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高考試題中直線和圓5分小題問題的類型與解法
直線和圓的問題是近幾年高考的熱點內容之一，可以這樣毫不夸張地說，只要是高考（或高三診斷考試）試卷，就必然會涉及到直線和圓的問題。從題型看，為選擇題（或填空題），但有時也可能參透到圓錐曲線的大題之中，這里主要探導直線和圓的5分小題問題；難度系數為低（或中）檔。縱觀近幾年高考（或高三診斷考試）試卷，歸結起來直線和圓的5分小題問題主要包括：①直線的傾斜角（或斜率）；②求直線的方程；③兩條直線位置關系及運用；④求圓的方程；⑤直線（或圓）的最值問題；⑥圓標準方程與一般方程之間的關系及運用；⑦直線與圓和圓與圓的位置關系及運用等幾種類型。各種類型問題結構上具有某些特征，解答方法也有一定的規律可尋。那么在具體解答直線和圓的5分小題問題時，到底應該如何抓住問題的結構特征，快捷，準確地解答問題呢？下面通過近幾年高考（或高三診斷考試）試題的詳細解析來回答這個問題。
【典例1】解答下列問題：
1、已知直線l經過拋物線=4x的焦點，且與拋物線相交于P，Q兩點，若點（-1，1）在以PQ為直徑的圓上，則直線l的方程為 （成都市高2021級高三零診理）
2、（理）已知M+-2x-2y-2=0，直線l：2x+y+2=0，P為l上的動點，過P作M的切線PA，PB，且切點分別為A，B，當|PM|.|AB|最小時，直線AB的方程為（ ）
A 2x-y-1=0 B 2x+y-1=0 C 2x-y+1=0 D 2x+y+1=0
（文）已知圓+-6x=0，過點（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為（ ）（2020全國高考新課標I）
A 1 B 2 C 3 D 4
『思考問題1』
（1）【典例1】是與直線方程相關的問題，解答這類問題需要理解直線方程的定義，掌握直線方程常見的幾種形式；
（2）求直線方程的常用方法有：①直接法；②間接法；
（3）直接法是根據題給條件，選擇恰當的直線方程形式，依據相應直線方程形式求出直線的方程；
（4）間接法是根據直線在題給條件中所具有的某些性質，先設出方程（含參數或待定系數），再由題給條件求出參數或待定系數，然后求出直線的方程；
（5）常見的直線系方程有：①過定點P(，)的直線系方程：A（x-）+B(y-)=0
(+0)或y-=k(x-)和x=；②平行已知直線：Ax+By+C=0的直線系方程：Ax+By+=0（C）；③垂直已知直線：Ax+By+C=0的直線系方程：Bx-Ay+=0（C）；
④過已知直線：x+y+=0與x+y+=0的交點的直線系方程：x+y++（x+y+）=0（不包括直線x+y+=0）。
［練習1］解答下列問題：
1、若直線l與曲線y=和圓+=相切，則l的方程為（ ）（2020全國高考新課標III）
A y=2x+1 B y=2x+ C y=x+1 D y=x+
【典例2】解答下列問題：
1、已知直線：x+y+m=0，：x+y=0，則“//”是“m=1”的（ ）（成都市2019級高三零診）
A 充分不必要條件 B 必要不充分條件， C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件
『思考問題2』
（1）【典例2】是兩條直線位置關系及運用的問題，解答這類問題需要理解并掌握判斷兩條直線位置關系的充分必要條件；
（2）【典例2】兩條直線位置關系及運用問題主要包括：①已知兩條直線方程，判斷兩條直線的位置關系；②已知兩條直線的位置關系，求直線方程中參數的值（或取值范圍）；
（3）判斷兩條直線位置關系的基本方法是：①直接判斷法；②間接判斷法；
（4）直接判斷法是運用判斷兩條直線位置關系的充分必要條件：設直線：x+y+=0； ：x+y+=0。∥=且≠；與重合=且=；
.=-1；
（5）間接判斷法分兩步進行：①判斷兩直線的斜率是否存在；②運用判斷兩條直線位置關系的充分必要條件得出結果。若兩條直線的斜率都存在，則把兩條直線的方程都化為斜截式，再看它們的斜率是否相等，截距是否相等（或兩條直線斜率的乘積是否為-1）；若兩條直線的斜率都不存在，只需判斷在X軸上的截距是否相等；若兩條直線中的一條直線斜率不存在，則只需判斷另一條直線的斜率是否為0就可以了；
（6）到的夾角計算公式中 ，的位置是固定的，這里 ，分別是兩條直線和的斜率；
（7）與的夾角計算公式中 ，的位置是不固定的，這里 、分別是兩條直線和的斜率；
（8）在上面的公式中，當1+=0，即：=-1時，顯然公式已經沒有意義了，這時與的夾角為。
（9）一般式的直線方程若系數中含有參數，在判定直線的位置關系時，需分兩種情況來考慮：①直線的斜率存在；②直線的斜率不存在；
（10）若直線方程是：：y=x+，：y=x+，則應該注意①∥，②⊥，③與重合，④與斜交的充分必要條件。
【典例3】解答下列問題：
1、設點M在直線2x+y-1=0上，點（3，0）和（0，1）均在M上，則M的方程為
（2022全國高考甲卷文）
2、過四點（0，0），（4，0），（-1，1），（4，2）中的三個點的一個圓的方程為 （2022全國高考乙卷）
『思考問題3』
（1）【典例3】是求圓的方程的問題，解決這類問題的基本原則是：①如果從條件中容易求出圓心坐標和半徑或需要用圓心坐標列方程，則選用圓的標準方程；②如果條件與圓心坐標和半徑沒有直接關系，則選用圓的一般方程；
（2）求圓的方程常用的方法是：①定義法；②待定系數法；
（3）當已知圓的圓心坐標求圓的標準方程一般采用定義法，這時只需根據問題條件求出圓的半徑，就可得到圓的方程；
（4）當圓心坐標，圓的半徑都沒有給出，求圓的標準方程一般采用待定系數法，這時需要根據問題條件求出圓心坐標和圓的半徑，就可得到圓的方程；
（5）待定系數法求圓方程的基本方法是：①根據問題條件選擇圓的標準方程或圓的一般方程；
②列出關于待定系數的方程（或方程組）；③ 求解方程（或方程組）求出待定的系數；
④ 把求出的系數代入假設式得到圓的方程；
（6）求圓的方程時常用的有關圓的幾何性質：①圓心在過切點且與切線垂直的直線上；②圓心在圓任一弦的垂直平分線上；③兩圓內切或外切時，切點與兩圓圓心三點在同一直線上；④圓心到弦的距離，圓的半徑，弦長的一半構成一個直角三角形。
【典例4】解答下列問題：
1、 已知a，b，c成等差數列，直線ax+by+c=0與圓C：++4y+1=0相交于A，B兩點，
則|AB|的最小值為（ ）（2024全國高考甲卷）
A 2 B 3 C 4 D 2
2、已知P是拋物線C：=4y+20上任意一點，若過點P作圓O：+=4的兩條切線，切點分別為A，B，則劣弧AB長度的最小值為（ ）（成都市高2021級高三二診）
A B C D
3、已知實數x，y滿足-4x-2y-4=0，則x-y的最大值是（ ）（2023全國高考乙卷文）
A B 4 C 1+3 D 7
4、若直線：x+my-2=0，與：mx- y+2=0（mR）相交于點P，過點P作圓C：+
=1的切線，切點為M，則|PM|的最大值為 （成都市高2020級高三二診）
5、 （理）在平面直角坐標系xOy中，射線OT與直線l：x=9，圓O：+=9分別相交于
A，B兩點，若線段OB上存在點M（m，n）（不含端點），使得對于圓O上任意一點P都滿
足=，則mn的最大值為 。
（文）已知A（9,3），M（m，n）,是圓O：+=9內一點，對圓O上任意一點P都有為定值，則mn的值為 （成都市高2020級高三三珍）
6、已知點P在圓+=16上，點A（4，0），B（0，2），則（ ）（2021全國高考新高考I）
A 點P到直線AB的距離小于10 B 點P到直線AB的距離大于2
C 當PBA最小時，|PB|=3 D 當PBA最大時，|PB|=3
『思考問題4』
（1）【典例4】是求與圓相關的最值問題，解答這類問題需要掌握函數（或三角函數）求最值的基本方法；
（2）求與圓相關的最值問題一般是借助圖形的性質，運用數學結合的數學方法求解；
（3）常見與圓相關的最值問題有：①求u=形式的最值，這類問題可轉化為求動直線斜率的最值；②求t=ax+by形式的最值，這類問題可轉化為動直線截距的最值；③求+形式的最值，這類問題可轉化為動點到定點的距離的的最值。
［練習4］解答下列問題：
1、（理）已知等邊ABC的三個頂點均在圓+=4上，點P（，），則.
+.的最小值為（ ）
A 14 B 10 C 8 D 2
（文）已知A，B是圓+=4上的兩個動點，且滿足|AB|=2，點P（，），則.
的最小值為（ ）（成都市2021高三三診）
A B C 1 D 7-2
2、點（0，1）到直線y=k(x+1)距離的最大值為（ ）（2020全國高考新課標III）
A 1 B C D 2
【典例5】解答下列問題：
1、 已知曲線C：+=16（y＞0），從C上任意一點P向x軸作垂線段P，為垂足，
則線段P的中點M的軌跡方程為（ ）（2024全國高考新高考II）
A +=1（y＞0）B + =1（y＞0）C+ =1（y＞0）D +=1（y＞0）
2、 拋物線C：=4x的準線為l，P為C上的動點，過P作圓A：+=1的一條切
線，Q為切點，過P作l的垂線，垂足為B，則（ ）（2024全國高考新高考II）
A l與圓A相切 B 當P，A，B三點共線時，|PQ|=
C 當|PB|=2時，PA⊥AB D 滿足|PA|=|PB|的點P有且僅有2個
3、已知圓C：+-4y-4=0經過橢圓：+=1（a＞b＞0）的兩個焦點，，圓C和橢圓在第二象限的交點為N，.=16-24，則橢圓的離心率為（ ）（成都市高2021級高三一診）
A B C D
4、已知直線l：x-ay+1=0與C：+=1相交于A，B兩點，若ABC是直角三角形，則實數a的值為（ ）（成都市高2021級公式三診）
A 1或- 1 B 或- C -或- 1 D -或-
5、（理）已知直線l：mx+y+1-2m=0(（mR ）和圓C：+-2x+4y+1=0，則“m=0”是“圓C上恰有三個不同點到直線l的距離為1”的（ ）
A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件
（文）已知直線l：mx+y-m=0(（mR ）和圓C：+-2x+4y+1=0，則“m=0”是“直線
l與圓C相切”的（ ）（成都市高2021級高三零診）
A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件
6、已知O的半徑為1，直線PA于O相切于點A，直線PB與O相交于B，C兩點，D為BC的中點，若|PO|=，則.的最大值為（ ）（2023全國高考乙卷理）
A B C 1+ D 2+
8、若雙曲線-=1（m>0）的漸近線與圓+-4y+3=0相切，則m= （2022全國高考甲卷理）
8、已知點A（-2，3），B（0，a），若直線AB關于y=a的對稱直線與圓+=1存在公共點，則實數a的取值范圍為 （2022全國高考新高考II卷）
『思考問題5』
（1）【典例5】是點與圓，直線與圓和圓與圓的位置關系相關的問題，解決這類問題需要理解點與圓，直線與圓和圓與圓的位置關系的定義，掌握判斷點與圓，直線與圓和圓與圓的位置關系的基本方法；根據直線與圓的三種位置關系的特征判斷其屬于哪一種位置關系；
（2）判斷點與圓，直線與圓和圓與圓的位置關系主要有兩種方法：①代數法；②幾何法；
（3）在實際解決問題時，到底選用哪種方法，應該根據題給條件來確定：①如果圓心坐標容易求出，則首先考慮幾何判斷法；②如果圓心坐標不容易求出，則首先考慮代數判斷法。
［練習5］解答下列問題：
1、寫出與圓+=1和+=16都相切的一條直線方程 （2022
全國高考新高考I卷）
2、已知M為圓+=2上的動點，則點M到直線x-y+3=0的距離的最大值是（ ）（成都市2019級高三零診）
A B 2 C 3 D 4
3、如圖，經過坐標原點O且互相垂直的兩條直線AC和BD與圓：+-4x+2y-20=0相交于A，B，C，D四點，M為弦AB的中點，有下列結論：①弦AC長度的最小值為4；②線段BD長度的最大值為10-；③點M的軌跡是一個圓；④四邊形ABCD面積的取值范圍為[20，45]。其中所有正確結論的序號為 （成都市2019級高三三珍）
4、已知直線l：ax+by-=0與圓C：+=，點A（a，b），則下列說法正確的是（ ）（2021全國高考新高考II）
A 若點A在圓C上，則直線l與圓C相切 B 若點A在圓C內，則直線l與圓C相離
C若點A在圓C外，則直線l與圓C相離 D 若點A在直線l上，則直線l與圓C相切
5、“k= ”是“直線y=kx+2與圓+=1相切”的（ ）（成都市2021高三零診）
A 充分而不必要條件 B 必要而不充分條件 C 充要條件 D 既不充分也不必要條件
6、若過點（2，1）的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線2x-y-3=0的距離為（ ）（2020全國高考新課標II）
A B C D
直線和圓5分小題問題的類型與解法
直線和圓的問題是近幾年高考的熱點內容之一，可以這樣毫不夸張地說，只要是高考（或高三診斷考試）試卷，就必然會涉及到直線和圓的問題。從題型看，為選擇題（或填空題），但有時也可能參透到圓錐曲線的大題之中，這里主要探導直線和圓的5分小題問題；難度系數為低（或中）檔。縱觀近幾年高考（或高三診斷考試）試卷，歸結起來直線和圓的5分小題問題主要包括：①直線的傾斜角（或斜率）；②求直線的方程；③兩條直線位置關系及運用；④求圓的方程；⑤直線（或圓）的最值問題；⑥圓標準方程與一般方程之間的關系及運用；⑦直線與圓和圓與圓的位置關系及運用等幾種類型。各種類型問題結構上具有某些特征，解答方法也有一定的規律可尋。那么在具體解答直線和圓的5分小題問題時，到底應該如何抓住問題的結構特征，快捷，準確地解答問題呢？下面通過近幾年高考（或高三診斷考試）試題的詳細解析來回答這個問題。
【典例1】解答下列問題：
1、已知直線l經過拋物線=4x的焦點，且與拋物線相交于P，Q兩點，若點（-1，1）在以PQ為直徑的圓上，則直線l的方程為 （成都市高2021級高三零診理）
【解析】
【考點】①拋物線定義與性質；②圓定義與性質；③弦長公式及運用；④線段中點坐標定義與性質；⑤圓方程的基本方法。
【解題思路】根據拋物線，圓和線段中點坐標的性質，運用弦長公式和求圓方程的基本方法，結合問題條件得到以PQ為直徑的圓的方程，由點（-1，1）在圓上得到關于m的等式，從而求出m的值就可求出直線l的方程。
【詳細解答】設P（，），Q（，），拋物線=4x的焦點為F（1，0），直線l經過點F，直線l的方程為x=my+1，聯立直線l和拋物線方程得：-4my-4=0，+=4m，.=-4，+=m（+）+2=-4+2。線段PQ的中點坐標為（-2+1，-2m），|PQ|=4=4（1+），以|PQ|為直徑的圓的方程為+=4，點（-1，1）在圓上，4+
= 4，12-4m-1=0，m=或m=-，當m=-時，以|PQ|為直徑的圓不過點（-1，1），m=，直線l的方程為2x-y-2=0。
2、（理）已知M+-2x-2y-2=0，直線l：2x+y+2=0，P為l上的動點，過P作M的切線PA，PB，且切點分別為A，B，當|PM|.|AB|最小時，直線AB的方程為（ ）
A 2x-y-1=0 B 2x+y-1=0 C 2x-y+1=0 D 2x+y+1=0
（文）已知圓+-6x=0，過點（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為（ ）（2020全國高考新課標I）
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【考點】①圓定義與性質；②直線與圓位置關系定義與性質；③判斷直線與圓位置關系的基本方法；④點到直線距離公式及運用；⑤求函數最值的基本方法；⑥直線方程定義與性質；⑦求直線方程的基本方法。
【解題思路】（理）根據圓一般方程化標準方程的基本方法，把圓的方程化為標準方程，從而得到點M的坐標，運用直線與圓位置關系的性質和判斷直線與圓位置關系的基本方法得到PMAB，從而得到|PM|.|AB|關于x的表示式，利用求函數最值的基本方法求出當|PM|.|AB|最小時，求出點P的坐標，從而得到以點P為圓心，|PA|為半徑的圓的方程，由直線AB是圓P與圓M的公共弦求出直線AB的方程就可得出選項。（文）根據圓一般方程化標準方程的基本方法，把圓的方程化為標準方程，從而得到圓心坐標和圓的半徑，由題意可知，當且僅當過點（1，2）的直線與過點（1，2）的直徑垂直時，直線被該圓所截得的弦的長度的最小，求出此時的弦長就可得出選項。
【詳細解答】（理）如圖，設A（，），P（， y A
-2-2），+-2x-2y-2=0，+ P
=4，M（1，1），|AM|=|BM|=2，過P作M的切 0 B x
線PA，PB，且切點分別為A，B，PMAB，|PM|.|AB|=4=2|PA|.|AM|=4|PA|，|PM|.
|AB|最小時，只需|PA|最小時，當且僅當PM垂直于直線l時，即|PM|==，|PA|===1為最小，過點M垂直于直線l的直線方程為x-2y+1=0，聯立直線l和直線PM得：x=-1，y=0，P（-1，0），以點P為圓心，|PA|為半徑的圓的方程為：+=1，直線AB是圓P與圓M的公共弦，直線AB的方程為：+
-1-(+-2x-2y-2)=4x+2y+2=0，即2x+y+1=0，D正確，選D。（文）+-6x=0，
+=9，圓心為（3，0），半徑為3，當且僅當過點（1，2）的直線與過點（1，2）的直徑垂直時，直線被該圓所截得的弦的長度的最小，過點（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為2=21=2，B正確，選B。
『思考問題1』
（1）【典例1】是與直線方程相關的問題，解答這類問題需要理解直線方程的定義，掌握直線方程常見的幾種形式；
（2）求直線方程的常用方法有：①直接法；②間接法；
（3）直接法是根據題給條件，選擇恰當的直線方程形式，依據相應直線方程形式求出直線的方程；
（4）間接法是根據直線在題給條件中所具有的某些性質，先設出方程（含參數或待定系數），再由題給條件求出參數或待定系數，然后求出直線的方程；
（5）常見的直線系方程有：①過定點P(，)的直線系方程：A（x-）+B(y-)=0
(+0)或y-=k(x-)和x=；②平行已知直線：Ax+By+C=0的直線系方程：Ax+By+=0（C）；③垂直已知直線：Ax+By+C=0的直線系方程：Bx-Ay+=0（C）；
④過已知直線：x+y+=0與x+y+=0的交點的直線系方程：x+y++（x+y+）=0（不包括直線x+y+=0）。
［練習1］解答下列問題：
1、若直線l與曲線y=和圓+=相切，則l的方程為（ ）（2020全國高考新課標III）（答案：D）
A y=2x+1 B y=2x+ C y=x+1 D y=x+
【典例2】解答下列問題：
1、已知直線：x+y+m=0，：x+y=0，則“//”是“m=1”的（ ）（成都市2019級高三零診）
A 充分不必要條件 B 必要不充分條件， C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件
【解析】
【考點】①充分條件，必要條件，充分必要條件定義與性質；②判斷充分條件，必要條件，充分必要條件的基本方法；③兩條直線平行的充分必要條件及運用。
【解題思路】根據充分條件，必要條件，充分必要條件的性質和兩條直線平行的充分必要條件，運用跑道充分條件，必要條件，充分必要條件的基本方法，結合問題條件得到“//” 是“m=1”的結果就可得出選項。
【詳細解答】當//時，有=1，且m0，m=1或m=-1，“//”不是“m=1”的充分條件，當m=1時，：x+y+1=0，：x+y=0，//，“//”是“m=1”的必要條件，“//”是“m=1”的必要不充分條件，B正確，選B。
『思考問題2』
（1）【典例2】是兩條直線位置關系及運用的問題，解答這類問題需要理解并掌握判斷兩條直線位置關系的充分必要條件；
（2）【典例2】兩條直線位置關系及運用問題主要包括：①已知兩條直線方程，判斷兩條直線的位置關系；②已知兩條直線的位置關系，求直線方程中參數的值（或取值范圍）；
（3）判斷兩條直線位置關系的基本方法是：①直接判斷法；②間接判斷法；
（4）直接判斷法是運用判斷兩條直線位置關系的充分必要條件：設直線：x+y+=0； ：x+y+=0。∥=且≠；與重合=且=；.=-1；
（5）間接判斷法分兩步進行：①判斷兩直線的斜率是否存在；②運用判斷兩條直線位置關系的充分必要條件得出結果。若兩條直線的斜率都存在，則把兩條直線的方程都化為斜截式，再看它們的斜率是否相等，截距是否相等（或兩條直線斜率的乘積是否為-1）；若兩條直線的斜率都不存在，只需判斷在X軸上的截距是否相等；若兩條直線中的一條直線斜率不存在，則只需判斷另一條直線的斜率是否為0就可以了；
（6）到的夾角計算公式中 ，的位置是固定的，這里 ，分別是兩條直線和的斜率；
（7）與的夾角計算公式中 ，的位置是不固定的，這里 、分別是兩條直線和的斜率；
（8）在上面的公式中，當1+=0，即：=-1時，顯然公式已經沒有意義了，這時與的夾角為。
（9）一般式的直線方程若系數中含有參數，在判定直線的位置關系時，需分兩種情況來考慮：①直線的斜率存在；②直線的斜率不存在；
（10）若直線方程是：：y=x+，：y=x+，則應該注意①∥，②⊥，③與重合，④與斜交的充分必要條件。
【典例3】解答下列問題：
1、設點M在直線2x+y-1=0上，點（3，0）和（0，1）均在M上，則M的方程為 （2022全國高考甲卷文）
【解析】
【考點】①圓定義與性質；②求圓標準方程的基本方法。
【解答思路】根據圓的性質，運用求圓標準方程的基本方法，結合問題條件求出點M的坐標和M的半徑，就可求出M的標準方程。
【詳細解答】由題意設點M（t，1-2t），點（3，0）和（0，1）均在M上， = + = + ， t=1，點M（1，-1），=5，即M的方程為：
+=5。
2、過四點（0，0），（4，0），（-1，1），（4，2）中的三個點的一個圓的方程為 （2022全國高考乙卷）
【解析】
【考點】①圓定義與性質；②求圓標準方程的基本方法。
【解答思路】根據圓的性質，運用求圓標準方程的基本方法，結合問題條件分別求出過四點（0，0），（4，0），（-1，1），（4，2）中的三個點的圓的方程。
【詳細解答】設過點（0，0），（4，0），（-1，1）的圓的方程為+=，
點（0，0），（4，0），（-1，1）在圓上，+=①，16-8a++=②，1+2a++1-2b+=③，聯立①②③解得：a=2，b=3，=13，過點（0，0），（4，0），（-1，1）的圓的方程為+=13；同理可得過點（0，0），（4，0），（4，2）的圓的方程為+ =5，過點（0，0），（-1，1），（4，2）的圓的方程為+ = ，過點（4，0），（-1，1），（4，2）的圓的方程為+ = ，過四點（0，0），（4，0），（-1，1），（4，2）中的三個點的一個圓的方程分別為：+=13，
+ =5，+ = ，+ = 。
『思考問題3』
（1）【典例3】是求圓的方程的問題，解決這類問題的基本原則是：①如果從條件中容易求出圓心坐標和半徑或需要用圓心坐標列方程，則選用圓的標準方程；②如果條件與圓心坐標和半徑沒有直接關系，則選用圓的一般方程；
（2）求圓的方程常用的方法是：①定義法；②待定系數法；
（3）當已知圓的圓心坐標求圓的標準方程一般采用定義法，這時只需根據問題條件求出圓的半徑，就可得到圓的方程；
（4）當圓心坐標，圓的半徑都沒有給出，求圓的標準方程一般采用待定系數法，這時需要根據問題條件求出圓心坐標和圓的半徑，就可得到圓的方程；
（5）待定系數法求圓方程的基本方法是：①根據問題條件選擇圓的標準方程或圓的一般方程；
②列出關于待定系數的方程（或方程組）；③ 求解方程（或方程組）求出待定的系數；
④ 把求出的系數代入假設式得到圓的方程；
（6）求圓的方程時常用的有關圓的幾何性質：①圓心在過切點且與切線垂直的直線上；②圓心在圓任一弦的垂直平分線上；③兩圓內切或外切時，切點與兩圓圓心三點在同一直線上；④圓心到弦的距離，圓的半徑，弦長的一半構成一個直角三角形。
【典例4】解答下列問題：
1、 已知a，b，c成等差數列，直線ax+by+c=0與圓C：++4y-1=0相交于A，B兩點，
則|AB|的最小值為（ ）（2024全國高考甲卷）
A 2 B 3 C 4 D 2
【解析】
【知識點】①圓定義與性質；②等差中項定義與性質； ③圓心到弦的距離，弦長和圓半徑構成的直角三角形及運用。
【解題思路】根據圓和一元二次方程的性質，結合問題條件得到關于x的一元二次方程，運用一元二次方程根的判別式，得到關于x-y的不等式，求解不等式求出x-y的最大值就可得出選項。
【詳細解答】 a，b，c成等差數列，a-2b+c=0，直線ax+by+c=0過定點P（1，-2），當x=1，y=-2時，++4y+1=1+4-8+1=-2＜0，定點P（1，-2）在圓C內，圓C：++4y-1=0，+=5，當且僅當直線垂直于過點（1，-2）的直徑時，|PC|
==1，|AB|=2=4為最小值，|AB|的最小值為4， C正確，選C。
2、已知P是拋物線C：=4y+20上任意一點，若過點P作圓O：+=4的兩條切線，切點分別為A，B，則劣弧AB長度的最小值為（ ）（成都市高2021級高三二診）
A B C D
【解析】
【考點】①拋物線定義與性質；②圓定義與性質；③圓切線長定理及運用。
【解題思路】根據拋物線和圓的性質，運用圓的切線長定理，結合問題條件得到|AB|關于的表示式，求出|AB|最小值，從而求出劣弧AB的最小值就可得出選項。
【詳細解答】設P（，-5），|PO|==，|AO|=2，|PA|
==，=，|AB|=
==4，當且僅當=12，即=2時，|AB|=2為最小值，cosAOB==，AOB=，劣弧AB長度的最小值為，D正確，選D。
3、已知實數x，y滿足-4x-2y-4=0，則x-y的最大值是（ ）（2023全國高考乙卷文）
A B 4 C 1+3 D 7
【解析】
【知識點】①圓定義與性質；②一元二次方程定義與性質； ③一元二次方程根判別式及運用。
【解題思路】根據圓和一元二次方程的性質，結合問題條件得到關于x的一元二次方程，運用一元二次方程根的判別式，得到關于x-y的不等式，求解不等式求出x-y的最大值就可得出選項。
【詳細解答】設x-y=k，則x=k+y，實數x，y滿足-4x-2y-4=0，+(k-3)y+/2-2k
-2=0，y是實數，=-6k+9-2+8k+8=-+2k+170，-2k-17≤0，1-3≤k≤1+3，及x-y的最大值為1+3， C正確，選C。
4、若直線：x+my-2=0，與：mx- y+2=0（mR）相交于點P，過點P作圓C：+
=1的切線，切點為M，則|PM|的最大值為 （成都市高2020級高三二診）
【解析】
【考點】①直線方程定義與性質；②求兩條直線交點坐標的基本方法；③圓定義與性質；④圓切線定義與性質；⑤兩點之間距離公式及運用。
【解題思路】根據直線方程的性質和求兩條直線交點的基本方法，結合問題條件得到點P關于m的坐標，運用圓與圓切線的性質和兩點之間的距離公式，得到|PM|關于m的表示式，就可求出|PM|的最大值。
【詳細解答】直線：x+my-2=0，與：mx- y+2=0（mR）相交于點P， 點P（，
），過點P作圓C：+=1的切線，切點為M，|CM|=1，|PM|==，|PM|=-1
==7+，當且僅當=0，即m=0時，|PM|取得最大值為7+24=31，此時|PM|的最大值為。
5、（理）在平面直角坐標系xOy中，射線OT與直線l：x=9，圓O：+=9分別相交于A，B兩點，若線段OB上存在點M（m，n）（不含端點），使得對于圓O上任意一點P都滿足=，則mn的最大值為 。
（文）已知A（9,3），M（m，n）,是圓O：+=9內一點，對圓O上任意一點P都有為定值，則mn的值為 （成都市高2020級高三三珍）
【解析】
【考點】①圓定義與性質；②平行線段成比例定理及運用；③函數求導公式，法則和基本方法；④運用函數導函數求函數最值的基本方法。
【解題思路】（理）根據圓的性質，運用平行線段成比例定理，結合問題條件得到關于m,射線OT斜率k的等式，從而得到mn關于k的表示式，利用函數求導公式，法則與基本方法和運用函數導函數求函數最值的基本方法，就可求出mn的最大值。（文）根據圓的性質，運用平行線段成比例定理，結合問題條件得到關于m的方程，求解方程求出m的值，從而求出n的值，就可求出mn的值。
【詳細解答】（理）如圖，設m>0，n>0，A（9，9k），點M（m，km），B（x，kx），（-x，
-kx），=，=， y A
= ，=，=， p B
-+（9-m）x+9m=+（9-m）x-9m，
x=3，B（3，3k），點B在
圓O：+=9上，9m+9m=9m(1+)=9，m(1+)=1，m=，mn
=k=，設函數f(x)=（x>0），（x）=
=，令（x）=0解得：x=，x（0，）時，（x）>0，x（，+）時，（x）<0，=f()==，即mn的最大值為。
（文）如圖，設m>0，n>0， P（3，0），連接OA，交圓O于點B，點M在線段OB上（不含端點， 點A（9，3），射線OA的方程為y=x，B（，） ， M（m，
m），（-，-） ，=， y A
=，=， P x C
為定值，=，
=，-27+（18-2m）3+36m=27+（18-2m）3-36m，m=，n=m=，mn=。
6、已知點P在圓+=16上，點A（4，0），B（0，2），則（ ）（2021全國高考新高考I）
A 點P到直線AB的距離小于10 B 點P到直線AB的距離大于2
C 當PBA最小時，|PB|=3 D 當PBA最大時，|PB|=3
【解析】
【考點】①圓定義與性質；②圓參數方程定義與性質；③已知直線上兩點的坐標，求直線方程的基本方法；④點到直線距離公式及運用；⑤求三角函數最值的基本方法；⑥余弦定理及運用；⑦基本不等式及運用。
【解題思路】根據圓和圓參數方程的性質，得到點P含參數的坐標，運用已知直線上兩點的坐標，求直線方程的基本方法，求出直線AB的方程，由點到直線的距離公式，得到點P到直線AB的距離關于參數的三角函數表示式，利用求三角函數最值的基本方法求出點P到直線AB距離的最值可以判斷A，B選項的正確與錯誤；過點B作圓的切線BC，BD，切點分別為C，D，顯然當點P與點C重合時，PBA最大，當點P與點D重合時，PBA最小，此時，|PB|=|BC|=|BD|，運用勾股定理求出|PB|的值，可以判斷C，D的正確與錯誤，就可得出正確的選項。 C P
【詳細解答】如圖，點P在圓+=16上， y
P（5+4cos，5+4sin），點A（4，0），B（0，2），直線 B D
AB的方程為x+2y-4=0，= 0 A x
=，當且僅當=1時，取得最大值為=
+4<10，當且僅當=-1時，取得最小值為=-4<2，A正確，B
錯誤；過點B作圓的切線PC，PD，切點分別為C，D，顯然當點P與點C重合時，PBA最大，當點P與點D重合時，PBA最小，由勾股定理可知，此時|PB|=|BC|=|BD|=
==3，C，D正確，綜上所述A，C，D正確，選A，C，D。
『思考問題4』
（1）【典例4】是求與圓相關的最值問題，解答這類問題需要掌握函數（或三角函數）求最值的基本方法；
（2）求與圓相關的最值問題一般是借助圖形的性質，運用數學結合的數學方法求解；
（3）常見與圓相關的最值問題有：①求u=形式的最值，這類問題可轉化為求動直線斜率的最值；②求t=ax+by形式的最值，這類問題可轉化為動直線截距的最值；③求+形式的最值，這類問題可轉化為動點到定點的距離的的最值。
［練習4］解答下列問題：
1、（理）已知等邊ABC的三個頂點均在圓+=4上，點P（，），則.
+.的最小值為（ ）（答案：C）
A 14 B 10 C 8 D 2
（文）已知A，B是圓+=4上的兩個動點，且滿足|AB|=2，點P（，），則.
的最小值為（ ）（成都市2021高三三診）（答案：C）
A B C 1 D 7-2
2、點（0，1）到直線y=k(x+1)距離的最大值為（ ）（2020全國高考新課標III）（答案：B）
A 1 B C D 2
【典例5】解答下列問題：
1、 已知曲線C：+=16（y＞0），從C上任意一點P向x軸作垂線段P，為垂足，
則線段P的中點M的軌跡方程為（ ）（2024全國高考新高考II）
A +=1（y＞0）B + =1（y＞0）C+ =1（y＞0）D +=1（y＞0）
【解析】
【知識點】①圓定義與性質；②點的軌跡方程定義與性質； ③線段中點定義與性質；④求點軌跡方程的基本方法。
【解題思路】根據圓，點的軌跡方程和線段中點的性質，運用求點軌跡方程的基本方法，結合問題條件求出線段P的中點M的軌跡方程就可得出選項。
【詳細解答】設M（x，y），M是線段P的中點，線段P垂直于x軸，為垂足，（x，0），P（x，2y），點P在曲線C：+=16（y＞0）上，+4=16（y＞0），線段P的中點M的軌跡方程為+=1（y＞0），A正確，選A。
2、拋物線C：=4x的準線為l，P為C上的動點，過P作圓A：+=1的一條切
線，Q為切點，過P作l的垂線，垂足為B，則（ ）（2024全國高考新高考II）
A l與圓A相切 B 當P，A，B三點共線時，|PQ|=
C 當|PB|=2時，PA⊥AB D 滿足|PA|=|PB|的點P有且僅有2個
【解析】
【考點】①圓定義與性質；②拋物線定義與性質；③圓的切線定義與性質；④兩點之間距離公式級運用；求橢圓離心率的基本方法。
【解答思路】根據拋物線，圓和圓的切線的性質，運用兩點之間的距離公式，結合問題條件對各選項結論正確于錯誤進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對A，拋物線C：=4x的準線為l，l的方程為x=-1，圓A的圓心（0，4）到直線l的距離為1， l與圓A相切，A正確；對B，當P，A，B三點共線時，點P的坐標為（4，4），|PA|=4，|AQ|=1，，|PQ|===，B正確；對C，當|PB|=2時，點P的坐標為（1，2）或（1，-2），對應點B的坐標為（-1，2），（-1，-2），=（-1，2），或=（-1，6），=（-1，2），或=（-1，-6），。=1+4=5，或。=1-36=-35， PA⊥AB不成立，C錯誤；對D， PA|=|PB|=|PF}（F為拋物線C的焦點），點P在線段AF的垂直平分線上，線段AF的垂直平分線的方程為：y=-4x+4，聯立直線y=-4x+4于拋物線C的方程得：4-9x+4=0，=81-64=17＞0，滿足|PA|=|PB|的點P有且僅有2個，D正確，綜上所述，A，B，D正確，選A，B，D。
3、已知圓C：+-4y-4=0經過橢圓：+=1（a＞b＞0）的兩個焦點，，圓C和橢圓在第二象限的交點為N，.=16-24，則橢圓的離心率為（ ）（成都市高2021級高三一診）
A B C D
【解析】
【考點】①橢圓定義與性質；②圓定義與性質；③平面向量數量積定義與性質；④求橢圓離心率的基本方法。
【解答思路】設N（，）（<0，>0），根據橢圓和圓的性質，結合問題條件得到焦點（-2，0），（2，0），從而得到，關于b的表示式，運用平面向量數量積的性質得到關于b的方程，求解方程求出b，a的值，利用橢圓離心率公式求出橢圓的離心率就可得出選項。 y
【詳細解答】設N（，）（<0，>0），如圖，
圓C：+-4y-4=0經過橢圓：+=1 N
（a＞b＞0）的兩個焦點，，+0-0-4=0，
（-2，0），（2，0），圓C和橢圓在第二象限的交點為N，+-44
=0①，+=1②，=（-2-，）,=（2-，）,.=16-24，+=16-20③，聯立①②③解得：=-4，=4-2，=8，a=2，
橢圓的離心率為 e===，C正確，選C。
4、已知直線l：x-ay+1=0與C：+=1相交于A，B兩點，若ABC是直角三角形，則實數a的值為（ ）（成都市高2021級公式三診）
A 1或- 1 B 或- C -或- 1 D -或-
【解析】
【考點】①圓定義與性質；②直角三角形定義與性質；③判斷直線與圓位置關系的基本方法；④設而不求，整體代入數學思想及運用。
【解題思路】根據圓和直角三角形的性質，運用設而不求，整體代入數學思想和判斷直線與圓位置關系的基本方法，結合問題條件得到關于a的方程，求解方程求出a的值就可得出選項。
【詳細解答】如圖，設A（，），B（，）， y B
聯立直線l與C的方程得：（1+）- 2（+ A
a+1）y+=0，+=， 0 x
=，+=a（+）-2=，=-a（+）+1=，直線l：x-ay+1=0與C：+=1相交于A，B兩點，
ABC是直角三角形，=（-a，-1），=（-a，-1），=（-a）（-a）+（-1）（-1）=-a（+）++-（+）+1=-a（+）+1-（+）+2a++-（+）+1=（1+）-（+a+1）（+）++2a+2==0，（1-a）(+2a+1)=0，a=1，或a=-1，A正確，選
A。
5、（理）已知直線l：mx+y+1-2m=0(（mR ）和圓C：+-2x+4y+1=0，則“m=0”是“圓C上恰有三個不同點到直線l的距離為1”的（ ）
A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件
（文）已知直線l：mx+y-m=0(（mR ）和圓C：+-2x+4y+1=0，則“m=0”是“直線
l與圓C相切”的（ ）（成都市高2021級高三零診）
A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件
【解析】
【考點】①圓定義與性質；②判斷直線與圓位置關系的基本方法；③充分條件，必要條件各充分必要條件定義與性質；④判斷充分條件，必要條件和充分必要條件的基本方法。
【解題思路】（理）根據圓，充分條件，必要條件和充分必要條件的性質，運用判斷直線與圓位置關系，充分條件，必要條件和充分必要條件的基本方法，結合問題條件對“m=0”是“圓C上恰有三個不同點到直線l的距離為1”的充分性，必要性進行判斷，就可得出選項。
（文）根據圓，充分條件，必要條件和充分必要條件的性質，運用判斷直線與圓位置關系，充分條件，必要條件和充分必要條件的基本方法，結合問題條件對“m=0”是“圓C上恰有三個不同點到直線l的距離為1”的充分性，必要性進行判斷，就可得出選項。
【詳細解答】（理）當m=0時，如圖，直線l：y+1=0， y
圓C：+=4，由圖知，此時，圓C上 0 1 x
有三個點到直線l的距離為1，則“m=0”是“圓 -1
C上恰有三個不同點到直線l的距離為1”的充分條件， -2
當圓C上恰有三個不同點到直線l的距離為1時，此時
直線l的方程只能是y+1=0,m =0，“m=0”是“圓C
上恰有三個不同點到直線l的距離為1”的必要條件， 綜上所述，“m=0”是“圓C上恰有三個不同點到直線l的距離為1”的充分必要條件，C正確，選C。
（文）【詳細解答】當m=0時，如圖，直線l：y=0， y
圓C：+=4，由圖知，此時，直線 0 1 x
l圓C相切，則“m=0”是“直線l與C圓 相切
”的充分條件， 當直線l與圓C相切時，由圖知直線
與x軸重合，此時直線l的方程只能是y=0,m =0，
“m=0”是“直線l與圓C相切”的必要條件，
綜上所述，“m=0”是“直線l與圓C相切”的充分必要條件，C正確，選C。
6、已知O的半徑為1，直線PA于O相切于點A，直線PB與O相交于B，C兩點，D為BC的中點，若|PO|=，則.的最大值為（ ）（2023全國高考乙卷理）
A B C 1+ D 2+
【解析】
【知識點】①圓定義與性質；②直角三角形定義與性質； ③平面向量數量積等腰與性質；④求三角函數最值的基本方法。
【解題思路】根據圓，直角三角形和平面向量數量積的性質，結合問題條件得到.的三角函數表示式，運用求三角函數最值的基本方法，求出.的最大值就可得出選項。
【詳細解答】如圖，連接PO，OA，設BPO=（0≤≤），|OA|=1，|PO|=，直線PA于O相切于點A，|PA|= =1，|PD|=cos，APO=AOP=，①當點A，D位于PO的異側時，.=|PA||PD|cos(+)=cos（cos- sin）= cos- cossin=- sin2+ cos+=- sin(2-)+，當且僅當2-=-，即=0時，.=-（-）+=+=1為最大值；
②當點A，D位于PO的同側時，.=|PA||PD|cos(-)=cos（cos
+sin）= cos+cossin= sin2+ cos+=sin(2+)+，當且僅當2+=，即=/8時，.=-1+=+為最大值，+
＞1，.的最大值為+， A正確，選A。
7、若雙曲線-=1（m>0）的漸近線與圓+-4y+3=0相切，則m= （2022全國高考甲卷理）
【解析】
【考點】①雙曲線定義與性質；②圓定義與性質；③判斷直線與圓相切的基本方法。
【解答思路】根據雙曲線和圓的性質，運用判斷直線與圓相切的基本方法，結合問題條件得到關于m的方程，求解方程就可求出m的值。
【詳細解答】圓+-4y+3=0，+=1，雙曲線-=1的漸近線方程為：
y=x，雙曲線-=1（m>0）的漸近線與圓+-4y+3=0相切，d= =1，
+1=4，m=，m>0， m=。
8、寫出與圓+=1和+=16都相切的一條直線方程 （2022全國高考新高考I卷）
【解析】
【考點】①圓定義與性質；②兩圓相切定義與性質；③圓的切線定理及運用。
【解答思路】根據圓和兩圓相切的性質，得到圓+=1和+=16外切，運用圓的切線定理，結合問題條件就可求出與圓+=1和+=16都相切的一條直線方程。
【詳細解答】如圖，|O|==5=1+4，圓+=1和+=16外切，
直線x=-1與圓+=1和+ y
=16都相切，O（0，0），（3，4），直線O
的方程為y= x，聯立直線x=-1和直線y= x
的方程解得：x=-1，y= -，直線x=-1和直線 0 x
y= x的交點為M（-1，-），過點M且與圓+=1和+=16都相切
的直線方程為x=my+m-1，===1，7-24m=7m(m-)
=0，m=0或m=，m0， m=，過點M且與圓+=1和
+=16都相切的直線方程為y=x-，聯立圓+=1和+=16的方程解得：x=，y=，圓+=1和+=16外切于點N（，），
過點N與圓+=1和+=16都相切的直線方程為x=my+ ，
===1，9+24m+16==0，m=-，過點N
與圓+=1和+=16都相切的直線方程為y=-x+，綜上所述，與圓+=1和+=16都相切的一條直線方程分別是x=-1，y=x-，y=-
x+。
『思考問題5』
（1）【典例5】是點與圓，直線與圓和圓與圓的位置關系相關的問題，解決這類問題需要理解點與圓，直線與圓和圓與圓的位置關系的定義，掌握判斷點與圓，直線與圓和圓與圓的位置關系的基本方法；根據直線與圓的三種位置關系的特征判斷其屬于哪一種位置關系；
（2）判斷點與圓，直線與圓和圓與圓的位置關系主要有兩種方法：①代數法；②幾何法；
（3）在實際解決問題時，到底選用哪種方法，應該根據題給條件來確定：①如果圓心坐標容易求出，則首先考慮幾何判斷法；②如果圓心坐標不容易求出，則首先考慮代數判斷法。
［練習5］解答下列問題：
1、寫出與圓+=1和+=16都相切的一條直線方程 （2022
全國高考新高考I卷）（答案：實數a的取值范圍為[，]。）
2、已知M為圓+=2上的動點，則點M到直線x-y+3=0的距離的最大值是（ ）（成都市2019級高三零診）（答案：C）
A B 2 C 3 D 4
3、如圖，經過坐標原點O且互相垂直的兩條直線AC和BD與圓：+-4x+2y-20=0相交于A，B，C，D四點，M為弦AB的中點，有下列結論：①弦AC長度的最小值為4；②線段BD長度的最大值為10-；③點M的軌跡是一個圓；④四邊形ABCD面積的取值范圍為[20，45]。其中所有正確結論的序號為 （成都市2019級高三三珍）（答案：其中所有正確結論的序號為①③④。）
4、已知直線l：ax+by-=0與圓C：+=，點A（a，b），則下列說法正確的是（ ）（2021全國高考新高考II）（答案：A，B，D）
A 若點A在圓C上，則直線l與圓C相切 B 若點A在圓C內，則直線l與圓C相離
C若點A在圓C外，則直線l與圓C相離 D 若點A在直線l上，則直線l與圓C相切
5、“k= ”是“直線y=kx+2與圓+=1相切”的（ ）（成都市2021高三零診）（答案：A）
A 充分而不必要條件 B 必要而不充分條件 C 充要條件 D 既不充分也不必要條件
6、若過點（2，1）的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線2x-y-3=0的距離為（ ）（2020全國高考新課標II）（答案：B）
A B C D
M
M
O
M
O
M
O
b
0 x
C
O

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