資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
3.2.1圖形的旋轉（一）六大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：判斷生活中的旋轉現象
【經典例題1】下列現象中：①地下水位逐年下降；②傳送帶的移動；③方向盤的轉動；④鐘擺的運動；⑤蕩秋千運動．屬于旋轉的有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【變式訓練1-1】下列現象屬于旋轉的是（ ）
A．摩托車在急剎車時向前滑動 B．電梯上下運動的過程
C．幸運大轉盤轉動的過程 D．筆直的鐵軌上飛馳而過的火車
【變式訓練1-2】嘉嘉和爸爸非常自律，每天晚飯后都要從7點鐘開始進行半個小時的體育鍛煉，在鍛煉期間，鐘表上的分針（ ）
A．順時針旋轉了 B．逆時針旋轉了
C．逆時針旋轉了 D．順時針旋轉了
【變式訓練1-3】下列現象中屬于旋轉的有（ ）個．
①地下水位逐年下降；②傳送帶的移動；③方向盤的轉動；④水龍頭的轉動；⑤鐘擺的運動；⑥蕩秋千．
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式訓練1-4】下列現象屬于旋轉的是（　　）
A．摩托車在急剎車時向前滑動 B．飛機起飛后沖向空中的過程
C．幸運大轉盤轉動的過程 D．筆直的鐵軌上飛馳而過的火車
【變式訓練1-5】運動“冰壺滑行到終點．直升機螺旋槳的轉動．氣球冉冉升起．鋼架雪車加速前進”屬于旋轉的是 ．
題型二：判斷由一個圖形旋轉成的圖案
【經典例題2】杭州亞運會吉祥物是一組承載深厚底蘊和充滿時代活力的機器人，如圖所示的“遂珍”經過旋轉不能得到的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【變式訓練2-1】下列各組圖形，只通過平移或旋轉，不能形成長方形的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練2-2】將如圖圖形繞點順時針旋轉，得到的圖形是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-3】對下列各表情圖片的變換順序描述正確的是（ ）
A．軸對稱，平移，旋轉 B．軸對稱，旋轉，平移
C．旋轉，軸對稱，平移 D．平移，旋轉，軸對稱
【變式訓練2-4】通過翻折、旋轉和平移都能得到的圖形是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-5】北京冬奧會將于2022年2月4日在北京和張家口聯合舉行，如圖是冬奧會的吉祥物“冰墩墩”，將圖片按順時針方向旋轉90°后得到的圖片是（ ）
A．B． C． D．
題型三：找旋轉中心,旋轉角,對應點
【經典例題3】如圖，在的正方形網格中，旋轉得到，其旋轉中心是（ ）
A．點P B．點Q C．點M D．點N
【變式訓練3-1】如圖，在邊長為1的正方形網格中，，將線段繞著某點旋轉一個角度可以得到另一條線段（旋轉后A與D重合，B與C重合），則這個旋轉中心的坐標為 ．
【變式訓練3-2】如圖，四邊形是正方形，是上一點
(1)旋轉中心是哪一點？
(2)旋轉了多少度？
(3)如果點是的中點，那么經過上述旋轉后，點轉到了什么位置？
【變式訓練3-3】如圖，是正方形的對角線，經過旋轉后到達的位置．
(1)指出它的旋轉中心；
(2)說出它的旋轉方向和旋轉角是多少度；
(3)寫出點B的對應點．
【變式訓練3-4】如圖，是等腰直角三角形，，經過逆時針旋轉后到達的位置，且點E在邊上．
(1)旋轉中心是哪一點？
(2)旋轉了多少度？
(3)經過上述旋轉后，點C轉到了什么位置？
【變式訓練3-5】如圖，三個頂點的坐標分別是，，，為內任意一點．
(1)將平移得到，點C的對應點是，請在圖中畫出，并寫出點的坐標（___，___）；
(2)若是經過旋轉得到的圖形，點A，B，C的對應點分別是P，Q，R，觀察變換前后各對應點之間的關系，則點M的對應點N的坐標為（____，____）（用含m，n的式子表示）．
題型四：旋轉中規律性問題
【經典例題4】如圖，等腰的頂點在軸上，頂點在軸上，已知，將繞點順時針旋轉，每次旋轉，若旋轉后點的對應點的坐標為，則旋轉的次數可能是（ ）

A．71 B．72 C．73 D．74
【變式訓練4-1】風力發電是一種常見的綠色環保發電形式，它能夠使大自然的資源得到更好地利用．如圖1，風力發電機有三個底端重合、兩兩成角的葉片，以三個葉片的重合點為原點水平方向為x軸建立平面直角坐標系（如圖2所示），已知開始時其中一個葉片的外端點的坐標為，在一段時間內，葉片每秒繞原點O順時針轉動，則第秒時，點的對應點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練4-2】如圖，在平面直角坐標系中，直線l：與兩坐標軸交于、兩點，以為邊作等邊，將等邊沿射線方向作連續無滑動地翻滾．第一次翻滾：將等邊三角形繞點順時針旋轉，使點落在直線上，第二次翻滾：將等邊三角形繞點順時針旋轉，使點落在直線l上……當等邊三角形翻滾次后點的對應點坐標是（ ）

A．B． C． D．
【變式訓練4-3】如圖，菱形的對角線交于原點O，，．將菱形繞原點O逆時針旋轉，每次旋轉，則第2023次旋轉結束時，點C的坐標為（　?。?br/>
A． B． C． D．
【變式訓練4-4】有兩個完全重合的矩形，將其中一個始終保持不動，另一個矩形繞其對稱中心O按逆時針方向進行旋轉，每次均旋轉45°，第1次旋轉后得到圖①，第2次旋轉后得到圖②，……，則第2021次旋轉后得到的圖形與圖①﹣④中相同的是（ ）
A．圖① B．圖② C．圖③ D．圖④
【變式訓練4-5】等邊三角形（三條邊都相等的三角形是等邊三角形）紙板ABC在數軸上的位置如圖所示，點A、B對應的數分別為2和1，若△ABC繞著頂點逆時針方向在數軸上連續翻轉，翻轉第1次后，點C所對應的數為0，則翻轉2023次后，點C所對應的數是（　?。?br/>A．﹣2021 B．﹣2022 C．﹣2023 D．﹣2024
題型五：利用旋轉性質求解
【經典例題5】在活動課上，“凌志組”用含角的直角三角尺設計風車．如圖，，，，將直角三角尺繞點逆時針旋轉得到，使點落在AB邊上，此時與兩點間的距離為 ．

【變式訓練5-1】如圖，點O是等邊內一點，將繞點C按順時針方向旋轉得，連接．
(1)若．
①判斷的形狀，并說明理由；
②探究：當為多少度時，是等腰三角形？
(2)若，當分別為多少度時，是等腰直角三角形？
【變式訓練5-2】如圖，，垂足為C，，，將線段繞點C按順時針方向旋轉得到線段，連接．
(1)求線段的長度；
(2)求四邊形的面積．
【變式訓練5-3】如圖，等邊中，點在上，將繞點沿順時針方向旋轉后，得到．
(1)求的度數；
(2)若，，求的長．
(3)過點作的平行線交于點，當點在何處時，四邊形是矩形？
【變式訓練5-4】如圖，中，點在邊上，，將線段繞點旋轉到的位置，使得，與交于點．
(1)求證：；
(2)若，，求的度數．
【變式訓練5-5】如圖，點是等邊內的一點，，將繞點按順時針方向旋轉得到，連接．

(1)求證：是等邊三角形．
(2)若，，則當時，求的長，并說明理由．
題型六：根據旋轉的性質說明線段或角之間的關系
【經典例題6】如圖，在平面直角坐標系中，、兩點分別在x軸負半軸、y軸正半軸上，且．
(1)求A、B兩點坐標；
(2)如圖1，把線段繞B點順時針旋轉到線段，點C在第二象限，軸，E為線段上一點，于N，于M，已知，求的值；
(3)如圖2，在（2）條件下，點D為延長線上一動點，，交直線于點G， 的平分線與的鄰補角的平分線交于點F，點D在運動的過程中，的大小是否變化 若不變，求出其值：若變化，請說明理由．
【變式訓練6-1】已知是等腰三角形，．閱讀下列過程，回答第2、3兩問．
(1)特殊情形：如圖1，E是上一點，當時，有
(2)發現探究：如圖2，E是三角形內一點，當，且時，則（1）中的結論還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．
(3)拓展運用：如圖3，E是三角形內一點，，且，，，則 度．
【變式訓練6-2】在等邊三角形的內部有一點，連接，，以點為中心，把逆時針旋轉得到，連接，．以點為中心，把順時針旋轉得到，連接，．
(1)判斷和的大小關系，并說明理由；
(2)求證：；
(3)求證：四邊形是平行四邊形．
【變式訓練6-3】已知中，，．
(1)如圖1，當B、C、M、N在同一直線上，且，，時， ；（直接寫出計算結果）
(2)如圖2，當B、C、M、N在同一直線上，且時，寫出線段、、之間的數量關系，并加以證明；
(3)如圖3，當于點B，于點C， ，且時，直接寫出線段的值．
【變式訓練6-4】在學校的數學研究性活動中，同學們開展了如下的研究學習：
(1)數學理解：如圖1，是等腰直角三角形，過斜邊的中點作正方形，分別交于點，求之間的數量關系；
(2)問題解決：如圖2，在任意中，，點是內一點，過點作正方形，分別交于點，若，求的度數；
(3)聯系拓展：如圖3，在（2）的條件下，分別延長，交于點，求、之間的數量關系．
【變式訓練6-5】【猜測探究】
在中，．點D是直線上的一個動點，線段繞點C逆時針旋轉α，得到線段，連接，．
（1）如圖1，當，點D在邊上運動時，線段，和之間的數量關系是______；
（2）如圖2，當，點D運動到的延長線上時，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；
【拓展應用】
（3）如圖3，將繞點C逆時針旋轉得到，交于點F，連接．若，，，求線段的長．
【變式訓練6-6】（1）【案例展示】如圖1，點E、F分別在正方形的邊、上，，連接，則，理由如下：
∵，可把繞點A逆時針旋轉至，可使與重合，
∵，
∴，點F、D、G共線，
由旋轉得：，
∴，，，
而，
∴，即，
∴________，根據是________（第一空填三角形，第二空填全等的依據），
∴，
又∵，
∴．
（2）【類比引申】如圖2，四邊形中，，，點E、F分別在邊、上，．若、都不是直角時，仍成立，則與應該滿足什么數量關系是______．
（3）【拓展運用】如圖3，在中，，，點D、E均在邊上，且．猜想、、應滿足的等量關系，并寫出推理過程．
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3.2.1圖形的旋轉（一）六大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：判斷生活中的旋轉現象
【經典例題1】下列現象中：①地下水位逐年下降；②傳送帶的移動；③方向盤的轉動；④鐘擺的運動；⑤蕩秋千運動．屬于旋轉的有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】B
【分析】本題考查了生活中的平移、旋轉現象，熟練掌握平移與旋轉的定義是解題的關鍵．
根據平移和旋轉的定義對各小題分析判斷即可．
【詳解】解：①地下水位逐年下降，是平移現象；
②傳送帶的移動，是平移現象；
③方向盤的轉動，是旋轉現象；
④鐘擺的運動，是旋轉現象；
⑤蕩秋千運動，是旋轉現象．
屬于旋轉的有③④⑤共3個．
故選：B．
【變式訓練1-1】下列現象屬于旋轉的是（ ）
A．摩托車在急剎車時向前滑動 B．電梯上下運動的過程
C．幸運大轉盤轉動的過程 D．筆直的鐵軌上飛馳而過的火車
【答案】C
【分析】本題主要考查旋轉，平移的識別，掌握旋轉的性質，即旋轉前后圖形的大小不變，平移的概念等知識是解題的關鍵．
根據旋轉的性質，平移的概念結合實際情況即可求解．
【詳解】解：A、摩托車在急剎車時向前滑動是平移，故此選項錯誤；
B、電梯上下運動的過程是平移，故此選項錯誤；
C、幸運大轉盤轉動的過程是旋轉，故此選項正確；
D、筆直的鐵軌上飛馳而過的火車是平移，故此選項錯誤；
故選：C．
【變式訓練1-2】嘉嘉和爸爸非常自律，每天晚飯后都要從7點鐘開始進行半個小時的體育鍛煉，在鍛煉期間，鐘表上的分針（ ）
A．順時針旋轉了 B．逆時針旋轉了
C．逆時針旋轉了 D．順時針旋轉了
【答案】D
【分析】本題考查了生活中的旋轉現象，解決本題的關鍵在于知道分針走一大格是．
鐘面上指針轉動的方向就是順時針，分針走一大格是，從7點鐘到7點半走了6大格，據此即能求解．
【詳解】解：順時針旋轉了，
故選：D．
【變式訓練1-3】下列現象中屬于旋轉的有（ ）個．
①地下水位逐年下降；②傳送帶的移動；③方向盤的轉動；④水龍頭的轉動；⑤鐘擺的運動；⑥蕩秋千．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本題考查了生活中的平移．根據平移和旋轉的定義對各小題分析判斷即可．
【詳解】解：屬于旋轉的有③④⑤⑥，共4個．
故選：C
【變式訓練1-4】下列現象屬于旋轉的是（　　）
A．摩托車在急剎車時向前滑動 B．飛機起飛后沖向空中的過程
C．幸運大轉盤轉動的過程 D．筆直的鐵軌上飛馳而過的火車
【答案】C
【分析】根據旋轉的性質，平移的概念結合實際情況即可求解．
【詳解】解：、摩托車在急剎車時向前滑動是平移，故此選項錯誤；
、飛機起飛后沖向空中的過程是平移，故此選項錯誤；
、幸運大轉盤轉動的過程是旋轉，故此選項正確；
、筆直的鐵軌上飛馳而過的火車是平移，故此選項錯誤；
故選：．
【變式訓練1-5】運動“冰壺滑行到終點．直升機螺旋槳的轉動．氣球冉冉升起．鋼架雪車加速前進”屬于旋轉的是 ．
【答案】直升機螺旋槳的轉動
【分析】根據旋轉和平移的定義可得答案．
【詳解】解：冰壺滑行到終點屬于旋轉加平移；直升機螺旋槳的轉動屬于旋轉；氣球冉冉升起屬于平移；鋼架雪車加速前進屬于平移，
故答案為：直升機螺旋槳的轉動．
題型二：判斷由一個圖形旋轉成的圖案
【經典例題2】杭州亞運會吉祥物是一組承載深厚底蘊和充滿時代活力的機器人，如圖所示的“遂珍”經過旋轉不能得到的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了圖形的旋轉，旋轉是圍繞一點旋轉一定的角度的圖形變換，因而旋轉一定有旋轉中心和旋轉角，且旋轉前后圖形能夠重合，這是判斷旋轉的關鍵．由如圖圖形旋轉，分別判斷、解答即可．
【詳解】解：A．由圖形旋轉而得出，故本選項不符合題意；
B．由圖形對稱而得出，故本選項符合題意；
C．由圖形旋轉而得出，故本選項不符合題意；
D．由圖形旋轉而得出，故本選項不符合題意；
故選：B．
【變式訓練2-1】下列各組圖形，只通過平移或旋轉，不能形成長方形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了平移和旋轉，解題的關鍵是熟練掌握平移和旋轉的特點，由平移的性質和旋轉的性質依次判斷可求解．
【詳解】解：選項A、B、C中的圖形只通過平移或旋轉，可得長方形，選項D中的圖形只通過平移或旋轉，不能得到長方形，
故選：D．
【變式訓練2-2】將如圖圖形繞點順時針旋轉，得到的圖形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了旋轉，根據旋轉的定義即可求解，掌握旋轉的定義是解題的關鍵．
【詳解】
解：將如圖圖形繞點順時針旋轉，得到的圖形是，
故選：．
【變式訓練2-3】對下列各表情圖片的變換順序描述正確的是（ ）
A．軸對稱，平移，旋轉 B．軸對稱，旋轉，平移
C．旋轉，軸對稱，平移 D．平移，旋轉，軸對稱
【答案】A
【分析】本題考查幾何變換的類型，解題的關鍵是讀懂圖象信息．
根據平移變換，旋轉變換，軸對稱變換的定義判斷即可．
【詳解】解：下列各表情圖片的變換順序是軸對稱變換平移變換旋轉變換．
故選：．
【變式訓練2-4】通過翻折、旋轉和平移都能得到的圖形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了翻折、旋轉和平移，根據翻折及旋轉的定義即可求解．
【詳解】解： A、圖形只能通過旋轉變換得到，故不符合題意；
B、圖形通過翻折、旋轉和平移都能得到，故符合題意；
C、圖形只可以通過旋轉得到，不符合題意；
D、圖形可以通過平移得到，故不符合題意；
故選B．
【變式訓練2-5】北京冬奧會將于2022年2月4日在北京和張家口聯合舉行，如圖是冬奧會的吉祥物“冰墩墩”，將圖片按順時針方向旋轉90°后得到的圖片是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】此題主要考查了生活中的旋轉現象，正確掌握旋轉方向是解題關鍵．直接利用旋轉的性質得出對應圖形即可．
【詳解】解：如圖所示：“冰墩墩”圖片按順時針方向旋轉90°后得到的圖片是：
．
故選：D
題型三：找旋轉中心,旋轉角,對應點
【經典例題3】如圖，在的正方形網格中，旋轉得到，其旋轉中心是（ ）
A．點P B．點Q C．點M D．點N
【答案】A
【分析】本題考查了旋轉圖形的性質，根據旋轉圖形的性質，可知旋轉中心在對應頂點連線的垂直平分線上，則連接，，分別作出，的垂直平分線，垂直平分線的交點即為所求，熟練掌握旋轉圖形的性質是解此題的關鍵．
【詳解】解：如圖，連接，，分別作出，的垂直平分線，
，的垂直平分線的交點為點P，
旋轉中心是點P，
故選：A．
【變式訓練3-1】如圖，在邊長為1的正方形網格中，，將線段繞著某點旋轉一個角度可以得到另一條線段（旋轉后A與D重合，B與C重合），則這個旋轉中心的坐標為 ．
【答案】
【分析】本題考查坐標與圖形變化-旋轉，根據點的坐標建立平面直角坐標系，點的坐標，掌握確定旋轉中心的方法：連接對應點的線段的垂直平分線的交點是旋轉中心是解題的關鍵．根據確定旋轉中心的方法：連接對應點的線段的垂直平分線的交點是旋轉中心，作出旋轉中心，由坐標系寫出旋轉中心的坐標即可．
【詳解】解：如圖所示，旋轉中心的坐標為．
故答案為：．
【變式訓練3-2】如圖，四邊形是正方形，是上一點
(1)旋轉中心是哪一點？
(2)旋轉了多少度？
(3)如果點是的中點，那么經過上述旋轉后，點轉到了什么位置？
【答案】(1)點
(2)旋轉角是
(3)點旋轉到的中點處
【分析】此題主要考查了旋轉的性質、正方形的性質，解題的關鍵是掌握旋轉的性質：旋轉前后對應角相等，對應邊相等，對應的圖形全等．
（1）根據旋轉的定義和已知條件可以確定旋轉中心；
（2）根據旋轉的性質和正方形的性質可以確定旋轉角；
（3）根據旋轉的中心和旋轉角可以確定將點的對應點．
【詳解】（1）解：由圖得知：經旋轉后到達的位置，公共頂點是點，
故旋轉中心是點．
（2）解：由圖得知：經旋轉后到達的位置，
故的對應邊是，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴旋轉角是．
（3）解：如圖，由圖得知：經旋轉后到達的位置，
故的對應邊是，
∴點旋轉到的中點處．
【變式訓練3-3】如圖，是正方形的對角線，經過旋轉后到達的位置．
(1)指出它的旋轉中心；
(2)說出它的旋轉方向和旋轉角是多少度；
(3)寫出點B的對應點．
【答案】(1)點
(2)旋轉方向為逆時針，旋轉角是
(3)點
【分析】本題考查了旋轉的性質，正方形的性質．熟練掌握旋轉的性質，正方形的性質是解題的關鍵．
（1）由旋轉的性質作答即可；
（2）由正方形，可得，由旋轉的性質可知，旋轉方向為逆時針，旋轉角是；
（3）由旋轉的性質作答即可．
【詳解】（1）解：由題意知，旋轉中心為點；
（2）解：∵正方形，
∴，
由旋轉的性質可知，旋轉方向為逆時針，旋轉角是；
（3）解：由旋轉的性質可知，點B的對應點為點．
【變式訓練3-4】如圖，是等腰直角三角形，，經過逆時針旋轉后到達的位置，且點E在邊上．
(1)旋轉中心是哪一點？
(2)旋轉了多少度？
(3)經過上述旋轉后，點C轉到了什么位置？
【答案】(1)點A
(2)
(3)點C轉到了點E的位置
【分析】本題考查了旋轉的性質：旋轉只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小，即旋轉前后兩個圖形全等，對應頂點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心的夾角等于旋轉角．
（1）直接根據旋轉的性質求解即可；
（2）由等腰三角形的性質得，然后由旋轉的性質可得旋轉角的度數；
（3）直接根據旋轉的性質求解即可．
【詳解】（1）由旋轉的性質可知，旋轉中心是點A；
（2）∵是等腰直角三角形，，
∴，
由旋轉的性質可知，旋轉了；
（3）由旋轉的性質可知，點C轉到了點E的位置．
【變式訓練3-5】如圖，三個頂點的坐標分別是，，，為內任意一點．
(1)將平移得到，點C的對應點是，請在圖中畫出，并寫出點的坐標（___，___）；
(2)若是經過旋轉得到的圖形，點A，B，C的對應點分別是P，Q，R，觀察變換前后各對應點之間的關系，則點M的對應點N的坐標為（____，____）（用含m，n的式子表示）．
【答案】(1)畫圖見解答；
(2)
【分析】本題考查作圖-平移變換、坐標與圖形變化-旋轉，熟練掌握平移的性質、旋轉的性質是解答本題的關鍵．
（1）由題意得，向右平移1個單位長度，向下平移4個單位長度得到，根據平移的性質作圖，即可得出答案．
（2）連接，相交于點，可知繞點旋轉得到，進而可得答案．
【詳解】（1）解：由題意得，向右平移1個單位長度，向下平移4個單位長度得到，如圖，即為所求．
由圖可得，點的坐標為．
故答案為：．
（2）解：連接，相交于點，則繞點旋轉得到，點的對應點的坐標為．
故答案為：．
題型四：旋轉中規律性問題
【經典例題4】如圖，等腰的頂點在軸上，頂點在軸上，已知，將繞點順時針旋轉，每次旋轉，若旋轉后點的對應點的坐標為，則旋轉的次數可能是（ ）

A．71 B．72 C．73 D．74
【答案】D
【分析】本題考查了旋轉的性質，規律探索，循環節的計算，根據題意，第一次旋轉落在第一象限，第二次旋轉落在第四象限，第三次旋轉落在第三象限，第四次回到啟動點，由此得到旋轉的圖形按照循環節為4進行規律旋轉，除以4看余數即可．
【詳解】根據題意，第一次旋轉落在第一象限，第二次旋轉落在第四象限，第三次旋轉落在第三象限，第四次回到啟動點，由此得到旋轉的圖形按照循環節為4進行規律旋轉，除以4看余數即可，
∵在第四象限，
∴除以4后的余數為2，
∵，
故選D．
．
【變式訓練4-1】風力發電是一種常見的綠色環保發電形式，它能夠使大自然的資源得到更好地利用．如圖1，風力發電機有三個底端重合、兩兩成角的葉片，以三個葉片的重合點為原點水平方向為x軸建立平面直角坐標系（如圖2所示），已知開始時其中一個葉片的外端點的坐標為，在一段時間內，葉片每秒繞原點O順時針轉動，則第秒時，點的對應點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據旋轉的性質分別求出第1、2、3、時，點的對應點、、、的坐標，找到規律，進而得出第時，點的對應點的坐標．
【詳解】解：如圖．
，
在第一象限的角平分線上，
葉片每秒繞原點順時針轉動，
，，，，
點的坐標以每4秒為一個周期依次循環，
，
第時，點的對應點的坐標與相同，為．
故選：．
【變式訓練4-2】如圖，在平面直角坐標系中，直線l：與兩坐標軸交于、兩點，以為邊作等邊，將等邊沿射線方向作連續無滑動地翻滾．第一次翻滾：將等邊三角形繞點順時針旋轉，使點落在直線上，第二次翻滾：將等邊三角形繞點順時針旋轉，使點落在直線l上……當等邊三角形翻滾次后點的對應點坐標是（ ）

A．B． C． D．
【答案】D
【分析】先令，求得點與點的坐標，從而求出、、的長度，然后結合圖形的翻轉知道點經過次旋轉后重新落在直線：上，第次旋轉點的位置不變，再結合次一循環得到翻滾次后點的坐標．
【詳解】解：∵直線l：與兩坐標軸交于、兩點，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
如圖，等邊經過第次翻轉后，，
過點作軸于點，則，

∵，
∴，
，
等邊經過第次翻轉后，，
等邊經過第次翻轉后，點仍在點處，
∴每經過次翻轉，點向右平移個單位，向上平移個單位，
∵，第次與第次翻轉后點處在同一個點，
∴點經過次翻轉后，向右平移了個單位，向上平移了個單位，
∴等邊三角形翻滾次后點的對應點坐標是，
故選：D．
【變式訓練4-3】如圖，菱形的對角線交于原點O，，．將菱形繞原點O逆時針旋轉，每次旋轉，則第2023次旋轉結束時，點C的坐標為（　?。?br/>
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根據菱形的性質及旋轉的規律，可得第2023次旋轉結束時，點C在第三象限，過點A作軸于點E，延長到點，使，過點作軸于點F，再根據菱形的性質及全等三角形的性質，即可求得坐標.
【詳解】解：∵將菱形繞原點O逆時針旋轉，每次旋轉， ，
∴旋轉4次后回到原來的位置，
∵，
∴第2023次旋轉結束時，點C在第三象限，
如圖：過點A作軸于點E，延長到點，使，過點作軸于點F，

∴，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故第2023次旋轉結束時，點C的坐標為，
故選：C．
【變式訓練4-4】有兩個完全重合的矩形，將其中一個始終保持不動，另一個矩形繞其對稱中心O按逆時針方向進行旋轉，每次均旋轉45°，第1次旋轉后得到圖①，第2次旋轉后得到圖②，……，則第2021次旋轉后得到的圖形與圖①﹣④中相同的是（ ）
A．圖① B．圖② C．圖③ D．圖④
【答案】A
【分析】觀察圖形不難發現，四次旋轉后矩形又回到初始水平位置，用2021除以4，根據商和余數的情況確定即可．
【詳解】解：由圖可知，四次旋轉后矩形又回到初始水平位置，
∵2021÷4=505余1，
∴第2021次旋轉后得到的圖形為第505個循環組的第一個圖，是圖①．
故選：A．
【變式訓練4-5】等邊三角形（三條邊都相等的三角形是等邊三角形）紙板ABC在數軸上的位置如圖所示，點A、B對應的數分別為2和1，若△ABC繞著頂點逆時針方向在數軸上連續翻轉，翻轉第1次后，點C所對應的數為0，則翻轉2023次后，點C所對應的數是（　?。?br/>A．﹣2021 B．﹣2022 C．﹣2023 D．﹣2024
【答案】B
【分析】作出草圖，不難發現，每3次翻轉為一個循環組依次循環，用2023除以3，根據余數為1可知點C在數軸上，然后進行計算即可得解．
【詳解】解：如圖，每3次翻轉為一個循環組依次循環，
∵2023÷3＝674…1，，
∴翻轉2023次后點C在數軸上，
∴點C對應的數是0﹣674×3＝﹣2022．
故選：B．
題型五：利用旋轉性質求解
【經典例題5】在活動課上，“凌志組”用含角的直角三角尺設計風車．如圖，，，，將直角三角尺繞點逆時針旋轉得到，使點落在AB邊上，此時與兩點間的距離為 ．

【答案】4
【分析】本題主要考查了直角三角形角所對的邊等于斜邊的一半，旋轉的性質，熟練地掌握相關內容是解題的關鍵．根據直角三角形角所對的邊等于斜邊的一半，易知，結合旋轉的性質可知，根據直角三角形角所對的邊等于斜邊的一半可求出的長．
【詳解】解：如圖，連接，
，，，
，，
由旋轉的性質得，，
為等邊三角形，
．
故答案為：4．
【變式訓練5-1】如圖，點O是等邊內一點，將繞點C按順時針方向旋轉得，連接．
(1)若．
①判斷的形狀，并說明理由；
②探究：當為多少度時，是等腰三角形？
(2)若，當分別為多少度時，是等腰直角三角形？
【答案】(1)①是等邊三角形，理由見解析；②當為或或時，是等腰三角形．
(2)當，或，或，時，是等腰直角三角形．
【分析】本題考查了旋轉的性質和等邊三角形的判定方法和性質，等腰直角三角形的性質，等腰三角形的性質，此題具有一定的開放性，要找到變化中的不變量，根據等腰三角形的性質進行分類討論．
（1）①利用旋轉的性質，，即可證明是等邊三角形； ②分三種情況討論，①，②，③，分別計算即可求解；
（2）分三種情況討論，①，②，③，分別計算即可求解．
【詳解】（1）①是等邊三角形，
理由如下：∵繞點C按順時針方向旋轉得，
∴，，
∴是等邊三角形；
②當為或或時，是等腰三角形．
∵是由旋轉后得到的，
∴，
∴，
∵是等邊三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
是等腰三角形，分三種情況：
①當時，
∴，
∴，
∴；
②，
∴，
∴，
∴；
③，
∴，
∴，
∴，
∴當為或或時，是等腰三角形．
（2）∵是由旋轉后得到的，
∴，
∴，
∵是等邊三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
是等腰直角三角形，分三種情況：
①當，時，
∴，
∴，
∴，；
②，時，
∴，
∴，
∴，；
③，時，
∴，
∴，，
∴，；，
∴當，或，或，時，是等腰直角三角形．
【變式訓練5-2】如圖，，垂足為C，，，將線段繞點C按順時針方向旋轉得到線段，連接．
(1)求線段的長度；
(2)求四邊形的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由旋轉的性質可得，，可求，由勾股定理和直角三角形的性質可求的長．
（2）利用面積和差關系可求解．
本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定和性質，直角三角形的性質，熟練運用旋轉的性質是本題的關鍵．
【詳解】（1）解：由旋轉得，，
是等邊三角形，
過點作于點，
，
，
在中，，，，
在中，．
（2）解：，
．
【變式訓練5-3】如圖，等邊中，點在上，將繞點沿順時針方向旋轉后，得到．
(1)求的度數；
(2)若，，求的長．
(3)過點作的平行線交于點，當點在何處時，四邊形是矩形？
【答案】(1)；
(2)；
(3)當點是的中點時，四邊形是矩形．
【分析】（1）由旋轉的性質得，推出，即可得到；
（2）作交的延長線于點，求得，，利用勾股定理即可求解；
（3）由推出，得到，求得，推出當點是的中點時，四邊形是矩形．
【詳解】（1）解：∵等邊，
∴，
∵將繞點沿順時針方向旋轉后，得到，
∴，
∴，
∴；
（2）解：作交的延長線于點，
∵等邊，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴；
（3）解：∵，
∴，，
∵等邊，
∴，
∴是等邊三角形，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵等邊，
∴點是的中點，
∴當點是的中點時，四邊形是矩形．
【變式訓練5-4】如圖，中，點在邊上，，將線段繞點旋轉到的位置，使得，與交于點．
(1)求證：；
(2)若，，求的度數．
【答案】(1)詳見解析
(2)
【分析】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理以及三角形外角的性質，證明是解題的關鍵．
（1）由旋轉的性質可得，證明，根據全等三角形的對應邊相等即可得出；
（2）根據等腰三角形的性質以及三角形內角和定理求出，那么．由，得出，再根據三角形外角的性質即可求出結果．
【詳解】（1）證明：，
．
將線段繞點旋轉到的位置，
．
在與中，
，
，
；
（2）解：，，
，
．
，
，
．
【變式訓練5-5】如圖，點是等邊內的一點，，將繞點按順時針方向旋轉得到，連接．

(1)求證：是等邊三角形．
(2)若，，則當時，求的長，并說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)10
【分析】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，勾股定理，掌握相關圖形的性質是解答本題的關鍵．
（1）根據旋轉的性質，得到，，利用等邊三角形的判定與性質，判斷是等邊三角形．
（2）根據旋轉的性質，得到，，再利用等邊三角形的判定與性質，得到，，進而可知，再利用勾股定理即可求解．
【詳解】（1）證明：繞點按順時針方向旋轉得，
，，
是等邊三角形．
（2）解：繞點按順時針方向旋轉得，
，，
是等邊三角形，
，，則，
在中，，
．
題型六：根據旋轉的性質說明線段或角之間的關系
【經典例題6】如圖，在平面直角坐標系中，、兩點分別在x軸負半軸、y軸正半軸上，且．
(1)求A、B兩點坐標；
(2)如圖1，把線段繞B點順時針旋轉到線段，點C在第二象限，軸，E為線段上一點，于N，于M，已知，求的值；
(3)如圖2，在（2）條件下，點D為延長線上一動點，，交直線于點G， 的平分線與的鄰補角的平分線交于點F，點D在運動的過程中，的大小是否變化 若不變，求出其值：若變化，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)的大小不變，是定值
【分析】（1）由非負數的性質得出，解一元﹣次方程即可得出結論；
（2）連接，根據旋轉的性質得出，用面積法即可得出結論；
（3）先利用互余得出，再用角平分線和三角形的外角即可得出結論．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）連接．
由旋轉得，．
∵軸，
∴，
∵于N，于M，
∴，
∴；
（3）的大小不變，是定值，
理由：如圖2，
記與的交點為M，與的交點為N，
∵，，交直線于點G．
∴，
∴，
∵軸，
∴，
∴，
∵是的平分線，
∴
∵是的平分線，
∴，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴．
即：的大小不發生變化，是．
【變式訓練6-1】已知是等腰三角形，．閱讀下列過程，回答第2、3兩問．
(1)特殊情形：如圖1，E是上一點，當時，有
(2)發現探究：如圖2，E是三角形內一點，當，且時，則（1）中的結論還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．
(3)拓展運用：如圖3，E是三角形內一點，，且，，，則 度．
【答案】(1)見解析
(2)成立，證明見解析
(3)150
【分析】（1）根據等腰三角形的性質得出，進而利用等式的性質解答即可；
（2）根據等式的性質得出，進而利用證明與全等，利用全等三角形的性質解答即可；
（3）由旋轉構造出，進而得出，然后用勾股定理逆定理判斷出是直角三角形，在簡單計算即可．
【詳解】（1）解：是等腰三角形，，
，
，
即；
（2）解：，理由如下：
，
，
即，
在與中，
，
，
；
（3）解：將繞點旋轉得，連接，
，
，，，
是等邊三角形，
，
在中，，，，
，
是直角三角形，
，
，
又，
；
故答案為：．
【變式訓練6-2】在等邊三角形的內部有一點，連接，，以點為中心，把逆時針旋轉得到，連接，．以點為中心，把順時針旋轉得到，連接，．
(1)判斷和的大小關系，并說明理由；
(2)求證：；
(3)求證：四邊形是平行四邊形．
【答案】(1)，理由見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）根據旋轉的性質得，，則可判斷為等邊三角形，再利用為等邊三角形得到，則可得到；
（2）通過證明得到；
（3）根據旋轉的性質得，，則可判斷為等邊三角形，于是得到，再與（2）的證明方法一樣證明得到，于是，加上，從而可判斷四邊形是平行四邊形．
【詳解】（1）解：，
理由如下：
以點為中心，把逆時針旋轉得到，
，，
為等邊三角形，
，
為等邊三角形，
，，
，
，
；
（2）證明：在和中，
，
，
；
（3）證明：以點為中心，把順時針旋轉得到，
，，
為等邊三角形，
，
為等邊三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
由（1）可知：
，
由（2）可知：，
又，
，
四邊形是平行四邊形．
【變式訓練6-3】已知中，，．
(1)如圖1，當B、C、M、N在同一直線上，且，，時， ；（直接寫出計算結果）
(2)如圖2，當B、C、M、N在同一直線上，且時，寫出線段、、之間的數量關系，并加以證明；
(3)如圖3，當于點B，于點C， ，且時，直接寫出線段的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1），將繞A點旋轉，使與重合，M與重合，先證明，再證明，由全等三角形的性質得出，再由勾股定理求出，即可得出．
（2）作，使，連接，，，證明，由全等三角形的性質可得出，，即，再證明，由全等三角形的性質可得出，根據勾股定理可得出，等量代換可得出．
（3）延長和交于點H，過點A作交點T，根據題意可得四邊形為正方形，且為等腰直角三角形，證得，則，求得，有，設，則，，利用，求得，即可得，進一步證得，則有．
【詳解】（1）解：如下圖，將繞A點旋轉，使與重合，M與重合，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵
∴，
即，
又∵，，
∴
∴
，
∴．
（2）作，使，連接，，，
∴
∴，
即，
由∵，
，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴．
（3）延長和交于點H，過點A作交點T，如圖，
則四邊形為正方形，且為等腰直角三角形，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
則，
設，則，，
∴，解得，
∴，
∵，
∴，
∴．
【變式訓練6-4】在學校的數學研究性活動中，同學們開展了如下的研究學習：
(1)數學理解：如圖1，是等腰直角三角形，過斜邊的中點作正方形，分別交于點，求之間的數量關系；
(2)問題解決：如圖2，在任意中，，點是內一點，過點作正方形，分別交于點，若，求的度數；
(3)聯系拓展：如圖3，在（2）的條件下，分別延長，交于點，求、之間的數量關系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）證明和為均等腰直角三角形，易得，，即可獲得答案；
（2）首先由正方形的性質可得，，將以點為旋轉中心，順時針旋轉得到，則點和點重合，由旋轉的性質可得，，，進而可得，然后證明，由全等三角形的性質可得，由即可獲得答案；
（3）結合由（2），根據題意以及正方形的性質證明，進而可得，同理可得，然后在中，由勾股定理即可證明結論．
【詳解】（1）解：∵為等腰三角形，，
∴，
∵四邊形為正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，即為等腰直角三角形，
∴，
同理可得為等腰直角三角形，
∴，
∴；
（2）∵四邊形為正方形，
∴，，
將以點為旋轉中心，順時針旋轉得到，如下圖，
則點和點重合，
∴，，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）如下圖，
由（2）可知，，
∴，，
由旋轉的性質可得，
∴，
∵四邊形為正方形，
∴，，，
∵分別延長，交于點，
∴，，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
在中，可有，
∴．
【變式訓練6-5】【猜測探究】
在中，．點D是直線上的一個動點，線段繞點C逆時針旋轉α，得到線段，連接，．
（1）如圖1，當，點D在邊上運動時，線段，和之間的數量關系是______；
（2）如圖2，當，點D運動到的延長線上時，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；
【拓展應用】
（3）如圖3，將繞點C逆時針旋轉得到，交于點F，連接．若，，，求線段的長．
【答案】（1），（2）不成立，見解析；（3）8
【分析】本題考查旋轉的性質、全等三角形的性質與判定、等邊三角形的性質與判定，
（1）由旋轉的性質得，，，利用等量代換可得
，證得，可得，即可得證；
（2）由旋轉的性質得，，，利用等量代換可得，證得，可得，即可證明；
（3）在上取一點P，使，由旋轉的性質得，，證得，可得，，從而可證是等邊三角形，可得，即可求解．
【詳解】解：（1）由旋轉的性質得，，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：；
（2）不成立，理由如下：
由旋轉的性質得，，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）在上取一點P，使，
由題意得，，，
∴，
∴，，
由題意得，，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
即線段的長為8．
【變式訓練6-6】（1）【案例展示】如圖1，點E、F分別在正方形的邊、上，，連接，則，理由如下：
∵，可把繞點A逆時針旋轉至，可使與重合，
∵，
∴，點F、D、G共線，
由旋轉得：，
∴，，，
而，
∴，即，
∴________，根據是________（第一空填三角形，第二空填全等的依據），
∴，
又∵，
∴．
（2）【類比引申】如圖2，四邊形中，，，點E、F分別在邊、上，．若、都不是直角時，仍成立，則與應該滿足什么數量關系是______．
（3）【拓展運用】如圖3，在中，，，點D、E均在邊上，且．猜想、、應滿足的等量關系，并寫出推理過程．
【答案】（1），；（2）；（3），見解析
【分析】（1）把繞點逆時針旋轉至，可使與重合，證明，得到，進而可得結論；
（2）把繞點逆時針旋轉至，可使與重合，如圖2，同（1）證明，得到，然后可得結論；
（3）將繞點順時針旋轉得到，如圖3，根據旋轉的性質求出，得到，然后證明，得出，進而可得．
【詳解】解：（1）∵，可把繞點A逆時針旋轉至，可使與重合，
∵，
∴，點F、D、G共線，
由旋轉得：，
∴，，，
而，
∴，即，
∴，根據是（第一空填三角形，第二空填全等的依據），
∴，
又∵，
∴．
故答案為：，；
（2）時，仍成立；
理由：，
把繞點逆時針旋轉至，可使與重合，如圖2，
，，，
，，
，
，
，
∵，
，即點、、共線，
在和中，，
，
，
∵，
∴，
故答案為：；
（3）猜想：，
證明：將繞點順時針旋轉得到，如圖3，
，
，，，，
在中，，
，
，即，
，
又，
，
，即，
在和中，，
，
，
．
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