 D 平均數(shù)為2，方差為2.4
【解析】
【考點】①平均數(shù)定義與性質(zhì)；②中位數(shù)定義與性質(zhì)；③眾數(shù)定義與性質(zhì)；④方差定義與性質(zhì)。
【解題思路】根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)和方差的性質(zhì)，運用求平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)和方差的基本方法，對各選項進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】設(shè)表示某名同學紀錄自記每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)由小到大排列時第i（i=1，2，3，4，5）次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，對A，平均數(shù)為3，中位數(shù)為2， 這名同學的紀錄結(jié)果中 ，骰子出現(xiàn)點數(shù)之和為35=15，=1或2，=1 或2，=2，++2+2+26， +15-69，當=3時，必有=6， A錯誤；對B，中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，==2，=3，++=2+2+3=7，，中有可能其中一個（或兩個）是6，
B錯誤；對C，中位數(shù)為3，方差為2.8，=1或2或3，=1 或2或3，=3，當==1，=3時，，兩個點數(shù)大于或等于3，平均數(shù)大于2，若平均數(shù)為3，+=35-5
=10，當=4時，=6， C錯誤；對D， 平均數(shù)為2，方差為2.4， =2.420=48，若，，，，有1次骰子出現(xiàn)的點數(shù)為6，不妨設(shè)=6，==16，方差3.2>2.4，，，，，中不可能有6D正確，選D。
8、有一組樣本數(shù)據(jù)，，------，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，-------，，其中=+c（i=1，2，-----，n），c為非零常數(shù)，則（ ）（2021全國高考新高考I）
A 兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同 B 兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同
C 兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同 D 兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同
【解析】
【考點】①樣本定義與性質(zhì)；②樣本平均數(shù)定義與性質(zhì)；③樣本中位數(shù)定義與性質(zhì)；④樣本
標準差定義與性質(zhì)；⑤樣本極差定義與性質(zhì)；⑥求一組數(shù)據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，標準差和極差的基本方法。
【解題思路】根據(jù)樣本，樣本平均數(shù)，樣本中位數(shù)，樣本標準差和樣本極差的性質(zhì)，運用求一組數(shù)據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，標準差和極差的基本方法，結(jié)合問題條件分別求出兩個樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，中位數(shù)，標準差和極差就可得出選項。
【詳細解答】樣本數(shù)據(jù)，，------，的平均數(shù)= ，新樣本數(shù)據(jù)，，-------，的平均數(shù)= =+c，，A錯誤；樣本數(shù)據(jù)，，------，的中位數(shù)與新樣本數(shù)據(jù)，，-------，的中位數(shù)=+c，+c，B錯誤；樣本數(shù)據(jù)，，------，的標準差=，新樣本數(shù)據(jù)，，-------，的標準差==
==，C正確；樣本數(shù)據(jù)，，------，的極差=-，新樣本數(shù)據(jù)，，-------，的極=-=+c--c=-，D正確，C，D正確，選C，D。
『思考問題3』
（1）【典例3】是統(tǒng)計指標及運用的問題，解答這類問題需要理解平均數(shù)，方差，標準差的定義，掌握求平均數(shù)，方差，標準差的基本求法；
（2）總體估計的常用方法有：①點估計；②區(qū)間估計；
（3）點估計是直接運用樣本指標作為總體指標，常用的樣本指標有：①樣本的平均數(shù)；②樣本的標準差；③樣本的方差；常用的總體指標有：①總體的平均數(shù)；②總體的標準差；③總體的方差；
（4）區(qū)間估計是根據(jù)問題要求可靠程度去確定總體指標取值的區(qū)間，其基本方法是：①由問題要求的可靠程度確定抽樣的平均誤差；②根據(jù)抽樣平均誤差確定抽樣誤差的允許范圍；③根據(jù)抽樣誤差的允許范圍確定總體指標的取值范圍。
［練習3］解答下列問題：
1、下列統(tǒng)計量中，能度量樣本，，------，的離散程度的是（ ）（2021全國高考新高考I）（答案：A，C）
A 樣本，，------，的標準差 B 樣本，，------，的中位數(shù)
C 樣本，，------，的極差 D 樣本，，------，的平均數(shù)
2、甲乙兩臺機床同時生產(chǎn)一種零件，10天中，兩臺機床每天出的次品數(shù)分別是：，分別表示甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，，分別表示甲乙兩組數(shù)據(jù)的方差，則下列選項正確的
甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4
乙 2 2 1 1 1 2 1 1 0 1
是（ ）（成都市2021高三一診）（答案：B）
A = ，＞ B ＞，＞ C ＜，＜ D ＞，＜
3、某市環(huán)境保護局公布了該市A，B兩個景區(qū)2014年至2020年各年的全年空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的數(shù)據(jù)，現(xiàn)根據(jù)這些數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的折線圖，則由該折線圖得出的下列結(jié)論中正確的是（ ）（成都市2021高三三診）（答案：D）
A 景區(qū)A這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的極差為98 B 景區(qū)B這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的中位數(shù)為283 C 分別記景區(qū)A，B這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的眾數(shù)為，，則>
D分別記景區(qū)A，B這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的標準差為 ，，則 >
4、（理）在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，，，，且=1，
則下列四種情形中，對應(yīng)樣本的標準差最大的一組是（ ）（答案：B）
A ==0.1，==0.4 B ==0.4，==0.1
C ==0.2，==0.3 D ==0.3，==0.2
（文）設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)，，-------，的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10，10，-------，10的方差為（ ）（2020全國高考新課標III）（答案：C）
A 0.01 B 0.1 C 1 D 10
【典例4】解答下列問題：
1、 對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)（，）（i），得散點圖1；對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)（，
）（i）得散點圖2，表示變量x，y之間的線性相關(guān)系數(shù)，表示變量u，v之間的線性相關(guān)系數(shù)，則下列說法正確的是（ ）（成都市高2021級高三二診）
A 變量x，y呈正相關(guān)，且||<|| B 變量x，y呈負相關(guān)，且||>||
C 變量x，y呈正相關(guān)，且||>|| D 變量x，y呈負相關(guān)，且||<||
【解析】
【考點】①隨機變量散點圖定義與性質(zhì)；②隨機變量相關(guān)系數(shù)定義與性質(zhì)；③隨機變量正相關(guān)定義與性質(zhì)；④隨機變量負相關(guān)定義與性質(zhì)。
【解題思路】根據(jù)隨機變量散點圖，相關(guān)系數(shù)，正相關(guān)和負相關(guān)的性質(zhì)，結(jié)合問題條件對各選項說法的正確性進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】根據(jù)隨機變量x，y 的散點圖可知，隨機變量x，y呈正相關(guān)， B，D錯誤；根據(jù)隨機變量散點圖可知，隨機變量x，y比隨機變量u，v的線性相關(guān)更大， ||>||，
A錯誤，C正確，選C。
2、如圖，由觀察數(shù)據(jù)（，）（i=1，2，3，4，5，6）的散點圖可知，y與x的關(guān)系可以
用模型y=blnx+a擬合，設(shè)z=lnx，利用最小二乘法求得y關(guān)于z的回歸方程=z+1，已知=，=18，則=（ ）（成都市高2021級高三三診）
A B C 1 D
【解析】
【考點】①變量散點圖及運用；②函數(shù)模型定義與性質(zhì)；③線性回歸方程定義與性質(zhì)；④求線性回歸方程的基本方法。
【解題思路】根據(jù)函數(shù)模型和線性回歸方程的性質(zhì)，運用變量散點圖和求線性回歸方程的基本方法，結(jié)合問題條件求出的值就可得出選項。
【詳細解答】=，z=lnx，=18，=z+1，===3，
=====2，1=-，
===1，C正確，選C。
3、下列命題中錯誤的是（ ）（成都市高2020級高三一診）
A 在回歸分析中，相關(guān)系數(shù)r的絕對值越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強 B 對分類變量X與Y，它們的隨機變量的觀測值k越小，說明“X與Y有關(guān)系”的把握性越大 C 線性回歸直線=x+恒過點（，） D 在回歸分析中，殘差平方越小，模型的擬合效果越好
【解析】
【考點】①相關(guān)系數(shù)定義與性質(zhì)；②判斷兩個隨機變量線性相關(guān)的基本方法；③獨立性檢驗定義與性質(zhì)；④求線性回歸方程的基本方法。
【解題思路】根據(jù)相關(guān)系數(shù)和獨立性檢驗的性質(zhì)，運用判斷兩個隨機線性相關(guān)和求線性回歸方程的基本方法，對各命題的真假進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對A，相關(guān)系數(shù)r的絕對值越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強，A正確，對B，對分類變量X與Y，它們的隨機變量的觀測值k越大，說明“X與Y有關(guān)系”的把握性越大，B錯誤；對C，=-，當x=時，=+-=， 線性回歸直線=x+恒過點（，），C正確；對D， 在回歸分析中，殘差平方越小，模型的擬合效果越好，D正確， B錯誤，選B。
『思考問題4』
（2）【典例4】是判斷兩個隨機變量相關(guān)關(guān)系和線性回歸方程及運用的問題，解答這類問題需要理解兩個隨機變量相關(guān)和線性回歸方程的定義，掌握判斷兩個隨機變量是否具有相關(guān)關(guān)系和建立線性回歸方程及回歸分析的基本方法；
（2）判斷兩個隨機變量是否相關(guān)的基本方法是：①根據(jù)數(shù)據(jù)作出隨機變量的散點圖，由散點圖進行判斷；②運用相關(guān)系數(shù)的計算公式，通過運算求出相關(guān)系數(shù)的值，根據(jù)相關(guān)系數(shù)值的大小進行判斷；
（3）散點圖法的基本方法是：①根據(jù)兩個變量的一組對應(yīng)值作出散點 圖，②運用散點圖判斷兩個隨機變量是否具有相關(guān)關(guān)系；
（4）相關(guān)系數(shù)法的基本方法是：①根據(jù)兩個變量的一組對應(yīng)值運用公式計算相關(guān)系數(shù)的值，
②根據(jù)計算結(jié)果判斷兩個隨機變量是否具有相關(guān)關(guān)系；
（7）判斷兩個變量是正相關(guān)還是負相關(guān)的常用方法是：①散點圖法，②相關(guān)系數(shù)法，③運用線性回歸方程=x+中的系數(shù)，若 > 0，為正相關(guān)；若 < 0為負相關(guān)。
（6）建立線性回歸方程的基本方法是：①判斷兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系，②運用公式：
=， =- 求出回歸系數(shù)，（也可以用待定系數(shù)法，即根據(jù)回歸直線過樣本點的中心求系數(shù)，），③寫出回歸直線方程；
（8）回歸分析及回歸預(yù)測的基本方法是：①依據(jù)回歸直線方程視為變量y是變量x（或t）的一次函數(shù)，②將變量x（或t）的值代入回歸直線方程求出變量y的值；③得出統(tǒng)計預(yù)測結(jié)果。
［練習4］解答下列問題：
1、某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：）的關(guān)系，在20個不同溫度條件下進行種子發(fā)芽率實驗，由實驗數(shù)據(jù)（，）（i=1，2------，20）得到如下散點圖：由此散點圖，在10至40之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型是（ ）（2020全國高考新課標I）（答案：D）
A y=a+bx B y=a+b C y=a+b D y=a+blnx
2、某實驗室對小白鼠體內(nèi)x，y兩項指標進行 小白鼠體內(nèi)x 120 110 125 130 115
研究，連續(xù)五次實驗所測得的這兩項指標數(shù)據(jù)如 小白鼠體內(nèi)y 92 83 90 96 89
表所示，已知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，利用表中數(shù)據(jù)求得回歸直線方程為=x+，若下一次實驗中x=170，利用該回歸直線方程預(yù)測得=117，則的值為 （成都市2020
高三三診）（答案：=0.54。）
【典例5】解答下列問題：
1、在某大學一食品超市，隨機詢問了70名不同性別 女 男 總計
的大學生在購買食物時是否查看營養(yǎng)說明，得到如下 要查看營養(yǎng)說明 15 25 40
的列聯(lián)表：（成都市2019級高三三珍） 不查看營養(yǎng)說明 20 10 30
附：=其中n=a+b+c+d。 總計 35 35 70
P（） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
0.455 0.708 1.323 2.702 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
根據(jù)列聯(lián)表的獨立性檢驗，則下列說法正確的是（ ）
A 在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認為該校大學生在購買食物時要查看營養(yǎng)說明的人數(shù)中男生人數(shù)更多 B在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下，認為該校大學生在購買食物時要查看營養(yǎng)說明的人數(shù)與不查看營養(yǎng)說明的人數(shù)比是 C 在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下，認為性別與是否查看營養(yǎng)說明有關(guān) D 在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下，認為性別與是否查看營養(yǎng)說明有關(guān)
【解析】
【考點】①分類變量定義與性質(zhì)；②列聯(lián)表定義與性質(zhì)；③獨立性檢驗定義與性質(zhì)；④隨機變量計算公式及運用；⑤判斷兩個分類變量是否相關(guān)的基本方法。
【解題思路】根據(jù)分類變量，列聯(lián)表和獨立性檢驗的性質(zhì)，運用計算隨機變量的公式，結(jié)合問題條件求出隨機變量的值，利用判斷兩個分類變量是否相關(guān)的基本方法，對該校大學生購買食物時，性別與是否查看營養(yǎng)說明的相關(guān)關(guān)系進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】===5.833，5.024<5.833<6.635在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下，認為性別與是否查看營養(yǎng)說明有關(guān)， C正確，選C。
『思考問題5』
（1）【典例5】是獨立性檢驗的問題，解答這類問題需要理解分類變量，獨立性檢驗的定義，了解2x2列聯(lián)表的意義，掌握獨立性檢驗的基本方法；
（2）比較兩個分類變量是否有關(guān)的基本方法是：①計算的值進行判斷，越大兩個分類變量有關(guān)的可能性越大；②計算|ad-bc|的值進行判斷，|ad-bc|越大兩個分類變量有關(guān)的可能性越大；
（3）獨立性檢驗的基本方法是：①根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2x2列聯(lián)表，②運用公式=
計算的觀察值，③比較與臨界值的大小，作出推斷。
【典例6】解答下列問題：
1、為了解推動出口后某收入（單位：萬元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動出口后某收入的樣本均值=2。1，樣本方差=0.01，已知該種植區(qū)以往的某收入服從正態(tài)分布N（1.8，），假設(shè)推動出口后的某收入Y服從正態(tài)分布N（，），則（ ）（2024全國高考新高考I）（若隨機變量Z服從正態(tài)分布N（u，），則p(Z＜u+)0.8413)
A p(X＞2)＞0.2 B p(X＞2)＜0.5 C p(X＞2)＞0.5 D p(X＞2)＜0.8
【解析】
【考點】①隨機變量正態(tài)分布定義與性質(zhì)；②隨機變量正態(tài)分布圖像及運用。
【解題思路】根據(jù)隨機變量正態(tài)分布的性質(zhì)，運用隨機變量正態(tài)分布的圖像，結(jié)合問題條件求出p（X>2）的值就可得出選項。
【詳細解答】該種植區(qū)以往的某收入服從正態(tài)分布N（1.8，），u=1.8，=0，1， p(Z＜u+)0.8413， p(Z＞u+)=1- p(Z＜u+)1-0.84130.1587，p(X＞2)= p(Z＞u+2)＜p(Z＞u+)0.1587，B正確；推動出口后的某收入Y服從正態(tài)分布N（2.1，0。01），u=2.1，=0，1， p(Z＜u+)0.8413， p(X＞2)= p(Z＞u-)= p(Z＜u+)0.8413，C正確，綜上所述，B，C正確，選B，C。
2、隨機變量X服從正態(tài)分布N（2，），若p（22.5）= （2022全國高考新高考II卷）
【解析】
【考點】①隨機變量正態(tài)分布定義與性質(zhì)；②隨機變量正態(tài)分布圖像及運用。
【解題思路】根據(jù)隨機變量正態(tài)分布的性質(zhì)，運用隨機變量正態(tài)分布的圖像，結(jié)合問題條件就可求出p（X>2.5）的值。
【詳細解答】隨機變量X服從正態(tài)分布N（2，），p（22.5）=0.5- p（2『思考問題6』
（1）【典例6】是與正太分布相關(guān)的問題，解答這類問題需要理解正太曲線，正太分布的定義，了解正太曲線的性質(zhì)，掌握正太分布下概率計算的基本方法；
（2）正太曲線的主要性質(zhì)是：①曲線在x軸的上方，且與x軸不相交；②正態(tài)曲線的圖像關(guān)于直線x=u對稱；③曲線在x=u時達到高峰值，由這一點向左，右兩邊延伸時，曲線逐漸降低；
（3）正太變量在（-∞，+∞）內(nèi)取值的概率是1，對于固定的u，來說，隨機變量在（u-，u+）上的取值的概率隨著的減小而增大，即越小，隨機變量X取值落在（u-，u+）的概率越大。
［練習6］解答下列問題：
1、某物理量的測量結(jié)果服從正太分布N（10，），下列結(jié)論中不正確的是（ ）（2021全國高考新高考II）（答案：D）
A 越小，該物理量在一次測量中在（9.9,10.1）的概率越大 B 越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5 C 越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等 D 越小，該物理量在一次測量中落在（9.9,10.2）與落在（10,10.3）的概率相等

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