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第01講 函數的概念與表示
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考綱導向
小
)
考點要求 考題統計 考情分析
(1) 求函數值 (2) 求函數的定義域和值域 (3) 求函數的解析式 2024年I卷，5分 2024年上海卷，5分 2023年北京卷，5分 2022年北京卷，5 分 2021年甲卷，5 分 2021年浙江卷，5分 （1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題、填空題為主； （2）重點是理解函數的三要素和函數的表示方法，主要考查求抽象函數和分段函數的函數值，求函數的定義域和值域和求函數的解析式，熟練掌握賦值法、換元法，配湊法等方法，理解遞推的思想.
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考試要求
小
)
1、了解函數的含義；
2、在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數（如圖像法、列表法、解析法）
3、了解分段函數.
(
考點突破考綱解讀
)
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考點梳理
小
)
知識點1:函數的概念
1、設是非空的實數集，如果對于集合中的任意一個數，按照某種確定的對應關系，在集合中都有唯一確定的數和它對應，那么就稱為集合到集合的一個函數，記作.
知識點2:函數的三要素
函數的三要素：定義域、對應關系、值域；
同一個函數：兩個函數定義域相同且對應關系也相同，則為同一函數.
知識點3:函數的表示
函數的常用表示方法有：解析法、圖象法和列表法.
知識點4:分段函數
分段函數：在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示的函數.
分段函數求值問題解題思路：
求形式的函數值：從內向外依次求值，先求，再求的值；
求自變量的值：1）先假設所求值在分段函數定義的各區間段上；
2）求出相應的自變量的值，并代入檢驗.
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題型展示
小
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題型一:求分段函數的函數值
【例1】已知函數，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
，將代入得，答案為C.
【變式1】已知，函數若，則 .
【答案】1
【解析】
從內向外依次求值：，答案為1.
題型二:求函數的定義域與值域
【例2】函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
真數大于0，根號里的式子大于等于0，分母不為0，
，答案為C.
【變式2】函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根據根號下非負及真數大于零可得：
，
即函數的定義域為，答案為C．
題型三:求函數的解析式
【例3】已知，則的解析式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】換元法
（1）換元，令，解出代入：
（2）再把所有寫成：
答案為A.
【變式3】已知函數滿足，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解方程組法
（1）賦值，得到方程，構造方程組：
（2）聯立方程組求解：
答案為D.
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考場演練
)
題型1 求函數值
【真題1】（2024·全國新Ⅰ卷）已知函數的定義域為R，，且當時，則下列結論中一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
求出初始值：
當時，，
遞推：
又，
則，
，
，
，
，則依次下去可知，則B正確；且無條件表明ACD一定正確.答案為B.
【思路點撥】
根據初始函數值，再利用題目所給的函數性質，代入函數值再結合不等式同向可加性，遞推可得.
【真題2】（2024·上海）已知則 ．
【答案】
【解析】
故，故答案為：.
【真題3】（2023·北京）已知函數，則 ．
【答案】1
【解析】
，.故答案為：1
【真題4】（2021·全國甲卷）設是定義域為R的奇函數，且.若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由題意可得：，
而，故.故答案為C.
【真題5】（2021·浙江）已知，函數若，則 .
【答案】2
【解析】
，故，故答案為：2.
題型2 求函數的定義域與值域
【真題6】（2022·北京）函數的定義域是 ．
【答案】
【解析】
根據偶次方根的被開方數非負、分母不為零得到方程組
，，解得且，即函數的定義域為；故答案為：
【真題7】（2020·山東）函數的定義域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由題知：，解得且.則函數定義域為.答案為B.
【真題8】（2019·江蘇）函數的定義域是 .
【答案】.
【解析】
根據偶次根式下被開方數非負得,即解得，故函數的定義域為.
【真題9】（2018·江蘇）函數的定義域為 ．
【答案】[2，+∞）
【解析】
根據偶次根式下被開方數非負得，解得，即函數的定義域為.
【真題10】（2016·江蘇）函數y=的定義域是 .
【答案】
【解析】
根據偶次根式下被開方數非負得，函數定義域為
【真題11】（2016·全國）下列函數中，其定義域和值域分別與函數的定義域和值域相同的是（ ）
A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝
【答案】D
【解析】
函數的定義域和值域分別為,答案為D．
【真題12】（2015·福建）若函數（且）的值域是，則實數的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】
的值域是，
故當時，滿足，
當時，有，
，實數的取值范圍.
【真題13】（2015·湖北）函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根據根號下非負及真數大于零可得：
，解之得，即函數的定義域為，答案為C．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第01講 函數的概念與表示
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考綱導向
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考點要求 考題統計 考情分析
(1) 求函數值 (2) 求函數的定義域和值域 (3) 求函數的解析式 2024年I卷，5分 2024年上海卷，5分 2023年北京卷，5分 2022年北京卷，5 分 2021年甲卷，5 分 2021年浙江卷，5分 （1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題、填空題為主； （2）重點是理解函數的三要素和函數的表示方法，主要考查求抽象函數和分段函數的函數值，求函數的定義域和值域和求函數的解析式，熟練掌握賦值法、換元法，配湊法等方法，理解遞推的思想.
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考試要求
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1、了解函數的含義；
2、在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數（如圖像法、列表法、解析法）
3、了解分段函數.
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考點突破考綱解讀
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知識點1:函數的概念
1、設是 ，若對于集合中的 數，按照某種 ，在集合中都有 的數與之對應，則稱為集合到集合的一個函數，記作.
知識點2:函數的三要素
函數的三要素： 、 、 ；
同一個函數：兩個函數定義域相同且 也相同，則為同一函數.
知識點3:函數的表示
函數的常用表示方法有： 、 和 .
知識點4:分段函數
分段函數：在其定義域的 上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示的函數.
分段函數求值問題解題思路：
求形式的函數值： 依次求值，先求，再求的值；
求自變量的值：1）先假設所求值在分段函數定義的各區間段上；
2）求出相應的自變量的值，并代入檢驗.
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題型一:求分段函數的函數值
【例1】已知函數，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式1】已知，函數若，則 .
題型二:求函數的定義域與值域
【例2】函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
題型三:求函數的解析式
【例3】已知，則的解析式為（ ）
A． B． C． D．
【變式3】已知函數滿足，則等于（ ）
A． B． C． D．
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考場演練
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題型1 求函數值
【真題1】（2024·全國新Ⅰ卷）已知函數的定義域為R，，且當時，則下列結論中一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【真題2】（2024·上海）已知則 ．
【真題3】（2023·北京）已知函數，則 ．
【真題4】（2021·全國甲卷）設是定義域為R的奇函數，且.若，則（ ）
A． B． C． D．
【真題5】（2021·浙江）已知，函數若，則 .
題型2 求函數的定義域與值域
【真題6】（2022·北京）函數的定義域是 ．
【真題7】（2020·山東）函數的定義域是（ ）
A． B． C． D．
【真題8】（2019·江蘇）函數的定義域是 .
【真題9】（2018·江蘇）函數的定義域為 ．
【真題10】（2016·江蘇）函數y=的定義域是 .
【真題11】（2016·全國）下列函數中，其定義域和值域分別與函數的定義域和值域相同的是（ ）
A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝
【真題12】（2015·福建）若函數（且）的值域是，則實數的取值范圍是 ．
【真題13】（2015·湖北）函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
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